引言#

Timo Felser 与 Simone Montangero

多体量子问题（many-body quantum problem）以其不同的表述形式，处于我们理解自然与现代技术的核心[2]。一方面，它涵盖了对宇宙基本构成[3]及量子物质（quantum matter）[4,5]的建模。另一方面，大多数未来技术的发展依赖于我们描述和理解多体量子系统的能力：其中包括对化学与药物研究有影响的电子结构问题（electronic structure problem）[6]、量子技术（quantum technologies）的发展[7,9,625]，以及新材料的工程化，例如更高效的光收集材料或呈现拓扑序（topological order）的材料[10–12]。

因此，多体量子问题的求解是现代物理学研究的一个首要目标。找到一种高效求解它的方法将具有不可估量的价值，并将直接或间接影响到自然科学的各个领域——从医学、化学到工程和高能物理——并将为技术发展的“黄金国”（Eldorado）铺平道路，极大地影响我们的日常生活。然而，尽管付出了巨大努力，并且在过去几十年中解析方法和数值方法取得了令人瞩目的进展，多体量子问题仍然是我们面临的最重大挑战之一。

多体量子问题的复杂性立即显现出来：系统N个基本组分（量子粒子数、晶格位点等）的可能配置空间维度随N呈指数增长。实际上，如果每个基本组分由d种可能的不同状态 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{d}$（自旋构型、电子或分子轨道、谐振子或角动量能级等）表征，则整个系统的可能配置数为 $d^{N}$ 。在量子力学中，感兴趣的基本对象是系统的波函数，即概率分布振幅 $\psi ( \alpha_{1} \ldots \alpha_{N} )$ ，其模平方给出了系统处于N体构型 $\alpha_{1} \ldots \alpha_{N}$ 的概率：也就是说，感兴趣的对象是包含每个可能系统配置概率振幅的向量。通常，为了跟踪系统的时间演化或找到系统基态对应的本征向量，需要更新该概率向量。迄今为止，只有少数精确可解模型（exactly solvable models）已被确定[13]，而精确对角化技术（exact diagonalization techniques）[14]仅限于少体问题：因此，在诸多情况下代表有趣场景的热力学极限或大N极限常常遥不可及。

总之，多体量子问题的精确处理几乎总是不可行的。然而，已经发展出许多近似解析和数值方法来攻克它：一类强大的方法基于对量子自由度进行半经典处理（semiclassical treatment）[15]，例如忽略或仅考虑系统量子相关性一小部分的平均场技术（mean-field techniques）[16]，比如哈特里-福克方法（Hartree-Fock methods）及其推广[134]。然而，众所周知，这些方法通常在高空间维度表现最佳，而在低维度下表现不佳[18]，特别是在一维中，纠缠（entanglement）和量子涨落（quantum fluctuations）扮演主导角色。另一类取得巨大成功的技术——通常称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo methods）——在过去几十年中被广泛用于求解多体问题，特别是研究晶格规范场论（lattice gauge theories）[19]。蒙特卡罗方法通过统计抽样重建模型配分函数，从而捕捉系统的量子内容和统计内容。然而，每当出现负作用量或复作用量（sign problem，符号问题）时，蒙特卡罗方法会受到严重限制[20]，例如在研究有限化学势或非平衡系统时[21]。在许多情况下，仔细、精巧地选择统计算法可以缓解符号问题。然而，已经证明符号问题是NP难的，因此几乎肯定不存在一种通用的多项式算法来通过蒙特卡罗研究具有复作用量的系统[22]。

另一种解决多体量子问题的方法是一类基于重整化群（Renormalization Group, RG）范式的数值方法——这也是本书的核心。RG范式的核心思想是，基于能量考虑对指数增长的希尔伯特空间进行截断。其基本假设是，系统的低能物理主要由其组成部分的低能区决定[23]。在标准RG算法中，系统尺寸被迭代增大，并在每次迭代中丢弃系统不同部分的高能区。这一强大思想在凝聚态系统中得到了进一步发展，由此引入了密度矩阵重整化群（Density Matrix Renormalization Group, DMRG）[24]。最后，在量子信息学界，随着张量网络（Tensor Network, TN）方法的发展，这一思想得到了广泛而深入的拓展[25-32]。正如本书详细阐述的，TN方法提供了一种有效描述多体量子系统的方案，其近似程度取决于所使用的资源，并以可控的方式最优地描述系统波函数中的相关信息[25]。实际上，TN方法基于这样一个事实：波函数 $\psi ( \alpha_{1} \alpha_{2} \ldots \alpha_{N} )$ 所定义的希尔伯特空间的张量结构引入了一定的结构。也就是说，通常 $\psi$ 并非一个完全一般的N阶张量，因此它可能允许一种高效的表示。此外，在某些特殊但重要的情形中，例如短程相互作用哈密顿量的基态，可以证明系统中存在的纠缠遵循某些标度律——纠缠面积定律（Area Laws of Entanglement）[33-38]。这些标度律意味着可以引入一类通过其张量结构定义的态——TN尝试波函数（TN ansätze）——它们能高效地表示系统的基态[25, 26, 29, 31, 39-44, 46, 167]。实际上，我们可以将N阶张量 $\psi ( \alpha_{1} \alpha_{2} \ldots \alpha_{N} )$ 所定义的最自然的张量结构分解为一个由低阶张量构成的网络，这些低阶张量在未引入近似时是等价的。请注意，在引入TN尝试波函数时，我们固定了张量结构，但并未固定张量指标的维度或每个张量的元素：这些是为了构建所研究系统的最优表示（同时仍能捕捉系统的物理性质）而需要优化的变量。

从基于矩阵乘积态（Matrix Product State, MPS）[48, 49, 182]（一种一维张量网络尝试波函数）对DMRG算法的重新表述开始，多年来，为了不同目的——例如在张量结构中纳入系统可用的物理信息，或允许更高效的算法优化[25, 26, 50-52, 54, 187, 202]——人们引入了多种具有不同几何结构和拓扑结构的张量网络类别。需要强调的是，TN方法是对蒙特卡罗方法的补充，因为它不受符号问题（Sign Problem）的困扰，从而能够模拟非平衡现象或有限化学势下的情形[55-58, 58-77]。

实际上，张量网络一个非常新的迷人应用领域是晶格规范场论（Lattice Gauge Theories, LGTs）[78, 79]。自K. Wilson引入以来[80]，LGTs已广泛应用于规范理论中非微扰效应的研究，其应用领域从高能物理到凝聚态理论和量子科学[81-85]。LGTs的特点是其具有大量的局域对称性和局域守恒量，这是理论在特定变换集合下不变性的结果。LGTs最常见的表述是拉格朗日形式，这是蒙特卡罗模拟的理想设置[81-84]。然而，我们在此讨论的是由Kogut和Susskind引入的LGT哈密顿量形式[86, 354]，因为它更适用于张量网络方法和量子模拟器的应用[78,79]。我们特别关注一种紧凑的规范场表述，即所谓的量子链接模型（Quantum Link Models）[78, 88-90]。量子链接模型与Wilson表述有许多共同特征，并在特定极限下收敛于后者[91]，它在格点上保持规范不变性精确成立，并且与阻挫量子磁学中的问题高度相关[4, 92]。

在结束本引言之前，还需提及存在另一种独立的解决多体问题的方法，该方法由 R. 费曼在三十多年前提出[93]。用现代语言来说，他提议开发一种专用的量子计算机——量子模拟器——来解决量子多体问题，其利用的是被研究系统希尔伯特空间的指数增长会自动被另一个多体量子系统所匹配这一事实。尽管在后续我们将不专注于这种方法，但我们强调，在过去几十年中，量子信息科学和实验装置所达到的控制水平已允许不同的平台（冷原子、囚禁离子、超导量子比特等）对多种多体现象进行量子模拟[94, 95]。一些短程相互作用模型的哈密顿量典型类别，如自旋系统的伊辛模型（Ising model）和海森堡模型（Heisenberg model），以及描述晶格上粒子的哈伯德模型（Hubbard model）或玻色-哈伯德模型（Bose-Hubbard model），已被成功量子模拟[96-98]。同时，利用囚禁离子的库仑相互作用和里德伯原子模拟器[99-104]，也实现了具有长程相互作用的系统。此外，针对晶格规范场论（lattice gauge theories）的量子模拟已提出了多项方案[77, 79, 99, 101, 105-118]，并在离子阱量子模拟器中完成了一项开创性实验[119]。

总之，尽管张量网络方法（tensor network methods）和量子模拟器相对年轻，尚未完全成熟，但未来对多体量子系统的研究很可能将通过三种独立方式展开：要么直接进行实验以询问感兴趣的系统，要么在经典计算机上进行模拟（使用蒙特卡洛方法或张量网络方法），最后是在受控环境中进行量子模拟。鉴于这些方法之间的互补性——不仅在有效性和效率方面，而且在实现、可重复性、获取不同直接或间接信息所需的复杂度和资源方面——未来的研究很可能将结合使用这些方法，每种方法都发挥其优势，并相互补充和验证彼此的结果。

本书旨在向读者介绍未来研究的支柱之一——张量网络方法——从其基础知识到在晶格规范场论中的应用，以弥合量子物理基本模拟方法与一些最有前途的数值方法之间的差距，这些方法很可能将引导和支持基础量子科学的研究以及量子技术的发展。

本书的第一部分回顾了可用于数值求解单粒子量子问题的最重要工具，这些工具构成了第二部分所介绍更先进技术的基础：第2章介绍了对角化哈密顿量所需的线性代数工具，以及用于对角化大矩阵的一些更高级的方法（兰索斯方法）。在第3章中，我们回顾了数值微积分的标准工具、数值积分以及偏微分方程——薛定谔方程——的求解，这些工具既可独立使用，也将成为张量网络算法的一部分。

第二部分呈现了本书的核心内容——张量网络方法：我们在第4章中回顾了数值实空间重正化群（numerical real-space renormalization group）及其推广——密度矩阵重正化群（DMRG）。在第5章中，我们介绍了用于对具有数百个组分的一维系统进行数值研究（包括平衡态和非平衡态）的工具和方法，这些方法主要基于矩阵乘积态（Matrix Product States）。第6章介绍了更高级的概念，特别是利用对称性来提升数值模拟的性能，以及用量子链接形式（quantum link formulation）描述晶格规范场论。

在该书的第二版中，我们新增了第三部分，详细介绍了前述概念的技术细节。希望掌握张量网络方法并进行尖端模拟的读者，将在此找到必要的工具包：第7章介绍了一维系统中矩阵乘积态（Matrix Product States）变分假设的常规算法，第8章则将其推广至树张量网络（Tree Tensor Networks, TTN），从而解锁研究高维系统的能力。本章最后一节介绍了旨在突破TTN局限性的最新进展，通过推广变分假设使其与纠缠面积律标度兼容。

本书最后一部分展示了张量网络方法的一些应用：在第10章中，我们报告了TN方法在研究物质量子相方面的应用，以及可用于高效表征这些相的不同量：关联函数和纠缠度量。第11章将上述应用专门定位于格点规范理论（lattice gauge theories），将张量网络方法与高能物理联系起来。我们首先介绍一些重要的预备概念，包括量子场的离散化、连续极限和洛伦兹不变性，以及如何引入规范不变局部基。随后，以两个范式理论为例，展示了这种构造的细节及部分结果。本章最后对这一类理论的量子模拟及量子启发式模拟的未来进行了一些思考。第12章介绍了TN方法在非平衡现象中的一些成功应用：绝热量子计算（adiabatic quantum computation）、基布尔-祖雷克机制（Kibble-Zurek mechanism）以及多体量子过程的最优控制。最后一章介绍了机器学习的基础知识，并将其专门用于开发矩阵乘积态分类器，引导感兴趣的读者进入快速发展的张量网络机器学习领域。

附录介绍了一些任何物理学家在接触计算方法时都应了解的基础概念：经典计算机硬件与架构的基础知识，以及编写可靠实用软件的良好基本实践。