自旋-玻色模型的相干态路径积分

Fri, 10 Jul 2026 00:00:00 +0000

0. 这篇笔记在做什么#

线性自旋-玻色耦合模型是量子耗散、量子光学（Rabi、Jaynes–Cummings）和量子磁性（XXZ spin-boson）的共同框架。它的核心结构可以一句话概括：一个（或少数几个）自旋自由度，通过一个对玻色算符线性的耦合项，与一个自由玻色浴相互作用。

本文范围：下面的推导插入单个自旋相干态 $|z\rangle$，因此严格对应单个自旋或已限制到固定总自旋 $S$ 表示中的集体自旋。多自旋推广需要 $\bigotimes_i|z_i\rangle$ 和相应的多自旋 Berry 项，见第 1.1 节末尾的说明。

对这种模型，有一条在有限时间切片层面严格的化简路线：用玻色相干态和自旋相干态把配分函数写成联合路径积分，然后把所有玻色自由度高斯积掉，得到一个只含自旋相干态变量、但带有长程虚时间相互作用的"有效自旋理论"。在离散时间切片层面，玻色积分归结为有限维复高斯积分；本文的连续时间作用量是该离散结果的记号简写。下文按这条路线完整推导一遍，不做任何模型特殊化；最后再把 $\hat\varrho_\mu$ 分别代入 Rabi、JC、XXZ，看看三类耦合如何给出不同的有效作用量。

为什么这件事值得单独写一篇？因为整条推导只依赖两个条件——$\hat H_{\mathrm b}$ 对玻色场是二次型、$\hat H_{\mathrm{sb}}$ 对 $\hat a_\mu,\hat a_\mu^\dagger$ 是线性的——只要满足这两个条件，浴积分就能解析完成。耦合算符 $\hat\varrho_\mu$ 是否厄米（$\hat\varrho_\mu^\dagger=\hat\varrho$ 还是 $\hat\varrho_\mu^\dagger\neq\hat\varrho_\mu$）是一个方便的一阶判据：它直接决定了玻色传播子能否对称化，进而决定了有效自旋作用量的结构。但模型的差异不止于此——对称性（$\mathbb Z_2$、$U(1)$）、耦合矩阵的秩、谱的红外结构等同样关键，后续各节会逐一展开。

1. 通用模型#

1.1 哈密顿量#

考虑一般的线性自旋-玻色耦合模型

$$ \boxed{ \hat H = \hat H_{\mathrm s} + \sum_\mu \omega_\mu \hat a_\mu^\dagger\hat a_\mu + \sum_\mu \left( \hat a_\mu^\dagger\hat\varrho_\mu + \hat\varrho_\mu^\dagger \hat a_\mu \right) } $$

其中：

$\hat H_{\mathrm s}$ 是只作用于自旋 Hilbert 空间的任意哈密顿量（如 Zeeman 项、自旋间交换）；
$\hat H_{\mathrm b}=\sum_\mu\omega_\mu\hat a_\mu^\dagger\hat a_\mu$ 是自由玻色浴，$\mu$ 可标记离散模式或连续谱指标；
$\hat\varrho_\mu=\hat\varrho_\mu[\hat{\mathbf J}]$ 是只作用于自旋空间、含耦合常数的算符，不要求其为厄米算符。

由于玻色算符与自旋算符作用于不同的 Hilbert 空间，

相干态路径积分的失效：两个简单例子

Fri, 10 Jul 2026 08:00:00 +0800

相干态路径积分的失效：两个简单例子#

Justin H. Wilson¹ 和 Victor Galitski¹

¹Joint Quantum Institute and Condensed Matter Theory Center, Department of Physics, University of Maryland, College Park, Maryland 20742-4111, USA (日期：2014年1月2日)

我们展示了时间连续的相干态路径积分如何在单格点Bose-Hubbard模型和自旋路径积分中失效。具体而言，当哈密顿量是用于构造相干态的代数生成元的二次型时，路径积分无法产生算符方法得出的正确结果。正如前人学者所指出，我们注意到这些问题在路径积分的时间离散化版本中不会出现。

路径积分作为量子力学的另一种表述广为人知，并出现在许多教科书中，作为处理各种量子与统计力学问题的有用计算工具（例如参考文献[1–3]）。自其诞生以来，一直存在一个问题：如何为任何可由配备哈密顿量的希尔伯特空间描述的系统写出路径积分。解决该问题的一种方法就是现在所称的广义相干态路径积分[4, 5]，它推广了谐振子的相干态路径积分。路径积分[2]的关键观察是，给定一个哈密顿量H，传播子 $e^{- i t H}$ 在某个时间t可以分成N个切片 $ ( e^{- i t H / N} )^{N}$ ，并在每个乘法项之间插入一个由连续参数参数化的（过）完备基；广义相干态满足这一条件。如果我们取 $N \infty$ ，就得到时间连续的表述形式。相干态路径积分已在物理学的许多领域得到广泛和常规的应用（参见[6]中收集的众多论文）。

Glauber相干态[7]通常被理解为与谐振子相关的最经典态。它们服从谐振子的经典运动方程，并且是最小不确定态。Perelomov和Gilmore[8, 9]将相干态的定义扩展到海森堡代数（即谐振子代数）以外的李代数。此后，这些"广义"相干态被用于许多应用中（更多内容参见[10, 11]）。特别是，相干态构成一个过完备基（带有连续标记），因此允许单位分解，这是构造路径积分的必要要素。对于谐振子，相干态由一个复数α表示，但对于用su(2)（自旋）构造的相干态，它们是Bloch球面上的点 $S^{2}$。

对于谐振子的情况，众所周知，我们可以轻松地在正规序哈密顿量（所有湮灭算符右移）和相干态路径积分[1]之间进行转换；这是因为相干态是湮灭算符的本征矢。对于一般的相干态路径积分，路径积分中的"经典"哈密顿量仅仅是量子哈密顿量在相干态上的期望值。这一规则产生了一些著名的精确可解情形，但所有这些情形都涉及非相互作用项，这些项本质上在用于构造相干态的代数生成元中是线性的。当哈密顿量包含生成元的非线性项（相互作用）时，这一规则似乎会失效，正如本文所展示的。

路径积分广泛用于发展基于费曼图的微扰展开、非微扰技术（如瞬子方法）以及推导有效理论[2, 3]，但尽管路径积分取得了诸多成功，它们在数学基础上一直非常薄弱（关于这段历史的一个“片段”，可参见[12]）。特别是，自旋相干态路径积分有时会产生（定量上）错误的结果[13–17]，除非采用时间离散化形式[16, 18]。这些与时间连续路径积分相关的问题大多由Stone等人[19]通过识别涨落行列式中的一个反常来解决，该反常为半经典传播子增加了一个额外相位。Kochetov也在更一般的背景下发现了这一相位[20]。此外，Pletyukhov[21]将在谐振子情况下（在最简单的情形下，Weyl ordering对应于将湮灭算符和产生算符对称排序）将自旋路径积分中的额外相位与哈密顿量的Weyl排序联系起来。此外，Weyl排序在Bose-Hubbard情形下已在[22]中考虑过。不幸的是，这一解决方案并不能解释当前所考虑的失效现象。

在这篇短文中，我们概述了时间连续相干态路径积分的另一个问题。该问题体现在两个简单的例子中：(i) 自旋相干态路径积分和(ii) 谐振子相干态路径积分（特别是单格点Bose-Hubbard模型）。单格点Bose-Hubbard哈密顿量是一个最小模型，展示了正规排序路径积分的问题。然而，该问题本身比这里考虑的玩具模型更具一般性，并且显然会存在于更复杂的模型中，包括格点Bose-Hubbard模型。我们使用一种计算配分函数的精确方法（该方法最早由Cabra等人[23]用于自旋情形，其中$H = S_{z}$），并证明在算子正规排序（如大多数教科书所规定）和使用Weyl排序两种情况下，精确结果都与正确的配分函数存在差异（即，它不能由Solari和Kochetov[18, 20]发现并经Stone等人[19]详细阐述的相位反常所解释）。