相互作用哈密顿量与自发辐射#

在第2章中，原子-场相互作用是在电偶极近似下表述的。原子用量子力学处理，场用经典理论处理。这种半经典方法从根本上说是不自洽的：与带电粒子相关的可观测量满足不确定关系，而场的可观测量则不然。本章中，原子和场都将按照量子理论自洽地描述。我们重点关注自发辐射——太阳大部分光线的起源、光子学中一些最重要噪声效应的来源，也是最常被引用来证明半经典辐射理论不充分的现象之一。

在量子光学中，以及在更一般的非相对论性量子电动力学中，使用电偶极形式的哈密顿量通常比使用更基本的"最小耦合"形式更为方便。我们首先重新审视这些哈密顿量及其等价性，不过这次是在量子化场的情形下。

4.1 原子-场哈密顿量：为什么是最小耦合？#

在经典电动力学中，电荷 e、质量 m 的点粒子在电磁场中的相互作用哈密顿量是通过将自由粒子哈密顿量中的线性动量 p 替换为 ${\bf p} - e {\bf A}$ 得到的，其中 A 是矢势（vector potential）。换句话说，动能项 $ {\mathbf{p}} ^{2} / 2 m$ 被替换为 $( {\bf p} - e {\bf A} ) ^{2} / 2 m$ ，由此得到相互作用哈密顿量（第2.2节）

由于下面将要说明的原因，这种通过将 p 替换为 ${\bf p} - e {\bf A}$ 来获得相互作用哈密顿量的做法被称为最小耦合（minimal coupling），尽管早在它被称为最小耦合之前就已经被使用了。最小耦合哈密顿量中的动量 $\mathbf{p_{\omega}} ( = m \mathbf{v} + e \mathbf{A} )$ 是坐标 x 的正则共轭动量。如果拉格朗日量不依赖于 x，该动量就是守恒量。我们将(4.1.1)作为经典电动力学中的相互作用哈密顿量，因为由此可以导出正确的洛伦兹力定律 $\mathbf{F} = e ( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} )$ 。在（非相对论性）量子电动力学中，我们直接沿用相同的哈密顿量，但将 x、p 和 A 视为（厄米）算符。

对最小耦合的更深刻理解来自规范原理（gauge principle）。质量为 m 的自由粒子的薛定谔方程在坐标表象中为

且波函数 $\Psi^{\prime} ( \mathbf{x} , t ) = \Psi ( \mathbf{x} , t ) e^{i \theta}$（θ 为常数）同样满足该方程。薛定谔方程的这种形式不变性是一种全局相位不变性。规范原理要求方程在局域相位变换下具有不变性：$\Psi^{\prime} ( \mathbf{x} , t ) = \Psi ( \mathbf{x} , t ) e^{i e \chi ( \mathbf{x} , t )}$，其中 e 是粒子的电荷，$\chi ( \mathbf{x} , t )$ 依赖于时间和粒子的位置。考虑一个局域相位变换，例如 χ 不依赖于时间的情况。此时 $\Psi^{\prime} ( \mathbf{x} , t ) = \Psi ( \mathbf{x} , t ) e^{i e \chi ( \mathbf{x} )}$ 不是自由粒子薛定谔方程的解，因此，为了满足规范原理，我们需要寻找一个在这种局域相位变换下不变的薛定谔方程。这样的方程为

其中

而矢量场 $\mathbf{A} ( \mathbf{x} , t )$ 在局域相位变换

下按照

变换。在这些变换下，(4.1.3) 变为相同形式的薛定谔方程：

换句话说，在自由粒子薛定谔方程中做替换

得到了一个在局域相位变换(4.1.6)下不变的薛定谔方程，只要 A 按照(4.1.5)变换。由于 $\mathbf{p} = ( \hbar / i ) \nabla$ ，因此(4.1.8)等价于 $\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{p} - e \mathbf{A}$ 。于是，规范原理将我们从自由粒子薛定谔方程引导至一个描述粒子与矢量场相互作用的薛定谔方程，该矢量场在局域相位变换下必须以特定方式变换（见(4.1.5)）。当然，这个变换正是熟悉的矢势规范变换（第1.3节）。因此，通过要求局域相位变换下的不变性，我们推断出电荷 e 与一个”规范场”A 相互作用，而 A 恰好就是熟悉的矢势。在这个意义上，规范原理暗示了这种”力场”的存在。

电磁相互作用中”最小”耦合这一术语显然是由 Murray Gell-Mann 提出的，作为”一个被广泛接受、尽管通常是默认接受的原则。”¹ 最小耦合涉及电荷，但不直接涉及高阶多极矩——后者是最小耦合的结果。在现代粒子物理的规范理论中，”电荷”或耦合常数当然不一定是电荷，例如可以是量子色动力学中的色荷（color charge）。”协变导数”（covariant derivative）${\mathcal{D}} _{\mu}$ 在我们的简单例子中归结为 $\nabla - (i e / \hbar) \mathbf{A}$，它为点粒子定义了最小耦合，因为更一般地，我们可以向 ${\mathcal{D}} _{\mu}$ 添加满足规范原理但不包含在电动力学中（也不需要）的额外相互作用项。

带电粒子与电磁场的完整哈密顿量是通过将场能量加到 $( {\bf p} - e {\bf A} ) ^{2} / 2 m$ 上得到的：

我们采用库仑规范（Coulomb gauge）：A 是横场（transverse）$( \nabla \cdot \mathbf{A} = 0 , \mathbf{A} = \mathbf{A} ^{\perp} )$，因此是规范不变的（第3.3.2节）。用电场的横场和纵场部分 $( {\bf E} = {\bf E} ^{\perp} + {\bf E} ^{\parallel} , {\bf E} ^{\perp} = - \partial{\bf A} / \partial t , {\bf E} ^{\parallel} = - \nabla \Phi )$ 表示时，(4.1.9) 中 $\mathbf{E} ^{2}$ 的积分变为

最后一个积分为零（参见附录 B）：

其中我们使用了分部积分和 $\nabla \cdot \mathbf{E} ^{\perp}$ 恒为零的事实。此外，

其中我们使用了散度定理、$\Phi$（如 $\mathbf{E} ^{\perp}$）在无穷远处为零的假设，以及库仑规范中标量势的泊松方程 $( \nabla^{2} \Phi = - \rho / \epsilon_{0} )$。因此，

以及

H 的最后一项只是电荷密度 $\rho$ 在标量势 $\Phi$ 中的库仑能。对于自由空间中的电荷分布，该能量可以用第1章中得到的泊松方程的解仅用 $\rho$ 表示（见 1.3.39）：

例如，对于在位置 $\mathbf{r} _{i} ( t )$ 处的 $\mathcal{N}$ 个点电荷 $q_{i}$ 的集合，

以及

如果我们忽略（无穷大的）库仑自能。整个电荷系统与电磁场的哈密顿量则为

这个最小耦合哈密顿量在经典和量子电动力学中都适用。如前所述，我们从经典理论过渡到量子理论的方式是将粒子的坐标和动量，以及矢势 A（从而电场和磁场），都视为希尔伯特空间中的厄米算符。在本文采用的库仑规范中，只需量子化（横场）矢势，从中即可得到横场 ${\bf E^{\perp}}$ 和 H。

标量势（从而电场的纵场部分）的效应完全包含在电荷之间的瞬时库仑相互作用中，即(4.1.18)的最后一项。然而，如第1.3.2节和附录 A 所述，在库仑规范中，粒子之间的电磁相互作用仍然是正确延迟的。

还需注意，在库仑规范中，动量算符 $\mathbf{p} _{i}$ 与 A 对易，尽管哈密顿量中每个粒子的 A 是在该粒子的坐标 $\mathbf{r} _{i}$ 处计算的。例如，在坐标表象中，

4.1.1 场算符的麦克斯韦方程组#

我们主要关注束缚在原子核上的电子，在电荷中性原子与场相互作用中近似为电偶极子。首先考虑一个静止原子位于固定位置 $\mathbf{r} _{0}$ 的简单情形，在电偶极近似中，这与原子核的位置相同。横场电场算符的海森堡运动方程为

由于 H 现在由(4.1.18)给出，其中 ${\mathcal{N}} = 1$ 且 $\mathbf{A} = \mathbf{A} ( \mathbf{r} _{0} )$ ，

为简化符号，我们在此不标示时间依赖性，因为所有算符都指同一时刻。由于对易子 $[ E_{i} ^{\bot} ( {\bf r} ) , A_{j} ( {\bf r} _{0} ) ]$ 只是一个 c-数（见(3.10.13)），且场算符 $E_{i} ^{\bot} ( \mathbf{r} )$ 与原子算符 p 对易，

其中 m 和 $\textit{e} \left( = - | e | \right)$ 分别是电子的质量和电荷，而 $m \mathbf{\dot{x}} = m \mathbf{v} = \mathbf{p} - e \mathbf{A} ( \mathbf{r} _{0} )$ 是动能动量（kinetic momentum，区别于正则动量）；x 可视为电子相对于原子核的位移，这两个相反电荷形成电偶极矩 ex。类似地，

其中对重复指标 (j) 求和。接下来，我们使用等时对易关系 (3.10.13) 和 (3.10.21)，

以及

由此得到

或者利用

我们定义了单原子电偶极矩密度（在电偶极近似中即”极化强度”）

其横场部分为

类似地，从 H 的海森堡方程我们得到麦克斯韦方程

这些结果可以很容易地推广到 $\mathcal{N}$ 个原子的情况：将(4.1.29)和(4.1.30)替换为

$e \mathbf{x} _{\ell}$ 是位于固定位置 ${\bf r}_{\ell}$ 的第 ℓ 个原子的偶极矩算符。由于假设没有自由未束缚的电荷，处处有 $\nabla \cdot \mathbf{D} = \nabla \cdot ( \epsilon_{0} \mathbf{E} ^{\|} + \mathbf{P} ^{\|} ) = 0$ 。因此，

进一步注意到 $\nabla \times{\bf E} ^{\perp} = \nabla \times{\bf E}$ ，我们可以将(4.1.28)和(4.1.31)等价地写为

和

其中 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ 意味着 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ 。因此，我们已证明：当时间演化由最小耦合哈密顿量支配时，电磁场算符的四个麦克斯韦方程都得到满足。

4.2 电偶极哈密顿量#

从最小耦合哈密顿量到电偶极形式的变换已在第2.2节中在经典理论以及半经典辐射理论中完成。现在我们推导当电荷和场都用量子力学处理时哈密顿量的电偶极形式。我们首先考虑最简单且有意义的情况：一个单电子原子与电磁场耦合。最小耦合哈密顿量(4.1.18)简化为

其中

假设除了原子核的库仑场外没有其他纵场。原子核被视为静止，因此其动能不包含在 H 中。在电偶极近似中，(4.2.1)右边第一项中的 A 在原子核的固定位置 $\mathbf{r} _{0}$ 处取值。在第2.2节的半经典方法中，矢势 $\mathbf{A} ( \mathbf{r} _{0} )$ 是一个（经典）c-数，而电子坐标 x 是厄米算符。现在两者都是厄米算符，$\mathbf{E} ^{\perp}$ 和 H 也是如此。

到哈密顿量电偶极形式的变换可以通过多种方式实现。² 我们选择紧密遵循第2.2节的半经典方法，但现在使用幺正算符

在这种方法中，我们将状态矢量 $\left| \Psi \right.$ 替换为 $\left| \psi^{\prime} \right.$ ，前者由最小耦合哈密顿量 H 支配时间演化，后者定义为

如第2.2节所述，我们使用含时薛定谔方程

来确定状态矢量 $\left| \psi^{\prime} \right.$ 的时间演化。但现在，从 $\left| \Psi \right.$ 到 $\left| \psi^{\prime} \right.$ 的变换涉及（量子化的）库仑规范矢势 $\mathbf{A} ( \mathbf{r} _{0} )$ 的算符。由于在薛定谔绘景中 $\mathbf{A} ( \mathbf{r} _{0} )$ 和 $\mathbf{x}$ 都不依赖于时间，因此从(4.2.4)、(4.2.5)和 $\mathcal{U}$ 的幺正性可得

从一般算符恒等式(2.2.18)、对易关系(3.10.13)以及矢势与磁场对易的事实，可以直接得到

因此

P 和 $\mathbf{P} ^{\perp}$ 由(4.1.32)和(4.1.33)给出，其中 $\mathcal{N} = 1$，且 ${\bf r} _{1} = {\bf r} _{0}$ 。我们是在薛定谔绘景中推导出 $H^{\prime}$ 的，但它当然也可以在海森堡绘景中使用。

变换后的哈密顿量(4.2.8)与(4.2.1)一样，不包含库仑能

将此项加到(4.2.8)并推广到 $\mathcal{N}$ 个原子，我们得到电偶极哈密顿量的一般形式：

其中 $H_{A}$ 是 $\mathcal{N}$ 个原子的哈密顿量，P 由(4.1.32)定义。

原子与电磁场相互作用的电偶极形式哈密顿量似乎是由 Maria Goppert-Mayer 首次使用的，她在大约30年后才被实验观测到的双光子吸收现象中应用了该形式。⁴ 她使用了第2.2节的经典拉格朗日方法推导了电偶极形式。值得注意的是，经典或半经典推导（从最小耦合形式到电偶极形式）与这里场被量子化的方法之间存在一个差异：项 $\left( 1 / 2 \epsilon_{0} \right) \int d^{3} r \mathbf{P} ^{\perp 2}$ 并不出现在经典或半经典推导中。它不出现的简单原因是：矢势与横场电场之间的对易关系(3.10.13)导致了 ${\mathcal U} ^{\dagger} {\bf E} ^{\perp} {\mathcal U} = {\bf E} ^{\perp} - ( 1 / \epsilon_{0} ) {\bf P} ^{\perp}$ 中出现 $\mathbf{P} ^{\perp}$ ，进而导致 $H^{\prime}$ 中出现项 $\left( 1 / 2 \epsilon_{0} \right) \int d^{3} r \mathbf{P} ^{\perp 2}$ 。如果场未被量子化，就不存在这种（非零的）场对易子，因为场的变量此时是 c-数而非算符。

最小耦合和电偶极哈密顿量的形式等价性意味着物理预测不能依赖于使用哪种形式。例如，可观测量 $\mathcal{O} ( t )$ 在态 ψ 中的期望值（由哈密顿量 H 支配其时间演化）等于 $\mathcal{O} ^{\prime} ( t ) = \mathcal{U} ^{\dag} \mathcal{O} ( t ) \mathcal{U}$ 在变换后的态 $\vert \Psi^{\prime} \rangle = \mathcal{U} ^{\dagger} \vert \Psi \rangle$ 中的期望值（由哈密顿量 $H^{\prime}$ 支配其时间演化）：

正如第2.2节的半经典理论一样，这里的方法涉及从 $\left| \Psi \right.$ 到 $\left| \psi^{\prime} \right.$ 的态变换以及从 H 到 $H^{\prime}$ 的哈密顿量变换。关于是否需要变换态来确保用最小耦合和电偶极哈密顿量进行的计算得到物理上有意义的结果，同样的考虑既适用于半经典表述也适用于量子化场表述。但正如该节所讨论的，当做出近似（例如限制在不完备的态集合上）时，基于最小耦合和电偶极哈密顿量的计算不一定给出完全相同的结果。

那么，为什么要在完全够用的、更基本的最小耦合哈密顿量之外引入电偶极哈密顿量呢？除了大多数量子光学工作者使用它这一事实外，电偶极哈密顿量具有显著的优势。一方面，矢势不出现，因此也不存在关于规范不变性的问题。另一方面，正如 Power 和 Zienau 所强调的，使用电偶极哈密顿量计算原子间电偶极相互作用通常更为方便。⁵ 从以下事实可以清楚地看出这一点：(4.2.10)右边最后一项只是单原子（发散！）自能之和：

因此，原子间相互作用来自哈密顿量 $H^{\prime}$ 中的场 $\mathbf{E} ^{\perp}$，而使用最小耦合哈密顿量时，矢势 A 和(4.1.18)右边最后一项描述的瞬时库仑相互作用都对这种相互作用有贡献，这两部分贡献共同确保了正确的延迟相互作用（参见附录 A）。

回顾一下，最小耦合哈密顿量 H 中的 ${\bf E^{\perp}}$ 满足麦克斯韦方程组。特别地，(4.1.28)和(4.1.31)蕴含

但对于出现在电偶极哈密顿量 $H^{\prime}$ 中的算符 $\mathbf{E} ^{\perp}$，我们发现了不同的波动方程：

如下所示。回顾 $\epsilon_{0} \mathbf{E} ^{\|} + \mathbf{P} ^{\|} = 0$（见(4.1.34)）以及当自由电荷密度 $\rho = 0$ 时 $\nabla \cdot \mathbf{D} = 0$ 。那么，(4.2.14) 就是 $1 / \epsilon_{0}$ 乘以电位移矢量 ${\bf D} = \epsilon_{0} {\bf E} + {\bf P} = \epsilon_{0} {\bf E} ^{\perp} + {\bf P} ^{\perp}$ 的波动方程，因此我们或许可以在 $H^{\prime}$ 中用 $\mathbf{D} / \epsilon_{0}$ 代替 $\mathbf{E} ^{\perp}$ 。然而，这种区别对于计算外加场或其他原子场对原子的影响等目的来说并不重要。在哈密顿量(4.2.10)中写入 $\mathbf{D} / \epsilon_{0}$ 代替 $\mathbf{E} ^{\perp}$ ，并使用(4.1.29)和(4.2.12)推导位于 $\mathbf{r} = 0$ 的原子的电子坐标和动量算符的海森堡运动方程：$\dot{x} _{i} = p_{i} / m$ 和

其中算符 $\mathcal{E} _{i}$ 是原子位置处电场的第 i 个分量。因此，尽管电偶极哈密顿量中出现的是电位移矢量，但实际作用于原子的是电场。⁶ 沿着这一思路，我们将在第4.3节中展示，在自由空间中远离原子处（$\mathbf{P} = 0$），由哈密顿量(4.2.10)计算的场 ${\bf E} ^{\perp} / \epsilon_{0}$ 恰好具有熟悉的电偶极子电场形式。这就是可能作用于其他原子的电场。

电偶极哈密顿量

变换

源自

(4.2.17)右边的第二项导致了(4.2.16)右边的第二项。因此，(4.2.16)右边的第一项——出现在电偶极哈密顿量中的算符 $\mathbf{E} ^{\perp}$——可以表示为与最小耦合哈密顿量中横场电场算符相同的形式（回顾(3.3.11)）：

$\mathbf{H} ( \mathbf{r} )$ 也有类似形式。此处的算符 $a_{\mathbf{k} \lambda}$ 实际上是变换后的算符(4.2.17)，但这两组算符的区别——以及两个等价哈密顿量对应的光子之间的区别——对我们的目的来说并不重要：当我们使用最小耦合哈密顿量或电偶极哈密顿量时，唯一重要的是用于推导海森堡运动方程的对易关系(4.2.18)。

利用(4.1.33)、(4.2.12)和(4.2.19)，我们将电偶极哈密顿量(4.2.10)写为

我们现在将直接从该哈密顿量证明 ${\bf E^{\perp}}$ 满足(4.2.14)。$a_{\mathbf{k} \lambda}$ 的海森堡运动方程为

因此，

并且，从(4.2.19)出发，

其中 h.c. 表示厄米共轭。我们使用了恒等式(3.10.5)以及自由空间中场满足 $k^{2} = \omega_{k} ^{2} / c^{2}$ 的事实。最后，我们令量子化体积 $V \to \infty$ 并使用(3.3.18)将(4.2.23)中方括号内的项识别为横向δ函数 $\delta_{i j} ^{\perp} ( \mathbf{r} - \mathbf{r} _{\ell} )$，从而得出结论：$\mathbf{E} ^{\perp}$ 满足(4.2.14)。

关于电偶极哈密顿量(4.2.10)的几点值得强调。矢势 A 不出现，$H^{\prime}$ 或基于它的计算的规范不变性不成问题，且 $H_{A}$ 是未微扰、非相互作用原子的哈密顿量。对于单电子原子，其坐标表象中的本征态是熟悉的类氢薛定谔波函数 $\Phi_{n \ell m} ( r , \theta , \Phi )$。正如第2.2节半经典框架中所讨论的，这些是在海森堡绘景计算中使用的初始、不含时态 $\psi^{\prime}$ $\left| \psi^{\prime} \right.$；要获得与基于最小耦合哈密顿量的计算相同的结果，我们使用由(4.2.4)给出的变换态 $\left| \Psi \right.$。原子间的电偶极相互作用完全由相互作用项 $- \mathbf{E} ^{\perp} \cdot \mathbf{P}$ 描述；无需添加非推迟的静电偶极-偶极相互作用，而使用最小耦合哈密顿量时则必须添加。尽管出现在电偶极哈密顿量中的场 ${\bf E} ^{\perp}$ 实际上是 $\mathbf{D} / \epsilon_{0}$，但正如所预期的，作用于原子的是电场。

最后我们注意到，哈密顿量(4.2.20)有两个明显的无穷大：一个来自涉及零参数δ函数的项，另一个来自

$H_{F}$ 中的零点能只是一个(c-)数，因此与哈密顿量中其他所有量对易，不影响海森堡运动方程；只需重新定义能量零点即可将其从哈密顿量中省略。我们将在第7章中详细讨论。

4.3 原子的场#

位于 $\mathbf{r} = 0$ 的单电子原子的海森堡运动方程(4.2.21)的形式解为

现在我们用这个形式解代入(4.2.19)。由于(4.2.19)给出的场显然是横场，我们去掉冗余的上标 $(\perp)$ 并写为

其中我们定义

以及

我们使用了(3.10.5)，并在最后一步将波矢 k 的求和替换为 k 空间中的积分，如(3.3.18)所示：

$t = 0$ 是一个原子-场相互作用被人为开启的时刻。就当前目的而言，这意味着 $\mathbf{E} _{0} ( \mathbf{r} , t )$ 是独立于原子而存在的”自由场”，而 $\mathbf{E} _{S} ( \mathbf{r} , t )$ 是原子产生的”源场”。

目前，我们只对 $\mathbf{E} ( \mathbf{r} , t )$ 的源部分感兴趣。利用下面的(4.3.15)，我们可以将(4.3.4)表示为

其中我们使用了 $\omega_{k} = k c$ 并引入了 $\hat{\mathbf{d}}$，即 $\mathbf{x} ( t )$（$\mathbf{x} ( t ) = x ( t ) \hat{\mathbf{d}}$）固定方向上的单位矢量。k 积分引入了 delta 函数及其导数。例如，

对于 $r > 0$ ，只有第一个 delta 函数对(4.3.6)中对 $t^{\prime}$ 的积分有贡献，因此我们仅保留该 delta 函数，并在(4.3.6)中取

类似地，在(4.3.6)中有

以及

因此，$\mathbf{E} ( \mathbf{r} , t )$ 具有熟悉的电偶极子延迟电场形式：

对于 $t > r / c$

(4.3.4) 中对 k 空间的积分遍及所有 $k = | \mathbf{k} |$ 以及所有关于 k 的立体角：

$d_{i} = e x_{i}$ 。包含 $\delta_{i j}$ 的项很容易通过取 k 空间的 $z$ 轴沿 $\mathbf{r} = r {\hat{\mathbf{r}}}$ 来计算：

剩余项是矢量的第 j 个分量

因此(4.3.12)是下式的第 j 个分量

我们还注意到这些表达式蕴含

练习 4.1：证明最小耦合哈密顿量(4.2.1)中单个原子在偶极近似下的横场电场部分是一个静态的非延迟场，随距原子的距离 r 按 $1 / r^{3}$ 变化。

场(4.3.11)完全具有经典电磁学中熟悉的赫兹电偶极子 $e \mathbf{x} ( t )$ 在任意点产生的延迟电场形式（见(1.4.20)）。这与第4.2节中的论述一致，即电偶极哈密顿量中的场 $\mathbf{E} ^{\perp} ( \mathbf{r} , t )$ 充当电场算符——只要我们不涉及与辐射反作用场（radiation reaction field）$\mathbf{E} ( 0 , t )$ 相关的自相互作用（将记为 $\mathbf{E} _{\mathrm{R R}} ( t )$）。该场由(4.3.6)在 $r \to 0$ 时得到，利用

因此，

分部积分，并丢弃由于在 $t = 0$ 时刻人为突然开启电磁相互作用而产生的项，我们得到

其中我们使用了

并定义了

以及 $\dot{\delta} ( t = 0 ) = 0$，因为 $\delta ( t )$ 形式上是 t 的偶函数。Λ 是为避免紫外灾难而引入的高频截断（high-frequency cutoff）。其思想是，没有这种截断时出现的发散可以在更完整的分析中被”重整化”或通过其他方式消除。特别地，导致(4.3.19)的非相对论理论在频率 $\omega$ 大于 $m c^{2} / \hbar$ 时不再成立。此外，我们的偶极子与任意高频率的相互作用与偶极近似相矛盾——偶极近似假设原子与其线度相比具有大波长的场相互作用。我们必须在 $\mathbf{E} _{\mathrm{R R}} ( t )$ 中引入高频截断，以保持与推导中所作假设的一致性。

为了解释辐射反作用场(4.3.19)的不同部分，考虑从电偶极哈密顿量(4.2.20)得出的单个原子（$\mathbf{r} _{\ell} = 0$）的海森堡运动方程：

最后一项来自(4.2.20)中的 $( e^{2} / 2 \epsilon_{0} ) \mathbf{x} ^{2} \delta^{3} ( 0 )$，在丢弃了（发散的）库仑自相互作用能 $( e^{2} / 2 \epsilon_{0} ) x_{j} \delta_{i j} ^{\parallel} ( 0 )$ 之后得到。从(4.3.19)，

由横场 delta 函数的定义(B.9)，以及(4.3.15)和(4.3.17)，

因此我们看到(4.3.24)右边最后两项存在抵消，剩下

这表明作用于偶极子的辐射反作用场为

我们定义了电子的观测质量（observed mass）：

这里的要点是，我们在方程中迄今写出的电子质量 m 并不包括电子与其自身辐射反作用场相互作用的影响——这种影响显然增加了电子的惯性质量。观测到的电子质量 $m_{\mathrm{o b s}} = 9.18 \times 10^{-31}$ kg 因此除了可能来自非电磁起源的”裸质量”（bare mass）$m_{\mathrm{b a r e}}$ 之外，还包括电磁质量（electromagnetic mass）$m_{\mathrm{e m}}$。如果让高频截断 $\Lambda \to \infty$，$m_{\mathrm{e m}}$ 将发散，但这将违反我们的非相对论近似。完全相对论性的量子电动力学理论仍然给出发散的电感质量，不过这种发散”只是”对数的：

其中 $\alpha = ( 4 \pi \epsilon_{0} ) ^{- 1} e^{2} / \hbar c$ 是精细结构常数（fine-structure constant）。无论如何，无论出于什么原因，我们知道 $m_{\mathrm{o b s}}$ 是有限的！因此，我们”重整化”质量并将(4.3.26)重写为

毫不奇怪，辐射反作用场 $( e / 6 \pi \epsilon_{0} c^{3} ) \stackrel{...} {\bf x}$ 与基于功率平衡论证的经典结果(1.11.14)具有完全相同的形式。对于 x 的相同运动方程也可以从最小耦合形式的哈密顿量得出。

练习 4.2：考虑电偶极矩 $\mathbf{p} ( t ) = e \mathbf{x} ( t )$。通过在 $r \to 0$ 处对 $\mathbf{p} ( t - r / c )$ 及其导数进行泰勒级数展开，计算(1.4.20)中给出的电场，并将结果与(4.3.19)中给出的辐射反作用场进行比较。

4.4 自发辐射#

你可能想知道[我父亲]从这一切中得到了什么。我去了麻省理工学院。我去了普林斯顿。我回到家，他说：”现在你受了科学教育。我一直想了解一些我从未理解过的事情；所以，儿子，我希望你向我解释一下。”我说：”好的。”

他说：”我理解他们说，当一个原子从一个态跃迁到另一个态，从激发态到较低能态时，会发射光。”

我说：”没错。”

“而光是一种粒子，叫光子，我想。”

“那么，如果光子是从原子从激发态到较低态时出来的，那么光子一定在激发态时就已经在原子里面了。”

我说：”嗯，不是的。”

他说：”那你如何看待这个问题，才能认为一个粒子光子出来了，而它之前并不在激发态里面呢？”

我想了几分钟，然后说：”对不起；我不知道。我无法向你解释。”

—— Richard Feynman⁷

自发辐射是产生我们周围大部分光的过程。我们之前在(3.6.98)中提到，例如太阳约98%的光是自发辐射的结果。尽管有过著名的尝试，但迄今为止尚未发现能够构建一个与实验和观测一致的自发辐射可行理论——而不需要场量子化。1927年 Dirac 首次成功处理自发辐射，这不仅是量子场论的早期应用，也是量子理论如何解释粒子（这里是光子）产生的第一个例证。⁸ “Dirac 对自发辐射的成功处理证实了量子力学的普适性。”⁹

完整的自发辐射理论不仅必须给出原子的辐射速率和光谱，还必须给出由于原子-场耦合导致的原子能级变化以及相应的辐射频率位移。观测到的能级位移通常很小——在著名的氢原子 Lamb 位移中大约为百万分之一——而由于与第4.3节中发现的辐射反作用场发散密切相关的原由，计算出的位移只有在重整化之后才是有限的（并且与实验惊人地一致）。在下文中，我们将首先在薛定谔绘景中，然后在海森堡绘景中讨论自发辐射的这些不同方面。

4.4.1 薛定谔绘景#

假设我们在自由空间中有一个处于固定位置 $\textbf{r} = \textbf{0}$ 的原子，处于激发态 2，并且该原子可以通过电偶极跃迁到较低的稳定态 1。使用第2.3节和第2.5节中引入的记号，我们将两能级原子模型的原子哈密顿量写为

，相互作用哈密顿量为

此后我们将只使用电偶极形式的哈密顿量，不再通过加”撇”来将其与最小耦合哈密顿量区分。我们暂时忽略哈密顿量(4.2.20)中麻烦的发散项 $( e^{2} / 2 \epsilon_{0} ) \mathbf{x} ^{2} \delta^{3} ( 0 )$，但稍后将考虑它。因此，我们暂时使用的哈密顿量为

零点场能已通过适当选择能量零点被忽略，为简化符号，我们让下标 $\beta$ 代表 kλ：$C_{\beta} = C_{\mathbf{k} \lambda}$，等等。我们将感兴趣的初始态记为 $| 2 \rangle | \{0 \} \rangle$——原子处于态 2，场处于无光子的真空态 $| \{0 \} \rangle$，即对所有模式 k、$\lambda$ 都有 $a_{\mathbf{k} \lambda} | \{0 \} \rangle = 0$ 的场态；光子湮灭算符 $a_{\mathbf{k} \lambda}$ 就是出现在电场算符 (4.2.19) 中的那些。原子从激发态 2 可以发射一个光子到某个模式 $\beta$ 中，同时跃迁到其较低能态 1。我们将此跃迁后的原子-场系统态记为 $| 1 \rangle | 1_{\beta} \rangle$

对于所假设的初始态，哈密顿量(4.4.4)不会直接（即到原子-场耦合的一阶）产生其他单光子态。因此 t 时刻的状态矢量具有以下形式

现在，

因此薛定谔方程简化为以下关于态概率振幅的耦合方程组：

再做一次符号简化，我们重设能量零点使得 $E_{2} \to 0$ 且 $E_{1} E_{1} - E_{2} = - \hbar \omega_{0}$，其中 ω₀ 为跃迁（角）频率，并将 (4.4.7) 和 (4.4.8) 替换为

respectively.

首先考虑一个非常特殊的情况，即假设只有一个可能的场模式。在此模型（第5.3节）中，最初在原子中的激发在原子与场之间振荡：对于 $b_{2} ( t = t_{0} ) = 1$ 和 $b_{\beta} ( t = t_{0} ) = 0$，态 $| 2 \rangle | \{0 \} \rangle$ 和 $| 1 \rangle | 1_{\beta} \rangle$ 占据概率的解分别为

为方便起见，我们在下文设”初始条件时刻” $t_{0} = 0$，并定义 $\Delta = \omega_{0} - \omega_{\beta}$、$\Omega = ( 4 | C_{\beta} | ^{2} + \Delta^{2} ) ^{1 / 2}$。这里的物理并非向场模式连续谱的不可逆发射。

我们感兴趣的是更常见的不可逆自发辐射情形。我们寻求在实际感兴趣的”长”时间（当然远大于 $1 / \omega_{0}$）下的概率 $| b_{2} ( t ) | ^{2}$。对于所选初始态，由 (4.4.9) 和 (4.4.10) 可得 $b_{2} ( t )$ 满足积分微分方程

or

这里，我们利用了以下事实

因为 $\mathbf{k} / k$、$\mathbf{e_{k 1}}$ 和 $\mathbf{e_{k 2}}$ 是三维空间中的正交单位矢量。因此，

我们在写(4.4.14)时用到该恒等式。

作为第一个最简单的近似，我们将被积函数中的 $b_{2} ( t^{\prime} )$ 替换为其初值 1：

implying

引入新的积分变量 $x = ( \omega - \omega_{0} ) t$，并定义 $T = \omega_{0} t$，即以 $1 / \omega_{0}$ 为单位的时间

对于感兴趣的”长”时间，例如 $T = 1000$，这可以很好地近似为 $\pi \omega_{0} ^{3}$。对于波长为 600 nm 的跃迁，即 $\omega_{0} = 2 \pi c / \lambda = 3 . 14 \times 10^{15}$ rad/s，

$T = 1000$ 对应于 $t = 3 . 2 \times 10^{- 13} \ s$，远大于 $1 / \omega_{0}$ 但仍远短于典型原子辐射寿命 $( \sim 10^{- 8} \mathrm{s} )$。在这样的时间尺度上，我们可以将 (4.4.18) 近似为

where

这就是著名的自发辐射速率公式（即爱因斯坦 A 系数）。当然，(4.4.20) 中的近似仅在与跃迁辐射寿命 $1 / A_{21}$ 相比很短、但与跃迁频率倒数 $\omega_{0}$ 相比很长的时间范围内才有意义。

(4.4.20) 表明 $b_{2} ( t )$ 在感兴趣的时间尺度上的变化率相对较慢，这提示我们可以对 (4.4.13) 做更好的近似：

在此近似中，与 (4.4.14) 不同，场被允许反作用于原子（辐射反应），但仅以有效的”马尔可夫”方式，即 t 时刻的反作用对较早时刻 $t^{\prime}$ 没有”记忆”。由 (4.4.14) 中花括号内因子的表达式，

我们再次将积分 (4.4.19) 近似为 $\pi \omega_{0} ^{3}$。因此，

对于 $t \ll 1 / A_{21}$ 的时间，这与 (4.4.20) 一致。激发态概率按 (4.4.24) 指数衰减的近似通常称为 Weisskopf-Wigner 近似。

(4.4.23) 右侧第二项中的被积函数在 $\omega = \omega_{0}$ 处为零，因此我们可以将该积分替换为其柯西主值 $( \mathrm{P} )$。对于感兴趣的”长”时间 $( t \gg 1 / \omega_{0} )$，余弦项变化非常快，对积分没有贡献；因此

自发辐射

且

where

是初始激发态能量 $E_{2}$ 的移动。它是严重发散的，部分原因是在使用电偶极哈密顿量 (4.2.8) 推导时，我们在两能级原子模型中忽略了自能项 $\begin{array} {r l r} {{( 1 / 2 \epsilon_{0} ) \int d^{3} r \mathbf{P} ^{\perp^{2}}}} \end{array}$ 。更完整的多能级推导（见第4.8节）将 (4.4.28) 替换为

在两能级模型中，这正是使用最小耦合哈密顿量导出的移动。它仍然是发散的，但可以通过（质量重整化）来驯服发散以获得有限的能级移动，如第4.8节所示。目前，我们仅断言，为了与这里使用的非相对论近似保持一致，我们应该在某高频 Λ 处截断积分上限，并将 (4.4.29) 替换为有限表达式

在 (4.4.22) 中做马尔可夫近似时出现的对 $t^{\prime}$ 的积分经常遇到，为方便后续使用，我们将如上导出的长时 $( t \gg 1 / \omega_{0} )$ 近似记录如下：

且，类似地，

对 $\omega , \omega_{0} > 0$。符号 P 表示在对 $\omega$ 积分时需取柯西主值。

另一种写这些表达式的方式也很有用。回忆一下，当我们在实轴上进行积分，且被积函数在实轴上方（下方）的某点 $x_{0} \pm i \epsilon$ 处有一个简单极点时，我们可以使用一个包含以 $x_{0}$ 为中心、半径为 ε 的小半圆的积分路径来绕过该极点，该半圆位于实轴下方（上方）。于是，

or, formally,

前面一直假定自发辐射发生在自由空间中。更一般地，场依赖于原子的位置 r；回忆例如电场算符的表达式 (3.3.4)。因此，对于位于 r 处的原子，耦合常数 (4.4.3) 被替换为

且 (4.4.22) 变为

自发辐射速率为

当（回忆 (3.3.5)）时，它当然会简化为与 r 无关的 A 系数

如果原子与任何材料表面的距离远大于跃迁波长（第7.11节），自发辐射速率的这种位置依赖性通常可以忽略。此时自发辐射速率实际上与原子在无界自由空间中相同。

原子的能级通常也类似地依赖于原子的位置。对于两能级原子，位置依赖的能级移动公式可简单地从 (4.4.36) 和 (4.4.31) 得到。两能级模型并不提供普遍现实的能级移动模型，但该模型中得到的公式易于推广。例如，在任何重整化之前，基态能量的移动 $\delta E_{g}$ 由下式给出

$A_{n g} ( \omega , \mathbf{r} )$ 由跃迁 $n \to g$ 的自发辐射速率公式给出，使用跃迁偶极矩 $\mathbf{d} _{n g}$，但将该公式中的跃迁频率 $\omega_{n g}$ 替换为 $\omega$。求和遍及所有态 $n$。这种位置依赖移动的一个例子是导体板附近原子的 Casimir-Polder 能量（第7.3.3节）。

现在我们在 (4.4.7) 中使用（近似）解 $b_{2} ( t ) = \exp ( - A_{21} t / 2 ) \exp \left( - i E_{2} t / \hbar \right)$ 来得到 t 时刻已发射光子的概率表达式。对于远大于辐射寿命的时间 $t \gg 1 / A_{21}$，结果为

(4.4.41)

对于物理上感兴趣的情形 $A_{21} / \omega_{0} \ll 1$，$S ( \omega )$ 在 $\omega = \omega_{0}$ 附近有尖锐峰值，并且很好地描述了峰值跃迁频率 $\omega_{0}$ 附近观察到的类洛伦兹线型，即 $\left| \omega - \omega_{0} \right|$ 不超过"自然线宽" $A_{21} / 2$ 的情况。但 $S ( \omega )$ 显然不能在所有频率上都有效，因为它在所有频率上的积分是发散的。

哪里出了问题？积分线型的发散有时归因于偶极近似的失效，该近似只考虑远大于原子尺寸的场波长。虽然该近似对于足够小的波长 $\lambda = 2 \pi c / \omega$ 确实失效，但它不能为积分线型的发散负责：(4.4.9) 和 (4.4.10) 意味着

对所有时间成立，而 (4.4.41) 显然与此矛盾。因此，问题不在于偶极近似或两能级原子模型本身，而在于我们在求解 (4.4.9) 和 (4.4.10) 时所做近似。特别地，激发态概率的指数衰减违反了 (4.4.42)（因而也违反了薛定谔方程要求的幺正时间演化），不可避免地导致一个洛伦兹型频率分布 $S ( \omega )$，其所有频率上的积分是发散的。

事实上，量子理论严格禁止激发态概率的指数衰减，这可以从以下论证看出。¹⁰ 设 $U ( t ) = \exp ( - i H t / \hbar )$ 为系统的时间演化算符，该系统在 $t = 0$ 时刻处于某个非定态 $\left| \boldsymbol{\psi} ( 0 ) \right.$。该态在之后任意 t 时刻的概率振幅为

¹⁰ L. A. Khalfin, Sov. Phys. JETP 6, 1053 (1958).

用 $| E \rangle$ 表示系统哈密顿量 H 的（正交归一）本征态的完备集。任何物理系统的能量本征值 E 必须下方有界；否则就不存在稳定的基态。将 H 的最低能量本征值记为 $E_{\mathrm{m i n}}$。由完备性关系 $\int d E | E \rangle \langle E | = 1$，

其中对于 $E \ge E_{\mathrm{m i n}}$ 有 $w ( E ) = \vert \langle E \vert \Psi ( 0 ) \rangle \vert^{2}$，对 $E < E_{\mathrm{m i n}}$ 有 $w ( E ) = 0$。现在我们援引 Paley-Wiener 定理，该定理对我们而言可表述为：如果 $b ( t )$ 是平方可积的，则其傅里叶变换 $w ( E )$ 存在且下方有界的必要充分条件是

由于如果 $| b ( t ) |$ 在大 t 时呈指数衰减将违反此条件，纯指数衰减不可能发生。

线型函数的另一种形式可以如下导出。由 (4.4.10)、初始条件 $b_{\beta} ( 0 ) = 0$ 且 $t < 0$ 时 $b_{2} ( t ) = 0$ 的假设

现在将 $b_{2} ( t )$ 用其傅里叶变换 $\hat{b} _{2} ( \omega )$ 表示：

因此

回到 (4.4.9) 和 (4.4.10) 并取拉普拉斯变换。$b_{2} ( t )$ 的拉普拉斯变换为

自发辐射

然后利用公式

该公式将傅里叶变换与拉普拉斯变换联系起来，

再次使用

且 (4.4.34)，

我们可以将 (4.4.52) 分母中的最后一项替换为

最后，利用 (4.4.49) 和 (4.4.53)，我们得到长时间后存在光子的概率：

如果我们忽略非物理的发散频移 $\tilde{\Delta} ( \omega )$，则剩下线型函数

其所有频率上的积分是有限的，且在 $A_{21} / \omega_{0} \ll 1$ 时近似为 1。换句话说，在此极限下最终发射光子的概率为 1。

练习 4.3：与 (4.4.41) 相比，得到 (4.4.56) 时做了哪些假设和近似？

诸如(4.4.56)中 $\tilde{\Delta} ( \omega )$ 和 $\gamma ( \omega )$ 这类依赖于频率的函数，可以预期出现在任何旨在改进简单洛伦兹形式（其中频移和线宽与 $\omega$ 无关）的谱线型理论表述中。与此相关，我们回忆线宽因子 $\propto \omega^{3}$ 作为辐射反应的结果出现在(1.11.16)中，这是偶极振子对频率 $\omega$ 的外加场响应的经典表达式，且这种频率依赖性为与光学定理的一致性所必需。

实际中最相关的是频率 $\omega \approx \omega_{0}$ 附近的辐射线型。如前所述，基本的洛伦兹形式

其中 $\gamma \ll \omega_{0}$ 通常能很好地描述这些频率附近观察到的光谱。如果使用与得到 (4.4.41) 相同的假设（初始无光子，初始激发原子态的近似指数衰减），用最小耦合哈密顿量计算线型，则得到

This difers (for $\omega ~ \ne ~ \omega_{0} )$ from the lineshape (4.4.41) calculated 其中 the electric dipole Hamiltonian in having a factor $\omega$ in the numerator instead of $\omega^{3}$ . This is easily understood from the fact that $\mathbf{E} = - \partial \mathbf{A} / \partial t$ : the component of A at any field frequency $\omega$ is proportional to $1 / \omega$ times the corresponding component of $\mathbf{E} ,$ 且 therefore, 其中 the minimal coupling interaction $- ( e / m c ) \mathbf{A} \cdot \mathbf{p}$ , the atom–field coupling constant is proportional to $\omega^{- 1 / 2}$ , as opposed to the electric dipole coupling constant (see (4.4.3)), which is proportional to $\omega^{1 / 2}$ 11

哪种线型（更）正确？这个问题不容易回答，因为从任一哈密顿量得到的线型通常都依赖于原子的激发方式。

在他关于氢原子 $\mathrm{2 s_{1 / 2}}$ 和 $\mathrm{2 p_{1 / 2}}$ 能级差（兰姆移动）的一篇论文中，Lamb 写道，如果使用最小耦合哈密顿量而非电偶极形式计算线型函数，

会出现一个额外的因子 $[ ( \omega_{0} / \omega ) ^{2} ]$……这将导致共振曲线的显著畸变，因此为数据分析选择正确形式非常重要。当然，微扰 E·r 和 $- \mathbf{A} \cdot \mathbf{p} / m$ 之间的差异对应于规范变换，已知理论在该变换下不变，因此两个微扰必须给出相同的物理预言。然而，更仔细的检查表明，概率振幅的通常解释仅在前一种规范下有效，实际上并不存在额外的因子 $[ ( \omega_{0} / \omega ) ^{2} ]$。¹²

不考虑原子的激发方式就无法有意义的计算辐射线型。例如，线型 (4.4.41) 和 (4.4.59) 是在确信两能级原子在 $t = 0$ 时刻处于激发态的 idealized 情况下得到的。事实上这甚至远不足以描述兰姆移位实验。在原始实验中，氢原子 $\mathrm{2 s_{1 / 2}}$ 和 $\mathrm{2 p_{1 / 2}}$ 能级差（Dirac 方程在原子与电磁场无耦合时预言为零）是通过在可变直流磁场存在下用微波场诱导 $\mathrm{2 s_{1 / 2}}$ 态和 $\mathrm{2 p_{1 / 2}}$ 态之间的跃迁来测量的，该磁场通过塞曼效应将跃迁频率移入（或移出）与微波频率的共振。对于此类实验，Fried 证明，当使用最小耦合哈密顿量计算时，若包含原子的所有中间 p 态，得到的线型与用电偶极哈密顿量得到的线型非常一致。¹³ 这说明了前面提到的重要观点：两种形式的哈密顿量原则上导致等价的物理预言，但这种等价性在近似计算中一般不成立。

我们之前假设两能级原子在 $t = 0$ 时刻处于上能态 2。现在假设原子初始处于下能态 1，且场同样处于真空态 0。在这种情况下，在一阶原子-场耦合近似下，哈密顿量(4.4.4)将初始态 $| 1 \rangle | \{0 \} \rangle$ 与原子处于上能态且场模式 $\beta$ 中有一个光子的态 $| 2 \rangle | 1_{\beta} \rangle$ 耦合起来，且任意时刻 t 的态矢量具有如下形式

此时含时薛定谔方程的形式为

这里我们设定能量零点使（未微扰）原子的下能态能量为零。于是，

¹² W. E. Lamb, Jr., Phys. Rev. 85, 259 (1952), p. 268.

¹³ Z. Fried, Phys. Rev. A 8, 2835 (1973). See also W. E. Lamb, Jr., R. R. Schlicher, 且 M. O. Scully, Phys. Rev. A 36, 2763 (1987).

我们再次做了马尔可夫近似和"长时间"近似(4.4.32)，并识别出由于原子与电磁场相互作用导致的基态能量移动：

引起这种能级移动的原子-场相互作用可以理解为发射一个虚（“能量不守恒”）光子随后再吸收的过程，因为

是跃迁 $\lvert 1 \rangle \lvert \{0 \} \rangle \lvert 2 \rangle \lvert 1_{\beta} \rangle$ 的概率振幅，在该跃迁中发射了一个虚光子 $( a_{\beta} ^{\dagger} )$ 且原子跃迁到上态，乘以跃迁 $| 2 \rangle | 1_{\beta} \rangle | 1 \rangle | \{0 \} \rangle$ 的概率振幅，在该跃迁中同一虚光子被湮灭 $\left( a_{\beta} \right)$ 且原子跃迁回下态。

与上态移动 $\delta E_{2}$（见 (4.4.30)）的情况类似，我们将 (4.4.63) 替换为

我们两能级原子模型中的这个下态移动 $\delta E_{1}$ 与由(4.4.30)给出的上态移动 $\delta E_{2}$ 不同，它使用了“反共振”分母 $\omega + \omega_{0}$ 而非“共振”分母 $\omega - \omega_{0}$。只有当我们考虑原子的所有能级并进行重整化后，才能得到更有意义的辐射能级移动，如下文所述。

在薛定谔绘景中，只要只有一个或少数几个光子态具有显著的占据概率，就很容易超越两能级原子模型。例如，在图4.1所示的辐射级联中，原子-场系统的态矢量可以很好地近似为态 $| 2 \rangle | \{0 \} \rangle$、$| 1 \rangle | 1_{\beta} \rangle$ 和 $| 0 \rangle | 1_{\beta} , 1_{\beta^{\prime}} \rangle$ 的叠加，其中原子处于其最低能态0，且在场模式 $\beta$ 和 $\beta^{\prime}$ 中各有一个光子。这导致了 $| 1 \rangle | 1_{\beta} \rangle$ 和 $| 0 \rangle | 1_{\beta} , 1_{\beta^{\prime}} \rangle$ 态的概率振幅之间的耦合。从 $| 1 \rangle | 1_{\beta} \rangle$ 态的概率振幅 $b_{\beta} ( t )$ 的（近似）解可知，$21$ 跃迁的线型近似为线宽 $\gamma = ( A_{21} + A_{10} ) / 2$ 的洛伦兹函数，其中 $A_{21}$ 和 $A_{10}$ 分别是 $21$ 和 $10$ 跃迁的自发辐射速率（爱因斯坦 A 系数）。这将线型(4.4.41)推广到了跃迁的下态本身可以发生辐射衰变的情形。我们将在下面的海森堡绘景中推导这一结果，其中我们允许任意数量的原子态以及非真空的初始场态。

图4.1 辐射级联：处于态2的原子可以跃迁到态1，然后可以跃迁到稳定基态态0。$2 \to 1$ 跃迁的线宽 γ 等于 $2 \to 1$ 和 $10$ 跃迁的自发辐射速率之和的一半。

4.4.2 海森堡绘景：两能级原子#

如第2.5节所述，我们将两能级原子哈密顿量写为 $( \hbar \omega_{0} / 2 ) \sigma_{z}$，并定义降算符和升算符 $\sigma = \sigma_{12}$ 和 $\sigma^{\dagger} = \sigma_{21}$，它们满足对易关系(2.5.5)。用这些算符表示，单个两能级原子和横向电磁场的哈密顿量(4.4.4)为

由此导出的海森堡运动方程为

我们现在将 $C_{\beta}$（其中 $\beta = ( \mathbf{k} , \lambda )$；见(4.4.3)）和 $\mathbf{d} _{12}$ 取为实数。这通常并不成立，但它略微简化了下面的计算，且不影响从这些计算中得出的物理解释。

等时原子-场对易子 $[ a_{\beta} , \sigma ] = [ a_{\beta} ^{\dagger} , \sigma ] = [ a_{\beta} , \sigma_{z} ] = 0$，因此我们可以以任意顺序安排原子算符与等时段算符的乘积：$\sigma ( t ) a_{\beta} ( t ) = a_{\beta} ( t ) \sigma ( t )$、$a_{\beta} ^{\dagger} ( t ) \sigma_{z} ( t ) = \sigma_{z} ( t ) a_{\beta} ^{\dagger} ( t )$ 等等。在写 (4.4.67)–(4.4.69) 时，我们使用了正规排序（第3.8节）：光子湮灭算符 $a_{\beta}$ 放在所有其他算符的右侧，光子产生算符 $a_{\beta} ^{\dagger}$ 放在左侧。¹⁴

这些算符方程的近似解以与薛定谔绘景中概率振幅近似解相同的方式获得。(4.4.69)的形式解为

我们将它代入 (4.4.67) 以得到 $\sigma ( t )$ 的积分微分方程：

我们现在做近似

且

被积函数中厄米共轭项同理。也就是说，我们假设算符 $\sigma ( t^{\prime} )$ 和 $\sigma^{\dagger} ( t^{\prime} )$ 的时间演化近似遵循其自由、未扰动的演化。我们使用了算符恒等式 $\sigma_{z} ( t ) \sigma ( t ) = - \sigma ( t )$ 和 $\sigma_{z} ( t ) \sigma^{\dagger} ( t ) = \sigma^{\dagger} ( t )$。因此，

自发辐射

我们像(4.4.14)中一样，将 $\textstyle \sum_{\beta}$ 替换为对所有（正）频率 $\omega$ 的积分，并使用(4.4.31)和(4.4.32)得到

$\delta E_{2}$ 和 $\delta E_{1}$ 分别是按照第4.4.1节讨论的方式修改后的上态和下态能级移动，由(4.4.30)和(4.4.65)定义，因此 $\Delta_{21}$ 是跃迁频率的辐射移动。目前，我们再次假设该频移已包含在 $\omega_{0}$ 的定义中。

由于 $\sigma ( t )$ 的时间演化近似为频率 $\omega_{0} \gg A_{21}$ 的欠阻尼振荡，我们采用旋波近似（见第2.5节），忽略(4.4.75)中涉及 $\sigma^{\dagger} ( t )$ 和 $a_{beta} ^{\dagger} ( 0 ) \sigma_{z} ( t ) e^{+ i \omega_{beta} t}$ 的“反旋”项。在这一近似中，我们假定(4.4.68)中的快速振荡项 $a_{beta} ^{\dagger} ( t ) \sigma^{\dagger} ( t )$ 和 $\sigma ( t ) a_{beta} ( t )$ 对 $\sigma_{z} ( t )$ 的时间演化影响可忽略，因此 $\sigma_{z} ( t )$ 与 $\exp ( i \omega_{0} t )$ 相比变化缓慢。这在物理上是合理的，例如 $\sigma ( t ) a_{beta} ( t )$ 对应于原子从上态到下态的“非能量守恒”跃迁，同时伴随一个光子的湮灭。在我们对上态辐射衰变的薛定谔绘景处理中，当我们通过假设态矢量具有(4.4.5)的形式来截断希尔伯特空间时，实际上已经做出了这一近似。因此，

回想一下，$\sigma^{\dagger} \sigma$ 和 $\sigma \sigma^{\dagger}$ 的期望值分别是上态和下态的占据概率，且 $\sigma_{z} = \sigma^{\dagger} \sigma - \sigma \sigma^{\dagger}$ （见第2.5节）。如果我们用(4.4.78)得到 ${\sigma} ^{\dagger} {\sigma}$ 的表达式，并在原子-场系统的初始态 $\left| \Psi \right.$ 上取期望值（其中 $a_{\beta} ( 0 ) \vert \Psi \rangle = 0$，即无光子的初始态），我们直接得到

换句话说，上态占据概率以速率 $A_{21}$ 从时间 $t = 0$ 的值开始指数衰减。这正是我们在薛定谔绘景中计算的结果。

练习 4.4：证明(4.4.79)可以直接从(4.4.75)推导出，无需使用旋波近似。

在薛定谔绘景中，我们通过考虑长时间 $( t \gg A_{21} ^{- 1} )$ 后场中存在光子的概率 $\begin{array} {r} {\sum_{\beta} | b_{\beta} ( \infty ) | ^{2}} \end{array}$ 来计算发射线型（见(4.4.41)）。在海森堡绘景中，我们可以类似地通过考虑 $t \gg A_{21} ^{- 1}$ 时的期望值 $\sum_{\beta} \langle a_{\beta} ^{\dagger} ( t ) a_{\beta} ( t ) \rangle$ 来定义线型。在旋波近似下，我们丢弃(4.4.70)中的反旋项，取

于是，我们在(4.4.77)中使用旋波近似得到

且, for $t \gg A_{21} ^{- 1}$ ,

其中线型函数 $S ( \omega )$ 由(4.4.41)定义，如前所述，它仅在频率 $\omega$ 接近跃迁频率 $\omega_{0}$ 时才有意义。

在海森堡绘景中处理自发辐射的主要近似体现在(4.4.72)和(4.4.73)中；在薛定谔绘景处理中，等价近似在(4.4.22)中做出。这一近似的结果是，t 时刻的上态占据概率以仅依赖于同一 t 时刻占据概率的速率衰减：

在这个意义上，该近似是马尔可夫性的：原子在 t 时刻的预测行为没有对过去行为的“记忆”。回到(4.4.74)，我们注意到这里使用的近似涉及原子与电磁场中独立于场算符 $a_{\beta} ( 0 )$ 和 $a_{\beta} ^{\dag} ( 0 )$ 的部分的相互作用，即它只对应于(4.4.70)右边第二和第三项的场的“源”部分。换句话说，我们对自发辐射的处理表明，这一普遍现象可归因于原子与其辐射反应场的相互作用。我们将在第4.5节进一步讨论这一点。

4.4.3 非指数衰减#

我们在薛定谔和海森堡两种绘景中通过假设原子仅受到其辐射反应场的轻微扰动，得到了指数衰减近似；回忆(4.4.22)、(4.4.72)和(4.4.73)。得到该近似的另一种方法是将计算表述为傅里叶或拉普拉斯变换。例如，上态概率振幅的拉普拉斯变换(4.4.50)的逆变换为

当我们忽略在场模式求和 $\textstyle \sum_{\beta}$ 中的 z，使用(4.4.54)，并将对 $\beta$ 的求和替换为对自由空间中场模式连续谱的积分时，就得到了指数衰减近似，即

在此计算中，$b_{2} ( t )$ 的指数衰减来源于 $z = i A_{21} / 2$ 处的简单极点（以及柯西定理）。在(4.4.84)中忽略场模式求和中的 z 有时被称为极点近似。

极点近似假设存在场模式的连续谱，可以吸收初始存储在激发态原子中的能量。于是，能量从原子到场中的转移实际上是不可逆的。在相反的极端情形下，即原子仅与单个场模式相互作用时，极点近似完全失效。在这种情况下，从(4.4.84)我们得到上态概率的表达式(4.4.11)：

在中间情形下，当原子与有限数量的模式相互作用时，初始激发能量可以准周期性地返回到原子，通常随着模式数量的增加而频率降低。

除非原子处于仅支持跃迁波长附近少量模式的腔体内，否则它“看到”模式连续谱的假设是非常好的，正如自发辐射中指数衰减的近似一样。但是，即使在模式连续谱近似中，也必然存在对完全指数衰减的修正（见第4.4.1节）。当我们不做极点近似时，这些修正可以从(4.4.84)推出。它们表现为长时间 $( t \gg A_{21} ^{- 1} )$ 下指数衰减的幂律修正。偏离纯指数衰减的一个典型近似结果为 $\mathrm{i s} ^{15}$

由于比率 $A_{21} / \omega_{0}$ 对原子而言通常非常小，这种对指数衰减的幂律修正极难观测：当修正具有任何显著性时，已经几乎没有可测量的激发态概率或辐射剩余。¹⁶

4.5 辐射反应与真空场涨落#

如第4.4.2节末尾所述，(4.4.75)中出现的自发辐射速率和辐射频移是场的源部分对原子作用的结果。作用于原子的场的其余部分是涉及算符 $a_{\beta} ( 0 )$ 和 $a_{\beta} ^{\dag} ( 0 )$ 的无源场；在不存在来自原子以外任何源的施加场时，无源场就是涨落的量子“真空”场。换句话说，在我们的计算中，自发辐射和辐射频移归因于辐射反应，正如在经典电动力学中振荡偶极子的辐射阻尼归因于辐射反应一样，在经典电动力学中不存在量子真空场。

4.5.1 正规排序#

为了详细阐述这些观点，让我们用 $\sigma_{x} ( t^{\prime} )$ 表示 $\sigma ( t^{\prime} ) + \sigma^{\dagger} ( t^{\prime} )$（见(2.5.8)），并将(4.4.71)重写为

辐射反应与真空场涨落

其中算符（见(4.3.3)）

且

是无源场的正频和负频部分，且我们定义了源场算符¹⁷

现在，

与(4.3.18)的比较表明，这正是电偶极矩 $d_{12} \sigma_{x} ( t )$ 的辐射反应场的经典表达式乘以 $\left( d_{12} / \hbar \right)$ ，即它具有与赫兹偶极子经典辐射反应场相同的形式，当然，现在的偶极矩是一个算符——在目前情况下，是我们两能级原子希尔伯特空间中的厄米算符。这支持了自发辐射和辐射频移可归因于辐射反应的说法。

但这些考虑也揭示了在正规排序的量子电动力学中，经典的辐射反应场公式与作用在原子的源场之间的一个重要区别：在(4.5.1)中，源场 $E_{\mathrm{R R}} ^{( + )} ( t )$ 和 $E_{\mathrm{R R}} ^{( - )} ( t )$ 并不对称地出现为 $E_{\mathrm{R R}} ( t ) = E_{\mathrm{R R}} ^{( + )} ( t ) + E_{\mathrm{R R}} ^{( - )} ( \bar{t} )$。特别地，算符 $\sigma_{z} ( t )$ 和 $E_{\mathrm{R R}} ^{( \pm )} ( t )$ 不对易。在与(4.4.72)和(4.4.73)相同的近似下，

当我们过渡到模式连续极限并使用(4.4.31)和(4.4.32)时。类似地，¹⁸

当这些表达式用于(4.5.1)时，当我们使用算符恒等式 $\sigma_{z} ( t ) \sigma ( t ) = - \sigma ( t )$ 等时，它们当然重现了 $\sigma ( t )$ 的（近似）方程(4.4.75)。由于这种非对易代数，根据我们的计算，原子并不直接"感受"到类经典的辐射反应场 $E_{\mathrm{R R}} ( t ) = E_{\mathrm{R R}} ^{( + )} ( t ) + E_{\mathrm{R R}} ^{( - )} ( t )$，而且，当然，对 $E_{\mathrm{R R}} ( t )$ 的分离部分 $E_{\mathrm{R R}} ^{( + )} ( t )$ 和 $E_{\mathrm{R R}} ^{( - )} ( t )$ 的反应也相当不同。

近似表达式(4.5.7)和(4.5.8)有助于揭示近似(4.4.72)和(4.4.73)的本质。将(4.5.7)和(4.5.8)相加得

回到(4.3.27)，并将电偶极矩 $e \mathbf{x} ( t )$ 的 ${\bf d} _{12} \sigma_{x} ( t ) = {\bf d} _{12} [ \sigma ( t ) + \sigma^{\dagger} ( t ) ]$ 代入该方程：

由于 $\sigma ( t )$ 近似按 $e^{- i \omega_{0} t}$ 变化，且 $\Lambda \gg \omega_{0}$，

这等价于(4.5.9)。特别地，$\sigma ( t )$ 按 $e^{- i \omega_{0} t}$ 变化的近似导致我们将 $\ddot{\sigma} _{x} \left( t \right)$ 近似为 $- \omega_{0} ^{2} \dot{\sigma} _{x} ( t ) \cong i \omega_{0} ^{3} [ \sigma ( t ) - \sigma^{\dagger} ( t ) ]$。这在经典辐射反应理论中类似于将电子坐标 x 的三阶导数替换为仅涉及 $\mathbf{x}$ 一阶导数的项，并且与线性振子情况下的经典辐射反应理论中的“朗道–利夫希茨方程”密切相关（见第6.8节）。

考虑将(4.5.1)中的 $\sigma_{z} ( t )$ 替换为1后得到的谐振子模型（第2.5节）也很有趣：

并且，用 $\sigma_{x} = \sigma + \sigma^{\dagger}$ 表示，

这里，$E_{0} ( t ) = E_{0} ^{( + )} ( t ) + E_{0} ^{( - )} ( t )$，且 $E_{\mathrm{R R}} ( t )$ 由(4.5.9)给出。如果没有外加场，即如果场初始处于真空态，则 $\langle E_{0} ( t ) \rangle = 0$，且¹⁹

假设 $A_{21}$ 和（重整化后的）能级移动 $\delta E_{1 , 2}$ 与 $\omega_{0}$ 相比很小，我们得出结论，谐振子模型中 $\left. \sigma_{x} ( t ) \right.$ 的振荡以速率 $A_{21} / 2$ 阻尼，且振荡频率为

与两能级原子不同，原子谐振子模型中的辐射频移是两个能级移动之和的 $1 / \hbar$ 倍，而不是它们的差。

除了上述与非对易算符 $\mathbf{E} _{\mathrm{R R}} ^{( + )} ( t )$ 和 ${\bf E} _{\mathrm{R R}} ^{( - )} ( t )$ 相关的细节外，我们可以得出结论：自发辐射和辐射频移是由原子自身的源场对原子的反作用引起的，或者说，是由辐射反应引起的。这与自发辐射最早的诠释一致。例如，Dirac 在1927年的论文中指出："当前理论，由于它对自发辐射给出了恰当的描述，想必给出了辐射反应对发射系统的影响。"²⁰ 这种诠释在同一年朗道发表的论文中也很明显（见第4.8节），更早的时候，van Vleck 指出："发射的对应原理将量子理论的自发辐射与经典理论中由辐射力 $2 e^{2} \ddot{v} / 3 c^{3}$ 导致的发射联系起来。"²¹

但后来，特别是在兰姆移位及其诠释相关的发展之后，自发辐射被认为是真空场涨落的结果。Welton 在一篇有影响力的论文中指出，自发辐射"可以被认为是涨落场作用下的受激发射"，后来 Weisskopf 类似地指出"自发辐射表现为由电磁场零点振荡引起的受激发射，这些振荡始终存在，即使在没有任何光子的空间中也是如此。"²²

假设自发辐射确实是由零点电磁场引起的“受迫发射”。“受迫发射”大概是指受激辐射，因此考虑零点场引起的受激辐射速率 $R_{21} = B_{21} \rho_{0} ( \omega_{0} )$，其中 $B_{21}$ 是爱因斯坦受激辐射系数（第2.8节），$\rho_{0} ( \omega_{0} )$ 是跃迁频率 $\omega_{0}$ 处零点场的谱能量密度。由于在自由空间中，单位体积单位频率区间 $[ \omega , \omega + d \omega ]$ 内的电磁模式数为 $\omega^{2} / \pi^{2} c^{3}$，如后文所述，且每个模式具有零点能 $( 1 / 2 ) \hbar \omega$，

因此，

但由爱因斯坦热辐射理论（见第2.8节）知 $B_{21} =$ $A_{21} \pi^{2} c^{3} / \hbar \omega_{0} ^{3}$，因此我们得出结论：“由电磁场零点振荡引起的受迫发射”速率实际上只有自发辐射速率的一半：

这表明我们不能像对待振荡的外加场那样对待电磁场的零点振荡。正如 Schif 在其教科书的最后一句话中所指出的，场的零点振荡"在产生发射跃迁方面比真实光子有效两倍，当然不能产生吸收跃迁。"²³

在（各向同性）自由空间中，体积 V 内波数区间 $[ k , k + d k ]$ 中的场模式数为 $2 \times [ V / ( 2 \pi ) ^{3} ] d^{3} k = 2 [ V / ( 2 \pi ) ^{3} ] ( 4 \bar{\pi} \dot{k} ^{2} d k ) = \dot{(} \pi^{2} \omega^{2} c^{3} ) V d \omega$，因子 2 来源于每个 k 有两个独立偏振；$k = | \mathbf{k} | = \omega / c$。换句话说，场模式的和为

因此，场的（无限）零点能为

这是在适用于自由空间的模连续极限下的表达式。

因此，尽管自发辐射可以归因于原子自身源场对其作用，但无源的真空场的零点振荡似乎也可能在“激发”辐射中发挥作用。但这种可能性引发了更多问题。为什么仅源场本身就足以给出自发辐射速率 $A_{21}$？如果我们能够解决(4.5.19)中 $1 / 2$ 的问题，并认真对待真空场零点振荡的激发效应，我们又该如何解释 Schif 的观察——这些振荡“当然无法产生吸收跃迁，”即为什么不存在自发吸收？

当研究表明自发辐射的物理解释，特别是我们将其与辐射反应和真空场零点振荡联系起来的贡献，取决于我们如何选择对易的原子和场算符的排序时，这些问题可以说已经在相当程度上得到了解答。我们现在来回顾这些考虑。

4.5.2 对称排序#

如前所述，我们可以将原子算符与等时场算符的乘积按任意顺序排列。例如，我们可以将它们对称排序，并将(4.5.1)等价地写为

相互作用哈密顿量与自发辐射

辐射反应场(4.5.9)中的泡利两态算符 $\sigma ( t )$ 和 $\sigma^{\dagger} ( t )$ 满足

因此，在(4.5.9)给出的近似下，辐射反应场对(4.5.22)没有贡献：

换句话说，原子与电磁场耦合对 $\sigma ( t )$ 的影响现在显然可以不归因于辐射反应，而归因于无源真空场 $E_{0} ( t )$

用对称排序计算真空场的这些效应并不困难。如果我们对初始无光子态 ψ 求期望值，计算可以简化。于是，$E_{0} ^{( + )} ( t ) | \Psi \rangle = \langle \Psi | E_{0} ^{( - )} ( t ) = 0$，且，从(4.5.24)，

由(4.4.68)得出的 $\sigma_{z} ( t )$ 的对称排序方程为

该近似基于(4.5.7)、(4.5.8)和两态原子算符代数，包括恒等式 $\sigma^{\dagger} ( t ) \sigma ( t ) + \sigma ( t ) \sigma^{\dagger} ( t ) = 1$，(4.5.26)中的项 $- A_{21}$ 由此导出。对(4.5.26)形式积分得

这由 $\langle E_{0} ^{( - )} ( t ) \rangle = 0$ 以及等时原子和场算符对易的事实得出。由(4.5.2)和(4.5.3)，

对于场处于真空态的初始态ψ。因此，

在马尔可夫近似下，且(4.5.25)取如下形式

但这正是我们在对无光子的初始态取期望值时从(4.4.74)和(4.4.75)得到的结果：正规排序导致我们将自发辐射中的辐射阻尼和频移归因于辐射反应，而对称排序则使我们将这些相同的“辐射修正”与真空量子场对原子的影响联系起来。后一种诠释仅基于以下事实：在(4.5.28)中，作用于场真空态的无源电场算符的反正规排序乘积 $E_{0} ^{( + )} ( t^{\prime} ) \bar{E} _{0} ^{( - )} ( t )$ 的期望值不为零。

4.5.3 激发态能量的耗散#

在海森堡绘景方法中，我们关注了两态原子降算符 $\sigma ( t )$ 的时间演化。现在考虑算符 $\sigma_{z} ( t ) = \sigma^{\dagger} ( t ) \sigma ( t ) - \sigma ( t ) \sigma^{\dagger} ( t ) =$ $\sigma_{22} ( t ) - \sigma_{11} ( t )$，它对应于两态原子布居数差。其时间演化由(4.4.68)给出为

我们在此选择将场算符按正规排序。由(4.5.7)，

且，类似地， from (4.5.8),

在写(4.5.32)和(4.5.33)时，我们使用了性质 $\sigma ( t ) \sigma ( t ) = \sigma^{\dagger} ( t ) \sigma^{\dagger} ( t ) = 0$。因此，

或者，对于场处于真空态的初始原子-场态上的期望值，

由恒等式 $\sigma^{\dagger} ( t ) \sigma ( t ) = ( 1 / 2 ) [ \sigma_{z} ( t ) + 1 ]$ 得出。我们只是再现了(4.4.83)：上态概率 $( 1 / 2 ) [ \langle \sigma_{z} ( t ) \rangle + 1 ]$ 以速率 $A_{21}$ 指数衰减。在这个使用正规排序场算符的计算中，原子激发态能量的耗散归因于辐射反应。

但我们同样可以用 $\sigma_{z} ( t )$ 的对称排序方程(4.5.26)来计算 $\langle \sigma_{z} ( t ) \rangle$。由于这已是熟悉的套路，我们直接给出结果，省略可在章末引用的论文中找到的细节：

项 $- A_{21}$ 来自(4.5.26)，由辐射反应场导出。然而，积分依赖于真空场期望值 $\langle E_{0} ^{( + )} ( t^{\prime} ) E_{0} ^{( - )} ( t ) \rangle$ 和 $\langle E_{0} ^{( + )} ( t ) \dot{E} _{0} ^{( - )} ( t^{\prime} ) \rangle$；分别由(4.5.2)和(4.5.3)给出，

练习 4.5：证明

对于 $t \gg 1 / \omega_{0}$。

From (4.5.37) 且 Exercise 4.5,

其中我们将辐射反应和真空场的贡献分别标识为

且

如果原子初始处于激发态 $( \langle \sigma_{z} ( 0 ) \rangle = + 1 )$，辐射反应和真空场对 $\langle \dot{\sigma} _{z} ( 0 ) \rangle$ 的贡献相加得到总衰减速率：

由于 $\langle \sigma_{z} ( 0 ) \rangle = p_{2} ( 0 ) - p_{1} ( 0 ) = 2 p_{2} ( 0 ) - 1$，其中 $p_{2}$ 和 $p_{1}$ 分别是两态原子的上态和下态占据概率，(4.5.43)表明上态占据概率以速率 $A_{21}$ 衰减。如果原子初始处于下（基）态 $( \langle \sigma_{z} ( 0 ) \rangle = - 1 )$，则辐射反应和真空场的贡献相互抵消：

正是由于这种抵消，处于基态的原子不会从真空场产生“自发吸收”。

4.6 涨落、耗散与对易子#

我们已经证明，当我们使用场算符的正规排序时，自发辐射中的辐射线宽和频移可以完全归因于原子的辐射反应；而使用对称排序时，则可以完全归因于作用在原子上的真空场。我们同样证明了，在使用正规排序时我们可以将自发辐射中原子的能量损失完全归因于辐射反应，而使用对称排序时，辐射反应和真空场似乎都在“激发”这种能量损失。真空场的“自发吸收”被辐射反应的阻尼效应所排除。

当然，正规排序和对称排序只是原子和场算符的无数种可能排序中的两种，不同的排序导致对自发辐射及其相关线宽和频移的“原因”产生不同但同样可接受的视角。我们甚至可以选择算符排序，使爱因斯坦 A 系数的诠释中，例如 $i A_{21} ~ ( i = \sqrt{- 1} )$ 来自辐射反应，而 $( 1 - i ) A_{21}$ 来自真空场。然而，事实证明，没有任何一种排序能让我们将自发辐射中原子的能量损失完全归因于作用在原子的真空场。

看来，最初将自发辐射单独与辐射反应相关联的观点过于局限，后来将自发辐射诠释为“由电磁场零点振荡引起的受迫发射”也是如此。事实上，辐射反应和零点（真空）电磁场对于原子-场相互作用的量子理论的一致性都是必需的。这可以通过考虑一个更简单的问题——自由电子与场相互作用的模型——来看出。电子坐标 x 分量的（非相对论）方程为（见(4.3.30)）

$\tau_{e} = e^{2} / 6 \pi \epsilon_{0} m c^{3}$，m 是观测电子质量，$e_{\beta}$ 是模式 $\beta$ 的线偏振单位矢量的 x 分量。利用解

以及 $p ( t ) = m {\dot{x}} ( t )$，结合光子的湮灭和产生算符的对易关系，在取 $V \rightarrow \infty$ 后，我们得到

这是理论一致性所要求的。²⁴

这一对易关系在所有时间保持不变的事实依赖于辐射反应与真空场之间的关系：前者与电子坐标的三阶导数成正比，而谱能量密度 $\rho_{0} ( \omega )$ 与 $\omega$ 的三次方成正比。如果阻尼力是欧姆型的，与 ${\dot{x}}$ 成正比，那么相应的涨落无源力的频谱必须与 $\omega$ 的一次方成正比，才能保持对易关系。也就是说，如果不使用(4.6.1)，而是考虑由下式描述的粒子：

其中

那么，例如对于 $\gamma t / m \gg 1$，从(4.6.4)很容易得到²⁵

根据本例的（零温）涨落-耗散定理，²⁶

且(4.6.7)给出 $[ x ( t ) , m {\dot{x}} ( t ) ] = [ x ( t ) , p ( t ) ] = i \hbar$。这里的一致性取决于涨落力的频谱 $A^{2} ( \omega )$ 与 $\omega$ 的一次方成正比，而耗散力与 $x ( t )$ 的一阶导数成正比。注意(4.6.6)和(4.6.8)意味着

由(4.6.4)和(4.6.5)描述的模型中，对易关系 $[ x ( t ) , p ( t ) ] = i \hbar$ 对所有时间都可以证明。²⁷ 利用

并记 $Z ( t ) = [ x ( t ) , p ( t ) ]$，从(4.6.4)得

²⁵ P. W. Milonni, Phys. Lett. 82A, 225 (1981).

²⁶ H. B. Callen 和 T. A. Welton, Phys. Rev. 83, 34 (1951)。另见 H. B. Callen 和 R. F. Greene, Phys. Rev. 86, 702 (1952) 以及第6.6节。

²⁷ H. Dekker, Phys. Lett. A 119, 201 (1986)。另见 P. T. Leung 和 K. Young, Phys. Lett. A 121, 4 (1987)。

假设粒子算符在时间 $t = 0$（假设此时与涨落力的相互作用被开启）与 $F ( t )$ 对易，我们从(4.6.4)和(4.6.5)直接得到

因此，由(4.6.13)，利用 $Z ( 0 ) = [ x ( 0 ) , p ( 0 ) ] = i \hbar$，

这种正则对易关系的保持也适用于更一般的模型，其中粒子除了受到耗散力 $- \gamma{\dot{x}}$ 和“噪声”力 $F ( t )$ 之外，还受到力 $- d V ( x ) / d x$！$^{28}$

如果涨落力 $F ( t )$ 由(4.6.5)、(4.6.6)和(4.6.8)给出，且系统（粒子）在某个时间 $t = 0$ 之后感受到涨落力，那么对所有 $t \ge 0$ 都有 $[ x ( t ) , p ( t ) ] = i \hbar$。²⁹

涨落-耗散定理是第6.6节的主题。就我们这里的目的而言，其主要含义是辐射反应与涨落真空场之间必然存在关系，特别是作用在原子上的源场和无源场之间也存在关系。这种关系允许我们以不同方式描述自发辐射，取决于我们如何选择等时原子和场算符的排序。

相当多的人对量子场零点涨落的概念感到不安。例如，Pauli 指出：

. . . ……从量子化场导出的真空零点能变为无穷大，这一结果直接与所考虑的系统具有无穷多个自由度有关。显然，这种零点能没有物理实在性，例如它不是引力场的源。形式上很容易减去与所考虑的状态无关且永不改变的常数无穷大项；然而在我看来，这一结果已经表明，量子化场理论所基于的概念将需要根本性的改变。³⁰

Jaynes 引用了从不同算符排序得出的不同自发辐射诠释，来暗示真空场涨落不一定是“真实”的：

这种对初始排序的独立性，正是一个非常简单、普遍而优雅的涨落-耗散定理；但请允许我提出一种与通常不同的物理解释。源场效应与真空涨落效应的这种完全可互换性并不表明真空涨落是“真实”的。它表明源场效应与真空涨落存在时的效应相同。多年来，从爱因斯坦的扩散系数与迁移率关系开始，理论家们不断发现随机问题与动力学问题之间密切的数学联系。我们花了很长时间才认识到[量子电动力学]只是另一个这样的例子。³¹

这些观点都不符合我们当前对量子场论中真空的理解。

4.7 自发辐射与半经典理论#

在通常表述的半经典辐射理论中，不存在非平凡的真空场，作用于真空中原子的场要么假设不存在，要么假设是原子自身对原子的反作用（辐射反应）。在后一种假设下，作用于原子的场与半经典辐射理论中的所有电磁场一样，被视为 c-数而非算符。为了构建自发辐射的半经典理论，首先考虑 $\sigma ( t )$ 的真空期望值，由(4.5.1)它满足

由于在半经典理论中，$( d_{12} / \hbar ) E_{\mathrm{R R}} ^{( + )} ( t )$ 和 $( d_{12} / \hbar ) E_{\mathrm{R R}} ^{( - )} ( t )$ 必须替换为 c-数，让我们使用(4.5.7)和(4.5.8)将它们替换为

且

在马尔可夫近似下。于是，在旋波近似下（我们丢弃(4.7.1)右边与 $\langle \sigma^{\dagger} ( t ) \rangle$ 成正比的项），

其中我们定义了

$\delta E_{2}$ 和 $\delta E_{1}$ 是由量子电动力学得到的（未重整化的）两态原子能级移动，由(4.4.28)和(4.4.63)定义。接下来，我们写 $\langle \sigma ( t ) \rangle =$ $( 1 / 2 ) [ x ( t ) + i y ( t ) ] \exp ( - i \omega_{0} t )$，并假设实数 $x ( t )$、$y ( t )$ 和 $z ( t ) =$ $\langle \sigma_{z} ( t ) \rangle$ 与 $\exp ( - i \omega_{0} t )$ 相比随时间缓慢变化，因此

为了推导 $z ( t )$ 的半经典方程，我们类似地进行：在(4.5.31)中，利用替换(4.7.2)和(4.7.3)，将 $\langle \sigma^{\dagger} ( t ) \sigma ( t ) \rangle$ 替换为 $\langle \sigma^{\dagger} ( t ) \rangle \langle \sigma ( t ) \rangle = ( 1 / 4 ) [ x^{2} ( t ) +$ $y^{2} ( t ) ]$，由“概率守恒”条件 $x^{2} ( t ) + y^{2} ( t ) + z^{2} ( t ) = 1$，即 $( 1 / 4 ) [ 1 - z^{2} ( t ) ]$。我们于是得到

方程(4.7.6)–(4.7.7)描述了根据半经典辐射理论的新经典版本的自发辐射，该版本包含了原子的辐射反应场。³²

新经典理论给出了正确的爱因斯坦自发辐射系数 $A_{21}$。但是，根据(4.7.7)，真空中处于上能态 $( z = 1 )$ 的两态原子将永远保持激发态$( \dot{z} = 0 )$，这与量子电动力学的预测（原子保持激发的概率随时间衰减）相反。原因很清楚：如果原子在 $t = 0$ 时处于激发态（或基态），根据新经典理论，作用在它上面的辐射反应场为零，因为 $\langle \sigma ( 0 ) \rangle = \langle \sigma^{\dagger} ( 0 ) \rangle = 0$，因此 $\langle E_{\mathrm{R R}} ^{( + )} ( 0 ) \rangle = \langle E_{\mathrm{R R}} ^{( - )} ( 0 ) \rangle = 0$。用更物理的语言来说，新经典理论中处于能量本征态的原子的辐射反应场为零，因为电偶极矩 er 的平均值为零。

非线性方程(4.7.6)–(4.7.7)还预言，一旦原子受到某种扰动使 $z ( 0 ) < 1$，从而允许原子向电磁场损失能量 $[ \frac{1} {2} \hbar \omega_{0} \dot{z} ( 0 ) < 0 ]$，原子的辐射频移将随时间变化。此外，新经典理论中出现在这一频移中的频率 $\overline{{\Delta}}$ 是能级移动 $\delta E_{2}$ 和 $\delta E_{1}$ 的和，而在量子电动力学中，频移 $\Delta_{21}$ 是能级移动的差（见(4.4.76)），且不依赖于时间。从量子电动力学的角度来看，新经典理论的这些预言源于新经典表述中对两态原子算符期望值的去关联，即它用辐射反应场算符的期望值替换了该算符本身。例如，在(4.7.4)的第一行中，新经典理论将 $\langle \sigma ( t ) \sigma_{z} ( t ) \rangle$ 和 $\langle \sigma_{z} ( t ) \sigma ( t ) \rangle$ 替换为 $\langle \sigma ( t ) \rangle \langle \sigma_{z} ( t ) \rangle$，而在量子电动力学的计算中，这些期望值分别是 $\langle \sigma ( t ) \rangle$ 和 $- \left. \sigma ( t ) \right.$，因为 $\sigma ( t ) \sigma_{z} ( t ) = \sigma ( t )$ 且 $\sigma_{z} ( t ) \sigma ( t ) = - \sigma ( t )$

反对新经典理论的最有力证据来自原子辐射的实验。在第2.3节中，我们提到了任何将电磁场经典处理的理论失败的例子；在第5.7节和第5.8节中，我们将讨论任何将两个原子算符乘积的期望值“去关联”并替换为两个期望值之积的理论失败的例子。³³

4.8 多能级原子#

在本章的大部分内容中，我们将原子视为两能级系统。这是一个现实的模型，因为原子可以通过光泵浦制备成两能级系统（见图 2.4）。更一般地说，我们可以合理假设，跃迁频率接近外加场共振的两个能级在很大程度上决定了原子对场的响应。在从激发态到单一基态的自发辐射中，只要我们不关心辐射能级位移，两能级模型同样是合理的。在我们关于自发辐射中辐射反应和真空场涨落作用的讨论中，两能级模型作为真实原子的简化描述是有用的：包括原子的所有可能状态会使我们的方程复杂化，但不会影响我们关于自发辐射”原因”的结论。

现在我们将超越两能级模型，在电偶极近似下描述原子与量子化场的相互作用。单个原子在 $\mathbf{r} = 0$ 的情况下的哈密顿量 (4.2.20) 为

其中 d = ex 是电偶极矩算符。如同我们在两能级原子处理中一样，我们省略了 H 上的”撇号”，意即我们正在使用原子-场哈密顿量的电偶极形式。(4.8.1) 中的最后一项为

这里的最后一项是发散性的库仑自能，只能在原子能级辐射修正的完全相对论性理论中妥善处理；就目前而言，我们只需假设它对能级的任何影响已经包含在我们赋予能级的数值中。

也是发散的，因为对 ω 的积分从 0 到无穷大。但我们将保留这一项。它产生的发散性能级位移将与来自 d·E 相互作用的另一个发散位移结合，产生一个较弱的发散。由于

其中，如同第2.1节一样，我们引入了对完备态集合的求和，因此我们可以将(4.8.3)写为

同样，如第2.1节所述，

且

therefore,

或者，由 (4.2.19) 和 (4.2.20)，

这是单个中性原子与自由空间中横向电磁场的电偶极哈密顿量。我们将场算符置于正规排序中——在对易的（等时）原子算符和场算符的乘积中，$\smash{a_{\mathbf{k} \lambda}}$ 在右，$a_{\mathbf{k} \lambda}^{\dagger}$ 在左。

4.8.1 海森堡运动方程与真空期望值#

原子和场算符的海森堡运动方程由对易关系 $\left[ \sigma_{i j} , \sigma_{k \ell} \right] = \delta_{j k} \sigma_{i \ell} - \delta_{i \ell} \sigma_{k j}$（(2.3.13)）、$\left[ a_{{\bf k} \lambda} , a^{\dagger}_{{\bf{k}}^{\prime} \lambda^{\prime}} \right] = \delta_{{\bf k} {\bf k}^{\prime}}^{3} \delta_{\lambda \lambda^{\prime}}$ 且原子算符与场算符的（等时）对易子为零得出：

除了涉及 $\int d \omega \omega^{2}$ 的项之外，可以看到(4.8.10)与半经典辐射理论中海森堡运动方程具有相同的形式，只要回忆起自由空间中作用在原子的量子化电场的表达式

即可。除了(4.8.10)中的场是量子化的这一明显差异外，(4.8.10)与(2.3.16)之间的区别来自项 $\left( 1 / 2 \epsilon_{0} \right) \int d^{3} r \mathbf{P} ^{\perp 2}$，它将量子场论的电偶极哈密顿量与半经典辐射理论区分开来，如(4.2.10)之后所讨论的。

我们在(4.8.10)中使用了正规排序。对于真空中的原子，我们现在按照在两能级模型中选用正规排序时的做法：在(4.8.10)中使用(4.8.11)的形式解

并在没有光子的初始（裸）原子-场态上取期望值，我们得到

并且 $\omega_{j i} = ( E_{j} - E_{i} ) / \hbar$ 是原子态（本征值为 $E_{j}$ 和 $E_{i}$）之间的（角）跃迁频率。除了偶极近似外，(4.8.14) 是（非相对论意义上的）”精确”的。

4.8.2 马尔可夫近似#

再次遵循两能级模型中的路线，我们在(4.8.14)中做马尔可夫近似，

于是，例如，

其中我们使用了关系 $\sigma_{i \ell} ( t ) \sigma_{m n} ( t ) = \delta_{\ell m} \sigma_{i n} ( t )$。这对未受扰动的原子显然成立 $[ \sigma_{i \ell} ( 0 ) \sigma_{m n} ( 0 ) = | i \rangle \langle \ell | m \rangle \langle n | = \delta_{\ell m} | i \rangle \langle n | = \delta_{\ell m} \sigma_{i n} ( 0 ) ]$，因此作为海森堡绘景算符 $A_{H}$ 随时间演化的结果 $[ A_{H} ( t ) = U^{\dagger} ( t ) A_{H} ( 0 ) U ( t )$，其中 $U ( t )$ 是（幺正的）时间演化算符]，它对所有时间都成立。事实上，它在马尔可夫近似内也成立：

在此近似下，(4.8.14)变为

多态原子

$\Gamma_{\ell m n p} ( t )$ 在模连续极限 $( V \to \infty )$ 下以熟悉的方式求值（见第4.3节）。由(4.4.31)，

对于时间 $t \gg | \omega_{p n} |^{-1}$；$\boldsymbol{\theta}$ 是（海维赛德）单位阶跃函数。注意，当 $\ell = m$ 或 $n = p$ 时 $\beta_{\ell m n p} = \gamma_{\ell m n p} = 0$（因为 ${\bf d}_{n n} = 0$），且 $\beta_{m \ell n p} = \beta_{\ell m n p}^{*}$，$\gamma_{m \ell n p} = \gamma_{\ell m n p}^{*}$（因为 $\mathbf{d}_{\ell m} = \mathbf{d}_{m \ell}^{*}$）。

收集并整理各项，我们将(4.8.19)写为

4.8.3 能级位移与重整化#

首先考虑

由 ${\bf d} _{j m} \cdot{\bf d} _{m j} = | {\bf d} _{j m} | ^{2}$ 且

且，类似地，

于是，

且我们将 $\delta E_{j} \ ( \delta E_{i} )$ 识别为原子能级 $E_{j} \ ( E_{i} )$ 的辐射移位

现在我们要论证，为了得到可观测的能级移动，我们应该首先减去自由电子的（不可观测的）横向自能 $E_{\mathrm{f r e e}}$。我们可以用不同方式推导 $E_{\mathrm{f r e e}}$；最简单的方式是断言自由电子具有（近似）连续的能量谱，因此当我们忽略与所有场频率 ω 相比的跃迁频率 $\omega_{j m}$ 时，可以从 $\delta E_{j}$（对任意 $j$）得到 $E_{\mathrm{f r e e}}$：

（另见练习 4.6 推导 $E_{\mathrm{f r e e}}$ 的另一种方法。）于是，我们将 $\delta E_{j}$ 替换为

我们可以通过质量重整化进一步降低发散度。在我们最初的哈密顿量(4.8.1)中，$H_{A} = {\mathbf{{p}} ^{2}} / {2 m_{\mathrm{{o b s}}}} + V ( \mathbf{x} )$，$m_{\mathrm{o b s}}$ 是观测电子质量。但观测质量的一部分来自电子与电磁场的耦合，如第4.3节所述。为了避免在计算中“开启”原子与场的耦合时重复计算这种电磁质量 $( m_{\mathrm{e m}} )$ 对电子动能的贡献，我们应该从 $\delta E_{j}$ 中减去能量

假设 $m_{\mathrm{em}}$ 无论其（有限）值如何，相对于观测质量 $m_{\mathrm{obs}}$ 和裸（非电磁）质量 $m_{\mathrm{bare}}$ 都是小的

因此，通过质量重整化，我们得到“可观测”的能级移动

对于 $\Lambda \gg | \omega_{j n} |$，其中 $\alpha$ 仍是精细结构常数。我们使用了恒等式（回忆(2.3.39)）

且现在，照常，令 m 表示观测质量。重要的是，由于其依赖于截止频率的对数形式，$\delta E_{j} ^{\mathrm{o b s}}$ 对 Λ 的精确值并不非常敏感。取 $\sim m c^{2} / \hbar$ 意味着 $\delta E_{j} ^{\mathrm{o b s}}$ 主要是一种非相对论效应。

练习 4.6：利用求和规则(2.3.37)，证明由(4.8.28)定义的 $\delta E_{\mathrm{f r e e}}$ 等于真空场期望值 $\langle e^{2} \mathbf{A} ^{2} / 2 m \rangle$，与原子状态无关。（回忆能量 $e^{2} \mathbf{A} ^{2} / 2 m$ 显式出现在最小耦合形式的哈密顿量中，但在我们使用的电偶极形式中不存在。）

在曾被称为“量子电动力学史上最重要的发现”³⁴ 中，Bethe 评估了(4.8.31)，取 $\hbar \Lambda = m c^{2}$，用于氢原子的 2s 能级；他得到 $\delta E_{\mathrm{2 s}} ^{\mathrm{o b s}} \cong 1040$ MHz，与 Lamb 和 Retherford 测量的“兰姆移位”非常一致。³⁵ 在他的兰姆移位数值评估中，Bethe 将 (4.8.31) 中的对数替换为平均值：

对完备态集合的求和可以简化。首先注意

其中 $H_{A} = p^{2} / 2 m + V ( r )$，且 $\mathbf{[ p ,} H_{A} ] = - i \hbar \nabla H_{A} = - i \hbar \nabla V$。因此

由于 $V ( r ) = - e^{2} / 4 \pi \epsilon_{0} r$，$\nabla^{2} V = ( e^{2} / \epsilon_{0} ) \delta^{3} ( {\bf r} )$，因此

因子 $| \Psi_{j} ( 0 ) | ^{2}$ 正确地意味着氢原子的 s 能级 $( 2 \mathrm{s} _{1 / 2} , \psi ( 0 ) \neq 0 )$ 存在兰姆移位，但 p 能级 $( 2 \mathrm{p} _{1 / 2} , \Psi ( 0 ) = 0 )$ 则没有。

就这里的目的而言，详细讨论实际的兰姆移位未免离题太远，而且，正确的处理需要完全的相对论性量子电动力学。³⁶ 在接下来的内容中，我们只需假设兰姆移位已包含在跃迁频率 $\omega_{j i}$ 的定义中。

那么，涉及(4.8.22)中那些不将 $\langle \sigma_{i j} ( t ) \rangle$ 与其自身耦合的“广义频移”系数 $\gamma$ 的项，以及最后一行中含有 $\int d \omega \omega^{2}$ 的项呢？这些项将不同的 $\langle \sigma_{i j} ( t ) \rangle$ 耦合在一起，类似于经典谐振子之间的线性耦合。在经典情形下，这种耦合导致振荡频率与未耦合振子不同的简正模。类似地，(4.8.22)中 $\langle \sigma_{i j} ( t ) \rangle_{\mathrm{s}}$ 之间的耦合导致我们考虑原子被其与真空场的相互作用“修饰”后的状态。基于这些修饰态，可以推导出形式上类似于(4.8.22)但不涉及任何广义频移耦合的方程。³⁷ 除非原子存在接近简并且具有相同角动量量子数的本征态，否则广义频移的净效应非常小。由于辐射频移在此只是次要问题，我们将完全忽略广义频移项，将(4.8.22)替换为³⁸

练习 4.7：我们在电偶极近似下推导了(4.8.31)给出的 $\delta E_{j} ^{\mathrm{o b s}}$，该近似在高频下失效。偶极近似在高于还是低于 Bethe 截止频率时失效？（通过包含延迟效应来超越偶极近似的计算表明，Bethe 对兰姆移位的估计如此精确的原因是：(1) 最重要的贡献来自不受其截止频率选择影响的频率；(2) 在更高频率下，延迟效应本身就引入了一个有效截止。参见 C. K. Au 和 G. Feinberg, Phys. Rev. A 9, 1794 (1974)。)

4.8.4 辐射衰变率与朗道项#

令 $i = j$ 并利用 $\beta_{m i i m} ^{*} = \beta_{m i i m}$ 的事实，我们从(4.8.37)发现态 i 占据概率 $\left. \sigma_{i i} ( t ) \right.$ 的变化率为

速率

是从态 i 到更低态 m 的自发辐射的爱因斯坦 A 系数 $A_{i m}$（见(4.4.21)）。如果没有近简并，(4.8.39)中的非对角期望值 $\langle \sigma_{i n} ( t ) \rangle$、$\langle \sigma_{n i} ( t ) \rangle$ 和 $\left. \sigma_{n m} ( t ) \right.$ 近似以远大于自发辐射速率的频率振荡，可以在旋波近似中忽略，因为它们在辐射寿命量级的时间内围绕零快速振荡。于是，(4.8.38)可以近似为简单的速率方程

其中 $P_{n} ( t ) = \langle \sigma_{n n} ( t ) \rangle$，且

是态 i 的辐射衰变速率。这正是我们所预期的：每个态的布居数通过向更低态的辐射跃迁而减少，通过从更高态向它的辐射跃迁而增加。

然而，根据(4.8.38)，事情并非如此简单：$\left. \sigma_{i i} ( t ) \right.$ 的时间演化不仅依赖于占据概率，还依赖于(4.8.38)最后两行中的非对角项。它们对 $\left. \sigma_{i i} ( t ) \right.$ 时间演化的贡献通常只在没有近简并时才可忽略；否则，简单的速率方程(4.8.41)不能正确描述 $\left. \sigma_{i i} ( t ) \right.$ 的演化。类似地，从(4.8.37)可以看出，$\langle \sigma_{i j} ( t ) \rangle$（$i \neq j$）的时间演化也有贡献项，这些项可以在旋波近似中被忽略，但一般来说，如果存在近简并则不能忽略。涉及 $m \neq i$ 或 $n \neq j$ 的 $\left. \sigma_{m n} ( t ) \right.$ 对(4.8.37)的贡献，以及涉及 $m \neq n$ 的 $\sigma_{m n} ( t ) \rangle$ 对(4.8.38)的贡献，可被称为朗道项，因为它们显然是由朗道在一篇论文中首次推导的，该论文特别值得注意之处在于引入了密度矩阵形式来处理不能由态矢量充分描述的量子系统。³⁹ 在我们基于正规排序和马尔可夫近似推导(4.8.37)和(4.8.38)的过程中，朗道项的出现有一个简单的解释：与每个跃迁相关联的是一个总辐射反应场，该场依赖于跃迁偶极矩、跃迁频率以及所有其他允许跃迁的偶极矩和频率，导致通过系数对不同跃迁的耦合：

其中 $\Theta ( \omega )$ 是单位阶跃函数。不同的算符排序允许将朗道项与真空场涨落相联系的诠释，正如在两态原子模型中一样（见第4.5节）。

仅含三个态的例子（如图4.2所示）具有启发意义。考虑功率

由这样一个三态原子辐射的功率。再次假设所有辐射频移已被考虑，从这个表达式、(4.8.11)和(4.8.13)我们得到公式

这是光子发射速率的公式，其中我们做了马尔可夫近似并定义了

且

并且为简单起见假设 $\beta_{23}$ 为实数。在定义 $\beta_{22}$、$\beta_{33}$ 和 $\beta_{23}$ 时，我们还假设了 $\omega_{21} \approx \omega_{31}$。方程(4.8.44)是在初始态不含任何光子的假设下得到的，因此对所有场模式 k、λ 有 $\langle a_{{\bf{k}} \lambda} ^{\dagger} ( 0 ) a_{{\bf{k}} \lambda} ( 0 ) \rangle = 0$。评估光子发射速率(4.8.44)所需的方程来自(4.8.37)和(4.8.38)：

图4.3显示了当 $\beta_{22} = 4 \beta_{33}$、$\beta_{23} = 2 \beta_{33}$、$\omega_{32} = 25 \beta_{33}$ 且 $\langle \sigma_{11} ( 0 ) \rangle = 0$、$\langle \sigma_{22} ( 0 ) \rangle = \langle \sigma_{33} ( 0 ) \rangle = \langle \sigma_{23} ( 0 ) \rangle = 1 / 2$ 时计算得到的发射速率(4.8.44)。发射速率呈现拍频而非随时间的简单单调衰减。从(4.8.47)可以明显看出，如果没有涉及 $\beta_{23}$ 的朗道项，这种拍频不会出现：如果跃迁偶极矩 $\mathbf{d} _{13}$ 和 $\mathbf{d} _{21}$ 正交，则 $\beta_{23} = 0$，不会预测到拍频。同样有趣的是，即使图4.2中两个上能态中只有一个初始有布居，即如果 $\langle \sigma_{22} ( 0 ) \rangle = 1$ 或 $\left. \sigma_{33} ( 0 ) \right. = 1$，只要 $\beta_{23} \neq 0$，也能预测到拍频。⁴⁰

图4.2 一个三态原子，在态1与态2之间以及态1与态3之间允许电偶极跃迁。

图4.3 图4.2所示三态原子的计算自发光子发射速率(4.8.44)，初始条件为 $\langle \sigma_{11} ( 0 ) \rangle = 0$、$\langle \sigma_{22} ( 0 ) \rangle = \langle \sigma_{33} ( 0 ) \rangle = 1 / 2$ 且 $\left. \sigma_{23} ( 0 ) \right. = 1 / 2$。(4.8.47)中的参数在文中定义，时间以 $1 / \beta_{33}$ 为单位。

练习 4.8：(a) 推导(4.8.44)和(4.8.47)。(b) 推导描述图4.4所示跃迁方案的发射速率的相应方程。在这种情况下有拍频吗？

图4.4 一个三态原子，在态1与态2之间以及态1与态3之间允许电偶极跃迁。

原子的激发态概率衰减、光子发射概率增加的速率(4.4.21)是我们在量子电动力学中能够计算的最简单但最重要的事情之一。Dirac 对这个速率的计算“证实了量子力学的普适性”，因为它表明量子理论可以解释量子场激发的产生——或者说“粒子”的产生。⁴¹ 尽管这个速率的公式可以在新经典理论中推导出来，但似乎不可能在经典电磁理论的框架内解释所有与自发辐射相关的实验观察。从萤火虫发光到激光启动，更不用说太阳的大部分光线，这些现象的最终原因——自发辐射——的正确描述显然需要量子电动力学。

我们在本章开始时回顾了当场被量子化时，从最小耦合哈密顿量到（通常）更方便的电偶极形式的变换。然后我们讨论了导致激发态概率指数衰减的（“Weisskopf–Wigner”）近似的近似方法、涉及真空电磁场和辐射反应的自发辐射的物理解释，以及一个相当通用的自发辐射“多态”描述。我们只考虑了“基础”内容，忽略了一些重要的效应，这些效应一直是（并将继续是）纯科学和应用科学研究的主题。其中一些效应，包括自发辐射“噪声”以及外加场、其他原子、反射表面或宿主介质对单原子自发辐射的修正，将在后续章节中讨论。

参考文献与推荐阅读#

从最小耦合哈密顿量到场量子化时的电偶极形式的变换，自从 E. A. Power 和 S. Zienau 的论文（Phil. Trans. R. Soc. A251, 427 (1959)）以来一直是许多分析的主题。其中包括 L. Davidovich 和 H. M. Nussenzveig 的著作（载于 Foundations of Radiation Theory and Quantum Electrodynamics, ed. A. O. Barut, Plenum Press, New York, 1980, pp. 83–108），该著作聚焦于自然线型理论的一些微妙方面，包括与哈密顿量不同形式相关的那些方面；R. G. Woolley, Mol. Phys. 22, 1013 (1971)；J. Savolainen 和 S. Stenholm, Am. J. Phys. 40, 667 (1972)；以及 J. R. Ackerhalt 和 P. W. Milonni, J. Opt. Soc. Am. B 1, 116 (1984)，该文综述了变换的不同方法。

在题为“波力学中的阻尼问题”的论文中（该论文在第4.8节中与“朗道项”相关地被引用），朗道做出了意味着自发辐射理论中初始激发态指数衰减的近似。后来 V. Weisskopf 和 E. Wigner 采取了不同的方法处理指数衰减近似（Z. Phys. 63, 54 (1930)）。关于这一近似的分析，参见例如 P. R. Berman 和 G. W. Ford, Adv. Atom. Molec. Opt. Phys. 59, 175 (2010)，以及第4.4.3节引用的论文。

我们在海森堡绘景中对自发辐射和辐射频移处理中不同算符排序的讨论基于 I. R. Senitzky, Phys. Rev. Lett. 31, 955 (1973)；P. W. Milonni、J. R. Ackerhalt 和 W. A. Smith, Phys. Rev. Lett. 31, 958 (1973)；以及 P. W. Milonni 和 W. A. Smith, Phys. Rev. A 11, 814 (1975)。对称排序在沿经典路线诠释这些效应时具有吸引力，因为源场和真空场都以厄米算符的形式出现；参见 J. Dalibard、J. Dupont-Roc 和 C. Cohen-Tannoudji, J. Physique 43, 1617 (1982)。Milonni 和 Smith 的论文展示了如何使用对称排序将电磁场的量子理论与经典的“随机电动力学”联系起来。另见 T. H. Boyer, Phys. Rev. D 11, 809 (1975)。