Experimental realization of non-Abelian non-adiabatic geometric gates#

非阿贝尔非绝热几何门的实验实现#

A. A. Abdumalikov Jr, J. M. Fink, K. Juliusson, M. Pechal, S. Berger, A. Wallraff, S. Filipp

ETH Zurich · Department of Physics

Nature 496, 482–485 (2013)

摘要#

几何相位（geometric phase）是量子力学中最突出的几何特征之一。当一个量子系统在 Hilbert 空间中沿一个闭合路径演化时，就会获得一个仅由此路径形状决定的几何相位。在简单情形下，它是一个实数（阿贝尔），但在具有简并能级的系统中，可以获得矩阵值的几何态变换——非阿贝尔 holonomy，其效果取决于两个连续路径的顺序。本文在单个超导 transmon 人工三能级原子上，通过施加精确控制的双音微波驱动，首次实验实现了非阿贝尔非绝热 holonomic 量子操作。利用量子过程层析（quantum process tomography），测得非对易门的保真度超过 95%。实验证明，源自 Hilbert 空间中两条不同路径的两个不同量子门以不同顺序施加时，会产生不等价的变换，从而为所实现的 holonomic 量子操作的非阿贝尔特性提供了证据。结合非平凡的双量子比特门后，该方法为通用 holonomic 量子计算提供了途径。

背景与动机#

几何相位的概念在量子力学中占据核心地位。1984 年 Berry 发现，非简并量子系统的循环演化会伴随一个仅取决于 Hilbert 空间路径的几何相位（Berry 相位）。2007 年，Leek 等首次在固态超导量子比特中观测到了 Berry 相位（本图书馆有对应笔记）。

当系统具有简并子空间时，情况发生质变——系统可以通过获得非阿贝尔 holonomy 来进行路径依赖的幺正变换。这种变换具有本质上的非对易性（non-commutativity）：两个连续循环的顺序会产生不同的最终结果。

非阿贝尔几何门的一个重要优势是对特定涨落的鲁棒性，这使其成为容错量子计算的有力候选。然而，早期 adiabatic holonomic 门的实验实现极其困难，因为需要足够长的演化时间来满足绝热条件。Sjöqvist et al. (2012) 提出的非绝热方案克服了这一瓶颈，为实验实现铺平了道路。

本文是 Leek 2007 的直接后继工作（作者团队高度重叠：Wallraff 组的 Fink、Wallraff、Filipp），将 Berry 相位的观测推进到了非阿贝尔几何门的实验实现。

核心原理：非绝热 holonomic 门#

三能级系统与双音驱动#

方案的核心是在三能级系统中生成一个非绝热的循环态演化，使其在由计算基态 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 张成的简并子空间上产生一个纯几何操作。第三态 $|e\rangle$ 作为辅助态，在门操作后保持无布居。

系统由两个共振微波脉冲驱动（Fig. 1a），具有相同的时间包络 $\Omega(t)$ 但不同振幅 $a$ 和 $b$，满足 $|a|^2 + |b|^2 = 1$。相互作用绘景下的哈密顿量为：

保持 $a/b$ 的复数比恒定，即可满足平行传输条件（parallel-transport condition）：

这使得演化是纯几何的，动力学贡献为零。

当脉冲长度 $\tau$ 满足 $\int_0^\tau \Omega(t) \mathrm{d}t = 2\pi$ 时，简并子空间完成一次循环演化，最终作用于基态的算符矩阵为：

其中驱动振幅参数化为 $e^{i\phi} \tan(\theta/2) = a/b$。

图 1c：holonomic 门在纤维丛上的几何表示。系统沿底空间 $G$ 中的闭合路径 $C$ 演化。平行传输条件固定了沿路径 $C$ 的基矢选择，导致纤维丛中的路径 $\tilde{C}$。初态（$t=0$）和终态（$t=\tau$）在同一条纤维上，其差异对应于 holonomy 矩阵 $U \in \mathrm{U}(2)$，完全由回路 $C$ 决定。

不同的 holonomic 门通过调节双驱动的比值 $a/b = e^{i\phi} \tan(\theta/2)$ 实现。$\theta=0$ 对应 $\sigma_z$（相位翻转门），$\theta=\pi/4$ 对应 Hadamard 门 $H$，$\theta=\pi/2$ 对应 NOT 门 $\sigma_x$。

实验方案#

器件与测量#

实验使用三维腔中的 transmon 超导人工原子（与 Leek 2007 的 Cooper pair box 不同，transmon 对电荷噪声更不敏感）。

图 2a：三维铝腔（32 mm × 15.5 mm × 5 mm），内嵌含两个 transmon 量子比特的蓝宝石芯片。腔基模的电场 $E$ 沿腔的最小维度方向。左测量子比特在本实验中未使用。

微波控制脉冲通过 I/Q 混频器调制连续信号产生，使用任意波形发生器生成调制脉冲。读出采用色散读出方案，通过测量态依赖的腔透射来实现。

门校准与过程层析#

Holonomic 门的包络 $\Omega(t)$ 为截断高斯脉冲（$\sigma = 10$ ns，总长 40 ns）。$\pi$ 脉冲通过在 $\vert 0\rangle \to \vert e\rangle$ 和 $\vert e\rangle \to \vert 1\rangle$ 跃迁上测量 Rabi 振荡来校准。完整的门序列（态制备 + geometric gate + 态层析）总长 208 ns。

为表征门性能，对三能级系统执行完整量子过程层析，使用 SU(3) 的 9 个正交基算符和 9 个输入态，共 $9 \times 9 = 81$ 次测量。过程矩阵 $\chi_{\mathrm{exp}}$ 通过最大似然法重建。由于 $\vert e\rangle$ 仅是辅助态，最终呈现约化的过程矩阵 $\tilde{\chi}$（删去涉及 $\vert e\rangle$ 的算符，并重归一化）。

主要实验结果#

门保真度#

图 3a：理想（实线）与实验（符号）几何门的约化过程矩阵对角元 $\chi_{ii}$ 随 $\theta$ 的变化（$\phi = \pi$）。黑点对应 $\mathrm{Tr}(\tilde{\chi}) \approx 0.96$，量化了向 $\vert e\rangle$ 态的布居泄漏。

实验测得的保真度：

主方程数值模拟给出的保真度为 97.6%，与实验值吻合良好。退相干、弛豫和动力学贡献是门性能的主要限制因素。

图 3b-c：几何 Hadamard 门 $H$（b）和 NOT 门（c）的约化过程矩阵实部条形图。线框为理论值。虚部很小（$\sim$0.3%），未显示。

非阿贝尔特性的直接验证#

• $\mathrm{NOT} \cdot H = -(i\sigma_y + I)/\sqrt{2}$（在 Bloch 球上对应绕 $H$ 轴 $\pi$ 旋转 → 绕 $x$ 轴 $\pi$ 旋转 → 等价于绕 $y$ 轴 $\pi/2$ 旋转）
• $H \cdot \mathrm{NOT} = (i\sigma_y - I)/\sqrt{2}$（方向相反的旋转）

图 4：holonomic 门的非对易性。NOT·H（a）和 H·NOT（b）的过程矩阵，保真度 95%。c-d：Bloch 球上的可视化——两种顺序导致相反的 $y$ 轴旋转方向。

结论#

本文首次在超导量子比特上实现了非阿贝尔非绝热 holonomic 量子门，其核心贡献包括：

1. 实验验证了非阿贝尔 holonomy：两个几何门以不同顺序级联会产生不等价的变换
2. 高保真度：Hadamard 门 $95.4\%$，NOT 门 $97.5\%$，与理论预期（97.6%）高度吻合
3. 实用性路线：结合双量子比特门，本方案可直接扩展为通用 holonomic 量子计算

该工作是 Leek 2007（首次固态 Berry 相位观测）的自然延伸——从观测单个量子比特的几何相位到实现基于非阿贝尔几何相位的通用量子门。作者团队（ETH Wallraff 组）在这两条线上保持了领导地位。

参考文献#

1. Pancharatnam, S. Proc. Indiana Acad. Sci. A44, 247–262 (1956). — 经典 Pancharatnam 相位
2. Berry, M. V. Proc. R. Soc. Lond. A 392, 45–57 (1984). — Berry 相位的原始论文
3. Wilczek, F. & Zee, A. Phys. Rev. Lett. 52, 2111–2114 (1984). — 非阿贝尔 holonomy 的奠基性理论
4. Zanardi, P. & Rasetti, M. Phys. Lett. A 264, 94–99 (1999). — holonomic 量子计算的原初方案
5. Sjöqvist, E. et al. N. J. Phys. 14, 103035 (2012). — 本文理论基础：非绝热 holonomic 量子计算方案
6. Leek, P. J. et al. Science 318, 1889–1892 (2007). — 本图书馆有笔记：首次固态 Berry 相位观测
7. Koch, J. et al. Phys. Rev. A 76, 042319 (2007). — transmon 量子比特设计
8. Paik, H. et al. Phys. Rev. Lett. 107, 240501 (2011). — 3D circuit QED 架构

阅读笔记#

一句话概括#

用双音微波驱动超导 transmon 三能级系统，首次实验实现了非阿贝尔非绝热 holonomic 量子门（$H$ 和 NOT），并通过改变级联顺序直接验证了非对易性。

核心论证链#

1. 几何相位可以是矩阵值的（非阿贝尔），且对噪声有内在鲁棒性 → 适合量子计算
2. 传统方案需要绝热演化（太慢），Sjöqvist 2012 提出非绝热方案 → 实验上可行
3. 用双音驱动 transmon 三能级系统，保持 $a/b$ 恒定满足平行传输条件 → 纯几何演化
4. 调节 $a/b$ 实现不同门（$\theta=0$ 为 $Z$，$\theta=\pi/4$ 为 $H$，$\theta=\pi/2$ 为 $X$）
5. 过程层析证实高保真度（$\geq$95%），且 $H \cdot X \neq X \cdot H$ → 直接验证非阿贝尔特性

与 Leek 2007 的关系#

批判性思考#

1. 保真度瓶颈：95-97% 的保真度离量子纠错阈值（$\gtrsim$99%）还有差距。主要限制因素是 $T_1=7\mu s$ 和 $T_\gamma^{e1}=3.9\mu s$。
2. 单量子比特门：本文只实现了单量子比特几何门。通用 holonomic 量子计算需要双量子比特纠缠门。
3. 非阿贝尔 vs 阿贝尔：论文没有做 quantitative 对比（相同条件下非阿贝尔门比阿贝尔门到底好多少），这一点缺乏说服力。
4. 过程层析的可靠性：9 个基算符的过程层析需要 81 次测量，态制备和测量误差会传播到过程矩阵的重建中。

局限性#

• 仅实现了单量子比特操作，未扩展到双量子比特
• 脉冲序列总长 208 ns，在 $T_1=7\mu s$ 面前余量充足，但扩展到更多门级联后会逼近退相干极限
• $\vert e\rangle$ 态的布居泄漏（$\mathrm{Tr}(\tilde{\chi})\approx 0.96$）虽小但不可忽略
• 实验只在单一 $\phi=\pi$ 参数下验证了非对易性

关键公式速查#

延伸阅读#

• Leek et al. 2007, Science — 本图书馆有笔记：同一实验室的 Berry 相位观测，本文的直接前驱
• Filipp et al. 2009, PRL — 同一团队验证 Berry 相位在 spin-1/2 系统上的稳定性
• Sjöqvist et al. 2012, NJP — 本文的理论基础：非绝热 holonomic 量子计算方案
• Berger et al. 2013, PRL — 同一时期在 NV center 上的几何门实验

术语对照#