量子光学与量子涨落导论 on Yuunagi Library

前言

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

前言#

光的量子理论及其涨落被应用于量子理论基础、纳米技术、通信和引力波探测等广泛领域。本书的主要目的是为在研究生或高年级本科阶段学习过量子力学和经典电动力学的科学工作者介绍一些最基本的理论。或许本书还能提供一些不同的视角和一些在其他地方没有详细呈现的材料。

任何一本声称是量子光学与涨落的严肃导论的著作，都应当涵盖场量子化及其一些推论。在这个广阔领域中，哪些方面最合适、最具启发性，并非容易抉择。我主要撰写了那些具有基础性且可能具有持久重要性的主题，包括：自发辐射及其作为量子噪声源的作用；场涨落与涨落诱导力；涨落-耗散关系；以及光的一些独特的量子特性。我力求聚焦于本质的物理内容，在计算中倾向于使用海森堡绘景（Heisenberg picture），因为它常常能够沿着经典熟悉的思路提供解释。书中包含了一些可能令部分读者感兴趣的历史注记；这些以及其他补充性讨论以小号字体呈现。此外，书中还附有习题，供希望深入探讨部分内容的读者使用。

我感谢多年老友 Paul R. Berman、Richard J. Cook、Joseph H. Eberly、James D. Louck 和 G. Jordan Maclay，感谢他们在多年间就本书中的大量内容进行的讨论。Jordan 阅读了本书接近最终版本的大部分内容，并提出了深刻的评论和建议。同时感谢牛津大学出版社的 Sönke Adlung 和 Harriet Konishi 的耐心与鼓励。

Peter W. Milonni

新墨西哥州，洛斯阿拉莫斯

第1章 · 经典电动力学基础

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经典电动力学基础（Elements of Classical Electrodynamics）#

本章简要回顾了（主要是）经典电磁理论的若干方面，主要为全书其余部分提供背景和辅助，同时包含一些标准教材中不常见的小概念点。

1.1 电场与磁场（Electric and Magnetic Fields）#

电场 E 和磁感应场（magnetic induction field）B 的 Maxwell 方程组is：

$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho / \epsilon_{0}, \quad \text{or} \quad \oint_{S} \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} d S = \frac{1}{\epsilon_{0}} \int_{V} \rho d V = \frac{1}{\epsilon_{0}} Q,\tag{1.1.1} $$$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \quad \mathrm{or} \quad \oint_{S} \mathbf{B} \cdot \mathbf{n} d S = 0,\tag{1.1.2} $$$$ \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \quad \mathrm{or} \quad \oint_{C} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r} = - \frac{\partial}{\partial t} \int_{S} \mathbf{B} \cdot \mathbf{n} d S,\tag{1.1.3} $$$$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{J} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, \quad \mathrm{or} \quad \oint_{C} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{r} = \mu_{0} I + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} \oint_{S} \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} d S,\tag{1.1.4} $$

其中 $\rho$ 是电荷密度（electric charge density），J 是电流密度（electric current density），$c = 1 / \sqrt{\epsilon_{0} \mu_{0}}$ 是真空中的光速。场 E 和 B 的定义使得以速度 v 运动的点电荷 q 所受到的力为

第2章 · 原子与光：半经典理论

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原子与光：半经典理论（Atoms in Light: Semiclassical Theory）#

在本章中，我们将在电偶极近似（electric dipole approximation）和半经典辐射理论（semiclassical radiation theory）框架下阐述原子与光学场的相互作用。在半经典理论中，物质用量子力学处理，而场用经典 Maxwell 方程组描述。我们将展示，最熟悉的光电效应实验事实无需借助光的量子（光子）性质就能得到很好的描述。我们推导 Kramers–Heisenberg 色散公式，并回顾原子的二能级模型和光学 Bloch 方程——所有这些都在半经典理论范围内。作为第 3 章中场量子化的前奏，我们回顾黑体辐射的一些显著特征及其由 Einstein 做出的精彩分析，这为光的量子性质提供了一些最有力的证据。Einstein 的涨落公式被用于解释 Hanbury Brown–Twiss 实验中测量到的”光子聚束”（photon bunching），这标志着现代量子光学的开端。

2.1 原子-场相互作用（Atom–Field Interaction）#

为简单起见，考虑单电子原子。带负电 e 的电子和带正电 e 的原子核定义了一个电偶极矩 $\mathbf{d} = e \mathbf{x}$，其中 x 是从原子核指向电子的矢量。暂且假设原子核固定在点 $\mathbf{R} = 0$，并且电子位移 x 相比于所关注的场波长很小——这在光学波长下是极好的近似。那么，在外加电场 E 中原子的相互作用 Hamilton 量可以取为电偶极子形式：

$$ H_{\mathrm{I}} (t) = - \mathbf{d} \cdot \mathbf{E} (t)\tag{2.1.1} $$

这是经典电磁学中熟知的形式。d 是一个量子力学算符，而半经典理论中的电场 $\mathbf{E} ( t )$ 是一个指定的普通时间函数，而非算符。

在量子光学中，通常仅用原子的能级和跃迁电偶极矩来表征原子就足够了。令 $H_{0}$ 为电子在原子核 Coulomb 场中的 Hamilton 量，$H_{0}$ 的本征态和本征值分别记为 $| i \rangle$ 和 $E_{i}$：$H_{0} | i \rangle = E_{i} | i \rangle$。态 $| i \rangle$ 构成完备集，$\sum_{i} | i \rangle \langle i | = 1$，因此我们可以写出

第3章 · 电磁场的量子理论

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电磁场的量子理论 (Quantum Theory of the Electromagnetic Field)#

电磁场的哈密顿量是一组（通常是无限多个）无耦合谐振子的哈密顿量。为了以最简单的方式”量子化”场，我们将这些谐振子的坐标和动量视为服从正则对易关系 (canonical commutation relations) 的算符。具有确定场能量的态——场哈密顿量的本征态——是具有确定光子数的态。尽管这些态具有基本重要性，但它们并不能描述来自恒星、灯、激光器或任何其他常见光源的光。

场谐振子的不同量子态意味着具有不同干涉和统计性质的不同光的量子态。在本章中，我们量子化场，并为后续章节中物质-场相互作用的完全量子理论处理奠定基础。我们特别考虑为此目的最重要的光态——热态 (thermal states)、相干态 (coherent states) 和真空态 (vacuum states)——并推导它们的一些统计性质。我们还涉及一些与量子电动力学一致性及其概念框架相关的基础性问题。

3.1 谐振子 (The Harmonic Oscillator)#

我们首先简要回顾谐振子的量子力学，其哈密顿量 (Hamiltonian) 为

$$ H = \frac{1}{2} (p^{2} + \omega^{2} q^{2})\tag{3.1.1} $$

其中频率为 $\omega$，单位质量。$q$ 和 $p$ 分别是（厄米的）坐标算符和动量算符，满足对易关系 $[ q , p ] = i \hbar$

直接从海森堡运动方程 (Heisenberg equations of motion) 出发，无需解出它们的解，就可以看出 $H$ 的本征值形成一系列等间距的能级：将 $H$ 的本征值记为 $E_{0} , E_{1} , E_{2} , . . . . ,$ ，本征态记为 $\left| E_{n} \right.$ ，矩阵元 $\langle E_{m} | q | E_{n} \rangle$ 和 $\langle E_{m} | p | E_{n} \rangle$ 分别记为 $q_{m n}$ 和 $p_{m n}$。那么，海森堡方程 $p = \dot{q} = - ( i / \hbar ) ( q H - H q )$ 给出

第4章 · 相互作用哈密顿量与自发辐射

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相互作用哈密顿量与自发辐射#

在第2章中，原子-场相互作用是在电偶极近似下表述的。原子用量子力学处理，场用经典理论处理。这种半经典方法从根本上说是不自洽的：与带电粒子相关的可观测量满足不确定关系，而场的可观测量则不然。本章中，原子和场都将按照量子理论自洽地描述。我们重点关注自发辐射——太阳大部分光线的起源、光子学中一些最重要噪声效应的来源，也是最常被引用来证明半经典辐射理论不充分的现象之一。

在量子光学中，以及在更一般的非相对论性量子电动力学中，使用电偶极形式的哈密顿量通常比使用更基本的"最小耦合"形式更为方便。我们首先重新审视这些哈密顿量及其等价性，不过这次是在量子化场的情形下。

4.1 原子-场哈密顿量：为什么是最小耦合？#

在经典电动力学中，电荷 e、质量 m 的点粒子在电磁场中的相互作用哈密顿量是通过将自由粒子哈密顿量中的线性动量 p 替换为 ${\bf p} - e {\bf A}$ 得到的，其中 A 是矢势（vector potential）。换句话说，动能项 $ {\mathbf{p}} ^{2} / 2 m$ 被替换为 $( {\bf p} - e {\bf A} ) ^{2} / 2 m$ ，由此得到相互作用哈密顿量（第2.2节）

$$ H_{I} = - \frac{e}{m} \mathbf{A} \cdot \mathbf{p} + \frac{e^{2}}{2 m} \mathbf{A} ^{2}.\tag{4.1.1} $$

由于下面将要说明的原因，这种通过将 p 替换为 ${\bf p} - e {\bf A}$ 来获得相互作用哈密顿量的做法被称为最小耦合（minimal coupling），尽管早在它被称为最小耦合之前就已经被使用了。最小耦合哈密顿量中的动量 $\mathbf{p_{\omega}} ( = m \mathbf{v} + e \mathbf{A} )$ 是坐标 x 的正则共轭动量。如果拉格朗日量不依赖于 x，该动量就是守恒量。我们将(4.1.1)作为经典电动力学中的相互作用哈密顿量，因为由此可以导出正确的洛伦兹力定律 $\mathbf{F} = e ( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} )$ 。在（非相对论性）量子电动力学中，我们直接沿用相同的哈密顿量，但将 x、p 和 A 视为（厄米）算符。

第5章 · 原子与光：量子理论

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原子与光：量子理论#

在本章中，我们将原子-场相互作用的量子理论应用于"外"场在原子里感生跃迁的例子。吸收与受激发射被证明是入射场与原子散射的场之间的干涉结果。在旋波近似中，我们建立了一个二态原子与单模场的相互作用模型。这个Jaynes-Cummings模型最初是为了"阐明辐射的量子理论与半经典理论之间的关系"而发展的，它揭示了由于场的"颗粒状"光子特征而产生的独特量子效应。¹

通过对角化Jaynes-Cummings哈密顿量得到的"缀饰态"（dressed states）在处理共振原子-场相互作用中非常有用，包括计算由相干单色场驱动的二态原子的辐射谱。我们利用缀饰态推导了共振荧光光谱的一些基本特征，然后计算了光谱以及计数原子散射辐射光子的符合率。在共振荧光中两个光子不能同时被计数——光子反聚束（photon anti-bunching）——这一事实无法在经典电磁理论中得到解释。

虽然半经典辐射理论、Bloch方程以及第2章中讨论的速率方程为激光-物质相互作用和光谱学的大多数实际应用提供了理论框架，但许多当前和预期的应用需要考虑光的量子本质，其中一些应用如果没有场量子化将是不可想象的。本章中考虑的腔量子电动力学、共振荧光、光子反聚束及相关量子效应，为原子与场相互作用中的一些独特量子力学效应提供了概念上具有启发性的例子。

本章最后部分聚焦于量子理论的一个标志性概念：纠缠。我们计算了原子级联跃迁（cascade transition）中发射光子的偏振关联，这是纠缠的一个例子，在检验量子理论基础本身的实验中一直是最具影响力的实验之一。

5.1 光学Bloch方程的期望值形式#

现在我们回到海森堡运动方程(4.5.1)，考虑初始态 $| \Psi \rangle = | \Psi_{\mathrm{atom}} \rangle \otimes | \Psi_{\mathrm{field}} \rangle$ 上的期望值，其中场不处于其零点真空态：

$$ \begin{array}{r l} & {\langle \dot{\sigma} (t) \rangle = - i \omega_{0} \langle \sigma (t) \rangle - i \frac{d_{12}}{\hbar} \big \langle \sigma_{z} (t) E_{0} ^{(+)} (t) + E_{0} ^{(-)} (t) \sigma_{z} (t) \big \rangle} \\ & {\qquad - i \frac{d_{12}}{\hbar} \big \langle \sigma_{z} (t) E_{\mathrm{RR}} ^{(+)} (t) + E_{\mathrm{RR}} ^{(-)} (t) \sigma_{z} (t) \big \rangle} \\ & {\qquad \cong - i (\omega_{0} - i \beta) \langle \sigma (t) \rangle - i \frac{d_{12}}{\hbar} \big \langle \sigma_{z} (t) E_{0} ^{(+)} (t) + E_{0} ^{(-)} (t) \sigma_{z} (t) \big \rangle} \end{array}\tag{5.1.1} $$

其中我们对辐射反应场（自发辐射）的效应采用了马尔可夫近似（Markovian approximation）。我们定义 $\beta = A_{21} / 2$ ，并将任何（重正化的）辐射频移包含在 ω₀ 的定义中。

第6章 · 涨落、耗散与噪声

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涨落、耗散与噪声#

耗散不可避免地伴随着涨落（fluctuations），正如我们在黑体辐射和自发发射中看到的那样（见第2.8节和第4.5节）。耗散和涨落之所以相关，是因为它们有共同的起源。例如，在自发发射中，原子与电磁场耦合中的耗散性辐射反作用与场的量子涨落相关。在悬浮于流体中的粒子的Brown运动中，粒子在流体中运动时会受到一个拖曳力，这个耗散力与粒子因与流体分子碰撞而经历的涨落相关。耗散与涨落之间的关系被形式化为涨落-耗散定理（fluctuation-dissipation theorem）。

正如第2.8节所指出的，耗散与涨落之间关联的第一个例子以及一般涨落-耗散定理的前身，出现在Einstein关于Brown运动和黑体辐射的工作中。我们从Einstein的Brown运动理论的教学式回顾开始本章。这引导我们初步介绍Fokker-Planck和Langevin方法对一般类型”Brown运动”的处理——这些运动涉及涨落和耗散。我们讨论这两种方法的等价性，然后推导（Ford-Kac-Mazur）量子Langevin方程。接下来我们将注意力转向Nyquist关于Johnson噪声的开创性工作，以及它以Callen-Welton涨落-耗散定理形式的推广。我们讨论该定理的不同表达式及其对与热库相互作用的谐振子的应用，然后讨论涨落与耗散相互作用的几个例子，包括（Ford-O’Connell）辐射反作用理论、激光线宽的基本下界，以及线性（相位不敏感）放大器、衰减器和分束器的量子理论。

6.1 Brown运动与Einstein关系#

Robert Brown并不是第一个观察到悬浮在流体中的微小粒子（约1微米）不规则运动的人。他1827年的发现是，无机物和有机物的粒子都会发生这种运动，从而消除了这种运动与生命物质有关的观念。Einstein在1905年，以及后来的von Smoluchowski在1906年，发展了解释Brown运动的理论，将其视为悬浮粒子与周围流体分子碰撞的结果。该理论当然是统计性质的，因为它涉及巨大数量的处于随机热运动的撞击分子。

Einstein并不是第一个提出Brown运动可能由分子撞击引起的人，但他是第一个以令人满意的统计方式处理这些撞击的人，这与一些早期反对分子撞击解释的论证形成对比。^{1} 一种反对意见是，根据统计力学，质量为m的悬浮粒子在与温度为$T$的流体热平衡时，均方速度为$3 k_{B} T / m$，这通常意味着比Brown运动中观测到的速度大得多的速度；这个论证将在第6.4.1节中讨论。在这里，我们将简要总结Einstein理论的一些主要思想和含义。

Einstein引入一个时间间隔 $\tau$，它比任何观测时间间隔都小，但足够大，使得悬浮粒子在两个连续时间间隔 $\tau$ 内的位移不相关。他定义了一个分布 $\Phi ( \Delta )$，使得在时间间隔 $\tau$ 内经历了 $\Delta$ 到 $\Delta + d \Delta$ 之间位移的悬浮粒子的比例为 $\Phi ( \Delta ) d \Delta$，其中 $\Phi ( \Delta )$ 在 $\Delta = 0$ 处尖锐地 peaked，且

$$ \int_{- \infty} ^{\infty} d \Delta \phi (\Delta) = 1, \quad \text{其中} \phi (- \Delta) = \phi (\Delta).\tag{6.1.1} $$

由 $\Phi ( \Delta )$ 的定义可知，粒子在 $t + \tau$ 时刻x坐标在x和 $x + dx$ 之间的概率 $P ( x , t + \tau ) d x$ 满足

第7章 · 偶极相互作用与涨落诱导力

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偶极相互作用与涨落诱导力#

原子和分子通过它们与电磁场的耦合相互作用。在本章中，我们考虑色散相互作用（dispersion interactions），之所以称为色散相互作用，是因为它们依赖于决定折射率的电偶极矩阵元（electric dipole matrix elements）和极化率（polarizabilities）。在这些相互作用中，每个原子处的场是受其他原子、宿主介质或材料边界影响的涨落场（fluctuating field），正如我们在本章第一部分讨论的普遍存在的范德瓦尔斯相互作用（van der Waals interaction）以及密切相关的卡西米尔效应（Casimir effects）。然后我们讨论色散力的"涨落诱导"特性、基于零点能（zero-point energy）的推导，以及可归因于量子涨落和零点能的其他效应。我们回顾了有影响力的 Lifshitz "固体间分子吸引力"理论的基本特征，并通过涨落-耗散定理（fluctuation-dissipation theorem）将其与色散和耗散介质中的量子化场和零点能理论联系起来。激发态分子的相互作用包括共振偶极-偶极相互作用（resonance dipole-dipole interaction）和 Förster 共振能量转移（Förster resonance energy transfer），我们在第7.9节和7.10节中讨论其相关内容。最后，我们考虑腔和介电介质对一些基本辐射过程的影响。

7.1 范德瓦尔斯相互作用#

早在1873年的论文中，我就得出结论：分子间的吸引力随距离急剧减小，实际上这种吸引力只在分子大小量级的距离上才有显著值。 Johannes D. van der Waals¹

原子和分子即使处于基态且没有化学键合的可能性时也会相互作用。例如，惰性气体原子不形成化学键，但它们在适当条件下存在液相和固相的事实意味着它们之间必须存在吸引力，正如 van der Waals 在其对理想气体状态方程修正的工作中所假设的那样。²

van der Waals 假设每个分子具有其他分子无法穿透的有限体积。任何单个分子可用的体积为 $V - b$，其中 V 是气体的总体积，b 取决于分子数 $\mathcal{N}$ 和每个分子的体积。分子间的吸引力使气体对容器壁的压力减小大约 $\mathcal{N} ^{2} / V^{2}$ 的量（近似正比于分子对的数量）。因此，气体施加的压力为 $P_{\mathrm{i d e a l}} - a / V^{2}$ ，其中 $a$ 表征分子间吸引力，$P_{\mathrm{i d e a l}}$ 是无吸引力时的压力，而根据 van der Waals，一摩尔气体的理想气体状态方程 $P V = R T$ 应替换为

附录

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Appendices#

A. Retarded Electric Field in the Coulomb Gauge#

The expression (1.3.46) for the electric field derived in the Coulomb gauge is identical to the manifestly retarded expression obtained in the Lorentz gauge, in spite of the appearance of the static, nonretarded Coulomb field. To show this, it is convenient to write

$$ \mathbf{E} (\mathbf{r}, t) = \int_{- \infty} ^{\infty} d \omega \tilde{\mathbf{E}} (\mathbf{r}, \omega) e^{- i \omega t}\tag{A.1} $$

and, likewise, for $\rho ( \mathbf{r} , t )$ and $\mathbf{J} ( \mathbf{r} , t )$ . Then, (1.3.45) and (1.3.46) imply

参考文献

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Bibliography#

Allen, L. and J. H. Eberly, Optical Resonance and Two-Level Atoms, Dover Publications, Mineola, New York, 1987.

Ballentine, L. E., Quantum Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Clifs, New Jersey, 1990.

Berman, P. R., ed., Cavity Quantum Electrodynamics, Academic Press, Boston, 1994.

Berman, P. R., Introductory Quantum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin, 2018.

Berman, P. R. and V. S. Malinovsky, Principles of Laser Spectroscopy and Quantum Optics, Princeton University Press, Princeton, 2011.

Bohren, C. F. and D. R. Hufman, Absorption and Scattering of Light by Small Particles, Wiley-Interscience, New York, 1998.

索引

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Index#

3j symbol, 93, 956j symbol, 94, 95

Abraham force, 46, 52 Abraham momentum density, 40, 46, 51 Abraham photon momentum, 452 Abraham–Lorentz equation, 372, 375, 376, 378 absorption as destructive interference efect, 271–273 cross section, 108 amplification, 379 noise, 379 amplified spontaneous emission, 388, 390, 397–401 anomalous dispersion, 105 anti-normal order, 174, 179, 181, 388, 396, 519 argument theorem, 420, 453, 454, 464, 511 atomic cascade transition, 301, 304, 305, 309 attenuation coeficient, 55, 59, 61–64, 66, 67 Rayleigh scattering, 55, 59, 61–64 Thomson scattering, 66, 67