量子主成分分析

量子主成分分析#

Seth Lloyd^1,2*, Masoud Mohseni 和 Patrick Rebentrost

揭示未知量子态性质的常规方法，是在获得该量子态系统多个副本的前提下，测量不同的可观测量并对结果进行统计分析^1,2。对于非稀疏但低秩的量子态，以经典形式揭示特征向量及对应特征值的计算复杂度随系统维度超线性增长^3–6。本文证明，密度矩阵为 $\pmb{\rho}$ 的量子系统的多个副本可用于构造酉变换 $\mathbf{e}^{- i \rho t} .$。因此，可以对未知低秩密度矩阵进行量子主成分分析，以量子形式揭示大特征值对应的特征向量，其速度比任何现有算法快指数级。我们讨论了其在数据分析、过程层析成像和状态区分中的应用。

量子层析成像是发现未知量子态 $\rho$ 特征的过程（参考文献1,2）。量子层析成像是一种广泛使用的工具，在通信系统（如光学信道）、精密测量设备（如原子钟）和量子计算等领域具有重要的实际应用。量子层析成像的基本假设是，在一个 $d$ 维希尔伯特空间中，我们获得了多个 $\dot{} \rho$ 的副本，例如原子钟中原子所处的状态或量子信道的输入和输出。多种测量技术使我们能够提取所需的状态特征。例如，近期发展表明，量子压缩感知在确定未知量子态或动力学方面能提供显著优势，尤其是在该状态或动力学可由低秩或稀疏矩阵表示时^3–5,7,8。矩阵的谱分解根据其特征向量及对应特征值来表示该矩阵。通过舍弃低于给定阈值的特征值及对应特征向量，可以从谱分解构造出矩阵的最优低秩近似。这个过程通常称为主成分分析（PCA），可用于例如构造采样随机向量的半正定对称协方差矩阵的低秩近似^9,10。当面对大量高维向量时，PCA 的成本过高。

传统的量子态层析成像通过对状态的多个副本进行测量来运作：状态扮演的是被动的角色。本文表明，状态在其自身的分析中可以发挥动态作用。特别地，我们证明状态 $\rho$ 的多个副本可用于实现酉算子 $\mathrm{e}^{- i \rho t} \mathrm{:}$ 即，该状态充当能量算子或哈密顿量，对其他状态产生变换。因此，密度矩阵的多个副本可用于以量子形式揭示该矩阵的特征向量和特征值。通过进一步的处理和测量，这种密度矩阵求幂可以为量子层析成像带来显著优势。此外，它使我们能够对未知低秩密度矩阵执行量子 PCA（qPCA），在 O(log d) 的时间内构建对应于状态大特征值的特征向量（主成分），这比现有算法实现了指数级的加速。我们还展示了 qPCA 如何为状态区分和聚类分配提供新方法。

假设我们拥有 $\rho .$ 的 $n$ 个副本。一个简单的技巧使我们能够将酉变换 $\mathrm{e}^{- i \rho t}$ 应用于任意密度矩阵 σ，精度达到 $t$ 的 $n$ 阶。注意

这里 tr 表示对第一个变量的偏迹，S 是互换算符。S 是一个稀疏矩阵，其元素能够高效计算，因此 $\mathrm{e}^{- i S \Delta t}$ 可以高效实现^11–14。反复将 (1) 式应用于 n 份 $\rho$ 的副本，可以构造出 $\mathrm{e}^{- i \rho n \Delta t} \sigma \mathrm{e}^{i \rho n \Delta t}$。与量子模拟的铃木–Trotter 理论^11–14 的比较表明，要模拟 $\mathrm{e}^{- i \rho t}$ 达到精度 ，需要 $n {=} O ( t^{2} \epsilon^{- 1} | \rho - \sigma | ^{2} ) {\leq} O ( t^{2} \epsilon^{- 1} )$ 步，其中 $t = n \Delta t$，$<$sup$>$|$<$/sup$>$ $<$sup$>$|$<$/sup$>$ 表示上确界范数。因此，只需对 $\rho^{\otimes} \sigma$ 反复进行无穷小的互换操作，就能构造出幺正算符 $\mathrm{e}^{- i \rho \bar{t}}$。文献 15 中的量子矩阵求逆技术，则允许我们利用多个密度矩阵 $\rho$ 的副本，对任意简单可计算的函数 $g ( x )$ 高效实现 e^{−ig (ρ)}。

需要注意的是，当 $\rho$ 的某些特征值较大时，密度矩阵求幂最为有效。如果所有特征值的量级均为 $O ( 1 \bar{/} d )$，那么就需要时间 $t = O ( d )$ 来分辨这些特征值。相反，如果密度矩阵由少数几个大特征值主导——即该矩阵能很好地由其主成分表示——那么该方法效果很好（精度将在下文分析）。在这种情况下，存在一个维度为 $R \ll d$ 的子空间，使得 $\rho$ 在该子空间上的投影接近 $\rho \colon \| \rho - P \rho P \| _{1} \leq \epsilon .$，其中 P 是该子空间的投影算符。当矩阵是低秩时，投影是精确的。目前矩阵求幂的技术在待求幂矩阵为稀疏矩阵时是高效的^13,14。这里的构造表明，只要能够获得相应密度矩阵的多个副本，非稀疏但低秩的矩阵也能够被高效求幂。

密度矩阵求幂现在允许我们应用量子相位算法来找出未知密度矩阵的特征向量和特征值。如果我们有 n 份 $\rho$ 的副本，就可以利用应用 $\mathrm{e}^{- i \rho t}$ 的能力来执行量子相位算法。特别地，量子相位算法通过对不同时间 t 条件性地应用 e^−iρt，将任意初始态 $| \psi \rangle | 0 \rangle$ 转化为 $\sum_{i} \psi_{i} | \chi_{i} \rangle | \tilde{r}_{i} \rangle$，其中 $<$sup$>$|$<$/sup$>$χ $<$sup$>$i$<$/sup$>$ 是 $\rho$ 的特征向量，$\tilde{r}_{i}$ 是对应特征值的估计，而 $\psi_{i} = \langle \chi_{i} | \psi \rangle$。文献 16,17 指出，应用未知幺正算符的能力并不能自动转化为以条件方式应用该幺正算符的能力。然而在这里，条件操作只需在上述推导中将 SWAP 算符替换为条件 SWAP 即可简单实现。更精确地说，取 $t = n \Delta t$，并对状态

应用幺正算符 $\begin{array} {r} {\sum_{n} | n \Delta t \rangle \langle n \Delta t | \otimes^{\cdot} \Pi_{j = 1}^{n} \mathrm{e}^{- i \delta_{j} \Delta t}} \end{array}$，其中 $\sigma = \vert \chi \rangle \langle \chi \vert$，而 $S_{j}$ 是将 $\sigma$ 与第 j 份 $\rho$ 副本进行互换的算符。取 $\rho$ 副本上的偏迹，便得到所需的条件操作 $| t \rangle | \chi \rangle | t \rangle \mathrm{e}^{- i \rho t} | \bar{\chi} \rangle$。将此条件操作插入量子相位算法，并使用文献 15 中改进的相位估计技术，通过在时间 $t = O ( \epsilon^{- 1} )$ 内应用量子相位算法，可以以精度  得到特征向量和特征值，因此需要状态 $\rho$ 的副本数 $\stackrel{\cdot} {n} = \bar{O ( 1 / \epsilon^{3} )}$。使用 $\rho$ 本身作为初始状态，量子相位算法产生状态

对该状态进行采样，使我们能够揭示 $\rho$ 的特征向量和特征值的特征。使用状态的多个副本构建其特征向量和特征值的做法，在此处称为qPCA。

如上所述，当 $\rho$ 具有较小的秩R或允许秩R近似时，qPCA是有用的。在这种情况下，只有最大的R个特征值会在特征向量/特征值分解(2)中作为非零值出现。使用 $\rho$ 的mn个副本，我们得到分解式(2)的m个副本，其中第i个特征值 $r_{i}$ 出现 ^≈ r m 次。随后，通过执行量子测量来获得特征向量对期望Hermitian量 M 的期望值 $\langle \chi_{i} | M | \mathbf{\bar{\chi}}_{i} \rangle$，即可确定第i个特征态的特征。只要M是稀疏的^11–14，或者可由本文给出的方法高效模拟，该测量本身就可以在O(log d)时间内完成。qPCA能高效地揭示未知密度矩阵 $\rho$ 的特征向量和特征值，并允许我们探测其性质。例如，在凝聚相的多体量子系统（如关联电子系统和化学系统）中，当已知系统处于基态或前几个激发态时，模拟感兴趣的某些物理和化学性质（如关联函数、偶极矩、态间跃迁、隧穿率、化学反应）具有重要意义。我们的量子算法可用于估计相应特征向量上的这类可观测量。

作为数据分析的一个应用，假设密度矩阵对应于一组数据向量 $\mathbf{a}_{i} \in C^{d}$ 的协方差矩阵，这些向量可以使用预言机在量子并行下生成。接下来将展示，qPCA使我们能够在O(log d)时间内找出并处理数据空间中方差最大的方向。定义协方差矩阵 $\Sigma{=} A A^{\dagger}$，其中 $A$ 的列向量为 ${\bf a}_{j}$，不必归一化到1。在量子力学形式下，$\begin{array} {r} {A = \sum_{i} \vert \mathbf{a}_{i} \vert \vert a_{i} \rangle \langle \bar{e}_{i} \vert} \end{array}$，其中 $\left| e_{i} \right.$ 是一组正交基，并且 ^|a ⁱ 已归一化到1。假设我们可以量子方式访问A的列向量 ^|a ⁱ 及其范数 ^|a ^|。也就是说，我们有一台量子计算机或量子随机存取存储器^18–20，它接受 $| i \rangle | 0 \rangle | 0 \rangle | i \rangle | a_{i} \rangle | | {\bf a}_{i} | ;$ ⁱ。量子随机存取存储器需要O(d)的硬件资源来存储所有向量的系数，以及O(d)个开关来使其可访问，但允许在O(log d)次操作中访问数据。如参考文献21所述，对向量和范数的量子访问使我们能够构造（未归一化的）状态 $\textstyle \sum_{i} | \mathbf{a}_{i} | | e_{i} \rangle | a_{i} \rangle$：第二个寄存器的密度矩阵与Σ成正比。使用 $n = O ( t^{2} \epsilon^{- 1} )$ 个 $\Sigma / \mathrm{tr} \Sigma$ 的副本，我们可以在O(n log d)时间内以精度实现 $\mathrm{e}^{- i t \Sigma / \mathrm{tr} \Sigma}$。我们的方法允许在O(log d)时间内指数化任何低秩矩阵Σ，只要它以Gram形式 $\Sigma = A A^{\dagger}$ 呈现给我们，并且我们能够量子方式访问 $A$ 的列向量。相比之下，使用高阶Suzuki-Trotter展开^11–14的现有方法需要O(d log d)次操作来指数化非稀疏哈密顿量。密度矩阵指数化将 $\mathrm{e}^{- i \Sigma t}$ 的高效实现扩展到了很大一类非稀疏但低秩的矩阵Σ。

对量子态的 qPCA 可通过使用 Choi–Jamiolkowski 状态 $\textstyle ( 1 / d ) \sum_{ij} | {\dot{i}} \rangle \langle j | \otimes{\hat{S (}} | i \rangle \langle j | )$ 扩展到量子过程，这里 $s$ 是一个完全正映射（参考文献22）。关于 Choi–Jamiolkowski 同构在量子态和过程层析成像背景下的全面综述，请参见参考文献2，其中包括对各种纠缠辅助协议的详细资源分析。例如，对于量子通道层析成像，Choi–Jamiolkowski 状态是通过将一半完全纠缠的量子态沿通道发送而获得的。然后可以使用 qPCA 来构建对应于此状态主要特征值的特征向量：所得谱分解反过来封装了该通道的许多最重要属性。

qPCA 是一种新的态和过程层析成像原语，能够揭示密度矩阵的特征向量和特征值。为了更清晰地了解 qPCA 的优缺点，将其与量子压缩感知^3–5,7,8进行比较是很有用的，后者是一种用于对稀疏和低秩密度矩阵进行层析成像的强大方法。主要区别在于，qPCA 在时间 O(R log d) 内构造特征向量并将其与相应的特征值关联起来：随后这些特征向量以量子形式可用，因此可以通过测量来检验其属性，并与特征值相关联。相比之下，压缩感知^3–5,7,8是一种态和过程层析成像方法，它在时间 O(Rd log d) 内重构完整密度矩阵的经典描述。仅采用单量子比特的制备和测量。qPCA 也可用于对特征向量进行态层析成像，在时间 O(Rd log d) 内揭示其分量。然后，这种特征值和特征向量的经典描述可用于在时间 O(Rd log d) 内重现完整的密度矩阵，这与量子压缩感知的时间相同，但依赖于多量子比特的无穷小交换操作。相比之下，使用压缩感知构造特征向量和特征值，必须首先重构密度矩阵，然后将其对角化，对于低秩矩阵，通过随机算法，这需要时间 $> O ( d^{2} \log R + \dot{d} R^{2} )$。通过信息论论证可以证明，在无先验知识的情况下通过采样寻找低秩逼近的下界是 Ω(d)（参考文献23）。qPCA 还可以与基于群表示的方法进行比较，这些方法用于估计密度矩阵的谱和特征向量^24–26。这些方法在时间 O(poly(log d)) 内揭示谱^24–26，但需要时间 $O ( d^{2} )$ 来重构特征向量。

qPCA 在态判别和分配中也很有用。例如，假设我们可以从两组各 m 个态中进行采样，第一组 ^{|φ ^i} 由密度矩阵 $\rho = ( 1 / m ) \sum_{i} | \phi_{i} \rangle \langle \phi_{i} |$ 表征，第二组 ^{|ψ ^i} 由密度矩阵 $\textstyle \sigma = ( 1 / m ) \sum_{i} | \psi_{i} \rangle \langle \psi_{i} |$ 表征。现在我们得到一个新态 ^|χ ⁱ。我们的任务是将该态分配到其中一个集合。然后，密度矩阵指数化和量子相位估计使我们能够将 $| \chi \rangle$ 按 $\rho{-} \sigma$ 的特征向量和特征值进行分解；

其中 $| \xi_{j} \rangle$ 是 $\rho{-} \sigma$ 的特征向量，$x_{j}$ 为对应特征值。测量该特征值寄存器，若特征值为正则将 $| \chi \rangle$ 归入第一集合，若为负则归入第二集合。若 $\left| \chi \right.$ 选自两个集合之一，则该过程本质上是最小误差态判别，但速度呈指数级提升。额外好处在于，所测特征值的幅值可作为集合分配测量置信度的度量：幅值越大对应分配置信度越高，幅值为1时对应确定性——此时 $^{|}$ξ $^{i}$ 与其中一个集合的所有成员正交。若 $| \chi \rangle$ 为其他向量，则该方法提供了监督学习与聚类分配方法^9,10,21,28：两个集合作为训练集，向量被分配至与其更相似的向量集合。

讨论#

密度矩阵指数化为分析未知密度矩阵的性质提供了强大工具。利用 ρ 的 n 份副本施加酉算子 $\mathrm{e}^{- i \rho t}$ 的能力，使我们能够将非稀疏 d 维矩阵指数化至精度 $\scriptstyle \epsilon = O ( t^{2} / n )$，并通过 qPCA 在 O(R log d) 时间内构造低秩矩阵 ρ 的特征向量与特征值。与量子矩阵求逆类似，qPCA 将传统中耗时与系统维度多项式关系的经典过程，映射为耗时与维度对数多项式关系的量子过程。这种指数级压缩意味着 qPCA 仅能揭示描述系统所需的全部信息中的一小部分。然而，正如密度矩阵指数化重构其主成分的能力所示，这一特定信息子集可能极具价值。

我们预计 qPCA 将在多种量子算法与测量应用中发挥关键作用。如量子聚类分配示例所示，qPCA 可用于加速聚类与模式识别等机器学习问题^8,9,20,26。识别矩阵最大特征值及其对应特征向量的能力，对于表示和分析大量高维数据具有潜在价值。

致谢#

本研究得到DARPA、Google-NASA量子人工智能实验室、AFOSR MURI项目以及J. Epstein的支持。作者感谢A. Childs和R. Kothari进行的有益讨论。

作者贡献#

S.L.、M.M.和P.R.对本文所述的理论研究与手稿撰写均有贡献。

补充信息#

重印与许可信息可在线查阅：www.nature.com/reprints。 通讯作者及材料索取请联系S.L.。

竞争性财务利益#

作者声明不存在竞争性财务利益。

参考文献#

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阅读笔记#

一句话概括#

本文提出密度矩阵求幂技术：利用未知密度矩阵 $\rho$ 的多份副本，通过反复执行无穷小 SWAP 操作构造酉变换 $\mathrm{e}^{-i\rho t}$，并结合量子相位估计对低秩密度矩阵执行量子主成分分析（qPCA），在 $O(R\log d)$ 时间内提取主成分（最大特征值与对应特征向量），相比经典 PCA 的 $\Omega(d^2)$ 实现指数加速。核心结论：当 $\rho$ 由少数 $R\ll d$ 个大特征值主导时，qPCA 能高效揭示其特征谱，但所需副本数随精度 $\epsilon$ 呈立方增长（$n=O(1/\epsilon^3)$），且依赖量子随机存取存储器等昂贵硬件。

核心论证链#

1. 问题定义：经典 PCA 对 $d\times d$ 协方差矩阵计算主成分需 $O(d^2)$ 以上操作（谱分解或随机SVD），而量子态层析成像同样面临维数灾难。本文目标是利用量子并行性突破这一瓶颈。
2. 密度矩阵求幂原理：使用互换算符 $S$ 对 $\rho\otimes\sigma$ 施加无穷小演化 $\mathrm{e}^{-iS\Delta t}$，取偏迹得 $\sigma - i\Delta t[\rho,\sigma]+O(\Delta t^2)$。为何这样做？ 因为偏迹操作将 $\rho$ 的副本“嵌入”为演化生成元，使 $\sigma$ 经历 $\rho$ 生成的酉演化 $\mathrm{e}^{-i\rho\Delta t}$ 的一阶近似。
3. 副本数与精度的关系：通过重复上述步骤 $n$ 次得到 $\mathrm{e}^{-i\rho n\Delta t}$，类比铃木–Trotter模拟，误差对 $t=n\Delta t$ 呈二次增长，故所需副本数 $n=O(t^2\epsilon^{-1})$。结论：模拟时间越长、精度越高，所需 $\rho$ 副本越多。
4. 条件酉操作的量子实现：将控制寄存器与演化时间 $n\Delta t$ 编码，利用条件 SWAP 实现受控 $\mathrm{e}^{-i\rho t}$，避免参考文献[16,17]指出的“无法控制未知酉操作”问题。为何可行？ 因为控制寄存器可以区分不同的 $n$，而 SWAP 算符本身已知，可被条件地应用。
5. 量子相位估计提取特征谱：对初始态 $|\psi\rangle|0\rangle$ 应用受控 $\mathrm{e}^{-i\rho t}$ 及逆傅里叶变换，输出态 $\sum_i \psi_i |\chi_i\rangle|\tilde{r}_i\rangle$，其中 $|\chi_i\rangle$ 是 $\rho$ 的特征向量，$\tilde{r}_i$ 为特征值估计。结论：qPCA 一次运行即可同时获得所有特征向量和特征值（以量子叠加态形式）。
6. 复杂度分析：相位估计需时间 $t=O(\epsilon^{-1})$，代入副本数公式得 $n=O(1/\epsilon^3)$；对秩 $R$ 的低秩矩阵，后续测量 $R$ 个主成分需 $O(R\log d)$ 次操作。结论：qPCA 在维度 $d$ 上呈对数复杂度，但在精度 $\epsilon$ 上代价高昂。
7. 扩展至协方差矩阵与过程层析成像：若经典数据以 Gram 形式 $\Sigma=AA^\dagger$ 存储于 QRAM，则其密度矩阵 $\Sigma/\mathrm{tr}\Sigma$ 可通过量子态制备获得，直接应用 qPCA。过程层析成像通过 Choi–Jamiolkowski 同构将量子通道映射为密度矩阵，同样适用。结论：qPCA 推广了传统仅对稀疏哈密顿量有效的量子模拟方法。

实验参数详解#

批判性思考#

1. 副本数对精度的立方依赖：$n=O(1/\epsilon^3)$ 意味着 $\epsilon=0.01$ 需 $10^6$ 份副本，$\epsilon=0.001$ 需 $10^9$ 份。制备如此多高品质副本在实验上几乎不可能，且退相干时间限制了最大可操作时间 $t$，实际可达精度可能远低于理论值。
2. 条件酉操作的实现代价被低估：论文声称通过条件 SWAP 即可实现受控 $\mathrm{e}^{-i\rho t}$，但控制寄存器需与 $n$ 份 $\rho$ 副本逐一作用，量子线路深度为 $O(n)$，门保真度累积误差随 $n$ 线性增长，使整体精度进一步恶化。
3. 经典读出成本被选择性忽略：qPCA 输出的是量子态 $\sum_i r_i|\chi_i\rangle|\tilde{r}_i\rangle$，要获得主成分的经典表示（如用于后续机器学习），必须对每个特征向量进行量子态层析成像，成本 $O(Rd\log d)$，与量子压缩感知的 $O(Rd\log d)$ 持平，且后者不需要多量子比特纠缠操作。
4. 低秩假设的鲁棒性缺失：论文仅给出 $||\rho-P\rho P||_1\leq\epsilon$ 的低秩近似条件，但未分析当特征值分布呈“长尾”时（如 $r_i\sim 1/i^\alpha$），所需秩 $R$ 可能随 $\epsilon^{-1/\alpha}$ 增长，导致 $R$ 接近 $d$，算法退化为 $O(d\log d)$，失去指数加速优势。
5. 与经典随机SVD的实际对比：经典随机SVD在 $O(dR\log R)$ 时间内可高概率获取秩 $R$ 近似，且可在 $d=10^6$ 的现代数据上运行。qPCA 的 $O(\log d)$ 优势仅在 $d>10^{20}$ 时才显著，而当前量子硬件可处理的量子比特数（$\sim100$）对应 $d=2^{100}$ 但保真度远不足以运行深线路。算法在近期设备上无实际应用前景。
6. Trotter误差的高阶项被忽略：论文仅考虑 $O(\Delta t^2)$ 主项误差，但多次交换操作的非对易性会导致高阶累积误差。对于非稀疏密度矩阵，SWAP 门序列的总误差可能超过理论边界 $O(t^2/n)$，需要更精细的误差分析。

局限性#

• 适用范围受低秩限制：若密度矩阵特征值均匀分布（如 $d$ 维最大混合态），$R\approx d$，所需副本数与时间均随 $d$ 线性增长，无加速优势（论文自身承认需 $t=O(d)$）。
• 模拟时间与副本数的二次-立方矛盾：相位估计要求 $t=O(1/\epsilon)$，而单步求幂要求 $n=O(t^2/\epsilon)$，导致总副本数 $n=O(1/\epsilon^3)$。以 $\epsilon=0.01$ 计，需 $10^6$ 份 $\rho$；若每次制备需 $1\mu$s，总制备时间达 $1s$，远超典型量子比特退相干时间（毫秒级）。
• 特征向量经典读出的信息论下界：信息论证明，无先验知识下寻找低秩逼近所需采样数下界为 $\Omega(d)$（参考文献[23]），因此 qPCA 的 $O(\log d)$ 只能获得量子态形式的主成分，不可能绕过该下界。要获得经典描述，必须付出 $\Omega(d)$ 代价。
• 条件SWAP操作的物理实现限制：论文假设控制寄存器与 $n$ 份 $\rho$ 之间可执行纠缠操作，但实际多量子比特控制精度随 $n$ 指数下降。且控制寄存器本身需 $O(\log n)=O(1/\epsilon)$ 量子比特，与精度耦合。
• 量子随机存取存储器的硬件瓶颈：QRAM 需要 $O(d)$ 个物理元件及光学/超导开关阵列，且对误差容忍度极低。当前无实验实现可支持 $d>10^6$ 的 QRAM，且存储时间受限于相干性。
• 与量子压缩感知的互补而非替代关系：量子压缩感知无需多量子比特纠缠操作，仅需单量子比特测量，硬件门槛低，且可直接输出经典密度矩阵。qPCA 仅当需要量子态形式的主成分（如用于进一步量子处理）时才有独特优势。
• 对初始态 $|\chi\rangle$ 没有先验要求：qPCA 使用 $\rho$ 自身作为初始态，输出即特征态。但若需测试特定可观测量，需额外量子门实现特征向量上的测量，复杂度未计入。
• 缺少对噪声模型的鲁棒性分析：论文假设理想量子门、无退相干，未讨论散粒噪声或门误差对特征值估计的影响。噪声可能导致特征值模糊，使低秩假设失效。

关键公式速查#

• $$ \operatorname{tr}_P\mathrm{e}^{-iS\Delta t}\rho\otimes\sigma\mathrm{e}^{iS\Delta t}= \sigma-i\Delta t[\rho,\sigma]+O(\Delta t^2) $$— 密度矩阵求幂核心恒等式，式 (1)
• $$ n = O(t^2\epsilon^{-1}|\rho-\sigma|^2) \leq O(t^2\epsilon^{-1}) $$— 达到演化精度 $\epsilon$ 所需 $\rho$ 副本数，Trotter 推导
• $$ \| \rho - P\rho P \|_1 \leq \epsilon $$— 低秩近似条件，$P$ 为秩 $R$ 投影
• $$ \sum_i r_i |\chi_i\rangle\langle\chi_i| \otimes |\tilde{r}_i\rangle\langle\tilde{r}_i| $$— qPCA 输出纠缠态，式 (2)
• $$ \Sigma = AA^\dagger $$— 协方差矩阵的 Gram 形式，$A$ 为数据矩阵
• $$ \mathrm{e}^{-i\rho t} $$可通过 $n=O(t^2/\epsilon)$ 份 $\rho$ 以精度 $\epsilon$ 实现 — 密度矩阵求幂工程实现
• $$ \text{(Choi–Jamiolkowski 状态)} \quad \frac{1}{d}\sum_{ij}|i\rangle\langle j|\otimes\mathcal{E}(|i\rangle\langle j|) $$— 量子通道的密度矩阵表示
• $$ \text{随机SVD复杂度} \quad O(dR\log R + R^2 d) $$— 经典低秩逼近下界（文献[6]）

术语对照#

延伸阅读#

• 量子压缩感知：Gross et al., Phys. Rev. Lett. 105, 150401 (2010)
• 量子随机SVD：Liberty et al., Proc. Natl Acad. Sci. USA 104, 20167 (2007)
• 量子矩阵求逆（HHL算法）：Harrow et al., Phys. Rev. Lett. 103, 150502 (2009)
• 量子机器学习综述：Biamonte et al., Nature 549, 195 (2017)
• 关于“不能控制未知酉操作”的讨论：Araújo et al., arXiv:1309.7976 (2013)

延伸阅读#

• 离子阱运动振子量子态的特征函数直接层析 — Flühmann & Home (2020) 实现了囚禁离子运动模式对称特征函数的直接测量——将数据采集时间相对以往方法降低了一个数量级以上，并用该方法表征了压