耗散 Jaynes-Cummings 模型中的几何相位：共振鲁棒性的理论解释

耗散Jaynes-Cummings模型中的几何相位：共振鲁棒性的理论解释#

Ludmila Viotti

Departamento de Física Juan José Giambiagi, FCEyN UBA Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,

Ciudad Universitaria, Pabellón I, 1428 Buenos Aires, Argentina. and

The Abdus Salam International Center for Theoretical Physics, Strada Costiera 11, 34151 Trieste, Italy

Fernando C. Lombardo and Paula I. Villar

Instituto de Física de Buenos Aires (IFIBA), CONICET- and

Departamento de Física Juan José Giambiagi, FCEyN UBA Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,

Ciudad Universitaria, Pabellón I, 1428 Buenos Aires, Argentina.

(日期：2022年2月25日)

我们采用广义运动学方法来计算幺正和耗散Jaynes-Cummings模型中获取的几何相位，这两个模型分别提供了两能级系统与（腔）电磁场单模在完美腔或耗散腔中相互作用的完整量子描述。在耗散模型中，非幺正效应源于光子通过腔壁的外流以及两能级系统的非相干泵浦。我们的方法能够比较这些模型中获取的几何相位，从而对由环境存在引入的修正进行详尽表征。我们还为观察到的行为提供了几何解释。当满足共振条件时，我们展示了几何相位具有鲁棒性，在非幺正演化下表现出可忽略的修正。这一事实也通过几何解释得到了支持。

I. 引言#

量子系统状态获取的几何相位在理论上由Berry在绝热、循环、幺正演化的背景下发现[1]。此后，它被推广到非绝热循环、非循环甚至非幺正演化[2–9]。随着更多条件的满足，所有这些推广都简化为相应的、较少普适性的结果。几何相位也被证明是量子运动学的结果，并可依据仅依赖于希尔伯特空间几何的平行移动定律来解释，因此得名[10]。正如大量现有文献所反映的，几何相位不仅成为推断量子系统基本特征的富有成效的研究方向，而且具有技术应用价值。例如，由于其对耦合浴场涨落的鲁棒性，它被提议作为量子信息系统中构建相位门[11–18]的重要资源。

文献[8]提出了非幺正演化下混合态几何相位的恰当推广。这一定义已被用于测量非幺正演化中几何相位的修正[19]，以及解释噪声对超导量子比特中几何相位观测的影响[20, 21]。特别是，在外部环境影响下的两能级系统的几何相位已在多种场景中得到研究[22]。它还被用于追踪量子摩擦的痕迹，无论是在原子与标量量子场耦合这一极为简化的解析模型中，还是在原子以恒定速度在金属表面前运动的实验可行方案中[23–25]。

开放量子系统状态累积的几何相位无疑将与相应封闭系统累积的几何相位不同，因为现在演化受到非幺正效应（如退相干和耗散）的影响。通常认为，量子系统的耦合修正了幺正几何相位，即$\phi_{g} = \phi_{g}^{u} + \delta \phi$，其中δφ与系统和环境的耦合成正比。在适当条件下，这些修正可以通过干涉（原子干涉）[26, 27]、自旋回波[20]和核磁共振[19, 28]实验进行测量。

量子拉比模型描述了一个两能级原子与电磁（腔）场之间的偶极相互作用，是广泛应用于量子光学、量子信息科学乃至凝聚态物理等多个研究领域的典范模型。在采用旋转波近似（RWA）后，可以得到杰恩斯-卡明斯（JC）模型，该模型于1963年首次被用于研究光子数明确场下的自发发射特性，并揭示了原子激发概率中的拉比振荡现象。它可被视为成功解释辐射与物质相互作用的最简单基本模型。尽管该模型极为简洁且可解析求解，但它成功解释了迄今众多腔电动力学实验以及近期关于超导量子比特的实验结果。此外，近年来研究者还从不同角度对相干模型和耗散模型的进一步推广进行了探讨[29–31]。

JC模型和量子拉比模型中的几何相位已在理论[26, 32–34]和实验[35]方面得到相当深入的研究。多数工作聚焦于绝热演化背景，计算与外部磁场相互作用的自旋1/2粒子的瞬态本征态所获取的真空诱导贝里相位，同时该磁场方向以循环方式缓慢变化。在文献[26]中，作者将原始模型推广至全量子对应形式，以量子化场替代经典驱动场，同时保留了循环条件和绝热条件。

在本文中，我们将深入研究了耗散 JC 模型中获得的几何相位（GP），其中二能级系统（TLS）与量子化电磁场的单模在一个耗散腔中相互作用。我们假设原子-模式系统与其环境之间的相互作用由通过腔镜的光子流以及对 TLS 的连续非相干泵浦所描述。这是半导体腔量子电动力学中的常见场景[36]。为了能够将该模型中涌现的几何相位与幺正演化中累积的几何相位进行比较，我们需要建立一种既能计算由 JC 哈密顿量引起的时间演化中的几何相位，又能直接推广到非幺正演化的方法。正是 Mukunda 和 Simon 的运动学方法[37]——用于计算系统在幺正但其他方面一般演化条件下的几何相位——使我们能够解决这个问题。这一方案的完成借助了之前提到的由 Tong 等人[8]提出的、对几何相位的一致性推广。

本文组织如下。在第二节中，我们详细展示了幺正情况下几何相位的计算。为此，在第二A节中我们回顾了通常的处理方法，计算了当系统由相移算符驱动时所积累的 Berry 相位。为了计算时间演化中获得的几何相位，我们随后引入了一种不同的广义方法，即由 Mukunda 和 Simon 提出的运动学方法[37]。这种广义几何相位将在第二B节中呈现并应用。在第三节中，我们介绍了 JC 系统的耗散模型，以及控制其动力学的主方程。我们将数值研究系统的演化以及退相干过程，这体现在由不同参数值构成的不同条件下约化密度矩阵的相干性衰减中。在本节中，我们研究了非幺正情况下的几何相位，并将其与幺正演化中获得的几何相位进行了比较。最后，在第四节中，我们总结结论。

II. 幺正 Jaynes-Cummings 模型#

量子拉比模型描述了一个两能级原子与电磁（腔）场之间最简单的相互作用，是一个典范模型，广泛应用于量子光学、量子信息科学和凝聚态物理学等多个研究领域。其哈密顿量由下式给出

其中 $\epsilon$ 和 $\omega$ 分别是二能级系统和腔模的自然频率，$\sigma_{x,y,z}$ 是作用在原子两个内态 $| g \rangle$ 和 $| e \rangle$ 上的常用泡利矩阵，$\hat{a}$（$\hat{a}^{\dagger}$）是光子湮灭（产生）算符，而 $\lambda$ 是系统与场之间的有效耦合强度，取为实数。因此，在近共振条件（$\epsilon \approx \omega$）下，且若 $\lambda$ 远小于系统的自然频率，则 RWA 是合理的，此时相互作用哈密顿量由所谓的 JC 哈密顿量给出

其中 $\sigma_{\pm} = ( \hat{\sigma}_{x} \pm \mathrm{i} \hat{\sigma}_{y} ) / 2$ 是原子的升、降算符。

通常对 $\hat{H}_{\mathrm{JC}}$ 进行如下的幺正变换 $\hat{K}$ [38]

于是，新的 JC 哈密顿量由下式给出

其中 $\Delta = \epsilon - \omega$ 表示原子-场失谐。共振条件意味着 $\Delta = 0$。在本文中，我们将计算限制在由基底 $\boldsymbol{B} = \left\{\left| e , n \right. , \left| g , n + 1 \right. \right\}$ 生成的子空间。在这种情况下，式 (4) 哈密顿量的本征值和本征态分别由下式给出

和

其中 $\cos \theta_{n} = \Delta / \sqrt{4 \lambda^{2} ( n + 1 ) + \Delta^{2}}$。值得一提的是，若满足共振条件 $\Delta = 0$，系统的本征能量简化为 $E_{\pm}^{( n ) , \Delta = 0} =$ $\pm{\sqrt{n + 1}} \lambda$，相应的本征态对应于贝尔态

我们将在本文后续部分再次讨论此问题。

A. Berry 相位#

Fuentes-Guridi 等人 [26] 的开创性工作以及后续的一系列工作 [35, 38, 39] 表明，在孤立（幺正）情形下，当系统经历绝热相位变换时，即使在真空场态中，其本征态也会获得非平凡的 Berry 相位。对哈密顿量 $\hat{H}$ 进行幺正变换 ${\hat{R}} ( \varphi ) =$ exp $\lceil - i \varphi \hat{a}^{\dagger} \hat{a} \rceil$，我们得到 ${\hat{H}} ( \varphi )$

其中 $\hat{R} ( \varphi )$ 是场的相移算符，$\varphi$ 是一个外部控制参数。${\hat{H}} ( \varphi )$ 的本征态 $| \Phi_{n}^{\pm} ( \varphi ) \rangle$ 可通过 $| \Phi_{n}^{\pm} ( \varphi ) \rangle = \hat{R} ( \varphi ) | \Phi_{n}^{\pm} \rangle$ 得到，其中 $\vert \Phi_{n}^{\pm} \rangle$ 是 $\hat{H}$ 的本征态。将 $\varphi$ 从 0 缓慢变化到 2π，

其中对于 $n = 0$ 相位是非平凡的，这意味着即使是场的真空态也会对 Berry 相位引入修正。至于对原子-模式失谐的依赖关系，值得注意的是，在共振（$\Delta = 0$）情况下，演化被限制在以下形式的态

对应于两能级系统对的最大纠缠态。在这种情况下，已有研究证明该双粒子系统会获得一个明确的 π 相位 [40–42]。

B. 时间积累的几何相位与运动学方法#

为了将来通过比较两种情况下获取的几何相位来对比系统的幺正动力学与耗散动力学，我们现在转向一种比贝里相位更通用的几何相位研究方法。采用此方法的主要原因在于，需要研究由 $\hat{H}_{\mathrm{JC}}$ 支配的时间演化过程中所获取的相位，而若遵循贝里方法，在态 $| \Phi_{n}^{\pm} \rangle$ 上并不会积累任何几何相位。

我们采用 Mukunda 与 Simon 的运动学方法[37]来研究由 $\hat{H}_{\mathrm{JC}}$ 生成的演化中产生的几何相位。在该方法中，与态空间中一般开曲线相关联的几何相位以一种规范不变且重参数化不变的方式定义，因此是量子运动学的自然推论。我们首先简要介绍该形式体系，随后将其应用于所研究的系统。

设 H 为适用于描述某个量子系统的希尔伯特空间，$\mathcal{H}_{0}$ 为 $\mathcal{H}$ 中包含所有单位向量的子空间。元素 $\{| \psi \rangle \in \mathcal{H}_{0} \}$ 之间的等价关系 $| \psi \rangle \sim | \bar{\psi}^{\prime} \rangle = e^{\mathrm{i} \alpha} | \psi \rangle$ 有利于定义射线空间 $\mathcal{R}_{0} ~ = ~ \mathcal{H}_{0} / U ( 1 )$，其中 $\mathcal{R}_{0}$ 的每个元素代表一个物理上不同的态。对于两能级系统，该射线空间被称为布洛赫球，如图1所示。随着系统演化，其态可能在射线空间上描绘出一条曲线 C，该曲线可以提升为希尔伯特空间中的一条曲线 $\mathcal{C} = \{| \psi ( t ) \rangle \in \mathcal{H}_{0} \ | \ t \in [ t_{1} , t_{2} ] \subset \mathrm{R} \}$。由于 $\mathcal{H}_{\mathrm{0}}$ 与 $\mathcal{R}_{0}$ 的元素之间并非一一对应，因此对应于同一条路径 C 可能存在许多可能的提升曲线 C。图1也展示了这种提升的多样性。

图1：射线空间 $\mathcal{R}_{0} ~ =$ $\mathcal{H}_{0} / U ( 1 )$ 的示意图，该空间由等价希尔伯特空间向量类构成。系统在 $\mathcal{R}_{0}$ 上的物理态所描述的曲线 C 因此可以有多种不同的提升进入单位向量空间 $\mathcal{H}_{0}$

与射线空间中曲线 C 相关联的几何相位可以表示为希尔伯特空间向量的某种提升的形式：

其中，式(11)右端每一项都依赖于提升的希尔伯特空间向量集{|ψ(t)i}的具体选择，而组合项则仅取决于C [43]。有必要指出，在上述推广中，若满足更强的条件，则此前所有结果均可恢复。例如，容易证明，对于循环演化，$\phi_{g} [ \mathrm{C} ]$ 退化为Aharonov-Anandan公式[2]；对于绝热循环演化，则退化为Berry相位。

如前所述，若系统被制备在本征态 $\mathinner{| {\dot{\Phi}_{n}^{\pm}} \rangle}$ 中并按 $\hat{H}$ 演化，则其后时刻的状态 $e^{\pm i E_{+} t} | \Phi_{n}^{\pm} \rangle$ 将由布洛赫球上的一个点表示，且不积累几何相位。但由于射线空间中的任意路径均可考察，因此允许计算任意状态所获得的GP。特别地，可以考虑那些并非 $\hat{H}_{\mathrm{JC}}$ 瞬时本征态的状态。另一方面，若我们考虑初始态为 $| \psi (0) \rangle = | e , n \rangle$，则可发现时间演化导致的状态为

该式描述布洛赫球上的一条曲线，并积累相位

这里 $\tau = 2 \pi / \Omega_{n}$ 是由原子-模系统的拉比频率 $\Omega_{n} = \sqrt{\Delta^{2} + 4 \lambda^{2} ( n + 1 )}$ 定义的周期，硬方括号[·]表示取整数部分。值得关注的是，当 $t = \tau$ 时，积累的几何相位为

与式(9)给出的通常结果在相差一个负号的意义上的一致性，可以通过比较每次演化在布洛赫球上描述的曲线来解释，如图2所示。图2.a展示了系统状态 $\left| \Phi_{0}^{+} \bar{( \varphi )} \right.$ 的轨迹，该系统的初始状态为本征态 $\left| \psi ( 0 ) \right. = \left| \Phi_{0}^{+} \right.$，并在场的相移算符 $\hat{R} ( \varphi )$ 作用下演化。在这种众所周知的情形下，状态描述的是纬线圆，在共振情况下对应于赤道。图2.b展示了状态 $| \psi ( t ) \rangle$ 的曲线，该系统初始制备在状态 $| \psi ( 0 ) \rangle = | e , 0_{c} \rangle$，并根据 $H_{\mathrm{JC}}$ 演化。在这种情况下，系统的状态描述了包含北极的圆弧，北极代表状态 $| e , 0_{c} \rangle$。可以看出，对于每个 $\Delta / \lambda$ 值，每次演化中描述的曲线都通过一个刚性旋转再跟随一个反射相关联。布洛赫球的旋转对应于可以通过作用于希尔伯特空间的幺正算符实现的等距变换。由于此旋转适用于整个曲线C，因此它可以被一个保持几何相位不变的幺正静态变换描述。另一方面，反射是可以通过反幺正提升到希尔伯特空间实现的等距变换，并且会反转几何相位[37, 44]。此外，如果我们特别关注共振情况，从以上解释可以看出，$| \psi ( t ) \rangle$ 的时间演化被限制在 $\mathcal{H}_{\mathrm{0}}$ 的一个子空间中，该子空间通过上述幺正静态算符与式(10)关联，因此它很可能获得相同的相位（相差一个负号）。

图2：系统状态对于不同 $\Delta / \lambda$ 值所描述的轨迹：(a) 对应于本征态 $\left| \Phi_{0}^{+} \right.$ 在相移算符作用下的演化，而 (b) 对应于 $| e , 0 \rangle$ 根据 $H_{\mathrm{JC}}$ 的演化

III. 系统的非幺正演化#

在腔量子电动力学中，耗散的主要来源是光子通过腔镜壁的泄漏。耗散和退相干的第二个来源是两能级系统的泵浦，这是一种通常被忽略的常见情况。我们将处理零温度下两能级原子-腔系统中耗散和退相干过程的描述问题，通过一个唯象的主方程考虑这两种耗散机制[29]。在Lindblad形式下，方程为

其中 $\gamma$ 是光子从腔中泄漏的速率，$p$ 是连续泵浦的振幅。$\rho ( t )$ 的显式唯象方程由下式给出

将在低泵浦条件（$p \ll \lambda , \gamma$）下进行研究。

根据 $\lambda$ 与 $\gamma$ 之间的关系，存在两个明显不同的区域 [45–49]。第一个区域称为强耦合 (SC) 区域，其特征是相互作用常数大于系统耗散率（$\lambda > \gamma$）。第二个区域称为弱耦合 (WC) 区域，情况正好相反，即相互作用常数小于系统耗散率（$\lambda < \gamma$）。需要强调的是，在考虑二分系统的酉理论中，弱耦合和强耦合的最自然定义将取决于描述子系统间耦合的常数（对我们而言是 $\lambda$）与表征单个系统内部动力学的量之间的比值。然而，在本文中，我们考虑的复合系统受到耗散效应的影响，这些耗散源于两个独立子系统与环境的相互作用。在研究这类模型时，通常使用上述方式来命名出现的区域。为了描述这些区域中的任何一个，我们假设原子可以处于基态 $\bar{|} g \rangle$ 或激发态 $| e \rangle$，而腔光子场可以有零个 $\left| 0_{c} \right.$ 或一个光子 $\left| 1_{c} \right.$。因此，原子-腔系统由裸态描述：$| 0 \rangle = | g , 0_{c} \rangle$，$| 1 \rangle = | e , 0_{c} \rangle$，以及 $\left| 2 \right. = \left| g , 1_{c} \right.$。具体计算方程（16）的每一项，描述动力学的方程组为：

其中 $\rho_{ji} = \rho_{ij}^{*}$。

由于元素 $\rho_{01}$ 和 $\rho_{02}$ 与其他元素解耦，方程（17）的任何解 $\rho ( t )$，若其初始条件暗含 $\rho_{0 i} ( 0 ) = 0$，则其第0行和第0列中唯一的非零元素将是 $\rho_{00} ( t )$。限制在这种初始条件下，我们可以写为

其中

通过数值求解剩下的方程，我们可以找到系统在后续时间的状态 $\rho ( t )$。图3展示了密度矩阵元 $\rho_{ij} ( t )$ 的演化，系统初始制备在状态 $\rho ( 0 ) =$ $\left| e , 0_{c} \right. \left. e , 0_{c} \right|$。可以看出，在弱耦合（WC）区间 $( \gamma > \lambda )$，即系统与环境的耦合强度强于负责空间 $\{| g , 0_{c} , | e , 0_{c} , | g , 1_{c} \}$ 内跃迁的耦合强度时，系统失去相干性，并迅速趋向于一个最小激发的渐近态 $\rho \sim \left. 0 \right. \left. 0 \right.$。另一方面，在强耦合（SC）区间 $( \gamma < \lambda )$，状态在多个长度为 $\tau = 2 \pi / \Omega_{0}$ 的伪周期内保持相干性，并演化成一个渐近混合态。

有必要指出，在每个区间观测到的状态 $\rho ( t )$ 行为表明，SC 区间更适合研究几何相位（GP）。因此，在后续内容中，我们将必然忽略 WC 区间。

A. 非幺正情形：真空诱导的几何相位修正#

下面，我们将重点讨论当二分系统状态在存在噪声和耗散的情况下演化时，所获得的几何相位是如何被修正的。对于处于非幺正演化下的混合态，其获得的几何相位定义为 [8]

其中 $\varepsilon_{k} ( t )$ 和 $\left| {\Psi_{k}} \right.$ 是作为主方程解的约化密度矩阵 $\rho$ 的瞬时本征值和本征态。值得注意，式 (20) 中的相位尽管是为非简并混合态定义的，但对于幺正演化下的纯态，它会简化为式 (11) 给出的形式。得益于所考察密度矩阵呈现的块对角形式 (18)，我们只需考虑 $2 \times 2$ 的子块 $\tilde{\rho} ( t )$ 来对角化 $\rho ( t )$。因此，总的约化密度矩阵 $\rho ( t )$ 的本征值为

图3：在 (a) 弱耦合区间（特征参数 $\gamma / \lambda = 2$）和 (b) 强耦合区间（$\gamma / \lambda = 0.1$）下，矩阵元 $\rho_{ij}$ 展现的动力学行为。实线、虚线和点划线分别对应布居数 ρ₀₀、$\rho_{11}$ 和 $\rho_{22}$，而虚线则展示了每种情形下相干元 $\rho_{12}$ 的虚部。在 WC 区间 (a) 中，系统失去相干性并迅速趋向于一个最小激发的渐近态 $\rho \sim | 0 \rangle$ h0|。另一方面，在 SC 区间 (b) 中，状态在多个伪周期内保持相干性，并演化成一个渐近混合态。参数值为 $\Delta / \lambda = 2 , p / \lambda = 0.005$

当系统的初始状态为纯态时，有 $\epsilon_{k} ( 0 ) = 1$ 且 $\epsilon_{j} ( 0 ) = 0 \forall j \neq k .$，因此式 (20) 中定义的几何相位简化为

这与式(11)相似。事实上，除了将$| \psi ( t ) \rangle$替换为本征态$| \Psi_{+} ( t ) \rangle$外，式(11)和式(22)完全一致。因此，在纯初始态条件下，累积的相位可以被解释为由系统状态$\rho$的本征向量$| \Psi_{+} ( t ) \rangle$所获得的幺正几何相位。

让我们考虑一个初始条件如$\rho ( 0 ) ~ = ~ \left| e , 0_{c} \right. \left. e , 0_{c} \right|$的例子，在此条件下几何相位可以写为

一般来说，这个相位将不同于幺正演化中累积的相位，因为光子的泄漏和原子的持续泵浦引入了退相干和耗散等非幺正效应。这意味着相位可以写为$\phi_{g} = \phi_{u} + \delta \phi$，其中$\delta \phi$是由环境存在所引起的对幺正相位的修正。耗散情况下随时间累积的GP与幺正演化中累积的GP之间的差值$\delta \phi ( t )$随着$\gamma / \lambda$的增大而增大，如图4所示，该图展示了不同$\gamma / \lambda$值下GP随时间的演化。

图4：不同$\gamma / \lambda$值下几何相位$\phi_{g} ( t )$随时间的累积，对应不同的光子从腔中泄漏的速率。除幺正情况（实线）外，每条曲线的参数值为$\Delta / \lambda = 0.1$，$p / \lambda = 0.005$，幺正情况参数为$\Delta / \lambda = 0.1 , p / \lambda = \gamma / \lambda = 0$

然而，对于足够大的$\gamma / \lambda$值，相干性的丧失会阻止状态在射线空间中的运动，因此GP的累积也会停止。极端情况发生在强耦合（WC）区域，此时状态在累积几乎任何相位之前就失去了所有相干性。从图3的矩阵元素可以明显看出WC区域中相干性的立即丧失。元素$\rho_{ij}$的动力学通过本征态$| \Psi_{+} ( t ) \rangle$的演化体现在GP中，因为所获得的GP仅取决于$| \Psi_{+} ( t ) \rangle$在射线空间中所描述的路径。该路径的图形表示可见于图5，该图展示了在三个不同的$t = 7 \tau$演化期间$| \Psi_{+} ( t ) \rangle$在布洛赫球上描述的曲线，便于三种情况的比较。展示的情况包括幺正演化、弱耦合（SC）区域（$\gamma / \lambda = 0.1$）和WC区域（$\gamma / \lambda = 2$）。在SC区域中，$| \Psi_{+}^{SC} ( t ) \rangle$描绘的路径与幺正演化状态$| \psi ( t ) \rangle$描绘的路径不同，然而，两种状态都在整个7个周期内描述了曲线。另一方面，对应于WC区域的本征态$| \Psi_{+}^{WC} ( t ) \rangle$，虽然描述的曲线与幺正情况下的路径有很大不同，但在几个周期后便在布洛赫球上停止运动，从而阻止了GP的累积。出于这个原因，并且正如我们之前所宣布的，我们将把分析限制在SC区域。

图5：在$t = 7 \tau$演化期间，幺正演化状态$| \psi ( t ) \rangle$和$\rho ( t )$的本征态$| \Psi_{+} ( t ) \rangle$在布洛赫球上描述的轨迹。幺正曲线与耗散情况下两个区域中描述的曲线不同，因此随时间累积的GP也不同。然而，在SC区域中运动持续整个时间区间，而在WC区域中状态几乎立即停止任何运动。非幺正曲线的参数值为$\Delta / \lambda = 1$，$p / \lambda = 0.005$

第II B节已经表明，在幺正情形下，系统演化时射线空间中描述的单参数曲线显著依赖于原子-模失谐$\Delta$，因此GP也显著依赖于$\Delta$。现在考虑开放系统的情况，图6展示了不同$\Delta / \lambda$值下随时间累积的相位，揭示了$\phi_{g}$对$\Delta / \lambda$的明显依赖性，与幺正情形相同。特别地，可以看出随着$\Delta / \lambda$值的增加，随时间累积的几何相位（绝对值）减小并趋于平缓。

在此背景下自然产生一个问题：非幺正演化引入GP中的效应（具体体现为修正项$\delta \phi$）本身是否依赖于归一化失谐$\Delta / \lambda$？还是$\phi_{g}$对$\Delta / \lambda$的全部依赖性都包含在其幺正分量$\phi_{u}$中？为解决此问题，我们在图7中绘制了三个周期内（$\tau = 3$）累积的GP修正项$\delta \phi$作为$\Delta / \lambda$的函数。可以看出$\delta \phi$确实依赖于$\Delta / \lambda$，这种依赖性的两个方面显而易见。首先，在共振情况下GP的修正消失，使得共振GP $\phi_{g}^{\Delta = 0}$在SC区域中对环境的非幺正效应具有鲁棒性。图7中可见的$\delta \phi$修正的另一特征是其对某个$(\Delta / \lambda)$值达到最大值。此最大值出现的$(\Delta / \lambda)_{\mathrm{max}}$值不仅弱依赖于$\gamma$和$p$的值，还依赖于观测相位的时间，如图6及其插图所示。

图6：不同$\Delta / \lambda$值下随时间累积的几何相位$\phi_{g} ( t )$，对应不同原子-模归一化失谐。参数值为$\gamma / \lambda = 0.1$，$p / \lambda = 0.005$。

图7：环境引入GP的修正项$\delta \phi = \phi_{g} - \phi_{u}$作为原子-模归一化失谐$\Delta / \lambda$的函数，在固定时间$t = 3 \tau$和不同$\gamma / \lambda$值下。插图为不同时间间隔下相同关系$\delta \phi ( \Delta / \lambda )$的曲线，固定$\gamma / \lambda = 0.1$。主图和插图中连续泵浦的振幅均为$p / \lambda = 0.005$。

因此，图7具有双重意义，因为它可以识别两个特征：（i）哪些条件会增强环境对几何相位的影响，使探测的可能性更接近；（ii）哪些条件会减轻甚至消除任何影响。关于共振情况下$\delta \check{\phi}^{\Delta = 0} = 0$时GP鲁棒性的所有考虑将推迟到下一节，这里我们给出一个支持$\delta \phi ( \Delta / \lambda )$存在最大值的图形化视图。

这种视角的最大益处在于，当考虑二能级系统状态所获得的幺正几何相位的广泛确立的几何解释时得以体现。也就是说，$\phi_{u}$ 由布洛赫球面上循环演化所描绘闭合路径的立体角的一半给出，即轨迹所包围曲面的面积。另一方面，回顾将初始状态 $\rho ( 0 ) = | e , 0_{c} \rangle \langle e , 0_{c} |$ 获得的非幺正几何相位 $\mathrm{GP}$ 解释为 $\rho ( t )$ 的本征态 $| \Psi_{+} ( t ) \rangle$ 所获得的幺正几何相位的可能性，可以观察 $| \Psi_{+} ( t ) \rangle$ 和 $| \psi ( t ) \rangle$ 所描述的路径，并比较对于不同 $\Delta / \lambda$ 值下与几何相位成比例的张角面积。图8展示了对于三个 $\Delta / \lambda$ 值，在时间 $t = \tau$ 内描述的幺正和非幺正轨迹，这些值下环境对几何相位的影响程度显著不同。对于 $\Delta / \lambda = 0.1$，两条轨迹包围的面积都很大但几乎相同，其差值 $\propto \delta \phi$ 很小。随着 $\Delta / \lambda$ 增大，幺正轨迹运行在离布洛赫球原点更远的平面上，曲线包围面积的差异也随之增大，而每条曲线自身包围的面积则减小。观察到最大差异总是在 $\Delta / \lambda = 1$ 附近波动。最终，这些轨迹包围的面积越来越小，其差异也随之减小。

B. 共振几何相位的鲁棒性#

共振几何相位 $\phi_{g}^{\Delta = 0}$ 表现出的鲁棒性可以从几何角度理解，考虑原子加场状态 $\rho ( t )$ 的演化如下。众所周知，可以在射线空间上定义测地线，即相对于某种典范度规形式具有最小长度的曲线[37, 50]。对于二能级系统，布洛赫球上的测地线是其大圆。在测地曲线上，式(11)的表达式对于任意定义良好的向量对（即任何非正交的 $| \psi ( 0 ) \rangle$ 和 $| \psi ( t ) \rangle$）都为零[37, 43]。因此，测地线使我们能够理解射线空间中非循环轨迹 C 所获得的几何相位，等同于在关联的闭合轨迹 $\tilde{\mathrm{C}} = \mathrm{C} \cup \mathrm{C}^{\mathrm{geod}}$ 中所获得的几何相位，该闭合轨迹由 C 以及连接其终点和起点的测地线组成。由于沿测地线的演化贡献为零，整个描述这条闭合曲线所积累的相位归因于沿

图8：在 $t \in [ 0 , \tau ]$ 内，对于不同的原子-模失谐值，由幺正演化状态 $| \psi ( t ) \rangle$ 和非幺正演化密度矩阵 $\rho ( t )$ 的本征态 $| \Psi_{+} ( t ) \rangle$ 在布洛赫球上描述的轨迹。图中突出了每对曲线所张面积（与 $\delta \phi$ 成正比）的差异。参数值为 $p / \lambda = 0.005$ 和 $\Delta / \lambda = 0.01 , 1$ 以及 5。使用了一个较大的值 $\gamma / \lambda = 0.5$ 以便直观地看到该行为。

C

这一思想被用于解释几何相中的π跳变，其产生条件是：布洛赫球面上二能级系统状态所描述的轨迹恰好为半个大圆。对于接近半个大圆和略多于半个大圆的非循环轨迹，测地线发生的突变成为解释这种跳变的数学工具，这些跳变已在理论上[51]和实验上[52]得到研究。因此，对于射线空间中的这些特定曲线，若最终状态未超过初始状态的直径对极点，则几何相为零；若超过，则 $\phi_{g} = \pi$。

另一方面，将方程(22)解释为系统状态 $\rho ( t )$ 的本征向量 $| \Psi_{+} ( t ) \rangle$ 所获得的幺正GP，需要考虑 $| \Psi_{+} ( t ) \rangle$ 所描述的曲线。可以看到，在每个时间周期τ内，$| \Psi_{+} ( t ) \rangle$ 与 $| \Psi ( t ) \rangle$ 沿同一个大圆运动，但轨迹是开放的，因其未能回到起始点。然而，这对于GP的计算无关紧要：只要 $| \Psi_{+} ( t ) \rangle$ 能够覆盖半个大圆，GP的值即为π。因此，只要耗散效应不足以阻止本征矢 $| \Psi_{+}^{\Delta = 0} ( t ) \rangle$ 在 $t =$ τ 时越过对极点，GP就完全不受环境影响。于是，共振情形为那些需要忽略耗散效应的实验测试提供了理想场景。

理解共振GP $\phi_{g}^{\Delta = 0}$ 鲁棒性的另一种途径，依赖于动力学中两个已分别提及的方面的结合：其一，GP在射线空间中的静态（非）幺正算符作用下保持不变；其二，赤道轨迹对应于一对量子比特的演化被限制于最大纠缠态。因此，如第II.B节所述，共振 $\Delta = 0$ 场景中所获得的相位，与两量子比特系统在演化限于最大纠缠态时所获的相位，至多相差一个负号。对于这些特定的演化，GP的鲁棒性已得到一致的证明[41, 53]。

IV. 结论#

本文提出了一种研究耗散JC模型中非幺正效应的新方法：评估原子-腔系统状态所获得的GP。我们对GP进行了详细研究，并讨论了可与幺正JC模型进行比较的框架。在概述JC模型中GP的常见方法（即计算当场相位平移算符绝热作用于系统时JC哈密顿量本征态所获得的贝里相位）之后，我们引入了Mukunda和Simon的运动学GP方法。该方法中，GP完全取决于射线空间中所描述的轨迹，从而允许研究由JC哈密顿量生成动力学演化中出现的GP（此时不累积贝里相位）。该方法也简单解释了以下发现：在 $\hat{H}_{\mathrm{JC}}$ 演化中，$| e , 0_{\mathrm{c}} \rangle$ 所累积的GP与本征态 $\left| \Phi_{0}^{+} \right.$ 通常的贝里相位结果至多相差一个负号，这是因为在这些演化过程中，布洛赫球面上描述的轨迹可通过射线空间等距变换相联系。在分析了系统与环境隔离演化的情形后，我们处理了耗散JC模型中GP的描述问题。我们求解了该问...

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It is worth mention that the scheme under study arises not only in the context of realistic cavity electrodynamics but also in scenarios such as circuit QED, in which JC model is used to explain the coherent coupling of superconducting qubits to microwave photons [54]. As any open quantum system, the coupling of superconducting circuits to their environment, which is necessary for co herent control and measurements in circuit QED, invari ably leads to decoherence. Therefore circuit QED appears as a natural architecture to measure the corrections in the GP in disipative JC models.

ACKNOWLEDGEMENTS#

The authors would like to thank L.E. Oxman for insightful discussions. L.V. acknowledges ICTP Sandwich Training Educational Programme (STEP). This work was supported by ANPCyT, CONICET, and Universidad de Buenos Aires; Argentina.

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[43] 在此需要澄清的是，当 |ψ(0)i 与 |ψ(t)i 正交时，式 (11) 右端的第一项以及 φ_g[C] 本身都是未定义的。

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阅读笔记#

一句话概括#

本文采用 Mukunda-Simon 运动学几何相位形式结合 Lindblad 主方程数值求解（对角化 $3\times3$ 密度矩阵），系统研究了耗散 Jaynes-Cummings (JC) 模型中二能级系统-腔模复合态所累积的几何相位 (GP)。核心结论：(1) 在弱耦合区域 ($\gamma/\lambda = 2$) 系统相干性在 $\sim0.5\tau$ 内丧失，无法积累有效 GP；在强耦合区域 ($\gamma/\lambda = 0.1$) GP 可被可靠定义；(2) 耗散引入的 GP 修正 $\delta\phi$ 作为原子-模归一化失谐 $\Delta/\lambda$ 的函数呈现单峰结构，在 $\Delta/\lambda \sim 1$ 处达到最大值；(3) 共振情况 ($\Delta = 0$) 下 $\delta\phi \equiv 0$ 对任意 $\gamma/\lambda$ 成立——几何相位对耗散具有精确鲁棒性，根源是共振时本征态轨迹在布洛赫球上沿大圆运动且 $t=\tau$ 时恰好到达对极点使测地线闭合相位为零。

核心论证链#

1. 建立幺正基准：回顾 JC 模型在旋转波近似下的可解性——在 $\{|e,n\rangle,|g,n+1\rangle\}$ 子空间中哈密顿量严格可对角化，本征值为 $E_\pm^{(n)}=\pm\frac12\sqrt{4\lambda^2(n+1)+\Delta^2}$，本征态为贝尔型叠加态。为什么：这为后续对比耗散 GP 提供了精确的幺正参考（式(5)-(7)）。

2. 引入运动学 GP 替代 Berry 相位：证明 Berry 相位只适用于绝热循环场景（如相移算符 $\hat{R}(\varphi)$ 驱动），而 JC 哈密顿量的自由演化（本征态不含时）不累积 Berry 相位。为什么：必须采用 Mukunda-Simon 运动学方法定义路径依赖 GP：$\phi_g[\mathrm{C}] = \arg\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle - \mathrm{Im}\int_0^t dt' \langle\psi(t')|\dot{\psi}(t')\rangle$（式(11)）。结论：此定义退化为 Berry 相位（绝热循环）或 Aharonov-Anandan 相位（非绝热循环），覆盖所需场景。

3. 计算 $|e,0_c\rangle$ 初始态的幺正 GP 闭式解：推导出时间演化态表达式(12)和 GP 解析式(13)。为什么：揭示 $t=\tau$ 时 $\phi_g(\tau)=-\pi[1-\Delta/\sqrt{\Delta^2+4\lambda^2}]$ 与 Berry 相位(9)相差负号。结论：原因是布洛赫球上两条轨迹通过幺正旋转+反幺正反射相联系——运动学方法统一了表象差异。

4. 构建耗散动力学方程并限定参数空间：引入包含光子泄漏率 $\gamma$ 和非相干泵浦率 $p$ 的 Lindblad 主方程(16)，在低泵浦 ($p/\lambda=0.005$) 和初始 $|e,0_c\rangle$ 条件下将希尔伯特空间截断至 $\{|g,0_c\rangle,|e,0_c\rangle,|g,1_c\rangle\}$。为什么：此截断使密度矩阵自动呈现块对角形式(18)，仅需数值积分 $2\times2$ 子块 $\tilde{\rho}(t)$ 的 4 个独立方程。

5. 区分 SC/WC 区域并排除 WC：数值求解(17)发现 WC 区域 ($\gamma/\lambda=2$) 中 $\rho_{11}$ 和 $\rho_{22}$ 在 $<0.5\tau$ 内衰减至零，相干项 $\rho_{12}$ 丧失振荡；SC 区域 ($\gamma/\lambda=0.1$) 中系统在 $>7\tau$ 内保持相干。为什么：GP 需要态在射线空间中持续运动才能累积——WC 区域相干性丧失过早，无法定义有意义的 GP，后续分析限定 SC 区域。

6. 发现 $\delta\phi(\Delta/\lambda)$ 的单峰结构和共振鲁棒性：对纯初始态 $\rho(0)=|e,0_c\rangle\langle e,0_c|$，耗散 GP 可表示为 $\rho(t)$ 最大本征态 $|\Psi_+(t)\rangle$ 的幺正 GP（式(22)）。为什么：因 $\varepsilon_+(0)=1,\varepsilon_-(0)=\varepsilon_0(0)=0$，式(20)中仅一项贡献。数值计算图7显示 $\delta\phi(\Delta/\lambda)$ 在 $\Delta=0$ 时精确为零，随 $\Delta$ 增大至 $\sim\lambda$ 附近达到峰值，然后衰减。结论：共振 GP 对耗散完全鲁棒；偏离共振时存在最优探测条件。

7. 几何解释共振鲁棒性：利用测地线闭合原理——开放曲线 C 的 GP 等价于 C 与连接其终点起点的测地线构成的闭合曲线 $\tilde{\mathrm{C}}$ 的 GP（式(24)）。为什么：共振时 $|\Psi_+^{\Delta=0}(t)\rangle$ 沿布洛赫球大圆运动，在 $t=\tau$ 时恰好经过初始态的对径点——此时测地线连接起点和对径点构成半个大圆，测地线路径对 GP 无贡献。结论：不管 $\gamma/\lambda$ 多大，只要耗散不阻止本征态在 $t=\tau$ 到达对径点，GP 恒为 $\pi$。

关键参数与假设#

批判性思考#

1. 运动学 GP 在谱简并点的适用性不受检验：式(20)要求 $\varepsilon_k(t)$ 在 $[0,t]$ 上非简并。数值模拟中当 $\Delta/\lambda$ 较小时，$\varepsilon_+(t)$ 和 $\varepsilon_-(t)$ 在 $t$ 接近 $\tau/2$ 时可能接近相等（系统接近最大混合态），此时 GP 定义的分母 $(\rho_{22}-\varepsilon_+)^2 + \rho_{12}\rho_{21}$ 趋于零，式(23)的数值积分可能出现奇异性——本文未提供奇点附近网格细化或解析延拓方案。

2. 截断至 $n=0$ 子空间的定量误差未评估：主方程中的泵浦项 $p\sigma_+\rho\sigma_-$ 每次作用将原子从 $|g\rangle$ 泵浦到 $|e\rangle$，虽不直接增加光子数，但 $|e,0_c\rangle$ 经 JC 相互作用可到达 $|g,1_c\rangle$。若此循环多次发生，理论上可产生 $|e,1_c\rangle$ 分量而突破截断。在 $p/\lambda=0.005$ 且 $t=7\tau$ 时，$|e,1_c\rangle$ 布居应为 $\sim (p\tau)^2 \approx 0.001$ 量级——虽小但非零，其系统偏差对 $\delta\phi$ 精确值的累积影响未被定量刻画。

3. $\delta\phi$ 峰值的物理根源判断有模糊空间：作者归因于几何面积差（图8），但 $\Delta/\lambda \approx 1$ 时 $\theta_n = \arctan(2\lambda/\Delta) \approx 63^\circ$——本征态 $|\Phi_n^+\rangle$ 和 $|\Phi_n^-\rangle$ 的纠缠度（von Neumann熵）在此处最大。已知纠缠态对退相干的敏感性呈非单调行为（纠缠sudden death/revival），可能是 $\delta\phi$ 峰值的真正成因。文章未讨论此纠缠-耗散耦合机制。

4. 基于测地线闭合的鲁棒性证明依赖于准确的 $t=\tau$ 对径点到达：证明要求 $|\Psi_+^{\Delta=0}(t=\tau)\rangle$ 精确到达 $|\Psi_+^{\Delta=0}(0)\rangle$ 的对径点。但式(22)中的演化并非由幺正算符驱动，Lindblad 方程的解 $|\Psi_+(t)\rangle$ 是瞬时谱分解本征态，其动力学不符合薛定谔方程。在 SC 区域中 $p/\lambda=0.005$ 的非零泵浦下，$|\Psi_+(t=\tau)\rangle$ 与精确对径点的误差应为 $O(p/\lambda)$ 量级——文章未给出该误差的定量上界。

局限性#

• 弱耦合区域被完全排除，但未给出边界外推：$\gamma/\lambda=2$ 作为 WC 代表值下 GP 无法定义，但文章未计算 $\gamma/\lambda$ 在 $1$–$1.5$ 之间（过渡区）的行为。实验上可通过增大 $\lambda$（如缩小腔体）从 WC 进入 SC，但文章中缺乏过渡区 GP 的 $\gamma/\lambda$ 扫描。
• $n=0$ 子空间截断误差只定性提及：如批判性思考 2 所述，长时间演化下 $|e,1_c\rangle$ 布居可达 $10^{-3}$–$10^{-2}$ 量级，对 $\delta\phi$ 的修正可能不可忽略，但本文未给出定量估计或高阶截断的收敛性检验。
• 泵浦参数 $p$ 未做扫描：全篇固定 $p/\lambda=0.005$，而实际腔 QED 实验中 $p$ 可从 $0$（无泵浦）变化到与 $\gamma$ 可比——图7仅展示 $\gamma/\lambda$ 和 $t$ 对 $\delta\phi(\Delta/\lambda)$ 的影响，$p$ 作为第二个独立非幺正参数的作用未被探索。$p$ 增大可能破坏共振鲁棒性。
• 零温度假设限制了实验可迁移性：Lindblad 主方程 (16) 中未包含热光子数 $n_{\mathrm{th}}$ 和原子热激发项。在 $T\neq0$ 时，Lindblad 方程需添加正比于 $n_{\mathrm{th}}$ 的 $\mathcal{D}[a^\dagger]$ 项，这可能破坏本征态沿大圆运动的严格性，使共振 GP 鲁棒性不再严格成立。
• GP 的测量方案未做讨论：文章完全是理论推导和数值展示，未涉及如何通过干涉（Ramsey 干涉、原子干涉）或自旋回波实验观测 $\delta\phi$ 的修正。论文虽引用[19,20,26,27]建议实验可行性，但未给出具体可测量（如对比度、信号强度）与参数 $(\gamma/\lambda,\Delta/\lambda)$ 之间的定量映射。

关键公式速查#

• $$\hat{H}_{\mathrm{JC}} = \omega\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{\epsilon}{2}\sigma_z + \lambda(\hat{a}^\dagger\sigma_- + \hat{a}\sigma_+)$$— JC 哈密顿量（旋转波近似），式(2)
• $$E_\pm^{(n)} = \pm\frac12\sqrt{4\lambda^2(n+1)+\Delta^2}, \ \Delta = \epsilon - \omega$$— $n$ 光子子空间本征值，式(5)
• $$\phi_g[\mathrm{C}] = \arg\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle - \mathrm{Im}\int_0^t dt' \langle\psi(t')|\dot{\psi}(t')\rangle$$— 运动学 GP 定义（Mukunda 与 Simon），式(11)
• $$\dot{\rho} = -i[\hat{H},\rho] + \frac{\gamma}{2}[2a\rho a^\dagger - a^\dagger a\rho - \rho a^\dagger a] + \frac{p}{2}[2\sigma_+\rho\sigma_- - \sigma_-\sigma_+\rho - \rho\sigma_-\sigma_+]$$— Lindblad 主方程，式(16)
• $$\phi_g(t) = \int_0^t dt' \frac{\mathrm{Im}(\dot{\rho}_{12}^*\rho_{12})}{(\rho_{22} - \varepsilon_+)^2 + \rho_{12}\rho_{21}}$$— 纯初始态下耗散 GP 的密度矩阵元表达式，式(23)
• $$\phi_g[\tilde{\mathrm{C}}] = \phi_g[\mathrm{C}] + \phi_g[\mathrm{C}^{\mathrm{geod}}] = \phi_g[\mathrm{C}]$$— 测地线闭合原理：沿测地线的 GP 为零，式(24)

术语对照#

延伸阅读#

• P. Solinas, M. Sassetti, P. Truini, and N. Zanghì, Geometric phase in open quantum systems: a unitary evolution approach, New J. Phys. 14, 093006 (2012). — 提出了基于系统+环境幺正演化的 GP 定义，与本文的密度矩阵谱分解方法互补，可对比不同定义下耗散 GP 的差异。
• J. Larson, Geometric phases in open systems, Phys. Rev. Lett. 108, 033601 (2012). — 研究了单通道 Lindblad 退相干下光力系统的 GP，讨论了 GP 修正与退相干速率标度律，可为本文的 $\delta\phi(\gamma/\lambda)$ 行为提供对比基准。
• I. R. Jahromi, K. V. G. L. Narasimha, and S. Salimi, Geometric phase in dissipative Jaynes-Cummings model: effect of environment temperature, J. Phys. B 50, 175501 (2017). — 将耗散 JC 模型推广到有限温度，揭示了热光子对共振鲁棒性的破坏——直接对应本文局限性的第4点。
• Zwierz and Z. H. Musslimani, Geometric phase in open two-level systems, Phys. Rev. A 82, 032110 (2010). — 基于运动学方法研究了二能级系统受振幅阻尼和相阻尼时的 GP，提供了 $\Delta=0$ 场景之外的解析结果，可用于与本文数值结果的交叉验证。

延伸阅读#

• 非阿贝尔非绝热几何门的实验实现 — Abdumalikov 等（2013）首次在超导 transmon 量子比特上实现了非阿贝尔非绝热 holonomic 量子门，实验演示了其非对易特性，门保真度
• 在固态量子比特中观测到 Berry 相位 — Leek 等（2007）首次在超导 Cooper pair box 量子比特中观测并可控地积累几何相位（Berry 相），为固态几何量子计算奠定实验基础
• 通过量子点接触直接测量双量子点量子比特的几何相位 — Liu 等（2015）提出了通过量子点接触（QPC）电流直接读取双量子点几何相位的方案——将抽象的几何相位映射为可观测的输运电流，所有参数在实验中均可调可测（理
• 锥形交叉点动力学中几何相位干涉的直接观测 — Valahu 等（2023）在可编程离子阱量子模拟器中首次直接观测到了锥形交叉点周围波包动力学中的几何相位干涉效应（Nature Chemistry 实验）
• 通过绝热捷径在超导相位量子比特中测量 Berry 相位 — Zhang 等（2017）在超导相位量子比特上实现了 STA（shortcut to adiabaticity）协议，在远短于绝热条件的时间尺度上精确测量了 B