哈密顿量格点规范理论#

Giovanni Cataldi

本章探讨张量网络算法在格点规范理论中的应用。格点规范理论是一个通用的框架，用于研究在离散时空格点上具有规范对称性的量子场论[354-358]。格点规范理论构成了理解自然界基本相互作用的基础，其核心是规范不变性——即物理定律在局部对称变换下保持不变的原则。量子电动力学中的U(1)群和量子色动力学中的SU(3)群等对称群定义了标准模型中基本力的动力学。

格点规范理论提供了一种非微扰的方法来研究量子场论，尤其是在传统方法失效的领域[359-365]。通过离散化时空，格点规范理论使得数值模拟成为可能，从而揭示了诸如禁闭[366-371]、手征对称性破缺[372-375]、强子谱以及夸克和胶子的动力学[376]等引人注目的现象。此外，格点规范理论在粒子物理学之外也有应用，为高温超导[377-379]和自旋液体[380, 381]等低能现象提供了宝贵的见解。

与其他量子多体系统相比，这些理论带来了独特的挑战，因为像QED和QCD这样的模型具有强相互作用的性质。解析方法往往力不从心，数值方法也面临巨大困难。拉格朗日形式下格点规范理论的传统蒙特卡洛模拟[382-393]虽然极其强大，但受到著名的符号问题（sign problem）[365, 394, 395]的限制，这阻碍了其在实时动力学和有限密度区域的有效性。相比之下，哈密顿量形式的格点规范理论特别适合张量网络方法和量子模拟，因为它可以直接进入这些具有挑战性的区域[282, 396-400]。

本章全面介绍了哈密顿量格点规范理论，首先在第11.1节回顾了时空的格点离散化。讨论包括第11.1.3节中的交错费米子（staggered fermions）和第11.1.4节中的规范场（gauge fields），这些是建模这些理论中物质和相互作用的基本组成部分。本章的原创贡献始于第11.2节中引入的“着装位”形式（dressed-site formalism），这是一种规范不变的框架，旨在利用张量网络算法和量子硬件处理格点规范理论的复杂性。这种方法在维数较高、格点规范理论模拟变得愈发具有挑战性的情况下尤其有利。本章探讨了着装位形式的两种具体实现：第11.3节中的U(1)（阿贝尔）格点规范理论和第11.4节中的SU(2)（非阿贝尔）杨-米尔斯格点规范理论。这些实现已成功应用于多项研究[282, 396-403]中产生关键的数值结果，进一步加深了我们对格点规范理论及其在描述自然界基本力中作用的理解。

本章转载自[404]，© GIOVANNI CATALDI。 经许可转载。保留所有权利。

11.1 格点离散化#

我们来考虑由 $(D+1)$ 维点 $r ~ = ~ ( t , \mathbf{r} )$ 标识的连续 $(D+1)$ 维时空域 $(\mathbb{R}^{D} \times \mathbb{R})$，其中 $\mathbf{r} ~ = ~ ( \mathbf{r}_{1} , \ldots \mathbf{r}_{D} )$。在执行空间离散化时，时间变量 $t$ 保持连续，而空间域 $\mathbb{R}^{D}$ 被一个超立方 $D$ 维格子取代，其格点按晶格常数 $a_{0}$ 等间距排列（见图11.1）。然后，格点由坐标 $\mathbf{n} = ( \mathbf{n}_{1} , \ldots , \mathbf{n}_{D} )$ 标记，其中 $r_{k} = a_{0} n_{k}$ 且 $n_{k} \in \{1 \ldots N_{k} \}$，$N_{k}$ 表示沿第 $k$ 个方向的格点数目，$\forall k = 1 , \ldots , D$。那么，如果 $\begin{array} {r} {N = \prod_{k = 1}^{D} N_{k}} \end{array}$ 是总格点数，对应的晶格体积为 $V = a_{0}^{D} {\cal N}$。此外，我们定义指向 $\pm k^{\mathrm{th}}$ 方向的单位晶格矢量 $\pm \pmb{\mu}_{k}$。我们采用对晶格矢量的求和仅包含正方向的约定。那么，沿 $+ {\pmb{\mu}}_{k}$ 方向连接两个相邻格点 $\mathbf{n}$ 和 $\mathbf{n} + \pmb{\mu}_{k k}$ 的格点链路由对 $( {\bf n} , {\pmb \mu}_{k k} )$ 表示，或者等价地由 $( {\bf n} + {\pmb{\mu}}_{k} , - {\pmb{\mu}}_{k} )$ 表示。为后续方便，若 $(-1)^{\mathbf{n}} = (-1)^{\sum_{k} n_{k}}$ 为偶数（奇数），则称该格点为偶（奇）格点。

11.1.1 预备知识#

空间维度的格子离散化会影响所有数学对象：对于一个绝对值平方可积的一般标量场 $f (r)$，

我们必须考虑以下替换：

这种离散化方案引入了一个紫外截断（ultraviolet cut-off），在能量和动量方面，它依赖于晶格间距 $a_{0}$ 的倒数。即，对于每个空间方向 $k$，动量是各向异性的，并取 $N_{k}$ 个离散值 $\begin{array} {r} {p_{k} ( i ) \ \in \ \left[ - \frac{\pi} {a_{0}} , \frac{\pi} {a_{0}} \right]} \end{array}$，其中 $i ~ \in ~ \{1 \ldots N_{k} \}$。那么，沿每个方向的最大动量为 $\bar{p_{\mathrm{max}}} = \pi / a_{0}$，对应的最大能量为 $E_{\mathrm{max}} =$ $\sqrt{\mathbf{p}_{\operatorname*{max}}^{2} + m_{0}^{2}} .$，其中 ${\bf p}_{\mathrm{max}} = ( \pi / a_{0} , \pi / a_{0} , \pi / a_{0} )$。相应地，假设格子具有周期性边界条件，连续傅里叶变换调整如下：

其中 BZ 代表第一布里渊区 $\left[ - \frac{\pi} {a_{0}} , \frac{\pi} {a_{0}} \right]^{D}$ 且 $\widetilde{f}_{a_{0}} ( \mathbf{p}_{\mathrm{{m a x}}} ) =$ $\widetilde{f}_{a_{0}} ( - \mathbf{p}_{\operatorname*{max}} )$。然后，我们可以将 $\widetilde{f}_{a_{0}} ( \mathbf{p} )$ 表示为（有限）傅里叶级数：

如果我们设 $\hat{f}_{\mathbf{n}} = ( 2 \pi )^{- D}$，那么 (11.4) 式简化为第一布里渊区中 $\delta$ 函数的傅里叶级数表示，即

其中 p 表示周期性的。注意，与连续极限不同（其中 $a_{0} \to 0$），这里的 $\delta_{p} ( \mathbf{p} )$ 在 $\mathbf{p} = 0$ 处具有“非零”支撑（模 $2 m \pi$，$m \in \mathbb{N}$）。类似地，Dirac δ 函数 $\delta ( \mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime} )$ 变为一个 Kronecker $\delta_{\mathbf{n} \mathbf{n}^{\prime}}$（乘以因子 $a_{0}^{-D}$）：

11.1.2 连续极限与洛伦兹不变性#

紫外截断的主要物理后果如下：离散化理论无法描述尺度小于晶格间距 $a_{0}$（动量大于 $\pi / a_{0}$）的物理现象，即所有短距离（高能）现象【354】。

晶格离散化的另一个后果是洛伦兹不变性（狭义相对论的对称性）的丧失，因为晶格间距 $a_{0}$ 引入了一个优先参考系。在拉格朗日形式中，空间和时间都被离散化，时空晶格不支持连续的洛伦兹变换，但该理论保留了离散版本的空时对称性，例如离散旋转或平移。相反，在哈密顿量 LGT 中进行的空间离散化打破了空间与时间之间的对称性，而这是洛伦兹不变性的关键部分。因此，哈密顿形式被认为显式破坏了洛伦兹不变性。

恢复连续理论和洛伦兹不变性需要取连续极限，即 $a_{0} \to 0, N \to \infty$，同时保持 $a_{0} \cdot N$ 固定【405】。在此条件下，最大动量 $\mathbf{p}_{\mathrm{max}}$ 和能量 $E_{\mathrm{max}}$ 变为无穷大，晶格近似于连续空间。连续极限通常与重正化过程相关，在该过程中，随着晶格间距趋于零，理论被调整以正确重现物理可观测量（这些可观测量应对离散化不敏感）。不幸的是，连续极限的位置并非平凡，需要大量关注来理解晶格间距与哈密顿量参数之间的关系。关于连续极限的全面论述需要专门投入，超出了本章的目的。尽管如此，我们将在第 11.1.3 节和第 11.1.4 节中通过简单的量纲分析部分讨论它。更深入的讨论请参见【355, 366, 383, 405–408】。

11.1.3 费米子场的离散化#

对更复杂对象（如费米子场，即旋量）的离散化需要更多关注，并且会遇到一系列问题，其解决方案既不唯一也不完美。在本节中，我们将通过关注一种可能的解决方案——交错费米子（staggered fermions）——来讨论这些挑战。关于费米子离散化的更一般和完整的讨论，请参见【366, 405, 409】。

让我们从无质量自由费米子的连续狄拉克方程开始。假设时空坐标 $r = ( t , \mathbf{r} ) = ( t , \mathbf{r} )$ 和度规 $\eta^{\mu \nu} = \text{diag}( +1, -1, -1, -1 )$，我们有：

其中 $c$ 是光速，$\hbar$ 是普朗克常数，$m_{0}$ 是质量参数，$\gamma^{\mu}$ 是满足克利福德代数（Clifford algebra）的 $4 \times 4$ 狄拉克矩阵：

场 $\psi ( r )$ 是一个 4 分量旋量，其厄米共轭为 $\overline{\psi}( r ) = \psi^{\dagger} ( r ) \gamma^{0}$。相应的量子化版本满足正则等时对易关系：

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 指标标记旋量分量。在哈密顿量形式下，方程(11.7)变为：

忽略时间依赖性后，此形式的狄拉克哈密顿量成为

在 D 维空间格点上离散化空间时，我们将 ${\hat{\psi}} ( t , \mathbf{r} ) \ \to \ {\hat{\psi}}_{\mathbf{n}} ( t )$，其中 $\mathbf{r} ~ = ~ a_{0} \mathbf{n}$。相应地，正则等时对易关系变为：

除非特别说明，此后我们将省略时间依赖性，仅关注 $\hat{\psi}_{\bf n}$。类似地，空间导数 $\partial_{k} \hat{\psi} ( \mathbf{r} )$ 被替换为（对称）有限差分：

回顾方程(11.2)，格点狄拉克哈密顿量读作

接着我们重新定义 ${\hat{\psi}}_{\bf n} a_{0}^{- D / 2} {\hat{\psi}}_{\bf n}$，得到

这一选择使格点费米子场量纲化，尽管当考虑连续极限位置时，它们对格点间距的隐含依赖性变得重要。

11.1.3.1 费米子加倍问题（Fermion Doubling Problem）#

格点离散化费米子的一个人为产物是狄拉克方程额外解的出现，称为加倍子（doublers）[355]。在 D 维空间中，这些加倍子导致相对于连续理论出现 $2^{D} - 1$ 个额外的费米子种类：即每个空间方向 k 对解的数量贡献因子 2（一个在 $p_{k} = 0$，一个在 $p_{k} = \pi / a_{0}$）

为了形式化地直观展现这些额外解，我们使用先前定义的傅里叶变换将格点旋量场变换到动量空间：

其中 p 是格点动量，V 是格点体积。将方程(11.16)代入离散化导数，我们有：

于是，动量空间中的格点狄拉克哈密顿量变为

由本征值方程 $H ( \mathbf{p} ) \hat{\psi} ( \mathbf{p} ) = E ( \mathbf{p} ) \hat{\psi} ( \mathbf{p} )$，可得

将本征值方程两边平方，可得：

其中，在第二步中，我们利用式(11.8)中克利福德（Clifford）代数的以下性质消去了所有交叉项：

显然，当 (p_{k} a_{0} \ll 1) 时， (\sin(p_{k} a_{0}) \sim p_{k} a_{0})，能量退化为熟悉的相对论性粒子的色散关系：(E(\mathbf{p}) = \pm \sqrt{c^{2} \hbar^{2} \mathbf{p}^{2} + m_{0}^{2} c^{4}})。然而，正弦函数 (\sin(p_{k} a_{0})) 在 (p_{k} = \pi / a_{0}) 处还有一个额外的零点，这会在布里渊区边界产生另一个低能解。因此，在 D 维空间中，我们得到 (\bar{2}^{\bar{D}}) 个费米子种类。这些额外的自由度会影响向连续极限的外推，从而导致无法恢复正确的连续结果。

11.1.3.2 Nielsen 和 Ninomiya 定理#

处理和消除费米子加倍问题既不容易也没有代价。事实上，根据 Nielsen 和 Ninomiya 的不可能性定理（no-go theorem）[410, 411]，任何局域的、厄米的、具有平移不变性和手征对称性的格点费米子理论，必然会出现费米子加倍。因此，任何试图去除加倍子的努力都必须违反该定理的四个假设中的至少一个。选择妥协这些特征中的哪一个，会导向不同的策略，其中 Wilson 费米子 [366] 和交错费米子（staggered fermion）[409] 方法是最著名的方法。前者已在量子模拟中被研究过 [412–415]，而贯穿整个论文，我们将依赖于第二种解决方案，即由 Kogut 和 Susskind 在 [405] 中引入的交错费米子，该方法已被广泛应用于电和磁规范贡献都起重要作用的数值和量子模拟中 [282, 397–402, 416]。

11.1.3.3 交错费米子#

交错费米子并未完全解决费米子加倍问题，但它们代表了一种折衷方案，通过将 Dirac 旋量的分量分布到多个格点上来减少加倍子的数量。这将格点的周期性加倍，从 (a_{0}) 变为 (2 a_{0})，并将布里渊区缩小一半，变为 ([ -\frac{\pi}{2 a_{0}}, \frac{\pi}{2 a_{0}} ]^{D})。这种解决方案失去了局域性，但保持了具有棋盘格图案的修正的平移不变性和手征对称性的残留，这对于保持无质量格点费米子的某些物理特性很重要 [415]。

交错费米子的实际实现强烈依赖于格点的空间维度，因为它影响旋量和 gamma 矩阵的表示 [417]。具体来说，我们需要调整矩阵 (\gamma^{0}) 和 (\gamma^{\hat{0}} \gamma^{k})（其中 (k = 1 \ldots D)），同时保持所有克利福德代数的性质。

（1+1）维情况 — 在一维空间中，(\mathbf{n} = n_{1})，四分量旋量简化为一个二分量旋量，包含第 0（时间）分量和第 3（空间）分量：(\left( \begin{array} {c} {{\hat{\psi}{0}}} \ {{\hat{\psi}{3}}} \end{array} \right))。相应地，(\gamma^{0}) 和 (\gamma^{0} \gamma^{1}) 可以是任意两个泡利矩阵，例如 (\sigma^{z}) 和 (\sigma^{x})。于是我们有：

然后，在交错费米子解中，我们分解旋量分量，将 (\hat{\psi}{0}) 放置在偶数格点上（其中 (( - 1 )^{n{1}} = + 1)），将 (\hat{\psi}{3}) 放置在奇数格点上（其中 (( - 1 )^{n{1}} = - 1)）。那么，对于偶数格点，我们有：

而对于奇数格点，我们有

注意到这两个贡献各自包含另一项的跃迁项的厄米共轭。因此，将偶数和奇数格点结合，通过交错费米子得到的 (1+1)D 狄拉克哈密顿量为：

(2+1)D 情形——两个空间维度的情况不那么简单，因为矩阵 $( \gamma^{0} , \gamma^{0} \gamma^{1} , \gamma^{0} \gamma^{2} )$ 有多种定义方式。例如，使用二分旋量（two-spinor）时，有两个解：$( \gamma^{0} , \gamma^{0} \gamma^{1} , \gamma^{0} \gamma^{2} ) = ( \sigma^{z} , \sigma^{x} , \pm \sigma^{y} )$。选择 $+ \sigma^{y}$ 的情况，我们得到：

旋量分量沿晶格的分解与 (1+1)D 情形类似：我们将 $\hat{\psi}_{0}$ 置于偶格点（其中 $( - 1 )^{n_{1} + n_{2}} = + 1$），将 $\hat{\psi}_{3}$ 置于奇格点（其中 $( - 1 )^{n_{1} + n_{2}} = - 1$）。那么，对于偶格点，我们有：

至于奇格点，我们有

结合这两种情形并注意到跃迁项的厄米共轭，我们发现

(3+1)D 情形——在三维情况下，我们必须使用原始的 4 分量旋量 $\hat{\psi}_{\bf n} = ( \hat{\psi}_{0 , {\bf n}} , \hat{\psi}_{1 , {\bf n}} , \hat{\psi}_{2 , {\bf n}} , \hat{\psi}_{3 , {\bf n}} )$ 和 $\gamma$ 矩阵的原始定义：

相应地，我们有：

在这种情况下，沿着格点分解自旋分量并不直观，但仍是可行的。具体来说，我们将分量 $\hat{\psi}_{0}$ 置于格点 ${\mathbf{n}} = ( 0 , 0 , 0 )$ ：它与 $\hat{\psi}_{3}$ 耦合于 $n_{1} + n_{2}$ 为奇数且 $n_{3}$ 为偶数的格点，与 $\hat{\psi}_{2}$ 耦合于 $n_{1} + n_{2}$ 为偶数且 $n_{3}$ 为奇数的格点，与 $\hat{\psi}_{1}$ 耦合于 $n_{1} + n_{2}$ 为奇数且 $n_{3}$ 为奇数的格点，最后与 $\hat{\psi}_{0}$ 耦合于 $n_{1} + n_{2}$ 为偶数且 $n_{3}$ 为偶数的格点。相应地，$\hat{H}^{3 \mathrm{D}}$ 分解为四个独立的子理论，每个子理论在每个格点上只处理一个费米子种类。特别地，$\hat{\psi}_{0}$ 和 $\hat{\psi}_{1}$ 占据偶数格点，而 $\hat{\psi}_{2}$ 和 $\hat{\psi}_{3}$ 占据奇数格点。至于质量项，它对 $\hat{\psi}_{0}$ 和 $\hat{\psi}_{1}$（偶数格点）作用为正，对 $\hat{\psi}_{2}$ 和 $\hat{\psi}_{3}$（奇数格点）作用为负。关于 $x$ 方向导数，它处处作用为正，而 $y$ 和 $z$ 方向导数对 $\hat{\psi}_{0}$ 和 $\hat{\psi}_{2}$（其中 $n_{1} + n_{2}$ 为偶数）作用为正，对 $\hat{\psi}_{1}$ 和 $\hat{\psi}_{3}$（其中 $n_{1} + n_{2}$ 为奇数）作用为负。总结如下，我们得到：

这与文献 [409] 的结果完全一致。我们强调，跳跃项和质量项中的交错相位（staggered phases）对于恢复正确结果是至关重要的。

11.1.4 规范场的离散化#

在量子场论中，规范不变性原理是物质场（如费米子）与规范场（如玻色子，例如光子或胶子）之间相互作用的基础。这种相互作用由来自相应规范群的局域（规范）变换所支配。

11.1.4.1 群论基础#

考虑一个一般的紧致李群 $\mathcal{G} \left( \mathbf{e . g .} , \mathbf{SU} ( \mathbf{N} ) \thinspace \mathrm{or} \thinspace \mathrm{U} ( 1 ) \right)$，其代数具有生成元 $T^{a}$，其中 $a ~ \in ~ \{1 \ldots \dim Q \}$。在非阿贝尔群 $\mathcal{G}$（如 SU(N)）的基础表示中，这些生成元可以是 SU(3) 的盖尔曼矩阵，或 SU(2) 的泡利矩阵。通常，生成元 $T^{a}$ 满足以下对易规则：

其中 $f^{a b c}$ 是规范群 $\mathcal{G}$ 的结构常数。对于非阿贝尔群，这些常数在指标 $a , b , c$ 上是完全反对称的，编码了生成元（以及相应的由此产生的变换）之间的不对易关系。例如，在 SU(2) 情况下，$f^{a b c}$ 就是列维-奇维塔符号 $\epsilon^{a b c}$。相反，在阿贝尔情形下，如 U(1)，生成元是唯一的标量 $T = 1$，且 $f^{a b c} = 0$。

那么，任意群元素 $\Omega ( r )$ 可以在时空中的不同点变化，定义为：

其中 $\theta^{a} ( r )$ 是规范变换的局域参数。例如，在 SU(2) 的情况下，它可以是一个行列式为 1 的 $2 \times 2$ 幺正矩阵。对于 U(1)（电磁学），它只是一个相位因子 $\exp(i\theta(r))$。

11.1.4.2 物质场#

假设在规范群 $\mathcal{G}$ 的基础表示中存在单一物质味道（matter flavor）。自旋子的规范变换由荷算子 $\hat{\boldsymbol Q}^{a} ( \boldsymbol r )$ 生成，其定义为：

该算子描述了物质场与规范场之间的相互作用，并在存在多个味时构成了规范理论动力学的基础。相应地，在局域规范变换 $\Omega ( r )$ 下，物质场变换如下：

11.1.4.3 协变导数#

原始的狄拉克方程（方程 (11.7)）在局域规范变换（如方程 (11.36)）下显然不是不变的；实际上，当我们变换导数时，我们发现：

因此变换后的狄拉克方程变为：

为了在这种变换下强加不变性，额外项 $i \hbar \gamma^{\mu} ( \partial_{\mu} \Omega ( r ) ) \psi ( r )$ 必须为零。只有当 $\Omega ( r )$ 为常数时，这种情况才会自发发生（这对应于全局规范变换，而非局域规范变换）。通常，为了实现规范不变性，普通导数 $\partial_{\mu}$ 必须被协变导数 $\hat{D}_{\mu}$ 所替代，后者在规范变换下协变地变换，从而抵消由局域规范变换引入的额外项。也就是说，我们有：

其中 $q$ 是电荷，$g_{0} = q / \hbar$ 是规范耦合常数，而 $\hat{A}_{\mu} ( r ) = \hat{A}_{\mu}^{a} ( r ) T^{a}$ 是通过规范群指标 $^{a .}$ 将规范场分量 $\hat{A}_{\mu}^{a} ( r )$ 与生成元 $T^{a}$ 缩并得到的全规范场算子。规范场算子变换如下：

相应地，方程 (11.11) 中的连续狄拉克哈密顿量变得协变如下：

11.1.4.4 纯规范哈密顿量#

为了使狄拉克方程具有规范不变性，我们需要引入一个额外的自由度，即一个规范场，其动力学需要被适当地考虑并添加到狄拉克哈密顿量中。在连续情况下，规范场的动力学由场强张量 $\hat{F}_{\mu \nu} ( \boldsymbol{r} )$ 刻画，对于一般的非阿贝尔规范场 $\hat{A}_{\mu} ( \boldsymbol{r} )$，其表达式为：

为了过渡到哈密顿量形式，我们将其分离为电场和磁场分量：

其中$i , j , k$是空间指标。在库仑规范（Coulomb gauge）下，有$\hat{A}^{0} ( r ) = 0$，电场简化为$\hat{E}_{k}^{a} ( r ) = \hat{F}_{0 k}^{a} ( r ) = \partial_{t} \hat{A}_{k}^{a} ( r ) \bar{/} c$。这一选择并未改变物理，因为它只是利用了定义规范场时的额外自由度。

纯规范场的对应哈密顿量为

其中$\epsilon_{0}$和$\mu_{0} = ( c^{2} \epsilon_{0} )^{- 1}$分别对应真空介电常数（vacuum permittivity）和真空磁导率（vacuum permeability）。在有量纲的单位制（如SI）中，这些常数的物理量纲为

相应地，电场和磁场的量纲为：

至于耦合常数$g_{0}$，其量纲分析结果为

而对于矢势我们有：

11.1.4.5 离散化的规范场#

当从连续体系转向格点体系时，式(11.39)中协变导数的每个空间分量$k$都被平行输运（parallel transport）$\hat{U}_{\bf n , \alpha \mu_{\boldsymbol k}} ( t )$所取代，这是一个无量纲的链接变量（link variable），反映了规范场沿连接相邻格点n和$\mathbf{n} + \pmb{\mu}_{k}$的链接上的影响。忽略时间依赖后，我们将平行输运定义为：

其中第二步假设$\hat{A}^{k} ( r ) \sim \hat{A}_{\bf n}^{k}$在长度为$a_{0}$的格点链接$( {\bf n} , {\pmb \mu}_{k} )$上近似为常数。假设$a_{0}$足够小，我们可以将平行输运子展开到一阶，并注意到：

那么，带有交错费米子的协变狄拉克哈密顿量的格点版本为

其中 $s_{\mathbf{n} , \mu}$ 和 $s_{\mathbf{n}}$ 是使用交错费米子时出现的相位。

与矢势类似，平行输运器的规范变换为：

其中 $\Omega_{\mathbf{n}}$ 是格点 n 处的规范变换矩阵。一般来说，由于式 (11.136) 中的非对易代数，左侧 $\Omega_{\mathbf{n}}$ 和右侧 $\Omega_{\mathbf{n} + \mu_{k}}^{\dagger}$ 规范变换是不同的，分别由无量纲共轭场 $\hat{L}_{\mathbf{n} , \mu}^{a}$ 和 $\hat{R}_{\bf n , \mu}^{a}$ 生成，它们满足以下关系：

其中 $\alpha , \beta , \gamma , \delta$ 遍历群生成元 $T^{a}$ 的矩阵指标。在阿贝尔 U(1) 情形下，只有一个生成元，因此也只有一个电场，平行输运器起到升算符的作用。即，我们有：

11.1.4.6 纯规范格点哈密顿量#

一旦我们对所有规范场进行了离散化，就可以构建式 (11.44) 中纯规范哈密顿量的相应格点版本。电场能量密度由卡西米尔算子（Casimir operator）给出：

为了使卡西米尔算子无量纲化，电场哈密顿量重新定义为：

我们可以通过重新定义规范耦合常数，将后者改写为无量纲单位：

由此得到：

注意新的规范耦合常数 $g$ 虽无量纲，却依赖于格点间距。正如物质场部分所讨论的那样，这种隐含关系在讨论连续极限时变得至关重要。

相应地，在格点上描述磁能量密度最简单的方式是使用威尔逊环（Wilson loops）[366, 405]，即由平行输运子 $\hat{U}$ 构成的规范不变回路。在超立方格点上，最小的非平凡回路由元格算子（plaquette operator）表示

其中 $\pmb{\mu}$ 和 $\pmb{\mu}^{\prime}$ 张成元格平面。由于方程 (11.49) 中的平行输运子作用于不同链接时对易（进而矢势也对易），因此可以得到：

其中我们使用了斯托克斯定理（Stokes theorem），最后一步则假设磁场在面积为 $a_{0}^{\bar{2}}$ 的元格内近似为常数。基于这些假设，我们有：

由此可得

因此，磁哈密顿量可以离散为如下形式：

最后，利用方程 (11.57) 中的无量纲规范耦合常数，可得：

请注意，元格项仅在 $D \ > \ 1$ 时存在，这增加了高维 LGT 的量子模拟和张量网络模拟的复杂度 [418]。

11.1.4.7 含交错费米子的格点规范哈密顿量#

总结并结合所有要素（物质场和规范场），通过交错费米子（staggered fermions）[354] 得到的通用科古特-萨斯坎德哈密顿量（Kogut-Susskind Hamiltonian）为：

我们这里将规范代数生成元的矩阵指标 $\alpha , \beta$ 的依赖关系显式写出。

11.2 哈密顿量格点规范理论的着装位点模型#

我们已经看到了用动态物质离散化LGT所需的全部要素。然而，要使用数值方法处理如方程(11.65)的哈密顿量，仍面临根本性的挑战。

首先，我们需要实现对连续规范场（如U(1)或SU(N)）的有限维编码，尤其是在一维空间以上，此时需要解耦规范场的纵向分量[419]。已知的截断方案包括量子链模型（Quantum Link Models, QLM）[420–424]、有限子群[73, 425, 426]、规范场的数字化[427]以及融合代数形变[428]。无论采用哪种解决方案，都需要进一步努力来满足每个局部位点的规范对称性，这涉及对所有规范链接及其附着物质位点的并发评估。实践中，这意味着大量的局部约束（能量惩罚项），对应于同时作用在 $2D+1$ 个位点（$2D$ 条规范链接和1个物质位点）上的QMB算子，其中 $D$ 是空间维数。此外，由于高斯定律是模型的最高能量尺度，对这些约束的任何（哪怕是微小的）违反都可能导致与预期物理行为的显著偏离。

在模拟LGT时要面对的另一个重要问题是处理物质场的费米统计。在多种张量网络方法以及成熟的常规数字量子模拟平台（例如超导量子比特、离子阱、里德伯原子阵列、量子点）[429–433]中，费米子代数（互反对易运算）必须编码为量子比特的局域代数（互易运算）。标准的费米子到量子比特编码，如约当-维格纳（Jordan-Wigner, JW）变换[434]及其他现代方法[435–440]，会使得任何费米子哈密顿量相互作用本质上是长程的，并且从计算角度来看代价高昂。

在张量网络等数值方法以及量子计算中，所有这些要求都显著影响着模拟所需的计算资源及其效率。在本节中，我们提出一个理论方案，该方案能够实现有限且可控的规范场截断，避免物质场的费米统计，并直接进入规范不变子空间，证明其适用于张量网络方法以及LGT的量子模拟。基于[441, 442]的工作，我们用每个物理物质位点相邻规范链接的信息来“着装”该位点。图11.1[右]概述了这种方法的示意图：(a) 从方程(11.65)中物质场在位点、规范场在链接上的原始描述出发，我们通过施加卡西米尔算子的能量截断来截断规范群。然后，(b)

图11.1 [左] 二维LGT自由度的图形表示：定义在格点位点上的费米子物质场，以及存在于格点链接上的规范场（平行输运子和色电场，$\hat{L}_{\mathbf{n} , \mu}$ 和 ${\hat{R}}_{\mathbf{n} , \mu} )$。在 $\mathbf{n}$ 处的局域规范变换作用于一个物质位点及其所有附属链接。[右] LGT 张量网络模拟中采用的着装位点形式的示意图：(a) 我们在不可约表示基下用能量截断来截断规范链接场；(b) 截断后的规范链接被分成两个表示，每个半链接一个；每个半链接配备一个适当的费米子里什翁模式 $\hat{\boldsymbol{\zeta}} .$ 。(c) 所有半链接被吸收到附着的物质位点中，形成一个规范不变的着装位点 (d)，其希尔伯特空间张成所有可能的规范单态。（图取自[396]）

我们将每个截断的规范链表示为一对费米子rishon模式 $\hat{\boldsymbol{\zeta}}$ 和 (c) 根据原始规范群代数约束它们的链动力学。最后，(d) 我们将每个这样的模式合并到其相邻的物质位点上，形成一个紧凑的着装位点形式（dressed-site formalism）[441–443]。由此产生的有效哈密顿量仅由玻色子算子组成，并直接作用于规范不变的希尔伯特子空间。相应地，如同环弦强子方法（Loop String Hadrons methods）[444]中所做的那样，原始的（阿贝尔/非阿贝尔）规范不变性被精确改写为一个阿贝尔的、最近邻的、对角选择规则，并且对费米子物质的显式依赖被消除[282, 443, 445]。这种方法在处理高维晶格中的LGT时尤为适用。

我们将在两个已被用于数值模拟的范式性实例中实际应用着装位点形式[396, 399, 401]：第11.3节中的U(1)和第11.4节中的SU(2)。

11.2.1 规范场截断#

链希尔伯特空间是规范群 ${\mathcal{G}} , L^{2} ( {\mathcal{G}} )$ 上的平方可积函数空间，对于像U(1)或SU(N)这样的连续群，它是无限维的[446]。

在一维空间中，规范自由度是非物理的（没有横向极化），因此可以被积分掉，尽管这以引入非局域相互作用为代价[447]。在超过一维的情况下，移除要复杂得多，因为这需要首先解耦规范场的纵向分量[419]。当不可能或不方便移除时，可能必须截断规范自由度以进行TN或量子模拟。已知的截断方法包括量子链模型（Quantum Link Models, QLM）[420–424]，这是一种已被考虑用于LGT实际量子模拟的方法[418, 448–457]、有限子群[73, 425, 426]、规范场的数字化[427]以及融合代数变形[428]。

另一种方法是在每条链上对电能密度算子 $\left\| \hat{E}^{2} \right\| \leq \Theta$ 的谱进行截断[399, 400]。该截断方便地在 $L^{2} ( {\mathcal{G}} )$ 的不可约表示（irreducible representation, irrep）基 $\{| j m_{\mathrm{L}} m_{\mathrm{R}} \rangle \}$ [446] 上实施，其中 $\hat{E}^{2}$ 是对角的：

这里， $m_{\mathrm{L}}$ 和 $m_{\mathrm{R}}$ 是 $\mathcal{G}$ 的 j-不可约表示中的指标， $C_{2} ( j )$ 是 $j ~ [ 446 ]$ 的二次卡西米尔算子（quadratic Casimir）。在强耦合极限下，当电能项主导 $H_{\mathrm{LGT}}$ 时，该截断等价于一个能量截断[400]。

11.2.2 高斯定律与着装位点#

规范理论最显著的特征可以说是局部约束的存在，类似于经典电动力学中的高斯定律，将规范场的构型与电荷的空间分布联系起来[458]。在量子层面，高斯定律断言只有规范不变的状态才是物理的，即，$\hat{G}_{\bf n}^{a} | \Psi_{\mathrm{phys}} \rangle = 0 \forall{\bf n} , a$，其中 ${\hat{G}}_{\bf n}^{a}$ 是n处局部规范变换的生成元：

其中$q_{\mathbf{n}}^{a}$代表可能存在的静态背景电荷（通常为零）。格点高斯定律提供了一系列顶点约束，每个约束涉及一个格点及其二维方向的相邻链接。

由于高斯定律，规范理论（LGT）的物理希尔伯特空间远小于所有局域格点和链接希尔伯特空间的张量积。因此，恰当利用规范对称性可以显著加速数值模拟[442]。目前已发展出通过消除（部分或全部）规范场或物质场来求解高斯定律的策略。尽管如此，这些方法存在特定局限性：相互作用范围必须扩展；此外，在$D > 1$[419]的情况下，积分掉规范场会变得困难，而消除物质的方案则依赖于模型（物质内容）[445]。

另一种可能性是使用“修饰格点”（dressed site）构造来强制施加高斯定律[441–443, 445]，其示意如图11.1所示，下文概述之。修饰格点的局域维数通常大于前述方法得到的维数，但它们是通过与模型无关的规则获得的，该规则的优势在于保持了相互作用的局域性[400, 442]。

第一步，我们将每个规范链接分解为位于其两端的一对模式。具体而言，每个链接被分解为一对左（L）和右（R）rishon自由度（d.o.f.），每个自由度关联到一个由基矢$| j m \rangle$张成的希尔伯特空间，标识$| j m_{\mathrm{L}} m_{\mathrm{R}} \rangle \hookrightarrow | j m_{\mathrm{L}} \rangle \otimes | j m_{\mathrm{R}} \rangle$，并将平行输运算符写为rishon双线性形式[399]：

物理的规范链接构型，即左右rishon处于相同不可约表示（irrep）的那些构型，通过在张量网络（TN）模拟层面引入局域链接对称性来选取[400, 442, 459]。注意，无论规范群是阿贝尔的还是非阿贝尔的，这一约束始终是阿贝尔的。

11.2.3 规范不变的修饰格点算符#

关键的是，规范生成元${\hat{G}}_{\bf n}^{a}$现在仅涉及位于n处的物质格点及其二维相邻的rishon。将这些自由度融合到一个复合格点中，高斯定律就变成了一个内部约束，它将修饰格点希尔伯特空间选为其规范不变子空间：

因此，所得到的修饰格点哈密顿量的有效算符，应通过将已获得的算符投影到由规范不变基M生成的空间上来得到。也就是说，对于任意此前定义的修饰格点算符O，其作用于规范不变态上的相应有效算符${\cal O}^{\mathrm{eff}}$为：

规范不变基矢 $M$ 的实际计算可通过确定相应格点规范理论中高斯定律算子的核来实现（详见第11.4节的SU(2)和第11.3节的U(1)）。$\mathcal{H}_{\mathrm{dress}}$ 中规范单态基矢在物质基矢和 rishon 基矢下的展开通过 Clebsch-Gordan 分解[400]计算。

由此得到的有效算子 ${\cal O}^{\mathrm{eff}}$，对于任意空间维度 $D$ 和任意规范截断 $j_{\mathrm{max}}$，均可从 GitHub 仓库 ed-lgt [459]获取U(1)和SU(2)版本。该仓库还支持通过精确对角化对这些格点规范理论进行模拟。

11.2.4 去费米子化（Defermionization）#

如前所述，模拟格点规范理论面临的一个重要挑战是如何处理物质场的费米统计。在多种张量网络方法和传统数字量子模拟平台[429–433]中，费米子（反对易）代数必须编码为量子比特/量子dit的局域（对易）代数。标准的费米子-量子比特编码（如 Jordan-Wigner 变换[434]）及现代方法[435–437]都会使任何费米子哈密顿量相互作用具有固有长程性，从计算角度而言成本高昂[460]，尤其在处理高维格点规范理论时。

在修饰格点形式中，还有可能解决这一问题并有效消除物质场的费米统计。这适用于任何规范场具有明确定义宇称的规范理论。具体而言，局域宇称算子 $\hat{P}_{\bf n , \mu} = \hat{P}_{{\bf n} , \mu}^{\dagger}$ 需满足 $\hat{P}_{\bf n , \mu}^{2} = 1$ 且 $\{\hat{U}_{\mathbf{n} , \mu} , \hat{P}_{\mathbf{n} , \mu} \} = 0$，这在 $\mathbb{Z}_{2 N} , \mathrm{U} ( \mathrm{N} )$ 和 SU(2N)[399, 443, 445]情形中成立。在这些情况下，可考虑具有费米统计的 rishon，从而所有物理（规范不变）的修饰格点算子都具有真正局域性，即它们彼此在非零距离处对易（如同自旋或玻色子）[403]。

由于修饰格点形式中的哈密顿量由不同种类的费米子（物质场和规范 rishon）构成，因此有必要规范一般费米子算子的张量积。对于沿某一路径任意排序粒子的费米子多体系统，任何费米子算子的张量积都需考虑适当的反对易规则。具体而言，作用于路径上第 $\bar{\mathbf{n}^{t h}}$ 位置的一般费米子算子 ${\hat{F}}_{\mathbf{n}}$ 可表示为：

其中 $\hat{P}_{\bf n} = \hat{P}_{\bf n}^{\dagger} = \hat{P}_{\bf n}^{- 1}$ 是费米子宇称算子，在费米子算子作用后其符号翻转：

因此，物质场允许存在满足式(11.72)的宇称概念。对于狄拉克费米子：

下标 $F$ 提醒 $\hat{\psi}$ 矩阵是“作为费米子”理解的，具有式(11.71)中的全局作用。类似地，对于马约拉纳费米子：

类似地，对于入射的（费米子）初子算子（rishon-operators），我们将给出恰当的宇称概念（SU(2)情形见式(11.134)，U(1)情形见式(11.87)）。

11.3 U(1) 格点规范理论#

本节中，我们将第11.2节发展的着装位点形式论（dressed-site formalism）应用于阿贝尔情形，重点研究包含动力学物质的U(1) LGT，即量子电动力学（QED）的格点实现。同样，为简单起见，我们将考虑(2+1)D系统，其中所有规范（电场和磁场）贡献都起着非平凡的作用。

11.3.1 模型#

在Wilson和Kogut-Susskind的LGT表述[366, 405]中，式(11.65)中一般哈密顿量的U(1)版本为：

其中，由于只有一个生成元，电场是唯一的 $\hat{L} = \hat{R} = \hat{E}$，并且平行输运算子（parallel transporter）充当升算子：

在电场基表示（electric basis representation）中，$\hat{E}$是对角的，假设以下行为可以得到式(11.76)：给定规范链希尔伯特空间的 $| \ell \rangle$ 电场状态，

相应地，U(1)高斯定律要求 $G_{\mathbf{n}} \left| \Psi_{\mathrm{phys}} \right. = 0 \ \forall \mathbf{n}$ ，其中 $G_{\mathbf{n}}$ 是U(1)规范对称性的局域生成元，满足 $[ G_{\bf n} , \hat{H} ] = 0$ ，定义如下：

11.3.2 截断U(1)规范群#

为了对式(11.75)进行数值模拟，我们需要对U(1)规范场的无限代数进行截断（truncation）。如第11.2.1节所述，一种可能的方案是直接用SU(2)的 $j$ 表示中的自旋算子来表达规范算子 $\hat{E}$ 和 $\hat{U}$：

相应地，规范链希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{link}}$ 由 $( 2 j + 1 )$ 个 $| \ell \rangle$ 状态构成，这些状态可以标记为 $| j , m \rangle$ ，其中 $- \ j \leq m \ \geq \ j$ 是自旋动量 $j$ 的第三分量。根据角动量求和规则，我们有：

由此得到下列对易关系：

这种平行输运的定义在大 j 极限下一致收敛于方程(11.76)。类似地，我们可以将 $\hat{U} = \mathrm{diag}_{- 1} ( + 1 , \ldots , + 1 )$ 定义为阶梯算子，其在核心部分完全酉，但在上（下）截断态中收敛性较差。在 $j \to \infty$ 极限下，两种方案都恢复到方程(11.77)。正如我们将在第11.4.6节讨论的，截断引入的误差在弱耦合极限下尤为显著，而在大多数场景下可以忽略[426, 460]。选择阶梯算子对于基于量子比特的量子硬件可能是最优的[461]，而对于能够实现大自旋相互作用自旋链的量子系统，方程(11.79)更为可取[462]。为完整起见，我们注意到存在保持酉性的平行输运映射[463–466]。

11.3.3 U(1) 规范场的初子分解#

朝着着装位点形式论的下一步，是将链接基底的 $( 2 j + 1 )$ 个态分解为两个态的组合，每个半链接对应一个态：$| j , m \rangle_{{\bf n} , \mu} =$ $\left| j , m_{\mathbf{n} , + \mu} , m_{\mathbf{n} + \mu , - \mu} \right.$ 。忽略 j 标签，截断后的链接希尔伯特空间为：

在欧几里得基中，这些规范链接态表示为：

然后，我们将平行输运 $\hat{U}$ 表示为两个初子模式（rishon mode）的乘积 $\hat{\zeta}_{L ( R )} \mathrm{:}$

其中，在完全一般性下，我们假设 $( \mathbf{n} , \pmb{\mu} )$-链接的两个初子模式分属两个不同种类 A 和 $\mathbf{B} . ^{2}$ 初子算符（rishon operator）的定义为

其中 $\lbrace a_{i} \rbrace_{i = 1 \dots 2 s}$ 和 $\lbrace b_{i} \rbrace_{i = 1 \dots 2 s}$ 是待定的复数，取决于 U(1) 的具体自旋 s 表示。为了得到一个完全玻色化的可操作哈密顿量，我们要求初子模式满足费米子代数。即，$\hat{\zeta}$-初子需自身反对易，且与物质场反对易：

作为费米子，$\hat{\boldsymbol{\zeta}}$-初子也必须满足方程(11.72)。我们定义初子宇称算符为

按惯例，我们规定第一个初子态为偶宇称，其余态则通过交替宇称符号确定。因此，若自旋 -j 表示是整数（半整数），则最后一个态为偶（奇）宇称。

于是，我们可以将 (11.84) 中的平行传输适当地表示为如下形式：

在 $U(1)$ 的特定 $\mathrm{spin} {-} j_{\mathrm{max}}$ 表示中，两个 $\hat{\zeta}$-初子模式正确的矩阵元 $\{a_{i} \}_{i = 1 \dots 2 j_{\mathrm{max}}}$ 和 $\{b_{i} \}_{i = 1 \dots 2 j_{\mathrm{max}}}$ 应与平行输运算符（如式(11.79)中的自旋算符或阶梯算符）的原始选择相匹配。

11.3.4 构造缀饰格点算符#

我们强调，初子分解是一种通用方法，可以应用于任意维度 D 的格点。然而，正如对 SU(2) 所讨论的那样，对于固定的 D，哈密顿量算符的构造需要谨慎选择缀饰格点基的内序。在 D=2 维格点中，单个缀饰格点基可示意如下：

然后，每个缀饰格点算符都像 (11.71) 那样按前述顺序构造。这样，我们就可以通过缀饰格点算符来表达每个哈密顿量项。

11.3.4.1 跳跃算符#

在跳跃哈密顿量中，沿着链 $( \mathbf{n} , \pmb{\mu} )$ 的物质-规范相互作用（除错位因子外）可以用两个玻色子到达算符重写。即

然后，根据(11.89)中定义的缀饰格点的内序，例如我们有：

11.3.4.2 数密度算符#

类似地，数密度算符可以表示为：

11.3.4.3 磁算符#

让我们用里子模式（rishon mode）重写单个plaquette相互作用。其思路是执行一系列费米子交换操作，使得同一缀饰格点（dressed site）的里子（rishon）在plaquette的内部排序中彼此靠近。于是我们有：

其中我们将属于同一缀饰格点的里子模式合并为角算符（corner operator），定义为 $\hat{C}_{\bf n , \mu_{1} , \mu_{2}} = \hat{\zeta}_{\bf n , \mu_{1}} \hat{\zeta}_{\bf n , \mu_{2}}^{\dagger}$ 。例如，根据(11.89)中缀饰格点基的内部排序，我们有：

11.3.4.4 电场算符#

在缀饰格点形式中，与平行输运算符一样，电场贡献被均分到两个半链路上，每个半链路贡献总电场能量的一半。即，根据(11.79)我们有：

在可操作哈密顿量中，我们将二维半链路对电场能量的贡献合并到同一个单个缀饰格点算符上：

11.3.4.5 可操作缀饰格点 U(1) 哈密顿量#

于是我们可以将方程(11.75)中的(2+1)维 U(1) 截断哈密顿量重写如下：

11.3.4.6 U(1) 链接对称算子#

只要满足链接对称性，即每条链接上的里子状态具有相反电场，式(11.75)和(11.97)之间的等价关系就成立。这个约束简化为每条链接上的一个 $\mathbb{Z}_{2}$ 对称性，可以利用专门的程序库 [459, 467] 轻松求解，或者作为两体惩罚项（每条链接一个）引入哈密顿量，使其成为问题中最大的能量标度。

11.3.4.7 开边界条件和半整数表示#

在开边界条件（OBC）下，我们可能希望将晶格边界修饰位点上的半链接冻结到电场的基态。对于整数 j 表示，通过在相应边界 $\pmb{\mu}$ 的位点上选择 j, 0 的里子构型，可以轻松实现这一点。等效地，对于每个这样的位点，我们可以添加一个类似 $\hat{H}_{\mathbf{n} , \mu}^{\mathrm{border}} = \alpha{\left( \hat{E}_{\mathbf{n} , \mu} - j \right)}^{2}$ 的惩罚项。至于半整数表示，其最小电场是简并的，我们可以从以下惩罚项中选择一个：

其中 $\lceil j \rceil ~ ( \lfloor j \rfloor )$ 对应于最小上（最大下）整数表示。

11.3.4.8 在 U(1) 规范不变的修饰位点基上投影算子#

如第 11.2.3 节所述，所有之前的算子都需要投影到 U(1) 规范不变子空间中。由于我们选择了交错费米子表述，我们预期有两个规范不变基，分别对应偶位点和奇位点，即 $M_{+}$ 和 $M_{-}$ 。每个基都对应于相应 U(1) 高斯定律算子 $\hat{G}_{\mathbf{n} , p}$ 的核：

其中 $p = \pm 1$ 是晶格位点的宇称。

11.3.5 最小截断规范场下的晶格 QED#

作为示例，这里我们考虑 U(1) 规范场的最小整数 $j {=} 1$ 自旋表示。这样的截断足以保证哈密顿量方程(11.75)中所有项的贡献，同时保持卡西米尔算符非简并的最小值。此外，它在强耦合极限 $g \gg 1$ 下提供了未截断低能物理的良好近似，此时规范场能量项在哈密顿量中占主导地位。值得注意的是，它已成功应用于从 (1+1)D [398] 到 (2+1)D [468] 和 (3+1)D [397] 的不同空间维度的 U(1) LGT 中，并提供了获取非平凡静态和动力学特征的途径（见图 11.2）。

图 11.2 电场最小整数自旋 $( j = 1 )$ 截断下的 (3+1)D QED LGT 示意图。费米子自由度由不同宇称位点上的交错费米子表示：在偶（奇）位点上，红色（蓝色）实心圆对应于带正（负）电荷的粒子（反粒子）。作为一个说明性示例，图中展示了总电荷为零的扇区中，一个粒子和一个反粒子的物质场与规范场的规范不变构型。（图源自 [397]）

在此截断下，规范场可以用以下三维算子描述：

在(11.83)中定义的相应链接希尔伯特空间 $\mathcal{H}^{j = 1}$ 由以下状态构成：

然后，根据 (11.100) 中 $\hat{U}$ 的定义，$\hat{\zeta}_{A} \hat{\zeta}_{B}^{\dagger}$ 唯一相关的矩阵元是对应于 (11.83) 中格点作用的那些：

总结一下，我们得到

通过遵循到目前为止发展的穿衣方案（dressed-scheme），文献 [397] 能够模拟式 (11.75) 中具有挑战性的 (3+1)D U(1) 哈密顿量，该哈密顿量构建于维度为 267 的规范不变局部希尔伯特空间之上（见表 11.1 和 [396]）。

通过开发第8章描述的二元TTN方法的三维实现，文献[397]的作者成功模拟了零电荷密度和有限电荷密度下的模型，同时探讨了基本问题，如表征集体相（例如图11.3所示）、识别大规范耦合下的约束相以及研究电荷屏蔽效应。

11.4 SU(2)杨-米尔斯格点规范场论#

在本节中，我们将穿衣格点方案（dressed-site formalism）应用于非阿贝尔情形，重点研究具有动力学物质的SU(2)杨-米尔斯（YM）格点规范场论（LGT）。为简单起见，我们将专注于(2+1)维系统，其中电学规范贡献和磁学规范贡献都起到非平凡作用。扩展到(3+1)维是简单的，只需考虑由于交错费米子而在方程(11.32)中引入的正确相位因子。限制到(1+1)维的情形在第11.4.5节中考虑，并应用于文献[401, 402, 416]。

11.4.1 模型#

在介绍SU(2)杨-米尔斯哈密顿量之前，我们回顾一下SU(2)规范场论的主要性质。首先，SU(2)代数的生成元是泡利矩阵

图11.3 (3+1)维QED格点规范场论中最小截断规范场在零电荷密度下的相变。(上图) 对于(a) $m = - 3.0$ 和 (c) $m = 3.0$ 且无磁相互作用 $g_{m}^{\bar{2}} = 0$ 时的基态电荷占据数和链接上的电场。(b) 对于不同系统尺寸L及 $g_{m}^{2} = 0$，粒子密度作为m的函数。(下图) 对于(d) $m = - 3.0$ 和 (f) $m = 3.0$ 且存在磁相互作用 $g_{m}^{2} = 4$ 时的基态电荷占据数和链接上的电场。(e) 对于不同系统尺寸L及 $\bar{g}_{m}^{2} = 4$，粒子密度作为m的函数。(图来自[397])

$\hat{T}^{a} ~ = ~ \hat{\sigma}^{a} / 2$，而结构常数等于列维-奇维塔张量 $f^{a b c} = \varepsilon^{a b c}$。相应地，SU(2)规范变换的左/右生成元 $\hat{L}_{\bf n , \mu} / \hat{R}_{\bf n , \mu}$ 是厄米的，并且彼此关联如下：对于 a, $b , c \in \{x , y , z \}$

它们的迹给出了卡西米尔算子

与平行输运子 ${\hat{U}}^{\alpha \beta}$ 的对易关系为

然后，在引入动力学物质时，我们关注具有SU(2)-色荷 $1 / 2$ 的单味物质场，用SU(2)-色荷交错（狄拉克）费米子 $\hat{\psi}_{\bf n , \boldsymbol{\alpha}}$ [409] 表达，并满足

由方程(11.67)并假设无背景电荷，高斯定律算子定义为

该算子旋转 n 处的夸克场，若平方后，它给出物质颜色密度，即物质场规范群变换的二次卡西米尔算子（quadratic Casimir operator）：

相应地，$\hat{L}_{\bf n - \mu , n}^{a}$ 和 $\hat{R}_{\bf n , \mu}^{a}$ 分别负责其左侧和右侧规范链接的变换[469]。

对应的包含交错费米子（staggered fermions）（见第11.1.3节）的(2+1)D哈密顿量为：

对于纯规范哈密顿量，我们有

其中 $\hat{U}_{\bigstar}$ 是方程(11.59)中定义的方块算子（plaquette operator），而规范耦合 $g ( q , a_{0} ) \propto q \sqrt{a_{0}}$（定义于方程(11.57)）是无量纲的，但仍然随格点间距 $a_{0}$ 缩放，以确保夸克的颜色电荷 $q$ 在连续极限下保持有限。

11.4.2 截断SU(2)规范群#

如第11.2.1节所述，为使方程(11.111)和(11.112)中的LGT哈密顿量适用于TN方法和量子硬件，通常需要一个有限维的规范链接希尔伯特空间。在此，我们提出一种适用于SU(2)规范场的有效截断方案，该方案可应用于任意空间维度的格点，并可伸缩至任意大的截断。当趋近于SU(2)规范群的无穷大自旋不可约表示极限时，它恢复了原始SU(2)杨-米尔斯LGT的所有性质。值得注意的是，在SU(2)最小的非平凡截断（称为硬核胶子近似（hardcore-gluon approximation））中使用这种方法，已用于获得非平凡结果，如[399]和[401, 402]中讨论的那些。当然，为了精确表示整个理论，在弱g（weak-g）情况下，需要更大的规范表示：这增加了计算挑战，但通过TN仍然可能实现。无论如何，这种对规范群的描述是构建第11.2节讨论的逻辑 dressed-site 的第一个基础模块，其中高斯定律已经得到满足（见图11.4）。

为了截断连续的SU(2)规范群，我们用不可约表示（irrep）基来表达它[446, 470]。由于SU(2)允许准实表示（quasi-real representation），其中基本表示和反基本表示一致，对于 n, $\pmb{\mu} \in \Lambda$， (n, μ) 链接的规范希尔伯特空间可以写为：

图 11.4 针对 SU(2) 在第 11.4 节中发展的着装位点模型的示意图：(a) 从具有物质位点和截断的 SU(2) 规范链接的公式出发，(b) 我们将后者拆分为在式 (11.131) 中定义的成对 rishon 模式 $\hat{\boldsymbol{\zeta}}$，并用式 (11.140) 中的 SU(2) 链接对称性约束它们的动力学。然后我们 (c) 将它们与物质场合并，形成具有玻色子统计的着装 SU(2) 规范单态。因此，在着装位点形式中，跳跃总是涉及偶数个费米子，即物质场加上一个 rishon 模式 (d)。(图灵感来源于 [396, 399])

是对应于 SU(2) 链接不可约表示 $j$ 的左侧（右侧）的第三自旋分量。那么，并行输运算子 ${\hat{U}}^{\alpha \beta}$ 用 Clebsch-Gordan 系数给出为：

相应地，左生成子和右生成子定义为：

那么，色电能量算子（即式 (11.106) 中的二次卡西米尔算子）为 [469]：

然后，通过在 $\hat{E}^{2}$ 谱上施加局域能量截断来截断规范场，保留不可约表示 $j \le j_{\operatorname*{max}}$，使得 $C_{2} ( j_{\mathrm{max}} ) \leq \Theta$。该截断保持电场算子 $\hat{E}$ 为厄米算子，并保护式 (11.105) 和 (11.107) 的 SU(2) 规范代数规则。即，截断的 ${\hat{U}}^{\alpha \beta}$ 场满足以下左、右规范变换：

其中 $\hat{L}_{j_{\operatorname*{max}}}^{a}$ 和 $\hat{R}_{j_{\operatorname*{max}}}^{a}$ 是左、右手 SU(2) 变换群的（截断）生成子。它们可以表示为自旋矩阵 $S_{j}^{a}$ 在连续 j 表示（从最小 $( j = 0 )$ 到最大 $( j \stackrel{\prime} {=} j_{\mathrm{max}} )$）上的块对角直和：

不幸的是，这种截断使得 ${\hat{U}}^{\alpha \beta}$ 仅在作用于自旋壳层 $j \ < \ j_{\mathrm{max}}$ 时保持幺正性（它在最大自旋壳层上会损失模）。相应地，只要外层自旋壳层 $j = j_{\mathrm{max}}$ 未被填充，Wilson环就保持幺正性。具体来说，这意味着，$\forall j <$ j_max

显示出与 $\hat{U}_{\alpha \delta} \left| 000 \right. \forall \alpha , \delta$ 相同的模，即 $1 / {\sqrt{2}} .$ 。最终，我们要求并行输运算子（parallel transporter）具有空间反射对称性。即：

其中 $\hat{\mathcal F}$ 是规范链接上的交换算子：

无论规范场截断如何，在跳跃项中，$\hat{U}$ 的作用必须与物质场的基础不可约表示（fundamental irrep）相匹配，其在Fock空间中的希尔伯特空间可以写为：

其在不可约表示基 $| j , m \rangle$ 中的作用对应于以下 SU(2) 荷：

11.4.3 SU(2) 规范场的 Rishon 分解#

基于所有这些前提，式 (11.111)–(11.112) 中得到的截断 SU(2) Yang-Mills 哈密顿量将作用于所有单个物质希尔伯特空间与每个截断规范场对应空间的张量积所构成的希尔伯特空间上：

注意，物质场和规范场表现出不同的统计性质。据此，我们预期 $\hat{U}_{\mathbf{n} , \mu}^{\alpha \beta}$ 是相互玻色子性的，因为它与所有物质场算子对易：

并且是纯局域的，因为其链接代数与任何其他链接的代数对易：

如第 11.2 节所述，在电场基下，并行输运算子 ${\hat{U}}^{\alpha \beta}$ 允许对最大允许自旋壳层 $j_{\mathrm{max}}$ 进行任意截断的 rishon 分解。从给定的自旋壳层 $j$ 开始，我们必须分别考虑当两个 rishon 都增加到壳层 $j + \frac{1} {2}$ 和都减小到壳层 $j - \frac{1} {2}$ 时的作用。然后我们可以将 ${\hat{U}}^{\alpha \beta}$ 分解如下：

其中两种 $\hat{\zeta}$ - rishon 类型 A 和 B 分别起到提升和降低 SU(2) 规范不可约表示自旋壳层的作用。有趣的是，它们彼此相关：

我们可以将其用一种组分（如B）重写方程(11.127)。将 $\hat{\zeta}_{B}^{\alpha} = \hat{\zeta}^{\alpha}$ 重新命名，得到：

或等价地

对于选定的 SU(2) 不可约表示截断 $j_{\mathrm{max}}$，$\hat{\zeta} \cdot$ rishon 被定义为：

其中函数 $\chi ( j , m , \alpha )$ 为

可以证明，这种构造确实与方程(11.114)中给出的并行输运算子（parallel transporter）的显式形式兼容。

11.4.3.1 SU(2) Rishon 奇偶性#

作为费米子，$\hat{\zeta}$-rishon 在不同轨道上以及物质场之间是反对易的：

为了满足方程(11.133)，我们需要恰当地将其刻画为费米子算符。如第 11.2.4 节所讨论的，我们可以引入 SU(2) rishon 模式的奇偶性概念。类似于方程(11.73)和(11.74)，我们定义 SU(2) rishon 奇偶算符 $\hat{P}_{\zeta}$，其在整数不可约表示上具有偶 ( 1) 奇偶性扇区，在半整数不可约表示上具有奇 ( 1) 扇区：

单个 rishon 的作用会翻转局域奇偶性：$\{\hat{P} , \hat{\zeta}^{\alpha} \} = 0$。相应地，并行输运算子 $\hat{U}_{\mathbf{n} , \mu}^{\alpha \beta}$ 为：

注意，方程(11.135)的右侧保持了 SU(2) 链奇偶性，符合期望。

11.4.3.2 SU(2) Rishon 代数#

$\hat{\zeta}$-rishon 不依赖于两组独立的 SU(2) 生成元 ${\hat{L}}^{a}$ 和 $\hat{R}^{a}$，而是具有唯一的规范变换代数。在 $\hat{\zeta} \cdot$ rishon 空间上，SU(2) 规范旋转的生成元为：

根据构造，$\hat{\zeta}$ 算子是 $\mathrm{SU} ( 2 )$ 协变的，它们按以下方式变换：

此外，$\scriptstyle{\hat{\mathcal{T}}}^{a}$ 是真正局域的：对于 n $\neq \mathbf{n}^{\prime}$， $\forall \pm \mu \neq \pmb{\mu}^{\prime}$，以及 $\forall \alpha \in \{r , g \}$

我们可以轻松得到链接 $( \mathbf{n} , \pmb{\mu} )$ 上规范场的左生成元和右生成元：

由于在 SU(2) 群中，基础表示和反基础表示相同，只要链接两侧的二次卡西米尔算子相同，如式 (11.55) 所示，rishon 形式就有意义：

借助式 (11.140)，链接的两个 rishon 处于相同的 SU(2) 不可约表示下，并且式 (11.127) 中的并行输运算子与式 (11.114) 中的一致。相应地，式 (11.55) 中 $( \mathbf{n} , \pmb{\mu} )$ 链接的卡西米尔算子可以表示为：

它在链接反转下显式对称。

11.4.4 构建修饰格点算子#

现在我们拥有构建修饰格点（dressed-site）紧凑表示的所有要素。在二维晶格的情况下，修饰格点态的一种可能的图示描述如下：

是在构建由修饰格点内的物质场和 rishon 构成的复合算子时，可用于式 (11.71) 的一种可能内部排序。

然后我们可以通过 rishon 模式重写式 (11.111)–(11.112) 中的 SU(2) 杨-米尔斯哈密顿量。

11.4.4.1 到达算子#

让我们从跳跃哈密顿量项开始。忽略所有前置因子，我们可以关注：

其中我们定义了两类到达算子：

这些算子的实际构造必须与式 (11.142) 中的内部排序一致。

11.4.4.2 物质数密度算子#

类似地，数密度算子表示为

并且可以导出其他可观测量，例如：

它们分别测量总物质密度以及成对或单个粒子的相应占据数。

11.4.4.3 卡西米尔算子#

正如我们通过式 (11.141) 所假设的，两个 $\hat{\boldsymbol{\zeta}}$ -rishon 各自对链接电场能量密度有相等贡献，我们可以等价地定义一个修饰格点算子，将其附加 rishon 的卡西米尔贡献求和：

11.4.4.4 磁算子#

将 $\hat{U}$ 表示为式 (11.127) 中形式后，plaquette 项产生 16 个贡献：

其中，我们将 rishon 两两组合成如下的角算子（corner operator）：

与之前的 dressing 格点算子一样，角算子的实际构造必须与式 (11.142) 中的内部排序一致。

11.4.4.5 SU(2) 链对称性#

在 dressing 格点形式中，式 (11.140) 要求链上的两个 rishon 具有相同的卡西米尔算子（即处于相同的自旋壳层 $j$）的条件，实际上是一个阿贝尔的 $\mathbb{Z}_{2}$ 链对称性。因此，它可以很容易地编码在使用对称性的 ED 和 TN 库中 [32, 459]。

11.4.4.6 将算子投影到 SU(2) 规范不变子空间#

所有先前推导的 dressing 格点算子都必须投影到 SU(2) 规范不变基 M 上。后者由 SU(2) 单态构成，并可作为高斯定律算子 $\hat{\mathbf{G}}_{\mathbf{n}}^{a}$ 的核来确定：

其中 $\hat{\mathcal{T}}_{\mu}^{a}$ 是沿第 μ 方向的 $\hat{\zeta} - \mathrm{rishon}$ 生成元，定义于式(11.136)，而 $\hat{S}_{\mathrm{m a t t , n}}^{2}$ 是式(11.110)引入的物质色密度。在 SU(2) 的最小 $\begin{array} {r} {j_{\mathrm{max}} = \frac{1} {2}} \end{array}$ 截断中，完整哈密顿量的每个 dressed site 的规范不变希尔伯特空间有 30 个规范不变态，而限制于纯理论时，局域希尔伯特空间是 9 维的。

11.4.4.7 去费米子化哈密顿量的具体操作#

于是我们准备利用式(11.143)和(11.147)中的 dressed-site 算子重写式(11.111)中的 SU(2) 晶格杨-米尔斯哈密顿量。具体形式为：

不足为奇，式(11.149)完全是玻色型的，因为所有 dressed-site 算子都由费米子（物质场 + rishon、物质场对或 rishon 对）对组成。因此，费米子自由度完全隐藏在每个 dressed site 内部，不再需要处理反对易规则（见图 11.4d）。

11.4.5 硬芯胶子模型：最小截断规范场#

作为示例，我们考虑硬芯胶子近似，它对应规范场的最小非平凡表示，通过将 Casimir 截断至 $\begin{array} {r} {j_{\operatorname*{max}} = \frac{1} {2}} \end{array}$ 得到。与冷量子气体类似，硬芯胶子这个标签旨在强调，唯一可访问的局域构型是那些从裸真空出发最多应用一次 ${\hat{U}}^{\alpha \beta}$ 就能达到的态。即，我们将 $( 0 \otimes 0 ) \oplus ( {\frac{1} {2}} \otimes{\frac{1} {2}} )$ 视为规范场空间，其中 $( j )$ 是 SU(2) 的不可约表示 [420, 421, 423, 471, 472]。这样的截断足以保证式(11.111)和(11.112)中所有项的贡献，并在强耦合极限 $g \gg 1$（此时规范场能量项主导哈密顿量）下很好地近似了未截断的低能物理。值得注意的是，这种方法已在[399, 401, 402]中被成功采用，用以提取平衡态和非平衡态下的有趣物理。

在硬芯胶子近似下，规范链的希尔伯特空间缩减为状态 $| j , m \rangle$，其中 $\begin{array} {r} {j_{\operatorname*{max}} = \frac{1} {2}} \end{array}$。仿照 SU(2) 的基础表示，我们可以用颜色 r、g 分别参数化 $m = \pm \frac{1} {2}$ 的值：

然后我们可以定义相应的截断规范场版本。对于式(11.55)中的二次 Casimir 算子，有：

相应地，截断的平行输运化简为 [446]：

其中 $1 / \sqrt{2}$ 因子确保跳跃项在其支撑上保持态范数。类似地，式 (11.127) 中的里子分解也可简化为：

其中式 (11.131) 中的 $\hat{\zeta}$ -里子（rishon）简化为：

相应的宇称算子（parity operator）为

以及 SU(2) 里子生成元（rishon-generator）

根据定义，链 (n, μ) 每一边的旋量希尔伯特空间（spin-Hilbert space）是三维的：

相应地，整个链接的希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{link}} = \mathcal{H}_{\mathrm{n} , + \mu} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{n} + \mu , - \mu}$ 具有 9 个态。为了恢复方程 (11.150) 中原始的五维空间，我们必须通过选择方程 (11.140) 定义的局部 $\mathbb{Z}_{2}$ 对称性的偶宇称扇区，将每个链接上左右里子约束到相同的自旋壳层 $j$。

11.4.5.1 低维硬核胶子 SU(2) 格点规范理论#

将硬核胶子希尔伯特空间与无味 SU(2) 动力学物质相结合，我们可以轻松构建适用于张量网络和量子模拟的规范不变基。

例如，在方程 (11.111) 中哈密顿量的 (1+1)D 实现，在硬核胶子近似下，可以用一个六维逻辑基 [401, 402] 进行模拟，这对于张量网络模拟以及六能级囚禁离子量子处理器 [473] 都是量身定制的。在文献 [402] 中，作者讨论了使用广义 Mølmer-Sørensen 门来模拟动力学的实验可行性，该方案具有高效且可扩展的浅层电路。此外，动力学数值模拟展现了非阿贝尔场论特有的物理相关性质，例如重子激发 [402]，以及与量子多体疤痕 [401] 兼容的有趣的非遍历行为（另见图 11.5）。

在 (2+1)D 场景中，逻辑位点按照方程 (11.142) 构建，前述的硬核胶子近似产生了一个 30 维的规范不变局部希尔伯特空间（见图 11.6），该空间已在 [399] 中被用于基态张量树网络模拟。在这项研究中，作者以夸克裸质量和色荷为函数，刻画了模型在零重子数密度和有限重子数密度下的相图。在中等系统尺寸下，出现了一种由夸克对束缚态准粒子（重子）组成的液相，并且其质量在连续极限下是有限的。值得注意的是，这种方案能够检测到在色电和色磁项被最大程度阻挫的转变边界处的有趣现象：潜在退禁闭的痕迹，以及可能存在的拓扑序的迹象。

图 11.5 在第 11.4.5 节中为 SU(2) 开发的硬核胶子 (1+1)D 模型中，重子和介子形成的示意表示。两种初态都可以轻松地写为相应六维规范不变局部基下的乘积态，并由冻结的交错物质构型（极化真空）或没有规范场（裸真空）构建。（图经[401]许可转载，遵循 CC-BY-4.0 许可协议）

图 11.6 (2+1)D 硬核胶子 SU(2) 杨-米尔斯格点规范理论的张量树网络方法。格点位点上布有交错构型（白色和黄色）的无味 SU(2)-色 1/2 费米子场（红色和绿色）。格点（蓝色）链接描述了来自五维截断希尔伯特空间（硬核胶子近似）的规范自由度。每个格点处都实现了 SU(2) 高斯定律。（图经[399]许可转载，遵循 CC-BY-4.0 许可协议）

11.4.6 局部基维度的缩放#

一般来说，规范场截断越大（即自旋-j 表示越大），有效缀饰位点的希尔伯特空间就越大。在表 11.1 中，我们列出了在 D = 2, 3 空间维度中，与第 11.4 节详述的 U(1) 和 SU(2) 的前几个非平凡规范截断相关联的缀饰位点维度 $d = \dim{\mathcal{H}}_{\mathrm{dress}}$：所考虑的两种格点规范理论都包含了动力学物质，由规范群基础表示中的一个费米子场多重态表示。表 11.1 的第 行是通过仅保留前 个非零电能级（即，使用第 小的二次卡西米尔算子本征值作为截断，见第 11.2.1 节）得到的。如表 11.1 所示，局部维度随着 迅速增长。对于 (3+1)D 非阿贝尔格点规范理论，在前两次截断内就已达到 $d \sim O ( 10^{4} )$，使得对无截断极限的研究变得难以进行。

表11.1 在包含动态物质且规范群为U(1)和SU(2)的一些典型(2+1)D和(3+1)D格点规范理论中，随着允许电能量子化能级数增加，缀饰位点希尔伯特空间维度d的变化。表格来自文献[396]

与凝聚态物理中通常遇到的模型不同，LGT的局域维度因此可能成为张量网络模拟中的一个限制因素——特别是当$d$变得与常用TN键维数（TTN中约为$100 \lesssim \chi \lesssim 500$）相当时。在这些情况下，对于高维LGT尤为关键的是，需要采用进一步压缩局域计算基底的策略[396]。

多项数值分析表明，在某些情况下，对规范群进行小到中等程度的截断就足以精确近似连续极限，至少对于低能态而言是如此[73,398,474-477]。然而，最优的规范截断取决于哈密顿量参数$m_{0}$和$g$。

为了理解这一行为，我们关注开放边界条件下单个QED板块，因为它提供了允许同时产生电效应和磁效应的最小设置。然后，为了表征在规范截断 $\ell$ 中的收敛性，我们考虑一个候选可观测量 $o$，并随着 $\ell$ 增加计算其基态期望值 $\langle \hat{O} \rangle_{\ell}$。我们迭代直到连续截断之间的相对偏差低于某个阈值 $\epsilon_{\mathrm{trunc}} \colon | \langle \hat{O} \rangle_{\ell^{*}} ~ -$ $\langle \hat{O} \rangle_{\ell^{*} - 1} | < \epsilon_{\mathrm{trunc}} | \langle \hat{O} \rangle_{\ell^{*}} |$ 对于某个 $\ell^{*}$。图11.7a显示了在磁能算子 $\bar{\hat{O}} = {\mathrm{Re}} \hat{U}_{\perp}$ 收敛到 $\epsilon_{\mathrm{trunc}} = 10^{- 5}$ 时的最小截断 $\ell^{*}$。我们探索了一个模型参数网格，其范围根据标准蒙特卡洛文献选择 [355, 385–387, 391, 392, 407, 478–483]。Re $\hat{U}_{\bigstar}$ 被用作基准，因为它与弱耦合区域相关，在该区域 $\textit{D} < \textit{3}$ 晶格QED的连续极限位于 [385]。如图11.7b所示，$\ell^{*}$ 严重依赖于耦合，随着 $g$ 减小，其渐近增长如 $\ell^{*} \sim g^{- 1}$，而 $m_{0}$ 几乎不起作用。对于任意维度的非阿贝尔LGT，预期最小规范截断与耦合之间存在类似的反比关系。此外，在 $D \le 3$ 时非阿贝尔LGT的连续极限也预计在 $g \ \ 0 \ [ 385 ]$ 处，这进一步证实了当需要外推到连续极限时，在LGT的张量网络模拟中压缩局部维数的必要性。沿着这一方向的发展是我们正在考虑的、旨在实现更精确模拟的持续研究路线。

除了局部维数的增长外，外推到连续极限还因晶格量子场论的连续极限对应于底层晶格模型的临界点而进一步复杂化 [364]。接近临界点时，量子关联会增强，并且预期会出现纠缠面积律的违反 [46]。在连续极限附近 $( g , m_{0} \ll 1$ 区域) 更高的纠缠熵已经被图11.7c的单个板块分析捕捉到（关于SU(2)的情况见 [399]）。因此，LGT的连续极限是量子计算相对于经典方法的潜在优势领域，因为前者不受纠缠的限制。尽管如此，量子计算也受到当 $g^{2} \to 0$ 时需要放宽规范截断的影响，这要么通过增加用于编码一个 dressed site 的量子比特数量（至少为 $\lceil \log_{2} ( d ) \rceil$），要么通过使用同时拥有量子比特和玻色子模式的混合设备 [484]。

图11.7 QED板块在质量 $m \in [ 10^{- 2} , 10^{1} ]$ 和耦合 $g^{2} ~ \in ~ [ 10^{- 1} , 10^{1} ]$ 网格上的精确对角化。(a,b) 达到磁能 $\langle \mathrm{Re} \hat{U}_{\bigtriangledown} \rangle$ ∗ 精度 $\epsilon_{\mathrm{trunc}} = 10^{- 5}$ 所需的最小规范截断 $\ell^{*}$。(c) 与板块对称二分相关的相应纠缠熵。(图表来自 [396])

11.5 总结#

在本章中，我们详细探讨了哈密顿量晶格规范理论（LGTs），重点介绍了费米子场和规范场的离散化过程。我们首先回顾了费米子的晶格离散化，强调了用于缓解费米子加倍问题的交错费米子方法。随后讨论了规范场的离散化，其中连续的规范场被平行输运取代，确保了晶格规范不变性。我们详细阐述了规范场的电分量和磁分量的离散化，从而构建了晶格哈密顿量。量纲分析强调了规范耦合的作用及其随晶格间距的标度关系。

本章第二部分引入了 dressed-site 形式体系，该体系将规范场有效地整合到物质格点中，从而降低了规范理论的复杂度，使其更适用于张量网络算法和量子模拟。该形式体系已被深入应用于两个典型例子，例如第11.3节中的阿贝尔 U(1) 晶格规范理论以及第11.4节中的非阿贝尔 SU(2) 杨-米尔斯理论。为这两个模型引入的技术和概念是理解多篇文献[282, 397–403, 416]中所呈现和研究的数值方法及物理结果的基础，并且代表了一种强有力的方案，可用于未来任何对晶格规范理论进行的数值乃至量子模拟[396]。

11.6 习题#

1. 利用第11.3节发展的 dressed-site 形式体系，在规范场的第一个非平凡整数截断（即 (j_{\mathrm{max}} = 1)）下，构建(1+1)维量子电动力学哈密顿量的规范不变基。

2. 采用相同策略，构建相应(2+1)维情形下的基。

3. 将所得基与文献[459]中提供的基进行比较。

4. 利用文献[1]中可用的最优张量网络拟设，搜索当 (m_{0} = 1) 且 (g = 1) 时这两个哈密顿量的基态。