Justifying Kubo's formula for gapped systems at zero temperature: a brief review and some new results#

为有能隙系统论证 Kubo 公式：零温下的简要回顾与新结果#

Joscha Henheik, Stefan Teufel

蒂宾根大学数学系

arXiv:2101.00717 (2021) | 综述 + 新定理

摘要#

本文首先回顾了零温下有能隙扩展哈密顿量子系统中 Kubo 公式严格论证的问题。特别地，量子霍尔效应的理论理解依赖于 Kubo 公式在此类系统中的有效性——我们也会简要回顾这一联系。随后，我们重点介绍一种基于非平衡几乎稳态（non-equilibrium almost-stationary states, NEASS）及其对应绝热定理的线性响应理论方法。该方法最近由本文作者之一在 [51] 中针对有限格点上的相互作用费米子系统提出并建立。在本文第二部分，我们将展示如何通过取热力学极限，将 [51] 的结果提升到无穷系统。

关键词：线性响应理论、Kubo 公式、绝热定理、非平衡稳态。

1 引言#

本文讨论有能隙扩展量子系统在零温下"证明 Kubo 公式"的问题，以（拓扑）绝缘体中的输运理论为主要应用场景。需要注意的是，在这一语境下，多种表达式都被称为"Kubo 公式"：一方面是任意可观测量的响应系数的一般 Kubo 公式（KF），另一方面是电流响应的双重对易子公式（DCF）。因此，"证明 Kubo 公式"这个标签下实际上包含了不同的数学问题。如下文详述，大量工作致力于证明 KF 蕴含电导/电导率的 DCF，以及 DCF 蕴含霍尔电导/电导率的（分数）量子化（参见近期综述 [4] 及其参考文献）。相对而言，从第一性原理出发严格论证 KF 的工作较少。由于本文主要关注后一问题，我们先简要回顾这种论证面临的主要挑战。

在哈密顿量子系统的语境下，静态微扰的线性响应框架回答以下问题：一个由哈密顿量 $H_0$ 描述、初始处于平衡态 $\rho_0$ 的系统，如何响应一个小的静态微扰 $\varepsilon V$？更精确地说，由微扰 $\varepsilon V$ 引起的可观测量 $A$ 的期望值变化

在其强度 $|\varepsilon| \ll 1$ 的领头阶是多少？这里 $\rho_{\varepsilon}$ 表示微扰被绝热开启后系统的状态，$\sigma_A$ 称为可观测量 $A$ 的线性响应系数。答案显然取决于如何确定 $\rho_{\varepsilon}$。虽然在某些情况下 $\rho_{\varepsilon}$ 预期仍是微扰哈密顿量 $H_{\varepsilon} = H_0 + \varepsilon V$ 的平衡态，但 Kubo [33] 发展线性响应理论恰恰是为了处理系统被驱动到非平衡态 $\rho_{\varepsilon}$ 的情形。正如 Simon 在"数学物理十五个问题"[49] 中所强调的，后一情形在输运理论的应用中十分典型，而这种偏离平衡的特性使得 Kubo 公式的论证成为一个困难的数学问题，至今仍未在令人满意的普适性下得到解决。在本文中，我们甚至不讨论一般问题，而是聚焦于一个相当特殊的情形：有能隙哈密顿系统（即绝缘体）在零温下的粒子输运。在这种情形下，所有电流都是无耗散的（直流电流为零，而霍尔电流是几何的因而无耗散），我们将论证，纯粹在哈密顿动力学层面——不涉及任何形式的耗散——对 Kubo 公式的严格论证是可能的。

线性响应形式理论（我们将在第 2 节简要回顾）建立在以下假设之上：一个被绝热开启的小微扰 $(|\varepsilon| \ll 1)$ 仅轻微改变系统的初始平衡态 $(\rho_{\varepsilon} \approx \rho_0)$。概括地说，证明 Kubo 公式的问题因此归结为证明：初始处于平衡态 $\rho_0$ 的系统，被一个小微扰绝热地驱动到一个接近 $\rho_0$ 的非平衡态 $\rho_{\varepsilon}$。这个问题超越了标准微扰论，因为小微扰作用的时间非常长（宏观时间），因此假定的状态微小变化并非微扰自身很小的平凡推论；相反，证明这一假设需要一个绝热型定理。然而，即便我们在零温下工作并假设 $\rho_0$ 是 $H_0$ 的有能隙基态，该问题也超越了标准绝热理论。实际上，标准绝热定理在此处的用处相当有限，原因有三。第一，它仅适用于微扰不关闭能谱 gap 的情形；此时它断言 $\rho_{\varepsilon}$ 等于 $H_{\varepsilon} = H_0 + \varepsilon V$ 的有能隙基态，从而仍是一个平衡态。但如前所述，在输运理论中这一假设通常不成立，$\rho_{\varepsilon}$ 预期是一个非平衡态；例如，典型绝缘体的能带 gap 约为 10 eV，而这类材料的宏观样品在外加电压远大于此数量级时仍保持绝缘。第二，即便假设基态以上的谱 gap 保持开放，通常的绝热定理也不能直接应用，原因有二：其标准版本在算子范数下估计 $\rho_{\varepsilon}$ 与 $H_{\varepsilon}$ 基态的差异；要得到关于局部迹范数所需的估计，还需建立额外的、可能非平凡的传播估计。第三，对于扩展的相互作用系统，绝热定理的近似误差随系统尺寸增长而恶化，无法应用于宏观系统。因此，即便在有能隙哈密顿系统零温这种简单情形下，证明 Kubo 公式在相当长一段时间内都是数学物理的一个未解决问题。

最近，Bachmann 等 [8] 证明了扩展相互作用格点系统的绝热定理，其关于局部迹的误差估计对系统尺寸一致——从而解决了第二和第三个问题。在 [51] 中，本文作者之一还通过证明一个即便微扰关闭谱 gap 时仍然有效的绝热定理版本，解决了第一个问题。简言之，[51] 的核心思想是：由缓慢变化但非"小"的势（模拟作用于空间大区域上的小场）产生的微扰关闭了谱 gap，但保留了一个局部 gap 结构，从而将系统驱动到一个非平衡几乎稳态（NEASS）。[51] 中的绝热定理指出，如果这种微扰被绝热开启，则系统的状态将演化到一个唯一确定的、与微扰哈密顿量相关联的 NEASS，该 NEASS 具有 $\varepsilon$ 的显式渐近展开；[51] 同样适用于扩展的相互作用格点系统，并提供对系统尺寸一致的误差估计。这一 NEASS 方法受约 20 年前我们称为空间绝热微扰理论的思想启发并建立在其基础之上 [45, 46, 52]，它不仅允许证明 Kubo 公式的有效性，还允许以直接的方式对其求值。后一点在 [37] 中得到了展示，我们在那里计算了拓扑绝缘体中的自旋霍尔电导率。

本文其余部分的结构如下。第 2 节首先回顾哈密顿量子系统语境下 Kubo 公式的形式推导，并突出由此产生的不同数学问题。特别地，我们尝试澄清"证明 Kubo 公式"这一短语在过去获得的不同含义。随后，我们尝试对该领域的数学文献给出简洁而有条理的概述。

在第 3 节中，我们讨论将 [51] 中的结果扩展到无穷系统。我们证明 NEASS 作为无穷系统准局部代数上的态存在，且与未微扰哈密顿量的基态自同构等价，然后陈述相应绝热定理的一个版本，最后从中得到无穷体积 Kubo 公式的严格论证。第 3 节结果的证明和推广将在别处给出 [29]。

2 线性响应：启发式推导、问题与结果#

本节首先回顾哈密顿量子系统静态微扰下一般 Kubo 公式的标准推导。随后突出推导中需要更仔细论证的步骤。在第 2.1–2.3 小节中，我们讨论针对该问题不同方面的一些现有（主要是数学的）文献。

考虑一个量子系统，由某个下半有界 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的自伴哈密顿量 $H_0$ 描述，受到微扰 $\varepsilon V$（$|\varepsilon| \ll 1$），使得 $H_{\varepsilon} = H_0 + \varepsilon V$ 也是自伴的。需要记住的最简单例子是单个原子受小外场微扰，而与输运理论相关的是例如描述格点上具有短程相互作用的费米子的哈密顿量，受小外场微扰。假设初始时（即施加微扰前）系统处于平衡态 $\rho_0$，即若温度 $T = (k_{\mathrm{B}} \beta)^{-1}$ 为正，则 $\rho_0 \sim \mathrm{e}^{-\beta H_0}$；若温度为零，则 $\rho_0$ 等于 $H_0$ 的基态。线性响应理论的目标是确定可观测量 $A$ 的期望值变化中线性于所加微扰强度的部分：

这里 $\rho_{\varepsilon}$ 是微扰被开启后系统的状态，$\sigma_A$ 是关于微扰 $V$ 的可观测量 $A$ 的线性响应系数。现在的问题是：$\rho_{\varepsilon}$ 是什么？为回答此问题，回到第一性原理，通过求解相应的含时薛定谔方程来模拟微扰的含时开启。假设开启发生在时间区间 $[-1, 0]$ 内，时刻 $t$ 的哈密顿量为

其中光滑开关函数 $f : \mathbb{R} \to [0, 1]$ 满足 $f(t) = 0$（$t \le -1$）且 $f(t) = 1$（$t \geq 0$）。那么系统在时刻 $t$ 的状态由含时薛定谔方程（取 $\hbar = 1$）

的解 $\rho_{\varepsilon}(t)$ 给出。因此，如果在微扰完全开启后的 $t \geq 0$ 时刻测量可观测量 $A$，应采用 (2.1) 中的状态 $\rho_{\varepsilon} = \rho_{\varepsilon}(t)$。标准含时微扰论给出

余项 $R(\varepsilon, f, t)$ 在某种意义下是 $o(\varepsilon)$，从而

由于微扰仅在有限时间区间内作用，可以预期 $\lim_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^{-1} \mathrm{tr}(R(\varepsilon, f, t) A) = 0$，从而 (2.1) 确实成立，其中

然而，以此方式定义的响应系数 $\sigma_A^f$ 通常会依赖开关函数 $f$ 以及时间 $t$（即便 $t \geq 0$）。特别地，我们无法期待一个简单普适的公式。但在许多相关情形中，人们预期响应系数应当独立于实验细节，比如开启外场的具体方式，或者微扰开启后进行测量的具体时刻。因此，从实践角度看，(2.3) 显然是一个不能令人满意的定义。

解决此问题的一种方案是取绝热极限：由于施加微扰的时间尺度通常远长于量子系统的内部时间尺度，我们在绝热极限下考虑 (2.2)，即考虑慢开关极限。引入绝热参数 $0 < \eta \ll 1$，绝热薛定谔方程

描述了同一开关过程但被拉伸到更长的时间区间 $[-1/\eta, 0]$。现在的希望是，在绝热情形 $\eta \ll 1$ 下，响应系数

变得独立于 $f$、$\eta$，也独立于 $t$（只要 $t \geq 0$）。进一步将一般开关函数 $f$ 替换为指数函数并在 $t = 0$ 处求值，(2.5) 中的积分变成 Heisenberg 时间演化的 Laplace 变换，从而成为其生成元——Liouvillian $\mathcal{L}_{H_0}(V) := [H_0, V]$——的预解式。由此得到可观测量 $A$ 的线性响应系数的一般 Kubo 公式（KF）：

这一启发式推导立即引出两个问题：

(A) 在模型（哈密顿量 $H_0$、微扰 $V$、可观测量 $A$、初始态 $\rho_0$）的何种假设下，(2.6) 的右侧给出一个良好定义的数 $\sigma_A^{\mathrm{Kubo}}$？如何对电流可观测量更显式地求值，以得到例如有时被称为 Kubo-Streda 公式的双重对易子公式（DCF）？

(B) 假设 (2.6) 给出良好定义的数 $\sigma_A^{\mathrm{Kubo}}$，在何种额外假设下 $\sigma_A^{\mathrm{Kubo}}$ 是一个普适的线性响应系数？即何时对所有光滑开关函数 $f$ 和所有时间 $t \geq 0$ 都有

且

对某个容许时间尺度 $\eta$ 的区间 $I_{\varepsilon} \subset (0, \infty)$ 成立。我们将论证，对于无耗散电流，由于隧穿效应，一般不能期望 (2.8) 中的上确界能被极限 $\eta \to 0$ 替代（参见定理 3.3 及其后的注记）。此外，对于扩展的相互作用系统，还需证明 (2.8) 对粒子数 $N$ 一致成立，即

否则估计可能在热力学极限下恶化并变得毫无价值。

从此处开始，我们仅讨论零温下有能隙哈密顿量的情形。尽管如此，问题 (A) 和 (B) 的数学难度在很大程度上取决于所考虑模型的具体细节：

1. $H_0$ 描述的是格点上的粒子还是连续介质中的粒子？格点哈密顿量通常是有界自伴算子，而连续薛定谔算子是无界的。相应的电流可观测量同样有此区分。
2. 粒子是相互作用的还是非相互作用的？对于非相互作用粒子，可在无穷区域上考虑单体哈密顿量，此时对粒子数一致地控制估计不是问题。相互作用系统需首先在有限区域上分析，热力学极限成为一个非平凡步骤。
3. $H_0$ 假定在 Fermi 能级/基态以上具有谱 gap，还是仅具有迁移率 gap？第一种情形通常出现在 $H_0$ 是（或接近）周期性非相互作用哈密顿量时，而第二种情形预期出现在一般随机哈密顿量中。
4. 微扰 $V$ 是否关闭谱/mobility gap？用恒定电场 $E$（即线性势 $V(x) = x \cdot E$）进行微扰通常会关闭 $H_0$ 的所有谱或 mobility gap，无论 $\varepsilon$ 多小。另一方面，对任意有界微扰 $V$，只要 $\varepsilon$ 足够小 gap 就保持开放。
5. 所考虑的可观测量是局部的还是广延的？对于后者，需要建立某种"单位体积迹"的概念以处理无穷区域或热力学极限。

上述列表中的所有方面在问题 (A) 中都已被以某种形式处理。虽然 (A) 并非本文的主要关注点，我们在第 2.1 小节简要概述该问题并提及一些文献。问题 (B) 受到的关注则少得多。在第 2.2 小节中，我们首先在启发式层面讨论该问题，然后提及少数已有的数学结果。第 2.3 小节收集了扩展量子系统线性响应语境下更多的数学工作参考文献。

2.1 对电流可观测量求值 Kubo 公式#

对电流可观测量求值 Kubo 公式 (2.6) 可能十分棘手。为看清这一点，首先注意在有限区域 $\Lambda \subset \mathbb{R}^d$ 上，由于总电荷守恒，总电流响应总是为零。这也可通过求值 Kubo 公式轻易得出：令微扰 $V$ 为指向第 $i$ 坐标方向的单位恒定电场的势，即 $V = X_i$（$X_i$ 为位置算子的第 $i$ 分量），可观测量 $A$ 为第 $j$ 坐标方向的电流，$A = J_j := \mathrm{i} [H_0, X_j] = \mathrm{i} \mathcal{L}_{H_0}(X_j)$。则 (2.6) 的朴素求值给出

只要 $X_i$ 和 $X_j$ 是迹类——这在有限区域上的格点模型中成立——上述计算就完全有效，且如预期，电流响应为零。要看到非平凡的电流响应，要么在无穷区域上工作，要么在环面几何的区域上工作，要么仅考虑局部电流。在后两种情形中，为避免有限尺寸或边界效应，最终仍希望取热力学极限。因此在所有情形中，求值 Kubo 公式时都会出现额外的数学挑战。

2.1.1 无穷区域上非相互作用系统的双重对易子公式与量子化#

对于非相互作用费米子系统，可直接在单体哈密顿量 $H_0$ 上工作。此时在零温下，初始态由相应的 Fermi 投影 $\rho_0 = \chi_{(-\infty, \mu]}(H_0)$ 给出。为将电流这类广延可观测量作为密度求值，需要建立单位体积迹 $\tau$ 的概念，该迹对合适迹类或 Hilbert-Schmidt 类中的算子具有循环性。对于随机遍历系统，相应的数学框架分别由 Bellissard, van Elst, Schulz-Baldes [11]（离散情形，另见 Aizenman 和 Graf [2] 的不同视角）、Bouclet, Germinet, Klein, Schenker [12]（随机薛定谔算子）以及 De Nittis 和 Lein [18]（涵盖所有先前情形的广泛抽象算子类）建立。

即便在离散情形中，位置算子也是无界的，特别地不在任何单位体积迹类中。因此朴素计算 (2.10) 无法产生正确结果。为正确求值 Kubo 公式，注意到由于 $\rho_0$ 现在是投影，在 (2.10) 的第一行中仅有非对角部分

有贡献，且可证明它对周期性/随机遍历哈密顿量分别是周期的/协变的。然后简单代数表明 $X_j$ 也可替换为 $X_j^{\mathrm{OD}}$。由此如 (2.10) 一样得到电导率张量的著名双重对易子公式：

该公式用 Bloch 函数导数在 Brillouin 环面上积分的形式，首先出现在 Thouless, Kohmoto, Nightingale 和 den Nijs (TKNN) [53] 对周期性哈密顿量的工作中。[53] 的作者意识到所得表达式是量子化的，从而首次从微观模型理解了整数量子霍尔效应，并导致了 David Thouless 在 2016 年获得诺贝尔物理学奖。(2.11) 用双重对易子表示的显式形式首先由 Avron, Seiler 和 Simon [6] 给出，其被 Simon [48] 解释为 Brillouin 环面上复线丛的 Chern 数。值得一提的是，几乎与 [53] 同时，Streda [50] 也独立找到了一个可得出量子化结论的霍尔电导率公式（另见第 2.3 小节）。

然而，尽管将霍尔电导率用拓扑量显式表达是从微观角度理解整数量子霍尔效应的重要一步，一个关键要素仍然缺失：为理解实验中出现的量子化平台，需考虑无序及其在 gap 中产生的 Anderson 局域态。在无穷区域的严格层面上，这首先由 Bellissard, van Elst, Schulz-Baldes 在 [11] 中完成，基于 Bellissard [10] 更早的想法——利用非交换几何框架将 TKNN 的工作扩展到具有 mobility gap 的非周期系统。更准确地说，[11] 不仅发展了一个 $C^{*}$-代数框架，允许从 Kubo 公式推导双重对易子公式并证明它与 Streda 公式一致，还证明了若 Fermi 能级位于 mobility gap 中，则双重对易子公式给出量子化的霍尔电导率和零的直接电导率。理解后者在放弃零温理想化时作为逆温函数为何保持指数小本身就是一个重要问题 [3]。

Bouclet, Germinet, Klein 和 Schenker [12] 为随机薛定谔算子建立了线性响应理论并推导了双重对易子公式。这里的主要挑战是发展定义单位体积迹和相应迹理想的代数-分析框架。作者们也由含时微扰论出发推导了 Kubo 公式，但有两个注意事项：第一，(2.8) 仅在固定绝热参数 $\eta$ 下被证明。对具有 mobility gap 的系统关于 $\eta$ 的一致性仍是一个完全开放的问题。第二，线性含时微扰势 $\varepsilon f(t) X_i$ 被替换为含时矢势 $A(t) = \varepsilon \int_{-\infty}^{t} f(s) \mathrm{d}s \, e_i$。虽然形式上前述两个问题通过含时规范变换相关联，但将他们的结果翻译回原始设定因微妙的定义域问题而在技术上要求很高。此外，如下文将论证的，在线性电势规范下理解线性响应也能为物理提供一些启示。

基于 [12] 发展的数学框架，Klein, Lenoble 和 Müller [32] 还对交流电导率求值了 Kubo 公式，并严格发现了其低频渐近行为的 Mott 公式。最后，De Nittis 和 Lein [18] 进一步推广了 [12] 的框架，涵盖了一类极为广泛的无界算子。

2.1.2 相互作用系统的双重对易子公式与量子化#

对于相互作用系统，起点是一族由有限区域 $\Lambda$ 参数化的哈密顿量 $H_0^{\Lambda}$。如前所述，若要得到非平凡的电流响应，$\Lambda$ 应取为环面，即立方体 $[-L/2, L/2]^d$ 配备合适的周期边界条件。通过 $N / |\Lambda| = \varrho$ 将粒子数与体积 $|\Lambda| = L^d$ 关联以固定密度 $\varrho$。零温下的初始平衡态现在是 $H_0$ 的基态 $\rho_0$。在下述所有数学结果中，均假设基态通过一个对系统尺寸一致的 gap 与谱的其余部分分离。这一假设对应于单体哈密顿量的 gap 假设，对基态以上具有 mobility gap 的相互作用系统，尚无与下述结果类似的数学结果。

历史上理解相互作用粒子系统中电荷输运量子化的首篇工作是 Niu 和 Thouless [43]。他们从系统在外场周期驱动下的绝热响应出发，推导了一个周期内输运电荷的表达式。该表达式同样具有二维环面上线丛的 Chern 数的解释——环面的一个方向是时间（一个周期），另一个是刻画边界条件的复相位。只有通过对时间和边界条件取平均才能得出量子化。然而，假设在热力学极限下输运电荷的值独立于所选边界条件，也可得出对大系统无需平均的输运电荷量子化。

此后不久（1985 年），Niu, Thouless 和 Wu [44] 以及独立地 Avron 和 Seiler [5] 提出了类似的论证，证明相互作用电子系统中适当平均的霍尔电导率/电导的量子化。Niu 等考虑电导率并对由二维环面参数化的一族边界条件取平均，而 Avron 和 Seiler 回到 Laughlin 关于电导的原始论证并对磁通环面取平均。两篇工作中对相应环面的平均再次给出了电导率/电导的双重对易子公式，具有 Chern 数的几何意义并蕴含量子化。同时，两篇工作都假定了 Kubo 公式 (2.6) 的有效性。

仅在 30 年后，Hastings 和 Michalakis [27] 才能严格证明：对于霍尔电导，对大系统而言对磁通环面的平均是不需要的。更准确地说，他们证明了有能隙哈密顿量的霍尔电导率是量子化的，误差渐近小于系统尺寸 $L$ 的任意负幂次。最近，该论证被 Bachmann, Bols, De Roeck 和 Fraas [7] 显著简化并推广。

Fröhlich 及其合作者在一系列工作中发展了关于（分数）量子霍尔效应的不同且更一般的视角（参见例如 [23] 和近期综述 [22]）。他们证明，具有零纵向电阻率的二维电子气的大尺度性质由有效的 Chern-Simons 规范理论支配。从后者可推导出（分数）量子霍尔系统的所有现象学。零纵向电阻率（在二维系统中等价于零纵向电导率）的假设来自 Kubo 公式（假设存在 (mobility) gap 时）。因此证明 Kubo 公式似乎也与他们的进路相关。

Giuliani, Mastropietro 和 Porta [24] 采取了另一条证明相互作用格点系统中霍尔电导率量子化的路径。他们从有能隙的非相互作用费米子周期系统（其霍尔电导率量子化自 Thouless 等 [53] 以来已被理解）出发，利用集团展开技术证明，当哈密顿量中加入足够小的电子间相互作用时，霍尔电导率不发生改变。虽然这里同样假定了 Kubo 公式的有效性，但该进路不需要假设谱 gap 在小微扰下的稳定性。

2.2 为有能隙哈密顿系统论证 Kubo 公式#

本节更详细地讨论问题 (B)。我们从一些启发式讨论开始，然后简要描述已有结果。

2.2.1 论证 Kubo 公式：启发式讨论#

在何种条件下我们期望 Kubo 公式 (2.6) 给出普适的响应系数，即 (2.7) 如 (2.8) 或 (2.9) 所表达的那样一致成立？绝热开启过程背后的思想是：对于 $0 < \eta \ll 1$，系统的状态 $\rho_{\varepsilon, \eta}(t)$（由薛定谔方程 (2.4) 确定）在所有时刻都紧跟着瞬时哈密顿量 $H_{\varepsilon}(t) = H_0 + f(t) \varepsilon V$ 的一条（几乎）稳态曲线 $\Pi_{\varepsilon}(t)$。如果 $\Pi_{\varepsilon}(t)$ 仅取决于瞬时哈密顿量 $H_{\varepsilon}(t)$ 而不依赖于 $f$ 和 $\eta$，这就解释了为什么系统在微扰 $\varepsilon V$ 完全施加后的响应独立于时间 $t \geq 0$ 以及开关过程的细节（即 $f$ 和 $\eta$）。此外，Kubo 公式的推导还建立在 $\rho_{\varepsilon, \eta}(t)$ 仅略微偏离 $\rho_0$ 的假设之上。因此，为使线性响应理论如预期般运作，$H_{\varepsilon}(t)$ 应存在非平衡（几乎）稳态（以下简称 NEASS），它们是 $\rho_0$ 的小微扰，使得当 $\eta$ 足够小时 $\rho_{\varepsilon, \eta}(t) \approx \Pi_{\varepsilon}(t)$ 在适当意义下成立。

如果微扰 $\varepsilon V$ 不关闭 $H_0$ 的谱 gap，则 $H_{\varepsilon}(t)$ 的瞬时基态是 $\Pi_{\varepsilon}(t)$ 的自然候选。事实上，在此情形下量子力学的绝热定理立即蕴含 $\lim_{\eta \to 0} \rho_{\varepsilon, \eta}(t) = \Pi_{\varepsilon}(t)$（在范数意义下）。但这意味着对于 $0 < \eta \ll 1$，系统的状态 $\rho_{\varepsilon, \eta}(t)$ 跟随着一条平衡稳态曲线，最终到达微扰哈密顿量 $H_{\varepsilon} = H_{\varepsilon}(0)$ 的零温平衡态。虽然在此情形下仍要证明带 (2.9) 的 (2.6) 是高度非平凡的任务（如下文讨论），但从物理学角度看，这一结果未能达到线性响应理论预期的一般性。如引言中所强调的，线性响应理论被设计为恰恰在系统被驱动出平衡的情形下提供响应系数。

图1：从占据带到非占据带的跃迁被强烈抑制：要使占据带中的一个电子（黑点）跃迁到非占据态，必须克服能量 gap $g$（垂直箭头），或隧穿一个量级为 $g/\varepsilon$ 的距离（水平箭头）。

正如我们接下来要解释的，在我们所考虑的有能隙哈密顿量 $H_0$（描述绝缘材料）的设定中，确实存在一个清晰简单的物理图像，表明即使当微扰 $\varepsilon V$（作为外部小电场的（可能无界的）势）关闭了 $H_0$ 的谱 gap 时，$H_{\varepsilon}(t)$ 的 NEASS 仍然存在。为简化起见，假设 $H_0$ 是维度 $d = 1$ 的周期单体算子，Fermi 能级 $\mu$ 位于大小为 $g$ 的谱 gap 中。则初始态 $\rho_0$ 中所有能量小于 $\mu$ 的单体态被占据，至少需要能量 $g$ 才能将一个电子从满带激发到空带。如果在距离 $L$ 上施加电压 $\Delta U$，模型化为添加势 $V_{\Delta U, L}(x) = \frac{\Delta U}{L} (x \chi_{[0, L]}(x) + L \chi_{[L, \infty)}(x))$，则当 $\Delta U > g$ 时，微扰哈密顿量在 $\mu$ 处将不再有谱 gap。然而，区域 $[0, L]$ 内的局部场强 $\varepsilon := \frac{\Delta U}{L}$ 在 $L$ 为宏观距离时仍然很小。对于一个局域在点 $\ell \in [0, L]$ 附近微观区域内的 Fermi 海电子，势的添加可能导致可观的能量移动 $\varepsilon \ell$，但它仍感受到量级为 $\varepsilon$ 的小力。要跃迁到非占据态，它仍需克服大小为 $g$ 的能量 gap，或隧穿量级为 $g/\varepsilon$ 的长距离（见图 1）。因此，只要 $g/\varepsilon$ 很大，状态 $\rho_0$ 仍是微扰哈密顿量 $H_{\varepsilon} = H_0 + V_{\Delta U, L}$ 的几乎稳态。然而，$\rho_0$ 肯定既不接近 $H_{\varepsilon}$ 的基态，也不接近其任何其他类型的平衡态。注意这一启发式图像在计入电子间局部相互作用时仍然有效。

此处我们简要提一下与有限系统情形中形状共振的类比。最简单的例子是恒定电场中的氢原子，即 Stark 哈密顿量。无论电场多小，Stark 哈密顿量的谱是整个实直线。然而，当场的大小为 $0 < |\varepsilon| \ll 1$ 时，氢原子哈密顿量的基态接近 Stark 哈密顿量的一个形状共振，该共振在很长时间内稳定。而且当绝热开启一个小电场时，预期氢原子的初始基态将绝热演化到这个共振态。注意共振态的绝热定理已被建立（如 [1, 20]），尽管由于技术原因它们并未覆盖 Stark 哈密顿量的情形。

上述对扩展非相互作用周期系统描述的情形非常类似：未微扰状态 $\rho_0$ 不是简单基态，而是 $H_0$ 到一个与谱其余部分被 gap 分离的无穷维谱子空间的谱投影。上述 NEASS 可被看作 $H_{\varepsilon}$ 的一个无穷维共振。对于扩展的相互作用系统，这个类比甚至更强，因为 $\rho_0$ 确实是 $H_0$ 的有能隙基态，相应的 NEASS 也可称为 $H_{\varepsilon}$ 的共振。

因此，为也对关闭谱 gap 的微扰证明 Kubo 公式，需要首先理解上述 $H_{\varepsilon}$ 的 NEASS（或"共振"），然后为 NEASS 证明一个绝热型定理。这在 [51] 中已做到，第 3 节中将讨论热力学极限下的相应结果。

2.2.2 论证 Kubo 公式：数学结果#

据我们所知，首篇关注在如上所述意义下严格论证 Kubo 公式的工作是 Elgart 和 Schlein [21]。他们考虑 $\mathbb{R}^2$ 上由具有光滑有界势的 Landau 哈密顿量描述的非相互作用电子，且 Fermi 能级在哈密顿量的 gap 内。他们通过证明一个合适的绝热定理，推导了这一语境下常被称为电导的量的 Kubo 公式。注意在计算电导时，电场仅局部施加、电流仅局部测量——即将我们上述电导率讨论中的 $X_i$ 和 $X_j$ 替换为 $G(X_i)$ 和 $G(X_j)$，其中 $G : \mathbb{R} \to [0, 1]$ 是具有紧支撑导数 $G'$ 的光滑阶跃函数。这带来两个技术简化：不需要单位体积迹的概念，且微扰是有界的因此 gap 在 $\varepsilon$ 足够小时保持开放。因此 [21] 中可应用标准的有 gap 绝热展开，主要技术挑战是证明在局部迹范数下控制误差所需的传播估计（另见 [36]）。也值得提及的是，[21] 中绝热参数 $\eta$ 和微扰参数 $\varepsilon$ 被等同，$\eta = \varepsilon$，即绝热极限和小场极限被同时取。在 [38] 中，我们使用 NEASS 方法为有能隙磁薛定谔哈密顿量证明了霍尔电导率的 Kubo 公式。这需要处理 $H_{\varepsilon}(t) = H_0 + \varepsilon f(\eta t) X_j$ 的定义域在 $t = -1/\eta$ 时刻发生改变的事实，以及为含时 Stark 型哈密顿量证明传播估计。

相互作用格点系统的一个突破最近由 Bachmann, De Roeck 和 Fraas [8] 取得。他们证明了扩展格点系统（具有局部相互作用）的第一个绝热定理，给出了在局部迹范数下对系统尺寸一致的误差估计。这种一致性是主要的数学挑战，也是主要的创新。他们的证明利用了相互作用的局域性（以 Lieb-Robinson 传播界 [35] 的形式）以及由 Hastings 和 Wen [28] 引入的 Liouvillian 的局部逆（另见 [9]）。然而，Bachmann 等 [8] 不仅要求 $H_0$ 有谱 gap，也要求微扰后的哈密顿量 $H_{\varepsilon}(t)$ 有谱 gap。为将他们的结果应用于关闭谱 gap 的缓慢变化势微扰（大区域上的小场），需要使用含时矢势的替代规范并转而考虑绝热响应（即偏离理想绝热行为的一阶量）。这可以使用 [39] 的结果完成，[39] 在若干方向上对 [8] 做了轻微推广：制定并证明了一个超绝热版本的定理，它也涵盖了广延可观测量的单位体积迹。该版本随后被用于从具有含时磁通的哈密顿量的绝热响应——而非从小势的绝热开启——推导电导和电导率的 Kubo 公式。

最终，在 [51] 中，针对具有局部相互作用的格点系统建立了一个关于 NEASS 的绝热定理。证明了对于缓慢变化势和/或小局部项的微扰，上述关于 NEASS 的启发式图像可通过结合 [8] 发展的技术和空间绝热微扰理论 [46] 中早期的思想严格实现。在本文第二部分，我们展示如何通过取热力学极限将 [51] 中的一些结果提升到无穷系统。

2.3 相关结果#

我们通过简要提及一些不易归入前述分类的相关结果来结束对有能隙哈密顿系统线性响应的回顾。

Bru 和 de Siqueira Pedra 在一系列工作（参见 [14] 及其参考文献）中建立了线性响应理论，并展示了如何在热力学极限下为格点上相互作用系统求值 Kubo 公式。他们在非常一般的层面上做这件事，不取绝热极限也不需要任何类型的 gap 假设。在众多其他结果中，他们证明了 (2.3) 具有对系统尺寸一致的 $o(\varepsilon)$ 误差。他们为控制相互作用系统热力学极限而发展的一般工具，对于下一节讨论的问题——即在热力学极限下构造 NEASS——也证明是非常有用的。

Jaksic, Pillet 及其合作者在一系列工作中，从量子动力系统的一般视角出发建立了（开放）量子系统的线性响应理论，特别也讨论了进一步的结果（如 Onsager 关系）。由于我们未见到关于该主题的综述论文，这里仅提及 [30]，它可能最接近本文的设置。

显然也存在不关闭（或预期不关闭）有能隙哈密顿量谱 gap 的物理相关微扰，最显著的是小恒定磁场的微扰。相应的响应系数是磁化强度。如前所述，在此情形下响应系数可从一族微扰哈密顿量 $H_{\varepsilon}$ 的平衡态 $\rho_{\varepsilon}$ 确定，并通过对一族平衡期望值求导得到 $\sigma_A = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon} \langle A \rangle_{\rho_{\varepsilon}} \right|_{\varepsilon = 0}$。对于恒定磁场微扰，证明这个导数的存在性并求值仍是一个高度非平凡的问题，因为这类微扰不在正则微扰论的范围内。Cornean 和 Nenciu [16] 发展了一套合适的磁微扰理论，并应用于例如 [13] 中以推导和计算有能隙非相互作用周期系统中的磁响应系数。对于格点上具有 mobility gap 的系统，磁响应也在 [47] 中被考虑。据我们所知，尚不存在适用于含时恒定磁场绝热开启的绝热定理——即便在有 gap 的情形中。

最后提一下 Streda 公式 [50]。Streda 论证了在二维系统中霍尔电导率等于粒子密度的磁响应，即 $\sigma_{12} = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}B} \tau(\rho_B) \right|_{B = 0}$（在无穷非相互作用系统中）。Bellissard [10] 证明了对离散 mobility gap 系统，这一定义给出与双重对易子公式相同的值（另见 [47]）。对于无界 Bloch-Landau 哈密顿量，Streda 公式最近由 Cornean, Monaco 和 Moscolari [15] 证明（另见 [17]）。据我们所知，尚无相互作用系统磁响应的类似结果。

3 热力学极限下相互作用费米子的线性响应#

本节展示如何将 [51] 中关于有限有能隙系统零温下用 NEASS 论证 Kubo 公式的结果提升到热力学极限下的无穷系统。结果表明，在合适假设下，前一节讨论的 NEASS $\Pi_{\varepsilon}$ 也作为无穷系统准局部可观测量代数 $\mathcal{A}_{\Gamma}$ 上的态存在，且 $\Pi_{\varepsilon}$ 与未微扰哈密顿量 $H_0$ 的基态 $\rho_0$ 自同构等价。此外，允许为无穷系统制定并证明 Kubo 公式的绝热定理同样成立。为避免技术细节，且因篇幅所限，我们在此仅报告 $H_{\varepsilon}(t) = H_0 + \varepsilon f(t) V$ 形式的哈密顿量这一特殊情形下的结果，并省略证明。一般陈述及其证明将在别处报告 [29]。在那里，我们使用了仅在近期 [14, 41] 中才被建立的控制热力学极限的结果。

3.1 格点上的费米子：数学框架#

考虑具有 $s \in \mathbb{N}$ 个内部自由度（可以是自旋）的费米子，在格点 $\Gamma := \mathbb{Z}^d$ 上。令 $\mathcal{P}_0(\Gamma) = \{ X \subset \Gamma : |X| < \infty \}$ 表示 $\Gamma$ 的有限子集组成的集合。则对每个 $X \in \mathcal{P}_0(\Gamma)$，相应的单粒子 Hilbert 空间为 $\mathfrak{h}_X := \ell^2(X, \mathbb{C}^s)$，$N$ 粒子 Hilbert 空间为其 $N$ 重反对称张量积 $\mathfrak{H}_{X, N} := \bigwedge_{i=1}^{N} \mathfrak{h}_X$，费米子 Fock 空间为 $\mathfrak{F}_X := \bigoplus_{N=0}^{s|X|} \mathfrak{H}_{X, N}$（其中 $\mathfrak{H}_{X, 0} := \mathbb{C}$）。所有这些 Hilbert 空间都是有限维的，因此其上的所有线性算子都是有界的。局部 $C^{*}$-代数 $\mathcal{A}_X = \mathcal{L}(\mathfrak{F}_X)$ 由单位元 $\mathbf{1}_X$ 以及产生和湮灭算子 $a_{x,i}^{*}, a_{x,i}$（$x \in X, 1 \leq i \leq s$）生成，它们满足正则反对易关系（CAR）：

为定义作为局部项之和的算子族，使用"相互作用"的概念。在下文中，我们考虑定义在形如 $\Lambda(k) = \{-k, \ldots, +k\}^d$（$k \in \mathbb{N}$）的区域上的一列哈密顿量。相应的相互作用 $\Phi = \{ \Phi^{\Lambda(k)} \}_{k \in \mathbb{N}}$ 定义为映射族

取值在自伴算子中。考虑不同 $k \in \mathbb{N}$ 的不同映射 $\Phi^{\Lambda(k)}$（而非单个映射 $\Phi : \mathcal{P}_0(\Gamma) \to \mathcal{A}_{\Gamma}^{\mathrm{loc}}$ 的限制）的好处是可以实现边界条件以模拟离散管状或环面几何。

与相互作用 $\Phi$ 相关联的自伴算子族 $A = \{ A^{\Lambda(k)} \}_{k \in \mathbb{N}_0}$ 定义为

我们将考虑由按以下意义指数局域的相互作用 $\Phi_{H_0}$ 给出的哈密顿量 $H_0$：称一个相互作用以速率 $a > 0$ 指数局域，如果对所有 $n \in \mathbb{N}$

对于微扰 $V$，我们考虑满足以下一致 Lipschitz 条件的势族 $v = \{ v^{\Lambda(k)} : \Lambda(k) \to \mathbb{R} \}_{k \in \mathbb{N}}$：

简称为 Lipschitz 势。与这样一个势 $v$ 相关联的算子族为 $V_v^{\Lambda(k)} = \sum_{x \in \Lambda(k)} v^{\Lambda(k)}(x) a_x^{*} a_x$。

定义 3.1 (a) 一个指数局域的相互作用 $\Phi$ 称为具有热力学极限，如果它满足 Cauchy 性质：对所有 $n \in \mathbb{N}$，存在 $M_0$ 使得对所有 $M \geq M_0$ 和 $\delta > 0$，存在 $K \geq M$ 使得对所有 $l, k \geq K$：$\| (\Phi^{\Lambda(l)} - \Phi^{\Lambda(k)}) |_{\Lambda(M)} \|_{a, n} \leq \delta$。

(b) 一个 Lipschitz 势 $v$ 称为具有热力学极限，如果它局部最终独立于 $k$：$\forall M \in \mathbb{N} \, \exists K \geq M \, \forall l, k \geq K: v^{\Lambda(l)} |_{\Lambda(M)} = v^{\Lambda(k)} |_{\Lambda(M)}$。

最相关的 Lipschitz 势是线性势 $v_D^{\Lambda(k)}(x) := x_i$（若度量 $d^{\Lambda(k)}$ 对应立方体几何——想象盒子上的 Dirichlet 边界条件）或锯齿势 $v_P^{\Lambda(k)}$（用于环面几何）。注意 $C_{v_D} = C_{v_P} = 1$，且两者都具有热力学极限并逐点收敛到同一函数 $v^{\infty}(x) = x_i$。当添加到类型 (3.1) 的有能隙哈密顿量时，它们在热力学极限下定义相同的响应系数。

参考文献#

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阅读笔记#

一句话概括#

这是一篇关于"如何从第一性原理严格证明 Kubo 公式"的数学物理综述，聚焦于零温有能隙系统（绝缘体）。核心论点是：当微扰关闭谱 gap 时，系统并非进入平衡态而是进入 NEASS（非平衡几乎稳态），因此需要一套超越标准绝热定理的数学工具——空间绝热微扰理论 + Liouvillian 局部逆 + Lieb-Robinson 界——来严格论证 Kubo 公式。文章的第二部分将有限系统结果提升到了热力学极限。

核心论证链#

1. 问题的两面性：Kubo 公式有两个层次——(A) 公式本身能否写成一个良好定义的量（求值问题）；(B) 它是否真的是物理上测到的普适线性响应系数（论证问题）。(A) 已有大量工作，(B) 是本文焦点。
2. 为什么不是平凡微扰论：小微扰 $\varepsilon V$ 作用在宏观时间尺度上 → 不能简单截断 Dyson 级数 → 需要绝热定理。但标准绝热定理有三个致命缺陷：(i) 假设 gap 不闭合（输运情境中不成立）；(ii) 误差是算子范数而非局部迹范数；(iii) 误差随系统尺寸发散。
3. 物理图像：外加电场 $E = \varepsilon$ 在宏观距离 $L$ 上产生的势关闭了全局 gap，但电子要跃迁到非占据带仍需跨越 gap $g$ 或隧穿距离 $\sim g/\varepsilon$——只要 $g/\varepsilon \gg 1$，原基态仍是一个"几乎稳态"→ NEASS = 无穷维共振的物理直觉。
4. 三步走的技术路线（Teufel 2020 [51]）：(i) 构造 NEASS（通过 Liouvillian 局部逆 $\mathcal{I}_{H_0}$ 定义近恒等自同构）；(ii) 证明绝热开关定理（NEASS 被真实动力学逼近，误差 $\sim |\varepsilon|^{n+1}/\eta^{d+1}$）；(iii) 展开 NEASS → 一阶项恰好是 Kubo 公式。
5. 本文新贡献：将 [51] 从有限格点提升到无穷系统（热力学极限）——需要控制 Cauchy 相互作用 + Lipschitz 势的一致收敛性，利用 Bru & Pedra [14] 和 Nachtergaele 等 [41] 的热力学极限框架。

关键物理：NEASS 从哪来？#

理解 NEASS 最关键的一句话（第 2.2.1 节末尾）：

"由缓慢变化但非'小'的势产生的微扰关闭了谱 gap，但保留了一个局部 gap 结构"

这意味着：虽然全局谱连续了（因为无限大系统中电势无界），但任何有限区域内的有效哈密顿量仍然"看起来"有 gap。NEASS 就是这个局部 gap 结构对应的"局部基态"的全局组装。这与 Anderson 局域化的精神类似——全局谱有态密度，但局域态是稳定的。

批判性思考#

1. mobility gap 仍是开放的：本文所有定理都假设均匀谱 gap（uniform gap），而非仅 mobility gap。对于实际拓扑绝缘体中更常见的 mobility gap 情形，NEASS 框架能否推广？作者自己承认这"可能要难得多"（第 3 节末尾）。

2. 零温限制：NEASS 构造严重依赖 $\rho_0$ 是纯态（基态）。有限温度下 $\rho_0 \sim e^{-\beta H_0}$ 不是投影 → Liouvillian 的逆 $\mathcal{L}_{H_0}^{-1}$ 不再能简化为 Fermi 投影的非对角部分 → 整个代数结构改变。这解释了为什么有限温 Kubo 公式的严格论证文献远比零温少。

3. 与实验的联系：定理 3.3 中绝热参数 $\eta$ 必须满足 $\eta \gg |\varepsilon|^{\frac{n+1}{d+1}}$——这意味着你不能开关得太慢（因为 NEASS 有有限寿命）。在真实实验中（$d = 2, 3$），这给出了绝热时间尺度的上下界。这个界在物理上能被饱和吗？文章没说。

局限性#

• 仅适用于格点模型（离散空间），连续薛定谔算子的 NEASS 构造仍在进行中 [38]
• 需要指数局域的相互作用（Lieb-Robinson 界的标准前提）
• 基态必须简单（非简并），这排除了拓扑简并基态的直接处理（需先加微扰劈裂简并）
• 定理的证明被推迟到"in preparation [29]"，本文只陈述结果

关键公式速查#

延伸阅读#

• Teufel (2020) [51] — 本文的前置工作，NEASS 方法在有限系统上的完整构建。如果想真正理解 NEASS 怎么构造的，必须读这篇
• De Nittis & Lein (2017) [18] — 本图书馆已有笔记 content/papers/de-nittis2016-linear-response/：抽象算子类的代数-分析框架，与本文第 2.1.1 节的讨论直接互补
• Bachmann, De Roeck, Fraas (2018) [8] — 扩展系统绝热定理的突破，是 NEASS 方法的技术前提之一
• dissipation-driven-rabi-qpt（本图书馆已有笔记）— 开放量子系统的耗散相变与线性响应理论有深层联系：De Filippis 等（2023）处理的 Rabi 模型的非平衡稳态（NESS）正是本文 NEASS 在开放系统中的对偶概念

术语对照#