Direct Characteristic-Function Tomography of Quantum States of the Trapped-Ion Motional Oscillator#

离子阱运动振子量子态的特征函数直接层析#

C. Flühmann, J. P. Home

Institute for Quantum Electronics, ETH Zürich · Otto-Stern-Weg 1, 8093 Zürich, Switzerland

Physical Review Letters 125, 043602 (2020)

摘要#

我们实现了囚禁钙离子轴向运动模式量子态的对称特征函数（symmetric characteristic function）的直接读出。通过恰当选择的内态旋转配合基于双色激光场的内态依赖位移，将位移算符的实部或虚部期望值映射到内态上，再通过荧光读出。综合这些测量即可获得对称特征函数的完整信息。我们用一系列典型的量子振子态对该技术进行了表征，包括位移和压缩的高斯态，以及位移压缩态的二分量和三分量叠加态。对每个态，我们讨论了特征函数和 Wigner 相空间准概率分布的相关特征。使用少量测量数据直接重建这些高度非经典的振子态，对于理解和优化量子传感及量子信息中的振子系统控制至关重要。

背景与动机#

量子态重建（quantum state reconstruction）是量子控制诊断和改进的核心环节。随着实验中可控制的态越来越大，重建所需的测量次数成为一个关键问题[1]。玻色系统（机械谐振子、电磁场模式）在量子信息[3,4]、量子传感[5–8]和基础研究[9,10]中扮演着重要角色。它们已被制备成各种量子态——Fock 态、压缩态、位移态[11]及其叠加态[12,13]，其中最具代表性的是两个位移相干态的"薛定谔猫"叠加态[14]。

先前方法的局限：

• 零差层析（homodyne tomography）[18]：需要大量测量，再通过逆 Radon 变换重建 Wigner 函数
• Fock 态布居数提取[6,19–23]：收集大量多余数据（如很多 Fock 态布居数），再压缩为单个宇称值
• 强色散相互作用下的宇称测量[21]：在某些平台上难以实现[24,25]，且常限制大场态的质量和寿命[26–28]
• 基态布居数测量：可提取 Q 函数，但不适用于猫态分析（量子干涉效应随位移波包间距指数衰减）[29]

本文的核心思路：直接测量对称特征函数 $\chi(\beta) = \langle \hat{\mathcal{D}}(\beta) \rangle$，一步到位，无需后处理。

方法：特征函数直接读出#

对称特征函数#

对称特征函数定义为：

其中 $\hat{\mathcal{D}}(\beta) = e^{\beta \hat{a}^{\dag} - \beta^{*} \hat{a}}$ 是复位移 $\beta$ 对应的位移算符，$\hat{a}$ 是谐振子湮灭算符。

准概率分布可由特征函数通过二维傅里叶变换得到：

$l = 0$ 给出 Wigner 函数，$l = -1$ 给出 Husimi-Q 函数，$l = 1$ 给出 Glauber-Sudarshan P 表示。

特征函数相对于 Wigner 函数的优势：算符矩 $\langle \hat{a}^{\dagger m} \hat{a}^n \rangle_S$ 可直接从原点附近的导数获得，无需积分整个相空间。

实验平台与量子线路#

图 1. 振子态 $|\psi_{\mathrm{os}}\rangle$ 的特征函数读出量子线路。内态初始化为 $|\uparrow\rangle$ 后，施加载波旋转 $\hat{R}(\theta, \phi = 0)$；随后振子被位移 $\hat{\mathcal{D}}(\pm \beta/2)$，方向取决于 $\hat{X}$ 基下的内态（菱形符号）；最后读内态。

实验平台：单个 $^{40}\mathrm{Ca}^+$ 离子的轴向运动模式，频率 $\omega_m \approx 2\pi \times 1.9$ MHz，室温下运行于分段线性 Paul 阱中。

内态：$|\downarrow\rangle \equiv |^2S_{1/2}, m_j = 1/2\rangle$ 和 $|\uparrow\rangle \equiv |^2 D_{5/2}, m_j = 3/2\rangle$。

读出原理（式 3）：

• 设 $\theta = 0$（关闭载波旋转）→ 测得 $\mathrm{Re}[\chi(\beta)]$
• 设 $\theta = \pi/2$ → 测得 $\mathrm{Im}[\chi(\beta)]$

关键优势：特征函数是厄米的（$\chi(\beta)^* = \chi(-\beta)$），因此只需测量复平面的任意半边。每个特征函数点只需单次测量设置（重复以平均量子投影噪声）。

实验结果#

1. 位移压缩真空态#

图 2(a). 压缩真空态（$\delta_c = 0$, $r_c = 0.93 \pm 0.02$, $\vartheta_c = 0$）特征函数实部测量数据。

图 2(c). 对应的 Wigner 函数（通过式 (2) DFT 获得）。压缩方向沿实轴。

制备过程：先用库工程将运动冷却到压缩态 $|r e^{i\vartheta}\rangle = \hat{S}(r e^{i\vartheta})|0\rangle$，再对阱电极施加共振振荡电压实现位移 $\hat{\mathcal{D}}(\delta)$。

数据处理：不采用"找最接近测量数据的物理约束特征函数"的传统方法，而是直接用纯态模型拟合，含偏置参数 $b$ 以考虑 SPAM 误差（式 4）：

拟合结果：

• 拟合的 reduced $\chi^2$：$c_r = 1.07$（压缩真空）和 $c_r = 1.09$（位移压缩），相对校准值的 $c_r = 1.78$ 和 $c_r = 1.82$ 显著改善
• 发现微小倾斜 $\vartheta = 0.044 \pm 0.002$ 和沿虚轴的位移 $|\mathrm{Im}[\delta]| = 0.149 \pm 0.006$
• 偏置 $b = 3.05 \pm 0.07\%$（归因于该数据集的内态制备校准不良）

2. 压缩薛定谔猫态#

图 3(a). 压缩猫态（$\alpha_c = 2.42 \pm 0.01$, $r_c = 0.58 \pm 0.02$）特征函数实部。

图 3(c). 猫态的 Wigner 函数，展示了负值区域——非经典性的标志。

猫态的实验采集时间约 6 小时（含 SDF Rabi 频率 $\Omega$ 的重复校准）。

宇称测量与特征函数的关系（式 7）：

关键发现：

• 去除拟合偏置 $b = 0.9 \pm 0.1\%$ 后，DFT 给出宇称 $\langle \hat{\mathcal{P}} \rangle = 0.98$（数值 DFT 误差 0.70%）
• 不去除偏置则 $\langle \hat{\mathcal{P}} \rangle = 0.90$——说明常数偏置对宇称测量的影响极大
• 特征函数 vs Wigner 函数判断相位相干：特征函数的峰值位置 $\mathrm{Re}[\beta] = \pm \alpha$ 直接给出相位关系，而 Wigner 函数在虚轴方向的振荡对相干叠加和统计混合不可区分

3. 三态叠加（近似 GKP 码字）#

参数：$l_c = 2.50 \pm 0.05$, $r_c = 0.93 \pm 0.03$, $\delta_c = \vartheta_c = 0$。

图 4(a). GKP 态 $\mathrm{Re}[\chi(\beta)]$ 的正象限测量（虚线框），其余象限通过镜像对称获得。

图 4(b). DFT 获得的 GKP 态 Wigner 函数。

为减少运行时间，仅测量了 $\mathrm{Re}[\chi(\beta)]$ 的正象限（虚线框区域），其余三个象限由对称性补齐。沿 $\mathrm{Re}[\beta]$ 和 $\mathrm{Im}[\beta]$ 完整轴线的扫描确认了态的预期对称性。

宇称估计：$\langle \hat{\mathcal{P}} \rangle \approx 0.95 \pm 0.02$（误差来自 $b$ 的不确定度）。

拟合：$c_r = 1.58$（vs 校准值 $c_r = 2.05$），再次发现压缩方向的倾斜 $\vartheta = 0.103 \pm 0.008$，其他参数在校准误差范围内。

结论#

本文实现了一种直接、简单、通用的对称特征函数重建方法，并展示了其在位移压缩态、猫态和 GKP 码字上的应用。

关键成果：

1. 数据采集效率：相对以往 Wigner 函数重建方法，时间降低 >20×
2. 态保真度：所有四个分析态（含 GKP 码字）的校准值与拟合纯态之间的平方保真度均 > 0.98
3. 实验诊断：大测量数据集揭示了校准值与拟合值之间的微小差异（如压缩方向的倾斜 $\vartheta$），为未来改进态控制指明了方向

可能扩展：

• 从原点附近的少量测量数据提取 $\langle n \rangle$, $g^2(0)$, $\langle \hat{a}^{\dagger m} \hat{a}^n \rangle_S$（需稀疏采样噪声信号的数值导数估计技术[59–61]）
• 使用优化采样模式[1,62]
• 利用反馈改进态制备质量
• 该方法的核心思想（利用量子比特态依赖位移重建玻色自由度）适用于各种自旋-玻色子系统

补充材料要点#

本文有 Supplemental Material[29]，包含：

• 参数表（表 I）：所有态的完整拟合参数
• 理想态的数值采样误差分析（Wigner 函数 DFT 的平均幅度差异 ~0.29%–0.70%）
• 保真度计算细节
• SPAM 误差模型和偏置参数的解释

SM 未直接提供 PDF，详见 APS 链接。

参考文献#

1. C. Shen et al., Phys. Rev. A 94, 052327 (2016) — 量子态层析中的测量效率优化
2. D. Kienzler, C. Flühmann et al., Phys. Rev. Lett. 116, 140402 (2016) — 同组之前的工作：Wigner 函数层析
3. D. Gottesman, A. Kitaev, and J. Preskill, Phys. Rev. A 64, 012310 (2001) — GKP 码的原始提出
4. N. Ofek et al., Nature 536, 441 (2016) — 玻色纠错码的实验实现
5. C. Flühmann et al., Nature 566, 513 (2019) — 同组 GKP 态的首次实验实现
6. A. I. Lvovsky and M. G. Raymer, Rev. Mod. Phys. 81, 299 (2009) — 零差层析综述
7. L. G. Lutterbach and L. Davidovich, Phys. Rev. Lett. 78, 2547 (1997) — 直接宇称测量方法
8. Supplemental Material at http://link.aps.org/supplemental/10.1103/PhysRevLett.125.043602
9. K. E. Cahill and R. J. Glauber, Phys. Rev. 177, 1882 (1969) — 特征函数与准概率分布的经典文献 [完整参考文献列表见原文]

阅读笔记#

一句话概括#

利用离子内态依赖位移将特征函数 $\chi(\beta)$ 的实部和虚部直接映射为内态布居数，实现了囚禁离子运动振子态的无需后处理直接层析，数据采集时间比 Wigner 函数层析快 20 倍以上，并成功用于表征压缩猫态和 GKP 码字。

核心论证链#

1. 问题：玻色量子态的 Wigner 函数层析需要大量测量 → 后处理 → 信息压缩，效率低
2. 洞察：对称特征函数 $\chi(\beta)$ 包含态的完整信息，且每个 $\beta$ 点只需单次测量设置
3. 方法：载波旋转 $\hat{R}(\theta, 0)$ + 内态依赖位移 $\hat{\mathcal{D}}(\pm \beta/2)$ → $\langle \hat{Z} \rangle$ 直接正比于 $\mathrm{Re}[\chi]$ 或 $\mathrm{Im}[\chi]$
4. 验证：对四类态（压缩真空 → 位移压缩 → 猫态 → GKP 码字，复杂度递增）进行了系统表征
5. 结论：快速、直接、通用，保真度 > 0.98，且能诊断出校准中的微小偏差

关键物理：特征函数 vs Wigner 函数#

实验参数详解#

批判性思考#

1. 纯态模型的适用范围：拟合假设纯态（式 5），真实实验中存在退相干和噪声导致的混合态成分。对于猫态，纯态模型拟合的 $c_r = 1.40$ 尚可接受，但并非完美——可能暗示存在未被模型捕获的退相干效应。

2. 偏置参数 $b$ 的物理来源：$b$ 被归因于 SPAM 误差，但在不同实验中波动较大（0.9% → 3.05%）。这暗示存在未被完全理解的系统误差源，可能是激光功率漂移或磁场涨落。

3. 数据采集策略：GKP 态只测量了正象限——利用了态的对称性。但对于未知态，这种策略不再适用。全空间均匀采样对于一般态仍然必要，但这篇论文的方法在测量点数上已相对 Wigner 层析有数量级优势。

4. 与 cQED 平台的对比：囚禁离子的 Lamb-Dicke 参数 $\eta \simeq 0.05$ 相对较小，限制了 $\beta$ 的范围。在电路 QED 平台（色散耦合更强），特征函数读出可能覆盖更大的相空间。

5. 信号处理的改进空间：DFT 前的零填充和重采样引入了 ~0.29–0.70% 的数值误差。使用更复杂的信号处理（如压缩感知、Bayesian 推断）可能进一步减少测量次数。

局限性#

• 仅分析了 纯态（或接近纯态），混合态和退相干动力学的表征未系统研究
• 实验在室温下进行，运动模式的热布居数可能限制了对高 $n$ Fock 态的灵敏度
• SPAM 偏置 $b$ 需要在数据处理中去除——对于 $b$ 未知的态，宇称等导出量有系统误差
• 全空间均匀采样策略对一般态仍显低效——需要自适应或压缩采样方案
• SM 中讨论了数值误差，但未提供完整的误差传播分析

关键公式速查#

延伸阅读#

• Flühmann et al. (2019), Nature 566, 513 — 同组之前的工作：首次实验实现 GKP 码字（本图书馆有对应笔记：content/papers/hybrid-circuit-cavity-mechanical-resonator/ 是电路 QED 平台的 GKP 相关工作）
• Kienzler et al. (2016), PRL 116, 140402 — 同一实验平台上的 Wigner 函数层析（本文的直接前驱）
• Lutterbach & Davidovich (1997), PRL 78, 2547 — 首次提出通过色散相互作用直接测量 Wigner 函数/宇称的方案
• Shen et al. (2016), PRA 94, 052327 — 量子态层析中测量效率的系统性讨论

术语对照#