自旋玻色模型的「压缩极化子」变分波函数

Sun, 12 Jul 2026 08:00:00 +0800

自旋玻色子模型的“压缩极化子”变分波函数#

Diego Barberena ^∗ 和 Nigel Cooper

T.C.M. Group, Cavendish Laboratory, University of Cambridge, J.J. Thomson Avenue, Cambridge CB3 0US, UK (日期：2026年7月9日)

亚欧姆自旋玻色子模型的局域化相变会产生玻色子浴关联，这些关联在低频下对于标准相干态极化子变分尝试函数而言是解析不可达的。本文我们引入了一个“压缩极化子”波函数，该函数包含了由自旋杂质诱导的通用高斯型玻色子-玻色子关联。这给出了浴观测量在局域化相变附近正确的临界幂律标度，同时系统地改进了基态能量，并更精确地确定了临界耦合强度。我们的波函数在深亚欧姆区域捕捉到了相变正确的平均场性质。在浅亚欧姆区域，它还展示了非平均场临界指数。以压缩极化子为起点，我们推导了玻色子的散射相移，并展示了它们如何编码在局域化相变处消失的涌现能量尺度。

引言：自旋玻色子模型[1, 2]是量子耗散的标志性模型，描述了单个两能级系统与玻色子模式环境浴之间的相互作用。因此，它为研究广泛参数范围内（包括以浴诱导记忆效应[3, 4]和强系统-环境耦合[5, 6]为特征的区域）的退相干和弛豫等现象提供了一个最小设置。该模型也具有实验相关性，既是例如多种系统中耗散量子隧穿[7–10]的有效描述，也是量子模拟工作的目标[11, 12]。

尽管其组成简单，自旋玻色子模型却展现出丰富的现象学。在其基态中，它可以表现出二级量子相变[13, 14]。通过增加两能级系统与其环境之间的耦合（由谱函数 $J ( \omega ) \propto \alpha \omega^{s}$ 参数化）可以到达这个相变。除了整体相互作用强度 $\alpha$ 外，$J ( \omega )$ 还依赖于指数 s，它控制最低频模式与两能级系统相互作用的强弱。当 $s \leq 1$（亚欧姆区域）且 α 较小时，基态是唯一的，两能级系统磁化强度为零，产生“退局域化”相。在较大的 α 下，系统进入一个具有两个简并基态的“局域化”相，其中两能级系统具有相反的磁化强度，低频玻色子具有无限占据。由于模型简单，该相变已使用多种数值技术得到了广泛研究[15–19]。

该模型也使用解析方法进行了研究[17, 20]。特别是，变分原理在捕捉自旋玻色子基态的关键物理方面非常成功。极化子尝试函数[21–23]，其中两能级系统的自旋向上和向下态各自被有限数量的叠加玻色子相干态（即“极化子”）所修饰，有效地包含了自旋-浴关联。此外，它们还作为旨在捕捉基态其他预期特征的改进的起点[24–27]，是更详尽数值方法的基础[28]，并且对于研究散射[29–31]、直接驱动[32]、量子态制备[33]等动力学过程也很有用。同时，有限数量的相干态极化子无法[18]准确捕捉在局域化相变附近最低频玻色子之间发展起来的玻色子-玻色子关联。

在本文中，我们用一种允许通用高斯玻色子-玻色子关联的ansatz替代了相干态极化子ansatz。此前，这类关联仅在欧姆极限（s = 1）下通过数值方法被考虑过[34]。我们找到了两个解分支，分别对应局域化相和退局域化相。我们解析地证明了退局域化分支在玻色子可观测量上展现出正确的低能标度律[18]。此外，由我们的波函数推导出的临界耦合值接近于通过数值精确方法获得的值，并且在$s \lesssim 0.4$时，与自旋周围玻色子云的激发变为无带隙时的耦合值一致。该模型还为物理可观测量提供了更好的精度，特别是在浅亚欧姆区间$(0.5 < s < 1)$。有趣的是，在退局域化分支中，当s从深亚欧姆区域$(0 < s < 0.5)$移动到浅亚欧姆区域时，我们的“压缩”极化子也反映了从平均场行为到非平均场行为的变化，尽管我们在后者中发现的临界指数数值上并不精确，并且它们出现在局域化分支能量更低的参数区域。在论文结尾，我们预测了玻色子在压缩极化子背景下的散射特性。通过在宽频率范围内分析这些特征，我们展示了如何利用环境探针来提取关于系统的更深层信息。

模型：自旋-玻色子模型由以下哈密顿量定义：

$$ \hat{H} = \Delta \hat{s}_{x} + \sum_{\beta} g_{\beta} ( \hat{a}_{\beta} + \hat{a}_{\beta}^{\dagger} ) \hat{s}_{z} + \sum_{\beta} \omega_{\beta} \hat{a}_{\beta}^{\dagger} \hat{a}_{\beta} ,\tag{1} $$

其中$\hat{s}_{x , y , z} ~ = ~ \hat{\sigma}_{x , y , z} / 2$，而$\hat{\sigma}_{x , y , z}$是标准的

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