自旋-玻色子模型 wormhole QMC 推导笔记

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 +0000

1. What this algorithm solves#

自旋-玻色子模型（spin-boson model）描述一个或少数几个自旋自由度与大量玻色模式的线性耦合。它是量子耗散、量子相变、量子光学（Rabi、Jaynes-Cummings）和量子磁性（XXZ spin-boson）的统一框架。

核心困难：玻色浴的自由度是无限的。微扰论只在弱耦合有效，精确对角化受浴截断限制，张量网络方法在高维或长程关联下代价急剧增长。

wormhole QMC 算法（Weber, PRB 105, 165129, 2022）解决这个问题的方式是：

精确积分掉玻色浴：利用浴是自由玻色子 + 耦合对玻色算符线性的条件，在虚时间路径积分中解析地积掉所有玻色自由度。
得到推迟自旋相互作用：积分后产生一个纯自旋的推迟作用量 $\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}$，包含长程虚时间关联。
对推迟作用量做 QMC 展开：将 $e^{-\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}}$ 展开为幂级数（连续时间相互作用展开，采用 SSE/directed-loop 型局部更新），用 directed-loop / wormhole 更新在扩展配置空间中采样。

输出：有限温度下自旋-玻色子模型的统计力学性质（磁化率、关联函数、相边界）。在 quadratic bath + linear coupling + sign-free 条件下，无微扰近似、无浴截断。

考虑一个 spin-$1/2$ 自由度与玻色浴耦合的系统。自旋算符定义为

$$ \hat{S}_\ell = \frac{1}{2}\hat{\sigma}_\ell, \qquad \ell \in \{x, y, z\}. $$

通用哈密顿量为

$$ \begin{aligned} \hat{H} &= \hat{H}_{\mathrm{s}} + \hat{H}_{\mathrm{b}} + \hat{H}_{\mathrm{sb}}. \end{aligned} $$

自旋哈密顿量 $\hat{H}_{\mathrm{s}}$ 可包含 Zeeman 场、交换作用等纯自旋项，一般形式为