延迟相互作用的定向回路量子蒙特卡洛方法

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延迟相互作用的定向环量子蒙特卡洛方法#

Manuel Weber, Fakher F. Assaad, 和 Martin Hohenadler

Institut für Theoretische Physik und Astrophysik, Universität Würzburg, 97074 Würzburg, Germany (收稿日期：2017年4月28日；发表于2017年8月31日)

我们将定向环量子蒙特卡洛方法推广到延迟相互作用的情况。通过路径积分，费米子-玻色子或自旋-玻色子模型可以通过解析积分掉玻色子，映射为具有延迟相互作用的作用量。这产生了一种精确算法，它将随机级数展开表示中高效环更新的优势与避免直接采样玻色子的优点相结合。应用于电子-声子模型表明，该方法克服了先前存在的长自相关时间和指数递减接受率等有害问题。例如，由此产生的巨大加速使我们能够研究最多1282个位点链上的Peierls量子相变。

引言——在缺乏强关联量子系统的一般精确解的情况下，高效数值方法的发展是一个核心目标。对于一维情况，密度矩阵重正化群方法[1,2]已成为标准方法。然而，对于更高维度、有限温度或长程相互作用，其效率要低得多，因此量子蒙特卡洛方法通常更具优势。后者为相当一般的一维费米子和自旋哈密顿量提供高精度结果。特别地，在随机级数展开表示中[3]对路径积分进行QMC模拟的计算开销与系统大小$\mathbb{L}$和逆温度$\beta = 1 / k_{B} T$成线性关系。由于使用了簇更新（算子环或定向环）[4–6]，自相关时间较短。虽然通常由于符号问题而局限于1D费米子模型，但此类QMC方法已成功应用于更高维度的自旋[7–9]和玻色子[10,11]模型。

延迟相互作用（即在虚时上非局域）对系统大小、温度和参数施加了显著限制。这类相互作用通常源于与玻色子模式（例如，声子[12,13]或自旋涨落[14]）的耦合，或来自动力学屏蔽[15]。由于此类问题普遍不可积，人们对它们的理解很大程度上来源于数值研究。虽然杂质问题可以非常有效地求解[16]，但格点问题仍然是一个挑战。在DMRG方法中[17–19]，庞大的玻色子希尔伯特空间成为一个限制因素，尤其是在有限温度或动力学性质方面。对于基于SSE的QMC方法[20–26]，缺乏对玻色子的全局更新（除了一种特定形式的自旋-声子耦合[27]），使得模拟效率远低于费米子或自旋的情况。近相变点自相关时间显著增加[21]。极长的自相关时间也影响行列式QMC方法，其中即使是自由玻色子的采样也可能具有挑战性[28]。事实上，对于电子-声子模型，具有$(\beta L)^{3}$标度和局部更新的连续时间相互作用展开QMC方法[29–31]在相同计算成本下为关联函数提供更好的结果[23]。另一方面，定向环方法对于空间长程相互作用仍然有效[32,33]。

在这篇快报中，我们通过在虚时中表述问题、解析地积分掉玻色子，并利用定向环更新来高效地采样由此产生的具有延迟相互作用的问题，从而克服了这些限制。这种新颖方法结合了SSE表示中可用的全局更新和基于作用量的CT-INT方法中可能实现的玻色子解析积分两者的优势。

方法——SSE表示[3]对应于配分函数的高温展开，

$$ Z = \sum_{\alpha} \sum_{n = 0}^{\infty} {\frac{\beta^{n}} {n !}} \sum_{S_{n}} \langle \alpha | \prod_{p = 1}^{n} \hat{H}_{a_{p} , b_{p}} | \alpha \rangle .\tag{1} $$

哈密顿量 $\hat{H}$ 被写成局域算符之和 $\begin{array} {r} {\hat{H} = - \sum_{a , b} \hat{H}_{a , b} ,} \end{array}$，其中 $a$ 指定算符类型，$b$ 指定格点 $i_b$ 和 $j(b)$ 之间的键。展开式 (1) 通过随机方式采样。一个展开阶为 $n$ 的构型对应一个由 $n$ 个算符组成的序列，由索引序列 ${\cal S}_{n} = \{[ a_{1} , b_{1} ] , . . . , [ a_{n} , b_{n} ] \}$ 指定，以及一个来自完备基的态 $\alpha$，在该基中 $\hat{H}$ 无分支，即 $\hat{H}_{a , b} | \alpha \rangle \sim | \alpha^{\prime} \rangle$。如果 $\hat{H}$ 同时包含非对角（$a = 1$）和对角（$a = 2$）算符，则两种更新类型足以实现遍历性。对于对角更新，通常通过插入 $\mathbb{N} − n$ 个单位算符 $( a = 0 )$ 将算符串长度固定为 $\mathbb{N}$。然后，可以顺序遍历 $S_{N}$，并提出更新 $\hat{H}_{0 , b} \hat{H}_{2 , b}$。相应的构型权重直接从传播态 $\begin{array} {r} {| \alpha ( p ) \rangle \sim \prod_{l = 1}^{p} \hat{H}_{a_{l} , b_{l}} | \alpha \rangle} \end{array}$ 获得。

电子-声子耦合 on Yuunagi Library

延迟相互作用的定向回路量子蒙特卡洛方法

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