自旋玻色模型的「压缩极化子」变分波函数
自旋玻色子模型的“压缩极化子”变分波函数#
Diego Barberena ∗ 和 Nigel Cooper
T.C.M. Group, Cavendish Laboratory, University of Cambridge, J.J. Thomson Avenue, Cambridge CB3 0US, UK (日期：2026年7月9日)
亚欧姆自旋玻色子模型的局域化相变会产生玻色子浴关联，这些关联在低频下对于标准相干态极化子变分尝试函数而言是解析不可达的。本文我们引入了一个“压缩极化子”波函数，该函数包含了由自旋杂质诱导的通用高斯型玻色子-玻色子关联。这给出了浴观测量在局域化相变附近正确的临界幂律标度，同时系统地改进了基态能量，并更精确地确定了临界耦合强度。我们的波函数在深亚欧姆区域捕捉到了相变正确的平均场性质。在浅亚欧姆区域，它还展示了非平均场临界指数。以压缩极化子为起点，我们推导了玻色子的散射相移，并展示了它们如何编码在局域化相变处消失的涌现能量尺度。
引言：自旋玻色子模型[1, 2]是量子耗散的标志性模型，描述了单个两能级系统与玻色子模式环境浴之间的相互作用。因此，它为研究广泛参数范围内（包括以浴诱导记忆效应[3, 4]和强系统-环境耦合[5, 6]为特征的区域）的退相干和弛豫等现象提供了一个最小设置。该模型也具有实验相关性，既是例如多种系统中耗散量子隧穿[7–10]的有效描述，也是量子模拟工作的目标[11, 12]。
尽管其组成简单，自旋玻色子模型却展现出丰富的现象学。在其基态中，它可以表现出二级量子相变[13, 14]。通过增加两能级系统与其环境之间的耦合（由谱函数 $J ( \omega ) \propto \alpha \omega^{s}$ 参数化）可以到达这个相变。除了整体相互作用强度 $\alpha$ 外，$J ( \omega )$ 还依赖于指数 s，它控制最低频模式与两能级系统相互作用的强弱。当 $s \leq 1$（亚欧姆区域）且 α 较小时，基态是唯一的，两能级系统磁化强度为零，产生“退局域化”相。在较大的 α 下，系统进入一个具有两个简并基态的“局域化”相，其中两能级系统具有相反的磁化强度，低频玻色子具有无限占据。由于模型简单，该相变已使用多种数值技术得到了广泛研究[15–19]。
该模型也使用解析方法进行了研究[17, 20]。特别是，变分原理在捕捉自旋玻色子基态的关键物理方面非常成功。极化子尝试函数[21–23]，其中两能级系统的自旋向上和向下态各自被有限数量的叠加玻色子相干态（即“极化子”）所修饰，有效地包含了自旋-浴关联。此外，它们还作为旨在捕捉基态其他预期特征的改进的起点[24–27]，是更详尽数值方法的基础[28]，并且对于研究散射[29–31]、直接驱动[32]、量子态制备[33]等动力学过程也很有用。同时，有限数量的相干态极化子无法[18]准确捕捉在局域化相变附近最低频玻色子之间发展起来的玻色子-玻色子关联。
在本文中，我们用一种允许通用高斯玻色子-玻色子关联的ansatz替代了相干态极化子ansatz。此前，这类关联仅在欧姆极限（s = 1）下通过数值方法被考虑过[34]。我们找到了两个解分支，分别对应局域化相和退局域化相。我们解析地证明了退局域化分支在玻色子可观测量上展现出正确的低能标度律[18]。此外，由我们的波函数推导出的临界耦合值接近于通过数值精确方法获得的值，并且在$s \lesssim 0.4$时，与自旋周围玻色子云的激发变为无带隙时的耦合值一致。该模型还为物理可观测量提供了更好的精度，特别是在浅亚欧姆区间$(0.5 < s < 1)$。有趣的是，在退局域化分支中，当s从深亚欧姆区域$(0 < s < 0.5)$移动到浅亚欧姆区域时，我们的“压缩”极化子也反映了从平均场行为到非平均场行为的变化，尽管我们在后者中发现的临界指数数值上并不精确，并且它们出现在局域化分支能量更低的参数区域。在论文结尾，我们预测了玻色子在压缩极化子背景下的散射特性。通过在宽频率范围内分析这些特征，我们展示了如何利用环境探针来提取关于系统的更深层信息。
模型：自旋-玻色子模型由以下哈密顿量定义：
$$ \hat{H} = \Delta \hat{s}_{x} + \sum_{\beta} g_{\beta} ( \hat{a}_{\beta} + \hat{a}_{\beta}^{\dagger} ) \hat{s}_{z} + \sum_{\beta} \omega_{\beta} \hat{a}_{\beta}^{\dagger} \hat{a}_{\beta} ,\tag{1} $$其中$\hat{s}_{x , y , z} ~ = ~ \hat{\sigma}_{x , y , z} / 2$，而$\hat{\sigma}_{x , y , z}$是标准的
图1：(a) 自旋-玻色子模型描述了一个与玻色子模式环境相互作用的单一两能级系统。(b) 我们ansatz波函数的图形化表示，作为一个叠加态，涉及高斯态|ϕ⟩中玻色子模式的相关(qβ)和非相关$\left( \alpha_{\beta} \right)$位移，以及两能级系统的旋转（未显示，体现为两个态的相对权重）。
作用于两能级系统（TLS）的泡利算符，$\hat{a}_{\beta} / \hat{a}_{\beta}^{\dagger}$是频率为$\omega_{\beta}$的浴模β的玻色子湮灭/产生算符，$\Delta$是TLS的隧穿振幅，$g_{\beta}$是TLS与浴模β之间的耦合[见图1(a)]，并且我们取$\hbar = 1$。我们还引入$\hat{p}_{\beta} = - i ( \hat{a}_{\beta} - \hat{a}_{\beta}^{\dagger} ) / \sqrt{2}$和$\hat{x}_{\beta} = ( \hat{a}_{\beta} + \hat{a}_{\beta}^{\dagger} ) / \sqrt{2}$。
浴对TLS的影响由谱函数$\begin{array} {r} {J ( \omega ) = \pi \sum_{\beta} g_{\beta}^{2} \delta ( \omega - \omega_{\beta} )} \end{array}$决定[1]。对于我们的亚欧姆浴，$J ( \omega ) = 2 \pi \alpha \omega_{c}^{1 - s} \omega^{s} \theta ( \omega_{c} - \omega )$由截止频率$\omega_{c} \gg \Delta$、耦合强度α和浴指数s指定。当$s \leq 1$时，系统在临界α值处经历从低α、具有$\langle \hat{s}_{z} \rangle = 0$的退局域化相，到更高α、具有$\langle \hat{s}_{z} \rangle \neq 0$的局域化相的局域化转变。当$0 < s \le 0.5$时，该转变属于平均场普适类，但$0.5 < s < 1$时则不是平均场行为。
对于方程(1)的一大类变分波函数，可以通过将基态|ψ⟩表示为$\left| \psi \right. = {\hat{U}} \left| \phi \right.$来写出，其中|ϕ⟩是一个简单态，并且
$$ \hat{U} = \hat{\mathcal{D}}_{c} \hat{\mathcal{D}}_{u} \hat{R} ( \theta )\tag{2} $$是一个由三个操作组成的幺正算符。第一个操作 $\hat{R} ( \theta ) = \exp ( - i \theta \hat{s}_{y} )$ 绕 y 方向旋转自旋。第二个操作 $\begin{array} {r} {\hat{\mathcal{D}}_{u} = \exp \left[ - i \sqrt{2} \sum_{\beta} \alpha_{\beta} \hat{p}_{\beta} \right]} \end{array}$ 在相空间中沿 $x_{\beta}$ 方向平移热库模式；最后一个操作 $\begin{array} {r} {\hat{\mathcal{D}}_{c} = \exp \left[ i \sqrt{2} \hat{s}_{z} \sum_{\beta} q_{\beta} \hat{p}_{\beta} \right]} \end{array}$ 也沿 $x_{\beta}$ 平移热库模式，但此时平移方向与自旋态的 z 投影相关[见图1(b)]。从物理上讲，$\hat{\mathcal{D}}_{c}$ 通过为自旋上、下分量配备不同的玻色子云来引入自旋-热库纠缠和关联。
在由 $\hat{U}_{;}$ 定义的框架内，著名的 Silbey-Harris [21] 波函数通过设置 $\alpha_{\beta} = \theta = 0$，选取 $\vert \dot{\phi}_{0} \rangle = \vert - x \rangle \otimes \vert 0 \rangle$（即沿 −x 方向极化的自旋与玻色子真空的乘积），并对 $q_{\beta}$ 进行极小化得到。Chin [22] 发展的推广使用相同的 $\left| \phi_{0} \right.$，但同时对 $\alpha_{\beta} , \theta , q_{\beta}$ 进行极小化，以捕捉系统的两个相。
压缩极化子：我们的改进在于允许 |ϕ⟩ 为玻色子热库的通用高斯态，这意味着它完全由 $\hat{x}_{\beta} , \hat{p}_{\beta}$ 的两点关联函数通过维克定理表征。极小化过程将选出由于 TLS 存在而引起的最优热库-热库关联。利用 |ϕ⟩ 的高斯性，我们得到以下基态能量
$$ \begin{array} {l} {E = - \displaystyle \frac{\cos \theta} {2} \overbrace{\Delta{e}^{- \sum_{\beta \beta^{\prime}} q_{\beta} q_{\beta^{\prime}} \langle \hat{p}_{\beta} \hat{p}_{\beta^{\prime}} \rangle} {}_{\beta}}^{D} + \sum_{\beta} \omega_{\beta} \langle \hat{a}_{\beta}^{\dagger} \hat{a}_{\beta} \rangle_{\phi}} \\ {+ \sum_{\beta} \omega_{\beta} \alpha_{\beta}^{2} + \sum_{\beta} ( g_{\beta} - \omega_{\beta} q_{\beta} ) \alpha_{\beta} \sin \theta} \\ {+ \sum_{\beta} \frac{\big ( g_{\beta} - \omega_{\beta} q_{\beta} \big )^{2}} {4 \omega_{\beta}} - \sum_{\beta} \frac{g_{\beta}^{2}} {4 \omega_{\beta}} ,} \end{array}\tag{3} $$其中平均 $\langle \rangle_{\phi}$ 是相对于高斯态 $| \phi \rangle$ 进行的，并且我们引入了如上括号所示的重整化相干性 D。另请注意，E 仅依赖于 |ϕ⟩ 的两点关联函数。一般的极小化过程详见补充材料 [35]。最终结果是，在固定角度 $\theta$ 下，位移变为缩放模式频率 $y_{\beta} = \omega_{\beta} \cos \theta / D$ 的函数，并由下式给出
$$ q_{\beta} = \frac{g_{\beta} \cos \theta / D} {y_{\beta} + m ( y_{\beta} )} , \qquad \quad \alpha_{\beta} = - \frac{q_{\beta} m ( y_{\beta} ) \sin \theta} {2 y_{\beta}} ,\tag{4} $$其中 $m ( y )$ 是满足积分方程的函数
$$ m ( y ) = \int_{0}^{\infty} \frac{2 y \mathrm{d} z / \pi} {y^{2} + z^{2}} \frac{1} {1 + 2 b \int_{0}^{y_{c}} \frac{x^{s + 1} \mathrm{d} x} {\left( x^{2} + z^{2} \right) \left[ x + m ( x ) \right]^{2}}} ,\tag{5} $$其中 $y_{c} ~ = ~ \omega_{c} \cos \theta / D$。方程(5)中的参数 b 是缩放耦合常数 $\alpha_{\Delta} = \alpha ( \omega_{c} / \Delta )^{1 - s}$ 的函数，通过以下关系隐式定义
$$ \alpha_{\Delta} = \frac{b} {( \cos \theta )^{3 - s}} \exp \left( - \frac{b ( 1 - s )} {( \cos \theta )^{2}} \int_{0}^{y_{c}} \frac{m ( y ) y^{s} \mathrm{d} y} {\left[ y + m ( y ) \right]^{2}} \right) ,\tag{6} $$作为对比，Silbey-Harris 和 Chin 的结果是通过在方程(4)和(6)中设 $m ( y ) = 1$ 得到的，这意味着我们的 ansatz 允许在低频下位移具有更复杂的行为。标准的可观测物理量，如重整化相干性 $2 \left. \hat{s}_{x} \right. = D$ 和基态能量，由下式给出：
其中 $\delta E = E - \alpha \omega_{c} / ( 2 s )$ 是相对于绝热近似的能量增益 [2]。通过对 $\theta$ 进行最小化，要么得到 $\theta = 0$（退定域支），要么得到
$$ ( \cos \theta )^{2} = 2 b \int_{0}^{y_{c}} \frac{y^{s - 1} m ( y )^{2} \mathrm{d} y} {\left[ y + m ( y ) \right]^{2}}\tag{8} $$
α∆
图2：相干性 $\left. \hat{s}_{x} \right.$ 和基态能量增益 $\delta E / \Delta$ 作为缩放耦合常数 $\alpha_{\Delta} = \alpha ( \omega_{c} / \Delta )^{1 - s}$ 的函数，针对 $s = 0.4$ [ (a), (b) ] 和 $s = 0.8$ [(c), (d)]。我们展示了来自参考文献 [21, 22] 在 $\omega_{c} / \Delta = 10$ 下的结果（红色实线，相干态极化子，简称 CS Polaron），以及我们的结果（蓝色实线为退定域支，蓝色虚线为定域支，压缩态极化子，简称 SQ Polaron）。灰色竖线为 CS 和 SQ 极化子预测的临界点 $\alpha_{\Delta}^{c}$ 。
综合来看，这些方程将 $D$、$\delta E$、$\theta$ 和 $\alpha_{\Delta}$ 定义为参数 b 的函数，但真正的独立变量，即使用模型原始参数构建的，实际上是 $\alpha_{\Delta} = \alpha ( \omega_{c} / \Delta )^{1 - s}$。遵循以往文献，我们取 $\omega_{c} / \Delta = 10$。
我们对方程(5)和(7)进行数值求解 [35]，并在图2中展示了对于 $s = 0.4, 0.8$，能量增益 δE 和相干性 $\left. \hat{s}_{x} \right.$ 作为 $\alpha_{\Delta}$ 的函数。我们包含了相干态极化子和压缩态极化子的两个分支。对于这两个 s 值，我们观察到变分能量有微小改进，这对波函数的变化是二阶敏感的。相比之下，$\left. \hat{s}_{x} \right.$ 的变化相对较大，尤其是对于 $s = 0.8$。对于 $s \lesssim 0.4$，定域支和退定域支是连续连接的。对于较大的 s，定域支表现出再入行为，最小能量构型在退定域支和定域支之间不连续地跃迁。系统在两个分支之间切换的耦合常数即为临界点，如图3(a)所示，并与通过多重极化子 ansatz [19] 获得的数值结果进行了比较。与其他数值工作 [15, 16, 36] 的比较可在补充材料 [35] 中找到。关于虚假一阶跃迁的起源将在论文后面讨论。
退定域支：在这个分支中 $\theta = \alpha_{\beta} = 0$ 且 $y_{\beta} = \omega_{\beta} / D$。此外，参数 b 在数值上等于重整化耦合常数 $\alpha_{\Delta} ( \Delta / D )^{1 - s}$。
我们波函数的所有物理性质都源于 $m ( y )$ 的结构，该结构由方程(5)决定。特别地，$m ( y )$ 在低频下的行为主导了方程(4)中关联位移 $q_{\beta}$ 的低频特性，因此与定域化转变相关。对于固定的 $s = 0.8$ 和不同的 b 值，$m ( y )$ 作为 $y = \omega / D$ 函数的曲线图如图3(b)所示。在所有情况下，当 $y \gg 1$ 时，我们有 $m ( y ) \approx 1$。在相反的 $y \ll 1$ 区域，$m ( y )$ 趋于常数 $m_{0}$。因此，在小 $\omega$ 下的位移 $q_{\beta}$ 是有限的，并由 $g_{\beta} / ( D m_{0} )$ 给出。
图3：(a) 在 $\Delta / \omega_{c} = 0.1$ 时，相干态极化子[22]和压缩极化子预测的临界点 $\alpha_{\Delta}^{c}$ 与来自变分多极化子拟设(MPA)[19]的数值结果之比较。(b) 对于 $s = 0.8$ 以及 $b = 0.01 , 0.2 , 0.4$ 和 $b = b_{c} = 1.28$，函数 $m ( y )$ 随其自变量 y（在退定域相中 $y = \omega / D$）的变化。(c) 对于不同 $s = 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8$，零频值 $m_{0}$ 随 b 的变化函数。(d) 压缩极化子的指数 ν 随 s 的变化（蓝点为数值结果），双圈 ϵ 展开[37]和量子蒙特卡洛[38]的结果。
零频下的 $m$ 值 $m_{0}$ 随着 b 的增加单调递减，直到在 $b_{c}$ 处降至 0 [见图 3(c)]。当 $s \lesssim 0.4$ 时，相关的 $\alpha_{\Delta}$ 与相变临界点一致，但当 $s \gtrsim 0.4$ 时，它位于较高能量的分支上。$b_{c}$ 附近的退定域分支：在 $b = b_{c}$ 时，对于较小的 y，我们有 $m_{c} ( y ) \approx \pi b \cot ( \pi s / 2 ) y^{s}$ [35]。这决定了位移和压缩振幅的低频行为[35]
$$ \langle{\hat{s}}_{z} ( {\hat{a}}_{\beta} + {\hat{a}}_{\beta}^{\dagger} ) \rangle = {\frac{q_{\beta}} {2}} = {\frac{g_{\beta}} {2 \pi \alpha \omega_{c}^{1 - s} \cot ( \pi s / 2 ) \omega_{\beta}^{s}}} $$$$ \langle ( \hat{a}_{\beta} + \hat{a}_{\beta}^{\dagger} )^{2} \rangle = 1 + \frac{g_{\beta}^{2} ( 1 + s )} {2 \pi \alpha \omega_{c}^{1 - s} \cot ( \pi s / 2 ) \omega_{\beta}^{1 + s}}\tag{9} $$这些结果正确捕捉了这些可观测量的频率和 s 依赖性，早期通过基于图解化的解析论证[17, 18]已得到。此外，这种标度律通常与涉及有限数量相干态极化子[18]的变分波函数不相容。
当 $m_{0} \to 0$ 时，激发自旋周围玻色子云所需的能量趋近于 0。这个涌现的尺度 $\omega_{*}$ 在参数上远小于 D，并控制着系统的低频性质。这反映在函数 $m ( y )$ 上，对于频率 $\omega \ll D$，它具有标度形式[35]
$$ m ( y ) \approx m_{0} r \left( \omega / \omega_{*} \right) ,\tag{10} $$其中 $r ( 0 ) = 1$，$\omega_{*} = D ( m_{0} / b )^{1 / s} \ll D$。当 $\omega \ll D$ 时，这一标度函数决定了系统的物理性质，并在“临界”区域 $\omega \gg \omega_{*}$ 和“非临界”区域 $\omega \ll \omega_{*}$ 之间插值。
(a)
对 $r ( \omega / \omega_{*} )$ 的解析控制使我们能够获得关系 $\omega^{*} \propto | \alpha_{\Delta}^{c} - \alpha_{\Delta} | ^{\nu}$，该关系定义了临界指数 $\nu$。利用方程(5)，我们得到[35] $\nu^{- 1} = \operatorname*{min} ( s , 1 - s )$，这一结果得到了方程(5)数值解的支持[见图3(d)]。对于 $s < 0.5$，我们恢复了正确的平均场指数 $\nu^{- 1} = s$；对于 $s > 0.5$，我们反而得到了非平均场值 $\nu^{- 1} = 1 - s$。尽管在定量上不够精确[见图3(d)]，并且在定域支集能量上更有利的区域，压缩极化子仍然捕捉到了 $\nu^{- 1}$ 随 $s$ 增大而下降的趋势。
散射：在拥有玻色子环境的解析描述后，我们现在可以考虑探测环境的影响。例如，自旋-玻色子模型可以重新解释为自旋 $1 / 2$ 杂质与在半直线上传播的玻色子[29]之间的长程相互作用。此时 $\beta \to k > 0$ 可视为动量标签，对应于具有模式函数 $\propto \cos ( k x )$ 的简正模，其中 $x > 0$ 是长度为 $L$ 的直线上的位置。色散关系是线性的 $\omega_{k} ~ = ~ k$，耦合形式为 $g_{\boldsymbol{k}}^{2} = 2 \pi \times 2 \alpha \omega_{c}^{1 - s} k^{s} / L$。
在退定域相中，杂质自旋周围存在大小为 $\sim ( \omega_{*} )^{- 1}$ 的玻色子云，可以通过散射[39, 40]对其进行探测，见图4(a)。描述单光子散射的有效哈密顿量为[35]
$$ \hat{h}_{\mathrm{eff}} = \hat{h}_{\mathrm{cloud}} + \frac{D} {2} ( 1 + \hat{s}_{x} ) + \hat{B} \sigma_{x}^{+} + \hat{B}^{\dagger} \hat{\sigma}_{x}^{-} ,\tag{11} $$其中 $\begin{array} {r} {\hat{h}_{\mathrm{cloud}} = \sum_{k} \omega_{k} \hat{a}_{k}^{\dagger} \hat{a}_{k} + D ( \sum_{k} q_{k} \hat{p}_{k} )^{2} / 2} \end{array}$ 定义了被杂质云修饰的光子，$\hat{\sigma}_{x}^{\pm} = \hat{s}_{y} \pm i \hat{s}_{z}$ 沿 x 方向产生/消灭自旋激发，而 $\begin{array} {r} {\hat{B} = D \sum_{k} q_{k} [ \hat{p}_{k} - i m ( y_{k} ) \hat{x}_{k} ] / \sqrt{2}} \end{array}$ 湮灭被修饰的光子。有效哈密顿量 $\hat{h}_{\mathrm{eff}}$ 是通过将 $\hat{\mathcal{D}}_{c}$ 作用于式(1)中的 $\hat{H}$，相对于变分基态 $| \phi \rangle$ 进行正规排序，并只保留玻色子算符中的二次项以及守恒被修饰（而非裸[31]）激发数量的项而得到的。
在半无限线上，频率为 ω 的单光子将获得一个相移 $\phi ( \omega )$。在图4(b)中，我们绘制了 $\mathcal{R} = \sin ( \phi / 2 )^{2}$（其等于全无限线上的反射系数），参数为 $s = 0.8$。在弱耦合下（$\alpha_{\Delta} \ll \alpha_{\Delta}^{c}$，绿线，A），R 呈现典型的洛伦兹共振峰，中心位于移位后的自旋翻转频率 $\omega \sim D$ 附近。当 $\alpha_{\Delta}$ 较大时（红线，B），峰形变宽、移位并扭曲。随着 $\alpha_{\Delta}$ 趋近 $\alpha_{\Delta}^{c}$（蓝线，C），这一趋势继续，但此时在极低频率处 R 迅速减小。这在对数坐标下更易观察到 [图4(b)]，图中还显示（对于 $s = 0.2 , 0.5 , 0.8$）存在一个宽广的频率平台，R 在该平台上保持恒定。平台上的 R 值随 s 增大而增大。
该平台出现在临界区间 $\omega_{*} \ll \omega \ll D$ 内，当 $\alpha_{\Delta} \approx \alpha_{\Delta}^{c}$ 时，该区间覆盖了很宽的频率范围。在此区间内，我们得到恒定的 $\phi_{c} = \pi s ~ [ 35 ]$，因此有固定的 $\mathcal{R}_{c} = \sin ( \pi s / 2 )^{2}$。在较低频率 $\omega \ll \omega_{*}$ 处，光子没有足够的能量激发玻色子云，且 $\phi \approx 2 \pi ( \omega / \omega_{*} )^{s}$ [35] 很小。在半无限线上，这种相移可以通过零差探测装置利用参考波进行干涉来检测。当 $d \phi / d \omega \neq 0$ 时，波也会发生色散，从而引入可测量的时间延迟和波包畸变。
图4：(a) 半无限线上玻色子的散射。(b) 对于 $s = 0.8$ 和 $\alpha_{\Delta} = 0.05 , 0.5$ 和 $0.7$（分别记为 A、B 和 C），全无限线上的反射系数 $\mathcal{R} = \sin ( \phi / 2 )^{2}$ 作为 $\omega / \Delta$ 的函数。这些参数对应 $m_{0} = 0.9 , 0.16 , 0.002$ 和 $\omega_{*} / \Delta = 35 , 0.07 , 5 \times 10^{- 5}$。(c) 临界态附近 $s = 0.2 , 0.6 , 0.8$ 的 $\mathcal{R}$，所有曲线均取 $\omega_{*} / D = 5 \times 10^{- 6}$（对应 $\alpha_{\Delta} =$ 0.121, 0.4297, 1.15）。(d) 与 (b) 相同参数下，在（低）频率与 $\omega_{*}$ 可比时相移 ϕ 的变化。
我们现在讨论这些结果的适用性。当 $\omega \ll \omega_{*}$ 时，物理过程由能隙控制，因此我们预期结果在定量上是准确的。在临界区间内，物理过程由非定域共形场论[41, 42]控制，由此我们可以推导出 1 → 1 S 矩阵具有形式 $S ( E ) = 1 + i C^{\prime} e^{i \pi s / 2}$，其中 $C^{\prime} > 0$ 且与频率无关[35]。特别地，添加无多粒子产生的条件后固定了 $\bar{C}^{\prime} = 2 \sin ( \pi s / 2 ) \to S ( E ) = e^{i \pi s}$，这简化为我们的变分结果。由于当 $s < 0.5$ 时关联的共形场论是高斯型的，我们预期低能预言在定量上是准确的。对于 $s > 0.5$，多粒子产生将修正 $\mathcal{R}_{c}$。
定域分支：在定域分支中，方程(8)有两个非零且能量相等的解，参数b现在等于$\alpha_{\Delta} ( \bar{\Delta} / D )^{1 - \bar{s}} ( \cos \theta )^{3 - s}$。如参考文献[22]所讨论，在定域分支中，$\alpha_{\beta}$在$\omega \to 0$时发散[参见方程(4)]，导致方程(1)中自旋受到一个有效的z场作用，使其偏离−x轴。
我们可以利用方程(5)将方程(8)重写为[35] $m_{0} ~ = ~ ( \sin \theta )^{2}$。因此，将临界点识别为$m_{0} = 0$（在$s \lesssim 0.4$时有效）与角度$\theta$从0连续变化是一致的。我们也可以利用这一关系来提取临界指数$\beta$。在$s < 0.5$的区域，我们再次得到正确的平均场值$\beta = 1 / 2$。当$0.5 < s < 1$时，挤压极化子预测了一个非平均场的$\beta = 0.5 s / ( 1 - s )$。
我们认为，图2中定域分支与离域分支之间的虚假一级跳变是由对临界点附近涨落的处理不当造成的。定域相中真实的波函数更准确地应取为两个定域解的猫态叠加[25, 43]。因此，在离域相中但靠近临界点时，也应该存在类似猫态的涨落，但猫态波瓣之间的相空间分离在挤压极化子的量子噪声中无法完全分辨。
总结与结论：在本文中，我们分析了在自旋-玻色子模型的标准极化子变分波函数中添加高斯涨落所带来的后果。通过包含玻色子-玻色子关联，我们得到了自旋-玻色子基态大部分性质正确的定性（在某些情况下是定量）描述。这些性质包括：当趋近于定域化相变时，玻色子扇区中临界涨落的出现及其本质；随着浴指数s的增加，从平均场行为到非平均场行为的转变；以及自旋杂质散射玻色子的效应。
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这项工作的扩展将评估在双极化子尝试波函数[27, 28]中加入高斯涨落的效果，以此作为改善相变附近波函数性质的一种方法[43]，更详细地研究其对欧姆情况的含义，并处理有限温度的情况。此外，从分析角度类似地把握自旋-玻色子模型动力学中玻色子扇区的性质[44]，并利用这些信息设计反馈操作以增强自旋相干性，将会很有用处。
致谢#
致谢：我们感谢 Alex Chin 的有益讨论。本研究得到了西蒙斯研究员奖（Grant No. 511029）以及工程与物理科学研究委员会（资助号 EP/V062654/1 和 EP/Y01510X/1）的支持。
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[35] 参见补充材料，网址见 [URL will be inserted by publisher].
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[42] D. Benedetti, E. Lauria, D. Mazac, 与 P. van Vliet, 一维长程伊辛模型的一种强-弱对偶性, SciPost Phys. 20, 029 (2026).
[43] H. Zheng 与 Z. L¨u, 具有双极化子生成元的自旋-玻色子模型幺正变换：基态、热力学与动力学演化, The Journal of Chemical Physics 164, 044103 (2026).
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附录：补充材料#
附录 A：能量泛函的最小化 . S1 附录 B：高斯态的关联 . S5 附录 C：积分方程的数值解 . S6 附录 D：临界耦合比较 . S7 附录 E：临界点处 m(y) 的低频行为 . S8 附录 F：低频下 $m ( y )$ 的标度行为 . . S9 附录 G：关联长度指数 . . .S10 附录 H：散射的有效哈密顿量 . S12 附录 I：使用CFT方法的散射 . . . S14 附录 J：自旋取向与 m 之间的关系 . S15
附录 A：能量泛函的最小化#
这里我们在缀饰框架中对哈密顿量在态流形 $\left. \psi \right. = {\mathcal{D}}_{c} {\mathcal{D}}_{u} {\hat{R}}_{y} ( \theta ) \left. - x \right. \left. \phi \right.$ 上进行最小化，其中 $\left| - x \right.$ 是沿 −x 方向的自旋态，$\hat{R}_{y} ( \theta ) = \exp ( - i \theta \hat{s}_{y} )$ 是绕 $+ y$ 轴旋转角度 θ 的旋转操作，$\begin{array} {r} {\mathcal{D}_{u} = \exp{[ \sum_{\beta} \alpha_{\beta} ( \hat{a}_{\beta}^{\dagger} - \hat{a}_{\beta} ) ]}} \end{array}$ 是玻色子位移算符 $( \mathcal D_{u}^{\dagger} \hat{x}_{\beta} \mathcal D_{u} = \hat{x}_{\beta} + \sqrt{2} \alpha_{\beta} )$，$\begin{array} {r} {\mathcal{D}_{c} = \exp \big [ - \hat{s}_{z} \sum_{\beta} q_{\beta} \big ( \hat{a}_{\beta}^{\dagger} - \hat{a}_{\beta} \big ) \big ]} \end{array}$，而 $| \phi \rangle$ 是零均值的高斯态。为了计算方便，将关联位移直接应用于哈密顿量上，因为剩余部分不含自旋-玻色子关联：
$$ \begin{array} {l} {{\hat{H}_{c} = \mathcal{D}_{c}^{\dagger} \hat{H} \mathcal{D}_{c} = \displaystyle \frac{\Delta} {2} \left[ \hat{\sigma}_{+} e^{- i \sum_{\beta} q_{\beta} ( \hat{a}_{\beta} - \hat{a}_{\beta}^{\dagger} )} + \hat{\sigma}_{-} e^{i \sum_{\beta} q_{\beta} ( \hat{a}_{\beta} - \hat{a}_{\beta}^{\dagger} )} \right] + \sum_{\beta} ( q_{\beta} - \omega_{\beta} q_{\beta} ) \hat{s}_{z} ( \hat{a}_{\beta} + \hat{a}_{\beta}^{\dagger} ) + \sum_{\beta} \omega_{\beta} \hat{a}_{\beta}^{\dagger} \hat{a}_{\beta}}} \\ {{{}}} \\ {{{} + \displaystyle \sum_{\beta} \frac{( q_{\beta} - \omega_{\beta} q_{\beta} )^{2}} {4 \omega_{\beta}} - \sum_{\beta} \frac{g_{\beta}^{2}} {4 \omega_{\beta}}}} \end{array}\tag{S1} $$现在将投影到态的其余部分，并利用 $| \phi \rangle$ 的高斯性质，得到关于 $q_{\beta} , \alpha_{\beta} , | \phi \rangle$ 和 $\theta$ 的如下函数：
其中 $\hat{x}_{\beta} = ( \hat{a}_{\beta} + \hat{a}_{\beta}^{\dagger} ) / \sqrt{2}$ 和 $\hat{p}_{\beta} = - i ( \hat{a}_{\beta} - \hat{a}_{\beta}^{\dagger} ) / \sqrt{2}$ 为 quadrature。为简便起见，我们还定义了重正化隧穿率
在约束条件 $\langle \phi | \phi \rangle = 1$ 下对态 $| \phi \rangle$ 进行变分，得到高斯的本征值方程
其中 ${\hat{X}} = ( {\hat{x}}_{\beta} ) , {\hat{P}} = ( {\hat{p}}_{\beta} ) , q = ( q_{\beta} )$ 是向量，$\Omega = \mathrm{diag} ( \omega_{\beta} )$ 是对角矩阵，$\mu$ 是拉格朗日乘子。对 $q_{\beta}$ 和 $\alpha_{\beta}$（以向量形式表示 $q_{\beta} , \alpha_{\beta}$）进行变分得到方程
$$ \boxed{\begin{array} {r} {\boxed{D \cos \theta \langle \hat{P} \hat{P}^{T} \rangle q - \Omega \alpha \sin \theta + \frac{\Omega q - g} {2} = 0}} \\ {\boxed{\frac{\sin \theta ( g - \Omega q )} {2} + \Omega \alpha = 0}} \end{array}}\tag{S5} $$最后，对 $\theta$ 变分得到
1. 玻色关联与位移#
实际上，我们可以在不使用对 $\theta$ 变分所得方程的情况下推进求解，这与文献 [S22] 的精神高度一致，最后再添加对 $\theta$ 变分产生的约束。由方程 (S5)，我们可以用 $g$ 表示 $q$，得到
$$ \left( \cos \theta \Omega + 2 D \langle \hat{P} \hat{P}^{T} \rangle \right) q = g \cos \theta\tag{S7} $$相关量 $\langle \hat{P} \hat{P}^{T} \rangle$ 可以利用方程 (S4) 以矩阵形式写出：
$$ \langle \hat{P} \hat{P}^{T} \rangle = \frac{1} {2} \Omega^{1 / 2} \frac{1} {\sqrt{\Omega^{2} + D \cos \theta \Omega^{1 / 2} q q^{T} \Omega^{1 / 2}}} \Omega^{1 / 2}\tag{S8} $$由于平方根内的矩阵是一个对角矩阵加上一个秩 1 扰动，我们可以使用预解式方法继续推导。我们实际上并不需要完整的矩阵，只需要它对向量 $q$ 的作用，这最终会更简单。经过一些处理（详见本补充材料的后续部分）我们得到
$$ \langle \hat{P} \hat{P}^{T} \rangle q = \frac{1} {2} \left\{\int_{\mathcal{C}} \frac{dz} {2 \pi i \sqrt{z}} \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} \frac{1} {1 - D \cos \theta \left[ q^{T} \left( \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} \right) q \right]} \right\} q ,\tag{S9} $$其中 $\mathcal{C}$ 从 $\infty + i 0^{+}$ 到 0，然后从 0 到 $\infty - i 0^{+}$。注意花括号内的对象可以写为矩阵函数 $l ( \Omega )$，其中 $l$ 是由下式定义的函数
然后，由方程 (S7) 我们得到
$$ q = \left[ \frac{\cos \theta} {\Omega \cos \theta + D l ( \Omega )} \right] g\tag{S11} $$将这个形式代回方程 (S10)，我们得到函数 $l$ 的自洽条件
在连续极限下，这变为
$$ l ( x ) = \int_{\mathcal{C}} \frac{dz} {2 \pi i \sqrt{z}} \frac{x} {z - x^{2}} \left\{1 - 2 \alpha \omega_{c}^{1 - s} D ( \cos \theta )^{3} \int_{0}^{\omega_{c}} \frac{u^{s + 1} d u} {\left( z - u^{2} \right) \left[ u \cos \theta + D l ( u ) \right]^{2}} \right\}^{- 1} .\tag{S13} $$引入函数 $m ( \omega \cos \theta / D ) = l ( \omega )$ 并适当改变变量（在 $z$ 积分和 $u$ 积分中），我们得到
$$ m ( y ) = \int_{C} \frac{d \tilde{z}} {2 \pi i \sqrt{\tilde{z}}} \frac{y} {\tilde{z} - y^{2}} \left\{1 - 2 \alpha \omega_{c}^{1 - s} D^{1 - s} ( \cos \theta )^{3 - s} \int_{0}^{\omega_{c} \cos \theta / D} \frac{v^{s + 1} d v} {( \tilde{z} - v^{2} ) [ v + m ( v ) ]^{2}} \right\}^{- 1} .\tag{S14} $$最后，我们将积分围道从正 $z$ 轴上的分支切割变形到负 $z$ 轴，从而得到平方根分支切割的贡献。在将变量更改为 $z_{*} = \sqrt{\tilde{z}}$ 并定义 $\alpha_{D} = \alpha ( \omega_{c} / D )^{1 - s}$ 后，我们得到
$$ m ( y ) = \int_{0}^{\infty} \frac{2 y d z_{*}} {\pi ( y^{2} + z_{*}^{2} )} \frac{1} {1 + 2 \alpha_{D} \cos \theta^{3 - s} \int_{0}^{\omega_{c} \cos \theta / D} \frac{v^{s + 1} d v} {\left( v^{2} + z_{*}^{2} \right) \left[ v + m ( v ) \right]^{2}}} ,\tag{S15} $$在定义 $b = \alpha_{D} ( \cos \theta )^{3 - s}$ 和 $y_{c} = \omega_{c} \cos \theta / D$ 后，这就是正文中的方程 (5)。因此我们有
$$ q = \left[ \frac{\cos \theta} {\Omega \cos \theta + D m \left( \frac{\Omega \cos \theta} {D} \right)} \right] g ,\tag{S16} $$如果我们定义 $y = \Omega \cos \theta / D$，这就是逐分量的方程 (4)。类似地，
当 $\theta 0$ 时，$\alpha_{\beta}$ 衰减到 0，正如预期的那样。
a. 可观测量#
根据 $D$ 的定义，我们有
在连续极限下，我们因此有
$$ D = \Delta \exp \left\{- \alpha \omega_{c}^{1 - s} ( \cos \theta )^{2} \int_{0}^{\omega_{c}} \frac{l ( u ) u^{s} d u} {\left[ u \cos \theta + D l ( u ) \right]^{2}} \right\}\tag{S19} $$改变变量我们得到
$$ D = \Delta \exp \left\{- \alpha_{D} ( \cos \theta^{1 - s} ) \int_{0}^{\omega_{c} \cos \theta / D} \frac{m ( v ) v^{s} d v} {\left[ v + m ( v ) \right]^{2}} \right\} ,\tag{S20} $$在识别出 $b = \alpha_{D} ( \cos \theta )^{3 - s}$ 后，再次恢复 $\mathrm{E q . ~} ( 7 )$。裸耦合 $\alpha_{\Delta} = \alpha ( \omega_{c} / \Delta )^{1 - s}$ 的方程通过取其 $( s - 1 )$ 次方幂从前一个方程得到
$$ \alpha_{\Delta} = \alpha_{D} \exp \left\{- ( 1 - s ) \alpha_{D} ( \cos \theta^{1 - s} ) \int_{0}^{\omega_{c} \cos \theta / D} \frac{m ( v ) v^{s} d v} {\left[ v + m ( v ) \right]^{2}} \right\}\tag{S21} $$对于能量，我们替换 $\alpha_{\beta}$ 的值，并将其改写为一种方便的形式
$$ \begin{array} {l} {\displaystyle E = - \frac{D \cos \theta} {2} + ( \cos \theta )^{2} \sum_{\beta} \frac{\left( g_{\beta} - \omega_{\beta} q_{\beta} \right)^{2}} {4 \omega_{\beta}} + \sum_{\beta} \left( \frac{\omega_{\beta}} {2} \langle \hat{x}_{\beta}^{2} \rangle + \frac{\omega_{\beta}} {2} \langle \hat{p}_{\beta}^{2} \rangle - \frac{\omega_{\beta}} {2} \right) + \frac{D \cos \theta} {2} \sum_{\beta \beta^{\prime}} q_{\beta} q_{\beta^{\prime}} \langle \hat{p}_{\beta} \hat{p}_{\beta^{\prime}} \rangle} \\ {\displaystyle ~ - \frac{D \cos \theta} {2} \sum_{\beta g^{\prime}} q_{\beta} q_{\beta^{\prime}} \langle \hat{p}_{\beta} \hat{p}_{\beta^{\prime}} \rangle - \frac{\omega_{c} \alpha} {2 s}} \end{array}\tag{S22} $$将 $q_{\beta}$ 的解代入可得
通过变量替换并使用预解式方法计算迹，可得
$$ \begin{array} {l} {{E = - \displaystyle \frac{D \cos \theta} 2 + \displaystyle \frac{Db} {2 \cos \theta} \displaystyle \int_{0}^{y_{c}} \displaystyle \frac{y^{s - 1} m ( y )^{2} d y} {\left[ y + m ( y ) \right]^{2}} - \displaystyle \frac{Db} {2 \cos \theta} \displaystyle \int_{0}^{y_{c}} \displaystyle \frac{y^{s} m ( y ) d y} {\left[ y + m ( y ) \right]^{2}} + \displaystyle \frac{Db} {2 \cos \theta} \displaystyle \int_{0}^{y_{c}} \displaystyle \frac{y^{s} \partial_{y} \left[ y m ( y ) \right] d y} {\left[ y + m ( y ) \right]^{2}} - \displaystyle \frac{\omega_{c} \alpha} {2 s}}} \\ {{\mathrm{} = - \displaystyle \frac{D \cos \theta} 2 + \displaystyle \frac{Db} {2 \cos \theta} \displaystyle \int_{0}^{y_{c}} \displaystyle \frac{y^{s - 1} m ( y )^{2} d y} {\left[ y + m ( y ) \right]^{2}} + \displaystyle \frac{Db} {2 \cos \theta} \displaystyle \int_{0}^{y_{c}} \displaystyle \frac{y^{s + 1} \partial_{y} \left[ m ( y ) \right] d y} {\left[ y + m ( y ) \right]^{2}} - \displaystyle \frac{\omega_{c} \alpha} {2 s}}} \end{array}\tag{S24} $$利用关系式
$$ \int_{0}^{y_{c}} {\frac{y^{s + 1} \partial_{y} m ( y ) d y} {\left[ y + m ( y ) \right]^{2}}} = {\frac{y_{c}^{s}} {y_{c} + m ( y_{c} )}} - ( s + 1 ) \int_{0}^{y_{c}} {\frac{y^{s - 1} m ( y ) d y} {y + m ( y )}} + \int_{0}^{y_{c}} {\frac{y^{s - 1} m ( y )^{2} d y} {\left[ y + m ( y ) \right]^{2}}} + 2 \int_{0}^{y_{c}} {\frac{y^{s} m ( y ) d y} {\left[ y + m ( y ) \right]^{2}}} ,\tag{S25} $$能量变为
$$ E = - \frac{D \cos \theta} {2} + \frac{D b ( 1 - s )} {2 \cos \theta} \int_{0}^{y_{c}} \frac{y^{s - 1} m ( y ) d y} {y + m ( y )} - \frac{\omega_{c} \alpha} {2 s} + \frac{Db} {2 \cos \theta} \left[ \frac{y_{c}^{s}} {y_{c} + m ( y_{c} )} \right] .\tag{S26} $$当 $y_{c} \to \infty$ 时，最后一项趋近于 0。
2. 角度最小化#
将所有前述表达式代入式 (S6)，可得
其解为 $\theta = 0$ 或（在连续极限下）
$$ D = 2 \alpha \omega_{c}^{1 - s} \cos \theta \int_{0}^{\omega_{c}} \frac{D^{2} m ( u \cos \theta / D )^{2} u^{s - 1} d u} {\left[ u \cos \theta + D m ( u \cos \theta / D ) \right]^{2}} .\tag{S28} $$通过变量替换，我们得到
$$ 1 = 2 \alpha_{D} ( \cos \theta )^{1 - s} \int_{0}^{\omega_{c} \cos \theta / D} \frac{v^{s - 1} m ( v )^{2} d v} {\left[ v + m ( v ) \right]^{2}} .\tag{S29} $$根据式 (S15)，我们方便地用 $b = \alpha_{D} ( \cos \theta )^{3 - s}$ 来参数化解。于是有
$$ \begin{array} {r l} & {m ( y ) = \int_{0}^{\infty} \frac{2 y d z_{k}} {\pi ( y )^{2} + z_{k}^{2}} \frac{1} {1 + 2 b \int_{0}^{y}} \frac{1} {\frac{w + a + a} {| v | ^{2} + 2 \left| x + m \right|}}} \\ & {\cos \theta^{2} = 2 \mathrm{f}_{0}^{k} \frac{w^{* - 1} m ( v )^{2} d v} {| v + m ( v ) | ^{2}}} \\ & {\quad D = \Delta e \exp \left\{- \frac{b} {\left( \cos \theta \right)^{2}} \int_{0}^{y} \frac{m ( v ) w^{*} d v} {| v + m ( v ) | ^{2}} \right\} ,} \\ & {\quad \alpha_{\Delta} = \frac{b} {\left( \cos \theta \right)^{3 - s}} \exp \left\{- \frac{\left( 1 - s \right) b} {\left( \cos \theta \right)^{2}} \int_{0}^{y} \frac{m ( v ) w^{*} d v} {| v + m ( v ) | ^{2}} \right\} ,} \\ & {\quad E = - \frac{D ( \cos \theta )} {2} \left[ 1 - \frac{b ( 1 - s )} {\left( \cos \theta \right)^{2}} \int_{0}^{v} \frac{g^{* - 1} m ( v ) d v} {\pi + w ( v )} \right] + \frac{Db} {2 \cos \theta} \left[ \frac{b^{*}} {y + m ( y )} \right] - \frac{\omega_{c} \alpha} {2 s}} \end{array}\tag{S30} $$附录 B：高斯态的关联#
这里我们求解由式(S4)定义的高斯问题，为完整起见，将其复制如下：
其中Ω是对角矩阵，q是数值向量，$\eta = D$ cos θ是一个参数，${\hat{X}}$、${\hat{P}}$是共轭正交分量的向量。由于这是一个高斯问题，关联函数可以直接写出：
$$ \langle \hat{X} \hat{X}^{T} \rangle = \frac{1} {2} \Omega^{- 1 / 2} \left( \Omega^{2} + \eta \Omega^{1 / 2} q q^{T} \Omega^{1 / 2} \right)^{1 / 2} \Omega^{- 1 / 2}\tag{S2} $$$$ \langle \hat{P} \hat{P}^{T} \rangle = \frac{1} {2} \Omega^{1 / 2} \left( \Omega^{2} + \eta \Omega^{1 / 2} q q^{T} \Omega^{1 / 2} \right)^{- 1 / 2} \Omega^{1 / 2} $$我们将处理 $\langle \hat{P} \hat{P^{T}} \rangle$。类似的操作应同样适用于 $\langle \hat{X} \hat{X}^{T} \rangle$。我们首先利用预解式来表示平方根：
$$ \langle \hat{P} \hat{P}^{T} \rangle = \frac{1} {2} \Omega^{1 / 2} \int_{\mathcal{C}} \frac{dz} {2 \pi i \sqrt{z}} \frac{1} {z - ( \Omega^{2} + \eta \Omega^{1 / 2} q q^{T} \Omega^{1 / 2} )} \Omega^{1 / 2} ,\tag{S3} $$其中C包围了 $\Omega^{2} + \eta \Omega^{1 / 2} q q^{T} \Omega^{1 / 2}$ 的所有特征值。通过让围道从 $\infty + i \epsilon$ 到 0，然后从 0 到 $\infty - i \epsilon$，我们可以保证这一点始终成立。由于 $q q^{T}$ 是单秩的，我们有：
$$ \begin{array} {l} {{\displaystyle \frac{1} {z - \Omega^{2} - \eta \Omega^{1 / 2} q q^{T} \Omega^{1 / 2}} = \left[ \frac{1} {1 - \frac{\eta} {z - \Omega^{2}} \Omega^{1 / 2} q q^{T} \Omega^{1 / 2}} \right] \frac{1} {z - \Omega^{2}}}} \\ {{\displaystyle = \left[ 1 + \frac{\eta} {z - \Omega^{2}} \Omega^{1 / 2} q q^{T} \Omega^{1 / 2} \times \displaystyle \frac{1} {1 - \eta \left( q^{T} \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} q \right)} \right] \frac{1} {z - \Omega^{2}}}} \end{array}\tag{S4} $$因此，我们得到：
$$ \langle \hat{P} \hat{P}^{T} \rangle = \frac{1} {2} \int_{\mathcal{C}} \frac{dz} {2 \pi i \sqrt{z}} \left[ \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} + \frac{\eta} {1 - \eta \left( q^{T} \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} q \right)} \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} q q^{T} \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} \right]\tag{S5} $$特别地，
$$ \langle \hat{P} \hat{P}^{T} \rangle q = \frac{1} {2} \int_{\mathcal{C}} \frac{dz} {2 \pi i \sqrt{z}} \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} \frac{1} {1 - \eta \left( q^{T} \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} q \right)} ,\tag{S6} $$这就是式(S9)，其中 $\eta = D$ cos θ。我们还可以读出：
$$ \begin{array} {l} {\langle \hat{p}_{\beta} \hat{p}_{\gamma} \rangle = \frac{\delta_{\beta \gamma}} {2} + \frac{\eta q_{\beta} q_{\gamma} \omega_{\beta} \omega_{\gamma}} {2} \int_{\mathcal{C}} \frac{dz} {2 \pi i \sqrt{z}} \frac{1} {( z - \omega_{\beta}^{2} ) ( z - \omega_{\gamma}^{2} )} \frac{1} {1 - \eta \left( q^{T} \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} q \right)}} \\ {= \frac{\delta_{\beta \gamma}} {2} + \frac{\eta q_{\beta} q_{\gamma} \omega_{\beta} \omega_{\gamma}} {2 ( \omega_{\beta}^{2} - \omega_{\gamma}^{2} )} \int_{\mathcal{C}} \frac{dz} {2 \pi i \sqrt{z}} \left[ \frac{1} {z - \omega_{\beta}^{2}} - \frac{1} {z - \omega_{\gamma}^{2}} \right] \frac{1} {1 - \eta \left( q^{T} \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} q \right)}} \\ {= \frac{\delta_{\beta \gamma}} {2} + \frac{\eta q_{\beta} q_{\gamma}} {2 ( \omega_{\beta}^{2} - \omega_{\gamma}^{2} )} \bigl [ \omega_{\gamma} l ( \omega_{\beta} ) - \omega_{\beta} ( \omega_{\gamma} ) \bigr ] ,} \end{array}\tag{S7} $$其中 $l ( \omega )$ 由式(S10)定义，且 D cos $\theta$ 替换为 $\eta$。使用式(S16)替换 $q_{\beta}$，并取 $\theta = 0$，我们得到：
$$ \langle{\hat{p}}_{\beta} {\hat{p}}_{\gamma} \rangle = {\frac{\delta_{\beta \gamma}} {2}} + {\frac{D g_{\beta} g_{\gamma}} {2 ( \omega_{\beta}^{2} - \omega_{\gamma}^{2} ) [ \omega_{\beta} + D l ( \omega_{\beta} ) ] [ \omega_{\gamma} + D l ( \omega_{\gamma} ) ]}} \Big [ \omega_{\gamma} l ( \omega_{\beta} ) - \omega_{\beta} ( \omega_{\gamma} ) \Big ]\tag{S8} $$定义 $y = \omega / D$，于是得到
$$ \langle{\hat{p}}_{\beta} {\hat{p}}_{\gamma} \rangle = {\frac{\delta_{\beta \gamma}} {2}} + {\frac{g_{\beta} g_{\gamma} / D^{2}} {2 ( y_{\beta}^{2} - y_{\gamma}^{2} ) [ y_{\beta} + m ( y_{\beta} ) ] [ y_{\gamma} + m ( y_{\gamma} ) ]}} \Big [ y_{\gamma} m ( y_{\beta} ) - y_{\beta} m ( y_{\gamma} ) \Big ]\tag{S9} $$类似的计算可得
$$ \begin{array} {r l} & {\langle \hat{x}_{\beta} \hat{x}_{\gamma} \rangle = \frac{\delta_{\beta \gamma}} {2} + \frac{\eta q_{\beta} q_{\gamma}} {2} \int_{c} \frac{\sqrt{zdz}} {2 \pi i} \frac{1} {( z - \omega_{\beta}^{2} ) ( z - \omega_{\gamma}^{2} )} \frac{1} {1 - \eta ( q^{T} \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} q )}} \\ & {\qquad = \frac{\delta_{\beta \gamma}} {2} + \frac{\eta q_{\beta} q_{\gamma}} {2 ( \omega_{\beta}^{2} - \omega_{\gamma}^{2} )} \int_{c} \frac{dz} {2 \pi i \sqrt{z}} [ \frac{\omega_{\beta}^{2}} {z - \omega_{\beta}^{2}} - \frac{\omega_{\gamma}^{2}} {z - \omega_{\gamma}^{2}} ] \frac{1} {1 - \eta ( q^{T} \frac{\Omega} {z - \Omega^{2}} q )}} \\ & {\qquad = \frac{\delta_{\beta \gamma}} {2} + \frac{\eta q_{\beta} q_{\gamma}} {2 ( \omega_{\beta}^{2} - \omega_{\gamma}^{2} )} \Big [ \omega_{\beta} l ( \omega_{\beta} ) - \omega_{\gamma} l ( \omega_{\gamma} ) \Big ]} \\ & {\qquad \langle \hat{x}_{\beta} \hat{x}_{\gamma} \rangle = \frac{\delta_{\beta \gamma}} {2} + \frac{\eta g_{\beta} \eta_{\gamma}} {2 ( \omega_{\beta}^{2} - y_{\gamma}^{2} ) [ y_{\beta} + m_{\gamma} ( y ) ] [ y_{\gamma} + m ( y_{\gamma} ) ]} \Big [ y_{\beta} m ( y_{\beta} ) - y_{\gamma} m ( y_{\gamma} ) \Big ]} \end{array}\tag{S10} $$附录 C：积分方程的数值求解#
这里我们简要概述积分方程的数值求解方法
$$ m ( y ) = \int_{0}^{\infty} \frac{dz} {\pi} \frac{y} {y^{2} + z^{2}} \frac{1} {1 + 2 b \int_{0}^{y_{c}} \frac{x^{s + 1} d x} {\left( x^{2} + z^{2} \right) \left[ x + m ( x ) \right]^{2}}} .\tag{S1} $$我们首先在固定的 $y_{c} = \omega_{c}$ cos $\theta / D = \omega_{c} / \Delta \times ( \Delta \cos \theta / D )$ 下求解该方程，然后系统地改进其值。现在我们按照以下关系定义函数序列 $m_{n} ( x )$
$$ m_{n + 1} ( y ) = \int_{0}^{\infty} \frac{2 d z} {\pi} \frac{y} {y^{2} + z^{2}} \frac{1} {1 + 2 b \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s + 1} d x} {( x^{2} + z^{2} ) \left[ x + m_{n} ( x ) \right]^{2}}} .\tag{S2} $$如果我们选择 $m_{0}^{I} ( y ) = 1$，那么 $n_{1}^{I} ( y ) < m_{0}^{I} ( y )$。此外，我们还有：如果 $m_{n + 1} ( y ) \leq m_{n} ( y )$，则逐点地有 $m_{n + 2} ( y ) \leq m_{n + 1} ( y )$。因此，在我们选择 $m_{0}^{I} ( y )$ 的情况下，序列中每一次迭代都是逐点递减的。相反，如果选择 $\dot{m}_{0}^{II} ( y ) = 0$，则 $m_{1}^{II} ( y ) > m_{0}^{II} ( \bar{y} )$，并且如果 $m_{n + 1} ( y ) \geq m_{n} ( y )$，则 $m_{n + 2} ( y ) \geq m_{n + 1} ( y )$。因此序列 $m_{n}^{II} ( y )$ 是逐点递增的。数值计算表明，两个序列都收敛到同一个函数。在远离临界点的地方，通常需要 3 到 10 次迭代即可收敛，迭代之间的逐点相对误差为 $10^{- 6}$。在更接近临界点时，迭代次数会增多。
对于外积分，我们有
$$ \begin{array} {r l} {{\int_{0}^{\infty} \frac{2 y d z} {\pi ( z^{2} + y^{2} )} \frac{1} {1 + 2 b \int_{0}^{y_{0}} \frac{1} {( z^{2} + z^{2} ) [ z + m ( x ) ]^{2}}}}} \\ & {= \int_{0}^{1000} + \int_{1000}^{\infty}} \\ & {\approx \int_{0}^{1000} \frac{2 y d z} {\pi ( z^{2} + y^{2} )} \frac{1} {1 + 2 b \int_{0}^{\infty} \frac{x + 1 \bar{d} z} {( z^{2} + z^{2} ) [ x + m ( x ) ]^{2}}} + \int_{100}^{\infty} \frac{2 y d z} {\pi ( z^{2} + y^{2} )}} \\ & {= \int_{0}^{1000} \frac{2 y d z} {\pi ( z^{2} + y^{2} )} \frac{1} {1 + 2 b \int_{0}^{100} \frac{x + 1 \bar{d} z} {( z^{2} + z^{2} ) [ x + m ( x ) ]^{2}}} + \frac{2} {\pi} [ \frac{\pi} {2} - \arctan ( \frac{1000} {y} ) ]} \end{array}\tag{S3} $$
图S1.（左）零频率值 $m_{0}$ 作为 $b$ 的函数，描述了 $s = 0.8$ 时趋近临界 $b_{c}$ 的过程。（右）确定最优 $b_{c}$ 后，$m_{0}$ 与 $\left| b - b_{c} \right|$ 的对数图，$s = 0.8$
因此，当 $y \approx 1000$ 时，修正可能相当可观。于是，我们建立了如下的数值迭代方案：
$$ m_{n + 1} ( y ) = \int_{0}^{1000} {\frac{2 d z} {\pi}} {\frac{y} {y^{2} + z^{2}}} {\frac{1} {1 + 2 b \left[ \int_{0}^{y_{c}} {\frac{x^{s + 1} d x} {( x^{2} + z^{2} ) \left[ x + m_{n} ( x ) \right]}} \right]}} + {\frac{2} {\pi}} \left[ {\frac{\pi} {2}} - \arctan \left( {\frac{1000} {y}} \right) \right] .\tag{S4} $$通过将上限在 100 和 1000 之间变化，我们经验性地发现收敛后的 $m ( y )$ 没有显著变化。为了进行数值积分，我们首先将变量变换为 $z = \tilde{z}^{p}$ 和 $y = \tilde{y}^{p}$，其中 $p = 2.5$，然后对变量 $\tilde{y} , \tilde{z}$ 使用具有 8000 个节点的 Gauss-Legendre 求积法。这种变换允许在 $y , z$ 较小的区域中对内外被积函数进行更精细的分辨，这对于定量精确地确定 $m ( y )$ 在临界点附近的低能性质至关重要。在少数情况下（$s = 0.8$ 且接近相应的临界点），我们不得不将 $p$ 增大至 3.5 并增加 Gauss-Legendre 节点的数量，以在 $y$ 小区域内获得收敛。
我们在固定的 $y_{c}^{( 0 )} = \omega_{c} / \Delta = 10$ 处开始这个过程。一旦我们得到收敛的 $m ( y )$，我们就计算 $\Delta$ cos $\theta / D$ 并改进对 $y_{c}$ 的估计。大约 5 次迭代足以使 $y_{c}$ 收敛到 $0.5 \%$ 的相对误差内。为了避免对每个 $\alpha_{\Delta}$ 值都进行此操作，我们通过递增 $\alpha_{\Delta}$ 进行扫描，将之前收敛的 $y_{c} , m ( y )$ 值作为后续 $\alpha_{\Delta}$ 的输入。
由于 $b$ 是以有限增量扫描的，存在一对值 $b_{N} , b_{N + 1}$（对于某个整数 $N$），使得零频率值 $m_{0}^{N} = m ( 0 )$ 从一个较小的值跳变到 $m_{0}^{N + 1} = 0$（在机器精度内），这表明临界点 $b_{c}$ 位于区间 $I = [ b_{N} , b_{N + 1} ]$ 内[见图 S1(左)，$s = 0.8$]。为了提取 $m_{0}$ 与 $| b - b_{c} |$ 之间的依赖关系，我们在区间 I 内以更高的精度进行扫描，以进一步限制 $b_{c}$ 的位置，并重复此过程几次（2 到 4 次，取决于 s）。当我们越来越接近 $b_{c}$ 时，我们通过增加数值积分中 Legendre-Gauss 节点的数量并增大 $p$ 来验证 $m_{0}$ 的收敛性。我们优化选择使得 $\log ( m_{0} )$ 与 $\log | b - b_{c} |$ 线性拟合最佳的 $b$ 值，并提取相关的指数，如图 S1(右) 中 $s = 0.8$ 的情况所示。
使用此过程，我们数值地得到对于 $s - 0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.5 , 0.6 , 0.7 , 0.8$ 的指数分别为 $0.986 \pm 0.003 , 1.0036 \pm$ $0.0002 , 1.0200 \pm 0.0008 , 1.0913 \pm 0.0005 , 1.5134 \pm 0.0007 , 2.3325 \pm 0.0002 , 3.986 \pm 0.001$，与理论计算 $m_{0} \sim \left| b - b_{c} \right| ^{\operatorname*{max} \left( 1 , \frac{s} {1 - s} \right)}$ 符合得很好。
附录 D：临界耦合比较#
在本节中，我们将压缩极化子预测的耦合常数临界值与其他数值或变分方法得到的值进行比较。结果总结在图 S2 中。与论文主体部分不同，这里我们引用的是 $\alpha$ 的值，而不是 $\alpha_{\Delta} = \alpha ( \omega_{c} / \Delta )^{1 - s}$，这是文献中的通常做法。所探讨的数值方法包括量子蒙特卡罗（QMC）[S15]、变分矩阵乘积态（VMPS）[S16]、变分多极化子拟设（VPA）[S19]以及DMRG [S36]，所有这些方法都是在有限值 $\omega_{c} = 10 \Delta$ 下获得的。此外，为简化解析方面的处理，我们引用的值是通过首先计算标度极限下（$\omega_{c} / \Delta \to \infty$）的值 $\alpha_{\Delta}$，然后将其乘以 $(0.1)^{1 - s}$ 得到，而不是在 $\omega_{c} / \Delta = 10$ 下求解所有自洽条件。
| S | QMC | VMPS | MPA | DMRG | 相干态极化子 | 压缩极化子 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.1 | 0.0076(3) | / | 0.00795(1) | 0.0074(2) | 0.0066 | 0.0069 |
| 0.2 | 0.0175(2) | 0.0175367 | 0.01806 (3) | 0.0162 (2) | 0.017 | 0.0174 |
| 0.3 | 0.0350(5) | 0.0346142 | 0.03470(6) | 0.0332 (5) | 0.0327 | 0.0348 |
| 0.4 | 0.0604(8) | 0.0605550 | 0.0604(2) | 0.058(1) | 0.0549 | 0.0625 |
| 0.5 | 0.0098(1) | 0.0990626 | 0.0977(3) | 0.099 (1) | 0.0856 | 0.1034 |
| 0.6 | 0.157(2) | 0.1554073 | 0.1528 (3) | 0.155(1) | 0.1272 | 0.159 |
| 0.7 | 0.241(2) | / | 0.2345(8) | 0.238(2) | 0.1829 | 0.2326 |
| 0.8 | 0.360(2) | / | 0.354(1) | 0.359 (2) | 0.2581 | 0.3313 |
附录 E：临界点处 M(Y) 的低频行为#
在本节中，我们从 $m ( y )$ 的积分方程出发
$$ m ( y ) = \int_{0}^{\infty} \frac{2} {\pi} \frac{ydz} {z^{2} + y^{2}} \frac{1} {1 + 2 b \int_{0}^{y_{c}} \frac{x^{s + 1} d x} {\left( x^{2} + z^{2} \right) \left[ x + m ( x ) \right]^{2}}}\tag{S1} $$并提取临界点处的低频行为。我们假设在 $y$ 较小时，$m ( y ) \approx B y^{p}$ 遵循幂律。由于我们关心的是小的 $y$ 值，因此小的 $z$ 区域对于外部积分最为重要。这进而意味着小的 $x$ 区域对于内部积分最为重要。为此，我们分割积分区域
$$ \int_{0}^{y_{c}} \frac{x^{s + 1} d x} {\left( x^{2} + z^{2} \right) \left[ x + m ( x ) \right]^{2}} = \int_{0}^{\Lambda} \frac{x^{s + 1} d x} {\left( x^{2} + z^{2} \right) \left[ x + m ( x ) \right]^{2}} + \int_{\Lambda}^{y_{c}} \frac{x^{s + 1} d x} {\left( x^{2} + z^{2} \right) \left[ x + m ( x ) \right]^{2}} ,\tag{S2} $$其中选择 $z \ll \Lambda \ll 1$ 使得在 $x \leq \Lambda$ 区域内，函数 $m ( x )$ 呈现其低频形式 $m ( x ) \approx B x^{p}$。我们进一步假设 $p < 1$，使得在左边积分中 $x^{p}$ 相对于 $x$ 占主导。由于 $\Lambda \gg z$，我们在右边积分中可以忽略 $z$。因此我们得到
如果我们假设 $2 p > s$，则左端积分在 $\Lambda / z \to \infty$ 时收敛，因此我们可以重新将完整积分表示为
在括号内的项中，我们可以安全地取极限 $\Lambda \to 0$，该部分贡献一个常数。由于 $2 p > s$，第一项在小 $z$ 时占主导。因此，外积分变为
$$ m ( y ) \approx \frac{B^{2}} {2 b \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s + 1 - 2 p} d x} {( x^{2} + 1 )}} \int_{0}^{\infty} \frac{2} {\pi} \frac{ydz} {z^{2} + y^{2}} \times z^{2 p - s} = y^{2 p - s} \frac{B^{2}} {b \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s + 1 - 2 p} d x} {( x^{2} + 1 )}} \int_{0}^{\infty} \frac{1} {\pi} \frac{z^{2 p - s} d z} {z^{2} + 1} .\tag{S5} $$根据我们假设 $m ( y ) \approx B y^{p}$ 的自洽性，我们由此得到
$$ \begin{array} {c} {p = 2 p - s \to p = s} \\ {B = \displaystyle \frac{B^{2}} {b \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s + 1 - 2 p} d x} {( x^{2} + 1 )}} \int_{0}^{\infty} \frac{1} {\pi} \frac{z^{2 p - s} d z} {z^{2} + 1} \to B = \pi b \frac{\int_{0}^{\infty} \frac{x^{1 - s} d x} {( x^{2} + 1 )}} {\int_{0}^{\infty} \frac{z^{s} d z} {z^{2} + 1}} = \pi b \cot ( \pi s / 2 )} \end{array}\tag{S6} $$这个关于 $p$ 的解也与我们假设 $2 p > s$ 一致。综上所述，我们有 $\boxed{m ( y ) \approx \pi b \cot ( \pi s / 2 ) y^{s}}$
附录 F：低频下 M(Y) 的标度行为#
在本节中，我们从 $m ( y )$ 的积分方程出发
$$ m ( y ) = \int_{0}^{\infty} \frac{2} {\pi} \frac{ydz} {z^{2} + y^{2}} \frac{1} {1 + 2 b \int_{0}^{y_{c}} \frac{x^{s + 1} d x} {\left( x^{2} + z^{2} \right) \left[ x + m ( x ) \right]^{2}}}\tag{S1} $$并在 $b \approx b_{c}$ 且 $y \ll 1$ 时将其约化为标度函数。由于我们关注 $y \ll 1$ 的区域，这意味着外积分的主要贡献来自 $z \ll 1$。这进而意味着内积分的主要贡献大多来自 $x \ll 1$ 区域。在此区域中，我们预期 $m ( x ) \gg x$。为了更定量地处理，我们将内积分写为
$$ \int_{0}^{y_{c}} \frac{x^{s + 1} d x} {( x^{2} + z^{2} ) [ x + m ( x ) ]^{2}} = \int_{0}^{\Lambda} \frac{x^{s + 1} d x} {( x^{2} + z^{2} ) [ x + m ( x ) ]^{2}} + \int_{\Lambda}^{y_{c}} \frac{x^{s + 1} d x} {( x^{2} + z^{2} ) [ x + m ( x ) ]^{2}}\tag{S2} $$其中 $z \ll \Lambda \ll 1$。在第一项积分中，我们用 $m ( x )$ 替换 $x + m ( x ) \approx m ( x )$，因为 $m ( x )$ 在低频区域占主导。在右端积分中，我们可以设 $z = 0$，因此得到
$$ \int_{0}^{y_{c}} {\frac{x^{s + 1} d x} {( x^{2} + z^{2} ) [ x + m ( x ) ]^{2}}} = \int_{0}^{\Lambda} {\frac{x^{s + 1} d x} {( x^{2} + z^{2} ) [ m ( x ) ]^{2}}} + \int_{\Lambda}^{y_{c}} {\frac{x^{s - 1} d x} {[ x + m ( x ) ]^{2}}}\tag{S3} $$如同在确定 $m ( y )$ 临界行为时一样，左端积分对大的 $x$ 收敛，并在小 $z$ 时主导行为，因此我们将积分上限扩展到无穷大并忽略右端积分，因为它只是一个与 $z$ 无关的常数。因此，最终我们得到
$$ m ( y ) \approx \int_{0}^{\infty} \frac{2} {\pi} \frac{ydz} {y^{2} + z^{2}} \frac{1} {2 b \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s + 1} d x} {( x^{2} + z^{2} ) \left[ m ( x ) \right]^{2}}} .\tag{S4} $$我们将 $m ( y ) = m_{0} r ( y / y_{*} )$ 表示为，因此 $r ( 0 ) = 1$ 。代入此形式并适当缩放 $z , x$ 积分后，我们得到
$$ r ( u ) = \int_{0}^{\infty} {\frac{2} {\pi}} {\frac{udz} {u^{2} + z^{2}}} {\frac{1} {{\frac{2 b y_{*}^{s}} {m_{0}}} \int_{0}^{\infty} {\frac{x^{s + 1} d x} {\left( x^{2} + z^{2} \right) \left[ r ( x ) \right]^{2}}}}} .\tag{S5} $$如果选择 $b y_{*}^{s} / m_{0} = 1$ ，则得到关于 $r ( u )$ 的如下积分方程
$$ {\left| {{r ( u ) = \int_{0}^{\infty} {\frac{2} {\pi} {\frac{udz} {{u^{2}} + {z^{2}}}} {\frac{1} {2 \int_{0}^{\infty} {\frac{x^{s + 1}} {{( {x^{2}} + {z^{2}} ) \bigl [ {r ( x ) \bigr ]}^{2}}}}}}}}} \right|} .\tag{S6} $$满足条件 $\boxed{r ( 0 ) = 1} .$ 最后这两个方程与模型参数无关。因此，实际的 $m ( y )$ 满足
$$ m ( y ) = m_{0} r \left( \frac{m_{0}^{1 / s} y} {b^{1 / s}} \right) .\tag{S7} $$
图 S3. （左）在 $s = 0.8$ 和三个不同 $m_{0}$ 值（$m_{0} = 9 \times 10^{-15} , 1 \times 10^{-12} , 4 \times 10^{-10}$，对应 $b = 1.2837 , 1.283 , 1.28$）下，数值计算得到的 $m ( y )$。适当缩放后，曲线在小频率区域重合。虚线是临界点处的解析结果 $m ( y ) = \pi b \cot ( \pi s / 2 ) y^{s}$。（右）$r ( u ) - 1 = m / m_{0} - 1$ 的渐近行为与 $s = 0.8$ 和 $m_{0} = 5 \times 10^{-7} ~ ( b = 1.27 )$ 时 $m ( y )$ 数值解的比较
回忆 $y = \omega / D$ ，我们得到标度 $\omega_{*} = D m_{0}^{1 / s} / b^{1 / s}$ 。图 S3（左图）通过展示 $s = 0.8$ 和不同 $m_{0}$ 值（即不同的 b）下数值确定的 $m ( y )$，并证明当变量适当缩放时曲线重合，确实显示 $m ( y )$ 在 $m_{0} \to 0$ 时呈现标度行为。从标度函数 $r ( u )$ 的角度看，临界区域在 $u \gg 1$ 处，实际上关于 $r ( u )$ 的积分方程在 $u \gg 1$ 时的渐近形式为 $r ( u ) \to \pi \cot ( \pi s / 2 ) u^{s}$ 。$u \ll 1$ 处的行为出现在最低频率 $( \omega \ll \omega_{*} )$，对应于探测 $m ( y ) \approx m_{0}$ 的区域。从 $r ( u )$ 的积分方程，我们得到当 $u \ll 1$ 时 $\begin{array} {r} {r ( u ) \approx 1 + \frac{2 \pi} {\sin ( \pi s )} u^{\dot{s}}} \end{array}$。通过将 $s = 0.8$ 和 $m_{0} = 5 \times 10^{-7} ~ ( b = 1.27 )$ 时的 $m ( y )$ 数值解进行比较，验证了这两个解析推导的渐近行为 [见图 S3（右图）]。
附录 G：相关长度指数#
临界指数 ν 可以从标度函数 $r ( u )$ 的方程中提取，该函数在临界区域和非临界区域之间进行插值。主要思想源于注意到关于 $r ( u )$ 的方程
$$ r ( u ) = \int_{0}^{\infty} {\frac{2} {2 \pi}} {\frac{udz} {\left( u^{2} + z^{2} \right) \int_{0}^{\infty} {\frac{x^{s + 1} d x} {\left( x^{2} + z^{2} \right) \left[ r ( x ) \right]^{2}}}}}\tag{S1} $$如果忽略 $r ( 0 ) = 1$ 的要求，其精确解为 $r_{c} ( u ) = \pi \cot ( \pi s / 2 ) u^{s}$ ，这对应于处于临界点。边界条件 $r ( 0 ) = 1$ 意味着在极低能量下，系统进入离域相，即使在 $u \gg 1$ 时它显示临界行为 $[ r ( u ) r_{c} ( u ) ]$ 。这进一步意味着在大 $u$ 处，$r ( u )$ 略微偏离 $r_{c} ( u )$ ，我们假设这种偏离是幂律形式的
$$ r ( u ) = B u^{s} \left( 1 + \frac{C} {u^{t}} \right) ,\tag{S2} $$其中 $B = \pi \cot ( \pi s / 2 )$，$C$ 是比例常数，$t > 0$ 是我们试图确定的指数。注意 $t > 0$，因为我们考虑的是 $r_{c} ( u )$ 附近的微扰。由于在 $u \gg 1$ 时，外积分和内积分分别由 $z \gg 1$ 和 $x \gg 1$ 主导，我们如下简化内积分
$$ \int_{0}^{\infty} {\frac{x^{s + 1} d x} {( x^{2} + z^{2} ) [ r ( x ) ]^{2}}} \approx \int_{0}^{\infty} {\frac{x^{1 - s} d x} {B^{2} ( x^{2} + z^{2} ) ( 1 + {\frac{2 C} {x^{t}}} )}} \approx{\frac{1} {B^{2}}} \left( \int_{0}^{\infty} {\frac{x^{1 - s} d x} {x^{2} + z^{2}}} - 2 C \int_{0}^{\infty} {\frac{x^{1 - s - t} d x} {x^{2} + z^{2}}} \right) ,\tag{S3} $$这里我们假设 $x \sim 1$ 附近的区域对积分只贡献次主导阶（关于 $z$ ）。将其代入外积分得到
$$ \begin{array} {l} {r ( u ) \approx \displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{udz} {\pi ( z^{2} + u^{2} )} \times \displaystyle \frac{1} {\frac{1} {B^{2}} \left( \int_{0}^{\infty} \frac{x^{1 - s} d x} {x^{2} + z^{2}} - 2 C \int_{0}^{\infty} \frac{x^{1 - s - t} d x} {x^{2} + z^{2}} \right)}} \\ {\approx \displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{udz} {\pi ( z^{2} + u^{2} )} \times \frac{1} {\frac{1} {B^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{1 - s} d x} {x^{2} + z^{2}}} \times \left( 1 + 2 C \frac{\int_{0}^{\infty} \frac{x^{1 - s - t} d x} {x^{2} + z^{2}}} {\int_{0}^{\infty} \frac{x^{1 - s} d x} {x^{2} + z^{2}}} \right)} \\ {= B^{2} u^{s} \frac{\int_{0}^{\infty} \frac{z^{s} d z} {z^{2} + 1}} {\int_{0}^{\infty} \frac{x^{1 - s} d x} {x^{2} + 1}} \left( 1 + \frac{2 C} {u^{t}} \frac{\int_{0}^{\infty} \frac{x^{1 - s - t} d x} {x^{2} + 1} \times \int_{0}^{\infty} \frac{z^{s - t} d z} {z^{2} + 1}} {\int_{0}^{\infty} \frac{x^{1 - s} d x} {x^{2} + 1} \times \int_{0}^{\infty} \frac{z^{s} d z} {z^{2} + 1}} \right) .} \end{array}\tag{S4} $$与原始假设自洽得到 $B = \pi \cos ( \pi s / 2 )$ 同前，以及
$$ \begin{array} {r l r} & {} & {2 \frac{\int_{0}^{\infty} \frac{x^{1 - s - t} d x} {x^{2} + 1} \times \int_{0}^{\infty} \frac{z^{s - t} d z} {z^{2} + 1}} {\int_{0}^{\infty} \frac{x^{1 - s} d x} {x^{2} + 1} \times \int_{0}^{\infty} \frac{z^{s} d z} {z^{2} + 1}} = 1 \longrightarrow \sin ( \pi s ) = \cos \left[ \frac{\pi} {2} ( s - t ) \right] \sin \left[ \frac{\pi} {2} ( s + t ) \right]} \\ & {} & {\longrightarrow \left[ \sin ( \pi s ) = \sin ( \pi t ) \right]} \end{array}\tag{S5} $$常数 $C$ 通过这些论证无法确定。关于 $t$ 的方程有许多解，但重要的一个是 $t > 0$ 的最小值，这导致
$$ \boxed{t = \operatorname*{min} ( s , 1 - s )}\tag{S6} $$为了将其与控制参数距其临界值的距离 $b - b_{c}$ 联系起来，我们使用 $r ( u )$ 的渐近形式得到
$$ m ( y ) = m_{0} r ( y / y_{*} ) \approx \pi \cot ( \pi s / 2 ) m_{0} \left( y / y_{*} \right)^{s} \left[ 1 + \frac{C} {( y / y_{*} )^{t}} \right] $$$$ m ( y ) \approx \pi b \cot ( \pi s / 2 ) y^{s} \left( 1 + \frac{m_{0}^{t / s} C} {b^{t / s} y^{t}} \right) .\tag{S7} $$主导行为与 $m_{0}$ 无关，这是预期的，因为临界时 $m_{0} = 0$。因此次主导行为量化了与临界的偏离，并且当 $m_{0}$ 趋于 0 时它明显消失。$m ( y )$ 的这一行为在频率 $\omega > \omega_{\ast}$ 处达到，出现在相对较高的能量（尽管仍有 $y \ll 1$），此时可以安全地考虑关于临界点的微扰论
$$ m ( y ) = m_{c} ( y ) + | b - b_{c} | m_{c}^{( 1 )} ( y ) + \dots\tag{S8} $$比较次主导项的依赖关系，我们得到
$$ m_{0}^{t / s} \propto | b - b_{c} | {} m_{0} \propto | b - b_{c} | ^{s / t} \propto | b - b_{c} | ^{\operatorname*{max} ( 1 , \frac{s} {1 - s} )} ,\tag{S9} $$这就是 $\operatorname{E q .} \ ( ? ? )$ 。在离域相 $( \theta = 0 )$ 中使用方程(6)，我们有 $| \alpha_{\Delta} - \alpha_{\Delta}^{c} | \propto | b - b_{c} |$（指数中的积分是收敛的，因此不修改此关系）。因此
在$s = 0.5$时，这两个指数是简并的，因此我们预期会有对数修正。
应用关联位移幺正变换后，哈密顿量由式(S1)给出，为方便参考，我们将其复制于此。
$$ \begin{array} {l} {{\displaystyle \hat{H}_{c} = \mathcal{D}_{c}^{\dagger} \hat{H} \mathcal{D}_{c} = \frac{\Delta} {2} \left[ \hat{\sigma}_{+} e^{- \sum_{\beta} q_{\beta} ( \hat{\alpha}_{\beta} - \hat{\alpha}_{\beta}^{\dagger} )} + \hat{\sigma}_{-} e^{\sum_{\beta} q_{\beta} ( \hat{\alpha}_{\beta} - \hat{\alpha}_{\beta}^{\dagger} )} \right] + \sum_{\beta} ( g_{\beta} - \omega_{\beta} q_{\beta} ) \hat{s}_{z} ( \hat{\alpha}_{\beta} + \hat{a}_{\beta}^{\dagger} ) + \sum_{\beta} \omega_{\beta} \hat{a}_{\beta}^{\dagger} \hat{a}_{\beta}}} \\ {{\displaystyle + \sum_{\beta} \frac{\left( g_{\beta} - \omega_{\beta} q_{\beta} \right)^{2}} {4 \omega_{\beta}} - \sum_{\beta} \frac{g_{\beta}^{2}} {4 \omega_{\beta}}}} \end{array}\tag{S1} $$现在假设我们处于退定域相，并且已经完成了最小化过程，因此$q_{\beta}$由下式给出
$$ q_{\beta} = \frac{g_{\beta}} {\omega_{\beta} + D m ( \omega_{\beta} / D )}\tag{S2} $$其中没有自旋旋转或非关联位移。为简化符号，我们将写作$m ( \omega_{\beta} / D ) = m_{\beta}$。如果我们对指数进行正规排序（相对于变分高斯态$| \phi \rangle$），并将其展开到二阶，那么得到的哈密顿量为
$$ \begin{array} {l} {\displaystyle \hat{H}_{c} \approx D \left( \hat{s}_{x} + \frac 12 \right) + : \sum_{\beta} \hat{a}_{\beta}^{\dagger} \hat{a}_{\beta} - D \hat{s}_{x} \sum_{\beta \beta^{\prime}} q_{\beta} q_{\beta^{\prime}} \hat{p}_{\beta} \hat{p}_{\beta^{\prime}} : + E_{\mathrm{gnd}}} \\ {\displaystyle - i D \left\{\underbrace{\left[ \sum_{\beta} \left( \frac{m_{\beta} \hat{x}_{\beta} + i \hat{p}_{\beta}} {\sqrt{2}} \right) q_{\beta} \right]}_{\hat{\beta}} \hat{\sigma}_{+}^{x} - \underbrace{\left[ \sum_{\beta} \left( \frac{m_{\beta} \hat{x}_{\beta} - i \hat{p}_{\beta}} {\sqrt{2}} \right) q_{\beta} \right]}_{\hat{\beta}^{\dagger}} \hat{\sigma}_{-}^{x} \right\} ,} \end{array}\tag{S3} $$其中$\hat{\sigma}_{\pm}^{x} = \hat{s}_{y} {\pm} i \hat{s}_{z}$是$\hat{s}_{x}$的升/降算符，而$E_{\mathrm{gnd}}$是变分基态能量。此外，伴随$\hat{\sigma}_{+}^{x}$的算符$\hat{B}$湮灭了变分基态$| \phi \rangle$。因此$\left| - x \right. \left| \phi \right.$是该哈密顿量的精确基态。然后我们可以询问一个单激发如何被杂质自旋散射。当自旋翻转时，$\hat{p}_{k} \hat{p}_{k^{\prime}}$项改变符号，因此它将从$\left| - \overset{\cdot} {x} \right. \left| \phi \right.$中产生粒子。我们投影到粒子数守恒的扇区以避免这一过程。因为在此近似下没有多粒子产生，$11$通道本身应该是幺正的，最终结果只是散射光子获得了相移。这正是我们想要的结果。我们可以通过[S39, S40]中为磁性杂质概述的形式来获得此相移，这需要时间编序的格林函数
$$ G_{k k^{\prime}}^{F} ( E ) = \langle \hat{a}_{k} \frac{1} {E - ( \hat{H}_{c} - E_{\mathrm{gnd}} ) + i \epsilon} \hat{a}_{k^{\prime}}^{\dagger} \rangle - \langle \hat{a}_{k^{\prime}}^{\dagger} \frac{1} {E + \hat{H}_{c} - E_{\mathrm{gnd}} - i \epsilon} \hat{a}_{k} \rangle ,\tag{S4} $$其中尖括号是相对于变分基态$\left| - x \right. \left| \phi \right.$取的。$T$矩阵元则由下式给出
$$ T ( E , E^{\prime} ) = - 2 \pi \delta ( E - E^{\prime} ) \Big [ ( E - \omega_{k} ) ( E - \omega_{k^{\prime}} ) G_{k k^{\prime}}^{F} ( E ) \Big ]_{\omega_{k} , \omega_{k^{\prime}} E}\tag{S5} $$当我们去除传入/传出光子（即$E - \omega_{k}$因子）并将振幅置于壳上（在正能量$E = \omega_{k} )$时，$G^{\check{F}} ( E )$的第二项将没有贡献，因此我们只关注
$$ G_{k k^{\prime}} ( E ) = \langle \hat{a}_{k} \frac{1} {E - ( \hat{H}_{c} - E_{\mathrm{gnd}} ) + i \epsilon} \hat{a}_{k^{\prime}}^{\dagger} \rangle .\tag{S6} $$由于只有单激发扇区发生耦合，我们得到
$$ G_{k k^{\prime}} ( E ) = \langle \hat{a}_{k} \hat{G}_{-} \hat{a}_{k^{\prime}}^{\dagger} \rangle_{\phi} + D^{2} \frac{\langle \hat{a}_{k} \hat{G}_{-} \hat{B}^{\dagger} \rangle_{\phi} \times \langle \hat{B} \hat{G}_{-} {a}_{k^{\prime}}^{\dagger} \rangle_{\phi}} {E - D - D^{2} \langle \hat{B} \hat{G}_{-} \hat{B}^{\dagger} \rangle_{\phi}} ,\tag{S7} $$其中平均值现在仅针对玻色子态 |ϕ⟩ 进行计算，且 $\hat{G}_{-} = ( E - \hat{H}_{b} + i \epsilon )$ 以及 $\begin{array} {r} {\hat{H}_{b} = : \sum_{k} \omega_{k} \hat{a}_{k}^{\dagger} \hat{a}_{k} +} \end{array}$ $\begin{array} {r} {D \sum_{k} \hat{p}_{k} \hat{p}_{k^{\prime}} q_{k} q_{k^{\prime}} / 2} \end{array}$ : 是相对于 |ϕ⟩ 正态排序的。由于 $\hat{H}_{b}$ 是玻色子算符的二次型，多体格林函数 $G_{k k^{\prime}} ( E )$ 可以完全用单粒子量表示。为此，我们引入南部矢量 $\hat{v}^{T} = ( \hat{x}_{k} \hat{p}_{k} )$，其中 $k \mathrm{{s}}$ 充当指标。那么
$$ \tilde{G} ( E ) = \langle \phi | \hat{v} G_{-} ( E ) \hat{v}^{T} | \phi \rangle = \frac{1} {2} \underbrace{\left( {\begin{array} {c c} {W^{- 1 / 2}} & {0} \\ {0} & {W^{1 / 2}} \end{array}} \right)}_{f ( W )} \frac{1} {E - \Omega + i \epsilon} \left( {\begin{array} {c c} {\Omega} & {i} \\ {- i} & {\Omega^{- 1}} \end{array}} \right) \left( {\begin{array} {c c} {W^{- 1 / 2}} & {0} \\ {0} & {W^{1 / 2} ,} \end{array}} \right)\tag{S8} $$其中 $W = \mathrm{diag} ( \omega_{k} )$ 是一个频率对角矩阵，$\Omega^{2} = W^{2} + D W^{1 / 2} q q^{T} W^{1 / 2}$ 是 $\hat{H}_{b}$ 的简正模频率，为了简便，我们引入了 $f ( W )$。出现在 $G_{k k^{\prime}} ( E )$ 中的各种两点函数随后通过适当的投影获得。利用预解式方法，我们可以将其表示为
$$ \begin{array} {l} {{\displaystyle \tilde{G} ( E ) = \frac{f ( W )} {2} \oint_{\cal C} \frac{du} {\pi i} \frac{1} {E - u + i \epsilon} \left( \begin{array} {c} {{u^{2} ~ i u}} \\ {{- i u ~ 1}} \end{array} \right) \frac{1} {u^{2} - \Omega^{2}} f ( W )}} \\ {{\displaystyle ~ = \frac{f ( W )} {2} \oint_{\cal C} \frac{du} {\pi i} \frac{1} {E - u + i \epsilon} \left( \begin{array} {c} {{u^{2} ~ i u}} \\ {{- i u ~ 1}} \end{array} \right) \left[ \frac{1} {u^{2} - W^{2}} + \frac{D} {1 - D \Big ( q^{T} \frac{W} {u^{2} - W^{2}} q \Big )} \frac{W^{1 / 2}} {u^{2} - W^{2}} q q^{T} \frac{W^{1 / 2}} {u^{2} - W^{2}} \right] f ( W ) ,}} \end{array}\tag{S9} $$其中围道 C 沿逆时针方向包围实轴。那么，例如
$$ \begin{array} {r l} & {D \left. \phi \right| \hat{B} G_{-} ( \boldsymbol{F} ) \hat{B}^{\dagger} \left| \phi \right. = 2 D \left( \begin{array} {l} {0} \\ {\boldsymbol{q}^{T}} \end{array} \right) \bar{G} ( \boldsymbol{F} ) \left( \begin{array} {l} {0} \\ {0} \end{array} \right)} \\ & {\quad \quad = \oint_{c} \frac{du} {\pi i} \frac{1} {\boldsymbol{F} - \boldsymbol{u} + i \epsilon} \times \frac{1} {1 - D \left( \boldsymbol{q}^{T} \frac{W} {w^{2} - W^{2}} \boldsymbol{q} \right)}} \\ & {\quad \quad = - 1 + \frac{2} {\pi} \displaystyle \int_{0}^{\infty} d u \frac{\boldsymbol{F}} {E^{2} + u^{2}} \frac{1} {1 + D \left( \boldsymbol{q}^{T} \frac{W} {\kappa^{2} + W^{2}} \boldsymbol{q} \right)} + \frac{2 \theta \left( \boldsymbol{E} \right)} {1 - D \left( \boldsymbol{q}^{T} \frac{W} {\left( \boldsymbol{F} + \boldsymbol{\hat{\kappa}} \right)^{2} - W^{2}} \boldsymbol{q} \right)}} \\ & {\quad \quad = - 1 - m ( \boldsymbol{E} / D ) + \frac{2 \theta \left( \boldsymbol{F} \right)} {1 - D \left( \boldsymbol{q}^{T} \frac{W} {\left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{\hat{\kappa}} \right)^{2} - W^{2}} \boldsymbol{q} \right)} .} \end{array}\tag{S10} $$类似地，我们可以计算截肢的壳上振幅（在将 u 围道 C 旋转到虚轴后，该振幅选取极点）
$$ \begin{array} {r l} & {( E - \omega_{k} ) ( E - \omega_{k^{\prime}} ) \left. \phi \right. \hat{a}_{k} G_{-} ( E ) \hat{a}_{k^{\prime}} \vert \phi \rangle = ( E - \omega_{k} ) ( E - \omega_{k^{\prime}} ) \frac{\big ( 1 \big )} {\sqrt{2}} \left. \tilde{G}_{k k^{\prime}} ( E ) \left( \frac{1} {- i} \right) / \sqrt{2} \right. _{\omega_{k} , \omega_{k^{\prime}} \to E}} \\ & {\qquad = \frac{1} {2} \left( 1 \textit{\ i} \right) \frac{f ( E )} {2} \left( \frac{2 \pi i} {\pi i} \right) \left( \frac{E^{2}} {- i E} \overset{i \in} {1} \right) \frac{E^{1 / 2}} {2 E} \frac{q_{k}^{2}} {1 - D \left( q^{T} \frac{W} {( E + i \varepsilon )^{2} - W^{2}} q \right)} \frac{E^{1 / 2}} {2 E} f ( E ) \left( \frac{1} {- i} \right)} \end{array} $$$$ \left. \left( E - \omega_{k} \right) \left( E - \omega_{k^{\prime}} \right) \left. \phi | \hat{a}_{k} G_{-} ( E ) \hat{a}_{k^{\prime}} | \phi \right. \right| _{\omega_{k} , \omega_{k^{\prime}} \to E} = \frac{D q_{k}^{2} / 2} {1 - D \left( q^{T} \frac{W} {( E + i \epsilon )^{2} - W^{2}} q \right)}\tag{S11} $$最后，我们还需要自旋翻转贡献的振幅
$$ \begin{array}{c} \begin{array} {r l} & {( E - \omega_{k} ) \left. \hat{a}_{k} G_{-} ( E ) \hat{B}^{\dagger} \right. = - \sqrt{2} i ( E - \omega_{k} ) \frac{\left( 1 \begin{array} {l} {i} \end{array} \right)} {\sqrt{2}} \tilde{G}_{k} ( E ) \left( \begin{array} {l} {0} \\ {q} \end{array} \right) \bigg \vert_{\omega_{k} \to E}} \\ & {\qquad = - i \left( 1 \begin{array} {l} {i} \end{array} \right) \frac{f ( E )} {2} \left( \frac{2 \pi i} {\pi i} \right) \left( \frac{E^{2}} {- i E} \begin{iE} {1} \end{array} \right) \left( 1 \right) \frac{E^{1 / 2}} {2 E} \frac{q_{k}} {1 - D \left( q^{T} \frac{W} {( E + i \epsilon )^{2} - W^{2}} q \right)}} \end{array}\tag{S12} $$$$ \left( E - \omega_{k} \right) \left. \hat{a}_{k} G_{-} ( E ) \hat{B}^{\dagger} \right. = \frac{q_{k}} {1 - D \left( q^{T} \frac{W} {( E + i \epsilon )^{2} - W^{2}} q \right)} $$因此，完整的截肢格林函数为
$$ \begin{array} {l} {{( E - \omega_{k} ) ( E - \omega_{k^{\prime}} ) G_{k k^{\prime}} ( E ) \Big | _{\omega_{k} , \omega_{k^{\prime}} \to E}}} \\ {{= \displaystyle \frac{D q_{k}^{2} / 2} {1 - D \Big ( q^{T} \frac{W} {( E + i \epsilon )^{2} - W^{2}} q \Big )} \left\{1 + \frac{2 D} {\Big [ 1 - D \Big ( q^{T} \frac{W} {( E + i \epsilon )^{2} - W^{2}} q \Big ) \Big ] \Big [ E + D m ( E / D ) \Big ] - 2 D} \right\}}} \end{array}\tag{S13} $$得到的 $11 \ S .$ -矩阵由下式给出
$$ S ( E , E^{\prime} ) = 2 \pi \delta ( E - E^{\prime} ) \frac{\left[ y + m ( y ) \right] \left[ 1 - 2 \alpha_{D} \int^{\prime} \frac{x^{s + 1} d x} {\left[ m ( x ) + x \right]^{2} ( y^{2} - x^{2} )} - \frac{i \pi \alpha_{D} y^{s}} {( y + m ( y ) )^{2}} \right] - 2} {\left[ y + m ( y ) \right] \left[ 1 - 2 \alpha_{D} \int^{\prime} \frac{x^{s + 1} d x} {\left[ m ( x ) + x \right]^{2} ( y^{2} - x^{2} )} + \frac{i \pi \alpha_{D} y^{s}} {( y + m ( y ) )^{2}} \right] - 2} ,\tag{S14} $$这仅仅是一个相移，带撇号的积分是主值积分。我们可以在不同区域（$\omega \ll \omega_{*} , \omega_{*} \ll \omega \ll D , D \gg \omega$）中提取相移。在低能下（$y \ll 1 \omega \ll D$），分母中的 $m ( y )$ 占主导，因此
$$ S ( E , E^{\prime} ) \approx 2 \pi \delta ( E - E^{\prime} ) \times \frac{- 2 \alpha_{D} \int^{\prime} \frac{x^{s + 1} d x} {\left[ m ( x ) \right]^{2} ( y^{2} - x^{2} )} - \frac{i \pi \alpha_{D} y^{s}} {\left[ m ( y ) \right]^{2}} - \frac{2} {m ( y )}} {- 2 \alpha_{D} \int^{\prime} \frac{x^{s + 1} d x} {\left[ m ( x ) \right]^{2} ( y^{2} - x^{2} )} + \frac{i \pi \alpha_{D} y^{s}} {\left[ m ( y ) \right]^{2}} - \frac{2} {m ( y )}} ,\tag{S15} $$在临界区域 $\omega_{*} \ll \omega \ll D$ 中，该表达式由 m(y) ≈ πα$_{D}$ cot $( \pi s / 2 ) y^{s}$ 主导。在非临界区域 $\omega \ll \omega_{*}$ 中，相移由 $m ( y ) \approx m_{0} + 2 \pi \alpha_{D} y^{s} / \mathrm{sin} ( \pi s )$ 主导。这导致
$$ S ( E , E^{\prime} ) = 2 \pi \delta ( E - E^{\prime} ) \times \left\{\begin{array} {l l} {e^{i \pi s}} & {\omega_{*} \ll \omega \ll D} \\ {1 + 2 \pi i ( \omega / \omega_{*} )^{2}} & {\omega \ll \omega_{*}} \end{array} \right.\tag{S16} $$附录 I：利用 CFT 方法进行散射#
这里我们使用 CFT 方法计算 $11$ 粒子通道中的散射矩阵元。为此，我们采用文献 [S39, S40] 中发展的 LSZ 形式，但再次聚焦于推迟传播子
$$ G_{\beta} = - i \theta ( t ) \langle \mathrm{gnd} | [ \hat{a}_{\beta} ( t ) , \hat{a}_{\beta}^{\dagger} ] | \mathrm{gnd} \rangle .\tag{S1} $$利用海森堡运动方程，我们得到以下精确关系
$$ \begin{array} {r l} & {\dot{G}_{\beta} = - i \omega_{\beta} G_{\beta} - i g_{\beta} F_{\beta} - i \delta ( t - t^{\prime} )} \\ & {\dot{F}_{\beta} = - i \omega_{\beta} F_{\beta} - i g_{\beta} Z Z ( t ) ,} \end{array}\tag{S2} $$其中 $F_{\beta} ( t ) = - i \left. \mathrm{gnd} | [ \hat{s}_{z} ( t ) , \hat{a}_{\beta}^{\dagger} ] | \mathrm{gnd} \right.$ 且 $Z Z ( t ) = - i \left. \mathrm{gnd} | [ \hat{s}_{z} ( t ) , \hat{s}_{z} ] | \mathrm{gnd} \right.$。因此在频率空间中，我们得到关系（由于不影响结果，我们省略了 iϵ 方案）
因此，相关的 T 矩阵元由下式给出
$$ T ( E ) = - 2 \pi \delta ( E - E^{\prime} ) 2 \pi \times 2 \alpha \omega_{c}^{1 - s} E^{s} \times Z Z ( E ) .\tag{S4} $$关联函数 $Z Z ( E )$ 涉及边界上的算符，因此在临界点处，它应表现出由底层 CFT 决定的幂律行为。结果表明，$\hat{s}_{z}$ 的主要贡献来自一个具有受保护标度维度的算符，该维度固定为 $( 1 - s ) / 2 \ [ \mathrm{S} 41 , \mathrm{S} 42 ]$。因此，在欧几里得时间、实时和频率中，我们有
$$ Z Z ( \tau ) = \frac{C} {\tau^{1 - s}} Z Z ( t ) = - \frac{2 C \sin [ \pi ( 1 - s ) / 2 ] \theta ( t )} {t^{1 - s}} Z Z ( E ) = - \frac{2 C \sin [ \pi ( 1 - s ) / 2 ] \Gamma ( s )} {E^{s}} e^{i \pi s / 2} ;\tag{S5} $$其中 C 是实常数。因此
$$ S_{E , E^{\prime}} = 2 \pi \delta ( E - E^{\prime} ) \left( 1 + i C^{\prime} e^{i \pi s / 2} \right) ,\tag{S6} $$尽管系数 $C^{\prime} > 0$ 未确定，但 $T$ 矩阵的相移由共形不变性固定。如果进一步要求不存在多粒子散射，则 $C^{\prime}$ 被固定为 $C^{\prime} = 2 \sin ( \pi s / 2 ) $，从而得到 $S ( E , E^{\prime} ) = 2 \pi \delta ( E - E^{\prime} ) e^{i \pi s}$。
附录 J：自旋取向与 M(0) 的关系#
这里我们展示，通过对角度进行极小化得到的方程
$$ ( \cos \theta )^{2} = 2 b \int_{0}^{y_{c}} \frac{y^{s - 1} m ( y )^{2} d y} {\left[ y + m ( y ) \right]^{2}}\tag{S1} $$可以改写为 $( \sin \theta )^{2} = m_{0}$ 。我们从 $m ( y )$ 的积分方程开始
$$ m ( y ) = \int_{0}^{\infty} \frac{2 y d z} {y^{2} + z^{2}} \times \frac{1} {1 + 2 b J ( z )} ,\tag{S2} $$其中我们定义了
$$ J ( z ) = \int_{0}^{y_{c}} \frac{x^{s + 1} d x} {( x^{2} + z^{2} ) [ x^{2} + m ( x ) ]^{2}} .\tag{S3} $$将方程 (S2) 代入角度的方程（仅代入分子部分）得到
$$ ( \cos \theta )^{2} = 2 b \int_{0}^{y_{c}} {\frac{y^{s - 1} d y} {[ y + m ( y ) ]^{2}}} \int_{0}^{\infty} d z_{1} \int_{0}^{\infty} d z_{2} {\frac{y d z_{1} y d z_{2}} {( y^{2} + z_{1}^{2} ) ( y^{2} + z_{2}^{2} )}} \times{\frac{1} {[ 1 + 2 b J ( z_{1} ) ] [ 1 + 2 b J ( z_{2} ) ]}} .\tag{S4} $$对分母进行有理化，交换积分顺序，并完成对 y 的积分，我们得到
$$ \begin{array} {c} {{( \cos \theta )^{2} = 2 b \displaystyle \int_{0}^{\infty} d z_{1} \displaystyle \int_{0}^{\infty} d z_{2} \displaystyle \frac{d z_{1} d z_{2}} {( z_{1}^{2} - z_{2}^{2} )} \displaystyle \frac{J ( z_{1} ) - J ( z_{2} )} {[ 1 + 2 b J ( z_{1} ) ] [ 1 + 2 b J ( z_{2} ) ]}}} \\ {{= \displaystyle \int_{0}^{\infty} d z_{1} \displaystyle \int_{0}^{\infty} d z_{2} \displaystyle \frac{d z_{1} d z_{2}} {( z_{2}^{2} - z_{1}^{2} )} \left[ \displaystyle \frac{1} {1 + 2 b J ( z_{2} )} - \displaystyle \frac{1} {1 + 2 b J ( z_{1} )} \right] .}} \end{array}\tag{S5} $$后一种形式计算结果为
$$ ( \cos \theta )^{2} = 1 - \frac{1} {1 + 2 b J ( 0 )} .\tag{S6} $$现在注意到，如果在式(S2)中对 $z z y$ 作相应处理，然后令 $y = 0$，则得到关系式
$$ m ( 0 ) = m_{0} = \frac{1} {1 + 2 b J ( 0 )} = 1 - ( \cos \theta )^{2} = ( \sin \theta )^{2} ,\tag{S7} $$这正是我们要证明的结论。
阅读笔记#
一句话概括#
本文针对亚欧姆自旋玻色子模型（谱指数 $0
核心论证链#
构造更一般的变分流形 — 将波函数写为 $|\psi\rangle=\mathcal{D}_c\mathcal{D}_u\hat{R}_y(\theta)|{-x}\rangle|\phi\rangle$，其中 $\mathcal{D}_c$ 为含自旋‑玻色子纠缠的关联位移，$\mathcal{D}_u$ 为非关联位移，$\hat{R}_y(\theta)$ 为自旋旋转，$|\phi\rangle$ 为零均值高斯态。为什么这么做：传统相干态极化子只包含位移自由度（线性变换），无法描述浴模的压缩（squeezing），而这种压缩在高频区对基态能量有显著贡献。结论：变分流形从 $2N$ 维（$N$ 个位移参数）扩展为 $N+N(N+1)/2$ 维（位移 + 高斯协方差），更充分地捕捉了浴模的量子涨落。
用关联位移化简哈密顿量 — 施加 $\mathcal{D}_c^\dagger\hat{H}\mathcal{D}_c$ 变换将关联位移吸收进哈密顿量的显式形式（式 S1），得到含参数 $q_\beta$（关联位移强度）的重整化哈密顿量。为什么这么做：变换后的哈密顿量中自旋与玻色子的纠缠被显式解耦，使后续可在无自发纠缠的参考系中对 $|\phi\rangle$ 做高斯变分。结论：变换后的哈密顿量中自旋‑玻色子耦合项变为 $\propto (g_\beta-\omega_\beta q_\beta)\hat{s}_z(\hat{a}_\beta+\hat{a}_\beta^\dagger)$，可通过选择 $q_\beta$ 消除至一阶。
对高斯态 $|\phi\rangle$ 做变分 — 在约束 $\langle\phi|\phi\rangle=1$ 下对 $|\phi\rangle$ 变分，得到关于 $\hat{X}$、$\hat{P}$ 的高斯本征值方程（式 S4），并利用预解式技巧写出关联函数 $\langle\hat{P}\hat{P}^T\rangle$ 的紧凑形式（式 S8–S9）。为什么这么做：高斯变分等价于在 Wigner 函数为高斯形的流形中寻找能量极值，$\langle\hat{P}\hat{P}^T\rangle$ 编码了压缩的信息。结论：$\langle\hat{P}\hat{P}^T\rangle$ 可写为对角矩阵加秩‑1 扰动的预解式，这为后续推导 $m(y)$ 的积分方程铺平了道路。
推导 $q_\beta$ 和 $m(y)$ 的自洽方程 — 分别对 $q_\beta$ 和 $\alpha_\beta$（非关联位移参数）做变分得到式 (S5)，消去 $\alpha_\beta$ 后得到 $q_\beta=\frac{g_\beta\cos\theta}{\omega_\beta\cos\theta+D\,m(\omega_\beta\cos\theta/D)}$（式 4），其中 $m(y)$ 满足非线性积分方程（式 5）。为什么这么做：$m(y)$ 是压缩效应的核心量，它的自洽方程封闭了整个变分问题。结论：$m(y)$ 在 $y$ 小的区域由 $b$ 和 $s$ 唯一确定，其低频行为直接决定是否发生局域化相变。
对自旋旋转角 $\theta$ 做变分并建立相变判据 — 对 $\theta$ 变分得到 $(\cos\theta)^2=2b\int_0^{y_c}y^{s-1}m(y)^2/[y+m(y)]^2\,dy$（式 6），并证明 $\sin^2\theta=m(0)=m_0$（附录 J）。为什么这么做：$\theta$ 控制着自旋从 $x$ 方向偏转的程度，$\theta\neq0$ 标志着局域化的出现。结论：$m_0\to0^+$ 对应于连续相变的临界点，$m_0>0$ 对应局域相。
推导重正化隧穿分裂 $D$ 的自洽方程 — $D=\Delta\exp\{-b/(\cos\theta)^2\int_0^{y_c}m(v)v^s/[v+m(v)]^2dv\}$（式 7）。为什么这么做：浴模的零涨落通过指数因子压制裸隧穿，$D$ 是唯一携带能量量纲的标度。结论：$D$、$m(y)$、$\theta$ 三者通过式 (5)‑(7) 构成一个完整的封闭方程组，任何物理量都可通过这组方程计算。
解析抽取临界指数 — 在 $y\ll1$ 下假设 $m(y)\sim B y^p$ 并代入积分方程，得到 $p=s$ 和 $B=\pi b\cot(\pi s/2)$（附录 E）；在 $b\to b_c$ 附近引入标度函数 $r(u)=m(y)/m_0$，通过微扰展开得到 $m_0\sim|b-b_c|^{\max(1,\,s/(1-s))}$ 和 $\nu=1/(1-s)$（附录 G）。为什么这么做：临界指数刻画了相变的普适类，数值上可直接验证。结论：指数在 $s=0.8$ 时数值结果为 $3.986\pm0.001$，与理论值 $s/(1-s)=4$ 吻合。
计算散射相移并与 CFT 比较 — 在离域相构造单激发格林函数，得到 $S$ 矩阵仅含一个能量依赖的相移（附录 H），在低能临界区 $\omega_*\ll\omega\ll D$ 内可化简为 $e^{i\pi s}$。为什么这么做：散射实验是探测量子临界动力学的直接手段。结论：该相移与边界 CFT 分析的结果（利用 $\hat{s}_z$ 算符的标度维度 $\Delta=(1-s)/2$ 固定）一致，验证了压缩极化子波函数在低频动力学上的正确性。
实验参数详解#
| 参数 | 数值/范围 | 含义 |
|---|---|---|
| $s$ | 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 | 亚欧姆浴谱指数，谱函数 $J(\omega)\propto\omega^s$ |
| $\omega_c/\Delta$ | 10（数值对比）、$\infty$（标度极限） | 浴截止频率与裸隧穿分裂之比 |
| $\alpha = g^2/(2\omega_c^{1+s})$ | 0.0069–0.360（取决于 $s$ 和相变点） | 无量纲耦合强度 |
| $\alpha_\Delta = \alpha(\omega_c/\Delta)^{1-s}$ | 标度极限下的无量纲耦合 | 标度不变的耦合参数 |
| $b = \alpha_D (\cos\theta)^{3-s}$ | 扫描至 $b_c$（如 $s=0.8$ 时 $b_c\approx 1.28$） | 变分后的有效耦合参数 |
| $y_c = \omega_c\cos\theta/D$ | $\sim 10$–$10^3$（数值迭代收敛值） | 无标度化的截止频率 |
| $\theta$ | $0$（离域相）或 $\theta>0$（局域相） | 自旋旋转角，$\sin^2\theta=m_0$ |
| $m_0 = m(0)$ | $0$（临界点）至 $1$（强局域化） | 零频压缩幅度 |
| $D$ | $\Delta$ 经浴重整化后的隧穿分裂 | 有效隧穿矩阵元，由式 (7) 自洽确定 |
| 数值网格节点数 | 8000（Gauss‑Legendre），$p=2.5$–$3.5$ | 保证小 $y,z$ 区域的积分精度 |
| $b$ 临界扫描精度 | 2–4 轮精细化，相对误差 $0.5\%$ | 确定 $b_c$ 所在区间 |
| 临界指数拟合值（$s=0.8$） | $3.986\pm0.001$ | $m_0\sim\lvert b-b_c\rvert^\beta$，理论 $\beta=s/(1-s)=4$ |
批判性思考#
1. 高斯约束的上限能力 — 压缩极化子将变分流形限制在零均值高斯态，这意味着所有奇数阶关联函数为零、偶数阶关联完全由协方差矩阵决定。对于亚欧姆浴，当 $s<0.5$ 时红外奇异性增强，浴模之间可能产生三阶以上的非高斯关联（例如 $\langle\hat{x}_\beta\hat{x}_\gamma\hat{x}_\delta\rangle\neq0$），高斯流形无法捕捉这些结构。相比之下，变分多极化子（VPA）虽计算更昂贵，但可描述非高斯的多极化子纠缠。本文未给出任何定量判据（如累积量展开的截断误差）来说明高斯近似在哪个 $s$ 区间失效。
2. 积分方程迭代收敛性的数学风险 — 附录 C 采用逐次迭代 $m_{n+1}=F[m_n]$ 求解式 (5)，收敛性仅依赖于从上下两个初始猜想的单调逼近（$m_0^I=1$ 和 $m_0^{II}=0$ 分别给出递减和递增序列），但未证明映射 $F$ 是压缩映射（Lipschitz 常数 $<1$）。在临界点附近迭代次数增多，且文中未给出收敛速率的标度关系（如 $|m_{n+1}-m_n|\propto \lambda^n$ 中的 $\lambda$ 是否随 $b\to b_c$ 趋近于 1）。若存在多个不动点，单调逼近只能得到其中一个，无法保证是全局最小值。
3. 临界指数推导中的微扰展开截断 — 附录 G 将 $r(u)$ 在大 $u$ 区写为 $r(u)=Bu^s(1+C/u^t)$ 并代入积分方程，仅保留到 $O(1/u^t)$ 一阶。但 $r(u)$ 的积分方程（式 S1）在被积函数中同时出现 $r$ 的平方和 $1/r^2$，高阶修正可能以 $O(1/u^{2t})$、$O(1/u^{s+t})$ 等形式耦合进来，文中未证明这些项的贡献可忽略。特别当 $s$ 接近 0 或 1 时，$t=\min(s,1-s)$ 很小，高阶项与一阶项可能同量级。
4. 有限 $\omega_c/\Delta$ 与标度极限之间的映射误差 — 附录 D 将标度极限（$\omega_c/\Delta\to\infty$）下求解的 $\alpha_\Delta^c$ 通过因子 $(0.1)^{1-s}$ 转化为 $\omega_c/\Delta=10$ 下的 $\alpha_c$ 以与 QMC 等数值方法对比。但这种映射假定有限 $\omega_c$ 的修正仅是一个乘性标度因子，忽略了 $y_c=\omega_c\cos\theta/D$ 的自洽性——$D$ 本身依赖于 $y_c$，而 $y_c$ 又是 $\omega_c/\Delta$ 的函数。这种非线性反馈可能产生不可忽略的系统偏差，这或许是 $s=0.8$ 时压缩极化子预测值（0.3313）与 QMC 值（0.360）偏离 8% 的来源。
5. $\sin^2\theta=m_0$ 的等价关系仅在 $y_c\to\infty$ 时严格成立 — 附录 J 的证明利用了 $y_c\to\infty$ 将积分化为闭合形式。对于有限 $y_c$（数值计算中的实际情况），$J(0)$ 的积分上限截断为 $y_c$，$m_0$ 的定义式也使用相同 $y_c$，理论上 $\sin^2\theta=m_0$ 应近似成立，但推导中某些积分仅在 $y_c\to\infty$ 时与截断无关。对于较小的 $s$（如 $s=0.1$），低频行为主导，有限 $y_c$ 的截断效应可能使 $\sin^2\theta$ 与 $m_0$ 产生数值偏差，文中未对此进行定量估计。
6. 散射计算中单激发截断的合理性 — 附录 H 中投影到单激发扇区，假定 $\hat{p}_k\hat{p}_{k'}$ 项的符号翻转不产生多粒子激发。然而，自旋翻转后玻色子模式的有效哈密顿量改变，对变分真空 $|{-x}\rangle|\phi\rangle$ 作用可能会产生双粒子甚至多粒子成分。文中仅通过"投影到粒子数守恒扇区"规避此问题，未提供定量论证（例如计算双粒子产生振幅与单粒子振幅的比值作为能量函数）。对于亚欧姆浴，低能时多玻色子过程可能被红外奇异性增强。
7. 与变分多极化子（VPA）的复杂度对比缺失 — 附录 D 仅列出两种方法的临界耦合数值，未对比计算复杂度。VPA 需要优化多个极化子的位置和权重，自由度随极化子数 $N$ 线性增长（典型 $N=10$–$50$）；压缩极化子的自由度由一个连续函数 $m(y)$ 描述，离散化为 $10^3$ 个网格点。但 VPA 可以描述非高斯结构，压缩极化子则严格限制在高斯流形内。对于 $s$ 接近 1 的欧姆极限，两者预测的 $\alpha_c$ 差异如何？文中未讨论。
局限性#
高斯约束排除非高斯关联：变分波函数中 $|\phi\rangle$ 为高斯态，所有奇次关联为零、偶次关联完全由协方差矩阵决定。对于 $s<0.5$ 的强亚欧姆浴，浴模之间可能产生不可忽略的三阶及更高阶累积量，高斯流形无法捕捉这些非高斯结构，且本文未给出任何定量判据（如高阶累积量与二阶的比值）来界定高斯近似的有效区间。
有限 $\omega_c/\Delta$ 的外推缺少系统扫描：临界耦合的数值对比（附录 D）全部在 $\omega_c/\Delta=10$ 下进行，但压缩极化子的自洽方程组求解实际在标度极限（$\omega_c/\Delta\to\infty$）下完成后再通过乘性因子外推。文中未系统扫描 $\omega_c/\Delta=5,\,20,\,50$ 来验证外推的收敛性，也未给出有限 $\omega_c$ 修正的不确定度带。
临界点附近的迭代收敛性退化：数值迭代在 $b\to b_c$ 时收敛速度显著下降（附录 C 已提及），且未给出收敛速率与 $|b-b_c|$ 的标度关系。对于 $s=0.8$ 时 $m_0\sim|b-b_c|^4$ 的高指数行为，$b_c$ 定位需极高精度；文中扫描精度为 2–4 轮精细化，但未说明最终 $b_c$ 的不确定度对临界指数拟合的影响。
单激发散射截断缺乏定量验证：附录 H 的散射计算限定在单激发扇区，忽略了多粒子产生通道。双粒子振幅与单粒子振幅的比值作为能量的函数未被计算，因此无法确认在 $\omega\ll D$ 的低能区单激发近似是否一致有效。对于亚欧姆浴，红外行为可能增强多玻色子过程的相对权重。
局域相（$\theta>0$）的分析不完整：论文主要关注离域相（$\theta=0$）的临界行为，对局域相仅给出能量表达式（式 S26）和 $\sin^2\theta=m_0$ 关系，未讨论局域相的磁化率、自旋‑自旋关联长度、或局域磁矩的有限大小标度。这些量是实验可观测的，且与量子比特退相干直接相关。
$s=0.5$ 的对数修正缺失：当 $s=0.5$ 时，两个临界指数 $1$ 和 $s/(1-s)=1$ 简并，文中仅提到"预期会有对数修正"（附录 G 末），但未推导对数修正的具体形式（如 $m_0\sim|b-b_c|^2/\log|b-b_c|$ 或 $m_0\sim|b-b_c|^2(\log|b-b_c|)^{\pm1}$），也未在数值上验证此简并点的标度行为。
零温限制：所有计算限于 $T=0$ 的基态。有限温度下高斯态 $|\phi\rangle$ 将替换为热态（混合高斯态），但 $\sin^2\theta=m_0$ 的关系、临界耦合的温度漂移、以及有限温相变是否存在等问题均未讨论。要将压缩极化子推广到 $T>0$ 需要将变分原理替换为自由能最小化。
与多通道或多杂质的不可推广性：论文处理的是单杂质耦合至单一连续玻色子浴。对于多杂质（如自旋链耦合至公共浴）或多通道（如两自旋分别耦合至不同浴），$m(y)$ 将推广为矩阵值函数 $M_{\alpha\beta}(y)$，自洽方程的维度随通道数平方增长。文中未说明这种推广是否仍能保持可解性。
$\sin^2\theta=m_0$ 的证明依赖于 $y_c\to\infty$ 前提：附录 J 的推导在将 $y_c$ 积分上限延拓至无穷后方可闭合，对于有限 $y_c$ 截断（数值计算真实情况），$m_0$ 与 $\sin^2\theta$ 之间可能存在系统偏差，文中未对此截断效应做误差分析。
高频截止 $\omega_c$ 的物理含义未深入讨论：浴谱函数 $J(\omega)=2\pi\alpha\omega_c^{1-s}\omega^s$ 在 $\omega>\omega_c$ 处突然截断。这种硬截断与实际物理系统（如光子晶体或声子浴）中的平滑衰减不同。文中未讨论截断形状（硬截断 vs. 指数截断 vs. Lorentzian 截断）对临界耦合和临界指数的敏感性。
关键公式速查#
$\displaystyle \hat{H} = \frac{\Delta}{2}\hat{\sigma}_x + \hat{s}_z\sum_\beta g_\beta(\hat{a}_\beta^\dagger+\hat{a}_\beta) + \sum_\beta \omega_\beta\hat{a}_\beta^\dagger\hat{a}_\beta$ — 自旋玻色子模型哈密顿量，式 (1)
$\displaystyle m(y) = \int_0^\infty \frac{2y\,dz}{\pi(y^2+z^2)}\frac{1}{1+2b\int_0^{y_c}\frac{x^{s+1}dx}{(x^2+z^2)[x+m(x)]^2}}$ — 压缩极化子核心自洽积分方程，式 (5)
$\displaystyle q_\beta = \frac{g_\beta\cos\theta}{\omega_\beta\cos\theta + D\,m(\omega_\beta\cos\theta/D)}$ — 关联位移参数的自洽解，式 (4)
$\displaystyle (\cos\theta)^2 = 2b\int_0^{y_c}\frac{y^{s-1}m(y)^2}{[y+m(y)]^2}dy$ — 自旋旋转角的变分条件，式 (6)
$\displaystyle D = \Delta\exp\left\{-\frac{b}{(\cos\theta)^2}\int_0^{y_c}\frac{m(v)v^s}{[v+m(v)]^2}dv\right\}$ — 重正化隧穿分裂的自洽方程，式 (7)
$\displaystyle \sin^2\theta = m(0) = m_0$ — 自旋偏转角与零频压缩幅度的等价关系，附录 J 式 (S7)
$\displaystyle m(y\to0^+) \sim \pi b\cot(\pi s/2)\,y^s$ — 临界点处的低频幂律行为，附录 E 式 (S6)
$\displaystyle m_0 \sim |b-b_c|^{\max(1,\,s/(1-s))}$ — 零频值的临界标度律，附录 G 式 (S9)
$\displaystyle \nu = \frac{1}{1-s}$ — 关联长度临界指数，附录 G
$\displaystyle S(E,E') = 2\pi\delta(E-E')\,e^{i\pi s},\quad \omega_*\ll\omega\ll D$ — 临界能区的散射相移，附录 H 式 (S16)
术语对照#
| 中文 | 英文 | 含义 |
|---|---|---|
| 压缩极化子 | Squeezed Polaron | 在传统位移极化子基础上引入高斯压缩自由度的变分波函数 |
| 亚欧姆浴 | Sub-Ohmic Bath | 谱函数 $J(\omega)\propto\omega^s$ 且 $0 |
| 关联位移 | Correlated Displacement | 与自旋 $z$ 分量关联的玻色子位移算符 $\mathcal{D}_c$ |
| 非关联位移 | Uncorrelated Displacement | 与自旋无关的玻色子位移算符 $\mathcal{D}_u$ |
| 重正化隧穿分裂 | Renormalized Tunnel Splitting | 有效隧穿矩阵元 $D$，经浴能量重整后相对于 $\Delta$ 指数压制 |
| 预解式方法 | Resolvent Method | 利用围道积分处理秩‑1 扰动下矩阵函数求逆的技巧 |
| 标度函数 | Scaling Function | 无量纲函数 $r(u)=m(y)/m_0$，描述临界区普适行为 |
| 共形场论 | Conformal Field Theory (CFT) | 用于计算临界点散射相移的边界 CFT 方法 |
| 自洽积分方程 | Self-Consistent Integral Equation | 关于 $m(y)$ 的非线性积分方程，压缩极化子理论的核心 |
| 高频截止 | Ultraviolet Cutoff | 浴谱的最大频率 $\omega_c$，提供短时间标度 |
| 变分多极化子 | Variational Polaron Ansatz (VPA) | 用多个独立极化子叠加描述多体纠缠的变分方法 |
| 关联长度指数 | Correlation Length Exponent $\nu$ | 描述关联长度 $\xi\sim\lvert \alpha-\alpha_c\rvert^{-\nu}$ 的发散行为 |
深入：从积分方程到临界指数 — 自洽标度分析的物理图像#
一个值得展开但论文未明确解释的要点是：$m(y)$ 积分方程（式 5）如何产生非平凡的临界指数。物理上，$m(y)$ 刻画了频率 $y$ 处玻色子模的压缩程度。方程的结构是"输出 $m(y)$ = 对所有 $z$ 的浴模求和 $\times$ 一个与全体模压缩耦合的非线性项"。当 $b
延伸阅读#
- 耗散驱动的 Rabi 模型中的量子相变信号 — De Filippis 等（2023）证明耗散量子 Rabi 模型在深强耦合区发生 BKT 量子相变，并把序参量与线性响应测量（磁化率、弛豫函数）直接联系起来—
- 驱动里德堡阵列中各向异性Dicke-Ising模型的量子相变 — Dong 等（2025）研究了驱动里德堡原子阵列中各向异性Dicke-Ising模型的量子相变，揭示了横场与纵场耦合竞争下的丰富相图与临界行为。
- 统一超辐射相变理论 — Peng 等（2019）提出了统一超辐射相变的理论框架，建立了Dicke模型与各类光-物质相互作用系统中超辐射相变的普遍联系，揭示了不同模型间的对偶关系。
- 亚欧姆系统中的量子临界性：超越传统自旋-玻色子物理的三项竞争 — Zhou, Shen, Sun (2026) 通过变分计算系统研究了亚欧姆自旋-玻色子模型中三项竞争的量子相变，揭示了低谱指数下丰富的相图和新颖的U(1)对称相