统计套利 on Yuunagi Library

前言

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

成立于1807年的约翰·威立父子出版公司（John Wiley & Sons）是美国最古老的独立出版公司。在北美、欧洲、澳大利亚和亚洲均设有办事处。威立公司致力于在全球范围内开发和推广印刷及电子产品和服务，以满足客户在专业和个人知识与理解方面的需求。

威立金融系列丛书（Wiley Finance series）专为金融和投资专业人士以及成熟的个人投资者及其财务顾问而编写。主题涵盖投资组合管理（Portfolio Management）、电子商务、风险管理（Risk Management）、金融工程（Financial Engineering）、估值以及金融工具分析等多个领域。

如需了解可用书目，请访问我们的网站 [www.WileyFinance.com.Statistical Arbitrage

前言

这几页纸讲述了统计套利（Statistical Arbitrage）的故事。这既是一部历史——描述了该策略于20世纪80年代在摩根士丹利（Morgan Stanley）诞生的最初岁月，直至二十一世纪初那段表现令人备受挑战的时期；同时也是一部诠释——阐释了它如何运作以及为何有效。本书从基本原理出发，大体上保持在基础分析框架的层面。几乎抵制了所有撰写技术论著的诱惑，目标是奉献一部能让大多数感兴趣的读者轻松阅读的作品。我说"几乎"：第7章和第11章的附录大概属于"未能抵制的诱惑"范畴。更多资深从业者所做的事情在概念层面上加以讨论，演示仅限于大多数读者熟悉的模型。配对交易（Pair Trade）——统计套利的前身——这一概念被用于教学目的，其使用范围比实际交易的需要更为广泛。采用这种方法，存在作品被当作配对交易手册而遭到轻视的风险；作者本人对本书的经验、意图和期望远不止于此，但前者的不可避免是可以预见的。从实际交易角度看，简单的、未经细化的配对方案已不再十分盈利，然而它仍然是一个有价值的阐释工具，保留了展示洞察力、建模和分析的能力，同时不会因复杂性而使问题变得晦涩。经过四分之一个世纪的市场实践，对于超越纸上理解和示范的盈利方案，需要增加一些结构上的复杂性和分析上的微妙性。

文中提及的一种扩展是将一组相似的配对组合在一起（不深入讨论用于衡量相似程度的指标），通常称为一个组（Group）。对这种组的建模可以有多种方式，一些从业者倾向于以一个假设的原型为锚点，通过可交易配对对原型的偏差来构建预测；另一些则将队列正式实现为一个整体或一个合成工具（Synthetic Instrument）。这两种方法以及其他方法，都可以用分层模型（Hierarchical Model）进行正式分析，这种模型在过去二十年的主流统计思想中极为流行（且极具洞察力和应用价值）；在标准的静态结构上加入时间序列中的动态元素，就迅速构建出比本书作为教学工具所常规使用的更为复杂的分析结构。尽管如此，所有这些建模发展都依赖于本书所详述的洞察力和技术。

希望那些具有更深厚的数学和统计科学知识的读者能够迅速看出本书的论述可以向哪些方向延伸。

聚焦于结构上简单的配对方案，会邀请读者将本书视为一本明确的"操作手册"。从这个角度来看，人们可以学到合理的是什么和怎么做的历史，以及*为什么这是可行的的相当知识。当代成功的执行需要读者进行额外的思考和有针对性的探索，正如前面的评论所指出的。为此，本书可以作为一张地图，展示主要特征并标明读者需要拿出指南针和笔记本的地方。古制图师的题词"此处有龙"（Here be dragons），在你冒险探索时或许值得铭记。

本书毫不掩饰地持有一个统计学家的观点：模型可以是有用的。维持模型的效用是本书的一个主题。统计学家对理解变异（Variation）的执着——认识到自己的模型虽然有用但是错误的，而错误的本质可以通过"误差"（观察值与模型预测之间的差异）的结构来揭示——是本书的另一个主题。或者更准确地说，不是独立的主题，而是贯穿全书内容的统领性、指导性语境。

配对交易的概念在第1章中引入，并在第2章中展开论述。在解释和举例之后，提出了两个简单的理论模型来描述配对所利用的基础现象——均值回归（Mean Reversion）。这些模型贯穿全书，用于研究什么是可能的、揭示这些可能性如何被利用、考虑哪些变化会对利用产生负面影响，并刻画这种影响的性质。描述了为建模和交易选择工具集合（Universe of Instruments）的方法。从初次涉足分析就引入对变化的考量，因为时间动态是整个项目的根基。没有动态，就没有套利。

在第3章中，我们增加了分析的深度和广度，将建模范围从简单的观察性规则^(1)扩展到对更一般投资组合的正式统计模型。描述了几种流行的时间序列模型，但详细关注点放在复杂性一端的加权移动平均（Weighted Moving Average）和另一端的因子分析（Factor Analysis），这两个极端旨在尽可能清晰地传递信息。配对价差（Pair Spread）贯穿全文，如前所述，作为所讨论概念的最简单的实际例证。为使我们的论述要点易于理解，必要时直接提到了套利者关注的其他方面，包括投资组合优化（Portfolio Optimization）和因子暴露（Factor Exposure）。不过，大部分内容避免了涉足多变量领域。波动率建模（以及随机共振（Stochastic Resonance）这一引人入胜的概念）在这里和第6章中分别讨论；其他地方的讨论被纳入均值预测过程的讨论中。

第4章提出了一个概率定理，揭示了简单规则（20世纪80年代末首次应用）所能利用的价格变动的普遍性。这一结果的洞察力指导着对利用策略的评估。结果究竟源于建模者的才华横溢，还是一个高中毕业生也能取得类似表现，因为结果是由结构性动态驱动的——这种动态早已进入公共领域，仅靠仔细观察就能揭示？许多统计套利者声称的"高"获胜比例，更多与后者有关，而非基础价差建模的精妙程度或（重要的）风险管理。当市场受到干扰，理论结果所依据的条件被严重违反时，从业者的表现对比揭示了对所利用过程本质的基本理解。对理论结果的了解，往往在假设被违反时比一切顺利时更能显现其价值——拥有扎实理解的管理者和在智识上盲目操作的管理者产生同等的正回报。（托尼·奥哈根（Tony O'Hagan）提出这个基本概率结果早已为人所知，但我一直未能追溯其出处。也许这个结果太简单了，不值得作为一个命名结果而存在，它仅仅是基础分布理论的一个简单推论、一道教科书习题。无论如何，这个含义对统计套利的故事仍然具有深远的重要意义。）

第5章对一篇已发表的文章（为保护作者的尴尬，此处隐去其姓名）进行了批判性分析，以澄清均值回归现象发生的广泛条件。正态分布（Normal Distribution）的核心作用被否定了。两个错误的主张——(a) 价格序列必须呈现正态边缘分布才会发生回归，以及 (b) 呈现正态边缘分布的序列必然表现出回归——被毫不客气地驳斥了。正如第4章所证明的，回归无处不在。

第6章回答了一个对量化回归博弈中可利用机会规模至关重要的问题："价差中有多少波动性？"

第7章面向那些不容易被概率演算中众多符号吓退的热忱读者。任何学过良好概率论第一课程的人都能跟上论证，大多数人也能掌握详细的推导过程。机制并不十分复杂。一些概念上的区分一开始可能具有挑战性——请读两遍！努力会得到回报，因为所详细考察的实例中蕴含着重要的实践洞察。了解理论抽象在多大程度上接近反映实际价格序列的可测量特征，对于评估建模可能性以及模拟或交易结果是无价的。尽管如此，本书其余部分确实不依赖于对第7章内容的熟悉。虽然你可能会错过后续讨论中的一些微妙之处，但跳过这一章并不会妨碍你的理解。

第8章到第10章或许可以标注为"衰落"，因为它们描述了自2000年开始困扰统计套利的问题，并直接导致了2002-2004年期间回报的灾难性下降。这段历史的一个重要教训是：在2000年，并没有单一的条件或一组条件突然改变，从而消除了统计套利模型的预测效果。如果是那样的话，那该是怎样的故事啊！远比平淡的现实更为戏剧性——现实是多种原因和时机的复杂混合。所有那些耳熟能详的只言片语——包括十进制报价（Decimalization）、竞争和低波动率——都曾（并且仍然）有过其时刻，但无论单独还是组合，都无法对金融市场造成足以根本改变市场定价动态、从而大幅降低回归方案经济潜力的打击——无论是在日内高频的兔子身上，还是在一个月或更长时间的古老乌龟身上淘金，都需要更深刻的解释。

第9章所列举的层层变化，是2002-2004年统计套利回报匮乏的根本原因。（2000-2002年的表现恶化虽然明显，但仅限于一部分从业者。）这一美国宏观经济史上的不寻常篇章已经结束，但其影响仍在金融市场中挥之不去，反映着数百万投资者集体行为的涌现属性；而这些投资者无疑持续体现着那些变化及其原因，无论多么挥之不去。

交易从纽约证券交易所（New York Stock Exchange）大厅转向内部交易所，以大型经纪公司和投资银行设计的计算机算法为形式，已经累积成一种如冰川般不可阻挡的变革。缓慢。巨大。不可抗拒。碾压。重塑^(2)。不断演变的动态中一个经常被提及的方面是市场波动率的下降。市场波动率去了哪里？在很大程度上，算法吞噬了它。减少人群中一个参与者的声音，嘈杂声不受影响。但相当比例的参与者减少声音后，这种减弱的嘈杂声反而变得震耳欲聋。如今计算机程序（第10章）在美国股票交易中"彼此之间"管理着超过60%的交易量，这一非凡结果类似于给多动症的市场小孩注射了一剂利他林（Ritalin）。在关于低波动率的评论中，有两个主题尤为突出：其一是对凯恩斯（Keynes）动物精神（Animal Spirits）缺失的遗憾，担忧美国的创业天才在亚洲巨头觉醒之际受到抑制；其二是投资者忘记了投资决策固有的风险，因此正在做出不明智的决策，这将在不久的将来产生负面后果。这两种描述之间的矛盾显而易见，但可以合理化。与第一种观点相反，精神其实相当活跃——仅纽约证券交易所市场每天就有15亿股易手，人们还能得出什么别的结论呢？精神充沛：只是其驱动力满足于更少的张扬喧嚣。算法没有情绪。因此，创新性的风险承担依然充足，但按历史标准衡量的低波动率——由交易技术引发——尚未被许多市场参与者正确内化。以历史经验习惯的方式审视当代波动率水平，不可避免地导致过度冒险。

第10章本身就具有趣味性，无论其与统计套利机会演变的关系如何。算法和计算机驱动的交易正在以多种方式改变金融世界。电子交易所已经让世界上大多数人交易场所黯然失色——我们中有谁相信纽约证券交易所的大厅在一两年后不会变成博物馆、停车场或仅仅是记忆？

第11章描述了统计套利的凤凰涅槃，从算法交易技术发展所点燃和维系的灰烬中重生。新的、持续的股票价格动态模式正在涌现。统计套利的故事已经回归到一个新的起点。这只雏鸟能否展翅高飞？

第11章中预言的复兴（起草于2005年）已经在成为现实。至少从2006年初开始，那些在2003-2005年极其严峻的动态变化中坚持下来的从业者，其表现出现了复苏。有趣的是，虽然相对股票价格运动中出现了新的系统性模式，一些旧模式也重新获得了效力。算法交易的采用正在加速，目前已有超过20家供应商提供相关工具。在另一项技术驱动的发展中，从2006年末高盛（Goldman Sachs）开始，至少有两种通过算法手段进行一般对冲基金复制（Hedge Fund Replication）的产品已经推向市场。这对统计套利者来说是一个激动人心而又充满挑战的时代。

^(1)使用这个术语并无贬义：这些规则是有效的。统计内容仅限于测量变异范围；在榨取观察性洞察之前，没有进行分布研究、模型构建、估计、误差分析或预测。那些活动很快就来了——在利润堆积如山之后。随着统计研究的扩展，将交易经验加入历史数据，人们获得了对所利用的股票价格运动的微妙之处以及驱动机会重复出现的市场力量的洞察。

^(2)一个主要的结构性后果，同时也得益于信贷市场的技术进步和交易所交易基金（Exchange Traded Funds, ETF）的发展，是计算机算法作为股票交易代理人之间的交互所决定的价格行为模式正在重新形成。除了这种重新形成，改革同时也在进行中——证券交易委员会（Securities and Exchange Commission, SEC）法规和纽约证券交易所规则的变更。Statistical Arbitrage

第1章 · 蒙特卡洛还是破产

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第1章蒙特卡洛还是破产#

We must always be ready to learn from repeatable occurrences however odd they may look at first sight.

—Box on Quality and Design, G.E.P. Box

1.1 起源#

1985年，一小群在努齐奥·塔塔利亚（Nunzio Tartaglia）指导下接受过量化训练的研究人员（1）开发了一个以配对组合方式买卖股票的程序。摩根士丹利（Morgan Stanley）的「黑箱」诞生了，并迅速赢得了声誉和大量利润。统计套利（Statistical Arbitrage）——这一在当时尚未被命名的术语——开启了长达十五年、走向传奇地位的上升之路。

「黑箱」的细节被严密守护，但很快传言揭示了其基本原理，「配对交易（Pairs Trading）」这一名称也出现在金融词典中。配对交易的前提简单得令人叹为观止：找到一对具有相似历史价格走势的股票。当这两只股票的价格出现偏离时，押注它们随后会回归收敛。简单得令人眩目，简单得优美。而且利润丰厚。

图1.1 CAL 与 AMR 的每日收盘价（2002-2004）

塔塔利亚的灵感从何而来？如同许多发明的故事一样，需求是驱动力。管理层要求他找到一种对冲大宗交易（Block Trading）中常规产生的风险的方法，塔塔利亚的数学训练催生了这样一个想法：卖空（Short）一只与大宗交易柜台管理的股票具有相似交易行为的股票。这个想法一经提出，配对交易更广泛的应用也随之创新。很快，一个新的利润中心就在贡献收入了。

图1.1展示了两只航空股的每日收盘价——大陆航空（CAL）和美国航空（AMR）。注意两条价格轨迹之间的价差（Spread）如何时而扩大、时而收窄。配对交易策略简直在对你大喊：当价差「变宽」时（A点），买入低价股、卖空高价股；当价差收窄时（B点），平仓了结头寸。

1985年，计算机还不是家庭中的常见设备，每日股票价格数据只是专业人士的工具。配对交易的认真执行所需的纯粹计算能力，需要数万美元的硬件。配对交易在概念上如此优美简单，在实践中也已运行多年，但它诞生于一个只有投资机构才有能力研究和部署它的时代。

那个时代的许多故事在业界流传，将这一业务和从业者神话化。其中两个具有实质意义且至今仍有影响力的故事是：美国证券交易委员会（SEC）使用算法检测异常价格模式，以及专家做市商（Specialist）对逆向交易者的态度演变——从最初的怀疑到最终的接纳。

SEC对摩根士丹利黑箱周围的光环同样充满好奇。在了解到模型如何预测某些股票价格走势之后，他们很快意识到，这项技术可以在神经网络技术被应用于这一角色之前，就用来标记某些异常且可能非法的价格波动。

1980年代末，纽约证券交易所（NYSE）拥有超过50名独立的专家做市商。他们大多是资本有限的家族企业，当摩根士丹利开始系统性地下达「逢低买入」和「逢高卖出」的订单时，他们高度警惕。最大的担忧是这家大机构正在试图利用小做市商获利。随着交易模式的逐渐揭示，怀疑逐渐演变为舒适的默契。最终，这种默契变成了完全的接纳——当专家做市商看到摩根士丹利在吸纳一只弱势股票时，他们会「确信」该股价即将上涨而跟风买入。

早年是极其丰厚的。成功很快催生了独立从业者，包括D.E. Shaw和Double Alpha，均由塔塔利亚的前门徒创立。在此后的岁月里，其他团队也建立了配对交易业务，其创始人要么可追溯至摩根士丹利的原始团队，要么可追溯至Shaw这样的第二代机构。随着这一实践被更广泛地了解，学术界的兴趣也被激发；包括NBER在内的机构发表的论文使这一通用准则广为人知，加上低成本个人计算机性能的快速提升，潜在的从业者基础呈爆炸式增长。很快，实际的从业者基础也大幅扩张。

1.2 何去何从？——隐喻#

二十年后，从配对交易幼苗成长起来的成熟统计套利面临着灾难性的环境变迁。回报大幅下降。管理者们面临重重困难，正在调整策略以应对。新世纪的金融市场环境所带来的生存挑战，或许可类比于数千年前上一次冰河时代降临时地球动物所面临的境遇。快速且适应性强的物种存活了下来，行动迟缓、形态固化的物种则被冻死或饿死。

统计套利的冰河时代始于2000年，并在2004年进入全面「冰冻期」。观察者宣布这一投资学科的死亡，投资者撤回了资金，从业者关门歇业。溃败是全面的。失败的阴霾笼罩着对这一业务的讨论。

我认为，宣告统计套利已到终点的判断为时过早。尽管市场结构的变化对传统统计套利模型造成了问题——这些将在后续章节中记录和考察——但新的机会正在显现。新的股票价格行为模式至少在两个高频时间尺度上出现。驱动力可以在电子交易实体的相互作用中被识别——它们预示着美国股票交易的未来。

这些新机会的出现——尽管目前仅有粗略的描述——暗示了显著的经济可利用性，它们或许足以使统计套利免于灭绝的命运。经典均值回归玩法中的「克罗马农人」将被「智人」所取代……结果如何尚待观察，但轮廓将在第11章中勾勒。

我曾考虑将本书命名为《统计套利的崛起、衰落与再崛起？》（The Rise and Fall and Rise? of Statistical Arbitrage），以反映其历史和正在浮现的可能性。这一模式在本章前文以及全书结构中显而易见——本书几乎是以一部注释史的形式写成的。对于那些因「统计套利的前景如何？」这一问题而来的读者，第1至第7章的历史背景和理论发展或许显得不合时宜、不值得关注。这或许类似于建议应用数学专业的学生去研究哥白尼的天体运动体系，认为其在当下仍然实用。我认为历史研究具有价值——对数学家而言也是如此，尽管这个类比被引申得过远了。了解统计套利中什么曾经有效、它是如何有效以及为什么有效，为理解市场结构变化为何对该策略类别产生负面影响提供了必要的基础。了解哪些变化产生了影响、这些影响如何被实现，有助于洞察在当前正在形成的环境中可以期待什么。

在过去的语境中解读现在，这绝非什么新概念。它是科学研究的坚实基础。大多数人都熟悉政治哲学家的告诫：那些不研究历史的人注定要重蹈覆辙。（2）但这并非我们的参照点。虽然毫无疑问某些套利者犯过个别错误，但我们不能判定从业者集体「犯了一个错误」并应当永远防范。我们的参照点是更具说服力的科学观点——「站在巨人的肩膀上」。不带价值判断，科学理论无论对错，无论贡献多么微小，都将永远接受审视。新机会的承诺可以在如下语境中被理解和评估：市场变化如何使曾经有利可图的东西变得毫无价值。

让我们明确一点。尽管提到了历史上的科学天才，但本书所述的工作并不声称拥有历史地位。这一研究领域也不能理所当然地与物理、化学和数学放在同一货架上。它更应与经济学和社会学并列，因为其最根本的力量是人。我们可以将一个涌现过程标记为「回归」（价格的），描述时间模式，建立数学方程简洁地表达这些模式，并根据这些输出采取行动——交易。但理论、模型和分析所描述的是一个涌现过程，而非因果机制本身。无论我们多么令人印象深刻地描述常规参与者的行为流程——从分析师（撰写报告）到基金顾问（阅读报告、建议投资组合调整）到基金经理（做出投资组合决策）到交易员（执行决策）——建模必然与基本过程存在距离。在这个复杂的交互宇宙中，模型所能捕捉的只是结果，而这正是该业务的起源所在，如今更致命地，也是衰落的腐烂根源。令人惊讶的是，这腐烂的根源正在孕育着即将描述的崛起（？）的种子。

与必然带有个人解读、随新发现或对先前神圣文献真实性的质疑而变化的历史研究或政治哲学研究不同，统计套利的研究受益于一个不可更改、明确无误且完整的数据历史，任何学者都可以访问。证券价格的历史如同第谷·布拉赫（Tycho Brahe）的天文观测一样是固定的。虽然布拉赫的表格受到他那个时代物理条件的限制（3），也受到当前对自然物理现实的相对论理解中固有不确定性的影响，但证券价格的历史——作为人类活动的产物——是精确已知的。

第2章 · 统计套利

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第2章统计套利#

许多发生的事情可以方便地视为随机波动，但有时在波动之中隐藏着重要的信号，这些信号可能会警告我们注意问题，或提醒我们关注机会。

——Box on Quality and Discovery, G.E.P. Box

2.1 引言#

配对交易（Pairs Trading）方案从 Tartaglia 团队开展的研究开始，在多个方向上得到了深入发展。随着所用分析技术变得更加复杂、所部署的模型更加技术化，这门学科的称谓也随之演变。"统计套利（Statistical Arbitrage）"一词最早出现在 20 世纪 90 年代初。

统计套利（Statistical Arbitrage）的方法从早期简单的配对交易方案，到复杂的、动态的、非线性模型，涵盖了神经网络（Neural Networks）、小波分析（Wavelets）、分形（Fractals）等各种技术——几乎所有来自统计学、物理学和数学的模式匹配技术都曾被尝试、检验，并在许多情况下被放弃。

后来的发展结合了交易经验、进一步的实证观察、实验分析以及来自工程学和物理学的理论洞见（涵盖从高能粒子物理到流体动力学等广泛领域，运用了从概率论到微分方程和差分方程的数学技术）。当如此多的智力资源投入到研究中时，"配对交易"这个标签似乎已经不够用了。太普通了。甚至有些土气。于是"统计套利"应运而生——有趣的是，尽管这项工作大多缺乏统计学家参与或统计学内容。

2.2 噪声模型（Noise Models）#

配对交易最初制定的规则是对价差（Spread）视觉特征的简单数学描述。以图 2.1 中 CAL–AMR 价差为例，其波动范围从 −$2 到 $6，一条简单而有效的规则是：当价差达到 $4 时建立头寸，当价差回到 $0 时平仓。

**图 2.1 每日收盘价差，CAL–AMR

我们特意使用"规则（Rules）"而非"模型（Model）"一词，因为这里并没有试图构建一个过程来解释所观察到的行为，而仅仅是对显著模式的描述。这并非否定规则的有效性，而是对早期工作的准确定性。正如记录所示，这些规则在数年间带来了极其丰厚的利润。

将 $4–$0 规则应用于 CAL–AMR 价差，在 2002 和 2003 日历年中只产生了一笔交易。如果这看起来像是几乎不费力气就能赚钱，那么这正是 Tartaglia 在 1985 年发现的惊人状况——只不过放大到了数千只股票对上。

备选方案、改进和推广随着人们观察价差并思考那条诱人的简单规则而跃然纸上。两种典型的改进是：

进行反向交易（Reverse Bet）。
在分阶段入场点进行重复交易。

2.2.1 反向交易#

为什么要在 2002 年下半年袖手旁观，看着价差从窄点向已确定的入场点 $4 攀升？为什么不赌这个方向？在商品交易者"海龟交易（Turtle Trade）"的一个变体中，规则 1 很快被规则 2 替代，后者将退出条件"当价差为 $0 时平仓"替换为反向操作"反转多空头寸"。这样，始终持有头寸，等待价差从低位上升或从高位回落。

第3章 · 结构模型

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第3章结构模型#

*Private information is practically the source of every large modern fortune.

—*An Ideal Husband, Oscar Wilde

3.1 引言#

第2章的讨论主要围绕基于移动数据窗口计算的价差范围估计的交易规则展开。图3.1展示了CAL–AMR价差使用60天窗口计算的均值加减一个标准差的交易边界。（与[图2.4]对比，图2.4中的边界是基于60天窗口内的最大−20%范围和最小+20%范围计算的，请回顾第2.2节的讨论。）这些交易规则隐含的假设是，价差在不久的将来会回归到局部均值。图3.2再次展示了CAL–AMR价差，这次附带了隐含的预测函数（Forecast Function）。

**图3.1 日收盘价差，CAL–AMR，附标准差交易边界

**图3.2 日收盘价差，CAL–AMR，附移动平均预测函数

从形式上看，每个未来时期的点预测（Point Forecast）或期望值，就是当前估计的均值。当然，实际上并不真的相信价差每个时期都会等于均值，甚至在不久的将来也不会。（显然，交易规则预期价差会在均值上下系统性波动。）只是说，基于移动平均（Moving Average）模型的最佳猜测是，在不久的将来，价差可能表现出以均值为中心的值。"不久"到底有多近，像许多其他问题一样，仍然是不确定的。

均值加减标准差的交易规则并非通过正式的统计建模方法编制。相反，简单的目测和一点思考就产生了这些假设，以交易规则的形式表达出来，结果令人满意地奏效了。尽管如此，这些规则构成了一个模型，具有上述的预测函数解释。

第2章提到的CSFB工具比我们的目测更进一步，系统性地搜索多种替代模型规格——窗口长度和用于交易入场边界的标准差倍数。这种模型拟合或选择程序隐含地使用了效用最大化准则（Utility Maximization Criterion），即模拟交易利润最大化，而不是统计估计程序如最大似然法（Maximum Likelihood）或最小二乘法（Least Squares）。这是一种精巧的方法，可惜被单纯关注样本内计算所破坏。实际上，对于识别在实践中可能表现尚可的模型这一目的而言，效用函数的设定是错误的。真正令人感兴趣的是在样本外最大化利润，同时考虑回撤（Draw-down）限制，模仿实际使用经验交易规则的过程，但这些考虑开始将该工具推向策略模拟器的方向，而模拟器不太可能免费提供。

3.2 正式预测函数#

思考正式预测函数的价值在于，它给出一组特定的值与实际结果进行比较，从而判断模型预测的有效性。交易中的按市值计价（Mark to Market）亏损将表明潜在问题的存在；预测与结果差异的模式提供了关于问题可能性质的信息。与简单的止损规则（如固定百分比亏损）相比，这种信息允许对亏损情况做出更丰富的应对。

在本章中，我们将考虑几种结构上最简单的经典时间序列数据模型。还将描述一两个非时间序列模型架构，以说明对股票价格数据更复杂的建模方式。

3.3 指数加权移动平均#

移动平均（MA）模型在第2章已经熟悉。一种更灵活的序列局部平滑方法是指数加权移动平均（Exponentially Weighted Moving Average，EWMA）。与MA的固定窗口数据等权重不同，EWMA方案对整个数据历史施加指数递减的权重。因此，近期数据对当前估计和预测的影响最大，而远古的重大事件仍保持一定影响。投影预测函数（向前*k = 1,2,3, . . . *, n步）的形式与MA一样是一条直线。但数值不同。EWMA的递归计算公式为：

$$ ![image](images/f040-01.webp) $$

其中 yt 是时间 t 的观测值，xt 是EWMA估计值，λ是折扣因子（Discount Factor）。折扣因子的大小 0 ≤ λ ≤ 1 决定了旧观测值以多快的速度变得与当前估计无关（等价地，有多少数据历史贡献于当前估计）。

第4章 · 回归定律

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第4章回归定律#

*Now here, you see it takes all the running you can do, to keep in the same place.

—Through the Looking Glass, Lewis Carroll

4.1 引言#

本章开始一系列四次理论探讨，研究统计套利（Statistical Arbitrage）所利用的价格运动的理论基础。第一个结果在本章提出，是一个简单的概率定理，它揭示了一个基本定律，保证了在有效市场中价格回归（Reversion）的存在性。在第5章中，我们将澄清关于重尾分布（Heavy-tailed Distribution）下价格回归可能性的常见混淆。总之，任何分布源都支持回归。在澄清之后，我们在第6章讨论股票间波动率的定义与度量，这种波动是回归主要发挥作用的变量。最后，在本理论系列的第7章，我们给出一个理论推导，说明交易一对股票时可以预期多少回归。

这四章共同论证并量化了在理想（非*理想化）市场条件下统计套利的机会。这些内容并非理解本书其余部分所必需，但掌握它将有助于读者理解那些已在公共领域实际上消除统计套利学科的市场演变所产生的影响。

4.2 模型与结果#

我们提出一个预测金融工具价格的模型，保证 75% 的预测准确率。所选的设定是对一对股票每日价差范围的预测，但稍加思考就会发现其适用性要广泛得多。具体来说，我们关注的是预测明天的价差是大于还是小于今天的价差。

模型非常简单。如果今天的价差大于预期平均价差，则预测明天的价差将小于今天的价差。反之，如果今天的价差小于预期平均价差，则预测明天的价差将大于今天的价差。

4.2.1 75% 法则#

上述模型形式化为概率模型如下。定义一列同分布、独立的*连续随机变量 {Pt, t = 1, 2, . . .}，支撑集（Support）为非负实数线，中位数（Median）为 *m。则：

$$ ![image](images/f068-01.webp) $$

在启发性价差问题的语言中，随机量 Pt 是第 t 天的价差（一个非负值），各天被视为独立的。概率陈述中包含的两个复合事件直接对应于上述非正式预测模型中指定的操作。但关于每个事件的细节需要说明一点。至关重要的是要注意，每个事件是一个合取（and），而非条件（given that），后者可能最初被认为是表示非正式模型if–then（如果–则）性质的合适方式。非正式模型是对将要采取的操作的描述；我们感兴趣的概率是这些操作（预测）正确的概率。因此，着眼于预期表现，我们想知道在同时前一天的价差未超过中位数值的情况下，某一天的价差超过前一天价差的频率。同样，我们想知道在同时*前一天的价差超过中位数的情况下，某一天的价差不超过前一天价差的频率。

这些区分可能看起来晦涩难懂，但正确理解对于正确评估策略的预期结果至关重要。假设在十天中有八天价差恰好等于中位数，则该方案只在 20% 的时间进行预测。这种理解直接来源于合取/析取的区别。如果理解错误，方案的预期收益与实际收益之间的比例将达到五比一。

操作上，一旦今天的价差确认（收盘），就可以对明天价差的结果下注。在观察到价差大于中位数的那些天，对明天的押注是明天显示的价差将小于今天观察到的价差。在这种方案中获胜押注的比例是条件*given that概率：

$$ ![image](images/f069-01.webp) $$

同样，反向押注在四分之三的情况下会获胜。这是否意味着我们"赢了 1.5 倍"？那真的就成了统计套利了！遗漏的考量是条件事件发生的相对频率。根据中位数的定义，Pt < *m 发生一半时间。因此，我们将有一半时间押注价差相对于今天下降，这些押注中四分之三将获胜。另一半时间我们将押注价差相对于今天上升，这些押注中同样有四分之三获胜。因此，在所有押注中，四分之三将获胜。（在前面的说明中，条件事件仅在 20% 的时间发生，结果为或。）

第5章 · 高斯不是回归之神

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第5章高斯不是回归之神#

与其精确地犯错，不如粗略地正确。

—J.M. 凯恩斯

5.1 引言#

我们先来看两段引文：

名义利率的分布表明利率不存在均值回归（Mean Reversion），其结构也不符合正态分布（Normal Distribution）。

相比之下，实际利率（Real Interest Rates）似乎呈正态分布。该分布表明利率具有均值回归的特征。

这两段引文均来自一家大型、成功的华尔街公司若干年前的研究报告，其中包含逻辑上的谬误。文中没有明确定义"均值回归"的含义，因此读者可能会将通过收益率边际分布（Marginal Distribution）描述的回归视为隐式定义。但如果是这样，作者所讨论的就不是普遍理解的均值回归概念。

第一个论断是错误的，因为无论边际分布呈现何种形状，时间序列都可以具有均值回归特性。第4章中的75%定理（75 Percent Theorem）已经明确证明了这一点。请注意这里的限定词：可以。仅仅观察时间序列的边际分布，并不足以对该序列是否具有均值回归特性做出正确判断。这就是为什么第二个论断同样是错误的。一个时间序列完全可能远离均值回归——嗯，几乎是——同时又表现出正态的边际分布，正如本章最后一节所展示的那样。

均值回归从定义上涉及时间动态：边际分布中数据、样本出现的顺序才是关键因素。

5.2 单峰与双峰#

本章开头提到的那份报告展示了一张自1953年以来十年期国债收益率的直方图（Histogram），出现在一个名为"双峰分布"的章节中。报告声称，呈现如此明显非正态边际分布的时间序列不可能具有回归性。尽管标题的意象如此，实际上直方图中存在多个峰值。然而，要证明一个具有极显著双峰分布（Bimodal Distribution）的回归时间序列，仅需展示一个例子即可。图5.1展示了一个混合随机样本：500个来自均值为4.5的正态分布的值，以及500个来自均值为8.5的正态分布的值（两者标准差均为1）。这两个位置的选取参考了债券收益率分布的主要峰值；它们对演示本身并不关键。

图5.2展示了这1,000个点的一种可能的时间序列。从第1天起，这个序列表现出多大程度的回归？非常显著。分别考虑每个区段。取任一区段中远离该区段均值（第一段为4.5，第二段为8.5）的任意一个点。需要经过多少个点，时间序列才会表现出更接近该区段均值的值？通常只需一两个。该序列从未偏离区段均值后一去不返；相反，它不断穿越均值——这几乎就是回归的定义。一个名副其实的爆米花激荡过程！

这引出了一个需要思考的问题：单一变点（Change Point）的影响——即从第一区段到第二区段的过渡，其中区段均值增大。时间序列中的一次均值偏移会破坏均值回归的特性吗？只有当该过程必须回归到全局均值（Global Mean）时才会如此——那将是对均值回归的一种异常严格的解释；在时间序列的语境中，这种解释既无益又具有误导性，在评估必然以时间序列、顺序方式出现的交易机会时同样具有误导性。假设原始数据为日度数据。那么在头两年，即组合序列的第一段中，数据无疑会被描述为均值回归。在均值上升后不久，同样的结论也会被承认，尽管序列回归的均值有所提高。此后又是两年出色的向（新）均值回归。那么，在通过最基本可描述的均值回归策略获得了极为丰厚的利润之后，有人怎能仅凭日度数据的边际分布，就宣称该序列不是均值回归的呢？

图5.1 边际分布：一半 N[4.5,1] 与一半 N[8.5,1] 的混合分布

图5.2 图5.1所示样本的时间序列实现

报告提出的第二个分布方面的疑虑是，债券数据分布具有显著的右尾（Right Tail）。这一特征对于均值回归特性而言实际上是无关紧要的。图5.3展示了1,200个点的直方图：其中1,000个来自前述示例的正态混合分布，另有200个均匀随机分布在区间[10,14]上。图5.4展示了这1,200个点的一种可能的时间序列：这个序列表现出多大程度的回归？再次非常显著。前两个区段如前所述具有均值回归特性。那么最后一个区段呢？这些点来自均匀分布（Uniform Distribution）而非正态分布的随机样本，因此按照报告的说法，该时间序列不可能是均值回归的。从图上看，你同意吗？如果你同意，我很想跟你打个赌！

图5.3 具有厚重右尾的边际分布

图5.4 图5.3所示样本的时间序列实现（按底层抽样分布排序）

有人可能会合理地指责这些例子是人为构造的。真实的时间序列不会呈现如此方便的分段。这一点不可否认。但这也不是问题所在。图5.5展示了图5.3中随机样本的另一种可能实现。它是通过从原始1,200个样本中无放回地随机选取数值，并按选取顺序绘制而得。它表现出多大程度的回归？非常多。仅凭目测你难道不同意吗？

图5.5 图5.3所示样本随机重排后的时间序列实现

时间序列的边际分布是单峰（Dromedary）还是双峰（Camel），对于均值回归而言真的无关紧要。重申：时间结构才是关键特征。

5.2.1 干涸河流#

骆驼以其对干旱地区生活的非凡适应能力而著称，进化赋予的双重关键能力是：身体像海绵一样吸收水分，以及滴灌式地利用这些水分。干涸河流——即那些有明显时段没有水流的河流——在干旱地区很常见（也常常是骆驼的水源补给）。观察一条干涸河流的径流时间序列，人们很难否认该序列是回归性的。无论在雨季偏离多远，该序列总是回归到零。

干涸河流径流的典型边际分布是什么？显然它是非常不对称的。因此，完全无需借助数学形式化或严格证明，我们就有了一个证明：回归时间序列不必以对称的边际分布（如正态分布）为特征。

钟声依然#

长鸣。所谓Gamma分布（Gamma Distribution）通常是对干涸河流径流的良好近似（允许对零值做合理修正）。那么，一个高斯变量的平方服从卡方分布（Chi-squared Distribution），而卡方分布也是一种Gamma分布。这难道仅仅是巧合吗？

但与回归无关#

干涸河流径流的例子只是自明回归的一个特例。重申：*任何边际分布都可以被回归时间序列所呈现。

5.3 有些钟声轰鸣#

一个具有正态边际分布的时间序列并不倾向于表现出均值回归。极端的偏离同样可能。图5.6展示了来自均值为2.65、标准差为2.44的正态分布的随机样本——这是所引分析中实际收益率数据的样本值。图5.7展示了该样本按大小顺序排列后作为时间序列的一种可能实现。从第1天起，这个序列表现出多大程度的回归？一点也没有。与我之前的例子一样，"不现实"或"数据点不会按[大小]顺序出现"的指责很容易提出。但这些指责无关紧要：无论图示多么风格化，所要论证的要点是——时间序列样本的正态边际分布并不能揭示该序列的时间特性，无论是回归还是其他任何特性。

第6章 · 股票间波动率

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第6章股票间波动率#

*. . .the investor does (or should) consider expected return a desirable thing and variance of return an undesirable thing.

—Harry Markowitz, Journal of Finance, Vol. 7, No. 1, 1952

6.1 引言#

配对交易（Pairs Trading）所利用的均值回归，是股票价格在彼此偏离后回归，或在异常收窄后再次偏离——即第2章所述的爆米花过程。股票价格的波动幅度用股票波动率（Volatility）来衡量和表示，即价格变动（收益）的标准差（Standard Deviation）。与价差回归方案相关的是股票间相对价格运动的波动率，因此称为*股票间波动率（Interstock Volatility）。图6.1(a)展示了两只相关股票ENL和RUK在1999年上半年的日收盘价（经拆股和分红调整）。价格序列彼此紧密跟踪，这在图6.1(b)所示的价差（Spread）序列中得到进一步印证。忽略刻度，价差序列看起来像任何股票价格序列，因此发现价差波动率与股票价格波动率在性质上相似也就不足为奇了。

**图6.1 (a) ENL和RUK的日调整收盘价；(b) 价差；(c) 波动率

股票价格波动率是收益的标准差。但价差波动率的合适度量是什么？在第2章中，我们通过直接计算价差本身的标准差来校准交易规则。这里我们关注的是波动率的技术定义，而不仅仅是一个比例因子，这需要聚焦于适当的*收益序列（Return Series）。考虑图6.1(b)中的价差，其轨迹在零上下波动，显然不应将价差视为价格——这样的序列会轻易表现出无限的"收益"！从基础回归策略如何利用价差的角度出发，相关的度量就显而易见了：当价差扩大或收窄超过某个阈值，预期随后会发生回归时，就下两个赌注——一只股票买入，另一只卖出。因此，价差下注的收益等于买入股票的收益减去卖出股票的收益：

$$ *spread return = *return on buy − *return on sell $$

（假设等额美元下注，以做多方向衡量收益）。因此，我们关心的值——衡量价差下注价值变化范围的量度或价差波动率——可以直接从价差收益序列计算得出，该序列本身就是买入和卖出收益的数值之差。（在这个细节层面，可以看到这些考量如何超越配对设定，推广到更一般的统计套利。）

图6.1(c)展示了两只股票ENL和RUK以及价差ENL–RUK的波动率轨迹，使用20天移动窗口。（本章所有示例中，波动率均基于局部零均值收益的常规假设计算。）正如预期的那样，价差波动率在视觉上与股票波动率相似。奇怪的是，它始终大于两只个股的波动率——这一点稍后再讨论。

另一个示例如图6.2所示，这次是通用汽车（General Motors, GM）和福特（Ford, F）的配对。注意价差的波动率有时大于两只股票的波动率，有时小于两者，有时大于其中一只但小于另一只。

**图6.2 (a) GM和F的日调整收盘价；(b) 价差；(c) 波动率

第7章 · 量化回归机会

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第7章量化回归机会#

*坚忍致胜——我们以忍耐征服一切。

—Sir E. H. Shackleton, polar explorer（极地探险家沙克尔顿家族格言）

7.1 引言#

在本章中，我们扩展前三章的理论推导，旨在更深入地理解时间序列中回归（Reversion）的性质。本章的抽象程度和数学难度均高于书中其他部分，但在所有情况下，理论推导最终都落实到实际应用。大部分讨论以价格序列（Price Series）的语言展开，但所发展的理论通常适用于任何时间序列。具体而言，该分析可以直接应用于价格序列的各种变换，包括收益率（Returns）、价差（Spreads）、价差收益率（Spread Returns）、因子（Factors）等，必要时只需对推断进行相应修正。

"什么是回归？"这一问题在股票价格生成的概率模型（Probability Models）假设背景下加以探讨。这些模型高度程式化且过度简化，纯粹作为思考回归概念的工具而被引入。我们并不自欺地认为这些模型甚至可以作为对真实、未知的价格生成机制的一阶近似。通过在这些简单模型的严格假设下确定回归定义的含义，我们希望形成一个关于回归本质的连贯认识。目标是从这种认识中提取有意义且可量化的回归概念，用于研究现实的价格生成模型。我们期望这种理解能为统计套利（Statistical Arbitrage）提供新的洞见，帮助我们在系统或机制层面分析和理解统计套利如何以及为何有效，并由此为可利用机会的驱动力构建合理的市场理论基础。这一目标或许有些雄心勃勃——也许指望获得比"应该考虑何种类型的过程"更多的启示是不切实际的。机制和理论基础对于研究和解决自2004年以来困扰统计套利、并至今仍影响其表现的问题都至关重要：市场结构变化如何影响策略表现？

7.2 平稳随机过程中的回归#

我们从最简单的随机系统——平稳随机过程（Stationary Random Process）——开始研究。假设价格每天独立地从同一概率分布中生成，该分布的参数保持不变。我们假设这是一个连续分布。第 *t 天的价格记为 *Pt，小写字母用于表示特定值（如已实现的价格）。

一些立即可以想到的考虑是：

如果 Pt 位于分布的尾部，则 Pt+1 很可能比 Pt 更接近分布的中心。更正式的表述是：假设 Pt 大于分布的第95百分位数（Percentile），则 Pt+1 小于 Pt 的几率为 95:5（即19:1）。对于下尾部（Lower Tail）同样有类似的结论。

19:1 的几率与第一句话所表达的并不完全相同。"比……更接近中心"不同于"比……更小"。当然，所引用的几率比以及其隐含的情景是非常有趣的。为完整起见，有必要考察"更接近中心"的情景。"更接近中心"的直观定义在形式上是：价格尺度上偏离中心的绝对值。另一种定义是根据底层价格分布的百分位数来衡量与中心的距离。对于具有对称密度函数（Symmetric Density Functions）的分布，这两种定义是等价的，否则则不然。

如果 Pt 接近分布的中心，则 Pt+1 很可能比 Pt 更远离中心。

稍加思考就会发现，第 (ii) 点似乎为回归研究提供了贫瘠的土壤；但在序列背景下，接近中心的数值是后续偏离中心以及未来回归机会的有用信号。回顾第2章的爆米花过程（Popcorn Process）和第3章关于随机共振（Stochastic Resonance）的讨论。

对第 (i) 点的推广为研究提供了一个潜在的出发点：如果 Pt 大于分布的第 *p 百分位数，则 Pt+1 < *Pt 的几率为 *p : (100 − *p)。我们仅关注几率大于对等（即50:50）的情况。投资者通常偏好表现为赢多输少的策略，认为这种结果的相对频率反映了过程的稳定性。但这种思维方式是有缺陷的，因为仅凭赢输比率本身并不能提供关于策略稳定性性质的任何信息——除了原始的赢输比率之外。做出此类判断所必需的关键信息包括对赢方收益幅度和输方损失幅度的描述。一个策略即使有80%的时间在亏损，但只要单次亏损从不超过0.1%且赢方总是获利1%，它就是一个稳定且盈利的系统。对于"稳定性"这类容易贴标签但内涵复杂的概念，需要仔细界定个人偏好。这些偏好通常未被明确表达，因此容易产生误解，因为个体之间的偏好差异相当大。

第8章 · 诺贝尔难题

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第8章诺贝尔难题#

Chance favors the prepared mind.

—Louis Pasteur

8.1 引言#

本章探讨导致统计套利（Statistical Arbitrage）策略产生负面结果的场景。在运营投资策略时，尽管有风险过滤器和止损规则，意外仍应以一定频率出现。第一个案例分析了一对表现出教科书般回归行为的股票，直到一项基本面事件——收购公告——造成了断裂点。接下来我们讨论一次国际经济事件——1998年信用危机（Credit Crisis）——带来的双重影响：在股票市场中引入了一个新的风险因子——企业债券信用评级导致的暂时性价格歧视（Price Discrimination），并将一个盈利年份（截至5月）转变为亏损年份（截至8月）。之后我们考察对冲基金（Hedge Fund）、共同基金（Mutual Fund）和养老基金（Pension Fund）的大规模赎回（Redemption）如何对股票价格动态造成暂时性干扰，进而损害统计套利的绩效表现。随后我们讲述《公平披露规则》（Regulation FD）的故事。最后，在这一系列关于绩效创伤的讨论中，我们回到第5章的主题，澄清一个常见误解，特别是关于经理人在负收益期间绩效相关性的问题。

8.2 事件风险#

图8.1展示了联邦住房贷款抵押公司（FRE）和Sunamerica公司（SAI）从1996年1月2日至1998年3月31日的价格走势（日收盘价，经股票拆分和股息调整）。两条价格曲线紧密跟踪，呈现强劲的上升趋势，两者之间的价差（Spread）反复扩大和收窄。

**图8.1 FRE和SAI的调整后价格走势

随后的分析和论证聚焦于配对价差交易，但关于结构性转变的要点对统计套利模型具有更广泛的适用性。一个预测个股（组合）走势的因子模型同样容易受到上述运动的冲击，但其机制更为复杂，解释需要更细致的阐述。我们将保持分析的简洁性，并再次提醒读者，这些基本要点同样适用于更广泛的统计套利模型。

这两只股票的日收益率相关性并不特别强；相关系数为0.4。然而，观察事件之间的收益率，相关系数则高达0.7。事件相关性（Event Correlation）揭示了在规定的风险容忍度内，哪些股票可能适合组合交易（参见第2章）。

从视觉和统计角度看，配对[FRE, SAI]似乎在简单的价差回归模型中能够盈利。基础爆米花过程模型（Popcorn Process，参见第2章）的模拟证实了这一点。

图8.2展示了FRE和SAI延伸至1998年第二季度（至8月6日）的调整后价格序列。有趣吗？价差显著扩大，达到了近期历史最大值的两倍以上。如前所述，价差的大小本身并不导致亏损交易，真正造成亏损的是价差扩大的过程。当价差进入持续增长阶段时，交易往往会在(a)比通常更长的持有期之后，以及(b)当局部均值价差与建仓时相差甚远时被平仓，从而产生亏损。（本分析假设模型自动执行而不包含干预方案。加入监控及相关的提前退出[止损]规则会减轻损失，但会使描述变得复杂而不改变核心信息。）

**图8.2 FRE和SAI截至1998年8月的调整后价格走势

使用基于假定爆米花过程的指数加权移动平均模型（Exponentially Weighted Moving Average），配合约束趋势分量（参见第3章），2月底建仓的[FRE, SAI]交易持续到4月底，6月初建仓的交易持续到7月初。两次都产生了重大亏损。（7月底有一笔快速周转的盈利交易。）

8.2.1 价差收窄是否保证盈利？#

很遗憾，盈利情景并不能得到保证。然而，波动率下降与波动率上升之间存在一个有益的不对称性：在前者的情况下，当局部均值发生变化时，模型的滞后视角反而能发挥作用。（回忆一下，当局部均值不变时，波动率的变化不是问题，尽管可能存在机会成本——以错失利润的形式——如果波动率预测适应较慢的话。）

当价差局部均值持续朝一个方向移动，超出模型有限的适应速度时，策略就会亏损，因为交易出场点（期望收益为零）相对于入场点而言是不利的。同时刻的入场和出场点呈现正确的关系；问题在于随着时间推移，价差的实际走势与建仓时的预测发生了偏离。如果对局部波动率的预测高于实际波动率，那么当前的交易入场点会更保守（实际交易数量更少，且每笔交易的期望收益更高）。当趋势持续不利于模型时，这种保守性会减少损失——这与波动率上升且模型低估波动率时的情况恰好相反。

在价差关系发生变化时截断亏损交易是最理想的做法。然而，实施这一点需要另一个预测：对变化本身的预测。通常我们能做的最好的是在变化发生后不久识别它，并在之后不久将其特征化。即便如此也具有挑战性。参见第3章以及Pole等人（1994年）的讨论。

从1998年8月的角度审视当前的FRE–SAI交易，我们问：我们必须维持一个持续亏损的头寸吗？显然不必；头寸可以在经理人的判断下平仓。但何时应将该配对重新纳入候选交易池？FRE和SAI之间历史上的紧密耦合似乎正在瓦解；如果这种瓦解适用于股票收益率序列的底层共同结构，那么这些股票将不再满足配对选择标准，交易也将停止。如果共同结构依然存在，价差在新水平附近波动或回归到近期历史水平，这些股票将继续被选中，并在扰动结束后再次实现盈利交易。

1998年8月20日星期四，AIG收购SAI的消息公布。SAI周三收盘价为64美元这笔全股票交易将SAI的估值溢价定为25%（在开盘前）。人们不禁要问，SAI在收购前价格上涨背后的买盘压力究竟来自何处。

8.3 新风险因子的兴起#

1998年夏天的国际信用危机是统计套利实践中的一个特殊时期。绩效问题从6月开始出现，并对许多人来说在7月和8月持续加剧。在此期间，人们第一次清晰地认识到，市场对一家公司信用质量的感知直接影响着投资者对公司近期估值的信心。随着市场情绪转为悲观，全市场股票被普遍下调估值，价格下跌的幅度与企业已发行债务的信用评级密切相关。信用评级较低的公司，其股价跌幅是评级较高公司的三倍。此前从未有过如此剧烈的歧视性行为的描述；在统计套利的历史上当然也没有先例。

关于1998年信用市场与股票市场之间联系的本质，以及价格变动为何如此剧烈，当时存在许多假说，现在看来比当时少了。毫无疑问，对冲基金长期资本管理公司（Long-Term Capital Management, LTCM）的倒闭，以及美联储（Federal Reserve）迫使不情愿的投资银行进行的史无前例的救助行动，加剧了人们对美国金融体系系统性崩溃的普遍恐惧。在假说谱系的幼稚一端，是一个正确但本身并不充分的观点：美联储的行动只是放大了对重大经济失败的正常恐慌反应。一个重要的因素是信息、推测、流言和废话传播的速度，以及从24小时"新闻"电视频道到互联网的广泛受众覆盖。1990年代，大量日内交易者和活跃的个人参与者被牛市的吸引力和科技进步带来的便捷交易吸引进入市场，为广播噪音提供了易于接受的听众，也为恐惧和恐慌的滋生蔓延提供了沃土。许多糟糕的决策源于瞬间判断——这些判断被冠以"分析"之名，尽管往往不过是对即时信息片段的即时反应，再通过技术手段迅速执行。这对波动率研究和认知高等级物种中的从众行为研究有利，但对血压和胃溃疡不利。

当俄罗斯违约（Russian Default）的影响开始冲击美国股市时，人们越来越担心企业将在信贷市场上逐步受到挤压，这种担忧导致了股票价格的下调。随着危机持续和股票价格下跌，信用评级较低的公司股价下跌更快、累计跌幅更大，而信用评级较高的公司则相对较好——这从存在主义意义上证实了那种普遍的恐惧，无论理性与否，即信贷市场收紧（从俄罗斯违约到这一结果之间在国际上或美国本土的传导链条并不令人信服和连贯）将使融资变得更加昂贵。而信用评级较低的公司不得不支付更高的费用，还有什么比这更合乎逻辑的呢？这种表面看似无懈可击的歧视性股票价格重新调整的逻辑，实际上是自我实现的预言。美国利率是否真的有可能因为俄罗斯违约而上调？

在1998年夏天，企业债务评级成为美国股票市场中的一个重要歧视因子。任何未考虑该因子构建的组合都可能面临估值损失——因为低评级股票的价格跌幅相对于高评级股票是非比例放大的。无论是从朴素配对交易策略构建的匹配配对组合，还是从复杂的因子模型构建的回报预测组合，在这一点上都没有区别。损失是不可避免的。

随着歧视性股票价格模式的发展，歧视性结果区分了不同类型的统计套利策略，但经理人在面对持续且累计的巨大亏损时的行为使得评估变得复杂：模型与经理人之间的混合（如果这种区分有意义的话）变得无法识别。剔除经理人干扰的模拟研究表明，因子模型比纯价差模型表现出更强的韧性^(1)，并且更快地恢复正收益。

认识到新的风险因子后，应该怎么做？因子模型在使用受影响期间的收益率历史重新计算因子分解时，会自然地将"债务评级"纳入考量，因此无需采取直接行动。但不作为确实引发了一些疑问：一旦因子被识别（或至少被假设出来），在事件发展过程中应该怎么做？最佳方案难道只是等待新的数据窗口来估计股票对该因子的敞口（与此同时承受绩效的重击）吗？后者的答案是显而易见的"不"，但超越简单的"不"字，制定合理的处方更为棘手。首要要求的总体规定是直接的：消除组合中对假定因子的敞口。精确地实现这一点则更为困难——敞口究竟是什么？在强烈的情绪推动和业务需求驱动止损的急迫中，运气也扮演了它的角色。

那么非因子模型呢？首先，识别策略中如何管理因子风险，然后将这种方法扩展到债务评级因子。对于配对策略，显而易见的补救措施是在债务评级方面对所有可接受的配对组合进行同质化处理。也就是说，只允许两只成分股具有足够相似的债务评级的配对组合。这样，高评级股票将与高评级股票配对，低评级股票与低评级股票配对，从而避免对那些在债务因子担忧下表现出不协调价格波动的股票进行押注。还有许多其他方面值得深入研究，包括是否采用随债务评级递减的头寸权重、限制低评级股票只能做空，或者对债务评级极差的公司行使绝对否决权。

在研究推进过程中，一个需要回答的重要问题是：引入新的建模限制对策略的历史绩效会产生怎样的影响？发现自己绩效问题的近因、确定并实施预防性的建模调整固然值得祝贺，但还需要了解这些改变对未来绩效的影响（除了在因子负面活跃时起到保护作用之外）。关于这一主题在更广泛绩效中断背景下的更详细讨论将在第9章展开。

8.4 赎回压力#

广基（Broad-Based）、纯多头（Long-Only）基金的赎回模式对快速周转的多空回归策略具有完美的"破坏力"。抛售纯多头基金会对股票价格产生不对称的压力——全部是单方向的下跌。如果抛售是广基的，且在某种程度上是持续的，那么对价差头寸的影响只能是负面的。

假设"广基"意味着回归策略中交易的相当大比例的股票受到影响——假设为一半。假设多头组合投资策略及当前头寸与回归策略无关：近似假设抛售对回归策略的多头和空头头寸产生同等影响。因此，"所有"受影响的多头在赎回活动的抛售压力下价值下跌，"所有"受影响的空头负债减少。平均而言，对回归策略不应产生净影响。

第9章 · 三位一体的麻烦

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第9章三位一体的麻烦#

*Extinction occurs because selection promotes what is immediately useful even if the change may be fatal in the long run.

—T. Dobzhansky. 1958. "Evolution at Work." *Science 1,091–1,098

9.1 引言#

从2000年初开始，在近二十年的出色盈利之后，许多统计套利（Statistical Arbitrage）管理人的回报率暴跌至零甚至更差。一些管理人继续创造了两年的优异回报，但从2002年初开始也停止了盈利。2000年中成功与失败的分野是统计套利史上一个有趣的历史节点，标志着高频均值回归动态的结构性变化。更具普遍意义的是，2002年的业绩分水岭被许多人视为统计套利作为绝对收益（Absolute Return）生成器的死亡标志，尽管仍有少数观察者认为这是暂时性的结构问题，并设想了统计套利再度崛起的条件。但条理清晰的分析并不多见，而投资者的耐心更为稀缺——后者才真正成为致命一击，因为它导致了资金撤回，使管理人无力支付工资。

到2005年底，统计套利正处于如此严峻的境地；作为一种投资策略，它已成为无法推销的产品。2006年迎来了业绩的复苏，印证了那些始终坚持业绩下滑由多重因素解释的人——其中许多因素是暂时性的。随着这些对市场一致性和证券价格持续可预测动态的暂时性干扰消退，统计套利迎来新一轮富有成效时期的前景已经显现。而我们如今已进入这一复兴期近两年。

在本章中，我们首先审视一些被大肆宣扬为统计套利回报下降原因的简单论断。虽然每一种因素可能都产生了一些负面影响，但它们的综合效应不太可能超过历史回报的30%。这是一笔可观的缩减，但远不足以宣判该策略的死刑。接下来，我们将视角扩展到美国经济和金融市场的主要发展，描述其对统计套利的影响在多大程度上是暂时性的。本节还会提供对2003年的一种视角，以设定讨论的背景。

第10章延续了寻找业绩下滑原因和复苏来源的主题，重点关注大型券商的技术发展。对统计套利的长期影响是确定的，对许多现有策略是负面的，但随着大型市场参与者越来越多地使用这些工具（第11章），新的机会也在不断涌现。

9.2 十进制改革（Decimalization）#

*"买卖价差（Bid-Ask Spread）从25美分缩减至2美分，消除了统计套利的优势。"

策略可能有相同的通用名称——统计套利，但其中存在重要的区分，这对于理解过去几年的业绩差异以及未来业绩前景至关重要。从2000年中期开始，高频统计套利从业者普遍取得了较差的回报，其中许多人在2000年和2001年大部分时间实际上是亏损的。报价从八分之一（Eighths）到十六分之一（Sixteenths）再到美分（Pennies）的买卖价差缩小，对这些回报产生了巨大的负面影响。此外，场内做市商（Floor Specialists）整合为现在的五大加两家小型独立机构，导致大部分日内和日间价格回归被这些做市商内部化了。凭借超过大多数统计套利基金管理人的研究预算、计算机和人力资源，以及订单流可见性（Order Flow Visibility）这一不公平优势，出现这种情况并不令人意外（参见第10章）。

统计套利的优势并未被消除。但高频机会迅速从公共领域被移除，被少数特权者所垄断。持有期长达数周或数月（而非数天）的策略基本上未受十进制改革的影响。这种模型的动态特性对于解释本章开篇描述的2000-2002年业绩分化至关重要。对于那些利用与高频策略根本不同的均值回归过程的策略而言，买卖价差对长期投注利润的贡献只是很小的一部分。由于执行质量下降，可能出现了一些业绩恶化，但并非完全消失。为了说明这一点，让我们看几个例子。

考虑一只均价40美元的股票。假设策略目标是年化收益率12%，即平均每月1%。持有期为两个月，均值回归投注平均预期收益为2%，即80美分。十进制改革后长期标准的25美分买卖价差缩小至几美分，最多消除的是投注预期收益的三分之一。因此，年化回报从12%降至8%。这是最坏情况分析，忽略了在可以在数天内完成交易时（高频策略无法享受的选项）交易时机策略带来的改善空间。十进制改革对长期策略的实际影响更为边际。

当然，故事并未随十进制改革而结束，正如本章后续部分所示。在十进制改革的切换中幸存下来、在2000和2001年展示了长期统计套利策略的辉煌优势，并不能帮助抵御2002和2003年累积的其他结构性变化。

9.2.1 欧洲的经验#

欧洲市场实行十进制已有数十年，但高频统计套利在同一时期也成功发展。结论必然是：十进制改革本身并非该策略获利机会的障碍；业绩问题是由市场结构变化造成的，这些变化导致了时间动态的改变，扰乱了统计套利模型所构建的预测模式。欧洲市场完全电子化，在这方面更接近纳斯达克（NASDAQ）而非纽约证券交易所（NYSE）。然而，这些市场中的统计套利在2003-2004年都未能产生回报。虽然不同的因果因素可能分别解释"三个市场"中各自缺乏业绩的原因，但更可能是一个共同因素在起作用。哪些候选因素可能被牵涉？2003年初由伊拉克战争主导。但最后六个月呢？2004年呢？经济新闻逐渐从全面低迷悲观转向普遍乐观，尽管美国预算和贸易赤字的负面影响仍引起了许多评论员和专业经济学家的忧虑。正是这种变化，以及投资者行为的相应变化，导致了统计套利在各市场和各管理人中的普遍失灵。当然，在每个市场中，其他市场特定因素无疑也在起作用。

9.2.2 为魔鬼辩护#

既然我们刚刚论证了十进制改革并非统计套利回报下降的重要因素（除了一些高频策略），让我们考虑这种变化如何可能产生负面影响。

有大量轶事证据表明，日内流动性因十进制改革而发生了直接变化：这些变化与统计套利的日间价格行为和交易量有何关系？表面上的证据——策略回报的下降——是市场价格模式发生了改变。如何改变？以何种方式？能否在观察到的变化、十进制改革和统计套利业绩之间建立逻辑联系？暂不考虑所谓的日内定价机制变化，让我们假设变化的说法是正确的。这对日间价格行为意味着什么？

能否阐明这样一个过程：在其他条件不变（Ceteris Paribus）的情况下，从上午9:30到下午4:00的连续交易将根据个别市场价格增量的大小，在结构上、显著地、可描述地产生不同的日间价格模式？如果不能，那么在日收盘价上评估的系统性交易模型也不会表现出可区分的结果，除非买卖价差（在收盘时）以某种方式被策略所捕获。事实上，许多此类模型的模拟在2003-2004年表现不佳。要么是十进制报价和美分增量的改变所导致的可观测、公认的日内价格结构变化导致了跨时间的收盘价结构变化，要么是十进制改革以外的某些因素或因素组合解释了模拟结果。

如果观察到了相反的结果，那么从十进制改革到系统性交易策略回报就可以构建一个合理的论据：如果日间交易显示正回报但日内交易显示零回报，那么交易引起的价格变动消除了机会。迄今为止的证据既不支持也不反驳这样的假设。十进制改革在统计套利业绩下降的解释中充当小角色的可能性远大于不是。

假设统计套利的历史业绩完全来自于在价差跳过交易阈值时系统性获取的*消费者剩余（Consumer Surplus），且成交价等于甚至优于那个"超额"。如果十进制改革将这种跳跃——我们也可以合理推测（基于经验）——连同价格改善（Price Improvement）几乎削减至零，那么投注的预期回报也会相应降至几乎为零。这个情景看似合理，直到人们意识到它不过是买卖价差论点的精细化版本。跳跃的消费者剩余加上价格改善，无非就是买卖价差（跳跃）加上价格改善。除非价格改善是策略回报的主要组成部分，否则这个论点就不攻自破了。

9.3 统计套利被套利掉了#

*"统计套利已经两年没有产生回报了。它的优势已经被'套利'掉了。"

2004年全年，这种声音越来越响亮。但这种否定的证据何在？除了援引近期历史的观察来支持这一论点外，我们必须假定业绩证据被视为充分的证明。然而，只要稍微回溯一下历史就能反驳这一论点。从1998年中期到1999年底的18个月中，该策略的回报几乎为零（基于因子的模型表现稍好），但随后的两年却创下了回报率的历史纪录。

一段长时间的平淡业绩并不能证明系统性利用的来源——股票价格行为模式——已经不复存在。同样，仅凭数字观察，没有理由认为一旦低迷期结束就会获得异常高的回报或任何特定的回报模式，或者低迷期确实会结束。要理解什么是可能的，就需要理解股票价格运动的本质、策略所利用的低效性，以及如何实现这种利用。要更进一步地推断什么是可能的，就需要对世界各种状态做出判断并进行预测（第11章）。当然，现在也可以通过从该论断提出之时到今天的前看来反驳它。事实上，统计套利已经创造了许多美好的回报。

9.4 竞争（Competition）#

*"竞争已经终结了统计套利的游戏。"

第10章 · 黑箱崛起

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第10章黑箱崛起#

*Felix qui potuit rerum cognoscere causas. 能够洞察事物成因者是幸福的。

—维吉尔

10.1 引言#

二十年前发明配对交易（Pairs Trading）业务的摩根士丹利，在二十一世纪初站在了一项新业务的前沿；这项业务风险更低、更具可持续性，却以一种商业上弑父般的讽刺，系统性地摧毁了传统配对交易的机会。算法交易（Algorithmic Trading）由此诞生。来自机构和对冲基金的大量订单流——其中许多在内部通过电子方式撮合——为超出预期佣金之外的多重新收益提供了机会。摩根士丹利和其他券商将从自营交易（从经典的配对交易业务起步）中积累的洞察和知识，与对海量订单流数据的分析相结合，构建了交易工具，其中集成了预测市场冲击（Market Impact）的模型——该模型将市场冲击描述为订单规模和交易时段的函数，并根据每只股票的当日交易量进行调节。

认识到存在一个巨大的盈利机会——它依附于简单易用、自动执行且不会系统性产生滑点（Slippage）的交易技术，券商们决定将这些工具提供给客户。这是一个时机精妙的决策。随着新一代统计套利交易者（Statistical Arbitrageurs）大量涌现，供应商得以引诱那些他们的工具最终将帮助消灭的人，同时也吸引了渴求任何能降低交易成本或边际改善执行价格的新优势的现有客户。这项业务的天才之处在于，机构和统计套利交易者的订单流为数据挖掘者提供了源源不断的数据盛宴，而他们对此的贪婪胃口永远无法被满足。

从挖掘的数据中构建了按股票、按星期几、按日内时段以及按当日交易量分类的交易量模式。仅仅能够以可度量的效力预测在固定时间内买入或卖出特定数量股票需要从当前价格让渡多少，这对交易者来说就已经是一项惊人的发展。对冲基金多年来一直在自行尝试；但使用远不如券商档案丰富的数据，他们的成果不太可能达到券商的成功水平。无论如何，一项优势被消除了。

将逻辑回归类模型（Logistic-type Model）拟合到订单流和成交数据上，迅速产生了第一代模型，使交易者能够对经常面临的紧迫问题获得量化答案：

我需要支付多少才能在接下来的半小时内买入*X千股XYZ？
如果我等到交易日剩余时间再买，需要支付多少？
我能在一小时内卖出多少XYZ股票，同时将冲击控制在*K美分以内？

这些工具一个未被宣传的美妙之处在于其机会集合的自我繁殖特性。当交易者转向使用这项技术时，一套新的订单流信息被呈现并被供应商收集。现在可以同时研究急躁的"不惜代价成交"型和从容的"观望等待"型参与者的行为。客户画像模型——从客户订单流、交易工具配置和成交/撤销-更正记录中自动生成——几乎可以自行构建。有了衡量客户愿意为成交支付多少的能力，以及估计以更低市场冲击获得交易需要多长时间的手段，众多可能性简直在向研究者呼喊，回响并放大了二十年前上一代人听到的传统配对交易的呼喊。

所有这些机会无需资本承诺即可获取。自营交易的风险被消除，而"新"业务变得无限可扩展。

摩根士丹利当然有竞争对手。高盛、瑞士信贷第一波士顿、雷曼兄弟、美国银行等也开发并销售了算法交易工具。

10.2 建模预期交易量与市场冲击#

起点是数据挖掘。哪些数据可用，其中哪些与回答"多少……"问题相关。假设股票XYZ有超过十年的逐笔交易每日交易量历史数据，即2,500天的交易数据。首先要做的是检查每日累计交易量：每只股票在一天中的交易模式都有其独特特征，可以说是它的"足迹"。采用一刀切的方法，用通用哺乳动物的足迹来预测大象的足迹或许可行，但会产生不必要的大误差（噪声或误差方差）。更糟的是用蝰蛇的足迹来预测（试试描述它）。你能看出问题所在。

这个问题很容易通过在数据分析和模型构建中增加适度的特异性来解决。计算机不在乎处理多少模型变体。但你应该在乎；在不必要的地方过度特异性也会导致预测方差过大，因为有限的数据资源并不能提供无限可分割的信息库。数据被切割成不同类别的越多，每个类别的信息就越少。如果两个或更多类别本质上是相同的（就当前研究目的而言），数据最好合并。此外，在数据上测试的模型越多，发现虚假良好拟合的可能性就越大。这些都是良好应用统计分析中众所周知但常被忽视的细节。

开始观察数据时，要着眼于识别交易量中的日内模式。如何描述它？虽然十年前的每日模式不太可能接近今天的每日模式，但假定如此是不明智的。记住，原始配对交易利用的反转模式在十五年间一直保持着经济上可利用的频率和幅度，直到技术和市场发展导致了剧烈变化。检查一些来自十年前的每日累计交易量图表，一些来自五年前的，一些来自今年的。你会注意到图形（曲线）具有相似的形式，但有明显差异——与早期模式相比，近期模式在日内早期和晚期的累积速度更快。最好不要简单地将所有数据聚合后估计一条平均曲线。

更仔细地观察最近三个月的每日模式。那是60张图表。检查十年前的一组三个月数据。你注意到基本形状有大量重叠。但看看刻度：该股票现在的交易量远高于十年前。嗯。将图表重新缩放为占每日总量的累计百分比。现在所有图表都在相同的0-100刻度上。啊！最近一个季度的模式变异性小得多。因此，无论某一天的交易量是相对较高还是较低，都会揭示出类似的日内交易模式。我们如何利用这一洞察？一个目标是以一种能够方便地给出市场在特定时刻占当日交易量比例的方式来表示曲线（日内累计交易量百分比曲线）。换句话说，要方便地回答诸如"到下午2点交易了多少量？"这样的问题。有许多具有所需通用S形的数学函数可用：概率分布的累积密度函数（Cumulative Density Functions）提供了一组天然的函数集，因为这里研究的正是分布本身。统计建模（我们尚未考虑）的一个便利形式是逻辑函数（Logistic Function）。

选择一个函数。将它拟合到数据上。现在你可以方便地对股票特定的问题给出合理量化的回答：到下午2点交易了多少量？*平均而言……

假设今天该股票恰好是交易量相当大的一天，到上午11:30已交易400万股。预计到下午2点会交易多少股？根据估计的模式，到上午11:30通常交易了当日总量的30%，到下午2点交易了40%。你很容易计算出未来90分钟预计交易130万股。你想交易10万股。应该不需要付出太大代价就能实现。对吗？

以上分析仅考虑了交易量；记录中的价格信息尚未被检验。让我们直接加以弥补。在XYZ股票60天的交易数据中，有许多单笔买卖交易，订单规模从最小100股到最大100,000股不等。所有订单的成交信息也被记录下来。将订单规模与价格变化（从下单价或下单时市场价格到平均成交价）绘图，显示出明确的关系（以及大量变异）。再一次，当每天按照该股票当日总交易量进行缩放时，部分变异神奇地消失了。在标有"可见性阈值"（Visibility Threshold）的限度之内，订单在大交易量日的影响较小。

将数学曲线或统计模型拟合到订单规模-市场冲击数据上，就得到了回答以下问题的工具：我需要支付多少才能买入10,000股XYZ？注意买入和卖出的响应可能不同，并且可能取决于该股票当天是上涨还是下跌。将原始（60天）数据集拆分并分别分析上涨日和下跌日将阐明这一问题。更正式地，可以定义一个包含上涨/下跌日指示变量的综合统计模型，并检验估计系数的显著性。考虑到在没有大量工作的情况下，合理确定此类统计检验有效性所需的独立性及其他条件的可疑程度，分别建立合并数据和上涨/下跌日的预测模型并比较预测结果将是更好的选择。预测差异是否具有*实际意义？*差异到底是什么？

为不同数据类别拟合各自模型的一个缺点是，交互效应（如交易量与上涨/下跌日、买入/卖出之间的交互等）无法被估计。如果目的是寻求理解，这是一个严重的遗漏，因为交互效应揭示的关系微妙之处通常在单因素分析中甚至不会隐约暗示。如果目的是获得不错的预测，这一遗漏在学术上是严重的（如果确实存在交互效应），但在实践中（取决于交互效应的性质）重要性较低。

时间在市场冲击估计中也很重要——回想日内累计交易量模式的分析。在日内"缓慢"或交易较清淡的时段成交订单，要么需要在给定滑点限制下更有耐心，要么愿意提高该限制。在前述订单规模-市场冲击分析中未考虑时间因素。显然可以考虑，最明显的方法是将数据按日内缓慢和非缓慢时段切分（或简单地按半小时段切分），并为每个时段估计单独的模型。虽然统计建模和分析可以做得更精细，但这里假设的简单分桶方法足以说明机会和方法。（富有成效的精细化实例包括：用平滑函数正式建模跨时间切片的参数，以及使用分类程序如回归树（Regression Trees）来识别自然分组。）

10.3 动态更新#

检查十年前与近期每日交易量的基本模式后，人们意识到模式已经发生了变化。随即面临的问题是如何管理从数据中估计的预测模型的变化。第一个行动是仅使用近期数据来构建当前使用的模型。我们假设近期为60天。现在面临的问题是：何时应该修订模型？我们再次面临与第2章讨论反转模型时相同的问题——变化类型、演化速度和动态更新方法。这里的基本问题并无不同。人们可以合理地选择使用滚动60天窗口，每天重新估计模型关系。也可以例行地将最新的每日模式与(a)近期或(b)更早时期观察到的模式分布进行比较，以判断今天是否异常。如果异常，也许应该对预测应用"保守性过滤器"？可以设计一个变化率的度量（存在比较概率分布的标准方法，从包括矩在内的汇总统计量到信息的积分度量），并用于构建一个比简单60天移动历史窗口更灵活的通用动态更新方案。

10.4 更多黑箱#

我们有意在本章开头特别提到摩根士丹利，因为这与我们主要主题——统计套利——的起源有关。但摩根士丹利并非唯一一家分析交易数据并向市场提供封装了从中发现的交易智慧的工具的公司。高盛在纽约证券交易所交易大厅的运营——2000年收购的Spear, Leeds & Kellog做市商——代表着一个可能比摩根士丹利数据库更有价值的金矿。美国银行在2002年收购了对冲基金Vector的技术："……计算机算法将综合考量特定股票的交易特征*以及美国银行自身的持仓情况，然后生成买卖报价"（《机构投资者》（Institutional Investor），2004年6月；斜体为强调而加）。瑞士信贷第一波士顿（CSFB）聘请了知名且技术先进的对冲基金D.E. Shaw的一名前员工，构建了一个"处理其[CSFB]40%订单流"（《机构投资者》，2004年6月）的工具；雷曼兄弟和其他十几家公司也进入了这一领域。

除了上述发展外，至少有一家新券商Miletus从一家十亿美元对冲基金中分离出来，旨在将为该对冲基金自身交易开发的交易算法中的价值变现。在另一项技术驱动的发展中，从2006年底高盛开始，至少有两种通过算法手段实现的一般性对冲基金复制产品已被推向市场。随着这些工具日益普及，市场中可能会增加新的系统性模式生成力量。

10.5 市场通缩#

图10.1描绘了买卖股票的市场，一个买卖双方聚集在一起就双方可接受的所有权交换达成价格的通用市场。有许多买方和卖方。大量的个体参与者。众多的协议点。显著的波动性。

**图10.1 市场曾经的模样

图10.2描绘了正在到来的买卖股票市场。众多的个体买方和卖方通过少数计算机算法的中介管理聚集在一起，这些算法在内部交叉匹配了大量订单，并通过在中央市场上受控的、不急躁的交易来满足剩余部分。有许多买方和卖方。众多的协议点。但没有传统集市那样无节制的躁动。受约束的波动性。

**图10.2 通缩市场模型

统计套利

第11章 · 统计套利的复兴

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第11章统计套利的复兴#

*. . .对一切都感到担忧令人不安。这也适得其反，因为它可能导致人们不断对一个正确运行的系统进行修补，仅仅是为了应对数据中想象出来的幽灵。

—Box 和 Luceno，《通过监控与反馈调整实现统计控制》

截至2004年底，统计套利（Statistical Arbitrage）的从业者们已经煎熬了一年。投资者和评论家们指出了业绩的波动性却没有提及相对于市场上涨（2003年）的回报；他们引用了不可逆转衰退的指控性断言，理由是可见的市场变化；并且对现实的必要复杂性充耳不闻（完整的论述请参见第9章和第10章）。

与这种围困相对的是本书的论述以及自2006年以来业绩的回归。第2至第8章阐述了传统统计套利机会的性质和范围、形式化建模和系统化利用这些机会的方法，以及按照统计套利模型构建和管理的投资组合所遭受的市场动态本质的破坏。第9章审视了对该学科的一刀切式否定，其逻辑是：这一变化消除了统计套利回报的一部分；这一变化是永久性的；因此你的机会集已经消失了。这些论断被发现是有针对性的，但不足以解释历史记录。远为复杂的现实虽然同样具有毁灭性，但经过更深入的反思，却无法支持这种否定。在其复杂性中，持久的要素并非完全摧毁统计套利。相反，一些更为深远的市场结构性变化（如第10章所述）必然为一种新的统计套利范式创造了条件。这种正在兴起的范式、其驱动力以及由此产生的、可被统计描述从而可被利用的股票价格模式，将在本章中阐述。本章既为全书画上句号，也为未来数年后待书写的历史铺垫背景。

少数拥有长期且卓越业绩记录的统计套利从业者继续带来合理到良好的回报，而大多数人如前几章所述已经失败。这一证据支持以下两个论断：（a）传统统计套利机会并未被完全摧毁，以及（b）新机会正在产生和发展，尽管只有内部信息才能揭示这些证据各自在多大程度上支持上述论断。对股票价格历史公开记录的分析强烈表明，从高频交易（High-Frequency Trading）中——即日内交易——获取超额回报的机会是巨大的。从贯穿全书的讨论中可以清楚地看出，利用这一机会需要不同于传统均值回归（Mean Reversion）类型的模型。其中一些模型将在本章后文描述。

日内股票价格运动的模式显示的不是回归而是动量（Momentum）。日内也存在回归模式，但这些模式似乎难以预测（尽管有人声称在此取得了成功）；它们对广泛的投资组合间歇性地发生，且其前兆信号不易识别。事实上，将这种运动标记为回归可能是不恰当的；反转（Reversal）也许更能说明这种动态。这一区别至关重要。回归过程假设存在一个潜在的均衡，价格（或相对价格）在偏离该均衡后倾向于回归（即爆米花过程）。均衡力量是可以被识别的。趋势和反转过程则没有这种潜在均衡的假设；相反，该过程在一个方向上持续运动较长或较短的时间段，然后转向另一个方向，两次运动之间没有强关联（一个无记忆的切换过程）。描述和评估的关键在于方向性运动的持续时间和幅度：它们持续的时间足够长（想象足够多的时间步长，每一步都能被人观察到），且运动幅度足够大，以至于在考虑到转折点识别所需滞后的情况下，能够被系统化地利用。

成功建模的关键在于理解驱动趋势形成的市场力量。逐分变动（Penny Moves）是一个重要因素，它已经消除了价格摩擦，消除了历史上对反复出现的（因此累计幅度很大的）运动的天然初始阻力。更复杂的因素是，随着更多交易在电子交易所和第10章所述的经纪公司交易程序中自动撮合，人类专家正越来越多地从定价过程中退出。最重要的是那些"智能"交易引擎，以及作为VWAP（成交量加权平均价）或TWAP（时间加权平均价）被预先执行的大量交易。老派的技术分析（Technical Analysis）可能在利用新的日内趋势模式方面奇怪地保留了一些效力；但最大的成功将属于那些在其建模中融入了底层驱动力量知识和算法交易（Algorithmic Trading）策略的人。

远离潜在的均衡力量，由人们对公司前景的短期和长期公允估值判断所驱动的新范式，是一种冷静的——漠不关心的——基于规则的系统，不断地探测其他类似的实体。这一过程是机械的，就像地质过程中水寻找最低点一样。然而在这里，规则是由人类建模者而非物理定律定义的，而且它们是可变的。噪声无处不在，因为人类交易者仍然直接占据了相当大一部分市场活动，并且发起了所有交易。尽管存在噪声，新的均衡力量所寻找的不是公平的相对价格，而是公平的（由参与实体共同接受的）市场出清。这种新范式可能是向古老的经济学范式的回归（!!!）：完全竞争（Perfect Competition）。沿着这一思路，人们可能会联想到动态蛛网算法、博弈论策略，以及行为金融学（Behavioral Finance）研究可能需要的重新定位。

波动性将继续被算法所消耗。不再是在纽约证券交易所（NYSE）大厅里人与人面对面的交易，也不再是电子市场上人-屏幕-人式的交易，而是算法与算法之间的交易。围绕交易的大部分情绪被移除，随之而去的还有波动性。然而，在聚焦于算法的同时，我们不能忘记人才是系统的驱动力。随着交易由运行在极高速计算机上的算法管理，那些被设计为超越被动市场参与、走向主动市场决定的算法可能会做什么？也许是探测其他算法的弱点，寻找利用天真的机会，或者误导其做出错误判断。这是战争的另一种名称。对某些管理者来说，这种吸引力和对某些程序员来说的挑战是不可抗拒的。

当然是推测，我想。

11.1 灾变过程（Catastrophe Process）#

自2004年初以来，价差运动被观察到呈现一种不对称过程，其中发散是缓慢而连续的，而收敛——即旧称的"均值回归"——则快得多，相比之下甚至是突然的。收敛不一定是"回归均值"，尽管它朝着局部均值的适当方向运动。前两个特征与爆米花过程形成对比，后者表现出更快地偏离正常状态和更慢的回归。第三个特征，即回归潜在均值的程度，也区分了这两种过程：在新出现的过程中，回调运动的幅度比爆米花过程的情况变化更大。

现在我们进入了定义的泥沼，因此需要仔细审视和详细阐述。

用图11.1对比经典爆米花过程和新过程。新过程的显著特征是：从局部均衡缓慢、平滑地发散；快速回归到先前的均衡；*仅部分回归（在大多数情况下）；连续多次运动描绘出一个远离潜在均衡的实质性局部趋势。（后者如同所有原型图示一样，被描绘为一个恒定水平。在实践中，它叠加在长期趋势运动之上——对于上升趋势，将页面逆时针旋转几度即可看到该原型。）

**图11.1 (a) 爆米花过程的原型，显示向均值回归 (b) 新原型：灾变过程

这一新"灾变"模型的关键偏离在于，在经典描绘的足够局部以至于被视为恒定的期间内出现了局部趋势。局部趋势（趋势中的趋势）*现在必须被描绘并正式纳入分析，因为它既是机会驱动力的一部分，也是成功利用新回归性运动的关键。它不能被视为叠加在潜在（爆米花）过程上的噪声而被忽略。

"回归"幅度的变化，以及在更大的方向性转变之前同一方向上的多次运动（单独的或再次多个小事件），是由算法交易的交互作用驱动的。（可能还有其他驱动因素，但目前它们仍然难以捉摸。）耐心的算法在价格逐分地反复运动时会放松——这种运动是专家们在转向十进制化后热衷于跟踪的，并且无疑已被编入某些算法。当tick size还很实质性（八分之一）时对运动的某种惯性，现在变成了对逐分运动的急切追求。当人类交易者仍然主导订单流时，逐分交易最初是极其有利可图的。算法的耐心和纪律取代了交易者的直接参与，改变了交互作用的动力学。其结果——现在看来已经清晰——就是我们所描述的灾变运动。

请注意，将爆米花过程模型应用于灾变过程的相对价格演变所带来的含义：零回报。

一个自然要问的问题是，在图11.1中A-C所涵盖的时间尺度之外更长的时间尺度上会发生什么？刚才给出的描述——在一个方向上的连续运动被部分回调打断，然后基本上在相反方向上重复，如图11.2所示，以及图11.3中的变体——听起来不过是爆米花过程的更清晰聚焦，仿佛人们只是放大了倍率来看到更多无趣的、模糊画面的、不经济的细节。正确的解释是延长时间尺度，使爆米花过程上的微观运动在时间上变得与原始爆米花运动本身同样重要。因此，爆米花运动可能需要多达六次（甚至更多）次灾变运动才能完成——在动态市场中这是很长时间。即使在这些理想条件下，爆米花的回报也减少了数倍。但真正的图景，回到图11.1，情况严重得多。在刚才建议的长时间段内，局部均值的偏移大到不能被忽略，从而使基本的爆米花过程失效。最好的情况下，结果分布在一个范围内，其中无趣的数值大大减损了有趣的数值，如图11.4所示，将一个可利用的结构转变为教科书或期刊上的好奇案例。在延长的持续时间内，赌注变成了基本面主导的博弈；对于统计爆米花过程

**图11.2 展开的爆米花运动，详细显示灾变运动

**图11.3 展开爆米花运动的变体

**图11.4 展开的爆米花运动产生可变结果

——而非以基本面分析为基础时——预测能力就会蒸发，回报也随之消失。

11.2 灾变预测（Catastrophic Forecasts）#

与爆米花过程的预测相比，灾变回归的幅度无法被准确预测。但两个系统结果的巨大差异——爆米花应用于爆米花数据，灾变应用于灾变数据——界限在哪里？假设2002年之前为爆米花，2004年中期之后为灾变，中间18个月被变革的干扰性影响所主导——意味着对于大量赌注，统计量 R^(2) 是相似的。这一观察对交易的意义在于，如果合理时期内的赌注数量相似且两组赌注的总体差异也相似，那么预期回报率也将类似。当然，现实不会如此顺从地直截了当。由于灾变过程比爆米花过程更准确地描述了价差运动，价差波动率的总体水平一直在下降（见第9章）。2003年之前，当爆米花过程有效表征价差运动时，波动率几乎是2004年底灾变过程作为更准确模型时的两倍。这些结果并非巧合。两者都是由交易算法日益增长的市场渗透所驱动的（如第10章所述）。

总体方差的减少，而模型预测捕捉到相似的比例——乍一看，这是回报与方差收缩成比例下降的配方。但表面也在改变，表现为更短持续时间的运动和更高的运动频率。由此带来的赌注数量增加抵消了单笔赌注的较低收入。这只是部分抵消，而增加的赌注数量所带来的交易成本又反过来抵消了它。经纪和交易技术费用的持续下降压力过去是、将来也必将是一个不可避免的结果。

此时要回答的关键问题是，系统化地利用灾变信号进行交易，如何才能产生理想的经济结果？

理想情况下，人们希望在灾变跳跃发生之前准确识别其开始，留出足够时间在无市场冲击的情况下进行赌注，并在运动结束后尽快识别其结束，以最大化捕获灾变收益。迄今为止，这两个识别任务都被证明不容易，但基于持续时间度量的近似方法已经建立。

回到图11.5所示的灾变原型——增长和回落（或如果你喜欢对立式的回归，称之为下降和跳跃）。聚焦于灾变运动的积累过程，可以识别一个持续时间规则，在趋势开始发展后的 *k 个周期发出赌注入场信号。趋势的开始只有在运动开始几个周期后才能被得知。统计分析揭示了灾变回调之前趋势持续时间的分布，并在该分布的固定点发出赌注入场信号。第八十百分位数是一个好的操作规则。

**图11.5 灾变运动原型

统计套利 on Yuunagi Library

前言

第1章 · 蒙特卡洛还是破产

第1章 蒙特卡洛还是破产#

1.1 起源#

1.2 何去何从？——隐喻#

第2章 · 统计套利

第2章 统计套利#

2.1 引言#

2.2 噪声模型（Noise Models）#

2.2.1 反向交易#

第3章 · 结构模型

第3章 结构模型#

3.1 引言#

3.2 正式预测函数#

3.3 指数加权移动平均#

第4章 · 回归定律

第4章 回归定律#

4.1 引言#

4.2 模型与结果#

4.2.1 75% 法则#

第5章 · 高斯不是回归之神

第5章 高斯不是回归之神#

5.1 引言#

5.2 单峰与双峰#

5.2.1 干涸河流#

钟声依然#

但与回归无关#

5.3 有些钟声轰鸣#

第6章 · 股票间波动率

第6章 股票间波动率#

6.1 引言#

第7章 · 量化回归机会

第7章 量化回归机会#

7.1 引言#

7.2 平稳随机过程中的回归#

第8章 · 诺贝尔难题

第8章 诺贝尔难题#

8.1 引言#

8.2 事件风险#

8.2.1 价差收窄是否保证盈利？#

8.3 新风险因子的兴起#

8.4 赎回压力#

第9章 · 三位一体的麻烦

第9章 三位一体的麻烦#

9.1 引言#

9.2 十进制改革（Decimalization）#

9.2.1 欧洲的经验#

9.2.2 为魔鬼辩护#

9.3 统计套利被套利掉了#

9.4 竞争（Competition）#

第10章 · 黑箱崛起

第10章 黑箱崛起#

10.1 引言#

10.2 建模预期交易量与市场冲击#

10.3 动态更新#

10.4 更多黑箱#

10.5 市场通缩#

第11章 · 统计套利的复兴

第11章 统计套利的复兴#

11.1 灾变过程（Catastrophe Process）#

11.2 灾变预测（Catastrophic Forecasts）#

第1章蒙特卡洛还是破产#

第2章统计套利#

第3章结构模型#

第4章回归定律#

第5章高斯不是回归之神#

第6章股票间波动率#

第7章量化回归机会#

第8章诺贝尔难题#

第9章三位一体的麻烦#

第10章黑箱崛起#

第11章统计套利的复兴#