自旋-玻色子模型 wormhole QMC 推导笔记

1. What this algorithm solves#

自旋-玻色子模型（spin-boson model）描述一个或少数几个自旋自由度与大量玻色模式的线性耦合。它是量子耗散、量子相变、量子光学（Rabi、Jaynes-Cummings）和量子磁性（XXZ spin-boson）的统一框架。

核心困难：玻色浴的自由度是无限的。微扰论只在弱耦合有效，精确对角化受浴截断限制，张量网络方法在高维或长程关联下代价急剧增长。

wormhole QMC 算法（Weber, PRB 105, 165129, 2022）解决这个问题的方式是：

1. 精确积分掉玻色浴：利用浴是自由玻色子 + 耦合对玻色算符线性的条件，在虚时间路径积分中解析地积掉所有玻色自由度。
2. 得到推迟自旋相互作用：积分后产生一个纯自旋的推迟作用量 $\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}$，包含长程虚时间关联。
3. 对推迟作用量做 QMC 展开：将 $e^{-\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}}$ 展开为幂级数（连续时间相互作用展开，采用 SSE/directed-loop 型局部更新），用 directed-loop / wormhole 更新在扩展配置空间中采样。

输出：有限温度下自旋-玻色子模型的统计力学性质（磁化率、关联函数、相边界）。在 quadratic bath + linear coupling + sign-free 条件下，无微扰近似、无浴截断。

2. 通用模型与模型字典#

2.1 哈密顿量#

考虑一个 spin-$1/2$ 自由度与玻色浴耦合的系统。自旋算符定义为

通用哈密顿量为

自旋哈密顿量 $\hat{H}_{\mathrm{s}}$ 可包含 Zeeman 场、交换作用等纯自旋项，一般形式为

其中 $h_{\ell}$ 为外磁场分量，$\hat{H}_{\mathrm{ex}}$ 为自旋间交换相互作用（如 Heisenberg、XXZ 等）。这些项仅作用于自旋空间，不涉及玻色子。以下推导中暂设 $\hat{H}_{\mathrm{s}} = 0$ 以简化记号——这不是算法限制，实际计算时可将 $\hat{H}_{\mathrm{s}}$ 作为额外顶点加入（见第 10 节）。

玻色浴是自由简谐振子之和：

其中 $\hat{a}_{\mu}^{\dagger}$（$\hat{a}_{\mu}$）产生（湮灭）一个频率为 $\omega_{\mu}$ 的玻色子。指标 $\mu$ 可标记连续谱的不同分量，也可标记有限系统的格点。

自旋-玻色耦合取线性形式：

其中 $\hat{\varrho}_{\mu} = \hat{\varrho}_{\mu}[\hat{S}_{\alpha}]$ 是仅作用在自旋 Hilbert 空间上的算符，包含耦合常数。

为方便标记，引入上标 $c$ 和反指标 $\bar{c}$：

其中 $c = \dagger$ 时 $\hat{a}_{\mu}^{\dagger}$，$c = \varnothing$ 时 $\hat{a}_{\mu}$；$\bar{c}$ 取相反的指标。

2.2 模型字典#

同一套推导框架覆盖三个物理上截然不同的模型：

注意三组区分。

第一，原始 spin-boson 与 quantum Rabi 不是同一模型：前者是连续耗散浴（$\mu$ 取无限多个模式），有热力学极限和量子相变；后者是单一玻色模式，无浴截断问题但谱结构迥异。二者在自旋旋转后可采用相同的厄米耦合算符结构 $\hat{\varrho} = \hat{\varrho}^{\dagger} = \gamma\hat{S}_z$，但谱函数、热力学行为和临界性质并不相同。本框架对二者均适用。

第二，表中"JC"指的是多模、连续浴的旋转波（rotating-wave）spin-boson 模型，即 $\sum_q \gamma_q(a_q^\dagger S_- + S_+ a_q)$ 对连续谱求和。标准的单模 Jaynes–Cummings 模型只是取 $J(\omega) = \pi g^2 \delta(\omega - \omega_0)$ 的特例。Weber 论文虽然沿用"Jaynes–Cummings model"之名，但明确采用了连续浴。

第三，厄米与非厄米耦合的区别。原始 spin-boson / Rabi 中 $\hat{\varrho}_{\mu} = \hat{\varrho}_{\mu}^{\dagger}$（厄米耦合算符），推迟相互作用自然对称化为 $D_{+}$ 传播子。JC 模型中 $\hat{\varrho}_{\mu} \neq \hat{\varrho}_{\mu}^{\dagger}$，推迟相互作用保留非对称结构，顶点类型也因此不同。

对于 XXZ spin-boson，指标 $\ell \in \{x, y, z\}$ 标记自旋分量，每个分量耦合到独立的浴（复合指标 $\mu\ell$）。XY 各向同性（$J_x = J_y \equiv \lambda_{xy}$，$J_z \equiv \lambda_z$）时退化为常规 XXZ 结构，$S_x S_x + S_y S_y$ 可写成升降算符的对称组合 $\frac{1}{2}(S_+ S_- + S_- S_+)$。

3. 从 Dyson 展开到推迟相互作用#

推导的核心逻辑是：展开耦合 $\hat{V}$ → Wick 收缩玻色子 → 重指数化为 $\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}$。然后对 $\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}$ 再做 QMC 展开。

3.1 展开配分函数#

将哈密顿量拆分为

为简化记号，以下设 $\hat{H}_{\mathrm{s}} = 0$。这不是算法限制：在实际计算中，$\hat{H}_{\mathrm{s}}$ 中无符号问题的项可作为额外相互作用顶点加入；复杂性仅出现在这些额外顶点本身引入负权重或复非分支过程时。记号上暂设 $\hat{H}_{\mathrm{s}} = 0$ 使推导清晰。

配分函数 $Z = \mathrm{Tr}\, e^{-\beta \hat{H}}$ 在相互作用绘景中的 Dyson 展开：

其中 $\hat{V}(\tau) = e^{\tau \hat{H}_0} \hat{V} e^{-\tau \hat{H}_0}$，且 $\beta \ge \tau_1 \ge \tau_2 \ge \cdots \ge \tau_m \ge 0$。此式无 $1/m!$ 因子：积分限已强制时间有序，$m$ 个算符的每种排列恰好出现一次。

引入虚时间编序算符 $\hat{\mathcal{T}}_{\tau}$，将有序积分改写为各 $\tau_i$ 独立从 $0$ 积到 $\beta$ 的对称形式。这一步引入了因子 $1/m!$：

为什么有 $1/m!$。 无序积分对 $m$ 个时间变量的所有 $m!$ 种排列求和。$\hat{\mathcal{T}}_{\tau}$ 把每一种排列都排成相同的时间序——因此每个物理上不同的有序构型被重复计数了 $m!$ 次。除以 $m!$ 恢复正确权重。得到

将 $\hat{V} = \sum_{\mu c} \hat{a}_{\mu}^{c} \hat{\varrho}_{\mu}^{\bar{c}}$ 代入。由于 $\hat{a}$ 只作用于玻色空间，$\hat{\varrho}$ 只作用于自旋空间，迹分离：

3.2 为何只保留偶数阶#

玻色迹的核心是

玻色浴 $\hat{H}_{\mathrm{b}} = \sum_{\mu} \omega_{\mu} \hat{a}_{\mu}^{\dagger} \hat{a}_{\mu}$ 是粒子数算符的和，因此 $[\hat{H}_{\mathrm{b}}, \hat{N}] = 0$ 其中 $\hat{N} = \sum_{\mu} \hat{a}_{\mu}^{\dagger} \hat{a}_{\mu}$。$\hat{H}_{\mathrm{b}}$ 的本征态是粒子数态 $|n_1, n_2, \ldots\rangle$。

在粒子数基底下求迹：

每个湮灭算符 $\hat{a}_{\mu}$ 将模式 $\mu$ 的粒子数减 1；每个产生算符 $\hat{a}_{\mu}^{\dagger}$ 将模式 $\mu$ 的粒子数加 1。算符串 $\hat{a}^{c_1} \cdots \hat{a}^{c_m}$ 作用后，总粒子数的净变化为

由于迹求的是 $\langle \text{初态} | \bullet | \text{初态} \rangle$——初态和末态必须是同一个粒子数态——总粒子数守恒 $\Delta N = 0$ 只是必要条件。例如 $\hat{a}_1^{\dagger}\hat{a}_2$ 虽然总粒子数不变，但在独立的各模式热迹中仍为零。

严格的非零条件是逐模式配平：对每个模式 $\mu$，产生数和湮灭数分别相等，

下一节 Wick 收缩中的 $\delta_{\mu\nu}$ 正是强制执行了这一约束——只有同一模式的 $\hat{a}_{\mu}$ 与 $\hat{a}_{\nu}^{\dagger}$ 才有非零收缩。在此先记下这个条件，具体效果在 §3.3 给出。

令产生算符数为 $n$，湮灭算符数也为 $n$，则总算符数 $m = 2n$。所有奇数 $m$ 的项严格为零。

同时 $(-1)^{m} = (-1)^{2n} = +1$——Dyson 展开中的符号因子不引入负号。

关于"偶数阶"的适用范围。 上述论证完全依赖每个 $V$ 顶点含一个 $\hat{a}$ 或 $\hat{a}^{\dagger}$，而后者只在 $V = \hat{H}_{\mathrm{sb}}$ 时成立。一旦把 $\hat{H}_{\mathrm{s}}$ 也纳入展开 $V$（如实际计算中把磁场、交换项作为顶点加入），纯自旋顶点不含玻色算符，总展开阶数就不再受偶数约束。此时正确的说法是：含玻色耦合的顶点数仍必须逐模式配平（产生 = 湮灭）；纯自旋顶点的数量没有偶数限制。本文的浴积分推导（§3--§5）只针对 $V = \hat{H}_{\mathrm{sb}}$；$\hat{H}_{\mathrm{s}}$ 的重新加入方式见 §5.3 和 §10。

最后，$Z_{\mathrm{b}} = \prod_{\mu} (1 - e^{-\beta \omega_{\mu}})^{-1}$ 是自由玻色子的配分函数，是所有推导的归一化基准。

3.3 Wick 收缩#

3.3.1 Wick 定理的陈述#

$\hat{H}_{\mathrm{b}}$ 是自由玻色子的二次型，因此热平均 $\langle \bullet \rangle_{\mathrm{b}}$ 是 Gaussian 型的。对 Gaussian 理论，Wick 定理断言：任意 $2n$ 点关联函数等于所有完全收缩（两两配对）之和。

3.3.2 哪些收缩非零？#

考虑一个收缩对 $\langle \hat{\mathcal{T}}_{\tau} \hat{a}^{c_i}(\tau_i) \hat{a}^{c_j}(\tau_j) \rangle_{\mathrm{b}}$：

• $\langle \hat{a} \hat{a} \rangle_{\mathrm{b}} = 0$（两个湮灭算符不守恒粒子数）
• $\langle \hat{a}^{\dagger} \hat{a}^{\dagger} \rangle_{\mathrm{b}} = 0$（两个产生算符同理）
• $\langle \hat{a} \hat{a}^{\dagger} \rangle_{\mathrm{b}}$ —— 非零，就是传播子 $D$

因此非零收缩只发生在 $\hat{a}$ 与 $\hat{a}^{\dagger}$ 之间。每个湮灭算符必须与一个产生算符配对。

此外，不同浴模式的玻色子相互独立——$\hat{a}_{\mu}$ 和 $\hat{a}_{\nu}^{\dagger}$ 的收缩贡献 $\delta_{\mu\nu}$。只有同一模式的算符对才有非零收缩。

3.3.3 具体例子：$n = 1$#

当 $n = 1$——即 1 个湮灭算符 $\hat{a}_{\mu_1}(\tau_1)$ 和 1 个产生算符 $\hat{a}_{\mu_2}^{\dagger}(\tau_2)$：

只有一种配对方式（$S_1$ 只有一个元素——恒等排列），一个传播子 $D$，一个 Kronecker $\delta$。

3.3.4 具体例子：$n = 2$#

当 $n = 2$——2 个湮灭算符 $\hat{a}_{\mu_1}(\tau_1), \hat{a}_{\mu_2}(\tau_2)$ 和 2 个产生算符 $\hat{a}_{\mu_3}^{\dagger}(\tau_3), \hat{a}_{\mu_4}^{\dagger}(\tau_4)$。

每种完全收缩对应一个排列 $\pi \in S_2 = \{\mathrm{id}, (12)\}$：

• $\pi = \mathrm{id}$：$\hat{a}_{\mu_1}$ 与 $\hat{a}_{\mu_3}^{\dagger}$ 配对，$\hat{a}_{\mu_2}$ 与 $\hat{a}_{\mu_4}^{\dagger}$ 配对
• $\pi = (12)$：$\hat{a}_{\mu_1}$ 与 $\hat{a}_{\mu_4}^{\dagger}$ 配对，$\hat{a}_{\mu_2}$ 与 $\hat{a}_{\mu_3}^{\dagger}$ 配对

两个排列 → 两项 → 每项 $n=2$ 个 $D$ 因子和 $n=2$ 个 $\delta$ 因子。

3.3.5 一般公式#

推广到任意 $n$：将 $n$ 个湮灭算符排在左边，$n$ 个产生算符排在右边，

其中：

• $S_{n}$：$n$ 个对象的对称群，有 $n!$ 个元素
• $\pi[k]$：排列 $\pi$ 把第 $k$ 个湮灭算符分配给第 $\pi[k]$ 个产生算符
• $D(\omega_{\mu}, \tau)$：自由玻色传播子（下一节）
• $\delta_{\mu, \nu}$：确保 bath 模式匹配

Wick 收缩后，所有玻色算符消失，只剩下传播子 $D$ 和自旋算符 $\hat{\varrho}$。物理上，玻色浴的作用被压缩为连接两个虚时间点的"记忆核" $D(\omega, \tau - \tau')$。

3.4 组合因子#

从 §3.1 的对称 Dyson 展开出发，取 $m = 2n$（§3.2 已证奇数阶为零）。将 $V(\tau_i) = \sum_{\mu_i c_i} \hat{a}_{\mu_i}^{c_i}(\tau_i) \hat{\varrho}_{\mu_i}^{\bar{c}_i}(\tau_i)$ 代入并分离玻色迹与自旋迹：

第一步：选位置。 在 $2n$ 个算符中，必须恰好 $n$ 个是产生算符（$\dagger$）、$n$ 个是湮灭算符（$\varnothing$），否则玻色迹为零（§3.2）。从 $2n$ 个位置中选 $n$ 个放产生算符，有 $\binom{2n}{n}$ 种选法。$(-1)^{2n}=+1$。

伴随关系（决定自旋算符的匕首归属）。 回到 $V = \sum_\mu(\hat{a}_\mu^{\dagger}\hat{\varrho}_\mu + \hat{\varrho}_\mu^{\dagger}\hat{a}_\mu)$：每个湮灭算符 $\hat{a}$ 与 $\hat{\varrho}^{\dagger}$ 同处一项，每个产生算符 $\hat{a}^{\dagger}$ 与 $\hat{\varrho}$（无匕首）同处一项。因此在自旋迹里，$\hat{a}$ 带出 $\hat{\varrho}^{\dagger}$，$\hat{a}^{\dagger}$ 带出 $\hat{\varrho}$：

这恰好与 $\bar c$ 的定义一致（$c=\dagger \Rightarrow \bar c=\varnothing$）。暂时只写出一种典型排序（所有湮灭算符在前，所有产生算符在后），在乘以 $\binom{2n}{n}$ 后覆盖所有等价排序。玻色部分照写 $\hat{a}\cdots\hat{a}\,\hat{a}^{\dagger}\cdots\hat{a}^{\dagger}$；自旋部分按伴随关系翻转匕首：

其中 $\tau_k' = \tau_{n+k}$。注意自旋迹里匕首跟随湮灭算符、无匕首跟随产生算符——这与原文中初看可能误写的对应关系相反，但正是这一翻转使最终推迟作用量取 $\hat{\varrho}^{\dagger}(\tau)D(\tau-\tau')\hat{\varrho}(\tau')$ 的正确形式。

第二步：Wick 收缩。 应用 §3.3 的 Wick 定理。每种完全收缩对应一个排列 $\pi \in S_n$：第 $k$ 个湮灭算符 $\hat{a}_{\mu_k}(\tau_k)$ 与第 $\pi[k]$ 个产生算符 $\hat{a}_{\nu_{\pi[k]}}^{\dagger}(\tau_{\pi[k]}')$ 配对。代入传播子 $D$ 和 Kronecker $\delta$：

对每个 $\pi$，$\delta$ 迫使 $\nu_{\pi[k]} = \mu_k$，即 $\nu_k = \mu_{\pi^{-1}[k]}$。代入自旋迹（此时自旋迹中产生算符一侧的无匕首算符索引为 $\nu_k$），暂时保留 $\sum_{\pi}$：

第三步：哑变量重标号消除 $\sum_{\pi}$。 $\tau_1', \ldots, \tau_n'$ 是积分哑变量。对任意 $\pi$，做替换 $\tau_k' \to \tau_{\pi[k]}'$，积分测度不变。重标号后 $D$ 的乘积变为 $\prod_k D(\omega_{\mu_k}, \tau_k - \tau_k')$（恒等排列的形式），自旋迹中的 $\hat{\varrho}_{\mu_{\pi^{-1}[k]}}(\tau_{\pi[k]}')$ 变为 $\hat{\varrho}_{\mu_{k}}(\tau_{k}')$——与 $\pi$ 无关。因此 $n!$ 个 $\pi$ 给出完全相同的积分值：

第四步：归约系数。 $\frac{1}{(2n)!} \binom{2n}{n} = \frac{1}{n! \, n!}$（第一步），乘以 $n!$（上一步）得 $\frac{1}{n!}$。重标号后自旋迹化为 $\prod_k \hat{\varrho}_{\mu_k}^{\dagger}(\tau_k)\hat{\varrho}_{\mu_k}(\tau_k')$，最终：

3.5 重指数化#

上式的求和是指数函数的 Taylor 级数 $e^{A} = \sum_{n=0}^{\infty} A^{n}/n!$。因此

其中推迟自旋相互作用：

负号匹配：$-\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}} = +\iint \hat{\varrho}^{\dagger} D \hat{\varrho}$。

此时，玻色自由度已被精确积掉，问题化为纯自旋的推迟相互作用系统。

关于 $\hat{\mathcal{T}}_{\tau}$ 对双时间顶点的作用范围。 $\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}$ 是双时间算符：每个推迟顶点携带两个子时间点 $\tau_p, \tau_p'$ 和两个子算符 $\hat{\varrho}^{\dagger}(\tau_p), \hat{\varrho}(\tau_p')$。写 $\hat{\mathcal{T}}_{\tau} e^{-\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}}$ 时，$\hat{\mathcal{T}}_{\tau}$ 不是给"每个双时间顶点"按某个代表时间排序，而是对展开中出现的所有 $2n$ 个子时间点的子算符统一编序。因此不同双时间顶点之间可以发生时间交错，例如 $\tau_1 > \tau_2 > \tau_1' > \tau_2'$ 也是合法构型。不要误以为顶点可以按某一代表时间排序——只有将所有子时间点重新排序后，才能得到正确的世界线构型（§6.1 的完备基插入正对应这一步）。

4. 玻色传播子与谱函数#

4.1 正确的周期性：玻色 KMS 条件#

自由玻色传播子由虚时间编序定义，直接计算得，对 $0 \le \tau < \beta$：

由于 $\hat{a}$ 和 $\hat{a}^{\dagger}$ 是玻色算符（对易关系），传播子满足周期边界条件（KMS 条件），而非反周期：

定义 $\tau_{\beta} = \tau \bmod \beta$，$0 \le \tau_{\beta} < \beta$，则对任意 $\tau \in \mathbb{R}$：

完整的逐段形式（$- \beta < \tau < \beta$）：

其中玻色分布 $n_{B} = 1 / (e^{\beta \omega} - 1)$。这直接来自玻色 KMS 条件 $\langle A(\tau) B(0) \rangle = \langle B(0) A(\tau + \beta) \rangle$。

玻色子周期延拓，不是反周期延拓。反周期延拓是费米子（$\psi(\tau + \beta) = -\psi(\tau)$）的性质。

4.2 为何坐标耦合使用 $D_{+}$#

对坐标型耦合 $\hat{\varrho}_{\mu} = \hat{\varrho}_{\mu}^{\dagger}$（如 Rabi 模型），推迟相互作用中的被积函数自然对称化。定义对称传播子

代入 $D$ 的显式，利用周期性 $D(\omega, \beta - \tau) = D(\omega, -\tau)$：

$D_{+}$ 在 $\tau \to \beta - \tau$ 下对称：$D_{+}(\omega, \tau) = D_{+}(\omega, \beta - \tau)$。这使得推迟相互作用在交换 $\tau \leftrightarrow \tau'$ 下不变。

4.3 幂律谱与长程虚时间核#

在连续极限 $\sum_{\mu} \to \int d\omega \, J(\omega)/\pi$ 下，谱函数 $J(\omega)$ 编码了浴的全部信息。

幂律谱（ohmic 族）：

其中 $\alpha$ 是无量纲耦合强度，$s$ 是谱指数（$s=1$ 为 ohmic，$s<1$ 为 sub-ohmic，$s>1$ 为 super-ohmic），$\omega_c$ 是截断频率。

传播子本身是指数型，不是幂律。 固定频率 $\omega$ 的 $D(\omega, \tau)$ 以 $e^{-\omega\tau}$ 指数衰减。幂律行为出现在对所有频率积分后的 bath kernel：

在长虚时间极限 $\omega_c |\tau - \tau'| \gg 1$ 下，

适用区间。 有限温度下核 $K$ 是 $\beta$-周期的，上述幂律只在中间区间

成立。当 $d_\beta\to\beta$（接近周期边界）时不能再使用 $|\tau|^{-1-s}$，应改用周期距离 $d_\beta$ 表达的核。采样 $\Delta\tau$ 时（§7.5）已隐含了这一周期性。

$s$ 越小，虚时间关联越长程，量子临界行为越强。

5. 从通用推迟作用量进入 MC：采样对象到底是什么#

5.0 从配分函数到构型权重#

§3 的结果是 $Z / Z_{\mathrm{b}} = \mathrm{Tr}_{\mathrm{s}} \, \hat{\mathcal{T}}_{\tau} \, e^{-\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}}$。到这一步为止，我们只完成了解析化简：玻色浴已被精确积分掉，原来的自旋-玻色问题变成了一个纯自旋但非局域虚时间相互作用的问题。

但这个形式只是纸上简洁，计算机根本没法直接算。 原因有三：(1) 它是算符的指数，不是普通函数；(2) 推迟相互作用在虚时间上是非局域的——$\tau$ 和 $\tau'$ 可以隔得很远，没有解析解；(3) 自旋希尔伯特空间虽小，但直接对角化完全对付不了连续时间的非局域作用量。因此必须再做一步：把连续的非局域作用量，拆成一堆离散的"基本作用单元"的组合——这就是相互作用展开的动机。

需要强调：本文做的是连续时间相互作用展开，不是传统的定长算符串 SSE。每个顶点携带显式的连续虚时间变量 $(\tau, \tau')$，不需要时间离散化；而 directed-loop 的局部顶点结构与 SSE 相同。因此更准确的说法是"连续时间相互作用展开 + SSE/directed-loop 型局部更新"，而非无显式时间变量的传统 SSE。

下一步不是再近似 $\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}$，而是把迹重写成 Monte Carlo 可以采样的构型和权重：

MC 的采样对象不是玻色子数态，也不是相干态路径，而是推迟相互作用的级数展开配置：

其中 $n$ 是展开阶数，$\nu_p = (v_p, \omega_p, \tau_p, \tau'_p)$ 是第 $p$ 个推迟顶点，$|\alpha\rangle$ 是一条自旋世界线的初始 $S_z$ 态。MC 在这些配置之间随机游走：增删顶点、改变顶点类型、翻转世界线段。最后对配置做统计平均，得到磁化率、关联函数等可观测量。

MC 更新分为互不相干的两类：

对角更新管"有多少个顶点"；有向环更新管"顶点之间怎么连接"。

5.1 通用推迟相互作用到顶点权重的三步分解#

重写的核心是把推迟相互作用的连续权重拆成"采样分布 × 矩阵元"。关键是让归一化常数闭合：连续核 $J(\omega)D/\pi$ 拆成归一化采样分布 $\mathcal{J}(\omega)P(\omega,\Delta\tau)$ 乘以一个无量纲耦合常数 $\lambda$，后者被吸收进顶点算符 $\hat{h}_v$。

第一步：定义归一化常数。 定义谱函数矩

$\lambda$ 是无量纲耦合强度（后续进入顶点权重）。引入归一化频率分布和给定 $\omega$ 下的虚时间差分布：

直接验证 $\int_0^{\beta} d(\Delta\tau)\,P(\omega, \Delta\tau) = \int_0^\beta \omega D(\omega,\tau)d\tau = 1$，故 $P$ 归一化。

第二步：闭合常数，把连续核拆成"采样分布 × 常数"。 把 $J(\omega) = \omega\,\mathcal{N}_J\,\mathcal{J}(\omega)$ 代入 $\frac{1}{\pi}J(\omega)D(\omega,\Delta\tau)$：

因此常数 $\lambda = \mathcal{N}_J/\pi$ 必须进入顶点算符部分。Weber 原文明确说谱函数的归一化因子被吸收到算符部分——这正是 $\lambda$ 出现在 §5.3--§5.4 的 $\hat{h}_1$ 中的原因。

第三步：MC 只采样这个乘积。 将通用推迟相互作用写成

其中 $\hat{O}(\tau,\tau')$ 是自旋算符（例如 $\hat{S}_+(\tau)\hat{S}_-(\tau')$）。代入第一步的分解：

其中 $\hat{h}_{a} \equiv \lambda\,\hat{O}_{a}$，$a \in \{\text{diagonal}, \text{off-diagonal}\}$ 标记对角/非对角类别。常数 $\lambda$ 已被 $\hat{h}_{a}$ 吸收。代入展开后，单顶点配置的权重为

其中 $W_{v} \equiv \langle \alpha' | \hat{h}_{v} | \alpha \rangle$ 是自旋顶点矩阵元（见 §6）。$\mathcal{J}$ 负责抽 $\omega$，$P$ 负责抽 $\tau, \tau'$，$W_v$ 处理离散顶点——三者解耦，各自处理。

推迟相互作用的三因子形式（为方便 §5.2--§5.4 引用，重列）：

幂律谱的 $\lambda$ 显式值。 对 $J(\omega) = 2\pi\alpha\,\omega_c^{1-s}\omega^{s}$（$0<\omega<\omega_c$），

注意分母是 $J(\omega)/\omega$ 的积分（即 $\omega^{s-1}$ 的积分），而不是 $J(\omega)$ 本身的积分。每个自旋分量 $\ell$ 对应各自的 $\lambda_\ell = \frac{1}{\pi}\int d\omega\,J_\ell(\omega)/\omega = 2\alpha_\ell\omega_c/s$；§5.3 的 $\lambda_{xy}$ 正是来自这一公式，而非 $\frac{1}{\pi}\int d\omega\,J(\omega)$。

5.2 Rabi / 原始自旋-玻色子模型#

取 $\hat{\varrho}_{q} = \gamma_{q} \hat{S}_{z} = \hat{\varrho}_{q}^{\dagger}$（厄米耦合算符）。推迟相互作用使用对称传播子 $D_{+}$：

若希望用 wormhole spin-flip 框架，可通过转动自旋基底（例如 $S_z \leftrightarrow S_x$ 的 Hadamard 旋转）将推迟相互作用分解为非对角部分和对角部分，从而适配 directed-loop 更新。

5.3 JC-like 模型#

Jaynes-Cummings 型自旋-玻色模型的完整哈密顿量：

对照通用形式 $\hat{H}_{\mathrm{sb}} = \sum_{\mu} (\hat{a}_{\mu}^{\dagger} \hat{\varrho}_{\mu} + \hat{\varrho}_{\mu}^{\dagger} \hat{a}_{\mu})$，读出

代入推迟相互作用的一般形式 $\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}} = -\iint d\tau d\tau' \sum_{\mu} \hat{\varrho}_{\mu}^{\dagger}(\tau) D(\omega_{\mu}, \tau - \tau') \hat{\varrho}_{\mu}(\tau')$：

为什么只有 $\hat{S}_{+}\hat{S}_{-}$ 一项？ 回顾 §3.3 的 Wick 收缩：Dyson 展开中，每个湮灭算符 $\hat{a}$ 必须与一个产生算符 $\hat{a}^{\dagger}$ 配对。JC 耦合中，$\hat{a}^{\dagger}$ 伴随 $\hat{S}_{-}$，$\hat{a}$ 伴随 $\hat{S}_{+}$。因此每个非零收缩对产生 $\hat{S}_{+}(\tau)$（来自 $\hat{a}(\tau)$ 的伴侣）和 $\hat{S}_{-}(\tau')$（来自 $\hat{a}^{\dagger}(\tau')$ 的伴侣），乘积为 $\hat{S}_{+}(\tau) \hat{S}_{-}(\tau')$。

二阶项的显式验证。 最低非零阶 $m=2$ 的自旋迹为 $\frac{1}{2}\int d\tau d\tau'\langle\hat{\mathcal{T}}_\tau V(\tau)V(\tau')\rangle_{\mathrm{b}}$。展开 JC 耦合 $V=\sum_q(\hat{a}_q^\dagger\hat{S}_-+\hat{S}_+\hat{a}_q)$ 后，只有交叉项非零（$\langle\hat{a}\hat{a}\rangle_{\mathrm{b}}=\langle\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\rangle_{\mathrm{b}}=0$）：

利用玻色 KMS 关系 $\langle\hat{\mathcal{T}}_\tau\hat{a}^{\dagger}(\tau)\hat{a}(\tau')\rangle_{\mathrm{b}}=D(\omega,\tau-\tau')=D(\omega,\tau'-\tau+\beta)$ 以及时间积分对 $\tau,\tau'$ 对称，第二项在交换哑变量 $\tau\leftrightarrow\tau'$ 后恰好回到第一项。因此最终只有一个独立的有向核 $\hat{S}_+(\tau)D(\omega,\tau-\tau')\hat{S}_-(\tau')$——这正是 §5.3 前文 $\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}^{\mathrm{JC}}$ 中只出现一项的原因，而无需借助模糊的"先翻下再翻上"。

这一点与 XXZ / Rabi 截然不同。Rabi 的 $\hat{\varrho} = \hat{\varrho}^{\dagger} = \gamma \hat{S}_{z}$，因此一个产生算符的伴侣可以是 $\hat{S}_{z}$（来自 $\hat{a}^{\dagger}\hat{S}_{z}$ 项），一个湮灭算符的伴侣也可以是 $\hat{S}_{z}$（来自 $\hat{S}_{z}\hat{a}$ 项）——收缩后总是 $\hat{S}_{z}(\tau)\hat{S}_{z}(\tau')$，自然地出现对称组合并对称化为 $D_{+}$。JC 的 $\hat{\varrho} \neq \hat{\varrho}^{\dagger}$ 打破了这种对称性。

从推迟相互作用提取顶点算符。 将 $\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}^{\mathrm{JC}}$ 代入 §5.1 的分解式 $\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}} = -\int d\omega \, \mathcal{J}(\omega) \iint d\tau d\tau' \sum_{a} P(\omega, \tau - \tau') \hat{h}_{a}$。逐一比对各部分：

• $\mathcal{J}(\omega)$ 和 $P(\omega, \tau - \tau')$ 是纯数值因子（§5.1 已定义），与自旋算符无关，在所有顶点 $a$ 中共享。
• 自旋部分 $\hat{h}_{a}$ 需要从 $\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}^{\mathrm{JC}}$ 的自旋算符中读出。$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}^{\mathrm{JC}}$ 的自旋部分为 $\hat{S}_{+}(\tau) \hat{S}_{-}(\tau')$——这是非对角算符组合，对应 $a = 1$（非对角顶点）。
• 对角部分 $\hat{h}_{2}$ 来自两个来源：(1) 常数 $C$，为确保 Monte Carlo 权重非负而人为加入（见下文）；(2) Zeeman 项 $-\hat{h}_{z} \hat{S}_{z}$（来自 $\hat{H}_{\mathrm{s}}$，之前在 §3.1 暂设为 0，现在加回）。

Zeeman 项如何变成顶点形式：$\hat{H}_{\mathrm{s}} = -h_{z} \hat{S}_{z}$ 在相互作用展开中本作用于单一虚时间点。要把它嵌入推迟顶点的四腿框架（两个子时间点 $\tau,\tau'$），需将其对称分配为 $\frac{h_z}{2}[\hat{S}_z(\tau)+\hat{S}_z(\tau')]$。这并非任意的形式变换，它依赖 §5.1 定义的分布 $\mathcal{J}, P$ 的归一化恒等式：

由此可直接验证分配的等价性：

第二步中第一个等号的两个 $\hat{S}_z$ 积分在交换哑变量 $\tau\leftrightarrow\tau'$ 后相等。因此

因此 JC 的两类顶点算符为

其中耦合常数 $\lambda_{xy}$ 来源于谱矩 $\frac{1}{\pi}\int d\omega\,J(\omega)/\omega = 2\alpha_{xy}\omega_c/s$（§5.1 已推导）。前因子 $1/2$ 来自推迟相互作用分解中的归一化约定。

顶点类型差异：有向算符配对，而非固定的时间先后。 JC 的推迟作用量只含 $\hat{S}_+(\tau)\hat{S}_-(\tau')$ 一个非对角核：$\hat{S}_+$ 固定连接到湮灭端（$\hat{a}(\tau)$ 的伴侣），$\hat{S}_-$ 固定连接到产生端（$\hat{a}^\dagger(\tau')$ 的伴侣）。这是一个有向的算符配对，但不意味着固定的虚时间先后——$\tau$ 和 $\tau'$ 独立取遍 $[0,\beta)$，没有约束 $\tau>\tau'$。

真正的算符顺序由 $\hat{\mathcal{T}}_\tau$ 决定：若 $\tau>\tau'$，$\hat{S}_+(\tau)$ 在编序积中位于左侧；若 $\tau<\tau'$，次序相反。又因 $D(\omega,\tau-\tau')$ 是 $\beta$-周期的有向传播子，$\tau,\tau'$ 在整个方形区域 $[0,\beta)^2$ 上积分时两种时间先后都已包含在内。因此准确的说法是"JC 只有一个独立的有向顶点类型"，而不是"反向过程根本不存在"。

与之对比，XXZ（§5.4）中 $\hat{S}_+\hat{S}_-$ 和 $\hat{S}_-\hat{S}_+$ 两个方向都作为独立的核出现。这两种差异——$\lambda_z=0$ 和单向 spin-flip——使得 JC 的顶点权重表比 XXZ 少一种非对角顶点（$W_5=0$，见 §6.2）。

5.4 XXZ / XYZ 自旋-玻色子模型#

非对角算符部分：

对角算符部分：

其中 $\lambda_{\ell} = 2 \alpha_{\ell} \omega_{c} / s$ 来自谱矩（§5.1）。将 $\hat{h}_{1}, \hat{h}_{2}$ 放到 $S_{z}$ 基底下算矩阵元，XXZ 得六种顶点权重 $W_{1} \sim W_{6}$；JC 取其中 $W_5=0$；XYZ 追加 $W_7,W_8$——详见 §6.2。

6. QMC 配置空间与顶点权重#

§5 定义了抽象的顶点算符 $\hat{h}_v(\tau, \tau')$（如 $\hat{S}_+(\tau)\hat{S}_-(\tau')$、$\hat{S}_z(\tau)\hat{S}_z(\tau')$）。但 QMC 需要具体的数值权重，因此必须把算符放到 $S_z$ 基底下计算矩阵元——这就是 §6 要做的事。

为什么是四条腿？ 一个推迟顶点同时接触两个虚时间点（$\tau$ 和 $\tau'$），每个时间点有算符作用前、后的自旋态。$2 \times 2 = 4$ 个接口——这就是"腿"的来源。

顶点种数依赖模型，并非"spin-$1/2$ 固定六种"。 spin-$1/2$ 只有 $|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle$ 两个态，但这只决定腿的可能赋值，不直接决定顶点种数——顶点种数由非对角算符核的类型数决定，而后者依赖模型：

• XXZ（§5.4）：非对角核含 $\hat{S}_+\hat{S}_-$ 和 $\hat{S}_-\hat{S}_+$ 两个方向。对角顶点不翻转自旋（四种组合 $\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow$、$\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow$、$\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow$、$\downarrow\downarrow\downarrow\downarrow$），非对角顶点翻转自旋（两种：$\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow$、$\downarrow\uparrow\uparrow\downarrow$），总计六种。
• JC（§5.3）：非对角核只有 $\hat{S}_+\hat{S}_-$ 一个方向，$\hat{S}_-\hat{S}_+$ 对应的权重 $W_5=0$。因此只有五种非零顶点。
• XYZ / 旋转后的原始 spin-boson（§5.5）：非对角核含 $\hat{S}_+\hat{S}_-$、$\hat{S}_-\hat{S}_+$、$\hat{S}_+\hat{S}_+$、$\hat{S}_-\hat{S}_-$ 全部四种组合，对应八种顶点。
• 更高自旋则顶点更多。

因此"spin-$1/2$ 正好六种顶点"只对 XXZ 成立，不是普适结论。§6.2 的权重表以 XXZ 六种为基准，JC 取 $W_5=0$，XYZ 追加 $W_7,W_8$。

6.1 配置定义#

一个 Monte Carlo 配置定义为

其中 $n$ 是展开阶数，$\mathcal{C}_{n} = \{\nu_1, \ldots, \nu_n\}$ 是顶点列表，$|\alpha\rangle$ 是 $S_z$ 基底中的初态。每个顶点变量为

其中 $t_{\mathrm{int}}$ 标记相互作用类型（区分浴顶点、磁场顶点、交换顶点等），$v \in \{1, \ldots, N_v\}$ 是具体的四腿顶点类型（$N_v$ 依赖模型：XXZ 六种、JC 五种、XYZ 八种，见 §6.2），$\omega$ 是被采样的 bath 频率，$\tau, \tau'$ 是推迟相互作用的两个虚时间点。

配置权重的完整推导：从算符迹到世界线乘积。 展开的自旋迹 $\mathrm{Tr}_{\mathrm{s}}\,\hat{\mathcal{T}}_\tau\prod_p\hat{h}_{a_p}(\tau_p,\tau_p')$ 还不是可以直接写成"顶点乘积"的形式。必须按如下步骤闭合：

1. 插入完备基。 在每个子时间点插入 $1=\sum_{\sigma\in\{\uparrow,\downarrow\}}|\sigma\rangle\langle\sigma|$。
2. 统一排序所有子时间点。 把全部 $2n$ 个子时间点 $\{\tau_1,\tau_1',\ldots,\tau_n,\tau_n'\}$ 重新排序为 $0\le t_1
3. 按顺序传播世界线。 自旋态沿排序后的子时间点逐段传播：

其中 $\hat{o}_j$ 是第 $j$ 个子时间点上的算符（来自某一顶点的 $\hat{\varrho}^\dagger$ 或 $\hat{\varrho}$）。 4. 周期闭合条件。 末态必须等于初态 $|\alpha(\beta)\rangle=|\alpha(0)\rangle$，即 $\sigma_{2n+1}=\sigma_1$。 5. 非法构型权重为零。 任何使某个局域矩阵元 $\langle\sigma_{j+1}|\hat{o}_j|\sigma_j\rangle=0$ 的构型（如对角顶点处自旋被翻转、非对角顶点处自旋未翻转）权重为零。

完成这些步骤后，自旋迹才真正分解为各局域 $W_{v_p}$ 的乘积，配置权重才取下列形式。更完整地：

配置的总权重（完成世界线闭合后）：

单个顶点的权重：

其中 $W_{v}$ 是离散顶点类型的权重（局域矩阵元）。$\mathcal{J}(\omega)$ 和 $P(\omega, \tau - \tau')$ 是全局前置因子（与顶点类型 $v$ 无关），在 directed-loop 方程中抵消。

关于 $1/n!$ 与顶点列表的排序。 数学展开中的 $1/n!$ 对应顶点标签的置换冗余。在程序实现中，顶点可以保存在未按时间排序的数组里（见 §9.6），此时 $1/n!$ 仍由展开定义保留；构造世界线时再把所有子时间点重新排序。

6.2 顶点类型表#

对 $S_z$ 基底下 spin-$1/2$ 的推迟相互作用，共有六种顶点类型。本文使用 spin-$1/2$ 给出最小顶点表；原则上更高自旋不被禁止，但需要重新定义局域 Hilbert 空间、顶点类型和 directed-loop 方程，复杂性显著增加。

对角顶点（类型 1--4）在传播时不改变世界线的自旋态。非对角顶点（类型 5, 6）通过一对时间和方向相反的 spin flip 改变世界线——这正是 wormhole 更新中 loop 传播的物理来源。

顶点权重 $W_v$ 的用途。 $W_v$ 是 $\hat{h}_v$ 在 $S_z$ 基底下的矩阵元 $\langle \alpha' | \hat{h}_v | \alpha \rangle$——即上面六种顶点在对应自旋初末态下的数值。它是 MC 算法实际使用的离散权重：对角更新接受比直接用 $W_v$ 计算（§7）；有向环方程中的概率只依赖 $W_v$ 的相对值（§8.3），连续因子 $\mathcal{J} P$ 已被 proposal 吸收。$W_v$ 也是判断 sign problem 的最终对象——只要所有 $W_v \ge 0$（通过选择适当的 $C$ 和自旋基底），算法就无符号问题。

以 XXZ 模型为例（§5.4），将 $\hat{h}_1, \hat{h}_2$ 在 $S_z$ 基下求矩阵元，六种顶点权重为

JC 的顶点权重表。 JC 中 $\lambda_z=0$（无 $S_zS_z$ 浴耦合项）、且非对角核只有一个方向，因此 $W_5=0$。将 $\lambda_z\to 0$ 代入并取 $W_5=0$：

JC 因此只有五种非零顶点（$W_1,W_2,W_3,W_4,W_6$）。$W_5=0$ 的处理在 directed-loop 中见 §8.3。无符号条件为 $C\ge|h_z|/2$。

注：$W_5,W_6$ 哪一个为零取决于非对角算符的编号约定（哪个方向记为 5、哪个记为 6）。本表取 $v=6$ 对应 $\hat{S}_+(\tau)\hat{S}_-(\tau')$（JC 的唯一非对角核），故 $v=5$（$\hat{S}_-(\tau)\hat{S}_+(\tau')$）权重为零。

常数 $C$ 对物理量的影响。 加入 $C$ 后，$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}\to\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}-\int d\omega\,\mathcal{J}\int d\tau d\tau'\,P\cdot C=\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ret}}-\beta C$（最后一步用了 §5.1 的归一化恒等式），因此配分函数 $Z\to e^{\beta C}Z$。$C$ 不改变归一化后的自旋关联函数等普通可观测量，但会改变：

• 配分函数的绝对归一化；
• 自由能 $F\to F-C$；
• 能量估计量中的常数项。

调节 $C$ 使全部 $W_v \ge 0$ 即可消除 sign problem（这是 $C$ 的主要用途）。对 XXZ，无符号条件为

这些权重（XXZ 六种 / JC 五种）与铁磁 XXZ 最近邻自旋模型的顶点权重一致——这也是有向环方程可以照搬的根本原因。

7. 对角更新#

§6 定义了配置空间 $\mathcal{C} = \{n, \mathcal{C}_n, |\alpha\rangle\}$。MC 需要在不同配置间随机游走。配置有两个独立自由度：(1) 顶点数量 $n$ 及每个顶点的类型/位置/频率；(2) 自旋世界线的形态（$\uparrow$ 或 $\downarrow$ 段）。

对角更新只负责第一个自由度：改变 $n$。

为什么叫"对角"？因为只增删对角顶点（类型 1--4）——对角顶点不翻转自旋，增删它不改变世界线形态，只改变顶点数量。接受比里的 $W_v$ 正是 §6 算出的对角顶点权重：Metropolis 接受比的核心是新旧配置权重比，而权重就是对角顶点权重的乘积。

对角更新的作用是通过 Metropolis-Hastings 算法添加或删除一个对角顶点 $\hat{h}_{2}(\tau, \tau')$，从而改变展开阶数 $n$。

7.1 Metropolis-Hastings 接受率#

从配置 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{C}'$ 的接受概率：

接受比为

7.2 添加顶点的提议概率#

提议添加一个新顶点的概率密度：

分子中的 $\mathcal{J}(\omega) P(\omega, \tau - \tau') d\omega d\tau d\tau'$ 是按谱和传播子自身分布采样的概率密度。分母中 $n+1$ 来自新顶点插入有序列表的 $n+1$ 个可能位置。

7.3 删除顶点的提议概率#

从 $n_2 + 1$ 个对角顶点中均匀随机选择一个删除（$n_2$ 是当前配置中对角顶点的数量）：

7.4 最终接受比#

权重之比：

代入接受比公式，分子 $\mathcal{J}(\omega) P(\omega, \tau - \tau') d\omega d\tau d\tau'$ 与提议概率中的对应项抵消：

这里 $p_{t_{\mathrm{int}}}$ 是选择相互作用类型的概率（若只有一种相互作用，$p_{t_{\mathrm{int}}} = 1$）。

7.5 采样 $\omega$ 和 $\Delta\tau$#

利用逆变换采样法从 $\mathcal{J}(\omega)$ 和 $P(\omega, \Delta\tau)$ 抽取连续变量。

对幂律谱 $J(\omega) = 2\pi \alpha \omega_{c}^{1-s} \omega^{s}$（$0 < \omega < \omega_{c}$），归一化谱分布为 $\mathcal{J}(\omega) = s \omega_{c}^{-s} \omega^{s-1}$。

累计分布：

令 $F(\omega) = \xi$，$\xi \in [0, 1)$ 为均匀随机数：

对传播子 $P(\omega, \Delta\tau) = \omega e^{-\omega \Delta\tau} / (1 - e^{-\beta \omega})$（$0 \le \Delta\tau < \beta$）：

累计分布：

令 $F(\Delta\tau) = \xi$：

若使用对称化传播子 $D_{+}$，先按上式抽取 $\Delta\tau$，再以概率 $1/2$ 替换为 $\beta - \Delta\tau$。

8. Directed-Loop / Wormhole 更新#

§7 的对角更新只改顶点数量 $n$，完全碰不到自旋构型。如果只有对角更新，世界线从始至终不变，采样彻底失效。

那能不能做局域自旋翻转？并非完全不行，但通常效率很低。因为推迟相互作用是长程虚时间关联——翻转某一时刻的自旋，会同时改变所有包含该时刻的顶点的权重，数量极多。局域翻转的接受率在低温、强耦合、临界区通常极低（临界慢化），实际难以用作主更新。

所以要采用 directed-loop 策略：不翻单个自旋，而是构造一条闭合的世界线环，把环内所有自旋段整体翻转。一次更新同时改变大量自旋态，但天然满足细致平衡。Weber 报告该算法在所研究的参数区间显著改善了临界区的采样效率，且 loop 平均长度与相应磁化率相关；但这不等于在所有参数区间都没有遍历或自相关问题——极端参数下的表现需另行验证。

关键理解：虚时间同时扮演两个角色。 单自旋自旋-玻色模型没有空间格点（0 维空间）。虚时间 $\tau$ 既是自旋演化的"时间轴"，又是顶点连接的"节点"——顶替了格点 SSE 里空间格点的位置。因此只有一条世界线，非对角顶点 $\hat{S}^+(\tau)\hat{S}^-(\tau')$ 纵向连接这同一条世界线上的两个远点，loop 在这条世界线上"瞬移"——这就是虫洞跳跃（wormhole jump）。

对比格点 SSE（以一维海森堡模型为例）：有 $N$ 条并行的世界线（每个格点一条），非对角顶点 $\hat{S}_i^+\hat{S}_j^-$ 横向连接两条相邻世界线，loop 在格点之间跳。两者的世界线名字相同但 loop 更新中角色完全不同：格点 SSE 里 loop 跨多条世界线；wormhole QMC 里 loop 始终在同一条世界线上绕。

拓扑等价性的精确含义。 尽管物理维度不同，推迟顶点和最近邻格点顶点的四腿图论结构完全同构：两个节点（格点 $i,j$ ↔ 虚时间 $\tau,\tau'$）、四个接口、一个两体算符。Directed-loop 的局部方程只关心入口腿和出口腿的权重关系，不关心节点是空间格点还是虚时间点。Weber 论文原话："构造有向环的规则与最近邻自旋模型等价——格点指标只是被替换成了虚时间变量。"这正是 §8.1--§8.4 可以把标准 directed-loop 算法原封不动搬过来的原因。

8.0 先不写公式：有向环到底在干什么#

在世界线 QMC 中，一个构型是自旋沿虚时间方向的历史。以 $S_z$ 基底为例，在每个虚时刻 $\tau$，自旋态为

如果某个虚时间区间没有自旋翻转算符，世界线保持原方向；遇到 $\hat{S}_+$ 或 $\hat{S}_-$，世界线就在该点翻转。因此，世界线是由"段"（固定 $S_z$ 的区间）和"翻转点"（算符位置）交替组成的一维图。

为什么需要全局更新。 普通局域更新一次只增删一个顶点，改动太小。在低温或临界区，世界线的长程结构强关联——局部微扰很难遍历构型空间，导致极长的自相关时间。

有向环的基本图像。 Directed-loop 不逐个改顶点，而是构造一条闭合路径（loop），沿路径翻转全部世界线段：

1. 插入 head / tail：在随机虚时间 $\tau_0$ 插入一对自旋翻转算符——一个叫 tail（固定），一个叫 head（可移动）。head 是世界线中的一个临时不连续点。

2. head 沿世界线传播：head 沿虚时间方向前进，直到遇到一个相互作用顶点。

3. 选择出口腿：每个顶点有四条腿——两个虚时间点 $\tau$ 和 $\tau'$，每个时间点有算符作用前、后的自旋态（示意图见下方"顶点的四条腿"）。head 进入某条腿后，根据局部概率选择一条出口腿离开。可能的出口包括：

   • 直行：从同一时间点的另一条腿出去（不改变顶点类型，只改变自旋段归属）
   • 转弯：从不同时间点的腿出去，同时改变顶点内部连接
   • 反弹（bounce）：原路返回——head 回到刚来的方向，更新几乎没有改变构型，效率低
   • 虫洞跳跃（wormhole）：从 $\tau$ 处的腿直接跳到 $\tau'$ 处的腿——这正是推迟相互作用的非局域出口

4. 闭合 loop：head 继续传播，重复步骤 2--3，直到回到最初的 tail 位置。此时 loop 闭合，构成一条合法路径。

5. 翻转世界线段：loop 闭合后，把它经过的所有世界线段整体翻转（$\uparrow \leftrightarrow \downarrow$）。旧构型变成新构型，且新构型自动满足自旋翻转算符的匹配条件——因为 head 走过的路径本身就定义了哪些段需要翻转。

一次 loop 更新同时改变大量世界线段，从而突破局域更新的瓶颈。

bounce 为什么是效率杀手。 如果 head 进入顶点后直接原路返回，loop 闭合得很快但几乎没有改变构型——等价于什么都没做。bounce 概率越高，loop 的有效长度越短，更新效率越低。因此 directed-loop 方程的核心目标之一是最小化 bounce 权重。

顶点的四条腿——编号约定。 一个推迟顶点（retarded vertex）包含两个虚时间子顶点，由 bath 传播子（虚线）连接：

      τ 子顶点                    τ' 子顶点
  before ──●── after        before ──●── after
            |                         |
            +======== bath line ======+

四条腿按以下约定编号：

    l=1   l=2                l=3   l=4
     ○────○      ~~~~~      ○────○
      τ 子顶点                τ' 子顶点

• $l = 1$：$\tau$ 处算符作用前的自旋态（入口/出口）
• $l = 2$：$\tau$ 处算符作用后的自旋态
• $l = 3$：$\tau'$ 处算符作用前的自旋态
• $l = 4$：$\tau'$ 处算符作用后的自旋态

$W_{v}(l_1, l_2)$ 的含义是：head 从腿 $l_1$ 进入顶点，从腿 $l_2$ 离开。bounce 的严格定义是 $l_2 = l_1$——head 从进入的同一条腿退出，原路返回。四种典型跳转：

重要说明：腿号到物理跳转的映射不是固定的。 上表按"前/后、同/跨子顶点"这一组合特征分类，而不是按具体的 $(l_1,l_2)$ 数对。例如 $2\to1$ 是否为 bounce 取决于编号约定和传播方向约定——它可能直行、可能转弯，但不一定是 bounce（原表中"$2\to1$ 是 bounce"的说法在没有完整顶点图和方向约定时不成立）。唯一可靠的 bounce 判据是 $l_{\rm out}=l_{\rm in}$，与 Weber 原文对角 assignment-table 元素的定义一致。具体实现 directed-loop 时，必须先画出每种顶点的四腿自旋赋值图，再据此确定 $(l_1,l_2)$ 与跳转类型的对应。

头两类（bounce/直行）不改变顶点类型，只重连自旋段归属；后两类（虫洞跳跃/转弯）会改变顶点类型——这正是 loop 穿越世界线构型的方式。在 §8.3 的方程组中，$a$ 对应直行、$b$ 对应转弯、$c$ 对应虫洞跳跃、$b_1,b_2,b_3$ 对应 bounce。

8.1 局部细致平衡：为什么全局退化为局部#

Directed-loop 更新通过扩展配置空间来连接两个需要大量局部更改的正则 MC 配置。在扩展配置空间中，每个顶点被赋予一个入口腿 $l_1$ 和出口腿 $l_2$，相应权重记为 $W_{v}(l_1, l_2)$。

一条完整 loop 的概率是它经过的每个顶点局部转移概率的乘积，而配置权重也是每个顶点权重的乘积。因此全局细致平衡可以退化为每个顶点的局部条件。具体论证：

设一条 loop 经过顶点 $\{v_p\}$，正向过程的总权重为

（这里省略了正反过程相同的起点选择概率、方向选择概率、以及 $\mathcal{J}(\omega)P(\omega,\tau-\tau')$ 等公共因子——这些在正反权重比 $\frac{W(\mathcal{C})P(\mathcal{C}\to\mathcal{C}')}{W(\mathcal{C}')P(\mathcal{C}'\to\mathcal{C})}$ 中抵消。）

反向过程（loop 沿相反方向走，顶点翻转为 $\bar{v}_p$）的总权重为

因此，如果每个顶点都满足

那么整条 loop 的正反权重自动相等——全局细致平衡退化为局部方程。其中 $\bar{v}$ 是沿 loop 段翻转自旋后得到的顶点类型（例如 $v = 1$（$\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow$）的翻转版本可能是 $v = 5$（spin-flip 顶点））。

8.2 概率守恒#

从入口腿 $l_1$ 进入后，所有可能出口的总权重等于原始顶点权重：

实际退出概率为

8.3 求解线性系统#

以 XXZ 顶点（§6.2 类型 1, 2, 5）的分配表为例——该表列出了入口腿 $l_1$ 固定时各出口 $l_2$ 的权重赋值。定义 bounce 权重 $b_1, b_2, b_3$（$l_2 = l_1$，原路返回）和转移权重 $a, b, c$（分别对应直行/转弯/虫洞跳跃）。概率守恒给出三个方程：

这是一个关于 $a, b, c$ 的线性方程组。将 $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 视为自由参数，求解得

目标是最小化 bounce 权重（bounce 降低算法效率）。通过调节常数位移 $C$ 和 bounce 权重，可保证 $a, b, c \ge 0$。

在无外磁场 $h_z = 0$ 且 $\lambda_z \le \lambda_{xy}$ 时，取 $b_1 = b_2 = b_3 = 0$ 可得 bounce-free 解。SU(2) 对称情形 $\lambda_z = \lambda_{xy}$ 下，取 $C = \lambda_z / 4$ 即可确定性构造 loop（入口腿唯一决定出口腿）。

8.4 虫洞拓扑等价#

推迟相互作用顶点（四腿结构见 §8.0 示意图）有两条腿在虚时间 $\tau$，两条在 $\tau'$。若将 $\tau'$ 处的子顶点移到 $\tau$ 处子顶点的右侧，从拓扑上看

即推迟顶点的四腿结构与格点模型中最邻近交换顶点的结构完全等价。

两者在 directed-loop 方程中的数学形式相同，差别仅在于

• 格点模型：loop 沿空间键 $(i, j)$ 移动；
• 推迟自旋-玻色模型：loop 沿虚时间虫洞 $(\tau, \tau')$ 跳跃 —— 当 loop head 进入 $\tau$ 处的顶点腿时，通过传播子直接跳到 $\tau'$ 处继续。

因为 $\mathcal{J}(\omega)$ 和 $P(\omega, \tau - \tau')$ 对每个顶点是全局因子，在 directed-loop 方程中抵消，因此 wormhole update 的数学结构完全退化为标准 directed-loop 更新。

8.5 格点 SSE ↔ wormhole QMC 对照表#

下面这张表将 wormhole QMC 的每个新概念，对应回你可能更熟悉的格点 SSE（海森堡模型），让逻辑闭环。

9. 可观测量与实现细节#

9.1 对角可观测量（$z$ 分量）#

对角可观测量（$\hat{S}_{z}$、对角关联函数）不改变世界线构型，直接从传播态 $|\alpha_{p}\rangle$ 读出——无需额外采样。静态磁化率（线性响应定义）应使用连通关联函数：

当对称性保证 $\langle \hat{S}_{\ell}\rangle = 0$（如零场下 $\ell\in\{x,y\}$）时，连通项退化为非连通项 $\langle \hat{S}_{\ell}(\tau)\hat{S}_{\ell}(\tau')\rangle$。但存在外场使 $\langle\hat{S}_z\rangle\ne 0$ 时，必须减去 $\langle\hat{S}_z\rangle^2$，否则 $\chi_z$ 会偏大。

9.2 非对角可观测量（$x, y$ 分量）#

非对角可观测量通过追踪 directed-loop 更新中 loop head/tail 的传播来测量。loop head 和 tail 被识别为自旋翻转算符——根据模型选择 $\hat{\sigma}_{x}$ 或 $\hat{S}_{+}, \hat{S}_{-}$。与普通 SSE 表示不同，这里可以直接访问每个顶点的虚时间值，简化了时移可观测量的计算。

9.3 玻色可观测量与生成泛函#

玻色子已被积分掉，不能直接从世界线构型中获取浴的性质。但可通过高阶自旋-自旋关联函数的生成泛函间接恢复：

将平均展开阶数与自旋子系统能量关联。玻色能量、传播子、比热等估计量已在针对单个 bath 频率的文献 [15,55] 中推导。推广到连续浴时，需要定义从离散频率到连续谱的附加映射 [56,57]，浴的性质因此保留一定的不确定性。

9.4 遍历性：为什么两类更新合起来够用#

对角更新和 directed-loop 更新必须合起来才能到达所有非零权重构型。两者的分工：

• 对角更新改变展开阶数 $n$，插入或删除对角顶点（类型 1--4）——负责采样顶点数的泊松涨落。
• directed loop 把对角顶点翻成非对角顶点（及其逆过程），并整体翻转世界线段——负责遍历自旋构型空间。
• 初态更新：loop 闭合时可改变周期迹的初态 $|\alpha\rangle$（即 $\sigma(\beta)=\sigma(0)$ 的自旋值）。

JC 的特殊考量。 JC 缺少一个非对角方向（$W_5=0$），需确认缺失该方向后仍能遍历所有允许的总激发数扇区。对单自旋 JC，仅存的非对角顶点 $\hat{S}_+\hat{S}_-$ 在 loop 传播中成对翻转自旋（先翻下再翻上，或反之），每次 loop 闭合保持总 $S_z$ 守恒，因此各 $S_z$ 扇区内部遍历；扇区之间的跃迁由初态更新覆盖。若模型存在额外守恒量使某些扇区无法由上述更新连接，则需补充全局更新（如全局自旋翻转）。

9.5 预热与 $\beta$-倍增策略#

MC 预热（warmup）从随机初态 $|\alpha\rangle$ 和空顶点列表开始。对角更新的提议次数和有向环更新的构造环数在预热期间动态调整——使每个顶点平均被每类更新至少触及一次——之后固定不变。

为加速预热，使用 $\beta$-倍增方案：从较小的逆温度开始仿真，逐步倍增 $\beta$，每一步将前一步的平衡构型作为新 $\beta$ 的初始构型。这比直接在目标 $\beta$ 上从零开始预热收敛快得多，尤其对低温（$\beta \gg 1$）仿真至关重要。

9.6 顶点列表的数据结构#

与 SSE 表示中将顶点保存在定长算符串中不同，这里顶点保存在未按时间排序的数组中，每个元素包含 $\nu = \{t_{\mathrm{int}}, v, \omega, \tau, \tau'\}$。这与 §6.1 中数学展开的"顶点标签置换冗余"（$1/n!$）是两件事：程序里顶点可以无序存放，但 $1/n!$ 仍保留。开始对角更新前遍历列表，提取所有子时间点并统一排序以获取世界线构型（§6.1 的步骤 2）。排序操作虽然需要 $\mathcal{O}(\beta \ln \beta)$ 运算，但在所有可及温度下，环的构建仍是最昂贵的任务——排序开销始终小于有向环更新。

对角顶点增删使用交换-计数技巧：添加时插入到位置 $n+1$；删除时随机选取对角顶点，与位置 $n$ 交换后减 $n$。顶点列表使用定长数组，仅前 $n$ 个元素有效。

5.5 XYZ 自旋-玻色子（8 顶点）与原始自旋-玻色子#

XYZ 推广。 若三个自旋分量耦合到独立浴且耦合常数 $\lambda_x, \lambda_y, \lambda_z$ 各不相同，非对角顶点推广为（Eq. 47）：

新增项 $\hat{S}_{+}\hat{S}_{+}$ 和 $\hat{S}_{-}\hat{S}_{-}$ 引入额外的顶点类型 $v = 7$ 和 $v = 8$。共 8 种顶点使 loop 可以从四条腿的任意一条退出，有向环方程需用线性规划数值求解（bounce 最小化不再有解析解）。只要不加 $xy$ 平面外磁场，第二项总是成对出现，不引入负权重。

原始自旋-玻色子模型。 若浴仅耦合 $\hat{S}_{z}$（Eq. 4），无法直接使用 wormhole 更新——推迟相互作用不含 spin-flip 顶点。解决方式：将整个 QMC 方法转到 $\hat{S}_{x}$ 基底下（Hadamard 旋转，交换 $\hat{S}_{z} \leftrightarrow \hat{S}_{x}$）。旋转后非对角顶点变为（Eq. 48--49）：

正权重条件为 $C \ge |h_{x}| / 2$。非对角项同样包含全部四种升降算符组合，对应 8 种顶点，有向环方程需线性规划求解。

10. 晶格模型推广#

虫洞更新可平凡扩展到空间晶格上的自旋-玻色子模型。最简单情形：每个格点耦合到独立浴，顶点变量仅增加一个格点指标 $i$：

对角更新提议新增顶点时额外随机抽取格点 $i \in [1, L]$，接受比中引入因子 $1/L$。算法其余细节不变。

耦合不同格点的相互作用（如最近邻 XXZ 交换）可作为额外相互作用类型加入——前提是该相互作用在 SSE 表示中无符号问题。额外顶点在相互作用绘景中为 $\hat{\mathcal{H}} = \int d\tau \hat{H}(\tau)$，自旋算符获得 dummy 时间变量，通过对角更新采样以确定其在世界线构型中的位置。对角更新使用 §7 的 Metropolis 方案，有向环更新的概率表保持不变。不同相互作用类型的顶点结构可以不同，只要每类各自可定义 loop 更新。

浴跳跃带来的符号问题。 若玻色浴存在 hopping 项 $\hat{a}_{i}^{\dagger} \hat{a}_{j}$（如 Jaynes-Cummings-Hubbard 模型、polariton 模型），积分掉玻色子会产生空间非局域传播子，对 $i \neq j$ 可能出现负矩阵元——此时推迟表述引入 sign problem，更适合直接采样玻色子。

适用于任意空间维度。 虫洞更新适用于任意空间维度下耦合到玻色模式的杂质系统和晶格模型，谱分布任意。对于量子光学中全局玻色模式耦合到不同格点自旋的模型（如 Dicke 模型、离子阱模拟器），无符号条件需逐案评估。

11. 适用性条件与无符号问题的边界#

该算法的适用范围由以下条件限定：

1. 玻色浴是二次型：$\hat{H}_{\mathrm{b}} = \sum_{\mu} \omega_{\mu} \hat{a}_{\mu}^{\dagger} \hat{a}_{\mu}$（或可对角化为此形式）。若非二次型，Wick 定理不适用，无法解析积掉玻色子。

2. 自旋-玻色耦合对 $\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}$ 线性：$\hat{H}_{\mathrm{sb}} = \sum_{\mu} (\hat{a}_{\mu}^{\dagger} \hat{\varrho}_{\mu} + \hat{\varrho}_{\mu}^{\dagger} \hat{a}_{\mu})$。非线性耦合需要更复杂的处理（无法解析积掉 bath）。

3. 顶点权重非负：通过调节常数位移 $C$ 或选择适当自旋基底，确保 $W_{v} \ge 0$。若某模型在所有 $C$ 和所有自旋基底下均出现负 $W_{v}$，则 sign problem 不可消除。

4. 传播子正定性与符号问题的关系：玻色传播子 $D(\omega, \tau)$ 对所有 $(\omega, \tau)$ 为正，意味着玻色收缩本身不引入负权重。需要厘清几个不同层次的概念——点值正（$D(\tau)>0$）、正定核（$\int f^*Df\ge0$）、某种局域顶点分解具有正权重、整个 QMC 存在其他无符号重组——它们互不等价。

对于本框架的因子化 wormhole 表示，正的连续前因子（$\mathcal{J}P\ge0$，来自 $D>0$）加上非负局域顶点权重 $W_v\ge0$，是一个方便的充分条件。但这不是所有无符号 QMC 的必要条件：负的局域矩阵元有时可以通过基底变换、规范变换、配对或 determinant 重组消除（如 determinant QMC、meron-cluster 等方法）。因此不要把"$D>0$ 是无符号 QMC 的必要条件"作为普适结论。完整的无符号条件还需满足：不存在复相位；若 bath 存在 hopping 导致空间非局域传播子矩阵元为负，则需直接采样玻色子而非使用推迟表述。

来源：Weber (2022), Phys. Rev. B 105, 165129 — Quantum Monte Carlo simulation of spin-boson models using wormhole updates 调研时间：2026-07-09（2026-07-10 修订：ρ/ρ† 配对、谱归一化、JC 有向核、世界线闭合、bounce 编号等）