非统计学家的统计学 on Yuunagi Library

前言 · 读者指南

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

封面

丹麦语原版于2012年由Samfundslitteratur在丹麦腓特烈斯贝出版，书名为"Statistik for ikke-statistikere"。

前言

从来没有像今天这样，如此多的组织决策都是基于统计数据做出的！一切都由数字支撑。这适用于市场营销、经济学、社会科学、自然科学、工业，以及组织、企业和机构内部的行政工作。因此，在评估统计数据材料以及准备调查研究时，了解基本的统计概念至关重要，这样才能产生有用的统计结果。

市面上已有若干本基础统计学书籍。那么为什么还要再写一本呢？简单的回答是：因为确有必要！本书填补了现有统计学文献中的一个空白。大多数现有的统计学简短入门书籍采用以下方法之一：

主要基于描述性统计的方法（图表、表格等）
纯文字叙述的方法，没有任何数学公式，但也没有实用指南
主要基于概率论的方法

相比之下，本书旨在成为"从业者的第一门课程"，提供了大量实用的细节，例如调查规划等。将本书与标准的500-600页统计学教科书相比，你实际上会发现本书中有很多标准教科书中找不到的实用信息！我教授各个层次的统计学已有数十年。我的经验是，统计学中最重要的概念是可以解释清楚的，让"普通人"也能理解。我通过为众多不同受众讲授的数百门课程验证了这一点。现在，我把这些经验写成了书！

本书为谁而写？#

本书面向那些需要了解如何收集、分析和展示数据的人。你可能在处理行政数据、金融数据、或来自社会科学或自然科学的数据。也许你计划通过样本调查（如客户调查或类似调查）来收集数据。你对统计学了解不多。也许你以前学过一点这方面的知识，但大部分已经忘记了。也许你从未学过这方面的知识，但你充满好奇心！虽然本书不要求具备统计学知识，但我假设你对数字并非完全陌生！你能用计算器进行简单计算。而且当你看到包含平方根的简单公式时，不会惊慌！别担心：本书没有堆砌大量数学公式。但遗憾的是，要介绍统计概念，不可能完全避免数学计算。如果你具备电子表格的基本知识，那将是一个优势。本书不是电子表格使用教程——学习电子表格最简单的方法是阅读计算机手册或参加课程！这也不是一本"如何用 Excel 做统计"的书——如果你需要这方面的内容，可以参考文献列表中的资料。这类书籍有很多，往往厚达数百页……然而，了解如何利用电子表格的功能进行最重要的统计计算，可能会很有用。如今，电子表格使大多数人都能方便地处理数字和图表。这也同样适用于统计计算！如果你没有电子表格软件，我可以推荐 Open Office（一款免费的办公套件）中的 Calc 电子表格程序。参见附录中的软件链接。本书中讨论的几乎所有内容都可以用这个电子表格来完成！我建议在阅读本书时，你用一些简单的数据在电子表格中实际操作一下。稍微动手实践一下，学习统计学会更容易！初学者可能会满足于将电子表格作为统计分析的工具。然而，在专业统计工作中，你很快就会发现电子表格的局限性。这时候就需要考虑使用更好的工具了！因此，附录中介绍了一些主要的统计程序以及相关链接，你可以从中了解更多信息。我希望本书能用于自学，以及作为商学院、技术学校、高中以及大学水平的商学院和社会科学统计入门课程的补充阅读材料。本书并非为任何特定教育项目而编写。阅读完本书后，你应该有能力进一步深入研究市面上众多其他统计学书籍。我希望本书能为你阅读（许多）更高级的统计学专著铺平道路。随着专业水平的提高，统计学书籍的数量也在急剧增长！偏向数学的读者需要接受一点：本书并非在所有地方都达到 100% 的数学精确度。重点在于易于理解，而非数学上的精确表达。书中的某些主题比其他部分稍微"技术性"一些。这些内容可以跳过，不会因此丢失连贯性。其中一些内容放在文本框内，标题为"技术说明：……"。有些主题明确标明可以跳过。它们通常放在章节末尾。书中还有许多使用电子表格的示例。如果你不使用电子表格，可以只阅读这些示例，而不必关心结果在电子表格中是如何得出的。

本书结构#

本书的编排方式使得你在前一章学到的内容会在后续章节中使用。这意味着你应该从头开始阅读，至少读到第 5 章（含）。

第 1 章和第 2 章是关于数据的收集与展示。对于大多数从事统计工作的人来说，这些都是至关重要的问题。

第 3 章至第 5 章是本书的核心。它们介绍了基本的统计概念，包括描述性统计、正态分布和统计检验。

当你读完第 5 章后，第 6 章至第 8 章可以相互独立地阅读。

第 6 章是对第 1 章的补充；它涉及样本调查和实验的规划。第7章和第8章对第4章关于正态分布的内容进行了补充。第8章可能是本书中最"重"的内容，因此被适当地放在了最后！

本书的附录包含许多有用的信息：概率论回顾、参考文献、统计术语表、电子表格中的统计函数列表、统计软件列表、实用链接以及各种实用表格。书中所有标有星号（*）的词语均在术语表中予以解释。

在出版社的网站上，您可以找到本书的附加材料：实用工作表、进一步的解释、示例等。当然，那里还有一个包含示例数据集"Fitness Club"的电子表格，该数据集在全书中作为反复出现的示例使用。

祝您阅读愉快！

丹麦哥本哈根

第二版前言#

自本书第一版出版以来，我收到了许多评论。有人指出，可以增加一些有用的章节，使本书能够面向更广泛的读者群体，包括工业界人士。主要改进如下：

在第4章中新增了关于对数正态分布、控制图及过程能力的内容。
在第8章中新增了关于单因素方差分析的内容。

关于参考文献、链接和软件的附录也进行了更新。希望这些修改和补充能够显著提升本书的质量。我恳请读者继续对本书提出宝贵意见！

丹麦哥本哈根

致谢#

我衷心感谢我在Springer出版社的编辑Barbara Fess和Johannes Gläser，他们提出了许多宝贵建议。

我还要感谢丹麦语版本的编辑、来自Samfundslitteratur的Peter Byriel。他在写作过程中提供了大量建设性的批评意见。

此外，我要感谢以下丹麦统计学家提供的宝贵意见：Leif Albert Jørgensen、Niels Landvad和Anders Milhøj。

第1章 · 数据收集

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 数据收集#

Birger Stjernholm Madsen¹ (¹)诺维信公司，巴格斯韦德，丹麦本章解释统计学中的一些基本概念。同时，我们还将探讨调查中收集数据的最重要方法，并阐明抽样调查与计划实验之间的区别。统计学可以定义为在规划数据收集以及后续分析和呈现数据时所使用的一系列技术。早在古代，人们就需要了解人口规模，以便进行军队普查或计算预期税收。"Statistics"一词源于拉丁语"status"；而正是社会状况成为了最早统计学的主题！后来，概率论（与博弈相关！）、人口学和保险科学成为统计思维至关重要的领域。在当今的数字时代，收集、处理和传播数据都变得容易，因此统计学被广泛用于社会各领域的各种调查。大多数统计调查可分为以下几个阶段：1. 概念澄清 2. 数据收集规划 3. 数据收集 4. 数据分析和呈现 5. 结论统计方法（以及统计学家！）在调查的第2和第4阶段尤为有用。统计学有两种类型：

描述性统计
推断性统计

描述性统计是指使用表格、图表以及简单的统计计算（如平均值、百分比等）来描述数据。这是许多人对"统计学"一词的理解。古代产生的也正是这类统计学。

推断性统计用于评估数据中的差异和关系。例如，我们可以检验一组人的身高与体重之间是否存在关系；或者男孩与女孩的身高之间是否存在差异，并估计这种差异有多大。推断性统计是一门基于概率论的数学学科。它是一门相对较新的学科，在整个二十世纪得到了发展。本书涉及描述性统计和推断性统计两个方面。在实践中，两者都需要。推断性统计是一个非常庞大的主题，我们在此只能触及皮毛（特别参见第5、7和8章）。如果你想了解更多关于推断性统计的内容，请参阅文献列表中更高级的书籍。

1.1 抽样调查#

在任何调查()中，我们收集整个总体()（全体调查）或样本中相对少量个体()（抽样调查）的信息，以分析和呈现数据。我们关注的是所有个体的总体。只调查样本的优势在于，它比调查整个总体更快、更便宜。在某些情况下，精心规划的抽样调查甚至比规划不佳的全体调查结果更准确！我们调查样本中的个体是为了研究整个总体！这意味着样本为我们提供了总体特征()的估计值（图1.1）。

图1.1 样本与总体

特征示例：

个体可测量属性的平均值(*)，例如身高
属于特定类别（例如有某种爱好）的个体百分比

样本越大，对总体的估计就越好！

同样重要的是样本要能代表总体。在实践中，这意味着随机选择样本中的个体，以覆盖整个总体。我们将在第6章更详细地讨论抽样(*)。

根据具体情境，样本（和总体）可能由不同类型的个体组成。一些示例：

人
公司
公共机构
家庭
凭单
房屋
汽车
树木
狗
细菌菌落
瓶装或罐装啤酒
药片本书中的概念适用于所有类型的样本。示例主要以人群为样本，但其原理适用于所有类型的样本。以人群为样本的典型应用包括：态度分析、消费、耐用品、兴趣与爱好、饮食习惯、交通、出行、度假、媒体（电视、广播、报纸）以及某些敏感话题，如饮酒。抽样调查具有很高的灵活性：在同一调查中可以同时涵盖媒体消费、出行模式和态度等方面的问题。抽样调查也广泛应用于商业调查中，例如电话访谈。抽样的一个重要应用是统计质量控制领域的抽样检验。如果你从事统计质量控制工作，本书的大部分内容都与你相关。我们在本书第 4 章中介绍了一些统计质量控制方面的主题。关于统计质量控制的书籍，请参见参考文献列表。

1.2 Fitness Club：抽样调查示例#

本示例是一个虚构的调查，将作为后续章节的示例。Fitness Club 拥有多种运动设施，包括力量训练、减重和有氧运动设施。Fitness Club 希望了解其年轻客户（12–17 岁的青少年）的需求。该俱乐部想知道这些青少年对运动设施的满意程度，并希望获取有关他们健康状况的信息，以便更好地针对各种训练类型定制运动设施。因此，在使用该运动设施的青少年中开展了一项抽样调查。我们将在后面讨论如何组织这项调查，并展示一些调查结果。总体由使用 Fitness Club 运动设施的青少年组成，个体是单个青少年，样本包含 30 名青少年。与该示例相关的一些数据见本书第 9 章的附录。

1.3 实验#

在某些情况下，所需的信息根本就不存在！这时，我们可以规划（或设计）一个实验（*），目的是提供相关数据。在实验中，我们测试一个或多个因素对测量结果的影响。这种方法广泛应用于技术和工业领域。在这些情况下，总体并没有明确定义。实验可能产生截然不同的结果，具体取决于其设计方式。尽管如此，在这种情况下谈论样本也是有意义的。我们可以将实验结果视为在所有类似实验中可能获得的（无限多个）可能结果的一个样本。用于分析和展示数据的统计技术大体上是相同的，无论数据是通过抽样调查还是实验收集的。实验规划中的特殊技术本书不予讨论，限于篇幅无法涵盖。关于这一主题有大量书籍，请参见参考文献列表。

1.4 实验：一个示例#

为了说明抽样调查与实验之间的区别，我们给出一个规划实验的示例。一家软饮料生产商想要推出一款采用全新风味原料配比的新产品。他不确定如何平衡风味原料与碳酸和糖的比例，因此进行了一项实验，测试原料的不同组合。生产商列出他预计使用的三种原料的最低添加量和最高添加量，然后制定实验方案。他对三种原料八种可能组合中的每一种都制作了几瓶产品（表 1.1）。

第2章 · 数据呈现

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

2. 数据的呈现#

Birger Stjernholm Madsen1 (1)Novozymes A/S, Bagsvaerd, Denmark 本章将展示如何使用图表和表格来呈现问卷调查的结果。图表（如柱状图、折线图等）适合帮助我们感知数据中的模式、结构、趋势和关系，因此是统计分析中不可或缺的补充工具。它们也是发现异常数据值（如极大或极小的数值）或数据值组合（如一个很高但体重很轻的人）的有用工具，这些异常值可能是数据中的错误。使用电子表格软件（如 Microsoft Excel 或 Open Office Calc）可以轻松创建图表。这里仅介绍主要的图表类型。实际存在的图表类型远多于此处展示的。请查阅电子表格的"帮助"菜单了解全部功能！表格是另一种呈现数据的方式，本文也将简要讨论。

2.1 条形图#

条形图对大多数人来说并不陌生。它们能够以清晰直观的方式，便捷地汇总表格中的信息。让我们以"健身俱乐部"调查中的一个例子来说明。由于年轻客户的一个关注点是减肥，因此按性别分类的平均身高和体重表格就很有意义。其表格形式如表 2.1 所示。表 2.1 平均身高与体重

SexAverage
Height (cm)Weight (kg)
---
Girls148.848.2
---
Boys163.956.4

对应的条形图如图 2.1 所示。图 2.1 平均身高与体重

我们一眼就能看出，男孩比女孩略高一些、略重一些。众所周知，这种图表可以通过操纵坐标轴来"造假"。如果我们暂时只考虑（平均）身高，其图形形式可能如图 2.2 所示。图 2.2 平均身高

这张图表包含了与上面图表相同的男女身高信息。然而，大多数人看到这张图表会产生错误的印象——男孩似乎比女孩高得多，这是因为条形图的底部被截断了！因此，无论是研究条形图还是构建条形图时，注意坐标轴都是非常重要的。

2.2 直方图#

直方图（）是一种特殊的条形图。它展示数据值的频数（）：你可以直观地看到数据值的分布情况，例如"中心"在何处（即数据值大量聚集的地方）、"散布"程度有多大等。如果对身高数据值进行排序和分组[参见（第 9 章）中的数据]，就可以得到表 2.2。表 2.2 区间计数

In the interval from (but not including)Up to and includingNumber of kidsInterval center
100120 3110
---
120140 3130
---
14016010150
---
16018010170
---
180200 4190

也就是说，在（略高于）100 到 120 厘米的区间内，共有 3 名孩子。区间的划分当然必须互不重叠。因此，每个区间只能包含一个端点。第一个区间的中心是 110 厘米。频数的计数可以手动完成，也可以让 Microsoft Excel 来完成：使用"数据分析"加载项菜单，其中有一个"直方图"菜单项。Open Office Calc 中没有此功能。将表中的频数数据绘制成条形图后，如图 2.3 所示。图 2.3 直方图

第3章 · 数据描述

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

3. 数据的描述#

在第2章中，我们讨论了两种不同类型的数据：定量数据和定性数据。

定量数据：这些数据用于计算和定义图形中的坐标轴。
定性数据：这些数据对应样本在表格或图形中的分组。

在本章中，我们主要讨论定量数据。我们介绍一些重要的样本统计量（*）；这些是用于描述样本中定量数据的"关键数字"，例如平均值和方差。在本章末尾，我们将更详细地讨论各种类型的数据以及与每种类型相关的统计量。描述定量数据的一个重要工具是直方图，它能直观地展示数据的特征。直方图应基于足够大小的样本。在图3.1中，我们可以看到基于小样本的直方图非常"粗糙"。随着样本量的增加，数据值的分布逐渐变得可见。

图3.1 不同样本量的直方图

然而，我们通常希望通过一些"关键数字"来总结分布，即描述分布各种特征的数字。这些关键数字是本章的主题。

3.1 系统变异与随机变异#

统计学是关于描述数据中的变异性。区分两种不同的变异来源非常重要（图3.2）。

图3.2 中心与散布

系统变异：数据的中心
随机变异：数据的散布

图3.2说明了两种不同的变异来源。该图包含四个不同地点日平均温度（°C）测量值的直方图。顶部两个分布的特点是散布较大，即气候高度变化。底部两个分布的散布较小，即气候明显更稳定。另一方面，左侧两个分布的中心约为10°，右侧两个分布的中心约为20°。这意味着左侧两个分布代表寒冷气候，而右侧两个分布代表温暖气候。在统计术语中，我们通常使用术语"位置"（）而不是中心。我们还通常使用术语"离散度"（）而不是散布。在本章中，我们介绍用于描述数据分布的最重要的样本统计量：

位置度量（中心）
离散度量（散布）

3.2 位置度量#

3.2.1 平均值#

3.2.1.1 描述#

平均值（*）是数据值分布中心的度量。平均值计算为所有数据值的总和除以数据值的个数。作为平均值的符号，我们通常使用术语，读作"x-bar"。

注意：人们通常使用术语"均值"（*）而不是平均值。严格来说，应该对样本使用"平均值"，对总体使用"均值"。许多人将这两个术语互换使用。

平均值受"极端值"（即非常大或非常小的值）影响很大。例如，如果有许多非常大的数据值，平均值就会变得"过大"。在收入数据样本中，一个亿万富翁就能"破坏"整个画面，当然"算作"与几百个"普通人"一样多……在存在许多极端数据值的情况下，替代方案是使用中位数（*）而不是平均值。见后文。

3.2.1.2 示例#

数据为数字3, 5, 6, 4。数据值的数量显然为4。所有数据值的总和为3 + 5 + 6 + 4 = 18。平均值为：

3.2.1.3 电子表格#

大多数电子表格都内置了许多统计函数，包括平均值计算。例如，Microsoft Excel 和 Open Office Calc 都适用。Open Office 是完全免费的！要计算平均值，请使用统计函数 AVERAGE。稍后会看到示例。

3.2.1.4 计算公式#

给定 n 个数据值 x₁ 到 xₙ，平均值可通过以下通用公式计算：

第4章 · 正态分布

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

4. 正态分布#

在第3章中，我们解释了如何计算描述性统计量，如样本的均值和标准差。现在我们将看看这些度量有什么用途。假设你买了一袋500克的咖啡。你感到好奇，把咖啡倒到秤上看看袋子是否真的装了500克。如果你的秤非常精确，你几乎不会指望重量恰好是500克，稍微多了一点或少了一点，你大概也不会惊讶。如果你重复这个实验很多次，你可能会预期袋子的重量平均而言非常接近500克。你可能还预期不会有太大的波动。例如，你从不指望会得到低于450克或高于550克，一次也没有。袋子的重量可能在490–510克之间变化，但很少会超过510克或低于490克。这种变异可以用统计分布来描述。

最重要的统计分布是正态分布(*)。几种统计技术都要求数据"服从"（即可以用）正态分布来描述。如果数据不服从正态分布，分析起来就会更加困难。本章研究正态分布的一些重要性质。我们还探讨如何验证数据是否真的服从正态分布。最后，我们讲解如何估计样本均值的统计不确定性(*)。

4.1 正态分布的特征#

正态分布曲线是一条对称的"钟形"曲线，类似于直方图——此处展示的是大量咖啡袋重量的直方图。实践证明，正态分布通常能很好地描述许多类型的测量数据，如重量、身高等。但正态分布对于经济和行政数据也极其重要。正态分布完全由其均值（平均值）和标准差决定。上述例子中的正态分布描述了工厂生产的全部咖啡袋的重量。由于我们不知道均值和标准差，它们通常用希腊字母表示：

均值：（读作"缪"）表示"中心"
标准差：（读作"西格玛"）表示"散布"

在图4.1中，我们看到两个具有小散布（ = 1，上方）的正态分布和两个具有大散布（ = 2，下方）的正态分布。每组中的两个分布具有不同的均值， = 10 和 = 24。

图4.1 均值与散布

图4.2展示了正态分布中标准差的含义。这里显示的是表示总体或非常大样本直方图的正态分布。

图4.2 正态分布中的概率

我们观察到：

68% 的数据值落在均值 ±1 个标准差的区间内
95% 的数据值落在均值 ±2 个标准差的区间内
99.7% 的数据值落在均值 ±3 个标准差的区间内

这些百分比是正态分布独有的！在某种意义上，正态分布"认为"0对应均值，1个单位对应标准差。如果X服从均值为μ、标准差为σ的正态分布，那么服从均值为0、标准差为1的正态分布。从某种意义上说，只有一种正态分布！

均值为0、标准差为因此，它被称为标准正态分布。所有其他正态分布都可以转换为标准正态分布。参见"正态分布中的计算"一节中的示例。

第5章 · 定性数据分析

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

5. 定性数据分析#

Birger Stjernholm Madsen1 (1)Novozymes A/S, Bagsvaerd, Denmark 本章我们讨论定性数据，即数据值对应总体中的组。一类特别重要的定性数据是二值数据，只有两个组（"二值"）。二值数据的一些例子：

抽样调查：例如，问卷调查中问题回答"是"/"否"。
统计质量控制：例如，将项目分类为"合格"/"不合格"。
游戏：例如，掷硬币的"正面"/"反面"。

二值数据由一种称为二项分布(*)的统计分布描述。它在分析调查数据时非常常用，也在许多其他情境中使用，如社会科学、经济学、管理学、科学与技术。

5.1 二项分布#

使用二项分布的情况可以描述如下：

每个观测值（"试验"）可以分为两类。通常，我们称它们为"成功"和"失败"，无论其中一类是否可以说比另一类"更好"。
观测值被分类为"成功"的概率是恒定的。例如，在统计质量控制中，不应存在不合格品越来越频繁的趋势。
观测值是独立的。这意味着，例如，在问卷调查中，两个受访者不会相互影响各自的回答。

利用概率论（见第9章），可以计算在成功概率恒定为 p 的情况下，n 次观测中恰好获得 x 次成功的概率。二项分布的概率在许多书籍中都有列表（针对较小的 n 值）。它们也可以在大多数电子表格中使用统计函数计算，见后文。此外，可以证明以下结论：在观测次数 = n、成功概率 = p 的二项分布中：

$$ \mathrm{Mean} = n\times p $$

$$ \mathrm{Variance} = n\times p\times \left(1-p\right) $$

$$ \mathrm{Standard}\ \mathrm{deviation} = \sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}. $$

5.1.1 示例#

考虑一个骰子，掷出六点的概率是 1/6（约 16.7%）。我们总共掷骰子 48 次。将掷出六点视为"成功"，其他所有结果视为"失败"。换句话说，掷出六点的次数服从二项分布，其中：

n = 48 = 掷骰次数
p = 1/6 = 16.7% = 每次掷出六点的概率

在此分布中，我们有：

第9章 · 附录

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

9. 附录#

Birger Stjernholm Madsen1 (1)Novozymes A/S, Bagsvaerd, 丹麦

9.1 概率论#

主要对应用统计方法感兴趣的读者可以安全地跳过本附录。概率论为数学倾向的读者提供了对基本统计概念（例如第4章和第5章中解释的统计分布，即二项分布和正态分布）更好的理解。特别地，本附录的目的之一是更好地理解二项分布。此处只解释与本书统计概念相关的基本概率论概念。如需更全面地了解概率论，请参考其他书籍。概率论起源于中世纪，当时用于分析游戏中的问题，例如掷骰子。即使在今天，大多数概率论入门也使用游戏中的例子。这样做的好处是这些例子相对简单。在本附录中，通过仅使用最少数学符号的例子直观地解释概率的基本术语。如需更完整的概率论解释，请参阅其他书籍，例如 Sincich TL, Levine DM, Stephan D, Sincich T and Berenson M (2002) Practical statistics by example—using Microsoft excel and Minitab. 2nd ed. Prentice Hall, NJ.

9.1.1 样本空间、事件与概率#

当记录观察结果（例如在调查中）或测量结果（例如在实验中）时，存在若干结果()。所有可能结果的集合称为样本空间()。样本空间的子集称为事件()。事件（或结果）的概率()是一个介于0和1之间的数字，表示该事件发生的可能性。如果有限样本空间中的所有结果具有相同的概率（等可能），则有以下结论：

事件概率 = （该事件的结果数）/（样本空间的结果数）。概率的其他说法包括：在不良结果的情况下称为风险，在有利结果的情况下称为机会。在本附录中，我们只考虑有限样本空间。一个事件可以只包含一个结果，甚至可以是空事件，即不包含任何结果。另一方面，一个事件也可以涵盖整个样本空间。

9.1.1.1 示例1#

掷骰子时，可能的结果是1、2、3、4、5或6点。样本空间由所有这六个结果组成。事件示例包括：1. 骰子显示偶数点，即2、4或6。2. 骰子显示奇数点，即1、3或5。3. 骰子显示最多3点。4. 骰子显示恰好3点。如最后一个示例所示，事件可以只包含一个结果。示例1和2中的事件是互补事件。这意味着：

这两个事件互斥，即这两个事件没有共同的结果。
这两个事件共同包含样本空间中的所有结果。

两个互补事件的概率之和为1。如果我们能计算一个事件的概率，互补事件的概率就可以通过1减去它来计算。有时计算互补事件的概率更容易！

9.1.1.2 示例2#

掷两次骰子：有36种结果；所有结果被认为是等可能的。下图显示了所有结果的总点数（图9.1）。

图9.1 示例

在这个例子中，我们研究事件："总点数大于3"。这个事件的概率是多少？互补事件是"总点数最多为3"。容易看出该事件的结果数为3（阴影区域，见图的左上角），即该事件的概率为3/36 = 1/12。因此，原始事件的概率为1 - 1/12 = 11/12。在这个例子中，计算互补事件的概率更容易。

9.1.1.3 示例3#

掷一枚骰子两次：36种结果；所有结果被视为等可能（图9.2）：

第6章 · 误差来源与规划

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

6. 误差来源与规划#

Birger Stjernholm Madsen1 (1)Novozymes A/S, Bagsvaerd, Denmark

6.1 两种误差#

我们在第3章中看到，数据中存在两种变异：系统变异和随机变异。因此，在抽样调查和规划实验中存在两种误差来源：

系统误差，通常称为偏倚：真实值与均值之间的差异。
随机误差：均值周围的离散程度。

如图6.1所示。

图6.1 系统变异与随机变异

增加样本或实验的规模可以减小随机误差。这在规划阶段可用于确定适当的样本或实验规模。我们在本章的第一部分讨论这个问题。之后是一些与抽样调查专门相关的主题。首先，延续第1章的讨论，我们讨论抽样调查中系统误差的各种来源。我们还概述了抽样或样本选择的原则。

6.2 随机误差与样本量#

随机误差来自引起变异的一般性原因，这些原因导致了自然变异。自然变异反映在均值周围的离散程度上。这种离散在某种程度上始终存在。抽样调查或实验中的个体永远不会完全一致。以下考虑基于一个基本条件：

实验或样本必须通过随机化来组织。这意味着实验应按随机顺序进行，或抽样应通过随机选择机制进行（更多内容见本章后面部分）。
随机化是估计统计不确定性的必要条件！

在规划抽样调查或实验时，我们常常面临一个问题：应该选择多大的样本量？首先需要考虑的是对样本或实验中的每个个体记录什么。粗略地说，有两种情况：1. 我们记录一个定性变量，通常是一个二分类变量，例如"是/否"。2. 我们记录一个定量变量，即每个个体的一个数值。

6.2.1 定性变量#

定性变量通常与抽样调查相关，但也可能出现在规划实验中。我们在第5章中看到，相对频率的统计不确定性由下式给出：

这里n是样本量，p是一个回答类别（例如对某个问题回答"是"）的相对频率。在此公式中，我们使用样本中的相对频率x/n作为p的估计值。该公式要求样本量n足够大，以满足n × p > 5和n(1 − p) > 5的条件。另一方面，样本量最多应不超过总体的10%（如果是无放回抽样），参见第5章。

在实际计算中，我们可以安全地将1.96替换为2。结果没有重要差异，而且使计算简单得多。因此，我们使用更简单的公式：

如第5章所示，当p = 0.5 = 50%时，该公式给出最大值。如果我们代入p = 0.5，该公式可以简化为以下相对频率最大统计不确定性的表达式：

这个公式非常简单！然而，我在其他统计学书籍中从未见过它！几个例子：

当n = 100时，最大统计不确定性为u = 1/√100 = 1/10 = 0.1 = 10%。
当n = 10000时，最大统计不确定性为u = 1/√10000 = 1/100 = 0.01 = 1%。该公式可用于估计达到给定最大统计不确定性所需的样本量。若最大统计不确定性必须为 u，则有：这是我们可以使用的最小样本量。该公式非常有用！

注意：上述公式假设样本量小于总体量的 10%。如果公式计算出的样本量大于总体量的 10%，则统计不确定性会变得更小。因此，使用上述公式确定样本量是偏安全的。

第7章 · 关系评估

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

7. 关系评估#

Birger Stjernholm Madsen1 (1)Novozymes A/S, Bagsvaerd, Denmark 在许多不同学科中，你需要评估两个变量之间是否存在关系。这可以应用于行政管理、社会科学、经济学、工业生产和科学领域。目的可能包括：

获取对某一领域的基本理解
寻找现象的原因或解释
尝试预测未来发展趋势

我们研究一些评估关系的技术，并判断一个看似存在的关系是真实存在还是仅仅是统计巧合。这种技术称为回归分析(*)。我们只考虑基本技术——线性回归，它假设两个变量之间存在线性关系，即Y对X的散点图显示数据点围绕一条直线分布。其中一个变量是Y变量或因变量，另一个变量是X变量或自变量。本主题的讨论较为简要。如果你想深入学习，请参考文献列表。计算相当复杂。你可以使用内置回归分析的高级计算器，但更好的选择是使用电子表格或统计软件。还有更高级的回归分析类型，例如非线性回归或多元回归（多个X变量）。你可以从文献列表中的许多书籍中了解更多，或研究电子表格或其他统计软件的帮助文档。本章讨论线性回归的基本概念，并提供一个实际示例。我们不展示不同统计量的计算公式。这些公式仅在你没有电子表格（或其他软件）或高级计算器进行计算时才重要！这里，我们使用Microsoft Excel、Open Office Calc以及其他多种电子表格的统计函数。Microsoft Excel还在加载项菜单"数据分析"下的"回归"项中提供了额外的选项。重要的是要批判性地使用这些技术。提出诸如以下问题：
- 是否存在关系？
- 是否为线性关系？
- 是否存在因果关系？
注意：统计学可以判断两个变量之间是否存在统计关系，是线性关系还是可能更复杂（非线性）。但统计学无法判断一个现象是否是另一个现象的原因，即是否存在因果关系。这需要专业知识。社会和自然科学中的许多变量随时间而增长。在这种情况下，任何变量对任何其他变量的散点图都会显示相当明显的关系。然而，这是统计关系，而非因果关系。真正的关系——以这种方式被隐藏的——是两个变量都随时间增长。这是在解释统计结果时相当常见的错误。假设某个地区在特定时期内鹳的数量和儿童数量都在增长；你不能得出结论说鹳带来了孩子！这是我们在报纸文章中经常发现的一种错误结论。潜在的（第三）变量不一定总是时间，但经常如此。

7.1 示例#

我们来考虑健身俱乐部调查中 17 名男孩的身高和体重。我们提出以下问题：身高（X）和体重（Y）之间是否存在（可能的线性）关系？我们假设体重依赖于身高，因此我们将身高设为 X，体重设为 Y。其中一个目的可能是识别那些相对于身高来说体重过重的男孩——这些男孩可能对强化的减肥计划感兴趣！第一步始终是绘制数据。以下是体重对身高的散点图。此外，我们还可以看到对数据拟合最佳的直线。这条直线通过最小二乘法（）建立。有关该方法的详细回顾，请参阅参考文献中的相关书籍。这条直线称为回归线（）。查阅电子表格的帮助文档以了解如何操作（图 7.1）。

图 7.1 体重 vs. 身高

一个统计模型可以描述这些数据。该模型通过以下方程描述了一个随机选择的男孩在已知其身高 X 的情况下的体重 Y：

$$ Y = a + b \times X + e $$

如果忽略 e 项，这正是一条直线的方程。其中：

X = 男孩身高
Y = 男孩体重
a = 回归线的截距（Y 轴上）
b = 回归线的斜率
e = Y 的随机变异（对于给定的 X 值），通常称为残差

如图 7.2 所示。

第8章 · 比较两组

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

8. 比较两组#

Birger Stjernholm Madsen1 (1)Novozymes A/S, Bagsvaerd, Denmark 在本章中，我们回顾比较两组（或多组）数据的最重要统计工具。例如，我们可能想要评估体育锻炼对儿童体重的影响。这可以通过两种不同的方式来评估：

在计划实验中：我们选择一组受试者（即儿童）并测量他们的体重。然后他们必须每天锻炼一段时间，之后我们再次测量他们的体重。我们比较实验前后的体重。
在样本调查中：我们考虑两组儿童：一组不经常锻炼的儿童和另一组经常锻炼的儿童。我们比较这两组儿童的体重。

这两种方法说明了比较两组数据的两种主要技术。我们将通过具体示例来回顾这些技术。最后，我们提到这些统计技术的一些扩展。

8.1 匹配对：配对t检验#

8.1.1 示例#

健身俱乐部调查中的女孩被选中参加一项实验，她们必须每天至少锻炼1小时，持续4周。除此之外，她们不改变自己的生活方式。这项实验的目的是调查女性顾客中密集减肥计划的潜力。在这种情况下，我们需要比询问儿童体重更精确的数字。因此，我们测量了她们实验前后的体重；数据见表8.1。

表8.1 实验数据

之前	之后	差值
42	42	0
58	57	1
58	56	2
40	41	-1
49	48	1
80	77	3
50	49	1
48	49	-1
49	47	2
34	33	1
33	32	1
43	43	0
44	42	2

乍一看，实验前后的体重差异似乎很小。然而，该表格确实提供了每个儿童实验前后的体重差值。可以看出，在大多数情况下（13例中有9例），体重略有下降，但也有一些女孩的体重与实验前相同甚至略有增加。图8.1展示了差异的直方图。

图8.1 差异直方图

从图中可以明显看出，分布的"中心"位于0的右侧。此外，分布看起来相当对称，可能服从正态分布。

8.1.2 描述#

我们有一组数据值对。一对中的两个数据值属于两个不同的组。我们关心的是两组之间是否存在差异。该技术最常见的应用是在计划实验数据的统计分析中。情况可能如下：我们有n个个体，每个个体都接受了两种"处理"。我们想要检验两种处理之间是否存在差异，并可能找出平均差异。这种情况称为匹配对。

之前	之后	差值
42	42	0
58	57	1
58	56	2
40	41	-1
49	48	1
80	77	3
50	49	1
48	49	-1
49	47	2
34	33	1
33	32	1
43	43	0
44	42	2

之前	之后	差值
42	42	0
58	57	1
58	56	2
40	41	-1
49	48	1
80	77	3
50	49	1
48	49	-1
49	47	2
34	33	1
33	32	1
43	43	0
44	42	2

之前	之后	差值
42	42	0
58	57	1
58	56	2
40	41	-1
49	48	1
80	77	3
50	49	1
48	49	-1
49	47	2
34	33	1
33	32	1
43	43	0
44	42	2