原子与光：量子理论#

在本章中，我们将原子-场相互作用的量子理论应用于"外"场在原子里感生跃迁的例子。吸收与受激发射被证明是入射场与原子散射的场之间的干涉结果。在旋波近似中，我们建立了一个二态原子与单模场的相互作用模型。这个Jaynes-Cummings模型最初是为了"阐明辐射的量子理论与半经典理论之间的关系"而发展的，它揭示了由于场的"颗粒状"光子特征而产生的独特量子效应。¹

通过对角化Jaynes-Cummings哈密顿量得到的"缀饰态"（dressed states）在处理共振原子-场相互作用中非常有用，包括计算由相干单色场驱动的二态原子的辐射谱。我们利用缀饰态推导了共振荧光光谱的一些基本特征，然后计算了光谱以及计数原子散射辐射光子的符合率。在共振荧光中两个光子不能同时被计数——光子反聚束（photon anti-bunching）——这一事实无法在经典电磁理论中得到解释。

虽然半经典辐射理论、Bloch方程以及第2章中讨论的速率方程为激光-物质相互作用和光谱学的大多数实际应用提供了理论框架，但许多当前和预期的应用需要考虑光的量子本质，其中一些应用如果没有场量子化将是不可想象的。本章中考虑的腔量子电动力学、共振荧光、光子反聚束及相关量子效应，为原子与场相互作用中的一些独特量子力学效应提供了概念上具有启发性的例子。

本章最后部分聚焦于量子理论的一个标志性概念：纠缠。我们计算了原子级联跃迁（cascade transition）中发射光子的偏振关联，这是纠缠的一个例子，在检验量子理论基础本身的实验中一直是最具影响力的实验之一。

5.1 光学Bloch方程的期望值形式#

现在我们回到海森堡运动方程(4.5.1)，考虑初始态 $| \Psi \rangle = | \Psi_{\mathrm{atom}} \rangle \otimes | \Psi_{\mathrm{field}} \rangle$ 上的期望值，其中场不处于其零点真空态：

其中我们对辐射反应场（自发辐射）的效应采用了马尔可夫近似（Markovian approximation）。我们定义 $\beta = A_{21} / 2$ ，并将任何（重正化的）辐射频移包含在 ω₀ 的定义中。

在量子光学和光谱学的许多感兴趣的系统中，最容易处理的场态——也是通常最能描述激光场的态——是相干态（coherent state）。为简单起见，我们假设外加场的单模相干态具有湮灭算符 $a ( t )$ 和频率 ω：

于是，

其中 (c-数) 函数 $\Omega^{( \pm )} ( t )$ 定义为

$\langle \sigma ( t ) \rangle$ 随后按以下方程演化：

现在，

因此

由(4.5.34)，用同样的方式得到

在马尔可夫近似下。

方程(5.1.9)和(5.1.10)与第2章中半经典辐射理论推导的 $\langle \sigma ( t ) \rangle$ 和 $\langle \sigma_{z} ( t ) \rangle$ 方程相同，在旋波近似下，由(5.1.9)和(5.1.10)得到光学Bloch方程(2.7.1)–(2.7.3)。我们是在自发辐射是唯一阻尼机制的情况下得到(5.1.9)和(5.1.10)的，但如同第2.7节所述，我们可以修改这些方程以允许碰撞和其他阻尼过程。关键是，如果外加场能用相干态很好地描述，那么 $\sigma ( t )$ 和 $\sigma_{z} ( t )$ 期望值的方程与半经典推导的完全相同。我们这里只证明了单模场的情况，但结论对多模相干态同样成立。光学Bloch方程及其多态推广，描述了被任何能用相干态很好表征的场（或可以近似视为经典预设场的场）照射的原子和分子中的吸收与受激发射过程。

我们在第3.6.3节中指出，单模激光的场可以认为具有稳定的振幅但随机变化的相位，只要相位扩散速率足够慢，其效果相当于相干态的场。更一般地，激光辐射可以描述为部分相干场，其光学Bloch方程中的相位和Rabi频率被视为随机变量。²

5.2 吸收与受激发射作为干涉效应#

吸收与受激发射可以通过(5.1.9)和(5.1.10)及其向多于两个原子态、非均匀加宽等的直接推广来正确且令人满意地处理。然而，考虑到吸收与受激发射的显著重要性和普遍性，用不那么形式化、更具物理性的方式来描述这些过程似乎是值得的。这就是本节的目的。为了简化问题，我们暂时脱离完全的量子理论，采用半经典方法，将外加场视为经典预设的c-数函数。为进一步简化，我们将此场取为单色平面波。这两种简化都不影响本节的结论：吸收和受激发射可以分别视为外加场与外加场在原子里感生的电偶极矩场之间的相消干涉和相长干涉；正如Lamb所说：

自由空间中任意时刻t的电磁能为

设电场 $\mathbf{E} ( \mathbf{r} , t ) = \mathbf{E} _{d} ( \mathbf{r} , t ) + \mathbf{E} _{i} ( \mathbf{r} , t )$ ，其中 $\mathbf{E} _{d} ( \mathbf{r} , t )$ 是位于 $\mathbf{r} = 0$ 的电偶极子的电场，$\mathbf{E} _{i} ( \mathbf{r} , t )$ 是来自其他辐射源（如激光）的"入射"（外加）电场。⁴ 于是，

前两项分别只是入射场和偶极子场的能量，而能量

是入射场与偶极子场干涉的结果。我们假设

其中 $\hat{\bf x}$ 和 $\hat{\mathbf{z}}$ 是正交单位矢量。于是，

为计算(5.2.5)，我们使用沿入射场偏振方向 $\hat{\bf x}$ 的电偶极矩 ${\bf p} = e {\bf x} = \hat{{\bf x}} p ( t )$ 的场公式(4.3.4)：

于是，

经过全空间积分后。delta函数 $\delta^{3} ( \mathbf{k} - \mathbf{k} _{i} )$ 要求 $| \mathbf{k} | = \omega_{k} / c =$ $| \mathbf{k} _{i} | = \omega_{i} / c$ ，因此

当我们在比 $1 / \omega_{i}$ 长得多的时间上平均时。于是，

因入射场与电偶极子辐射场干涉导致的场能量变化率为

在这个半经典方法中，我们写

如(2.5.32)所示，且

经过时间平均，假设 $u ( t )$ 和 $v ( t )$ 相对于 $\exp ( i \omega_{i} t )$ 缓慢变化。这给出了由于入射场与原子的偶极子场干涉导致的电磁场能量变化率。因此，原子的能量因这种干涉而发生的变化率为

或

用第2章的记号表示。这正是光学Bloch方程中布居差 $w ( t )$ 的变化率（见(2.7.3)），它描述了吸收与受激发射，如第2章所述。因此，我们证明了原子的能量变化是入射场与它在原子里感生的偶极矩场之间干涉的结果。吸收与受激发射来源于感生偶极矩与入射场不同相，而是与它正交，这从(5.2.11)和(5.2.12)可以明显看出。

受激发射有时被描述为一种独特的量子效应，但它也发生在经典力学系统中。⁵

作为激光的工作原理，受激发射具有重大的科学、技术和经济意义。自从Einstein在其推导Planck谱时假设受激发射以来，在近四十年里它很少引起人们的兴趣。1924年，J. H. Van Vleck在关于吸收的对应原理的讨论中提到了"自发辐射"和"感应辐射"，并将感应辐射描述为"负吸收"。⁶同年，Tolman在一篇关于激发态寿命的论文中写道，这种负吸收应导致辐射的放大。⁷1937年，Menzel将"受激发射"的效应包括在内，并认识到辐射放大的可能性，但评论说这"在实践中可能永远不会发生"。⁸1940年，V. A. Fabrikant在其博士论文中指出，如果处于激发态的原子多于低能态，辐射可以被放大。⁹

我们之前已经注意到（见习题2.3），当激发态被布居时，折射率会发生改变。在这种情况下可能产生的"负色散"及其与受激发射的联系，最早是由Kramers认识到的。¹⁰

第二次世界大战期间的雷达研究产生了更高功率的微波源，并被用于战后的微波光谱学。在他们关于氢原子 $\mathrm{2 S_{1 / 2}}$ 和 $\mathrm{2 P_{1 / 2}}$ 能级之间的能量差（Lamb移位）的研究中（见第4.8节），Lamb和Retherford分析了微波感应的 $\mathrm{2 S_{1 / 2}}$ 和 $\mathrm{2 P_{3 / 2}}$ 能级之间的跃迁，并指出，在假设的条件下，预计在2.7 cm跃迁波长处会出现"负吸收"。¹¹

为什么人们花了这么长时间才认真考虑受激发射的实际应用，即制造maser和——更重要的是，后来的——laser的可能性？¹²一个重要的原因似乎是，科学家们发现难以想象能远离热平衡到使受激发射放大变得可行的程度；根据Schawlow的说法，"人们没有继续Ladenburg和Kopfermann关于反常色散的研究，因为他们如此坚信平衡态，以至于他们认为不可能远离平衡到出现负吸收的程度。"¹³

5.3 Jaynes-Cummings模型#

在Jaynes-Cummings模型中，一个二态原子仅耦合到一个场模，相互作用在旋波近似下处理。我们已经在第4.4节中在自发辐射的背景下引入了这个模型；在那里，旋波近似隐含在我们对Hilbert空间的限制中——即最多只有一个光子的态。除了概念上的简洁性之外，Jaynes-Cummings模型作为一个非平凡、实验上可达到的系统的精确可解模型，具有特别的意义。

Jaynes-Cummings哈密顿量来自(4.4.66)，当我们舍弃 σa 和 $\sigma^{\dagger} a^{\dagger}$ 项来做旋波近似：

⁶ J. H. van Vleck, Phys. Rev. 24, 330 (1924).

⁷ R. C. Tolman, Phys. Rev. 23, 693 (1924).

⁸ D. H. Menzel, Astrophys. J. 85, 330 (1937), p. 335.

⁹ 见 M. Bertolotti, Masers and Lasers. An Historical Approach, second edition, CRC Press, Boca Raton, Florida, 2015, pp. 156-159.

¹⁰ H. A. Kramers, Z. Phys. 31, 681 (1925).

¹¹ W. E. Lamb, Jr. and R. C. Retherford, Phys. Rev. 76, 549 (1950), p. 570.

¹² 第一台maser于1953年演示，第一台激光器于1960年演示。

¹³ 引自 M. Bertolotti, Masers and Lasers. An Historical Approach, second edition, CRC Press, Boca Raton, Florida, 2015, p. 28.

旋波近似消除了海森堡运动方程中的反向旋转项。它还导致总原子-场"激发数" $\sigma^{\dagger} \sigma + a^{\dagger} a$ 守恒：

这可以从（旋波近似下的）海森堡运动方程得出：

在二态原子与场精确共振的情况下，$\omega = \omega_{0}$ ，由(5.3.3)–(5.3.5)、二态算符的代数以及同时刻原子和场算符的对易性，可得

其中算符

与 $\sigma_{z} ( t )$ 对易，从(5.3.2)可知它是一个运动常数。假设，例如，初始时刻 $t = 0$ 二态原子处于上态2，而场处于光子数n的Fock态 $| n \rangle$ 。那么，由于 $\sigma_{z} ( 0 ) | \psi \rangle = 1$ 且 $a^{\dagger} ( 0 ) a ( 0 ) | \Psi \rangle = n$ ，对于这个初始态 $| \Psi \rangle = | 2 \rangle | n \rangle$ ，期望值 $\langle \Psi | \sigma_{z} ( t ) N ( t ) | \Psi \rangle$ 为

因此，由(5.3.6)，

其解为

回忆 $\left. \sigma_{z} ( t ) \right. = \left. \sigma_{22} ( t ) \right. - \left. \sigma_{11} ( t ) \right.$ 是上态和下态概率 $P_{2} ( t )$ 和 $P_{1} ( t )$ 之差，我们从(5.3.10)推得

和

如果 $n = 0$ ，即初始没有光子，(5.3.11)和(5.3.12)正好再现了薛定谔绘景中得到的结果(4.4.11)和(4.4.12)。对于 $n \gg 1$ ，$\langle a^{\dagger} ( t ) a ( t ) \rangle \cong n$ ，且

如果我们像下面讨论的那样，将 $2 C \sqrt{n}$ 识别为Rabi频率 $d {\bf E} _{0} / \hbar$ ，那么这些就是半经典辐射理论所预言的Rabi振荡（见(2.6.3)和(2.6.4)）：完全量子化的Jaynes-Cummings模型在高光子数极限下对 $P_{2} ( t )$ 和 $P_{1} ( t )$ 做出了与未量子化场相同的预言。在这个极限下，受激发射远强于自发辐射。(5.3.11)和(5.3.12)中的 $n + 1$ 中的1对应于自发辐射，这是半经典辐射理论不能正确描述的。

二态原子耦合到单模场的相互作用哈密顿量(5.3.1)，

在Jaynes-Cummings模型中被替换为

。由(3.3.4)，用（假设为实数的）模函数在原子位置 $\mathbf{r} _{0}$ 处的值 $\mathbf{A} ( \mathbf{r} _{0} )$ 描述的单模场的电场算符为

从中我们识别出

为了便于与半经典理论比较，将(5.3.16)中的 $a ( t )$ 替换为 $- i {\sqrt{n}} e^{- i \omega t}$ ，此时它被替换为一个"经典"（c-数）场 $\mathbf{E} _{\mathrm{c l}} ( \mathbf{r} _{0} , t )$ ，使得

因此我们可以写

$\Omega_{n}$ 是第2章中半经典辐射理论定义的Rabi频率（见(2.5.3)）。(5.3.13)中上态和下态占据概率的振荡与半经典理论中(2.6.3)和(2.6.4)在 $\omega = \omega_{0}$ 时给出的相同。

如果我们假设初始态中场处于n光子的Fock态且二态原子处于其低能本征态，则得到，代替(5.3.11)，

将 $2 C \sqrt{n}$ 识别为Rabi频率使得Jaynes-Cummings模型的二态原子占据概率解与半经典解具有相同的形式。特别地，对于初始真空场 $n = 0$ ，Jaynes-Cummings模型和半经典理论都预言二态原子将永远停留在其低能态。

解(5.3.11)和(5.3.12)表明，一个初始激发的原子在真空场中会经历Rabi振荡，与场交换激发。 $C \ ( \mathrm{{o r} \ 2 {\cal C} )}$ 被称为真空Rabi频率。它取决于在原子位置 $\mathbf{r} _{0}$ 处评估的场模函数。如果原子恰好位于场的节点 $( \mathbf{A} ( \mathbf{r} _{0} , t ) = 0 ) , C = 0$ ，原子根本不会与单模场相互作用；在没有其他模或相互作用的情况下，初始激发的原子将永远保持激发。

当场初始处于Fock态 $| n \rangle$ 时，$\langle \sigma_{z} ( t ) \rangle$ 的更一般解很容易得到。例如，如果失谐 $\Delta = \omega_{0} - \omega \neq 0$ ，

若原子初始处于上态 $( \langle \sigma_{z} ( 0 ) \rangle = + 1 )$ ，且

若原子初始处于下态 $( \langle \sigma_{z} ( 0 ) \rangle = - 1 )$ 。

习题5.1：证明

和

其中 $X ( t ) = \sigma^{\dagger} ( t ) a ( t ) - a^{\dagger} ( t ) \sigma ( t )$ ，并由此导出解(5.3.23)和(5.3.24)。

当初态场不简单是真空或Fock态 $| n \rangle$ 时，推导 $\langle \sigma_{z} ( t ) \rangle$ 的解并不困难。假设初始场态可以表示为Fock态的叠加：

我们再次关注 $\langle \sigma_{z} ( t ) \rangle = \langle \Psi | \sigma_{z} ( t ) | \Psi \rangle , | \Psi \rangle = | \psi_{A} \rangle | \psi_{F} \rangle . | \psi_{A} \rangle$ ，原子的初态，取为下态1，我们进一步假设原子和场精确共振 $( \Delta = 0 )$ 。将(5.3.6)写为

其中算符 $M^{2} = 4 C^{2} [ \sigma^{\dagger} ( t ) \sigma ( t ) + a^{\dagger} ( t ) a ( t ) ] = 4 C^{2} [ \sigma^{\dagger} ( 0 ) \sigma ( 0 ) + a^{\dagger} ( 0 ) a ( 0 ) ]$ 是运动常数，且对所有 $t \geq 0$ 与 $\sigma_{z} ( t )$ 对易。我们感兴趣的是 $\sigma_{z} ( t )$ 在初态 $| \Psi \rangle = | 1 \rangle | \Psi_{F} \rangle$ 上的期望值：

这适用于原子初始处于其两个本征态之一的情况，此时 $\langle \dot{\sigma} _{z} ( 0 ) \rangle = - 2 C \langle [ \sigma ( 0 ) a^{\dagger} ( 0 ) + \sigma^{\dagger} ( 0 ) a ( 0 ) ] \rangle = 0$ 。现在，由于 $\sigma^{\dagger} ( 0 ) \sigma ( 0 ) | 1 \rangle = 0$ ，且 $a^{\dagger} ( 0 ) a ( 0 ) | n \rangle = n | n \rangle$

依此类推 $M^{2}$ 的更高次幂，因此我们推得

且，由于 $\langle m | n \rangle = \delta_{m n}$ 和 $\langle 1 | 1 \rangle = 1$

特别令人感兴趣的是初态 $\left| \Psi \right.$ 中场由相干态 $| \alpha \rangle$ 描述的情形；于是（回顾(3.6.18)）

当二态原子初始处于其低能本征态时。如果二态原子初始处于其高能本征态，且同样 $\Delta = 0$ ，我们类似地得到

尽管相干场态在大多数方面是最"类经典"的，但这些解看起来并不太像半经典辐射理论在原子受单色场照射时所预言的 $\langle \sigma_{z} ( t ) \rangle$ 的完美正弦振荡。相比之下，场为Fock态情况下的解(5.3.24)在我们考虑的情形 $( \Delta = 0 )$ 下简化为 $\langle \sigma_{z} ( t ) \rangle = - \cos ( \Omega_{n} t )$ ，正是半经典理论预言的那类正弦振荡。然而，当初态场为相干态且平均光子数 $\langle n \rangle = | \alpha | ^{2}$ 很大时，我们确实恢复了更多的半经典行为：由于光子数泊松分布(5.3.32)的方差 $\langle ( \Delta n ) ^{2} \rangle = \langle n^{2} \rangle - \langle n \rangle^{2} = \langle n \rangle$ ，故 $\langle ( \Delta n ) ^{2} \rangle^{1 / 2} / \langle n \rangle = 1 / \langle n \rangle^{1 / 2} \ll 1$ 。因此，当 $\langle n \rangle \gg 1$ 时，(5.3.33)和(5.3.34)有望至少显示出与半经典辐射理论的Rabi振荡一定的相似性。图5.1显示了由(5.3.34)给出的 $\langle \sigma_{z} ( t ) \rangle$ ，其中 $\langle n \rangle = 4 , 9$ 和99。在短时间尺度上存在类似Rabi的振荡，并且这些振荡随平均光子数 $\langle n \rangle$ 的增加而持续更长时间。但无论平均光子数多大，振荡最终都会"塌缩"。

由"混沌"源产生的初态场（见第3.6节）也特别令人感兴趣。我们得到

假设原子初始处于 $t = 0$ 的上态、$\Delta = 0$ ，且平均初态光子数为 $\langle n \rangle$ ；对于热场，$\langle n \rangle = 1 / [ \exp ( \hbar \omega / k_{B} T - 1 ]$ （见第3.6节）。对于这种初态场，方差 $\langle ( \Delta n ) ^{2} \rangle = \langle n \rangle^{2} + \langle n \rangle$ （回顾(3.6.100)）且 $\langle ( \Delta n ) ^{2} \rangle^{1 / 2} / \langle n \rangle = ( 1 + 1 / \langle n \rangle ) ^{1 / 2}$ 。这种情况下的光子数分布（不同于相干态在大 $\langle n \rangle$ 时的情况）是宽的，因此系统的时间演化几乎没有Rabi振荡的迹象（见图5.2）。

Jaynes-Cummings论文的目标之一"是阐明辐射的量子理论（其中电磁场展开系数满足对易关系）与半经典理论（其中电磁场被视为时间的确定函数而非算符）之间的关系。"¹⁴我们在第4.7节讨论过他们的结论："半经典理论会导致自发辐射的预言，其衰变率与量子电动力学给出的相同，由Einstein A系数描述。"¹⁵

图5.1 Jaynes-Cummings模型中 $\Delta = 0$ 时的原子布居反转随时间的变化。t=0时，二态原子处于上态，场处于相干态， $| \alpha | ^{2} = \langle n \rangle = 4 , 9$ 和 99。时间以 $( 2 C \langle n \rangle^{1 / 2} / \hbar ) ^{- 1}$ 为单位。来自 B. W. Shore and P. L. Knight, J. Mod. Opt. 40, 1195 (1993)，经许可。

虽然半经典辐射理论有时在实验面前有所不足（见第2.3、4.7和5.8节），但它仍然是分析最直接与光谱学和其他应用相关的光-物质相互作用的首要——实际上也是不可或缺——的方法。Jaynes、他的学生以及许多其他人的工作表明，它作为一个概念性和计算性框架是多么出色；他们的工作也激发了进一步的理论工作和实验，加深了我们对光量子本质的理解。

Jaynes-Cummings模型本身也激发了许多理论工作和一些卓越的实验。在一个这样的实验中，速度选择的铷原子束在经线偏振紫外辐射激发到高Rydberg能级 $\left( 63 \mathrm{p} _{3 / 2} \right)$ 后进入超导微波腔，使得21.6 GHz $\mathrm{( 63 p_{3 / 2} – 61 d_{5 / 2} )}$ 跃迁频率与腔模共振，原子近似为二态系统。从腔中出射的处于 $63 \mathrm{p} _{3 / 2}$ 能级的原子通过场电离检测，通过选择不同的原子速度（即不同的原子-场相互作用时间 $t$），可以确定近似二态原子的上态概率 $P_{2} ( t )$ 并与 $\langle n \rangle \cong 2$ 时 $\omega = 21 . 6 / 2 \pi$ GHz 且腔温 $T = 2 . 5 \mathrm{~ K ~}$ 的Jaynes-Cummings模型的预言进行比较。在可达到的相互作用时间范围 $( \sim 30 {-} 140 ~ \mu \mathrm{s} )$ 内与理论符合得很好。¹⁶第5.4节重点关注Jaynes-Cummings模型的另一个已被实验验证的预言。

图5.2 与图5.1相同，但场初始处于热态，平均光子数为 $\langle n \rangle$ 。来自 B. W. Shore and P. L. Knight, J. Mod. Opt. 40, 1195 (1993)，经许可。

5.4 塌缩与复兴#

诸如(5.3.33)和(5.3.35)的表达式，或者更一般地，"准周期"函数

其中 $\omega_{n} \ \left( > 0 \right)$ 是线性无关的（"不可公度的"），具有这样的性质：给定任意时刻t的 $x ( t )$ ，存在无穷多个时刻 $t^{\prime}$ 使得 $x ( t^{\prime} )$ 可以任意接近 $x ( t )$ 。¹⁷这个具有离散傅里叶谱的函数的性质意味着量子递归定理："考虑一个具有离散能量本征值 $E_{n}$ 的系统：如果 $\Psi ( t_{0} )$ 是它在时刻 $t_{0}$ 的状态矢量，且 ε 是任意正数，那么至少存在一个T使得矢量 $\Psi ( T ) - \Psi ( t_{0} )$ 的范数 $| | \Psi ( T ) - \Psi ( t_{0} ) | |$ 小于 $\epsilon . ^{\prime \prime 18}$ 这一定理的证明可以直接从准周期函数的递归性质和这样一个事实得出：具有离散能量本征值 $E_{n}$ 和本征矢量 $\left| \Phi_{n} \right.$ 的系统在任意时刻t的状态矢量都具有形式

这类似于经典力学中的Poincare递归定理，根据该定理，占据有限体积的系统的相空间中的任何点，只要等待足够长的时间，都会任意接近地重新出现。在经典领域，Poincare递归时间可能长得令人望而却步——例如，比宇宙的年龄还长——并且毫无实际意义。在量子系统中，类似地，当能量本征值密集分布时，递归时间可能极大。

在数值研究发现，Jaynes-Cummings模型中 $\langle \sigma_{z} ( t ) \rangle$ 等量的时间演化中可能出现递归的"塌缩"（collapse）和"复兴"（revival）现象。¹⁹前一种现象在图5.1的最后两个图中是明显的：在几次Rabi振荡之后，初态为相干场的情况下的布居反转"塌缩"了。Eberly等人推广了Cummings关于这种塌缩效应的一些解析近似。²⁰对于大 $\langle n \rangle$ ，振荡的包络具有高斯形式，对于 $\Delta = 0$ ，大 $\langle n \rangle$ 时布居反转的塌缩时间近似为 $t_{c} = 1 / C$ ，即真空Rabi频率的倒数。包络内的振荡次数随 $\langle n \rangle$ 增加而增加，但塌缩时间保持不变。有人指出，"塌缩仅在上态被占据时发生（即仅当自发辐射可能发生时），"表明塌缩可能与场的量子涨落有关。²¹但它也可以用具有涨落场的半经典模型来描述。

"复兴"效应是一种源于场量子性质的独特量子效应，是在比早期研究长得多的 $\langle \sigma_{z} ( t ) \rangle$ 计算中发现的。该效应在图5.3的中图中清晰可见，该图显示了 $\langle \sigma_{z} ( t ) \rangle$ ，初始态为二态原子激发、场处于 $\langle n \rangle = 16$ 的相干态，且 $\Delta = 0$ 。复兴频率随 $\langle n \rangle$ 增大而降低；对于 $\Delta = 0$ 和场的初始相干态，复兴周期的近似公式为²²

¹⁸ P. Bocchieri and A. Loinger, Phys. Rev. 107, 337 (1957), p. 337.

¹⁹ J. H. Eberly, N. B. Narozhny, and J. J. Sanchez-Mondragon, Phys. Rev. Lett. 44, 1323 (1980).

²⁰ F. W. Cummings, Phys. Rev. 140, A1051 (1965).

²¹ J. H. Eberly, N. B. Narozhny, and J. J. Sanchez-Mondragon, Phys. Rev. Lett. 44, 1323 (1980), p. 1325.

²² N. B. Narozhny, J. J. Sanchez-Mondragon, and J. H. Eberly, Phys. Rev. A 23, 236 (1981).

从图5.3的中图来看，似乎原子-场动力学在塌缩之后、复兴之前可以以某种方式"静止"。实际上发生的是，除了 $\sigma_{z} ( t )$ 之外的其他量——特别是原子的偶极矩期望值——在这些时间间隔内显著变化。²³

图5.3 Jaynes-Cummings模型中的布居反转随时间的变化， $\Delta \ : = \ : 0 ,$ $\langle n \rangle = 16$ ，初态为原子激发。上图中场初始处于混沌态（如热态），而中图中场处于相干态。下图显示了相干态情况下的Mandel Q参数。时间以 $( 2 C \langle n \rangle^{1 / 2} / \hbar ) ^{- 1}$ 为单位。来自 B. W. Shore and P. L. Knight, J. Mod. Opt. 40, 1195 (1993)，经许可。

图5.3的下图显示了相干态示例中计算的Mandel Q参数(3.6.118)。它在不同时间低于0的事实反映了场的亚泊松（sub-Poissonian）非经典行为，在其演化过程中的某些时间间隔内场也表现出压缩（squeezing）。

Jaynes-Cummings模型预言的塌缩和复兴效应已在第5.3节提及的那种"微脉泽"（micromaser）实验中观察到。基于Mandel Q参数（归一化方差）与腔内光子数和基态原子数之间的关系，这些实验也展示了光子和原子的非经典亚泊松计数统计。²⁴

塌缩和复兴效应也在其他（并非受Jaynes-Cummings模型启发）的实验中被观察到。在一个实验中，钾原子被20 ps紫外泵浦脉冲激发，产生主量子数 $\approx 65$ 的Rydberg态的相干叠加，形成一个径向局域的波包，可以描述为一个在原子核和外转向点之间振荡的"壳层"；所涉及的高主量子数意味着构成波包的态在能量上几乎等间距，振荡周期近似等于经典预期周期。如果施加第二个具有电场 $\mathbf{E} ( t )$ 的脉冲，原子吸收能量的速率正比于 $\mathbf{v} ( t ) \cdot \mathbf{E} ( t )$ ，其中 $\mathbf{v} ( t )$ 是电子速度。在外转向点附近，v很小，但在原子核附近，v很大，原子可以强烈吸收并被电离。因此，波包的振荡可以通过计数作为两脉冲之间延时的函数的离子数来探测。从含时薛定谔方程的解中预见了波包时间演化中的塌缩和复兴，并且直观上也可预期，因为激发的Rydberg态几乎但并非完全等间距。这种行为已被观察到。²⁵

对于初始混沌场态，数值模拟没有显示任何可辨别的塌缩和复兴。对于初始相干场态，复兴似乎在比图5.1–5.3所示的更长的时间间隔上重叠。在这样长的时间尺度上，没有清晰的塌缩和复兴模式，任何递归行为都具有(5.4.1)型函数特征的一般的"量子递归"性质。这种函数当然出现在许多不同的领域，并已被数学家研究了许多年。$x ( t )$ 的一个有趣性质是它取某个特定值 $q$ 的平均频率 $L ( q )$ ；这定义为

其中 $N_{T} ( q )$ 是函数 $x ( t ) - q$ 的零点数。如Kac所示，

其中 $J_{0}$ 是零阶Bessel函数。²⁶$x ( t )$ 的概率分布也可以用零阶Bessel函数表示：

这些公式已被应用于Jaynes-Cummings布居反转(5.3.34)和(5.3.35)，以推导其长时间概率分布的近似解析表达式以及它们取特定值 $q$ 的平均频率。²⁷

5.5 缀饰态#

Jaynes-Cummings模型中未耦合的原子-场系统的本征态 $| 1 \rangle | n \rangle \equiv | 1 ; n \rangle$ 和 $| 2 \rangle | n \rangle \equiv | 2 ; n \rangle$ 构成一个完备集，可用于将旋波近似哈密顿量(5.3.1)表示为一个无穷维的分块对角Hermitian矩阵，其 $2 \times 2$ 矩阵元为

对于每个 $n$ ，我们可以对角化相应的 $2 \times 2$ 矩阵，并将其两个正交（且归一化）的本征矢量用未耦合系统的（标准正交）本征态表示。我们将这些本征矢量记为 $| n + \rangle$ 和 $| n - \rangle$ ，相应的本征值记为 $E ( n \pm )$ ：

其中

是耦合的原子-场系统的能量本征值。"混合角" $\theta_{n}$ 满足

如果初始有n个光子且原子处于下态1，旋波近似哈密顿量允许向原子处于上态2且有 $n - 1$ 个光子的态跃迁。这两个态都不是耦合的原子-场系统的定态；在海森堡绘景中，我们获得了它们随时间变化的占据概率的精确解。现在我们得到了耦合系统的定态，即所谓的缀饰态，其能量本征值为 $E ( n \pm )$

当然，我们可以反过来将"裸"态表示为缀饰态的叠加：

我们可以在计算中使用裸态或缀饰态。例如，假设我们有一个初态 $| \Psi ( 0 ) \rangle = | 2 ; n - 1 \rangle$ 。我们已经使用裸态基计算了原子-场系统在任何后续时刻t处于这样一个态的概率。使用缀饰态基同样容易：

时刻t的状态矢量为

系统在时刻t处于初态(5.5.6)的概率为

这等价于(5.3.23)，即我们使用裸态基推导出的 $\left. \sigma_{z} ( t ) \right. ( = P_{2} ( t ) -$ $P_{1} ( t ) = 2 P_{2} ( t ) - 1 )$ 的结果。

如果 $\Delta^{2} / 4 \gg C^{2} n$

在此极限下，若 $\Delta > 0$ 则 $\theta_{n} \cong 0$ ，且 $| n + \rangle$ 近似为 $| 2 ; n - 1 \rangle$ 加上少量 $| 1 ; n \rangle$ 的混合。 $E ( n + )$ 因此近似为"裸"态 $| 2 ; n - 1 \rangle$ 的能量 $( n - 1 ) \hbar \omega + \textstyle{\frac{1} {2}} \hbar \omega_{0}$ ，但带有小的附加能量 $\hbar C^{2} n / \Delta$ 。类似地 $| n - \rangle$ 近似为 $| 1 ; n \rangle$ 加上少量 $| 2 ; n - 1 \rangle$ 的混合，且 $E ( n - )$ 近似为裸态 $| 1 ; n \rangle$ 的能量 $n \hbar \omega - {\frac{1} {2}} \hbar \omega_{0}$ 加上小的附加能量 $- \hbar C^{2} n / \Delta$ 。如果 $\Delta < 0$ ，类似地，$\theta_{n} \cong \pi / 2$ 且 $| n + \rangle \cong | 1 ; n \rangle , | n - \rangle \cong - | 2 ; n - 1 \rangle$

能量 $\pm \hbar C^{2} n / \Delta$ 的一个简单解释来自我们在半经典辐射理论和旋波近似下推导的二态原子上下态的AC Stark移位（见(2.5.40)和(2.5.41)）：

如果现在将 $d E_{0}$ 识别为 $2 \hbar C \sqrt{n}$ （见(5.3.21)），我们可以将这两个二态原子AC Stark移位写为

从(5.5.9)和(5.5.10)之后的讨论，我们识别出原子处于上态且有n个光子的态的能量移位

和原子处于下态且有n个光子的态的能量移位

因此，我们补充了(5.3.21)的半经典论证不能解释 $\delta E ( 2 ; n )$ 中因子 $n + 1$ 里的1，即它不能预言当场中没有光子时原子态上态的能级移位 $C^{2} / \Delta$ 。这个移位是原子二态模型中的Lamb移位（或者等效地，真空电场的AC Stark移位）。半经典模型确实预言，与(5.5.14)一致，当场中没有光子时原子下态没有移位。²⁸

在这个"色散极限" $\left( \Delta^{2} / 4 \gg C^{2} n \right)$ 下的原子实际上起着非吸收介质的作用，因此可以影响场模的频率。例如，假设场频率是体积为V的单模腔的频率，腔中有小密度N的原子，则折射率为（回顾(1.5.22)）

腔中的光速为 $c / n ( \omega ) = \lambda \omega / 2 \pi n ( \omega )$ ，由于波长 λ 由腔的尺寸决定，腔模频率从其真空值 ω 变为 $\omega / n ( \omega )$ ，即存在一个频移

由于腔中存在一个原子 $( N = 1 / V )$ 。方程(2.5.35)在 $\mathbf{d} _{12} ^{2} = 3 d^{2}$ 时意味着模频移动到

由于腔中存在一个处于态2的原子。²⁹（我们使用了C的定义(5.3.19)，其中 $\mathbf{A} ^{2} ( \mathbf{r} _{0} ) \approx 1 / V .$ ）类似地，当腔中的原子处于态1时，极化率改变符号，于是

这些频移也可从(5.5.13)和(5.5.14)得出：

以及类似地，

相反的"强耦合"极限 $\Delta^{2} / 4 \ll C^{2} n$ ，特别在 $\Delta = 0$ 时实现：

且

在没有原子-场耦合时具有相同能量 n¯hω（当 $\Delta = 0$ 时）的态 $| 2 ; n - 1 \rangle$ 和 $| 1 ; n \rangle$ ，是能量为(5.5.22)且具有动态Stark移位 $\pm \hbar C \sqrt{n}$ 的缀饰态的叠加。例如，态

在 $\Delta = 0$ 时变成了一个双线态，真空Rabi分裂为 $E ( 1 + ) - E ( 1 - ) = 2 \hbar C$

得益于多年卓越的实验努力，上述类型的效应——以及更多——实际上已被观察到。例如，在第一次观测真空Rabi分裂的实验中，基态铯原子束被注入高Q光学谐振腔（3.2 mm长），测量通过一个镜面注入的弱可调谐激光束的透射强度，对于腔中不同的平均原子数 $\mathcal{N}$ 。当谐振腔中没有原子时，透射强度具有Lorentzian谱形，中心位于单个谐振腔模频率，接近原子的二态跃迁频率；不谐振于谐振腔频率的场被简单反射。然而，当谐振腔中有原子时，透射强度谱展现出两个峰，与真空Rabi分裂一致。实验的成功依赖于多项成就，包括足够高质量的谐振腔以最小化光子损失，以及与光子损失率和原子向开放谐振腔其他模的自发辐射率相比足够大的真空Rabi频率 $C$ 。与预言真空Rabi分裂的简单理论的比较由于以下事实而变得复杂：原子在谐振腔中经历空间变化的场，并且谐振腔中原子数存在涨落。考虑了这些复杂性的数值模拟与不同平均原子数（包括 $\mathcal{N} \cong 1$ ）下的实测透射数据符合得很好。³⁰

5.6 共振荧光#

在共振荧光（resonance fluorescence）中，原子被光激发并发射相同波长的光。这是一个古老的课题，但在各种应用中仍然具有重要性和意义。在激光出现之前，共振荧光研究涉及原子和分子与光的相对较弱的相互作用。激光的出现使得在那些与原子和分子强烈相互作用并以以前无法实现的方式影响它们（以及发射的光）的场中观察共振荧光成为可能。在这里，我们将聚焦于概念上最简单的场景——一个由接近原子跃迁频率的强准单色场驱动的二态原子。

首先从强耦合区域中的缀饰态角度考虑该系统，假设 $\Delta = 0$ 。态 $| 2 ; n \rangle$ 具有总（原子加光子）激发数 $n + 1$ ，在自由空间中，它可以通过自发辐射衰变到任何场模中具有激发数 $n$ 的态，后者可以衰变到激发数为 $n - 1$ 的态，依此类推。对于每个 $n$ ，衰变可以从能量间隔为 $\Omega_{n} = \hbar C {\sqrt{n}}$ 的一个缀饰态 $| n , \pm \rangle$ 进行到能量间隔为 $\Omega_{n - 1} = \hbar C {\sqrt{n - 1}}$ 的缀饰态 $| n - 1 , \pm \rangle$ 。对于 $n \gg 1 , \Omega_{n - 1} \cong \Omega_{n} = \Omega$ ，因此存在两个频率为 ω 的跃迁：一个频率为 $\omega + \Omega$ 的跃迁和另一个频率为 $\omega - \Omega$ 的跃迁（见图5.4）。因此，由频率 $\omega = \omega_{0}$ 的足够强的单色场驱动的二态原子的辐射谱将具有位于 ω 和 $\omega \pm \Omega$ 处的峰，其中 Ω 是（共振时的）Rabi频率。

当然，这三个峰将具有有限宽度。为了计算共振荧光的实际光谱，我们可以使用缀饰态基或裸态基。我们将使用裸态进行海森堡绘景的计算。

电磁场能量变化率的期望值为

利用(4.4.69)和 $\sigma_{x} ( t ) = \sigma ( t ) + \sigma^{\dagger} ( t )$ ，得到

³⁰ R. J. Thompson, G. Rempe, and H. J. Kimble, Phys. Rev. Lett. 68, 1132 (1992).

图5.4 从一个缀饰双线态 $| n , \pm \rangle$ 到一个总激发数少1的缀饰双线态 $| n - 1 , \pm \rangle$ 的自发衰变跃迁，当光子数 $n \gg 1$ 时。在此极限下，两个双线态具有相同的能量间隔，等于 ¯h 乘以Rabi频率 $\Omega ,$ ，存在两个频率为 ω 的允许跃迁和每个频率 $\omega - \Omega$ 和 $\omega + \Omega$ 处各一个跃迁。

用于二态原子。第一项是由外加场所致的受激发射和吸收引起的场能变化率。考虑一个单模初始占据场，由相干态描述，其电场的期望值 $\langle E_{0} ^{( - )} ( t ) + \bar{E_{0} ^{( + )}} ( t ) \rangle = E_{0}$ cos ωt。由(4.5.3)对 $E_{0} ^{( - )} ( t )$ ，这给出了

其中 $p ( t ) = d \langle \sigma_{x} ( t ) \rangle$ 是偶极矩期望值。与(5.2.10)比较可知，这确实是受激发射和吸收导致的场能变化率。

$P ( t )$ 的第二项 $P_{s} ( t )$ 是从外加场辐射或散射出去的功率。在模连续极限下，并引入相对于 $\sigma ( t )$ 慢变的算符 $S ( t ) = \sigma ( t ) \exp ( i \omega t )$ ，其中 $\omega \cong \omega_{0}$ 是外加场的频率，在旋波近似下得到

预期辐射场的谱将集中在频率 ω 附近，我们近似为

我们可以进一步简化：对于足够长的原子-场作用时间——远长于一个辐射寿命——原子处于一个定态，其中 $\langle S^{\dagger} ( t^{\prime} ) S ( t ) \rangle$ 只是 $\tau = t - t^{\prime}$ 的函数。在这个定态下，辐射功率与时间无关：

其中 $t_{0}$ 是某个时刻，此后原子处于定态，因此

注意，在从(5.6.4)到(5.6.5)的近似内，

即定态下的散射功率等于自发发射速率A乘以稳态上能级占据概率 $P_{2} ( t_{0} )$ 乘以能量 $\hbar \omega$。

在自发发射的Markov近似下，二态原子算符 $S ( t )$ 和 $\sigma_{z} ( t )$ 的运动方程由(4.4.77)和(4.5.34)给出：

和

我们使用了 $E_{0} ^{( + )} ( t )$ 的表达式(4.5.2)并做了旋波近似。现在我们用这些方程来计算共振荧光的功率谱。基于(5.6.6)，我们将其定义为

这需要计算关联函数

由(5.6.9)可知，$g ( \tau )$ 满足

设初始态 $|\Psi\rangle$ 中光场处于相干态，即 $E_{0} ^{( + )} ( t )$ 的本征态，满足

因此初始激发的场模的期望值为 $\langle E_{0} ^{( + )} ( t ) + E_{0} ^{( - )} ( t ) \rangle = E_{0} \sin \omega t$。于是

我们定义了Rabi频率 $\Omega = d E_{0} / \hbar$ 并引入了第二个二态原子关联函数

从(5.6.10)我们得到 $h ( \tau )$ 的方程：

方程(5.6.9)表明 $S^{\dagger} ( t )$ 只依赖于 $E_{0} ^{( - )} ( t^{\prime} )$ 在 $t^{\prime} \leq t$ 时刻的值（见练习5.2）

所以对易子

此外，$\langle \Psi | E_{0} ^{( - )} ( t_{0} + \tau ) = - ( i / 2 ) E_{0} e^{i \omega ( t_{0} + \tau )} \langle \Psi |$，因此

我们引入了另一个关联函数：

再次利用(5.6.9)和(5.6.19)，我们发现 $f ( \tau )$ 满足

练习5.2： 证明(5.6.18)在忽略涉及 $\delta ( t - t^{\prime} )$ 导数除以 $\omega_{0}$ 幂次的修正下成立。（在时间间隔 $\sim \omega_{0} ^{- 1}$ 内变化可忽略的检验函数上，这些修正可忽略。）

（近似）方程(5.6.15)、(5.6.20)和(5.6.22)组成了一组可解出 $g ( \tau )$ 从而得到 $p ( \nu )$ 的封闭方程组：^{31}

初始条件为

这些期望值容易从光学Bloch方程的稳态解求得：

这些方程由对(5.6.9)和(5.6.10)两边取关于初始态 $\psi$ 的期望值得到：

和

例如，若 $\Delta = 0$ 且 $\Omega \gg A$，

^{31} P. L. Knight and P. W. Milonni, Phys. Rep. 66, 21 (1980). 另见 Mandel and Wolf (1995), Section 15.6.

和

为解释 $p ( \nu )$ 中形如 $\delta ( \nu - \omega )$ 的部分，将 $g ( \tau )$ 写为 $g ( \tau ) = g_{e} ( \tau ) + g_{i} ( \tau )$：

并将共振荧光谱的"弹性"部分定义为

由于 $\langle S ( t_{0} + \tau ) \rangle = \langle S ( t_{0} ) \rangle = - h ( 0 )$，所以

因此，谱中在施加场频率 $\omega$ 处出现delta函数峰的部分，是通过将关联函数 $g ( \tau )$ 中的算符乘积期望值替换为单个期望值的乘积得到的。这正是若根据光学Bloch方程计算稳态偶极矩的Fourier变换来定义谱时所得的（完全）谱，如同在半经典辐射理论中那样。

谱的"非弹性"部分为

具有从缀饰态视角预期的三峰结构。谱峰位于施加场频率 $\omega$ 和"Rabi边带" $\omega \pm \Omega$。对于 $\Delta = 0$ 且 $\Omega \gg A$，$p_{i} ( \nu )$ 由(5.6.34)的后三项给出：

第一项对所有频率的积分是第二项和第三项积分的两倍，与缀饰态图像一致，而第一项的峰值是第二项和第三项峰值的三倍。

图5.5 二态原子在频率等于原子跃迁频率的激光场驱动下的共振荧光谱理论（上）和实验结果（下）。下图中实线是理论谱与仪器线形（宽度9.5 MHz）的卷积。实验中场强下，谱的弹性部分可忽略，未包含在理论谱图中。摘自 R. E. Grove, F. Y. Wu, and S. Ezekiel, Phys. Rev. A 15, 227 (1977)，已获许可。

强相干单色场中二态原子共振荧光谱三峰结构的理论是在1970年代发展起来的。^{32} 在最早的实验中，（钠）原子并未被制备为二态系统，但三峰结构已被清晰展示。^{33} 随后采用光泵浦将原子制备为二态系统的实验得到了与理论非常一致的测量谱（见图5.5）。^{34} 最近在量子点和人工原子中也观察到了强场共振荧光的三峰结构。^{35}

在较早的（激光出现前）文献中，观察到的共振荧光谱没有Rabi边带，因为施加场太弱。弱场理论在Heitler的专著中有详细讨论。^{36} 其中表明，对于窄带施加场，

^{32} A. I. Burshtein, Sov. Phys. JETP 21, 567 (1965); A. I. Burshtein, Sov. Phys. JETP 22, 939 (1966); M. Newstein, Phys. Rev. 167, 89 (1968); B. R. Mollow, Phys. Rev. 188, 1969 (1969).

^{33} F. Schuda, C. R. Stroud, Jr., and M. Hercher, J. Phys. B: Atom. Molec. Phys. 7, L198 (1974).

^{34} R. E. Grove, F. Y. Wu, and S. Ezekiel, Phys. Rev. A 15, 227 (1977).

^{35} 参见，例如 O. Astafiev, A. M. Zagoskin, A. A. Abdumalikov,Jr., Y. A. Pashkin, T. Yamamoto, K. Inomata, Y. Nakamura, and J. S. Tsai, Science 327, 840 (2010)。

^{36} W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation, 第三版, Oxford University Press, London, 1960, pp. 196–204.

散射辐射同样窄带，而对于宽带激发，散射辐射具有自发发射的自然线形。^{37} 这些结果在我们的Heisenberg图像方法中容易导出。如果低强度场照射下原子的上能级占据概率很小，原子可以很好地用谐振子模型近似，我们将 $\sigma_{z} ( t )$ 替换为 -1（第2.5.2节）。在(4.4.74)中使用此近似，做旋波近似，忽略辐射频移（或假设它们已包含在 $\omega_{0}$ 的定义中），我们直接得到，对于 $t_{0} \to \infty$，

^{37} 参见，例如 Heitler (1960), loc. cit., pp. 196–204。

和

在施加场被视为单色（忽略仪器对线形的影响）的极端窄带极限下，

其中 $\langle n \rangle = \langle a^{\dagger} ( 0 ) a ( 0 ) \rangle$ 是频率为 $\omega$ 的驱动场的平均光子数，$\Omega = 2 C \sqrt{\langle n \rangle}$（见(5.3.21)）。这复现了 $\Omega \ll A$ 时共振荧光谱的弹性部分（见(5.6.38)）。然而，对于宽带驱动场，$\langle a_{\beta} ^{\dagger} ( 0 ) a_{\beta} ( 0 ) \rangle$ 可视为频率的相当平坦的函数，此时(5.6.42)意味着共振荧光谱就是自然线形：

练习5.3： (a) 推导(5.6.41)和(5.6.42)。(b) 绘制图5.5所示谱所用的峰值激光场强度为 640 $\mathrm{mW/cm^{2}}$。已知实验中钠原子上能级的自发发射寿命为16 ns，计算共振Rabi频率，并将其与图中边带与中心频率（对应波长589 nm）的间距进行比较。

5.7 共振荧光中的光子反聚束#

热辐射强度关联中的光子聚束（photon bunching）曾在第2.9节讨论过。我们将聚束与热辐射Einstein涨落公式中的"波"项联系起来。在第3.6节中，我们识别了单模场光子数方差的"波"和"粒子"部分，并推断相干态描述的辐射没有"波"涨落，也不显示光子聚束。我们引入了Mandel $Q$ 参数，使得具有负 $Q$ 的场具有经典辐射理论无法解释的性质（见第3.8节），并指出热态和相干态都有非负的 $Q$，而压缩态（squeezed state）等则可以有负的 $Q$。"非经典"场态最明显的例子是Fock态，即具有确定光子数、因此没有"粒子"涨落的场。我们现在转向场非经典性的另一个例子：光子反聚束（photon anti-bunching），特别是相干态单色场驱动下原子共振荧光中的光子反聚束。

在第2.9节中，我们推测图2.6所示实验中测量的光子（实际上是光电子）符合率（当 $I_{1} = I_{2}$ 且 $\tau = 0$ 时）对应于

即光子湮灭和产生算符的正规序乘积的期望值；这假设了单模场以及光子计数器对入射场的瞬时响应。如果允许有时间差 $\tau$ 并放弃单模假设，则符合率正比于（见附录C）

在理想探测器的近似内。由于空间中任意点 $\mathbf{r}$ 处（横向）电场算符的每个偏振分量都具有形式（回忆(4.2.19)）

且 $a_{\beta} ( t )$ 和 $a_{\beta} ^{\dagger} ( t )$ 分别近似按 $e^{- i \omega_{\beta} t}$ 和 $e^{i \omega_{\beta} t}$ 变化，所以

和 $E^{( - )} ( t ) = E^{( + )} ( t ) ^{\dagger}$ 分别是 $E ( t )$ 的正频和负频部分。（与r相关的 $A_{\beta}$ 的形式对当前目的不重要。）

我们设想一个类似图2.6的实验，但"入射光"是第5.6节中由相干单色场 $\omega$ 驱动的二态原子的荧光。$g^{( 2 )} ( \tau )$ 中在 $t_{0}$ 和 $t_{0} + \tau$ 时刻的电场是光电倍增管PM1和PM2处的场，为简单起见假定它们为点状探测器，且与原子距离基本相等。原子在辐射区的电场由(4.3.11)给出：

因此在旋波近似下，

和

在稳态下，其中 $t_{0}$ 和 $S ( t )$ 已在第5.6节中定义。由费米子算符恒等式 $\sigma^{2} ( t ) = S^{2} ( t ) = 0$ 立即得到

因此同时计数两个光子的概率为零。这种反聚束的物理诠释很清楚：原子只能在其激发态发射一个光子；一旦发射，它必须被驱动场重新泵浦到激发态才能发射另一个光子，而激发态的重新布居需要有限的时间。

为计算关联函数 $g^{( 2 )} ( \tau )$，我们首先注意到，由于 $S^{\dagger} ( t ) S ( t ) = \sigma^{\dagger} ( t ) \sigma ( t ) = ( 1 / 2 ) [ 1 + \sigma_{z} ( t ) ]$，

其中 $g ( \tau )$ 是关联函数(5.6.12)。关联函数 $G ( \tau ) = \langle S^{\dagger} ( t_{0} ) \sigma_{z} ( t_{0} + \tau ) S ( t_{0} ) \rangle$ 从而 $g^{( 2 )} ( \tau )$ 的计算过程与 $g ( \tau )$ 类似。我们定义另外两个关联函数 $F ( \tau ) = \langle S^{\dagger} ( t_{0} ) S^{\dagger} ( t_{0} + \tau ) S ( t_{0} ) \rangle$ 和 $H ( \tau ) = \langle S^{\dagger} ( t_{0} ) S ( t_{0} + \tau ) S ( t_{0} ) \rangle$，发现 $F ( \tau ), G ( \tau )$ 和 $H ( \tau )$ 满足封闭方程组

初始条件为

例如，对于 $\Delta = 0$，

其中 $\Omega^{\prime} = \sqrt{\Omega^{2} - A^{2}}$，并且使用了光学Bloch方程的稳态解

方程(5.7.12)可表示为

其中 $\langle \sigma_{z} ( \tau ) \rangle_{G}$ 定义为原子在 $\tau = 0$ 时刻处于基态时布居差 $\sigma_{z} ( \tau )$ 的期望值。在此形式下，$g^{( 2 )} ( \tau )$ 被看作是原子处于上能级的稳态概率 $[\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \langle \sigma_{z} ( t_{0} ) \rangle]$ 乘以初始未激发原子在时刻 $\tau$ 处于上能级的概率 $[\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \langle \sigma_{z} ( \tau ) \rangle_{G}]$。因此它以更定量的方式表达了(5.7.8)之后给出的光子反聚束的物理解释。

光子反聚束不能用半经典辐射理论或任何将场经典处理的理论来解释：对于单模场 $g^{( 2 )} ( 0 ) \propto \langle a^{\dagger} a^{\dagger} a a \rangle$，$a = a ( 0 )$，$g^{( 2 )} ( 0 ) = 0$ 意味着Mandel $Q$ 参数 $( = \langle a^{\dagger} a^{\dagger} a a \rangle - \langle a^{\dagger} a \rangle^{2} )$ 为负，这是第3.8节讨论的非经典性标志。

正如Glauber所强调的，"量子理论中所遇到的场的多样性远大于经典理论所允许的范围"，而经典理论可以解释Hanbury Brown-Twiss关联（即光子聚束），但它不允许"负的Hanbury Brown-Twiss关联"的可能性。^{38} Stoler进一步讨论了这种负关联效应，他称之为"反聚束"（anti-bunching），并建议可以在简并参量振荡器的光中观察到它。^{39} 在多个独立预测了共振荧光中的光子反聚束之后不久，Kimble等人在概念上与我们所描述的简化版本非常相似的实验中证实了这一效应。^{40}

^{38} R. J. Glauber, in Quantum Optics and Electronics, C. DeWitt, A. Blandin, and C. Cohen Tannoudji, eds., Gordon and Breach, New York, 1965, p. 155.

^{39} D. Stoler, Phys. Rev. Lett. 33, 1397 (1974).

^{40} H. J. Carmichael and D. F. Walls, J. Phys. B: Atom. Molec. Phys. 9, 1199 (1976); H. J. Kimble and L. Mandel, Phys. Rev. A 13, 2123 (1976); C. Cohen-Tannoudji, in Frontiers in Laser Spectroscopy, R. Balian, S. Haroche, and S. Liberman, eds., North-Holland, Amsterdam, 1977, Volume I, pp. 3–102; H. J. Kimble, M. Dagenais, and L. Mandel, Phys. Rev. Lett. 39, 691 (1977).

对电磁场中明显量子效应的观测通常需要考虑"二阶"关联函数，如 $g^{( 2 )} ( \tau )$，而非"一阶"关联函数如 $g^{( 1 )} ( \tau ) = \langle E^{( - )} ( t ) E^{( + )} ( t + \tau ) \rangle$。例如，Mandel $Q$ 参数就是用二阶关联函数定义的，我们将在第5.8节看到，在Einstein-Podolsky-Rosen（EPR）"悖论"背景下研究的光子偏振关联同样涉及 $g^{( 2 )}$。再举一个例子，重新考虑图2.1中的例子：一个孤立的激发原子发生单次自发跃迁并辐射光，存在两个理想的点状光电探测器 $\mathrm{D_{1}}$（位于 $\mathbf{r} _{1}$）和 $\mathrm{D_{2}}$（位于 $\mathbf{r} _{2}$）。在 $t_{1}$ 时刻在 $\mathrm{D_{1}}$ 计数到一个光子且在 $t_{2}$ 时刻在 $\mathrm{D_{2}}$ 计数到一个光子的概率正比于

（为简单起见我们只考虑场的单个偏振分量。）再次使用(5.7.6)，并假设激发态指数衰减，我们得到

和

因此

这意味着单个原子发射单个光子不能在两个探测器处产生光子计数。如同反聚束情形（$\tau = 0$），这形式上可视为算符恒等式 $\sigma^{2} ( 0 ) = 0$ 的结果。我们再次将原子建模为二态系统，做了旋波近似，假设纯指数衰减，忽略了场的不同偏振分量等，但单个光子不能被两个探测器记录这一结论不受这些简化的影响。相反，在经典波理论中，来自原子的场是真实可测量的波，在空间展开，完全可以被两个（或多个）探测器观测到。与图2.1概念类似的实验已经完成；在这些实验中，一束极微弱的光——其能量相当于单个光子——入射到分束器上，每束出射光被导向一个光电探测器。没有发现经典理论预期的"额外"光子符合。^{41}

^{41} 参见，例如 P. Grangier, G. Roger, and A. Aspect, Europhys. Lett. 1, 173 (1986); A. Aspect and P. Grangier, Hyperfine Interactions 37, 3 (1987)。

5.8 原子级联跃迁中光子的偏振关联#

量子光学实验在量子理论概念基础的研究中发挥了重要作用。特别有影响力的实验中，测量了原子级联跃迁（cascade transition）中光子的偏振关联。基本思想如图5.6所示。当原子从角动量量子数 $J = 0$ 的能级自发辐射到 $J = 1$ 的能级，再辐射到 $J = 0$ 的能级时，发射频率为 $\omega_{A}$ 和 $\omega_{B}$ 的辐射。偏振器的方向设置为透射相对于垂直于z（量子化）轴的平面内角度为 $\Phi_{A}$ 和 $\Phi_{B}$ 的偏振光；原则上，光在 $\pm z$ 方向传播后被探测，但光并不限于这些方向传播。我们将级联跃迁的初态（$J = M = 0$）标记为4。中间态——$J = 1, M = 1$ 和 $J = 1, M = -1$——分别记为2和3，末态（$J = M = 0$）记为1。（$J = 1$ 能级中 $M = 0$ 的态可以忽略，因为沿 $\pm z$ 方向传播的横向偏振光不会发生到该态或从该态的跃迁。）图5.6中三能级（四态）原子的电偶极矩算符由(4.8.7)给出：

偶极矩阵元 $\mathbf{d} _{12}$ 连接 $M = 0$ 态和 $M^{\prime} = 1$ 态。在第2.4节的记号中，$q = - 1$，因此

类似地，

$\hat{\mathbf{x}}$ 和 $\hat{\mathbf{y}}$ 是垂直于z轴且相互正交的单位矢量。

对于沿z方向的传播，以及到原子的距离远大于两个跃迁波长的点，来自原子的电场算符为（见(4.3.11)）

该场算符的正频部分为

在旋波近似下。保留其他项不会影响我们现在要计算的偏振关联。

图5.6 测量原子级联跃迁（下）中发射的光子偏振关联的实验装置（上）。

计数频率为 $\omega_{A}$ 和 $\omega_{B}$ 的光子的概率（理想情况下）正比于

对于图5.6的装置。$E_{A} ^{( + )} ( t )$ 是经过 $\omega_{A}$ 滤波器和偏振器后探测器处的 ${\bf E} ^{( + )}$ 部分：

因为 $| {\bf d} _{34} | = | {\bf d} _{24} |$（见练习5.4）。$z_{A}$ 是原子到图5.6右侧探测器的距离。类似地，我们得到经过 $\omega_{B}$ 滤波器和偏振器后探测器处的 ${\bf E} ^{( + )}$ 部分：

因为 $| \mathbf{d} _{13} | = | \mathbf{d} _{12} |$。因此，由于 $\sigma_{i j} \sigma_{m n} = | i \rangle \langle j | m \rangle \langle n | = \delta_{j m} \sigma_{i n}$，

最终得到

这等于上能级占据概率 $\langle \sigma_{44} ( t ) \rangle$ 乘以因子 $\cos^{2} ( \phi_{A} - \phi_{B} )$，该因子表征了 $\omega_{A}$ 和 $\omega_{B}$ 光子的偏振关联：

例如，如果两个偏振器方向相同 $( \phi_{A} - \phi_{B} = 0 )$，探测到两个光子的概率最大；如果偏振器方向正交 $( \phi_{A} - \phi_{B} = \pi / 2 )$，概率为零。

在我们的Heisenberg图像计算中，偏振关联由算符恒等式 $\sigma_{i j} \sigma_{m n} = | i \rangle \langle j | m \rangle \langle n | = \delta_{j m} \sigma_{i n}$ 得出。$\sigma_{i j}$ 算符的非对易代数与来自原子的场的非经典性质相关。毫不奇怪，量子理论的预言(5.8.12)——已得到实验证实——不能由半经典辐射理论推导出来。^{42} 它可以如下解释。考虑

^{42} 这一陈述有例外；参见 M. O. Scully, E. S. Fry, C. R. Ooi, and K. Wodkiewicz, Phys. Rev. Lett. 96, 010501 (2006)。

这（正比于）原子跃迁 $42$ 伴随频率 $\omega_{A}$ 的光子通过A偏振器的概率振幅。类似地，$| \mathbf{d} _{12} | e^{- i \phi_{B}}$ 是原子跃迁 $21$ 伴随频率 $\omega_{B}$ 的光子通过B偏振器的概率振幅。这两个振幅的乘积是图5.6装置中探测到 $\omega_{A}$ 和 $\omega_{B}$ 光子的 $421$ 跃迁的振幅。同样，$| {\bf d} _{34} | e^{- i \phi_{A}}$ 是 $43$ 跃迁伴随频率 $\omega_{A}$ 光子探测的振幅，$| {\bf d} _{13} | e^{i \phi_{B}}$ 是 $31$ 跃迁伴随频率 $\omega_{B}$ 光子探测的振幅，这两个振幅的乘积是 $431$ 过程的振幅。和 $| \mathbf{d} _{24} | | \mathbf{d} _{12} | e^{i ( \phi_{A} - \phi_{B} )} + | \mathbf{d} _{34} | | \mathbf{d} _{13} | e^{- i ( \phi_{A} - \phi_{B} )}$ 则（正比于）当我们无法区分级联发射是经由 $421$ 还是 $431$ 路径时，同时探测到 $\omega_{A}$ 和 $\omega_{B}$ 光子的 $41$ 过程的概率振幅。这是量子理论两个基本规则的体现：(1) 两个相继过程的概率振幅是各过程振幅的乘积；(2) 一个可以通过不同不可区分方式发生的过程的振幅是各方式振幅之和。^{43}

^{43} R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Volume III, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1965, Chapter 1.

练习5.4： (a) 取 $| \mathbf{d} _{13} | = | \mathbf{d} _{12} |$ 和 $| {\bf d} _{34} | = | {\bf d} _{24} |$ 的依据是什么？(b) 在写作(5.8.1)时，我们忽略了可能包含在态矢量 $| j \rangle , j = 1 , 2 , 3 , 4$ 中而不影响范数 $\langle j \vert j \rangle$ 的常数相位因子。也就是说，我们忽略了可以对每个用于计算偶极矩阵元 $\mathbf{d}_{i j} = \int d^{3} r \boldsymbol{\Psi}_{i}^{*} ( \mathbf{r} ) e \mathbf{r} \boldsymbol{\Psi}_{j} ( \mathbf{r} )$ 的波函数 $\boldsymbol{\Psi}_{j} ( \mathbf{r} )$ 添加常数相位因子 $e^{i \phi_{j}}$ 这一事实。证明结果(5.8.11)与任何此类相位因子无关。

偏振关联可以理解为非对易算符 $\sigma_{i j}$ 代数的结果，也可以理解为组合概率振幅规则的结果。当然，这两种视角都清晰地揭示了经典理论和量子理论之间的差异。一种视角是否比另一种"更好"或"更基础"？Dirac认为如此："问题在于非对易是否真的是量子力学的主要新思想。以前我一直这么认为，但最近我开始怀疑这一点，并认为也许从物理角度来看，非对易并不是唯一重要的思想，或许还有更深层次的思想，量子力学带来了我们日常概念的某种更深层次的变化......我相信概率振幅的概念也许才是量子理论最基本的概念......这些概率振幅的存在所带来的直接影响就是产生干涉现象。如果某个过程可以通过多种方式、多种渠道发生，正如人们所说，我们需要做的是计算每个渠道的概率振幅。然后将所有概率振幅相加，只有在完成这个加法之后，我们才取模的平方，得到该过程发生的总概率。你看，这个结果与我们先取各个渠道项的模平方再相加所得到的结果完全不同。正是这种差异导致了干涉现象，它在原子世界中无处不在。"^{44} Feynman 也类似地认为，比非对易算符"更根本"的是"在自然界中，组合概率的法则并不是 Laplace 经典概率理论的法则"。^{45}

^{44} P. A. M. Dirac, 引用自 J. Mehra, in The Physicist's Conception of Nature, J. Mehra, ed., D. Reidel, Boston, 1973, p. 10.

^{45} R. P. Feynman, 同上, p. 9.

正如第2.9节中在讨论Dirac关于"光子干涉"的评论时所强调的，干涉并非发生在光子本身之间，而是发生在概率振幅之间。诸如"单个光子不能被分束器分裂"或"在 $J = 0 \to 1 \to 0$ 原子级联跃迁中发射的两个光子倾向于朝相同或相反方向发射"之类的简略表述，必须始终理解为指的是概率振幅，而不是具有独立于观测的物理意义的假设性"散弹"光粒子。

$J = 0 \to 1 \to 0$ 级联中的两个光子倾向于朝相同方向或相反方向发射。为理解这一点，考虑 $41$ 跃迁的概率振幅，即先发射一个偏振为 $\mathbf{e} _{1}$ 的光子，再发射一个偏振为 $\mathbf{e} _{2}$ 的光子：

只有 $J = 1$ 的中间态有贡献，因此中间态实际上构成完全集；所以

因为初态和末态都是球对称的 $( J = 0 )$。接下来，我们对 $\omega_{A}$ 光子的不同可能偏振 $\lambda$ 和 $\omega_{B}$ 光子的不同可能偏振 $\lambda^{\prime}$ 求和：

并回忆(3.10.5)：

因此，两个光子被探测到时波矢之间夹角为 $\theta$ 的概率为

练习5.5： (a) 讨论(5.8.19)对角动量守恒的含义。(b) 结果(5.8.19)是否依赖于原子反冲可忽略的假设？

我们使用Heisenberg图像计算了偏振关联，但它们可以更直接地推导如下。由于初态和末态原子的 $J = 0$，两个光子的总角动量必须为零。如果我们限制在相反方向（$\pm z$）传播的情形，则不涉及轨道角动量，因此两个光子的总自旋角动量必须为零。又因为 $J = 0 \to J = 1$ 和 $J = 1 \to J = 0$ 的电偶极跃迁中宇称发生变化，所以产生的双光子态必须具有偶宇称（宇称在电磁相互作用中守恒）。因此它必须具有形式

其中 $R$ 和 $L$ 分别表示右旋和左旋圆偏振。^{46} 我们也可以用线偏振基表示双光子态：由于

^{46} 注意，对于沿 $\pm z$ 方向传播的光子，$| R_{B} \rangle$ 算符描写的是一个传播方向与 $| R_{A} \rangle$ 相反的圆偏振光子。

双光子态等价地可表示为^{47}

^{47} 例如，参见 J. M. Jauch and F. Rohrlich, The Theory of Photons and Electrons, Springer, Berlin, 1976, p. 46。

于是，当图5.6右侧的偏振器设置为以概率 $\cos^{2} \Phi_{A}$（$\sin^{2} \Phi_{A}$）透射沿 $\hat{\mathbf{x}}$（$\hat{\mathbf{y}}$）偏振的光子，左侧的偏振器设置为以概率 $\cos^{2} \Phi_{B}$（$\sin^{2} \Phi_{B}$）透射沿 $\hat{\mathbf{x}}$（$\hat{\mathbf{y}}$）偏振的光子时，探测到一个A光子和一个B光子的概率正比于 $(\cos \phi_{A} \cos \phi_{B} + \sin \phi_{A} \sin \phi_{B})^{2} = \cos^{2} ( \phi_{A} - \phi_{B} )$，与Heisenberg图像中得到的结果一致。

$J = 0 \to 1 \to 0$ 原子级联中光子的 $\cos^{2} ( \phi_{A} - \phi_{B} )$ 偏振关联由 Kocher 和 Commins 观测到，他们指出该实验"是Einstein、Podolsky和Rosen首次描述的量子测量理论中一个著名问题的实例"。^{48}

^{48} C. A. Kocher and E. D. Commins, Phys. Rev. Lett. 18, 575 (1967)。

偏振关联在其他物理系统中也引起了关注。例如，Wheeler 提出了一项偏振关联实验，以检验单态 positronium 湮灭产生的 $\gamma$ 射线光子具有正交线偏振的预言；Yang 则提出，偏振关联的测量可以确定通过双光子发射衰变介子的对称性性质。^{49} Wu 和 Shaknov 从 0.5 MeV $\gamma$ 光子的偏振关联中推断出 positronium 基态宇称为负。^{50} 对于后续研究而言值得注意的是，Bohm 和 Aharonov 从 Wu 和 Shaknov 的数据得出结论，该实验"被当前的量子理论充分解释，该理论暗示了远程关联——正是那种导致[Einstein、Podolsky和Rosen]悖论的关联类型——但不能被任何避免该悖论的量子理论失效的合理假设所解释......"^{51} 用更现代的术语来说，他们的结论是两个光子产生于一个纠缠的偏振态。

^{49} J. A. Wheeler, Ann. N. Y. Acad. Sci. 48, 219 (1946); C. N. Yang, Phys. Rev. 77, 242 (1950)。

^{50} C. S. Wu and I. Shaknov, Phys. Rev. 77, 136 (1950)。

^{51} D. Bohm and Y. Aharonov, Phys. Rev. 108, 1070 (1957)。

5.9 纠缠#

量子理论以概率方式描述物理系统，但其计算概率的规则"并不是 Laplace 经典概率理论的法则"。^{52} 在Heisenberg图像中，这种与经典理论的差异部分反映在算符的非对易性上。在Schrödinger图像或相互作用图像中，则反映在概率振幅的核心重要性上。像(5.8.22)这样的叠加态——不能表示为态矢量的直积——捕捉了经典理论与量子理论之间这种差异的本质。对于这种纠缠态，系统的不同部分以似乎与通常持有的客观"实在"观念相冲突的方式相互关联，这最早由 Einstein、Podolsky 和 Rosen 讨论过。^{53} Schrödinger 在一篇题为"分离系统之间概率关系的探讨"的论文开头引入了"纠缠"（entanglement）这一术语，该文似乎深受 EPR 论文的影响：

Einstein、Podolsky 和 Rosen 仔细定义了他们在物理理论背景下所说的"实在"的含义：^{55}

他们特别考虑了一个双粒子系统，该系统的态 $\psi$ 是 $x_{1} - x_{2}$ 和 $p_{1} + p_{2}$ 的共同本征态，其中 $x_{j}$ 和 $p_{j}$ 分别表示粒子 j 在一个空间维度（x）上的坐标和动量；由于 $[ x_{1} - x_{2} , p_{1} + p_{2} ] = 0$，这种态当然是允许的。现在，如果粒子1的动量被测量并得到数值 $P_{1}$，那么粒子2的动量必须是 $-P_{1}$。但我们随后可以测量粒子1的位置，如果发现它是 $X_{1}$，那么粒子2的位置必须是 $X_{1} + X_{0}$，其中 $X_{0}$ 是 $x_{1} - x_{2}$ 在态 $\psi$ 中的本征值。因此，"不以任何方式干扰"粒子2，我们可以"确定性地"预言它的位置和动量。粒子2的位置和动量因此都是"物理实在的元素"。但根据量子理论，粒子2的位置和动量不能同时具有确定值，因为 $[ x_{2} , p_{2} ] \neq 0$。Einstein、Podolsky 和 Rosen 得出结论，量子力学不能是一个完备的理论，因为在他们看来，一个物理理论完备的必要条件是"每个物理实在的元素都必须在物理理论中有其对应物"。^{56}

^{52} Feynman, 同上, p. 9。

^{53} A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935)。

^{54} E. Schrödinger, Proc. Cambridge Phil. Soc. 31, 555 (1935)。

^{55} Einstein, Podolsky, and Rosen, 同上。

^{56} Einstein, Podolsky, and Rosen, 同上。

尽管量子理论在 Einstein、Podolsky 和 Rosen 所意指的意义上并不"完备"，但 EPR"悖论"并不意味着量子理论内部有任何不一致。测量粒子1的动量可以让我们推断粒子2动量的确定值，而测量粒子1的位置则可以让我们推断粒子2位置的确定值。但第二次测量必然导致粒子1的动量不确定，从而也导致粒子2的动量不确定，因为两个粒子的位置和动量态是纠缠的。这并不是说这种纠缠不奇怪。EPR 例子中的两个粒子可以相距任意远且不受任何相互作用，然而对其中一个粒子的测量会立即影响另一个粒子的态——或者至少影响我们对那个态的认识——这就是 Einstein 所说的"鬼魅般的超距作用"。^{57}

^{57} A. Einstein, 引自 M. Born, ed., The Born-Einstein Letters, Walker, New York, 1971, p. 158.

然而，无论多么鬼魅，纠缠的这一后果不能用于传递信息。假设双光子纠缠态(5.8.22)已由原子级联跃迁产生，观察者 Alice 和 Bob 可以分别使用图5.6所示的滤波器、偏振器和光电探测器对 $\omega_{A}$ 和 $\omega_{B}$ 的场进行测量。Alice 和 Bob 可以事先约定，Alice 将根据她测量的是 x 偏振还是 y 偏振，向 Bob 发送"0"或"1"的消息。但如果 Bob 探测到一个 x 偏振光子，他无法确定是否本来有可能探测到 y 偏振光子，所以他无法确定 Alice 测量了什么。这种（瞬时）信息传递的不可能性可以更形式化地证明。考虑态(5.8.22)的密度算符：

通过对 Alice 的态求迹得到的约化密度矩阵为

在线偏振基中，以及

在圆偏振基中。这些当然只是同一约化密度矩阵的两种不同表示方式：如果 Bob 测量线偏振，他等可能地发现 x 或 y 偏振；如果他测量圆偏振，他等可能地发现左旋或右旋圆偏振——无论 Alice 做什么。所以，Alice 的选择并不能让她自由地向 Bob 传递信息。而且，给定单个光子，Bob 无法区分线偏振和圆偏振——没有设备可以确定单个光子的偏振参数。如果这一点可能，瞬时通信也将成为可能。

但如果 Bob 有 $N \gg 1$ 个光子可供使用，他可以将光通过偏振相关的分束器，从而准确判断 Alice 测量的是线偏振还是圆偏振。因此，如果 Bob 先将他的光子通过放大器产生 $N \gg 1$ 个相同偏振态的光子再进行测量，他就可以高置信度地判断 Alice 测量的是线偏振还是圆偏振；Alice 就可以"超光速"地给他发送消息。^{58} 然而，这一方案会失败，因为放大过程不可避免地会产生与入射光子偏振不同的自发发射光子；我们不能有受激发射而没有自发发射，因此无法"克隆"任意（先验未知）偏振的单个光子。^{59} 事实上，克隆任意量子态是不可能的。^{60}

^{58} N. Herbert, Found. Phys. 12, 1171 (1982)。

^{59} W. K. Wootters and W. H. Zurek, Nature 299, 802 (1982)。

^{60} D. Dieks, Phys. Lett. A 92, 271 (1982)。

"不可克隆定理"（no-cloning theorem）可以证明如下。^{61} 设想一台设备通过放大将单个光子的偏振态 $| s \rangle$ 克隆为两个光子完全处于相同偏振态的状态 $| s s \rangle$。因此，$| A_{0} \rangle | s \rangle \to | A_{s} \rangle | s s \rangle$，其中 $| A_{0} \rangle$ 和 $| A_{s} \rangle$ 分别是放大器的初态和末态。特别地，对于 x 和 y 偏振的光子，

^{61} Wootters and Zurek, 同上。

由于量子理论中的变换是线性的，

对于原始光子的任意叠加态 $\alpha | x \rangle + \beta | y \rangle$。但根据定义，我们设想的克隆设备应该产生两个光子都处于态 $\alpha | x \rangle + \beta | y \rangle$ 的态，这与(5.9.5)矛盾，无论设备可能的末态 $| A_{x} \rangle$ 和 $| A_{y} \rangle$ 如何。量子理论的线性排除了复制任意量子态的可能性。单个量子不能被克隆。

不可克隆定理在量子计算中必须被处理，因为它意味着信息不能以完美保真度从一个存储寄存器复制到另一个。设想一个单光子场入射到理想地仅放大单频场的放大器上。受激发射和自发发射概率相等。（回忆例如(3.6.54)。）受激发射产生的两个光子与入射光子具有相同的偏振，而自发发射产生的光子等可能地被发现具有相同偏振或正交偏振。因此，附加光子被发现与入射光子具有相同偏振的概率为 $2/3$，具有正交偏振的概率为 $1/3$。克隆保真度——出射光子被发现与入射光子处于相同态的概率——因此为 $( 2/3 ) ( 1 ) + ( 1/3 ) ( 1/2 ) = 5/6$。这被证明是可能的最大克隆保真度。^{62} 事实上，这是在不违反信息传播速度不能超过真空中光速的Einstein因果条件的前提下所能获得的最大克隆保真度。^{63}

^{62} N. Gisin and S. Massar, Phys. Rev. Lett. 79, 2153 (1997)。

^{63} V. Scarani, S. Iblisdir, N. Gisin, and A. Acin, Rev. Mod. Phys. 77, 1225 (2005)。

当然，有些态比其他态更纠缠。例如，具有 $| \alpha | ^{2} \ll 1$ 的态

显然不如态(5.8.22)纠缠。纠缠的一种度量是纠缠熵（entanglement entropy），即约化密度矩阵的 von Neumann 熵（见(3.7.12)）。因此，对于密度矩阵为(5.9.1)的系统，子系统 B 相对于子系统 A 的纠缠熵为

其中 $\rho_{B}$ 是约化密度算符(5.9.2)，$p_{i} ( B )$ 是表示为 $2 \times 2$ 矩阵的 $\rho_{B}$ 的本征值。这两个本征值都为 $1/2$，因此

这种非零值是纠缠的标志。对于 $\alpha = 0$ 的态(5.9.6)——一个非纠缠态——$\rho_{B}$ 的本征值为 0 和 1，因此 $S_{B} = 0$。相比之下，$\alpha = \pi / 4$ 的态（一个Bell态）具有值 $\log 2$，是最大纠缠态（见练习5.6）。更一般地，如果子系统 A 和 B 各有 $2^{N}$ 个态（而不是2个），则 $S_{A} = \log 2$，$2^{S_{A}}$ 因此可解释为纠缠态的数目。

两个系统 A 和 B 的 Hilbert 空间 $\mathcal{H}_{A} \otimes \mathcal{H}_{B}$ 中的任意纯态都可以表示为

其中 $| \phi_{i}^{A} \rangle$ 和 $| \phi_{i}^{B} \rangle$ 分别是子系统 A 和 B 的 Hilbert 空间 $\mathcal{H}_{A}$ 和 $\mathcal{H}_{B}$ 中的基矢。Schmidt 分解定理指出，对任意这样的纯态，存在 A 和 B 子系统的正交归一态 $| i_{A} \rangle$ 和 $| i_{B} \rangle$，使得

其中（实数的）Schmidt 系数 $\lambda_{i}$ 对态 $| \psi \rangle$ 是唯一的，且

从而 $\langle \Psi | \Psi \rangle = 1$。求和的项数受限于 $\mathcal{H}_{A}$ 和 $\mathcal{H}_{B}$ 中较小者的维数。Schmidt 分解提供了纠缠的充要条件：如果两个或多个 $\lambda_{i}$ 非零，则 $\psi$ 是纠缠态。在 Schmidt 基中，约化密度矩阵为

因此 $\lambda_{i}$ 正是约化密度矩阵 $\rho_{A}$（或 $\rho_{B}$）的本征值。类似地，Schmidt 基矢是约化密度矩阵的本征矢。从(5.9.12)可以看出 $S_{A} = S_{B}$，这是纯态的一般性质。

另一个与纠缠相关的概念是 concurrence。^{64} 对于纯态，concurrence 定义为

^{64} W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)。

方程(5.9.12)蕴含了 $C$ 与 Schmidt 系数之间的关系：

concurrence 大于 0 意味着纠缠。例如，对于（最大纠缠）Bell 态，$C = 1$。

在对几种纠缠度量做了这些简要介绍之后，我们现在转向与 Einstein、Podolsky 和 Rosen 的"悖论"密切相关的纠缠的若干方面。

练习5.6： (a) 计算态(5.9.6)的纠缠熵、Schmidt 系数 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 以及 concurrence $C$。(b) 验证(5.9.14)。

5.9.1 隐变量与 von Neumann 的证明#

如前所述，Einstein、Podolsky 和 Rosen 对量子理论提出了一个哲学上的反对意见：存在双粒子量子态，使得粒子2的动量和位置可以通过对粒子1的测量以确定性预言，无需对粒子2进行测量。他们当然认识到这与量子理论并不矛盾，因为粒子2的位置和动量并不是同时被确定性预言的。但由于粒子2的位置或动量可以被确定性预言，Einstein、Podolsky 和 Rosen 将它们视为共存于客观实在中。根据量子理论，它们不能同时具有确定值，因此 Einstein、Podolsky 和 Rosen 断言该理论是"不完备的"。其他人则提出了对量子理论的修改，其中有未知（也许是不可知的）"隐变量"（hidden variables）决定所有可测量物理量的精确、无色散的值。

von Neumann 在他的书中——以"Hilbert 空间和所谓 Hermite 算符的理论"形式讨论量子理论的数学基础——处理了隐变量理论是否能与"物理量"（位置、动量、能量等）由 Hilbert 空间中的算符表示相容的问题。^{65} 他并没有证明隐变量理论是不可能的；他证明的是它们必然"与量子力学的某些定性基本假设不相容"，而量子力学是"目前存在的能够以半满意的方式整理和总结我们经验......的唯一形式理论"。^{66}

^{65} J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, Princeton, 1955, 由 R. T. Beyer 译自1932年德文版。

^{66} von Neumann, 同上, p. 325。

von Neumann 通过首先从相对较少的假设中推导出密度算符的存在来得出这一结论，这一过程独立于对隐变量的任何考虑。他假设每个物理量与一个 Hermite Hilbert 空间算符 R 之间存在一一对应关系，并且：(1) 若 $\mathcal{R} \geq 0$，则其期望值 $\langle \mathcal{R} \rangle \geq 0$；(2) 若 $\mathcal{R}, \mathcal{S}, ...$ 是任意物理量且 $a, b, ...$ 是实数，则

此外，(3) 如果"具有算符" R，则量 $f ( \mathcal R )$ 具有算符 $f ( R )$；(4) 如果物理量 $\mathcal{R}, \mathcal{S}, ...$ 具有算符 $R, S, ...$，则量 $\mathcal{R} + \mathcal{S} + ...$ 具有算符 $R + S + ...$。von Neumann 并没有假设量子态 $\phi$ 中一个物理量的期望值是 $\langle \Phi | R | \Phi \rangle$，或更一般地是 $U R$ 的迹（其中 U 是密度算符）；这从他的假设中自然得出，如下所示。^{67}

^{67} von Neumann, 同上, pp. 297-328。

对应于物理量的 Hermite 算符 R 用一组完备态 $| n \rangle$ 表示，如(2.3.11)：

我们使用了 R 是 Hermite 的假设：$R_{m n} = R_{n m} ^{*}$。由假设(2)和(4)，

其中矩阵元 $U_{m n} = \langle m | U | n \rangle$ 为

因此，任何物理量的期望值都是 $\operatorname{Tr} ( U R )$，其中 U 是 Hermite 算符，与 R 无关，它表征了取期望值的系综。假设(1)意味着 U 是一个"正定"算符，即对任意（归一化的）态矢量 $\phi$ 有 $\langle \Phi | U | \Phi \rangle \geq 0$。为证明这一点，取 R 为投影算符 $P_{\Phi} = | \Phi \rangle \langle \Phi |$；因为 $P_{\Phi} = P_{\Phi}^{2} \geq 0$，所以 $\operatorname{Tr} ( U P_{\Phi} ) = \langle \Phi | U | \Phi \rangle \geq 0$。

除了上述假设和其他考虑之外，von Neumann 要求读者"忘记整个量子力学"，然而如上所示，仅从这些假设，他就能够推导出密度算符 U 的存在以及量子理论的基本统计假设 $\langle \mathcal{R} \rangle = \operatorname{Tr} ( U R )$。^{68} 他多次评论了在 $\mathcal{R}$ 和 $\mathcal{S}$ 不同时可测量情况下假设(5.9.15)的成立条件，他指出当 R 和 S 不对易时它们就是不同时可测量的。如果 R 和 S 对易，我们可以同时测量 $\mathcal{R}$ 和 $\mathcal{S}$，并通过简单加法得到 $\mathcal{R} + \mathcal{S}$。但如果 $[ R , S ] \neq 0$，$\mathcal{R} + \mathcal{S}$ 只能通过单独的测量获得；正如他在其书第309-310页所解释的：

von Neumann 认为，在 $[ R , S ] \neq 0$ 的情况下，和 $\mathcal{R} + \mathcal{S}$ 是"仅以隐含方式"由 $\langle \mathcal{R} + \mathcal{S} \rangle = \langle \mathcal{R} \rangle + \langle \mathcal{S} \rangle$ 这一事实定义的。$\langle \mathcal{R} \rangle$ 和 $\langle \mathcal{S} \rangle$ 可以在相同制备的系综上分别测量，然后将结果相加得到 $\langle \mathcal{R} + \mathcal{S} \rangle$。这可以视为 $[ R , S ] \neq 0$ 时 $\langle \mathcal{R} + \mathcal{S} \rangle$ 的操作性定义。当 $[ R , S ] \neq 0$ 时，并不要求或假设 $\mathcal{R} + \mathcal{S}$ 的值等于 $\mathcal{R}$ 和 $\mathcal{S}$ 的值之和。我们将在下面回到这一点。

基于由密度算符 U 表征的系综的关系 $\langle \mathcal{R} \rangle = \mathrm{Tr} ( U R )$，von Neumann 处理了是否存在无色散系综的问题，即方差

或

对所有 Hermite 算符 R 成立的系综。考虑 Hermite 算符 $R = | \Phi \rangle \langle \Phi |$，$\langle \Phi | \Phi \rangle = 1$。由(5.9.23)得 $\langle \Phi | U | \Phi \rangle = \langle \Phi | U | \Phi \rangle^{2}$，即 $\langle \Phi | U | \Phi \rangle = 0$ 或 1。这对所有 $\phi$ 必须成立，因此 U 本身必须是 0 或 1。$U = 0$ 可忽略，因为它将意味着所有 $\mathcal{R}$ 的 $\langle \mathcal{R} \rangle = 0$。如果 $U = 1$，(5.9.23)给出

因此，无论 U 如何选择，并非所有物理量都能有零方差（无色散）。不存在无色散系综。

这对隐变量意味着什么？如果存在隐变量，量子系统的期望值实际上将是对具有不同隐（未知）变量值的系综的平均。每个"子系综"将由所有隐变量的固定数值表征，即它将是无色散的。但 von Neumann 证明了不可能存在无色散系综，因此基于他的假设——始于物理量与 Hermite 算符一一对应这一最基本的假设——不可能存在隐变量。

总之，von Neumann 考虑了一个理论框架，其中系统的每个物理量与一个 Hermite 算符 R 一一对应。从假设(1)-(4)出发，他证明在这样的任何理论中，期望值 $\langle \mathcal{R} \rangle$ 可以（就像在量子理论中一样）表示为 $\operatorname{Tr} ( U R )$，其中 U 是表征统计系综的 Hermite 密度算符。然后他证明不存在无色散系综，因此不可能构造一个与量子理论——"目前存在的能够以半满意的方式整理和总结我们经验......的唯一形式理论"——相容的隐变量理论。^{69}

^{69} von Neumann, 同上, p. 325。

von Neumann 的证明受到了 Bell 的尖锐批评，许多人跟随他判断 von Neumann 的证明是无效的，甚至如 Bell 所说，"愚蠢的"。^{70} 批评集中在 von Neumann 的假设 $\langle \mathcal{R} + \mathcal{S} \rangle = \langle \mathcal{R} \rangle + \langle \mathcal{S} \rangle$ 上。^{71} 假设 R 和 S 不对易。在一个无色散态中，对 $\mathcal{R}$ 的测量得到一个值 r，根据量子理论该值必须是 R 的一个本征值；对 $\mathcal{S}$ 的单独测量得到一个值 s，必须是 S 的一个本征值。但对 $\mathcal{R} + \mathcal{S}$ 的测量将得到 $R + S$ 的一个本征值，该本征值不同于 $r + s$。^{72} 确实，系综平均值满足 $\langle R + S \rangle = \langle R \rangle + \langle S \rangle$，但在单次测量中并非如此。现在，如果存在一个无色散态，每个物理量将有一个固定值，等于 R 的一个本征值，并且这个固定值与期望值 $\langle R \rangle$ 相同。那么 von Neumann 的假设 $\langle \mathcal{R} + \mathcal{S} \rangle = \langle \mathcal{R} \rangle + \langle \mathcal{S} \rangle$ 将错误地意味着 $R + S$ 的本征值等于 R 和 S 的本征值之和。因此，根据 Bell 和其他人，"正是对一个特定（且不可能）关系的任意假设"使得 von Neumann 的"无隐变量"证明无效。^{73}

^{70} J. S. Bell, Rev. Mod. Phys. 38, 447 (1966)。

^{71} 这一假设有时被表述为"期望值是线性的"。

^{72} Bell 的要点是，对于非对易算符，$R + S$ 的本征值并不是 R 和 S 的本征值之和。von Neumann 肯定知道这一点，这就是为什么我们在页[原文]的引文中看到，他以一种隐含的方式定义了 $\mathcal{R} + \mathcal{S}$——见下面的讨论。

^{73} Bell, 同上。

有说服力的论证认为，von Neumann 的批评者误解或曲解了他实际证明的内容。^{74} 正如上面从他的书中引用的段落所表明的，von Neumann 以"仅隐含方式"定义了两个其算符不对易的物理量之和，并不像批评者所声称的那样意味着 $R + S$ 的本征值等于 R 和 S 的本征值之和。^{75} 当 $[ R , S ] \neq 0$ 时，$\mathcal{R} + \mathcal{S}$ 必须以"完全不同的方式"从 $\mathcal{R}$ 和 $\mathcal{S}$ 来测量。通过这种隐含的方式定义 $R + S$，von Neumann 排除了那种 $\mathcal{R} + \mathcal{S}$ 的数值等于 $\mathcal{R}$ 和 $\mathcal{S}$ 的数值之和 $r + s$ 的隐变量理论，这使得 Bell 和其他人的反对意见无关紧要。^{76} 但无论人们对 von Neumann 的证明有何看法，有一点是确定的：Bell 关于该证明是错误的结论导致了 Bell 定理的产生，并重新激发了人们对量子理论基础概念的兴趣。

^{74} 参见，例如，M. Redei, in John von Neumann and the Foundations of Quantum Physics, M. Redei and M. Stoeltzner, eds., Kluwer, Dordrecht, 2001, pp. 223-236。

^{75} 实际上在 von Neumann 的书中，定义 $R + S$ 的操作性方式是：对两个不同系综分别测量 R 和 S 的期望值，并定义 $\langle R + S \rangle = \langle R \rangle + \langle S \rangle$。

^{76} 关于这一观点的详细阐述，参见 F. Herbut, arXiv:0907.1812 [quant-ph]。

5.9.2 Bell 定理#

Bohm 以一个更可行的纠缠态例子——两个自旋1/2粒子的单重态——将 Einstein、Podolsky 和 Rosen 的思想实验聚焦到更清晰的问题上：^{77}

^{77} D. Bohm, Quantum Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1951, 第22节。

$| \pm \rangle_{i}$ 是粒子 i 沿（例如）z 方向自旋向上（+）或向下（-）的态。纠缠态(5.9.25)可以来自一个零角动量系统衰变成两个自旋1/2粒子。（零）角动量守恒加上球对称性意味着方向 z 是任意的。假设粒子相距很远且无相互作用。^{78}

^{78} 忽略自旋-自旋和自旋-轨道相互作用，这些相互作用在原子或原子核尺度上才重要。

如果我们在 z 方向测量粒子1的自旋并发现自旋向上，那么粒子2的自旋必定是自旋向下；如果发现粒子1自旋向下，则粒子2必定是自旋向上。显然，这里的情况与原始 EPR 例子相同：由于粒子相距甚远且不相互作用，对粒子1的测量不应影响对粒子2的测量。但在 z 方向对粒子1自旋的测量使我们能够确定性地预言粒子2在 z 方向的自旋，因此这成为 Einstein、Podolsky 和 Rosen 所定义的"实在的元素"。类似地，通过在 x 方向测量粒子1的自旋，我们可以确定性地预言粒子2在 x 方向的自旋，因此它也是一个物理实在的元素。由于粒子2的 x 和 z 分量都可以以概率1预言，Einstein、Podolsky 和 Rosen 认为它们是客观的实在元素，独立于我们是否观察它们而存在。但量子理论不允许粒子2的 x 和 z 自旋分量同时具有确定值，因为 $[ \sigma_{x 2} , \sigma_{z 2} ] \neq 0$。因此，根据 Einstein、Podolsky 和 Rosen，量子理论是"不完备的"。

Bell 提出了一个问题：是否存在能够决定这些物理量值，同时又与量子理论的统计预言一致的隐变量。设想一个理论，其中粒子1在任意单位矢量 $\mathbf{a}$ 方向的自旋是 $\mathbf{a}$ 和隐变量或一组隐变量 $\lambda$ 的函数 $\frac{1}{2} A ( \mathbf{a} , \lambda )$（乘以 $\hbar$）。为了使这样的理论与量子力学在任何方向 $\mathbf{a}$ 上一致，假设 $A ( \mathbf{a} , \lambda )$ 只有两个可能值：

同样假设粒子2在任意方向 $\mathbf{b}$ 的自旋是 $\mathbf{b}$ 和 $\lambda$ 的函数 $\frac{1}{2} B ( \mathbf{b} , \lambda )$，且该函数对任意方向 $\mathbf{b}$ 只有两个可能值：

这里做出了一个关键的定域性（locality）假设：$A ( \mathbf{a} , \lambda )$ 与 $\mathbf{b}$ 无关，$B ( \mathbf{b} , \lambda )$ 与 $\mathbf{a}$ 无关。换句话说，粒子1在任意方向 $\mathbf{a}$ 的自旋分量测量与测量粒子2自旋的方向 $\mathbf{b}$ 无关。这完全合理，因为我们已规定粒子1和2相距任意远且不相互作用。假设(5.9.26)和(5.9.27)使假设的隐变量理论在如下程度上与量子理论一致：任一粒子在任何方向的自旋分量测量都将给出 $\pm 1/2$（乘以 $\hbar$）。为了进一步确保与纠缠态(5.9.25)的量子力学预言一致，还假设

即当两个粒子的自旋沿同一轴测量时，它们被发现是反平行的。为了模仿量子力学的概率特征，假设 $\lambda$ 有一个概率分布 $\rho ( \lambda )$。那么，分别沿 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 方向测量粒子1和2自旋的乘积的平均值为

而量子力学的预言为（见练习5.7）

隐变量理论预言的平均值(5.9.29)可能等于量子力学预言的期望值(5.9.30)。但 Bell 在后来被称为 Bell 定理的结论中表明，没有满足(5.9.26)-(5.9.28)的（定域）隐变量理论能够与量子力学的所有统计预言一致。^{79} 考虑

^{79} J. S. Bell, Physics 1, 195 (1964).

其中第二个等式由 $A^{2} ( {\bf b} , \lambda ) = 1$ 得出。由于 $| A ( {\bf a} , \lambda ) A ( {\bf b} , \lambda ) | = 1$ 且 $1 - A ( \mathbf{b} , \lambda ) A ( \mathbf{c} , \lambda ) \geq 0$，

或

例如，取 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = \cos \pi / 4$ 且 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 0$，则

和

由于(5.9.34)大于(5.9.35)，量子力学期望值不满足 Bell 不等式(5.9.33)。换句话说，定域隐变量理论不能重现量子理论的所有统计预言。

练习5.7： 假设 $\mathbf{s} _{1} = - \mathbf{s} _{2}$，并利用 Pauli 算符满足的关系 $\sigma_{i} \sigma_{j} = \delta_{i j} + i \sum \epsilon_{i j k} \sigma_{k}$，推导(5.9.30)中给出的期望值（$\epsilon_{i j k}$ 是第3.10节定义的 Levi-Civita 符号）。

Bell 定理开启了通过实验判定定域隐变量理论是否可行的可能性。但不等式(5.9.33)的推导假设了 $\mathbf{a} = \mathbf{b}$ 时的完全反关联(5.9.28)，这在具有实际（非完美）探测系统的实验中无法实现。可以在没有该假设的情况下推导出不同的 Bell 不等式。^{80} 考虑 A 的两个方向 $\mathbf{a}, \mathbf{a}^{\prime}$ 和 B 的两个方向 $\mathbf{b}, \mathbf{b}^{\prime}$。由恒等式

^{80} J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, and R. A. Holt, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969); J. S. Bell, in Foundations of Quantum Mechanics, B. d'Espagnat 编, Academic Press, New York, 1971.

和

得

现在，由于 $\int d \lambda \rho ( \lambda ) = 1$，

这意味着不等式

Clauser 等人首次提出，在非常温和和自然的假设下，Bell 不等式可以通过测量原子 $J = 0 \to 1 \to 0$ 辐射级联跃迁产生光子的线偏振关联的实验来检验（见第5.8节）。^{81} Freedman 和 Clauser 的此类实验提供了反对定域隐变量理论的第一个实验证据。^{82} Fry 和 Thomson 的实验进一步提供了反对定域隐变量理论的证据，并与量子理论的预言非常一致。^{83}

^{81} Clauser, Horne, Shimony, and Holt, 同上。

^{82} S. J. Freedman and J. F. Clauser, Phys. Rev. Lett. 28, 938 (1972)。

^{83} E. S. Fry and R. C. Thompson, Phys. Rev. Lett. 37, 465 (1976)。

图5.7 检验不等式(5.9.40)实验中的方向 $\mathbf{a} , \mathbf{a} ^{\prime} , \mathbf{b} , \mathbf{b} ^{\prime}$。所有四个单位矢量位于垂直于传播方向 $\pm \mathbf{z}$ 的平面内。

在 Aspect 等人的实验中，使用双通道偏振器来分离两个正交方向的线偏振——对于传播方向 $\mathbf{z}$ 的光子，沿 $\mathbf{a}, \mathbf{a}^{\prime}$ 方向；对于传播方向 $-\mathbf{z}$ 的光子，沿 $\mathbf{b}, \mathbf{b}^{\prime}$ 方向（见图5.7）。在这种情况下，量子力学期望值为

其中 $\theta_{a b}$ 是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角（见练习5.8）。因此，

例如，对于 $\theta_{a b} = \theta_{a^{\prime} b} = \theta_{a^{\prime} b^{\prime}} = \pi / 8$ 和 $\theta_{a b^{\prime}} = 3 \pi / 8$，

这明显违反了定域隐变量理论的预言(5.9.40)。^{84} 当考虑实验中非完美偏振器透射系数和光电倍增管的有限立体角后，量子力学预言变为

^{84} 这种 $\theta$ 值的选择最大化了对 Bell 不等式的违反。

与实验结果 $2.697 \pm 0.0515$ 非常一致，但强烈违反了定域隐变量理论预言的不等式(5.9.40)。^{85}

^{85} A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger, Phys. Rev. Lett. 47, 460 (1981); 49, 91 (1982)。

练习5.8： 推导期望值(5.9.41)。

Aspect 等人还进行了实验，其中 A 端和 B 端的偏振器角度在比 A 和 B 探测器之间距离对应的时间间隔更短的时间间隔内独立地在 $\pi / 8$ 和 $3 \pi / 8$ 之间切换。这些"延迟选择"实验的结果再次强烈违反了(5.9.40)，与量子理论非常一致。^{86}

^{86} A. Aspect, J. Dalibard, and G. Roger, Phys. Rev. Lett. 49, 1804 (1982)。

鉴于以上引用的实验以及使用不同物理系统的其他更近期的实验，定域隐变量理论站不住脚这一点已无可置疑。这一结论即使假设的隐变量是随机变量也成立。是这些理论的"实在论"特征，而非决定论，使它们与量子理论相冲突。

Einstein 可能不喜欢量子理论的根本不确定性（"上帝掷骰子"），但他与量子理论的"出发点"是"实在论的"而非"决定论的"。^{87} 即便如此，没有迹象表明他是隐变量理论的倡导者；他在1952年写信给 Born 说这样的理论"过于廉价"。^{88} 也没有任何证据表明他怀疑 EPR 论文中描述的"鬼魅般的超距作用"关联会在实际实验中被观测到——后来它们确实被观测到了。

^{87} A. Einstein, 引自 Born, 同上, p. 149。

^{88} A. Einstein, 引自 Born, 同上, p. 163。

EPR 论文被研究和引用过很多次，它当然对 Bell 产生了影响。但它的重要性并非得到普遍承认。例如，Pais 写道："这篇论文既不包含悖论，也不包含逻辑缺陷。它只是得出结论说，客观实在与量子力学完备的假设不相容。这一结论没有影响后续的物理学发展，而且它是否会产生影响也值得怀疑。"^{89}

^{89} A. Pais, Niels Bohr's Times, Oxford University Press, Oxford, 1991, p. 467。

关于 Bell 定理的意义，存在截然不同的看法。例如，Feynman 与 Bell 定理"有着某种复杂的关系"，他在1983年说："这不是一个被认为有任何特别重要性的定理。我们这些使用量子力学的人一直都在用它。这不是一个重要的定理。它只是对我们已知为真的事情的一个陈述——它的一个数学证明。"^{90} 相反，Stapp 认为 Bell 定理是"科学中最深刻的发现"。^{91} 让读者自行判断。

^{90} R. P. Feynman, 引自 J. S. Bell, in The Ghost in the Atom, P. C. W. Davies and J. R. Brown, eds., Cambridge University Press, Cambridge, 1986, p. 49。

^{91} H. P. Stapp, Nuovo Cimento 29B, 270 (1975)。

参考文献与补充阅读#

关于原子-场相互作用量子理论的众多著作包括：Loudon; Mandel and Wolf; Scully and Zubairy; Garrison and Chiao。Shore 以及 Berman and Malinovsky 主要关注激光-原子相互作用和光谱学。Budker, Kimball, and DeMille 是关于原子在电场和磁场中的优秀实例集。Haroche and Raimond 综述了腔量子电动力学中原子-场相互作用的研究。

P. L. Knight and P. W. Milonni, Phys. Rep. 66, 21 (1980) 综述了光谱中的相干效应，其中包含许多关于共振荧光和光子反聚束的原始工作文献。

关于 Bell 定理以及与量子理论对比检验定域隐变量理论的早期实验的全面综述，见 J. F. Clauser and A. Shimony, Rep. Prog. Phys. 41, 1881 (1978)。

量子克隆及其含义由 V. Scarani, S. Iblisdir, N. Gisin, and A. Acin, Rev. Mod. Phys. 77, 1225 (2005) 综述。

两本关于量子信息科学与应用的清晰著作：S. Stenholm and K.-A. Suominen, Quantum Approach to Informatics, Wiley-Interscience, Hoboken, New Jersey, 2005; N. D. Mermin, Quantum Computer Science: An Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2007。