自旋-玻色模型的相干态路径积分

Fri, 10 Jul 2026 00:00:00 +0000

0. 这篇笔记在做什么#

线性自旋-玻色耦合模型是量子耗散、量子光学（Rabi、Jaynes–Cummings）和量子磁性（XXZ spin-boson）的共同框架。它的核心结构可以一句话概括：一个（或少数几个）自旋自由度，通过一个对玻色算符线性的耦合项，与一个自由玻色浴相互作用。

本文范围：下面的推导插入单个自旋相干态 $|z\rangle$，因此严格对应单个自旋或已限制到固定总自旋 $S$ 表示中的集体自旋。多自旋推广需要 $\bigotimes_i|z_i\rangle$ 和相应的多自旋 Berry 项，见第 1.1 节末尾的说明。

对这种模型，有一条在有限时间切片层面严格的化简路线：用玻色相干态和自旋相干态把配分函数写成联合路径积分，然后把所有玻色自由度高斯积掉，得到一个只含自旋相干态变量、但带有长程虚时间相互作用的"有效自旋理论"。在离散时间切片层面，玻色积分归结为有限维复高斯积分；本文的连续时间作用量是该离散结果的记号简写。下文按这条路线完整推导一遍，不做任何模型特殊化；最后再把 $\hat\varrho_\mu$ 分别代入 Rabi、JC、XXZ，看看三类耦合如何给出不同的有效作用量。

为什么这件事值得单独写一篇？因为整条推导只依赖两个条件——$\hat H_{\mathrm b}$ 对玻色场是二次型、$\hat H_{\mathrm{sb}}$ 对 $\hat a_\mu,\hat a_\mu^\dagger$ 是线性的——只要满足这两个条件，浴积分就能解析完成。耦合算符 $\hat\varrho_\mu$ 是否厄米（$\hat\varrho_\mu^\dagger=\hat\varrho$ 还是 $\hat\varrho_\mu^\dagger\neq\hat\varrho_\mu$）是一个方便的一阶判据：它直接决定了玻色传播子能否对称化，进而决定了有效自旋作用量的结构。但模型的差异不止于此——对称性（$\mathbb Z_2$、$U(1)$）、耦合矩阵的秩、谱的红外结构等同样关键，后续各节会逐一展开。

1. 通用模型#

1.1 哈密顿量#

考虑一般的线性自旋-玻色耦合模型

$$ \boxed{ \hat H = \hat H_{\mathrm s} + \sum_\mu \omega_\mu \hat a_\mu^\dagger\hat a_\mu + \sum_\mu \left( \hat a_\mu^\dagger\hat\varrho_\mu + \hat\varrho_\mu^\dagger \hat a_\mu \right) } $$

其中：

$\hat H_{\mathrm s}$ 是只作用于自旋 Hilbert 空间的任意哈密顿量（如 Zeeman 项、自旋间交换）；
$\hat H_{\mathrm b}=\sum_\mu\omega_\mu\hat a_\mu^\dagger\hat a_\mu$ 是自由玻色浴，$\mu$ 可标记离散模式或连续谱指标；
$\hat\varrho_\mu=\hat\varrho_\mu[\hat{\mathbf J}]$ 是只作用于自旋空间、含耦合常数的算符，不要求其为厄米算符。

由于玻色算符与自旋算符作用于不同的 Hilbert 空间，

线性响应理论基础笔记

Wed, 01 Jul 2026 00:00:00 +0000

线性响应理论基础笔记#

0. 这篇笔记要做什么#

线性响应理论（Linear Response Theory, LRT） 是量子统计物理中最优雅也最实用的框架之一。它的核心问题极其简单：

给一个处于平衡态的系统施加一个非常弱的外场，系统会如何响应？

这个问题驱动了 Kubo 公式、涨落耗散定理、格林函数方法等一系列工具的发展。本笔记从大四物理学生的视角出发，假设你学过量子力学和统计物理，但不假设你熟悉多体理论、场论或高级凝聚态。

本文与前人综述的关键区别：不罗列结论，而是展示"每个概念为什么被需要"——从问题出发，逐步构建理论工具。

1. 线性响应理论的出发点：小扰动下系统如何响应#

1.1 核心问题#

想象一个物理系统——可以是一块金属、一个超导量子比特、或者一个分子——初始时处于热平衡。现在施加一个非常弱的外场（电场、磁场、激光……）。你测量某个可观测量的变化时，希望只保留线性于外场强度的项。

这之所以可行，是因为一个深刻的物理事实：

核心假设

微扰足够小 $\Rightarrow$ 系统偏离平衡不远 $\Rightarrow$ 响应与外场强度成正比。非线性的 $O(F^2)$ 项在弱场极限下可忽略。

1.2 为什么要关注"线性"响应？#

三个原因：

普适性：线性响应系数（如电导率 $\sigma$、磁化率 $\chi$）是材料的内禀性质，不依赖于外场的具体细节
可测性：实验中测量的几乎都是线性响应——交流电导率、中子散射截面、核磁共振谱线
理论基础：线性响应是通往非平衡统计力学的门户——理解"系统离平衡不远时如何行为"，是理解更复杂非平衡现象的前提

1.3 经典类比：阻尼谐振子#

在进入量子力学之前，先看一个经典例子。考虑受迫阻尼谐振子：

$$ m\ddot{x} + m\gamma \dot{x} + m\omega_0^2 x = F(t) $$

当 $F(t)$ 很小时，稳态解为 $x(t) = \int_{-\infty}^t \chi(t - t') F(t') dt'$，其中 $\chi(t) = \frac{1}{m\omega_1} e^{-\gamma t/2} \sin(\omega_1 t)$ （$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2/4}$）是响应函数。

谱函数 on Yuunagi Library

自旋-玻色模型的相干态路径积分

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1. 通用模型#

1.1 哈密顿量#

线性响应理论基础笔记

线性响应理论基础笔记#

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1. 线性响应理论的出发点：小扰动下系统如何响应#

1.1 核心问题#

1.2 为什么要关注"线性"响应？#

1.3 经典类比：阻尼谐振子#