叠加原理#

叠加原理的操作意义是什么？这个问题可以通过回忆每个纯态都属于一个最大完美可区分集来回答。我们可以将最大完美可区分纯态集视为一种可以通过相应完美区分测量来测量的物理量。如果一个系统被制备成构成某个最大集的其中一个纯态，那么通过区分测量获得的信息可以被认为是对该物理量值的确定。

量子理论的一个强性质是：对于每一个对应于完美区分测量的物理量，以及该物理量值上的每一种可能的概率分布，都存在一个纯态，使得该物理量在该态中的值按照该特定概率分布分布。这个性质就是我们所说的叠加原理。

16.1 叠加原理#

现在我们将展示，在满足我们公设的理论中，叠加原理成立。

定理 16.1（一般系统的叠加原理） 设 $\{\varphi_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} \subseteq \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 是系统 A 的一组最大完美可区分纯态。那么，对于每一组概率 $\{p_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} , p_{i} \ge 0 , \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} p_{i} = 1$，存在一个纯态 $\varphi_{p} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$，使得

或者等价地，

其中 $\Pi_{\{\varphi_{i} \}}$ 是到 $\varphi_{i}$ 上的投影。

证明 首先证明式 (16.1) 和式 (16.2) 之间的等价性。从式 (16.2) 出发，利用关系式 $( e | \Pi_{\{i \}} = ( \varphi_{i}^{\dagger} |$（这来自定理 15.19），可得式 (16.1)。反之，从式 (16.1) 出发，利用推论 15.29，可得式 (16.2)。现在，我们通过归纳法来证明式 (16.1)。$N = 2$ 的情况由推论 14.7 证明。假设该命题对任意维度 $d_{\mathrm{B}} = N$ 的系统 B 成立，且设 $d_{\mathrm{A}} = N + 1$。设 $F$ 是由 $\omega_{F} = 1 / N \sum_{i = 1}^{N} \varphi_{i}$ 确定的 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 的面，$F^{\bot}$ 是由态 $\varphi_{N + 1}$ 确定的正交面。现在有两种情况：要么 $p_{N + 1} = 1$，要么 $p_{N + 1} \neq 1$。如果 $p_{N + 1} = 1$，则无需证明：所需态就是 $\varphi_{N + 1}$。接下来，假设 $p_{N + 1} \neq 1$。利用归纳假设和第 4.3 节中的压缩公设，我们可以找到一个态 $\psi_{\mathbf{q}} \in F$，使得 $( \varphi_{i}^{\dagger} | \psi_{\mathbf{q}} ) = q_{i}$，其中 $q_{i} = p_{i} / ( 1 - p_{N + 1} )$，$i = 1 , \ldots , N$。然后我们定义一组新的最大完美可区分纯态 $\{\varphi_{i}^{\prime} \}_{i = 1}^{N + 1}$，其中 $\varphi_{1}^{\prime} = \psi_{\mathbf{q}}$，$\varphi_{N + 1}^{\prime} = \varphi_{N + 1}$。注意，由于 $\varphi_{N + 1}^{\prime} = \varphi_{N + 1} = \omega_{F^{\bot}}$，根据引理 15.9，有 $\omega_{F} = 1 / N \sum_{i = 1}^{N} \varphi_{i}^{\prime}$，即 F 是由态 $\{\varphi_{i}^{\prime} \}_{i = 1}^{N}$ 确定的面。现在考虑由 $\theta = \frac 12 ( \varphi_{1}^{\prime} + \varphi_{N + 1}^{\prime} )$ 确定的二维面 $F^{\prime}$。根据推论 14.7（量子比特的叠加原理），我们知道存在一个纯态 $\varphi \in F^{\prime}$，满足 $( \varphi_{1}^{\prime \dagger} | \varphi ) = 1 - p_{N + 1}$ 和 $( \varphi_{N + 1}^{\prime \dagger} | \varphi ) = p_{N + 1}$。定义 $V := \{1 , \ldots , N \}$ 和 $W := \{1 , N + 1 \}$。那么，我们有 $\Pi_{F} = \Pi_{V}$ 和 $\Pi_{F^{\prime}} = \Pi_{W}$，根据引理 15.26，

最后等式使用了推论15.29。最后，对于 $i = 1, \ldots, N$，我们有

另一方面，我们有 $( \varphi_{N + 1}^{\dagger} | \varphi ) = ( \varphi_{N + 1}^{\prime \dagger} | \varphi ) = p_{N + 1}$

16.2 纯化的完备性#

利用叠加原理和定理12.14的谱分解，我们现在可以证明，只要 $d_{\mathrm{B}} \geq d_{\mathrm{A}}$，系统A的每个态在AB中都有一个纯化。

引理16.2 对于每个态 $\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ 和每个满足 $d_{\mathrm{B}} \geq d_{\mathrm{A}}$ 的系统B，在 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{AB} )$ 中都存在ρ的一个纯化。

证明 取ρ的谱分解，由 $\begin{aligned} {\rho = \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} p_{i} \varphi_{i}} \end{aligned}$ 给出，其中$\{p_{i} \}$是概率，而系统A的$\{\varphi_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}}$是最大的完美可区分纯态集合。令$\{\psi_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{B}}}$为系统B的最大完美可区分纯态集合。显然，$\{\varphi_{i} \otimes \psi_{j} \}$是AB的最大完美可区分纯态集合。根据叠加原理（定理16.1），存在一个纯态 $\Psi_{\rho} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{AB} )$，使得 $( \varphi_{i}^{\dagger} \otimes \psi_{i}^{\dagger} | \Psi_{\rho} ) = p_{i} \delta_{i j}$ 。等价地，对于每个 $i =$ $1 , \ldots , d_{\mathrm{A}}$，我们有 $( \psi_{i}^{\dagger} | _{\mathrm{B}} | \Psi_{\rho} )_{\mathrm{AB}} = p_{i} | \varphi_{i} )_{\mathrm{A}}$，并且对于 $i > d_{\mathrm{A}}$，有 $( \psi_{i}^{\dagger} | _{\mathrm{B}} | \Psi_{\rho} )_{\mathrm{AB}} = 0$。对i求和，我们得到 $( e | _{\mathrm{B}} | \Psi_{\rho} )_{\mathrm{AB}} =$ $\begin{aligned} {\sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{B}}} ( \psi_{i}^{\dagger} | _{\mathrm{B}} | \Psi_{\rho} )_{\mathrm{AB}} = \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} p_{i} | \varphi_{i} )_{\mathrm{A}} = | \rho )_{\mathrm{A}}} \end{aligned}$ -

作为引理16.2的推论，我们有如下结论：

推论16.3 每个满足 $d_{\mathrm{B}} = d_{\mathrm{A}}$ 的系统B在操作上都等价于共轭系统 $\tilde{\mathrm{A}}$。

证明 根据引理16.2，不变态 $\chi_{\mathrm{A}} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 在 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{AB} )$ 中有一个纯化。此外，根据命题12.22，该纯化在B上的边缘态是不变态χ_B。根据定义，这意味着B是A的共轭系统。由于共轭系统 $\tilde{\mathrm{A}}$ 在操作等价意义下是唯一的（定理8.11），这就证明了该结论。-

16.3 相同维度系统的等价性#

我们现在可以证明，两个具有相同维度的系统A和B在操作上是等价的，即存在一个从A到B的可逆变换。换句话说，我们证明了在我们的理论中，信息维度将系统分类到操作等价的意义上。请注意这一显著事实：该性质是从基本原理推导出来的，而非从一开始就假定得到的。

推论16.4（等维度系统的操作等价性） 每两个满足 $d_{\mathrm{A}} = d_{\mathrm{B}}$ 的系统A和B在操作上都是等价的。

证明 根据推论16.3，A和B都操作等价于共轭系统 $\tilde{\mathrm{A}}$。因此，它们彼此操作等价。-

16.4 完美可区分纯态的可逆操作#

叠加原理的另一个重要推论是：可以通过可逆变换将任何任意最大完美可区分纯态集合变为任何其他这样的集合。

推论16.5 设A和B是两个满足 $d_{\mathrm{A}} = d_{\mathrm{B}} = : d$ 的系统，并设$\{\varphi_{i} \}_{i = 1}^{d}$（分别地，$\{\psi_{i} \}_{i = 1}^{d}$）是A（分别地，B）中的一个最大完美可区分纯态集合。那么，存在一个可逆变换 ∈ Transf(A→ B)，使得 $\mathcal{U} | \varphi_{i} ) = | \psi_{i} )$。

证明 设 $\Phi \in \mathsf{St} ( \mathsf{A} \tilde{\mathsf{A}} )$ 是不变态 $\chi_{\mathrm{A}}$ 的一个纯化。尽管我们知道 A 和 $\tilde{\mathrm{A}}$ 是操作等价的（推论16.3），但我们仍用符号 $\mathrm{A}$ 和 $\tilde{\mathrm{A}}$ 来区分 $\mathrm{A} \tilde{\mathrm{A}}$ 的两个子系统。通过关系式 $( \varphi_{i}^{\dagger} | _{\mathrm{A}} | \Phi )_{\mathrm{A} \tilde{\mathrm{A}}} = \textstyle{\frac{1} {d}} | \tilde{\varphi}_{i} )_{\tilde{\mathrm{A}}}$ 定义纯态 $\tilde{\varphi}_{i}$。那么，由引理11.6可得

另一方面，利用叠加原理（定理16.1）我们可以构造一个态 $\Psi \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{B} \tilde{\mathbf{A}} )$，使得 $( \psi_{i}^{\dagger} \otimes \tilde{\varphi}_{j}^{\dagger} | \Psi ) = \delta_{i j} / d ,$ 或等价地，

现在，$\Phi$ 和 $\Psi$ 在系统 $\tilde{\mathrm{A}}$ 上具有相同的边缘态：它们都是不变态 $\chi_{\tilde{\mathrm{A}}}$ 的纯化。此外，A 和 B 是操作等价的，因为它们具有相同的维数（推论16.4）。因此，由纯化的唯一性，存在一个可逆变换 $\mathcal{U} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A {\to} B )}$，使得

结合式(16.3)、(16.4)和(16.5)，我们最终得到

即对每个 $i = 1 , \ldots , d$，有 $\mathcal{U} | \varphi_{i} ) = | \psi_{i} )$。

16.5 小结#

在本章中，我们证明了量子理论的一个显著特征，即叠加原理。我们用纯态和原子效应表述了叠加。然后利用叠加原理证明了两系统如果具有相同维数则是操作等价的。