离子阱运动振子量子态的特征函数直接层析

Tue, 30 Jun 2026 00:00:00 +0000

Direct Characteristic-Function Tomography of Quantum States of the Trapped-Ion Motional Oscillator#

离子阱运动振子量子态的特征函数直接层析#

C. Flühmann, J. P. Home

Institute for Quantum Electronics, ETH Zürich · Otto-Stern-Weg 1, 8093 Zürich, Switzerland

Physical Review Letters 125, 043602 (2020)

摘要#

我们实现了囚禁钙离子轴向运动模式量子态的对称特征函数（symmetric characteristic function）的直接读出。通过恰当选择的内态旋转配合基于双色激光场的内态依赖位移，将位移算符的实部或虚部期望值映射到内态上，再通过荧光读出。综合这些测量即可获得对称特征函数的完整信息。我们用一系列典型的量子振子态对该技术进行了表征，包括位移和压缩的高斯态，以及位移压缩态的二分量和三分量叠加态。对每个态，我们讨论了特征函数和 Wigner 相空间准概率分布的相关特征。使用少量测量数据直接重建这些高度非经典的振子态，对于理解和优化量子传感及量子信息中的振子系统控制至关重要。

背景与动机#

量子态重建（quantum state reconstruction）是量子控制诊断和改进的核心环节。随着实验中可控制的态越来越大，重建所需的测量次数成为一个关键问题[1]。玻色系统（机械谐振子、电磁场模式）在量子信息[3,4]、量子传感[5–8]和基础研究[9,10]中扮演着重要角色。它们已被制备成各种量子态——Fock 态、压缩态、位移态[11]及其叠加态[12,13]，其中最具代表性的是两个位移相干态的"薛定谔猫"叠加态[14]。

先前方法的局限：

零差层析（homodyne tomography）[18]：需要大量测量，再通过逆 Radon 变换重建 Wigner 函数
Fock 态布居数提取[6,19–23]：收集大量多余数据（如很多 Fock 态布居数），再压缩为单个宇称值
强色散相互作用下的宇称测量[21]：在某些平台上难以实现[24,25]，且常限制大场态的质量和寿命[26–28]
基态布居数测量：可提取 Q 函数，但不适用于猫态分析（量子干涉效应随位移波包间距指数衰减）[29]

本文的核心思路：直接测量对称特征函数 $\chi(\beta) = \langle \hat{\mathcal{D}}(\beta) \rangle$，一步到位，无需后处理。

核心创新

利用内态依赖位移 + 载波旋转，将 $\hat{\mathcal{D}}(\beta)$ 的实部和虚部直接映射到离子内态的 $\langle \hat{Z} \rangle$ 上读出。相对以往的 Wigner 函数重建方法，数据采集时间减少 20 倍以上。

方法：特征函数直接读出#

对称特征函数#

对称特征函数定义为：

量子主成分分析

Sun, 12 Jul 2026 08:00:00 +0800

量子主成分分析#

Seth Lloyd^1,2*, Masoud Mohseni 和 Patrick Rebentrost

揭示未知量子态性质的常规方法，是在获得该量子态系统多个副本的前提下，测量不同的可观测量并对结果进行统计分析^1,2。对于非稀疏但低秩的量子态，以经典形式揭示特征向量及对应特征值的计算复杂度随系统维度超线性增长^3–6。本文证明，密度矩阵为 $\pmb{\rho}$ 的量子系统的多个副本可用于构造酉变换 $\mathbf{e}^{- i \rho t} .$。因此，可以对未知低秩密度矩阵进行量子主成分分析，以量子形式揭示大特征值对应的特征向量，其速度比任何现有算法快指数级。我们讨论了其在数据分析、过程层析成像和状态区分中的应用。

量子层析成像是发现未知量子态 $\rho$ 特征的过程（参考文献1,2）。量子层析成像是一种广泛使用的工具，在通信系统（如光学信道）、精密测量设备（如原子钟）和量子计算等领域具有重要的实际应用。量子层析成像的基本假设是，在一个 $d$ 维希尔伯特空间中，我们获得了多个 $\dot{} \rho$ 的副本，例如原子钟中原子所处的状态或量子信道的输入和输出。多种测量技术使我们能够提取所需的状态特征。例如，近期发展表明，量子压缩感知在确定未知量子态或动力学方面能提供显著优势，尤其是在该状态或动力学可由低秩或稀疏矩阵表示时^3–5,7,8。矩阵的谱分解根据其特征向量及对应特征值来表示该矩阵。通过舍弃低于给定阈值的特征值及对应特征向量，可以从谱分解构造出矩阵的最优低秩近似。这个过程通常称为主成分分析（PCA），可用于例如构造采样随机向量的半正定对称协方差矩阵的低秩近似^9,10。当面对大量高维向量时，PCA 的成本过高。

传统的量子态层析成像通过对状态的多个副本进行测量来运作：状态扮演的是被动的角色。本文表明，状态在其自身的分析中可以发挥动态作用。特别地，我们证明状态 $\rho$ 的多个副本可用于实现酉算子 $\mathrm{e}^{- i \rho t} \mathrm{:}$ 即，该状态充当能量算子或哈密顿量，对其他状态产生变换。因此，密度矩阵的多个副本可用于以量子形式揭示该矩阵的特征向量和特征值。通过进一步的处理和测量，这种密度矩阵求幂可以为量子层析成像带来显著优势。此外，它使我们能够对未知低秩密度矩阵执行量子 PCA（qPCA），在 O(log d) 的时间内构建对应于状态大特征值的特征向量（主成分），这比现有算法实现了指数级的加速。我们还展示了 qPCA 如何为状态区分和聚类分配提供新方法。

假设我们拥有 $\rho .$ 的 $n$ 个副本。一个简单的技巧使我们能够将酉变换 $\mathrm{e}^{- i \rho t}$ 应用于任意密度矩阵 σ，精度达到 $t$ 的 $n$ 阶。注意

$$ \begin{array} {c c} {{\mathrm{tr}_{P} \mathrm{e}^{- i S \Delta t} \rho \otimes \sigma \mathrm{e}^{i S \Delta t} = ( \cos^{2} \Delta t ) \sigma + ( \sin^{2} \Delta t ) \rho - i \sin \Delta t \cos \Delta t [ \rho , \sigma ]}} \\ {{{}}} & {{{}}} \\ {{{} = \sigma - i \Delta t [ \rho , \sigma ] + O ( \Delta t^{2} )}} & {{( 1}} \end{array}\tag{} $$

这里 tr 表示对第一个变量的偏迹，S 是互换算符。S 是一个稀疏矩阵，其元素能够高效计算，因此 $\mathrm{e}^{- i S \Delta t}$ 可以高效实现^11–14。反复将 (1) 式应用于 n 份 $\rho$ 的副本，可以构造出 $\mathrm{e}^{- i \rho n \Delta t} \sigma \mathrm{e}^{i \rho n \Delta t}$。与量子模拟的铃木–Trotter 理论^11–14 的比较表明，要模拟 $\mathrm{e}^{- i \rho t}$ 达到精度，需要 $n {=} O ( t^{2} \epsilon^{- 1} | \rho - \sigma | ^{2} ) {\leq} O ( t^{2} \epsilon^{- 1} )$ 步，其中 $t = n \Delta t$，$<$sup$>$|$<$/sup$>$ $<$sup$>$|$<$/sup$>$ 表示上确界范数。因此，只需对 $\rho^{\otimes} \sigma$ 反复进行无穷小的互换操作，就能构造出幺正算符 $\mathrm{e}^{- i \rho \bar{t}}$。文献 15 中的量子矩阵求逆技术，则允许我们利用多个密度矩阵 $\rho$ 的副本，对任意简单可计算的函数 $g ( x )$ 高效实现 e^−ig ^(ρ)。

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离子阱运动振子量子态的特征函数直接层析

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