切比雪夫多项式双重应用：高效寻找多自旋系统数千个中心本征值

Sat, 04 Jul 2026 00:00:00 +0000

切比雪夫多项式方法的双重应用：高效寻找多自旋系统中数千个中心本征值#

关浩宇与张文宪

武汉大学物理科学与技术学院，人工微纳结构教育部重点实验室，湖北武汉 430072

摘要#

计算中间谱段的大量内部本征值是量子多体系统中的一个重要问题，因为能级统计量能提供量子混沌的特征标志。我们提出了一种精确数值方法——切比雪夫多项式双重应用（DACP），可同时寻找数千个中心本征值，其中能级间距随系统尺寸呈指数级减小。为解决近简并问题，我们两次运用切比雪夫多项式：首先构建指数型半圆滤波器作为预处理步骤，然后在目标子空间中生成大量合适的基态。对伊辛自旋链和自旋玻璃碎片的数值计算证明了DACP的正确性和高效性。数值结果表明，对于伊辛自旋链，DACP比当前最先进的移位求逆方法快30倍；对于自旋玻璃碎片则快8倍。与移位求逆方法相比，DACP的计算时间受所需本征值数量的影响很小，这使其成为大规模本征值计算的强大工具。此外，对于包含多达20个自旋的自旋1/2系统，其内存消耗也保持较小的常数值（5.6 GB），因此非常适合并行计算。

第1章引言#

能级统计是量子混沌的基本刻画手段之一[1,2]。可积系统通常表现出能级聚集和能级间距的泊松分布[2]，而混沌系统则表现出能级排斥和维格纳-戴森分布[3]。其他有用的统计工具如$\delta_{3}$统计量[4]和$\delta_{n}$统计量的功率谱也依赖于能级分布[5]。由于一般情况下无法得到解析结果，数值本征值对于精确表征这些能级统计量至关重要。此外，谱中部的单个本征态对应"无穷温度"极限，在研究多体局域化 (MBL) [6–8]中具有重要意义。数值模拟是定量理解MBL问题诸多方面的重要工具。由于关注的多体问题通常涉及巨大的希尔伯特空间，其维度随系统规模呈指数增长，完全对角化哈密顿量或求解含时薛定谔方程相当具有挑战性。因此，寻求在谱的小部分区域求解本征值问题是一种不可避免且理想的替代方案。

为了获得内部本征态，通常采用矩阵光谱学的混合策略[9–11]。该策略旨在计算谱中选定区域的本征态，并将基态求解器与谱滤波器相结合，其中滤波器被设计为将选定的内部区域变换到谱的边缘。在这些滤波器中，格林函数$( \mathscr{H} - \lambda I )^{- 1}$是一种出色的选择。应用格林函数滤波器后，能量$\lambda$附近的本征值簇被映射到非常大的正值和负值。$\lambda$附近的能级间距被放大，从而改善了收敛性。Lanczos方法[12]与此类滤波器结合使用[9,10]，并实现了格林函数的切比雪夫多项式展开[13]。特别地，移位求逆方法[14]本质上利用了这种谱变换，并广泛应用于量子多自旋系统[8,15–18]。此外，它被认为是处理MBL问题最有效的方法[8]。然而，对于大规模系统，由于需要对$( \mathscr{H} - \lambda I )^{- 1}$进行分解，该方法在计算时间和内存消耗上会迅速增长。还提出了其他谱滤波器，包括狄拉克Delta函数滤波器$\delta ( \mathcal{H} - \lambda I )$[19–23]和矩形窗函数滤波器[24]。

其他更高效的方法被提出来计算位于内部谱的大量本征对。特别地，本征值切片库 (EVSL) 在多项式滤波过程中采用狄拉克Delta函数的切比雪夫展开，并与重启的Lanczos算法相结合[21]。类似地，FILTLAN使用 (非重启) Lanczos 和多项式滤波与Krylov投影方法的组合来计算内部和极端本征值[20]。FEAST算法利用著名的柯西积分公式来表达本征投影算子，从而得到一个有理滤波器，然后对其应用子空间迭代[25]。尽管这些方法能够使用分治策略找到数千或数万个本征对，但它们在一个单一能量区间内只能计算几百或一千个本征对。注意，所有上述方法都是迭代的。计算时间大致与所需的本征值数量成正比，即更多的本征值需要更多的滤波和重新正交化[8,20,22]。

在本文中，我们提出了一种精确的数值方法DACP，用于计算能带中部的数千个本征值，这足以揭示能级统计[26,27]。对于自旋系统，这样的中部区域通常对应态密度的峰值，在此处能级近乎简并。在不分解$\mathcal{H}^{- 1}$的情况下区分这些近乎简并的本征值极具挑战性。在DACP方法中，我们首次利用切比雪夫多项式构造了一个半圆指数 (exp-semicircle) 滤波器，以快速抑制谱中不需要的部分。切比雪夫多项式的第二次应用是快速搜索一组张成特定子空间的状态，该子空间包含所有所需的本征态。结合这两个步骤，DACP方法本质上将原始的高维本征值问题转化为低维本征值问题。与多次迭代滤波不同，DACP方法仅通过单次滤波就能直接产生结果。

对于多自旋系统中的实际问题，DACP方法非常高效，因为它充分利用了切比雪夫多项式的几个优良特性，而其他方法仅利用了其中一部分。对于一大类多自旋系统，与移位求逆方法相比，DACP方法的计算速度显著提高，可达30倍。内存节省更为显著，可达100倍。此外，DACP方法区别于那些迭代滤波方法，因为当所需本征值数量在大范围内变化时，其收敛时间变化不大。

本文的组织结构如下。第2节详细描述了DACP方法的完整形式，包括指数半圆滤波、切比雪夫演化和子空间对角化。每个过程都依赖于切比雪夫多项式的一个特定性质，这使得DACP有别于其他滤波方法。在第3节中，我们使用DACP计算了两个多自旋系统——伊辛模型和自旋玻璃碎片的内部本征值，并给出了数值结果。我们在第4节中将DACP与其他方法进行了比较，并在第5节进行了总结。

2 切比雪夫多项式的双重应用#

为了获取大型自旋系统的中心本征值，我们自然受到无矩阵模式的限制，即哈密顿量的矩阵不能被显式地表示或存储。相反，我们将哈密顿量 $\mathcal{H}$ 视为一个算子，其输入和输出是态/向量。因此，我们仅对一组量子态进行操作：

$$ \left\{| \psi \rangle , \mathcal{H} | \psi \rangle , \mathcal{H}^{2} | \psi \rangle , \dots , \mathcal{H}^{k} | \psi \rangle \right\},\tag{1} $$

其中 $k$ 是一个正整数，原始希尔伯特空间的维度最高可达 $5 \times 10^{5}$。需要注意的是，每个“矩阵-向量乘积” $\mathcal{H} \left| \psi \right.$ 作为一个基本操作，消耗大量时间但仅需少量内存。而且，如第2.3节所述，我们甚至不一定需要存储方程(1)中的态。因此，DACP对内存的要求非常小。通常，我们希望同时找到大量中心本征值。在本手稿中，我们的目标是精确找出多自旋系统能谱中部的5,000个本征值，以此作为示例。

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切比雪夫多项式双重应用：高效寻找多自旋系统数千个中心本征值

切比雪夫多项式方法的双重应用：高效寻找多自旋系统中数千个中心本征值#

摘要#

第1章 引言#

2 切比雪夫多项式的双重应用#

第1章引言#