量化金融面试实用指南 on Yuunagi Library

前言

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

前言#

本书将帮助你聚焦于量化金融面试中经常测试的关键概念，从而为你参加此类面试做好充分准备。在本书中，我们分析了200多道真实面试问题的解答，并提供了如何在量化面试中脱颖而出的宝贵见解。本书涵盖了你在量化面试中可能遇到的各种主题：脑筋急转弯、微积分、线性代数、概率、随机过程与随机微积分、金融以及编程。

寻求从事量化金融或相关量化领域职业的专业人士和学生将从通读本书中获益最多。近年来，我们看到投行、投资管理公司、对冲基金、金融软件供应商和金融咨询公司对具有较强量化技能的人才需求急剧增长。因此，量化分析师——这一涵盖量化分析师、量化研究员、量化策略师、量化交易员和量化开发人员的统称——已成为一个颇具吸引力的职业选择。

过去几年中，已经建立了数十个金融工程或计算金融项目，以培养从事量化金融工作的专业人才。拥有金融、数学、物理、计算机科学及各种工程专业背景的毕业生也在竞争量化岗位。自然，竞争非常激烈。要成为一名成功的候选人，你必须从众多其他优秀申请者中脱颖而出。

一般而言，量化金融职位的成功候选人需要具备扎实的数学背景（概率论、统计学、随机微积分等）、扎实的编程技能以及基础到中级的金融知识。大多数候选人发现量化面试，或者至少其中的某些面试问题，具有挑战性。

量化面试涵盖了广泛的数学、金融和编程主题，这些主题候选人在日常工作或学习中可能从未使用过甚至从未接触过。此外，大多数面试问题需要较强的问题解决能力，而不仅仅是背诵公式或进行简单计算。成功的候选人需要兼具知识储备和问题解决能力，才能在量化面试中表现出色。这正是本书所提供的！

本书通过回顾必要的金融和数学概念（这些概念是构建和解决面试问题的工具）来解决这些问题。由于它涵盖了量化面试官使用的大部分主题，因此假定读者在数学、统计、金融和编程方面已具备一些基础知识。

我还强烈建议你在阅读解答之前先尝试自己解决每个问题。独自解决问题将帮助你提高解题技巧，并帮助你快速识别处理量化问题的常用方法。

毋庸赘言，你在面试中很可能会遇到与本书中问题相似或完全相同的问题。毕竟，本书使用真实的面试问题涵盖了许多重要的量化主题。然而，本书的目的并不是教你通过记住答案来投机取巧！事实上，仅仅死记硬背答案可能对你的面试过程帮助不大。除非你真正理解了基本概念并能自己分析问题，否则你将无法详细阐述解答，也无法很好地回答许多使用类似概念的其他问题。（此外，许多经验丰富的量化面试官擅长识别那些仅仅记住了"现成"答案的人。）

这正是我为什么付出巨大努力来回顾基本概念、呈现解题策略并详细分析解答，而不是简单提供问题答案的原因。此外，虽然基础模块可以学习，但一个人如何分析问题并运用这些概念通常会带来很大的不同——而这些技能你可以通过练习、练习再练习来获得。

我真诚地希望你享受解决这些问题的过程，并在面试中取得成功。

符号说明

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

符号说明#

符号	含义	符号	含义
$\forall$	对于每一个 / 对于所有	$\exists$	存在
$\therefore$	因此	$A \Rightarrow B$	只要 $A$ 成立，$B$ 也成立
s.t.	满足 (such that)	$a \wedge b$	$a$ 和 $b$ 的最小值
$a \vee b$	$a$ 和 $b$ 的最大值	$x \% y$	模运算 (modulo operation)
$\Phi$	空集 (empty set)	$x^{+}$	$\max(x, 0)$
$n!$	非负整数 $n$ 的阶乘，$n! = \prod_{i=1}^{n} i \;(0! = 1)$	cdf	累积分布函数
pdf	概率密度函数	$N(\mu, \sigma^{2})$	均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^{2}$ 的正态分布
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}$	$x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}$	$\displaystyle\prod_{i=1}^{n} x_{i}$	$x_{1} \times x_{2} \times \dots \times x_{n}$
$\displaystyle\int f(x)\,dx$	$f(x)$ 的不定积分	$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx$	$f(x)$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分

第1章 · 基本原则

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第1章基本原则#

让我们从探讨五个基本原则开始本书，这些原则在你的面试过程中将非常有帮助。根据我在面试桌两边的经验，这些通用指南将使你更好地为求职面试做好准备，并很可能使你成为一名成功的候选人。

1. 建立广泛的知识基础#

量化面试的长度和风格因公司而异。获得一份量化工作可能意味着要承受数小时脑筋急转弯、微积分、线性代数、概率论、统计学、衍生品定价或编程问题的轰炸。要成为成功的候选人，你需要具备数学、金融和编程方面的广泛知识。

所有这些主题对你未来的量化工作都有用吗？可能不是。每个特定的量化岗位通常只需要这些领域中有限的知识。通用的问题解决能力可能比特定知识更为重要。那么为什么量化面试如此全面？至少有两个原因：

第一个原因是面试官通常背景多样。每个面试官都有自己偏爱的主题，这些主题通常与他们的教育背景或工作经验相关。因此，你将要被测试的主题很可能非常广泛。第二个原因更为根本。你解决问题的能力——任何量化岗位的关键要求——通常与你知识的广度正相关。对广泛主题的基本理解通常有助于你更好地分析问题、探索替代方法并提出高效的解决方案。此外，你的职责可能不仅限于自己的项目。作为更大团队的一员，你也被期望做出贡献。拥有广泛的知识也将有助于你为团队的成功做出贡献。

关键在于"基本理解"。面试官并不期望你是某个特定主题的专家——除非那恰好是你的博士论文。面试中使用的知识虽然广泛，但主要涵盖基本概念。这正是为什么我在以下章节中引用的多数书籍标题中都含有"导论"或"入门"字样。如果我只被允许给候选人一条建议，那就是：把基础知识掌握得非常扎实。

2. 练习面试技巧#

面试过程早在你走进面试室之前很久就开始了。从某种意义上说，面试的成败往往在第一个问题被问出之前就已决定。如果你没有做好准备，你对面试问题的解答可能无法反映你真正的才智和知识。虽然全面复习量化面试问题是不可能的，也没有必要，但练习确实能提高你的面试技巧。此外，许多行为问题、技术问题和简历相关问题是可以预见的。所以，在走进面试室之前，就要为可能的问题做好准备。

3. 认真倾听#

在面试中你应该做一个积极的倾听者，这样在尝试回答问题之前你能充分理解问题。如果问题的任何方面对你不清楚，礼貌地要求澄清。如果问题超过几句话，记下关键词以帮助记住所有信息。对于复杂问题，面试官在解释问题时常常会透露一些线索。甚至他们所给出的假设也可能包含一些关于如何处理问题的信息。所以要认真倾听，确保获得必要的信息。

4. 说出你的想法#

当你分析问题并探索不同的解决方法时，千万不要默默地做。清晰地展示你的分析，并在必要时写下重要的步骤。这向面试官传达你的智慧，并表明你是有条理和严谨的。万一你走偏了，这种互动也会给面试官纠正方向并提供一些提示的机会。

说出你的想法并不意味着解释每一个微小的细节。如果某些结论对你来说是显而易见的，直接陈述结论即可，无需赘述琐碎细节。通常情况下，面试官使用一个问题来测试某个特定的概念或方法。你应该专注于展示你对关键概念或方法的理解，而不是纠缠于不太相关的细节。

5. 做出合理的假设#

在实际工作环境中，你在建立模型并做出决策之前，不太可能拥有所有必要的信息或数据。在面试中，面试官也可能不会给你所有必要的假设。因此，由你来做出合理的假设。关键词是"合理"。向面试官解释你的假设，以便你获得即时反馈。解决量化问题的关键在于，你能够快速做出合理的假设，并基于这些假设设计适当的框架来解决问题。

现在，我们准备好在量化金融学科领域复习基本概念，并愉快地解决真实的面试问题！

第2章 · 脑筋急转弯

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第2章脑筋急转弯#

在本章中，我们涵盖了只需常识、逻辑推理和基础数学知识（不超过高中水平）即可解决的问题。从某种意义上说，它们是真正的脑筋急转弯，而非伪装成数学问题。虽然这些脑筋急转弯不需要特定的数学知识，但它们的难度并不亚于其他量化面试问题。其中一些问题测试你的分析和通用解题能力；有些需要你跳出框框思考；还有一些则要求你以创造性的方式使用基础数学技巧来解决问题。在本章中，我们回顾一些面试问题，以解释你在量化面试中可能遇到的脑筋急转弯的一般主题。

2.1 问题简化#

如果原始问题过于复杂，你无法立即想出解决方案，请尝试找出问题的简化版本并从它入手。通常你可以从最简单的子问题开始，然后逐渐增加复杂度。你不需要在开始时有一个明确的计划。只需尝试解决最简单的情况并分析你的推理过程。通常情况下，你会发现一个模式，这个模式将引导你解决整个问题。

狡猾的海盗#

五个海盗抢劫了一箱装满100枚金币的宝藏。作为一群民主的海盗，他们同意以下方法来分配战利品：

最资深的海盗将提出一种分配金币的方案。然后所有海盗，包括最资深的海盗，将进行投票。如果至少50%的海盗（在这种情况下是3个海盗）接受该方案，金币就按提议分配。如果不接受，最资深的海盗将被喂鲨鱼，然后由下一名最资深的海盗重新开始这个过程……这个过程一直重复，直到一个方案被批准。你可以假设所有海盗都是完全理性的：他们首先想活下来，其次是想得到尽可能多的金币。最后，作为嗜血的海盗，如果两个结果在其他方面相等，他们更希望船上的海盗数量更少。

最终金币将如何分配？

解答：如果你没有学习过博弈论或动态规划，这个策略问题可能看起来令人生畏。如果5个海盗的问题看起来复杂，我们总是可以通过减少海盗数量来从简化版本开始。由于1个海盗的情况是 trivial 的，让我们从2个海盗开始。资深海盗（标记为2）可以占有所有金币，因为他总能得到自己的一票（50%的选票），而海盗1则一无所获。

让我们再增加一个更资深的海盗，即海盗3。他知道如果他的计划被投票否决，海盗1将一无所获。但如果他给海盗1零枚金币，海盗1会很乐意杀了他。所以海盗3会提供给海盗1一枚金币，自己保留剩余的99枚金币。采用这个策略，他将获得海盗1和海盗3的两票。

如果增加海盗4，他知道如果他的计划被否决，海盗2将一无所获。因此，如果海盗4提供一枚金币，海盗2会接受一枚金币。所以海盗4应该提供给海盗2一枚金币，自己保留剩余的99枚金币，他的计划将获得海盗2和海盗4的$50\%$投票支持而通过。

现在我们终于来到了5个海盗的情况。他知道如果他的计划被否决，海盗3和海盗1都将一无所获。所以他只需要分别提供给海盗1和海盗3各一枚金币以获得他们的选票，自己保留剩余的98枚金币。如果他这样分配金币，他将获得五票中的三票：来自海盗1、海盗3以及他自己。

一旦我们从简化版本开始并逐渐增加复杂度，答案就变得显而易见了。实际上，在n=5的情况之后，一个清晰的模式已经出现，我们不必止步于5个海盗。对于任何$2n+1$个海盗的情况（n应小于99），最资深的海盗将分别提供给海盗1、3、……、2n-1各一枚金币，并将剩余的金币全部留给自己。

老虎与羊#

一百只老虎和一只羊被放在一个只有草的魔法岛上。老虎可以吃草，但它们更愿意吃羊。假设：A. 每次只有一只老虎可以吃一只羊，而那只老虎在吃了羊之后会变成一只羊。B. 所有老虎都聪明且完全理性，它们想要生存。那么羊会被吃掉吗？

解答：100是一个大数字，所以让我们再次从问题的简化版本开始。如果只有1只老虎（n=1），它肯定会吃掉羊，因为它不需要担心被吃掉。如果是2只老虎呢？由于两只老虎都完全理性，每只老虎都会思考如果它吃了羊会发生什么。每只老虎大概都在想：如果我吃了羊，我会变成一只羊；然后我会被另一只老虎吃掉。所以为了确保最大的生存可能性，两只老虎都不会吃羊。

如果有3只老虎，羊会被吃掉，因为每只老虎都会意识到一旦它变成了羊，就剩下2只老虎，而它不会被吃掉。所以第一个想通这一点的老虎会吃掉羊。如果有4只老虎，每只老虎都会明白如果它吃了羊，它会变成一只羊。由于还有其他3只老虎，它会被吃掉。所以为了确保最大的生存可能性，没有老虎会吃羊。

按照同样的逻辑，我们可以自然地证明：如果老虎的数量是偶数，羊不会被吃掉。如果数量是奇数，羊会被吃掉。对于n=100的情况，羊不会被吃掉。

2.2 逻辑推理#

过河问题#

四个人A、B、C和D需要过河。过河的唯一方式是通过一座旧桥，这座桥一次最多只能承受两个人。天黑了，他们没有火炬就无法过桥，而他们只有一个火炬。因此，每对同行的人只能以较慢者的速度行走。他们需要让所有人都尽快到达对岸。A最慢，需要10分钟过河；B需要5分钟；C需要2分钟；D需要1分钟。

让所有人到达对岸的最短时间是多少？

解答：关键是要意识到10分钟的人应该和5分钟的人一起走，而且这不应发生在第一次过河，否则他们中的一个人必须返回。所以C和D应该先过去（2分钟）；然后让D返回（1分钟）；A和B过去（10分钟）；让C返回（2分钟）；C和D再次过去（2分钟）。

总共需要17分钟。或者，我们可以在第二轮先让C返回，再让D返回，同样需要17分钟。

生日问题#

你和你的同事们知道你们的老板$A$的生日是以下10个日期之一：

3月4日，3月5日，3月8日

6月4日，6月7日

9月1日，9月5日

12月1日，12月2日，12月8日

$A$只告诉了你他生日的月份，而只告诉了你的同事C生日的那一天。之后，你首先说："我不知道A的生日；C也不知道。"听到你的话后，C回答说："我之前不知道A的生日，但现在我知道了。"你笑着说："现在我也知道了。"在看了这10个日期并听了你们的评论后，你的行政助理没有问任何问题就写下了A的生日。那么助理写了什么？

解答：不要让"他说、她说"的部分迷惑你。只需解读每个人评论背后的逻辑，并尽力从这些评论中推导出有用的信息。

设$D$为$A$生日的日期，我们有$D \in \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}$。如果生日在一个唯一的日期上，$C$会立刻知道$A$的生日。在可能的$D$中，2和7是唯一的日期。考虑到你确信$C$不知道$A$的生日，你必须推断出$C$被告知的日期不是2或7。结论：月份不是6月或12月。（如果月份是6月，$C$被告知的日期可能是2；如果月份是12月，$C$被告知的日期可能是7。）

现在$C$知道月份必须是3月或9月。他立刻推断出$A$的生日，这意味着该日期在3月和9月的列表中必须是唯一的。这意味着$A$的生日不可能是3月5日或9月5日。结论：生日必须是3月4日、3月8日或9月1日。

在剩下的这三个可能性中，3月4日和3月8日有相同的月份。所以如果你掌握的月份是3月，你仍然无法确定$A$的生日。既然你能确定$A$的生日，$A$的生日一定是9月1日。因此，助理一定写了9月1日。

纸牌游戏#

一家赌场提供一种使用一副普通的52张牌进行的纸牌游戏。规则是你每次翻开两张牌。对于每一对，如果两张都是黑色，它们归庄家堆；如果两张都是红色，它们归你的堆；如果一黑一红，它们被丢弃。这个过程一直重复，直到你们两人用完所有52张牌。如果你的堆中牌更多，你赢得100美元；否则（包括平局）你什么都得不到。赌场允许你协商你愿意为玩这个游戏支付的价格。你愿意花多少钱来玩这个游戏？

解答：这无疑是一个阴险的赌场。无论牌如何排列，你和庄家各自堆中的牌数总是相同的。为什么？因为每对被丢弃的牌都有一张黑牌和一张红牌，所以丢弃的红牌和黑牌数量相等。因此，留给你的红牌数和留给庄家的黑牌数总是相同的。庄家总是赢！所以我们不应该支付任何钱来玩这个游戏。

烧绳子#

你有两根绳子，每根绳子需要1小时才能烧完。但每根绳子在不同位置的密度不同，因此不能保证绳子内部不同段落的燃烧时间是一致的。你如何用这两根绳子测量出45分钟？

解答：这是一个经典的脑筋急转弯问题。对于一根需要$x$分钟烧完的绳子，如果你同时点燃绳子的两端，它需要$x/2$分钟烧完。所以我们应该同时点燃第一根绳子的两端，并点燃第二根绳子的一端。30分钟后，第一根绳子将完全烧完，而第二根绳子变成了一根30分钟的绳子。此时，我们可以点燃第二根绳子的另一端（第一端仍在燃烧），当它烧完时，总时间正好是45分钟。

缺陷球#

你有12个相同的球。其中一个球比其他球重或轻（你不知道是哪个）。使用一个只能显示哪边托盘更重的天平，你如何用3次测量确定哪个球是缺陷球？

解答：这个称重问题是另一个经典的脑筋急转弯，并且仍然被许多面试官问及。球的总数通常在8到100多个之间。这里我们使用$n = 12$来展示基本方法。关键是将原始组（以及任何中间子组）分成三组而不是两组。原因是前两组的比较总是给出关于第三组的信息。

考虑到解答用文字解释起来较冗长，我在图2.1中绘制了一个树状图来详细展示该方法。将球编号为1到12，并分成每组4个球的三组。称量球1、2、3、4对球5、6、7、8。然后我们继续探索两种可能的情况：两组平衡（用"="表示），或者1、2、3、4比5、6、7、8轻（用"<"表示）。没有必要解释1、2、3、4比5、6、7、8重的情况。（为什么？）

如果两组平衡，这立即告诉我们缺陷球在9、10、11和12中，并且它比其他球轻（L）或重（H）。然后我们从第3组取出9、10和11，比较球9、10与8、11。这里我们已经知道8是正常球。如果9、10更轻，那意味着要么9或10是L，要么11是H。在这种情况下，我们只需比较9和10。如果9更轻，9是缺陷球且为L；如果9和10平衡，那么11必须是缺陷球且为H；如果9更重，10是缺陷球且为L。如果9、10与8、11平衡，12是缺陷球。如果9、10更重，那么要么9或10是H，要么11是L。

你可以轻松地按照图2.1中的树进行进一步分析，从树中可以看出所有可能的情况都可以在3次测量中解决。

图2.1 识别12个球中缺陷球的树状图

一般来说，如果你知道缺陷球是较重还是较轻，你可以在最多$n$次测量中从最多$3^{n}$个球中识别出缺陷球，因为每次称量都将问题规模减少2/3。如果你不知道缺陷球是较重还是较轻，你可以在最多$n$次测量中从最多$(3^{n} - 3)/2$个球中识别出缺陷球。

第3章 · 微积分与线性代数

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第3章微积分与线性代数#

微积分和线性代数构成了量化金融中许多高级数学主题的基础。因此，在量化面试中准备好回答一些微积分或线性代数问题——其中许多可能融入更复杂的问题中。由于大多数被考察的微积分和线性代数知识相对容易掌握，其边际收益远远超过你花在复习关键主题上的时间。如果你对微积分或线性代数的记忆有些生疏，花些时间复习你的大学教材吧！

不用说，将任何微积分/线性代数教材压缩成一章是极其困难的，我的本意也非如此。本章只聚焦于微积分/线性代数中在量化面试中频繁出现的一些核心概念。除非必要，本章不涉及这些概念的证明、细节甚至注意事项。如果你对其中任何概念不熟悉，请参阅你喜欢的微积分/线性代数教材了解细节。

3.1 极限与导数#

导数基础#

让我们从极限和导数中使用的一些基本定义和公式开始。虽然符号可能有所不同，但你可以在任何微积分教材中找到这些内容。

导数：设 $y = f(x)$，则 $f'(x) = \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

乘法法则：如果 $u = u(x)$ 和 $v = v(x)$ 的导数存在，则 $\frac{d(uv)}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}, (uv)' = u'v + uv'$

除法法则：$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \left(v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}\right) / v^2,\quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

链式法则：如果 $y = f(u(x))$ 且 $u = u(x)$，则 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$。

第4章 · 概率论

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第4章概率论#

在大多数量化面试中，你很可能会遇到至少几个概率问题。概率论是量化金融方方面面的基础。因此，它已成为量化面试中的热门话题。

虽然良好的直觉和逻辑可以帮助你解决许多概率问题，但对基本概率论的透彻理解将为你遇到的多数问题提供清晰简洁的解答。此外，概率论在解释一些看似反直觉的结果方面极具价值。掌握一点知识，你会发现许多面试题目不过是伪装过的教材习题。

因此，我们将本章用于回顾基本的概率论——这些知识不仅在面试中广泛被考察，而且对你未来的职业也可能有帮助。我们将这些知识应用于真实的面试问题，以展示概率论的力量。然而，知识的重要性绝不应贬低直觉和逻辑的作用。恰恰相反，常识和正确的判断力对于分析和解决面试或实际问题始终至关重要。正如你将在以下各节中看到的，我们在第2章中讨论的所有技巧在解决许多概率问题时仍然发挥着重要作用。

让我们开始享受与概率博弈的乐趣。

4.1 基本概率定义与集合运算#

首先从概率中的一些基本定义和符号开始。这些定义和符号没有例子可能会显得枯燥——我们马上就会举例——但它们对于理解概率论至关重要。此外，它们将为我们系统化地处理概率问题打下坚实基础。

结果（ω）：一次实验或试验的结果。

样本空间/概率空间 $(\Omega)$：一次实验所有可能结果的集合。

$P(\omega)$：一个结果的概率（$P(\omega) \geq 0, \forall \omega \in \Omega, \sum_{\omega \in \Omega} P(\omega) = 1$）。

事件：一组结果的集合，是样本空间的子集。

$P(A)$：事件 A 的概率，$P(A)=\sum_{\omega\in A}P(\omega)$。

$A \cup B : \text{并集} A \cup B \text{是事件} A \text{或事件} B \text{（或两者）中的结果集合。}$

$A \cap B$ 或 $AB:$ 交集 $A \cap B$（或 $AB$）是同时属于 $A$ 和 $B$ 的结果集合。

$A^{c}$：A 的补集，即事件"非 A"。

互斥：$A \cap B = \Phi$，其中 $\Phi$ 是空集。

对于任意互斥事件 $E_{1}, E_{2}, \cdots, E_{N}$，$P\left(\bigcup_{i=1}^{N}E_{i}\right)=\sum_{i=1}^{N}P(E_{i})$。

第5章 · 随机过程与随机微积分

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第5章随机过程与随机微积分#

在本章中，我们涵盖几个主题——马尔可夫链、随机游走和鞅、动态规划——这些通常不在入门概率课程中讲授。与基础概率论不同，这些工具可能不被视为量化研究员/分析师的标准要求。但对这些主题的良好理解可以简化你在许多面试问题中的解答，并让你在面试过程中占据优势。此外，一旦你学会了基础知识，你会发现许多面试问题变成了有趣的数学谜题。

5.1 马尔可夫链#

马尔可夫链是一个随机变量序列 $X_{0}, X_{1}, \cdots, X_{n}, \cdots$，具有马尔可夫性质，即给定当前状态，未来状态与过去状态独立：

$P\{X_{n+1}=j \mid X_n=i, X_{n-1}=i_{n-1}, \cdots, X_0=i_0\}=p_{ij}=P\{X_{n+1}=j \mid X_n=i\}$ 对所有 $n, i_0, \cdots, i_{n-1}, i,$ 和 j 成立，其中 $i, j \in \{1, 2, \cdots, M\}$ 表示 X 的状态空间 $S=\{s_1, s_2, ..., s_M\}$。

换句话说，一旦知道当前状态，过去的历史对将来没有影响。对于齐次马尔可夫链，从状态 $i$ 到状态 $j$ 的转移概率不依赖于 $n$。具有 $M$ 个状态的马尔可夫链可以由一个 $M \times M$ 转移矩阵 $P$ 和初始概率 $P(X_0)$ 完全描述。

转移矩阵：$P=\left\{p_{ij}\right\}=\begin{bmatrix}p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1M}\\ p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2M}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ p_{M1}&p_{M2}&\cdots&p_{MM}\end{bmatrix}$，其中 $p_{ij}$ 是从状态 $i$ 到状态 $j$ 的转移

概率。

初始概率：$P(X_{0})=\left(P(X_{0}=1),P(X_{0}=2),\cdots,P(X_{0}=M)\right)$，$\sum_{i=1}^{M}P(X_{0}=i)=1$。

第6章 · 金融

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第6章金融#

过去，没有金融知识的候选人进入量化金融职位是常见现象。虽然对于拥有紧缺专业知识的候选人来说，这种情况仍然存在，但更可能的是，你被要求——或者至少被期望——对金融话题有基本的掌握。因此，你应该准备好回答一些金融问题，并且你的回答将受到评判。

除了经典教科书之外，市场上也有几本面试书籍可以帮助你准备金融面试。如果你想要准备一般的金融问题，你可能需要阅读一本金融面试书，以了解通常会问哪些类型的问题。本章的重点更多在于衍生品定价背后的直觉和数学，而不是基础金融知识。衍生品问题是量化面试中的热门选择——即使是与衍生品市场没有直接关系的部门也是如此——因为这些问题足够复杂，可以测试你对量化金融的理解。

6.1 期权定价#

首先，让我们介绍一些将在后续章节中使用的符号。

T：到期日；t：当前时间；$\tau = T - t$ ：剩余期限；S：t时刻的股票价格；r：连续无风险利率；y：连续股息收益率；$\sigma$ ：年化资产波动率；c：欧式看涨期权价格；p：欧式看跌期权价格；C：美式看涨期权价格；P：美式看跌期权价格；D：t时刻未来股息的现值；K：行权价格；PV：t时刻的现值。

期权的价格方向#

当 $S, K, \tau, \sigma, r$ 或 $D$ 变化时，普通欧式/美式期权价格如何变化？

解答：看涨期权的收益为 $\max(S - K, 0)$ ，看跌期权的收益为 $\max(K - S, 0)$ 。欧式期权只能在到期时行权，而美式期权可以在到期前的任何时间行权。直观上，我们可以看出欧式/美式看涨期权的价格应随行权价格的上升而下降，

因为行权价较高的看涨期权的收益不会高于——有时会更低——行权价较低的看涨期权。通过类似的分析，我们在表6.1中总结了市场条件变化对期权价值的影响。

到期时间对欧式看涨/看跌期权价格的影响是不确定的。如果在两个不同到期日之间存在大额股息支付，则在除息日之前到期的较短期限欧式看涨期权可能比较长期限的看涨期权更有价值。对于深度价内的欧式看跌期权，期限较短者价值更高，因为它可以更早行权（货币的时间价值）。

Variable	European call	European put	American call	American Put
Stock price ↑	↑	↓	↑	↓
Strike price ↑	↓	↑	↓	↑
Time to maturity ↑	?	?	↑	↑
Volatility ↑	↑	↑	↑	↑
Risk-free rate ↑	↑	↓	↑	↓
Dividends ↑	↓	↑	↓	↑

表6.1 $S, K, \tau, \sigma, r$ 和 $D$ 对期权价格的影响

↑：增加；↓：减少；?：增加或减少

还值得注意的是，表6.1假设只有一个因素变化而其他所有因素保持不变，这在实践中可能不现实，因为其中一些因素是相关的。例如，利率的大幅下降常常引发股市反弹并推高股票价格，这对期权价值有相反的影响。

期权平价公式#

期权平价公式：$c + K^{-r\tau} = p + S - D$ ，其中欧式看涨期权和欧式看跌期权具有相同的标的证券、相同的到期日 $T$ 和相同的行权价格 $K$ 。由于 $p \geq 0$ ，我们还可以从期权平价公式推导出 $c$ 的边界：$S - D - Ke^{-r\tau} \leq c \leq S$ 。

第7章 · 算法与数值方法

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第7章算法与数值方法#

尽管量化分析师花在编程上的时间比例因工作职能（例如量化分析师/研究员与量化开发人员）和公司文化而异，但典型的量化分析师通常会将部分时间用于通过编程实现模型。因此，编程技能测试通常是量化面试中固有的一部分。

在很大程度上，量化面试中问到的编程问题与技术面试中的问题相似。毫不奇怪，其中许多问题是平台相关或语言相关的。尽管C++和Java仍然主导市场，但我们看到编程语言日益多样化，如Matlab、SAS、S-Plus和R。由于已有许多专门针对技术面试的书籍和网站，本章不打算全面回顾编程问题。相反，它讨论一些算法问题和数值方法，这些是量化面试中偏爱的主题。

7.1 算法#

在编程中，算法复杂度的分析通常使用渐近分析，忽略机器相关的常数，研究运行时间 $T(n)$ ——即基本操作（如加法、乘法和比较）的数量——当输入数量 $n \rightarrow \infty$ 时。¹

算法复杂度中三个最重要的符号是大O记号、$\Omega$ 记号和 $\Theta$ 记号：

$O(g(n)) = \{f(n): \text{存在正常数} c \text{和} n_0 \text{使得对所有} n \geq n_0 \text{有} 0 \leq f(n) \leq cg(n)\}$。它是 $f(n)$ 的渐近上界。

$\Omega(g(n)) = \{f(n):$ 存在正常数 $c$ 和 $n_0$ 使得对所有 $n \geq n_0$ 有 $0 \leq cg(n) \leq f(n)\}$。它是 $f(n)$ 的渐近下界。

$\Theta(g(n)) = \{f(n): \text{存在正常数} c_1, c_2, \text{和} n_0 \text{使得对所有} n \geq n_0 \text{有} c_1g(n) \leq f(n) \leq c_2g(n)\}$。它是 $f(n)$ 的渐近紧界。

索引

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

索引#

术语	章	术语	章	术语	章
吸收马尔可夫链	Ch5	固定利率付息债券	Ch6	排序算法	Ch7
吸收状态	Ch5	浮动利率债券	Ch6	开箱即用	Ch2
吸收概率	Ch5	远期	Ch6	结果	Ch4
算法复杂度	Ch7	期货	Ch6	偏导数	Ch3
分析能力	Ch2	Gamma	Ch6	偏微分方程	Ch6
对偶变量	Ch7	一般链式法则	Ch3	排列	Ch7
平均情况运行时间	Ch7	广义幂法则	Ch3	鸽巢原理	Ch2
贝叶斯公式	Ch4	热方程	Ch6	泊松过程	Ch4
二元期权	Ch6	Ho-Lee模型	Ch6	泊松过程	Ch4
二项式定理	Ch4	齐次线性方程	Ch3	极坐标积分	Ch3
二分法	Ch3	霍纳算法	Ch7	投资组合优化	Ch6
按位异或	Ch7	Hull-White模型	Ch6	正定	Ch3
Black-Scholes公式	Ch6	隐式差分法	Ch7	半正定	Ch3
Black-Scholes-Merton微分方程	Ch6	重要性采样	Ch7	计数原理	Ch4
边界条件	Ch5	容斥原理	Ch4	最优性原理	Ch5
布朗运动	Ch5	独立性	Ch4	概率密度函数	Ch3
牛市价差	Ch6	归纳法	Ch2	概率质量函数	Ch4
笛卡尔积分	Ch3	插入排序	Ch7	概率空间	Ch4
链式法则	Ch3	积分	Ch3	乘积法则	Ch3
特征方程	Ch3	分部积分	Ch3	乘积法则:	Ch3
Cholesky分解	Ch3	换元积分	Ch3	反证法	Ch2
一致风险度量	Ch6	利率模型	Ch6	看跌-看涨平价	Ch6
组合	Ch4	交集	Ch4	QR分解	Ch3
条件概率	Ch4	逆浮动利率债券	Ch6	快速排序	Ch7
连续分布	Ch4	伊藤引理	Ch5	商法则	Ch3
控制变量	Ch7	詹森不等式	Ch6	随机排列	Ch7
凸函数	Ch6	跳跃扩散过程	Ch4	随机变量	Ch4
凸度	Ch6	洛必达法则	Ch3	随机游走	Ch5
相关性	Ch4	拉格朗日乘数法	Ch3	反射原理	Ch5
协方差	Ch4	全期望公式	Ch4	复制组合	Ch6
Cox-Ingersoll-Ross模型	Ch6	全概率公式	Ch4	Rho	Ch6
Crank-Nicolson方法	Ch7	线性最小二乘法	Ch3	运行时间	Ch7
横截面积	Ch3	线性回归	Ch3	样本空间	Ch4
delta	Ch6	逻辑	Ch2	割线法	Ch3
导数	Ch3	低差异序列	Ch7	可分离微分方程	Ch3
行列式	Ch3	LU分解	Ch3	简化版本	Ch2
可对角化	Ch3	马尔可夫链	Ch5	奇异值分解	Ch4
贴现Feynman-Kac方程	Ch6	马尔可夫性	Ch5	状态空间	Ch5
离散分布	Ch4	盯市	Ch6	停止规则	Ch5
分治法	Ch7	鞅	Ch5	跨式组合	Ch6
美元久期	Ch6	主定理	Ch7	次可加性	Ch6
久期	Ch6	最大值	Ch3	求和方程	Ch2
动态规划	Ch5	最大回撤	Ch7	对称随机游走	Ch5
动态规划算法	Ch5	归并排序	Ch7	对称性	Ch2
特征值	Ch3	最小值	Ch3	系统方程	Ch5
特征向量	Ch3	模	Ch2	泰勒级数	Ch3
欧式看跌期权	Ch6	取模运算	Ch2	Theta	Ch6
事件	Ch4	矩母函数	Ch4	转移图	Ch5
交换期权	Ch6	矩匹配	Ch7	转移矩阵	Ch5
预期吸收时间	Ch5	蒙特卡洛模拟	Ch7	并集	Ch4
预期吸收时间	Ch5	移动平均	Ch7	欧式看涨期权	Ch6
期望值	Ch3	乘法规则:	Ch4	在险价值	Ch6
显式差分法	Ch7	互斥	Ch4	方差缩减	Ch7
指数鞅	Ch5	牛顿法	Ch3	Vasicek模型	Ch6
Feynman-Kac方程	Ch5	Newton-Raphson方法	Ch3	向量	Ch3
斐波那契数	Ch7	非齐次线性方程	Ch3	Vega	Ch6
有限差分法	Ch7	正态分布	Ch4	Volga	Ch6
首达时间	Ch5	数值方法	Ch7	Wald等式	Ch5
一阶线性微分方程	Ch3	次序统计量	Ch4	最坏情况运行时间	Ch7

量化金融面试实用指南 on Yuunagi Library

前言

前言#

符号说明

符号说明#

第1章 · 基本原则

第1章 基本原则#

1. 建立广泛的知识基础#

2. 练习面试技巧#

3. 认真倾听#

4. 说出你的想法#

5. 做出合理的假设#

第2章 · 脑筋急转弯

第2章 脑筋急转弯#

2.1 问题简化#

狡猾的海盗#

老虎与羊#

2.2 逻辑推理#

过河问题#

生日问题#

纸牌游戏#

烧绳子#

缺陷球#

第3章 · 微积分与线性代数

第3章 微积分与线性代数#

3.1 极限与导数#

导数基础#

第4章 · 概率论

第4章 概率论#

4.1 基本概率定义与集合运算#

第5章 · 随机过程与随机微积分

第5章 随机过程与随机微积分#

5.1 马尔可夫链#

第6章 · 金融

第6章 金融#

6.1 期权定价#

期权的价格方向#

期权平价公式#

第7章 · 算法与数值方法

第7章 算法与数值方法#

7.1 算法#

索引

索引#

第1章基本原则#

第2章脑筋急转弯#

第3章微积分与线性代数#

第4章概率论#

第5章随机过程与随机微积分#

第6章金融#

第7章算法与数值方法#