双驱动二能级系统中的非绝热几何相位

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双驱动二能级系统中的非绝热几何相位#

引用本文：Weixin Liu 2023 32 050311

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双驱动二能级系统中的非绝热几何相位#

Weixin Liu（刘伟新）¹，Tao Wang（汪涛）^2,3,†，及 Weidong Li（李卫东）⁴

¹ 山西大学理论物理研究所与物理系，量子光学与量子光学器件国家重点实验室，极端光学协同创新中心，太原 030006，中国

² 重庆大学物理系与量子材料与器件中心，重庆 401331，中国

³ 重庆强耦合物理重点实验室，重庆 401331，中国

⁴ 深圳超强激光与先进材料技术重点实验室，先进材料诊断技术中心，及深圳技术大学工程物理学院，深圳 518118，中国

（2022年5月28日收稿；2022年8月6日修回；2022年8月16日接收）

我们理论研究了双驱动二能级系统中的非绝热几何相位，其中引入了两个驱动模式之间的附加相对相位。研究表明，系统的时间演化强烈依赖于这一相对相位。通过 Landau–Zener–Stuckelberg–Majorana 相消干涉的方法，给出了系统在一个周期后返回初始状态的条件。伴随循环演化的非绝热几何相位被证明与 Stokes 相位以及该相对相位相关。通过控制相对相位，几何相位可以在绝热极限下表征两个不同的相位。

关键词：二能级系统，几何相位，Landau–Zener–Stuckelberg–Majorana 干涉

PACS: 03.65.Vf, 03.67.Lx, 42.50.Gy

1. 引言#

自 Berry[1] 发现以来，规范不变的几何相位无论在理论还是实验研究中都引起了极大的兴趣。[2–13] 最初，Berry 指出，当哈密顿量在参数空间中缓慢、绝热地绕回路变化时，量子系统会在含时哈密顿量的瞬时本征态中获得一个非平凡的相位因子，除了常见的动力学相位之外。随后，Aharonov 和 Anandan 将绝热的 Berry 相位推广到非绝热情况，适用于量子系统自身的任何循环演化，称为 Aharonov–Anandan（AA）相位，[3] 它在绝热极限下趋近于 Berry 相位。Samuel 和 Bhandari 将 Berry 相位推广到非循环和非幺正的情况。[7] 进一步推广已在各种物理系统中得到研究，例如非线性系统、[14] 混合态、[15] 和开放系统。[16] 由于几何相位仅取决于某些全局几何特征，并对特定噪声表现出鲁棒性，[17–19] 它们对于量子计算和量子信息处理具有潜力，并已在各种量子系统中被观测到。[6,9,11,21–25]

与受绝热条件约束的绝热几何相位不同——绝热条件在实际实验中会导致操作时间的固有限制——非绝热几何相位则独立于操作时间，因此在实验上更具可行性。[26] 然而，由于具有真正含时哈密顿量的量子系统通常难以解析求解，[27] 人们常常需要寻找各种适当的近似方法来获得几何相位。最近，Landau–Zener–Stuckelberg–Majorana (LZSM) 干涉测量已成为处理一类涉及几何相位的含时二能级系统的有用工具。[20,28–33] 基于所谓的绝热脉冲模型 (AIM)，可以解析地得到态矢量的演化。在 LZSM 相消干涉条件下，系统在循环演化后回到初始态，并且可以获取与所谓的 Stokes 相位相关的非绝热几何相位。[28,31] 然而，相消干涉条件以及非绝热几何相位与系统参数之间的关系并不明显，也不易直接获得。人们可能需要一份详细的描述，说明如何操控系统以产生确定的非绝热几何相位，这对于量子计算（例如构建通用量子门）是有帮助的。[26,34,35]

在这项工作中，我们考虑一个双驱动的二能级系统，其中哈密顿量的两种驱动模式可通过一个额外的相对相位来调节。该模型最近已在一个光学晶格钟 (OLC) 系统中通过实验实现，并通过微调该相对相位清晰地观察到了不同 Floquet 通道之间的干涉。[36] 与先前基于可分辨 Floquet 边带近似 (RFSA) 在参数区域 $g \ll \omega_{\mathrm{s}}$ 的工作不同，[36] 这里我们进入超出 RFSA 范围的参数区域 $g > \omega_{\mathrm{s}}$。借助 AIM，我们展示了系统由于由相对相位控制的能隙的开启和关闭而导致的多种时间演化情况。解析结果与通过数值 Floquet 方法得到的数值结果吻合良好。[37,38] 此外，在 LZSM 相消干涉条件下，我们展示了伴随循环态演化的几何相位（AA 相位）与斯托克斯相位以及相对相位有关，并且可以通过系统参数灵活地操控。由于在避免交叉点处通过控制相对相位改变了本征能隙的符号，因此循环演化后的几何相位在绝热极限下表征了两个不同的相位。

2. 模型#

我们考虑一个由含时哈密顿量 $( \hbar = 1 )$ 控制的双驱动二能级系统

其中 $\pmb{\varepsilon} ( t ) = \delta + A \omega_{\mathrm{s}} \cos ( \omega_{\mathrm{s}} t )$ 和 $\Delta \left( t \right) = g \cos ( \omega_{\mathrm{s}} t + \psi )$ 分别代表纵向和横向驱动场，$\delta$ 为静态偏置，$\omega_{\mathrm{s}}$ 为驱动频率，$A$ 和 $g$ 分别是纵向和横向驱动振幅，而 $\psi$ 是横向驱动场的初始相位。$\hat{\sigma}_{x , z}$ 是泡利矩阵。记 $| e \rangle$ 和 $| g \rangle$ 为 $\hat{\sigma}_{z}$ 的特征态，对应特征值 ±1，它们同时也是无横向驱动时哈密顿量(1)的特征态 $[ \mathrm{i} . \mathrm{e} . , \Delta ( t ) = 0 ]$ ，构成了绝热基（diabatic basis）。当 $A \omega_{\mathrm{s}} > \delta$ 时，无横向驱动的哈密顿量(1)的特征能在 $t_{1 , 2} + n T$ 处发生交叉，其中 $\begin{array} {r} {\omega_{\mathrm{s}} t_{1} = \operatorname{arccos} ( - \frac{\delta} {A \omega_{\mathrm{s}}} )} \end{array}$、$\omega_{\mathrm{s}} t_{2} = 2 \pi - \omega_{\mathrm{s}} t_{1} , \ n \in \mathbb{Z}$ 和 $T = 2 \pi / \omega_{\mathrm{s}}$。然而，由于横向耦合 $\Delta ( t )$，哈密顿量的瞬时特征能 $E_{\pm} ( t )$：$\hat{H} ( t ) \varphi_{\pm} ( t ) = E_{\pm} ( t ) \varphi_{\pm} ( t )$，会呈现出避免交叉结构，其中 $E_{\pm} ( t ) = \pm \frac{1} {2} \Omega ( t )$，$\Omega ( t ) = \sqrt{\varepsilon^{2} ( t ) + \Delta^{2} ( t )}$，而 $\varphi_{\pm} ( t ) = \beta_{\pm} ( t ) | e \rangle \pm \beta_{\mp} ( t ) | g \rangle$ 是相应的绝热瞬时特征态，且 $\begin{array} {r} {\beta_{\pm} ( t ) = \sqrt{\frac{\Omega ( t ) \pm \varepsilon ( t )} {2 \Omega ( t )}}} \end{array}$。当远离避免交叉点时 $[ | \pmb{\varepsilon} ( t ) | \gg | \dot{\Delta} ( t ) | . ]$，绝热特征态与绝热基重合。

现在我们利用绝热冲量模型（AIM）研究系统的时间演化。[31,39] 在该模型中，系统可被视为仅在避免交叉点经历非绝热跃迁，除此之外则经历自由的绝热时间演化。绝热演化过程可通过量子绝热理论直接处理，而非绝热演化通常不易处理。但考虑到非绝热区域足够小，并且将交叉点附近的绝热能量交叉近似为线性，系统的演化可以通过求解所谓的朗道-齐纳（Landau–Zener, LZ）问题精确得到。[40–43] 然后，避免交叉点处的系统演化可以用一个幺正演化矩阵（LZ跃迁矩阵）描述，其具体形式取决于避免交叉点附近近似线性化的LZ哈密顿量。具体而言，对于方程(1)给出的哈密顿量，绝热能量交叉可以在 $t_{1 , 2}$ 附近线性化，即

其中 $\nu = A \omega_{\mathrm{s}}^{2} \sqrt{1 - \left( \frac{\delta} {A \omega_{\mathrm{s}}} \right)^{2}}$。那么哈密顿量(1)在 $t_{1 , 2}$ 附近可近似表示为线性LZ哈密顿量

其中 $\begin{array} {r} {g_{1} ~ = ~ g \cos [ \operatorname{arccos} ( - \frac{\delta} {A \omega_{\mathrm{s}}} ) ~ + ~ \psi ] .} \end{array}$ 和 $g_{2} =$ $g \cos [ \operatorname{arccos} ( - \frac{\delta} {A \omega_{\mathrm{s}}} ) - \psi ]$ 。方程(3)中第一项前的减号（加号）对应于 $t_{1} ~ ( t_{2} )$ 。当在绝热基中描述系统演化时，LZ跃迁矩阵取决于LZ哈密顿量对角元和非对角元的符号。因此，对于方程(3)给出的LZ哈密顿量，在 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 处的LZ跃迁矩阵可分别表示为[31]

其中 $P_{\mathrm{L Z , 1 ( 2 )}} = \exp [ - 2 \pi \chi_{1 ( 2 )} ]$ 是所谓的非绝热跃迁LZ公式，^[40–43] $g_{1 ( 2 )}^{\prime} = \mathrm{sgn} [ g_{1 ( 2 )} ]$，$\chi_{1 ( 2 )} = g_{1 ( 2 )}^{2} / ( 4 \nu )$，而 $\varphi_{1 ( 2 )} = \pi / 4 + \chi_{1 ( 2 )} [ \ln \chi_{1 ( 2 )} - 1 ] +$ arg $\left[ {\cal T} ( 1 - \mathrm{i} \chi_{1 ( 2 )} ) \right]$ 为斯托克斯相位。注意，由于相位 ψ，系统在 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 处可能经历不同的 LZ 跃迁概率 $P_{\mathrm{L} Z}$。在慢通过极限 $[ \chi_{1 ( 2 )} \gg 1 ]$ 下，这意味着系统将遵循绝热本征态，于是 $P_{\mathrm{LZ} , 1 ( 2 )} \approx 0$ 且 $\varphi_{1 ( 2 )} \approx 0$；相反，在快通过极限 $[ \chi_{1 ( 2 )} \ll 1 ]$ 下，系统更可能遵循非绝热态，于是我们有 $P_{\mathrm{LZ} , 1 ( 2 )} \approx 1$ 和 $\varphi_{1 ( 2 )} \approx \pi / 4 . ^{[ 31 ]}$

在这些避免交叉之间，系统经历自由的绝热演化，这仅在本征态上积累一个相位。绝热演化可以用绝热基下的酉矩阵描述

其中

由于非绝热能级在 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 处交叉，我们发现酉矩阵式(6)适用于从 $t_{i} = 0 + n T$ 到 $t_{f} = t_{1} + n T$ 以及从 $t_{i} = t_{2} + n T$ 到 $t_{f} = t_{1} + ( n + 1 ) T$ 的演化，而从 $t_{i} = t_{1} + n T$ 到 $t_{f} = t_{2} + n T$ 的演化酉矩阵由 $U_{\phi}^{*}$ 给出，其中 ∗ 表示复共轭。因此，整个单周期内系统的时间演化可由以下组合酉矩阵描述：

其中

(10)

其中 $\zeta_{+} = ( \phi_{1} + \phi_{3} ) + \phi_{2} + \varphi_{1} + \varphi_{2} , \zeta_{-} = ( \phi_{1} + \phi_{3} ) - \phi_{2}$，且 $\phi_{i} = \phi \left( t_{i} , t_{i - 1} \right)$，$t_{3} = t_{0} + T$。于是，初始态 $| \psi ( t_{0} ) \rangle = \boldsymbol a_{e} | \boldsymbol e \rangle + \boldsymbol a_{g} | \boldsymbol g \rangle$ 在经过一个周期后将演化为最终态

如果假设系统在 $t_{0} = 0$ 时初始制备于基态 $| g \rangle$，即式(11)中 $a_{e} = 0$ 且 $a_{g} = 1$，那么经过一个周期后激发态 $| e \rangle$ 的布居概率可由下式计算

可以看出，激发态布居数随干涉相位 $\phi_{T} = \varphi_{1} + \varphi_{2} + 2 \phi_{2}$ 振荡，这就是所谓的Stückelberg振荡 [31, 42]。它可以解释为系统在依次经过两个避免交叉点时，两种不同演化路径之间的量子干涉，类似于光学马赫-曾德尔干涉仪。$P_{T}$ 的最大值（最小值）对应相长（相消）干涉，这也与相对相位 $\psi$ 带来的 $g_{1}$ 和 $g_{2}$ 的符号有关。

下面我们展示由这个相对相位 $\psi$ 带来的若干有趣结果。注意到由式(12)可知，$\psi$ 和 $\psi + \pi$ 的结果相同，因此这里只考虑 $\psi$ 从0到$\pi$的范围。这是因为当 $\psi$ 替换为 $\psi + \pi$ 时，$g_{1,2}$ 同时被替换为 $-g_{1,2}$，于是式(9)和(10)中 $\alpha$ 和 $\beta$ 的绝对值保持不变，从而得到相同的结果式(12)。

首先，当 $\delta = 0$ 时，有 $g_{1} = -g \sin\psi$ 和 $g_{2} = g \sin\psi$。那么在 $\psi = 0$ 和 $\pi$ 的情况下，$g_{1}$ 和 $g_{2}$ 都等于零，这使得避免交叉变为真实交叉 [44]，并导致在时间 $t_{1,2} + nT$ 处绝热本征能量出现简并，如附图1所示。

严格来说，当非绝热和绝热能级都出现交叉时，这不属于传统LZ问题，因此LZ公式不再适用。在这种情况下，需要寻找其他方法来研究系统的时间演化，即需要仔细分析存在真实简并这一特殊情况下的绝热演化 [44,45]。然而，利用AIM，我们仍然可以认为绝热演化在除了真实交叉点之外的所有地方都适用。于是，交叉处的非绝热跃迁概率可以视为LZ公式在 $\chi$ 趋于零时的渐近值。因此，对于 $g_{1} = g_{2} = 0$，我们有 $P_{\mathrm{LZ},1} = P_{\mathrm{LZ},2} \equiv 1$，从而 $P_{e} = 0$，这意味着系统在跨越 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 时仍保持在初始态 $|g\rangle$，如图1(a)所示。这也类似于文献[36]中图3(a)和3(d)的结果，其中对于 $\psi = 0$ 或 $\pi$，第零边带的有效拉比频率为零。然而，当 $A$ 与 $g$ 可比时，非绝热态与绝热态之间的差异即使在真实交叉情况下也会引发向激发态的量子跃迁，此时AIM失效，如图1(b)所示。另一种情况是 $\psi \neq 0$ 或 $\pi$，此时 $g_{1}$ 和 $g_{2}$ 的大小可以通过相对相位 $\psi$ 进行控制。于是我们只需调节这个相位，就能平滑地操控系统的演化从快极限 $(P_{\mathrm{LZ}} \simeq 1)$ 到慢极限 $(P_{\mathrm{LZ}} \simeq 0)$ 或反之，如图2所示。

图1：在 $\delta = 0$，$g / \omega_{\mathrm{s}} = 1$，$\psi = 0$，(a) $A = 8$ 和(b) $A = 1$ 条件下，态 $|e\rangle$ 的布居概率随时间的变化。蓝色实线为Floquet方法的数值结果，红色虚线为AIM的理论结果。插图展示了一个周期内能级的时间演化。黑色实线和品红色虚线分别表示绝热和非绝热能级。在(b)中，对于小 $A$ 的情况，AIM结果与数值Floquet方法之间存在差异。

当$\delta \neq 0$时，$g_{1}$和$g_{2}$均与$\psi$相关。在这种情况下，我们可以通过调节相位$\psi$来独立地选择性开启或关闭$t_{1}$或$t_{2}$处的能隙，这也使得避让交叉转变为真实交叉。无论关闭$g_{1}$还是$g_{2}$中的哪一个能隙，都会导致干涉消失，因为系统在交叉点处的演化变得确定，且最终的演化路径是唯一的。如图3所示，$t_{1} \left( t_{2} \right)$处的真实交叉使得激发概率仅取决于单个周期后的$P_{\mathrm{LZ} , 2} \left( P_{\mathrm{LZ} , 1} \right)$，而与干涉相位$\phi_{T}$无关。

图2：在$\delta = 0 , A = 20 , g / \omega_{\mathrm{s}} = 6$条件下，态$|e\rangle$的布居概率随$\psi$在$t = T / 2$时刻的变化。蓝色实线为Floquet方法的数值结果，红色虚线为AIM的理论结果$1 - P_{\mathrm{L} Z , 1}$。

图3：在$\delta = 3, A = 8, g / \omega_{\mathrm{s}} = 2$条件下，(a) $\psi = 2.76$和(b) $\psi = 0.38$时，态$|e\rangle$的布居概率随时间的变化。蓝色实线为Floquet方法的数值结果，红色虚线为AIM的理论结果。插图展示了一个周期内能级的时间演化。黑色实线和品红色虚线分别表示绝热和非绝热能级。

3. 伴随循环态演化的几何相位#

当物理系统经历循环演化并返回其初始态时，几何相位可以通过从总相位中减去动力学相位来定义。^[3] 利用AIM并给定初始态$| \psi ( t_{0} = 0 ) \rangle = | g \rangle$，系统在一个周期后返回初始态的条件由$\beta = 0$给出，且由式(11)可得最终态为$| \psi ( T ) \rangle = \exp ( \mathrm{i} \Phi ) | g \rangle$，其中$\Phi = - \arg ( \alpha )$为总相位。此外，动力学相位可表示为^{[3, 28]}

因此，几何相位可通过下式得到：

下面，我们主要考虑两种情况，其中几何相位在不同条件下出现，并可在绝热极限下表征两个不同的相。

情形(i) 我们首先考虑$\delta = 0$的情况。此时有$P_{\mathrm{L Z , 1}} = P_{\mathrm{L Z , 2}} , \varphi_{1} = \varphi_{2} , \phi_{1} + \phi_{3} = \phi_{2}$，以及$g_{1}^{\prime} = - g_{2}^{\prime}$。因此单周期跃迁概率式(12)简化为$P_{T} = 4 P_{\mathrm{L Z , 1}} \big ( 1 - P_{\mathrm{L Z , 1}} \big ) \cos^{2} \big ( \varphi_{1} + \phi_{2} \big )$，所以系统返回初始态的条件由下式给出：

我们在图4中展示了干涉相位φ随A和φ的变化。并且，总可以通过调节A和ψ，使系统在满足条件式(15)时返回初始态，这对应于图4中的红色虚线。

图4：在$\delta = 0 , g / \omega_{\mathrm{s}} = 6$条件下，干涉相位φ作为A和ψ的函数。从上到下的红色虚线分别表示$\phi_{T} = 6.5 \pi , 5.5 \pi , 4.5 \pi$时的相消干涉。

于是最终态变为$| \psi ( T ) \rangle = | g \rangle$，总相位$\Phi = 0$，这意味着动力学相位完全被几何相位补偿，因此几何相位可由下式得到：

可见几何相位与 Stokes 相位以及相对相位 ψ 有关。在绝热极限下，有 $P_{\mathrm{LZ} , 1 ( 2 )} \simeq 0$ 和 $\varphi_{1 ( 2 )} \simeq 0$，则满足条件(15)的几何相位式(16)退化为绝热 Berry 相位 $\chi_{\mathrm{g}} \simeq - \phi_{2} = - \pi \left[ \mathrm{mod} ( 2 \pi ) \right]$ 。在图5中，我们展示了在 $\phi_{T} = 4.5 \pi$ 条件下几何相位随 ψ 变化的一个例子（图4中底部红色虚线）。结果表明，在绝热极限下几何相位趋近于 −π（如插图所示，其中 $R_{\mathrm{L Z , 1}}$ 趋近于0）。

图5：在条件 $\psi_{T} = 4.5 \pi$ 下，几何相位式(19)作为 ψ 的函数，其中 $\delta = 0 ,$ $g / \omega_{\mathrm{s}} = 6$ 。插图显示了相同条件下 LZ 跃迁概率随 ψ 的变化。

情形(ii) 我们考虑 $\delta \neq 0$ 和 $\psi = 0$ 。此时有 $P_{\mathrm{L Z , 1}} = P_{\mathrm{L Z , 2}} , \varphi_{1} = \varphi_{2}$ 以及 $g_{1} = g_{2}$ 。则单周期跃迁概率式(12)简化为 $P_{T} = 4 P_{\mathrm{L Z , 1}} ( 1 - P_{\mathrm{L Z , 1}} ) \sin^{2} ( \varphi_{1} + \phi_{2} )$ ，因此系统返回初态的条件为

我们还在图6中展示了干涉相位 $\phi_{T}$ 随 A 和 δ 的变化。红色虚线表示系统返回初态的条件式(17)。

图6：干涉相位 φ 作为 A 和 δ 的函数，其中 $g / \omega_{\mathrm{s}} = 6 , \ : \psi = 0$ 。从上至下的红色虚线分别表示相消干涉条件 $\phi_{T} = 4 \pi , 3 \pi , 2 \pi$ 和 1π。倾斜红线表示 LZSM 理论的适用区域：线上方区域表示系统可以经历避免交叉。

图7：在条件 A > g 下，几何相位式(18)作为 ψ 的函数，其中 $g / \omega_{\mathrm{s}} = 6 , \psi = 0$ ，且分别取 (a) $\psi_{T} = 1 \pi$, (b) $\psi_{T} = 2 \pi$, (c) $\psi_{T} = 3 \pi$, (d) $\psi_{T} = 4 \pi$ 。插图显示了相同条件下 LZ 跃迁概率随 ψ 的变化。

在此条件下，末态为 $| \psi ( T ) \rangle = {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}} \zeta_{-}} | g \rangle$ ，总相位 $\Phi = \zeta_{-}$ 。因此几何相位可由下式得到：

该式与 $\delta = 0$ 的情形形式相同。然而，在绝热极限下几何相位趋近于0而非−π。在图7中，我们展示了不同相消干涉条件下几何相位随 ψ 的变化。如图7(a)所示，绝热几何相位趋近于0（或−2π）。

另一方面，对于二能级系统，非绝热几何相位可以通过射影 Hilbert 空间中的回路 C 更清晰地可视化。[3,6] 我们可以通过关系式 $\pmb{n} ( t ) = \langle \psi ( t ) | \pmb{\sigma} | \psi ( t ) \rangle$ 将状态演化 $| \psi ( t ) \rangle$ 映射到由绝热基张开的 Bloch 球面上的单位向量 $\textbf{\em n} =$ (sinΘ cos Φ, sinΘ sin Φ, cosΘ)。于是几何相位与 Bloch 球面上演化回路 C 所张的立体角有如下关系：

在AIM框架下，状态演化通过组合幺正演化矩阵方程(8)和初始态$| \psi ( 0 ) \rangle = | g \rangle$获得。因此，演化回路可描述如下。在$t = 0$到$t = t_{1}$阶段，状态保持在南极点；在$t = t_{1}$时刻，矢量通过第一次LZ跃迁沿子午线突然移动到点$( \Theta_{1} , \Phi_{1} )$（这里Θ是矢量与南极点之间的夹角），其中$\Theta_{1} = 2$ arccos $\sqrt{R_{\mathrm{L Z , 1}}}$，$\varPhi_{1} = \varphi_{1} + \bigl ( 1 + g_{1}^{\prime} \bigr ) \pi / 2$；在第二阶段，矢量沿纬线移动到$( \Theta_{1} , \Phi_{2} )$，其中$\Phi_{2} = \Phi_{1} + 2 \phi_{2}$；在$t = t_{2}$时刻，系统经历第二次LZ跃迁。对于上述两种情况，矢量都突然移回南极点并停留至$t = T$。该循环曲线C所张的立体角为$\Omega ( C ) = 4 \phi_{2} \big ( 1 - P_{\mathrm{L Z , 1}} \big )$。于是几何相位$\gamma_{\mathrm{g}} = - 2 \phi_{2} \big ( 1 - P_{\mathrm{L Z , 1}} \big )$，这与方程(16)和(18)一致。在绝热极限下，两种情况在球面上显示出不同的矢量行进路径：对于情况(i)，矢量首先沿子午线从南极移动到北极，且$\Phi_{1} = 0$，然后沿子午线返回南极，且$\Phi_{2} = \pi$ [由于$2 \phi_{2} = \pi{\bmod{\left( 2 \pi \right)}}$]，因此矢量在球面上的行进轨迹形成一条大圆，使得$\gamma_{\mathrm{g}} = - \pi$；对于情况(ii)，矢量沿子午线从南极移动到北极，且$\Phi_{1} = 0$，但沿原路返回南极（由于$\phi_{2} = n \pi$），这使得几何相位$\gamma_{\mathrm{g}} = 0$。

4. 讨论与结论#

在本工作中，我们研究了一个时间周期驱动的二能级系统，其哈密顿量同时具有纵向和横向调制。由于系统本征能隙的开闭由驱动模式的相对相位控制，系统的时间演化与该相位密切相关。在纵向驱动幅度较大的参数区域，借助AIM，我们证明：当一个驱动周期内两个能隙都闭合时，系统将被囚禁在初始态，但小驱动幅度引起的绝热态与透热态之间的非重合将导致AIM结果与精确数值结果之间的偏差；当仅有一个能隙闭合时，干涉效应消失，向激发态的隧穿概率仅由另一个避让交叉处的LZ公式决定。这些解析结果通过数值Floquet方法得到验证。此外，我们确定了在破坏性LZSM干涉条件下伴随循环演化的非绝热几何相位，并证明该相位可通过相对相位进行调控。在绝热极限下，该几何相位在$\delta = 0$时趋于$-\pi$，在$\delta \neq 0 , \psi = 0$时趋于0。

我们模型中具有真正含时哈密顿量的时间演化过程和非绝热几何相位，有望在OLC系统中进行实验测量。^[36,46–48] 先前工作^[36]未能触及的参数区域$g > \omega_{\mathrm{s}}$，可通过增加时钟激光强度或减小驱动频率^[46]来达到。值得注意的是，在真实OLC系统中必须妥善处理温度引起的退相干效应。^[46] 然而，我们可以利用自旋回波技术去除动力学相位，使状态演化纯粹依赖于几何性质，从而抵抗退相干效应。^[26,34] 总之，本工作讨论的结果为在OLC系统中观测和调控非绝热几何相位铺平了道路。

致谢#

本项目得到中国理论物理研究专项基金（批准号：11647165）和中国博士后科学基金资助项目（项目编号：2020M673118）的资助。W.-D.L. 感谢国家自然科学基金（批准号：11874247）、国家重点研发计划（批准号：2017YFA0304500）、量子光学与量子光学器件国家重点实验室（中国）（批准号：KF201703）的资助，以及广东省重点实验室（批准号：2019B121203002）的支持。

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阅读笔记#

一句话概括#

本文基于绝热冲量模型（AIM）解析研究了双驱动二能级系统中由驱动模式间相对相位 $\psi$ 调控的非绝热几何相位（AA 相位）。在横向驱动大于驱动频率（$g>\omega_{\mathrm{s}}$）的超出可分辨 Floquet 边带近似参数区域中，AIM 结合 LZSM 干涉框架揭示了避免交叉处能隙可被 $\psi$ 独立开启/关闭，系统可实现囚禁态、单路径隧穿等行为。核心结论是：满足相消干涉条件时，循环演化后的几何相位为 $\gamma_{\mathrm{g}}=-2\phi_2(1-P_{\mathrm{LZ},1})$，在绝热极限下因能隙符号不同而分别趋于 $-\pi$（$\delta=0$）或 $0$（$\delta\neq0,\psi=0$），证明可通过 $\psi$ 操控几何相位的两个不同取值的切换。

核心论证链#

1. 建立包含相对相位的双驱动模型：构造哈密顿量 $\hat{H}(t)=\frac{\varepsilon(t)}{2}\hat{\sigma}_z+\frac{\Delta(t)}{2}\hat{\sigma}_x$，其中 $\varepsilon(t)=\delta+A\omega_{\mathrm{s}}\cos(\omega_{\mathrm{s}}t)$、$\Delta(t)=g\cos(\omega_{\mathrm{s}}t+\psi)$。**为什么要这么做？**双驱动是实验上可独立调制的典型系统，引入相对相位 $\psi$ 可提供新的几何相位控制自由度，这是此前 LZSM 干涉文献中未系统研究的。

2. 用 AIM 将连续演化离散化为分段过程：在大纵向振幅 $A\gg1$ 条件下，系统动力学可分解为：在 $t_1$ 和 $t_2$ 两个避免交叉点处经历非绝热 LZ 跃迁（用矩阵 $X_1,X_2$ 描述），在交叉点之间沿绝热本征态自由演化（用相位 $\phi_i$ 描述）。**为什么这么做？**含时哈密顿量的精确解析解不可得，而 AIM 能分别用精确的 LZ 公式处理交叉点局部（线性化近似的有效性）和绝热定理处理其余部分（参数远离简并的合理性）。

3. 导出单周期演化矩阵与激发概率：组合各段得 $U_T = U_{\phi_3}X_2U_{\phi_2}^*X_1U_{\phi_1}$，并以初始态 $|g\rangle$ 代入，得到激发概率 $P_T$ 含干涉项 $\cos(\varphi_1+\varphi_2+2\phi_2)$。**结论：**系统动力学等价于双路径马赫-曾德尔干涉仪，干涉相位 $\phi_T$ 决定了相长/相消干涉。

4. 揭示 $\psi$ 对交叉点处能隙的独立控制机制：$g_1 = g\cos[\arccos(-\delta/(A\omega_{\mathrm{s}}))+\psi]$、$g_2 = g\cos[\arccos(-\delta/(A\omega_{\mathrm{s}}))-\psi]$，因此 $g_{1,2}$ 的大小（即能隙）可通过 $\psi$ 独立调节，甚至可选择性置零（变成真实交叉）。**为什么这个机制是关键？**它使得系统可从快通过极限（$P_{\mathrm{LZ}}\simeq1$）平滑过渡到慢通过极限（$P_{\mathrm{LZ}}\simeq0$），实现囚禁态（双能隙关闭）或单路径隧穿（单能隙关闭）。

5. 确定循环演化条件并计算几何相位：令 $\beta=0$（相消干涉）作为 $|g\rangle$ 在周期 $T$ 后返回初态的循环条件；从总相位减去动力学相位得几何相位 $\gamma_{\mathrm{g}}=-2\phi_2(1-P_{\mathrm{LZ},1})$。**结论：**几何相位依赖于 Stokes 相位 $\varphi_{1,2}$ 和动力学相位 $\phi_2$，且可通过调节参数 $A,\delta,\psi$ 操控。

6. 用 Bloch 球几何解释绝热极限下的相位差异：将演化映射到 Bloch 球面，循环路径立体角 $\Omega(C)=4\phi_2(1-P_{\mathrm{LZ},1})$。$\delta=0$ 的绝热极限下路径为大圆 ⇒ $\gamma_{\mathrm{g}}=-\pi$；$\delta\neq0,\psi=0$ 的绝热极限下路径沿原路折返 ⇒ $\gamma_{\mathrm{g}}=0$。**为什么同公式却得不同值？**因为两个情形下 $2\phi_2$ 的模不同（$\pi$ vs $2n\pi$），导致球面路径的闭合构型不同。

7. 数值验证并指明理论适用边界：AIM 解析结果与数值 Floquet 方法的对比在各图中显示良好吻合，但明确指出当 $A\sim g$ 时（图1b）AIM 因绝热-透热态非重合而失效。

实验参数详解#

批判性思考#

1. AIM 适用条件 $A\gg1$ 缺乏定量判据：论文仅通过图1b（$A=1$）展示 AIM 失效的定性例子，但从未给出保证 AIM 精度的 $A$ 定量下界（例如：$A>5$? $A>10$?）或误差随 $A$ 的衰减标度。对于实际实验设计者，需要在特定 $\delta,\psi,g$ 组合下评估 AIM 误差水平，而论文未提供任何误差估计公式或置信区间。

2. 循环条件仅对单一初始态 $|g\rangle$ 推导，缺乏普适性：所有分析均假设 $t_0=0$ 时系统处于 $|g\rangle$，因此 Blcch 球路径是离开-返回南极点的特殊几何。若初始态为叠加态 $c_e|e\rangle+c_g|g\rangle$ 或 $|e\rangle$，相消干涉条件（$\beta=0$）和几何相位表达式（式14-18）将完全改变，需重新推导 $\alpha,\beta$ 的含态形式。论文对此局限性未做讨论。

3. $g_{1(2)}=0$ 真实交叉情况的自洽性含混：论文将此作为 $P_{\mathrm{LZ}}\to1$ 的极限情况处理，但严格定义上此时哈密顿量无避免交叉，传统 LZ 公式失效。在 $A\gg1$ 时（图1a）极限取法是合理的（$P_T=0$），然而当 $A$ 降至与 $g$ 可比时（图1b），AIM 失效，系统仍有向激发态的跃迁，论文却未提供替代的解析处理方法。

4. $\delta=0$ 与 $\delta\neq0,\psi=0$ 之外的一般情形未获探讨：论文仅选取了这两个低维截面分析，但若 $\delta\neq0$ 且 $\psi\neq0$（即一般情形下 $P_{\mathrm{LZ},1}\neq P_{\mathrm{LZ},2}$ 且 $g_1'\neq g_2'$），相消干涉条件将涉及交叉项 $-2g_1'g_2'\sqrt{P_{\mathrm{LZ},1}P_{\mathrm{LZ},2}(1-P_{\mathrm{LZ},1})(1-P_{\mathrm{LZ},2})}\cos(\varphi_1+\varphi_2+2\phi_2)$，需要 $\beta=0$ 的实部和虚部同时为零，这不是单一相位条件能简单表达的。

5. 几何相位的退相干鲁棒性未做定量评估：论文提及 OLC 系统可通过自旋回波抑制退相干，但未计算任何退相干速率 $\Gamma$ 与驱动周期 $T$ 的比例要求。几何相位的鲁棒性在封闭系统中成立，但对于真实开放量子系统，体系-环境耦合如何修正 $\gamma_{\mathrm{g}}$ 未做量化分析。

局限性#

• AIM 要求 $A\gg1$ 的大纵向振幅条件，当 $A\sim g$ 时（如图1b），绝热态与透热态在远离避免交叉点处不重合，AIM 结果与数值 Floquet 计算出现显著系统偏差，且论文未能提供解析修正公式。
• 参数条件 $A\omega_{\mathrm{s}}>\delta$ 保证能级交叉存在；当 $\delta>A\omega_{\mathrm{s}}$ 时系统失去交叉结构，AIM 框架失效，论文对这一互补参数区域未做任何分析。
• 相消干涉条件（式(15)和(17)）依赖于精确数值关系（涉及 $P_{\mathrm{LZ},1}$、$\varphi_{1,2}$ 和 $\phi_2$），在 OLC 实验中需精细调谐 $A$、$\delta$ 和 $\psi$ 等参数，论文未讨论当参数偏离该条件时 $\gamma_{\mathrm{g}}$ 的灵敏度和保真度衰减。
• $\delta=0$ 与 $\delta\neq0,\psi=0$ 两种情形之外的一般 $\delta\neq0,\psi\neq0$ 情形下的几何相位表达式未给出，仅有一句"两种情形形式相同"的断言，但此时 $P_{\mathrm{LZ},1}\neq P_{\mathrm{LZ},2}$，动力学相位式(13)需要修正，无法直接套用式(16)/(18)。
• 论文仅分析单周期循环，实际实验中多周期演化下的几何相位累积与其可测量性未探讨；在 Floquet 系统中，多周期后是否仍保持纯几何相位需考虑动力学相位累积可能破坏循环条件。
• 温度引起的退相干效应仅定性提及，未给出 OLC 系统中允许的最大退相干速率 $\Gamma$ 的数值量级。

关键公式速查#

• $$\hat{H}(t)=\frac{\varepsilon(t)}{2}\hat{\sigma}_z+\frac{\Delta(t)}{2}\hat{\sigma}_x,\quad\varepsilon(t)=\delta+A\omega_{\mathrm{s}}\cos(\omega_{\mathrm{s}}t),\ \Delta(t)=g\cos(\omega_{\mathrm{s}}t+\psi)$$— 双驱动二能级系统哈密顿量，式(1)
• $$\hat{H}_{1,2}=\mp\frac{vt}{2}\hat{\sigma}_z+\frac{g_{1,2}}{2}\hat{\sigma}_x$$— 避免交叉点附近线性化后的 LZ 哈密顿量，式(3)，其中 $g_1=g\cos[\arccos(-\delta/(A\omega_{\mathrm{s}}))+\psi]$
• $$P_{\mathrm{LZ},1(2)}=\exp[-2\pi\chi_{1(2)}],\quad\chi_{1(2)}=g_{1(2)}^2/(4\nu)$$— LZ跃迁概率，式(4)(5)附近，$\nu$ 为能级交叉斜率
• $$P_T=P_{\mathrm{LZ},1}(1-P_{\mathrm{LZ},2})+P_{\mathrm{LZ},2}(1-P_{\mathrm{LZ},1})-2g_1'g_2'\sqrt{P_{\mathrm{LZ},1}P_{\mathrm{LZ},2}(1-P_{\mathrm{LZ},1})(1-P_{\mathrm{LZ},2})}\cos(\varphi_1+\varphi_2+2\phi_2)$$— 单周期后 $|e\rangle$ 的激发概率，式(12)，表征 LZSM 干涉
• $$\gamma_{\mathrm{g}}=\Phi-\gamma_{\mathrm{d}}=-2\phi_2(1-P_{\mathrm{LZ},1})\ \mathrm{mod}\ (2\pi)$$— 循环态演化后的非绝热几何相位，式(16)(18)，与 Stokes 相位及相对相位 $\psi$ 相关
• $$\gamma_{\mathrm{g}}=-\frac12\Omega(C)$$— 几何相位的 Bloch 球几何诠释，式(19)，立体角 $\Omega(C)=4\phi_2(1-P_{\mathrm{LZ},1})$

术语对照#

延伸阅读#

• M. V. Berry, Proc. R. Soc. Lond. A 392, 45 (1984) — Berry 相位的原始文献，本文几何相位的理论基础。
• Y. Aharonov & J. Anandan, Phys. Rev. Lett. 58, 1593 (1987) — AA 相位的定义，将 Berry 相位推广至非绝热循环演化。
• S. N. Shevchenko et al., Phys. Rep. 492, 1 (2010) — LZSM 干涉综述，涵盖绝热冲量模型和应用。
• J. Du et al., Nature 436, 377 (2005) — 实验实现非绝热几何量子门的代表性的实验工作。
• X. Zheng et al., Phys. Rev. Lett. 122, 213603 (2019) — 基于光学晶格钟实现双驱动二能级系统的实验工作（文献[36]），本文的模型基础。

延伸阅读#

• 非阿贝尔非绝热几何门的实验实现 — Abdumalikov 等（2013）首次在超导 transmon 量子比特上实现了非阿贝尔非绝热 holonomic 量子门，实验演示了其非对易特性，门保真度
• 在固态量子比特中观测到 Berry 相位 — Leek 等（2007）首次在超导 Cooper pair box 量子比特中观测并可控地积累几何相位（Berry 相），为固态几何量子计算奠定实验基础
• 通过量子点接触直接测量双量子点量子比特的几何相位 — Liu 等（2015）提出了通过量子点接触（QPC）电流直接读取双量子点几何相位的方案——将抽象的几何相位映射为可观测的输运电流，所有参数在实验中均可调可测（理
• 锥形交叉点动力学中几何相位干涉的直接观测 — Valahu 等（2023）在可编程离子阱量子模拟器中首次直接观测到了锥形交叉点周围波包动力学中的几何相位干涉效应（Nature Chemistry 实验）
• 通过绝热捷径在超导相位量子比特中测量 Berry 相位 — Zhang 等（2017）在超导相位量子比特上实现了 STA（shortcut to adiabaticity）协议，在远短于绝热条件的时间尺度上精确测量了 B