量子相变#

Simone Montangero

对平衡态多体量子系统物理学的理解涵盖了众多过程，这些过程正是我们理解自然的核心。例如，材料特性、化学分子以及用于高能物理的格点规范理论都属于此类。本章将从凝聚态物理学家的视角出发，主要关注量子物质的性质，介绍进入这一迷人领域所必需的基础知识。然而，我们不会对已有大量文献的这些精彩主题进行全面介绍（参见，例如，[137, 141, 264, 333, 334]）：我们将介绍一套有用的概念集合，以便开始在该领域工作，特别是考虑用张量网络（TN）方法解决这类问题。我们首先介绍相变的基础知识，简要回顾铁磁性的朗道理论以及不同维度系统之间的统计量子-经典对应关系。最后，我们介绍用于表征此类现象的局域和非局域（纠缠）度量，这些度量可以通过 TN 方法轻松处理。

10.1 相变#

每个人都熟悉相变，即物质的表观和性质随温度变化而发生剧烈改变：水在零度结冰，在一百摄氏度量沸腾。而另一类发生在磁性材料中的相变 [15] 可能不那么为人熟知。事实上，通过实验可以验证，在某个特定温度以下，即使没有外磁场，一些材料也会突然表现出非零的自发磁化。此外，作为温度函数的磁化强度在临界温度 $T_{c}$（磁化出现的地方）处是不可微的（见图 10.1a）。导数在临界点的不连续性表明系统内部发生了剧烈变化：系统的微观组分正在重新排列，一种新的集体现象出现了，这必然要求系统内存在广泛的关联（所有磁自旋沿同一方向排列），并且，正如我们将看到的，会发生对称性的自发破缺。

a) b)

图10.1 (a) 磁化强度随温度变化的示意图，在临界温度 $T_{c}$ 处经历相变。(b) 铁磁性朗道理论：不同温度下自由能作为磁化强度的函数；在 $T = T_{c}$ 时，$M = 0$ 处的稳定最小值变得不稳定，自由能变为一个四次函数，具有两个简并最小值，反映了问题的 $\mathbb{Z}_{2}$ 对称性

从现象学和宏观角度模拟此类现象的最早尝试是铁磁性的朗道理论（Landau theory of ferromagnetism）[335, 336]。其核心思想是利用一个状态方程来描述现象的主要方面，该方程需尊重问题的对称性，并将描述系统的两个最重要的热力学量联系起来：自由能 $F$（系统达到平衡时需要被最小化）和磁化强度 $M$（系统的独立变量）。假设对函数 $F(M)$ 进行幂级数展开，我们得到

其中高阶项被忽略，并假定它们不是解释我们感兴趣的主要特征所必需的。这是一个完全任意的假设，其合理性仅靠理论的成功来事后验证。我们假设不存在择优方向，即自旋之间通过某个特定的哈密顿量相互作用，该哈密顿量无法区分“上”和“下”方向：系统表现出 $\mathbb{Z}_{2}$ 对称性（在宇称算符下不变）。因此，式(10.1)中的奇数项应为零，即 $F_{1} = F_{3} = 0$。最后，我们假设 $F_{4} > 0$，并且二次项系数以最简单的可能方式依赖于温度（温度应在某处出现），即 $F_{2} ( T ) = F_{2} ( T - T_{c} )$。

基态定义为使自由能最小的磁化强度 M 所对应的状态：条件

得到如图10.1a所示的解：

这复现了典型的实验结果。尽管该理论凭借直观的图象在描述此类复杂现象的主要特征方面取得了巨大成功，但其预测能力当然也存在局限性。事实上，$T_{c}$ 和其他常数的定量值必须由实验拟合得出，更重要的是，方程 (10.3) 预测的平方根标度律 (我们遇到的第一个临界指数，见第10.3.1节) 通常与实测值不符。实际上，方程 (10.3) 的预测对应的是平均场结果，需要更精细的方法才能提取出正确的标度值。除此之外，TN方法如今也被常规应用于计算量子物质的不同相及其性质。然而，在继续讨论量子相变之前，有必要花些时间仔细审视图10.1b中示意出的势能 $F ( M )$。想象一个实验，系统从无序态 (无磁化，自旋随机排列，且 $T > T_{c}$) 开始缓慢降温：系统位于单势阱的底部，且 $M = 0$。突然，在临界温度 $T_{c}$ 下，$M = 0$ 处的极小值变得不稳定，而另外两个 $M \neq 0$ 的解出现。然而，系统仍然停留在 $M = 0$ 的不稳定极小值处，直到一个小的扰动 (由材料的热活动引入) 打破平衡，迫使系统弛豫到两个新极小值之一，无论是正还是负的。总之，热涨落打破了问题的对称性，并允许自发非零磁化出现。最后，请注意，一旦系统打破了对称性，它将弛豫到新的稳定极小值：这意味着一旦系统经历了相变，它就会获得一定的刚性，即抵抗新的变化或恢复原始对称性的能力。例如，晶体 (其打破了平移不变性) 不易弯曲，自发磁化会持续很长一段时间 (爬升势能 $F ( M )$ 的能垒需要能量)。类似地，新的极小值周围会出现新的激发，例如晶体中的晶格波、铁磁体中的自旋波等。最后但同样重要的是，由于对称性破缺是由随机作用于整个系统的热涨落引起的，相距很远的区域可能会以不同方式破缺：在这种情况下，会出现不同的有序畴，在其界面处存在缺陷，例如磁体中的畴壁、取向不同的晶体等。我们将在下一章中看到，一个简单而强大的理论——基布勒-祖雷克机制 (Kibble-Zurek mechanism)，如何描述这些现象并利用一个优雅的论证预言最终的缺陷密度。

现在我们来回忆一个事实，即从统计力学的角度来看，量子系统和经典系统是深刻关联的。因此，量子多体系统也展现出反映本节所介绍内容的行为，即量子相变。

10.2 量子-经典统计对应#

经典世界与量子世界之间在统计力学方面的深刻联系源于这样一个事实：一个 D 维量子系统的配分函数 $Z_{q}$ 等价于一个 (D+1) 维经典系统的配分函数 $Z$ [337, 338]。由于所有热力学量都可以从配分函数导出 (例如，自由能 $F = - k_{B} T \log Z$)，相变也会发生在量子多体系统中。一旦引入了分别用于计算 $Z$ 和 $Z_{q}$ 的转移矩阵 (transfer matrix) 方法和路径积分 (path integral) 方法，上述等价性就变得显而易见。

转移矩阵方法利用了这样一个事实，即 N 个格点的经典配分函数可以写为

其中求和遍历所有可达的经典态，且 $\beta_{T} = 1 / k_{B} T$ ，我们将其特化到一维周期边界条件情形，即 $\alpha_{1} = \alpha_{N + 1}$。假设只考虑最近邻相互作用且具有平移不变性，即 $H =$ $\begin{array} {r l} {\sum_{j} H ( \alpha_{j} , \alpha_{j + 1} )} \end{array}$，则配分函数可重写为

其中经典转移矩阵（classical transfer matrix）$T_{c} ( \alpha_{1} , \alpha_{2} ) = e^{- \beta_{T} H ( \alpha_{j} , \alpha_{j + 1} )}$ 与 $j$ 无关，其维度（通常很小）便于轻松对角化以求得本征值 $\mu_{i}$（我们假设 $\mu_{1} > \mu_{2} > . . . $）。这一条件使得热力学极限下的配分函数可直接计算为 $\mu_{1}^{\mathbf{\overline{{\cal{N}}}}}$ 加上指数小的修正项。例如，每个格点的自由能为

由哈密顿算子 $\hat{H}_{q}$ 描述的量子系统的配分函数，按定义有

此处我们将虚时（imaginary time）分割成 $n$ 个小区间，使得 $\beta_{q} / n = \delta \tau \ll 1$。事实上，上述表达式等价于虚时中含时薛定谔方程的解。根据费曼（Feymann）的思想，系统两个状态之间的净跃迁振幅可通过求和所有可能路径的振幅得到，我们插入恒等算子（即对一组完备基态求和，为方便起见标记为 $\begin{array} {r} {\mathbb{1} = \sum_{\gamma_{j}} | \gamma_{j} \rangle \langle \gamma_{j} | )} \end{array}$，得到

显然，式(10.5)与式(10.8)在形式上等价，唯一的区别在于式(10.8)中相乘矩阵的个数并非由系统中元素个数决定，而是由虚时演化中的切片数决定。这的确是普遍成立的：$D$ 维量子哈密顿量的配分函数等价于一个 $D + 1$ 维经典系统的配分函数，前提是 $\beta_{T} H = \delta \tau \hat{H}_{q}$ [337]。维数差异源于量子哈密顿量是算子，而经典哈密顿量是标量。例如，伊辛链（Ising chain）中自旋链的经典哈密顿量为 $\begin{array} {r} {H = - J \sum_{i = 1}^{N} s_{i} s_{i + 1}} \end{array}$，其中经典变量 $s_{i} = - 1$ 或 $1$，对应的转移矩阵为

其中 $\tilde{J} = - J / k T$ 。对于足够小的 $\delta \tau$ ，我们可以将量子转移矩阵写为 $T_{q} \simeq \mathbb{1} + H_{q} \delta \tau$ ，因此量子配分函数与经典配分函数等价的条件是 $n \ : = \ : N$ 且 $H_{q} \delta \tau \ : = \ : e^{- \tilde{2} J} \sigma^{x}$ （忽略重标度因子 $e^{\tilde{J}} )$ 。因此，单个自旋（维度 $D = 0 $）的量子配分函数等价于一条经典自旋链（ $ D = 1 $ ）的配分函数。但需注意，时间维度仅在 $\beta_{q} \to \infty , T \to 0$ 极限下才是无穷大。由于 D 维量子系统在统计上等价于 $D + 1$ 维经典系统，且经典系统在不同温度下会发生相变，因此 $T = 0$ 的量子系统也会发生相变。不过，驱动因素并非系统温度（它始终为零），而是由关系 $\beta_{T} H = \delta \tau \hat{H}_{q}$ 确定的某个系统参数。

10.3 量子相变#

量子相变（quantum phase transition），尤其是我们这里将重点关注的二级量子相变，描述了某些多体量子系统的基态性质随外部参数变化的剧烈改变。温度涨落的作用现在由量子涨落（quantum fluctuation）取代，即海森堡不确定性原理引入的不确定性，表现为哈密顿量中存在非对易项。正如我们在上一节所见，这对应于经典相变中的物理现象：预期会出现对称性破缺、关联发散以及系统性质导数的不连续行为。对这些现象的刻画，是通过研究不同的物理量及其与临界点距离（如式（10.3））的标度关系（scaling relation），包括时间上和系统尺寸上的标度关系来实现的：临界系统可通过这些标度关系的指数进行分类，从而引入普适类（universality class），将所有具有相同指数的系统归为一类 [137, 141, 333]。普适类由具有相同对称性的系统构成，这些系统的低能物理不依赖于哈密顿量的细节：临界性质仅由哈密顿量的对称性决定 [141, 333]。系统的纠缠性质也被用来分类临界系统，这为量子信息理论与强关联系统之间建立了最早且最具意外联系的桥梁之一 [140, 339]。

我们因此关心形如下式的多体哈密顿量的基态性质：

其中系统在某对称群下保持不变，而两个非对易项 $H_{i}$ 之间的竞争决定了系统的性质。那么，应该能找到这样一个序参量（order parameter）：它是一个局域算子，其在系统基态上的期望值 $\langle \hat{O}_{i} \rangle$ （类似于朗道理论中的磁化强度）标志着在参数 $g_{c}$ 的某个特定值处量子相变的发生；即从 $\langle \bar{O_{i}} \rangle = 0$ 的无序相（disordered phase）转变为对称性破缺、$\langle \hat{O}_{i} \rangle \neq 0$ 的有序相（ordered phase）。发生这种突变的位置就是临界点 $g_{c}$。寻找正确的序参量来识别相变，对于横场伊辛模型这样的情形是直接的，但对于更复杂的理论则可能极具挑战性，需要经验和技巧。

在下文中，我们将介绍一些最常用的刻画临界现象的方法，尤其关注那些可以用前几章引入的张量网络方法方便处理的方法。

10.3.1 临界指数#

如前所述，量子相变通过序参量的期望值在有序相变为非零来标志。具体来说，在有序相中的函数依赖关系由下式给出：

其中 $\beta$ 是我们介绍的第一个临界指数，称为自发磁化。这个量在张量网络模拟中很容易计算，它是局部可观测量的期望值。方程 (10.10) 给出的关系仅在热力学极限下精确成立，此时函数出现非解析性。

此外，对于每个有限的 N，对称性破缺不可能发生。实际上，对于每个有限的 N，对称性破缺的基态之间存在非零的耦合项，这使得它们的对称叠加成为真正的基态。换句话说，对于有限的 N，基态并非精确简并；因此对称叠加在能量上仍然有利，尽管能隙随 N 增加而闭合，尤其在用数值方法描述这类现象时结果可能不稳定。克服此问题的一个常用方法是人工破缺对称性，引入一个小场（最终趋于零）来稳定计算。然而，这一过程引入了另一个需要小心处理的参数，并且在磁场趋于零的极限下并不能解决问题。正如我们后面将看到的，解决此问题的方法在于利用结构因子的计算。

如前所述，式 (4.9) 给出的关联 $C_{i , j}$ 在临界点发散，这意味着若将其拟合为位点间距离 $\ell = i - j$ 的指数函数 $\exp ( \ell / \xi )$，关联长度 $\xi$ 会发散。换句话说，关联 $C_{i , j}$ 与距离之间存在另一种函数依赖关系：幂律衰减 $C ( \ell ) \propto \ell^{- \eta}$，其中 $\eta$ 是表征系统的另一个临界指数，即反常维度（anomalous dimension）。更一般地，在远离临界点时，关联的标度关系为 [141]

上述关系在数值研究中非常重要，因为除了一些平凡情况外，临界点的定位总是近似的，因此关联长度始终有限。利用数值方法，可以计算关联函数 $C ( \ell )$ 并使用上述关系拟合关联长度。

数值模拟通常处理有限系统尺寸 N（或有效引入一个截断），在研究临界系统以提取临界指数 $\beta$ 等相关量时，这一点也必须考虑。解决这些问题的方法来自我们对临界系统的理论理解以及期望在所有尺度上存在的自相似性，这使我们能够引入标度关系。特别地，通过有限尺寸标度（finite-size scaling）[141,340]，可以同时获得两个临界指数：自发磁化 $\beta$ 和关联长度发散指数 ν，后者描述了关联长度如何随距临界点的距离变化

根据重正化群分析，序参量严格遵循系统尺寸 $L$ 和距临界点参数距离的标度关系

其中 $f$ 是一个非普适函数，依赖于模型的微观细节。假设式 (10.13) 成立，在计算了不同系统大小的序参量 $\langle \hat{O}_{i} \rangle ( g , L )$ 后，可以首先调整未知参数 $\gamma_{1} = \beta / \nu$，直到所有曲线 $\langle \hat{O}_{i} \rangle ( g , L ) \cdot L^{\gamma_{1}}$ 相交于单一点，该点标识了临界点 $g_{c}$（根据式 (10.13)，这是唯一对不同 $L$ 不变的支点）。然后，通过 $\gamma_{2} = - 1 / \nu$ 对曲线 $\langle \hat{O}_{i} \rangle ( g_{c} + ( g - g_{c} ) L^{\gamma_{2}} , L ) \cdot L^{\gamma_{1}}$ 进行重标度，直到所有曲线互相叠合。这两个参数 $\gamma_{1}, \gamma_{2}$ 唯一地定义了临界指数 $\nu, \beta$ [340]。

另一个重要的临界指数是动力学标度指数 $z$，它给出了虚时关联函数随算子（在不同虚时 $\tau$ 处评估）到临界点距离的标度行为：

其中

回到量子-经典对应，如果系统可以映射到一个 $D + 1$ 维的均匀量子系统，那么式 (10.8) 中费曼积分的时方向由与空间方向相同的哈密顿量驱动。也就是说，空间和时间上的关联是等价的，并且 $z = 1$。然而，情况并非总是如此，一般而言 $z \neq 1$。我们还要提到，利用解析延拓，也可以推断系统的实时关联 [337]。

最后，值得提及虚时关联与系统能隙之间的一个重要关系：实际上，在海森堡绘景中写出演化算子 $\hat{\cal O} ( \tau ) = e^{H \tau} \hat{\cal O} ( 0 ) e^{- H \tau}$，可以很容易地证明关联由下式给出：

其中我们插入了一组完备的系统本征函数 $| j \rangle$，且 $E_{j}$ 是对应的本征能量。那么可以清楚地看到，有限的主能隙 $\Delta = E_{1} - E_{0}$ 意味着对于（足够长的）虚时，关联函数呈指数衰减，即 $C ( \tau ) \sim e^{- \Delta \tau}$。因此，反过来，如果关联函数呈代数衰减，那么能隙必定消失，正如在量子临界点处发生的那样。上述表达式与式 (10.14) 一起，可以将临界点附近能隙的标度与临界指数联系起来：

10.3.1.1 结构因子#

如前一节所述，只要处理有限尺寸的量子系统，自发性对称破缺相就不会出现。可以通过利用一个对对称破缺不敏感的序参量定义来克服这个问题。例如，可以采用结构因子密度的平方根，即：

其中 $\mathinner{| {\psi ( g , N )} \rangle}$ 是在参数 $g$ 和尺寸 $N$ 下计算得到的多体基态。举例来说，若将其应用于研究标准铁磁相变，则无需计算基于 $\hat{O}_{i} ~ = ~ \sigma_{i}^{x}$ 的序参量（该序参量在有限尺寸下始终为零），而是可以评估 $k = 0$ 处的结构因子（structure factor）：可以证明，该结构因子在热力学极限下恰好等于标准铁磁序参量 $\bar{m} ~ = ~ N^{- 1} \sum_{j}^{N} \langle O_{j} \rangle$。事实上，由于根据定义 $\langle \hat{O}_{i} \hat{O}_{j} \rangle = \langle \hat{O}_{i} \rangle \langle \hat{O}_{j} \rangle + C ( \ell )$，因此关联函数 $C ( \ell )$ 在式(10.17)所涉及的量中变得无关紧要。实际上，$C ( \ell )$ 要么以指数形式（能隙非零）衰减到零，要么以代数形式（临界点）衰减。在这两种情况下，我们都有

总之，我们得到

这表明 ${\bf S} ( 0 , g , N )$ 等于铁磁序参量，且不会受到有限尺寸对称性破缺问题的影响，因为它基于两点关联测量，而非局部观测。

10.4 纠缠度量（Entanglement Measures）#

正如我们在第5章中所看到的，系统二分块奇异值的冯·诺伊曼熵在决定张量网络方法的效率方面起着基础性作用。接下来，我们将回顾纠缠度量与所考虑系统的物理性质之间的另一重要关系。冯·诺伊曼熵只是可用于表征多体量子系统[140]的众多纠缠度量之一：将纠缠与系统的物理性质（特别是经历量子相变的系统）联系起来的首次尝试之一是利用并发性（concurrence）完成的，这是一种常用的两量子比特纠缠度量[339,341]。给定嵌入更大系统中的两个自旋二分之一的约化密度矩阵 $\rho_{i , j}$，可以通过对角化矩阵 $R = \sqrt{\rho_{i , j}} \tilde{\rho}_{i , j} \sqrt{\rho_{i , j}}$ 并计算

得到并发性 $C$，其中 $\lambda_{1} ~ > ~ \cdots > ~ \lambda_{4}$ 是 $R$ 的按序排列的本征值的平方根，且 $\widetilde{\rho}_{i , j} = ( \sigma^{y} \otimes \sigma^{y} ) \rho_{i . i}^{*} ( \sigma^{y} \otimes \sigma^{y} )$。已有研究表明，两个自旋之间并发性对参数 $g$ 的导数在临界点处发散，从而指示临界行为，因此可作为非局部序参量。事后看来，这一优美的结果很容易解释，因为约化密度矩阵的元素由系统中的两点关联函数[140]给出，因此它们在临界点的发散就反映在并发性中。这一观察是最早揭示量子信息科学与凝聚态理论之间深刻联系的有力证据之一，并引发了大量的研究活动[140]。特别是，如今广泛使用系统二分块的冯·诺伊曼熵来表征临界系统。给定一个系统被分为两个子系统 A 和 B，冯·诺伊曼熵定义为

其中 $\rho_{A} , \rho_{B}$ 是子系统的约化密度矩阵，$p_{i}$ 为其本征值。如能从式(7.28)和(7.29)中回忆起，该量——及其在一维量子系统二分时随系统尺寸的标度行为——可以利用 MPS 方便地计算。在下一节中，我们回顾一些重要结论，这些结论将冯·诺依曼熵的标度与系统的物理性质联系起来。

10.4.1 中心荷（Central Charge）#

一维系统冯·诺依曼熵标度的主要特征在于，它可以与对应共形场论的中心荷 $c$ 联系起来 [140, 229, 334]。共形场论基于对称性考虑，对一维临界量子系统进行了分类，而与系统的具体哈密顿量无关。中心荷——由 Virasoro 代数的共形反常定义——起着核心作用，是识别共形理论的关键要素之一 [334]，并可作为临界指数将系统归入普适类。

对于具有开边界条件的离散系统，被划分为大小分别为 $\ell$ 和 $N - \ell$ 的两部分且只有一个边界时，约化密度矩阵的冯·诺依曼熵标度为

其中 $c^{\prime}$ 是一个非普适常数 [140, 229]。对于周期边界，或者更一般地，对于具有两个边界的系统二分情况，上述标度加倍，这是因为两个边界都贡献了系统两部分之间的关联。更一般地，冯·诺依曼熵也可用于测量系统的关联长度 $\xi$，因为在略微偏离临界点时，对于 $\ell \to \infty$，其标度行为为

也可推广到有限温度情况，此时有效温度 $\beta_{T} = 1 / ( k_{B} T )$ 为关联长度引入了截断，从而起到了有效系统大小的作用（即使在热力学极限下），导致如下的标度形式 [140]：

值得一提的是，上述结果在无序系统中仍然成立，前提是比例因子——中心荷——会以与系统相关的方式重整化 [140]：例如，对于横场中的自旋一半伊辛模型，在存在不相关无序时 $\tilde{c} = c$ ln 2 [342]。然而，重整化也取决于无序项的关联性，最终，相关噪声可能又回归到洁净情况下的结果 [343–346]。

最后，上述关系可以推广到Rényi熵，

其中冯·诺依曼熵是 $q \to 1$ 的特例。实际上，在这种情况下，式(10.22)应通过因子

进行修正。

10.4.2 拓扑纠缠熵#

我们通过简要介绍拓扑纠缠熵（topological entanglement entropy）的概念[38, 140, 334, 347, 348]，来结束对利用冯·诺伊曼熵提取关联量子系统相关物理信息的非常简明的概述。拓扑系统不破坏任何对称性，因此无法用局域序参量来刻画。基态通常不唯一，在二维曲面上，简并度随曲面的孔洞数（亏格）呈指数增长。简并基态之上的局域激发受到大能隙的保护，使得拓扑态对局域扰动具有鲁棒性[334]。最后，拓扑相无法通过局域观测来区分，因此需要使用全局特征，例如系统二分块之间的纠缠[347, 348]。特别地，已有研究表明，冯·诺伊曼熵可用于刻画系统的拓扑序：它遵循面积律，即与二分块边界的大小 L 呈标度关系

其中 α 是一个非普适常数，而 $\gamma = \log D \geqslant 0$（即理论的总量子维度）刻画了该态的拓扑内涵。例如，在离散规范理论（discrete gauge theory）中，D 就是规范群中元素的个数；而对于填充因子为 $\nu = 1 / r$（其中 r 为奇数）的分数量子霍尔体系中的 Laughlin 态，有 $D = {\sqrt{r}}$ 。尽管将张量网络方法应用于二维系统仍面临诸多挑战，但近年来，它们已被用于提取不同系统的拓扑熵，参见例如[180, 349–352]。

10.5 习题#

1. 利用张量网络（即取 $m = 1 ）$ 计算横场一维伊辛模型的平均场临界指数，并验证解析预言。

2. 直接计算以及利用结构因子计算横场一维伊辛模型的铁磁序参量，并比较结果。

3. 对临界横场伊辛模型的临界指数进行有限尺寸标度计算（对不同尺寸和横场值计算序参量），分别使用 RG 和 DMRG 方法，并比较结果。