涨落、耗散与噪声#

耗散不可避免地伴随着涨落（fluctuations），正如我们在黑体辐射和自发发射中看到的那样（见第2.8节和第4.5节）。耗散和涨落之所以相关，是因为它们有共同的起源。例如，在自发发射中，原子与电磁场耦合中的耗散性辐射反作用与场的量子涨落相关。在悬浮于流体中的粒子的Brown运动中，粒子在流体中运动时会受到一个拖曳力，这个耗散力与粒子因与流体分子碰撞而经历的涨落相关。耗散与涨落之间的关系被形式化为涨落-耗散定理（fluctuation-dissipation theorem）。

正如第2.8节所指出的，耗散与涨落之间关联的第一个例子以及一般涨落-耗散定理的前身，出现在Einstein关于Brown运动和黑体辐射的工作中。我们从Einstein的Brown运动理论的教学式回顾开始本章。这引导我们初步介绍Fokker-Planck和Langevin方法对一般类型”Brown运动”的处理——这些运动涉及涨落和耗散。我们讨论这两种方法的等价性，然后推导（Ford-Kac-Mazur）量子Langevin方程。接下来我们将注意力转向Nyquist关于Johnson噪声的开创性工作，以及它以Callen-Welton涨落-耗散定理形式的推广。我们讨论该定理的不同表达式及其对与热库相互作用的谐振子的应用，然后讨论涨落与耗散相互作用的几个例子，包括（Ford-O’Connell）辐射反作用理论、激光线宽的基本下界，以及线性（相位不敏感）放大器、衰减器和分束器的量子理论。

6.1 Brown运动与Einstein关系#

Robert Brown并不是第一个观察到悬浮在流体中的微小粒子（约1微米）不规则运动的人。他1827年的发现是，无机物和有机物的粒子都会发生这种运动，从而消除了这种运动与生命物质有关的观念。Einstein在1905年，以及后来的von Smoluchowski在1906年，发展了解释Brown运动的理论，将其视为悬浮粒子与周围流体分子碰撞的结果。该理论当然是统计性质的，因为它涉及巨大数量的处于随机热运动的撞击分子。

Einstein并不是第一个提出Brown运动可能由分子撞击引起的人，但他是第一个以令人满意的统计方式处理这些撞击的人，这与一些早期反对分子撞击解释的论证形成对比。^{1} 一种反对意见是，根据统计力学，质量为m的悬浮粒子在与温度为$T$的流体热平衡时，均方速度为$3 k_{B} T / m$，这通常意味着比Brown运动中观测到的速度大得多的速度；这个论证将在第6.4.1节中讨论。在这里，我们将简要总结Einstein理论的一些主要思想和含义。

Einstein引入一个时间间隔 $\tau$，它比任何观测时间间隔都小，但足够大，使得悬浮粒子在两个连续时间间隔 $\tau$ 内的位移不相关。他定义了一个分布 $\Phi ( \Delta )$，使得在时间间隔 $\tau$ 内经历了 $\Delta$ 到 $\Delta + d \Delta$ 之间位移的悬浮粒子的比例为 $\Phi ( \Delta ) d \Delta$，其中 $\Phi ( \Delta )$ 在 $\Delta = 0$ 处尖锐地 peaked，且

由 $\Phi ( \Delta )$ 的定义可知，粒子在 $t + \tau$ 时刻x坐标在x和 $x + dx$ 之间的概率 $P ( x , t + \tau ) d x$ 满足

对小时间 $\tau$ 和小位移 $\Delta$ 展开幂级数：

由(6.1.1)和 $\Phi ( \Delta )$ 在 $\Delta = 0$ 处尖锐峰值的假设，

Einstein 指出(6.1.4)”是著名的扩散微分方程，我们认识到 D 是扩散系数”，并给出了该方程”从一点向外扩散问题”的解：^{2}

用（Dirac）delta函数——1905年物理学家尚未使用它——表示，这是满足以下条件的扩散方程(6.1.4)的解：^{3}

注意 $\langle x \rangle = 0$，且

Einstein指出”因此平均位移 $[ \langle x^{2} \rangle^{1 / 2} ]$ 正比于时间的平方根。”^{4}

他假设粒子可以视为与温度为 $T$ 的流体热平衡的理想气体，并得到扩散系数的表达式

其中 a 是悬浮粒子的半径，$\mu$ 是流体的粘滞系数。分母来自作用在半径为a的球形粒子上的拖曳力 $F = - ( 6 \pi \mu a ) v = - \gamma v$ 的Stokes定律，该粒子以速度v相对于粘度为 $\mu$ 的流体运动。

方程(6.1.8)将宏观尺度上可观测的效应——扩散——与单个微观粒子的随机行走联系起来，具体而言，是与这种随机运动相关的均方位移联系起来。方程(6.1.9)则将这种涨落效应与平均耗散力联系起来。人们普遍认识到，”Einstein关系”(6.1.8)和(6.1.9)的意义远远超出了悬浮粒子在流体中不规则运动的原始背景。特别是，Einstein在分析Brown运动时发现的涨落与耗散之间的关系最终被推广到广泛的现象中，并被形式化为”涨落-耗散定理”。

关系(6.1.9)可以从质量为m、数密度为n的悬浮粒子的扩散和漂移之间的平衡推导出来。如果粒子除了拖曳力 $\gamma v$ 之外还受到力 $F = - d V / d x$（例如重力），则沿x方向将有一个漂移速度 $v_{d} = F / \gamma$。粒子还由于流体分子随机撞击而发生扩散；根据Fick定律，沿x方向由扩散引起的粒子通量为 $J = - D d n / d x$，其中D是扩散系数。在平衡状态下，没有净粒子通量：

$$

• D \frac{d n}{d x} + n v_{d} = - D \frac{d n}{d x} - n \frac{1}{\gamma} \frac{d V}{d x} = 0.\tag{6.1.10} $$

在热平衡中，$n ( x ) \propto \exp [ - V ( x ) / k_{B} T ]$，因此 $D = k_{B} T / \gamma$。这通常写为 $D = B k_{B} T$，其中 $B = 1 / \gamma$ 是迁移率（mobility）。

"随机行走"（random walk）这一术语由数学家 Karl Pearson 在 Einstein 关于 Brown 运动的第一篇论文发表的同一年（1905年）引入。在写给《自然》杂志的一封信"随机行走问题"中，Pearson 提出了寻找（二维）随机行走问题的概率分布的问题。^{5} Rayleigh 回应指出，该问题"与 N 个等周期单位振幅、相位随机分布的振动的合成问题相同"，他早在1880年和1899年发表的论文中就已经解决了大 N 情形下的这一问题。^{6} 他对（二维）随机行走问题的解在形式上类似于(6.1.6)，促使 Pearson 发表了一句著名的评论："Rayleigh 勋爵的解给我们的教训是，在开阔地带，要找到一个尚能站稳的醉汉，最可能的位置就在他起点附近！"^{7}

Rayleigh 还推导了后来被称为 Fokker-Planck 方程的结果，该方程由 Fokker 和 Planck 在他们关于 Brown 运动的工作中重新推导出来。^{8}

Einstein 关于 Brown 运动中均方位移与粘度成反比、与时间成正比的预言很快得到了证实：Jean Perrin 及其学生"以完全无可挑剔的方式证实了不同位移概率 $P ( x , t )$ 的分布律。"^{9} Einstein 还建议，利用关系(6.1.9)和扩散常数 D 的测量可以确定 $k_{B}$，从而得到 Avogadro 常数 $N_{A}$。Perrin 等人在他们的测量中推断出的 $N_{A}$ 值在 $5.6 - 8.8 \times 10^{23}$ 范围内。^{10}

6.2 Fokker-Planck 方程#

Einstein 推导的扩散方程(6.1.4)是 Fokker-Planck 方程的一个特例。我们将简要回顾 Fokker-Planck 方程最简单例子的标准推导。

我们定义概率 $P ( x , t ) d x$ 表示粒子在时间 t 位于 x 和 $x + d x$ 之间的概率，以及位移概率 $W ( x , \xi ) d \xi \delta t$ 表示在时间间隔 $\delta t$ 内，位于 x 的粒子将沿 x 方向发生大小在 $\xi$ 和 $\xi + d \xi$ 之间的位移的概率。我们假设 $P ( x , t ) d x$ 满足直观上合理的主方程（master equation）：

右边第一项是由于所有可能的位移 $\xi$ 离开 x 而造成的"损失"率，第二项是由于所有可能的位移（$- \xi$）将粒子从 $x + \xi$ 带回 x 而造成的"增益"率。假设 $W ( x , \xi )$ 在 $\xi = 0$ 处尖锐地 peaked，且 $P ( x , t )$ 随 x 的变化足够缓慢，我们可以进行二阶 Taylor 级数展开：

我们得到 Fokker-Planck 方程作为主方程的近似：

Fokker-Planck 方程的这种推导与 Einstein 对扩散方程的推导类似。特别是，假定位移很小比很大更可能，因此 $W ( x , \xi )$ 被认为在 $\xi = 0$ 处强峰值。主方程(6.2.1)中隐含的假设是 $W ( x , \xi )$ 不依赖于粒子轨迹的过去历史，而只依赖于它"现在"的位置 x。换句话说，如第4章的自发发射理论一样，引入了 Markov 近似：主方程(6.2.1)中 P 的变化率不依赖于早期时刻的 P。根据这一近似，时间间隔 $\delta t$ 应理解为足够小以至于粒子不会发生显著位移，但又要足够大以至于可以应用 Markov 近似；像 Einstein 的 $\tau$ 一样，$\delta t) 应该小但不能太小。

Fokker-Planck 方程中带有 $A_{1} ( x )$ 和 $A_{2} ( x )$ 的项分别称为"漂移"（drift）项和"扩散"（diffusion）项。将 $A_{2} ( x )$ 与扩散关联的原因通过与扩散方程(6.1.4)的比较可以清楚地看出。如果 $W ( x , \xi ) = W ( x , - \xi )$，即正位移和负位移等可能，则漂移项为零；此时概率分布沿 x 方向没有净"漂移"。在 Einstein 的扩散方程推导中，类似地，由于他假设 $\Phi ( \Delta ) = \Phi ( - \Delta )$，因此也没有漂移。此外，他的 $\Phi ( \Delta )$ 与 $W ( x , \xi )$ 不同，不依赖于 x，所以他在(6.1.4)中得到的是 $D \partial^{2} P / \partial x^{2}$ 而非 Fokker-Planck 方程的扩散项。

我们现在简要回顾一个应用 Fokker-Planck 方程的例子。考虑在流体中进行（一维）Brown 运动的粒子，拖曳力为 $- \gamma v$，并假设粒子还受到恢复力 $- K x$。忽略粒子质量，平均拖曳力和恢复力的平衡意味着 $K x + \gamma \langle v ( x ) \rangle = 0$，即 $\langle v ( x ) \rangle = - K x / \gamma$。将这个 $\langle v ( x ) \rangle$ 取为 Fokker-Planck 方程中的 $A_{1} ( x )$，并将 $\langle x^{2} \rangle / \delta t = 2 D = $2 k_{B} T / \gamma$（见(6.1.8)和(6.1.9)）取为 $A_{2} ( x )$，我们得到

因此平衡分布 $( \partial P / \partial t = 0 )$ 满足

其解为（归一化使得 $\int_{- \infty} ^{\infty} P ( x ) d x = 1$）

这正是势能为 $K x^{2} / 2$ 的粒子在热平衡中的预期结果。^{11}

从含时 Fokker-Planck 方程(6.2.4)，

和

例如，方程(6.2.7)由以下推导得出：

经过分部积分，假设 $x^{2} P ( x , t )$ 和 $x \partial P ( x , t ) / \partial x$ 在 $x \to \pm \infty$ 时为零。对于 $K \to 0$，

与没有恢复力的情况(6.1.8)一致。当 $K t / \gamma \to \infty$ 时，$\frac{1}{2} K \langle x^{2} ( t ) \rangle \to \frac{1}{2} k_{B} T$，与能量均分定理一致。

含时 Fokker-Planck 方程的解描述了分布趋近其平衡形式的过程。例如，对于在 $t = 0$ 时位移 $x = x_{0}$ 的粒子，

当 $K t / \gamma$ 很大时，该式趋近于(6.2.6)。方程(6.2.7)和(6.2.8)当然也可以从(6.2.11)推导出来。^{12}

主方程及其 Fokker-Planck 近似很容易推广到处理多个空间维度。本节回顾的 Fokker-Planck 方程的简单推导假设主方程 Taylor 展开中的高阶项可以忽略。更准确地说，假设 $W ( x , \xi )$ 在 $\xi = 0$ 处尖锐地 peaked，即大幅度的位移极不可能发生，并且 $W ( x , \xi )$ 和 $P ( x , t )$ 随 x 的变化都足够缓慢，以至于二阶以上的导数可以忽略。

主方程本身也是一个近似。在量子力学背景下，Pauli 假设(2.1.9)中的系数 $c_{i} ( t )$ 具有随机变化的相位，从而引入了主方程。因此，时间演化中没有"非对角"贡献 $c_{i}^{*} ( t ) c_{j} ( t ) ( i \neq j )$。特别地，主方程描述的时间演化是不可逆的，因为它不具有 Schrödinger 方程描述的系统时间演化的时间反演对称性。在这个意义上，在非对角项可忽略的假设下推导出的速率方程(4.8.40)可以看作是一个主方程。

在写 Fokker-Planck 方程(6.2.4)时，我们假设平均速度已经"平衡"，使得恢复力等于拖曳力。在没有恢复力的情况下，平均速度为零。相反，假设我们允许在这种情况下速度随时间变化，并类比(6.2.3)写出速度分布 $P ( v , t )$ 的 Fokker-Planck 方程。假设漂移项 $A_{1} ( v ) = - ( \gamma / m )$（根据 $m \dot{v} = - \gamma v$ 的速度"位移"平均速率）和扩散系数 $D_{v}$，这个方程是

我们选择 $D_{v}$ 使得平衡解具有 Maxwell-Boltzmann 形式：

将其代入(6.2.12)并令 $\partial P / \partial t = 0$ 可得 $D_{v} = \gamma k_{B} T / m^{2}$，因此(6.2.12)变为

该方程在初始条件 $P ( v , 0 ) = \delta ( v - v_{0} )$ 下的解为

从这个解出发，或者直接从(6.2.14)出发并像上面推导 $\langle x ( t ) \rangle$ 和 $\langle x^{2} ( t ) \rangle$ 那样进行分部积分，我们得到对于初始速度 $v ( t = 0 ) = v_{0}$ 的粒子，

和

多时平均 $\langle v ( t_{1} ) v ( t_{2} ) \ldots v ( t_{n} ) \rangle$ 可以用类似的方式计算。考虑最简单的这种关联函数 $\langle v ( t_{1} ) v ( t_{2} ) \rangle$，其中 $t_{2} \geq t_{1}$，且粒子的初速度为 $v ( 0 ) = v_{0}$：

这里 $P ( v_{2} , t_{2} ; v_{1} , t_{1} )$ 是速度在 $t_{1}$ 时刻为 $v_{1}$、在 $t_{2}$ 时刻为 $v_{2}$ 的联合概率分布，具有因子化形式

其中 $P ( v_{2} , t_{2} | v_{1} , t_{1} )$ 是给定粒子在 $t_{1}$ 时刻速度为 $v_{1}$ 的条件下，$t_{2}$ 时刻速度为 $v_{2}$ 的概率。因子化(6.2.20)是 Markov 近似的结果：$P ( v_{2} , t_{2} ; v_{1} , t_{1} )$ 只依赖于 $t_{1}$ 时刻的"初始"速度 $v_{1}$，完全不依赖于更早时刻的速度。现在，由(6.2.15)得

和

于是，

$x ( t ) = x_{0} + \int_{0}^{t} d t^{\prime} v ( t^{\prime} )$ 的各阶矩可以通过更多计算得到。特别地，如果我们计算 $\langle [ x ( t ) - x_{0} ] ^{2} \rangle$，然后在 $t = 0$ 时动能为热平衡值 $\frac{1}{2} k_{B} T$ 的粒子系综上再取一次平均 $\langle \langle \cdot \cdot \cdot \rangle \rangle$，我们得到

与不考虑有限速度弛豫时间的近似(6.2.10)不同，这展示了一个从"弹道"区域 $( t \ll \tau_{c} )$（其中 $\langle \langle [ x ( t ) - x_{0} ] ^{2} \rangle \rangle$ 随时间二次增长）到扩散区域 $( t \gg \tau_{c} )$（其中 $\langle \langle [ x ( t ) - x_{0} ] ^{2} \rangle \rangle$ 仅随时间线性增长）的交叉。这将在第6.3节中讨论。

6.3 Langevin 方法#

Langevin 在 Einstein 和 von Smoluchowski 之后不久，发展了他自己的 Brown 运动现象学方法。他假设悬浮在流体中的质量为 m 的粒子受到一个拖曳力 $- \gamma v$ 以及一个由粒子与流体分子随机碰撞引起的随机力 $F_{L} ( t )$。^{13} 如果粒子不受任何其他力，描述粒子沿单一方向运动的 Langevin 方程为

我们假设

并且（其中 C 待定）

粒子与流体分子碰撞的有效随机性意味着平均而言没有净力作用在粒子上（见(6.3.2)）；更准确地说，假设对于在 $t = 0$ 时具有相同速度 $v_{0}$ 的粒子系综，$F_{L} ( t )$ 的平均值在所有时刻均为零。^{14} 方程(6.3.3)表明随机力 $F_{L} ( t_{1} )$ 和 $F_{L} ( t_{2} )$ 之间没有关联（$t_{1} \neq t_{2}$）。这也是一个合理的假设，因为粒子与流体分子的连续碰撞之间的关联——如果有的话——预期只发生在与 Brown 运动观测感兴趣的时间尺度相比非常短的时间间隔内。

对于 $t = 0$ 时速度为 $v_{0}$ 的粒子，

由(6.3.2)得 $\langle v ( t ) \rangle = v_{0} e^{- t / \tau_{c}}$。类似地，由(6.3.3)，

我们现在可以通过要求平衡动能 $\frac{1}{2} m \langle v^{2} ( \infty ) \rangle = C \tau_{c} / 4 m$ 具有能量均分值 $\frac{1}{2} k_{B} T$ 来确定 C：

因此

与(6.2.18)一致。同样，由(6.3.4)我们得到速度关联函数

与(6.2.24)一致，其中 $t_{2} \geq t_{1}$。

由(6.3.4)类似地可得，经过分部积分后，

因此，$\langle x ( t ) \rangle = x_{0} + v_{0} \tau_{c} ( 1 - e^{- t / \tau_{c}} )$，并且在利用(6.3.3)和(6.3.6)进行简单计算后，

对于 $t \ll \tau_{c}$，

而对于 $t / \tau_{c} \to \infty$，$[ x ( t ) - x_{0} ] \to v_{0} \tau_{c}$，且

与(6.1.8)一致。如果像第6.2节那样再取一次平均，将 $v_{0}$ 替换为0，将 $v_{0}^{2}$ 替换为能量均分值 $k_{B} T / m$，我们得到 $\langle \langle [ x ( t ) - x_{0} ] \rangle \rangle = 0$ 并精确地恢复结果(6.2.25)：

对于 $t \ll \tau_{c}$，

而对于 $t / \tau_{c} \to \infty$，$\langle [ x ( t ) - x_{0} ] ^{2} \rangle \to 2 D t$。

只是大约在2005年之后，Brown运动的”弹道”区域（均方位移正比于 $t^{2}$）才得以在实验上实现。在一项引人注目的实验中，一个玻璃珠（直径3微米）被激光束（”光镊”）悬浮在空气中。由珠子散射的光与未散射的激光之间的干涉产生的干涉图样随着粒子位移而变化，导致探测器上的强度差，该强度差用于监测珠子的位置。空气的低粘度使得 $\tau_{c}$ 比悬浮在液体中的粒子大得多，从而允许实现弹道区域 $( t \ll \tau_{c} )$。观察到了与气压无关（与扩散区域相反）的均方位移，且与(6.3.14)符合良好；测量到的瞬时速度分布与均方根速度 $\sqrt{k_{B} T / m} = 0.42$ mm/s 的 Maxwell-Boltzmann 分布非常一致。^{15}

练习6.1： 利用 Langevin 方程(6.3.1)，证明

assuming $t_{2} > t_{1} > 0$

6.3.1 高斯模型及其与Fokker-Planck方程的关系#

我们使用Fokker-Planck方程(6.2.12)和Langevin方程(6.3.1)得到了相同的均方速度(6.3.7)、速度关联函数(6.3.8)和均方位移(6.3.13)。问题在于，这些方程的解对于更复杂的平均值，特别是高阶矩，是否给出相同的结果。答案是肯定的，前提是我们对”Langevin力” $F_{L} ( t )$ 做一个额外的假设。¹⁶ 这个额外假设是 $F_{L} ( t )$ 是高斯的，即

它推广了(6.3.2)，并且

这些条件与初等高斯统计的联系并不明显，但通过回忆一个具有 $\langle x \rangle = 0$ 和 $\langle x^{2} \rangle = \sigma^{2}$ 的高斯概率分布 $p ( x )$,

其奇数矩为零，偶数矩全部可用二阶矩 $\sigma^{2}$ 表示：

这一事实使上述条件变得合理。类似地，关联函数(6.3.15)和(6.3.16)在 $F_{L}$ 个数为奇数时为零，而当 $F_{L}$ 个数为偶数时，它们仅依赖于二阶关联函数 $\left. F_{L} ( t_{i} ) F_{L} ( t_{j} ) \right.$ 。在对 $F_{L} ( t )$ 采用高斯假设后，满足Langevin方程(6.3.1)的”随机过程” $v ( t )$ 也是高斯的，因此其所有矩都由其一阶矩和二阶矩确定。这一断言的普遍证明与练习6.2中的例子遵循相同的思路。在采用(6.3.6)的识别后，从Langevin方程(6.3.1)推导出的统计性质将与从Fokker-Planck方程(6.2.12)及其（高斯）解(6.2.15)推导出的统计性质等价。

练习6.2： 利用(6.3.16)且 $n = 2$，即

以及Langevin方程(6.3.1)，证明

其中 $\sigma ( t )$ 由(6.2.22)定义。证明从Fokker-Planck方程也能得到相同结果。

6.4 Fourier表示、平稳性与功率谱#

周期为T的周期函数 $y ( t )$ 具有Fourier级数表示：

我们假设没有常数（”DC”）分量，因为 $y ( t )$ 的平均值为零，或者因为(6.4.1)实际上表示 $y ( t )$ 相对于其平均值的偏差。系数 $a_{k}$ 和 $b_{k}$ 由下式给出：

如果 $y ( t )$ 是一个随机变化量，例如Brown运动中粒子的位移或速度，那么显然它不可能是周期的。但在许多情况下，导致随机变化的基本物理过程本身不随时间变化。例如，悬浮在流体中的粒子速度的随机涨落是由与具有恒定均方速度的热平衡分子的碰撞引起的。粒子的速度的统计性质因此可以假定为平稳的（stationary）——它们不依赖于时间”原点”，而仅依赖于时间差。例如，根据(6.3.8)，当 $t_{1}$ 或 $t_{2}$ 远大于 $\tau_{c}$ 时，粒子的速度关联函数 $\left. v ( t_{1} ) v ( t_{2} ) \right.$ 仅依赖于时间差 $t_{2} - t_{1}$，而不单独依赖于 $t_{1}$ 或 $t_{2}$。类似地，黑体辐射的电场关联函数 $\langle \mathbf{E} ^{( - )} ( \mathbf{r} , t ) \cdot \mathbf{E} ^{( + )} ( \mathbf{r} , t + \tau ) \rangle$ 依赖于 $\tau$ 而非 t（回顾(3.9.12)）。相比之下，Brown运动中粒子位移的随机变化不是平稳的，如练习6.1所示。

如果其随机变化是统计平稳的，我们仍然可以将 $y ( t )$ 表示为Fourier级数，只需将时间 $T$ 取为任意大，并将系数 $a_{k}$ 和 $b_{k}$ 本身视为随机变量。$\langle y ( t ) \rangle = 0$ 意味着平均值 $\langle a_{k} \rangle = \langle b_{k} \rangle = 0$。例如，如果我们将 $y ( t )$ 取为Langevin随机力 $F_{L} ( t )$，则

更一般地，由(6.3.16)以及该方程右侧有 $1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2 n - 1)$ 项这一事实（见练习6.2），

而

这样的矩表征了高斯概率分布：由于特征函数

$a_{k}$ 的概率分布为（回顾(3.7.22)）

在我们的 $y ( t ) = F_{L} ( t )$ 例子中，$b_{k}$ 的概率分布显然具有相同的高斯形式和相同的 $\sigma^{2} ~ ( = 2 C / T )$。高斯概率分布适用于任何矩满足(6.4.4)和(6.4.5)的随机变量 $a_{k}$。

6.4.1 功率谱（谱密度）#

双时（自）关联函数为经典理论中刻画随机过程 $y ( t )$ 提供了最简单、最重要的方式之一。类似的关联函数在量子统计力学和量子电动力学中也频繁出现。例如，在第5.6节关于共振荧光的量子电动力学处理中，我们发现原子电偶极矩的双时关联函数决定了辐射功率，而其Fourier变换决定了功率谱。¹⁷ 在该例子中，原子除了受到外加场的作用外，还受到量子涨落的影响——部分归因于“真空”场，其作用类似于经典Brown运动理论中的Langevin力 $F_{L}$。¹⁸ 稳态偶极关联函数仅通过时间差依赖于两个时刻，同样地，在Brown运动情形中，当 $t_{1}$ 或 $t_{2}$ 足够大时，速度关联函数 $\left. v ( t_{1} ) v ( t_{2} ) \right.$ 也仅依赖于 $t_{2} - t_{1}$。现在我们将推导Wiener-Khintchine定理，该定理将平稳随机过程 $y ( t )$ 的“功率谱”与关联函数 $\langle y ( t ) y ( t + \tau ) \rangle$ 联系起来。¹⁹ 在量子理论中，算符 $p ( t )$ 和 $p ( t + \tau )$ 一般不对易，类似的关联可以用相似的方式推导。

我们将继续把 $\langle . . . \rangle$ 视为系综平均，并假设随机过程 $y ( t )$ 使得该系综平均等价于单个系综实现的时间平均。我们可以从Fourier级数(6.4.1)出发，但为了得到一个更"干净"（尽管数学上不够严谨）的推导，我们现在将 $y ( t )$ 表示为Fourier积分：

where

与 $y ( t )$ 一样，也是一个随机"过程"。我们将允许 $y ( t )$ 为复数，并定义

根据平稳性假设，该函数与 t 无关。现在，由于 $\langle y^{\ast} ( t^{\prime} ) y ( t ) \rangle$ 仅是 $t - t^{\prime} = \tau$ 的函数，因此随机过程 $y ( t )$ 的不同Fourier分量是不相关的：

其中 $y ( t )$ 的功率谱（谱密度）定义为

这就是Wiener-Khintchine定理：平稳随机过程 $y ( t )$ 的功率谱 $G ( \omega )$ 是关联函数 $\langle y^{\ast} ( t ) y ( t {+} \tau ) \rangle$ 的Fourier变换。如果 $y ( t )$ 是实平稳过程，则 $g ( - \tau ) = g ( \tau )$，因此

我们的推导隐含地假设了 $\textstyle \int_{- \infty} ^{\infty} | g ( \tau ) | d \tau < \infty$，因此Fourier变换 $G ( \omega )$ 存在。这个条件是物理上合理的，因为对于大的 $| \tau |$，关联函数 $g ( \tau )$ 预期会足够快地衰减以确保绝对可积性。然而，$| y ( t ) |$ 本身在平稳性假设下不可积，这意味着 $y ( t )$ 不会随着 $t \to \pm \infty$ 趋于零；因此我们对Fourier变换 $Y ( \omega )$（见(6.4.9)）存在的假定是没有根据的。当然，Wiener-Khintchine定理——通过 $y ( t )$ 的关联函数而不是 $y ( t )$ 本身的Fourier变换来定义功率谱——比我们的推导所暗示的具有更可靠的来源。²⁰

如果 $y ( t ) = F_{L} ( t )$，$\langle F_{L} ( t ) F_{L} ( t + \tau ) \rangle = C \delta ( \tau )$（见(6.3.3)），则谱密度 $G ( \omega )$ 与 $\omega$ 无关，称为白噪声（white noise）：

如果 $y ( t ) = v ( t )$，其中 $\left. v ( t_{1} ) v ( t_{2} ) \right.$ 由(6.3.8)给出，且在远大于 $\tau_{c}$ 的时刻仅通过 $t_{2} - t_{1} = \tau > 0$ 依赖于时间，则由(6.4.13)可知功率谱是 $\omega$ 的Lorentzian函数：

对于这样的时刻，由(6.4.13)可得

这当然重现了当 $t = t_{1} = t_{2} \gg \tau_{c}$ 时的(6.3.8)。功率谱的低频 $( \omega \ll 1 / \tau_{c} )$ 部分贡献的均方速度涨落为

其中 $B = 1 / \gamma$ 是前面定义的迁移率（mobility），而 $\nu = \omega / 2 \pi$ 表示（圆）频率。

正如第6.1节所指出的，反对Einstein基于悬浮粒子与流体分子碰撞来解释Brown运动的一个论点是，(6.4.16)预言悬浮粒子的速度应比肉眼观测到的大得多。例如，对于直径为1微米、密度 $\rho = 2$ $\mathrm{g / cm ^{3}}$ 的球形粒子，$m \approx 10^{- 12}$ g，由(6.4.16)可得 $\sqrt{\langle v^{2} \rangle} \approx 0.2 ~ \mathrm{cm/s}$，而观测到的速度则小得多，约 $\sim 3 \times 10^{- 4} \mathrm{cm/s}$。这种差异可以通过考虑目视观测Brown运动时的有限响应时间 $\tau_{r}$ 来解释。²¹ 响应时间 $\tau_{r}$ 意味着频率响应存在上限 $\omega_{r} = 2 \pi / \tau_{r}$，因此(6.4.16)应替换为

假设流体为水，在300 K时其粘度 $\mu \cong 10^{- 2} \ \mathrm{g \ cm^{- 1} \ s^{- 1}}$，Stokes定律（见第6.1节）给出 $\gamma \cong 3 \pi \times 10^{- 6} \ \mathrm{g / s}$，以及 $\tau_{c} = m / \gamma \approx 10^{- 7} \ \mathrm{s}$。人眼的响应时间通常假定为 $\tau_{r} \approx 100$ ms，这意味着 $2 \pi \tau_{c} / \tau_{r} \ll 1$，因此

这与Brown运动的目视观测结果吻合得很好。

6.5 量子Langevin方程#

在第4.6节中，我们考虑了量子力学方程(4.6.4)，它具有与经典Langevin方程(6.3.1)相同的形式。方程(4.6.4)中的涨落力由Hermite算符 $F ( t )$ 表示，具有明确的形式(4.6.5)并满足对易关系(4.6.9)。相比之下，在写经典Langevin方程(6.3.1)时，我们只是预先假定涨落力 $F_{L} ( t )$ 满足(6.3.3)，并通过要求平衡动能满足能量均分定理来确定C。

量子Langevin方程(4.6.4)可以用与其经典对应物(6.3.1)基本相同的方式处理，但关键区别在于(4.6.4)中的 $x ( t )$ 和 $F ( t )$ 是算符。事实上，我们在(4.6.5)、(4.6.6)和(4.6.8)中为 $F ( t )$ 设定的公式，在许多方面导致与从经典Langevin方程推导出的结果相似的结果。首先考虑热场期望值

这来自(4.6.5)和(4.6.6)，即产生Langevin力(4.6.5)的不同库振子不相关的假设，以及

以及

在经典极限 $\hbar \omega / k_{B} T \to 0$ 下，$\coth ( \hbar \omega / 2 k_{B} T ) \to 2 k_{B} T / \hbar \omega$，且

热平衡下的这个量子力学期望值等于经典平均(6.3.3)，此时后者的C被选为确保平均动能为 $\frac{1}{2} k_{B} T$。此外，算符 $F ( t )$ 具有类似于(6.3.15)和(6.3.16)的高斯统计性质——我们在经典Langevin力 $F_{L} ( t )$ 中假设了这些性质，其中每个配对 $\langle F ( t_{i} ) F ( t_{j} ) \rangle$ 中的不对易F因子的整体时间顺序保持不变。由于 $[ F ( t ) , F ( t^{\prime} ) ] \neq 0$（见(4.6.9)），正是对称化期望值(6.5.4)在经典极限下简化为经典平均 $\langle F_{L} ( t ) F_{L} ( t^{\prime} ) \rangle$。

接下来考虑 $\langle v^{2} ( t ) \rangle = \langle \dot{x} ^{2} ( t ) \rangle$。由(4.6.4)和导出(6.5.1)的相同假设，

在经典极限 $\hbar \omega / k_{B} T \to 0$ 下，该式具有与(6.3.7)相同的形式：

平衡动能具有在库振子温度下由能量均分定理规定的数值。

由于原子通常可以合理地近似为谐振子（回顾第2.5节的讨论），考虑谐振子的量子Langevin方程也很有意义：

这里的Langevin力算符 $F ( t )$ 的表达式与自由粒子相同；正如第4.6节所讨论的，这确保了正则对易关系 $[ x ( t ) , m \dot{x} ( t ) ] = i \hbar$ 在所有时刻都成立，可以通过与推导方程(4.6.15)相同的方法来验证：

并且当然与温度无关。这里及下文模型中正则对易关系的保持并不令人惊讶，因为基本上没有做任何近似，而且对易关系在幺正时间演化下不会改变：如果 $[ A ( 0 ) , B ( 0 ) ] = C ( 0 )$，则

振子Hamiltonian的平衡期望值同样可以求得。它具有相当复杂的形式：

经典极限中依赖于温度的部分为

正如预期。类似地，在弱耗散极限 $\gamma / m \ll \omega_{0}$ 下，(6.5.10)中依赖于 $T$ 的部分具有 $\hbar \omega_{0} / ( e^{\hbar \omega_{0} / k_{B} T} - 1 )$ 的形式，对应于频率为 $\omega_{0}$ 的振子在温度 $T$ 下的热平衡。

对于任意温度和耗散强度，振子——以及自由粒子——的物理上有意义的表达式通常相当复杂。实际上，在零温极限下会得到发散结果，这仅仅是因为——正如我们在第4.8节中对原子辐射能级移动的处理一样——我们在此有效做了偶极近似，但允许产生Langevin力 $F ( t )$ 的振子具有无限高的频率。如果为库振子引入高频截止 $\omega_{c}$，则例如 $T = 0$ 时的能量(6.5.10)变为

其中 $\omega^{\prime} = ( \omega_{0} ^{2} - \gamma^{2} / 4 m^{2} ) ^{1 / 2} > 0$，且在弱耗散极限下它简化为零点能 $\frac{1}{2} \hbar \omega_{0}$。

6.5.1 量子Langevin方程的推导#

现在我们将从粒子（"系统"）、谐振子库以及粒子-库相互作用的Hamiltonian出发，推导量子Langevin方程

而 $H_{\mathrm{int}}$ 是粒子-库相互作用。为简化记号，我们将所有库振子的质量 $m_{j}$ 取为单位值。我们将按照通常的做法，假设粒子-库相互作用具有形式

尽管如下所述，这并不完全令人满意。我们稍后将指定粒子与库振子 $j$ 之间的耦合常数 $C_{j}$。

像通常一样，我们为库振子定义升算符和降算符 $a_{j}$ 和 $a_{j} ^{\dagger}$：

利用这些算符表示

并且我们得到Heisenberg运动方程

(6.5.23)的形式解随后给出了算符 $x ( t )$ 的如下方程：

现在我们将库振子频率取为连续均匀分布，并做替换 $\omega_{j} \to \omega$，$C_{j} \to C ( \omega )$，$a_{j} ( 0 ) \to a ( \omega )$；于是(6.5.24)变为

如果我们选择 $C^{2} ( \omega ) = ( 2 \gamma / \pi ) \omega^{2}$（与欧姆耗散情况下的涨落-耗散定理一致，见第6.6节），则右侧第二项具有与Langevin力算符(6.5.7)相同的形式。于是，

最后一项具有发散部分：

为避免发散，我们引入截止频率 $\omega_{c}$，并将 $\delta ( 0 )$ 替换为 $\frac{1}{\pi} \int_{0} ^{\omega_{c}} d \omega \cos ( 0 ) = \omega_{c} / \pi$。然后，对于感兴趣的、在粒子与库接触时刻 $( t = 0 )$ 之后足够长的时间，

左边的最后一项可以通过从不同的Hamiltonian $H^{\prime}$ 出发来避免，该Hamiltonian是通过在原Hamiltonian H上加 $x^{2} \sum_{j} ( C_{j} ^{2} / 2 \omega_{j} ^{2} )$ 得到的：

利用这个Hamiltonian，除了从Hamiltonian H 得到的 $m\ddot{x}$ 表达式之外，对 $\dot{p}$ 还有一个贡献

²³。在如上所述具有高频截止 $\omega_{c}$ 的库振子连续模型中，这个贡献为

$$

• x \int_{0} ^{\omega_{c}} d \omega C^{2} (\omega) / \omega^{2} = - \frac{2 \gamma \omega_{c}}{\pi} x,\tag{6.5.31} $$

并导致(6.5.28)被替换为量子Langevin方程(6.5.13)：

其中，由(6.5.26)中 $F ( t )$ 的表达式可得

并且，对于温度 $T$ 下的热平衡

²³ G. W. Ford, J. T. Lewis, 以及 R. F. O’Connell, Phys. Rev. A 37, 4419 (1988).

练习6.3： 验证(6.5.33)和(6.5.34)。

Hamiltonian $H^{\prime}$ 可以通过对Hamiltonian进行幺正变换推导得到

如下所示。²⁴ 定义

并利用算符恒等式(2.2.18)得到

以及

In the context of electromagnetic coupling, this is essentially just the transformation between the minimal coupling 以及 electric dipole forms of the Hamiltonian (Sections 2.2 以及 4.2), albeit we are working here with a model that allows only one space dimension. Thus $H^{\prime \prime}$ has the form of the minimal coupling Hamiltonian with “vector potential” $\begin{array} {r} {\sum_{j} A_{j} = \sum_{j} p_{j} / \omega_{j}} \end{array}$ , 以及 $C_{j} / \omega_{j}$ playing the role of a $^{\mathrm{. .}} \mathrm{c h a r g e} ^{\mathrm{; 3}} - e ; \omega_{j} q_{j}$ in this analogy acts as $E_{j} = - {\dot{A}} _{j} = - {\dot{p}} _{j} / \omega_{j} \ ( = \omega_{j} q_{j} )$ . H^′, similarly, has the form of the electric dipole Hamiltonian with an interaction ${\mathrm{~ c ~}} \sum_{j} C_{j} q_{j}$ analogous $\mathrm{t o \ -} e x \textstyle \sum_{j} E_{j}$ 以及 the term $x^{2} \textstyle \sum_{j} C_{j} ^{2} / 2 \omega_{j} ^{2}$ analogous to the (divergent) P² term.²⁵ $\mathbf{P} ^{2}$

Ford等人指出，由于正比于 $x$ 的项，Hamiltonian H 具有一个严重缺陷：对于自由粒子 $V(x)=0$，能量没有下界。这意味着 there is no thermal equilibrium state; the bath [reservoir] is not passive.”²⁶ The Hamiltonians $H^{\prime}$ 以及 $H^{\prime \prime}$ obviously do not have this defect; as long as $p^{2} / 2 m + V ( x )$ has a ground state they will be bounded from below.

6.5.2 超越欧姆耗散#

我们通过假设一个连续分布推导了欧姆耗散这一特例（即阻力为 $-\gamma{\dot{x}}$）的量子Langevin方程(6.5.13)，具体是通过假设一个连续分布

²⁴ G. W. Ford, J. T. Lewis, 以及 R. F. O’Connell, Phys. Rev. A 37, 4419 (1988).

²⁵ 回忆(4.2.10)和(4.2.12)。

²⁶ G. W. Ford, J. T. Lewis, 以及 R. F. O’Connell, Phys. Rev. A 37, 4419 (1988), p. 4425.

的热库振子频率，并选择 $C^{2}(\omega) = (2\gamma/\pi)\omega^{2}$。更一般地，从Hamiltonian $H^{\prime}$（或 $H^{\prime \prime}$）我们得到

由(6.5.41)和(6.5.42)得，

并且，假设热库振子之间无关联，

适用于热平衡。

导致欧姆耗散的量子Langevin方程(6.5.13)的模型相对简单且非常特殊，并且对许多感兴趣的体系最为有用。²⁷ 当 $\mu(t)=2\gamma\delta(t), \gamma>0$ 时，它由更一般的量子Langevin方程(6.5.39)得出。在另一种“准连续模型”中，假设热库振子频率是离散但均匀间隔的：$\omega_{j} \sim n/\rho, n=0,1,2,\ldots$。为了得到在频率间距趋近于零时约化为(6.5.13)的关于 $x(t)$ 的Langevin方程，我们还令

其中 $\beta$ 是除了“态密度” $\rho$ 之外的另一个模型参数。然后，由Poisson求和公式，

量子Langevin方程

且该模型中的(6.5.39)变为延迟微分方程

where $\boldsymbol{\Theta} ( t )$ is the unit step function, $\tau_{\rho} = 2 \pi \rho$ , 以及 $\begin{array} {r} {\gamma = \frac{1} {2} \pi \beta^{2} \rho} \end{array}$ has the form of a Fermi golden-rule rate. When the spacing of the reservoir-oscillator frequencies is very small, $\tau_{\rho}$ is very large, 以及, if we take $\tau_{\rho} \infty$ while keeping $\gamma$ finite, (6.5.48) reduces to the form (6.5.13).²⁸

量子Langevin方程的首次谨慎且正确的推导集中在一个具有热库振子频率分布的模型上，该模型导致欧姆耗散的量子Langevin方程，但该公式隐含了更一般的量子Langevin方程(6.5.39)。²⁹ 定义Fourier变换

由此可得

对于由(6.5.49)给出的记忆函数，由(6.5.43)可得

$\mu(t)$ 为实数这一事实意味着

以及 so the real part $\tilde{\mu} _{R} ( \omega )$ of $\tilde{\mu}$ must be an even function of $\omega_{\mathrm{{i}}}$ , 以及 the imaginary part $\tilde{\mu} _{I} ( \omega )$ must be an odd function of $\omega .$ Therefore,

From (6.5.40),

where we have used (4.4.34), 以及 so

从而可以将(6.5.44)表示为

函数 $\mu ( t )$ 必须满足某些条件，这些条件独立于任何可推导出形式为(6.5.39)的量子Langevin方程的具体模型Hamilton量。³¹ Since $x ( t )$ should not depend on $x ( t^{\prime} )$ for $t^{\prime} > t , \tilde{\mu} ( z )$ must, from (6.5.49), be analytic in the upper half of the complex frequency plane $( \operatorname{I m} ( z ) > 0 )$ . In addition, (6.5.53) must hold, simply because $x ( t )$ is a Hermitian operator. It has also been shown, from fairly general thermodynamic considerations, that $\tilde{\mu} _{R} ( \omega ) ~ \geq ~ 0$ . These three properties follow without reference to any specific model for the coupling of the particle to the reservoir. Ford et al. call the specific model above, which satisfies these properties, the “independent oscillator model.”³² They “stress that this does not mean that in every physical situation in which the quantum Langevin equation (6.5.39) arises the actual bath is an [independent oscillator] bath, but rather that from a study of the equation 以及 its solutions . . . one cannot tell the diference. It is remarkable that such a naive 以及 simple model has such generality.”³³

It is obvious, 以及 important, that the way the particle is coupled to the bath determines both the “memory” function $\mu ( t )$ 以及 the properties of the operator $F ( t )$ representing the fluctuating Langevin force; those properties are determined by $\tilde{\mu} _{R} ( \omega )$ $F ( t )$ 以及 $\mu ( t )$ have the same physical origin—the coupling of the particle to the bath. The “particle” is more generally some system of interest that interacts with an “environment” represented by a reservoir $\left( \ ^{\mathrm{64}} \mathrm{b a t h} ^{\prime \prime} \right)$ of harmonic oscillators. The assumption that the environment is not significantly afected by the system supports the modeling of the environment as a collection of harmonic oscillators: any physical system weakly perturbed from a stable equilibrium acts in efect as a harmonic oscillator.³⁴

6.6 涨落-耗散定理#

Einstein关系式(6.1.8)和(6.1.9)展示了涨落与耗散之间的联系；这种联系后来在其他背景下也被发现，包括Einstein关于黑体辐射的工作。在这项工作中，他将与热场相互作用的物体的动量涨落与在场中运动所产生的阻力联系了起来（第2.8节）。在电话和真空管放大器的研究中，人们发现导体两端的电压会经历涨落，且这些涨落随电阻（耗散）R的增加而增大。Johnson进行了一项题为”导体中电的热骚动”的系统实验研究，他将均方电流涨落的结果表示为一个公式，Nyquist不久后推导出了这个公式。³⁵ Nyquist关于Johnson噪声在频带 $d \nu$ 中的公式为

这与(6.4.17)具有相同的形式；如下文所述，这并非巧合。

Nyquist对(6.6.1)的巧妙推导可概述如下。对于如图6.1所示连接的两个导体I和II，由I中电荷热运动产生的电动势V在回路中产生电流 $I = V / 2 R$ ，并在II中吸收功率 $I^{2} R$ 。功率从II流向I，由于两个导体具有相同的平衡温度 $T$ ，从I流向II的功率等于从II流向I的功率。Nyquist认为，这种平衡不仅必须对交换的总功率成立，而且必须对涨落电压的任何频带dν内交换的功率成立，并且这种由导体中”热骚动”引起的涨落电压必定是ν、R和T的通用函数。

为了推导这个函数，Nyquist设想导体由一条无损传输线连接（见图6.2），该传输线在每端具有等于电阻R的阻抗。通过这种阻抗匹配，沿线各方向传播的功率将被每端的电阻无反射地吸收。³⁶一旦达到热平衡，能量通过行进的电压波从一个导体传输到另一个导体并被吸收。现在将传输线与I和II断开。此时，电压呈两端为零的驻波形式，允许的频率为 $n v / 2 \ell , n = 1 , 2 , 3 , ...$ ，其中v是长度为ℓ的传输线上电压波的传播速度。因此，频带dν内的可能频率数为 $2 \ell d \nu / v$ ；这正好是(3.3.18)的一维形式，其中 $k = 2 \pi \nu / v$ ，并假设 $2 \ell d v / v \gg 1$ 。根据能量均分定理，频率为ν的每个”振子”在热平衡下具有平均能量 $k_{B} T$ ，因此在断开的传输线上，电压涨落的频带dν内的平均能量必为 $2 \ell k_{B} T d \nu / v$ 。因此，在传输线断开之前，每个导体吸收的功率P必须等于 $\ell k_{B} T d \nu / v$ 除以波传输时间 $\ell / v$ ：

图6.1 导体I和II，各具有电阻R。来自 H. Nyquist, Phys. Rev. 32, 110 (1928)，已获许可。

但由于每个导体中的电流为 $V/2R$，每个导体吸收的平均功率也可表示为

并将此与(6.6.2)等式得到Nyquist方程(6.6.1)。

图6.2 由无损传输线连接的两个导体。来自 H. Nyquist, Phys. Rev. 32, 110 (1928)，已获许可。

Nyquist进一步指出，(6.6.1)适用于阻抗并非纯电阻且电阻可能是频率函数 $R ( \nu )$ 的更一般情况。他还注意到，如果不是采用经典能量均分定律，而是假设每个振动自由度的平均能量为 $h \nu ( e^{h \nu / k_{B} T} - 1 ) ^{- 1}$ ，那么(6.6.1)可推广为

显然，当 $k_{B} T \gg h \nu$ 时，该式约化为(6.6.1)。他在论文的结尾指出：”在可获得实验信息的频率和温度范围内，该表达式[(6.6.4)]与从能量均分定律得到的表达式无法区分。”³⁷

Callen和Welton指出：”Nyquist关系在物理学中具有独特的形式，它将平衡系统的性质（即电压涨落）与表征不可逆过程的参数（即电阻）关联起来。此外，该方程不仅给出了均方涨落电压，还提供了涨落的频谱。”³⁸他们进一步指出，”人们经常猜想Nyquist关系可以推广到除电学系统之外的一般耗散系统类别。”³⁹然后，他们将Nyquist关系推广，推导出了此后被广泛称为涨落-耗散定理的结论。⁴⁰

涨落-耗散定理可以用不同的方式推导。我们首先将紧密遵循Callen和Welton的原始方法和记号。考虑一个受到微扰V的系统。设其未受扰动的Hamilton量为 $H_{0}$ ，微扰的效果由相互作用V Q描述，其中Q通常依赖于表征所关注系统的坐标和动量变量。由于V最初将作为时间的给定函数处理，实际上我们可以取总Hamilton量为

无需包含产生力V的系统能量的贡献。如记号所示，在Johnson噪声的例子中，Q与电阻中的电荷有关，V与电压有关。

我们假设当施加微扰”力”V时，系统能够吸收能量。通过假设正弦变化 $V ( t ) = V_{0} \cos \omega t$ ，可以在二阶微扰理论中得到能量吸收率。然后，根据黄金规则（见方程(2.3.9)），系统从初始能量态 $\left| E_{n} \right.$ 到末态 $\left| E_{n} + \hbar \omega \right.$ 的跃迁率为

where $\rho ( E )$ is the usual density (in energy) of final states. 这是系统获得能量 $\hbar \omega$ 的速率。类似地，损失能量 $\hbar \omega$ 的跃迁率为

again assuming the system starts in an initial state of energy $E_{n}$ . 在温度 $T$ 下处于平衡的系统所获得的净功率是功率增益与损失之差，每个能量态 $\left| E_{n} \right.$ 由Boltzmann因子 $f ( E_{n} )$ 加权

现在我们利用Q是Hermitian算符这一事实 $\left( \langle E_{n} - \hbar \omega | Q | E_{n} \rangle = \langle E_{n} | Q | E_{n} - \hbar \omega \rangle \right)$ 并假设能量具有连续分布。将 $\textstyle \sum_{n}$ 替换为 $\textstyle \int d E \rho ( E )$ ，并利用 $E < 0$ 时 $\rho ( E ) = 0$ 以及 $f ( E + \hbar \omega ) = f ( E ) e^{- \hbar \omega / k_{B} T}$ ，我们得到

这是系统在受到周期性微扰力 $V_{0} \cos \omega t$ 时吸收的功率。

这是一个普遍结果，推导简单，适用于任何满足以下条件的系统：(a)耗散性，即在施加时间相关微扰时能吸收能量；(b)线性，即吸收功率与微扰强度的平方成正比。⁴¹ 该系统在响应施加力 $V_{0} e^{- i \omega t}$ 时吸收的功率也可表示为

其中 $\dot{Q}$ 与力成线性关系：

因此时间平均的吸收功率为

⁴¹ Ibid.

其中 $R ( \omega )$ 是 $Z ( \omega )$ 的实部。将该吸收功率表达式与(6.6.9)相等，得到关系

这是在正弦力 $V ( t )$ 的假设下推导的，但可以很容易地推广到 $V ( t )$ 和 $\dot{Q} ( t )$ 的Fourier变换通过以下关系相联系的一般情形：

这对任何线性耗散系统都成立。⁴²

现在的想法是将如上施加微扰时系统的耗散效应（功率吸收）与系统处于热平衡且无外加微扰时的涨落联系起来。考虑当系统处于能量本征态 $\left| E_{n} \right.$ 时 $\dot{Q}$ 的均方涨落。以 $\begin{array} {r} {\sum_{m} | E_{m} \rangle \langle E_{m} |} \end{array}$ 的形式插入完整能量本征态集上的单位算符，并利用Heisenberg运动方程 $\dot{Q} = ( i \hbar ) ^{- 1} [ Q , H_{0} ]$ 描述 $Q$ 的未受扰动演化，我们可以将这一涨落表示如下：

我们再次使用能量连续分布的假设，定义频率 $\omega = | E_{n} - E_{m} | / \hbar$ ，并将对 $E_{m}$ 的求和替换为两个积分，一个对应于 $E_{m} = E_{n} + \hbar \omega$ ，另一个对应于 $E_{m} = E_{n} - \hbar \omega$

对n的求和与(6.6.8)中的相同，区别在于这里涉及的是花括号中两项的和而非差。它可以表示为类似于(6.6.9)的形式，只是将 $1 - e^{- \hbar \omega / k_{B} T}$ 替换为 $1 + e^{- \hbar \omega / k_{B} T}$ ：

与(6.6.13)比较给出

最后，我们可以利用(6.6.14)中它们的Fourier变换之间的关系将 $\langle \dot{Q} ^{2} \rangle$ 与 $\langle V^{2} \rangle$ 联系起来：

这就是Callen和Welton的涨落-耗散定理。

推导出(6.6.19)的计算始于一个线性耗散系统的假设，该系统在受到时间周期微扰时能够不可逆地吸收能量。推导出了能量耗散率，并将其与广义”电阻” $R ( \omega )$ 相关联， $R ( \omega )$ 是表征系统对力V的线性响应的”阻抗” $Z ( \omega )$ 的实部。然后，得到了未受扰耗散系统在热平衡下的涨落表达式，并发现该表达式与由 $R ( \omega )$ 表征的不可逆功率耗散相关。这一关系与(6.6.14)一起，意味着一个自发涨落的力的存在。⁴³ 涨落-耗散定理将此涨落力的频谱与 $R ( \omega )$ 联系起来，Callen和Welton用几个例子说明了这一点。⁴⁴

Callen和Welton显然选择了直接对应Johnson噪声例子的记号。在该例子中，涨落-耗散定理(6.6.19)意味着电压涨落为

在一个频带dν中。这推广了Nyquist表达式 $\left(6.6.4\right)$ ，包含了零点能 $\frac{1}{2} h \nu$ 。换言之，它考虑了绝对零度时电压的量子涨落，并将所有温度下的涨落与电阻这一宏观性质联系了起来。

在Brown运动中，存在阻力 $- \gamma v$ 或 $- \gamma \dot{Q}$ ，描述对周期力响应的方程为

由此得出 (see (6.6.14)) $Z ( \omega ) = - i m \omega + \gamma ,$ , a “resistance” $R ( \omega ) = \gamma_{;}$ , 以及 a fluctuating force $F \left( = V \right)$ such that

与(6.5.1)一致。

现在考虑一个稍复杂的例子，其中耗散机制是点电偶极子上的辐射反作用力（回顾(1.11.14)）：

对于外加微扰力 $F(t)=F(\omega)e^{-i\omega t}$

由此得出

以及 $R ( \omega ) = e^{2} \omega^{2} / 6 \pi \epsilon_{0} c^{3}$ 。该例子中的耗散系统是”吸收”偶极子辐射能量的真空电场。根据涨落-耗散定理，偶极子上的耗散效应（”辐射电阻”）意味着与之处于热平衡的电场必须具有均方涨落：

For the isotropic field there is, 因此， an energy density

当然，这对应于包含零点能的Planck谱。

我们已在第4.6节中考虑了真空中自由点电子的模型。在那里，我们看到需要涨落力 $e E_{x} ( t )$ 来防止违反电子的正则对易关系，而零温度涨落真空场的频谱正好是”强制执行”该对易律所需要的：耗散必然伴随着涨落，而涨落的频谱由耗散的形式决定。类似地，在欧姆耗散的情况下，由涨落-耗散定理指定的涨落力的零温谱正是为了保持正则对易关系。尽管令人满意，但这并不令人惊讶。在这两个例子中，更一般地，耗散和涨落力都源于粒子与同一热库的耦合。如果不做近似，对易关系（它与温度无关）必然被保持，原因很简单：Heisenberg绘景算符的时间演化是幺正的。涨落力来自热库振子的未受扰振动，而耗散力来自振子对粒子的”反作用”。正是真空场与反作用（辐射反作用）之间的涨落-耗散关系，使我们能够从真空场涨落或辐射反作用的角度来解释自发辐射和（非相对论性）Lamb移位。

Exercise 6.4: Consider a linear oscillator with natural oscillation frequency $\omega_{0}$ 以及 a dissipative force $- \gamma{\dot{x}}$ . Derive the formula for the impedance $Z ( \omega )$ , 以及 show that $R ( \omega ) = \gamma$

6.6.1 涨落-耗散定理的另一种形式#

方程(6.6.14)通过假定的 $\dot{Q} ( \omega ) = - i \omega Q ( \omega )$ 对力 $V ( \omega )$ 的线性响应来定义阻抗 $Z ( \omega )$ 。它也可以用广义极化率 $\alpha ( \omega ) = \alpha_{R} ( \omega ) + i \alpha_{I} ( \omega )$ 来表示：⁴⁵

取实部，我们得到

以及, from (6.6.18),

这只是涨落-耗散定理的另一种形式。式(6.6.19)用表征耗散的”电阻” $R ( \omega )$ 给出了作用于 $Q$ 系统的Langevin力的均方涨落，而(6.6.32)是Q本身的均方涨落，用由(6.6.30)定义的广义极化率的虚部（耗散部分）表示。

再次考虑具有固有振荡频率 $\omega_{0}$ 和耗散力 $\gamma \dot{x}$ 的线性振子例子，其中算符x代表电子坐标：

以及, from (6.6.32) 以及 (6.6.18),

因此，振子Hamilton量在热平衡中的期望值为

这与从量子Langevin方程得到的表达式(6.5.10)一致。

在量子Langevin方程的推导中，我们假设所关注的系统线性耦合到一个具有密集能级分布并充当热平衡中被动”热库”的谐振子库。这些相同的假设是Callen和Welton推导涨落-耗散定理的基础。事实上，(6.5.57)将Langevin力算符的对称化关联函数与量子Langevin方程中由 $\tilde{\mu} _{R} ( \omega )$ 表征的耗散联系起来，被称为”第二”涨落-耗散定理。⁴⁶

引入 $x$ 的对称化关联函数的Fourier变换，并进行类似于我们在Wiener-Khintchine定理讨论中使用的代数运算（见第6.4.1节），我们得到

$\langle x^{2} ( \omega ) \rangle$ 是 $\langle x^{2} \rangle$ 的Fourier变换，可从(6.6.32)读出：

从而给出了涨落–耗散定理的形式，将 $x$ 的关联函数与广义磁化率的虚部联系起来:

将这与Langevin力的关联函数（参见(6.5.57)）比较，该函数仅依赖于记忆函数Fourier变换的实部。

From (6.6.40),

以及

当然，在欧姆耗散情况下，这约化为(6.6.37)。

练习6.5： 利用量子Langevin方程(6.5.39)，其中 $\begin{array} {r} {V ( x ) = \frac{1} {2} m \omega_{0} ^{2}} \end{array}$ ，并取 $t \to \infty$ ，证明

因此，在这个振子模型中，

广义极化率 $\alpha ( \omega )$ 本质上是一个Green函数的Fourier变换。我们可以将对力 $F_{x} ( t )$ 的响应描述为”输入-输出”关系：

在时域中使用Fourier变换

from which

因果性条件——“输入之前没有输出”——要求

以及 therefore

我们下面回顾一个事实：该因果性条件要求 $\alpha ( \omega )$ 是复ω平面上半平面内的解析函数。

如记号所示，在频率为ω的电场中的电偶极子例子中， $\alpha ( \omega )$ 就是极化率（见第1.5节），与极化率一样，它有一些源于非常普遍的考虑（本质上——尽管不完全是——经典性质）的重要性质。我们现在简要回顾其中一些性质。

最显而易见的性质是，如果我们处理的是实数量 $x ( t )$ 和 $F_{x} ( t )$ ，则 $\alpha ( \omega )$ 满足”交叉关系”

因此 $\alpha ( \omega )$ 的实部和虚部分别是 $\omega$ 的偶函数和奇函数：

这可由(6.6.48)和 $G ( t )$ 必须为实数的事实推导。

因果性——即 $G ( t - t^{\prime} )$ 在 $t < t^{\prime}$ 时必须为零——要求

so that $\propto ( \omega )$ is obviously an analytic function in the upper half of the complex ω plane. From Cauchy’s theorem, 因此，

对于 $\omega$ 的实数值，积分围道 $C$ 沿实轴从 $- \infty$ 到 $\infty$ ，在 $\omega^{\prime} = \omega$ 的极点处有一个小半圆，并由复平面上半平面的一个大半圆闭合；假设大半圆没有贡献，即当 $| \omega | \to \infty$ 时 $\alpha ( \omega ) \to 0$ 的速度快于 $1 / | \omega |$ 。令 $\omega$ 处小半圆的半径趋于零，可得 $\alpha ( \omega )$ 的实部和虚部由Hilbert变换相联系：

其中 $\mathcal{P}$ 表示积分的Cauchy主值部分。⁴⁷ 交叉关系可用于重新表达这些关系：

以及, likewise,

对于虚频率，(6.6.54)给出

再次假设 $\alpha ( \omega )$ 在 $| \omega | \to \infty$ 时下降得足够快，第二个等式中的第一个积分为

$$

• \frac{i}{2 \pi} \oint_{C} \frac{\omega^{\prime} \alpha (\omega^{\prime})}{\omega^{\prime 2} + \omega^{2}} d \omega^{\prime} = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty} ^{\infty} \frac{\omega^{\prime} \alpha_{I} (\omega^{\prime})}{\omega^{\prime 2} + \omega^{2}} d \omega^{\prime} = \frac{1}{\pi} \int_{0} ^{\infty} \frac{\omega^{\prime} \alpha_{I} (\omega^{\prime})}{\omega^{\prime 2} + \omega^{2}} d \omega^{\prime},\tag{6.6.60} $$

由于 $\alpha_{R} ( \omega )$ 和 $\alpha_{I} ( \omega )$ 分别是 $\omega$ 的偶函数和奇函数。(6.6.59)中的最后一个积分可用留数定理求值：

因此，(6.6.59)约化为

or

类似的关系对复介电常数 $\epsilon ( \omega )$ 也成立。假设 $\epsilon ( \omega ) \to \epsilon_{0} \ \mathrm{as} \ \omega \to \infty$ ，⁴⁸ 这些关系如上述对函数 $\epsilon ( \omega ) - \epsilon_{0}$ 推导的那样导出。因此，例如，

以及

关系(6.6.64)意味着，除自由空间 $( \epsilon ( \omega ) = \epsilon_{0} )$ 外， $\epsilon_{I} ( \omega )$ 不可能在所有频率处为零。换言之，介质不可能在所有频率都是非吸收的。

假设作用在线性振子上的唯一力是Langevin力 $F ( t )$ 。由(6.6.50)和(6.5.54)，

其中我们利用了(6.6.48)、(6.6.51)和

由练习6.5，

并对两边关于 $t^{\prime}$ 求导，然后令 $t^{\prime} = t$

我们从物理考虑预期 $lpha ( \omega )$ 在高频下按 $- 1 / \omega^{2}$ 变化；我们在第2.3.3节中关于Thomas-Reiche-Kuhn求和规则时已假设了这一点。在当前广义极化率的记号中，这意味着

如欧姆阻尼情况下的极化率(6.6.33)所示。假设这一高频极限，我们从(6.6.57)推得，在高频极限下，

or

因此， $[ x ( t ) , p ( t ) ] = i \hbar$ 。换言之，性质(6.6.71)确保了对易子的保持。

在将涨落-耗散定理应用于非线性系统时，施加力的效应是在线性响应理论中评估的，如(6.6.11)、(6.6.30)和(6.6.44)。换言之，系统本身可以是非线性的，但该定理仅适用于其对施加力的线性响应，由广义极化率描述。

我们仅考虑了单一动力学变量——线性振子的坐标x的涨落-耗散定理。在第6.7节中，我们将涨落-耗散定理应用于相互作用系统的不同算符，每个算符以其对施加力的（线性）响应中的极化率为特征。

6.6.2 电场的涨落-耗散定理#

涨落-耗散定理也可以应用于依赖于连续变量（如空间坐标 $\mathbf{r}$ ）的算符。⁴⁹ 我们以满足以下条件的电场算符为例：

当存在极化密度（单位体积的偶极矩） $\mathbf{P} ( \mathbf{r} , t )$ 时。用以下定义的Fourier分量 $\mathbf{E} ( \mathbf{r} , \omega )$ 和 $\mathbf{P} ( \mathbf{r} , \omega )$ 表示：

以及

由 $\mathbf{P} ( \mathbf{r} , \omega )$ 产生的场 $\mathbf{E} ( \mathbf{r} , \omega )$ 的每个Cartesian分量 $E_{i} ( \mathbf{r} , \omega )$ 可表示为

$G ( \mathbf{r} , \mathbf{r} ^{\prime} , \omega )$ is the dyadic Green tensor satisfying

I is the unit tensor, 以及 a summation over repeated indices is implied here 以及 below. The fluctuation–dissipation theorem relates the thermal-equilibrium expectation value $\langle \mathbf{E} ( \mathbf{r} , \omega ) \cdot \mathbf{E} ( \mathbf{r} , \omega^{\prime} ) \rangle$ to the Green function. We can deduce this relation by analogy to (6.6.30) 以及 (6.6.32): taking $\langle \mathbf{E} ( \mathbf{r} , \omega ) \cdot \mathbf{E} ( \mathbf{r} , \omega^{\prime} ) \rangle , \mathbf{P} ( \mathbf{r} , \omega )$ , 以及 $G ( \mathbf{r} , \mathbf{r} ^{\prime} , \omega )$ to correspond to $\langle Q^{2} ( \omega ) \rangle , V ( \omega )$ , 以及 $\alpha ( \omega )$ , respectively, the formula corresponding to (6.6.32) $\mathrm{i s^{50}}$

出现 $\delta$ 函数 $\delta ( \omega - \omega^{\prime} )$ 是因为热场（和零点场）的不同频率分量是不相关的：

在零温下，$\langle \mathbf{E}^{\dagger}(\mathbf{r},\omega) \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},\omega^{\prime}) \rangle = 0$，而

The Green dyadic $G_{i j} ^{0} ( \mathbf{r} , \mathbf{r} ^{\prime} , \omega )$ for the electric field in free space can be calculated most easily by consideration of (6.6.78) for the special case of an electric dipole at $\mathrm{~ \bf ~ r ~} = \mathrm{~ \bf ~ r^{\prime} ~}$ , for which $\mathbf{P} ( \mathbf{r} , \omega ) = \mathbf{p} ( \omega ) \delta^{3} ( \mathbf{r} - \mathbf{r} ^{\prime} )$ 以及 the positive-frequency part of the electric field is given by (4.3.11):

以及 therefore

where $k = \omega / c .$ . From (6.6.81) 以及

正如预期，由此得出场能量密度为

where

是包含零点能密度的Planck谱。

再考虑Hamiltonian (6.5.29)，

这意味着Heisenberg运动方程

描述固有频率为 $\omega_{0}$ 的谐振子耦合到谐振子库的Heisenberg运动方程。我们已经在热库的频率连续模型下计算了热平衡平均值（见(6.6.43)）

利用涨落-耗散定理，我们现在计算热平均值

热浴中振子的能量与自由能

其中我们定义了⁵¹

显然 $[ Q_{i} , P_{j} ] = i \hbar \delta_{i j}$ ，因为 $Q_{i}$ 和 $P_{j}$ 与x对易。由Heisenberg运动方程，我们得到

现在我们可以利用涨落-耗散定理得到 $x ( t )$ 和 $Q_{j} ( t )$ 的对称化自关联函数，从而得到 $\langle x^{2} \rangle$ 和 $\langle Q_{j} ^{2} \rangle$ 。为此，我们在(6.7.10)和(6.7.11)中引入力 $F_{x} ( \omega ) e^{- i \omega t}$ 和 $F_{j} ( \omega ) e^{- i \omega t}$ ，以推导Fourier变换 $x ( \omega )$ 和 $Q_{j} ( \omega )$ 的方程，并用它们推得将 $x ( \omega )$ 与 $F_{x} ( \omega )$ 、 $Q_{j} ( \omega )$ 与 $F_{j} ( \omega )$ 联系起来的广义极化率：

首先考虑通过代入以下表达式得到的 $x ( \omega )$ 的表达式

in (6.7.12):

方括号中的项为

so that

为验证(6.7.16)，将(6.5.55)重写为

以及 so

来自练习6.5。

现在，在 $Q_{j} ( \omega )$ 的方程中使用此结果

从中我们识别出广义极化率

将 $Q_{j} ( \omega )$ 与 $F_{j} ( \omega )$ 联系起来 52

根据涨落-耗散定理，

以及

热库中振子的能量与自由能#

为了评估对 $H_{2}$ 的第一项贡献，我们利用(4.4.34)写出

whence

这正是在没有振子情况下热库的能量。

为了计算对 $\left. H_{2} \right.$ 的第二项贡献，我们利用(6.7.18)并在求导后得到

$$

• i \sum_{j} \frac{C_{j} ^{2}}{\omega_{j} ^{2}} \frac{\omega^{2} + \omega_{j} ^{2}}{(\omega^{2} - \omega_{j} ^{2}) ^{2}} = \frac{d \tilde{\mu}}{d \omega},\tag{6.7.28} $$

以及

so that, from (6.7.1) 以及 (6.6.43),

From (6.7.16),

经过一些简单代数运算，最终导出

我们现在将平均振子能量 $U_{\mathrm{osc}}$ 识别为相互作用系统的平均能量 $\langle H_{1}+H_{2}\rangle$ 与cting oscillator-reservoir system 以及 the mean energy of the reservoir in the absence of the oscillator:

Ford等人将此称为振子与热浴相互作用的"remarkable formula"（非凡公式）。⁵³ 其非凡之处部分在于，它仅通过振子极化率 $\alpha ( \omega )$ 就给出了振子与热浴在任意温度下相互作用的能量的精确表达式。⁵⁴

练习6.6： 假设

证明(6.7.33)在欧姆阻尼情况下精确给出先前计算的振子能量(6.5.10)。

一般而言，

由(6.7.24)和(6.7.16)发现，其差值为

并且仅当 $\tilde{\mu}(\omega)$ 与 $\omega$ 无关时才消失。这一条件在欧姆阻尼的特例中得到满足，但一般情况下 general, the mean oscillator energy defined by (6.7.33)

与振子Hamiltonian $p^{2}/2m+(1/2)m\omega_{0}^{2}$ 的平均值不同。当 $\tilde{\mu}(\omega)$ 不是常数时，ant, $\mu ( t - t^{\prime} )$ is not proportional to the delta function $\delta \left( t - t^{\prime} \right)$ 以及 then, according to the quantum Langevin equation (6.5.39), the interaction of the oscillator with the heat bath is not Markovian.

6.7.1 自由能#

Recall that the Helmoltz free energy, energy available for reversible work at constant temperature according to classical thermodynamics, is defined as $F = U - T S$ , where $U , T$ , 以及 $S$ are, respectively, the internal energy, temperature, 以及 entropy characterizing the state of a closed system. From the constant-volume relation $S = - \partial{\cal F} / \partial T$ , $U = F - T \partial F / \partial T$ , 以及 (6.7.33) implies the “remarkable formula” for the energy of an oscillator interacting with a heat bath for the (Helmholtz) free energy of our oscillator interacting with the heat bath:⁵⁵

该公式的一个应用出现在第6.8.1节，其轻微推广用于第7.7节

6.8 辐射反作用再探#

量子Langevin方程允许任何符合因果性等基本物理原理的记忆函数，因此可应用于存在耗散（从而存在涨落力）的各种系统。我们现在讨论一个电子与其自身场、涨落真空电磁场以及可能的外加力相互作用的量子Langevin方程。我们首先简要回顾由M. Abraham和H. A. Lorentz最初表述的经典理论的主要特点。⁵⁶

我们为Hertz电偶极子推导的运动方程(4.3.26)包含了其辐射反作用场，当令 $\nabla V = 0$ 时也适用于非相对论性自由电子。对于一维运动(x)，

其中m是观测到的电子质量。这里， $f ( t )$ 是除辐射反作用力和Langevin力 $F ( t )$ （后者的期望值为零）之外的平均外加力。方程(6.8.1)是经典的Abraham-Lorentz方程，众所周知，它具有一些奇特的特征。

一个奇特之处在于出现了 $X(t)$ 的三阶导数：电子的运动不仅取决于起始时刻 $t=0$ 的位置和速度，还取决于 $t=0$ 时的加速度 $a(0)$。物理学上更令人困扰的是Abraham–Lorentz方程允许加速度的发散解。例如，若 $f(t)=0$，

If $f ( t ) \neq 0$ ,

则我们再次得到发散解，除非

此时

但现在，电子在时刻t的运动依赖于大于t时刻的力 $f(t)$ ——发散困境已被“预加速”所取代。尽管预加速与发散解一样在物理上令人不悦，但它是不可观测的，因为时间 $\tau_{e}$ 如此之小。实际上，$\tau_{e}$ 的量级为光传播等于经典电子半径 $r_{0}=e^{2}/4\pi\epsilon_{0}mc^{2}$ 距离所需的时间 $r_{0}/c$，即Compton半径 $\hbar/mc$ 的1/137倍。

辐射反作用通常是一个小微扰。如果先忽略它，用 $d^{2}X/dt^{2} \cong (1/m)f(t)$ 替代Abraham–Lorentz方程作为一阶近似，然后在下一阶近似中用 $d^{3}X/dt^{3} \cong (\tau_{e}/m)df/dt$ 将其包含进来，我们就得到了“Landau–Lifshitz方程”

它没有三阶导数，并且与Abraham–Lorentz方程不同，在没有外力的情况下显然没有发散解。为了了解(6.8.6)的适用范围，考虑正弦力 $f(t)=f_{0}\exp(-i\omega t)$，此时

如果这不非常小，那么我们所处理的频率 $\omega$ 已经超出了经典理论的适用范围。如果它非常小，则(6.8.6)至少与经典非相对论理论相容。

方程(6.8.6)由Eliezer以及Landau和Lifshitz提出，可以建立在更坚实的基础上。⁵⁷ 为此，我们首先回到辐射反作用场的(4.3.18)。现在只进行一次分部积分，可以将(4.3.30)表达为

这具有量子Langevin方程(6.5.39)的形式，其中记忆函数为

一个Langevin力 $e\mathbf{E}_{0}(0,t)$，以及一个等于裸质量 $m_{\mathrm{bare}}$ 的质量（第4.3节）：

当然，这一算符运动方程等价于(4.3.30)。

在这种形式的运动方程中，电子是点状的，并与任意大的场频率相互作用。但是，如果——如Bethe对Lamb位移的估计（见第4.8.3节）及其作为辐射反作用效应的诠释——假设相互作用主要是非相对论性的，那么它应受远小于 $mc^{2}/\hbar$ 的频率 $\omega$ 主导。这些频率对应的波长远大于Compton波长，因而也远大于经典电子半径，即远大于任何有效电子半径的量度。假设相互作用由这样的频率主导，并在更高频率处迅速下降，我们引入一个电子的“形状因子” $f(\omega)$，并将点电子的记忆函数(6.8.9)替换为⁵⁸

$f(\omega)$ 应缓慢变化，在某个“截止”频率 $\Omega$ 之前接近1，但在此之后迅速下降，并且这一修正的本质物理后果应对 $f(\omega)$ 的具体形式不敏感。$f(\omega)$ 的一个方便选择是

⁵⁷ C. J. Eliezer, Proc. R. Soc. London A 194, 543 (1948); Landau 以及 Lifshitz (2000); G. W. Ford 以及 R. F. O’Connell, Phys. Lett. A 157, 217 (1991); R. F. O’Connell, Contemp. Phys. 53, 301 (2012), 以及 references therein.

⁵⁸ G. W. Ford 以及 R. F. O’Connell, Phys. Lett. A 157, 217 (1991); R. F. O’Connell, Contemp. Phys. 53, 301 (2012).

由此可得

以及Fourier变换为⁵⁹

将(6.8.13)代入(6.8.10)，然后乘以 $e^{\Omega t}$，对t求导，再除以 $\Omega e^{\Omega t}$，我们得到运动方程

对于谐振势 $\begin{array} {r} {V = {\frac{1} {2}} m \omega_{0} ^{2} x^{2}} \end{array}$。为简单起见，我们考虑一维运动；$E_{0}(t)$ 是真空电场沿该方向的分量。

乘以 $\ddot{x}$ 的质量是观测质量

由此可得

以及⁶⁰

推广到包含由算符 $f(t)$ 表示的外加力的效应，显然有

为了与经典Abraham–Lorentz方程比较，我们对场的真空态取期望值 $( \langle E_{0} \rangle = \langle \dot{E}_{0} \rangle = 0 )$：

其中我们记 $m = m_{\mathrm{obs}}$，$X = \langle x \rangle$，以及 $f_{\mathrm{ext}} = \langle f \rangle$。在点电子模型中，$\Omega \to \infty$，令 $\omega_{0}=0$ 时我们回到自由电子的Abraham–Lorentz方程

该模型中的裸质量(6.8.17)为负且无穷大。

负裸质量与Abraham–Lorentz方程的发散解有关；事实上，它被用来调和发散解与能量守恒：自由电子和场的总能量是与惯性裸质量相关联的（负）动能加上电磁场中的（正）能量。⁶¹ 如果电子加速度持续增加，场能持续增加，但伴随动能持续减少。对电子电荷分布的不同经典模型的分析表明，正裸质量排除了发散解，而发散解是将电子视为点电荷的后果。⁶² 这些结论也可从(6.8.20)得出。

如果要求裸质量(6.8.17)不为负——从而不存在发散解——我们必须要求 $\Omega \leq 1/\tau_{e}$。这样的频率与忽略相对论效应一致。满足这一要求的最大 $\Omega = 1/\tau_{e}$ 给出 $m_{\mathrm{bare}} = 0$，且

对于自由电子，我们得到Landau–Lifshitz方程：

基于量子Langevin方程和物理上可接受的电子形状因子的辐射反作用理论，因此为经典(Eliezer–)Landau–Lifshitz方程提供了一致的推导。从一般表达式(6.8.11)不难看出，该理论最具物理意义的结果并不依赖于所选形状因子 $\operatorname{f}(\omega)$ 的具体形式，当然前提是它具有前述性质。特别地，如果使用(6.8.12)且截止频率 $\Omega \approx 1/\tau_{e}$ 但更小（从而使 $m_{\mathrm{bare}}$ 为正），则在(6.8.23)的右侧会得到包含非常小的时间 $\tau_{e}$ 更高次幂的附加项。

对于正弦外加力 $f(t)=f_{0}e^{-i\omega t}$，(6.8.22)取如下形式

由此得出极化率（广义磁化率）

这满足在复 $\omega$ 平面上半平面为解析函数的要求（第6.6.1节），并且易于证明它与光学定理一致。⁶³ 由Abraham–Lorentz方程（以上标ALE表示）得出的振子极化率为

在复频率平面的上半平面不是解析的。这反映在Abraham–Lorentz方程的发散解中。

6.8.1 黑体辐射引起的能移#

极化率(6.8.25)表征了一个唯一耗散过程是辐射反作用的振子。因此它可以用于上述"remarkable formula"来计算振子与对应黑体辐射的相互作用热库处于平衡时的能量和自由能。对于自由能，从(6.7.36)我们得到

令 $F_{\mathrm{osc}} ^{\prime} ( T )$ 表示右侧第二项，并考虑相应的能量

当 $\Gamma_{R} \to 0$

即振子在温度 $T$ 下热平衡的平均能量。这意味着 $F_{\mathrm{osc}} ^{\prime} ( T )$ 是对应的自由能，其中考虑了振子能级的有限辐射线宽。⁶⁴ 因此，(6.8.27)右侧的最后一项 $\Delta F_{0} ( T )$ 是自由能中依赖于温度的移动。假设 $k_{B} T / \hbar \ll 1 / \tau_{e}$ ，该移动为

而振子与黑体辐射平衡时能量的相应移动为

Stark位移(2.3.57)是通过假设黑体辐射实际上是外加场得到的，其符号与此处定义的能量移动相反。相比之下，能量移动(6.8.31)和自由能移动(6.8.30)的推导允许振子与其平衡的辐射场相互作用并交换能量。⁶⁵

6.8.2 对易子#

方程(6.8.20)给出了广义极化率

以及

这与(6.6.71)不同，那里出现的是观测质量。事实上，出现在正则对易关系中的是裸质量，即 $[ x ( t ) , m_{\mathrm{bare}} \dot{x} ( t ) ] = i \hbar$ 。⁶⁶ 在点电子模型中，观测质量确实出现在正则对易关系中，尽管该模型中的广义极化率在复频率平面的上半平面不是解析的（见第4.6节），该对易关系仍然成立。

⁶⁴ G. W. Ford, J. T. Lewis, 以及 R. F. O’Connell, J. Phys. B: At. Mol. Phys. 19, L41–L46 (1986). 我们使用了截止频率 $\Omega = 1/\tau_{e}$，但该论文首次推导的结果(6.8.30)和(6.8.31)仅要求截止频率满足 $\hbar \Omega \gg k_{B} T$。对于三维振子，能量和自由能的这些表达式应乘以3。

⁶⁵ 进一步讨论参见 G. Barton, J. Phys. B: At. Mol. Phys. 20, 879 (1987); G. W. Ford, J. T. Lewis, 以及 R. F. O’Connell, J. Phys. B: At. Mol. Phys. 20, 899 (1987).

⁶⁶ See G. W. Ford 以及 R. F. O’Connell, J. Stat. Phys. 57, 803 (1989), for details 以及 further discussion of this point.

本节描述的Ford-O’Connell辐射反作用理论具有几个吸引人的特点。它为Eliezer and Landau和Lifshitz提出的运动方程提供了坚实的基础，并且通过物理上合理的形式因子选择，消除了负裸质量和Abraham-Lorentz方程的 runaway 解。该理论是在电子受弹性回复力束缚的模型下建立的，因此不能直接应用于原子的自发辐射理论，尽管它可以如上所述用于高激发原子的近自由电子情况。可以推导出两态原子与真空和辐射反作用场（包括形式因子）相互作用的量子Langevin方程；然而，非线性算符方程的闭式精确解似乎遥不可及。但由于自发辐射的耗散效应可以归因于辐射反作用（见第4.5节），将本节所述理论中的辐射反作用耗散效应与第4章回顾的自发辐射理论进行比较仍然是自然的。回到(4.4.75)，对场的真空态取期望值，忽略辐射频移 $\Delta_{21}$ ，我们得到 $\langle \sigma_{x} ( t ) \rangle = \langle \sigma ( t ) + \sigma^{\dagger} ( t ) \rangle$ 的方程⁶⁷

在没有外力时，这与(6.8.24)形式相同：

这是针对线性振子而非两态原子推导的。如果我们引入第2.5.2节讨论的振子强度 $f_{12}$ ，

我们看到(6.8.35)与两态原子的(6.8.34)形式相同。换言之，导致两态原子平均偶极矩(6.8.34)的Markov近似中的辐射反作用耗散效应，与导致线性振子(6.8.35)的辐射反作用理论中的耗散效应本质上是相同的。

6.9 自发发射噪声：激光线宽#

涨落-耗散定理将系统耦合到热库的耗散效应与系统处于热平衡时的涨落联系起来。更一般地，如果系统存在耗散力，则必定也存在涨落力，这在系统由量子Langevin方程描述时是清楚的：

为了保持对易关系（从而保持Heisenberg不确定关系），必须存在一个涨落的Langevin“噪声”力。

放大同样必然伴随噪声。在激光器中，通过激发态粒子数受激辐射进行的光放大伴随着这些激发态的自发辐射。我们可以写出一个电场算符方程，其中包含一个描述受激辐射导致场放大的项和一个描述自发辐射的噪声项。正如我们现在将展示的，噪声的一个效应是限制单模激光辐射接近单色性的程度，即它对谱宽施加了一个量子下限。

考虑充满放大介质的激光谐振腔（或“腔”）中的场。介质和谐振腔由光子增益和损耗（每单位长度）系数g和 $\kappa_{c}$ 分别表征。定义 $\mathcal{E} ( t )$ 为从谐振腔一端传播到另一端的行波电场的正频光子湮灭算符部分。假设 $\mathcal{E} ( t )$ 与 $\exp ( - i \omega t )$ 相比缓慢变化。我们对 $\mathcal{E} ( t )$ 进行“归一化”，使得 $\langle \mathcal{E} ^{\dagger} ( t ) \mathcal{E} ( t ) \rangle$ 是场的平均光子数，其时间演化由Langevin型方程描述：

其中 $v_{g} = d \omega / d k$ 是频率 $\omega$ 处的群速度（见第1.6节）， $F_{sp}$ 是自发辐射噪声算符。我们假设场在谐振腔内近似均匀。特别地，我们假设谐振腔损耗不太大，比如场每个行波分量的每往返程损耗小于约50%，此时 $\partial \mathcal{E} / \partial z \cong 0$ 。⁶⁸ 在这一假设下，激光器中两个反向传播的场具有近似相等的强度，因此谐振腔中的总平均光子数约为 $2 \langle \mathcal{E} ^{\dagger} ( t ) \mathcal{E} ( t ) \rangle$ 。我们还暂时假设所有场损耗都来自激光腔端部反射镜的透射，因此空腔光子损耗率为 $\gamma_{c} = c \kappa_{c}$ 。自发辐射噪声算符满足 $\langle F_{sp} ( t ) \rangle = 0$ 和

如下所示。这里， $n_{sp}$ 是“自发辐射因子”：

其中 $P_{2}$ 和 $P_{1}$ 分别是激光跃迁上、下能级的占据概率。从(6.9.1)和(6.9.2)出发，我们得到稳态关联函数

场 $\mathcal{E} ( t )$ 的稳态平均光子数为

由此得出

这表明稳态激光所需增益系数（通常非常轻微地）小于损耗系数（即 $g < \kappa_{c}$ ），因为自发发射的光子与受激辐射产生的光子共同对 $q$ 有贡献。根据Wiener-Khintchine定理，由关联函数(6.9.4)的Fourier变换给出的激光谱为Lorentzian线型函数，线宽（半高全宽）为

光子损耗率为

意味着谐振腔内两个反向传播场的总激光输出功率为 $P_{\mathrm{out}} = v_{g} \kappa_{c} ( 2 q \hbar \omega )$ ，且⁶⁹

在我们的简化模型中，我们没有考虑抑制场振幅涨落并将(6.9.9)减小 $1/2$ 因子的饱和效应，如下文所述。我们还如上所述假设了谐振腔损耗不太大，因此场的空间变化可以忽略；这一假设在几乎所有基本激光线宽的处理中都会用到。⁷⁰

群速度 $v_{g} = c / [ n + \omega d n / d \omega ] _{\omega}$ 同时来自激光跃迁和非激光跃迁的贡献。我们用 $n_{L} ( \omega )$ 表示激光跃迁引起的折射率，用 $n_{A} ( \omega )$ 表示非激光跃迁引起的折射率（包括谐振腔中任何额外（无源）介质的贡献）。在不失一般性的前提下假设均匀加宽增益介质，我们可以利用(2.5.48)将折射率 $n_{L} ( \omega )$ 与增益系数联系起来：

其中激光波长 $\lambda = 2 \pi c / \omega$ ， $\omega_{0}$ 是增益介质的共振频率， $\gamma_{g}$ 是增益线型函数的宽度。然后，对于接近最大增益频率 $\omega_{0}$ 的激光频率 $\omega$ ，此时 $( \partial g / \partial \omega ) _{\omega_{0}} \cong 0$ 且 $n_{L} ( \omega_{0} ) \cong 1$ ，对于群折射率（第1.6节）我们有

以及, for the group velocity,

其中 $n_{Ag} = ( d / d \omega ) ( \omega n_{A} )$ 是我们与非激光跃迁相关联的群折射率。激光线宽则由下式给出

其中我们使用了稳态激光条件 $g ( \omega_{0} ) \cong \kappa_{c} = \gamma_{c} / c$ ，假设非激光跃迁没有显著贡献，并包含了前述因子 $1/2$

在“坏腔”情况下，光子损耗率 $\gamma_{c}$ 远大于增益带宽 $\gamma_{g}$ ，我们得到“Schawlow-Townes”线宽：

Schawlow和Townes在他们关于将maser概念扩展到红外和光学区域的开创性论文中得到了一个类似的表达式，其中激光线宽与增益线宽 $\gamma_{g}$ 的平方成正比。⁷¹ 在相反的“好腔”情况下， $\gamma_{c} \ll \gamma_{g}$ ，

⁷¹ A. L. Schawlow 以及 C. H. Townes, Phys. Rev. 112, 1940 (1958).

6.9.1 自发发射噪声的关联函数#

我们现在推导表征自发辐射噪声的关联函数(6.9.2)，为明确起见，假设增益介质由两态原子组成。我们从谐振腔中只有一个原子时 $\mathcal{E}$ 的方程开始：

其中 $S ( t )$ 是两态原子下降算符 $\sigma ( t ) = S ( t ) e^{- i \omega t}$ 的缓变部分，D是一个我们无需指定的实耦合常数。缓变场算符 $\mathcal{E}$ 与 $S$ 耦合这一事实易于从Maxwell方程的算符形式得到验证；回忆半经典方程(2.6.12)可使这一点显得合理，因为半经典方法中的 $u ( t ) - i v ( t )$ 实际上就是 $S ( t )$ 的期望值。算符 $S ( t )$ 的Heisenberg运动方程具有如下形式：

这里的阻尼率 $\beta$ 除了自发辐射外还可以包括碰撞和其他耗散机制， $F_{s} ( t )$ 是与该耗散相关联的Langevin噪声算符。S与 $\mathcal{E}$ 的耦合具有电场中两态原子的通常形式；例如参见(5.6.9)，其中 $E_{0} ^{( + )} ( t ) e^{i \omega t}$ 被识别为缓变电场算符。为简单起见且不影响我们的主要结果，我们假设 $\Delta = 0$ ，即激光频率 $\omega$ 等于两态原子的跃迁频率 $\omega_{0}$ 。注意相同的常数D出现在(6.9.16)和(6.9.17)中（见练习6.7）。

在不存在原子与激光场耦合 $( D = 0 )$ 的情况下，(6.9.17)在 $\beta t \gg 1$ 时的解为

为了与两态原子的算符恒等式 $\begin{array} {r} {S^{\dagger} ( t ) S ( t ) = \frac{1} {2} [ 1 + \sigma_{z} ( t ) ]} \end{array}$ 一致，我们取

其中 $P_{2}$ 是原子处于激发态的概率。类似地，由于 $\langle S ( t ) S^{\dagger} ( t ) \rangle = \frac{1} {2} \langle 1 - \sigma_{z} ( t ) \rangle$ 是原子处于非激发态的概率 $P_{1}$ ，

练习6.7： (a) 在没有任何阻尼过程的情况下，我们关注的耦合原子-场方程具有一般形式

最后两个方程例如从(5.6.9)和(5.6.10)得出，但这里的耦合常数D不同，因为电场算符的定义不同。由于我们假设场频率等于原子的跃迁频率，能量守恒意味着

证明这要求 $C = i D$

(b) 我们是否应该在场方程(6.9.16)中包含与谐振腔损耗相关的Langevin噪声项？

噪声算符的这些性质在原子耦合到激光场时也必须成立。然后，在稳态下，

以及, from (6.9.16),

与(6.9.1)比较表明，我们可以将 $F_{sp}$ 与 $F_{s}$ 联系起来：

因此，

当谐振腔中有 $\mathcal{N}$ 个原子时。我们引入了因子 $1/2$ ，因为每个原子沿腔轴向右或向左等概率地自发发射光子，而我们需要的是影响单向行波场 $\mathcal{E}$ 的自发辐射噪声。

方程(6.9.2)的得出基于：根据(6.9.22)，将 $( 2 \mathcal{N} D^{2} / \beta ) \langle{\sigma_{z}} \rangle = ( 2 \mathcal{N} D^{2} / \beta ) ( P_{2} - P_{1} )$ 与稳态激光中的光子数放大率 $v_{g} g \cong v_{g} \kappa_{c}$ 相关联。⁷²⁷²

6.9.2 振幅稳定化激光线宽#

在稳态运行且增益介质被泵浦充分远高于激光（增益-损耗）阈值的激光器中，增益系数被有效地“钳制”在（常数）损耗系数。由于增益在一定程度上饱和而依赖于场强（见第2.7节），可以假设场振幅近似固定为常数值，从而使激光线宽几乎完全来自相位涨落。当然，实际上由于自发辐射存在振幅涨落，这会导致腔中光子数的涨落，但它们在阈值以上激光线宽上的贡献相对于场相位涨落来说较小。⁷³ 我们现在推导这一运行状态下的基本激光线宽，为简化采用半经典方法，其中复场振幅写为

其中 $\mathcal{E}_{0} ( t )$ 和 $\Phi ( t )$ 是时间的实值函数。与前面的量子算符方法类似，振幅 ${\mathcal{E}}_{0}$ 的定义使得在稳态下 $\mathcal{E}_{0}^{2}$ 是行波场中的平均光子数 $q$ ，而相位 $\Phi ( t )$ 由于自发辐射而经历随机涨落。

为得到 $\mathcal{E}_{0} ( t )$ 和 $\Phi ( t )$ 的方程，我们首先回忆损耗和增益系数与折射率虚部 $n_{I} ( \omega )$ 有关。例如从(1.11.10)，增益系数（吸收系数的负值）可表示为 $g ( \omega ) = ( 2 \omega / c ) n_{I} ( \omega )$ 。在写(6.9.1)时，我们没有包括激光跃迁处折射率实部 $n_{R} ( \omega )$ 的效应，它会在右侧加上一项 $[ n_{R} ( \omega ) \omega / c ] \mathcal{E}$ ，从而影响场的相位。如果激光增益介质的泵浦导致折射率虚部发生相对较小的变化 $\Delta n_{I}$ ，则折射率实部的相应变化为 $\alpha \Delta n_{I}$ ，其中Henry $\alpha$ 参数（由于下面讨论的原因也称为线宽增强参数）为⁷⁴

当计入折射率实部的影响时，在半经典方法中(6.9.1)被替换为

其中如前所述 $\begin{array} {r} {\gamma = \frac{1} {2} v_{g} ( \kappa_{c} - g )} \end{array}$ ，但现在 $\tilde{F}_{sp} ( t )$ 是一个经典噪声源。然后，由(6.9.25)，

虽然我们没有明确说明，但前述增益的可饱和性意味着这些方程中的 $\gamma$ 依赖于 ${\mathcal{E}}_{0}$ 。如果增益被钳制到损耗， ${\mathcal{E}}_{0}$ 将具有恒定的稳态值 $\mathcal{E}_{oss}$ ，且

为紧密遵循全量子理论方法，我们假设

以及

$\langle \tilde{F}_{sp}^{*} ( t^{\prime} ) \tilde{F}_{sp} ( t^{\prime \prime} ) \rangle$ 是量子理论方法中关联函数(6.9.2)的半经典对应。在那里，我们只需要噪声关联函数 $\langle F_{sp}^{\dagger} ( t^{\prime} ) F_{sp} ( t^{\prime \prime} ) \rangle$ ，因为我们处理的是正态序场关联函数(6.9.4)。然而，为了在半经典方法中求解(6.9.29)的相位涨落，我们同时需要 $\langle \tilde{F}_{sp}^{*} ( t^{\prime} ) \tilde{F}_{sp} ( t^{\prime \prime} ) \rangle$ 和 $\langle \tilde{F}_{sp} ( t^{\prime} ) \tilde{F}_{sp}^{*} ( t^{\prime \prime} ) \rangle$ ：相位的均方涨落由这两项之和决定。选择(6.9.31)确保经典随机过程的平均值 $\langle \tilde{F}_{sp}^{*} ( t^{\prime} ) \tilde{F}_{sp} ( t^{\prime \prime} ) \rangle + \langle \tilde{F}_{sp} ( t^{\prime} ) \tilde{F}_{sp}^{*} ( t^{\prime \prime} ) \rangle = 2 \langle \tilde{F}_{sp}^{*} ( t^{\prime} ) \tilde{F}_{sp} ( t^{\prime \prime} ) \rangle$ 与期望值 $\langle F_{sp}^{\dagger} ( t^{\prime} ) F_{sp} ( t^{\prime \prime} ) \rangle$ 具有相同的大小。我们同样取

因为 $\langle F_{sp} ( t^{\prime} ) F_{sp} ( t^{\prime \prime} ) \rangle = 0$

噪声来自大量独立的自发辐射事件，因此，基于中心极限定理，假设 $[ \Phi ( t + \tau ) - \Phi ( t ) ]$ 的矩具有高斯随机过程的特征。于是（见(6.4.6)），

假设我们暂时在(6.9.29)中设 $\alpha = 0$ 并积分：

于是由(6.9.31)和(6.9.32)可得

以及

由此得出 the linewidth (full width at half-maximum)

这是线宽(6.9.9)的一半，因为我们假设场振幅已被稳定，因此基本激光线宽完全归因于自发辐射引起的场相位涨落。线宽(6.9.7)是在增益系数不依赖于场振幅的隐含假设下推导的，显然包含了振幅涨落和相位涨落（相等）的贡献。⁷⁵

用输出功率和相位偏移 $\theta ( \tau ) = \Phi ( t + \tau ) - \Phi ( t )$ 表示，(6.9.36)为

其中扩散系数

事实上，基于Fokker-Planck方程的激光线宽方法导致了扩散方程

对于 $P ( \alpha )$ 分布（见第3.8节），在稳定振幅近似下，假设 $| \alpha | = | r e^{i \theta} | = r$ 近似为常数。⁷⁶

不同激光器的基本线宽跨越多个数量级，因此基本相位扩散时间 $\sim \mathrm{D^{-1}}$ 也相差巨大，这从下面的数值例子中可以清楚看出。对于气体激光器，自发辐射噪声导致的相位扩散时间可能达到 $\sim 10^{2}$ 秒或更长，而对于半导体激光器，可能只有几纳秒。

6.9.3 相位-振幅耦合#

现在我们把场相位和振幅之间的耦合包括进来。这种耦合源于(6.9.29)中的参数 $\alpha$ ，在推导(6.9.38)时我们将其设为零。形式上，将(6.9.28)代入(6.9.29)，我们得到方程

对于 $\Phi ( t )$ ，因此在稳态激光运行中，

当我们假设场振幅稳定为常数并忽略(6.9.42)右侧第一项时。现在我们可以按照从(6.9.35)到(6.9.38)的完全相同的步骤进行，结果是 $\alpha$ 参数的效应是将(6.9.38)乘以 $( 1 + i \alpha ) ( 1 - i \alpha ) = 1 + \alpha^{2}$ 。换言之，包括相位-振幅耦合效应的激光线宽为（见(6.9.9)和(6.9.38)），

对于长度为L、反射镜反射率为 $R_{1} , R_{2}$ 的空谐振腔，场强I经过一个往返程后变为

即有效损耗系数为

如果谐振腔中充满损耗系数为a的介质，则总损耗系数为 $\kappa_{c} + a$ ，然后(6.9.38)中的 $\kappa_{c}$ 被替换为

即激光振荡的阈值增益系数，假设增益介质占据谐振腔整个长度L。由于总输出功率与之前一样为 $P_{\mathrm{out}} = v_{g} \kappa_{c} ( 2 q \hbar \omega )$ ，激光线宽(6.9.38)可以表示为

或者更一般地，

当包含线宽增强参数时。早期关于基本激光线宽的研究涉及气体激光器，其中 $\Delta \nu$ 通常非常小。例如，对于1 mW、632.8 nm的氦氖激光器， $R_{1} \cong 1 , R_{2} \cong 0.97 , L \cong 30$ cm, $n_{sp} \approx 1$ ， $\gamma_{c} = c \kappa_{c}$ ，(6.9.15)给出 $\Delta \nu \approx 10^{-2}$ Hz。在这类激光器中，线宽由“技术噪声”主导，这些噪声来自激光反射镜的机械振动等效应。此外，在这类激光器中 $\alpha$ 小到可以忽略，因为折射率实部在增益谱峰值附近与1相差不大，例如从(6.9.10)可以看出。$\alpha$ 参数只有在半导体激光器发展后才引起关注，在半导体激光器中，增益谱的实际峰值出现在远高于激光频率 $\omega$ 的频率处， $\Delta n_{R} ( \omega )$ 相对较大，使得 $\alpha^{2}$ 可达25或更大。主要由于尺寸小和阈值增益大，半导体激光器的线宽 $\Delta \nu$ 可以比其他激光器的基本线宽大十个数量级。例如，在早期⁷⁷ 证明半导体激光器线宽远大于Schawlow-Townes公式预测的实验中，实验参数估计为 $a \approx 45 \ \mathrm{cm}^{-1} , \kappa_{c} \approx 39 \ \mathrm{cm}^{-1} , g_{t} = a + \kappa_{c} \approx 84 \ \mathrm{cm}^{-1} , \hbar \omega \approx 1.5$ eV, $n_{sp} \approx 2.6 , v_{g} \approx c / 4.33$ ， $\alpha \approx 6$ 。⁷⁸ 对于输出功率 $P_{\text{out}} \approx 1$ mW，(6.9.49)给出 $\Delta \nu \approx 100$ MHz，与测量线宽一致。

6.9.4 自发发射噪声的放大#

自发辐射对激光辐射的谱纯度施加了基本限制，前面的计算清楚地表明了这一点。这些计算中隐含的假设之一是自发辐射噪声不会被放大。但自发辐射的辐射在传出谐振腔之前可以在增益介质中被放大。这会影响到有损谐振腔激光器的线宽，因为需要大的放大来克服大的损耗。为简单解释这种噪声放大，我们首先回顾自发辐射在物理上可以归因于发射体的源场（辐射反作用）或真空场，或这两者的某种组合，取决于我们如何选择对易的源场算符和场算符的排序（见第4.5节）。基本激光线宽同样可以根据我们对算符排序的选择以不同方式解释。我们迄今为止的线宽计算采用的是正态序场关联函数 $\langle \mathcal{E}^{\dagger} ( t ) \mathcal{E} ( t + \tau ) \rangle$ ，但我们同样可以使用例如 $\langle \mathcal{E} ( t ) \mathcal{E}^{\dagger} ( t + \tau ) \rangle$ 进行计算。使用这种反正态序关联函数，基本激光线宽自然包含真空场的贡献，而自发辐射噪声的放大可以简单地与“泄漏”到谐振腔中的真空场的放大联系起来，如图6.3所示。⁷⁹

(a)

(c)

(b)

(d )

图6.3 激光器对真空场涨落放大的四种贡献。 $T_{i}$ 和 $R_{i} , i = 1 , 2$ 分别表示反射镜的透射率和反射率。引自P. Goldberg, P. W. Milonni, and B. Sundaram, J. Mod. Opt. 38, 1421 (1991)，已获许可。

图6.3a描绘了入射到 $z = 0$ 处反射镜的真空场，穿过增益介质，并从 $z = d$ 处反射镜放大后出射。通过 $z = 0$ 和 $z = d$ 处反射镜的透射分别将强度减小因子 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ ，而单次通过增益介质将强度增加因子 $G$ ，它满足稳态（增益等于损耗）条件 $R_{1} G R_{2} G = 1$ ，或 $G = 1 / \sqrt{R_{1} R_{2}}$ 。因此，对应于图6.3a的透射净效应是给出与 $T_{1} G T_{2}$ 成正比的等效真空场噪声。图6.3b、6.3c和6.3d所示的过程同样贡献与 $T_{2} G T_{1} , T_{1} G R_{2} G T_{1}$ 和 $T_{2} G R_{1} G T_{2}$ 分别成正比的等效噪声。因此，图6.3所示的四个过程导致自发辐射噪声和激光线宽与下式成正比⁸⁰

为了解这对我们之前的激光线宽结果有何影响，假设光通过谐振腔反射镜的透射是唯一的损耗机制，因此 $a = 0$ ，阈值增益 $g_{t} = \kappa_{c}$ 。那么，例如根据(6.9.49)， $\Delta \nu \propto \kappa_{c}^{2}$ ，并且对于给定的输出功率，这仅通过因子 $[ \log ( R_{1} R_{2} ) ]^{2}$ 依赖于 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 。相比之下，根据(6.9.50)，线宽对 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 的依赖关系为

其中我们使用了 $T_{i} = 1 - R_{i} , i = 1 , 2$ 。因此，自发辐射噪声放大的效应是将我们之前的基本激光线宽表达式乘以K因子：

这在文献中也称为过量自发辐射因子或Petermann因子。⁸¹ 对于大多数激光器，K仅代表一个非常小的修正；例如对于 $R_{1} = R_{2} = 0.90$ ， $K = 1.001$ 。然而，在半导体激光器中，解理面的反射率可能仅为 $R_{1} \approx R_{2} \approx 0.30$ ，此时 $K \approx 1.13$ 。⁸²

练习6.8： 为什么在我们推导K因子时只需考虑图6.3所示的四个过程，而不需要考虑涉及超过两次通过增益介质的过程？

我们对(6.9.52)的推导仅适用于纵向谐振腔模式。然而，将K因子解释为自发辐射噪声放大结果的物理说明也适用于横向场模式，并且更一般地适用于任何有损谐振腔：更大的损耗需要更大的增益，因此需要更多的噪声放大。⁸³ 对K因子的不同推导在数学上将K因子与有损谐振腔的纵模和横模不正交这一事实联系起来。⁸⁴

6.10 放大与衰减：噪声系数#

我们已强调，量子理论中对易关系的保持要求当电磁场被放大或衰减时必须存在量子噪声。换言之，在Heisenberg运动方程中必须存在一个Langevin噪声算符。在第6.9节中，我们展示了噪声如何对激光辐射的谱纯度施加基本限制。现在考虑噪声对放大或衰减场的光子数涨落的影响。将证明放大和衰减都会降低信噪比。

6.10.1 放大#

我们的模型假设输出场与输入场线性相关。用单模输出和输入场的光子湮灭算符b和a表示，在放大情况下我们可以写出输入-输出关系为

其中G是受激辐射的功率增益因子，L是与自发辐射相关的Langevin噪声算符。⁸⁵ 线性假设意味着G与a无关，因此放大器不可饱和。输入和输出场均满足玻色对易关系的条件，即 $[ a , a^{\dagger} ] = [ b , b^{\dagger} ] = 1$ ，要求Langevin算符满足

这可以从(6.10.1)简单得出，当我们还假设Langevin噪声源与输入场不相关，即 $[ L , a ] = [ L^{\dagger} , a ] = 0$ 。噪声源通常被视为谐振子热库，因此我们假设 $L = {\sqrt{G - 1}} c , \ [ c , c^{\dagger} ] = 1$ 。我们还假设热库处于零温度，因此 $\langle c^{\dagger} c \rangle = 0$ 和 $\langle c c^{\dagger} \rangle = 1$ 。实际上，热库不需要真正处于零温度，只需温度T足够小使得 $\hbar \omega / k_{B} T \gg 1$ ，其中 $\omega$ 是场频率。由(6.10.1)可得，输出光子数期望值 $\left. n_{b} \right. = \left. b^{\dagger} b \right.$ 与输入光子数期望值 $\langle n_{a} \rangle = \langle a^{\dagger} a \rangle$ 的关系为

右侧第一项显然表示输入信号场的放大，而第二项是附加噪声，对应频率为 $\omega$ 的辐射的噪声功率 $( G - 1 ) \hbar \omega$ 。这个简化模型隐含假设只有与信号相同带宽内的噪声是相关的，这在检测包含频谱滤波时是实际情况。值得强调的是，这里考虑的噪声和涨落是输出场固有的，与光电探测器无关。

基于我们对Langevin噪声算符 $L_{i}$ 的假设，容易得出输出场光子数的方差为

第一项对应于输入光子数方差的放大，而第二项是输出光子数方差的噪声贡献。如果没有噪声，因此也没有放大 $( G = 1 )$ ，这项将消失，(6.10.3)右侧的第二项也将消失。

输出光子数方差的不同贡献通常通过等价地将(6.10.4)写为来区分

其中 $N = G - 1$ 是(6.10.3)中 $\left. {n_{b}} \right.$ 的噪声贡献。右侧第一项被称为过量噪声。它依赖于输入场的光子统计，当统计为Poisson分布 $( \langle \Delta n_{a}^{2} \rangle = \langle n_{a} \rangle )$ 时为零；输入场对Poisson统计的任何偏离都会增加输出场的光子数方差。(6.10.5)中的第二项 $\langle n_{b} \rangle$ 表示散粒噪声。最后一项 $2 G N \langle n_{a} \rangle + N^{2}$ 通常被粗略地称为拍噪声。

如果没有输入场，(6.10.5)简化为

这是平均光子数 $N = G - 1$ 等于(6.10.3)中噪声贡献的Bose-Einstein分布的方差。下面我们将证明，当无输入时，放大场的光子数分布实际上就是 $\langle n_b \rangle = N$ 的Bose-Einstein分布。Bose– Einstein distribution with $\langle n_{b} \rangle = N$

输入和输出场的信噪比通常定义为

以及

分别对应输入和输出。放大器的噪声系数定义为

$F$ 值越大对应于输出场的信噪比越小。由(6.10.4)可得

显然，对于 $G > 1$ 有 $F > 1$ ：放大后的场信噪比总是小于输入场。对于具有Poisson光子数分布的输入场， $\langle \Delta n_{a}^{2} \rangle = \langle n_{a} \rangle$ ，

对于 $\left. n_{a} \right. \gg 1$

在高增益极限 $( G \gg 1 )$ 下， $F \cong 2$ ，或以分贝表示 $F \cong 3$ dB，这就是所谓的高增益放大器的量子极限。⁸⁶ 较小的增益意味着信噪比的退化较小。

如果增益为 $G_{1}$ 的放大器后接增益为 $G_{2}$ 的放大器，净增益因子为 $G_{1} G_{2}$ ，在近似(6.10.12)下双放大器系统的噪声系数为 $F \cong 2 - 1 / G_{1} G_{2}$ 。用单个放大器单独作用时的噪声系数 $F_{1} \cong 2 - 1 / G_{1}$ 和 $F_{2} \cong 2 - 1 / G_{2}$ 表示，

显然，两个放大器共同作用时的噪声系数 $F$ 取决于放大器的放置顺序。当噪声系数最小的放大器先作用时，双放大器系统的噪声系数最小。

方程 $F = F_{1} + ( F_{2} - 1 ) / G_{1}$ 在电子放大器理论中是众所周知的，其对多于两个电子放大器链的推广也是如此。然而需要指出，这里的(6.10.13)是在 $\left. n_{a} \right. \gg 1$ 的近似下得到的。特别地，这里和大量文献中使用的噪声系数定义(6.10.9)

依赖于输入场和放大器增益，如从(6.10.11)所见。这是使用 $\langle n_{a} \rangle$ 的平方和方差 $\langle \Delta n_{a}^{2} \rangle$ 定义噪声系数的结果。Haus提出了噪声系数的另一种定义，该定义与输入场无关，并且精确满足历史上用于电子放大器的放大器链噪声系数公式。⁸⁷

这些结果假设了一个“理想放大器”，其中增益介质完全反转，因此自发辐射因子（见(6.9.3)）$n_{sp}=1$。更一般地，$n_{sp}>1$，且the noise figure (6.10.12), for example, is replaced by

用于非理想放大器，如下文所述。在高增益极限下，对具有Poisson光子统计的输入场 $F \cong 2 n_{sp} > 2$ ；在其他条件相同的情况下，非理想放大器导致比理想放大器更大的噪声系数。

6.10.2 衰减#

在线性衰减器的情况下，我们类似地处理。取代(6.10.1)，我们写出

其中t是衰减器的振幅透射因子，假设与a无关。条件 $[ b , b^{\dagger} ] = [ a , a^{\dagger} ] = 1$ 要求

当我们再次假设Langevin噪声与输入场不相关 $( [ L , a ] = [ L^{\dagger} , a ] = 0 )$ 时成立。我们再次将噪声算符与谐振子下降算符c联系起来： $L = {\sqrt{1 - T}} c , \left[ c , c^{\dagger} \right] = 1$ ，并假设振子热库处于零温度基态， $\langle c^{\dagger} c \rangle = 0 , \langle c c^{\dagger} \rangle = 1$ 。然后我们直接得到衰减器的噪声系数

用于衰减器。对于输入场的Poisson光子统计，

与理想放大器的噪声系数不同，这可以任意大。

练习6.9： (a) 在具有反转粒子数的介质中，受激辐射放大的Langevin算符与自发辐射相关。什么物理过程导致了吸收介质中的量子噪声？(b) 解释（或证明）输入-输出关系(6.10.1)和(6.10.15)如何从描述放大和衰减的Heisenberg运动方程推导出来。在得到这些关系时做了哪些假设？

6.11 放大与衰减的光子统计#

现在我们考虑更一般的问题：不仅计算光子数方差，而且计算输出场的光子概率分布 $p_{n}^{b}$ ，给定输入场的 $p_{n}^{a}$ 。代数对衰减稍微简单一些，我们首先考虑衰减。

6.11.1 衰减：光子统计#

如第3.7.2节，我们定义

用于输出场，并使用(6.10.15)和热库处于基态的假设。由于正态排序，Langevin算符L对 $\langle b^{\dagger r} b^{r} \rangle$ 没有贡献

以及

因此，衰减场光子数概率分布的母函数为（见(3.7.31)）

如果输入场的光子概率分布是平均光子数为 $\left. n_{a} \right.$ 的Poisson分布，(6.11.4)和(3.7.32)意味着

这正是平均光子数为 $T \langle n_{a} \rangle$ 的Poisson分布的母函数。如果输入场具有平均光子数为 $\left. \boldsymbol{n}_{a} \right.$ 的Bose-Einstein分布，(6.11.4)和(3.7.33)意味着

这是平均光子数为 $T \langle n_{a} \rangle$ 的Bose–Einstein分布的生成函数。因此，在两种情况下，衰减对光子统计的唯一影响是平均光子数变为较小的值 $T \langle n_{a} \rangle$。更一般地，如果 $T \langle n_{a} \rangle \ll 1$ ，

由此得出，高度衰减的场将具有近似Poisson的光子概率分布。

6.11.2 放大：光子统计#

在放大情况下，我们类似地处理。由于 $L^{\dagger}$ 出现在(6.10.1)中，现在使用(3.7.34)的反正态序期望值更为方便，因为 $\langle b^{r} b^{\dagger r} \rangle$ 涉及 $L$ 和 $L^{\dagger}$ 的正态序乘积的期望值，在我们假设振子热库处于基态的情况下这些期望值为零。由(6.10.1)，

对于输入到理想放大器的光子数（Fock）态 $\left| n_{a} \right.$ ，以及从(3.7.36)

对于这种情况。如果输入场具有光子数概率分布 $p_{n}^{a}$，则输出场的光子数概率生成函数为 amplified field is

Suppose first that there is no signal field input to the amplifier. Then, $p_{n} ^{a} = \delta_{n , 0}$ 以及

与(3.7.33)比较表明，这是平均光子数为 $G - 1$ 的Bose-Einstein分布的矩母函数，而 $G - 1$ 正是(6.10.3)在 $\langle n_{a} \rangle = 0$ 时给出的平均光子数。无输入信号的光学放大器产生与 $G - 1$ 成正比的噪声功率，这是放大的自发发射的结果，也可以通过考虑放大器输入端真空场的放大来解释，如下文所述。

如果输入场具有Poisson光子数分布，

这导致一个相当复杂的、非Poisson的光子数分布，涉及广义Laguerre多项式。⁸⁸ 但低阶矩很容易从母函数的定义得到：

当然，之前推导的结果(6.10.3)和(6.10.4)被重新得到。这些结果已经表明放大场的光子统计不是Poisson分布。

如果输入场具有Bose–Einstein光子数分布，

这意味着放大后的场具有Bose–Einstein分布，其平均光子数 $n_{b}$ 由(6.10.3)给出。

6.11.3 评注#

(6.10.3)中的项 $N = G - 1$ 是理想放大器中 $\left. {n_{b}} \right.$ 的噪声贡献，其中增益介质完全反转，因此自发辐射因子 $n_{sp} = 1$ 。下面将证明，对于 $n_{sp} > 1$ 的非理想放大器，N被替换为 $n_{sp} N = n_{sp} ( G - 1 )$ ，(6.10.3)被替换为

类似地，通过引入适当的Langevin算符可以证明，(6.10.5)中的N被替换为 $n_{sp} ( G - 1 )$ ，并且对于非理想放大器

for a non-ideal amplifier. For $\langle \Delta n_{a} ^{2} \rangle = \langle n_{a} \rangle$ 以及 $\left. n_{a} \right. \gg 1$ , for example, (6.11.15) 以及 (6.11.16) imply the noise figure (6.10.14).

我们假设输入和输出场属于同一个模式，以便聚焦于放大和衰减中自发辐射噪声最基本的物理。这个限制将在下面被移除。例如，对于支持M模式的光纤放大，(6.11.15)被替换为

(6.11.16)被替换为

在这些表达式中，光子数是所有M模式的总和，假设放大因子 $G$ 以及自发辐射率对所有模式近似相同。如果例如在掺杂光纤中有两个具有相同空间分布、放大因子和自发辐射率的不同偏振模式，则 $M = 2$ 。允许 $n_{sp} > 1$ 和 $M > 1$ 的光子概率分布往往相当复杂，可在更专业的文献中找到。⁹⁰

6.12 放大的自发发射#

放大器中信噪比的降低是放大的自发辐射噪声的结果。如果我们假设单一场模式，例如在单模光纤放大的情况下，我们可以用简单的速率方程描述平均光子数随传播距离z的增长：

右侧第一项和第二项分别描述受激辐射和自发辐射。 $N_{2}$ 和 $N_{1}$ 分别是增益介质原子上下能级的粒子数密度， $R$ 与进入该单模的自发辐射率（每单位体积）成正比，我们利用了对于单模，受激辐射率是 $\left. \boldsymbol{n}_{a} \right.$ 乘以自发辐射率这一事实。假设 $N_{2}$ 和 $N_{1}$ 在传播路径上恒定，从该速率方程得出长度为L的放大器输出端的平均光子数由(6.11.15)给出：

其中现在 $G$ 被识别为 $\exp [ R ( N_{2} - N_{1} ) L ]$ 。我们假设了非简并能级。如果放大跃迁的上下能级分别具有简并度 $g_{2}$ 和 $g_{1}$ ，并且每个能级的简并态等概率占据，则放大率与 $N_{2} - ( g_{2} / g_{1} ) N_{1}$ 成正比。在这种情况下，

如果放大器支持M个模式，并且进入不同模式的自发辐射率近似相等，则L处的总平均光子数为

which is (6.11.17), 以及, likewise, $\langle \Delta n_{b} ^{2} ( L ) \rangle$ is given by (6.11.18). Note that, in (6.11.18), the term $2 n_{s p} G ( G - 1 ) \langle n_{a} \rangle$ , which represents a beat noise involving the signal 以及 spontaneous emission, is independent of $M .$ , whereas the beat noise term $M n_{s p} ^{2} ( G -$ $1 ) ^{2}$ representing spontaneous emission beat noise is M times (not $M^{2}$ times) the corresponding single-mode contribution. These results simply reflect the fact that the zero-mean fluctuations of the diferent modes are uncorrelated. If there is no input field, (6.11.17) 以及 (6.11.18) give the photon number average 以及 variance for amplified spontaneous emission:

以及

这种情况下的光子数分布被发现为

当 $M=1$ 时，这约化为Bose–Einstein分布。

在放大的自发辐射的半经典方法中，我们考虑一个在增益系数为g（假设不可饱和且沿放大器长度恒定）的放大器中的行波平面波。对于平均场强I随传播距离的变化，我们写出

$A_{21}$ 是每个原子向自由空间发射频率为 $\hbar \omega$ 的光子的自发辐射率， $\Omega$ 是根据放大器几何选择的立体角。如果 $N_{2}$ 与I和z无关，

现在，从(2.7.12)和(2.7.13)，在放大介质的共振频率 $\boldsymbol{v}_{0} ( = \omega_{0} / 2 \pi )$ 处的增益系数（为确定起见我们假设为均匀加宽）为

因此我们可以将(6.12.9)表示为

其中 $\Delta \nu_{f} = 2 \Delta \nu$ 是增益线型函数的半高全宽，

如果在 $z = 0$ 处没有场输入，L处的放大的自发辐射强度为

这与(6.12.5)形式相同，后者是为离散数量M个场模式推导的。

强度(6.12.13)显然是自发辐射在放大器长度上被放大的结果。我们可以将其替代地解释为：假设在 $z = 0$ 处的放大器输入端口有一个有效噪声强度 $I ( 0 ) = I_{N}$ ，该强度被放大到 $z = L$ 处的 $G I ( 0 ) = G I_{N}$ 。$I_{N}$ 可以与涨落的真空电磁场相关，如下文所述，因此仅用真空中的光电探测器无法直接观测。但是，假设存在放大器时 $G I_{N} - I_{N}$ 的差是可观测的，则我们除了因子 $n_{sp}$ 外得到放大的自发辐射强度(6.12.13)。⁹² 因此，放大的自发辐射可以解释为放大的"内部"自发辐射噪声，或者解释为"外部"噪声强度 $I_{N}$ 泄漏到放大器中的放大。这与基本激光线宽理论中出现的相同的解释灵活性。⁹³ 通过赋予差值 $G I_{N} - I_{N}$ 物理意义，我们遵循了将Lamb位移或Casimir力解释为原子或材料介质存在导致的零点真空场能量变化的思路（见第7章）。

将 $I_{N}$ 与零点真空电磁场联系起来是简单的。考虑到自由空间中零点场在小频率区间 $[ \omega , \omega + \Delta \omega ]$ 内的能量密度为 $\rho_{0} ( \omega ) \Delta \omega$ ，其中 $\rho_{0} ( \omega )$ 由(4.5.17)给出，我们推断输入到放大器的有效真空场强度为

输入到我们的放大器，其增益带宽为 $\Delta \nu$ 。我们没有考虑上述 $I_{N}$ 指场的单一偏振分量这一事实，并且我们假设自由空间中 $\Omega / 4 \pi$ 比例的模式被放大，但尽管如此，$I_{0}$ 与 $I_{N}$ 只差一个因子 $\pi$。

对于横截面积为 $S$ 的放大器，我们定义噪声功率

假设铅笔形放大器直径为 $D$ ，由于放大器中场的衍射，我们估计发散角 $\sim \lambda / D$ ，并将立体角 $\Omega$ 近似为 $\lambda^{2} / D^{2} \approx c^{2} / \nu^{2} S$

更一般地，每模式的噪声功率定义为

$B$ 是放大器带宽，或对放大器带宽某部分有响应的探测器带宽。

6.12.1 吸收体中的量子噪声#

公式(6.12.17)同样适用于吸收介质：我们只需将 $G = \exp ( g L )$ 替换为 $\exp ( - a L )$ ，其中 $a ( > 0 )$ 是吸收系数：

对于由处于温度T热平衡的两态原子组成的吸收介质。如果 $a L \to \infty$ ，

吸收体就像行波热辐射源。在经典极限下， $k_{B} T / h \nu \to \infty$ ，

方程(6.12.20)来自热力学考虑，因此具有比我们基于两态原子吸收介质自发辐射噪声的推导可能暗示的更广泛的意义和适用性。考虑例如一个具有电阻R的Johnson噪声的电路。理论上可通过纯电阻负载 $R_{L}$ 从电阻器提取的单位带宽功率为 $P = \langle I^{2} \rangle R_{L} = \langle V^{2} \rangle R_{L} / ( R + R_{L} )^{2}$ ，由Nyquist公式(6.6.1)发现当 $R_{L} = R$ 时最大值为(6.12.20)。最大可提取单位带宽噪声功率与R无关，仅依赖于温度T。

6.13 分束器#

考虑一个无损耗分束器，在其一个"输出"臂后接一个近理想光电探测器（见图6.4）。设a和b表示分束器"输入"场的单模光子湮灭算符，c和d表示输出场的单模光子湮灭算符。对称分束器的振幅反射和透射系数r和t满足幺正性条件 $|r + t|^2 = 1$ ，即 $|r|^2 + |t|^2 = R + T = 1$（能量守恒），且 $r^* t + r t^* = 0$ 。我们可以使用Stokes关系 $t = \sqrt{T}$ 和 $r = i\sqrt{1-T}$ 来满足这些关系。那么输入-输出关系具有如下形式⁹⁴

由于 $[ a , a^{\dagger} ] = [ b , b^{\dagger} ] = 1 , [ a , b ] = [ a , b^{\dagger} ] = 0$ ，这些输入-输出关系意味着 $[ c , c^{\dagger} ] = [ d , d^{\dagger} ] = 1$ ，符合要求。b和c模式可能是未被占据的真空场模式，但我们必须将它们包含在输入-输出关系中以一致地保持对易关系。

图6.4 具有输入端a和b、输出端c和d的分束器。

假设场的态 $\left| \Psi \right.$ 使得b模式未被占据。对于探测器处光子数的期望值，我们得到

对方差，类似地，

由于 $b b^{\dagger} | \Psi \rangle = | \Psi \rangle$ ，分束器未用端口处的真空场对探测器处的光子数方差有贡献。⁹⁵

例如，如果信号场a处于相干态 $| \alpha \rangle$ ，光子数期望值为 $\langle n_{a} \rangle = | \alpha |^{2}$ ，

由(3.7.27)定义的函数 $F_{N} ( \xi )$ 为

探测器处光子数概率分布的母函数则为（见方程(3.7.31)）

这是平均值为 $\left. n_{d} \right.$ 的Poisson分布的母函数（见(3.7.32)）。因此探测器处的光子数方差为

而归一化方差

大于输入信号场的归一化光子数方差

。

当在c和d两臂都放置光电探测器时（见图6.5），情况变得更有趣。再次考虑b场处于真空态的 $\psi$ 。由于 $[ a , b ] = [ a , b^{\dagger} ] = [ c , d ] = [ c , d^{\dagger} ] = 0$

以及

From the input–output relations (6.13.1) 以及 (6.13.2),

如果信号场处于单光子Fock态， $\langle n_a^2 \rangle = \langle n_a \rangle$ ，因此 $\langle n_c n_d \rangle = 0$ 。在c和d两臂同时找到光子的概率为零：单个光子不能被分裂（见第2.9节和第5.7节）。方程(6.13.13)表明这形式上来自 $b b^{\dagger} | \Psi \rangle = 1$ ；我们再次需要真空b场的量子性质。

图6.5 与图6.4相同，但增加了另一个探测器。

现在假设a和b输入场均处于单光子态。使用(6.13.1)和(6.13.2)的另一个简单计算在这种情况下给出（见练习6.10）

对于 $50/50$ 分束器 $( T = 1 / 2 )$ 该值为零。在分束器每个输出臂中找到光子的概率为零。显然，要么两个光子都在c臂中被找到，要么两个光子都在d臂中被找到。这一结果可以理解为干涉概率幅的后果。存在两种不可区分的方式使得单个光子同时被图6.5中的c和d探测器计数：(1) 两个光子都是分束器反射的结果，或 (2) 它们都是分束器透射的结果。第一个过程的概率幅为 $r^{2}$ ，第二个过程的概率幅为 $t^{2}$ 。因此，找到c光子和d光子的总概率幅为 $r^{2} + t^{2}$ ，概率为

如使用光子湮灭和产生算符的计算所得。在得到这一结果的两种方式中，我们都假设了两个光电探测器处的场是相互相干的（完全关联），因此忽略了入射到两个光电探测器上的场的路径长度差。但是，如果路径差远大于场相互相干的距离，则在两个光电探测器各自计数的概率为 $1/2$ ，而在其中一个探测器计数两个光子的概率为 $1/2$ 。获得这一结果的最简单方法是假设上述两个过程(1)和(2)是可区分的，因此我们应该加概率，而不是加概率幅（见练习6.10）。

对于每个输入a和b场各有一个光子的 $50/50$ 分束器，符合计数率中的凹陷是图6.6所示的Hong-Ou-Mandel干涉仪的基础。⁹⁶ 两个光子（a和b）由晶体中泵浦激光场的参量下转换产生，并如图所示入射到分束器上。符合计数率取决于两场之间的路径延迟，允许两个光路之间在飞秒量级的时间分辨。

练习6.10： (a) 验证(6.13.13)和(6.13.14)。(b) 证明，如果在(6.13.15)之前识别的两个过程(1)和(2)被视为可区分的，则在图6.6中两个探测器各自计数一个光子的概率为 $1/2$ ，与在其中一个探测器计数两个光子的概率相同。

图6.6 Hong–Ou–Mandel干涉仪。

6.14 零差探测#

在光电探测中，入射场产生载流子和与某个探测带宽内平均光子通量成正比的电流。这种"直接"探测不提供场的相位信息，而相位信息在例如压缩光的研究中是必需的（见第3.6.4节）。相位敏感探测方案通过将信号场与另一个"本机振荡器"场混合来实现，如图6.7所示。这类技术最初是在无线电接收机中发展起来的（并被广泛使用），其中本机振荡器和信号场具有不同的频率（外差探测）。我们以对量子光学中零差探测的简要介绍来结束本章，零差探测中本机振荡器和信号频率相同。主要目的是展示场最基本的量子性质如何发挥作用。

图6.7 光的外差或零差探测的基本装置。

首先假设只使用单个探测器，如图6.4所示，并且本机振荡器场b处于相干态 $\beta$ ， $b | \beta \rangle = \beta | \beta \rangle , \beta = | \beta | e^{i \Phi_{\beta}}$ 。于是，从(6.13.2)，d探测器测量的电流与下式成正比

干涉项提供了关于信号场a的相位信息。该场通常非常弱，因此选择分束器使得 $T \gg R$ 以使信号场的相当大一部分到达探测器。如果本机振荡器场足够强，使得 $( 1 - T ) | \beta |^{2} \gg T \langle a^{\dagger} a \rangle$ ，则

在此近似下还可得到

其中假设 $| \beta |$ 的三阶及更高阶贡献可忽略。方差(6.14.4)提供了信号场压缩的度量。如果例如 $\Phi_{\beta} = 0$ ，则X是第3.6.4节中定义的信号场正交分量 $X_{1}$ 。

现在考虑图6.7的装置，其中光电探测器电流之差（在我们的简化模型中与下式成正比）

被测量。在平衡零差探测中，使用 $50/50$ 分束器 $( T = 1 / 2 )$ 。这消除了仅依赖于本机振荡器场的项：

平衡零差探测中测量的方差类似地被发现与下式成正比

消除本机振荡器的贡献（在实践中可能经历随机涨落）是平衡零差探测的重要优点。

如果信号和本机振荡器场处于相干态 $| \alpha \rangle$ 和 $| \beta \rangle$ （ $| \psi \rangle = | \alpha \rangle | \beta \rangle , a | \Psi \rangle = \alpha | \Psi \rangle , b | \Psi \rangle = \beta | \Psi \rangle$ ），

第二个等式来自 $a a^{\dagger} = a^{\dagger} a + 1$ 和 $b b^{\dagger} = b^{\dagger} b + 1$ 。第一个对易关系导致方差 $\langle ( n_{d} - n_{c} )^{2} \rangle - \langle ( n_{d} - n_{c} ) \rangle^{2}$ 中的项 $\left. {n_{b}} \right.$ ，而第二个对易关系导致 $\left. \boldsymbol{n}_{a} \right.$ 。换言之，信号和本机振荡器场的散粒噪声可以分别归因于本机振荡器和信号场的量子涨落。如果没有信号场 $( \langle n_{a} \rangle = 0 )$ ，方差(6.14.8)简化为 $\langle b^{\dagger} b a a^{\dagger} \rangle = \langle b^{\dagger} b \rangle = \langle n_{b} \rangle$ ，可以被认为是本机振荡器场与进入分束器未用端口的真空场进行零差的结果。

参考文献与扩展阅读#

本章主题涉及的文献数量庞大，此处的推荐仅代表我个人有一定了解的一小部分。

MacDonald的著作是对Brownian运动和其他涨落现象经典理论的非常易读、简洁和基础的介绍。Wax收集了物理和化学中随机过程的一些经典基础论文。较新的著作包括Van Kampen以及Gardiner和Zoller的著作，后者特别侧重于量子光学中的应用。Risken的著作是对Fokker-Planck方程及其应用的清晰介绍。涨落-耗散定理在Landau和Lifshitz (2004)以及Van Kampen等教科书中有论述，最近由G. W. Ford (Contemp. Phys. 58, 244 (2017))进行了综述。

关于辐射反作用理论的最新综述，参见R. F. O'Connell, Contemp. Phys. 53, 301 (2012)，以及A. M. Steane, Am. J. Phys. 83, 256 (2015)。经典理论的局限性由K. T. McDonald在arXiv:physics/0003062中讨论（accessed September 24, 2018）。该文章包含大量关于辐射反作用主题的参考文献。

Desurvire和Haus的著作包含了放大器和衰减器在光通信应用中噪声和涨落的讨论。关于光学外差和零差的更多讨论也应参阅Haus及其中的参考文献。