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量子蒙特卡洛方法：晶格模型算法

Wed, 08 Jul 2026 00:00:00 +0000

量子蒙特卡洛方法

晶格模型算法

J.E. Gubernatis · N. Kawashima · P. Werner

目录#

前言 › 第一部分 · 蒙特卡洛基础蒙特卡洛方法基础：概率概念、随机抽样、马尔可夫链、Metropolis 算法、数据分析和经典多体系统。 › 第1章 · 引言 › 第2章 · 蒙特卡洛基础 › 第3章 · 数据分析 › 第4章 · 经典多体问题的蒙特卡洛方法 › 第5章 · 量子蒙特卡洛入门 › 第二部分 · 有限温度有限温度量子蒙特卡洛：量子自旋算法、行列式方法、连续时间杂质求解器。 › 第6章 · 有限温度量子自旋算法 › 第7章 · 行列式方法 › 第8章 · 连续时间杂质求解器 › 第三部分 · 零温度零温度方法：变分蒙特卡洛、幂方法、费米子基态方法。 › 第9章 · 变分蒙特卡洛 › 第10章 · 幂方法 › 第11章 · 费米子基态方法 › 第四部分 · 其他主题解析延拓、并行化、附录——实用工具与进阶主题。 › 第12章 · 解析延拓 › 第13章 · 并行化 › 附录全书附录 A-O › 参考文献全书参考文献 › 索引全书术语索引 ›

张量网络算法：路线图

Sun, 05 Jul 2026 00:00:00 +0000

张量网络算法：路线图#

Mari Carmen Bañuls¹,²

¹ 马克斯·普朗克量子光学研究所，Hans-Kopfermann-Str.1，德国加兴，D-85748；邮箱：mari.banuls@mpq.mpg.de

² 慕尼黑量子科学与技术中心（MCQST），Schellingstr. 4，德国慕尼黑，D-80799

张量网络为研究复杂的经典和量子多体问题提供了极其强大的工具。过去二十年间，技术和应用的数量持续增长，尤其是最近十年，新思想和成果层出不穷，这可能会让新手感到不知所措。这篇简短的综述介绍了基本概念、最成熟的方法以及一些正在拓展张量网络潜力边界的最重要的算法发展。目标是帮助读者不仅理解张量网络提供的众多可能性，而且能够找到通过最先进的代码、其适用性以及一些正在进行的研究方向的路径。

目录#

I. 引言 1

II. 基本概念 2

A. 张量网络态 2 B. 基本原语 3 C. 经典算法 4

III. 先进 TNS 方法 6

A. 更高维度 6 B. 对称性 7 C. 费米子 8 D. 动力学 9 E. 激发态 9

IV. 进一步的 TN 方法及展望 10

A. 网络重整化方法 10 B. 与其他技术的联系 10

V. 展望 11

致谢 11

I. 引言#

数值方法是处理量子多体系统的重要工具，而大多数此类系统缺乏解析解。然而，对于这些问题，维度——以及随之而来的计算复杂度——随着系统尺寸呈指数增长。

这限制了精确数值计算的适用性，并要求开发能够有效处理至少最相关物理问题的数值方法。张量网络（TN）技术于九十年代被引入该领域，旨在满足这一需求，如今它已与精确对角化和量子蒙特卡洛方法一起，成为数值研究量子多体问题的关键工具。

张量网络在不同的学科中被独立发现。最初由 Baxter [1] 在统计物理学中揭示，在量子多体物理学领域，其渊源可以追溯到 Affleck、Kennedy、Lieb 和 Tasaki [2] 提出的第一个价键固体（VBS），作为短程自旋链的精确基态——综述和历史视角见 [3]。Klümper 等人 [4] 后来将 AKLT 提议扩展到更大的模型集合，并引入了矩阵乘积这一术语来指代这些态。Fannes、Nachtergaele 和 Werner [5] 在无限自旋链的有限关联态中对此构造进行了数学上的概括和形式化。

长程相互作用晶格系统 Metropolis Monte Carlo 模拟的高效预决策方案

Mon, 13 Jul 2026 00:12:16 +0800

长程相互作用晶格系统Metropolis蒙特卡洛模拟的高效预决策方案#

Fabio Müller^* 和 Wolfhard Janke^†

莱比锡大学理论物理研究所，IPF 231101，德国莱比锡 04081

（2025年10月2日收稿；2026年2月17日修订；2026年4月10日接受；2026年6月2日发表）

我们提出了一种快速且通用的预决策方案，用于具有$\mathbb{N}$个组分的$d$维长程相互作用晶格模型的Metropolis蒙特卡洛模拟。对于形式为$V(r) = r^{-d - \sigma}$的势能，该方法将计算复杂度从$O(N^{2})$分别降低到$O(N^{2 - \sigma / d})$（当$\sigma < d$时）和$O(N)$（当$\sigma > d$时）。该算法已在多个${\mathrm{O}}(n)$自旋模型上实现并测试，范围从Ising模型到XY模型，再到Edwards-Anderson自旋玻璃模型。使用相同的随机数序列时，该算法能够产生与精确求和哈密顿量中所有项进行模拟完全相同的马尔可夫链。由于其通用性、简单性以及降低的计算复杂度，该算法有望得到广泛应用，从而促进对长程相互作用在晶格模型物理学中作用的深入理解，特别是在非平衡情境下。

Metropolis蒙特卡洛算法[1]可被视为研究晶格系统的主力工具，既能研究平衡性质，也能研究非平衡过程。一大类模型是${\mathrm{O}}(n)$矢量自旋模型，其各种定义能够捕捉从一级和二级相变到无限级Berezinskii-Kosterlitz-Thouless型相变乃至玻璃态行为等不同的物理现象。从非平衡视角来看，也存在一系列广泛的不同过程，这些过程可以通过Metropolis算法进行研究，并在近期引起了显著关注，例如场驱动滞后[2,3]、相序[4,5]、Kibble-Zurek机制[6]、Mpemba效应[7]等。从计算角度看，这些物理方面的研究通常局限于短程相互作用系统，因为传统上对具有$\mathbb{N}$个组分的长程相互作用系统进行模拟，其复杂度为$O(N^{2})$。这一事实严重阻碍了模拟研究，直到最近算法上的进展才缓解了这一问题，从而引发了对长程相互作用系统非平衡物理学的新一波重要见解[8-14]。这一发展的一个关键基石是我们近期提出的快速层级Metropolis算法[15]，然而该算法伴随相当高的技术开销，构成了其广泛采用的障碍。

在本快报中，我们提出了一种新的、更精简的算法。与快速层级算法[15]相反，它甚至适用于相互作用中存在随机符号的系统。在实现的技术要求方面，新算法与传统Metropolis算法相当，同时仍能显著降低计算复杂度。由于该算法使用相同的随机数序列，能够精确复现与精确评估能量值的Metropolis算法完全相同的马尔可夫链，因此所有关于所研究系统的现有物理知识都可以一对一地沿用。虽然这一特性使其在研究非平衡过程时特别有用，但该算法同样可以应用于平衡系统。复现Metropolis动力学的特性、实现的简单性以及随之而来的计算负担的巨大减少，使其成为广泛研究植根于长程相互作用系统的各种现象的一个非常有前景的候选方案。

作为原型模型，我们考虑长程O$(n)$自旋模型的三种不同变体，它们的哈密顿量形式相同：

$$ \mathcal{H} = - \frac{1}{2} \sum_{i} \sum_{j \neq i} J_{i,j} \mathbf{s}_{i} \mathbf{s}_{j}, \tag{1} $$

其中自旋 $\mathbf{s}_{i}$ 是 $n$ 维单位向量，当 $n = 1$ 时对应伊辛模型。相互作用由下式给出

$$ | J_{i , j} | = r ( i , j )^{- d - \sigma} ,\tag{2} $$

其中 $r ( i , j )$ 表示 $\mathbf{s}_{i}$ 与 $\mathbf{s}_{j}$ 之间的欧几里得距离，$d$ 是空间维度，$\sigma > 0$ 是可调参数，决定了相互作用的衰减速率。取绝对值 $|J_{i , j}|$ 是为了考虑反铁磁相互作用的可能性——例如出现在我们作为一个示例考虑的长程 Edwards-Anderson 自旋玻璃模型中。与我们的文献 [15] 一样，我们使用 $N = L^{d}$ 个自旋的超立方晶格，并采用 Ewald 求和 [16] 实现周期性边界条件，从而得到一组修改后的耦合参数，该参数在模拟开始时一次性确定，之后与简单的最小像约定结合使用。