10 完美可区分态#
区分态是物理学和信息论中的一项基本任务。本章将分析该任务的最有利情形，涉及可以完美区分（即无误差区分）的态。我们将首先介绍态的完美可区分性概念，并将其与状态空间面的完美可区分性联系起来。然后，我们将利用我们的原理证明一个关键性质，称为"无信息即无干扰"。这一性质将引导我们得出完美可区分性的一些核心特征。例如，它将使我们能够证明，每组完美可区分的态都可以细化为一组完美可区分的纯态。此外，无信息即无干扰性质将导致将完美可区分性在数学上刻画为正交性。最后，我们将引入完美可区分态极大集的概念，并证明极大性的充要条件。
10.1 态的完美可区分性#
假设Alice想要向Bob传达N个可能消息中的一个。为此，她将消息编码为某个物理系统（称为A）的状态，并将其发送给Bob。收到系统A后，Bob将对其进行测量，试图找出其中编码的是哪个消息。自然的问题是：Bob能否无误差地解码Alice的消息？
让我们用操作理论的语言来描述这种情况。Alice的编码只是将每个可能消息$i \in \{1 , \ldots , N\}$分配一个决定性态$\alpha_{i} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$。Bob的解码包括一个具有N个结果的测量，设为$\{b_{i} \}_{i = 1}^{N}$，其中结果j对应第j个消息。如果Alice编码了第i个消息，则Bob读出第j个消息的概率为
$$ p ( j | i ) = ( b_{j} | \alpha_{i} ) . $$显然，当且仅当满足以下条件时，消息被无误差地解码：
$$ ( b_{j} | \alpha_{i} ) = \delta_{i j} \qquad i , j \in \{1 , \dots , N \} . $$在这种情况下，我们说态$\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$是完美可区分的。注意，由于这些态是决定性的，式(10.2)的完美可区分性条件等价于条件
$$ ( b_{i} | \alpha_{i} ) = 1 \qquad \forall i \in \{1 , \ldots , N \} . $$该条件显然对式(10.2)是必要的。也很容易看出它是充分的：由于每个态$\alpha_{i}$是决定性的，我们有
$$ \sum_{j = 1}^{N} ( b_{j} | \alpha_{i} ) = 1 \qquad \forall i \in \{1 , \dots , N \} , $$结合式(10.3)，可得
$$ \begin{array}{l} {\displaystyle \sum_{j \neq i} ( b_{j} | \alpha_{i} ) = \displaystyle \sum_{j = 1}^{N} ( b_{j} | \alpha_{i} ) - ( b_{i} | \alpha_{i} )} \\ {= 1 - 1} \\ {= 0 \qquad \forall i \in \{1 , \dots , N \} .} \end{array} $$反过来，这个关系意味着当 $i$ 和 $j$ 不同时，$( b_{j} | \alpha_{i} ) = 0$，从而得到式(10.2)。
在最深层次上，完美可区分性是面（faces）的一个特征，而不是态（states）的特征。让我们澄清这一点：当且仅当对于任意选择的态 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$（其中 $\alpha_{i} \in F_{i} , \forall i$），这些态 $\{\alpha_{i} , i = 1 , \ldots , N \}$ 都是完美可区分的，我们称面 $\{F_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是完美可区分的。于是，我们有如下命题：
命题10.1 设 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是一组态，对于每个 $i$，设 $F_{i}$ 是由 $\alpha_{i}$ 识别出的面。那么，以下陈述等价：
态 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是完美可区分的；
面 $\{F_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是完美可区分的。
证明 假设态 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是完美可区分的，并设 $\{b_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是一个能够完美区分它们的测量。根据完美可区分性条件，对于每个 $i \in \{1 , \ldots , N \}$，必须有 $( b_{i} | \alpha_{i} ) = 1$。根据习题8.1，这一条件意味着对于每个 $\alpha_{i}^{\prime} ~ \in ~ F_{i}$，有 $( b_{i} | \alpha_{i}^{\prime} ) = 1$。由式(10.3)可知，态 $\{\alpha_{i}^{\prime} \}_{i = 1}^{N}$ 是完美可区分的。由于每个态 $\alpha_{i}^{\prime}$ 都是 $F_{i}$ 中的任意元素，这意味着面 $\{F_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是完美可区分的。反之则平凡：如果面 $\{F_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是完美可区分的，那么态 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 也是完美可区分的。 -
10.2 无信息即无干扰#
上一段讨论的态区分特征对每个操作理论都是通用的。现在，我们将注意力转向那些严重依赖于纯化（purification）、局域可区分性（local discriminability）和复合的原子性（atomicity of composition）的有效性的特征。
假设你得到一个处于未知态 $\rho_{x}$ 的系统，这已知是三种态 $\rho_{1} , \rho_{2}$ 和 $\rho_{3}$ 之一。这些态具有以下性质：${\bf \Pi} ( \mathrm{i} ) {\bf \Pi} \rho_{1}$ 与 $\rho_{2}$ 完美可区分，并且 (ii) $\rho_{3}$ 与 $\rho_{1}$ 和 $\rho_{2}$ 的每一个混合态完美可区分。你能识别出这个未知态吗？
一种策略是先执行一个测试，将 $\rho_{3}$ 与 $\rho_{1}$ 和 $\rho_{2}$ 区分开，然后，如果结果显示态是 $\rho_{1}$ 或 $\rho_{2}$，再执行第二个测试来区分这两个态。但是，我们能否找到一个测试，既能将 $\rho_{3}$ 与 $\rho_{1}$ 和 $\rho_{2}$ 区分开，又不损害这两个态的可区分性？在一般的理论中，情况并非如此。1 然而，在满足我们原理的理论中，情况却恰好如此。得益于纯化、局域可区分性和复合的原子性，任何在态空间的面中不提取态信息的测量都可以在不干扰这些态的情况下执行。特别地，一个能将 $\rho_{3}$ 与 $\rho_{1}$ 和 $\rho_{2}$ 区分开、但不提供关于态是 $\rho_{1}$ 还是 $\rho_{2}$ 的任何信息的测量，可以在不干扰这两个态的情况下执行。
在建立这一结果之前，让我们明确涉及到的概念。考虑一个随机的态源，其平均态为 $\rho$。相对于这个源，如果测量 $\{a_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 的结果概率不允许区分可能的态，即如果存在一个概率分布 $\{p_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$，使得
$$ ( a_{x} | \sigma ) = p_{x} \qquad \forall \sigma \in F_{\rho} , \forall x \in \mathsf{X} . $$则该测量不提取任何信息。等价地，该条件可以重新表述为
$$ a_{x} = _{\rho} p_{x} e_{\mathrm{A}} . $$这意味着对于面 (F_{\rho}) 中的每个状态，测量结果具有相同的概率。在这种情况下，我们说该测量在输入 (\dot{} \rho) 时不提取任何信息。
为了讨论扰动，我们必须指定测量后的状态，即必须指定一个测试。我们说一个测试 ({\mathcal{A}{x} }{x \in \mathsf{X}}) 实现了测量 ({a_{x} }_{x \in \mathsf{X}}) 当且仅当测试中事件的概率等于测量中结果的概率，即当且仅当
$$ \begin{array}{r} {\frac{\mathrm{~ ~ A ~}} {\mathrm{~ ~ \Lambda ~}} \left[ \begin{array}{l} {a_{x}} \\ {\phantom{a}} \end{array} \right] = \frac{\mathrm{~ ~ A ~}} {\mathrm{~ ~ \Lambda ~}} \left[ \begin{array}{l} {A_{x}} \\ {A_{x}} \end{array} \right] \frac{\mathrm{~ ~ A ~}^{\prime}} {\mathrm{~ ~ \Lambda ~}} \left[ \begin{array}{l l l} {e} \end{array} \right] \quad \quad \forall x \in \mathsf{X} .} \end{array} $$一般而言，同一测量可以由不同的测试实现。问题在于，在所有可能的实现中，是否存在一种不会扰动源中状态的实现。确切地说，我们说测试 ({\mathcal{A}{x} }{x \in \mathsf{X}}) 在输入 ρ 时无扰动当且仅当在式 (10.5) 中 (\mathrm{A}^{\prime} \equiv \mathrm{A}) 且
$$ \sum_{x \in \mathsf{X}} \mathcal{A}_{x} = _{\rho} \mathcal{T}_{\mathsf{A}} . $$这意味着，如果我们忽略测试的结果，面 (F_{\rho}) 中的每个状态都保持不变。
现在我们准备给出本节的主要结果：
定理 10.2 (无信息则无扰动) 如果一个测量在输入 (\boldsymbol{\rho}) 时不提取任何信息，那么它可以通过一个在输入 ρ 时无扰动的测试来实现。
作为证明的第一步，我们推导一个本身具有独立意义的引理：
引理 10.3 每个测量都可以通过一个原子测试来实现，即其中每个变换都是纯的测试。
证明 选取 (\chi_{\mathrm{A}}) 的最小纯化，记作 (\Psi \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{AB} ))，并定义 (\beta_{x} : = ( a_{x} \otimes \mathcal{T}{\mathrm{B}} ) \Psi)。取 (\beta{x}) 的一个纯化，比如说对于某个(^{2}) 纯化系统 (\mathrm{A}^{\prime}) 的 (\Psi_{x})。根据状态-变换同构（定理 7.7），存在一个测试 ({\mathcal{A}{x} }{x \in \mathrm{X}}) 使得
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{r l} {\left( \Psi \left| \begin{array}{l} {\mathbf{A}} \\ {\mathbf{B}} \end{array} \right| \underline{{A_{x}}} \right| ⨏ {A^{\prime}}} \\ {\qquad \mathrm{B}} \end{array} = & {{} \left( \Psi_{x} \left| \begin{array}{l} {\mathbf{A^{\prime}}} \\ {\mathbf{B}} \end{array} \right| \right.} \end{array} $$由于每个 (\Psi_{x}) 是纯的，且状态 (\Psi) 是忠实的，每个变换 (\mathcal{A}_{x}) 必定是原子的。此外，在系统 (\mathrm{A^{\prime}}) 上应用确定效应，我们得到
$$ \begin{array}{r l r} {( \Psi [ \begin{array}{l} {\operatorname{\bf{A}} [ A_{x} ]^{\mathrm{~ \tiny{A} ~ / ~}} [ e )} \\ {\operatorname{\bf{B}}} \end{array} & {=} & {( \Psi_{x} ]_{\mathrm{~ \tiny{B} ~}}^{\mathrm{~ \tiny{A} / ~}} [ \begin{array}{l} {e} \\ {\operatorname{\bf{B}}} \end{array} \equiv ( \Psi [ \begin{array}{l} {\operatorname{\bf{A}} [ a_{x}} \\ {\operatorname{\bf{B}}} \end{array} ]} \end{array} $$由于 (\Psi) 是忠实的，这蕴涵 (e_{\mathrm{A^{\prime}}} {\mathcal{A}}{x} ~ = ~ a{x})，意味着测量 ({a_{x} }) 通过测试 ({\mathcal{A}_{x} }) 实现，如式 (10.5) 所示。
注意，引理 10.3 表达了一个高度非经典的特征：在经典理论中，显然不可能通过纯测试来实现一个粗粒化的测量。
现在我们准备证明无信息则无扰动的结果。
定理 10.2 的证明 假设测量 ({a_{x} }{x \in \mathsf{X}}) 在输入 (\rho) 时不提取任何信息，即对于每个结果 x 有 (a{x} = {\rho} p{x} e_{\mathrm{A}})。由于纠缠引导性质（命题 7.5），条件 (a_{x} = {\rho} p{x} e_{\mathrm{A}}) 等价于
$$ \begin{array}{r} {\overbrace{\vphantom{\int} \Psi \ : \left| \begin{array}{l} {\frac{\mathrm{~ \cal ~ A ~}} {\mathrm{~ \cal ~ B ~}}} \end{array} \right| \ : = p_{x} \quad \overbrace{\vphantom{\int} \Psi \ : \left| \begin{array}{l} {\frac{\mathrm{~ \cal ~ A ~}} {\mathrm{~ \cal ~ B ~}}} \end{array} \right| \ : = \ :} \ : ,}^{\mathrm{~ \cal ~ A ~}}} \end{array} $$其中 $\Psi$ 是 $\rho$ 的纯化。现在，令 $\{\mathcal{A}_{x} \}$ 为根据引理10.3实现测量 $\{a_{x} \}$ 的纯检验。对每个 $x$，定义态
$$ \begin{array}{r l} {\overbrace{\Psi_{x}}^{\mathrm{~ \tiny ~ {~ A ~ ^{\prime} ~} ~}}} & {: = \frac{1} {p_{x}} \overbrace{\Psi \underbrace{\frac{\mathrm{~ \tiny ~ A ~}} {\mathrm{~ \tiny ~ B ~}} \overbrace{A_{x}}^{A^{\prime}}}}^{\mathrm{~ \tiny ~ {~ A ~} ~}} .} \end{array} $$由于组成的原子性，态 $\Psi_{x}$ 是纯的。此外，其在系统 B 上的边缘等于态 $\Psi$ 的边缘；事实上，我们有
$$ \begin{array}{r l} {\underbrace{\left( \Psi_{x} \right)_{\mathbf{B}}^{\mathrm{A}^{\prime}} \left[ \mathbf{\Pi} \overline{{e}} \right)}_{\mathbf{B}} = \frac{1} {p_{x}}} & {\left( \Psi \right)_{\mathbf{B}}^{- \mathbf{A}} \frac{\left[ A_{x} \right]^{\mathbf{A}^{\prime}} \left[ \mathbf{\Pi} \overline{{A}} \right]^{\mathbf{B}^{\prime}}} {\left[ \mathbf{\Pi} \right]_{\mathbf{B}}^{\mathbf{B}}}} \\ {= \frac{1} {p_{x}}} & {\left( \Psi \right)_{\mathbf{B}}^{- \mathbf{A}} \frac{\left[ a_{x} \right)} {\left[ \mathbf{\Pi} \right]_{\mathbf{B}}^{\mathbf{A}}}} \\ {=} & {\left( \Psi \right)_{\mathbf{B}}^{- \mathbf{A}} \frac{\left[ e \right]} {\left[ \mathbf{\Pi} \right]_{\mathbf{B}}^{\mathbf{A}}} ,} \end{array} $$其中第二个等号用到了式(10.5)，第三个等号用到了式(10.7)。因此，$\Psi_{x}$ 与 $\Psi$ 是系统 B 上同一混合态的两个纯化。根据纯化的唯一性（命题7.1），存在一个确定性变换 $\mathcal{C}_{x}$ 使得 $( \mathcal{C}_{x} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Psi_{x} = \Psi$。换句话说，我们有
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{r} {\frac{1} {p_{x}} \quad \left( \Psi \left| \begin{array}{l} {\underline{{\sf A}}} \\ {\underline{{\sf B}}} \end{array} \right| \underline{{\sf A^{\prime}}} \left[ \begin{array}{l} {\underline{{\mathcal{C}_{x}}}} \\ {\underline{{\mathcal{C}_{x}}}} \end{array} \right] \underline{{\sf A}} \right.} \\ {\underline{{\sf B}}} \end{array} = \quad \left( \Psi \right) \underline{{\sf A}} \quad . \end{array} $$这意味着 $\mathcal{C}_{x} \mathcal{A}_{x} = _{\rho} p_{x} \mathcal{T}_{\mathrm{A}}$ 。这个关系告诉我们，由 $\mathcal{A}_{x}^{\prime} : =$ $\mathcal{C}_{x} \mathcal{A}_{x}$ 定义的检验 $\{\mathcal{A}_{x}^{\prime} \}_{x \in \mathrm{X}}$ 在输入 $\rho$ 时是非扰动的。该检验提供了测量 $\{a_{x} \}_{x \in \mathrm{X}}$ 的理想实现；事实上，我们有
$$ {\begin{array}{r l} & {{\frac{\mathbf{A}} {\mathbf{A}}} \left[ {\overline{{\mathbf{\Lambda}}}} \right] = {\frac{\mathbf{\Lambda} \mathbf{A}} {\mathbf{\Lambda}}} \left[ {\overline{{\mathbf{\Lambda}}}} \right]^{\mathbf{\Lambda} \mathbf{A}^{\prime}} \left[ {\overline{{\mathbf{\Lambda}}}} \right]} \\ & {\qquad = {\frac{\mathbf{\Lambda} \mathbf{A}} {\mathbf{\Lambda}}} \left[ {\overline{{\mathbf{\Lambda}}}} \right]^{\mathbf{\Lambda} \mathbf{A}^{\prime}} \left[ {\overline{{\mathbf{\Lambda}}}}_{x} \right]^{\mathbf{\Lambda} \mathbf{A}} \left[ {\overline{{\mathbf{\Lambda}}}} \right)} \\ & {\qquad \equiv{\frac{\mathbf{\Lambda} \mathbf{A}} {\mathbf{\Lambda}}} \left[ {\overline{{\mathbf{\Lambda}}}}_{x}^{\prime} \right]^{\mathbf{\Lambda} \mathbf{A}} \left[ {\overline{{\mathbf{\Lambda}}}} \right] \qquad \forall x \in \mathbf{X} ,} \end{array} $$其中第二个等号用到了 $\mathcal{C}_{x}$ 是确定性的这一事实。
10.3 完美可区分性意味着无扰动#
无信息则无扰动这一性质对态的可区分性具有重要影响。首先，它意味着能够完美区分一组态的测量可以在不扰动这些态所对应的所有面时实现：
命题10.4（完美可区分性意味着无扰动）如果态 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是完美可区分的，那么区分它们的测量可以通过一个检验实现，该检验在输入每个 $\rho_{i}$，$i \in \{1 , \ldots , N \}$ 时均不产生扰动。
证明 令 $\{a_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 为完美区分态 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 的测量，即
$$ ( a_{i} | \rho_{j} ) = \delta_{i j} \qquad \forall i , j \in \{1 , . . . , N \} . $$令 $F_{j}$ 为 $\rho_{j}$ 所标识的面，并令 $\rho_{j}^{\prime}$ 为 $F_{j}$ 中的任意态。对于每个固定的 $j$，易见式(10.8)意味着
$$ ( a_{i} | \rho_{j}^{\prime} ) = \delta_{i j} \qquad \forall j \in \{1 , \dots , N \} . $$由于 $\rho_{j}^{\prime}$ 是 $F_{j}$ 中的任意态，上述关系等价于
$$ a_{i} = _{\rho_{j}} \delta_{i j} e_{\mathrm{A}} . $$换言之，该测量在输入 $\rho_{j}$ 时不提取任何信息。根据“无信息则不扰动”性质（定理10.2），这样的测量可以通过一个在输入 $\rho_{j}$ 时不产生扰动的测试 $\left\{\mathcal{A}_{i}^{( j )} \right\}$ 来实施。显式地，这意味着测试 $\left\{\mathcal{A}_{i}^{( j )} \right\}$ 满足关系
$$ e_{\mathrm{A}} \mathcal{A}_{i}^{( j )} = a_{i} \qquad \forall i \in \{1 , \dots , N \} . $$以及
$$ \sum_{i = 1}^{N} \mathcal{A}_{i}^{( j )} = _{\rho_{j}} \mathcal{T}_{\mathrm{A}} . $$结合式(10.9)和(10.10)，我们得到 $e_{\mathrm{A}} \mathcal{A}_{i}^{( j )} =_{\rho_{j}} \ \delta_{i j} e_{\mathrm{A}}$ 。进而将此关系与式(10.11)结合，得到
$$ \mathcal{A}_{i}^{( j )} = _{\rho_{j}} \delta_{i j} \mathcal{T}_{\mathrm{A}} \qquad \forall i , j \in \{1 , \dots , N \} . $$现在，我们为每个 $j \in \{1 , \ldots , N \}$ 构造了一个测试，且第 $j$ 个测试不扰动 $F_{j}$ 中的态。然而，我们想要的是一个单一的测试，该测试在每个面 $F_{j}$ 上均不产生扰动。这可通过定义 $\mathcal{A}_{i} : = \mathcal{A}_{i}^{( i )}$ 来实现。该定义蕴含关系
$$ \begin{array}{r} {\frac{\mathrm{~ ~ {~ A ~} ~}} {\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ A ~} ~}} \Bigl [ \mathcal{A}_{i} \Bigr ]^{\mathrm{~ \tiny ~ {~ A ~} ~}} \bigl [ \ e \bigr ) = \frac{\mathrm{~ ~ {~ A ~} ~}} {\mathrm{~ ~ {~ A ~} ~}} \Bigl [ \boldsymbol{a}_{i} \bigr ) \qquad \forall i \in \{1 , \ldots , N \} ,} \end{array} $$因此
$$ \sum_{i = 1}^{N} {\frac{\mathbf{A}} {\mathbf{A}}} \boxed{\mathcal{A}_{i}} \triangleq \boxed{e} = \mathbf{\textsc{A}} \boxed{e} \quad . $$于是，“凡未禁止皆允许”结果（命题7.10）确保集合 $\{\mathcal{A}_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是一个测试。根据构造，测试 $\{\mathcal{A}_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 在输入每个 $j \in \{1 , \ldots , N \}$ 的 $\rho_{j}$ 时均不产生扰动：实际上，式(10.12)给出了关系
$$ \begin{array}{r l r} {\mathcal{A}_{j} = _{\rho_{j}} \mathcal{T}_{\mathrm{A}}} & {{}} & {\forall j \in \{1 , \dots , N \} ,} \end{array} $$这意味着对于 $i \neq j$，有 $\mathcal{A}_{i} = _{\rho_{j}} ~ 0$，因此无扰动条件 $\textstyle \sum_{i} {\mathcal{A}}_{i} = _{\rho_{j}} {\mathcal{T}}_{\mathrm{A}}$ 成立。
练习 10.1 [纯态的无联合区分性] 证明不可能通过单次观测检验区分一个系统的所有纯态。
借助上述命题，我们可以证明一个相当强的结果：
命题 10.5 (精细化可区分性性质) 设 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 为一组完美可区分态，并且对于每个 i，令 $\mathsf{S}_{i}$ 为 $F_{i}$（由 $\rho_{i}$ 标识的面）中的一组完美可区分态。则集合 $\mathsf{S} : = \cup_{i = 1}^{N} \mathsf{S}_{i}$ 中的态是完美可区分的。
证明 只需执行一个无扰动区分态 $\{\rho_{i} \}$ 的检验，然后根据结果，执行一个完美区分集合 $\mathsf{S}_{i}$ 中态的测量。
有趣的是，当系统的态空间为正方形时，上述性质不成立：
练习 10.2 考虑一个假设系统，其确定性态构成一个正方形，且允许的测量集包括所有能完美区分正方形两条对边的测量。证明这种态空间和测量的选择与命题10.5中的精细化可区分性性质不相容。
精细化可区分性性质还能证明第10.2节开头例子中的三个态 $\rho_{1} , \rho_{2}$ 和 $\rho_{3}$ 是完美可区分的：
练习 10.3 设 $\rho_{1} , \rho_{2}$ 和 $\rho_{3}$ 为系统 $\mathbf{A}$ 的三个态，满足：(i) $\rho_{1}$ 可与 $\rho_{2}$ 完美区分；(ii) $\rho_{3}$ 可与 $\rho_{12} = \textstyle{\frac{1} {2}} ( \rho_{1} + \rho_{2} )$ 完美区分。证明 $\rho_{1} , \rho_{2}$ 和 $\rho_{3}$ 是完美可区分的。
最后，精细化可区分性性质意味着每一组完美可区分的混合态都可以精化为一组完美可区分的纯态：
命题 10.6 设 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{M}$ 为一组完美可区分态。若该组中有一个态不是纯态，则存在另一组完美可区分态，其元素个数 $N > M$。
证明 设 $\rho_{1}$ 为混合态，并令 $( \mathrm{C} , \mathcal{E} , \mathcal{D} )$ 为 $\rho_{1}$ 的一个理想压缩协议。注意，由于 $\rho_{1}$ 是混合态，系统 C 中至少包含两个可区分态（根据命题4.1）。设 $\{\gamma_{k} \}$ 为 C 中一组（多于两个的）完美可区分态。应用解码操作 $\mathcal{D}$，得到集合 $\{\mathcal{D} \gamma_{k} \}$，该集合由 $\rho_{1}$ 标识的面中的完美可区分态组成。根据命题10.5的精细化可区分性性质，可得 $\{{\mathcal{D}} \gamma_{k} \} \cup \{\rho_{i} \}_{i = 2}^{M}$ 是一组完美可区分态，其基数大于 M。
显然，由于有限维系统具有有限数量的完美可区分态，前一命题中描述的优化过程只能迭代有限次。当无法进一步优化时，便会得到一组完美可区分的纯态。这一论证得出了以下结论。
推论 10.7 每一组完美可区分态都可以精化为一组完美可区分的纯态。
10.4 正交性#
借助无信息无扰动性质，完美可区分性的操作概念可以被证明等价于正交性的数学概念。
让我们明确说明这一点。我们说态 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是正交的，当且仅当存在一组效应 $\{a_{i} \}_{i = 1}^{N}$（不一定构成一个测量），使得
$$ ( a_{i} | \rho_{j} ) = \delta_{i j} \qquad \forall i , j \in \{1 , . . . , N \} . $$显然，完全可区分的态是正交的。然而，逆命题可能不成立，因为效应 $\{a_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 可能不构成一个测量（例如，可以有 $\textstyle \sum_{i = 1}^{N} a_{i} \neq e_{\mathrm{A}} )$ ）。
正交性的概念没有明确的操作意义。尽管如此，命题10.5所阐述的精炼可区分性性质使我们能够将其与完全可区分的操作概念等同起来：
命题10.8（完全可区分性等于正交性） 设 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是给定系统的一组态。以下表述等价：
- 态 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是正交的；
- 态 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是完全可区分的。
证明 设 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是一组正交态，$\{a_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是相应的效应集。对每个 $i \in \{1 , \ldots , N \}$ ，考虑二元测量 $\{a_{i} , e \mathrm{~ - ~} a_{i} \}$ 。由于根据假设 $( a_{i} | \rho_{j} ) = \delta_{i j}$ ，检验 $\{a_{i} , e \mathrm{~ - ~} a_{i} \}$ 可以完美区分 $\rho_{i}$ 与态 $\{\rho_{j} \}_{j \neq i}$ 的任意混合。特别地，态 $\rho_{M + 1}$ 可以与混合态 $\begin{array}{r} {\omega_{M} = \sum_{j = 1}^{M} \rho_{j} / M} \end$ 完美区分，对于每个 $M < N$ 。注意，根据定义，态 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{M}$ 属于面 $F_{\omega_{M}}$ 。我们现在通过对 $M$ 的归纳证明态 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{M}$ 是完全可区分的。这在 $M = 1$ 时根据假设成立。现在，假设态 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{M}$ 是完全可区分的。由于态 $\rho_{M + 1}$ 可以与 $\omega_{M}$ 完美区分，命题10.5保证态 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{M + 1}$ 是完全可区分的。取 $M = N - 1$ ，结论得证。□
正交性的概念可以很容易地从态扩展到面：我们说面 $\{F_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是正交的，当且仅当对于态 $\rho_{i}^{\prime} \in F_{i}$ 的每一种可能选择，态 $\{\rho_{i}^{\prime} \}_{i = 1}^{N}$ 都是正交的。综合命题10.1和10.8中得到的结果，我们有如下推论：
推论10.9 设 $\{F_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是给定物理系统的一组面。那么，以下表述等价：
- 面 $\{F_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是正交的；
- 面 $\{F_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是完全可区分的。
换句话说，即使在涉及状态空间面的最基础层面，正交性和可区分性的概念也是等价的。
练习10.4 设 $F$ 是 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{F} )$ 的一个面，且 $( \mathrm{C} , \boldsymbol{B} , \mathcal{A} )$ 是 $F$ 的一个理想编码方案。证明：$\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{k} \subset F$ 是 $F$ 中一个极大完全可区分态集当且仅当 $\{\mathcal{A} \alpha_{i} \}_{i = 1}^{k}$ 是 $\boldsymbol{\mathcal{A}} \boldsymbol{F}$ 中一个极大完全可区分态集。
10.5 完全可区分态的最大集#
在集合 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 中增加完全可区分态数量的一个简单方法是附加另一个与所有其他态正交的态 $\rho_{N + 1}$ 。当这样的态存在时，原始集可以扩展为一个更大的完全可区分态集。当然，这种扩展并非总是可能的：由于完全可区分态是线性无关的，对于有限维系统，只能存在有限个完全可区分态。
如果不存在态 $\rho_{N + 1}$ 使得态 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{N + 1}$ 是完全可区分的，那么我们就说集合 $\{\rho_{i} \}_{i = 1}^{N}$ 是最大的。根据定义，一个可区分态集要么是最大的，要么可以扩展为一个最大集。对于纯态集，可以选择由纯态组成的扩展：
命题10.10 每一组完全可区分的纯态都可以扩展为一个最大的纯态集。特别地，每个纯态都属于一个最大的纯态集。
证明 设 ({\varphi_{i} }{i = 1}^{N}) 是一个非最大的完全可区分纯态集。根据定义，存在一个态 (\sigma) 使得 ({\varphi{i} }{i = 1}^{N} \cup {\sigma }) 是完全可区分的。令 (\varphi{N + 1}) 为 (F_{\sigma}) 中的一个纯态。根据命题10.1，态 ({\varphi_{i} }{i = 1}^{N + 1}) 将是完全可区分的。由于 (\mathsf{St}{\mathbb{R}} ( \mathbf{A} )) 的维度是有限的，且可区分的态是线性无关的，重复这一过程有限次后，必然得到一个最大的纯态集。
直观上，最大集是占据了系统态空间中所有可用空间的态集。这一直观认识由以下充要条件精确表述：
定理10.11 一组完全可区分的态 ({\rho_{i} }{i = 1}^{N}) 是最大的当且仅当对所有的 (i) 满足 (p{i} > 0) 的态 (\omega = \sum_{i = 1}^{N} p_{i} \rho_{i}) 是完全混合的。
证明 我们首先证明，如果 (\omega) 是内部的，那么集合 ({\rho_{i} }{i = 1}^{N}) 必定是最大的。事实上，如果存在一个态 (\rho{N + 1}) 使得 ({\rho_{i} }{i = 1}^{N + 1}) 是完全可区分的，那么显然 (\rho{N + 1}) 可以与 (\omega) 区分。这是荒谬的，因为没有任何态能与内部态完全区分。3 反之，如果 ({\rho_{i} }{i = 1}^{N}) 是最大的，那么 (\omega) 是内部的。如果不是，根据完全可区分性原理，(\omega) 可以与某个态 (\rho{N + 1}) 完全区分。根据精细可区分性性质（命题10.5），这将意味着态 ({\rho_{i} }{i = 1}^{N + 1}) 是完全可区分的，与集合 ({\rho{i} }_{i = 1}^{N}) 是最大的这一假设相矛盾。
纯态的最大集在量子理论的结构中起着关键作用。在希尔伯特空间框架中，它们被等同于标准正交基。从操作角度看，我们将看到它们具有若干显著性质，例如：
如果一个测量区分了一个纯态的最大集，那么该测量中的每个效应都必须是纯的；
对于系统 (\mathbf{A}) 的每一个纯态最大集，例如 ({\alpha_{i} }{i = 1}^{N})，不变态 (\chi{\mathrm{A}}) 可以写作
$$ \chi_{\mathrm{A}} = \frac{1} {N} \sum_{i = 1}^{N} \alpha_{i} ; $$对于给定系统，所有纯态最大集都具有相同的基数；
对于给定系统，每一个纯态最大集都可以通过一个可逆变换转换为该系统的任意其他纯态最大集。
这些在希尔伯特空间框架中熟悉的性质，在一般性 OPT 框架中却相当不平凡。要了解如何从基本原理证明它们，你需要继续阅读接下来的几章。但在那之前，让我们总结一下本章所学的内容。
10.6 总结#
我们首先讨论了完美可区分态的概念，该概念可以与状态空间中更基本的完美可区分面的概念等同。这种等同在任何理论中都成立。然后，我们证明了无信息则无扰动性质，并由此推导出了若干推论。具体地，我们证明了：(i) 如果一组态是完美可区分的，那么可以使用一个使它们保持不变的测试来区分它们；以及 (ii) 每组完美可区分的混合态都可以被细化为一组基数更大的、完美可区分的纯态。利用这些结果，我们将完美可区分性表征为正交性。最后，我们讨论了最大集的概念，即不能再扩展的完美可区分态集。利用这个概念，我们证明了每一组完美可区分的纯态都可以扩展为一个完全由纯态组成的最大集。
选做习题答案#
习题 10.1#
首先，注意到系统 A 的纯态是 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 中的一个完备集。由于维度 $D_{\mathrm{{A}}}$ 是有限的，我们可以找到一个有限的纯态完备集 $\left\{\psi_{i} \right\}_{i = 1}^{D_{\mathrm{A}}}$。现在假设所有纯态可以在一个测试中被联合区分：这意味着通过粗粒化，我们可以构造一个单一的观测测试 $\{a_{i} \} \subseteq \mathsf E^{\mathsf{ff} ( \mathrm{A} )}$，使得
$$ ( a_{i} | \psi_{j} ) = \delta_{i , j} . $$根据命题 10.4，这意味着存在一个完美区分测试，它对状态完备集 $\{\psi_{i} \}_{i = 1}^{{\bar{D}}_{\mathrm{A}}}$ 不造成扰动，从而对 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 也不造成扰动。然而，根据第 7.7 节中具有纯化理论的无信息则无扰动性质，这意味着该测试的形式为 $\mathcal{A}_{i} = p_{i} \mathcal{T}$，这与式 (10.14) 矛盾。
习题 10.4#
我们回忆一下，$\mathcal{A} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{F} \to \mathrm{C} )$ 和 $B \in{\mathsf{Transf}} ( \mathrm{C} \to \mathrm{F} )$ 满足条件 (8.7)，即 $B A =_{F} \ Z_{\mathrm{F}}$ 和 $\mathcal{A} \mathcal{B} =_{\mathcal{A} F} \ Z_{\mathrm{C}}$。此外，假设 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{k}$ 是 ${\sf S t}_{1} ( {\sf F} )$ 中的一个完美可区分态集，其区分测试为 $\{a_{i} \}_{i = 1}^{k}$。那么，根据方程 8.7，有 $( a_{i} | \mathcal{A} B | \alpha_{j} ) \ : = \ : \delta_{i , j} ,$，并且根据命题 10.8，集合 $\{\bar{B} \alpha_{j} \}_{j = 1}^{k} ~ \subseteq ~ \mathsf{St}_{1} ( \mathbb{C} )$ 是完美可区分的。此外，如果集合 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{k}$ 在 $F_{\rho}$ 中是最大的，那么 $\{B \alpha_{j} \}_{j = 1}^{k}$ 在 $F_{\mathbf{\mathcal{A}} \rho}$ 中是最大的。实际上，否则就会存在 $\beta \in F_{\mathcal{A} \rho}$，使得 $\{B \alpha_{j} \}_{j = 1}^{k} \cup \{\beta \}$ 是完美可区分的，那么应用之前的论证，$\{\mathcal{A} B \alpha_{i} \}_{i = 1}^{k} \cup \{\mathcal{A} \beta \}$ 也会是完美可区分的。回忆式 (8.7)，这意味着 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{k} \cup \{\mathcal{A} \beta \}$ 是完美可区分的，这与 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{k}$ 的最大性假设矛盾。反之，使用同样的论证，交换 $\boldsymbol{B}$ 与 $\{\alpha_{i} \}_{i = 1}^{k}$ 以及 $\{B \alpha_{j} \}_{j = 1}^{k}$ 的角色，我们便得到了逆命题的证明。