量子理论源于第一性原理：一个信息学方法#
量子理论是理论物理的灵魂。它不仅仅是关于特定物理系统的理论，更是一个具有普遍适用性的新框架。本书展示了如何通过六条信息论原理，自下而上地重建量子规则，从而重构该理论。读者将循序渐进地学习如何掌握量子世界中反直觉的方面，并学习如何从第一性原理高效地重建量子信息协议。本书利用直观的图形符号来表示方程，并采用更简短、更高效的推导，使得理论可以极其轻松地被理解和吸收。本书为该领域提供了一个全新的视角，并为本科生提供了一门关于量子理论和量子信息的有效课程。本书面向物理、计算机科学和哲学领域的研究人员、专业人士和学生，以及希望更深入理解该理论的、充满好奇心的圈外人士。
贾科莫·毛罗·达里亚诺（Giacomo Mauro D’Ariano）是帕维亚大学的教授，教授量子力学和量子理论基础课程，并领导QUit研究小组。他是美国物理学会会士、美国光学学会会士、伦巴第科学与文学院院士、西北伊利诺伊州光子通信与计算中心成员以及基础问题研究所成员。
朱利奥·基里贝拉（Giulio Chiribella）是香港大学计算机科学系的副教授和CIFAR-Azrieli全球学者。他是圆周理论物理研究所客座研究员、国际物理学中群论方法研讨会常务委员会委员以及基础问题研究所成员。2010年，他因在量子信息科学中应用群论而获得赫尔曼·外尔奖。
保罗·佩里诺蒂（Paolo Perinotti）是帕维亚大学的助理教授，教授量子信息论课程。他的研究活动主要集中在量子信息、量子力学和量子场论的基础方面。他是基础问题研究所和国际量子结构协会的成员。2016年，他因在量子基础方面的研究获得了伯克霍夫-冯·诺依曼奖。
量子理论源于第一性原理：一个信息学方法#
贾科莫·毛罗·达里亚诺（Giacomo Mauro D’Ariano） 意大利帕维亚大学
朱利奥·基里贝拉（Giulio Chiribella） 香港大学
保罗·佩里诺蒂（Paolo Perinotti） 意大利帕维亚大学
剑桥大学出版社#
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首版 2017
在英国的 Clays, St Ives plc 印刷
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美国国会图书馆出版数据编目
作者：D’Ariano, G. M. (Giacomo M.) | Chiribella, Giulio | Perinotti, Paolo
书名：Quantum theory from first principles : an informational approach / Giacomo Mauro D’Ariano
(Universita degli Studi di Pavia, Italy), Giulio Chiribella (The University of Hong Kong), `
Paolo Perinotti (Universita degli Studi di Pavia, Italy). `
描述：Cambridge, United Kingdom ; New York, NY : Cambridge University Press, 2017. |
包括参考书目和索引。
标识符：LCCN 2016040126 | ISBN 9781107043428 (精装 ; 无酸纸) |
ISBN 1107043425 (精装 ; 无酸纸)
主题：LCSH: 量子理论。
分类号：LCC QC174.12 .C475 2017 | DDC 530.12–dc23 国会图书馆记录
可访问：https://lccn.loc.gov/2016040126
ISBN 978-1-107-04342-8 精装
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致我们的妻子和孩子：
罗珊娜和吉尔达，
艾米和弗朗切斯科，
西尔维娅和马可。
前言 第十三页 致谢 第十五页 第一部分 现状 9 注释 73 附录 2.1 极分解 78 附录 2.2 量子扩展的金色规则 79 习题 80 选定问题和习题解答 85
第二部分 信息学方法#
注释 124 习题 126 选定问题和习题解答 126 注释 138 注释 155 选定问题和习题解答 156 注释 165 习题 166 选定问题和习题解答 167 注释 188 附录 7.1 卡拉西奥多里定理 189 选定问题和习题解答 190 第三部分 无希尔伯特空间的量子信息 191 选定问题和习题解答 204 注释 215 选定问题和习题解答 217 选定问题和习题解答 228 选定问题和习题解答 255 第四部分 基于原理的量子理论 257 附录 13.1 幺正表示和正交表示 272 选定问题和习题解答 278 选定问题和习题解答 296 选定问题和习题解答 327 索引 338
前言#
本书是三位作者在量子基础和量子信息领域二十余年教学与研究的结晶，最终汇聚为两篇长篇合作论文 [Phys. Rev. A 81 062348 (2010) 和 84 012311 (2011)]，从六条简洁的信息论原理推导出了量子理论。如今，我们有幸以一种全新的方式呈现量子理论，其基础正是源自新原理的概念性理解。我们所说的“量子理论”，是指位于“量子力学”核心的物理系统一般理论，而“量子力学”广义上被视为经典哈密顿力学的量子推广。本书不涉及“力学”方面的应用，而是聚焦于量子信息领域的应用。为此，为了将关注点更多地放在概念问题上而非数学技术细节上，我们考虑有限数量的有限维系统，并限制于有限事件集的概率，在章节末尾的注释中会讨论一些向无限/连续情形的扩展。
本书包含 220 道练习题和问题。练习题穿插在各章正文之中，每章末尾附有精选习题的解答。练习题是本书不可分割的组成部分，我们强烈建议读者亲自求解（或查阅解答），因为其中证明的结果常被用于我们的论证。每章末尾提出的问题旨在构建额外的知识和解题技巧，虽非理解论证所必需，但仍建议读者求解（或研习解答）。参考文献、历史评述和引文均列于每章末尾的注释中。
本书可用于从本科、硕士到博士等各个层次的教学，也适合个人研究兴趣的探索。全书共分为四个部分，组织如下：
第一部分：现状（第2章）介绍了量子理论的数学结构，从三个简单的希尔伯特空间公设（系统、状态和无限制假设）出发推导该理论，并以定理形式证明了后来成为推导量子理论的六项原理的内容。量子理论的完整数学结构被推导出来，包括量子开放系统和量子信息中的所有相关结论。该推导使用了基于张量算子的原创强大证明技术。在本部分中，读者将有机会熟悉操作概率论（OPT）和凸分析中的相关概念，并开始运用这六项原理推导结论。整个部分可用于面向物理学家、数学家和计算机科学家的量子理论与量子信息本科课程一个学期的教学。
第二部分：信息学方法（第3-7章）介绍了操作概率论的框架以及六项原理。三个独立章节分别阐述因果性、局域可区分性和提纯这些主要原理。第一部分和第二部分合起来可作为硕士课程一个学期的完整教学内容。
第三部分：无希尔伯特空间的量子信息（第8-12章）利用全部六项原理推导量子信息论的关键结论和量子理论的一般特征，包括不可行定理（如不可克隆定理和不可比特承诺定理）。这些章节的部分内容可纳入硕士课程。
第四部分：从原理推导量子理论（第13-17章）从六项原理推导出量子理论。
关于因果性、局域可区分性和提纯的章节也适合哲学研究者，以及更广泛地对从量子信息视角深入理解这些概念感兴趣的读者阅读。
针对本书当前版本印刷后可能发现的错误及更正，读者可访问网页：www.qubit.it/errata/homeerrata.html
致谢#
在撰写本书的过程中，我们受益于多年来与众多同事和朋友富有启发性的对话与鼓励。我们特别感谢：Scott Aaronson、Samson Abramsky、Antonio Acín、Gennaro Auletta、Howard Barnum、Jonathan Barrett、Gilles Brassard、Caslav Brukner、Paul Busch、Jeremy Butterfield、Vladimir Bužek、Adan Cabello、Gianni Cassinelli、Ariel Caticha、Bob Coecke、Roger Colbeck、Maria Luisa Dalla Chiara、Olivier Darrigol、Giancarlo Ghirardi、Nicolas Gisin、Gerald Goldin、Philip Goyal、Alexei Grinbaum、Teiko Heinosaari、Louis Kauffman、Michael Keyl、Gen Kimura、Pekka Lahti、Raymond Lal、Matthew Leifer、Lev Levitin、Seth Lloyd、Norman Margolus、Izumi Ojima、Matthew Pusey、Renato Renner、Alberto Rimini、Valerio Scarani、Dirk Schlingemann、Anthony Short、John Smolin、Robert Spekkens、Reinhard Werner 和 Mario Ziman。
GMD 特别感谢 Alexander Holevo、Masanao Ozawa 和 Horace Yuen，自 QUit 小组成立之初，他们便慷慨指导帕维亚学派在量子理论与量子信息领域的研究；尤其感谢 Attilio Rigamonti，自这条非传统且高风险的研究路线启动以来，他始终给予热情的支持与鼓励。他还非常感激 Andrei Khrennikov，在韦克舍会议上全程主持了这一研究的整个演进过程；感谢 Gregg Jaeger 和 Arkady Plotnitsky，在整个项目从开始到结束期间，与他们进行了极具启发性和深度的讨论。GMD 同样深受 David Finkelstein 的影响，与他进行了持续一整天的鼓舞人心的私人讨论。遗憾的是，David 在本书完稿前几日离世。
最后，我们所有人都感谢 Chris Fuchs、Lucien Hardy、Robert Spekkens、Bob Coecke 和 Alex Wilce，他们通过自身的研究工作激发了我们对于本书所呈现众多主题的思考，并与我们进行了大量富有洞察力的讨论。
一份特别而无法送达的感谢，献给已故的 Viacheslav Belavkin 的珍贵记忆，我们都从他那里学到大量原创概念。
本书的联合撰写还得益于基础问题研究所（FQXi）的资金支持（小资助项目：量子理论的信息原理；大资助项目：FQXi-RFP3-1325《信息动力学的基本原理》）。GMD 和 PP 感谢坦普尔顿基金会根据项目 ID#43796《量子数字宇宙》提供的资金支持。GC 感谢中国千人青年人才计划以及国家自然科学基金（项目号：11675136、11450110096 和 11350110207）的资助，并感谢西蒙斯计算理论中心和圆周理论物理研究所的盛情款待，他的部分贡献是在这些机构完成的。圆周研究所的研究部分受加拿大自然科学与工程研究理事会（NSERC）及安大略省研究与创新部（MRI）的支持。
引言#
量子理论是当代物理学的灵魂。它是在解决原子光谱和黑体辐射所提出谜题的迫切需求下，以一种冒险的方式被发现的。但在其诞生之后，人们立即清楚地认识到，它不仅仅是关于特定物理系统的理论：它更是一种具有普遍适用性的新语言。早在1928年，希尔伯特、冯·诺依曼和诺德海姆1就为这一理论奠定了坚实的数学基础，而冯·诺依曼2在其不朽著作中将其完善，形成了我们今天仍在学习的形式。该理论极其成功，其预言已在大量实验中得到了令人惊讶的精确验证。
然而，在冯·诺依曼的著作出版近90年后，量子理论仍然神秘莫测。其基于希尔伯特空间和自伴算子的数学表述远非直观。将物理系统与单位向量表示纯态的希尔伯特空间相关联，用酉算子表示变换，用自伴算子表示可观测量——所有这些假设都显得人为且特设。量子理论的C∗-代数表述3提供了一种稍具操作性的方法——然而，这种表述仍依赖于可观测量构成一个代数的假设，其中乘法和加法的物理含义远非清晰。
简言之，量子理论的假设施加了数学结构，却没有为这种选择提供任何简单的理由：希尔伯特空间的数学被当作一个神奇的"黑箱"，它能在产生实验预言方面"表现良好"。然而，在一个令人满意的物理理论公理化体系中，数学结构应作为具有直接物理解释的假设的结果而出现。我们这里指的是涉及如物理系统、测量或过程等原始概念的假设，而非如希尔伯特空间、C∗-代数、单位向量或自伴算子等概念。
因此，关键问题仍然未解：为什么是量子理论？该理论的基础原理是什么？一个常被引用的对比案例是狭义相对论，它直接源于简单易懂的相对性原理。
1.1 对原理的探寻：冯·诺依曼#
从最初起，人们就清楚地认识到需要从基本原理层面更深刻地理解量子理论。冯·诺依曼本人曾用令人惊讶的言语表达了他对自己数学表述的不满："我不再相信希尔伯特空间了。"4 意识到公理化问题的物理相关性后，伯克霍夫和冯·诺依曼试图将量子理论理解为一种新型的命题演算，5 其动机源于这样一种观点：接受基本物理系统的"量子性"的主要困难，在于经典逻辑不足以涵盖量子测量结果的不可预测性质。在他们的尝试中，冯·诺依曼和伯克霍夫提议在一个不同于经典逻辑的适当逻辑框架内处理关于物理世界的命题，其中AND和OR运算不再具有分配性。对可观测量代数缺乏解释，导致约当、冯·诺依曼和维格纳考虑了一种可交换的可观测量代数的可能性，其乘积仅需定义可观测量的平方和之和——即所谓的约当乘积。6 这些工作开创了量子逻辑的传统，促成了多次对量子理论进行公理化尝试，其中最著名的是麦基、7 瓦拉达拉詹8 以及尧赫和皮龙9,10 的工作，其衍生分支至今仍是活跃的研究对象。11
量子逻辑领域的研究者们成功地基于逻辑公理推导出了量子理论框架的重要组成部分。然而，由于这些成果普遍依赖于较强的技术性（主要集中于对无穷维系统的强调），它们远远未能以基本原理的形式对量子理论做出清晰的描述。即便是该领域的专家也普遍认为，这些公理并未达到人们所期望的深刻洞察力。无论是专家还是非专家，都很难理解量子逻辑公理化的核心要义：量子理论究竟有何特殊之处？为什么我们应该选择量子理论而非其他替代理论？
另一个值得关注的公理化方案是路德维希的研究计划，12 他采用了操作主义的方法，将基本概念定义为制备装置和测量装置，并通过公设来规定制备与测量如何结合给出实验结果的概率。然而，即便是路德维希的方案也未能成功从操作原理中推导出希尔伯特空间，因为部分公设仍然包含缺乏操作解释的数学概念。
1.2 量子信息重燃探索热情#
随着量子信息的兴起，人们重新燃起寻找更具洞察力的公理化方案的雄心。这一新兴领域表明，量子理论的数学公设蕴含着惊人的操作意义，例如量子密钥分发、13 量子算法、14 不可克隆定理、15 量子隐形传态16 以及密集编码17。一个自然的问题是：我们能否反过来，从量子理论的某些操作特征中推导出其数学形式？这一问题构成了由福克斯18 和布拉萨德19 发起的研究计划的核心，该计划可以用"以量子信息之光照亮量子基础"20 这一口号来概括。其最终目标是从少数简单的信息论性质原理出发，重建量子理论的完整结构。
人们可能会问，为什么量子信息理论家应该比他们之前的公理化研究者更为成功？一个充分理由如下：在量子信息时代之前，量子理论被视作经典理论的贫乏版本，缺乏对实验结果进行确定性预测的能力。显然，这种视角无法提供任何有利的观点来解释世界为何应该是量子的。相反，量子信息提供了大量支持量子理论优于经典理论的积极理由——其数量之多，堪比有用的量子信息和计算协议的数量。将这些理由中的一部分转化为公理，便成为通往令人信服的公理化方案的一条有前景的途径。21
量子信息方法也可以被视为量子逻辑研究计划的演进，量子理论不再被视为一种替代的逻辑体系，而是作为信息处理的替代理论，即描述信息源和信息处理通道。事实上，在经典概率论中，逻辑可以被视为信息处理理论的特例，其中事件的概率被限定为真值 {0, 1}。然而，在像量子理论这样的非确定性理论中，存在真值无法评估的事件，我们必须承认，我们对其所知仅限于它们发生的概率。
量子信息方法的另一个新特点是强调有限维系统，这种系统处理更为简洁，但仍保留了所有相关的量子特性。从某种意义上说，对有限维系统的研究使我们能够将理解量子理论时的概念困难与无穷维系统的技术困难分离开来。
在这种情况下，Hardy 于 2001 年22凭借量子信息经验带来的新思路，重新开启了关于公理化的讨论。但他的一些公理仍然包含无解释的数学概念，例如关于状态空间维度的陈述，或纯态集合的连续性。受 Hardy 和 Fuchs 工作的启发，本书的一位作者提出了一种新的公理化方法23，该方法的操作原理基于层析成像、校准和变换组合，并且通常针对实验复杂性的降低，例如纯忠实态的存在，这一性质允许对制备单个输入纯态的变换进行层析成像。然而，对该理论的彻底推导仍未完成，并且在这种情形下，仍然存在无解释的数学公设。后来，在 Hardy 工作的基础上，该研究计划蓬勃发展，引发了基于各种概念和数学框架的新公理化浪潮，24,25 包括本书所包含的框架和公理化。26 这些工作实现了 Wheeler "万物源于比特"计划的旧梦，他为此论证道："所有物理事物本质上都源于信息理论。"27
1.3 作为 OPT 的量子理论#
我们从量子信息经验中学到的一课是，首先应将量子理论视为一种信息处理理论。因此，我们认识到以量子电路形式描述过程所起的关键作用。这使我们考虑将量子理论视为概率论的扩展，并在此基础上添加事件间连通性的关键要素。这意味着对于联合事件，我们不仅关联其联合概率，还关联连接它们的电路。当电路中的事件具有明确定义的次序时，该电路在数学上由一个有向无环图（一种具有有向边且无环路的图）描述。因此，如果我们想预测联合概率，需要指定的变量不仅是事件，还包括连接它们的电路。
一种用于预测依赖于事件间相互连接的联合事件的理论，我们称之为操作概率论。我们看到，OPT 是概率论的非平凡扩展，而根据 Jaynes 和 Cox 的观点，28 概率论本身又是逻辑学的扩展。29 我们现在认识到，在之前的公理化尝试中，只考虑了量子理论的一个方面，即命题演算和概率，而连通性方面则被忽略了。
根据以上所述，我们现在理解了 OPT 的基本要素——事件的概念——如何通过导线与其他事件相连。这些导线就是该理论的系统。与图的有向性一致，存在输入和输出系统。事件就是变换，而没有输入系统的事件是态（对应系统的制备），没有输出系统的事件是效应（对应系统的观测）。由于单个事件的目的是描述连接输入与输出的过程，与概率相关联的完整电路是一个闭合电路，即没有输入和输出的电路。
电路框架在范畴论的语言中得到了数学形式化。30 在这种语言中，OPT 是一个范畴，其系统和事件分别对应对象与箭头。每个箭头都有一个输入对象和一个输出对象，箭头可以顺序组合。量子理论中系统的平行组合的结合律、平凡系统的存在性以及交换性在技术上对应于一个严格的对称幺半范畴。31 尽管 OPT 语言可以用纯范畴论术语重新表述，但其原始版本32 对物理学家更友好，因此本书将采用该版本。在这种语言中，表达式的含义直接表现为对基本物理过程及其在实验设置中关系的描述——例如，指定两个事件是按顺序发生还是并行发生。然而，我们注意到概率结构在将 OPT 语言从单纯的描述工具提升为预测框架（这是科学理论的关键特征）中所起的不或缺作用。如果两个 OPT 为电路分配概率的规则不同，那么它们就是不同的 OPT。
1.4 原理#
OPTs 提供了一个通用的统一框架来形式化信息理论，包括经典信息论和量子信息论。在此框架中，我们将量子理论刻画为一种信息理论。简而言之，量子理论是一种允许对随机性进行最优验证的理论：该理论的所有六条原则从互补的角度共同体现出这一点。其中五条原则——因果关系、局域可区分性、完全可区分性、理想压缩与组合的原子性——描述了经典信息论与量子信息论共有的普通性质。第六条原则——纯化——则唯一地标识了量子理论。
用非技术性语言来说，这六条原则如下：
• 因果关系。测量结果不能依赖于对系统在测量输出端所做的操作。等价表述：不能从未来向过去发送信号。
• 局域可区分性。我们只需对每个系统进行局域测量，即可重构多个系统的联合状态。
• 完全可区分性。每个非完全混合的状态都可以与某个其他状态完美区分。
• 理想压缩。每个信息源33都可以以无损且最大效率的方式编码（无损意为可完美解码，最大效率指编码系统的每个状态都代表信息源的一个状态）。
• 组合的原子性。在两个原子变换的组合过程中不会隐藏任何侧信息。等价表述：两个精确已知变换的顺序组合是精确已知的。
• 纯化。系统的每个随机制备都可以通过系统与环境的一个纯制备来实现，且这种实现方式本质上是唯一的。
列表中的前五个原则均被经典信息论所满足。因此，在我们的公理化体系中，纯化原则被凸显为量子理论的独特公理。全部六项原则均具有认识论性质。因果律对于控制观测过程必不可少，能够使其免受来自未来或遥远外部主体的影响。局域可区分性保证了信息的局域可访问性。完美可区分性确保了理论命题的可证伪性。组合的原子性允许在组合变换与观测时实施控制。而纯化原则则通过使主体能够同时访问系统与环境，从而实现了随机性的验证。
这里需要着重指出这六条原则对科学哲学的价值。例如，局部可区分性原则成功调和了理论整体论与还原论方法之间的矛盾，该内容将在第6章详述。具有典范意义的是因果性原则——考虑到哲学与物理学领域大量相关文献的积累，该原则完全值得书写一部专著。要理解这一概念的微妙之处，只需注意一个简单事实：因果性从未被正式确立为物理学原理34，而这一概念常常因与"决定论"这一独立概念的错误关联而被误解35。量子论的因果性原则，正是从休谟以来直至近现代众多学者在专业文献中讨论过的各种有意义的逻辑精髓36。OPT语言提供了形式化理论无关型因果性概念的正确框架，为哲学分析提供了严格的概念工具。这一概念与推理与科学建模中因果性的标准用法相符37，并与第5章阐述的"爱因斯坦因果性"不谋而合。
纯化原理对科学哲学也具有重大意义。它是选择量子理论的公理，因而蕴含着该理论的精髓。其概念内涵表达了信息守恒定律：原则上，不可逆性可归结为对环境缺乏控制。更精确地说，该原理等价于：每一个不可逆过程都可以通过系统与环境之间可逆的相互作用，以一种本质唯一的方式模拟，其中环境初始制备在纯态。38 这一陈述涵盖了测量过程的情况，在此情况下，它意味着观察者与被观察系统之间的截断可以任意移动。冯·诺伊曼将这种截断的任意性视为“科学观点的基本要求”，39 他对测量过程的讨论正是旨在证明量子理论满足了这一要求。最后，纯化原理对概率哲学也具有重大意义，40 因为它提供了随机源的存在性，这些随机源可以通过对信源和纯化系统联合进行的测量来验证。40
第一部分#
现状
我想我可以很肯定地说，没有人真正理解量子力学。 ——理查德·费曼，《物理定律的本性》（1965）