电磁场的量子理论 (Quantum Theory of the Electromagnetic Field)#

电磁场的哈密顿量是一组（通常是无限多个）无耦合谐振子的哈密顿量。为了以最简单的方式”量子化”场，我们将这些谐振子的坐标和动量视为服从正则对易关系 (canonical commutation relations) 的算符。具有确定场能量的态——场哈密顿量的本征态——是具有确定光子数的态。尽管这些态具有基本重要性，但它们并不能描述来自恒星、灯、激光器或任何其他常见光源的光。

场谐振子的不同量子态意味着具有不同干涉和统计性质的不同光的量子态。在本章中，我们量子化场，并为后续章节中物质-场相互作用的完全量子理论处理奠定基础。我们特别考虑为此目的最重要的光态——热态 (thermal states)、相干态 (coherent states) 和真空态 (vacuum states)——并推导它们的一些统计性质。我们还涉及一些与量子电动力学一致性及其概念框架相关的基础性问题。

3.1 谐振子 (The Harmonic Oscillator)#

我们首先简要回顾谐振子的量子力学，其哈密顿量 (Hamiltonian) 为

其中频率为 $\omega$，单位质量。$q$ 和 $p$ 分别是（厄米的）坐标算符和动量算符，满足对易关系 $[ q , p ] = i \hbar$

直接从海森堡运动方程 (Heisenberg equations of motion) 出发，无需解出它们的解，就可以看出 $H$ 的本征值形成一系列等间距的能级：将 $H$ 的本征值记为 $E_{0} , E_{1} , E_{2} , . . . . ,$ ，本征态记为 $\left| E_{n} \right.$ ，矩阵元 $\langle E_{m} | q | E_{n} \rangle$ 和 $\langle E_{m} | p | E_{n} \rangle$ 分别记为 $q_{m n}$ 和 $p_{m n}$。那么，海森堡方程 $p = \dot{q} = - ( i / \hbar ) ( q H - H q )$ 给出

类似地，海森堡方程 $- \omega^{2} q = \dot{p} = - ( i / \hbar ) ( p H - H p )$ 给出

由 (3.1.2) 和 (3.1.3) 得

对于非零矩阵元 $p_{m n}$ 和 $q_{m n}$ ，必须有 $( E_{n} - E_{m} ) / \hbar \omega = \pm 1$，由此可得¹

我们可以排除 $n$ 的负值，因为由 (3.1.1) 知本征值 $E_{n}$ 不能为负。从 (3.1.4) 我们还得出结论：$m \neq n \pm 1$ 的矩阵元 $q_{m n}$ 和 $p_{m n}$ 必须为零。

现在我们基于（非厄米的）算符回顾谐振子的基本理论

用它们可以将 $q$ 和 $p$ 表示为

这些定义与 $[ q , p ] = i \hbar$ 一起给出

和

因此谐振子的能谱由算符 $a^{\dagger} a$ 的本征值决定。现在将 $a^{\dagger} a$ 的本征值和（假定已归一化的）本征矢分别记为 $n$ 和 $| n \rangle$：

由于 $\langle n | a^{\dagger} a | n \rangle$ 是 $a | n \rangle$ 与自身的内积，由 (3.1.10) 可知 $n$ 是实的且为正。$H$ 是厄米算符不仅意味着本征值 $n$ 必须是实的，还意味着属于不同本征值的本征态是正交的：$\langle n | m \rangle = \delta_{m n}$

现在，$a^{\dagger} a a | n \rangle = ( a a^{\dagger} a + [ a^{\dagger} a , a ] ) | n \rangle$，且 (3.1.8) 给出 $[ a^{\dagger} a , a ] = - a$，$a^{\dagger} a a | n \rangle =$ $( n - 1 ) a | n \rangle$。因此，若 $| n \rangle$ 是 $a^{\dagger}$ a 的本征值为 $n$ 的本征矢，则 $a | n \rangle$ 是 $a^{\dagger} a$ 本征值为 $n - 1$ 的本征矢：$a | n \rangle = C | n - 1 \rangle$。对此方程两边取模，我们得到 $| C | ^{2} = \langle n | a^{\dagger} a | n \rangle = n$，因此可取

类似地，我们可以得到

由于这些关系，$a$ 和 $a^{\dagger}$ 分别被称为降算符（或湮灭算符 annihilation operator）和升算符（或产生算符 creation operator）。从 (3.1.11) 我们看到，通过重复应用降算符 $a$，可以产生本征值越来越低的本征态。但由于 $n \geq 0$，对于 $n < 1$ 必须有 $a | n \rangle = 0$，而 (3.1.11) 表明这仅在 $n = 0$ 时成立。因此我们得出结论：$a^{\dagger} a$ 的本征值 $n$ 是所有正整数（包括零），谐振子的能级为

这种使用升算符和降算符的方法很容易与更传统的谐振子薛定谔方程方法联系起来。例如，由 (3.1.11) 我们有 $a | 0 \rangle = 0$，即 $\langle q | ( p - i \omega q ) | 0 \rangle = 0$ 对于基态 $0$ 成立。$\langle q \vert 0 \rangle$ 按定义就是基态的波函数 $\Psi_{0} ( q )$，同样，$\langle q | p | 0 \rangle = ( \hbar / i ) d \Psi_{0} / d q$，所以

或 $\Psi_{0} ( q ) = ( \omega / \pi \hbar ) ^{1 / 4} e^{- \omega q^{2} / 2 \hbar}$，在归一化条件 $\begin{array} {r} {\int_{- \infty} ^{\infty} d q | \psi_{0} ( q ) | ^{2} = 1} \end{array}$ 下；这就是熟悉的谐振子基态波函数。激发态波函数 $\Psi_{n} ( q ) = \langle q | n \rangle$ 可以通过按 (3.1.12) 应用 $a^{\dagger}$ 来生成：

和

这些激发态本征函数正比于 $e^{- \xi^{2} / 2} H_{n} ( \xi )$，其中 $H_{n}$ 是 $n$ 次埃尔米特多项式 (Hermite polynomial)。

我们可以使用 $a$ 和 $a^{\dagger}$ 来计算谐振子的熟悉性质。例如，$\langle n | q | n \rangle = \langle n | p | n \rangle = 0$ 和

因此，对于态 $| n \rangle$，$\Delta q_{n} \Delta p_{n} = ( n + \textstyle{\frac{1} {2}} ) \hbar$，与不确定关系 $\Delta q \Delta p \ge \hbar / 2$ 一致（其中 $\Delta q = ( \bar{\langle} q^{2} \rangle - \langle q \rangle^{2} ) ^{1 / 2} , \Delta p = ( \langle p^{2} \rangle - \langle p \rangle^{2} ) ^{1 / 2} )$

本征态 $n$ 构成完备集：$\scriptstyle \sum_{n = 0} ^{\infty} | n \rangle \langle n | = 1$

练习 3.1：(a) 利用有下界但无上界的厄米算符的完备性（见第2.1节），证明埃尔米特多项式构成完备集。(b) 为什么量子理论中哈密顿量算符的本征值必须有下界？(c) 完备性是否适用于有上界但无下界的厄米算符？

3.1.1 零点能 (Zero-Point Energy)#

谐振子的最低可能能量——即使处于绝对零度也具有的能量——是 $\scriptstyle{\frac{1} {2}} \hbar \omega$。这种”零点能 (zero-point energy)”与位置-动量不确定关系密切相关，甚至可以被视为其推论：由 $\langle \Delta q^{2} \rangle \langle \Delta p^{2} \rangle \ge \hbar^{2} / 4$，可得

对谐振子的任何态都成立。（我们不失一般性地假设 $\langle q \rangle = \langle p \rangle = 0$，因此 $\langle{\Delta} q^{2} \rangle = \langle q^{2} \rangle , \langle{\Delta p^{2}} \rangle = \langle p^{2} \rangle 。）$ 右边在 $\langle q^{2} \rangle = \hbar / 2 \omega$ 时取最小值，因此

对谐振子的任何态都成立。

练习 3.2：双原子分子的转动能级近似为 $C J ( J + 1 ) , J = 0 , 1 , 2 , . . . .$，其中 $C$ 是依赖于分子的常数。因此转动零点能为零。为什么这不违反不确定关系？

3.2 场哈密顿量 (Field Hamiltonian)#

在光频段，磁导率通常非常接近其真空值 $\mu_{0}$，因此我们设 ${\boldsymbol{\mu}} = {\boldsymbol{\mu}} _{0} \left( \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{H} \right) $，并使用以下形式的麦克斯韦方程组 (Maxwell’s equations)：

现在我们先经典地描述场：D、E 和 B 的各分量都是 r 和 t 的普通函数。例如，$E_{x} ( \mathbf{r} , t )$ 在任何时刻 t 在任何点 r 都是一个实数。在没有自由电荷和电流的区域中，$\mathbf{D} = \epsilon_{0} \mathbf{E} , \mathbf{\rho} = \mathbf{J} = 0$，在库仑规范 (Coulomb gauge)（见第1.3节）下，标势 $\varphi$ 可以设为零，而矢势满足

其中我们使用了 $c = 1 / \sqrt{\epsilon_{0} \mu_{0}}$ 作为真空中的光速。

(3.2.5) 最简单的非平凡解在时间上呈正弦振荡：

其中

而 ${\bf A} _{0} ( {\bf r} )$ 是亥姆霍兹方程 (Helmholtz equation) 的一个解

并满足任何适当的边界条件。电场和磁场为

场能量为

其中，为了得到最后一个等式，我们选择了归一化条件 $\begin{array} {r} {\int d^{3} r | \mathbf{A} _{0} ( \mathbf{r} ) | ^{2} = 1} \end{array}$。对于实际上无界的空间区域，我们将使用平面波场，并采用第3.3节中回顾的周期性边界条件。

练习 3.3：需要关于模式函数 ${\bf A} _{0} ( {\bf r} )$ 的哪些其他假设才能推导出 (3.2.11)？

频率 $\omega$ 和函数 ${\bf A} _{0} ( {\bf r} )$ 定义了一个场模式。$\mathbf{A} ( \mathbf{r} , t ) , \mathbf{E} ( \mathbf{r} , t )$ 和 $\mathbf{B} ( \mathbf{r} , t )$ 完全由 $\omega$、${\bf A} _{0} ( {\bf r} )$ 和 $\alpha ( 0 )$ 确定。定义

我们可以写成

并由 (3.2.7) 得到

这些方程表明，场的一个模式就是一个具有”动量”$p$ 和”坐标”$q$ 的谐振子。换句话说，一个场模式由哈密顿量和正则运动方程描述

振荡器的频率与场模式的频率相同，并且根据我们对 $p$ 和 $q$ 的定义，它具有”单位质量”。

更一般地，我们将场在一组完备的模式上展开，每个模式具有频率 $\omega_{j}$ 和相关的横波模函数 $\mathbf{A} _{j} ( \mathbf{r} )$，满足 $\nabla^{2} {\bf A} _{j} +$ $( \omega_{j} ^{2} / c^{2} ) \mathbf{A} _{j} = 0 \mathrm{:}$

其中 $\dot{\alpha} _{j} ( t ) = - i \omega_{j} \alpha_{j} ( t )$，cc 代表”复共轭 (complex conjugate)”。对应于不同本征频率的本征函数 $\mathbf{A} _{j} ( \mathbf{r} )$ 可以取为正交（并归一化）的：

那么，(3.2.15) 推广为

场的哈密顿量就是一组独立谐振子的哈密顿量。

当然，这种对经典电磁场的哈密顿量方法只不过是在无源情况下对麦克斯韦方程组的重新表述。它不是传统经典电动力学教科书所采用的方法，但它使我们能够直接进入场的量子化。

在一个有时用于允许空间变化介电常数的模型中，假设介质是无吸收和无色散的，且 $\mu \cong \mu_{0}$。在这个模型中，方程

$$

• \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A} {j}) + \omega{j} ^{2} \mu_{0} \epsilon (\mathbf{r}) \mathbf{A} _{j} = 0,\tag{3.2.22} $$

取代了相应的真空方程，并且从恒等式 $\nabla \cdot [ \nabla \times ( \nabla \times \mathbf{A} _{j} ) ] = 0$ 得出一个规范固定条件：

模式按以下方式归一化

而场按照第3.3节所述的方式进行量子化。²

3.3 场量子化：能量与动量 (Field Quantization: Energy and Momentum)#

在场的量子理论中，我们将 $q_{j}$ 和 $p_{j}$ 视为满足对易关系 $[ q_{i} , p_{j} ] = i \hbar \delta_{i j} , [ q_{i} , q_{j} ] = [ p_{i} , p_{j} ] = 0$ 的算符。因为场的 $q_{j}$ 和 $p_{j}$ 分别是谐振子的坐标和动量，我们假设，对场的量子描述只需将它们视为与量子理论中任何其他谐振子一样的算符。因此，我们做替换 $\alpha_{j} \rightarrow C_{j} a_{j} , \alpha_{j} ^{*} \rightarrow C_{j} ^{*} a_{j} ^{\dagger}$，并要求算符 $a_{j}$ 和 $a_{j} ^{\dagger}$ 满足

使得由 (3.2.20) 定义的 $q_{j}$ 和 $p_{j}$ 满足 $q$ 和 $p$ 的正则对易关系。我们可以通过选择 $C_{j} = \sqrt{\hbar / 2 \epsilon_{0} \omega_{j}}$ 来实现这一点。那么，(3.2.17) 和 (3.2.19) 的量子化场版本为

而电场算符例如为

正如将在第3.5节中讨论的那样，量子化的电场 (3.3.4) 很好地符合了观测到的光的”波粒二象性 (wave-particle duality)”。模式函数 $\mathbf{A} _{j} ( \mathbf{r} )$ 以与经典电磁理论完全相同的方式描述场的空间变化——这些模式函数与经典理论中出现的模式函数相同。但是在海森堡绘景中，场的时间变化遵循算符 $a_{j} ( t )$ 和 $a_{j} ^{\dagger} ( t )$ 的时间变化。正是通过这些算符，空间每一点的场才成为一个量子场。

对于实际上无界空间中的场——也就是说，当我们能够忽略边界对电场和磁场的任何影响时——将场用平面波模式函数展开是方便的：

这里，$V$ 是一个”量子化体积”，使得

（实的）单位矢量 $\mathbf{e} _{\mathbf{k} \lambda}$ 显然表征了平面波的偏振。$\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$ 意味着 $\mathbf{k} \cdot \mathbf{e} _{\mathbf{k} \lambda} = 0$，因此对于每个 $\mathbf{k}$，我们可以定义两个偏振矢量，用 $\lambda \left( = 1 , 2 \right)$ 标记，并取它们正交：

因此，我们有正交归一性条件

用这些（线偏振）模式来表示，

场的哈密顿量为

练习 3.4：证明 (3.3.5) 中的模式函数是完备集这一假设是合理的，即自由空间中的横矢势可以表示为 (3.3.9) 中的形式。

这里引入体积 V 只是一个技巧，用于避免处理其模（在全空间上对模平方积分）为无穷大的模式函数。在这种”箱归一化 (box normalization)”中，我们假装空间被划分为边长为 $L_{x} , L_{y}$ 和 $L_{z}$ 的盒子，并且场满足周期性边界条件

这意味着

在计算自由空间中电磁相互作用的跃迁概率、相互作用能和其他效应时，我们可以使用具有有限模的离散模式求和，保持 $V = L_{x} L_{y} L_{z}$ 有限，并且如果盒子足够大，我们可以通过将模式求和替换为积分来处理实际上存在连续谱的事实：

在无界空间的理想化情况下，盒子显然”足够大”；更一般地说，只要感兴趣的模式分布近似连续，我们就可以使用 (3.3.18)。例如，在计算腔内原子某跃迁的自发辐射速率时，如果跃迁波长与原子到腔壁的距离相比很小，我们就可以使用 (3.3.18)。此时，辐射速率不依赖于原子在腔内的确切位置，并且与无界空间中的相同。否则，我们从头到尾都使用满足腔所施加边界条件的离散模式函数集 $\mathbf{A} _{j} ( \mathbf{r} )$ 来工作。

显然，场算符满足麦克斯韦方程组；实际上，我们一直假定在量子理论中麦克斯韦方程组是成立的。当然，与经典电磁理论的最大区别在于，量子化场是算符，而且这些算符通常不对易。从 $a$ 和 $a^{\dagger}$ 的对易关系，我们可以很容易地推导出场对易关系（见第3.10节）。

3.3.1 线性动量 (Linear Momentum)#

由于场算符满足麦克斯韦方程组，我们可以遵循熟悉的经典论证来获得其他物理上有兴趣的算符的表达式。例如，对应于自由空间中场线性动量的算符是

我们使用了 $\begin{array} {r} {\sum_{\mathbf{k} \lambda} \frac{1} {2} \hbar \mathbf{k} = 0 \mathrm{:}} \end{array}$ 从波矢为 k 的模式对 P 的贡献被波矢为 $-\mathbf{k}$ 的模式的贡献所抵消。³ 场哈密顿量 H 的本征态显然也是场线性动量 P 的本征态。例如，自由空间中波矢为 k 的平面波模式的能量本征态 $| n \rangle$ 具有能量 $n\hbar\omega$ 和线性动量 $n\hbar\mathbf{k}$。

在场哈密顿量的本征态中，频率为 $\omega$ 的场的激发（光子）具有能量 $\hbar\omega$，这显然与爱因斯坦从普朗克谱形式推断的”光量子 (light quanta)”一致；类似地，这些激发具有大小为 $\hbar \omega / c$ 的线性动量，这与他的推断一致，即原子在发射或吸收光量子时必须以这个动量反冲（见第2.8节）。此外，对易子 (3.3.1) 证实了光子是玻色子 (bosons)；特别地，表达式 (3.1.15) 明确显示了 n 光子态在 n 个光子的置换下是对称的，正如玻色子所要求的。

所有人都同意光子在真空中的动量是 $\hbar \omega / c$。它如何依赖于介电介质的折射率是一个古老的问题，至今仍吸引着人们的兴趣（第1.7节）。

3.3.2 角动量（自旋）(Angular Momentum (Spin))#

根据经典电磁理论，真空中场的角动量是⁴

第二个等式中的第一项与坐标原点的选取无关，因此被称为场的”内禀 (intrinsic)”角动量。对于量子化场，算符 E 和 A 通常不对易（见第3.10节），因此通常的做法是用明显是厄米的形式来定义内禀角动量

从 (3.3.9)、(3.3.11) 和一些代数运算，我们得到

其中单位矢量 $\hat{\mathbf{k}} = \mathbf{e_{k 1}} \times \mathbf{e_{k 2}}$

算符 (3.3.22) 不与光子数算符 $a_{\mathbf{k} \lambda} ^{\dagger} a_{\mathbf{k} \lambda}$ 对易，因此，场的能量本征态 $\left| n_{\mathbf{k} \lambda} \right.$ 不是 $\mathbf{L} _{s}$ 的本征态。但是，我们可以通过引入复偏振单位矢量来构造既是场能量本征态又是 $\mathbf{L} _{s}$ 本征态的态

它们满足 ${\bf e} _{{\bf k} \alpha} ^{*} \cdot{\bf e} _{{\bf k} \alpha^{\prime}} = \delta_{\alpha \alpha^{\prime}} , {\bf e} _{{\bf k} \alpha} ^{*} \times{\bf e} _{{\bf k} \alpha^{\prime}} = i \alpha \widehat{{\bf k}} \delta_{\alpha \alpha^{\prime}} , \alpha = \pm 1 。^{5}$ 我们原始的偏振矢量 ${\mathbf{e}} _{{\mathbf{k}} \lambda} \ ( \lambda = 1 , 2 )$ 对应于正交的线偏振，而复偏振矢量 ${\mathbf{e}} _{\mathbf{k} \alpha} \ ( \alpha = \pm 1 )$ 对应于相反的圆偏振。我们还为圆偏振模式 (k, α) 定义了光子湮灭算符：

用这些算符来表示，

类似地，对于场哈密顿量和线性动量算符有

对于矢势和电场算符分别有

因此，对于圆偏振平面波模式函数，我们拥有不仅是场能量和线性动量的本征态，而且也是内禀角动量或自旋的本征态。根据 (3.3.25)，光子自旋沿传播方向的分量，或者说光子螺旋度 (helicity)，是 $\pm \hbar$；光子是自旋为 1 的玻色子，这个自旋要么平行于传播方向，要么反平行于传播方向。对于线偏振平面波模式，一个光子可以被描述为处于右旋（螺旋度 -1）和左旋（螺旋度 +1）圆偏振态的 50/50 叠加态。椭圆偏振则涉及两个自旋本征态通常不相等部分的叠加。

光子的自旋角动量直接与支配光发射和吸收的选择定则 (selection rules) 相关（例如，磁量子数 m 的变化 $\Delta m = 0 , \pm 1$）。光子具有自旋且自旋为 1 的实验证明由 Raman 和 Bhagavantam 于 1931 年提供。他们引用了 S. N. Bose 的通信，其中指出在他推导黑体谱时，在态计数中包含了因子 2，”他设想[光子]除了具有能量 $h\nu$ 和线性动量 $h v / c$ 之外，还可能具有绕平行于其运动方向的轴的内禀自旋或角动量 $\pm h / 2 \pi$。”⁶ 换句话说，因子 2 代表了光子的两种可能的螺旋度。

实验测量了来自分子气体和液体的散射光的退偏振度。退偏振之所以可能，是因为分子不具有原子的球对称性，并且在散射光时可能发生转动状态的改变。基于极化率张量的 Kramers-Heisenberg 色散公式（第2.3节）和跃迁电偶极矩的光谱选择定则（假设光子自旋为 1）的计算，与从线性分子气体如 $\mathrm{N_{2}}$、$\mathrm{O_{2}}$ 和 $\mathrm{CO_{2}}$ 的瑞利散射光以及从液体 CS 和 $\mathrm{C_{6} H_{6}}$ 的光散射中测量到的更大退偏振度都非常吻合。

Raman-Bhagavantam 实验回答了一个在电子自旋发现后出现的问题：光子是否也同样具有内禀角动量？爱因斯坦似乎对此持怀疑态度。这项工作的意义没有逃过《时代》杂志（1931 年 7 月 6 日）的注意：”这项发现的实用价值在于其富有成果的未来。它也许有一天会解释为什么太阳把西红柿晒红、把脸晒黑；为什么猩猩不是人。”

练习 3.5：考虑一个沿 z 方向传播的圆偏振平面波。对于这样的波，$\mathbf{E} \times \mathbf{B}$ 指向 z 方向，因此 $\mathbf{r} \times ( \mathbf{E} \times$ B) 没有 z 分量。那么，总场角动量的定义 $\begin{array} {r} {{\bf L} = \epsilon_{0} \int d^{3} r [ {\bf r} \times ( {\bf E} \times{\bf B} ) ]} \end{array}$ 如何能导致具有非零 z 分量的内禀角动量？（注意：在写 (3.3.20) 中的第二个等式时，已假设表面积分在无穷远处为零。）

3.4 电介质中的量子化场 (Quantized Fields in Dielectric Media)#

第3.3节中展示的量子化过程可以推广到电介质的情况。我们再次从一个（经典的）频率为 $\omega$ 的单色场开始，并考虑一个均匀、各向同性、无吸收的介质，其特征由介电常数 $\epsilon ( \omega )$ 和磁导率 $\mu ( \omega )$ 描述。（推广到吸收介质在第7.6节中讨论。）使用 $\mathbf{D} = \epsilon ( \omega ) \mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B} = \mu ( \omega ) \mathbf{H}$，我们从麦克斯韦方程组发现，库仑规范下的矢势 A $\left( \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \right)$ 满足

与真空情况类似，我们写成

其中 $\alpha ( t ) = \alpha ( 0 ) e^{- i \omega t}$ 且

下面我们再次回顾这样一个事实：在电介质中存在这样一个场时，周期平均能量密度可以定义为

如果介质不吸收频率为 $\omega$ 的辐射。⁷ 使用与推导真空中场的 (3.2.11) 类似的方法（练习 3.3）来处理（归一化的）模式函数的矢量恒等式，我们得到

其中 $n ( \omega ) = \sqrt{\epsilon \mu / \epsilon_{0} \mu_{0}} = c \sqrt{\epsilon \mu}$ 是频率 $\omega$ 处的（实）折射率，而

是群折射率：频率 $\omega$ 处的群速度为 $c / n_{g} ( \omega )$（见第1.6节）。

我们按照前面的方法，定义正则动量 $p$ 和坐标 $q ~ ( {\dot{p}} =$ $- \omega^{2} q , \dot{q} = p )$：

用它们可以将 $E_{\mathrm{field}}$ 表示为谐振子的能量：

然后，我们通过将 $p$ 和 $q$ 替换为满足正则对易关系 $[ q , p ] = i \hbar$ 的算符来进行”量子化”。通过引入算符 $a$ 和 $a^{\dagger}$ 来实现，替换为

并要求 $[ a , a^{\dagger} ] = 1$。我们的单色量子场的哈密顿量变为

因此电场和磁场算符为

例如，电场的多模推广为

当我们使用线偏振平面波模式时。当我们将每个模式设置为 $\mu = \mu_{0}$ 且 $n = n_{g} = 1$ 时，这简化为真空电场算符的表达式。公式 (3.4.15) 可以被视为用耦合物质-场系统的简正模式 (normal modes) 或极化激元 (polaritons) 表示的电场。⁸

为了以后参考，我们计算场真空态的 ${\bf E} ^{2} ( {\bf r} , t )$ 的期望值 $\begin{array} {r} {( \langle a_{\mathbf{k} \lambda} ^{\dagger} ( t ) a_{\mathbf{k^{\prime}} \lambda^{\prime}} ( t ) \rangle = \langle a_{\mathbf{k} \lambda} ( t ) a_{\mathbf{k^{\prime}} \lambda^{\prime}} ( t ) \rangle = 0 , \langle a_{\mathbf{k} \lambda} ( t ) a_{\mathbf{k^{\prime}} \lambda^{\prime}} ^{\dagger} ( t ) \rangle = \delta_{\mathbf{k} , \mathbf{k^{\prime}}} ^{3} \delta_{\lambda \lambda^{\prime}} )} \end{array}$，假设为非磁性介质：

使用

进行 k 积分，令 $n = n_{R}$ 以提醒我们折射率已被假设为实数，我们得到

当然，如果我们允许所有场模式都贡献，无论它们的频率多高，这都会发散，因为当 $\omega \rightarrow \infty$ 时 $n ( \omega ) = \sqrt{\epsilon ( \omega ) / \epsilon_{0}} \rightarrow 1$（第6.6节）。

在没有吸收和任何自由电流的情况下，（经典的）电磁能量密度 u 和坡印廷矢量 (Poynting vector) $\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$ 满足坡印廷定理：$\nabla \cdot{\bf S} + \partial u / \partial t = 0$，或

考虑 $\omega$ 附近的一个窄频带，将电场写为（实部）

假设 $\mathbf{E} _{\omega}$ 随时间的变化与 $\exp ( - i \omega t )$ 相比是缓慢的。那么，

和

由此可得

并且，结合 $\mathbf{H} \cdot \partial \mathbf{B} / \partial t$ 的类似表达式和 (3.4.20)，可知在吸收可忽略的频率 $\omega$ 处的周期平均场能量密度由 (3.4.6) 给出，正如在第1.6节中以略有不同且更一般的方式推导的那样；回顾那里的讨论，(3.4.6) 是总（场加物质）能量密度。对于任何无源介质，因子 $d ( \epsilon \omega ) / d \omega$ 和 $d ( \mu \omega ) / d \omega$ 都是正的，出现在诸如 (3.4.15) 等表达式的平方根中的量也是正的。

3.5 光子与干涉 (Photons and Interference)#

在第2.8.2节中，我们回顾了爱因斯坦如何在量子理论正式发展之前很久，就通过专注于与辐射处于热平衡的粒子的动量涨落，推断出光同时具有波动和粒子属性。第3.3节中的场量子化基本上遵循了 Born、Heisenberg、Jordan、Dirac 等人在 1925-7 年的原始工作。作为电磁场本身的量子理论，该工作不需要任何实质性的修改，也就是说，没有任何实验表明该理论有”错误”。实际上，它的一些（从经典角度看）更奇特的方面，甚至随着时间的推移变得更加重要。

在场量子化出现之初，人们很快就认识到它如何自然地解释了光的”波粒二象性 (wave-particle duality)”。考虑自由空间中场能量密度的算符，它与电场算符的平方成正比。在场为单模的情况下，我们从 (3.3.4) 得到

单模场哈密顿量为 $H = \hbar \omega ( a^{\dagger} a + 1 / 2 )$，在没有源的情况下，算符 $a ( t )$ 的海森堡运动方程为

因此，$\dot{a} = - i \omega a$，且

当然，这与场模式振幅的时间依赖性的经典方程 (3.2.7) 一致。因此，

当场（谐振子）处于本征态 $| n \rangle$（即具有恰好 n 个光子的态）时，该算符的期望值由以下期望值给出

和 $\langle n | a a | n \rangle = \langle n | a^{\dagger} a^{\dagger} | n \rangle = 0$，也就是说，r 处的场能量密度的期望值为

全空间的场能量期望值为

因为 $\int d^{3} r | \mathbf{A} _{0} ( \mathbf{r} ) | ^{2} = 1$

零点场能量 $\hbar\omega/2$ 似乎不是直接可测量的。⁹ 在更仔细地分析我们在光子计数实验中实际测量的内容时，例如，零点能量甚至不会出现在我们的方程中（见附录 C）。这种分析需要考虑探测装置，这在当前讨论中是不需要的。我们推迟进一步考虑零点场能量，简单地用我们目前断定的可测量的能量密度和总能量来替换 (3.5.6) 和 (3.5.7)，对于处于能量本征态 n 的单模场：

现在，进一步简化并假设 $n = 1$：$\langle u ( \mathbf{r} ) \rangle = \hbar \omega | \mathbf{A} _{0} ( \mathbf{r} ) | ^{2}$ 且 $\langle H \rangle = \hbar \omega$。根据量子化场理论，这意味着每单位体积内有一点 r 处发现光子的概率为 $| {\bf A} _{0} ( {\bf r} ) | ^{2}$，而在某处发现光子的概率为 1。类似的结论适用于当单光子场入射到具有（例如）两个狭缝的不透明屏上时：透射光的经典干涉图样定义了找到单个光子的概率分布。强度高的地方，找到光子的概率就高，强度低的地方，找到光子的概率就低。在完全相消干涉的点上，探测到光子的概率为零。当我们反复进行这个单光子双缝实验时，积累的光子计数被发现按照经典的波动干涉图样分布。或者，如果我们用 n 光子场（$n \gg 1$）一次完成实验，我们会观察到经典光学给出的完整干涉图样。我们可以像 Dirac 在他的《量子力学原理》(Principles of Quantum Mechanics) 中著名地说过的那样，每个光子只与自身干涉——光子之间不互相干涉。这在这种特定类型的干涉实验中当然是正确的，而在其他类型的实验中，这一陈述可能会引起混淆，正如我们在第2.9节中指出的。但这里的要点是，量子化场理论巧妙地解释了在所有已经进行过的光学干涉实验中光的波粒二象性。当光子数很大时，预测了经典光学的干涉图样；据我们所知，量子化场理论正确预测了所有干涉效应，无论涉及多少光子。此外，如下所述，量子化场理论允许具有经典电磁理论中无对应性质的场态。

经典干涉图样从单个光子的概率分布中建立起来的过程已经通过实验得到证实。最早的实验是由 24 岁的 Geoffrey Taylor（George Boole 的孙子）在他父母房子的一间房间里进行的。这些实验由 J. J. Thomson 提议，目的是确定当光非常微弱并且可能可以用能量的”不可分割单元”来描述时，普通的衍射现象是否会改变。在一个实验中，光如此微弱，以至于从今天的角度来看，在任何给定时间，不超过一个光子入射到照相底片上——曝光时间大约是三个月，其中部分时间 Taylor 在游艇上。他发现的是与经典光学预期相同形式的强度图样。换句话说，他（间接地）观察到了由相继光子（”不可分割单元”）建立干涉图样的过程。这令 Thomson 感到惊讶。

Taylor 的短论文是他漫长而辉煌的职业生涯中的第一篇，他的名字与各种现象（例如 Rayleigh-Taylor 不稳定性）相关联。¹⁰ 这似乎是他报告过的唯一光学领域的工作。他的其他贡献包括在湍流统计理论中引入关联函数。¹¹ Taylor 在他去世后写的传记笔记中被描述为”一个幸福的人，他花了漫长的一生做他最想做的事，并且做得非常好。”¹²

在更近的时代，直接观察随着光子被逐一计数时干涉图样的建立过程已经变得相当直接。在这样一个实验中，来自 1 mW He-Ne 激光器 $( \lambda = 632.8 ~ \mathrm{nm} )$ 的光被引导通过一个内壁涂黑的盒子上的小孔。中性密度滤光片将光功率降低了 $\alpha = 5 \times 10^{-11}$ 倍。用光子的语言来说，衰减后的光由

组成，对应于光子之间的平均间距 $d = c / \dot{q} = 2$ km。那么可以说，在任何时刻最多只有一个光子入射到安装在盒子内的三个狭缝上。穿过狭缝后，光被盒子远端的一面镜子反射，并被引导到光子计数 CCD 相机上。图 3.1 显示了三个不同采集时间观测到的结果。例如，顶部的图像是用 $1/30$ s 的采集时间获得的，估计预期光子数 q 等于 $(1.5 \times 10^{5}$ 光子 $/ \mathrm{s} ) ( 1 / 30 \mathrm{s} )$ 乘以探测器的量子效率（在 632.8 nm 波长处约为 0.001）；因此，对于 1/30 s 的采集时间，$q \approx 5$。

图 3.1 当光子被逐一计数时，三缝干涉图样建立过程的实验结果。从上到下三个图像分别对应采集（或”建立”）时间为 1/30 s、1 s 和 100 s。来自 http://phy-page-imac.princeton.edu/~page/single-photon.html，访问于 2018 年 10 月 19 日。

3.6 场的量子态及其统计性质 (Quantum States of the Field and Their Statistical Properties)#

在本节中，我们回顾几个重要的量子场态的例子，从最”类似经典”的态开始。

3.6.1 相干态 (Coherent States)#

从 (3.1.17) 我们看到，对于谐振子的基态，不确定度乘积 $\Delta q \Delta p = \hbar / 2$，这是海森堡不确定关系允许的最小值。具有最小不确定度乘积且与基态具有相同”宽度”$\Delta q = \sqrt{\hbar / 2 \omega}$ 的态，是谐振子的相干态 (coherent states)。我们将在第3.12节中证明，谐振子的所有相干态 $| \alpha \rangle$ 可以定义为

即，相干态是降算符 a 的本征态，其（复）本征值为 $\alpha$。$\alpha$ 的可能取值没有限制；基态（”真空态”）是 $\alpha = 0$ 的特殊相干态。

从 $a = ( p - i \omega q ) / \sqrt{2 \hbar \omega}$ 和 (3.6.1) 可知，在坐标表象中描述相干态的波函数 $\Psi_{\alpha} ( q ) = \langle q \vert \alpha \rangle$ 满足微分方程

该方程的解 $\Psi_{\alpha} ( q )$，在归一化条件 $\begin{array} {r} {\int_{- \infty} ^{\infty} d q | \Psi_{\alpha} ( q ) | ^{2} = 1} \end{array}$ 下，为

将其与基态波函数（见 (3.1.16)）比较

我们看到相干态 $| \alpha \rangle$ 是一个”平移后的”基态，$| \Psi ( q ) | ^{2}$ 取最大值的 $q$ 值被平移了 $\langle q \rangle$。因此，我们有三种等价的方式来定义相干态：(1) 具有与基态相同空间宽度的最小不确定度乘积态；(2) $a$ 的本征态；(3) 平移后的基态。

如果一个谐振子在 $t = 0$ 时由相干态 $| \alpha \rangle$ 描述，那么在 $t \neq 0$ 时，

因此

或

这与经典谐振子理论中坐标和动量得到的时间依赖性相同。谐振子的相干态最早由 Schr”odinger 于 1926 年引入，以回应 Lorentz 关于 Schr”odinger 波函数似乎不能预测经典力学所期望类型运动的评论。Schr”odinger 得到了谐振子薛定谔方程的双参数 $( \langle q \rangle , \langle p \rangle )$ 解，其形式如 (3.6.3) 所示——高斯型，具有与基态相同的宽度 $\Delta q$，期望值 $\langle q \rangle$ 和 $\langle p \rangle$ 由 (3.6.8) 和 (3.6.9) 给出。相干态中 $q ( t )$ 和 $p ( t )$ 的期望值完全按照经典的坐标和动量方程振荡，且 $\Delta q \Delta p$ 在所有时刻都具有量子理论允许的最小可能值，这些事实表明相干态是谐振子最”类似经典”的态。

例如，如果一个单模电磁场由相干态 $\alpha$ 描述，那么（见 (3.3.4)）

也就是说，电场算符的期望值完全像经典单色场的电场一样振荡（当然，磁场也同样）。相比之下，对于确定光子数 $n$ 的态，$\langle n | a | n \rangle = \sqrt{n} \langle n | n - 1 \rangle = 0$，且 $\langle \mathbf{E} ( \mathbf{r} , t ) \rangle = 0$。

Schr”odinger 的相干态波函数 (3.6.3) 表明相干态是平移后的基态。引入幺正平移算符 (displacement operator) 是方便的

它具有性质

和

(3.6.11) 的第二个等式，例如，来自对于两个算符 A 和 B 满足 $[ A , [ A , B ] ] = [ B , [ A , B ] ] = 0$ 的 Baker-Hausdorf 定理

那么，

因此，

或 $D ( \alpha ) | 0 \rangle = | \alpha \rangle 。^{14}$ 换句话说，任何相干态 $| \alpha \rangle$ 都是一个”平移后的”基态。

¹³ 这可以通过定义 $f ( x ) = e^{x A} e^{x B} ~ ( x \mathrm{~ is ~ c - 数 })$ 并对 x 求导来验证，得到 $d f / d x = A e^{x \dot{A}} \acute{e} ^{x B} + e^{x \ddot{a}} \acute{e} ^{x B} B = ( A + e^{x \dot{A}} B e^{- x A} ) f ( x )$。然后使用 (2.2.18)，并解出所得的微分方程，初始条件为 $f ( 0 ) = 1$。

¹⁴ 这里我们使用对易关系 $[ a , e^{\alpha a^{\dagger}} ] = \alpha e^{\alpha a^{\dagger}}$，这是更一般恒等式 $[ a , f ( a , a^{\dagger} ) ] = \partial f / \partial a^{\dagger}$ 的一个特例，该恒等式适用于任何可以表示为 $a$ 和 $a^{\dagger}$ 的幂级数的函数 $f ( a , a^{\dagger} )$。

如前所述，确定光子数的态 $| n \rangle$——Fock 态——构成完备集。特别地，我们可以用 Fock 态来表示相干态：

其中

即，

由于 $( a^{\dagger} ) ^{m} | 0 \rangle = {\sqrt{m !}} | m \rangle$，且 $\langle n | m \rangle = \delta_{n m}$，由此可知不同相干态并不正交：

并且

容易证明相干态构成完备集：

或

因此任意态 $\left| \Psi \right.$ 可以表示为

特别地，相干态 $| \beta \rangle$ 可以表示为

因此，相干态可以写成其他相干态的叠加。在这个意义上，相干态被称为超完备的。

由(3.6.19)，

对于任意态矢量 $\left| \Psi \right.$，将 $\left| \Psi \right.$ 展开为Fock态，我们有

以及

因此我们可以将(3.6.24)表示为

定义 $f ( \alpha^{*} )$ 的无穷级数对所有有限的 $| \alpha |$ 值收敛。换言之，$f ( \alpha^{*} )$ 在有限复平面上处处解析：它是一个整函数。另一方面，容易证明如果 $f ( \alpha^{*} )$ 是整解析函数，因而可以表示为对所有有限的 α 值都收敛的幂级数，那么(3.6.30)可以反演为

因此，任意态矢量 $\left| \Psi \right.$ 按相干态展开的表达式(3.6.30)建立了Hilbert空间矢量与整函数之间的一一对应关系 $| \psi \rangle f$。

根据(3.6.18)，当场处于单模相干态 α 时，在光子数测量中找到恰好 n 个光子的概率 $p_{n} = | c_{n} | ^{2}$ 为

这是具有平均光子数 $\langle n \rangle = | \alpha | ^{2}$ 和方差

的泊松分布 (Poisson distribution)。

场的相干态在量子光学中重要的一个原因是，激光辐射通常可以有效地视为相干态场（见第3.6.3节）。

为简单起见，我们只考虑了单模场。多模推广很直接，基本上只需扩展记号。例如，场的每个模式 k 都由相干态 $\left| \alpha_{k} \right.$ 描述的态写为

3.6.2 经典预定源 (Classically Prescribed Sources)#

光的量子性质源于其源的量子性质。由于相干态显然是光的最接近经典性的量子态，可以预期，一个完全经典描述的源将产生相干态光，事实上这可以相当普遍地证明。¹⁵ 考虑一个赫兹电偶极子源 (Hertzian electric dipole source)，位于一个仅支持单个腔模振荡的空腔中。系统的哈密顿量为，其中偶极矩 $\mathbf{d} ( t )$ 被视为经典预定的确定性时间函数：

这里 $\omega$ 是腔模频率，c-数 $F ( t )$ 定义为

其中 ${\bf A} _{0} ( {\bf r} _{0} )$ 是在偶极子（固定）位置 $\mathbf{r} _{0}$ 处的腔模函数（见第3.3节的(3.3.4)）。相互作用绘景中的态矢量 $| \psi_{I} ( t ) \rangle$ 满足(2.1.14)。定义

它满足

根据(2.1.12)给出的定义，相互作用绘景中的相互作用哈密顿量为

因为 $U_{0} ^{\dagger} ( t ) a U_{0} ( t )$ 正是海森堡算符 $a e^{- i \omega t}$，其时间演化由未受扰哈密顿量 $H_{0}$ 支配。现在，

并且，根据一般算符公式(2.2.18)，

其中

是时间的普通 c-数函数。于是，

其中 D 是由(3.6.11)定义的位移算符 (displacement operator)，且

因此，如果场初始处于无光子的真空态 $| 0 \rangle$，

其中 $| \beta ( t ) \rangle$ 是一个位移基态，即相干态。

薛定谔绘景的态矢量为

因此，来自经典预定源的光场处于相干态 $| \alpha \rangle \ := | \beta ( t ) e^{- i \omega t} \rangle$。$\beta ( t ) e^{- i \omega t}$ 正是 $a ( t )$ 的期望值：从海森堡运动方程

（它由哈密顿量(3.6.35)导出）可得

对于场的初始态 $| 0 \rangle$（$\langle a ( 0 ) \rangle = \langle 0 | a ( 0 ) | 0 \rangle = 0$），这就是 $\beta ( t ) e^{- i \omega t}$。经典电偶极矩 $\mathbf{d} ( t )$ 产生的电场期望值为

它具有与经典电磁理论计算出的电场完全相同的形式。与时间 t 处的场相关的光子概率分布为

这个模型或任何其他将源视为经典而将场视为量子力学的模型都不能过度推广，因为源的预定时间演化不允许量子化场对源产生反作用，即不允许辐射反作用场 (radiation reaction field)。例如，上述模型允许光子发射发生而源不损失能量，因为源没有经历任何辐射反作用。

3.6.3 激光 (Laser Light)#

在单一谐振腔模上稳定运行的激光器，其场具有非常稳定的振幅但相位有涨落。近乎恒定的振幅可以通过假设受激发射的放大率 $R_{A}$ 正比于激光跃迁上、下能级概率之差 $p_{2} - p_{1}$，并按 $R_{A} \propto ( 1 + I / I_{\mathrm{sat}} ) ^{- 1}$ 随谐振腔强度 I 变化来理解。¹⁶ 放大率与辐射从谐振腔输出耦合等效应引起的衰减率相平衡，意味着强度和电场振幅是恒定的。然而，除了受激发射引起的放大外，还存在自发辐射。自发辐射虽然通常对场振幅贡献甚微，但会导致相位涨落。激光场实际上可以描述为具有像相干态那样的固定振幅 $\alpha$，但相位随机变化 $\Theta ( t ) \colon \alpha = | \alpha | \exp [ i \theta ( t ) ]$。根据(3.6.19)，这种态的光子数分布为

这个平均光子数 $\langle n \rangle = | \alpha | ^{2}$ 的泊松分布 (Poisson distribution) 与相干态 $\alpha$ 的分布完全相同，并已在激光辐射的光子计数实验中得到充分验证。

因此，由于自发辐射的存在，激光器无法产生场的相干态。然而，如第6.9节所讨论的，相位扩散在理想情况下可以足够慢，以至于激光辐射实际上可以被视为具有恒定 $\alpha$ 的相干态场。¹⁷

单模激光在稳态运行时光子数概率 $p_{n}$ 的泊松分布可以如下推导。¹⁸ 令 $P_{1 , n}$ 表示（1）原子处于激光跃迁的低能级 1 且（2）激光腔内有 n 个光子的联合概率，$P_{2 , n}$ 表示（1）原子处于高能级 2 且（2）腔内有 n 个光子的联合概率。由光子吸收和发射引起的 $P_{2 , n}$ 变化率为

R 是自发辐射到该单个场模的速率，Rn 是存在 n 个光子时的吸收和受激发射速率。右边第一项是能级 2 的原子通过受激和自发辐射导致 $P_{2 , n}$ 减小的速率。第二项是能级 1 的原子在存在 n + 1 个光子时通过吸收导致 $P_{2 , n}$ 增加的速率；当原子从能级 1 跃迁到能级 2 时，光子数从 n + 1 减少到 n，从而增加 $P_{2 , n}$。类似地，对于 $\dot{P} _{1 , n + 1}$，

第一项是当场中有 n + 1 个光子且原子处于能级 1 时，吸收导致 $P_{1 , n + 1}$ 减小的速率；第二项是当存在 n 个光子时，能级 2 的原子通过受激和自发辐射导致 $P_{1 , n + 1}$ 增加的速率。

方程(3.6.54)和(3.6.55)显然不是完整的描述。要实现稳态激光，上能级 2 必须被连续激发。我们通过在(3.6.54)右侧添加一项 $r p_{n}$ 来模拟这种泵浦 (pumping)。这假设能级 2 的布居是以未明确包含在我们模型中的其他能级的布居为代价的，因此 $P_{2 , n}$ 的增加率简单地正比于场中有 n 个光子的概率 $p_{n}$，与能级 1 和 2 的布居无关。我们还必须考虑能级 1 和 2 因激光场中的吸收和发射之外的过程而导致的布居损耗。我们将这些其他过程导致能级 1 和 2 损耗的速率分别记为 $\gamma_{1}$ 和 $\gamma_{2}$。经过这些修改，我们将(3.6.54)和(3.6.55)替换为

和

于是稳态解为

我们还需写出激光介质活性原子发射和吸收引起的光子数概率 $p_{n}$ 变化率的方程：

这两项分别给出了能级 1 和 2 的原子发射和吸收引起的 $p_{n}$ 变化率。当光子从激光腔逃逸时，$p_{n}$ 也会变化：光子损失率 $d n / d t = - C n$，其中 $C$ 是特定腔的特征常数，这意味着腔损失导致

在稳态激光运行中，$\dot{p} _{n} ^{\mathrm{rad}} + \dot{p} _{n} ^{\mathrm{loss}} = 0$。结合这一条件与 $P_{2 , n}$ 和 $P_{1 , n + 1}$ 的表达式(3.6.58)和(3.6.59)，可得

对于满足

的稳态光子数 n，

我们可以将(3.6.62)替换为

假设解的形式为

从(3.6.66)我们得到一个关于 $x$ 的二次方程，从中解得 $x = \mathcal{R} / C$。施加归一化条件 $\scriptstyle \sum_{n = 0} ^{\infty} p_{n} = 1$，我们得到 $p_{0} = e^{- \mathcal{R} / C}$，最终

如果使用

替代(3.6.64)，则

并且，从(3.6.62)可得

现在假设解的形式为

那么，(3.6.71)引出关于 $x$ 的二次方程，解得 $x = K / C$，利用 $\scriptstyle \sum_{n = 0} ^{\infty} p_{n} = 1$ 得到 $p_{0} = 1 - K / C$ 和

由于

$p_{n}$ 具有玻色-爱因斯坦 (Bose-Einstein) 形式

注意(3.6.73)仅在 $K < C$ 时有意义，这意味着腔内光子由受激发射产生的速率小于其损失速率。由于 $K = C$ 是激光振荡的增益-损耗阈值条件，玻色-爱因斯坦分布(3.6.75)适用于激光在阈值以下运行的情况，而泊松分布(3.6.68)适用于激光在远高于阈值运行的情况。

3.6.4 压缩态 (Squeezed States)#

谐振子的相干态具有最小可能的不确定度乘积 $\Delta q \Delta p$，且 $\Delta q$ 与基态相同。当然，也可以用不同的 $\Delta q$ 和 $\Delta p$ 值满足最小不确定度乘积条件 $\Delta q \Delta p = \hbar / 2$。例如，$\Delta q$ 可以被”压缩”到其基态值以下，同时 $\Delta p$ 相应增大，保持 $\Delta q \Delta p \ge \hbar / 2$。

考虑场的单个模，选择模函数 ${\bf A} _{0} ( {\bf r} )$ 使得电场算符为

我们定义无量纲的”坐标”和”动量”算符

它们满足

因此，根据一般不确定关系(3.12.6)，

如果

则场处于压缩态。

对于相干态 $| \alpha \rangle$，

类似地，$\Delta X_{2} ^{2} = 1 / 4$。因此，相干态不是压缩态。

基于启发式的数-相位不确定关系 $\Delta n \Delta \phi \ge 1 / 2$，Fock 态 $| n \rangle$ 在 $\Delta n = 0$ 的意义上可以被认为表现出压缩。¹⁹ 但是，从(3.6.77)出发，

对 $\Delta X_{2} ^{2}$ 也得到相同结果。因此 Fock 态不是”正交”压缩态 (quadrature squeezed state)。

一个正交分量被压缩而另一个分量相应增大（见(3.6.80)），且不确定度乘积保持不确定关系允许的最小可能值 $( 1 / 4 )$ 的压缩态，称为压缩真空态 (squeezed vacuum state)。图 3.2 展示了另外两种压缩态：相位压缩态 (phase squeezed) 和振幅压缩态 (amplitude squeezed)。相位压缩光允许比相干态光更精确的干涉测量，而振幅压缩光允许光检测噪声水平低于相干光的泊松”散粒噪声”极限。

图 3.2 相位压缩态（左）和振幅压缩态（右）。

¹⁹ 关于量子化场相位概念的详细分析，见 D. T. Pegg 和 S. M. Barnett, Phys. Rev. A 39, 1665 (1989); J. Mod. Opt. 44, 225 (1997)。

压缩态可以在非线性光学过程中产生，例如参量下转换 (parametric down-conversion)——频率为 $\omega_{3}$ 的”泵浦”激光束入射到晶体上，产生频率为 $\omega_{1}$ 和 $\omega_{2}$ 的场，满足 $\omega_{3} = \omega_{1} + \omega_{2}$。²⁰ 在我们考虑的简并情况下，$\omega_{1} = \omega_{2} = \omega$ 且 $\omega_{3} = 2 \omega$。在下转换的最简单描述中，相互作用哈密顿量取为

即泵浦光子的湮灭（产生）伴随着两个频率为 $\omega$ 的光子的产生（湮灭）。常数 C 正比于表征晶体的非线性极化率。如果下转换的泵浦光束功率占比非常小（通常如此），则作为一阶近似可以忽略泵浦束的损耗，将其视为经典预定场，并假设其为常数。在此近似下，我们将 $C a_{3} ( t )$ 替换为数值常数 $\Omega$（为简单起见设为实数）乘以 $\exp ( - i \omega_{3} t )$：

描述下转换光时间演化的完整哈密顿量为

频率 $\Omega$ 正比于泵浦光的电场强度以及非线性极化率。利用此哈密顿量和对易子 $[ a , a^{\dagger 2} ] = 2 a^{\dagger}$，$a ( t )$ 的海森堡运动方程为

该方程的解为

容易验证 $[ a ( t ) , a^{\dagger} ( t ) ] = [ a ( 0 ) , a^{\dagger} ( 0 ) ] = 1$。

下转换光的电场算符为

其中

²⁰ D. Stoler, Phys. Rev. D 1, 3217 (1970); Phys. Rev. Lett. 33, 1397 (1974); L. A. Wu, H. J. Kimble, J. L. Hall, and H. Wu, Phys. Rev. Lett. 57, 2520 (1986)。

并且

假设在 $t = 0$ 时不存在下转换光，即下转换光的初始态是真空态 $| 0 \rangle$。于是，

且

换句话说，简并参量下转换产生的场处于压缩真空态。压缩已在各种非线性光学过程中被观测到，并在较小程度上在其他一些物理系统中也被观测到，例如，在短光脉冲照射下晶格中原子的位移中。

练习3.7：如果下转换光初始处于相干态而非真空态，(3.6.93)–(3.6.96)将如何变化？

3.6.5 热辐射与混沌辐射 (Thermal and Chaotic Radiation)#

黑体辐射 (blackbody radiation) 单模中的平均光子数为

如第2.8节所讨论的，在温度 $T$ 的热平衡下，频率 $\omega$ 处自发辐射与受激发射速率之比为

例如，太阳辐射谱可以很好地近似为 $T = 5800 \mathrm{K}$ 的普朗克分布 (Planck distribution)；在此温度和 600 nm 波长下，比值(3.6.98)约为 62。因此我们估计太阳光中约 98% 来自自发辐射过程。

由于 $\langle n ( \omega ) \rangle \ll 1$，这些温度和波长下的光子数涨落主要与第2.8节中爱因斯坦涨落公式(2.8.32)给出的粒子项相关。

对于频率为 $\omega$、温度为 $T$ 的热平衡场，光子占据概率 $p_{n}$ 可以很容易地从玻尔兹曼分布和 n 光子态的能量 $E_{n} = ( n + 1 / 2 ) \hbar \omega$ 推导得出：

其中 $\textstyle \left. n \right. = \sum_{n = 0} ^{\infty} n p_{n}$ 由(3.6.97)定义。因此，例如

且 $\langle \Delta n^{2} \rangle = \langle n \rangle^{2} + \langle n \rangle$。这些结果我们在第2.8节中已经讨论过，当然是热平衡下光子玻色-爱因斯坦统计的熟知结论。

从经典角度来看，我们可以将热平衡源的辐射视为大量偶极振子连续吸收和发射辐射产生的。例如，由于气体中的碰撞，偶极振荡不断被打断和重新定向，使得气体的辐射是均匀、各向同性、非偏振的，并且对于任意频率和偏振，都可以很好地描述为大量场的总和，这些场的相位在区间 [0, 2π] 上随机独立变化。因此，我们假设单一频率、传播方向和偏振的电场可以表示为

其中

$\langle \cos \Phi_{j} \rangle = \langle \sin \Phi_{j} \rangle = \langle \cos \Phi_{j} \sin \Phi_{j} \rangle = 0$，且 $\langle \cos \Phi_{i} \cos \Phi_{j} \rangle = \langle \sin \Phi_{i} \sin \Phi_{j} \rangle = \frac{1}{2} \delta_{i j}$。于是，

类似地，$\langle Y \rangle = 0$ 且 $\langle Y^{2} \rangle = \langle X^{2} \rangle$。大量独立随机变量之和的中心极限定理 (central limit theorem) 意味着 X 的高斯概率分布：

Y 的概率分布 $p_{Y} ( Y )$ 也类似。由于 X 和 Y 是独立随机变量，它们的联合概率分布 $p_{X Y} ( X , Y )$ 为

记 X = R cos θ, Y = R sin θ，并定义联合概率分布 $p_{R \Theta} ( R , \Theta )$ 使得

我们得到 R 的概率分布：

（周期平均）强度 $I = {\textstyle{\frac{1} {2}}} ( X^{2} + Y^{2} ) = {\textstyle{\frac{1} {2}}} R^{2}$，其概率分布 $p ( I )$ 满足 $p ( I ) d I = p_{R} ( R ) d R$；因此，$\overline{p} ( I ) = ( 1 / \sigma^{2} ) e^{- I / \sigma^{2}}$，或者，由于 $\sigma^{2} = \frac{1}{2} \langle R^{2} \rangle = \langle I \rangle$，

是大量具有随机不相关相位的场的总强度概率分布。由此可得

这推广了方程(2.9.1)。因此，这个经典模型重现了热辐射爱因斯坦涨落公式中的波动项。

事实上，这个基于中心极限定理的模型不仅适用于热平衡源的辐射，也适用于任何由大量辐射体（其场随机独立变化）产生的"混沌"(chaotic) 辐射。例如，荧光灯可以被视为混沌源。我们对(3.6.109)和(3.6.110)的推导适用于来自任何混沌源的单模辐射，特别是来自这种源的准单色偏振光束。对于任意偏振度 P，$0 \leq P \leq 1$，强度分布通过类似论证可得

P 定义为 $| I_{x} - I_{y} | / ( I_{x} + I_{y} )$，其中 $I_{x}$ 和 $I_{y}$ 是沿 z 方向传播、分别在（正交的）x 和 y 方向偏振的两个统计独立场的强度。

我们可以通过以下论证恢复同时解释"波"和"粒子"涨落的玻色-爱因斯坦分布。首先假设，如果场强为 I，则场中平均光子数为 κI，其中 κ 为常数。其次假设光子概率分布服从粒子散粒噪声 (shot noise) 特征的泊松分布，即当场强为 I 时，场中有 n 个光子的概率为

最后假设强度 I 的概率分布由(3.6.109)给出，因此我们将光子概率分布定义为

计算结果为

因此，通过同时调用波和粒子概念，我们得到了玻色-爱因斯坦分布(3.6.99)。虽然这个推导只是启发式的，但它在第3.8节中对(3.6.114)的更严格推导中得到了支持（见(3.8.22)）。

光子的玻色-爱因斯坦分布是不可区分粒子在热平衡下的分布，对可占据给定能级的粒子数或粒子总数没有限制。由于没有粒子数的限制，不存在更一般形式的玻色-爱因斯坦分布所特有的"化学势"(chemical potential)。这些光子性质当然隐含在推导(3.6.99)的过程中；特别是，该推导中的每个能级 $E_{n}$ 仅由光子数 n 表征，光子之间没有区分。

场的量子理论自然地解释了每个场模的光子是不可区分的玻色子这一事实。在我们遵循的最简场量子化方法中，这只是每个模是一个谐振子的直接结果：由(3.1.15)表示的 n 粒子（光子）态 $| n \rangle$ 对 n 个粒子的任何置换都是对称的。通过考虑场的角动量，我们表明这些玻色子自旋为 1。

3.6.6 Mandel Q 参数 (Mandel's Q Parameter)#

在量子化场理论中，单模光子数的方差对应于数算符 $n = a^{\dag} a$，可以表示为

其中

且

对场的任何态都成立。这种"波"和"粒子"部分的分离，紧密遵循了第2.8.2节中热辐射爱因斯坦涨落公式中波和粒子贡献的区分。对于热辐射场，$\langle \Delta n^{2} \rangle_{\mathrm{waves}} = \langle n \rangle^{2}$，或 $\langle n^{2} \rangle = 2 \langle n \rangle^{2} + \langle n \rangle$，因子 2 意味着光子聚束 (photon bunching)。如果场由相干态描述，则 $\langle \Delta n^{2} \rangle_{\mathrm{waves}} = 0$，且 $\langle \Delta n^{2} \rangle = \langle \Delta n^{2} \rangle_{\mathrm{particles}} = \langle n \rangle$。因此，相干态不表现出"波涨落"，所以没有光子聚束，而热辐射同时具有波和粒子涨落特征。

在确定光子数的（Fock）态情形下，$\langle \Delta n^{2} \rangle = 0$，因此从(3.6.115)得 $\langle \Delta n^{2} \rangle_{\mathrm{waves}} = - \langle n \rangle$。负的 $\langle \Delta n^{2} \rangle_{\mathrm{waves}}$ 是没有经典类比的量子场态的特征，如第3.8节所讨论的；因此，Fock 态可以说没有经典类比。Mandel Q 参数，

提供了一个非经典性的简单度量，负的 Q 对应于被认为非经典的场（见第3.8节）。²¹ 因此，相干态的 Q 为 0，热辐射的 Q 为 n，而 Fock 态 $Q = - 1$，是 Q 可能的最小负值。只要光子统计是亚泊松 (sub-Poissonian) 的，即 $\langle \Delta n^{2} \rangle < \langle n \rangle$，Q 就为负。

3.6.7 光子计数 (Photon Counting)#

我们现在考虑在某个积分时间 $T$ 内计数 n 个光子的概率 $P_{n} ( T )$，给定入射到光电探测器上的场强。所谓”计数光子”实际上是说，一个光子触发一个事件，例如发射一个光电子，在时间 $T$ 内这样的事件（”咔嗒声”）的平均数等于或至少正比于时间 $T$ 内入射到光电探测器上的平均光子数。理想情况下，咔嗒声的概率分布将忠实地反映入射场的光子概率分布。

我们假设在小区间 $\Delta t$ 内”计数一个光子”的概率 $p ( t ) \Delta t$ 正比于入射到探测器上的周期平均强度 $I ( t )$：

其中 η 取决于具体光电探测器的效率和其他性质。目前我们采用半经典方法，并假设（除其他事项外）我们可以忽略场强在探测器表面可能显著变化的可能性。

假设在连续的时间间隔 T 内对光子进行计数。每个间隔中记录的数量会变化，经过数千个这样的间隔后，我们实际上记录了在时间 $T$ 内计数的光子数的概率分布。在我们的半经典描述中，这个概率将取决于强度在时间 $T$ 上的积分，如下所示。

令 $P_{n} ( t )$ 是在时间区间 $[ 0 , t ]$ 内计数 n 个光子的概率。如果(3.6.119)中的 $\Delta t$ 选择得足够小，使得在 $\Delta t$ 时间内计数超过一个光子的概率可忽略，

也就是说，在时间区间 $[ t , t + \Delta t ]$ 内计数 n 个光子的概率等于：(1) 在时间 t 内计数 $n - 1$ 个光子的概率 $P_{n - 1} ( t )$ 乘以在 $\Delta t$ 时间内再计数一个光子的概率 $p ( t ) \Delta t$，加上 (2) 在时间 t 内计数 n 个光子的概率 $P_{n} ( t )$ 乘以在 $\Delta t$ 时间内没有计数任何光子的概率 $[ 1 - p ( t ) \Delta t ]$。取 $\Delta t \to 0$，则(3.6.120)变为

其解为

这是从 $t = 0$ 到 $t = T$ 的时间区间内计数 n 个光子的概率 $P_{n} ( T )$。

在实际的光子计数测量中，会有大量长度为 $T$ 的时间区间，每个区间有不同的”起始时间” t。为了考虑这一点，我们将(3.6.122)替换为

其中

而 $\langle \dots \rangle$ 表示对起始时间求平均。$P_{n} ( T )$ 的公式(3.6.123)最初由 Mandel 推导。²² 如果 X 具有概率分布 $P ( X )$，

这推广了(3.6.113)（或(3.8.22)）。

如果 X 与 t 无关，(3.6.123)退化为泊松分布：

平均计数为

与 t 无关，正比于时间 $T$ 内入射到探测器上的平均光子数。例如，如果 $I ( t )$ 具有恒定值 $I_{0}$，则 $\langle n \rangle = \eta I_{0} T$。即使在此恒定强度的情况下，我们也只能给出 $P_{n} ( T )$ 的（泊松）概率分布；这归根结底源于探测器材料的量子态之间的跃迁只能概率性地描述。

更一般地，无论实际的光子概率分布 $p_{n}$ 如何，只要计数时间间隔 $T$ 远大于表征强度涨落的相关时间 $\tau$，使得 $X \cong \eta \langle I \rangle T \equiv \langle n \rangle$（其中 $\langle I \rangle$ 是计数区间内的平均强度），就得到泊松分布：

相反，如果计数间隔 $T$ 远小于 $\tau$（$\tau$ 通常是入射场带宽的倒数），则 $X \cong \eta I ( t ) T$，X 的概率分布直接联系到强度 I 的概率分布 $P ( I )$。在这种情况下，(3.6.125)可以替换为

这样的表达式之前在混沌辐射的情况下基于直觉被假定过（见(3.6.113)）。

在(3.6.123)的推导中，场被经典处理。在量子化场方法中，我们需要场强度算符，在平面波近似下为

即光速 c 乘以光子数密度算符 $a^{\dagger} a / V$ 乘以光子能量 $\hbar \omega$。从自由空间电场算符的表达式(3.3.11)中，我们识别出单模电场的光子湮灭和产生部分，

和

用这些算符表示，强度算符(3.6.130)是正规序 (normally ordered) 乘积

半经典结果(3.6.123)被替换为

其中算符

记号 : A : 表示场湮灭和产生算符按正规序书写，即所有 a 出现在 $a^{\dagger}$ 的右侧：

$$

a^{\dagger} a: \equiv a^{\dagger} a, \quad : a a^{\dagger} \equiv a^{\dagger} a, \quad : (a^{\dagger} a) ^{2}: \equiv a^{\dagger} a^{\dagger} a a, \quad \text{等等.}\tag{3.6.136} $$

3.7 密度算符 (The Density Operator)#

在量子理论中，我们将可测量的动力学变量与一个厄米算符 (Hermitian operator) $A$ 相联系。²⁴ 此外，断言对 A 的任何单次测量将得到 A 的一个（实）本征值 a。如果测量到本征值 a，则之后系统立即由本征态 $| a \rangle$ 描述。在测量之前，描述系统的态可能是未知的，但如果对 A 的测量得到 a，我们可以确定地说系统随后”处于”A 的本征态 $| a \rangle$：测量给了我们关于系统的新信息，使得在测量之后我们可以确定地说系统处于 A 的本征态。与厄米算符 A 相关的可观测量的本征态 $| a \rangle$ 构成完备集，因此系统的任何态 ψ 都线性依赖于这些本征态：

求和遍及所有本征态 $| a \rangle$。当系统由这样的线性叠加描述时，A 的期望值为

$| c_{a} | ^{2} = | \langle a | \Psi \rangle | ^{2}$ 是对 A 的测量得到本征值 a 的概率。

当我们说系统由态矢量（或波函数）ψ 描述时，意味着我们对系统知识中的不确定性仅仅是量子理论所固有的。ψ 包含量子理论允许的关于系统的最大知识。理论上，我们假定已经对系统进行了足够多次测量以提供这种最大知识。然而，一般来说，我们不会有量子理论允许的关于系统的最大知识，而只能说系统以一定概率 $p_{\Psi}$ “处于”态矢量 ψ 所描述的态。在这种情况下，可观测量 A 的期望值为

因此，一般来说我们必须处理两种不确定性：一种是当态矢量精确已知时不可避免的量子力学不确定性，另一种源于我们对态矢量具体是什么的不精确知识。如果通过足够多次测量，我们可以用态矢量 ψ 描述系统，那么我们对系统的预测中的不确定性纯粹是量子力学的。由态矢量描述的系统称为处于纯态 (pure state)。如果我们的知识不足以用态矢量描述系统，而只能为不同的态矢量分配概率 $p_{\Psi}$，那么我们预测中的不确定性来自两种不确定性的混合。这种情况下我们对系统的描述称为基于混合态 (mixed state)。

为了处理混合态，我们引入（厄米的）密度算符 (density operator)，它是投影算符的叠加：

其中 $p_{\Psi}$ 作为概率，是满足 $p_{\Psi} \geq 0$ 且 $\sum_{\Psi} p_{\Psi} = 1$ 的实数。当然，我们可以用系统的任何完备态集 $\{| i \rangle\}$ 来表示 $\rho$：

其中

是所选特定表示（基矢的完备集 $\{| i \rangle \}$）下的密度矩阵元。显然，在任何表示中 $\rho_{i i} \geq 0$，因为 $p_{\Psi}$ 和 $| \langle i | \Psi \rangle | ^{2}$ 都是正定的。

可观测量 A 的期望值用密度算符表示为

密度算符的迹在任何表示中都为 1：

另一个基本性质源于 $\rho$ 是厄米的，因此总可以通过幺正变换对角化。也就是说，我们总可以选择一个表示 $\{| k \rangle \}$，在其中密度矩阵是对角的。在这样的表示中，”纯度”(purity) 为

由于 Trρ = 1，即 $\sum_{k} \rho_{k k} = 1$，且 $\sum_{k} \rho_{k k} ^{2} \leq \big( \sum_{k} \rho_{k k} \big) ^{2}$，

当处于纯态时等号成立：$\rho = | \psi \rangle \langle \psi |$ 且

表征一个由密度算符 $\rho$ 描述的态与纯态偏离程度的量是冯-诺依曼熵 (von Neumann entropy)：

其中 $p_{i}$ 是矩阵 $\rho$ 的本征值。对于纯态，$\rho = | \Psi \rangle \langle \Psi |$，$S = 0$，即其最小可能值。

例如，对于热平衡下的单场模（谐振子），密度算符为

其中配分函数 (partition function) 为

我们可以用完备的 Fock 态集表示 $\rho$：

其中

因此（见(3.6.99)），热场单模的密度矩阵具有 Fock 态表示

3.7.1 特征函数 (Characteristic Function)#

与经典概率论一样，我们可以引入一个可用于推导概率分布的特征函数。对于可观测量 A，特征函数定义为

由此定义可得 A 的各幂次期望值为

假设 $C_{A} ( \xi )$ 可微。由于 $| \Psi ( t ) \rangle$ 可以表示为 $\sum_{n} a_{n} ( t ) | A_{n} \rangle$，其中 $\{| A_{n} \rangle \}$ 是 A 的完全（且正交归一）的本征态集，对应（实）本征值 $A_{n}$，

$p ( A_{n} )$ 是对可观测量 A 的测量得到数值 $A_{n}$ 的概率。我们推导(3.7.21)时仿佛 A 具有纯离散谱，但它当然也可能有连续谱。假设得到数值 $\mathcal{A}$ 的概率分布函数 $p ( \mathcal{A} )$ 是平方可积的，我们可以利用(3.7.21)将其表示为特征函数的傅里叶变换：

在练习 3.9 中，这个公式被用于获得热辐射电场的概率分布。

(3.7.20)所示的矩可能并不总是存在。例如，（平方可积的）洛伦兹分布

的矩是无穷大。在此例中，

不可微。洛伦兹分布通常能很好地近似谱线形状，但不应该对远离线心的频率过于认真。

3.7.2 光子数概率的生成函数 (Generating Function for Photon Number Probability)#

另一个有用的函数是

即单模场光子数概率 $p_{n}$ 的矩生成函数 (moment generating function)，它与光子数概率的特征函数 $C ( \xi )$ 相关：

它还与正规序期望值相关：

如下所示。将态矢量按完备的光子数态集展开：

由于

依此类推，

为了后续使用，我们计算泊松分布和玻色-爱因斯坦分布的生成函数 $p ( \xi )$。对于泊松分布，

而对于玻色-爱因斯坦分布，

我们还引入反正规序期望值

容易证明它与生成函数 $p ( \xi )$ 的关系为

或作替换 $\xi \to 1 - 1 / \xi$ 后

$F_{N} ( {\boldsymbol{\xi}} )$ 和 $F_{A} ( \xi )$ 将分别在计算线性衰减器和放大器的光子统计中发挥作用（第6.10节）。

3.8 密度算符的相干态表示#

当然，任何完备的态集合都可以用于定义密度算符。用相干态来表示，

这里我们使用了 (3.6.24)。采用类似推导 (3.6.30) 的方法，我们将 $\langle \alpha \vert \boldsymbol{\rho} \vert \beta \rangle$ 用福克态展开：

因此

我们之前表明，任意态矢量在相干态中有唯一的展开，其中 (3.6.30) 中的函数 $f ( \alpha )$ 是整解析函数（entire analytic function）。通过类似的论证，我们可以假设 $R ( \alpha^{*} , \beta )$ 是复变量 $\alpha^{*}$ 和 $\beta$ 的整解析函数。那么，类似于一个在任意实区间上为零的解析函数（如 $f ( \alpha )$）必定处处为零的事实，函数 $R ( \alpha^{*} , \beta )$ 如果在 $\beta = \alpha$ 时为零，则必定处处为零。因此如果

且 $R_{1} ( \alpha^{*} , \alpha ) = R_{2} ( \alpha^{*} , \alpha )$，则 $R_{1} ( \alpha^{*} , \beta ) - R_{2} ( \alpha^{*} , \beta )$ 必须恒为零，因此 ${\rho} _{1} = {\rho} _{2}$。由此可知，$\rho$ 在相干态表示中的对角元 $\langle \alpha | \rho | \alpha \rangle = \exp ( - 2 | \alpha | ^{2} ) R ( \alpha^{*} , \alpha )$ 唯一地确定了算符 $\rho$。类似于 (3.6.31) 的推导，容易证明 (3.8.3) 可以反演得到

方程 (3.8.3) 是密度算符的非对角表示。我们经常需要计算正规序积的期望值，其中产生算符 $a^{\dagger}$ 出现在湮灭算符 $a$ 的左侧；正规序积最简单的例子是光子数算符 $a^{\dagger} a$。如果密度算符的相干态表示是对角的，即

那么正规序期望值的计算就会简化。例如，

因为 ${a | \alpha \rangle} = \alpha | \alpha \rangle$ 且 $\langle \alpha | a^{\dagger} = \langle \alpha | \alpha^{*}$。类似地，

正规序场积的期望值的相关性部分源于它们在基于光吸收（所有实际的光电探测器都是如此）的光电探测理论中的出现（参见附录 C）。

值得注意的是，任何场态的密度算符都具有对角表示。这种用相干态表示的对角表示 (3.8.7) 通常称为密度算符的 P 表示。我们可以如下推导 $P ( \alpha )$ 的表达式。我们使用 (3.6.21) 写出 $\langle \alpha \vert \boldsymbol{\rho} \vert \alpha \rangle$，如前所述，它唯一地确定了 $\rho$：

将复数 $\alpha$ 和 $\beta$ 用实数 $x , y$ 和 $x^{\prime} , y^{\prime}$ 表示（$\alpha = x + i y$ 且 $\beta = x^{\prime} + i y^{\prime}$），我们将 (3.8.10) 重写为

用傅里叶变换可以简化这个表达式：

和

经过直接的代数运算和积分，得到

和

再次考虑单模热辐射的例子，其用福克态表示的对角密度算符由 (3.7.17) 给出。由 (3.7.17) 和 (3.6.26)，

or, equivalently,

where, again, $\langle n \rangle = ( e^{\hbar \omega / k_{B} T} - 1 ) ^{- 1}$ and we have defined $s = e^{- \hbar \omega / k_{B} T}$ . It now follows from (3.8.12)–(3.8.15) that

or

这就是单模热辐射的 P 分布函数。从它出发，我们可以恢复熟悉的结果，如

和

将 $| \alpha | ^{2} = \kappa I$ 和 $\langle n \rangle = \langle \kappa I \rangle$ 代入，我们可以将第一行中的积分写成

这正是在 第3.6节 中 $p_{n}$ 的启发式推导中所得到的积分 (3.6.113)。如那里所述，高斯分布（(3.6.106) 或 (3.8.19)）是任何”混沌”场（chaotic field）的特征，热辐射场只是其中的一个例子。

热辐射也是平稳场（stationary field）的一个例子，其用密度算符 $\rho$ 描述的表示与时间无关，即 $\rho$ 与哈密顿量对易。换句话说，$\rho$ 仅是 $a^{\dagger} a$ 的函数，而不是单独依赖于 $a$ 或 $a^{\dagger}$。因此，平稳场由在福克态基下对角的密度算符描述，并且在平稳场的密度算符的 P 表示中，$P ( \alpha )$ 仅依赖于 $| \alpha | ^{2}$，如热辐射的 (3.8.19) 所示。

方程 (3.8.7) 和 $\mathrm{T r} \rho = 1$ 意味着

这暗示了将 $P ( \alpha )$ 解释为 $\alpha$ 的概率密度的可能性。这通常是一个有用的解释，但一般来说，$P ( \alpha )$ 并非对所有 $\alpha$ 都是正定的，因此不能被视为概率密度。考虑一个 Mandel Q 参数为负的场态。如果 $P ( \alpha )$ 是该态的 P 分布，那么由 (3.6.117) 可知

是负的，因此 $P ( \alpha )$ 不可能对所有 $\alpha$ 值都是正定的。非正定的 P 分布不能成为经典意义上的概率分布，因此它是具有纯经典理论无法解释的性质的场的特征。如 (3.6.118) 之后所述，福克态就是这种非经典场（nonclassical field）的一个例子。福克态 $| n \rangle$ 的 P 分布可容易地从 (3.8.10) 和 $\rho = | {n} \rangle \langle{n} |$ 推导出

这意味着

多模场的密度算符的 P 表示形式为

其中 $a_{\beta} | \alpha_{\beta} \rangle = \alpha_{\beta} | \alpha_{\beta} \rangle$，且 $\{\alpha_{\beta} \}$ 代表 $\alpha_{1} , \alpha_{2} , \ldots$。对于热辐射，

其中 $\langle n_{\beta} \rangle$ 是模式 $\beta$ 的平均光子数；这是 (3.8.19) 的多模推广。

密度算符在相干态基下的对角表示由 R. J. Glauber 和 E. C. G. Sudarshan 独立引入。²⁵ 场湮灭和产生算符按正规序排列的函数 $f^{( N )} ( a , a^{\dagger} )$ 的期望值为

这表明正规序场算符的量子力学期望值 $\langle \dots \cdot \rangle$ 与相应的关于 $P ( \alpha )$ 的 c 数平均值 $\langle . . . \rangle_{P}$ 之间存在形式上的等价性。因此，如果 $P ( \alpha )$ 被视为概率分布，那么正规序场算符的期望值实际上就简化为 $\alpha$ 在复平面上分布 $P ( \alpha )$ 的经典平均值。这首先由 Sudarshan 认识到，后来被称为光学等价定理（optical equivalence theorem）。正如我们所指出的，$P ( \alpha )$ 并不总可以被视为概率分布。

P 表示便于计算正规序算符积的期望值，由于上述原因以及附录 C 中给出的原因，这些期望值在量子光学中经常出现。还可以引入密度算符的其他表示（例如 Q 表示和 Wigner 表示），以方便计算不同排序的光子产生和湮灭算符（如反正规序或对称序）的期望值。²⁶

3.9 关联函数#

考虑正规序”一阶”关联函数

$x_{j}$ 表示 $( \mathbf{r} _{j} , t_{j} )$，${\cal E} ^{( + )} ( {\bf r} , t ) ~ ( = {\cal E} ^{( - )} ( {\bf r} , t ) ^{\dagger} )$ 是电场算符”正频”部分的单偏振分量，为方便起见，我们将其简写为

对于混沌场（其 P 分布 (3.8.28) 仅依赖于模量 $| \alpha_{\beta} | ^{2}$），

$\langle n_{\beta} \rangle = \langle a_{\beta} ^{\dagger} a_{\beta} \rangle$ 是频率 $\omega_{\beta}$ 处的平均光子数。通过更多代数运算，利用高斯函数 (3.8.28)，我们还发现”二阶”正规序关联函数为

对于混沌场成立。这是任何由具有高斯形式 (3.8.28) 的 P 表示的密度算符描述的场的普遍结果：所有涉及 n 个 $E^{( - )}$ 与 n 个 $E^{( + )}$ 的正规序乘积的关联函数 $G^{( n )} ( x_{1} ; x_{2} ; . . . . . x_{2 n} )$ 都可以表示为一阶关联函数乘积的和。因此，一阶关联函数 $G^{( 1 )}$ 决定了所有高阶关联函数。特别地，

这个正规序关联函数的形式与混沌光经典模型中推导出的表达式 (3.6.110) 相同。

多模相干场的密度矩阵就是 $| \{\alpha_{\beta} \} \rangle \langle \{\alpha_{\beta} \} |$。对于这样的场，

所有高阶关联函数 $G^{( n )}$ 同样可以因式分解。

$G^{( 1 )} ( x_{1} , x_{2} )$ 用于描述一阶干涉效应，例如在 Michelson 和 Mach-Zehnder 干涉仪中观察到的效应，而 $G^{( 2 )} ( x_{1} ; x_{2} ; x_{3} ; x_{4} )$ 则涉及二阶干涉效应，如光子群聚（photon bunching）。二阶以上的关联函数迄今为止尚未引起太多实际兴趣，因为它们所描述的测量非常复杂。

我们通过忽略偏振进行了简化。更一般地，正规序关联函数定义如下：

等等，其中下标表示（算符）电场矢量的分量。

如前所述，正规序场关联函数与涉及光子吸收的测量有关。实际的光子探测器以某种方式通过光子吸收工作。反正规序关联函数将用于描述基于光子发射的光子探测器。

黑体辐射的正规序场关联函数已被解析和数值地评估。²⁷ 例如，

这可由 (3.9.3) 和场的平面波展开 $( | C_{\beta} ( \mathbf{r} ) | ^{2} = | C_{\mathbf{k} \lambda} | ^{2} = \hbar \omega_{k} / 2 \epsilon_{0} V )$ 得到。在模式连续极限 $( V \to \infty )$ 下，

对于 $\tau$ 大于 $\hbar / k_{B} T$ 的几个倍数时，这非常小，室温下约为 $\approx 3 \times 10^{- 14}$ s。用黑体光谱峰值处的波长 $\lambda_{\operatorname* {m a x}} \approx \hbar c / k_{B} T$ 来表示，关联函数 (3.9.12) 对于 $\tau$ 远大于 $\lambda_{\operatorname* {m a x}} / c$ 的时间几乎为零。同样，$\langle \mathbf{E} ^{( - )} ( \mathbf{r} , t ) \cdot \mathbf{E} ^{( + )} ( \mathbf{r} + \mathbf{R} , t ) \rangle$ 对于 R 远大于 $\lambda_{\mathrm{max}}$ 非常小。

对称序关联函数类似地为

对于黑体辐射；最后一项”零点”项不出现在正规序关联函数 (3.9.12) 中，它源于每个场模式都满足 $\langle a_{\beta} a_{\beta} ^{\dagger} \rangle = \langle a_{\beta} ^{\dagger} a_{\beta} \rangle + 1 = \langle n_{\beta} \rangle + 1 = ( e^{\hbar \omega_{\beta} / k_{B} T} - 1 ) ^{- 1} + 1$ 这一事实。特别地，能量密度期望值为

其中 $\rho ( \omega )$ 是 Planck 黑体光谱，在 (2.8.3) 中给出，而 $\rho_{0} ( \omega ) = \hbar \omega^{3} / 2 \pi^{2} c^{3}$ 是真空（零点）场 $( T = 0 )$ 的光谱。²⁸

(3.9.13) 中依赖于温度的部分是

$b = \pi k_{B} T / \hbar$。我们如下评估与温度无关的（零点）项：

于是

当 $T \to 0$ 时

3.10 场对易子与不确定关系#

光子湮灭和产生算符的对易关系 (3.3.15) 隐含了电场和磁场算符的对易关系。因此，由 (3.3.9)，

这里我们利用了 $k$ 和 $-k$ 对平面波模式求和的贡献相等的性质。由于自由空间中的电场算符为 $\mathbf{E} = - \partial \mathbf{A} / \partial t$，

下面将证明这等价于

为得到 (3.10.3)，我们首先证明

这是因为 $\hat{\mathbf{k}} , \ \mathbf{e} _{\mathbf{k} 1}$ 和 $\mathbf{e_{k 2}}$ 是三个正交的单位矢量，所以对任意矢量 a 有

那么，对于任意两个矢量 a 和 b，点积为

由此可得 (3.10.5)。

接下来，我们使用 (3.3.18) 将 (3.10.2) 替换为

通常定义

代入 (3.10.8) 即得 (3.10.3) 的形式。

类似地可以得到其他 "Pauli-Jordan" 对易关系，如

其中 $\epsilon_{i j k}$ 是（三维）Levi-Civita 符号。²⁹ 因此，

另一个重要的对易关系可以通过对 (3.10.1) 关于 $t_{2}$ 求导，然后令 $t_{2} = t_{1} = t$ 得到。由于 ${\partial{\bf A} ( {\bf r} , t )} / {\partial t} = - {\bf E} ^{\scriptscriptstyle \perp} ( {\bf r} , t )$ ，我们得到等时对易关系

（横向和纵向 delta 函数 $\delta_{i j} ^{\perp} ( \mathbf{r} )$ 和 $\delta_{i j} ^{\parallel} ( \mathbf{r} )$ 在附录 B 中复习。）

这些场对易关系对两个时空点 $( \mathbf{r} _{1} , t_{1} )$ 和 $( \mathbf{r} _{2} , t_{2} )$ 处场的可同时测量性施加了约束。具体而言，(3.10.3) 意味着，当这两个点无法通过以光速 $c$ 传播的信号”连接”时，即当 $| \mathbf{r} _{1} - \mathbf{r} _{2} | \neq \pm c ( t_{1} - t_{2} )$ 时，电场强度可以在 $( \mathbf{r} _{1} , t_{1} )$ 和 $( \mathbf{r} _{2} , t_{2} )$ 处同时测量。如果 $( \mathbf{r} _{1} , t_{1} )$ 和 $( \mathbf{r} _{2} , t_{2} )$ 存在这种连接，则这两个时空点的电场算符不对易，因此无法同时测量。等时对易子 $[ E_{i} ( \mathbf{r} _{1} , t ) , E_{j} ( \mathbf{r} _{2} , t ) ]$ 和 $[ B_{i} ( {\bf r} _{1} , t ) , B_{j} ( {\bf r} _{2} , t ) ]$ 为零（参见 (3.10.2)），因此在任意同一时刻，可以在空间中两点处以任意精度测量电场（或磁场）强度。然而，对易子 (3.10.11) 在 $t_{1} = t_{2}$ 时并不为零，因此在固定时刻无法同时测量空间中不同点处的电场和磁场的不同分量；这一点将在下文进一步讨论。这些问题由 Bohr 和 Rosenfeld 进行了严格分析。³⁰

例如，$E_{x} ( \mathbf{r} _{1} , t )$ 和 $E_{x} ( \mathbf{r} _{2} , t )$ 是否可以同时以任意精度测量，这一问题曾受到 Landau 和 Peierls 的质疑。他们特别指出，运动的”测试体”的场会干扰待测（通过其对测试体的效应推断出的）场本身。据 Schweber 所述，”Bohr 强烈反对 Landau 和 Peierls 所表达的观点，并在与 Rosenfeld 合作的著名论文中证明他们的主张是错误的……Bohr 和 Rosenfeld 指出，点测量是不可能的，因为必须使用扩展的测试体来进行场测量。唯一的可观测量是场算符的空间平均。他们表明，原则上可以构造出以任意精度测量有限体积（或有限时间）上平均的场分量的装置。Bohr 和 Rosenfeld 进一步证明了电磁场分量对易规则所隐含的不确定关系的一致性。”³¹

空间中不同点和不同时间处的场算符通常不对易，因此”同时”测量不同点和不同时间处的场的精度存在限制——这一事实是量子理论一致性的要求。例如，电子的 Heisenberg 位置-动量不确定关系必须蕴含来自电子的任意电磁场的不确定关系。换句话说，我们不能一致地将物质用量子力学处理而将辐射用经典理论处理——反之亦然。例如，半经典辐射理论在这个意义上根本不一致，因此它无法描述光与物质相互作用的每一个方面也就不足为奇了。

对于具有有限质量的粒子，对易关系 $[ x , p_{x} ] = i \hbar$ 蕴含了最小不确定度乘积 $\Delta x \Delta p_{x} = \hbar / 2$ 。有一些著名的思想实验，例如 Heisenberg 显微镜，很好地说明了这一点；它们以这样或那样的方式援引了 de Broglie 关系 $\lambda = h / | \mathbf{p} |$ 。现在，说电磁场对易关系蕴含了场测量的最小不确定度乘积固然是好的，但要通过思想实验的分析来支持这一结论绝非易事。Pais 写道：”从几十年来与量子场论的接触中，我可以证明 [Bohr–Rosenfeld 论文] 被极少数的爱好者阅读过。我认为主要原因是，即使按照 Bohr 的标准，这篇论文也非常难以理解。需要格外小心和耐心才能跟上 Bohr 那些往往相当复杂的关于测试体的推演。此外，文章的核心信息——在量子电动力学中，可测量性与对易关系是兼容的，就像在量子力学中一样——得到了热烈的欢呼——之后专业人士继续从事他们正在进行的任何计算。正如我和 Bohr 的一位朋友曾对我说的：’这是一篇很好的论文，你不需要去读它。你只需要知道它存在就行了。’然而，像 Pauli 和 Heitler 这样的人确实非常仔细地阅读了它。”³²

Bohr 和 Rosenfeld 证明了”在量子电动力学中，可测量性与对易关系是兼容的，就像在量子力学中一样。”³³ 也就是说，他们表明电场和磁场强度原则上可以被测量的精度，与场对易子所蕴含的不确定关系是兼容的。我们将采取一种通俗的方法来理解他们分析的要点。

首先考虑场对易子告诉我们关于场可测量精度的信息。任何电场强度的测量都需要在有限的空间区域和有限的时间间隔上进行平均——这似乎是 Heisenberg 首先强调的一点。因此，我们定义算符

这里 $\Omega_{1} = V_{1} T_{1}$ ，其中 $V_{1}$ 和 $T_{1}$ 分别是测量电场 x 分量所涉及的空间体积元和时间间隔。类似地，

表示对应于时空体积 $\Omega_{2} ~ = ~ V_{2} T_{2}$ 中电场 x 分量的时空平均的算符。一般的不确定关系（参见 (3.12.6)）$\Delta A \Delta B \ge{\textstyle{\frac{1} {2}}} | \langle A , B \rangle |$ 意味着 $\Omega_{1}$ 和 $\Omega_{2}$ 中时空平均电场的最小不确定度乘积为

这里我们假定 $t_{2} > t_{1}$ 。

现在考虑采用电荷 $Q$ 均匀分布在体积 $V_{1}$ 上的测试体进行的电场测量。电场 $\overline{{E}} _{x} ( \Omega_{1} )$ 是对体积 $V_{1}$ 和时间间隔 $T_{1}$ 的平均，它由测试体线性动量的测量变化推断得出。这个动量变化就是测试体上的平均力 $Q {\overline{{E}}} _{x} ( \Omega_{1} )$ 乘以时间 $T_{1} \colon Q T_{1} \overline{{E}} _{x} ( \Omega_{1} )$ 。但这样得到的平均场必然存在某种不确定度 $\Delta \overline{{E}} _{x} ( \Omega_{1} )$ ，因为根据 Heisenberg 不确定关系，测量动量至少存在 $\hbar / 2 \Delta x$ 的不确定度，其中 $\Delta x$ 是测试体初始位置的不确定度。换句话说，从电场对测试体施加的力推断出的平均电场 x 分量至少存在以下不确定度：

测试体的位置不确定度 $\Delta x$ 还意味着在 $\left( \mathbf{r} _{2} , t_{2} \right) \ \left( t_{2} > t_{1} \right)$ 处的标量势 $\Phi$ 至少存在不确定度 $\Delta \Phi ( \mathbf{r} _{2} , t_{2} ) \cong [ \partial \Phi ( \mathbf{r} _{2} , t_{2} ) / \partial x_{1} ] \Delta x$ ，这是由测试体引起的：

这蕴含了在体积元 $V_{2}$ 和时间间隔 $T_{2}$ 上平均电场的不确定度。这个不确定度的大小为

将这一表达式乘以 (3.10.17) 得到

它独立于测试体的电荷 $Q$ 。这个结果是通过考虑与测试体相关联的标量势得到的，它恰好给出了 (3.10.16) 中被积函数中含有 $\partial^{2} / \partial x_{1} \partial x_{2}$ 的部分。(3.10.16) 的其余部分，即涉及 $\partial^{2} / \partial t_{1} \partial t_{2}$ 的部分，可以用类似方法证明来自矢势。因此，我们得到了所需的结论：从测试体的位置-动量不确定关系推导出的最小不确定度乘积 $\Delta \overline{{E}} _{x} ( \Omega_{1} ) \Delta \overline{{E}} _{x} ( \Omega_{2} )$ 正是对易子 (3.10.3) 所隐含的电场不确定关系所预期的结果。

上述论证做了若干简化，包括假设测试体处的平均外场 $\overline{{E}} _{x}$ 可以在本质上经典地描述，作用于测试体的辐射反作用场可以忽略，以及测试体本身可以视为刚体。同时还假设了对易关系 (3.10.3)——它是在真空中（”自由”）场推导出的——在测试体存在的情况下仍然成立，至少在足够好的近似程度上成立。这些及其他假设在 Bohr–Rosenfeld 论文中得到了论证。³⁴

指出电场和磁场算符不同正交分量之间的对易关系 (3.10.11) 与物质粒子不确定关系所隐含的这些分量测量中的不确定度之间的一致性，也是很有启发性的。由 (3.10.11) 可得

这一等时自由场对易子最容易直接从电场和磁场算符的表达式 (3.3.11) 和 (3.3.12) 分别推导得出。现在，我们定义在小空间区域（体积 $V \sim ( \delta \ell ) ^{3}$ ）上平均的场算符，并按照推导 (3.10.16) 的相同方法，得到不确定关系

这是针对在体积 V 上平均的场 $E_{x}$ 和 $B_{y}$ 的。该关系由 Heisenberg 在 1929 年得到。³⁵

Heisenberg 给出了另一个例子，表明不确定关系 (3.10.22) 与带电粒子的位置-动量不确定关系是兼容的。他考虑了两束带电粒子束，速度分别为 $\pm v_{y}$ ，在小体积中受到电场 $E_{x}$ 和磁场 $B_{z}$ 的作用（见图 3.3）。每束粒子在 z 方向的宽度为 $\delta \ell$ ，在 x 方向的宽度为 $d < \delta \ell$ ，两束粒子之间的间距为 $\sim \delta \ell$ 。$\delta \ell$ 足够小，使得体积 $\delta \ell^{3}$ 中的电场和磁场近似均匀。每个粒子具有电荷 e 和质量 m。

图 3.3 两束反向运动的带电粒子束，每束沿 x 方向的宽度为 d，受到沿 x 方向的电场和沿 z 方向的磁场的偏转。所示盒子的体积为 $\delta \ell^{3}$ 。来自 Heisenberg，图 13，经许可使用。

作用在其上的力为 $F = m a = e ( E_{x} \pm v_{y} B_{z} )$ ，因此它在沿 y 方向穿越距离 $\delta \ell$ 后，沿 x 方向的位移为

可以通过观察角偏转来推断场 $E_{x}$ 和 $B_{z}$：

例如，

由于每个粒子的”衍射”角由其 de Broglie 波长 $h / | {\bf p} | \cong h / p_{y}$ 除以宽度 $d$ 给出，因此角发散 $\alpha_{+} - \alpha_{-} \sim 2 \pi \hbar / ( p_{y} d )$ ，这意味着推断出的 $B_{z}$ 具有不确定度：

每个粒子都感受到另一束中电荷的电场。由于束间距 $\approx \delta \ell$ ，该场的不确定度为

因此

与 (3.10.21) 和 (3.10.22) 一致。

练习 3.11：(a) 利用形式恒等式 $\delta^{\prime} ( r ) / r = - 2 \pi \delta^{3} ( \mathbf{r} )$ 证明 (3.10.21) 可由 (3.10.11) 导出。(b) 再次利用不确定关系 $\Delta A \Delta B \geq{\textstyle{\frac{1} {2}}} | \langle A , B \rangle |$ ，验证 (3.10.22)。

3.11 互补性：光的波动与粒子描述#

与不确定关系的定量特征不同，Bohr 的互补性原理本质上是定性的：某些概念——例如电子或光的波动与粒子描述——是互斥的（”互补的”）。我们是倾向于用粒子概念还是波动概念来看待光，取决于我们所做的测量类型。在选择特定的实验安排时，我们实际上是在选择这些互补概念中哪一个最适合解释实验结果。

再次考虑原子自发辐射时的反冲（第 2.3 节），想象一个能够以高精度确定原子反冲方向的实验。那么，根据线性动量守恒，我们也能以高精度知道辐射的发射方向；在这样的实验中，辐射被描述为高度定向的。然而，如果实验将原子限制在一个比辐射波长还小的空间区域中，观察到的原子反冲方向并不能明确地定义辐射的发射方向。”表示发射辐射的 Maxwell 方程的特定解取决于原子质心坐标已知的精度。”³⁶ 如果不指定实验安排，而将辐射视为定向或非定向的，或视为粒子或波，这在实践中毫无意义。

一个著名的说明波动与粒子属性互补性质的例子是电子在双缝实验中的衍射。我们观察到干涉图样的累积，而该实验无法确定电子通过哪条狭缝。但是，任何能够完全确定电子路径的测量都会导致干涉图样的消失。例如，如果我们通过测量包含双缝的板的反冲动量来推断电子的路径，我们会发现板位置随之产生的不确定度足以抹去干涉图样。同样的考虑也适用于光的衍射。³⁷

互补性的暗示也出现在经典波动理论中。考虑基于单色场的远场（Fraunhofer）衍射积分的经典双缝实验理论。假设狭缝的放置方式使得入射到输入平面 $z = 0$ 上的场的振幅透射函数为

其中矩形函数 rect $( x ) = 1$ ，若 $| x | \leq 1 / 2$，否则为 0。那么，对于每个狭缝的均匀照明，观察平面中点 $( x , y , z )$ 处的场为

其中 $\lambda = 2 \pi / k$ 是波长，$\mathcal{E} _{1}$ 和 ${\mathcal{E}} _{2}$ 是狭缝处的恒定场振幅。³⁸ 用狭缝处的强度 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 表示，观察平面处的强度为

或

其中我们记 $\mathcal{E} _{1} = | \mathcal{E} _{1} | e^{i \Phi_{1}} , \mathcal{E} _{2} = | \mathcal{E} _{2} | e^{i \Phi_{2}}$ ，并定义 $\Phi = 2 \pi i y \Delta / \lambda z +$ $\Phi_{2} - \Phi_{1}$ 。观察平面上干涉图样的条纹可见度（fringe visibility），作为波动干涉的一种度量，为

我们还定义对比度（contrast）

由这些定义可得

这表明了狭缝处场强之差与观察平面上干涉程度之间的互补关系：两个狭缝处场的对比度或”可区分性”越大，波动干涉就越小。

更一般地，场会经历涨落，实际测量的是涨落的平均……。于是，我们用下式替换 (3.11.4)：

其中”复相干度”（complex degree of coherence）³⁹

用平均强度类似地定义可见度 V，我们得到 (3.11.7) 的推广：

由于 $0 \leq | \gamma | \leq 1$ ，一般情况下有

在量子理论中，当存在两条到达末态的路径时，一般关系 $K^{2} + V^{2} \leq 1$ 成立。⁴⁰ K 和 V 分别表示”哪条路径”的可区分性和干涉，而 $K^{2} + V^{2} \leq 1$ 表达了路径可区分性与量子力学干涉之间的互补关系。它源于概率振幅的求和，以及双通道过程的概率是和的模平方这一事实，类似于经典双缝示例中两个场之和的平方得到强度。

光子的能量公式 $E = h \nu$ 已经向我们呈现了一种波粒二象性：E 是光子的能量，而 ν 是波的频率。Bohr、Kramers 和 Slater 在 1924 年提出，当一个原子从能量为 $E_{2}$ 的状态自发跃迁到能量为 $E_{1} = E_{2} - h \nu$ 的状态时，辐射可能采取有限持续时间的连续经典波的形式，而非瞬时发射的光量子；在 Bohr–Kramers–Slater 理论中，能量仅在统计意义上守恒，而非在单个跃迁中守恒。这一观点被 Einstein 拒绝，他提出了一项实验来检验辐射的发射是瞬时的还是时间上连续的。该实验的理想化概念如图 3.4 所示。一个速度为 v 的原子通过宽度为 $d$ 的狭缝，并向狭缝后方的光谱仪发射辐射。根据 Heisenberg 的说法，这个实验呈现了一个悖论：从辐射为连续波的观点来看，到达光谱仪的辐射具有频率带宽

因为到达光谱仪的波包具有有限持续时间 $d / v$ 。但是，从辐射以频率为 ν 的光量子形式瞬时发射的观点来看，似乎不应该有这样的谱宽：”原子发射单色辐射，每个粒子的能量为 hν，而光阑（由于其巨大的质量）无法改变粒子的能量。”⁴¹ 这一论证中缺少的是狭缝对光的衍射和 Doppler 效应。如果 θ 是由狭缝引起的光的角展宽，则光谱仪处的 Doppler 频移为

与 (3.11.12) 一致。换句话说，原子辐射的”连续波”和”瞬时”图像预测了相同的频率展宽。

Einstein 最初建议的实验涉及穿过金属丝栅格的极隧射线（canal rays）。（”极隧射线”在当时术语中，是指穿过放电管阴极孔洞进入阴极后真空间隙的原子和离子流。）Einstein 很快意识到，与他的初始预期——这样的实验会证实辐射的”瞬时”性质——相反，无论辐射是瞬时的还是连续的，实验都应给出相同的结果。1926 年，E. Rupp 报告了实验，他使用 Michelson 干涉仪测量了穿过狭缝的极隧射线辐射的相干长度 $c / \Delta v$ 。据称 Rupp 的实验支持了 Einstein 修正后的预期，即相干长度应与连续波理论的预期一致。Heisenberg 在他的书中引用了 Rupp 的实验，章节标题为”Einstein 和 Rupp 的实验”，但有理由相信，Rupp——当时被视为世界领先的实验物理学家之一——报告的这项及其他实验是伪造的。⁴²

图 3.4 “Einstein–Rupp 实验”示意图，其中原子穿过宽度为 d 的狭缝。放置在狭缝后方的光谱仪用于分析来自原子的辐射。

Bohr–Kramers–Slater 理论早于 1924 年被 Bothe–Geiger 实验排除。根据 Bohr–Kramers–Slater 理论，电子反冲的时间与散射光子出现的时间之间存在（随机的）差异。Bothe 和 Geiger 进行了符合计数实验，表明这两个事件发生的时间间隔不超过约一毫秒。⁴³ 在更近的时代，该时间间隔已被发现为几皮秒或更小的量级。

我们已经回顾了几个关于不确定关系如何确保量子理论内部一致性的例子。这里我们将回忆另一个例子——同样涉及光——它在 Bohr 的分析之后，使 Einstein 相信量子力学至少是一个一致的理论。⁴⁴ 这个思想实验是 Einstein 在 1930 年第六次 Solvay 会议上提出的，作为反对量子理论内部一致性的论证。他考虑一个充满辐射的盒子，盒子内有一个时钟，可以在特定时间打开盒子上的小孔，持续极短的时间间隔，在此期间一个光子从盒子中逃逸。通过称量光子逃逸前后的盒子，可以利用 $E = m c^{2}$ 确定光子的能量 E。由于时间间隔可以被时钟精确控制，而盒子质量的变化 ∆m 显然可以被精确测量，似乎违反了能量-时间不确定关系：光子的能量及其离开盒子的时间都可以任意高精度地测量，因此其能量和到达盒子外某平面的时间可以以任意小的不确定度预测。⁴⁵ Einstein 的论证对 Bohr 造成了”相当大的冲击”，使他”极其沮丧”，但是，在一个不眠之夜，他构建了反驳。⁴⁶

Bohr 的推理如下。可以假设盒子由弹簧秤悬挂，并附有一个指针，因此其位置可以从固定在支撑弹簧秤结构上的标尺上读出（见图 3.5）。孔关闭后，可以通过添加或移除越来越小的砝码来确定盒子的重量，这些砝码用于使秤恢复到孔打开前的”零”位移位置。这种零位移会有一些不精确性，这一不确定度 $\Delta x$ 意味着盒子垂直动量存在不确定度 $\Delta p \ge \hbar / 2 \Delta x$ 。现在，在平衡过程中，添加或移除最后一个砝码 $( \Delta m ) g$ 需要一定时间 $\tau$ ，在此期间盒子受到 $( \Delta m ) g \tau$ 或更小量级的冲量；因此

图 3.5 Niels Bohr 绘制的 Einstein”盒中时钟”思想实验草图。来自 Pais (1982)，第 447 页，经许可使用。

其中 $T ( > \tau )$ 是执行整个平衡过程所需的时间，因此

Bohr 接下来援引广义相对论的一个结论。如果时钟沿引力场方向位移 $\Delta x$ ，其速率会发生变化。在时间间隔 $T$ 内，它记录的时间变化近似为

因此，由 (3.11.15) 可得

或 $\Delta E \Delta t \ge \hbar / 2$ 。$\Delta E$ 是光子能量的不确定度，$\Delta t$ 是由于与不确定度 $\Delta x$ 相关的时钟速率不确定度导致的光子通过时间的不确定度。因此，能量-时间不确定关系得到满足。

Bohr 的论证并非对所有人都有完全的说服力。为什么必须考虑广义相对论的一个结论——引力场中时钟速率的变化——才能支持量子理论的一个结论？Bohr 分析的这一方面和其他方面已在文献中得到讨论。例如，有观点认为，在引力场中位移的时钟所记录的时间变化来自于能量具有重量这一假设，因此不需要广义相对论。我们将概述这一论证。⁴⁷

用 $H_{c}$ 表示时钟内部变量的 Hamiltonian，这些变量不依赖于其质心。如果能量 E 关联着质量 $E / c^{2}$ ，那么当时钟处于由局部引力加速度 g 表征的均匀引力场中高度 x 处时，适当的 Hamiltonian 为

其中 M 是时钟的质量，$H_{e}$ 包括对总时钟 Hamiltonian 的所有贡献中不依赖于时钟内部变量的部分。现在，对应于任何内部时钟变量或其函数的算符 A 与 $H_{e}$ 和 x 对易，因此其 Heisenberg 运动方程为

如果没有引力场，运动方程当然会是

因此，如果在没有任何引力场的情况下 $A = f ( t )$ 是 A 的解，那么在相同初始条件下，当时钟静止于引力场中时 A 的解为

换句话说，时钟在引力场中位移 $\Delta x$ 时其记录时间的变化为

对于给定的时间间隔 $T$ ；这就是公式 (3.11.16)，根据广义相对论，它在 $1 / c^{2}$ 阶成立。

Bohr 思考盒中光子实验多年。他在首次（口头）陈述近二十年后才发表了对 Einstein 的回应，据说他在生命的最后一天（1962 年 11 月 18 日）还在黑板上画了这个实验的草图。⁴⁸

练习 3.12：Einstein 的论证或 Bohr 的反驳是否需要逃逸的辐射由单个光子组成？如果盒中充满气体——如果时钟装置允许原子从盒子中逃逸，Einstein 的论证和 Bohr 的反驳是否仍然适用？如果实验安排为时钟固定在盒子外部并通过遥控方式打开和关闭小孔，情况又如何？

3.12 更多关于不确定关系 (More on Uncertainty Relations)#

在第3.10节和第3.11节的例子里，像 $\Delta x$ 和 $\Delta p$ 这样的”不确定度”并没有被精确定义。非对易观测量的不确定关系最早由 Kennard 证明可以从量子理论的形式体系中推导出来，他将不确定度定义为标准差（standard deviations）。⁴⁹ 我们首先回顾两个观测量 A 和 B 的不确定关系的推导，以标准差（方差的平方根）作为”不确定度”的量度。对于态 $|\Psi\rangle$，定义方差 $\Delta A^{2} = \langle \Psi | \mathcal{A}^{2} | \Psi \rangle$ 和 $\Delta B^{2} = \langle \Psi | \mathcal{B}^{2} | \Psi \rangle$，其中 $\mathcal{A} = A - \langle A \rangle$，$\mathcal{B} = B - \langle B \rangle$。还定义态 $|\Psi_{\mathcal{A}}\rangle = \mathcal{A} |\Psi\rangle$ 和 $|\Psi_{\mathcal{B}}\rangle = \mathcal{B} |\Psi\rangle$，于是

其中最后一步使用了 Schwarz 不等式。⁵⁰ 接下来，我们使用恒等式

第二个等号右边第一项是实数，因为它是 Hermitian 算符的期望值；第二项是反 Hermitian 算符的期望值，因此是纯虚数。于是，

and, from (3.12.1) and $[ \mathcal{A} , \mathcal{B} ] = [ A , B ]$

这是由 Schrödinger 在 1930 年首次推导得出的。⁵¹ 例如，如果 $[ A , B ] = [ x , p ] = i \hbar$ ，

其中 $\delta x = x - \langle x \rangle$ ，$\delta p = p - \langle p \rangle$ 。右边第二项（依赖于状态）是 δx 和 δp 的协方差，通常被忽略；然后得到通常的 Heisenberg 不确定关系，即 $\Delta x \Delta p$ 的下界。类似地，(3.12.4) 中的第二项通常被忽略，$\Delta A^{2} \Delta B^{2}$ 的下界表示为

这就是 Robertson 首先导出的”广义”不确定关系。⁵²

为了得到不确定度乘积 $\Delta A \Delta B$ 的最小值，我们需要

和

根据(3.12.1)，我们还需要 $\langle \Psi_{A} | \Psi_{A} \rangle \langle \Psi_{B} | \Psi_{B} \rangle = | \langle \Psi_{A} | \Psi_{B} \rangle | ^{2}$，这要求右矢 $\left| \Psi_{\mathcal{A}} \right.$ 和 $\left| \Psi_{\mathcal{B}} \right.$ 是”平行”的：

其中 λ 是复数。由(3.12.8)，

即 $\lambda = i \kappa$，κ 为实数。于是(3.12.9)取形式

或

结论是：要使 $|\Psi\rangle$ 成为乘积 $\Delta A \Delta B$ 取最小值的态，它必须满足(3.12.12)中给出的本征值方程。

对于 $A = p$，$B = q$，且 $[ q , p ] = i \hbar$ 的情况，(3.12.12) 变为

而(3.12.7)简化为 $\Delta q^{2} \Delta p^{2} = \hbar^{2} / 4$。对于谐振子，与(3.6.2)比较可知，要使 $\langle q | \Psi \rangle$ 具有与基态波函数 $\Psi_{0} ( q )$ 相同的空间宽度 $\Delta q$，我们必须取 $\kappa = \omega$。于是(3.12.13)等价于 $a | \Psi \rangle = \alpha | \Psi \rangle$，其中 $\alpha = ( \langle p \rangle - i \omega \langle q \rangle ) / \sqrt{2 \hbar \omega}$，也就是说，我们的最小不确定度（相干）态必须是湮灭算符 a 的本征态。

海森堡最初是通过考虑观测或测量对系统造成的扰动来推断不确定关系的，例如”海森堡显微镜”。但不确定关系(3.12.6)的推导并不涉及任何物理内容；不等式(3.12.6)仅仅是对两个厄米算符 A 和 B（其方差 $\Delta A^{2}$ 和 $\Delta B^{2}$ 相对于某个 ψ 定义）的数学要求。当我们把 A 识别为由态矢 ψ 描述的系统的可观测量 A 的期望值时，就进行了物理应用。不确定关系的操作诠释如下：如果我们对大量相同制备的系统测量 A，通常会得到不同的数值，并记录到一个数值分布和标准差 $\Delta A$。如果我们在以同样方式制备系统后测量 B，同样会记录到一个数值分布和标准差 $\Delta B$。如果 $[ A , B ] \neq 0$，则乘积 $\Delta A \Delta B$ 必须具有下界(3.12.6)。这个下界并不意味着 A 的测量必定”扰动” B 的测量，反之亦然，因为 A 和 B 的测量并不是对同一个体系统同时进行的。

不确定关系的这种操作诠释为进一步的讨论留下了很大空间，涉及量子理论本身的不同诠释。不确定关系适用于单个系统的单次测量，还是仅适用于相同制备系统的系综？后一种观点由 Pagels 强烈表达：

关于海森堡不确定关系，必须提出一个重要警告：它并不适用于对单个粒子的单次测量，尽管人们经常这样认为。海森堡关系是关于大量位置和动量测量的统计平均的陈述……不确定度 $\Delta p$ 或 $\Delta q$ 只有在你重复测量时才有意义。有些人认为像电子这样的量子对象是"模糊的"，因为我们无法同时测量它们的位置和动量，因此它们缺乏客观性，但这种思维方式是不准确的。⁵³

还有一个相关问题：纯态 ψ（以及量子理论中概率的概念！）描述的是个体系统还是系综；本质上同样的问题在经典概率论中已经争论了很久。⁵⁴ 由于这个问题并不直接影响对实际实验的分析，教科书中并不总是明确讨论。⁵⁵

3.12.1 非对易观测量的同时测量 (Simultaneous Measurement of Non-Commuting Observables)#

位置 x 和动量 p 等正则共轭变量的弥散 $\Delta x$ 和 $\Delta p$ 是任何量子态固有的，先于任何测量，且必须满足 $\Delta x \Delta p \ge \hbar / 2$。对 x 和 p 的任何测量都受到此不确定关系的限制。在下面描述的意义上同时测量 x 和 p 时，还有一个进一步的限制——不确定关系允许的最小弥散乘积加倍。⁵⁶

对一个系统的两个观测量进行同时测量，如同任何测量一样，需要耦合到某个测量装置。考虑对以下量进行重复的同时测量

和

其中 α 和 $\beta$ 是实数，$A_{x}$ 和 $A_{p}$ 是与实际测量中涉及的固有噪声相关联的厄米算符。我们假设 $X$ 和 $P$ 的值可以由连接在测量装置上的仪表分别且同时读出，并且仪表记录的值已经归一化，使得 $\alpha = \beta = 1$。为简单起见，我们还假设测量不引入任何偏差；于是 $\langle X \rangle = \langle x \rangle$，$\langle P \rangle = \langle p \rangle$，因此 $A_{x} = A_{p} = 0$。由于 $X$ 和 $P$ 可以同时测量，

再加上另一个合理假设：$x$ 与 $A_{p}$ 不相关，$p$ 与 $A_{x}$ 也不相关，即 $[ x , A_{p} ] = [ p , A_{x} ] = 0$，则由(3.12.16)可得

因此，由(3.12.6)，

由(3.12.14)和(3.12.15)，$\langle X^{2} \rangle = \langle x^{2} \rangle + \langle A_{x} ^{2} \rangle = \langle x^{2} \rangle + \Delta A_{x} ^{2}$，$\langle P^{2} \rangle = \langle p^{2} \rangle + \langle A_{p} ^{2} \rangle = \langle p^{2} \rangle + \Delta A_{p} ^{2}$，以及

因此，$\Delta X^{2} = \Delta x^{2} + \Delta A_{x} ^{2}$ 包含来自任何测量之前系统初态方差的贡献 $\Delta x^{2}$，以及来自耦合到测量装置的贡献 $\Delta A_{x} ^{2}$；类似地，$\Delta P^{2} = \Delta p^{2} + \Delta A_{p} ^{2}$ 包含来自测量前初态方差的贡献 $\Delta p^{2}$，以及来自耦合到测量装置的贡献 $\Delta A_{p} ^{2}$。⁵⁷ 这些”固有”和”测量”贡献所施加的不确定关系为

或，由于 $\Delta x^{2} \Delta p^{2} \ge \hbar^{2} / 4$ 和 $\Delta A_{x} ^{2} \Delta A_{p} ^{2} \ge \hbar^{2} / 4$，

和

这个不确定度乘积的下界是海森堡不确定关系 $\Delta x \Delta p \ge \hbar / 2$ 所施加的两倍。同时测量两个非对易观测量所付出的这个”代价”是测量中不可避免的噪声的结果。这种噪声是不可避免的，因为如果没有噪声算符 $A_{x}$ 和 $A_{p}$，对易关系(3.12.16)就不可能成立。

3.12.2 能量-时间不确定关系 (Energy-Time Uncertainty Relations)#

能量-时间不确定关系

经常被用来解释诸如激发态原子的辐射衰变等含时效应：寿命 $\tau_{R}$ 被识别为 $\Delta t$，意味着自发辐射的光谱宽度 $\Delta \omega = \Delta E / \hbar \approx 1 / \tau_{R}$，这与观测一致。类似地，将(3.12.23)中的 $\Delta t$ 识别为气体中的平均碰撞时间 $\tau_{c}$，意味着碰撞展宽的光谱宽度 $\Delta \omega \approx 1 / \tau_{c}$。在”虚粒子”的语境中，人们会遇到这样的陈述：”海森堡不确定原理 $\Delta E \Delta t \approx h$ 允许一定量的能量 $\Delta E$ 被’借用’一段时间 $\Delta t$。”⁵⁸

这样的诠释经常受到批评，因为与不确定关系 $\Delta x \Delta p \ge \hbar / 2$ 不同，(3.12.23)不能从两个观测量之间的对易关系推导出来；不存在与哈密顿量 H 正则共轭的厄米”时间算符” T。事实上，正如 Aharonov 和 Bohm 所示，”量子理论的原理中没有任何内在理由说明为什么一个系统的能量不能在任意短的时间内被测量。”⁵⁹

假设存在一个满足 $[ T , H ] = i \hbar$ 的厄米”时间算符” T，那么由(3.12.6)可推导出不确定关系 $\Delta H \Delta T \ge \hbar / 2$。现在，由于

由此还可推出，如果 $H | E \rangle = E | E \rangle$，则

换句话说，$E + \alpha$ 也将是 H 的允许本征值。但由于 α 可以是任意实数，这与哈密顿量必须有下界的要求相矛盾（见习题 3.1）。因此，不可能存在满足 $[ T , H ] = i \hbar$ 的厄米算符 T。⁶⁰

将 (3.12.23) 应用于辐射似乎更有道理，当我们把光子的关系 $E = \hbar \omega$ 与经典理论中众所周知的概念——持续时间为 $\Delta t$ 的脉冲具有频率带宽 $\Delta \omega \approx 1 / \Delta t$——结合起来时。例如，假设一个持续时间为 $\Delta t$ 的单光子脉冲入射到强吸收介质上，使得脉冲（光子）被吸收的概率很高。当然，我们只能计算吸收速率，而不能计算吸收发生的时间，对此存在”不确定度” $\approx \Delta t \approx 1 / \Delta \omega$ 。吸收的能量也是不精确定义的：$\Delta E = \hbar \Delta \omega$ ，因此 $\Delta E \Delta t \approx \hbar$ 。在辐射衰变的情况下，类似地，我们可以知道寿命 $\tau_{R}$ ，但无法预测”量子跃迁”和光子发射发生的准确时间，因此发射时间存在不确定度 $\Delta t \approx \tau_{R}$ 。假设 (3.12.23) 适用，这一 $\Delta t$ 与 $E = \hbar \omega$ 一起，意味着熟悉的关系 $\Delta \omega \approx 1 / \tau_{R}$ 。

关于能量被”借用”一段时间 $\Delta t$ 的说法，考虑以下例子。一个两能级原子在时间 $t = 0$ 时处于基态，并与频率为 ω 的单模真空场相互作用。在 $t > 0$ 时原子处于激发态的概率为

其中 $\omega_{0}$ 是原子的跃迁频率。⁶¹ 在足够短的时间内，似乎存在显著的激发概率，但是，当然，将其称为”能量不守恒过程”忽略了一个简单的事实：原子加场系统的 Hamiltonian 不随时间变化。在 Feynman 图中，该过程对应于一个能级（Lamb）移动，在图形上表现为一个”虚”跃迁，其中原子吸收一个光子（来自真空！）然后发射一个光子。这到底与”不确定度” $\Delta E$ 和 $\Delta t$ 有什么关系并不清楚。

能量-时间不确定关系有时是从位置和动量之间的不确定关系推导出来的。假设我们知道电子的速度 v，并测量它移动某段距离 x 所需的时间 $t = x / v$ 。测量距离的不确定度 $\Delta x$ 意味着经过时间的不确定度 $\Delta t = \Delta x / v \geq \hbar / 2 v \Delta p$ ，或者，由于当 x 被测量时 $\Delta E = \Delta ( {\textstyle{\frac{1} {2}}} m v^{2} ) = p \Delta v$ ，$\Delta E \Delta t \geq \hbar / 2$ 。

Heisenberg 强调：”不确定关系不涉及过去；如果电子的速度最初已知，然后位置被精确测量，则可以计算测量之前时刻的位置。那么对于这些过去的时间，$\bar{\Delta} p \Delta q$ 小于通常的极限值，但这种对过去的认识纯属推测性质，因为它永远不能（由于位置测量引起的动量未知变化）被用作电子未来进程任何计算的初始条件，因此无法经受实验验证。关于这种涉及电子过去历史的计算是否可以被赋予任何物理实在性，这是一个个人信念的问题。”⁶² 在刚才给出的例子中，某个更早时刻的速度和相对于我们测量的位移的初始位置都可以假设为精确已知。

在所有上述例子中，$\Delta t$ 都以通常的方式被视为一个”外部”参数，独立于系统的任何可观测量。可以通过为系统的每个可观测量 A 定义一个 $\Delta t_{A}$ 来推导出 (3.12.23) 形式的关系。⁶³ 考虑一个不是运动常数的可观测量 A，因此 $[ A , H ] \neq 0$ 。由 (3.12.6)，

第二个等式来自 Heisenberg 运动方程 $i \hbar d A / d t = [ A , H ]$ 。我们现在将 $\Delta t_{A}$ 定义为可观测量 A 经历显著变化的时间间隔：

于是我们得到 Mandelstam–Tamm 关系

除了该关系适用于特定可观测量 A 这一事实之外，它并不是通常意义下的真正不确定关系，因为 $\Delta t_{A}$ 刻画的是 A 的变化速率，而非时间测量中固有的不确定度。然而，与 (3.12.23) 不同，它表达了能量弥散 $\Delta E$ 与特定时间间隔 $\Delta t_{A}$ 之间的一般联系，并且它严格地遵循量子理论的基本原理。

参考文献与推荐阅读 (References and Suggested Additional Reading)#

关于光学物理中量子化电磁场的众多著作包括 Klauder and Sudarshan; Louisell; Loudon; Mandel and Wolf (1995); Scully and Zubairy; Vogel, Welsch, and Wallentowitz; 以及 Garrison and Chiao。

第3.4节中介质中场量子化的简化方法遵循 P. W. Milonni, J. Mod. Opt. 42, 1991 (1995)。另见 P. D. Drummond, Phys. Rev. A 42, 6845 (1990); R. J. Glauber and M. Lewenstein, Phys. Rev. A 43, 467 (1991); Ginzburg; 以及 Garrison and Chiao。

关于场的相干态和密度矩阵对角表示的讨论主要基于 R. J. Glauber 的论文 (Phys. Rev. 130, 2529 (1963) 和 Phys. Rev. 131, 2766 (1963)) 以及 Klauder and Sudarshan。

压缩态综述包括 D. F. Walls, Nature 306, 141 (1983); R. Loudon and P. L. Knight, J. Mod. Opt. 34, 709 (1987); 以及 U. L. Andersen, G. Tobias, C. Marquardt, and G. Leuchs, Phys. Scr. 91, 053001 (2016)。

关于不确定原理的历史和不同诠释，特别是海森堡和玻尔的观点，参见例如 J. Hilgevoord and J. Ufink, “The Uncertainty Principle,” The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2016 Edition), ed. E. N. Zalta, http://plato.stanford.edu/entries/qt-uncertainty/, accessed September 12, 2018，及其中的参考文献。非对易观测量的同时测量由 Y. Yamamoto and H. A. Haus, Rev. Mod. Phys. 58, 1001 (1986) 和 S. Stenholm, Ann. Phys. 218, 233 (1992) 进行了综述。关于能量-时间不确定关系的综述（含数百篇参考文献）见 V. V. Dodonov and A. V. Dodonov, Phys. Scr. 90, 074049 (2015)。

关于光子统计、场涨落以及光相干的经典和量子理论的多篇有影响力的论文重印于 Mandel and Wolf (1970)。