张量网络算法：路线图#

Mari Carmen Bañuls¹,²

¹ 马克斯·普朗克量子光学研究所，Hans-Kopfermann-Str.1，德国加兴，D-85748；邮箱：mari.banuls@mpq.mpg.de

² 慕尼黑量子科学与技术中心（MCQST），Schellingstr. 4，德国慕尼黑，D-80799

张量网络为研究复杂的经典和量子多体问题提供了极其强大的工具。过去二十年间，技术和应用的数量持续增长，尤其是最近十年，新思想和成果层出不穷，这可能会让新手感到不知所措。这篇简短的综述介绍了基本概念、最成熟的方法以及一些正在拓展张量网络潜力边界的最重要的算法发展。目标是帮助读者不仅理解张量网络提供的众多可能性，而且能够找到通过最先进的代码、其适用性以及一些正在进行的研究方向的路径。

目录#

I. 引言 1

II. 基本概念 2

A. 张量网络态 2 B. 基本原语 3 C. 经典算法 4

III. 先进 TNS 方法 6

A. 更高维度 6 B. 对称性 7 C. 费米子 8 D. 动力学 9 E. 激发态 9

IV. 进一步的 TN 方法及展望 10

A. 网络重整化方法 10 B. 与其他技术的联系 10

V. 展望 11

致谢 11

相关资源 13

I. 引言#

数值方法是处理量子多体系统的重要工具，而大多数此类系统缺乏解析解。然而，对于这些问题，维度——以及随之而来的计算复杂度——随着系统尺寸呈指数增长。

这限制了精确数值计算的适用性，并要求开发能够有效处理至少最相关物理问题的数值方法。张量网络（TN）技术于九十年代被引入该领域，旨在满足这一需求，如今它已与精确对角化和量子蒙特卡洛方法一起，成为数值研究量子多体问题的关键工具。

张量网络在不同的学科中被独立发现。最初由 Baxter [1] 在统计物理学中揭示，在量子多体物理学领域，其渊源可以追溯到 Affleck、Kennedy、Lieb 和 Tasaki [2] 提出的第一个价键固体（VBS），作为短程自旋链的精确基态——综述和历史视角见 [3]。Klümper 等人 [4] 后来将 AKLT 提议扩展到更大的模型集合，并引入了矩阵乘积这一术语来指代这些态。Fannes、Nachtergaele 和 Werner [5] 在无限自旋链的有限关联态中对此构造进行了数学上的概括和形式化。

大约在同一时间，White [6] 提出的新算法——密度矩阵重整化群（DMRG）——显示出惊人的能力，仅用适度的数值计算就能捕获大尺度量子自旋链的基态。不久之后，Östlund 和 Rommer [7] 将无限 DMRG 算法的定点精确地识别为这种矩阵乘积态，而 Dukelsky 等人 [8] 指出了 DMRG 与在这些态上进行变分搜索之间的联系。此外，Nishino 和 Okunishi [9, 10] 将 DMRG 与 Baxter 用于二维经典模型的角转移矩阵方法统一了起来。这些见解启发了原始算法的进一步推广 [11]。

DMRG 被应用于多种场景，并迅速成为研究低空间维度量子自旋系统静态性质的首选方法之一 [12, 13]。然而，由于量子信息概念的引入，一个全新的视角得以展现。从纠缠的角度理解矩阵乘积拟设 [14] 和 DMRG 算法 [15]，并完全以矩阵乘积态（MPS）[16] 的形式重新表述后者，为改进开辟了可能性，并启动了张量网络领域的发展。

图1：张量的图形表示：(a) 由四个张量组成的 TN 示例；收缩后得到一个4阶张量；(b) 主要家族中每个 TNS 对16位点系统的图形表示（注：三角形通常用于表示等距映射）。

特别是，使用矩阵乘积态的实时演化 [17–19] 和有限温度 [20–22] 算法，以及向更高维度的推广 [23] 很快被提出，揭示了张量网络图景的潜力。

如今，TN 算法是强关联低维量子系统的标准数值方法之一。最常用的是21世纪初的原始方法，这些方法不断找到新的应用。但 TN 语言持续被利用来提供，不仅是对拟设的更深入数学理解 [24]，还有新的数值技术。

过去十年间涌现出的 TN 应用种类繁多，并产生了最先进的结果，其范围之广，难以在本文中详尽描述。因此，本文的重点是 TN 算法的通用框架，并着重介绍该领域中

A. 张量网络态#

特别是，张量网络态（TNS）将量子多体态的所有系数（在给定基下）编码在这样一个图中，图中开放腿的数量与系统中的组分数量相同。每个悬垂的腿对应一个格点的（有限）物理维度，而收缩的腿则对应虚拟或键维度。

TNS 族由不同连接性的图定义。对于感兴趣的族，参数数量（与张量数量成正比）随系统大小多项式增长。相对于希尔伯特空间指数级大的维度，这代表了一种剧烈的缩减。但 TNS 的目标是捕获物理态，这些物理态恰好只探索了所有可能量子态的一小部分，其主要特征是其低纠缠性。特别是，局域哈密顿量的基态和热平衡态满足纠缠面积律 [31]：某个子系统与其余部分之间的纠缠随两者边界的规模（或带有小修正）进行，而不是像希尔伯特空间中大多数态那样，随子系统的体积进行。对于一维有能隙的局域哈密顿量 [32] 以及任意维度的热平衡态 [33]，存在面积律的严格证明，而临界基态可能显示出小的（对数）修正 [34, 35]。

这对于前沿应用很重要。算法的细节并未明确展示；感兴趣的读者请参阅文献中许多优秀的综述，例如 [25–30] 等。

II. 基本概念#

张量是基本对象，它仅仅是一个多维数组。图1所示的 TN 图形表示提供了一种实用的语言来描述其算法和性质。例如，一个 $k$ 阶张量，即具有 $k$ 个指标的对象，被描绘成一个带有 $k$ 条腿的几何形状（例如，一个矩阵会有两条腿）。两个张量之间的收缩——例如矩阵向量积——通过连接收缩的指标来表示。通常，张量网络是一组相互连接的此类张量，其阶数由开放腿的数量决定（见图1a）。

以下是使用最广泛的 TNS 族（其图见图 1b）。

1. MPS 具有一维结构，每个格点对应一个张量 [36]。每个张量拥有一个对应格点物理维度的开放指标，以及连接到相邻格点的两条虚拟腿（对于开放边界，边缘张量仅连接到一个邻居）。格点 $k$ 的张量具有分量 $A [ k ]_{\alpha \beta}^{i}$，其中 $i$ 取值于物理维度（通常记为 $d_{k}$），而 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别取值于张量的左虚拟维度和右虚拟维度（记为 $D_{l}$ 和 $D_{r}$）——等价地，每个 $A [ k ]^{\ i}$ 是一个 $D_{l} \times D_{r}$ 矩阵。更明确地，对于一个具有 $N$ 个格点且所有格点的物理维度均为 $d$ 的系统，该态可以写为

MPS满足纠缠面积定律：具有最大键维数$D$的MPS的半链纠缠上界为$S = 2 \log D$。此外，它们具有指数衰减的关联性，可以被高效制备和收缩，并且本质上对应于局部一维有能隙哈密顿量的基态[37]。

2. PEPS是将MPS自然推广到任意图的结果，其中每个顶点可定义一个张量（带有一个物理腿），并根据图的边进行连接[23]。与方程1类似，它们的表达式将迹替换为所有连接的收缩。PEPS在更高维中满足面积定律，并且是比MPS复杂得多的对象。例如，在一般情况下，它们无法被高效制备或收缩[38]，即使键维数很小，它们也能支持临界关联[39]。

3. TTN对应于树图。通常（但不总是）它们在叶节点上具有物理指标[40]，在更高层通过只有虚指标的张量连接（见图1b），这可以对应于重整化方向[41]。与MPS一样，TTN是无环的且可高效收缩，但它们违反了一维面积定律，并且在空间位置上平均时能保持幂律衰减的关联性[42]。TTN也可用于更高维系统[43]。

4. MERA实现了对物理自由度的更复杂的重整化[44–46]，其中去除短程关联的幺正变换层（称为解缠器）与执行重整化步骤的等距变换层交替出现。这产生了具有循环的张量网络，由于张量的幺正性质，局部期望值可以高效计算。标度不变的MERA可以描述一维量子临界基态[47, 48]，它们支持面积定律的对数修正。然而，在二维中，它们被证明是PEPS的子集[49]，因此满足面积定律。但存在一种称为分支MERA[50]的推广，可以在大于一维的空间中支持高达体积律的纠缠。

任何张量网络都具有所谓的规范自由度，因为在任何收缩指标对之间（即连接腿上）插入矩阵与其逆矩阵$X X^{- 1}$的乘积会使整个TN保持不变，但允许重新定义相邻张量对。对于无环TNS，切断一个键会使网络分成两部分，可以定义规范形式，其中虚指标的基被选为该键对应的二分法的施密特基，明确编码相应的纠缠[36]。除了对表征TNS族的性质至关重要外，这种规范形式还能产生更稳定、更高效的数值算法。

上述族可以为具有依赖于位置的张量的有限尺寸系统定义，但也可以直接考虑热力学极限，其中将单个（或少数）张量无限重复，以产生平移不变（或在空间中周期性）的结构。对于MPS，平移不变的ansatz称为均匀MPS（uMPS）。在无限PEPS（iPEPS）中，周期性地重复有限单位格是在实践中最常用的方法，而平移不变版本对于形式化结果至关重要[24]。这使得可以直接针对体性质，而无需有限尺寸外推，或者在MERA的情况下，捕获临界系统的标度不变性[47, 48]。

这些族也可以描述混合态。最简单的方法是在算子向量空间的给定张量积基中假定TNS ansatz，只需将物理腿加倍。特别是在MPS和PEPS情况下，产生的结构分别称为MPO[20, 21, 51]和PEPO。但如果ansatz要描述物理态，则必须是半正定的，这是一个无法在局部张量层面评估的全局性质。另一种方法是考虑描述纯化的TNS，即系统加辅助系统的纯态，对后者求迹得到所需的混合态。在MPS和PEPS情况下，这会产生局域纯化形式，一种具有相同结构的TN，其中局部张量具有双物理指标，并且有保证正定性的内部结构[20]。这比通用ansatz更具限制性且效率可能更低[52]，但可以在数值算法中实际使用。

B. 基本原语#

几乎所有TN算法都基于两个基本模块：收缩（部分）张量网络和局部更新张量。结合通过截断维数的张量对（部分）TN的近似，它们可以被视为构建更复杂或高级算法的基本原语。

1. 收缩TN#

TN算法中一个普遍存在的问题就是收缩张量网络。这意味着显式计算由连接所指示的张量分量的乘积和求和，得到一个张量，其维数与保持开放的指标对应（见图1a）。例如，对于经典统计模型，配分函数和局部可观测量的期望值可以写成闭合TN（无开放指标）。对于表示量子态的TNS，范数和局部期望值也是闭合张量网络，而约化密度矩阵则表现为带有算子指标的更小张量网络。收缩的两个方面影响算法的实现和性能。

1. 收缩顺序。 通常，将一系列张量相互收缩的计算代价取决于操作应用的顺序。对于最常见TNS算法中出现的规则网络，可能性的数量很小，并且最优序列（能最小化计算代价）是已知的。但在一般情况下，找到最优收缩顺序是一个NP完全问题，针对该问题存在一些启发式算法[53, 54]。

2. 计算代价。 如果存在一个收缩顺序，其计算代价仅随网络规模呈多项式增长，我们就称该TN可以被精确收缩。没有环路的TN就是这种情况，例如对应于MPS和TTN中多点关联器期望值的网络。同样，对于具有某些幺正性质的TNS，也存在可收缩的量，例如MERA中评估的范数或少数点关联器。然而，任意张量网络的精确收缩是一个#P完全问题[38]。因此，大多数涉及二维以上TN的算法都需要近似收缩，这被称为截断（II B 3节）。

2. 张量更新#

许多算法的工作原理如下：持有感兴趣量的TN描述，并迭代地改进它，直到达到某个预设的收敛水平。改进是通过局部更改或更新来实现的，在此过程中，修改一个（或少数几个）张量以优化相关的代价函数。通常，代价函数依赖于网络中的所有张量，但在每个更新步骤中只允许一个张量变化，同时保持其他张量固定，从而将问题转化为局部问题。因此，一个相关的概念是张量的环境，即TN中与被修改张量互补的部分。

这部分出现在局部代价函数中，并且需要通过（在许多情况下是近似的）收缩来评估，以便确定局部张量的正确更新。

3. 截断#

截断TN意味着减小其张量的（某些）维数，理想情况下以不改变全局结果的方式进行。截断可以是近似策略的一部分（例如，对于PEPS，见第III A节），用于控制部分TN收缩的维数。在表示为TNS的量子态背景下，截断通常意味着找到在给定族内近似该状态的张量。例如，在执行某个操作（如果精确应用，会增加张量维数，如时间演化或非局域算符的常见情况，例如第II C 2节）之后。并且，更一般地，截断可以指用固定键维数的TNS来近似某个特定状态。

在任何截断步骤中，都需要决定保留哪些自由度以及丢弃哪些自由度。在TNS中，固定的键维数限制了状态所能容纳的关联量上限，因此大多数算法中的截断步骤可以与纠缠性质联系起来。

C. 经典算法#

近年来，人们提出了许多TN算法，但仍有少数成熟的方法被用于在量子多体问题中获得最先进的结果。其中许多（尤其是一维问题）可作为开源实现获得（参见末尾的相关资源），这使得人们能够利用TN方法的强大计算能力，而无需深入了解实现细节。此外，它们实现起来并不困难，并且可以很容易地改编以解决其他问题，而不仅仅是它们最初设计要解决的问题。它们是TNS数值计算结果的真正主力。

1. MPS的变分优化#

TNS工具箱中最强大的策略之一是针对给定代价函数对拟设进行变分优化，其典型例子是DMRG算法[6]。这基本上可以理解为变分原理的应用，通过在一组固定键维数$D$ [15, 26]的MPS上最小化量子多体哈密顿量的能量，来获得基态的拟设，

图2：经典算法求解的局部问题的图形化表示：(a) DMRG中单个张量的变分优化；(b) TEBD中局部张量对的更新（菱形张量表示施密特值，在规范形式中是显式的）；(c) tMPS中的局部优化。

该问题以迭代方式处理，每一步仅最小化单个张量，其余张量保持不变[55]。虽然并非严格要求，但将哈密顿量写为MPO[16]会大大简化原始方法的实现。对于短程一维哈密顿量，这可以精确完成[51]，而对于长程相互作用，则存在近似方案[例如[56]]。在这种形式下，局部成本函数可以写成两个张量网络的比值（见图2a），这两个网络可以高效收缩，对于$N$个格点，计算成本仅为$O( N D^{3} )$。因此，局部问题具有瑞利-里兹商的形式，可以使用标准特征值求解器精确求解。该过程迭代进行，依次优化ansatz中的每个张量，并反复沿整个链来回扫描，直到达到预设的收敛判据（通常是在特定精度内能量值收敛）。如果张量始终保持在规范形式，且中间计算结果存储在内存中，则可进一步提高效率。由于每个局部问题的最优解均可精确找到，该算法保证单调降低能量，因此能够收敛（尽管可能收敛到局部最小值）。

无限DMRG（iDMRG）算法直接针对热力学极限下的系统[26]，也可以用类似术语表述。在这种情况下，不是来回扫描，而是在每一步将一组张量单元插入到链的中间并进行优化，迭代该过程直到达到不动点。

该算法最常见的应用场景是寻找局部一维哈密顿量的基态。即使对于临界系统（MPS只能近似关联性），得益于有限尺寸和有限纠缠缩放[57, 58]，该方法也极具竞争力，并已成功用于长程相互作用和更高维度问题（见第III A节）。该方法的效率和鲁棒性使其成为解决量子多体问题可用的最强大数值方法之一。此外，它可以应用于任何变分优化问题，其中成本函数以具有MPO结构的有效哈密顿量表示[例如[59]]。

2. MPS的演化：TEBD、tMPS#

时间演化块消减（TEBD）算法[14, 17]可以说是张量网络工具箱中实现最简单、但用途最广的方法之一。该策略最初提出用于模拟量子电路下MPS的演化，量子电路可以写成一系列两体、最近邻酉门的序列。由于每个门都可能增加纠缠，其对MPS的精确作用通常会导致更大的键维数。因此，要维持对状态的有效描述，需要在应用每个门之后进行近似步骤，以减少（截断）键维数。TEBD策略通过局部更新进行，仅涉及直接受影响的张量，对应于在保持所有其他张量不变的条件下，最小化变换后状态与更新后状态之间的距离。利用MPS的规范形式，这可以通过对单个张量进行奇异值分解来实现，该张量由门与局部MPS张量（包括其环境，环境编码了系统其余部分的状态）收缩得到（见图2b）。在TEBD截断步骤中，仅保留超过特定阈值的奇异值，丢弃的权重提供了误差的度量。

对于一维最近邻哈密顿量，时间演化算子可以使用特罗特-铃木展开近似为一系列形如$\exp ( - i \delta h_{i} )$的两体门，其中$h_{i}$是两体项，$\delta$是短时间步长。因此，该方法可用于模拟MPS的动力学，对于键维数$D$，计算成本为$O( D^{3} )$。该方案可以适用于其他（有限程）哈密顿量，尽管成本随相互作用范围急剧增加。

作为局部截断的替代方案，也可以改变所有张量，以最小化与一个或多个门作用后精确状态之间的距离[39]。在这种称为tMPS[60]的策略中，张量像变分法II C 1中那样顺序优化，通过求解局部问题，该问题在此情况下简化为线性方程组，成本也是$O( D^{3} )$（见图2c）。这样一来，可以将任何MPO算子应用到MPS向量上，特别是特罗特化时间演化的一个步骤。这种MPO表示的成本也随哈密顿量范围增加，但长程相互作用可以借助近似方案处理[61]。

这些方法非常高效且极为通用。从任意初始状态出发，可以通过虚时（或欧几里得）时间演化逼近基态，这实质上将态投影到其最低能量分量上，并且可以使用相同的算法实现[17]，只需要使用非幺正项 $\exp ( \delta h_{i} )$ 即可。此外，该技术还可用于近似热平衡态[20-22]，具体方法是将吉布斯系综的纯化（即热场态）写为由逆温度给出的虚时中最大纠缠初始态的演化：$\begin{array} {r} {| \Psi \rangle \propto e^{- \beta H / 2} \sum_{n} | n \rangle | n \rangle} \end{array}$（其中 $n$ 标记系统希尔伯特空间的一组基）。通过将混合态视为算符空间中的向量，同样的基本方法可用于模拟主方程下开放系统的实时演化[20, 21]。纯态的虚时演化也可用于生成最小纠缠典型热态（METTS）样本[62]，这些样本能够再现热学性质。这些仅是几个例子：更一般地说，tMPS策略可以近似任何写为MPO的线性算符在MPS上的作用。这使我们能够将大多数线性代数算法重新表述为MPS框架下的近似版本[例如文献63, 64]。TEBD和tMPS算法也可以直接应用于平移不变（或周期性的）MPS，在热力学极限下工作[25, 65]。

尽管处理上述所有场景的技术几乎完全相同，但每种场景中的纠缠程度，进而方法的性能，却有显著差异。热平衡态满足面积律[33, 66]，并且对于局域哈密顿量[67, 68]存在高效的TNS近似；而远离平衡态的实时演化可能导致纠缠线性增长，在这种情况下，用MPS近似所得态需要键维度随总时间呈指数增长[69-71]。因此，虽然MPS方法在研究近平衡态动力学或中等时间尺度[72]时非常有用，但在真正的非平衡场景中，它们存在根本性的局限。

III. 先进的TNS方法#

尽管上一节描述的算法能够处理大量问题，但为了充分发挥TNS的潜力，还需要一些更高级的技术——这些技术主要在过去十年中发展起来，尚不普及。

A. 高维情况#

尽管TNS在一维应用中取得了巨大成功，但高维拟设的应用仍然相对少见。然而，近年来，得益于一系列算法的发展和社区的密集努力，情况已开始改变。

处理二维及更高维问题一直是这些数值方法梦寐以求的目标。早在大约DMRG时代，人们就认识到将该技术应用于二维量子[73]和三维经典问题[11]的可能性。MPS构成一个完备族，可以作为任何问题的拟设，尤其是在更高维度中。对于二维量子态，MPS拟设可以缠绕在晶格上，通常采用锯齿形或蛇形形式，但也可以选择其他形式[74]。由此得到的哈密顿量MPO表示成本更高（因为某些短程项被映射为长程项），并且需要更大的键维度才能达到所需的收敛精度：由于切割一个键将态一分为二，为了容纳满足面积律的态的纠缠，键维度需要随系统的某一维度呈指数增长。即便如此，通过在有限尺寸系统上进行计算，通常利用长圆柱几何结构并谨慎进行有限尺寸外推[例如文献75, 76]，仍然可以获得高精度的计算结果。

PEPS具有内建的面积律，是一种更合适的TNS拟设，能够为局域哈密顿量的平衡态提供良好的近似[32, 68]，并支持第II.C节描述的变分和演化策略[23, 77]。它们也可以直接在热力学极限下使用，此时称为iPEPS，并由一个包含有限数量（可能少至一个）张量的单胞参数化[78]。尽管如此，使用PEPS的数值算法要复杂得多，并且在张量维度方面的计算成本也更高。

首先，与MPS的高效缩并相反，缩并PEPS是一个（$\# P$完全的）硬计算问题[38]。实际的算法采用近似缩并方法，其中二维网络被近似为一系列从边界开始的MPO-MPS缩并[77-79]、通过粗粒化或张量重正化[80, 81]（见第IV.A节），或者在iPEPS的情况下，通过角转移矩阵缩并[10, 82]。在这些策略中，数值成本与缩并精度之间存在权衡，这对于确定张量的环境或观测量的期望值至关重要。

图3 PEPS中环境张量的近似：(a) 一对张量的环境（实色部分），这对张量上施加了最近邻门（较浅阴影所示组合）；(b) 在简单更新中，环境张量近似为乘积（与图2b中的一维情况作比较）；(c) 完全更新需要环境的关联近似。

因此，人们开发出了一些方法，它们通过允许对张量更新进行不那么精确的环境估计来提高效率（图3）。最高效的替代方案是使用所谓的简单更新 [80]，其中，为了在双位点门作用下更新一对张量，环境被近似为作用于这对张量周围每个连接上的对角矩阵的乘积，其作用类似于 TEBD 过程中施密特值的作用。放弃环境中的关联可能会使该方法在一般情况下无法达到固定键维数下的最佳 PEPS [79]，但由于其效率和稳定性，该算法仍然很受欢迎。通过计算成本更高的完全更新 [78, 83] 可以获得更好的更新，它考虑到了更精确的关联环境近似。

这些方法可以提高更新的效率，这在通过虚时演化寻找基态时尤其有用，因为其目标是演化的不动点。然而，为了确保变分结果，可观测量值的评估仍需尽可能精确。这使得大多数 PEPS 算法的计算成本按 ${\cal O} ( D^{10} )$ 缩放。

PEPS 与 MPS 计算的另一个区别是前者缺少规范形式。因此，例如在公式2的分母中出现的有效范数项不能被简化为单位矩阵，需要求逆才能解决局部问题，这导致了更高的计算成本和稳定性损失。这个问题可以通过利用规范自由度来优化这个有效矩阵的条件数来缓解 [84–86]。

尽管计算挑战更高，且更高效策略的开发仍在进行中，但 PEPS 在处理中等规模的二维问题时已经优于 MPS，这在 [87] 中针对海森堡模型和哈伯德模型的研究中得到了明确展示。

总而言之，iPEPS 因其能直接处理体材料性质，已成为解决此类二维量子问题基态的首选拟设。 [88] 由于类似于第II C节中所描述的变分方法具有高度非线性特征，虚时演化直到最近仍是主流方法。

然而在过去几年中，已经引入了新的策略用于 iPEPS 的稳定且高效的变分优化 [89, 90]，从而产生更精确的结果。进一步的步骤是利用有限 $D$ 态关联长度的外推法精确求解临界系统 [91–93]。得益于这些先进方法，已经获得了大量令人印象深刻的数值结果，其中包括哈伯德模型最精确的结果 [94]，以及对三维问题的首次研究 [95]。

当关注点不在于基态，且类似于第II C 2节中讨论的 MPS 情况时，（实或虚）时间演化技术允许解决多个问题，例如有限温度下的平衡态 [96]、开放系统的稳态 [97–99] 和实时演化 [77, 96, 100]。

另一个方向是开发和利用具有更有利计算性质的 PEPS 的受限子集，这些子集可以作为特定问题的合适拟设。例如，顺序生成态 [101]、更一般的等距 PEPS [102] 或高斯费米子 PEPS [103]。

其他不具有面积律或仅具有受限面积律的张量网络态族，可用于研究特定大小的高维系统，就像二维 DMRG 那样。例如树状张量网络 [例如 [43, 104]]，或最近引入的增广树 [105]。

B. 对称性#

如果所研究的问题表现出某种对称性，利用这种对称性不仅具有基础兴趣，而且可以提升数值算法的性能。例如，如果哈密顿量与某个算符对易 $[ H , O ] = 0$，那么它的本征态将具有 $O$ 的确定本征值，并且可以将搜索限制在由特定量子数标记的子空间中。

对于量子多体系统，人们通常关注具有 $U^{\otimes N} | \Psi \rangle = | \Psi \rangle$ 形式的全局对称性的问题，其中 $U$ 是作用于单个位点的幺正变换。特别相关的是该操作是群 $G$ 的表示的情况，即对于某个 $g \in G$，有 $U = U_{g}$。这种阿贝尔对称性很快被纳入 DMRG 方法 [16, 26] 中，并成为常用工具，通常用于实现粒子数或总磁化强度的守恒。非阿贝尔对称性的形式体系也已被发展出来 [8, 106]，尽管并不那么常用。

处理高维张量网络中全局对称性的通用框架首先在 [107] 中引入，随后很快出现了针对阿贝尔 [108, 109] 和非阿贝尔 [110, 111] 情况的明确公式。这些构造以及原始 DMRG 构造的基本思想是定义不变张量，这些张量在对称性作用于所有指标时保持不变。这要求每个指标具有定义明确的变换性质，特别是要为虚腿选择具有定义明确的量子数的基，例如 $| q \alpha \rangle$，其中 $q$ 标记群的一个不可约表示，[112] 而 $\alpha$ 标记同一不可约表示内的态。这条腿的键维数将是每个 $q$ 的维数之和。为 TN 中的每条边指定一个方向，出射和入射指标分别以群的幺正表示及其逆表示变换，由此得出，由这种不变张量构建的 TNS 是整体不变的。

张量的不变性意味着其内部存在某种结构。对于阿贝尔对称性，张量可以分解为块矩阵的直和，唯一非零的块是那些入射指标量子数之和等于出射指标量子数之和的块。在非阿贝尔情形下，对应于不可约表示适当组合的块具有进一步的结构，因为它们可以进一步分解为两部分张量积：一部分仅由对称性决定，另一部分包含态的自由参数。特别地，对于三腿张量，第一个因子是克莱布施-戈登张量。对于更一般的张量，可以采用整个 TN 分解为三腿项的方法 [107]，或者在算法中更高效地预计算相应的系数 [111, 113, 114]。注意，通用张量（即没有显式对称性的张量）也可用于描述具有所需全局对称性的 TNS，甚至能产生更紧凑的描述 [115]。利用张量的对称结构会使方法的实现更加繁琐（在前述参考文献中有详细描述），但作为交换，可以在具有更小键维数的块上进行操作，从而降低最低层级收缩的计算成本。

对称张量可用于将全局对称性提升为规范对称性 [116–118]。这是通过引入额外的链接张量（类似于格点规范理论通常表述中的链接变量）来实现的。

最后，值得提及的是，在理论层面，已发展出一个框架来根据张量对称性表征 MPS 和 PEPS [37]，这种形式化方法已产生基础性成果，并仍然是一个活跃且富有成效的研究领域 [24]。

C. 费米子#

TN 框架相对于量子多体问题其他数值方法的一个优势，是能够处理具有费米子自由度的问题，这类问题对于凝聚态物理和基础物理具有根本重要性。尽管在这种情况下量子蒙特卡罗方法常受符号问题阻碍，导致收敛成本随系统规模指数增长，但 TN 计算可以无差别地处理费米子和自旋系统。

在一维空间维度中，费米子模式并不构成真正的问题，因为它们可以通过约旦-维格纳变换映射为自旋。该变换将局域费米子模型映射为局域自旋哈密顿量，使得两者可以用完全相同的算法处理。然而，在更高维度中，类似的变换不能保持模型的局域性。[119] 中引入了另一种将局域费米子映射为局域自旋的方法，支持使用标准 TNS 算法处理，但代价是需要引入额外的自由度，使系统规模加倍。

然而，直接使用费米子自由度来定义 TNS 是可能的。多个独立但本质上等价的方案提出了显式构造 [83, 103, 120, 121]。基本思想是在一个表示中工作，其中所有空间（虚拟和物理）都是费米子性的，并且具有明确定义的宇称，即张量对宇称变换具有对称性，如 III B 节所述。这样就可以以局域方式编码费米子算符的统计性质，从而保持计算成本随系统规模的可扩展性。

最直观的表述 [83, 120] 可以可视化为费米子模式的有效线性排序，该排序在选定 TNS 的图形表示后固定（顺序为将图上所有站点投影到一条线上时得到的顺序）。图中每条腿的交叉都必须加以考虑，因为它涉及费米子算符的对易。这可以通过用交换矩阵替代交叉来实现，该矩阵在交换具有奇宇称的费米子自由度时引入一个负号。由于张量的对称性，交换矩阵可以在网络中移动并被吸收到局域张量中，收缩过程可以遵循与自旋情形相同的顺序，从而保持主要成本。该形式体系可以与额外对称性结合 [114]，已经使 iPEPS 能够在哈伯德模型的某些参数区域中超越任何其他计算方法 [94]。

D. 动力学#

模拟时间演化是理解量子多体系统非平衡动力学的重要工具，与热化等基本问题相关。除了适用于费米子问题外，能够处理实时演化恰恰是 TNS 相对于蒙特卡罗方法的主要优势之一。

TNS 工具有多种不同的方法来解决这些问题。其中许多方法在所需的族内产生时间演化态的近似 [参见 [72] 的近期详细综述]。II C 2 节描述的标准算法通过构造有限时间步长 $\delta$ 的演化算符 $U(\delta) = e^{-i \delta H}$ 的近似，并将其作用于 TNS 波函数。通常，这会增加键维数，随后必须进行截断步骤以再次减小张量。这些方法的一个局限性是它们依赖于哈密顿量指数算符的近似，随着相互作用范围的增加，这种近似变得极其昂贵。

D. 含时模拟与基于Krylov的方法#

相比之下，基于Krylov的方法不是在整个空间内显式逼近演化算符，而是通过将算符对态的作用近似为Krylov向量的线性组合[63, 122]，直接瞄准演化步骤的结果。这反过来又需要利用TNS来近似Krylov向量本身。一种相关的方法是使用指数算符的切比雪夫展开[123]。

近年提出的含时变分原理(TDVP)[124, 125]则采用了不同的策略，即对MPS张量进行演化，使得演化过程从不离开MPS流形。这是通过将薛定谔方程右端给出的波函数变分投影到MPS的局部切平面上来实现的。尽管其哲学思想不同，但有限系统和无限系统的TDVP算法在本质上可以用与传统方法相同的基本原语来表述[125]。也就是说，猜测态的张量可以根据局部演化的解进行更新，在这种情况下，局部演化由切平面投影产生的有效哈密顿量给出。该方法的一个优点是它能够保持演化态的守恒量，如范数和能量。

在均匀MPS情形中，TDVP算法是新一代TNS算法（即所谓切线空间方法[126]）的第一个代表，它基于利用MPS流形的几何结构。这些日益流行的方法除时间演化外还有多种应用，包括uMPS的变分优化或寻找基本激发，并且已部分适用于PEPS（参见[127]的教学综述）。近年，TTN和其他等距TN的推广也已被引入[128–130]。

上述方法为研究中等时间尺度或接近平衡的量子系统的演化提供了强大的算法[72]。然而，它们仍然受到II C 2节中提到的基本限制：在时间演化下，纠缠可能快速增长，猜测态的键维数需要随模拟时间呈指数增长[70, 71]，因此在很短的时间之后，模拟就变得不可行，这个问题被称为纠缠壁垒。但对于物理问题而言，人们感兴趣的往往不是态的完整描述，而是局域可观测量的期望值，这些对应于实验上可测量的量。这里出现了一个悖论：在长时间极限下，可观测量预期会热化或趋于由统计系综良好描述的值，而这些统计系综本身可以被（混合）TNS高效近似，但在大多数情况下，纠缠壁垒使得我们无法通过追踪态的演化来达到这一区域。

因此，研究人员正在积极开展工作，探索可能避免纠缠壁垒并成功描述局域量长时间动力学的新方法。第一个建议是在海森堡图像中演化算符[131]，使用适当适配的时间演化算法。尽管没有完全解决纠缠问题，但这种方法构成了许多动力学量其他策略的基础。另一个思路是针对代表含时局域可观测量的TN，并在折叠后[132, 133]近似其在横向方向上的收缩，这可以用于访问更长时间尺度，尤其是在利用关联的有限传播速度时[134, 135]。这仍然是一个活跃的研究领域，近年来已提出了几种聚焦于局域可观测量的新策略[136–138]。

E. 激发#

利用基态的变分方法（第II C 1节），也可以通过将目标态与任意数量的先前计算态进行正交化来定位低激发态[16, 26]，这种方法在有限系统的情况下最为有用。

一种特别有用的基本激发猜测态是将其建模为作用于真空的局域微扰。在TNS框架中，可以通过对局域修正的基态进行适当的叠加来构建形式良好的动量态[7]。切线空间方法提供了一种推广这一构造的方法，这在热力学极限下尤为强大[126, 127]。在此框架下，基本激发被写为具有位置依赖动量因子的切向量，其能量可以通过变分方式优化。拓扑非平凡的激发（如畴壁）也可以用这种语言来描述。

尽管像上述这样的低能激发通常被认为满足近似的面积律，但对于一般的（高度激发态）情况并非如此。多体局域化哈密顿量是一个例外。因此，已经发展了若干特定算法来定位某个高能量值$E$下的本征态，例如使用平移-反转策略[139]，定位与特定乘积态重叠最大的给定能量态[140]，或者搜索$( H - E )^{2}$的最小本征值[141]。

IV. 更多的TN方法与展望#

张量网络技术的其他方面，超越了前面几节讨论的标准TNS工具，为探索复杂系统的物理提供了额外的途径。

A. 网络重整化方法#

IV. 更多的TN方法与展望#

张量网络技术的其他方面，超越了前面几节讨论的标准TNS工具，为探索复杂系统的物理提供了额外的途径。

A. 张量重正化群#

在量子信息视角塑造TN语言之前的早期TN文献中，一些最早的工作已经指出了多体问题与经典自旋系统配分函数中张量之间的联系[10, 142]。在这种方法中，TN精确表示一个经典模型的配分函数（这同样对应于量子模型的路径积分表述），张量收缩可用于近似计算结果。

[143]中引入的张量重正化群（TRG）方法基于二维TN的块重正化：在每个粗粒化步骤中，一组局部张量被其截断键的近似的收缩所替代，从而TN的规模减少一个常数（见图4）。最初的截断通过简单地对被收缩的张量进行奇异值分解来完成。[144]中引入了一种新策略，称为第二重正化群（SRG）方法，该方法选择了一种不同的截断，通过考虑正在计算的张量的环境，力求保持整个网络收缩的保真度。后来在[145]中提出了一种更高效的、可应用于高维系统的收缩和截断策略，使用了高阶奇异值分解。

该方法的一个缺点（已在[143]中指出）是某些短程纠缠结构无法通过TRG粗粒化消除，

特别是角双线（CDL）张量。为解决该问题，人们提出了若干修改方案，例如在重正化步骤之前，按照MERA的精神包含解纠缠器的TNR（张量网络重正化）[146]。其他方案包括对环路周围的张量进行迭代优化[147]，或处理内部关联的不同局部指标截断[86, 148]。

TRG方法也有助于收缩对应高维量子态可观测量的TN，因此可被用作PEPS优化算法的一部分[80, 81]（见第III.A节）。一个相关主题是TRG方法中费米子问题的处理。[149]中指出，多体费米子（以及玻色子）系统的波函数和期望值可以表示为Grassmann张量网络并进行收缩，其中张量分量以Grassmann变量给出，并且可以为此定义合适的TRG方法。[150]中提出了这种形式的紧凑拟设以及重正化网络和演化张量的算法，并被用于例如研究具有费米子自由度的离散化场论（参见[151, 152]中的引用）。

B. 与其他技术的联系#

探索TN方法与其他技术之间的潜在联系是一个令人兴奋的可能性，一方面可以产生新的或改进的算法，另一方面为使用TN方法处理新问题打开了大门，如下面示例所示。

• 蒙特卡罗算法：蒙特卡罗抽样可用于加速TN收缩，并变分优化TNS参数[153, 154]。从互补的角度看，TN收缩可用于直接从配分函数中抽样构型[155–157]，也可用于定义一种具有集体更新的马尔可夫链[158]。 • 机器学习：TN与机器学习之间的联系推动了近期的一些发展，包括使用TNS模型进行机器学习任务[159, 160]，以及将数值工具（如自动微分）引入TN算法[161]。 • 场论：TNS与量子场论之间的相互作用是另一个非常活跃的领域，它为晶格规范理论产生了精确的数值结果[151, 152]，同时也促进了形式化的发展，如TNS的规范对称（见第III.B节）和连续[162, 163]表述。

图4：最简单TRG方案中的粗粒化步骤：(a) 表示经典自旋模型配分函数的TN；(b) 原始TRG；(c) 高阶TRG（HOTRG）。

V. 展望#

张量网络领域在过去十年中取得了令人瞩目的发展，并仍然是一个充满活力的研究领域。目前的TN研究沿不同方向推进。一种较为形式化的方法探索了这些拟设的数学方面。从更应用的角度看，大量的努力致力于数值TN方法的发展，这是一项多方面的工程，其部分亮点已在前面几页中强调。该领域还在持续发现与看似遥远主题的协同效应，并以新的创意方式发展。所有这些方向在未来的几年中很可能产生令人兴奋的结果，可能找到有用的TNS子族，提高高维或动力学计算的效率，或者弥合形式化与数值发展之间的差距。

与此同时，成熟的TN算法已成为研究多体问题的有竞争力的计算方法。本文第一部分回顾了这些算法，使得新手可以轻松尝试将TN用于现有问题，同时也为更专业的研究人员提供了一个平台，用于实验新算法或建立TN与其他学科之间的新联系。

致谢#

我衷心感谢E. Carmona、P. Emonts、M. Frías-Pérez和T. Nishino对本文早期版本提出的批判性阅读和建设性意见。本工作部分得到了德国研究基金会（DFG）在德国卓越战略——EXC-2111——390814868下的资助。

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[88] 注3。 ???? 需要注意的是，虽然从PEPS进行有限尺寸外推是可行的，但需要确定的张量数量（例如二维系统中的$L^{2}$个）使得即使对于相对较小的尺寸，计算也已经极其漫长。

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相关资源#

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2. E. M. Stoudenmire, The Tensor Network, https://tensornetwork.org/

3. M. Fishman, E. M. Stoudenmire, S. R.White, An open source TNS library, https://itensor.org/

4. J. Hauschild, F. Pollmann, A tensor library for Python (TeNPy), https://github.com/tenpy/tenpy

5. G. Evenbly, Tensors.net, https://www.tensors.net/

阅读笔记#

一句话概括#

本文通过系统综述张量网络（TN）框架下的矩阵乘积态（MPS）、投影纠缠对态（PEPS）等主要拟设族及其算法原语，阐明了TN方法如何利用纠缠面积律以多项式参数复杂度逼近量子多体系统的基态与动力学，并指出高维（PEPS）与实时演化中纠缠壁垒仍是核心计算瓶颈。

核心论证链#

1. 建立问题背景 — 量子多体系统的希尔伯特空间随体系尺寸指数增长，精确对角化无法处理，需要有效数值方法；张量网络(TN)提供了参数随系统大小多项式增长的拟设，利用物理态的低纠缠性质（面积律）来克服指数爆炸。

2. 引入基本拟设与关键性质 — 定义 MPS（一维）、PEPS（高维）、TTN（树状）、MERA（多尺度）等 TNS 族，解析其纠缠特性（MPS 满足一维面积律、MERA 支持对数修正、PEPS 满足高维面积律），并说明 TN 的规范自由度可提升数值稳定性。

3. 构建核心算法原语 — 分解出三大底层操作：收缩（精确收缩仅适用于无环 TN，有环 TN 的精确收缩为 #P-完全问题）、张量更新（局部优化固定环境中的目标张量）和截断（通过 SVD 减小键维数，保留最大奇异值以控制误差）。

4. 论证经典算法（DMRG / TEBD / tMPS）的工作机制 — DMRG 以变分方式逐个优化 MPS 张量，单调收敛至基态；TEBD 对两体门作用后截断，用于实时/虚时演化；tMPS 则通过线性方程求解近似任意 MPO 作用。三者均依赖规范形式，且虚时演化可获取基态及热态。

5. 阐述高维推广（PEPS）的核心挑战 — PEPS 自然满足二维面积律但缺少高效精确收缩和规范形式；实际算法必须采用近似收缩（边界 MPO-MPS、角转移矩阵 TRG 等）和简单/完全更新策略（简单更新忽略环境关联，完全更新考虑环境但成本高达 $O(D^{10})$）。

6. 总结前沿拓展与根本局限 — 对称性嵌入（阿贝尔/非阿贝尔）、费米子 TN（通过宇称对称与交换矩阵）、含时变分原理（TDVP）、基于 Krylov 的动力学方法等正在推进边界；但实时演化下纠缠线性增长导致“纠缠壁垒”，使得长时间动力学模拟在原则上受限。

实验参数详解#

本文为综述文章，不包含单一实验。以下为各算法典型计算复杂度/关键参数表：

批判性思考#

1. MPS 对二维系统的蛇形映射存在根本局限 — 将二维晶格缠绕为一维 MPS 时，切割单个键对应的二分法可能穿过系统的大量物理连接，导致纠缠面积律所需键维数随系统截面尺寸指数增长。这意味着蛇形 MPS 本质上不是二维问题的理想拟设，文献中仅能通过在长圆柱几何上谨慎有限尺寸外推来部分弥补。

2. PEPS “简单更新”可能不收敛于变分最优解 — 简单更新将环境近似为虚腿上的对角乘积（忽略空间关联），在虚时演化中虽稳定高效，但多项对比研究表明其在固定键维数下不如“完全更新”接近精确基态。这意味着算法效率以牺牲变分严谨性为代价，无法保证单调能量下降。

3. 实时演化的纠缠壁垒是原则性而非技术性问题 — 论文明确指出局域哈密顿量下的全局量子淬火导致纠缠线性增长，MPS 键维数需随模拟时间指数增长（$D \propto e^{vt}$）。这意味着即使采用 TDVP 或 Krylov 方法，在中等时间后模拟变得不可行。近年的轻量方法（如海森堡图像算符演化、局域观测量折叠后收缩）虽有一定进展，但尚未从根本上解决问题。

4. PEPS 缺少规范形式影响数值稳定性 — 与 MPS 不同，PEPS 在变分优化中分母处的有效范数项不能简化为单位矩阵，局部问题需要矩阵求逆。这导致更高计算成本和条件数恶化问题。虽然可以通过规范自由度优化条件数（如 Lubasch et al. 2014），但这一步骤本身就是额外的数值挑战。

局限性#

• 实时演化的“纠缠壁垒”：对远离平衡的动力学，态纠缠线性增长导致所需键维数指数上升，根本性地限制了可模拟的时间尺度。
• PEPS 收缩为 #P-完全问题：即使键维数很小，二维及以上 TN 的精确收缩在一般情况下无法高效实现，所有实际算法均依赖近似，缺乏严格的误差边界。
• MPS 无法精确描述临界系统：一维临界系统具有对数修正的面积律，MPS 的关联函数指数衰减，只能通过有限纠缠标度外推近似，不能直接捕获幂律关联。
• 长程相互作用的算法成本剧增：特罗特分解及 MPO 表示的计算代价随相互作用范围急剧增加，虽存在近似方案但精度受损。
• 费米子 TN 的形式体系繁琐：需要引入宇称对称性、交换矩阵和格点排序，实现复杂度远高于自旋系统，且高维费米子 PEPS 仍难广泛应用。
• 非阿贝尔对称性实现不普及：虽存在完整形式化框架（Singh & Vidal 2012, Weichselbaum 2012），但因实现繁琐，实际使用远少于阿贝尔情况。

关键公式速查#

• $$|\Psi\rangle = \sum_{i_1,\dots,i_N=1}^{d} \operatorname{tr}\big(A[1]^{i_1}A[2]^{i_2}\dots A[N]^{i_N}\big) |i_1 i_2\dots i_N\rangle$$— MPS 显式表达式，式(1)
• $$|\Phi_{\mathrm{GS}}^{(D)}\rangle = \operatorname{argmin}_{|\Psi_D\rangle} \frac{\langle\Psi_D|H|\Psi_D\rangle}{\langle\Psi_D|\Psi_D\rangle}$$— MPS 变分基态优化（DMRG），式(2)
• $$S \leq 2\log D$$— MPS 半链纠缠上界（面积律），正文推导
• $$|\Psi(\beta)\rangle \propto e^{-\beta H/2} \sum_n |n\rangle|n\rangle$$— 热场双态（纯化热态），正文
• $$U(\delta) = e^{-i\delta H} \simeq \prod_{\langle i,j\rangle} e^{-i\delta h_{ij}}$$— 特罗特-铃木分解，时间演化步近似，正文
• $$\text{PEPS 完全更新成本} = \mathcal{O}(D^{10})$$— 二维 PEPS 完全更新计算复杂度，正文

术语对照#