量子主成分分析

Sun, 12 Jul 2026 08:00:00 +0800

量子主成分分析#

Seth Lloyd^1,2*, Masoud Mohseni 和 Patrick Rebentrost

揭示未知量子态性质的常规方法，是在获得该量子态系统多个副本的前提下，测量不同的可观测量并对结果进行统计分析^1,2。对于非稀疏但低秩的量子态，以经典形式揭示特征向量及对应特征值的计算复杂度随系统维度超线性增长^3–6。本文证明，密度矩阵为 $\pmb{\rho}$ 的量子系统的多个副本可用于构造酉变换 $\mathbf{e}^{- i \rho t} .$。因此，可以对未知低秩密度矩阵进行量子主成分分析，以量子形式揭示大特征值对应的特征向量，其速度比任何现有算法快指数级。我们讨论了其在数据分析、过程层析成像和状态区分中的应用。

量子层析成像是发现未知量子态 $\rho$ 特征的过程（参考文献1,2）。量子层析成像是一种广泛使用的工具，在通信系统（如光学信道）、精密测量设备（如原子钟）和量子计算等领域具有重要的实际应用。量子层析成像的基本假设是，在一个 $d$ 维希尔伯特空间中，我们获得了多个 $\dot{} \rho$ 的副本，例如原子钟中原子所处的状态或量子信道的输入和输出。多种测量技术使我们能够提取所需的状态特征。例如，近期发展表明，量子压缩感知在确定未知量子态或动力学方面能提供显著优势，尤其是在该状态或动力学可由低秩或稀疏矩阵表示时^3–5,7,8。矩阵的谱分解根据其特征向量及对应特征值来表示该矩阵。通过舍弃低于给定阈值的特征值及对应特征向量，可以从谱分解构造出矩阵的最优低秩近似。这个过程通常称为主成分分析（PCA），可用于例如构造采样随机向量的半正定对称协方差矩阵的低秩近似^9,10。当面对大量高维向量时，PCA 的成本过高。

传统的量子态层析成像通过对状态的多个副本进行测量来运作：状态扮演的是被动的角色。本文表明，状态在其自身的分析中可以发挥动态作用。特别地，我们证明状态 $\rho$ 的多个副本可用于实现酉算子 $\mathrm{e}^{- i \rho t} \mathrm{:}$ 即，该状态充当能量算子或哈密顿量，对其他状态产生变换。因此，密度矩阵的多个副本可用于以量子形式揭示该矩阵的特征向量和特征值。通过进一步的处理和测量，这种密度矩阵求幂可以为量子层析成像带来显著优势。此外，它使我们能够对未知低秩密度矩阵执行量子 PCA（qPCA），在 O(log d) 的时间内构建对应于状态大特征值的特征向量（主成分），这比现有算法实现了指数级的加速。我们还展示了 qPCA 如何为状态区分和聚类分配提供新方法。

假设我们拥有 $\rho .$ 的 $n$ 个副本。一个简单的技巧使我们能够将酉变换 $\mathrm{e}^{- i \rho t}$ 应用于任意密度矩阵 σ，精度达到 $t$ 的 $n$ 阶。注意

$$ \begin{array} {c c} {{\mathrm{tr}_{P} \mathrm{e}^{- i S \Delta t} \rho \otimes \sigma \mathrm{e}^{i S \Delta t} = ( \cos^{2} \Delta t ) \sigma + ( \sin^{2} \Delta t ) \rho - i \sin \Delta t \cos \Delta t [ \rho , \sigma ]}} \\ {{{}}} & {{{}}} \\ {{{} = \sigma - i \Delta t [ \rho , \sigma ] + O ( \Delta t^{2} )}} & {{( 1}} \end{array}\tag{} $$

这里 tr 表示对第一个变量的偏迹，S 是互换算符。S 是一个稀疏矩阵，其元素能够高效计算，因此 $\mathrm{e}^{- i S \Delta t}$ 可以高效实现^11–14。反复将 (1) 式应用于 n 份 $\rho$ 的副本，可以构造出 $\mathrm{e}^{- i \rho n \Delta t} \sigma \mathrm{e}^{i \rho n \Delta t}$。与量子模拟的铃木–Trotter 理论^11–14 的比较表明，要模拟 $\mathrm{e}^{- i \rho t}$ 达到精度，需要 $n {=} O ( t^{2} \epsilon^{- 1} | \rho - \sigma | ^{2} ) {\leq} O ( t^{2} \epsilon^{- 1} )$ 步，其中 $t = n \Delta t$，$<$sup$>$|$<$/sup$>$ $<$sup$>$|$<$/sup$>$ 表示上确界范数。因此，只需对 $\rho^{\otimes} \sigma$ 反复进行无穷小的互换操作，就能构造出幺正算符 $\mathrm{e}^{- i \rho \bar{t}}$。文献 15 中的量子矩阵求逆技术，则允许我们利用多个密度矩阵 $\rho$ 的副本，对任意简单可计算的函数 $g ( x )$ 高效实现 e^−ig ^(ρ)。

量子近似优化算法的自旋-玻色映射

Sun, 12 Jul 2026 08:00:00 +0800

量子近似优化算法的自旋-玻色映射#

Sami Boulebnane,^1,* Abid Khan , 1,* Minzhao Liu ,^1,† Jeffrey Larson , Dylan Herman, Ruslan Shaydulin ,^1,‡ and Marco PistoiaGlobal Technology Applied Research, JPMorganChase, New York, New York 10001, USAMathematics and Computer Science Division, Argonne National Laboratory, Lemont, Illinois 60439, USA

(2025年11月24日收稿；2026年4月14日接收；2026年6月16日发表)

量子近似优化算法(QAOA)的性能随电路深度$p$单调提升，然而对高深度区域的研究一直受到现有精确评估技术中随$p$指数增长的计算成本的阻碍。在本快报中，我们证明，在无穷大尺寸极限下，用于Sherrington-Kirkpatrick (SK) 模型的深度$p$ QAOA态收敛于一个自旋与$p$个玻色子模耦合的态。我们利用矩阵积态模拟自旋-玻色系统，并给出数值证据表明，在平均情况下，QAOA以电路深度$\mathcal{O} ( n / \epsilon^{1.13} )$获得SK模型最优能量的$(1-\epsilon)$近似。我们方法的计算成本适中，使我们能够优化QAOA参数，并观察到在无穷大尺寸极限下，QAOA在$p=160$时达到$\varepsilon \lesssim 2.2 \%$，远远超出先前精确方法可及的$p \leq 20$范围。我们的映射提供了一条多体路径，用于在先前无法进行精确评估的区域内研究和优化高深度QAOA。

优化问题在科学和工业中无处不在，并且通常计算上难以求解。因此，利用量子计算机加速优化问题求解的兴趣日益增长。一个有前途的通用优化算法是量子近似优化算法(QAOA)，有证据表明，对于某些问题，相比于专门的经典算法，QAOA可实现多项式或指数加速[1-4]。

证明量子优势的一种方式是证明量子算法的扩展性优于任何经典算法，就像用于无结构搜索的Grover算法[5]那样。更常见的是，经典下界难以企及，量子优势的论证依赖于缺乏高效经典算法，例如在因子分解[6]以及使用解码量子干涉测量法(DQI)求解最优多项式交集[7]中的量子优势情况。重要的是，即使在对量子算法性能缺乏解析界的情况下，也已开发出专门的数值方案，以获得超出蛮力经典模拟的大规模量子算法的性能保证，使我们能够与现有经典算法进行基准测试，并寻找量子加速的实例。这种论证方式同时用于DQI和QAOA，是我们探索量子优势的关键工具[8]。

在无穷大尺寸极限下评估QAOA性能的形式体系允许与经典算法进行比较[9]。由于QAOA的性能随算法深度$p$单调提升，常见方法是评估尽可能大的$p$（例如，$p \leq 20$ [9]）下的性能，并与经典算法比较。此类方案的核心挑战在于，评估QAOA性能的计算成本随深度$p$呈指数增长。我们通过识别QAOA态在无穷大尺寸极限下与自旋-玻色系统态之间的等价性，并利用矩阵积态以适中成本模拟后者，克服了这一挑战。我们的技术评估QAOA性能；模拟QAOA电路和采样仍需量子计算机。

QAOA的目标是优化一个关于$n$比特串$z = ( z_{1} , \ldots , z_{n} ) \in \{+1, -1\}^n$的经典目标函数$C(z)$。将该目标函数提升为算符$C$，使得

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