量子理论的基本原理：一种信息论方法 on Yuunagi Library

前言

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

量子理论源于第一性原理：一个信息学方法#

量子理论是理论物理的灵魂。它不仅仅是关于特定物理系统的理论，更是一个具有普遍适用性的新框架。本书展示了如何通过六条信息论原理，自下而上地重建量子规则，从而重构该理论。读者将循序渐进地学习如何掌握量子世界中反直觉的方面，并学习如何从第一性原理高效地重建量子信息协议。本书利用直观的图形符号来表示方程，并采用更简短、更高效的推导，使得理论可以极其轻松地被理解和吸收。本书为该领域提供了一个全新的视角，并为本科生提供了一门关于量子理论和量子信息的有效课程。本书面向物理、计算机科学和哲学领域的研究人员、专业人士和学生，以及希望更深入理解该理论的、充满好奇心的圈外人士。

贾科莫·毛罗·达里亚诺（Giacomo Mauro D’Ariano）是帕维亚大学的教授，教授量子力学和量子理论基础课程，并领导QUit研究小组。他是美国物理学会会士、美国光学学会会士、伦巴第科学与文学院院士、西北伊利诺伊州光子通信与计算中心成员以及基础问题研究所成员。

朱利奥·基里贝拉（Giulio Chiribella）是香港大学计算机科学系的副教授和CIFAR-Azrieli全球学者。他是圆周理论物理研究所客座研究员、国际物理学中群论方法研讨会常务委员会委员以及基础问题研究所成员。2010年，他因在量子信息科学中应用群论而获得赫尔曼·外尔奖。

保罗·佩里诺蒂（Paolo Perinotti）是帕维亚大学的助理教授，教授量子信息论课程。他的研究活动主要集中在量子信息、量子力学和量子场论的基础方面。他是基础问题研究所和国际量子结构协会的成员。2016年，他因在量子基础方面的研究获得了伯克霍夫-冯·诺依曼奖。

量子理论源于第一性原理：一个信息学方法#

贾科莫·毛罗·达里亚诺（Giacomo Mauro D’Ariano）意大利帕维亚大学

朱利奥·基里贝拉（Giulio Chiribella）香港大学

保罗·佩里诺蒂（Paolo Perinotti）意大利帕维亚大学

剑桥大学出版社#

剑桥大学出版社出版社，剑桥 CB2 8BS，英国

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<www.cambridge.org> 有关本书的信息：<www.cambridge.org/9781107043428> <10.1017/9781107338340>

本出版物受版权保护。除法律规定的例外情况和相关集体许可协议的规定外，未经剑桥大学出版社书面许可，不得复制本书的任何部分。

首版 2017

在英国的 Clays, St Ives plc 印刷

本出版物的编目记录可从大英图书馆获得。

美国国会图书馆出版数据编目

作者：D’Ariano, G. M. (Giacomo M.) | Chiribella, Giulio | Perinotti, Paolo

书名：Quantum theory from first principles : an informational approach / Giacomo Mauro D’Ariano

第1章 · 从希尔伯特空间到量子理论

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

希尔伯特空间中的量子理论#

毫不意外，我们的语言无法描述原子内部发生的过程，因为正如人们所指出的，语言是为了描述日常生活的经验而发明的……幸运的是，数学不受此限制，而且我们已经能够发明一种数学方案——量子理论——它似乎完全足以处理原子过程。

沃纳·海森堡，《量子理论的物理原理》（1930）

在本章中，我们从三个简单的希尔伯特空间公设出发，基于态、变换和效应这些直观概念，在因果语境下，针对有限个系统和有限维引入量子理论的数学结构。这些概念将在第3章中形式化为一般的非因果语境，该章专门讨论信息框架。我们假设读者具备矩阵分析和希尔伯特空间上算子的基础知识。关于向无穷维、连续结果空间和无穷多个系统的扩展的评论，可参见本章末尾的注释。

从三个简单的希尔伯特空间公设出发，本章提炼出六项原理。在本书第三部分公理化推导中，这些原理将成为量子理论的基础公设。此外，我们将借此机会阐述并探讨该理论的诸多相关特征——包括其凸性和因果结构、Choi-Jamiołkowski同构，以及相关概念（如POVM、映射的完全正性、量子操作与信道、纠缠态、态区分、态层析成像与变换）。纯化原理将引出量子开放系统理论的膨胀定理，以及其他推论（如忠实态与操纵态的存在、无信息无干扰定理、量子隐形传态等）。我们将回顾量子不可克隆与不可编程定理，并最终给出量子信道求逆理论的完整推导——这是量子信息中量子纠错一般理论的支柱。其他有趣的主题包括：经典信息论作为量子信息论的限制，以及对冯·诺依曼公设与可观测量概念的批判性反思。

几则历史记录可于章末注释中查见。许多结果在正文所设习题中推导得出，大部分解答附于章末，读者亦可在该处找到附加问题。

2.1 原始概念#

量子理论是一门关于抽象系统的理论。根据具体语境，该系统可以有不同的物理实现形式，涵盖粒子自旋、轨道自由度，或是电磁场模式。在所有这些场景中，量子理论提供了一种高阶语言，可用于描述物理过程，并对可能实验中的结果概率进行预测。

一门关于抽象系统的理论建立在若干原始概念之上，例如状态、变换与观测。在讨论这些概念如何具体体现于量子理论的数学框架之前，有必要先以通用且独立于理论的方式对其进行阐述。本段所介绍的直观概念，将成为本章后续介绍量子理论的起点，同时也将作为对操作概率论更广泛框架的初步引导，该框架将在第3章中进行正式化。

我们用大写罗马字母表示抽象系统，如 A, B, ..., Z。系统 A 的一个状态——记为 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$——描述了对 A 的一种制备。制备程序可以由实验者实施（例如在碰撞实验中，以一定距离和特定速度制备两辆小车），也可以由自发的物理过程产生（例如通过核聚变制备太阳中微子）。与经典力学中状态知识使我们能够预测系统演化类似，在这里，状态使我们能够预测系统所经历的所有变换和观测的概率。变换会修改系统的状态，更一般地，它可以产生与输入系统不同的输出系统（例如，考虑化学反应，或原子对光子的吸收）。以 A 为输入、B 为输出的变换记为 $\mathcal{A} \in$ Transf(A→ B)。通常，变换可以概率性地发生。因此，我们应将变换视为一个完备检验 $\{{\mathcal{A}}_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$ 的元素，其中 $j$（属于集合 Y）是检验的结果，并且标记了给定过程中可能发生的所有替代变换。通常，这类检验描述了一个随机执行变换的测量装置，通过相应的结果指示发生了哪种变换。一个状态 $\rho ~ \in ~ \mathsf{St} ( \mathbf{A} )$ 本身可以被视为一种特殊类型的变换，其没有输入系统，输出系统为 A。通常，状态制备是概率性完成的，这意味着我们也应将 $\rho \in$ $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 视为对 A 执行的一个完备检验 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 的元素。这样的检验将被称为制备检验。此外，发生在处于状态 $\rho$ 的系统 A 上的变换 $\mathcal{A} \in \mathsf{T r a n s f ( A \to B )}$ 会导致系统 B 的状态 $\mathcal{A} \rho \in \mathsf{St} ( \mathrm{B} )$ 的制备。

第2章 · 理论框架

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

框架#

...一切科学都只是概率演算的无意识应用。

谴责这种演算就等于谴责整个科学。

亨利·庞加莱，《科学与假设》

在本章中，我们将介绍操作概率理论（Operational Probabilistic Theories, OPT）的框架。该框架的建立方式是：首先引入表达事件之间可能连接的操作语言（Operational Language），然后为这种语言的元素赋予概率结构。

操作语言允许描述物理过程及其在实验设定中的相互关联。例如，可以指定两个事件和在特定背景下是按顺序发生还是并行发生。然而，正是概率结构将操作语言从单纯的描述工具提升为预测框架，预测能力是一切科学理论及其可检验性的关键要求——这也是科学本身的本质。不同的OPT在赋予事件联合概率时会有不同的规则。

OPT是概率论（Probability Theory）的扩展，而概率论本身可以被视为逻辑学（Logic）的扩展。¹ 因此，OPT可以被视为逻辑学的扩展。在概率论的联合概率集合基础上，OPT增加了事件之间的连通性（Event Connectivity）。如果说概率方面只是量子理论（Quantum Theory）的一个侧面，那么事件连通性则是其独特特征，需要对其进行彻底的阐述。这正是本章的目的：为这种连通性提供框架和规则。在接下来的章节中，这些内容将使我们能够为OPT制定原理，特别是量子理论的原理。

3.1 操作语言#

任何操作理论的基本概念都是检验（Test）、事件（Event）和系统（System）。检验的概念除了包含一组事件外，还承载了通过系统实现的事件连通性。这些系统可以代表检验的输入和输出。检验的最终表示如下图所示：

$$ \begin{array}{r} {\frac{\textbf{A}} {\textbf{\{\mathcal{E}_{x} \}}_{x \in \mathrm{X}}} \textbf{B}} \end{array} $$

¹ Cox (1961)；Jaynes (2003)。

其中 $\{{\mathcal{E}}_{x} \}_{x \in \mathrm{X}}$ 表示检验的事件集合 ${\mathcal{E}}_{x}$，每个事件由属于X的概率空间（或结果空间，Outcome Space）的结果 $x$ 标记。左侧标记为A的导线代表输入系统，右侧标记为B的导线代表输出系统。同样的图示表示也适用于任何单个事件，即对于 $x \in \mathrm{X}$

$$ \begin{array}{r} \frac{\textbf{A} \displaystyle \boxed{\mathcal E_{x}} \frac{\textbf{B}} {\textbf{)}} .} \end{array} $$

在以下内容中，系统将用大写罗马字母 $\mathbf{A} , \mathbf{B} , \ldots , Z$ 表示，而事件则用大写草书字母 $\mathcal{A} , B , \ldots , \mathcal{Z}$ 表示。

第3章 · 新原理

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

新原理#

本章概述了用于重构量子理论的新原理。我们在第2章已经看到这些原理，在那里它们是作为量子理论的定理推导出来的。在本书第四部分，我们将实际进行反向过程，即从这些原理推导出量子理论。量子理论的所有特征——从叠加原理、纠缠、不可克隆、隐形传态、贝尔不等式违反、量子密码学——都可以仅使用这些原理来理解和证明，而无需使用希尔伯特空间，这确实是本书第三部分的目标，而第四部分则包含从原理出发推导理论的过程。

所有六条原理都是操作性（operational）的，因为它们规定了某些任务是否能够完成：它们为所有实验和所有可以在该理论中执行的协议设定了游戏规则。它们还为我们深入理解量子理论所暗示的世界观提供了巨大洞见。

我们回顾一下这些原理的列表：

组成原子性（Atomicity of Composition）
完美可区分性（Perfect Discriminability）
理想压缩（Ideal Compression）
因果性（Causality）
局域可区分性（Local Discriminability）
纯化（Purification）

除纯化原理外，所有六条原理都表达了经典理论和量子理论共有的标准特征。纯化原理在前五条原理所允许的理论中唯一地挑选出量子理论，部分解释了量子信息的魔力。

因果性、局域可区分性和纯化原理将分别在第五章、第六章和第七章中深入分析。其余三条原理——组成原子性、完美可区分性、理想压缩——将在本章剩余部分进行考察。

4.1 组成原子性#

在一般框架中，我们遇到过粗粒化操作（coarse-grained operation）和原子操作（atomic operation）的概念。粗粒化操作是通过合并一次检验（test）中的结果而得到的，对应于忽略某些信息。粗粒化的逆过程是精炼（refining）。原子操作是没有忽略任何信息的操作，即无法再精炼的操作。当操作是原子性时，实验者对实验室中发生的事拥有最大程度的知识。由原子操作组成的检验代表了根据我们的理论所能达到的最高控制水平。但是，是否有可能在整序列实验中都保持这样的控制水平？

组成原子性原理给出了肯定回答，精确地表述如下：

公理1（组成原子性）两个原子操作的序列是一个原子操作。

组成原子性是非常基本的规则，涉及最大信息如何随时间传播。设想一个该原理不成立的世界。在那个世界中，Alice执行一个操作 $\mathcal{A}_{x}$，其控制精度之高使她不可能更好地了解她的系统发生了什么。紧接着，Bob对Alice的系统执行另一个操作 $B_{y}$，他也对自己所做的事拥有最大知识。得到的操作 $B_{y} A_{x}$ 是粗粒化的，即这是一个可以由第三方Charlie模拟的操作：他执行一个检验 $\{{\mathcal{C}}_{z} \}_{z \in Z}$，然后将结果合并到合适的子集 $\mathsf{S}_{x y} \subset Z$ 中

$$ \frac{\textsc{A} \boxed{\mathcal{A}_{x}} \textsc{A} \boxed{\mathcal{B}_{y}} \textsc{A}} {z \in \mathbb{S}_{x y}} = \sum_{z \in \mathbb{S}_{x y}} \frac{\textsc{A} \boxed{\mathcal{C}_{z}} \textsc{A}} {z} . $$

尽管这一场景在逻辑上是可以想象的，但它引发了一些问题：所谓“额外信息”是关于什么的？哪些物理参数对应于结果 (z)？显然，它不是关于第一步发生的事件，因为爱丽丝已经掌握了关于这一步的最大知识。也不是关于第二步发生的事件，因为鲍勃掌握了关于那一步的最大信息。结果 (z) 必须指定两个时间步骤如何相互作用的一个特征——从某种意义上说，这是一种在时间上非局域的信息。量子理论是非局域的，但并不是以这种极端的方式！事实上，量子理论中的原子操作由具有单个Kraus算子的完全正映射描述，即形式为 (\mathcal{A}{x} ( \cdot ) = A{x} \cdot A_{x}^{\dagger}) 和 (\mathcal{B}{y} ( \cdot ) = B{y} \cdot B_{y}^{\dagger})，并且显然两个原子操作的复合仍然是原子的：(B_{y} A_{x} ( \cdot ) = ( B_{y} A_{x} ) {\cdot} ( B_{y} A_{x} )^{\dagger})。复合的原子性保证了这一性质在基本原理层面得以成立。

第4章 · 因果理论

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

因果理论#

本章介绍因果性公设，并推导因果 OPT 的数学结构。我们将证明当前因果性定义与爱因斯坦定义等价，并论证一旦剥离其虚假的决定论内涵，这是唯一可能的概念。此外，本文使用的因果性概念与自大卫·休谟以来的历史哲学概念以及人文科学中常识推理、推断和建模所使用的概念一致。¹

简而言之，本文的因果性概念可表述为"无来自未来的信号"要求。这也是 OPT 满足"无相互作用则无信号"原则的唯一必要条件。在 OPT 的数学术语中，因果性公设等价于确定性效应的唯一性，进而等价于状态归一化的能力。因果性概念如此自然地嵌入我们对现实的理解，以至于即使在基础研究中——包括近期的公理化体系中——它也常常无意识地隐含其中。²

5.1 因果性：从灰姑娘到基本原理#

因果关系一直是大量文献的研究对象，涵盖从纯哲学到经济学、法学、自然科学，当然还有物理学等广泛学科的数百本书籍和技术文章。同时，由于它涉及如此多样的学科领域，因果关系长期以来也是一个令人困扰的概念。或许不同知识分支中因果关系概念之间最自然的联系，存在于物理学与哲学的边界地带——从亚里士多德的早期著作，到勒内·笛卡尔开创现代观点的基石，再到大卫·休谟和伊曼努尔·康德的思想，直至当代关于物理因果关系的作品。³

因果关系一直停留在哲学领域，仅在物理学中作为背景存在，从未获得“定律”的地位或“原理”的级别。大多数情况下，因果关系以基于经验证据的特定假设形式潜入物理理论，例如当我们舍弃电动力学中的超前势，或推导克拉默斯-克勒尼希关系时。在其他情况下，因果关系体现在理论的“诠释”中，例如爱因斯坦的狭义相对论。在OPT框架中，因果关系往往隐藏在理论框架内部，如哈迪最近的公理化中。⁴

造成困扰的主要根源之一，在于因果关系与决定论概念之间的传统联系。⁵ 后者与物理因果律纠缠之深，以至于这两个概念常常被合并为因果决定论。这种联系的例证可见于量子理论奠基人马克斯·普朗克的论述："如果一个事件可以被确定地预测，那么它就是因果决定的。"⁶ 这种对因果关系与决定论的混淆，正是将量子关联错误解读为"幽灵般的超距作用"的主要源头——即通常把EPR关联解释为某种因果关系的常见情况。

这里所考虑的因果性属性，在经典力学背景下因"观测"与"制备"的等同而被 trivial化：只有一个经典测量，其结果是测量揭示出的纯经典态，且测量不会扰动该状态。量子理论中的互补性打破了观测与制备（测量与状态）之间的经典等同关系，因为可以在不同的不相容测量之间进行选择。于是，量子理论中的因果性便是制备概率独立于观测选择的假设。这一立场浓缩了因果性在物理学中出现的所有直观形式，并与爱因斯坦的因果概念有着密切关系。在本节的推导中，它以这种形式成为量子理论的第一个公理。⁷ 这样，因果性和决定论这两个概念在量子理论中（更一般地，在操作概率理论中）就完全解耦了，而经典理论只是决定论与因果性在概念上重叠的退化情形，对应于状态与测量结果相等这一特殊特征。在概率语境中，决定论等同于理论中所有物理事件概率都等于零或一这一同义反复的性质，这显然是一个没有因果内涵的定义。

事件之间的连通性是操作框架中正确定义因果性的关键特征，即存在多种"原因"和"效应"的情况，否则，正如罗素批评中所指出的，因果性概念将变得模糊不清。⁸ 这种连通性产生了与珀尔方法学因果方法相同的网络结构，⁹ 并使因果性概念具有了偏序结构。这种序使我们能够在操作电路上建立叶状结构，最终得出与爱因斯坦概念等价的结论。¹⁰

5.2 无来自未来的信号#

因果公理最终将引导我们将检验之间的输入-输出连接解释为因果联系，并将其顺序组合理解为在同一系统上进行的级联检验系列。现在我们来审视该公理的表述。

因果公理制备的概率独立于观测选择。

让我们分析一下因果公理的具体含义。考虑由制备检验 $\mathcal{X} = \{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \subset \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 后接观测检验 $\mathcal{V} = \{a_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}} \subset$ Eff(A) 在系统 A 上构成的联合检验：

$$ \textcircled{\mathcal X} \xrightarrow{\mathrm{~ A ~}} \textcircled{\mathcal Y} $$

制备 $\rho_{i}$ 和观测 $a_{j}$ 的联合概率由下式给出：

$$ p ( i , j | \mathcal{X} , \mathcal{Y} ) : = ( a_{j} | \rho_{i} ) \ \equiv \ \textcircled{\rho_{i}} \quad \quad \mathrm{~ A ~} \quad \textcircled{a_{j}} $$

单独制备的边际概率不依赖于结果 j。然而，它通常依赖于所执行的是哪个观测检验，即

第5章 · 局部可分辨性理论

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

具有局域可区分性的理论#

本章介绍局域可区分性原理，该原理规定了可以通过对组分系统进行局域测量来区分复合系统的状态。纠缠现象对复合系统中信息的可获取性以及变换表征的复杂度有着重要影响：局域可区分性极大地简化了状态集和变换集的结构，使纠缠态的整体论与还原论的科学方法得以协调。为说明该原理的结构性意义，我们将简要回顾一些不满足该原理的OPT，并将这些理论的特征与量子理论和经典概率理论（两者均满足该原理）进行对比。

6.1 纠缠与整体论#

整体论是量子理论的一个广为人知的特征，与纠缠态的存在相关。在量子理论中，存在纯纠缠态，其边缘态是完全混合的。这种情况对应于对整体有最大知识而对部分有最小知识。纠缠整体论的主要表现是无法将纠缠态上的联合测量统计结果与局域实在论（local realism）相协调。局域实在论假设对系统的任何测量仅仅是对系统上预先存在的编码量的读取。换言之，我们无法像经典OPT那样，将复合系统各部分测量结果的统计解释为我们对局部预存值的无知。

纠缠是否使得关于复合系统的信息在局域上不可获取？这将对获取物理系统信息的可能性提出严峻的实践问题。例如，假设两个遥远的望远镜观测来自恒星发射的纠缠光子源。整体论意味着发射过程的某些特征永远无法被探测到，除非我们能让纠缠光子进行相互作用并实施联合测量。另一方面，如果还原论方法可行，那么两个望远镜所在位置的局域观测就足以表征发射源。得益于局域可区分性原理，对于纠缠量子源而言实际情况正是如此。

整体论的另一个后果是变换通常无法通过局域实验来表征，即仅将未知变换应用于其输入系统。相反，我们可能需要让该变换的输入系统与整个宇宙中任何可能的附加系统纠缠，从而运行该变换。在这种情况下检验任何物理定律的有效性实际上是不可能的，例如，我们不仅需要在单一模式上检验麦克斯韦方程组，还需要在涉及所有多模式的纠缠态上检验。然而，得益于量子理论的局域可区分性，还原论方法是安全的。

量子理论中整体论与还原论的调和依赖于局域可区分性原理。该原理保证了组分系统上的局域测量足以识别任何复合系统的状态。这意味着，尽管两个系统以纠缠态制备，但从它们各自提取的信息足以重建关于其联合制备的全部信息。

纠缠和整体论并非量子理论所特有，而是涉及一般的OPT。纠缠态通过否定方式定义为那些不可分离的状态。复合系统AB的可分离态形式为

$$ \Sigma \left| \frac{\mathrm{~ {\cal ~ B} ~}} {\mathrm{~ {\cal ~ B} ~}} \right. = \sum_{i \in \Upsilon} p_{i} \frac{( \alpha_{i} ) \mathrm{~ {\cal ~ A} ~}} {( \beta_{i} ) \mathrm{~ {\cal ~ B} ~}} , $$

其中 $\{p_{i} \}$ 是一个概率分布，$\{\alpha_{i} \}$ 和 $\{\beta_{i} \}$ 分别是系统A和B的状态。在操作上，可分态是那些可以由两个远距离方——Alice和Bob——仅使用局部制备装置并通过交换经典通信而制备的状态。在经典OPT中，复合系统的所有状态都是可分的。¹

一个OPT的纠缠态表现出与量子纠缠态相同的令人困惑的特征，通常无法通过局部操作和经典通信来制备。与量子情况一样，OPT的纠缠态具有整体性（holistic）特征：其边缘态是混合的，对应着对整体有最大知识，但对部分却没有相应的最大知识。有趣的是，其逆命题也成立：对整体有最大知识但对部分没有，意味着纠缠。事实上，具有混合边缘态的纯态必然是纠缠的，因为所有可分的纯态都具有形式 $\alpha \otimes \beta$，其中α和β是纯态，即它们具有纯的边缘态。因此，我们可以得出结论：纠缠态的存在等价于OPT的整体性。

6.1.1 变换的整体性#

纠缠具有一个令人不安的方面：为了识别作用于系统A的变换，通常需要测试该变换对任意B的任意AB纠缠态的作用。对于可分的联合态来说，这不是问题，因为通过以下状态恒等式中的凸组合，该映射被扩展到AB：

$$ \overbrace{\sum \sum \underbrace{{\mathrm{~ {\cal ~ E} ~}} \left[ \frac{{\cal{A}}} {{\cal{A}}} \right]}_{\mathrm{~ {\scriptstyle ~ B} ~}}}^{\mathrm{~ \scriptstyle{\cal ~ A} ~}} = \sum_{i \in \Upsilon} p_{i} \overbrace{( \beta_{i} )}^{\mathrm{~ {\scriptstyle ~ A} ~}} \overbrace{{\mathrm{~ {\cal ~ B} ~}}}^{\mathrm{~ \scriptstyle{\cal ~ A} ~}^{\prime}} . $$

然而，对于一个包含纠缠态的理论，通常会出现这种情况：对系统 A 的所有状态以相同方式作用的两个变换，可能会在系统 AB 的某些纠缠态上产生不同的输出。这就要求我们指定在所有可能的复合系统 AB 上的变换，而实际上，这意味着，例如，在运行于整个宇宙的整体实验上检验一条物理定律。

第6章 · 纯化原理

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

纯化原理#

是什么让量子理论如此特别？每个人对此都有自己的看法：有人会提到纠缠、非局域性、互补性、不确定性,以及许多其他特征。从表面意义上说,每种回答都是合理的：量子理论与我们所熟悉的其他理论不同的每一个特征都可以被视为其独特特征,因为这让你能够将量子理论与已知理论区分开来。但这并不会让你走得很远。真正的问题不在于如何将量子理论与你已经知道的理论区分开来,而在于如何将其与你可能想象的所有理论区分开来。大多数特征在这方面并不擅长——例如,物理学家已经发明了许多展示纠缠、非局域性和互补性但仍然不是量子理论的玩具理论。在本章中,我们将提出关于什么使量子理论变得特别这个问题的答案：纯化。接下来,我们将探讨量子理论的一些最基本事实,如纠缠和隐形传态,将纯化与可追溯至薛定谔和冯·诺依曼的深层思想脉络联系起来。本章呈现的结果也是如何从基本原理出发推理量子理论的第一个例子。

7.1 一个独特且基本的特征#

纯化原理规定,当你对系统A的状态无知时,你总可以声称你的无知源于这样一个事实：A是更大系统AB的一部分,而你对这个更大系统有完全的知识。当你这样做时,你必须赋予复合系统AB的纯态由A的状态以本质上唯一的方式决定。

混合态的纯化是一个独特的特征——当然,不是我们在日常生活中体验到的。如果你连A本身都不知道,怎么能声称你知道A和B呢？这一反直觉的特征在量子理论的早期就已经被注意到,当时埃尔温·薛定谔曾著名地写道："表达这种特殊情况的另一种方式是：对整体的最佳可能认知并不必然包括对其所有部分的最佳可能认知。"¹ 在同一篇论文中,他还写道："我不会称之为一个特征,而宁可是量子力学的典型特征,是迫使其完全背离经典思维路线的特征。"

这是一个大胆的说法,如果你想到这是在1935年提出的！然而在今天,有大量证据支持这一观点。这里有三个很好的论据：首先,我们知道纯化与五个相当基本的原则相结合,在所有可以想象的理论中筛选出了量子理论。其次,物理学家一直试图制造出展示类量子特征但又不是量子理论的玩具理论。虽然他们在许多特征上取得了成功,但迄今为止纯化仍未被攻克：如果你想纯化混合态,那么量子理论似乎是唯一选择,最多只允许最小程度的变体。² 第三,量子理论的许多重要特征可以直接从纯化推导出来,而无需先推导出量子理论。这一事实强烈表明,在隔离量子理论特有内容方面,纯化正好切中要害。

混合态的纯化是量子理论特有的现象。但我们为何要将其视为自然的基本原理？初看之下，这似乎是个古怪的特性——它必须如此，因为量子理论本身就很奇特，若将其浓缩成一条原理，这条原理自然也会显得怪异。然而细想之下，我们会意识到纯化是一个基本要求：本质上它是连接物理学与信息论的桥梁。若没有概率与混合态的概念，信息论便毫无意义——信息的全部意义就在于存在我们预先未知的事物。但在牛顿与拉普拉斯的经典物理学世界中，一切事件都是确定的，根本层面上没有信息存在的空间。原则上，抛硬币或玩概率游戏毫无意义，因为结果早已注定，只要拥有足够的技术和计算能力，总能被预测。反观纯化原理告诉我们，"无知是物理的"。每个混合态都可以通过一个可靠流程一次性生成：将两个系统制备成纯态，然后丢弃其中一个。这个流程的结果是，剩余系统成为我们无知的物理化身。这一讨论表明，只有当纯化原理成立时，信息才可能成为物理学中的基本要素。

在此我们强调了“信息”和“无知”的作用。但如果你对这些主观概念侵入物理学殿堂感到困扰，完全可以将其替换为“随机性”，并认为这里讨论的核心在于随机性是否存在于基础层面。事实上，一个存在随机性的世界是一个混合态的世界（如果你有一个随机数生成器，总能用它来制备混合态）。在这样的世界里，自然会提出疑问：“为什么我们会遇到混合态？”从实在论者的角度看，如果一个混合态无法纯化，那么实际上系统完全有可能处于纯态——只不过我们恰好不知道这个纯态而已。因此，若要确保在最基础层面上某些态确实是混合的，纯化就成为必要条件。

在纯化与混合性的关系中，存在一种有趣的立场反转：纯化使我们能够从描述中消除混合性，从而用扩大系统的纯态取代混合态。不仅如此，纯化还允许我们将所有物理过程替换为作用于更大系统上的可逆过程。让我们明确阐述其含义。假设系统 (A) 经历了一个不可逆过程，转变为系统 (A')。那么纯化告诉我们，可以通过以下步骤模拟该过程：

纯化与可逆模拟#

制备处于纯态 (\beta) 的辅助系统 (B)。
通过可逆变换共同演化系统 (A) 和 (B)，使之转变为系统 (A') 和 (B')。
丢弃系统 (B')。

纯化与可逆模拟蕴含着深远的意义：

信息的守恒。在这个模拟中，丢弃系统 B 是整个过程里唯一的不可逆操作——如果我们保留系统 B，整个演化就是可逆的。如果你相信在基础层面上信息不能被摧毁，那这是个好消息。在专家们看来，这种信念被称为信息的守恒，其有效性通常被视为物理学最基础的定律之一。
可逆计算。信息的守恒不仅对理论物理学家很重要，对计算机科学家也是如此。总之，计算是一个物理过程，它将输入数据转化为输出数据。一般来说，这个过程不一定是可逆的——例如，考虑函数 (f(x) = x^{2}) 的计算。但是，是否可能仅使用可逆门来实现所有计算？贝内特（Bennett）在20世纪70年代提出了这个问题，并给出了肯定的回答：通过在过程的描述中添加一个系统，经典理论中可实现的所有确定性计算都可以仅使用可逆门来完成。现在，我们知道这在量子理论中也成立，但很容易构造出一些玩具理论，其中某些计算无法以可逆方式进行³。
随机算法的模拟。纯粹且可逆的模拟确保了概率计算也可以在不从外部泵入熵的情况下实现——也就是说，无需将系统 B 制备在混合态中。这意味着，即使是一个随机算法或蒙特卡洛模拟，也可以在不需要外部随机数生成器的情况下运行，仅从纯态开始。

以上三点提供了充分的理由，要求将纯粹且可逆的模拟能力作为物理过程的一个基本性质。既然纯化（purification）作为副产品提供了这一点，我们至少有三个充分的理由为此感到高兴。

但是，为了获得纯粹且可逆的模拟，我们是否必须要有纯化？答案是“是”，因为状态的制备是物理过程的一个特例——一个没有输入的过程。因此，如果你希望纯粹且可逆的模拟能力对所有过程都成立，那么你就需要将纯化作为一个特例包含在内。

接下来，我们将更深入地探讨纯化的后果，初步说明如何基于第一原理的高层推理重建关键的量子特征。

7.2 纯化原理#

以下是纯化原理的精确陈述：

纯化公理 对于每个系统 A 和每个状态 (\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} ))，都存在一个系统 B 和一个纯态 (\Psi \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{AB} ))，使得

[ \underbrace{\langle \rho \ \rangle^{\mathrm{~ \tiny ~ A ~~}}}_{\mathrm{{~~ \tiny ~ \left( ~ \frac ~ {~ \scriptstyle ~ \mathfrak ~ {~ B ~~} ~~} ~ \right)} {~~ \scriptstyle ~ \mathfrak ~ {~~ C ~} } ~~}} = \underbrace{\langle \Psi \ \rangle_{\mathrm{{~~ \tiny ~ B ~~} ~~}}^{\mathrm{~~ \tiny ~ A ~~}}}_{\mathrm{{~~ \tiny ~ \left( ~ \frac ~ {~~ \scriptstyle ~ B ~~} ~ \right)} {~~ \scriptstyle ~ \mathfrak ~ { C ~} ~} ~ ~}} . ]

第7章 · 编码信息

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

编码信息#

在前几章中，我们提出了一套新的量子理论原理，从现在起我们将以此为基础。真正的乐趣从现在开始：让这些原理相互交互，观察会得出什么结果。本章中，我们从第一次交互开始：将纯化与局部可区分性结合起来，我们建立了数据处理与纠缠处理之间的基本等价关系。然后利用这一等价关系探索物理系统携带的信息如何被编码到另一个系统中。特别地，我们研究了理想压缩的例子，其中用于编码的系统尺寸尽可能小。将理想压缩与纯化结合起来，我们证明了每个混合态都有一个最小纯化，其纯化系统尺寸最小。最后，本章发展的思想被应用于噪声信道的信息传输以及纠错的研究。

8.1 数据处理 = 纠缠处理#

在信息论中，人们常谈论信息源。信息源不过是一种制备装置，它以概率 $p_{x} > 0$ 从可能状态集 $\{\rho_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 中选择，发射处于某个状态 $\rho_{x}$ 的给定系统 A。这里，每个状态 $\{\rho_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 代表不同的数据片段，信息论学家的目标是实现对数据的某种期望处理——例如将其存储在硬盘上，或传输到远处。假设期望的处理由物理变换 ${\mathcal{A}}$ 描述。那么，任何在状态集 $\{\rho_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 上作用相同的其他变换 $\widetilde{A}$ 也同样有效。下文中，我们分析两个变换在给定源上作用相同的条件，揭示了数据处理与纠缠处理之间的深层关系。

如果源完全已知，则 $\mathcal{A}$ 和 $\widetilde{A}$ 作用相同的条件显然为

$$ \mathcal{A} \rho_{x} = \widetilde{\mathcal{A}} \rho_{x} \qquad \forall x \in \mathsf{X} .\tag{8.1} $$

在这种情况下，我们说 $\mathcal{A}$ 和 $\widetilde{A}$ 在输入源 $\{p_{x} \rho_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 时相等。假设我们并不确切知道源中的状态，但我们知道平均而言这些状态产生状态 $\rho = \sum_{x \in \mathsf{X}} p_{x} \rho_{x}$ 。为了保证 $\widetilde{A}$ 与 ${\mathcal{A}}$ 作用相同，我们现在需要检查式(8.1)对每个平均状态为 $\rho$ 的源 $\{p_{x} \rho_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 是否成立。这一条件可以用 $\rho$ 确定的面来优雅地表述，即由所有出现在 $\rho$ 的某个凸分解中的状态组成的集合 $F_{\rho}$：

第8章 · 三个不可行定理

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

三大不可能定理#

量子信息理论是一个广阔的研究领域，包含两个主要方向：量子计算与量子通信。量子计算理论的成功源于一个正面结果：肖尔算法¹。该算法能够以远高于现有计算机——甚至包括基于经典物理学最强大的可构想计算机——的效率完成整数分解。另一方面，量子通信的成功则源于理想量子密码协议的内在安全性，它依赖于一个负面结果：即无法在不以不可恢复方式扰乱量子信息的情况下读取它。

无干扰则无信息的性质催生了其他不可能定理，这些定理代表了量子信息理论中最著名、最经典的成果。其中必然包括不可克隆定理²，该定理指出复制量子信息是不可能的。这一不可能性显然是无提取信息而不扰动的不可能性的推论。事实上，如果我们能够精确复制系统的状态，将其再现到另一个同类系统上，那么我们就可以重复这一过程，生产出任意多的副本。随后我们就能从副本中提取所有感兴趣的信息，同时保持原始系统完好无损。

这一论证看似简单，却蕴含着一个关于量子信息——乃至更广义上任何可纯化的信息类型——的深刻洞见。假设确实存在一种测量手段，能够绝对精确地确定系统的状态。那么我们可以对系统进行这样的测量，一旦得知其确切状态，原则上就能随意多次重新制备相同的状态。如果某一理论禁止复制状态，那么我们必须得出这样的结论：在该理论中，测量状态同样被禁止！这正是纯化理论——尤其是量子理论——中的情形。³

在量子理论中，确定系统的状态是不可能的。我们只能对系统处于何种状态获得一些信息。这些信息可能很精确，但永远无法确定。这在经典理论中实际上也可能发生。然而，在我们的量子世界中，存在比实际不可能更强的情况。假设我们对状态有一些先验知识，并希望通过测量来检验它。在经典情况下，我们可以证实这样的预期；而在量子情况下，我们只能证伪自己的知识。换言之，即使发生了与先验知识相符的事件，这也永远不足以让我们确认对状态的信念。能够确定的只有否定的答案。

另一个源自“无干扰即无信息提取”这一不可能性的相关否定结果是不可编程定理，⁴该定理指出不可能构建一种量子设备，它接收两个输入态——一个数据态和一个程序态——并根据程序对数据精确执行任何幺正变换。这一否定结果揭示了经典信息论与量子信息论之间的又一差异。现代计算的成功确实不仅依赖于硅技术的惊人进步，还基于冯·诺依曼的“程序即数据”范式，它实现了通用图灵机的理念：通过提供一个编码为数据形式的合适程序，经典计算机可以编程执行任何计算。当该程序与实际数据一起通过通用程序进行处理时，计算机会对输入执行所需的操作。然而，这种简单架构在量子理论中是不可能的。事实上，通用量子计算只能近似实现，且近似程度随程序维度的增加而提高。

最后，我们将讨论一个刻画量子密码学特征的no-go定理：不可比特承诺定理（no-bit-commitment theorem）。该定理在量子信息领域非常流行，甚至被用作重构量子理论尝试中的一个原则。⁵ 比特承诺协议旨在允许一方（Alice）向另一方（Bob）发送一个比特，使得在Alice允许披露之前Bob无法读取该比特，同时Alice在编码后不能改变该比特的值。

比特承诺协议是密码学中一个非常重要的原始要素，而在经典信息论中已知完全安全的协议是不可能的。量子理论中也是如此，但证明需要相当复杂的工具来考虑每一方可能对协议中涉及量子系统施加的所有可能变换序列。对于具有纯化的一般理论，其证明涉及一个非常重要的刻画定理，该定理为策略提供了一种便捷的数学表示，因此因其简洁性和深刻洞见而极具启发性。

现在是时候看看所有这些惊人特征是如何从我们陈述的原理中得出的了。

9.1 不可克隆#

系统A的一组状态 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 的克隆通道是从A到复合系统 $\mathrm{\ A A}^{\prime}$ 的一个通道，其中 $\mathrm{A}^{\prime}$ 与A操作等价，使得

$$ \mathcal{C} | \rho_{i} )_{\mathrm{A}} = | \rho_{i} )_{\mathrm{A}} | \rho_{i} )_{\mathrm{A}^{\prime}} . $$

如果存在这样的克隆通道，我们就说状态 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 是完全可克隆的。注意，如果存在克隆通道，我们可以将其两次应用于未知状态 $\rho_{i} ,$ 从而得到它的三个相同副本，即

$$ ( {\mathcal{C}} \otimes{\mathcal{T}}_{\mathrm{A^{\prime}}} ) {\mathcal{C}} | \rho_{i} ) = | \rho_{i} )_{\mathrm{A}} | \rho_{i} )_{\mathrm{A^{\prime}}} | \rho_{i} )_{\mathrm{A^{\prime \prime}}} , $$

显然，重复这一过程，我们可以产生任意多的副本。

现在我们证明，在具有纯化的理论中，一组生成状态（特别是系统A的纯态集）不能被完美克隆。该证明基于完美可克隆性与完美可区分性的等价性。⁶ 实际上，这一结果在任何允许所有“测量-制备”通道的凸理论中都成立，无需因果性和局域可区分性。

第9章 · 完全可分辨态

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

10 完美可区分态#

区分态是物理学和信息论中的一项基本任务。本章将分析该任务的最有利情形，涉及可以完美区分（即无误差区分）的态。我们将首先介绍态的完美可区分性概念，并将其与状态空间面的完美可区分性联系起来。然后，我们将利用我们的原理证明一个关键性质，称为"无信息即无干扰"。这一性质将引导我们得出完美可区分性的一些核心特征。例如，它将使我们能够证明，每组完美可区分的态都可以细化为一组完美可区分的纯态。此外，无信息即无干扰性质将导致将完美可区分性在数学上刻画为正交性。最后，我们将引入完美可区分态极大集的概念，并证明极大性的充要条件。

10.1 态的完美可区分性#

假设Alice想要向Bob传达N个可能消息中的一个。为此，她将消息编码为某个物理系统（称为A）的状态，并将其发送给Bob。收到系统A后，Bob将对其进行测量，试图找出其中编码的是哪个消息。自然的问题是：Bob能否无误差地解码Alice的消息？

让我们用操作理论的语言来描述这种情况。Alice的编码只是将每个可能消息$i \in \{1 , \ldots , N\}$分配一个决定性态$\alpha_{i} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$。Bob的解码包括一个具有N个结果的测量，设为$\{b_{i} \}_{i = 1}^{N}$，其中结果j对应第j个消息。如果Alice编码了第i个消息，则Bob读出第j个消息的概率为

$$ p ( j | i ) = ( b_{j} | \alpha_{i} ) . $$

显然，当且仅当满足以下条件时，消息被无误差地解码：

$$ ( b_{j} | \alpha_{i} ) = \delta_{i j} \qquad i , j \in \{1 , \dots , N \} . $$

在这种情况下，我们说态$\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$是完美可区分的。注意，由于这些态是决定性的，式(10.2)的完美可区分性条件等价于条件

$$ ( b_{i} | \alpha_{i} ) = 1 \qquad \forall i \in \{1 , \ldots , N \} . $$

该条件显然对式(10.2)是必要的。也很容易看出它是充分的：由于每个态$\alpha_{i}$是决定性的，我们有

第10章 · 识别纯态

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

识别纯态#

如何检验系统处于某个给定纯态的假设？在本章中，我们分析这个问题，引入状态识别任务。我们将证明，根据某些原理，纯态可以通过原子效应来识别，这意味着，当进行二元检验时，该原子效应仅在给定纯态上必然发生。此外，我们将证明纯态与原子效应之间是一一对应的，并将这种对应关系称为"短剑"（dagger）。为了建立这种对应关系，我们将分析由引导性质（steering property）引发的状态与效应之间的另一种一一对应关系。这种对应关系将是后续章节结论的出发点。

11.1 状态识别任务#

假设爱丽丝购买了一台新的制备设备，该设备声称能制备系统 A 的纯态 α。然而，爱丽丝并不信任供应商，因为她有理由相信该设备并未真正制备状态 α。为了检验制备的状态是否真的是 α，最明显的策略是制备大量系统并进行层析成像，即执行一组完备的测量，其输出概率与状态一一对应。利用层析成像，爱丽丝可以找出设备制备的是什么状态，但会因有限统计而产生微小误差。然而，如果她的目标仅仅是检验状态是否为 α，则不需要完整的层析重构：只需一个二元测量 $\{a_{\mathrm{yes}} , a_{\mathrm{no}} \}$ 就足够了，该测量用于检验"系统处于状态 α"这一假设。此类检验的合理要求如下：

如果状态是 α，则检验应给出肯定结果，即

$$ ( a_{\mathrm{yes}} \mid \alpha ) = 1 ; $$

第二个要求等价于条件

$$ ( a_{\mathrm{yes}} \mid \rho ) < 1 \qquad \forall \rho \in{\bf S t} ( {\mathrm{A}} ) , \rho \neq \alpha . $$

¹ 要求对每个 $\rho \neq \alpha$ 都有 $( a_{\mathrm{no}} | \rho ) = 1$ 是不合理的，因为 $\rho$ 的精炼集 $\mathsf{RefSet}_{1} ( \rho )$ 通常包含 α（例如 $\rho = ( 1 - \epsilon ) \alpha + \epsilon \sigma )$），这使得完美区分不可能。

第11章 · 确定性隐形传态

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

结论性隐形传态#

在量子理论中，态由复希尔伯特空间上的厄米算子表示。这一事实导致了优美的数学结构，但也引发了一些令人困惑的问题：为什么是厄米算子？为什么是复希尔伯特空间？在本章中，我们将探讨这些问题，建立起态在希尔伯特空间中的表示与结论性隐形传态任务之间令人惊讶的联系。在结论性隐形传态中，发送方试图在不传递任何经典信息的情况下，将未知态传递给接收方。我们将看到，除非满足因果性和局域可区分性，否则结论性隐形传态无法确定性地实现。从定量角度看，我们将为给定系统 A 的结论性隐形传态的最大成功概率建立两个可达界限。第一个界限用 $d_{\mathrm{A}}$ 表示，即完美可区分态的最大数量。第二个界限用 $D_{\mathrm{{A}}}$ 表示，即系统态所张成的向量空间的维数。结合这两个界限，我们将证明基本等式

$$ D_{\mathrm{{A}}} = d_{\mathrm{{A}}}^{2} , $$

该等式对每个系统 A 普遍成立。由于这一等式，系统 A 的每个态都可以表示为 $d_{\mathrm{A}} \times d_{\mathrm{A}}$ 实矩阵，或者等价地表示为复 $d_{\mathrm{A}}$ 维希尔伯特空间上的厄米算子。能够将态表示为厄米算子是通向完整推导量子理论的重要里程碑，这将在本书的最后一章中实现。

13.1 任务#

在第7章中，我们看到了我们的原则蕴含了某种隐形传态方案的存在性，该方案能够仅利用预先存在的关联和有限量的经典通信，将任意态从发送方传递给接收方。这里我们关注隐形传态的一个变体，其中发送方和接收方完全不进行通信：发送方端的输入态仅以概率方式传递给接收方，前提是发送方执行的适当测量给出了正确的结果。

与通常的隐形传态场景一样，目标是将系统 A 的通用态从发送方传递给接收方。作为资源，发送方拥有一个与接收方实验室中另一个系统 A 副本相关联的系统 B。她传递态的策略是在输入系统 A 与系统 B 上执行一个二元测量，得到"成功"或"失败"两个结果之一。该方案的设计使得在"成功"结果出现时，态被传递给接收方。"失败"结果则表示传输失败。

用图示表示，成功态传递的条件是

$$ \overbrace \underbrace{\vphantom{\biggl (} \Psi | \sum_{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}^{\mathrm{~ B ~}} | _{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}}_{\mathrm{~ \tiny ~ ( ~ \rho ~ ) ~ \in ~ \mathcal{~ O} ~} \mathrm{~ \tiny ~ ( ~ \frac ~ {~ \rho ~} {~ \varepsilon ~} ~ ) ~}} = p_{\mathrm{yes}} \overbrace{\langle \mathrm{~ \rho ~ ] ~ \cdot ~ \mathrm{~ A ~} ~}}^{\mathrm{~ A ~}} \qquad \forall \rho \in \mathrm{{\bf S t} ( A )} , $$

其中是用于隐形传态的资源态，$\rho$ 是要传输的态，$B_{\mathrm{yes}}$ 是对应于成功结果的效应，$p_{\mathrm{yes}}$ 是成功结果出现的概率。

第12章 · 叠加原理

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

叠加原理#

叠加原理的操作意义是什么？这个问题可以通过回忆每个纯态都属于一个最大完美可区分集来回答。我们可以将最大完美可区分纯态集视为一种可以通过相应完美区分测量来测量的物理量。如果一个系统被制备成构成某个最大集的其中一个纯态，那么通过区分测量获得的信息可以被认为是对该物理量值的确定。

量子理论的一个强性质是：对于每一个对应于完美区分测量的物理量，以及该物理量值上的每一种可能的概率分布，都存在一个纯态，使得该物理量在该态中的值按照该特定概率分布分布。这个性质就是我们所说的叠加原理。

16.1 叠加原理#

现在我们将展示，在满足我们公设的理论中，叠加原理成立。

定理 16.1（一般系统的叠加原理） 设 $\{\varphi_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} \subseteq \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 是系统 A 的一组最大完美可区分纯态。那么，对于每一组概率 $\{p_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} , p_{i} \ge 0 , \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} p_{i} = 1$，存在一个纯态 $\varphi_{p} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$，使得

$$ p_{i} = ( \varphi_{i}^{\dagger} | \varphi_{p} ) \qquad \forall i = 1 , \ldots , d_{\mathrm{A}} .\tag{16.1} $$

或者等价地，

$$ \Pi_{\{\varphi_{i} \}} | \varphi_{p} ) = p_{i} | \varphi_{i} ) \qquad \forall i = 1 , \ldots , d_{\mathrm{A}} ,\tag{16.2} $$

其中 $\Pi_{\{\varphi_{i} \}}$ 是到 $\varphi_{i}$ 上的投影。

第13章 · 量子理论的推导

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

量子理论的推导#

在本章中，我们最终从基本原理出发完成了量子理论的重构。为此，我们将证明：维度为$d_{\mathrm{A}}$的系统的状态与希尔伯特空间$\mathcal{H}_{\mathrm{A}} \simeq \mathbb{C}^{d_{\mathrm{A}}}$上的密度矩阵一一对应，效应则与$\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$上受恒等算子约束的正算子一一对应。

原则上，这并未刻画整个理论，因为所有变换集合仍未被纳入图景。然而，基于"不被禁止即允许"这一事实（第7.12节，特别是命题7.10），我们知道：在一个具有局部可分辨性和唯一纯化的因果理论中，状态集完整地确定了该理论——即通过状态与效应之间的同构关系，变换集也被唯一确定。

因此，对于每个系统$\mathrm{A}$，状态集$\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$和效应集$\mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$的刻画完整地规定了该理论，在我们的情形中，该理论即为量子理论。

17.1 基底的选取#

为了规定状态与矩阵之间的对应关系，我们为向量空间$\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$选取一个特定的基底。该基底按如下方式构造：¹

首先选取一组最大的$d_{\mathrm{A}}$个完全可区分状态$\{\varphi_{m} \}_{m = 1}^{d_{\mathrm{A}}}$，并声明它们为前$d_{\mathrm{A}}$个基向量。
现在，对于每个$m < n$，由$\{\varphi_{m} , \varphi_{n} \}$生成的顶点面$F_{m n}$可以通过理想压缩方案$( \mathrm{Q} , \mathcal{E}^{( m n )} , \mathcal{D}^{( m n )} )$理想地编码到二维系统中。设

$$ \eta_{0} : = \mathcal{E}^{( m n )} \varphi_{m} , \quad \eta_{1} : = \mathcal{E}^{( m n )} \varphi_{n} .\tag{17.1} $$

由推论14.4可知，二维系统的凸状态集就是布洛赫球面，我们可以选择z轴为连接两个状态$\{\mathcal{E}^{( m n )} \varphi_{m} , \mathcal{E}^{( m n )} \varphi_{n} \}$的直线，例如取z轴正方向为从$\eta_{0}$指向$\eta_{1}$的方向。一旦规定了z轴的方向，我们就可以选择x轴和y轴。注意，在垂直于z轴的平面内，任意一对正交方向都是x轴和y轴的合法选择。² 设$\varphi_{x , +}^{m n} , \varphi_{x , -}^{m n} \in F_{m n}$和$\varphi_{y , +}^{m n} , \varphi_{y , -}^{m n} \in F_{m n}$分别为两对完全可区分状态$\eta_{x , \pm} , \eta_{y , \pm} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{Q} )$沿x轴方向和y轴方向的解码，即