识别纯态#

如何检验系统处于某个给定纯态的假设？在本章中，我们分析这个问题，引入状态识别任务。我们将证明，根据某些原理，纯态可以通过原子效应来识别，这意味着，当进行二元检验时，该原子效应仅在给定纯态上必然发生。此外，我们将证明纯态与原子效应之间是一一对应的，并将这种对应关系称为"短剑"（dagger）。为了建立这种对应关系，我们将分析由引导性质（steering property）引发的状态与效应之间的另一种一一对应关系。这种对应关系将是后续章节结论的出发点。

11.1 状态识别任务#

假设爱丽丝购买了一台新的制备设备，该设备声称能制备系统 A 的纯态 α。然而，爱丽丝并不信任供应商，因为她有理由相信该设备并未真正制备状态 α。为了检验制备的状态是否真的是 α，最明显的策略是制备大量系统并进行层析成像，即执行一组完备的测量，其输出概率与状态一一对应。利用层析成像，爱丽丝可以找出设备制备的是什么状态，但会因有限统计而产生微小误差。然而，如果她的目标仅仅是检验状态是否为 α，则不需要完整的层析重构：只需一个二元测量 $\{a_{\mathrm{yes}} , a_{\mathrm{no}} \}$ 就足够了，该测量用于检验"系统处于状态 α"这一假设。此类检验的合理要求如下：

如果状态是 α，则检验应给出肯定结果，即

$$ ( a_{\mathrm{yes}} \mid \alpha ) = 1 ; $$

第二个要求等价于条件

$$ ( a_{\mathrm{yes}} \mid \rho ) < 1 \qquad \forall \rho \in{\bf S t} ( {\mathrm{A}} ) , \rho \neq \alpha . $$

¹ 要求对每个 $\rho \neq \alpha$ 都有 $( a_{\mathrm{no}} | \rho ) = 1$ 是不合理的，因为 $\rho$ 的精炼集 $\mathsf{RefSet}_{1} ( \rho )$ 通常包含 α（例如 $\rho = ( 1 - \epsilon ) \alpha + \epsilon \sigma )$），这使得完美区分不可能。

当条件 (11.1) 和 (11.2) 满足时，我们称效应 $a_{\mathrm{yes}}$ 识别了纯态 α。在一般理论中，并不能保证给定的纯态能被某个效应识别，例如，理论可能只包含“含噪测量”，其中没有任何结果以概率 1 发生。尽管如此，在许多理论中，纯态的识别是可能的，这些理论包括量子理论、经典理论以及无信号箱理论。² 为了熟悉这一概念，请尝试以下练习：

练习 11.1 证明在量子和经典理论中，每个纯态至少被一个效应识别。此外，证明如果要求该效应是原子的，那么它是唯一的。

练习 11.2 考虑一个假想系统，其状态构成一个正方形，允许的测量集包括：(i) 所有区分正方形对边的测量，以及 (ii) (i) 中测量的所有混合和粗粒化。证明每个纯态都被一个效应识别。注意，事实上存在两个不同的原子效应识别同一个纯态。

在接下来的几节中，我们将利用我们的原理证明每个纯态被且仅被一个原子效应识别。与我们原理的许多其他推论一样，这一特征排除了具有方形状态空间的系统。

11.2 每个原子效应对应唯一纯态#

首先，我们展示原子效应的一个性质，即原子效应在特定的纯态上达到其最大概率。

定理 11.1 对于 $\mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$ 中的每个原子效应 a，在 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 中存在唯一的纯态 α，使得 $( a | \alpha ) = \| a \|$

该定理的证明用到以下引理：

引理 11.2 如果 a 是原子的，且 $\rho$ 满足 $( a | \rho ) = \| a \|$，那么 $\rho$ 必为纯态。

证明显然，条件 $( a | \rho ) = \| a \|$ 意味着对于 $\rho$ 所确定的面的每个态 $\sigma$，都有 $( a | \sigma ) = \| a \|$。换句话说，有 $a = _{\rho} \ \| a \| e_{\mathrm{A}}$。对于 ${\bf \dot{\rho}}_{\bf \dot{\rho}}$ 的每个纯化，设 $\Psi \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{AB} )$，条件 $a = _{\rho} \ \| a \| \ e_{\mathrm{A}}$ 意味着

$$ \begin{array}{r} {\overbrace{{\vphantom{\biggl \{\Psi} \begin{array}{l} {{\biggr |}_{\mathrm{~ B ~}}^{\mathrm{~ A ~}}} \end{array}}}^{\mathrm{~ A ~}} = \underbrace{\Vert a \Vert}_{\mathrm{~}} \overbrace{{\vphantom{\biggl \{\Psi} \begin{array}{l} {{\biggr |}_{\mathrm{~ B ~}}^{\mathrm{~ A ~}}} \end{array}}^{\mathrm{~ A ~}} \overbrace{{\vphantom{\biggl \{\Psi} \begin{array}{l} {{\biggr |}_{\mathrm{~ B ~}}^{a}} \end{array}}^{\mathrm{~}} = \underbrace{{\vphantom{\biggl \{\Vert} a \Vert}}_{\mathrm{~ B ~}} \end{array} $$

这是根据纯化上的等式（定理 8.3）得到的。由于 a 是原子的，组成的原子性意味着状态

$$ {\textsc{\textsf{( B )}}}^{\mathrm{~ B ~}} : = {\frac{1} {\| a \|}} {\begin{array}{l} {\overbrace{\Psi \left[ {\begin{array}{l} {\mathrm{~ B ~}} \end{array} \right]}^{\mathrm{~ A ~}}} \end{array} : = {\frac{1} {\| a \|}} $$

是纯的。另一方面，式 (11.3) 意味着

$$ \begin{array}{r} {\overbrace{\underbrace{\left( \beta \ \right)}^{\mathrm{~ B ~}}} = \overbrace{\vphantom{\left( \Psi \ \frac{\left| \alpha \right|} {\mathrm{~ B ~}} \right)} \left( \Psi \mathrm{~ \left| ~ \frac{\partial ~ \psi} {\partial \Theta} ~ \right|}^{\mathrm{~ A ~}} \right)}^{\mathrm{~ A ~}}} \end{array} , $$

即：$\beta$ 是关于系统 B 的约化态。由于其约化态是纯的，$\Psi$ 必须是可分解的，即形如 $\Psi = \alpha \otimes \beta$（这可通过反读命题 7.3 得到），其中 $\alpha$ 是某个态。显然，$\alpha$ 必须与 $\rho$ 一致，且必须是纯的，否则 $\Psi = \alpha \otimes \beta$ 将是混合态。总之，$\rho$ 必须是纯态。

利用上述引理，定理 11.1 的证明便水到渠成。

定理 11.1 的证明 设 $\rho$ 是一个满足 $( a | \rho ) = \| a \|$ 的态。根据引理 11.2，$\rho$ 必须是纯态。而且，这个纯态必须是唯一的：假设 $\alpha$ 和 $\alpha^{\prime}$ 是纯态，满足 $( a | \alpha ) = ( a | \alpha^{\prime} ) = \| a \|$。那么对于 $\begin{array}{r} {\omega = \frac{1} {2} ( \alpha + \alpha^{\prime} )} \end$，有 $( a | \omega ) = \| a \|$。由于 $\omega$ 必须是纯的，可得 $\alpha = \alpha^{\prime}$。

因此，如果一个原子效应在某个纯态上给出概率 1，那么它便识别了该态，这是公式 (11.1) 和 (11.2) 的意义所在。为了证明每个纯态都能被识别，我们必须证明在给定纯态上给出概率 1 的原子效应集是非空的。这将在下一节中完成。

11.3 每个纯态均可被识别#

我们知道，每个纯态都可以成为最大完美可区分态集的一部分。给定一个能区分这些态的测量，我们现在证明与该纯态关联的效果必须是原子的。

引理 11.3 设 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N} \subset \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 是一组最大完美可区分态，并设 $\{a_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是用于区分它们的测量。如果态 $\alpha_{i_{0}}$ 是纯的，那么效应 $a_{i_{0}}$ 是原子的。

证明考虑态 $\begin{array}{r} {\omega = \sum_{i = 1}^{N} \alpha_{i} / N .} \end$ 根据定理 10.11，$\omega$ 是完全混合态。设 $\Psi \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{AB} )$ 是 $\omega$ 的最小纯化，如第 8.4 节所定义。根据导引性质，存在系统 B 上的一个测量 $\{b_{i} \}_{i = 1}^{N}$，使得

$$ ( \Psi \middle | \begin{array}{l} {\mathbf{A}} \\ {\mathbf{B}} \\ {\mathbf{B}} \end{array} ) = \frac{1} {N} \quad \Longleftrightarrow \middle | \begin{array}{l} {\mathbf{A}} \\ {\mathbf{A}} \end{array} \qquad i \in \{1 , . . . , N \} . $$

由于 $\Psi$ 在系统 B 上是忠实的，且态 $\alpha_{i_{0}}$ 是纯的，因此效应 $b_{i_{0}}$ 必须是原子的。

现在，通过如下关系定义归一化态 $\{\beta_{i} \}_{i = 1}^{N}$：

$$ \begin{array}{r} {\overbrace{\underbrace{\vphantom{\left( \beta_{i} \right)} \mathrm{~ B ~}}}^{\left( \beta_{i} \right) \mathrm{~ B ~}} : = N \quad \overbrace{\vphantom{\left( \Psi \left[ \frac{\left( a_{i} \right)} {\mathrm{~ B ~}} \right] \mathrm{~ B ~} \right)}}^{\mathrm{~ A ~}} \overbrace{\vphantom{\left( \frac{\left( a_{i} \right)} {\mathrm{d}} \right)} \mathrm{~ B ~}}^{\left( a_{i} \right)} \quad .} \end{array} $$

态的归一化是清晰的：如果在两边应用决定性效应，我们得到

$$ \begin{array}{l} {\displaystyle \big ( \beta_{i} \big )^{\mathrm{\textbf{B}}} \big [ \mathcal{e} \big ) = N \mathrm{\quad} \Bigg ( \Psi \Bigg | _{\mathrm{\textbf{B}} \big [ \mathrm{\textbf{\textit{\textbf{B}}}} \big [ \mathcal{a}_{i} \big )}^{\mathrm{\textbf{A}}}} \\ {= N \big ( \varpi \big )^{\mathrm{\textbf{A}}} \big [ \boldsymbol{a}_{i} \big )} \\ {= \displaystyle \sum_{j = 1}^{N} \big ( \frac{\boldsymbol{\alpha}_{j} \big )^{\mathrm{\textbf{A}}} \big [ \boldsymbol{a}_{i} \big )} {\mathrm{v}_{i} \in \{1 , \dots , N \}}} \\ {= 1 \qquad \forall i \in \{1 , \dots , N \} .} \end{array} $$

在公式 (11.5) 两边应用效应 $b_{j}$ 并利用公式 (11.4)，我们得到

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{r l} {\big ( \underbrace{\beta_{i}}_{\begin{array}{l} {i} \end{array} \big )^{\mathrm{~ B ~}} \big [ \underbrace{b_{j}}_{\begin{array}{l} {j} \end{array} \big ) = N} & {\left( \Psi \left[ \underbrace{\frac{\mathrm{~ A ~} \left[ \begin{array}{l} {a_{i}} \end{array} \right]} {\mathrm{~ B ~}}}_{\begin{array}{l} {\mathrm{~ B ~} \left[ b_{j} \right.} \end{array} \right) \right.} \\ {\left. \qquad = \big ( \frac{\alpha_{j}} {\operatorname{d}} \big )^{\mathrm{~ A ~}} \big [ \frac{a_{i}} {\operatorname{d}_{i}} \big ) \qquad \right.} \\ {\quad = \delta_{i j} \qquad \forall i , j \in \{1 , \dots , N \} ,} \end{array} \end{array} $$

这意味着状态 $\{\beta_{i} \}$ 是完全可区分的。特别地，我们有 $1 \geq \| b_{i_{0}} \| \geq ( b_{i_{0}} | \beta_{i_{0}} ) = 1$，因此 $\| b_{i_{0}} \| = ( b_{i_{0}} | \beta_{i_{0}} )$。由于效应 $b_{i_{0}}$ 是原子的，引理11.2强制状态 $\beta_{i_{0}}$ 是纯态。回顾式(11.5)中 $\beta_{i_{0}}$ 的定义，显然 $\beta_{i_{0}}$ 的纯性蕴含着 $a_{i_{0}}$ 的纯性。

总结起来，我们有：

每个原子效应在唯一的纯态上达到最大概率（定理11.1）；
每个纯态属于某个极大集（命题10.10）；
区分极大集中状态的测量必须将原子效应与集合中的纯态关联起来（引理11.3）。

结合后两个事实，我们得到期望的结果：

定理 11.4 对于每个系统 A，每个纯态都可以被一个原子效应识别。

11.4 对于一个纯态，只有一个原子效应#

我们已经看到每个纯态都可以被一个原子效应识别。但这个效应是唯一的吗？还是可以有两个不同的原子效应识别同一个纯态？下面的定理回答了这个问题。

定理 11.5 如果两个原子效应识别同一个纯态，那么它们相等。#

证明的基本思路是交换状态和效应的角色，将定理的结论简化为“如果两个纯态被同一个原子效应识别，那么它们相等”——这一事实已在定理11.1中得到证明。

状态和效应之间的角色交换本身是一个非常基本的结论，通过以下定理实现：

定理 11.6（转置定理） 设 B 是不变态 $\chi_{\mathrm{A}}$ 的最小纯化中的纯化系统。那么，存在两个双射映射

$$ \sharp : {\bf S t_{\mathbb{R}} ( A )} \to \mathsf{EH}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{B} ) , \quad \alpha \mapsto \alpha^{\sharp} , $$

和

$$ \flat : \mathsf{EH}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} ) \to \mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{B} ) , \quad a \mapsto a^{\flat} , $$

使得

$$ \begin{array}{r l r} {( \alpha{\bf \alpha} ]^{\mathrm{~ \tiny ~ A ~}} [ \overline{{{\bf ~ a}}} )} & {{} =} & {\big ( \frac{\ d^{\mathrm{~ b ~}}} {\ d a^{\mathrm{~ b ~}}} \big )^{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}} \big [ \alpha^{\sharp} \big ) ,} \end{array} $$

对于每个 $\alpha \in{\mathsf{St}}_{\mathbb{R}} ( {\mathsf{A}} )$ 和每个 $a \in \mathsf E \mathsf{ff}_{\mathbb R} ( {\mathrm{A}} )$ 成立。特别地，映射 $\sharp$ 将归一化纯态映射为归一化原子效应，而映射 $\flat$ 将归一化原子效应映射为归一化纯态。

该定理的证明以及线性映射 $\sharp$ 和 $\flat$ 的构造本身很重要，需要一些技术性工作。为此，我们将将其推迟到本章的结论部分。目前，我们仅观察到转置定理（定理11.6）给出了定理11.5的直接证明。

定理 11.5 的证明 设 A 是一个任意系统，$\alpha \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{A} )$ 是一个任意纯态，并设 $a$ 和 $a^{\prime}$ 是两个原子效应，使得 $( a | \alpha ) = ( a^{\prime} | \alpha ) = 1$。那么，式(11.8)给出等式

$$ \begin{array}{r l r l r l} {1 = {}} & {{} \left( {\underset{a^{\flat}} {\iint}} \right)^{\mathrm{~ B ~}} \left\{{\underset{\alpha^{\sharp}} {\iint}} \right\}} & {\quad \mathrm{and}} & {} & {{} 1 = {}} & {{} \left( {\underset{a^{\prime \flat}} {\underbrace{a^{\prime \flat}}}} \right)^{\mathrm{~ B ~}} \left\{{\underset{\alpha^{\sharp}} {\iint}} \right\}} \end{array} \mathrm{~ . ~} $$

由于一个原子效应只能在唯一纯态上达到最大概率（定理11.1），我们得到等式 $a^{\flat} = a^{\prime} {}^{\flat}$ 。映射的单射性进而推出 $a = a^{\prime}$ 。

11.5 对偶映射（The Dagger）#

在继续之前，有必要强调一下我们目前已取得的成果。通过研究识别纯态的任务，我们在给定系统A的归一化纯态集合与归一化原子效应集合之间建立了一一对应。更精确地说，我们可以定义对偶映射(†)，从A的确定性纯态到A的归一化原子效应，通过关系 $\alpha^{\dagger} : = a$ ，其中a是A的归一化原子效应，且满足 $( a | \alpha ) = 1$ 。在这个定义下，纯态与原子效应之间的一一对应给出了以下结果：

命题 11.7 映射†是从A的确定性纯态集合到A的归一化原子效应集合的双射。

由于†是双射，我们也可以定义其逆映射，将归一化原子效应映射回归一化纯态。略微滥用符号，我们也用符号†表示其逆映射：对于A的归一化原子效应a，定义 $a^{\dagger} : = \alpha$ ，其中α是A的纯确定态，满足 $( a | \alpha ) = 1$ 。

对偶映射的一个重要性质是，它将最大完全可区分纯态集合映射为最大鉴别测量：

命题 11.8 如果 $\mathsf{S} = \{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是一个最大完全可区分纯态集合，那么 $\left\{\alpha_{i}^{\dagger} \right\}_{i = 1}^{N}$ 构成一个测量——确切地说，它就是完美区分S中各个态的测量。

证明设 $\{a_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是完美区分S中各个态的测量。由于S中所有态都是纯态，每个效应 $a_{i}$ 必须是原子效应（引理11.3）。条件 $( a_{i} | \alpha_{i} ) = 1$ 进而推出 $a_{i} = \alpha_{i}^{\dagger}$ 。

更一般地，我们有：

推论 11.9 如果 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{r}$ 是完全可区分的纯态，那么原子效应 $\left\{\alpha_{i}^{\dagger} \right\}_{i = 1}^{r}$ 在一个测量中并存。

证明只需将 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{r}$ 扩展为一个纯态最大集合，然后使用命题11.8。

我们将在下一章看到，纯态与原子效应之间的一一对应具有深远的影响。第一个结果是，可逆变换群 $\mathbf{G}_{\mathrm{A}}$ 在归一化原子效应上是可迁的，正如它在纯态上一样：

引理 11.10 若 $a , a^{\prime} \in \mathsf{E} \mathsf{f} \mathsf{f} ( \mathrm{A} )$ 是两个原子效应，且 $\| a \| = \| a^{\prime} \| = 1$ ，则存在一个可逆信道 $\mathcal{U} \in \mathbf{G}_{\mathrm{A}}$ ，使得 $( a^{\prime} | _{\mathrm{A}} = ( a | _{\mathrm{A}} \mathcal{U} .$

证明由定理11.1，我们知道存在唯一的纯态 $\varphi$ 和 $\varphi^{\prime}$ ，分别满足 $( a | \varphi ) = 1$ 和 $( a^{\prime} | \varphi^{\prime} ) = 1$ 。现在，根据命题7.4，存在一个可逆信道 $\mathcal{U} \in \mathbf{G}_{\mathrm{A}}$ ，使得 $\vert \varphi )_{\mathrm{A}} = \mathcal{U} \vert \varphi^{\prime} )_{\mathrm{A}}$ 。因此， $( a^{\prime} | \varphi^{\prime} ) = ( a | \varphi )_{\mathrm{A}} = ( a | \mathcal{U} | \varphi^{\prime} )$ 。最后，由定理11.5，得到 $( a^{\prime} | _{\mathrm{A}} = ( a | _{\mathrm{A}} \mathcal{U}$ 。

为了练习你已学到的内容，可以尝试以下习题：

习题 11.3 给定一个纯态 α 和一个一般的混合态 $\rho$ ，证明以下命题等价：

α 与 $\rho$ 完全可区分；
$( \alpha^{\dagger} | \rho ) = 0 .$

11.6 转置态#

在本节以及接下来的两节中，我们将证明转置定理（定理11.6），展示如何将纯态与原子效应互换。关键思想是取不变态的最小纯化，并利用这个纯化来“转置”态和效应。

构造过程如下：对于系统A和归一化纯态 $\alpha \in \mathsf{P u r S t_{1} ( A )}$ ，我们定义概率 $p_{\alpha}$ 为：

$$ p_{\alpha} : = \operatorname*{max} \left\{p : \exists \rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} ) , \chi_{\mathrm{A}} = p \alpha + ( 1 - p ) \rho \right\} . $$

根据定义，$p_{\alpha}$ 是不变态 $\chi_{\mathrm{A}}$ 的凸分解中纯态 α 的最大概率。注意 $p_{\alpha}$ 非零，因为不变态 $\chi_{\mathrm{A}}$ 是完全混合态，即每个纯态都能以非零概率出现在其凸分解中。此外，$p_{\alpha}$ 与 α 无关：

引理 11.11 对任意一对归一化纯态 α 和 $\alpha^{\prime}$，有 $p_{\alpha} = p_{\alpha^{\prime}}$

证明对每个纯态 $\alpha^{\prime}$，存在一个可逆变换使得 $\alpha^{\prime} = \mathcal{U} \alpha$（命题 7.4）。因此，$\chi = p \alpha + ( 1 - p ) \rho$ 当且仅当 $\chi = p \alpha^{\prime} + ( 1 - p ) \mathcal{U} \rho$。对 p 取最大值可得 $p_{\alpha^{\prime}} = p_{\alpha}$。

由于 $p_{\alpha}$ 与 α 无关，我们将其记为 $p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}$。

现在我们准备构造映射 $\sharp$，它把 A 的状态变为 B 的效应。选取不变态 $\chi _ { \mathrm { A } }$ 的一个最小纯化，记为 $\Phi \in \mathsf { P u r S t } ( \mathrm { A B } )$。那么，命题 7.5 的操控性质保证了对于每个归一化纯态 $\alpha \in \mathsf { P u r S t _ { 1 } ( A ) }$，存在一个效应 $\alpha ^ { \sharp }$，使得

$$ ( \Phi \overbrace{{\frac{\Phi} {\hbar \mathrm{\tiny ~ [ ~ \alpha \stackrel{A} {\alpha}} ]}}}^{\mathrm{\tiny ~ A}} : = p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{\tiny ~ A}} \overbrace{{\frac{\alpha} {\hbar \mathrm{\tiny ~ [ ~ \alpha \stackrel{A} {\alpha}} ]}}^{\mathrm{\tiny ~ A}}}^{\mathrm{\tiny ~ A}} \quad . \qquad $$

注意 $\alpha^{\sharp}$ 由式 (11.10) 唯一确定：由于 $\Phi$ 是最小纯化，有

$$ \begin{array}{r} {\begin{array}{r l} {\left( \Phi \boxed{\begin{array}{l} {\mathrm{~ \scriptstyle{\beta} ~}} \\ {\mathrm{~ \scriptstyle{\beta} ~}} \end{array} \right) =} & {{} \left( \Phi \boxed{\begin{array}{l} {\mathrm{~ \scriptstyle{\beta} ~}} \\ {\mathrm{~ \scriptstyle{\beta} ~}} \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \qquad b^{\prime} = b .} \end{array} \end{array} $$

此外，效应 $\alpha^{\sharp}$ 必须是原子的；实际上，$b_{1} + b_{2} = \alpha^{\sharp}$ 意味着

$$ \begin{array}{r} {\begin{array}{r l} {( \Phi \large \vert_{\textbf{B} \displaystyle \prod_{\alpha} \hat{\big \vert} \delta_{1} \big )}^{\textbf{A}} +} & {{} ( \Phi \large \vert_{\textbf{B} \displaystyle \prod_{\alpha} \hat{\big \vert} \delta_{2} \big )}^{\textbf{A}} =} & {( \Phi \large \vert_{\textbf{B} \displaystyle \prod_{\alpha} \hat{\big \vert} \delta}^{\textbf{A}} ) = p_{\alpha} \underbrace{( \overline{{\alpha}} )^{\textbf{A}}}_{, \big \vert \alpha \big \vert_{\alpha} \big \vert_{\alpha}} \quad ,} \end{array} \end{array} $$

并且，由于 α 是纯的，

$$ \begin{array}{r l} {( \Phi \middle | _{\begin{array}{l} {\mathbf{B}} \\ {\mathbf{B}} \end{array}^{\mathrm{~ A ~}} )^{\mathrm{~ \tiny ~ \propto ~}}} & {( \Phi \middle | _{\begin{array}{l} {\mathbf{B}} \\ {\mathbf{B}} \end{array}^{\mathrm{~ A ~}} | b_{2} )^{\mathrm{~ \tiny ~ \propto ~}}} & {( \Phi \middle | _{\begin{array}{l} {\mathbf{B}} \\ {\mathbf{B}} \end{array}^{\mathrm{~ A ~}} ) .} \end{array} $$

再次，$\Phi$ 是最小纯化这一事实得出 $b_{1} \propto b_{2} \propto \alpha^{\sharp}$，这意味着 $\alpha^{\sharp}$ 是原子的。

映射 $\sharp : \alpha \mapsto \alpha^{\sharp}$ 的作用可以通过线性性扩展到 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 中的任意向量：对于归一化纯态的任意线性组合，比如说 $\textstyle X = \sum_{i} c_{i} \alpha_{i}$，我们定义

$$ X^{\sharp} : = \sum_{i} c_{i} \alpha_{i}^{\sharp} . $$

很容易验证这一定义是良定的：如果 $\begin{array}{r} {X = \sum_{j} c_{j} \alpha_{j}^{\prime}} \end$ 是 $\scriptstyle \lambda$ 的另一种分解，则必有

$$ \sum_{j} c_{j}^{\prime} \quad \widehat{\underline{{\boldsymbol{\Phi}}}} \overset{\mathrm{A}} {\underset{\left\{\boldsymbol{\Phi} \right\}} {\left\{\boldsymbol{\Phi} \right\}}} \overset{\mathrm{A}} {\underset{\left\{\boldsymbol{\alpha}_{j}^{\prime} \right\}} {\left\{\boldsymbol{\alpha}_{j}^{\prime} \right\}}} = \quad \widehat{\underline{{X}}} \overset{\mathrm{A}} {\longrightarrow} = \sum_{i} c_{i} \quad \widehat{\boldsymbol{\Phi}} \overset{\mathrm{A}} {\underset{\left\{\boldsymbol{\Phi} \right\}} {\left\{\boldsymbol{\Phi} \right\}}} \overset{\mathrm{A}} {\underset{\left\{\boldsymbol{\alpha}_{i}^{\prime} \right\}} {\left\{\boldsymbol{\alpha}_{j}^{\prime} \right\}}} . $$

由于 $\Phi$ 是一个最小纯化，这表明了关系式

$$ \sum_{j} c_{j}^{\prime} \alpha_{j}^{\prime \sharp} = \sum_{i} c_{i} \alpha_{i}^{\sharp} \equiv b_{X} , $$

即 $X^{\sharp}$ 的定义不依赖于 X 所使用的分解选择。

映射 $\sharp$ 的关键性质如下：

命题 11.12 映射 $\sharp$ 是单射。此外，B 的每个（归一化的）原子效应都是 A 的（归一化的）纯态像。

证明单射性直接由方程 (11.10) 得出，因为当应用到 $\Phi$ 时，一个效应 $b \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$ 不能引导出系统 A 的两个不同状态。现在，令 $b^{\prime}$ 为 B 的一个一般原子效应。我们必须证明 $b^{\prime}$ 是 A 的一个纯态的像。为此，定义非归一化状态

$$ \begin{array}{r l} {( \underbrace{\alpha^{\prime}} ]^{\mathrm{~ A ~}} : =} & {{} \boxed{\Phi} \boxed{\begin{array}{l} {\mathrm{~ A ~}} \\ {\mathrm{~ B ~}} \\ {\mathrm{~ B ~}} \end{array} .} \end{array} $$

由复合系统的原子性，状态 $\alpha^{\prime}$ 必须是纯的。现在，定义概率 $p^{\prime} : = ( e_{\mathrm{A}} | \alpha^{\prime} )$ 并注意，根据定义 $p^{\prime} \leq p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}$ 。定义归一化的纯态 $\tilde{\alpha} : = \alpha^{\prime} / p^{\prime}$ ，方程 (11.12) 给出

$$ \left( \Phi \right)_{- \mathrm{\bf ~ B} - \left[ \mathrm{\bf ~ b}^{\prime} \right)}^{\mathrm{\bf ~ A}} = \left( \varpi^{\prime} \right)^{\mathrm{\bf ~ A}} = p^{\prime} \binom{\tilde{\alpha}} {\tilde{\alpha}}^{\mathrm{\bf ~ A}} = \frac{p^{\prime}} {p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{\bf ~ A}}} \quad \left( \Phi \right)_{\mathrm{\bf ~ B} - \left[ \tilde{\alpha}^{\dagger} \right)}^{\mathrm{\bf ~ A}} , $$

最后一步用到了方程 (11.10)。由于 $\Phi$ 是一个最小纯化，我们得出结论

$$ b^{\prime} = \frac{p^{\prime}} {p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}} \tilde{\alpha}^{\sharp} , $$

或者，等价地，

$$ b^{\prime} = \alpha_{*}^{\sharp} , \qquad \alpha_{*} : = \frac{p^{\prime}} {p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}} \tilde{\alpha} . $$

注意 $\alpha_{*}$ 是一个（次归一化的）状态，因为 $p^{\prime} \leq p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}$ 。方程 (11.14) 证明了每个原子效应 $b^{\prime} \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$ 都是某个纯态 $\alpha_{*} \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{A} )$ 的像。

此外，如果 $\mathbf{\bar{\Sigma}}_{b^{\prime}}$ 是归一化的，那么 $\alpha_{*}$ 也必须是归一化的：实际上，对方程 (11.13) 取范数可得

$$ 1 = \| b^{\prime} \| = \frac{p^{\prime}} {p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{A}}} ~ \left\| \tilde{\alpha}^{\sharp} \right\| \leq \left\| \tilde{\alpha}^{\sharp} \right\| , $$

这意味着 $\left\| \tilde{\alpha}^{\sharp} \right\| = 1$ 以及 $p^{\prime} / p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}} = 1$ 。总之，我们在方程 (11.14) 中得到 $\alpha_{*} = \tilde{\alpha}$ ，这意味着 $\alpha_{*}$ 是归一化的。因此，$b^{\prime}$ 是一个归一化纯态的像。 -

作为命题 11.12 的一个推论，我们得到了以下结果。

推论 11.13 B 的每个原子效应都与一个归一化的原子效应成比例。

证明由于映射 $\sharp$ 是线性的，且 B 的原子效应集合包含于 $\mathsf { P u r S t } ( \mathrm { A } )$ 的像中，显然对于原子效应 $b \in \mathsf { E f f } ( \mathbf { B } )$ ，存在 $\alpha \in \mathsf { P u r S t } ( \mathrm { A } )$ 使得 $b = \alpha ^ { \sharp }$ 。现在，由于 $\alpha = \lambda \tilde { \alpha }$ 且 $\tilde { \alpha }$ 是归一化的纯态，同样有 $b = \alpha ^ { \sharp } = \lambda { \tilde { \alpha } } ^ { \sharp }$ ，且根据命题 11.12，$\| \widetilde { \alpha } ^ { \sharp } \| = 1$。 -

11.7 效应转置#

我们现在定义映射 $\flat : \mathsf{E f f_{\mathbb{R}}} ( \mathrm{A} ) \to \mathsf{S t_{\mathbb{R}}} ( \mathrm{B} )$ ，它转置 A 的效应。在这种情况下，我们简单地设定

$$ {\sqrt{\underline{{a^{\flat}}} \rfloor - \operatorname B}} : = {\frac{1} {p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{A}}}} \quad{\sqrt{\Phi \left[ {\frac{\mathrm{A} \setminus \left[ {a} \right)} {\mathrm{B}}} \right. \qquad \forall a \in \mathsf{E} \mathsf{f} \mathsf{f} ( \mathrm{A} ) ,}} $$

根据线性性质，这定义了 % 在 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 的每个元素上的作用。

映射 % 的关键性质总结如下：

命题 11.14 映射 % 是单射。此外，它将归一化原子效应映射为归一化纯态。

证明单射性由 $\Phi$ 是完全混合态 $\chi_{\mathrm{A}}$ 的纯化这一事实直接得出。现在，令 $a$ 为一个归一化原子效应。根据定义(11.15)，$p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}} a^{\mathrm{p}}$ 是系统 B 的一个未归一化态。由于复合的原子性，该态是纯态。接下来证明 $a^{\mathrm{b}}$ 是一个归一化纯态。定义概率

$$ \begin{array}{r l r} {q_{a} : =} & {{} ( \Phi \frac{\mathsf{\Pi}_{\mathrm{~ \tiny ~ A ~}}^{\mathrm{~ A ~}} [ \ a )} {\mathsf{\Pi}_{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}^{\mathrm{~ B ~}} [ \ e )}} & {\equiv} & {\frac{\hbar \mathrm{\tiny ~ \cdot ~} \mathrm{\tiny ~ A ~}} {\hbar} \frac{\varpi} {\mathsf{\Pi}_{\mathrm{~ \tiny ~ A ~}}^{a}} \frac{\mathsf{\Pi}_{\mathrm{~ \tiny ~ A ~}}} {\mathsf{\Pi}_{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}^{a}} \frac{} {\mathsf{\Pi}_{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}^{\mathrm{~ B ~}}} \frac{} {\mathsf{\Pi}_{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}^{\mathrm{~ B ~}}} \frac{} {\mathsf{\Pi}_{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}^{\mathrm{~ B ~}}} \frac{} {\mathsf{\Pi}_{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}^{\mathrm{~ B ~}}} \frac{} {\mathsf{\Pi}_{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}^{\mathrm{~ B ~}}} \frac{} {\mathsf{\Pi}_{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}^{\mathrm{~ B ~}}}} \end{array} $$

以及归一化纯态

$$ ( \widetilde{\underline{{{a}}}}^{\flat} \rfloor^{\flat} \Pi^{\mathsf{B}} : = \frac{1} {q_{a}} \quad ( \Phi | \begin{array}{l l l l} {\underline{{{\mathsf{A}}}}} & {\overline{{{\mathsf{a}}}}} & {\underline{{{p}}}^{\mathrm{A}}} & {( \underline{{{a}}}^{\flat} )^{\flat}} & {\} \\ {\mathsf{B}} & \equiv \begin{array}{l l l l} {\underline{{{q}}}_{a}} & {( \underline{{{a}}}^{\flat} )^{\flat}} & {\ .} \end{array} \end{array} $$

现在，我们的目标是证明 $q_{a} = p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}$ ，这意味着 $a^{\mathrm{b}}$ 是一个归一化态。为此，令 $\alpha_{*}$ 为满足 $( a | \alpha_{*} ) = 1$ 的纯态，并将不变态分解为 $\chi_{\mathrm{A}} = p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}} \alpha_{*} + ( 1 - p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}} ) \rho$ ，其中 $\rho$ 为某个态。由方程(11.16)可得

$$ \begin{array}{r l} & {q_{a} = ( a | \chi_{\mathrm{A}} )} \\ & {\quad = p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}} \left( a | \alpha_{*} \right) + ( 1 - p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}} ) \left( a | \rho \right)} \\ & {\quad \geq p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}} ,} \end{array} $$

这里使用了条件 $( a | \alpha_{*} ) = 1$ 和 $( a | \rho ) \geq 0$。我们现在证明反向不等式。令 $b^{\prime}$ 为一个原子效应，使得

$$ \begin{array}{r} {\left( \tilde{\boldsymbol{a}}^{\flat} \right)^{\flat} \frac{\boldsymbol{\mathrm{\textbf{B}}}} {b^{\prime}} \boxed{b^{\prime}} = 1} \end{array} $$

（根据定理 11.4，这样的效应存在）。定义概率 $p^{\prime}$ 为

$$ \begin{array}{r l} {p^{\prime} : =} & {{} \ @ \overbrace{\Phi \left[ \underbrace{\mathrm{\bf ~ B}_{\mathbf{\Lambda}}}_{\mathrm{\bf ~ B}} \right] b^{\prime}}^{\mathrm{\bf ~ A}}} \end{array} $$

并定义归一化纯态 $\alpha^{\prime}$ 为

$$ \underbrace{\overbrace{( \alpha^{\prime} \mathbf{\Lambda} )}^{\mathrm{~ A ~}} : = \frac{1} {p^{\prime}}}_{\begin{array}{l} {( \mathrm{~ \Phi ~} )} \end{array} \underbrace{\overbrace{\Phi}^{\mathrm{~ A ~}}}_{\begin{array}{l} {\mathrm{~ B ~}} \\ {\mathrm{~ B ~}} \end{array} . $$

显然，上述方程意味着不变态可以分解为 $\chi_{\mathrm{A}} = p^{\prime} \alpha^{\prime} + ( 1 - p^{\prime} ) \rho^{\prime}$ ，其中 $\rho^{\prime}$ 为某个合适的态。因此，我们必有

$$ p^{\prime} \leq p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{A}} . $$

此外，将效应 a 作用于方程(11.21)两端，我们得到

$$ \begin{array}{r l} \boxed{\underline{{\boldsymbol{\alpha}^{\prime}}}} \boxed{\begin{array}{c} {\mathrm{\bf \ddot{\boldsymbol{\alpha}} \boxed{\begin{array}{c} {\mathrm{\bf \ddot{\boldsymbol{\alpha}} \boxed{\boldsymbol{\alpha} a}}} \\ {\mathrm{\bf \ddot{\boldsymbol{p}}^{\prime}}} \end{array}}} = \frac{1} {p^{\prime}}} & {\left( \Phi \boxed{\begin{array}{c} {\mathrm{\bf \ddot{\boldsymbol{\ A}}}} \\ {\mathrm{\bf \ddot{\boldsymbol{\beta}} \boxed{\boldsymbol{\alpha} \sqrt{\boldsymbol{\beta}}}}} \\ {\mathrm{\bf \ddot{\boldsymbol{\beta}} \boxed{\boldsymbol{\beta}}}} \end{array} \right)} \\ {= \frac{q_{a}} {p^{\prime}} \boxed{\boldsymbol{\tilde{\alpha}}^{\flat}} \boxed{\mathrm{\bf \ddot{\beta}^{\prime}}}} \\ {= \frac{q_{a}} {p^{\prime}}} & {,} \end{array} \end{array} $$

其中第二个等号应用了方程(11.17)，最后一个等号应用了方程(11.19)。由于 $( a | \alpha^{\prime} ) \leq 1$，我们得到不等式

$$ \frac{q_{a}} {p^{\prime}} \leq 1 , $$

将其与方程(11.22)结合，得到

$$ q_{a} \le p^{\prime} \le p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}} . $$

将此不等式与方程(11.18)的反向不等式结合，得到 $q_{a} = p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}$。将此关系代入方程(11.17)，我们得到 $\tilde{a}^{\flat} = a^{\flat}$，这意味着 $a^{\mathrm{b}}$ 是归一化的。

11.8 玩弄转置#

在前两节中，我们费力构建了映射 $ 和 %。现在是时候享受这一构造带来的好处了。

首先，很容易看出转置不改变概率：

引理 11.15 对于每个态 $\alpha \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 和每个效应 $a \in \mathsf E \mathsf{ff} ( \mathrm{A} )$，有 $( a | \alpha ) = ( \alpha^{\sharp} | a^{\flat} )$。

证明若 $\alpha$ 是归一化的纯态，该等式可直接由定义(11.10)和(11.15)得出。通过线性性质，该等式可推广到任意态。

此外，A的归一化纯态与B的归一化原子效应之间存在一一对应：

引理 11.16 映射 $ 建立了A的纯态与B的原子效应之间的双射。

证明从归一化纯态开始。如果 $\alpha$ 是归一化纯态且 $a$ 是满足 $( a | \alpha ) = 1$ 的原子效应，那么由引理11.15，我们有 $( \alpha^{\sharp} | a^{\flat} ) = 1$。因此，$\alpha^{\sharp}$ 是归一化的原子效应。简而言之，A的归一化纯态集的像包含在B的归一化原子效应集中。另一方面，命题11.12已经证明了反向包含关系。我们得出结论：$ 是A的归一化纯态集与B的归一化原子效应集之间的双射。利用推论11.13（即B的所有原子效应都与某个归一化原子效应成比例），通过线性性质，该双射可推广到任意纯态和原子效应。

纯态与原子效应之间的双射具有重要结论，其中最引人注目的由以下引理凸显。

引理 11.17 设 $\Phi \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{AB}} )$ 是系统A不变态的最小纯化。那么，$\Phi$ 在系统B上的边缘态是系统B的不变态。

证明设 $b$ 是B的归一化原子效应。由命题11.12，存在A的归一化纯态 $\alpha$，使得 $\textit{b} = \alpha^{\sharp}$。将引理11.15应用于关系 $( e_{\mathrm{A}} | \alpha ) = 1$，我们得到 $( b | e_{\mathrm{A}}^{\sharp} ) = ( \alpha^{\sharp} | e_{\mathrm{A}}^{\flat} ) = 1$。现在设 $\begin{array}{r} {( b^{\prime} | = ( b | \mathcal{V}} \end$。由于可逆变换 $\mathcal{V}$ 保 $b$ 的范数，即 $\| b^{\prime} \| = \| b \| = 1$，由引理11.16，存在A的某个归一化纯态 $\alpha^{\prime}$，使得 $b^{\prime} = \alpha^{\prime \sharp}$。于是对每个 $\boldsymbol{\nu} \in{\mathbf G}_{\mathrm{B}}$，有 $( b | \mathcal{V} | e_{\mathrm{A}}^{\flat} ) = ( \alpha^{\prime} {}^{\sharp} | e_{\mathrm{A}}^{\flat} ) = 1$，并且对 $\mathcal{V}$ 取平均，得到

$$ ( b | e_{\mathrm{A}}^{\flat} ) = ( b | \mathcal{T} | e_{\mathrm{A}}^{\flat} ) = \lambda ( b | \chi_{\mathrm{B}} ) , $$

其中 $\tau$ 是扭织通道。由于归一化的原子效应 b 是任意的，且 B 的每个原子效应都与某个归一化效应成比例，这意味着 $e_{\mathrm{A}}^{\flat} = \lambda$ χ_B，其中 $\lambda = ( e | e_{\mathrm{A}}^{\flat} ) \geq 0$。回顾映射的定义 [式(11.15)]，我们有

$$ \lambda \underbrace{\langle \mathcal{X} \ \rangle^{\mathrm{~ \bf ~ B ~}}}_{\mathrm{{~ \scriptsize ~ ~}}} = \underbrace{\langle e_{\mathrm{{A}}}^{\flat}^{\mathrm{~ \bf ~ B ~}}}_{\mathrm{{~ \scriptsize ~ ~}}} = \frac{1} {p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}} \quad \underbrace{\langle \Phi \rangle_{\mathrm{~ \bf ~ B ~}}^{\mathrm{~ \bf ~ A ~}} [ e )}_{\mathrm{{~ \scriptsize ~ ~}}} \quad . $$

将确定性效应作用于两边，我们得到 $\lambda = 1 / p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}$，这意味着

$$ \begin{array}{r l} {( \underbrace{\mathcal{X} \ ]^{\textbf{B}}}} & {{} = \quad \overset{\overbrace{\Phi} \} {\underbrace{\mathbf{B}}}} \end{array} $$

由于 $\Phi$ 是 B 上不变态的纯化，我们可以交换构造中系统 A 和 B 的角色。由此，我们可以定义从系统 B 到系统 A 的转置映射。稍微滥用符号，我们仍使用符号 $\sharp$ 和 $\flat$ 表示映射 $\sharp : \mathsf { S t } _ { \mathbb { R } } ( \mathrm { B } ) \to \mathsf { E f f } _ { \mathbb { R } } ( \mathrm { A } )$ 和 $\flat : \mathsf { E f f } _ { \mathbb { R } } ( \mathrm { B } ) \to \mathsf { S t } _ { \mathbb { R } } ( \mathrm { A } )$，它们由以下关系定义：

$$ \begin{array}{r l} {\left( \Phi \frac{\mathbf{A} \cdot \sqrt{\beta^{\sharp}}} {\mathbf{B}} \right)} & {: = p_{\operatorname*{max}}^{\mathbf{B}} \quad \overbrace{\left( \beta \ \right)^{\mathbf{B}}}^{\big \mathrm{B}} \qquad \forall \beta \in \mathsf{St} ( \mathrm{B} )} \end{array} $$

和

$$ {\bf \Big (} \underline{{b^{\flat}}} {\Big )} \mathrm{\normalfont ~ -A} : = \frac{1} {p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{B}}} \mathrm{\normalfont ~ \left( \right.} \Phi \mathrm{\normalfont ~ \left| ~ \frac ~ {\cal ~ B} ~ {\cal ~ B} ~ \right| ~} \mathrm{\normalfont ~ \forall} b \in \mathsf{E} \mathsf{f} \mathsf{f} ( \mathrm{B} ) . $$

比较式(11.10)和(11.15)的定义与式(11.23)和(11.24)中的定义，我们得到以下引理。

引理 11.18 最大导引概率 $p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}$ 和 $p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{B}}$ 相等。

证明对于两个归一化的原子效应 $a \in \mathsf E \mathsf{ff} ( \mathrm{A} )$ 和 $b \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$，我们有

$$ ( \overbrace{b^{^{b}}}^{b^{^{b}}} \overbrace{\mathbf{\Gamma}}^{\mathrm{\textbf{A}}} [ \varDelta ] = \frac{1} {p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{B}}} = \overbrace{\Phi}^{\mathrm{\textbf{A}}} \overbrace{\mathbf{\Gamma}}^{\mathrm{\textbf{A}} [ \varDelta ]} = \frac{p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}} {p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{B}}} \overbrace{\left. \frac{\mathbf{\Gamma}} {\mathbf{\Gamma}} \right. \mathbf{\Gamma}}^{\mathrm{\textbf{A}}} \overbrace{b}^{\mathrm{\textbf{B}}} . $$

选择一个能够识别 $b^{\flat}$ 的效应 a，我们得到

$$ 1 = ( a | b^{\flat} ) = \frac{p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}} {p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{B}}} ( b | a^{\flat} ) \leq \frac{p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}} {p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{B}}} , $$

这蕴含着不等式 $p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{B}} \leq p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{A}}$。另一方面，选取一个标识 $a^{\flat}$ 的效果 b，我们得到反向不等式 $p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{B}} \geq p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{A}}$。

现在我们来证明映射 $\sharp$ 和 $\flat$ 是双射。为此，我们证明以下命题：

命题 11.19 映射 $\sharp : \mathsf{St} ( \mathrm{A} ) \to \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} )$ 和 $\flat : \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} ) \to \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 互逆。类似地，映射 $\sharp : {\mathsf{St}} ( {\mathrm{B}} ) \to{\mathsf{Eff}} ( {\mathrm{A}} )$ 和 $\flat : {\mathsf{Eff}} ( {\mathrm{A}} ) \to{\mathsf{St}} ( {\mathrm{B}} )$ 也互逆。

证明设 α 是 A 的一个归一化纯态。那么，根据定义我们有

$$ \begin{array}{r l} {\overbrace{\big ( \alpha^{\sharp} \big )^{\flat}}^{\mathrm{A}} \Big ]^{\mathrm{A}} - \underbrace{1}_{p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{B}}}} & {\overbrace{\bigoplus_{\mathrm{B}} \underbrace{\big ( \alpha \big )^{\mathrm{A}}}_{\mathrm{\normalfont \in \Gamma \big / \partial \alpha \big / \partial \alpha}}}^{\mathrm{A}} = \frac{p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{A}}} {p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{B}}} \overbrace{\big ( \alpha \big )^{\mathrm{A}}}^{\mathrm{A}} = \overbrace{\big ( \alpha \big )^{\mathrm{A}}}^{\mathrm{\normalfont \langle \alpha \big )^{\mathrm{A}}}} ,} \end{array} $$

这里利用了 $p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}$ 和 $p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{B}}$ 相等的事实（引理 11.18）。因此，$\flat \circ \sharp$ 是 $\mathsf{P u r S t_{1} ( A )}$ 上的恒等映射。由线性性，容易看出 $\flat \circ \sharp$ 是 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathbf{A} )$ 上的恒等映射。

另一方面，设 b 是 B 上的一个归一化原子效果。那么，我们有

$$ \begin{array}{l} ( \Phi )_{\begin{array}{l} {\boxed{\begin{array}{l} {\mathbf{B}} \\ {\mathbf{B}} \end{array} [ \begin{array}{l} {\mathbf{A}} \\ {\mathbf{B}} \end{array} ]^{\sharp}} \\ {\{\begin{array}{l l} {\frac{\mathbf{B}} {\mathbf{B}}} \end{array} \}^{\sharp} ( \begin{array}{l l} {\gamma^{\mathrm{A}}} \\ {\mathbf{B}} \end{array} )^{\sharp}} \end{array}^{\mathrm{d}} = p_{\operatorname*{max}} \quad \overbrace{\big ( \underline{{b}}^{\flat} \big )^{\sharp}}^{\mathbf{A}} - = = \frac{p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{A}}} {p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{B}}} \quad \overbrace{( \Phi )_{\begin{array}{l} {\mathbf{B}} \\ {\mathbf{B}} \end{array} \mathbf{[ \underline{{b}} \end{array} ]}^{\mathrm{A}}}^{\mathbf{A}} = \quad ( \Phi )_{\begin{array}{l} {\mathbf{B}} \\ {\mathbf{B}} \end{array}^{\mathbf{A}} \underbrace{[ \begin{array}{l} {\mathbf{A}} \\ {\mathbf{B}} \end{array} ]}_{\begin{array}{l} {\mathbf{B}} \end{array} , ) $$

再次利用了 $p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}$ 和 $p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{B}}$ 重合的事实。比较第一项和最后一项，我们得到对于任意 $^{b ,}$ 有 $\left( b^{\flat} \right)^{\sharp} = b$，这意味着 $\sharp \circ \flat$ 是 B 的归一化原子效应集合上的恒等映射。通过线性性质并利用推论 (11.13)，我们得到 $\sharp \circ \flat$ 在 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathsf{B} )$ 上也是恒等映射。总之，$\sharp : \mathsf{St} ( \mathrm{A} ) \to \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} )$ 和 $\flat : \mathsf{EH} ( \mathrm{B} ) \to \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 互为逆映射。

在之前的论证中交换 A 和 B 的角色，我们就能得到映射 $\sharp : \mathsf{St} ( \mathrm{A} ) \to \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} )$ 和 $\flat : \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} ) \to \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 的预期结果。

现在我们已经达到了构造的结论，该构造旨在证明转置定理 11.6。证明通过汇总命题 11.12、11.14 和 11.19 的结果得出。

11.9 小结#

在本章中，我们研究了识别纯态的操作任务。我们发现，在满足我们原理的理论中，有以下性质：

每个归一化原子效应都能识别某个归一化纯态；
每个归一化纯态都可以由唯一的一个归一化原子效应识别。

这两个结果建立了系统的归一化纯态与其归一化原子效应之间的一一对应关系，我们称之为 dag 算子。为了构造 dag 算子，我们利用了另一种基于引导概念的称为转置的一一对应关系。作为构造的副产品，我们还发现，以 B 为纯化系统的 A 的不变态的每个最小纯化，都必须是系统 B 的不变态的一个纯化。

对角化#

多亏了谱定理，每个量子态都可以分解为完全可区分态的随机混合。这是一个显著的性质，在冯·诺依曼熵和其他熵量的定义中起着关键作用。在本章中，我们证明这个性质可以直接从第一原理重构出来。我们的策略是将每个物理系统 A 与一个共轭系统 $\overline{{\mathrm A}}$ 关联起来，该共轭系统代表一个与 A 最大相关的镜像。我们将证明，共轭系统上的态和测量与原始系统上的态和测量存在一一对应关系。这种对应关系将使我们能够证明两个重要事实：(i) 一个系统的所有纯最大集合具有相同数量的元素，且 (ii) 每个纯最大集合都以不变态为其重心。利用这两个事实，我们将证明每个态都可以分解为完全可区分纯态的混合，并获得谱定理和施密特分解的操作性版本。

12.1 共轭系统与共轭态#

定义 12.1 如果复合系统 $\mathrm{A} \overline{{\mathrm{A}}}$ 允许对不变态 $\chi_{\mathrm{A}}$ 进行最小纯化，则称系统 $\overline{{\mathrm A}}$ 与 A 共轭。

显然，每个系统 A 都有一个共轭系统，且该共轭系统在操作等价意义下是唯一的：实际上，根据定理 8.11，我们知道每个态都有一个最小纯化，并且最小纯化在可逆变换下是唯一的。此外，容易看出共轭是一种对合：

命题 12.2 对于每个系统 A，有 $\overline{{\overline{{\mathrm{A}}}}} = \mathrm{A}$。

证明设 $\Phi \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{A} \overline{{\mathrm{A}}} )$ 是不变态 $\chi_{\mathrm{A}}$ 的一个最小纯化。根据引理 11.17，$\Phi$ 在系统 $\overline{{\mathrm A}}$ 上的边缘态是不变态 $\mathbb{\chi}_{\overline{{\mathrm{A}}}}$。因此，$\Phi$ 是 $\mathbb{\chi}_{\overline{{\mathrm{A}}}}$ 的一个纯化。此外，由于纯化系统上的边缘态是完全混合的，该纯化是极小的。——

除了系统的共轭，引入态上的共轭也很方便。这可以使用上一章定义的映射 †、$ 和 % 来实现：

定义 12.3 态 $\alpha \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 的共轭是由下式定义的态 $\overline{{\alpha}} \in \mathsf{St} ( \overline{{\mathbf{A}}} )$

$$ \overline{{{\alpha}}} : = \left( \alpha^{\dagger} \right)^{\flat} . $$

容易看出对应关系 $\alpha \mapsto \overline{{\alpha}}$ 是双射：实际上，映射 † 是 A 的归一化纯态与 A 的归一化原子效应之间的双射，而映射 $\flat$ 是 A 的归一化原子效应与 ${\overline{{\mathrm{A}}}}$ 的归一化纯态之间的双射。作为两个双射映射的复合，共轭是 A 的归一化纯态与 ${\overline{{A}}}$ 的归一化纯态之间的双射映射。这个双射通过线性性扩展到一般态。

以下引理提供了态共轭的另一个等价定义：

引理 12.4 对于系统 A 的每个态 α ，有 $\overline{{\alpha}} = \left( \alpha^{\sharp} \right)^{\dag}$ 。

证明由定义，我们有

$$ \begin{array}{r l r l} {1 =} & {{} \left( \underline{{\alpha}} \right)^{\mathrm{~ A ~}} \left[ \underline{{\alpha}}^{\dagger} \right) =} & {{} \left( \left( \alpha^{\dagger} \right)^{\mathrm{~ b ~}} \right]^{\mathrm{~ \overline{{A}} ~}} \left[ \alpha^{\sharp} \right] \equiv} & {{} \left( \overline{{\alpha}} \right)^{\mathrm{~ \overline{{A}} ~}} \left[ \alpha^{\sharp} \right) .} \end{array} $$

由于原子效应 $\alpha^{\sharp}$ 标识了纯态 ${\overline{{\alpha}}}$ ，我们有 $\overline{{\alpha}} = \left( \alpha^{\sharp} \right)^{\dag}$ 。

态共轭的两种替代定义由以下交换图说明：

$$ \begin{array}{l} {\alpha \xrightarrow{\mathrm{~ \# ~}} \alpha^{\dagger}} \\ {\mathrm{~ \# ~} \sqrt{\updownarrow}} \\ {\alpha^{\sharp} \xrightarrow{\mathrm{~ \# ~}} \alpha^{\dagger}} \end{array} $$

利用上述结果，可以很容易证明态的共轭是一个对合：

引理 12.5 对于系统 A 的每个态 α ，有 $\overline{{\overline{{\alpha}}}} = \alpha$ 。

证明我们有

$$ \begin{array}{r} {\overline{{\overline{{\alpha}}}} = \left\{\left[ \left( \alpha^{\dagger} \right)^{\flat} \right]^{\sharp} \right\}^{\dagger} = \left( \alpha^{\dagger} \right)^{\dagger} = \alpha ,} \end{array} $$

第一个等式由引理 12.4 得出，第二个等式由事实 $ 是 % 的逆映射得出，第三个等式由事实效应的 † 是态的 † 的逆映射得出。

关于态共轭最重要的事实是，它在 A 的最大完美可区分辨纯态集与 ${\mathrm{\overline{{A}}}}$ 的最大完美可区分辨纯态集之间建立了一一对应关系：

引理 12.6 如果 $\mathsf{S} = \{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是 A 的一个最大完美可区分辨纯态集，则 $\overline{{\mathsf{S}}} = \{\overline{{\alpha}}_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是 ${\overline{{\mathrm{A}}}}$ 的一个最大完美可区分辨纯态集。

证明由定义，我们有

$$ \begin{array}{r l} & {\delta_{i j} = \left( \underset{i} {\alpha_{i}} \right)^{\mathrm{\tiny ~ A}} \left[ \alpha_{j}^{\dagger} \right)} \\ & {\quad = \left( \begin{array}{l} {\left( \alpha_{j}^{\dagger} \right)^{\mathrm{\tiny ~ b}}} \\ {\left( \alpha_{j}^{\dagger} \right)^{\mathrm{\tiny ~ A}}} \end{array} \right]^{\mathrm{\tiny ~ A}} \left[ \alpha_{i}^{\sharp} \right)} \\ & {\quad \equiv \left( \overline{{\alpha_{j}}} \right]^{\mathrm{\tiny ~ \overline{{A}}}} \left[ \alpha_{i}^{\sharp} \right) .} \end{array} $$

因此，集合 $\overline{{\mathsf{S}}} = \left\{{a}_{i}^{\flat} \right\}_{i = 1}^{N}$ 中的状态是正交的。但在我们的理论中，正交性等价于完美可区分性（引理10.8），所以 $\bar{\mathsf{S}}$ 是一组完美可区分的纯态。最后，$\bar{\mathsf{S}}$ 必须是最大的。实际上，如果 $\bar{\mathsf{S}}$ 包含在一个更大的集合 $\overline{{\mathsf{T}}}$ 中，那么原始集合 ${\mathsf S} = \overline{{\mathsf S}}$ 就会包含在更大的集合 ${\bar{\mathsf{T}}} = {\bar{\bar{\mathsf{T}}}}$ 中，这与 S 是最大的这一事实相矛盾。

纯最大集合之间的对应关系有一个简单的推论，将在下一节中用到：

推论 12.7 对于每一组最大的完美可区分纯态 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$，效果 $\left\{\alpha_{i}^{\sharp} \right\}_{i = 1}^{N}$ 构成一个测量。

证明我们知道 $\{\overline{{\alpha}}_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是一组最大的完美可区分纯态。区分它们所需的测量是 $\left\{\overline{{\alpha}}_{i}^{\dagger} \right\}_{i = 1}^{N}$，并且满足

$$ \begin{array}{r} {\overline{{\alpha}}_{i}^{\dagger} = \left[ \left( \alpha_{i}^{\sharp} \right)^{\dagger} \right]^{\dagger} = \alpha_{i}^{\sharp} \qquad \forall i \in \{1 , \dots , N \} ,} \end{array} $$

其中第一个等式来自引理12.4。

12.2 一个最基本的结果#

对偶性的性质引出了一个惊人的结果，它为后续章节的许多发展提供了关键。我们先陈述这个结果，然后探讨其特殊之处：

定理 12.8 对于每个系统 A，以下性质成立：

所有最大的完美可区分纯态集合具有相同的基数，由下式给出：

$$ d_{\mathrm{A}} = {\frac{1} {p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}}} , $$

其中 $p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}$ 是第11章中定义的最大导引概率。

每一组最大的完美可区分纯态 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}}$ 的不变状态是其重心，即

$$ \chi_{\mathrm{A}} = \frac{1} {d_{\mathrm{A}}} \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} \alpha_{i} . $$

证明设 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是 A 的一组纯最大集合。根据对偶映射的定义，我们有

$$ ( \stackrel{\wedge} {\underbrace{\alpha_{i}}} \bigg ]^{\mathrm{~ A ~}} = \frac{1} {p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{A}}} \quad \overbrace{\Phi}^{\mathrm{~ A ~}} \overbrace{\mathrm{~ \bf ~ A ~}}^{\mathrm{~ A ~}} = \frac{1} {p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{~ A ~}}} . $$

将等式两边乘以 $1 / N$ 并对 i 求和，我们得到

$$ \begin{array}{r l} {\displaystyle \frac{1} {N} \sum_{i = 1}^{N}} & {\displaystyle ( \overline{{\alpha_{i}}} )^{\mathrm{~ A ~}} = \frac{1} {N p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}} \quad \left( \Phi \right) \frac{\grave{\mathbf{A}}} {\overline{{\mathbf{A}}} \left[ \alpha_{i}^{\mathrm{f}} \right]}} \\ & {\displaystyle \qquad = \frac{1} {N p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}} \quad \left( \Phi \right) \frac{\grave{\mathbf{A}}} {\overline{{\mathbf{A}}} \left[ \mathbf{\Lambda}_{e} \right]}} \\ & {\displaystyle \qquad = \frac{1} {N p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}}} \quad \left( \overline{{\mathcal{X}}} \right)^{\mathrm{~ A ~}} ,} \end{array} $$

这里用到了效果 $\left\{\alpha_{i}^{\sharp} \right\}_{i = 1}^{N}$ 构成一个测量的事实（推论12.7）。现在，对等式两边应用确定性效果，我们得到

$$ N p_{\operatorname*{max}}^{\mathrm{A}} = 1 . $$

由于纯极大集 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是通用的，我们证明了所有纯极大集具有相同基数 $N = 1 / p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}} = : d_{\mathrm{A}}$。将此等式代入式(12.5)，我们立即得到式(12.3)的分解，该分解对一个通用纯极大集 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 成立——

定理12.8一举证明了三个非平凡的事实：

它证明了所有完全可区分纯态的极大集具有相同基数——这一性质先验上可能并不满足；
它在两种不同的操作任务——态区分和态的远程导引——之间建立了定量联系；
它证明了不变态可以分解为完全可区分纯态的混合。

所有这些事实对我们重构量子理论具有重要意义：在下一章中，关系式

$$ p_{\mathrm{max}}^{\mathrm{A}} = \frac{1} {d_{\mathrm{A}}} $$

将用于寻找确定性隐形传态的最大概率，并证明态可以表示为希尔伯特空间上的厄米矩阵。最后，不变态的分解将是证明每个态都可以表示为完全可区分纯态的混合的关键——从而获得量子理论中谱定理的操作模拟。反过来，这一结果将引导我们得出正交投影的概念，并对量子理论的叠加原理进行操作重构。在接下来的几节中，我们将推导定理12.8的首批推论，朝着这些结果的导出而努力。

练习12.1 证明不变态 $\chi_{\mathrm{A}}$ 与任意纯态 $\varphi \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ 之间的距离为

$$ \| \chi_{\mathrm{A}} - \varphi \| = {\frac{2 ( d_{\mathrm{A}} - 1 )} {d_{\mathrm{A}}}} . $$

12.3 信息维度#

我们称基数 $d_{\mathrm{A}}$ 为系统A的信息维度。在操作上，信息维度量化了在不产生解码错误的情况下可以编码到系统A中的经典消息的最大数量。一旦信息维度已知，就可以用它来确定一组完全可区分的态是否是极大且纯的：

推论12.9 如果一组完全可区分的态具有基数 $d_{\mathrm{A}}$，则该组是极大的且仅由纯态组成。

证明如果该组包含一个混合态，那么它可以精炼为一组纯态（命题10.5）。精炼后的组将包含多于 $d_{\mathrm{A}}$ 个元素，与定理12.8矛盾。因此该组必须由纯态组成。如果该组不是极大的，那么它可以扩展为一个基数为 $k > d_{\mathrm{A}}$ 的极大集，与定理12.8矛盾。——

信息维度具有若干重要性质。首先，一个系统及其共轭系统具有相同的信息维度：

推论12.10 对于每个系统A，有 $d_{\mathrm{{A}}} = d_{\overline{{\mathrm{{A}}}}} .$

证明直接从A的纯极大集与A共轭系统的纯极大集之间的对应关系（式12.6）得出。——

更有趣的是，复合系统的信息维度等于其组分信息维度的乘积：

推论12.11 对于每对系统A和B，有 $d_{\mathrm{AB}} = d_{\mathrm{A}} d_{\mathrm{B}}$

证明设 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}}$ 和 $\{\beta_{j} \}_{j = 1}^{d_{\mathrm{B}}}$ 分别是A和B的纯极大集。那么，乘积集

$$ {\mathsf{P}} = \{\alpha_{i} \otimes \beta_{j} | i = 1 , \ldots , d_{\mathrm{A}} , j = 1 , \ldots , d_{\mathrm{B}} \} $$

是系统 $\mathbf{AB}$ 的一组完全可区分的纯态。此外，它是极大的。证明采用反证法：假设 $\mathsf{P}$ 不是极大的，并设 $\mathsf{P}^{\prime} = \mathsf{P} \cup \{\Psi_{k} \}_{k = 1}^{K}$ 是扩展P的纯极大集。那么，有

$$ ( \alpha_{i}^{\dagger} \otimes \beta_{j}^{\dagger} | \Psi_{k} ) = 0 \qquad \forall k \in \{1 , \dots , K \} , $$

并对i和j求和，得到

$$ ( e_{\mathrm{A}} \otimes e_{\mathrm{B}} | \Psi_{k} ) = 0 \qquad \forall k \in \{1 , \ldots , K \} . $$

这很荒谬，因为集合 $\mathsf{P^{\prime}}$ 中的状态应该是归一化的。因此，乘积集合 $\mathsf{P}$ 必须是 AB 的一个纯极大集。由于 P 的基数为 $d_{\mathrm{A}} d_{\mathrm{B}}$，并且所有纯极大集都具有相同的基数 $d_{\mathrm{AB}}$，我们得出结论 $d_{\mathrm{AB}} = d_{\mathrm{A}} d_{\mathrm{B}}$。

注意，推论 12.11 与定理 12.8 一起蕴含了关系式

$$ \chi_{\mathrm{AB}} = {\frac{1} {d_{\mathrm{A}} d_{\mathrm{B}}}} \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} \sum_{j = 1}^{d_{\mathrm{B}}} \alpha_{i} \otimes \beta_{j} = \chi_{\mathrm{A}} \otimes \chi_{\mathrm{B}} , $$

从而证实了练习 7.2 的结果。

上述结果对于我们推导量子理论非常重要。最终，在第13章中，它们将被用来证明状态空间的维数等于信息维数的平方，从而使我们能够将 A 的状态表示为 $d_{\mathrm{A}} \times d_{\mathrm{A}}$ 矩阵。

12.4 面的信息维数#

信息维数的概念不仅可以应用于物理系统，也可以应用于给定系统状态空间的面。一个面 F 的信息维数，记为 $d_{F}$，就是包含在 F 中的完全可区分状态的最大数目。该维数可以通过找到 F 中的一个纯极大集（简称为 F 的纯极大集）来评估，即一个集合 ${\mathsf{S}} \subset F$，满足：

$\mathsf{S}$ 中的所有状态都是纯的；
$\mathsf{s}$ 中的状态是完全可区分的；
对于每个状态 $\varphi \in F$，集合 ${\mathsf{S}} \cup \{\varphi \}$ 不是完全可区分的。

根据这个定义，我们有如下定理：

定理 12.12 令 F 为凸集 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 的一个面。F 中所有由完全可区分的纯状态构成的极大集都具有相同的基数，等于 $d_{F}$。

证明很容易从压缩公理得出。其思想是将面 F 压缩到一个合适的系统 C 的状态空间中，并利用 F 中的极大集与 C 中的极大集之间的如下对应关系：

引理 12.13 令 $( \mathrm{C} , \mathcal{E} , \mathcal{D} )$ 为面 F 的理想压缩方案。那么：

一组状态 $\{\varphi_{i} \}_{i = 1}^{k}$ 是 F 中的极大集当且仅当编码后的集合 $\{\mathcal{E} \varphi_{i} \}_{i = 1}^{k}$ 是 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{C} )$ 中的极大集；
一组状态 $\{\gamma_{i} \}_{i = 1}^{l}$ 是 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{C} )$ 中的极大集当且仅当解码后的集合 $\{\mathcal{D} \gamma_{i} \}_{i = 1}^{l}$ 是 F 中的极大集；
面 F 的信息维数等于系统 C 的信息维数。

证明很容易从练习 10.4 得出。

定理 12.12 的证明 令 $\{\varphi_{i} \}_{i = 1}^{k}$ 为 F 的纯极大集。那么，编码后的集合 $\{\mathcal{E} \varphi_{i} \}_{i = 1}^{k}$ 是 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{C} )$ 中的极大集（引理 12.13），并且由纯状态组成（推论 8.8）。因此，它的基数必须等于 C 的信息维数（定理 12.8），即 $k = d_{\mathrm{C}}$ 。由于纯极大集 $\{\varphi_{i} \}_{i = 1}^{k}$ 是任意的，我们得出结论：$F$ 中的所有纯极大集都具有相同的基数。

面的信息维数的概念将在下一节非常有用。作为准备，你可以尝试以下练习。

练习 12.2 证明一个面 $F \subseteq \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ 包含 $d_{\mathrm{A}}$ 个完全可区分的纯状态当且仅当它包含一个完全混合状态。

12.5 对状态进行对角化#

我们已经看到不变态可以分解为完全可区分的纯状态的混合。我们能否为任意状态找到类似的分解？

证明这一结果之所以重要，是基于两个原因：首先，在量子理论的重构中，我们需要找出谱定理的操作性意义——而就状态而言，谱定理无非是将混合态分解为完全可区分的纯状态的混合。其次，将混合态分解为完全可区分状态的混合本身也具有重要意义。从概念上看，这使我们能够将每一个混合态解释为对编码在系统制备中的经典随机变量的无知。事实上，我们可以想象，一个源以概率 $p_{i}$ 发射出经典消息 $i$，该消息被编码为纯最大集 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}}$ 中的一个状态 $\alpha_{i}$。这样一来，该源的平均状态就是：

$$ \rho = \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} p_{i} \alpha_{i} , $$

也就是说，它是完全可区分状态的混合。在这种情况下，我们最初的问题可以重新表述为：我们能否将每一个混合态都解释为经典信息源的平均状态，而该信息源的消息被编码为完全可区分的纯状态？

图12.1 "箱世界"理论中二维系统的确定态集合。高亮显示的边和对角线仅包含那些由完全可区分的纯状态最大集混合而成的状态。

当一个混合态 $\rho$ 可以像式 (12.7) 那样被分解时，我们就说它可以被对角化。在一般理论中，并非所有状态都能被对角化。例如，考虑"箱世界"理论，其中二维系统具有方形状态空间：对于这些系统，纯状态是方形的顶点，而唯一能够被分解为两个纯状态混合的状态，是那些位于方形边和对角线上的状态（见图12.1）。所有其余的状态都无法被对角化。

与箱世界例子相反，我们现在要证明，我们的原理暗含着所有状态都可以被对角化。利用这个结果，我们将证明谱定理的操作版本：状态空间的线性张成空间中的每个元素，都可以被分解为完全可区分的纯状态的线性组合。

定理 12.14（状态对角化） 对于每个系统 A，每个归一化状态都可以被分解为完全可区分的纯状态的凸混合。

证明证明采用对系统的信息维度进行归纳的方式。如果 $d_{\mathrm{A}} = 1$，结论显然成立。现在假设结论对任何维度 $d_{\mathrm{B}} \leq N$ 的系统 B 都成立，并考虑一个维度 $d_{\mathrm{A}} = N + 1$ 的系统 A 的混合态 $\rho$。此时有两种可能性：要么 $(1)$ $\rho$ 不是完全混合态，要么 $(2)$ $\rho$ 是完全混合态。

首先假设 $(1)$ $\rho$ 不是完全混合态，并用 $F$ 表示由 $\rho$ 所标识的面。由于 $\rho$ 不是完全混合态，$F$ 最多只能包含 $N$ 个完全可区分的状态（参见练习 12.2）——因此，$d_{F} \leq N$。如果我们应用理想压缩将 $\rho$ 编码到更小的系统 C 中，那么系统 C 必须满足以下关系：

$$ \begin{array}{r} {d_{\mathrm{C}} = d_{F} \leq N .} \end{array} $$

根据归纳假设，编码后的状态 $\mathcal{E} \rho$ 可以被对角化为：

$$ \mathcal{E} \rho = \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{C}}} p_{i} \gamma_{i} . $$

应用解码操作 $\mathcal{D}$，我们得到：

$$ \rho = {\cal{D}} \mathscr{E} \rho = \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{C}}} p_{i} \mathscr{D} \gamma_{i} . $$

由于解码保持状态的纯性和可区分性（推论 12.13），解码后的状态 $\{\mathcal{D} \gamma_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{C}}}$ 是纯的且完全可区分的。因此，我们得到了 $\rho$ 所需的分解。

现在假设 $(2)$ $\rho$ 是完全混合态，并考虑由下式定义的半直线：

$$ \sigma_{t} = \left( 1 + t \right) \rho - t \chi_{\mathrm{A}} \qquad t \geq 0 . $$

由于归一化状态集 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 是凸的，该直线将在某点 $t_{0}$ 处穿过其边界。因此，我们将有：

$$ \rho = {\frac{1} {1 + t_{0}}} \sigma_{t_{0}} + {\frac{t_{0}} {1 + t_{0}}} \chi_{\mathrm{A}} $$

对于某个处于 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 边界上的状态 $\sigma_{t_{0}}$ 。根据定义，边界上的状态不是完全混合的。现在，我们从第 (1) 点得知，状态 $\sigma_{t_{0}}$ 可以对角化为

$$ \sigma_{t_{0}} = \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{C}}} p_{i} \alpha_{i} , $$

其中 C 是 $\sigma_{t_{0}}$ 理想编码中的系统。根据命题 10.10，集合 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{C}}}$ 可以扩展为一个极大完美可区分纯态集合 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}}$ 。另一方面，不变态可以分解为这些状态的均匀混合，即

$$ \chi_{\mathrm{A}} = \frac{1} {d_{\mathrm{A}}} \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} \alpha_{i} $$

这里使用了定理 12.8。结合方程 (12.8) 和 (12.9)，我们随后得到所需的分解

$$ \rho = \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} \left( \frac{p_{i}} {1 + t_{0}} + \frac{t_{0}} {d_{\mathrm{A}} ( 1 + t_{0} )} \right) \alpha_{i} , $$

其中对于 $i > d_{\mathrm{{C}}}$ 我们定义 $p_{i} = 0$。

与量子理论类比，我们称概率 $\{p_{i} | i = 1 , \ldots , d_{\mathrm{A}} \}$ 为 $\rho$ 的谱。由于某些概率可能为零，$\rho$ 的对角化可以更简洁地写为

$$ \rho = \sum_{i = 1}^{r} p_{i} \alpha_{i} , $$

其中 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{r}$ 是完美可区分的纯态（不一定构成极大集合），并且对于每个 $i \in \{1 , \ldots , r \}$ 有 $p_{i} > 0$。在这种情况下，我们称 r 为状态 $\rho$ 的秩。如果 $r = d_{\mathrm{A}}$，我们称 $\rho$ 具有满秩。根据这些定义，我们有如下结论：

推论 12.15（完全混合态的特征）一个状态是完全混合态当且仅当其具有满秩。

证明必要性：如果对于某个 $i$ 有 $p_{i} = 0$，则 ρ 可以与 $\varphi_{i}$ 完美区分。因此，它不可能是完全混合态。充分性则直接来自定理 10.11。-

特别地，对于二维系统，我们有如下结果：

推论 12.16 对于 $d_{\mathrm{A}} = 2$，$\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 边界上的任何状态都是纯态。

12.6 效应的对角化#

利用映射 †、$ 和 % 的机制，状态的对角化可以转化为效应的类似结果：

推论 12.17 对于每个系统 A，每个效应 $a \in \mathsf E \mathsf{ff} ( \mathrm{A} )$ 可以分解为

$$ a = \sum_{i = 1}^{r} c_{i} a_{i} $$

其中 $\{a_{i} \}_{i = 1}^{r}$ 是属于一个极大判别性测量的共存原子效应，并且对于每个 $i \in \{1 , \ldots , r \}$ 有 $c_{i} \in [ 0 , 1 ]$。

证明应用映射 %，我们可以将 a 转化为共轭系统 ${\overline{{\mathrm{A}}}}$ 的一个状态的倍数。定义 $\overline{{{\rho}}} : = a^{\flat} / \bigl ( e_{\overline{{{A}}}} \bigl | a^{\flat} \bigr )$ 并将其对角化为 $\overline{{\rho}} ~ = ~ \textstyle \sum_{i = 1}^{r} p_{i} \overline{{\alpha}}_{i}$，我们得到分解

$$ a^{\flat} = \sum_{i = 1}^{r} c_{i} {\overline{{\alpha}}}_{i} , \qquad c_{i} : = \left( e_{\overline{{A}}} \left| a^{\flat} \right. \right) p_{i} . $$

其中 $\{\overline{{\alpha}}_{i} \}_{i = 1}^{r}$ 是 ${\overline{{\mathrm{A}}}}$ 的完美可区分纯态。对两边应用映射 $\sharp$，我们随后得到

$$ a = \left( a^{\flat} \right)^{\sharp} = \sum_{i = 1}^{r} c_{i} \ ( {\overline{{\alpha}}}_{i} )^{\sharp} \ . $$

将状态 $\overline{{\alpha}}_{i}$ 视为状态 $\alpha_{i} \in \mathsf{PurSt}_{1} ( \mathrm{A} )$ 的共轭，我们最终得到

$$ \begin{array}{l} {{\displaystyle a = \sum_{i = 1}^{r} c_{i} \left[ \left( \alpha_{i}^{\dagger} \right)^{\flat} \right]^{\sharp}}} \\ {{\displaystyle \}} \\ {{\displaystyle = \sum_{i = 1}^{r} c_{i} \alpha_{i}^{\dagger} .}} \end{array} $$

因此，$a$ 是原子效应 $\left\{\alpha_{i}^{\dagger} \right\}_{i = 1}^{r}$ 的线性组合，根据推论11.9，这些原子效应可以在一次测量中共存。此外，我们有 $c_{i} = ( a | \alpha_{i} )$，这表明 $c_{i}$ 属于区间 [0, 1]。

12.7 谱定理的操作版本#

在有限维量子理论中，态的对角化是谱定理的一个特例，该定理指出每个厄米矩阵都可以分解为正交投影算子的线性组合。厄米矩阵可以有两种不同的解释，要么作为向量空间 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 中的元素，要么作为向量空间 $\mathsf{E f f_{\mathbb{R}}} ( \mathrm{A} )$ 中的元素——因为在量子理论中这两个向量空间是重合的。在操作层面上，我们可以证明谱定理的两个类比，一个针对 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathbf{A} )$，另一个针对 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( {\mathrm{A}} )$。

定理12.18（态的生成空间的谱定理）对于每个系统A，向量空间 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathbf{A} )$ 中的每个元素都可以分解为完全可区分纯态的组合。

该定理的证明基于以下引理：

引理12.19 如果 $\xi$ 是向量空间 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 中的一个元素，则可将其写为 $\xi = a \chi_{\mathrm{A}} - b \rho$，其中 $\rho$ 是归一化态，而 $a$ 和 $b$ 是两个非负系数。

证明将 $\xi$ 写为 $\xi = c_{+} \rho_{+} - c_{-} \rho_{-}$，其中 $c_{\pm}$ 是非负系数，$\rho_{\pm}$ 是归一化态。将 $\rho_{+}$ 对角化为 $\rho_{+} = \sum_{i = 1}^{r} p_{i} \alpha_{i}$，其中 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{r}$ 是完全可区分的，定义 $p : = \operatorname*{max} \{p_{i} \}$，并考虑由下式定义的向量 $\zeta$：

$$ \zeta : = \chi_{\mathrm{A}} - \frac{1} {d_{\mathrm{A}} c_{+} p} \xi $$$$ = \frac{1} {d_{\mathrm{A}}} \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} \left( 1 - \frac{p_{i}} {p} \right) \alpha_{i} + \frac{c_{-}} {c_{+}} \rho_{-} , $$

其中对于 $i > r$ 我们设 $p_{i} = 0$。注意 $\zeta$ 是态 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}}$ 和 $\rho_{-}$ 的线性组合，并且该组合的系数是非负的。因此，$\zeta$ 正比于一个态，我们用 $\rho : = \zeta / ( e_{\mathrm{A}} | \zeta )$ 来表示。然后，所需的分解由式（12.12）得出，其中设 $a : = d_{\mathrm{A}} c_{+} p_{*}$ 和 $b : = d_{\mathrm{A}} c_{+} p_{*} \left( e_{\mathrm{A}} | \zeta \right)$。

定理12.18的证明设 $\xi$ 是 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 中的一般元素，分解为 $\xi = a \chi_{\mathrm{A}} - b \rho$。将 $\rho$ 对角化为 $\rho = \sum_{i = 1}^{k} p_{i} \alpha_{i}$，并将集合 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{k}$ 扩展为一个纯最大集，然后我们得到：

$$ \xi = \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} \left( \frac{a} {d_{\mathrm{A}}} - b p_{i} \right) \alpha_{i} , $$

定义 $p_{i} = 0$ 对于 $i > k$。

对于效应张成的向量空间的元素，可以证明类似的分解：

推论 12.20（效应张成空间的谱定理）对于每个系统 A，向量空间 $\mathsf{E f f_{\mathbb{R}}} ( \mathrm{A} )$ 的每个元素都可以分解为属于最大可鉴别测量的共存原子效应的线性组合。

其证明与效应的对角化证明相同。

利用谱定理，我们现在可以证明一个你可能已经怀疑的结果：

命题 12.21 每个系统都有连续多个纯态。

证明由于理想压缩的存在，只需证明二维系统的结果：如果每个二维系统都有连续多个纯态，那么一般系统的每个二维面应有连续多个纯态。

设 A 是一个二维系统。从练习 12.3 可知，A 必须至少有三个纯态 $\{\alpha_{0} , \alpha_{1} , \alpha_{2} \}$。当然，这三个态必须是线性无关的，否则其中必有一个是混合态。这意味着子空间

$$ \mathsf{K} = \left\{\boldsymbol{\xi} \in \mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathsf{A} ) \mid ( e_{\mathsf{A}} | \boldsymbol{\xi} ) = 0 \right\} \subset \mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathsf{A} ) $$

至少是二维的，因为它包含线性无关的向量 $\alpha_{0} - \alpha_{1}$ 和 $\alpha_{0} - \alpha_{2}$。现在，设 ξ 是 K 的任意元素。利用谱定理，ξ 可以分解为

$$ \xi = c \left( \varphi_{\xi} - \varphi_{\xi}^{\perp} \right) , $$

其中 $\{\varphi_{\xi} , \varphi_{\xi}^{\perp} \}$ 是两个完全可鉴别的纯态，c 是常数。代入关系式 $\chi_{\mathrm{A}} = \left( \varphi_{\xi} + \varphi_{\xi}^{\perp} \right) / 2$，我们得到

$$ \xi = 2 c \left( \varphi_{\xi} - \chi \right) . $$

这个方程表明，映射 $\xi \mapsto \varphi_{\xi}$ 在 K 的射线上是单射的，即 $\varphi_{\xi_{1}} = \varphi_{\xi_{2}}$ 仅当存在常数 t 使得 $\xi_{2} = t \xi_{1}$。现在，由于 K 有连续无穷多条射线，因此必须存在连续多个纯态。

练习 12.3 结合纯化、完全可鉴别性和局部可鉴别性，证明每个系统必须有超过两个纯态。

12.8 施密特分解的操作版本#

除了谱定理的操作版本，我们还可以证明量子理论中施密特分解的操作版本：

命题 12.22 设 Ψ 是 AB 的纯态，$\rho_{\mathrm{A}}$ 和 $\rho_{\mathrm{B}}$ 分别是系统 A 和 B 上的约化态。对于 $\rho_{\mathrm{A}}$ 的任意对角化，例如

$$ \rho_{\mathrm{A}} = \sum_{i = 1}^{r} p_{i} \alpha_{i} , $$

态 $\rho_{\mathrm{B}}$ 可以对角化为

$$ \rho_{\mathrm{B}} = \sum_{i = 1}^{r} p_{i} \beta_{i} $$

其中 $\{\beta_{i} \}_{i = 1}^{r}$ 是合适的完全可鉴别的纯态集合。此外，存在两个最大可鉴别的测量 $\{a_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}}$ 和 $\{b_{j} \}_{j = 1}^{d_{\mathrm{B}}}$，使得

$$ \begin{array}{r l r} {\left( \Psi \left[ \begin{array}{l} {{\bf A}} \\ {{\bf B}} \\ {{\bf B}} \end{array} \right]^{a} \right)} & {=} & {p_{i} \delta_{i j} \qquad \forall i \leq r , \forall j \leq r .} \end{array} $$

证明设 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}}$ 是扩展集合 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{r}$ 的纯最大集，$\left\{\alpha_{i}^{\dagger} \right\}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}}$ 是对应的测量。将效应 $\alpha_{i}^{\dagger}$ 作用在纯态 Ψ 的一侧，我们得到

$$ \begin{array}{r} {\overbrace{\Psi \underbrace{\vphantom{\int_{\theta}^{\theta} \left| \begin{array}{l} {\mathrm{~ \scriptstyle ~ \mathscr{A} ~}} \right|} \mathrm{d}_{i}^{\dagger}}}^{\mathrm{~ \scriptstyle ~ \ A ~}} = q_{i} \overbrace{\mathrm{~ \scriptstyle ~ \mathscr{B}_{i} ~}}^{\mathrm{~ \scriptstyle ~ \ A ~}} ,} \\ {\overbrace{\mathrm{~ \scriptstyle ~ \mathscr{B} ~}}^{\mathrm{~ \scriptstyle ~ \ B ~}}} \end{array} \end{array} $$

其中 $\beta_{i}$ 是一个归一化的纯态，$q_{i}$ 是一个概率。注意，实际上 $q_{i} = p_{i}$；确实，我们有

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{r l} {q_{i} =} & {{} \left( \Psi \left[ \begin{array}{c} {\mathbf{A}} \\ {\mathbf{B}} \\ {\mathbf{B}} \end{array} \right] \frac{\mathbf{A}} {e} \right) =} \end{array} \begin{array}{c} {\left( \rho_{\mathrm{A}} \right) \mathbf{A}} \\ {\left( \rho_{\mathrm{A}} \right) \mathbf{A}} \end{array} \left[ \begin{array}{c} {\alpha_{i}^{\dagger}} \\ {\alpha_{i}^{\dagger}} \end{array} \right) = p_{i} , \end{array} $$

最后一个等式来自对 $\dot{\rho}_{\mathrm{A}}$ 的对角化。另一方面，steering 意味着以下关系

$$ \begin{array}{r l} {p_{i}} & {{} \underbrace{\left( \alpha_{i} \right)^{\mathrm{~ A ~}}}_{\begin{array}{l} {\left( \alpha_{i} \right)^{}} \end{array} = \begin{array}{l} {\overbrace{\Psi}^{\mathrm{~ A ~}}} \\ {\overbrace{\mathrm{~ B ~} \left[ \begin{array}{l} {b_{j}} \end{array} \right)}^{\mathrm{~ B ~}} ,} \end{array} \end{array} $$

对于某个合适的测量 $\{b_{j} \}_{j = 1}^{r}$ 成立。结合等式(12.14)和(12.15)，我们得到关系

$$ \begin{array}{r l} {p_{i} \left( \underset{\left. \sum_{i} \right] - 1} {\overset{\mathrm{~ \scriptstyle ~ {\beta} ~}} {\longrightarrow}} \frac{\mathbf{B}} {\left. b_{j} \right.} \right) =} & {\left( \underset{\left. \sum_{i} \right. \left. \sum_{j} \right.} {\overset{\mathrm{~ \scriptstyle{\cal ~ A} ~}} {\longrightarrow}} \frac{\left[ \alpha_{i}^{\dagger} \right.} {b_{j}} \right) = p_{i} \left( \underset{\left. \sum_{j} \right\rfloor} {\overset{\mathrm{~ \scriptstyle{\beta} ~}} {\longrightarrow}} \frac{\mathbf{B}} {\left. \alpha_{i}^{\dagger} \right.} \right) = p_{i} \delta_{i j} ,} \end{array} $$

对每一个 $i , i \leq r$ 成立。由于对每个 $i \ \leq \ r$ 有 $p_{i}$ 非零，上述关系意味着状态 $\{\beta_{i} \}_{i = 1}^{r}$ 是完全可区分的。然后，$\rho_{\mathrm{B}}$ 的所需分解来自等式(12.14)，通过对 i 求和并回忆 $q_{i} = p_{i}$。最后，将集合 $\{\beta_{i} \}_{i = 1}^{r}$ 扩展到一个纯最大集合 $\{\beta_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{B}}}$，我们有

$$ ( \Psi \frac{\mathrm{\bf ~ A} \sqrt{\alpha_{i}^{\dagger}}} {\mathrm{\bf ~ B} \sqrt{\beta_{j}^{\dagger}}} ) = p_{i} ( \frac{\beta_{i}} {\beta_{i}} ) \frac{\mathrm{\bf ~ B}} {\mathrm{\bf ~ B} \sqrt{\beta_{j}^{\dagger}}} ) = p_{i} \delta_{i j} \qquad \forall i \leq r , \forall j \leq r . $$

从而证明了式(12.13)，其中$a_{i} := \alpha_{i}^{\dagger}$且$b_{j} := \beta_{j}^{\dagger}$。

习题 12.4 给定状态$\rho$的任意纯化，证明纯化系统的维数不能小于$\rho$的秩。

12.9 总结#

在本章中，我们将共轭系统定义为可以被最大关联的系统，即它们可以处于一个在两边的边缘都保持不变的纯态。我们证明了两个共轭系统互为镜像，其中一个系统上的态和测量与另一个系统上的态和测量一一对应。利用这一事实，我们证明了两个重要结论：

系统所有最大完美可区分纯态集具有相同的基数，我们称之为信息维数。这个数量化了系统中可以被完美区分的态的最大数量。在量子理论中，它对应于系统希尔伯特空间的维数。
最大完美可区分纯态集的重心是不变态。

反过来，这两个结论使我们能够证明每个态都可以被对角化，即分解为完美可区分纯态的混合。这提供了埃尔米特矩阵谱定理的操作性版本，以及纯双向量子态施密特分解的操作性版本。

部分习题解答#

习题 12.2#

假设最大完美可区分纯态集$\{\varphi_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}}$包含在F中。那么完全混合态$\chi_{\mathrm{A}} ~ = ~ 1 / d_{\mathrm{A}} \sum_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}} \varphi_{i}$属于F。反之，令$\rho ~ \in ~ {\cal F}$为完全混合态。那么，${\mathsf{RefSet}}_{1} ( \rho ) = {\mathsf{RefSet}}_{1} ( \chi_{\mathrm{A}} ) \equiv{\mathsf{St}}_{1} ( \mathrm{A} )$。由于每个最大纯态集$\{\varphi_{i} \}_{i = 1}^{d_{\mathrm{A}}}$都属于$\mathsf{RefSet}_{1} ( \chi_{\mathrm{A}} )$，因此它也属于$\mathsf{RefSet}_{1} ( \rho ) = F$。

习题 12.3#

用反证法，假设系统A只有两个纯态$\alpha_{0}$和$\alpha_{1}$。那么，每个混合态都可以写为$\rho = p \alpha_{0} + ( 1 - p ) \alpha_{1}$。此外，态$\alpha_{0}$和$\alpha_{1}$必须是完美可区分的（由完美可区分公理）。记区分它们的测量为$\{a_{0} , a_{1} \}$，我们有

$$ \rho = \sum_{i = 0 , 1} \left( a_{i} | \rho \right) \alpha_{i} \qquad \forall \rho \in \mathbf{St} ( \mathrm{A} ) . $$

由局域可区分性，这意味着测量$\{a_{0} , a_{1} \}$后制备态$\{\alpha_{0} , \alpha_{1} \}$的过程不会产生扰动。显然，这将与无扰动则无信息的结论相矛盾，而该结论源于纯化。

第四部分

基于原理的量子理论