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周期性驱动二能级系统的相位因子

Mon, 06 Jul 2026 00:00:00 +0000

周期驱动二能级系统的相位因子#

Marcela Muniz Gontijo 和 João C. A. Barata

Department of Mathematical Physics, University of São Paulo, São Paulo, Brazil

利用周期驱动二能级量子系统的微扰解，我们展示了如何获得单个二能级量子系统以及两个无相互作用和相互作用的二能级量子系统的相位因子。该方法易于通过数值程序实现，并且具有在长时间周期内保持稳定的优势。此外，我们还探讨了利用微扰解实现量子相位门的可能性。

引言#

自从几何相位被证明可用于处理量子信息[18]以来，对其的研究引起了极大兴趣，并且由于其几何特性，它们对控制参数的波动误差具有固有的鲁棒性。在量子计算背景下几何相位的实验实现（有时称为几何量子计算）已取得丰硕成果[1, 13]。然而，为了获得二能级量子系统所获取几何相位的表达式，许多工作采用了旋转波近似[10, 13, 15]。与所有近似一样，旋转波近似有其有效性和适用性范围，这一点已被广泛研究[7, 8, 11, 16, 17]。

在这项工作中，我们考虑由周期场驱动的二能级量子系统的演化。我们未使用旋转波近似，而是采用在[3, 4]中获得的薛定谔方程解（另见[2, 5, 6, 12]）来计算单个和两个二能级量子系统的总相位、动力学相位和几何相位。由于所使用的解在时间上一致收敛，因此在考虑长时间周期时，相位的表达式具有鲁棒性。我们首先简要概述[3, 4]中发展的微扰方法。然后利用微扰展开获得二能级量子系统的相位。讨论扩展到两个无相互作用和相互作用的二能级量子系统。在每种情况下，我们提供计算每个相位因子的表达式。最后，我们获得了具有δ相互作用的复合双二能级量子系统的相位因子。我们证明，对于特定的参数选择，可以构建一个相位移位门。

模型与方法描述#

我们首先考虑具有以下哈密顿量的系统：

$$ H_{1} (t) = \epsilon \sigma_{3} - f (t) \sigma_{1},\tag{1} $$

其中 e 是实常数，$f ( t )$ 是频率为 $\omega > 0$ 的时间周期函数。考虑绕 y 轴旋转 π/2，记为 $R_{y} ( \pi / 2 )$，在这个新旋转坐标系下的薛定谔方程由下式给出

$$ i \frac{d}{dt} \psi_{2} (t) = H_{2} (t) \psi_{2} (t),\tag{2} $$

其中

双驱动二能级系统中的非绝热几何相位

Mon, 06 Jul 2026 00:00:00 +0000

论文

双驱动二能级系统中的非绝热几何相位#

引用本文：Weixin Liu 2023 32 050311

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双驱动二能级系统中的非绝热几何相位#

Weixin Liu（刘伟新）¹，Tao Wang（汪涛）^2,3,†，及 Weidong Li（李卫东）⁴

¹ 山西大学理论物理研究所与物理系，量子光学与量子光学器件国家重点实验室，极端光学协同创新中心，太原 030006，中国

² 重庆大学物理系与量子材料与器件中心，重庆 401331，中国

³ 重庆强耦合物理重点实验室，重庆 401331，中国

⁴ 深圳超强激光与先进材料技术重点实验室，先进材料诊断技术中心，及深圳技术大学工程物理学院，深圳 518118，中国

（2022年5月28日收稿；2022年8月6日修回；2022年8月16日接收）

我们理论研究了双驱动二能级系统中的非绝热几何相位，其中引入了两个驱动模式之间的附加相对相位。研究表明，系统的时间演化强烈依赖于这一相对相位。通过 Landau–Zener–Stuckelberg–Majorana 相消干涉的方法，给出了系统在一个周期后返回初始状态的条件。伴随循环演化的非绝热几何相位被证明与 Stokes 相位以及该相对相位相关。通过控制相对相位，几何相位可以在绝热极限下表征两个不同的相位。

关键词：二能级系统，几何相位，Landau–Zener–Stuckelberg–Majorana 干涉

PACS: 03.65.Vf, 03.67.Lx, 42.50.Gy

1. 引言#

自 Berry[1] 发现以来，规范不变的几何相位无论在理论还是实验研究中都引起了极大的兴趣。[2–13] 最初，Berry 指出，当哈密顿量在参数空间中缓慢、绝热地绕回路变化时，量子系统会在含时哈密顿量的瞬时本征态中获得一个非平凡的相位因子，除了常见的动力学相位之外。随后，Aharonov 和 Anandan 将绝热的 Berry 相位推广到非绝热情况，适用于量子系统自身的任何循环演化，称为 Aharonov–Anandan（AA）相位，[3] 它在绝热极限下趋近于 Berry 相位。Samuel 和 Bhandari 将 Berry 相位推广到非循环和非幺正的情况。[7] 进一步推广已在各种物理系统中得到研究，例如非线性系统、[14] 混合态、[15] 和开放系统。[16] 由于几何相位仅取决于某些全局几何特征，并对特定噪声表现出鲁棒性，[17–19] 它们对于量子计算和量子信息处理具有潜力，并已在各种量子系统中被观测到。[6,9,11,21–25]

单自旋系统中几何相位与动力学相位的相互作用

Mon, 06 Jul 2026 00:00:00 +0000

单自旋系统中几何相位与动力学相位之间的相互作用#

A. A. Wood,^1, ^∗ K. Streltsov,² R. M. Goldblatt,¹ M. B. Plenio,²

L. C. L. Hollenberg,^1, ³ R. E. Scholten,¹ and A. M. Martin¹

¹School of Physics, University of Melbourne, Victoria 3010, Australia ²Institute for Theoretical Physics, Ulm University, Germany ³Centre for Quantum Computation and Communication Technology, University of Melbourne, Victoria 3010, Australia (日期：2020年5月13日)

我们结合使用微波场和自由进动，驱动金刚石中氮空位（NV）中心的自旋在布洛赫球上沿不同轨迹运动，并研究总相位分解为几何部分和动力学部分这一依赖于参考系的分解的物理意义。实验在NV自旋为1的基态的两能级子空间中进行，其中Aharonov-Anandan几何相位表现为全局相位，我们利用NV基态三重态中的第三个能级对其进行探测。我们证明，尽管几何Aharonov-Anandan相位保持其与演化自旋所扫过的立体角的联系，但它通常伴随着一个抑制系统动力学对几何依赖性的动力学相位。这些结果揭示了依赖于参考系的几何相位的物理意义。

当一个量子系统以可以几何表示的方式演化时——例如布洛赫球上的自旋1/2量子比特——除了时间演化所累积的"动力学"相位之外，还会产生一个取决于演化几何路径的相位。这种"几何"相位构成了解释量子系统演化的统一框架[1]。最初由Pancharatnam[2]发现，后来Berry[3]对绝热变化的周期哈密顿量进行了研究，Aharonov和Anandan[4]认识到循环态演化本身也会产生几何相位。Aharonov和Anandan相位是贝里相位在绝热极限下的规范不变推广，而进一步的研究将几何相位的概念推广到了非绝热、非循环演化[5]。Aharonov和Anandan工作的一个关键方面是明确识别了循环演化量子态所获得的总体相位中的动力学和几何分量。这种分解表达了几何相位的独特性质，同时也突显了在独立于动力学相位的情况下检测几何相位的困难。

固态单量子自旋系统的出现重新激发了人们对几何相位的兴趣，利用超导量子比特[6,7]和金刚石中的自旋量子比特[8,9]进行的显著测量就是例证。金刚石中的氮空位（NV）中心[10–12]为研究和利用几何相位提供了一个特别有吸引力的系统，它具有在室温下毫秒级相干时间的基态自旋三重态[13]，以及适用于微波几何门[14]、光场[15,16]甚至物理旋转[17,18]的量子态。这种重新兴趣的一个关键因素是可能利用几何相位不同于动力学相位的特性，例如对某些类型噪声的鲁棒性，这在量子计算中有应用[19]。尽管几何相位是量子系统的普遍特征，但在给定环境中几何结构是否赋予系统独特的性质，或者仅仅提供了动力学的另一种表述方式，往往尚不清楚。

在本工作中，我们利用单个NV基态流形中的不同二能级子空间，实验研究了Aharonov-Anandan非绝热几何相位。当施加外磁场时，由于NV基态三重态中$m_{S} = 0 + 1$与$m_{S} = 0 - 1$跃迁之间存在显著的频率差异，我们可以单独寻址这些子空间（图1(a, b)）。Aharonov-Anandan相位定义为投影希尔伯特空间中循环演化的相位，因此在二能级子空间中表现为一个全局相位。当考虑基态三重态中额外的第三能级时，该全局相位仍然可以按照下一节所述的方式被检测到。我们通过施加一系列失谐微波脉冲和自由进动动力学，驱动NV自旋沿循环轨迹运动。我们表明，该系统中动力学相位与几何相位之间的相互作用，导致实验测量的相位偏移对几何操作保持不变。这些结果揭示了Aharonov-Anandan相位的微妙性质以及动力学相位在量子自旋系统中的重要性。

本文结构如下：第一节回顾了Aharonov-Anandan关于几何相位和动力学相位的表述，并特别考虑了在金刚石NV中心背景下检验这些相位的相关理论。第二节概述了我们的实验方案和方法，并探讨了标准自旋回波干涉测量序列所累积的全局相位的重要性。第三节我们演示并表征了驱动NV自旋在希尔伯特空间中沿闭合轨迹运动的微波脉冲。第四节我们将电路驱动微波脉冲与旋转框架中的自由演化相结合，以理解依赖于参照系的几何相位的重要性。第五节讨论这些结果，并对我们的成果以及进一步的研究方向进行了展望。

一、量子自旋系统中的几何相位#

在众多系统和环境中对几何相位的确认和演示[20]，是紧随Berry最初实现[3]之后的实验工作重点。由于Berry相位仅取决于给定演化的几何结构，这使得它对某些类型的噪声不敏感，从而引发了人们对其作为潜在容错量子门操作的兴趣[21, 22]。然而，由于Berry相位要求绝热演化，即缓慢的量子门操作，环境退相干对于许多固态量子系统较短相干时间而言成为一个严重问题[23]。随后，研究焦点转向了非绝热几何相位，它放宽了对慢速演化的要求，但伴随用于驱动几何门的自旋操作而出现的动力学相位，重新为噪声进入系统提供了渠道。已有几种方案旨在消除动力学相位，但在诸如自旋回波这类时间反演测量中，它通常无法在不消除几何相位的情况下被去除[24–26]。

单自旋经典旋转中量子相位的实验观测

Mon, 06 Jul 2026 00:00:00 +0000

A. A. Wood,¹ L. C. L. Hollenberg,^1, ² R. E. Scholten,¹ 和 A. M. Martin^1, ^∗

¹School of Physics, University of Melbourne, Victoria 3010, Australia

²Center for Quantum Computation and Communication Technology,

University of Melbourne, Victoria 3010, Australia

(日期：2019年8月26日)

角动量理论在基础层面上将物理旋转与量子自旋联系起来。因此，量子系统的物理旋转将影响基本的量子操作，例如投影希尔伯特空间中的自旋旋转，但由于量子相干性的脆弱性，这些效应非常微妙，在实验上难以观测。在此，我们报告了对单个电子自旋相位偏移的直接测量，该偏移直接源于物理旋转，无需通过磁场或辅助自旋进行转导。这种相位偏移通过测量微波驱动场与旋转的二能级电子自旋系统之间的相位差来观测，并且可以在时间上非线性地累积。我们通过自旋回波干涉测量法检测了在每分钟20万转的旋转钻石中单个氮-空位（NV）量子比特的非线性相位。我们的测量结果证明了自旋、物理旋转和量子相位之间的基本联系，并将适用于量子系统的旋转自由度未固定的方案，例如基于自旋的旋转传感器和含有自旋的捕获纳米粒子。

引言#

物理旋转是经典物理学中最普遍的元素之一。从星系到单个分子，一切都在无数的时间尺度上旋转，对每个系统中的物理过程产生基本影响。量子系统也受到物理旋转的影响，但在大多数情况下，由于在以与系统相干时间相当的速率可控地旋转可寻址量子系统方面存在困难，因此有意义地观测或利用这些效应具有挑战性。固态自旋量子比特，例如钻石中的氮-空位（NV）中心[1, 2]，由于其长达数毫秒的相干时间[4]以及宿主衬底的坚固性质，为研究经典旋转如何影响量子系统[3]提供了有前景的测试平台。由于NV的自然量子化轴由宿主钻石晶体取向决定，旋转晶体即旋转量子比特，并且可以独立检查其他现象（如磁场）的影响[5, 6]。在这项工作中，我们观测到经典旋转钻石中的单个NV量子比特与用于驱动量子旋转的外部微波场之间的相位偏移。根据NV固有轴、微波场和旋转轴之间的角度，这种由旋转引起的相位可以非线性地累积，因此可以在NV电子自旋的自旋回波测量中检测到。

检测由物理旋转引起的相位偏移对量子传感具有重要意义[7, 8]。理论工作[9-11]提出利用倾斜NV量子比特物理旋转产生的贝里相位[12]作为陀螺仪传感器，而其他方案则设想基于检测邻近核自旋拉莫尔进动频率的旋转偏移的陀螺仪[13]。在实验上，NV系统中贝里相位的实现一直局限于静态系统。Yale等人利用光学跃迁沿布洛赫球上的闭合路径驱动NV自旋[14]，而其他工作则使用在旋转框架中沿回路变化的额外非共振微波驱动场[15, 16]，类似于在固态量子比特[17]和核磁共振系统[18]中首次观测到的贝里相位。最近的实验工作使用相移微波脉冲模拟旋转，模拟了微波场的旋转[19]。

检测旋转对NV电子自旋影响的主要挑战——无论是通过贝里相位还是其他机制，即使在快速旋转的原理验证实验中，也在于如何从磁场和温度变化的影响中区分出微小的旋转相移。在我们的工作中，由于微波场在NV量子比特的物理旋转框架中的有效旋转，旋转引起的相移可以非线性地累积。因此，我们能够利用自旋回波序列的去耦特性来延长干涉测量时间，从而使得在噪声环境中直接测量由旋转诱导的电子自旋相移成为可能。

实验装置与理论模型#

图1展示了我们系统的示意图，而具体的实验配置与先前在参考文献[3]中描述的类似。一块 $99.99\%$ 的 $^{12}\mathrm{C}$ 金刚石通过其(100)面安装在一个绕z轴以 $\omega_{\mathrm{rot}} = 3.33 \mathrm{kHz}$ 旋转的电机上。该金刚石包含可单独分辨的NV色心，其典型相干时间为 $T_{2}^{*} \approx 50 \mu \mathrm{s}$ 和 $T_{2} \approx 1$ ms。单个NV色心通过扫描共聚焦显微镜成像，其照明脉冲与电机的旋转同步。我们考虑一个位于距旋转中心约3 µm处的特定NV色心。N-V轴与z轴的夹角为 $\theta_{\mathrm{NV}} = 54.7^{\circ}$。施加一个平行于旋转轴的磁场（图中未示出）可以解除NV $m_{S} = \pm 1$ 态之间的简并，使我们能够将 $| m_{S} = 0 \rangle$ 和 $| m_{S} = - 1 \rangle$ 态视为一个赝自旋- $1/2$ 系统（详见补充信息）。我们引入旋转算符 $R_{i} ( \theta ) = \exp{( - i S_{i} \theta )}$，其中 $S_{i} = {\textstyle \frac{1} {2}} \sigma_{i}$ 是自旋1/2的泡利矩阵，且 $i \in \{x , y , z \} , \hbar = 1$。在静止的实验室坐标系中，旋转的NV哈密顿量由 $R_{\mathrm{NV}} H_{0} R_{\mathrm{NV}}^{- 1}$ 给出，其中 $R_{\mathrm{NV}} = R_{z} ( \phi ) R_{y} ( \theta_{\mathrm{NV}} )$，$H_{0} = D_{\mathrm{zfs}} S_{z}^{2}$，$D_{\mathrm{zfs}} = 2.870$ GHz 是零场分裂，而 $\phi = \omega_{\mathrm{rot}} t$ 是方位角坐标。线偏振的微波驱动场可表示为一个与z轴倾斜角度为 $\theta_{\mathrm{mw}}$ 的振荡磁场，如图1(c)所示，并由算符 $H_{\mathrm{mw}} ( \theta_{\mathrm{mw}} ) = {R_{y}} ( \theta_{\mathrm{mw}} ) \Omega_{0} S_{z} \cos{( \omega t - \phi_{0} ) {R_{y}}^{- 1}} ( \theta_{\mathrm{mw}} )$ 表示，其中 $\Omega_{0}$ 是拉比频率，$\omega$ 是微波振荡频率，$\phi_{0}$ 是任意初始相位。在旋转NV的坐标系中，相互作用哈密顿量为：