量子蒙特卡罗 on Yuunagi Library

自旋-玻色子模型 wormhole QMC 推导笔记

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 +0000

1. What this algorithm solves#

自旋-玻色子模型（spin-boson model）描述一个或少数几个自旋自由度与大量玻色模式的线性耦合。它是量子耗散、量子相变、量子光学（Rabi、Jaynes-Cummings）和量子磁性（XXZ spin-boson）的统一框架。

核心困难：玻色浴的自由度是无限的。微扰论只在弱耦合有效，精确对角化受浴截断限制，张量网络方法在高维或长程关联下代价急剧增长。

wormhole QMC 算法（Weber, PRB 105, 165129, 2022）解决这个问题的方式是：

精确积分掉玻色浴：利用浴是自由玻色子 + 耦合对玻色算符线性的条件，在虚时间路径积分中解析地积掉所有玻色自由度。
得到推迟自旋相互作用：积分后产生一个纯自旋的推迟作用量 $\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}$，包含长程虚时间关联。
对推迟作用量做 QMC 展开：将 $e^{-\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}}$ 展开为幂级数（连续时间相互作用展开，采用 SSE/directed-loop 型局部更新），用 directed-loop / wormhole 更新在扩展配置空间中采样。

输出：有限温度下自旋-玻色子模型的统计力学性质（磁化率、关联函数、相边界）。在 quadratic bath + linear coupling + sign-free 条件下，无微扰近似、无浴截断。

2. 通用模型与模型字典#

2.1 哈密顿量#

考虑一个 spin-$1/2$ 自由度与玻色浴耦合的系统。自旋算符定义为

$$ \hat{S}_\ell = \frac{1}{2}\hat{\sigma}_\ell, \qquad \ell \in \{x, y, z\}. $$

通用哈密顿量为

$$ \begin{aligned} \hat{H} &= \hat{H}_{\mathrm{s}} + \hat{H}_{\mathrm{b}} + \hat{H}_{\mathrm{sb}}. \end{aligned} $$

自旋哈密顿量 $\hat{H}_{\mathrm{s}}$ 可包含 Zeeman 场、交换作用等纯自旋项，一般形式为

自旋-玻色子模型的量子蒙特卡罗模拟：虫洞更新方法

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 +0000

使用虫洞更新的自旋-玻色子模型的量子蒙特卡洛模拟#

Manuel Weber

马克斯·普朗克复杂系统物理研究所，Nöthnitzer Str. 38, 01187 德累斯顿，德国

0（2021年8月30日收到；2022年3月31日修订；2022年4月5日接收；2022年4月15日发表）

我们提出了一种用于耦合到耗散玻色子浴的自旋系统的精确量子蒙特卡洛方法，该方法利用非局域虫洞更新来模拟由非对角自旋-玻色子耦合引起的延迟自旋翻转相互作用。该方法与随机级数展开密切相关，并将全局有向环更新的范围扩展到通过世界线构型的非局域移动。我们针对U(1)对称的双浴自旋-玻色子模型测试了该方法，其中自旋1/2粒子的非对角分量耦合到具有幂律谱的相同独立浴，并得到了临界相与局域相之间临界耦合的精确估计。我们的方法适用于任意空间维度中耦合到具有任意谱分布的玻色子模式的杂质系统和晶格模型。

I. 引言#

蒙特卡洛方法全局更新方案[1–4]的发展使得对出现在广泛强关联物理中的临界现象进行高精度数值研究成为可能。对于量子系统，虫洞算法和有向环算法[5–7]已成为分别模拟玻色子或自旋模型的先进技术。虽然这些方法随机采样配分函数的微扰展开，但虫洞/有向环更新沿着在扩展构型空间中构建的闭合环改变世界线构型。构建这些环的计算代价仅与系统大小和逆温度成线性关系，因此只要不存在符号问题，就能够在任何空间维度中进行高效模拟。因此，非常期望将这些算法扩展到无法以其他方式高效模拟的新模型类别。

计算多粒子理论中的主要挑战是模拟耦合到不遵守粒子数守恒的局域玻色子模式的量子系统。研究最多的例子包括具有局域耦合到声子的晶格模型。基于矩阵乘积态(MPS)的方法需要大键维来处理每个模式的无界玻色子希尔伯特空间，这使得它们比纯粹电子或自旋模型效率更低；然而，优化的基组可以带来显著改进[8]。当玻色子以第一量子化形式采样时，量子蒙特卡洛(QMC)模拟通常受到长自相关时间的困扰[9]。到目前为止，其二量子化形式中缺乏粒子数守恒阻碍了虫洞/有向环更新的简单高效表述（例外情况见文献[10,11]），使得低效的局域更新成为模拟玻色子的唯一可用选项[12,13]。如果哈密顿量在玻色子场中是二次型的，则可以避免直接玻色子采样的困难。此时，可以使用路径积分精确积分掉玻色子，从而在系统的自由度中获得延迟相互作用。最近将定向环算法推广到延迟相互作用[14]已被证明能够克服自相关问题，并已成功应用于一维[15,16]和二维[17]的声子耦合系统。

与玻色子模式的耦合在量子物理的许多领域都扮演着重要角色。例如，在固态系统中，玻色子激发以声子或磁振子等准粒子的形式出现；离子阱量子模拟器依赖于由离子振动模式中介的长程相互作用[18,19]；而在量子光学中，原子则与量子化的电磁场相互作用[20,21]。一个核心问题是当量子系统连接到具有无穷自由度的玻色子库时的耗散现象[22]。其最简单的实现之一是自旋-玻色子模型：一个二能级系统耦合到一个连续的玻色子模式。在该模型中，由外加磁场引起的库致局域化与退局域化之间的竞争会导致量子相变，而其临界性质直到发展出一种高效的团簇量子蒙特卡洛(QMC)方法，通过延迟相互作用模拟与库的耦合后才得以阐明[23]。一种变分矩阵乘积态(MPS)方法揭示了，将两个非对易自旋分量耦合到独立库可能会产生更复杂的相图[24]，其中包含一个由退相干机制中的受挫效应[27]引发的临界相[25,26]；然而，MPS方法向多库情形的推广受到局域玻色子希尔伯特空间大维度的限制。带有在位耗散的晶格模型已使用经典蒙特卡洛方法模拟长程相互作用[28,29]；完整的QMC模拟仅通过蠕虫算法应用于对角自旋-玻色子耦合[30]。到目前为止，对于更一般的自旋-玻色子相互作用，我们仍然缺乏能够同等高效地处理杂质模型和晶格模型的QMC更新方案。

量子杂质模型是动力学平均场理论的核心，其中到无穷大库的耦合模拟了与晶格上相邻粒子的相互作用效应[31]。对高效杂质求解器的需求推动了费米子系统连续时间QMC方法的发展，其中库的耦合以延迟相互作用的形式处理[32-34]。这些方法中最著名的一种基于杂化展开，并对费米子世界线构型进行采样[33]。该方法通过将费米子库传播子合并为一个行列式来避免负符号问题，该行列式仅允许局域蒙特卡洛更新，并最终导致反比于温度的三次方标度。在此，蠕虫采样仅用于获得格林函数的改进估计量[35]。该方法已被扩展以包含玻色子库[36]，用于求解玻色子杂质问题[37]、自旋-玻色子模型[38]或玻色-费米近藤模型[38-41]，但即使在没有纯自旋-玻色子模型中费米子行列式的情况下[38,41]，蒙特卡洛采样仍然局限于局域更新。例如，自旋-玻色子杂质模型的自洽求解对自旋玻璃[42-45]以及动力学平均场理论向自旋系统的扩展[46]都起着重要作用。玻色子模式也已被纳入相互作用展开的QMC方法中，该方法可应用于有限晶格上的费米子-玻色子模型[47-49]。

在本文中，我们提出了一种用于耗散自旋模型的连续时间量子蒙特卡洛方法。该方法结合了杂质求解器的优势以及为格点模型开发的全局虫洞/有向环更新。我们的方法基于具有全局有向环更新的随机级数展开[50]及其最近对延迟相互作用的推广[14]。与声子耦合系统不同，下面考虑的自旋-玻色子模型不守恒总$\hat{S}_{z}$量子数，这阻碍了虫洞/有向环更新的局域构造。为克服这一困难，我们引入了新的虫洞更新：虚时非局域相互作用中的两个算符可以作为虫洞/有向环的源和汇，从而允许通过世界线构型进行非局域移动。结果表明，构建有向环的规则与具有最近邻相互作用的常规自旋模型等价——只需将格点位指标替换为虚时变量——这使得可以轻松移植参考文献[7]中开发的方法。延迟相互作用的时间依赖性不影响环的构建，因为它在对角更新期间被采样[14]；对于任何谱分布的浴模式，浴传播子都可以高效采样。在下面的内容中，我们为杂质模型阐述了我们的量子蒙特卡洛方法，但虫洞更新可以平凡地扩展到有限格点上的自旋-玻色子模型，我们将在本文末尾讨论这一点。我们通过双浴自旋-玻色子模型展示了我们量子蒙特卡洛方法的效率。我们的方法达到了比先前量子蒙特卡洛方法[38,41]显著更低的温度，这使我们能够精确估计临界相和局域相之间的量子临界耦合，该估计与先前基于矩阵乘积态方法[24]的结果非常一致。未来，我们的量子蒙特卡洛方法将能够高效模拟各种与玻色子模式（如光子、声子、磁振子等）耦合的量子杂质和格点模型，这些模型出现于量子光学、离子阱模拟器或固态系统中。

本文组织如下。在第II节中，我们定义了自旋-玻色子模型；在第III节中，我们展示了如何从相互作用绘景推导出延迟相互作用；在第IV节中，我们介绍了我们的量子蒙特卡洛方法；在第V节中，我们展示了我们的结果；在第VI节中，我们讨论了方法的扩展；在第VII节中，我们进行了总结。

II. 自旋-玻色子模型#

我们考虑一个通用形式的自旋-玻色子模型

$$ \hat{H} = \hat{H}_{\mathrm{s}} + \hat{H}_{\mathrm{b}} + \hat{H}_{\mathrm{sb}}\tag{1} $$

它可以分为自旋部分$\hat{H}_{\mathrm{s}}$、玻色子部分$\hat{H}_{\mathrm{b}}$和自旋-玻色子相互作用$\hat{H}_{\mathrm{sb}}$。目前，$\hat{H}_{\mathrm{s}}$描述一个局域自旋-$1 / 2$自由度$\hat{S}_{\ell} = \textstyle{\frac{1} {\gamma}} \hat{\sigma}_{\ell}$，其中$\hat{\sigma}_{\ell} , \ell \in \{x , y , z \}$是泡利矩阵（我们设$\bar{h} \overset{=} {=} 1$）。玻色子浴由谐振子的和给出，

$$ \hat{H_{\mathrm{b}}} = \sum_{\mu} \omega_{\mu} \hat{a}_{\mu}^{\dagger} \hat{a}_{\mu} ,\tag{2} $$

其中$\hat{a}_{\mu}^{\dagger} ~ ( \hat{a}_{\mu} )$在频率为$\omega_{\mu}$的态$\mu$中产生（湮灭）一个玻色子。下面，上标$\mu$将指代一个连续的振子集合和浴模式的不同分量，但它也可以标记有限系统中的格点位置。自旋-玻色子相互作用

$$ \hat{H}_{\mathrm{sb}} = \sum_{\mu} ( \hat{a}_{\mu}^{\dagger} \hat{\varrho}_{\mu} + \hat{\varrho}_{\mu}^{\dagger} \hat{a}_{\mu} )\tag{3} $$

将浴耦合到一个自旋算符$\hat{\varrho}_{\mu} [ \hat{S}_{\alpha} ]$，该算符依赖于模型，并且也包含自旋-玻色子耦合常数。下面，我们定义两种符合通用形式类型的自旋-玻色子模型。

延迟相互作用的定向回路量子蒙特卡洛方法

Fri, 10 Jul 2026 08:00:00 +0800

延迟相互作用的定向环量子蒙特卡洛方法#

Manuel Weber, Fakher F. Assaad, 和 Martin Hohenadler

Institut für Theoretische Physik und Astrophysik, Universität Würzburg, 97074 Würzburg, Germany (收稿日期：2017年4月28日；发表于2017年8月31日)

我们将定向环量子蒙特卡洛方法推广到延迟相互作用的情况。通过路径积分，费米子-玻色子或自旋-玻色子模型可以通过解析积分掉玻色子，映射为具有延迟相互作用的作用量。这产生了一种精确算法，它将随机级数展开表示中高效环更新的优势与避免直接采样玻色子的优点相结合。应用于电子-声子模型表明，该方法克服了先前存在的长自相关时间和指数递减接受率等有害问题。例如，由此产生的巨大加速使我们能够研究最多1282个位点链上的Peierls量子相变。

引言——在缺乏强关联量子系统的一般精确解的情况下，高效数值方法的发展是一个核心目标。对于一维情况，密度矩阵重正化群方法[1,2]已成为标准方法。然而，对于更高维度、有限温度或长程相互作用，其效率要低得多，因此量子蒙特卡洛方法通常更具优势。后者为相当一般的一维费米子和自旋哈密顿量提供高精度结果。特别地，在随机级数展开表示中[3]对路径积分进行QMC模拟的计算开销与系统大小$\mathbb{L}$和逆温度$\beta = 1 / k_{B} T$成线性关系。由于使用了簇更新（算子环或定向环）[4–6]，自相关时间较短。虽然通常由于符号问题而局限于1D费米子模型，但此类QMC方法已成功应用于更高维度的自旋[7–9]和玻色子[10,11]模型。

延迟相互作用（即在虚时上非局域）对系统大小、温度和参数施加了显著限制。这类相互作用通常源于与玻色子模式（例如，声子[12,13]或自旋涨落[14]）的耦合，或来自动力学屏蔽[15]。由于此类问题普遍不可积，人们对它们的理解很大程度上来源于数值研究。虽然杂质问题可以非常有效地求解[16]，但格点问题仍然是一个挑战。在DMRG方法中[17–19]，庞大的玻色子希尔伯特空间成为一个限制因素，尤其是在有限温度或动力学性质方面。对于基于SSE的QMC方法[20–26]，缺乏对玻色子的全局更新（除了一种特定形式的自旋-声子耦合[27]），使得模拟效率远低于费米子或自旋的情况。近相变点自相关时间显著增加[21]。极长的自相关时间也影响行列式QMC方法，其中即使是自由玻色子的采样也可能具有挑战性[28]。事实上，对于电子-声子模型，具有$(\beta L)^{3}$标度和局部更新的连续时间相互作用展开QMC方法[29–31]在相同计算成本下为关联函数提供更好的结果[23]。另一方面，定向环方法对于空间长程相互作用仍然有效[32,33]。

在这篇快报中，我们通过在虚时中表述问题、解析地积分掉玻色子，并利用定向环更新来高效地采样由此产生的具有延迟相互作用的问题，从而克服了这些限制。这种新颖方法结合了SSE表示中可用的全局更新和基于作用量的CT-INT方法中可能实现的玻色子解析积分两者的优势。

方法——SSE表示[3]对应于配分函数的高温展开，

$$ Z = \sum_{\alpha} \sum_{n = 0}^{\infty} {\frac{\beta^{n}} {n !}} \sum_{S_{n}} \langle \alpha | \prod_{p = 1}^{n} \hat{H}_{a_{p} , b_{p}} | \alpha \rangle .\tag{1} $$

哈密顿量 $\hat{H}$ 被写成局域算符之和 $\begin{array} {r} {\hat{H} = - \sum_{a , b} \hat{H}_{a , b} ,} \end{array}$，其中 $a$ 指定算符类型，$b$ 指定格点 $i_b$ 和 $j(b)$ 之间的键。展开式 (1) 通过随机方式采样。一个展开阶为 $n$ 的构型对应一个由 $n$ 个算符组成的序列，由索引序列 ${\cal S}_{n} = \{[ a_{1} , b_{1} ] , . . . , [ a_{n} , b_{n} ] \}$ 指定，以及一个来自完备基的态 $\alpha$，在该基中 $\hat{H}$ 无分支，即 $\hat{H}_{a , b} | \alpha \rangle \sim | \alpha^{\prime} \rangle$。如果 $\hat{H}$ 同时包含非对角（$a = 1$）和对角（$a = 2$）算符，则两种更新类型足以实现遍历性。对于对角更新，通常通过插入 $\mathbb{N} − n$ 个单位算符 $( a = 0 )$ 将算符串长度固定为 $\mathbb{N}$。然后，可以顺序遍历 $S_{N}$，并提出更新 $\hat{H}_{0 , b} \hat{H}_{2 , b}$。相应的构型权重直接从传播态 $\begin{array} {r} {| \alpha ( p ) \rangle \sim \prod_{l = 1}^{p} \hat{H}_{a_{l} , b_{l}} | \alpha \rangle} \end{array}$ 获得。