周期性驱动二能级系统的相位因子

2026-07-06 Marcela M. Gontijo, João C. A. Barata 2020 几何相位量子计算

周期驱动二能级系统的相位因子#

Marcela Muniz Gontijo 和 João C. A. Barata

Department of Mathematical Physics, University of São Paulo, São Paulo, Brazil

利用周期驱动二能级量子系统的微扰解，我们展示了如何获得单个二能级量子系统以及两个无相互作用和相互作用的二能级量子系统的相位因子。该方法易于通过数值程序实现，并且具有在长时间周期内保持稳定的优势。此外，我们还探讨了利用微扰解实现量子相位门的可能性。

引言#

自从几何相位被证明可用于处理量子信息[18]以来，对其的研究引起了极大兴趣，并且由于其几何特性，它们对控制参数的波动误差具有固有的鲁棒性。在量子计算背景下几何相位的实验实现（有时称为几何量子计算）已取得丰硕成果[1, 13]。然而，为了获得二能级量子系统所获取几何相位的表达式，许多工作采用了旋转波近似[10, 13, 15]。与所有近似一样，旋转波近似有其有效性和适用性范围，这一点已被广泛研究[7, 8, 11, 16, 17]。

在这项工作中，我们考虑由周期场驱动的二能级量子系统的演化。我们未使用旋转波近似，而是采用在[3, 4]中获得的薛定谔方程解（另见[2, 5, 6, 12]）来计算单个和两个二能级量子系统的总相位、动力学相位和几何相位。由于所使用的解在时间上一致收敛，因此在考虑长时间周期时，相位的表达式具有鲁棒性。我们首先简要概述[3, 4]中发展的微扰方法。然后利用微扰展开获得二能级量子系统的相位。讨论扩展到两个无相互作用和相互作用的二能级量子系统。在每种情况下，我们提供计算每个相位因子的表达式。最后，我们获得了具有δ相互作用的复合双二能级量子系统的相位因子。我们证明，对于特定的参数选择，可以构建一个相位移位门。

模型与方法描述#

我们首先考虑具有以下哈密顿量的系统：

$$ H_{1} (t) = \epsilon \sigma_{3} - f (t) \sigma_{1},\tag{1} $$

其中 e 是实常数，$f ( t )$ 是频率为 $\omega > 0$ 的时间周期函数。考虑绕 y 轴旋转 π/2，记为 $R_{y} ( \pi / 2 )$，在这个新旋转坐标系下的薛定谔方程由下式给出

$$ i \frac{d}{dt} \psi_{2} (t) = H_{2} (t) \psi_{2} (t),\tag{2} $$

其中

$$ \psi_{2} (t) = R_{y} (\pi / 2) \psi (t) = \exp (- i \pi \sigma_{2} / 4) \psi (t)\tag{3} $$

且

$$ H_{2} (t) = \epsilon \sigma_{1} + f (t) \sigma_{3}.\tag{4} $$

哈密顿量(1)可以解释为描述一个具有与时间无关的哈密顿量 eσ₃ 的系统，该哈密顿量受到时间依赖的微扰 $- f ( t ) \sigma_{1}$ 的作用。后者负责系统两个状态之间的跃迁。

[3]和[4]中发展的方法适用于小 e 和周期函数 $f$ 的情况。拟周期情况在[12]中进行了分析。该方法包括对时间演化算子写出 e 的微扰展开。该方法已被证明具有以下优点：级数展开在时间上一致收敛，获得的时间演化算子表达式以级数形式给出，因此易于在数值计算中实现，并且可以应用于任何周期函数。一致收敛性非常重要，因为这意味着结果导致稳定的数值计算，从而允许研究系统可观测量的长时间行为。

[3]中证明，由(4)描述的系统的的时间演化算子 U(t) 可以写成

$$ U (t) = \left( \begin{array}{c c} R (t) (1 + i g_{0} S (t)) & - i \epsilon R (t) S (t) \-i \epsilon \overline{{R (t) S (t)}} & \overline{{R (t)}} (1 - i \overline{{g_{0}}} S (t)) \end{array} \right).\tag{5} $$

其中 $R(t)$ 和 $S(t)$ 由下式给出

$$ R (t) = e^{- i \Omega t} \sum_{m \in \mathbb{Z}} R_{m} e^{i m \omega t}\tag{6} $$

和

$$ S (t) = \sigma_{0} + e^{2 i \Omega t} \sum_{m \in \mathbb{Z}} S_{m} e^{i m \omega t}.\tag{7} $$

$R_{m}$ 和 $S_{m}$ 分别是 $R(t)$ 和 $S(t)$ 傅里叶展开的系数。它们与拉比频率 $\Omega$ 以及常数 $g_{0}$ 和 $\sigma_{0}$ 一起，都可以通过关于 $\epsilon$ 的复杂但收敛的幂级数展开求得，其中涉及 $f$ 的傅里叶系数及其频率 $\omega$。具体公式和示例见参考文献[4]以及[2, 3, 5, 6]。有时我们会提及 $\bar{U ( t )}$ 的矩阵元，例如 $U_{11} ( t ) = R ( t ) ( 1 + i g_{0} S ( t ) )$ 和 $U_{12} ( t ) = - i \epsilon R ( t ) S ( t )$。

如文献[4]所述，我们对其发展的方法进行了数值实现，针对以下形式的微扰：

$$ f (t) = F_{0} + A \cos (\omega t),\tag{8} $$

其中 $F_{0}$ 是实数，$A$ 和 $\omega$ 分别是周期微扰的振幅和频率。

按照原始论文的指导，该方法被应用于多个 $\omega$ 和 $\epsilon$ 值，前者范围从 1.0 到 10.0，后者从 0.01 到 0.40。对于所有这些取值，幺正性检验结果足够令人满意，因为在一种特定情况下（$\omega = 1.0$ 且 $\epsilon = 0.40$）误差上限为 $3 \times 10^{-3}$，但在大多数情况下，误差上限为 $10^{-5}$ 甚至 $10^{-10}$。

总相位、动力学相位与几何相位#

现在我们展示所考虑的两能级系统的总相位、动力学相位和几何相位的计算。系统的总相位简单由下式给出：

$$ \phi_{tot} (t) = \arg \langle \psi (0), \psi (t) \rangle ,\tag{9} $$

动力学相位 $\alpha_{dyn}$ 由下式给出：

$$ \alpha_{dyn} (t) = i \int_{0}^{t} \langle \psi (t^{\prime}), \dot{\psi} (t^{\prime}) \rangle \mathbf{d} t^{\prime},\tag{10} $$

其中 $\psi (0)$ 和 $\psi (t)$ 分别是系统在初始时刻和某时刻 $t$ 的状态矢量。点号表示对时间的导数。几何相位 $\gamma_{geo}$ 就是总相位与动力学相位之差：

$$ \gamma_{geo} (t) = \phi_{tot} (t) - \alpha_{dyn} (t).\tag{11} $$

我们注意到相位因子是时间的函数，因为它们由状态矢量 $\psi (t)$ 的演化所定义。

在进行以下计算时，我们将考虑与旋转后哈密顿量（方程(3)）相对应的状态矢量。得到的表达式变为：

$$ \begin{array}{c} \phi_{tot} (t) = \arg \{\operatorname{Re} U_{11} (t) + i (- 2 \operatorname{Re} (\overline{{\alpha}} \beta) \operatorname{Im} U_{11} (t) \\ \qquad + 2 \operatorname{Im} (\overline{{\alpha}} \beta) \operatorname{Re} U_{12} (t) + (2 | \alpha | ^{2} - 1) \operatorname{Im} U_{12} (t)) \} \end{array}\tag{12} $$

和

$$ \begin{array}{l} \alpha_{dyn} (t) = | \alpha | ^{2} \left(- \operatorname{Im} \int_{0}^{t} a_{11} (t^{\prime}) d t^{\prime} + i \operatorname{Re} \int_{0}^{t} a_{12} (t^{\prime}) d t^{\prime}\right) \\ \quad - 2 i \operatorname{Re} (\overline{{\alpha}} \beta) \operatorname{Re} \int_{0}^{t} a_{11} (t^{\prime}) d t^{\prime} - 2 i \operatorname{Im} (\overline{{\alpha}} \beta) \operatorname{Im} \int_{0}^{t} a_{12} (t^{\prime}) d t^{\prime} \\ \quad + | \beta | ^{2} \left(- \operatorname{Im} \int_{0}^{t} a_{11} (t^{\prime}) d t^{\prime} - i \operatorname{Re} \int_{0}^{t} a_{12} (t^{\prime}) d t^{\prime}\right), \end{array}\tag{13} $$

其中 $a_{11}(t)$ 和 $a_{12}(t)$ 是 $U^{\ast}(t)$ 与 $\dot{U}(t)$ 乘积的矩阵元：

$$ U^{*} (t) \dot{U} (t) = \left( \begin{array}{c c} a_{11} (t) & a_{12} (t) \-overline{a}_{12} (t) & \overline{a}_{11} (t) \end{array} \right).\tag{14} $$

动力学相位的表达式涉及对展开式随时间进行积分。虽然存在大量的积分程序，但在构成展开式的高度振荡函数中使用这些程序时，往往由于程序本身而产生较大的误差。因此，积分是对傅里叶展开中的各项逐一解析地进行，然后再以数值方式实现。

上述表达式确定了系统在任意时刻的总相位和动力学相位。接下来，需要定义一个在物理上对计算系统所获相位有意义的时刻。有人可能会主张，这个合适的时刻应该是系统的"自然"频率，由拉比频率 $\Omega$ 表征。但我们必须回顾几何相位的本质，即系统在演化过程中所获得的相位，源于哈密顿量参数空间的几何性质。在我们的情形下，参数空间是二维的，每个维度分别与(8)式中的参数 $A$ 和 $\omega$ 相关联。因此，如果考虑参数空间上的循环演化，且外场振幅 $A$ 固定，那么相关的时刻正是

$$ t_{\omega} = \frac{2 \pi}{\omega}.\tag{15} $$

因此，系统总相位、动力学相位和几何相位的表达式(12)、(13)和(11)均在时刻 $t_{\omega}$ 取值。接下来，我们以图形方式展示系统相位因子的部分计算结果。不失一般性，我们设定初始态矢量为 $\psi ( \bar{0} ) = | 0 \rangle$，即态矢量初始时沿 z 轴对齐。计算时参数 e 的取值范围为 0.01 到 0.40，步长为 0.01；参数 ω 的取值范围为 1.0 到 10.0，步长为 0.5。

如前所述，总相位的数值实现较为容易。我们注意到，由于总相位定义为辐角，无需检验数值函数是否因内置机器误差而含有显著的虚部。图1(a)展示了总相位与参数 e 之间的关系，图2则以三维形式呈现总相位随 ω 和 e 的变化。可以看出，总相位的绝对值与 e 的值成正比。根据 (1) 式中 e 的含义——$\sigma_{3}$ 两个本征态之间的能隙——我们可以认为总相位与该能隙成正比。此外，我们注意到，随着 ω 增大，总相位随 e 增长的速率逐渐减小。换言之，ω 的值对曲线 $\phi_{tot} \times \epsilon$ 起调节作用。图1(b)显示了在固定 e 值下总相位作为 ω 函数的曲线。图1(b)中呈现了与图1(a)相同的行为，但在此情况下，e 的值以如下方式调节曲线 $\phi_{tot} \times \omega$：随着 e 增大，曲线变得更加显著。同样值得注意的是，在 ω 约为 2.0 时，总相位的绝对值达到最大。

(a) 总相位 $\phi_{tot} ( t_{\omega} )$ 作为 e 的函数，固定 $\omega = 2.0$（实线）、5.0（虚线）和 10.0（点线）。 (b) 总相位 $\phi_{tot} ( t_{\omega} )$ 作为 ω 的函数，固定 e = 0.01（实线）、0.10（虚线）和 0.40（点线）。

图1：总相位作为 e 和 ω 的函数图像。

动力学相位的数值实现不如总相位直接，因为它涉及多次对时间的积分（方程 (13)）。如前所述，这些积分先通过解析方法完成，再转为数值实现。理论上动力学相位应为实数，但由于实现中的展开被截断，我们检验了动力学相位虚部是否有显著贡献。结果显示，虚部在机器精度范围内为零。动力学相位与 ω 值之间的关系具有特殊行为：当 $\omega = 1.0, 1.5, 2.0, 2.5$ 时，曲线 $\alpha_{dyn} \times \epsilon$ 近似抛物线；而对于更高的 ω 值，曲线近似线性函数。图3(a)显示了在若干固定 ω 值下动力学相位作为 e 的函数。图3(b)显示了在若干固定 e 值下曲线 $\alpha_{dyn} \times \omega$。可以看到，与图1(b)类似，e 似乎对曲线起调节作用，且存在一个使 $\alpha_{dyn}$ 最大化的 ω 值，但该值随 e 的变化而偏移。图4以三维形式展示了动力学相位作为 ω 和 e 的函数。

图2：总相位 $\phi_{tot}$ 作为 ω 和 e 的函数的图形表示。

(a) 动力学相位 $\alpha_{dyn} \big ( t_{\omega} \big )$ 作为 e 的函数，固定 $\omega = 2.0$（实线）、5.0（虚线）和 10.0（点线）。 (b) 动力学相位 $\alpha_{dyn} ( t_{\omega} )$ 作为 ω 的函数，固定 e = 0.01（实线）、0.10（虚线）和 0.40（点线）。

图3：动力学相位作为 e 和 ω 的函数图像。

总相位的类似行为也在几何相位中观察到，如图5a和5b所示：几何相位的绝对值随着 e 的增加而增加，曲线 $\gamma_{geo} \times \omega$ 受到 e 的调制，并且存在一个 ω 值使得几何相位的绝对值最大化。图6展示了几何相位作为 ω 和 e 函数的图形表示。

接下来，我们考虑两个具有各自哈密顿量（由(1)式给出）的两能级量子系统。当考虑这两个系统之间没有相互作用时，复合系统得到的相位因子只是各个相位因子的代数和。为了探究考虑相互作用时复合系统相位因子如何变化，我们考虑了由下式给出的相互作用：

$$ H^{\prime} (t) = \kappa v (t) \sigma_{3}^{(a)} \otimes \sigma_{3}^{(b)},\tag{16} $$

图4：动力学相位 $\alpha_{dyn}$ 作为 ω 和 e 函数的图形表示。

(a) 对于固定 $\omega = 2.0$（实线）、5.0（虚线）和 10.0（点线），几何相位 $\gamma_{geo} ( t_{\omega} )$ 作为 e 的函数。 (b) 对于固定 e = 0.01（实线）、0.10（虚线）和 0.40（点线），几何相位 $\gamma_{geo} ( t_{\omega} )$ 作为 ω 的函数。

图5：几何相位绘制为 e 和 ω 的函数。

图6：几何相位 $\gamma_{geo}$ 作为 ω 和 e 函数的图形表示。

其中 κ 是一个实常数，$v ( t )$ 是一个实时间函数。在旋转框架下的相应哈密顿量由下式给出：

$$ \begin{array}{c} H_{2}^{\prime} (t) = R_{y} (\pi / 2) \kappa v (t) \sigma_{3}^{(a)} \otimes \sigma_{3}^{(b)} R_{y}^{*} (\pi / 2) \=kappa v (t) \sigma_{1}^{(a)} \otimes \sigma_{1}^{(b)}, \end{array}\tag{17} $$

其中 $\epsilon_{a}$ 和 $\epsilon_{b}$ 分别是各个系统的常数，$f_{a} ( t )$ 和 $f_{b} ( t )$ 是施加到每个子系统的外场。复合系统的哈密顿量为：

$$ H_{2} (t) = \left( \begin{array}{c c c c} f_{a} (t) + f_{b} (t) & \epsilon_{b} & \epsilon_{a} & \kappa v (t) \\ \epsilon_{b} & f_{a} (t) - f_{b} (t) & \kappa v (t) & \epsilon_{a} \\ \epsilon_{a} & \kappa v (t) & - f_{a} (t) + f_{b} (t) & \epsilon_{b} \\ \kappa v (t) & \epsilon_{a} (t) & \epsilon_{b} & - f_{a} (t) - f_{b} (t) \end{array} \right)\tag{18} $$

为了获得复合系统的相位因子，我们考虑相互作用绘景。我们将此绘景中的态矢量记为 $\psi_{I} ( t )$，它与薛定谔绘景中的态矢量通过幺正变换相关联：

$$ \psi_{I} (t) = U^{*} (t) \psi (t),\tag{19} $$

其中 $U ( t )$ 是时间演化算符。在相互作用绘景中，时间演化算符 $U_{I} ( t )$ 由戴森级数给出：

$$ U_{I} (t) = \mathbb{1} + \sum_{n = 1}^{\infty} (- i)^{n} \int_{0}^{t} V_{I} (t_{1}) \mathrm{d} t_{1} \dots \int_{0}^{t_{n - 1}} V_{I} (t_{n}) \mathrm{d} t_{n}.\tag{20} $$

其中 $V_{I} ( t )$ 是相互作用绘景中的相互作用哈密顿量，由下式给出：

$$ V_{I} (t) = \kappa v (t) \left( \begin{array}{c c} V_{11} (t) & V_{12} (t) \\ \overline{{V}}_{12} (t) & - V_{11} (t) \end{array} \right)^{(a)} \otimes \left( \begin{array}{c c} V_{11} (t) & V_{12} (t) \\ \overline{{V}}_{12} (t) & - V_{11} (t) \end{array} \right)\tag{b} $$

(21)

其中

$$ V_{11} (t) = - \overline{{U}}_{11} (t) \overline{{U}}_{12} (t) - U_{11} (t) U_{12} (t), $$$$ V_{12} (t) = \overline{{U}}_{11} (t)^{2} - U_{12} (t)^{2}.\tag{22} $$

(23)

考虑(20)中戴森展开给出的相互作用绘景中的时间演化算符，并结合(21)中算符 $V_{I} ( t )$ 的表达式，可得：

$$ \begin{array}{c} U_{I} (t) = \mathbb{1} - i \kappa \int_{0}^{t} (U_{a}^{*} (t^{\prime}) \sigma_{1}^{(a)} U_{a} (t^{\prime})) \\ \otimes ((U_{b}^{*} (t^{\prime}) \sigma_{1}^{(b)} U_{b} (t^{\prime})) \mathrm{d} t^{\prime} + \mathcal{O} (\kappa^{2}). \end{array} $$

我们将考虑Dyson展开至一阶。相互作用绘景中时间演化算符的矩阵形式（一阶）由下式给出

$$ U_{I} (t) = \mathbb{1}_{4} - i \kappa V^{(1)} (t),\tag{24} $$

其中$\mathbb{1}_{4}$是作用于四维Hilbert空间的单位算符，且

$$ V^{(1)} (t) = \int_{0}^{t} v (t^{\prime}) \left( \begin{array}{c c c c} V_{11}^{(a)} V_{11}^{(b)} & V_{11}^{(a)} V_{12}^{(b)} & V_{12}^{(a)} V_{11}^{(b)} & V_{12}^{(a)} V_{12}^{(b)} \\ V_{11}^{(a)} \overline{{V}}_{12}^{(b)} & - V_{11}^{(a)} V_{11}^{(b)} & V_{12}^{(a)} \overline{{V}}_{12}^{(b)} & - V_{12}^{(a)} V_{11}^{(b)} \\ \overline{{V}}_{12}^{(a)} V_{11}^{(b)} & \overline{{V}}_{12}^{(a)} V_{12}^{(b)} & - V_{11}^{(a)} V_{11}^{(b)} & - V_{11}^{(a)} V_{12}^{(b)} \\ \overline{{V}}_{12}^{(a)} \overline{{V}}_{12}^{(b)} & - \overline{{V}}_{12}^{(a)} V_{11}^{(b)} & - V_{11}^{(a)} \overline{{V}}_{12}^{(b)} & V_{11}^{(a)} V_{11}^{(b)} \end{array} \right) $$$$ \mathrm{dt}^{\prime}\tag{25} $$

我们省略了公式(22)和(23)分别给出的$V_{11} ( t )$和$V_{12} ( t )$表达式中对时间的依赖性。算符$\bar{V}^{( 1 )} ( \bar{t} )$将用于计算复合系统相位因子的表达式。此外，我们必须注意$V^{( 1 )} ( t )$是自伴算符，因为$v ( t )$是t的实函数，且(25)右边被积函数中的矩阵算符是自伴的。

复合系统的总相位因子为

$$ \begin{array}{l} \phi_{tot} (t) = \arg \langle \psi_{2} (0), \psi_{2} (t) \rangle \=arg \Big \{\langle \psi_{2}^{(a)} (0), U_{a} (t) \psi_{2}^{(a)} (0) \rangle \langle \psi_{2}^{(b)} (0), U_{b} (t) \psi_{2}^{(b)} (0) \rangle \\ \qquad - i \kappa \langle \psi_{2} (0), U (t) V^{(1)} (t) \psi_{2} (0) \rangle \Big \}. \end{array}\tag{0} $$

(26)

注意对于$\kappa = 0$，上式简化为两个非相互作用系统的总相位。

使用(10)计算动力学相位，以及相互作用绘景中时间演化算符关于κ的展开，我们有

$$ \begin{array}{l} \alpha_{dyn} (t) = i \int_{0}^{t} \langle \psi_{2} (t^{\prime}), \dot{\psi}_{2} (t^{\prime}) \rangle \mathrm{d} t^{\prime} \\ \qquad = i \int_{0}^{t} \langle \psi_{2} (0), U^{*} (t^{\prime}) \dot{U} (t^{\prime}) \psi_{2} (0) \rangle \mathrm{d} t^{\prime} \\ \qquad + \kappa \int_{0}^{t} \langle \psi_{2} (0), U^{*} (t^{\prime}) U (t^{\prime}) V^{(1)} (t^{\prime}) \psi_{2} (0) \rangle \mathrm{d} t^{\prime} \\ \qquad + \kappa \int_{0}^{t} \langle \psi_{2} (0), U^{*} (t^{\prime}) \dot{U} (t^{\prime}) \dot{V}^{(1)} (t^{\prime}) \psi_{2} (0) \rangle \mathrm{d} t^{\prime} \\ \qquad - \kappa \int_{0}^{t} \langle \psi_{2} (0), V^{(1)} (t^{\prime})^{*} U^{*} (t^{\prime}) \dot{U} (t^{\prime}) \rangle \mathrm{d} t^{\prime} + \mathcal{O} (\kappa^{2}), \end{array} $$

由于U(t)是酉算符，恒等式$\begin{array} {r l} {U^{*} ( t ) \dot{U} ( t )} & {{} =} \end{array}$ $- U^{*} ( t ) U ( t )$成立，上式右边的第三项可以重写为第二项的复共轭。因此，一阶κ下的动力学相位由下式给出

$$ \begin{array}{l} \alpha_{dyn} (t) = \alpha_{dyn}^{(0)} (t) \\ \qquad + 2 \kappa \operatorname{Re} \int_{0}^{t} \langle \psi_{2} (0), U^{*} (t^{\prime}) \dot{U} (t^{\prime}) V^{(1)} (t^{\prime}) \psi_{2} (0) \rangle \mathrm{d} t^{\prime} \\ \qquad + \kappa \int_{0}^{t} \langle \psi_{2} (0), \dot{V}^{(1)} (t^{\prime}) \psi_{2} (0) \rangle \mathrm{d} t^{\prime} + \mathcal{O} (\kappa^{2}), \end{array}\tag{27} $$

其中$\alpha_{dyn}^{( 0 )} ( t )$正是两个非相互作用两能级系统的动力学相位表达式。

此外，(27)右边的第三项是自伴算符$V^{( 1 )} ( t )$期望值对时间的积分。因此，这一项也是实数，动力学相位的表达式也是如此。复合系统的几何相位仍然由总相位与动力学相位之差给出。

现在，让我们考虑相互作用由下式给出的情况

$$ v (t) = \delta (t - t_{0}),\tag{28} $$

其中$t_{0}$是任意时刻。根据(24)和(25)，相互作用绘景中的时间演化算符为

$$ U_{I} (t) = \mathbb{1}_{4} - i \kappa \left( \begin{array}{c c c c} V_{11}^{(a)} V_{11}^{(b)} & V_{11}^{(a)} V_{12}^{(b)} & V_{12}^{(a)} V_{11}^{(b)} & V_{12}^{(a)} V_{12}^{(b)} \\ V_{11}^{(a)} \overline{{V}}_{12}^{(b)} & - V_{11}^{(a)} V_{11}^{(b)} & V_{12}^{(a)} \overline{{V}}_{12}^{(b)} & - V_{12}^{(a)} V_{11}^{(b)} \\ \overline{{V}}_{12}^{(a)} V_{11}^{(b)} & \overline{{V}}_{12}^{(a)} V_{12}^{(b)} & - V_{11}^{(a)} V_{11}^{(b)} & - V_{11}^{(a)} V_{12}^{(b)} \\ \overline{{V}}_{12}^{(a)} \overline{{V}}_{12}^{(b)} & - \overline{{V}}_{12}^{(a)} V_{11}^{(b)} & - V_{11}^{(a)} \overline{{V}}_{12}^{(b)} & V_{11}^{(a)} V_{11}^{(b)} \end{array} \right)\tag{\(t = t_{0}\} $$

(29)

其中$V_{11} ( t )$和$V_{12} ( t )$的时间依赖性分别由(22)和(23)给出。等式右边第二项的时间依赖性被省略，但我们假设$0 ~ < ~ t_{0}^{\bar{}} ~ < ~ t_{}$，因此$V_{11} ( t )$和$V_{12} ( t )$均在$t_{0}$处计算，如(29)右边矩阵的下标所示。

在$\kappa$的一阶近似下，(29)中的时间演化算符在时间上为常数。因此，(27)中动力学相位表达式的第三项（涉及$V^{( 1 )} ( t )$的时间导数）为零。我们在代码中实现了计算由(28)给出的相互作用相位因子的程序。为研究相位因子与常数$\kappa$之间的关系，我们考虑了一个由两个可公度子系统组成的系统，其中$\omega_{a} , \omega_{b} , \epsilon_{a}$和$\epsilon_{b}$固定，$t_{0}$固定以表征delta相互作用，并将$\kappa$从0变化到0.2，步长为0.01。利用这组参数，代码计算了每个计算基态（|00⟩, |01⟩, |10⟩和|11⟩）的相位因子。图7展示了初态00且$\omega_{q} = 1.0 , \ : \omega_{b} = 2.0 , \ : \epsilon_{a} = \epsilon_{b} = 0.01$以及$t_{0} = 0.5$时的结果。其他参数集的结果类似。我们注意到，由于Dyson展开（方程(20)）仅近似到一阶，相位因子对$\kappa$的依赖是线性的。参数$\kappa$并非像人们可能想象的那样是系统控制空间的一个参数。它只是调节子系统之间的相互作用，可以视为一个结构常数。

图8展示了初态00的相位因子对相互作用时刻$t_{0}$的依赖性。对于计算基的其他态以及不同的参数集，相位因子与$t_{0}$的关系是类似的。我们注意到存在一个$t_{0}$值能使几何相位的绝对值最大化，但我们无法断言这是全局最大值。

(a) 总相位。 (b) 动力学相位。 (c) 几何相位。

图7：初态00的相位因子作为参数κ函数的曲线图。粗线表示非相互作用子系统的相位因子值。虚线表示由(28)给出的相互作用。我们考虑的子系统的参数为 $\omega_{a} = 1.0 , \omega_{b} = 2.0 ,$ $\epsilon_{a} = \epsilon_{b} = 0.01$ 且 $t_{0} = 0.5$。

(a) 总相位。 (b) 动力学相位。 (c) 几何相位。

图8：初始态 00 的相位因子作为相互作用时刻 $t_{0}$ 的函数的曲线图。粗线表示无相互作用子系统的相位因子值。虚线表示由（28）式给出的相互作用。我们考虑了子系统参数 $\omega_{a} = 1.0$，$\omega_{b} = 2.0$，$\epsilon_{a} = \epsilon_{b} = 0.01$ 以及 $\kappa = 0.1$。时间以 $2 \pi / \omega$ 为单位进行测量。

进一步的结果#

利用目前关于两个两能级量子系统得到的结果，我们可以再次研究计算相位因子的合适时刻。遵循相同的原则，即所考虑的时刻对应系统经历循环演化的时间间隔，我们考虑复合系统的跃迁概率：

$$ P (t) = | \langle \psi (0), U (t) \psi (0) \rangle | ^{2}. $$

图9展示了 $P(t)$ 作为时间函数的曲线。我们观察到，系统在经过时间 $T_{\Omega} \cong 456 t_{\omega}$ 后返回其初始状态，其中 $t_{\omega} = 2 \pi / \omega$。$T_{\Omega}$ 也通过 $T_{\Omega} = 2 \pi / \Omega$ 获得，这里 Ω 是拉比频率，通过数值计算得到。我们考虑了一个系统，其参数为 $\omega_{a} = 1.0$，$\omega_{b} = 2.0$，$\epsilon_{a} = \epsilon_{b} = 0.01$。决定相互作用的常数是 $\kappa = 0.1$ 和 $t_{0} = 0.5 = 0.16 t_{\omega}$。对于这些数值，相应的拉比频率为 $\Omega = 0.0022$，得到 $T_{\Omega} \cong 456 t_{\omega}$，如图9所示。

图9：系统保持在初始状态的概率。从左列第一行的图形开始，按顺时针方向，图形分别对应初始态 00、01、10 和 11。实线对应无相互作用的子系统，虚线对应（28）形式的相互作用。时间以 $t_{\omega} = 2 \pi / \omega$ 为单位进行测量。系统的相关常数为 $\omega_{a} = 1.0$，$\omega_{b} = 2.0$，$\epsilon_{a} = \epsilon_{b} = 0.01$，$\kappa = 0.1$ 以及 $t_{0} = 0.16 t_{\omega}$。



$\lvert 00\rangle$
$\lvert 01\rangle$
$\lvert 01\rangle$
$\lvert 00\rangle$

表 I：对于计算基中的每个态，考虑不同的 $\omega_{b}$ 值和固定的 $\omega_{a} = 1.0$ 时的总相位 $\phi_{tot}$ 值。下标 $\phi_{tot}^{(0)}$ 和 $\phi_{tot}^{(\delta)}$ 分别表示无相互作用系统和由 δ 函数给出的相互作用系统。

一旦我们确定了系统返回其初始状态所需的周期 $(T_{\Omega})$，我们就可以计算复合系统的总相位因子。

表I显示了针对一组 $\omega_{a}$ 和 $\omega_{b}$ 值的总相位值。我们注意到，当 $\omega_{a} = \omega_{b}$ 时，我们可以写出以下变换：

$$ B (\phi) = \left( \begin{array}{c c c c} e^{i \phi} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{- i \phi} \end{array} \right),\tag{30} $$

其中 φ 是与基态 00 关联的总相位。该变换实现了基态的受控演化，我们可以说 (30) 是一个条件相位门，因为一个系统的状态会影响另一个系统的状态，尽管它呈现了受控相移门通常的对称形式。这个门并非纯粹的几何门，因为总相位因子同时包含了动力学相位和几何相位。当 $\omega_{a} \neq \omega_{b}$ 时，基态的变换不再能用 (30) 表示，如表 I 所示。

结论#

本研究的主要贡献是实现了文献[3]和[4]中发展的方法，以获取一个两能级量子系统以及两个相互作用的和非相互作用的两能级量子系统的相位因子。由于该方法给出的解在长时间内保持稳定，由此得到的相位因子也具有这一性质。

当考虑 RWA 时[10, 15]，量子门的实现在绝热演化下是有效的，并且对于两个两能级系统相互作用的情况，只有一个系统受到外部时变场的作用。在我们的情形中，两个系统都受到外部周期场的作用，既不需要绝热近似，也不需要旋转波近似。利用相位因子的结果，我们能够实现一个受控相移门。最终的门不是纯粹的几何门，并且去除动力学相位对总相位的贡献并非一项直接的任务。一种可能性是找到一个哈密顿量，使其在循环轨迹上抵消系统的动力学相位。尽管如此，我们的工作可以在许多方向上扩展。例如，对于两能级量子系统得到的时间演化算子，可以用于在量子跳跃方法[9]下计算开放量子系统中的几何相位。或者，在干涉测量中的非幺正演化背景下，甚至可以结合文献[14]中发展的方法与我们的工作，得到一个受到时变扰动的系统的时间演化算子，并推导出相应的相位因子。

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[2] J. C. A Barata. On formal quasi-periodic solutions of the schrödinger equation for a two-level system with a hamiltonian depending quasi-periodically on time. Rev. Math. Phys., 12(1):25–64, 2000.

[3] J. C. A. Barata. Converging perturbative solutions of the Schrödinger equation for a two-level system with a hamiltonian depending periodically on time. Annales Henri Poincaré, 2:963–1005, 2001.

[4] J. C. A. Barata and D. A. Cortez. Time evolution of two-level systems driven by periodc fields. Phys. Lett. A, 301:350–360, 2002.

[5] J. C. A. Barata and D. A. Cortez. Perturbative analysis of dynamical localisation. J. Math. Phys., 44(5):1937–1960, 2003.

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[15] E. Sjöqvist, A. K. Pati, A. Ekert, J. S. Anadan, M. Ericsson, D. K. L. Oi, and V. Vedral. Geometric phases for mixed states in interferometry. Phys. Rev. Lett., 85(14):2845, 2000.

[16] J. Spiegelberg and E. Sjöqvist. Validity of the rotatingwave approximation in nonadiabatic holonomic quantum computation. Phys. Rev. A, 88:054301, 2013.

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[18] P. Zanardi and M. Rasetti. Holonomic quantum computation. Phys. Lett. A, 264:94–99, 1999.

阅读笔记#

一句话概括#

本文利用 Barata 等人发展的 $\epsilon$-微扰展开方法（对能隙 $\epsilon$ 作幂级数，级数在时间上一致收敛），在不使用旋转波近似（RWA）的条件下，解析计算了周期驱动二能级系统的总相位、动力学相位与几何相位，并将其推广到两个无相互作用或 $\delta$-相互作用子系统构成的复合系统。核心结论：(1) 单个系统的总相位与 $\epsilon$ 成正比，驱动频率 $\omega$ 调节该增长速率，且在 $\omega\approx 2.0$ 处相位绝对值最大；(2) 两个 $\delta$-相互作用子系统在 $\omega_a=\omega_b=1.0$ 时，总相位矩阵可写为 $B(\phi)=\mathrm{diag}(e^{i\phi},1,1,e^{-i\phi})$，实现了一个条件相位门；该方法避免了 RWA 在非共振/非绝热区域的系统误差，且长时间稳定性优于常规数值积分。

核心论证链#

规避 RWA 限制，采用一致收敛微扰方法作为工具基础 → 在旋转框架下对哈密顿量 $H_2(t)=\epsilon\sigma_1+f(t)\sigma_3$ 做 $\epsilon$ 的幂级数展开给出 $U(t)$（式(5)），由于级数对时间一致收敛，任意长时间（$t\to\infty$）的计算精度受控，避免了 RWA 在失谐 $\Delta=\omega-\epsilon$ 较大时失效的问题。
将相位计算简化为 $U(t)$ 矩阵元运算 → 对于任意初态 $\psi(0)=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$，总相位 $\phi_{tot}=\arg\langle\psi(0),U(t)\psi(0)\rangle$ 和动力学相位 $\alpha_{dyn}=i\int_0^t\langle\psi(0),U^\ast(t')\dot U(t')\psi(0)\rangle dt'$ 均表示为 $U_{11}(t),U_{12}(t)$ 的显式组合（式(12)(13)），无需对每个时间点重新数值积分 Schrödinger 方程，大幅降低计算成本。
选定 $t_\omega=2\pi/\omega$ 作为相位标准化取值时刻 → 考虑到驱动场参数空间（振幅 $A$、频率 $\omega$）构成二维空间，$t_\omega$ 是外场周期，此时参数空间中的环路闭合；在 $t_\omega$ 处提取相位因子使得结果自动与外场同步，便于统一比较不同 $\omega$ 下的行为。
数值扫描揭示相位-$( \epsilon,\omega)$ 依赖关系 → 固定初态 $|0\rangle$，扫描 $\epsilon\in[0.01,0.40]$（步长0.01）、$\omega\in[1.0,10.0]$（步长0.5），结果发现三种相位的绝对值均随 $\epsilon$ 单调增长；图1(b) 显示总相位-$\omega$ 曲线在 $\omega\approx2.0$ 处出现极值，表明存在最佳驱动频率使相位累积最显著；动力学相位在低 $\omega$（$\leq2.5$）呈现抛物线型，高 $\omega$ 转为线性（图3(a)）。
直接推广到无相互作用复合系统 → 两个无相互作用子系统的总相位是各自相位之和（$\kappa=0$ 极限），提供零阶基准。
引入 $\delta$-相互作用并在 Dyson 级数一阶截断下闭合求解 → 相互作用 $H'=\kappa\,\delta(t-t_0)\,\sigma_3^{(a)}\otimes\sigma_3^{(b)}$ 经旋转后变为 $\kappa\,\delta(t-t_0)\,\sigma_1^{(a)}\otimes\sigma_1^{(b)}$；Dyson 级数一阶近似给出 $U_I(t)=\mathbb{1}_4-i\kappa V^{(1)}(t)$，且 $V^{(1)}(t)$ 在 $t>t_0$ 后为常数，动力学相位中的 $\dot V^{(1)}$ 项精确为零，简化了后续计算。
在拉比周期 $T_\Omega=2\pi/\Omega$ 处提取门矩阵 → 对 $\omega_a=\omega_b=1.0$，$T_\Omega\approx456\,t_\omega$（图9）；总相位矩阵呈对角形式 $\mathrm{diag}(e^{i\phi},1,1,e^{-i\phi})$，即受控相移门；该门不依赖绝热条件（有别于 RWA 方案），但 $\phi$ 包含动力学成分，并非纯几何门。

实验参数详解#

参数	数值/范围	含义
$\epsilon$	$0.01\sim 0.40$，步长 $0.01$	二能级系统能隙（$\sigma_3$ 本征值差的一半）
$\omega$	$1.0\sim 10.0$，步长 $0.5$	周期驱动的角频率
$\kappa$	$0\sim 0.20$，步长 $0.01$（图7）	两子系统间相互作用强度
$t_0$	$0.5$（= $0.16\,t_\omega$）	$\delta$-相互作用脉冲发生的时刻
$\omega_a,\omega_b$	$1.0,\,2.0,\,5.0,\,8.0$（表I）	两个子系统的驱动频率
$\epsilon_a,\epsilon_b$	$0.01$（固定）	两个子系统的能隙
$\Omega$（拉比频率）	$0.0022$（示例值）	由 $\epsilon$-微扰数值确定的 Rabi 振荡频率
幺正性误差上限	$\le 3\times10^{-3}$（$\omega=1.0,\epsilon=0.40$）；一般 $\le 10^{-5}$	微扰展开截断后时间演化算符的幺正性偏离量
$T_\Omega=2\pi/\Omega$	$\cong456\,t_\omega$（示例）	复合系统的循环演化周期
循环周期检测	$\epsilon=0.01,\omega=1.0,2.0$ 时 $T_\Omega\approx456$	通过数值搜索 $P(t)=\lvert \langle\psi(0),U(t)\psi(0)\rangle\lvert ^2$ 的恢复点确定

批判性思考#

1. Dyson 级数一阶截断的有效性缺乏定量检验。 对于 $\delta$-相互作用，一阶项 $\|i\kappa V^{(1)}\|\propto\kappa$；当 $\kappa=0.2$ 时，二阶项 $\mathcal{O}(\kappa^2)$ 的相对幅度约 $4\%$。然而全文未检查保留一阶项与保留至二阶的相位差异是否在机器精度以下，也未提供任何收敛性判据（如比较 $\kappa=0.01$ 与 $\kappa=0.02$ 的相位差是否线性比例）。

2. 单粒子相位提取时刻 $t_\omega$ 与循环定义存在逻辑不一致。 单粒子在 $t_\omega$ 时外场返回原值，但量子态 $\psi(t_\omega)$ 一般不回到 $\psi(0)$（仅当 $\epsilon\to0$ 的极限或特定初态才近似成立）。严格几何相位要求态矢在射影 Hilbert 空间闭合——这是 $T_\Omega$ 而非 $t_\omega$ 的时刻。作者在单粒子部分使用 $t_\omega$（式(15)），但在复合系统部分转而使用 $T_\Omega$（图9），两者在物理意义（参数空间闭合 vs. 态空间闭合）上不同，可能导致所计算的"几何相位"并非同一对象。

3. 表 I 中 $\omega_a\neq\omega_b$ 时的"相位门"定义未澄清。 表 I 数值显示当 $\omega_a=1.0,\omega_b=5.0$ 时，四个基态的总相位不再满足 $B(\phi)$ 的对角对称形式（如 $|01\rangle$ 与 $|10\rangle$ 的相位值不等）。作者简单断言"不能用(30)表示"，但未讨论是否可以通过改变演化时间或施加额外幺正变换将其映射为某种条件门。

4. 几何相位的"参数空间"构造不够严谨。 文中将参数空间指定为 $(A,\omega)$ 二维空间，但扫描计算中 $A$ 固定不变、$\epsilon$ 被作为变量；若 $\epsilon$ 也被视为参数空间坐标，则系统沿 $\epsilon$-方向的变化并非由外场驱动，而是哈密顿量整体发生变化，不满足 Berry 相位所需的 Hamilton 缓慢循环条件。

5. 虽然由 Wigner-Eckart 定理可以预期，但 (5) 式 $U(t)$ 的矩阵元在频谱上由两个基组 $R(t)$ 和 $S(t)$ 刻画，其中 $R(t)$ 的傅里叶系数 $R_m$ 是通过解无穷维线性系统获得的。文中未讨论 $R_m,S_m$ 的截断阶数对 $\phi_{tot}$ 计算精度的影响，仅报告了幺正性整体误差 $10^{-5}\sim10^{-3}$，缺乏对相位误差的单独量化。

局限性#

$\epsilon$ 限于小参数区间展开收敛 — 微扰展开以 $\epsilon$ 为小量，文中仅测试 $\epsilon\leq 0.40$；当 $\epsilon\sim\omega$ 或 $\epsilon\gg\omega$（如 $\epsilon=5.0,\omega=1.0$）时级数收敛性未验证，且 $U(t)$ 闭式(5)的推导依赖于小 $\epsilon$ 假设，无法直接用于强耦合体系。
$\delta$-相互作用模型高度理想化 — 相互作用取 $v(t)=\delta(t-t_0)$ 的即时脉冲形式，实际物理系统多为有限宽度（如高斯脉冲 $v(t)=e^{-(t-t_0)^2/\tau^2}$）或持续耦合（$v(t)=\mathrm{const}$）。对于后者，Dyson 展开的高阶项不可忽略，且动力学相位中的 $\dot V^{(1)}$ 项不再为零，一阶截断失效。
所构造的相位门非纯几何，抗噪鲁棒性存疑 — 条件门 $B(\phi)$ 中的 $\phi$ 是总相位（几何+动力学），且文中承认去除动力学相位"并非直接任务"。几何量子计算的核心优势（对控制参数波动的抗干扰性）因此被显著减弱，该门在实验上与 Rabi 振荡型门无本质区别。
复合系统的循环时间太长，实用受限 — 示例中 $T_\Omega\approx 456\,t_\omega$，对应真实时间约 $900\pi/\omega$；对于实验常用频率 $\omega\sim 1\,\mathrm{GHz}$，门时间 $\sim 10^{-6}\,\mathrm{s}$，在核磁共振系统中尚可接受，但在超导量子比特（$T_2\sim10^{-5}\,\mathrm{s}$）中已接近退相干时间上界。
缺少与 RWA 结果的系统对比 — 引言强调 RWA 有适用范围，但正文从未给出在共振（$\omega\approx\epsilon$）或强耦合（$\epsilon\sim\omega$）区域本文结果与 RWA 结果的定量差值，无法评估该方法相对于 RWA 的实际精度优势。
仅限于二能级体系，向多能级推广困难 — $U(t)$ 的 $2\times2$ 闭式(5)依赖 $SU(2)$ 代数结构；对 $N$-能级系统（$N>2$）所需的微扰展开复杂性呈非线性增长，参考文献[3,4]未讨论该情形。

关键公式速查#

$$H_1(t)=\epsilon\sigma_3-f(t)\sigma_1$$— 原始坐标系下周期驱动二能级系统哈密顿量，式(1)
$$U(t)=\begin{pmatrix}R(t)(1+ig_0S(t)) & -i\epsilon R(t)S(t)\\-i\epsilon\overline{R(t)S(t)} & \overline{R(t)}(1-i\overline{g_0}S(t))\end{pmatrix}$$— 旋转框架下的时间演化算子闭式，系数 $R(t),S(t)$ 由 $\epsilon$ 的幂级数确定，式(5)
$$R(t)=e^{-i\Omega t}\sum_{m\in\mathbb{Z}}R_me^{im\omega t},\quad S(t)=\sigma_0+e^{2i\Omega t}\sum_{m\in\mathbb{Z}}S_me^{im\omega t}$$— $R(t),S(t)$ 的傅里叶级数展开形式，系数 $R_m,S_m$ 通过解无穷维矩阵方程得到，式(6)(7)
$$\phi_{tot}(t)=\arg\langle\psi(0),\psi(t)\rangle,\quad \alpha_{dyn}(t)=i\int_0^t\langle\psi(t'),\dot\psi(t')\rangle dt'$$— 总相位与动力学相位定义，式(9)(10)
$$\gamma_{geo}(t)=\phi_{tot}(t)-\alpha_{dyn}(t)$$— 几何相位为总相位与动力学相位之差，式(11)
$$H'(t)=\kappa\,v(t)\,\sigma_3^{(a)}\otimes\sigma_3^{(b)}$$— 两个子系统间的相互作用哈密顿量；旋转后变为 $\kappa v(t)\,\sigma_1^{(a)}\otimes\sigma_1^{(b)}$，式(16)(17)
$$U_I(t)=\mathbb{1}_4-i\kappa V^{(1)}(t)+\mathcal{O}(\kappa^2)$$— $\delta$-相互作用下 Dyson 级数一阶近似的相互作用绘景演化算子，式(24)
$$B(\phi)=\mathrm{diag}(e^{i\phi},1,1,e^{-i\phi})$$— $\omega_a=\omega_b$ 时复合系统的总相位矩阵，对应受控相移门，式(30)

术语对照#

中文	英文	含义
周期驱动二能级系统	Periodically driven two-level system	哈密顿量含时、周期为 $2\pi/\omega$ 的二能级量子系统
$\epsilon$-微扰展开	$\epsilon$-perturbative expansion	对能隙 $\epsilon$ 做幂级数的时间演化算子展开法，级数一致收敛
旋转波近似	Rotating Wave Approximation (RWA)	忽略旋转框架中 $e^{\pm i(\omega+\epsilon)t}$ 快速振荡项的近似，本文明确避免使用
拉比频率	Rabi frequency ($\Omega$)	系统在驱动下在基态与激发态间振荡的特征角频率
动力学相位	Dynamical phase ($\alpha_{dyn}$)	哈密顿量期望值的时间积分，由系统瞬时能量本征值决定
几何相位	Geometric phase ($\gamma_{geo}$)	参数空间非平庸拓扑/几何性态导致的额外相位，总相位扣除动力学相位后得到
循环演化	Cyclic evolution	状态矢量随时间演化后返至初态（仅差一个总相位因子）的过程
戴森级数	Dyson series	相互作用绘景中时间演化算符的微扰展开（$U_I(t)=\mathbb{1}+\sum_{n=1}^\infty(-i)^n\int_0^t\cdots$）
条件相位门	Conditional phase gate ($B(\phi)$)	对计算基施加 $\phi$-依赖相移的量子门；本文实现门矩阵 $\mathrm{diag}(e^{i\phi},1,1,e^{-i\phi})$
一致收敛	Uniform convergence	级数误差在 $(-\infty,\infty)$ 上有与时间 $t$ 无关的界，保证长时间模拟的数值稳定性