编码信息#

在前几章中，我们提出了一套新的量子理论原理，从现在起我们将以此为基础。真正的乐趣从现在开始：让这些原理相互交互，观察会得出什么结果。本章中，我们从第一次交互开始：将纯化与局部可区分性结合起来，我们建立了数据处理与纠缠处理之间的基本等价关系。然后利用这一等价关系探索物理系统携带的信息如何被编码到另一个系统中。特别地，我们研究了理想压缩的例子，其中用于编码的系统尺寸尽可能小。将理想压缩与纯化结合起来，我们证明了每个混合态都有一个最小纯化，其纯化系统尺寸最小。最后，本章发展的思想被应用于噪声信道的信息传输以及纠错的研究。

8.1 数据处理 = 纠缠处理#

在信息论中，人们常谈论信息源。信息源不过是一种制备装置，它以概率 $p_{x} > 0$ 从可能状态集 $\{\rho_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 中选择，发射处于某个状态 $\rho_{x}$ 的给定系统 A。这里，每个状态 $\{\rho_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 代表不同的数据片段，信息论学家的目标是实现对数据的某种期望处理——例如将其存储在硬盘上，或传输到远处。假设期望的处理由物理变换 ${\mathcal{A}}$ 描述。那么，任何在状态集 $\{\rho_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 上作用相同的其他变换 $\widetilde{A}$ 也同样有效。下文中，我们分析两个变换在给定源上作用相同的条件，揭示了数据处理与纠缠处理之间的深层关系。

如果源完全已知，则 $\mathcal{A}$ 和 $\widetilde{A}$ 作用相同的条件显然为

$$ \mathcal{A} \rho_{x} = \widetilde{\mathcal{A}} \rho_{x} \qquad \forall x \in \mathsf{X} .\tag{8.1} $$

在这种情况下，我们说 $\mathcal{A}$ 和 $\widetilde{A}$ 在输入源 $\{p_{x} \rho_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 时相等。假设我们并不确切知道源中的状态，但我们知道平均而言这些状态产生状态 $\rho = \sum_{x \in \mathsf{X}} p_{x} \rho_{x}$ 。为了保证 $\widetilde{A}$ 与 ${\mathcal{A}}$ 作用相同，我们现在需要检查式(8.1)对每个平均状态为 $\rho$ 的源 $\{p_{x} \rho_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 是否成立。这一条件可以用 $\rho$ 确定的面来优雅地表述，即由所有出现在 $\rho$ 的某个凸分解中的状态组成的集合 $F_{\rho}$：

$$ {\cal F}_{\rho} : = \left\{\sigma \in{\sf S t} ( \mathrm{A} ) | \exists \tau \in{\sf S t} ( \mathrm{A} ) , \exists p > 0 : \rho = p \sigma + ( 1 - p ) \tau \right\} .\tag{8.2} $$

注意，上述定义对应于第二章中解释的 $F_{\rho} \equiv \mathsf{RefSet}_{1} ( \rho )$ 。$\mathcal{A}$ 和 $\widetilde{A}$ 对每个平均为 $\rho$ 的源作用相同的条件等价于

$$ \mathcal{A} \sigma = \widetilde{\mathcal{A}} \sigma \qquad \forall \sigma \in F_{\rho} .\tag{8.3} $$

8.2 源、纯化和最大信息#

这一条件可以进一步用纯化来表述。设 $|\Psi_{\rho}\rangle$ 是 $\rho$ 的一个纯化，即存在一个额外的参考系统 R，使得 $\mathrm{Tr}_{R}[|\Psi_{\rho}\rangle\langle\Psi_{\rho}|] = \rho$。那么，对每个 $\sigma \in F_{\rho}$，存在某个态 $\tau_{\sigma}$ 使得 $\rho = p\sigma + (1-p)\tau$。但更有用的是，我们可以通过纯化来刻画面的结构。

换句话说，第8.1节中的条件表明，如果两个变换在源的平均态 $\rho$ 的所有可能纯化上作用相同，那么它们在源的所有可能输出上作用相同。这建立了数据处理与纠缠处理之间的深刻联系。

8.3 理想压缩#

在编码理论中，一个核心问题是用尽可能少的资源表示给定的信息源。理想压缩就是寻找最小尺寸的系统，使得信息可以被编码并随后保真度地重建。设源产生状态 $\rho_{x}$，概率为 $p_{x}$。编码过程是物理变换，将系统从原始空间 A 映射到编码空间 C，压缩则是逆过程。

根据第8.1节的等价关系，压缩和重建的保真度条件可以用纯化来表述。理想压缩器是这样一个变换：它能完美地重建源的所有状态，同时使用的编码系统尺寸最小。这相当于寻找源的平均态 $\rho = \sum_{x} p_{x} \rho_{x}$ 的最小纯化系统。

8.4 最小纯化#

结合理想压缩和纯化原理，我们可以证明：每个混合态 $\rho$ 都有一个最小纯化，其纯化系统的维度等于 $\rho$ 的秩。这一结果直接来自我们之前发展的原理：局部可区分性和纯化的交互作用保证了这种最小表示的存在性和唯一性（在等距意义下）。

最小纯化的构造通过压缩过程实现。设 $\rho$ 是系统 A 上的混合态，其秩为 $r$。那么存在一个从 A 到系统 C 的等距变换，使得压缩后的状态具有更简单的结构，而纯化系统 R 的维度恰好为 $r$。

8.5 噪声信道下的信息传输#

本章的思想可应用于噪声信道中的信息传输。考虑一个信道 $\mathcal{N}: \mathsf{St}(A) \to \mathsf{St}(B)$，其噪声由环境相互作用引起。利用编码-纠缠等价关系，我们可以将信道容量的计算转化为纠缠处理的变分问题。

具体来说，如果发送者希望可靠地传输来自源 $\{p_{x}, \rho_{x}\}$ 的信息，那么编码器和解码器需要满足条件：存在编码映射 $\mathcal{E}$ 和解码映射 $\mathcal{D}$，使得对每个 $x$，有 $\mathcal{D} \circ \mathcal{N} \circ \mathcal{E}(\rho_{x}) \approx \rho_{x}$。通过将状态纯化，这一问题等价于寻找最大纠缠态的忠实传输。

8.6 纠错#

最后，本章的思想为量子纠错提供了新视角。纠错码的本质是利用编码空间中的冗余来保护信息免受噪声影响。根据数据处理与纠缠处理的等价性，纠错条件可以表示为存在一个逆操作，它可以在受噪声影响的编码空间上恢复原始纠缠结构。

这导致了对纠错码的简洁表征：一组错误算符 $\{E_{i}\}$ 可纠正当且仅当它们满足 Knill-Laflamme 条件，该条件可以通过纯化态 $\Psi_{\rho}$ 上的内积来表述。这为理解纠错机制提供了几何清晰度。

小结：本章展示了数据处理与纠缠处理之间的根本等价性，并将其应用于理想压缩、最小纯化、噪声信道和纠错。这些结果依赖于前几章建立的基本原理，特别是纯化和局部可区分性。

若情况如此，则称 $\mathcal{A}$ 与 $\widetilde{A}$ 在输入 $| \rho , \quad |$ 上相等，记为 $\begin{array}{r} {\boldsymbol{\mathcal{A}} = _{\rho} \boldsymbol{\widetilde{A}} .} \end$。注意到如下显然的性质（见习题2.14）：

命题 8.1 若 ${\mathcal{A}} = _{\rho} {\widetilde{\mathcal{A}}}$ 且 $\sigma \in F_{\rho} ,$，则 ${\mathcal{A}} = _{\sigma} {\mathcal{\widetilde{A}}} .$

根据上一命题，我们可在面 $F \subseteq{\mathrm{St}} ( \mathbf{A} )$ 上定义两个变换相等的概念如下。

定义 8.2（面上的相等） 若对每个 $\rho \in F$ 均有 $\mathcal{A} = _{\rho} \mathcal{B}$，则称两个变换 $\mathcal{A} , B \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A {} B )}$ 在面 $F \subset \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 上相等，并记为 $\mathcal{A} = _{F} \mathcal{B}$。

现在我们准备好建立数据处理与纠缠处理之间的联系：

定理 8.3 设 $\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ 为一个态，且 $\Psi \in \mathsf{PurSt}_{1} ( \mathrm{AB} )$ 为 $\rho$ 的一个纯化。则两个变换 $\mathcal{A} , \widetilde{\mathcal{A}} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} \to \mathrm{A}^{\prime} )$ 在 $F_{\rho}$ 上相等当且仅当

$$ \begin{array}{r} {\begin{array}{r l} {\left( \Psi \right)^{\frac{\mathrm{~ A ~}} {\mathrm{~ \left[ ~ \underline{{~ A} ~} \right]} \mathrm{~ \Lambda ~}^{A^{\prime}}}} =} & {{} \left( \Psi \right)^{\frac{\mathrm{~ A ~}} {\mathrm{~ \left[ ~ \underline{{~ A} ~} \right] ~}^{\mathrm{\tiny ~ A^{\prime} ~}}}} .} \end{array} \end{array} $$

证明由导引性质（命题7.5）可知，对每个态 $\sigma \in F_{\rho}$，存在非零概率 $p$ 和效应 $b \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$ 使得

$$ \begin{array}{r l} {p} & {{} \underbrace{\left( \sigma \right)^{\mathrm{~ A ~}}}} \end{array} = \begin{array}{r l} {\boxed{\Psi} \frac{\mathbf{A}} {\mathbf{B}}} & {{}} \end{array} $$

反之亦然：每个效应 $b \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$ 在系统 A 上诱导出一个属于 $F_{\rho}$ 的态。因此，条件 $\scriptstyle A = _{\rho} {\widetilde{A}}$ 等价于条件

$$ \begin{array}{r l} {( \Psi | \frac{\mathrm{~ \cal ~ A ~}} {\mathrm{~ \cal ~ B ~}} | ^{- \mathrm{~ \cal ~ A ~}} )^{\mathrm{~ \cal ~ A ~}^{\prime}} =} & {( \Psi | \frac{\mathrm{~ \cal ~ A ~}} {\mathrm{~ \cal ~ B ~}} | \overline{{\mathrm{~ \cal ~ A ~}}}^{\prime}} \\ {\mathrm{~ \cal ~ B ~} | ^{\mathrm{~ \cal ~ B ~}} )^{\mathrm{~ \cal ~ A ~}^{\prime}} =} & {\forall b \in \sf E H ( B ) ,} \end{array} $$

而该条件又等价于

$$ \begin{array}{r l} {( \Psi | \begin{array}{l l l} {\underline{{\mathsf{A} [ \underline{{A}} ]}}^{\mathrm{\tiny ~ A / -}} [ \underline{{\mathsf{a}}} )} \\ {\underline{{\mathsf{B}}}} \end{array} =} & {( \Psi | \begin{array}{l l l} {\underline{{\mathsf{A}}}} & {[ \underline{{\widetilde{A}}} ]^{\mathrm{\tiny ~ A / -}} [ \underline{{a}} )} & {\quad \forall a \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{A}^{\prime} )} \\ {\underline{{\mathsf{B}}}} & {\qquad [ b ]} & {\quad \forall b \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} ) .} \end{array} \end{array} $$

由局部可区分性知，这等价于条件 $( \mathcal{A} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Psi = ( \widetilde{\mathcal{A}} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Psi$。

换言之，两个变换对平均态为 $\rho$ 的所有信源作用相同，当且仅当它们对 $\rho$ 的某一给定纯化作用相同：处理信源发出的数据等价于局部处理一个合适的纠缠态。

数据处理与纠缠处理之间的等价性有许多重要推论。最简单的是我们在7.7节中遇到的“无信息即无扰动”性质的强化版本：

命题 8.4 若检验 $\{{\mathcal{A}}_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 在 $F$ 上无扰动，即

$$ \sum_{x \in \mathsf{X}} \mathcal{A}_{x} = _{F} \mathcal{T}_{\mathsf{A}} , $$

则它在 $F$ 上无信息，即存在概率分布 $\{p_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 使得

$$ \begin{array}{r} {\mathcal{A}_{x} = _{F} p_{x} \mathcal{Z}_{\mathrm{A}} .} \end{array} $$

证明对于 $\rho$ 的一个纯化，记 $\Psi \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{AB} )$，无干扰条件给出 $\begin{array}{r} {\sum_{x \in \mathsf{X}} ( \mathcal{A}_{x} \otimes \mathcal{T}_{\mathsf{B}} ) \Psi = \Psi} \end$（由定理8.3）。由于 $\Psi$ 是纯的，这意味着存在概率分布 $\{p_{x} \}$ 使得 $( \mathcal{A}_{x} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Psi = p_{x} \Psi$。但这一条件又蕴含 $\mathcal{A}_{x} = _{F} p_{x} \mathcal{T}_{\mathrm{A}}$（再次由定理8.3）。

习题8.1 设 $\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$，且 $a \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{A} )$。证明：若 $( a | \rho ) = 1$ 则 $a = _{\rho} e$；若 $( a | \rho ) = 0$ 则 $a = _{\rho} 0$。

8.2 理想编码#

将系统 A 携带的信息编码到另一个物理系统 A′ 中通常很有用。例如数据压缩（将信息编码到更小的物理载体中），或纠错码的例子（将信息分散到多个系统上以对抗不必要的错误）。在所有这类情况下，要求编码是无损的：对于输入 $\rho$，编码 $\mathcal{E}$ 无损当且仅当存在解码操作 $\mathcal{D}$ 使得 $\mathcal{DE} = _{\rho} \mathcal{T}_{\mathrm{A}}$。

现在，编码 $\mathcal{E}$ 将平均态为 $\rho$ 的源变换为平均态为 $\rho^{\prime} : = \mathcal{E} \rho$ 的源。显然，这意味着面 $F_{\rho}$ 中的每个态都被编码为面 $F_{\rho^{\prime}}$ 中的态，即

$$ \mathcal{E} F_{\rho} \subseteq F_{\rho^{\prime}} , $$

如果等式成立，即面 $F_{\rho^{\prime}}$ 中的每个态都可以由 $F_{\rho}$ 中的某个态编码得到，则称编码是高效的，即当且仅当

$$ \forall \tau \in F_{\rho^{\prime}} \quad \exists \sigma \in F_{\rho} : \qquad ( \overline{{\tau}} )^{\lrcorner \ A^{\prime}} = \quad ( \overline{{\sigma}} )^{\lrcorner \ A} \sqrt{\mathcal{E}} \Big | ^{\ A^{\prime}} \cdot $$

这意味着编码没有浪费空间：输入态被编码到的面 $F_{\rho^{\prime}}$ 尽可能小。

我们将既无损又高效的编码称为理想编码。例如，理想压缩原理中假定的压缩协议都是理想编码的例子。一般来说，理想编码可以刻画如下。

命题8.5 变换 $\mathcal{E}$ 是态 $\rho$ 的理想编码当且仅当存在解码变换 $\mathcal{D}$ 使得

$$ \mathcal{DE} = _{\rho} \mathcal{T}_{\mathrm{A}} \quad \quad \mathrm{~ 和 ~} \quad \quad \mathcal{ED} = _{\rho^{\prime}} \mathcal{T}_{\mathrm{A^{\prime}}} , $$

其中 $\boldsymbol \rho^{\prime} = \boldsymbol \mathcal{E} \boldsymbol \rho$。

证明假设式(8.7)成立。式(8.7)中的第一个条件表明 $\mathcal{E}$ 是无损的，特别地，$\mathcal{D} \boldsymbol{\rho}^{\prime} = \boldsymbol{\rho}$。显然，这蕴含

$$ \mathcal{D} {F}_{\rho^{\prime}} \subseteq{F}_{\rho} . $$

式(8.7)中的第二个条件保证 ${\cal F}_{\rho^{\prime}} = \mathcal{E} \mathcal{D} {\cal F}_{\rho^{\prime}} \subseteq \mathcal{E} {\cal F}_{\rho}$。因此，$\mathcal{E}$ 是高效的。总结起来，我们证明了 $\mathcal{E}$ 是理想的。

反过来，假设 $\mathcal{E}$ 是理想的。特别地，它是无损的，即满足式(8.7)中的第一个条件。现在，设 $\tau$ 是 $F_{\rho^{\prime}}$ 中的一般态。由于 $\mathcal{E}$ 是高效的，$\tau$ 可写为 $\tau = \mathcal{E} \sigma$，其中 $\sigma ~ \in ~ {\cal F}_{\rho}$。由于 $\mathcal{E}$ 是无损的，我们有 $\sigma = \mathcal{D} \mathcal{E} \sigma$。结合这两个事实，我们得到

$$ \begin{array}{r} {\mathcal{E} \mathcal{D} \tau = \mathcal{E} \mathcal{D} ( \mathcal{E} \sigma ) = \mathcal{E} ( \mathcal{D} \mathcal{E} \sigma ) = \mathcal{E} \sigma = \tau .} \end{array} $$

由于条件对每个 $\tau \in F_{\rho^{\prime}}$ 都成立，我们证明了 $\mathcal{E} \mathcal{D} = _{\rho^{\prime}} \mathcal{T}_{\mathrm{A^{\prime}}}$。

上述结果告诉我们，$\rho$ 可以理想编码为 $\rho^{\prime}$ 当且仅当 $\rho^{\prime}$ 可以理想编码为 $\rho$。此外，将其与命题8.1结合，我们得到以下命题。

命题8.6 若 $\mathcal{E}$ 是 $\rho$ 的一个理想编码，则 $\mathcal{E}$ 是每个状态 $\sigma \in F_{\rho}$ 的一个理想编码。

因此很明显，理想编码的概念适用于一个面而非单个状态，因为根据命题8.6，面 $F_{\rho}$ 中的每个状态 $\sigma$ 都与 $\rho$ 具有相同的理想编码方案 $(\mathbf{C}, \mathcal{E}, \mathcal{D})$。于是我们可以定义面 $F$ 的理想编码方案，即指 $F$ 中任意状态的理想压缩方案 $(\mathbf{C}, \mathcal{E}, \mathcal{D})$。

理想编码可以通过一个更简单的条件来刻画：

定理8.7 设 $\Psi \in \mathsf{PurSt}(\mathrm{AB})$ 是 $\rho$ 的一个纯化。那么，$\mathcal{E}$ 是 $\rho$ 的理想编码当且仅当状态 $\Psi^{\prime} := (\mathcal{E} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}) \Psi$ 是纯态。

证明假设 $(\mathcal{E} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}) \Psi$ 是纯态。那么 $\Psi$ 和 $\Psi^{\prime}$ 是系统B上同一状态的两个纯化。因此，纯化的唯一性意味着存在一个确定变换使得 $(\mathcal{D} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}) \Psi^{\prime} = \Psi$ 对于某个变换 $\mathcal{D}$ 成立。换句话说，我们有 $(\mathcal{D} \mathcal{E} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}) \Psi = \Psi$，这等价于 $\mathcal{D} \mathcal{E} = _{\rho} \mathcal{I}_{\mathrm{A}}$，依据定理8.3。此外，我们有

$$ \begin{array}{l} {{( \mathcal{E} \mathcal{D} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Psi^{\prime} \equiv ( \mathcal{E} \mathcal{D} \mathcal{E} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Psi}} \\ {{=( \mathcal{E} \otimes I_{\mathrm{B}} ) \Psi}} \\ {{\ \equiv \Psi^{\prime} ,}} \end{array} $$

这等价于 $\mathcal{E} \mathcal{D} = _{\rho^{\prime}} \mathcal{T}_{\mathrm{A^{\prime}}}$。因此，$\mathcal{E}$ 是一个理想编码。

反过来，假设 $\mathcal{E}$ 是 $\rho$ 的一个理想编码，即存在一个解码使得对于 $\rho^{\prime} := \mathcal{E} \rho$ 有 $\mathcal{D} \mathcal{E} = _{\rho} \mathcal{T}_{\mathrm{A}}$ 和 $\mathcal{E} \mathcal{D} = _{\rho^{\prime}} \mathcal{T}_{\mathrm{A^{\prime}}}$。现在，假设 $(\mathcal{E} \otimes \mathcal{U}_{\mathrm{B}}) \Psi$ 可以写成纯态的凸组合，例如

$$ ( {\mathcal{E}} \otimes{\mathcal{U}}_{\mathrm{B}} ) \Psi = \sum_{x} p_{x} \Gamma_{x} $$

对于某些概率 $\{p_{x}\}$ 和某些纯态 $\{\Gamma_{x}\}$。在等式两边应用 $\mathcal{D} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}$，我们得到

$$ \sum_{i \in \mathrm{X}} p_{x} ( \mathcal{D} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Gamma_{x} = ( \mathcal{D} \mathcal{E} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Psi \equiv \Psi , $$

这里使用了关系 $\mathcal{D} \mathcal{E} = _{\rho} \mathcal{T}_{\mathrm{A}}$。由于 $\Psi$ 是纯态，这个关系意味着

$$ ( {\mathcal{D}} \otimes{\mathcal{T}}_{\mathrm{B}} ) \Gamma_{x} = \Psi \qquad \forall x \in \mathsf{X} . $$

最后，式(8.9)意味着每个纯态 $\Gamma_{x}$ 的边缘态——记为 $\tau_{x}$——属于由 $\rho^{\prime} := \mathcal{E} \rho$ 确定的面。因此，关系 $\begin{array}{r} {\mathcal{E} \mathcal{D} = _{\rho^{\prime}} \mathcal{T}_{\mathrm{A^{\prime}}}} \end$ 蕴含 $\mathcal{E} \mathcal{D} = _{\tau_{x}} \mathcal{Z}_{\mathrm{A^{\prime}}}$（参见命题8.1），进而得到 $(\mathcal{E} \mathcal{D} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}) \Gamma_{x} = \Gamma_{x}$。总之，我们得到

$$ \begin{array}{c} {\Gamma_{x} = ( \mathcal{E} \mathcal{D} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Gamma_{x}} \\ {= ( \mathcal{E} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Psi ,} \end{array} $$

利用方程(8.10)。总之，$(\mathcal{E} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}) \Psi$ 只允许平凡凸分解，即它是纯态。

由于这一结果，理想编码被等同于将纯态映射为纯态的确定性变换。一个简单的推论如下。

推论 8.8 设 $\mathcal{E}$ 是 $\rho$ 的理想编码，并设 $\alpha$ 是 $F_{\rho}$ 中的纯态。那么，$\alpha$ 是纯的。

证明由于 $\alpha$ 属于 $F_{\rho}$，$\mathcal{E}$ 是 $\alpha$ 的理想编码（命题8.6）。由于 $\alpha$ 是纯的，它的纯化只具有乘积形式 $\Psi = \alpha \otimes \beta$，其中 $\beta \in \mathsf{PurSt}( \mathrm{B} )$。因此，定理8.7意味着 $(\mathcal{E} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{A}})(\alpha \otimes \beta) = \alpha^{\prime} \otimes \beta^{\prime}$，其中 $\alpha^{\prime} \in \mathsf{PurSt}(\mathrm{A})$ 和 $\beta^{\prime} \in \mathsf{PurSt}( \mathrm{B} )$ 为纯态。反过来，这又意味着 $\mathcal{E} \alpha = \alpha^{\prime}$ 和 $\beta^{\prime} = \beta$。

为了练习本节中的概念，尝试以下习题。

练习 8.2 证明：如果 $\mathcal{E} \in \mathsf{Transf}( \mathrm{A} \to \mathrm{A}^{\prime} )$ 是 $\rho$ 的理想编码，且 ${\mathcal{E}}^{\prime} \in \mathsf{Transf}( \mathrm{A}^{\prime} \to \mathrm{A}^{\prime \prime} )$ 是 $\rho^{\prime} := \mathcal{E} \rho$ 的理想编码，那么 $\mathcal{E}^{\prime} \mathcal{E}$ 是 $\rho$ 的理想编码。

练习 8.3 证明：如果 $\mathcal{E} \in \mathsf{Transf}( \mathrm{A} \to \mathrm{A}^{\prime} )$ 是 $\rho$ 的理想编码，且 $\mathcal{F} \in \mathsf{Transf}( \mathrm{B} \to \mathrm{B}^{\prime} )$ 是 $\sigma$ 的理想编码，那么 $\mathcal{E} \otimes \mathcal{F}$ 是 $\rho \otimes \sigma$ 的理想编码。

练习 8.4 证明：$\Psi \in \mathsf{PurSt}( \mathrm{AB} )$ 和 $\Psi^{\prime} \in \mathsf{PurSt}( \mathrm{AB}^{\prime} )$ 是同一状态 $\rho \in \mathsf{St}( \mathrm{A} )$ 的两个纯化，当且仅当存在一个理想编码 $\mathcal{E} \in \mathsf{Transf}( \mathrm{B} \to \mathrm{B}^{\prime} )$，使得 $\Psi^{\prime} = (\mathcal{T}_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{E}) \Psi$。

练习 8.5 证明：如果 $\mathcal{E} \in \mathsf{Transf}( \mathrm{A} \to \mathrm{A}^{\prime} )$ 是 $\rho$ 的理想编码，解码操作为 $\mathcal{D} \in \mathsf{Transf}( \mathrm{A}^{\prime} \to \mathrm{A} )$，那么如果 $\beta \in \mathsf{PurSt}( \mathrm{A}^{\prime} )$，$\mathcal{D} \beta$ 也是纯的。

8.3 理想压缩#

我们的理想压缩原理要求每个状态 $\rho$ 都可以在合适的物理系统（此处记为 C）中理想地编码。与其它理想编码相比，理想压缩的特殊之处在于，编码后的状态 $\rho^{\prime} = \mathcal{E} \rho$ 是完全混合态——也就是说，由 $\rho^{\prime}$ 确定的面对应于系统 C 的整个状态空间。因此，条件 $\mathcal{E} \mathcal{D} = \mathcal{I}_{\rho^{\prime}}$ 变为

$$ \mathcal{E} \mathcal{D} \tau = \tau \qquad \forall \tau \in \mathsf{St}( \mathrm{C} ), $$

并且，由于局部可区分性，

$$ \mathcal{E} \mathcal{D} = \mathcal{I}_{\mathrm{C}} . $$

理想压缩的另一个特殊之处在于解码操作是原子性的：

命题 8.9 在每一个理想压缩协议 (C, $\mathcal{E}$, $\mathcal{D}$) 中，解码是一个原子变换。

证明设 $\rho \in \mathsf{St}( \mathrm{A} )$ 是被压缩的状态，并设 $\Psi \in \mathsf{PurSt}( \mathrm{AB} )$ 是 $\rho$ 的一个纯化。根据定理 8.7，状态 $\Psi^{\prime} := (\mathcal{E} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}) \Psi$ 必须是纯的，并且由方程 (8.12) 我们有 $(\mathcal{D} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}})(\Psi^{\prime}) = \Psi$。现在，假设对于某组变换 $\{\mathcal{D}_x\}$ 有 $\mathcal{D} = \sum_x \mathcal{D}_x$。那么，我们必须有 $\sum_x (\mathcal{D}_x \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}) \Psi^{\prime} = \Psi$，并且由于 $\Psi$ 是纯的，

$$ (\mathcal{D}_x \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}) \Psi^{\prime} = \Psi = (\mathcal{D} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}) \Psi^{\prime} $$

对于某些概率 $\{p_{x} \}$，因此 $\mathcal{D}_{x} = _{\rho^{\prime}} p_{x} \mathcal{D}$。由于 $\rho^{\prime}$ 是完全混合的，由局部可分辨性可知 $\mathcal{D}_{x} = p_{x} \mathcal{D}$。由于 $\mathcal{D}$ 只允许平凡分解，因此它是原子的。

直观上，理想压缩使我们能够将面 $F_{\rho}$ 与态空间 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{C} )$ 等同起来。这种等同本质上是唯一的：

命题 8.10 如果两个系统 C 和 C$^\prime$ 允许对态 $\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ 进行理想压缩，那么它们在操作上是等价的。

证明假设 $( \mathrm{C} , \mathcal{E} , \mathcal{D} )$ 和 $( \mathbf{C}^{\prime} , \mathcal{E}^{\prime} , \mathcal{D}^{\prime} )$ 是态 $\rho$ 的两个理想压缩协议。定义变换 $\mathcal{U} : = \mathcal{E}^{\prime} \mathcal{D} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{C} \to \mathrm{C}^{\prime} )$ 和 $\gamma = \mathcal{E} \mathcal{D}^{\prime} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{C}^{\prime} \to \mathrm{C} )$。容易看出 $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{V}$ 是可逆的，并且 $\mathcal{U}^{-1} = \mathcal{V}$。实际上，对于系统 C 的每一个态 $\tau$，有

$$ \begin{aligned} \mathcal{V} \mathcal{U} \tau &= \mathcal{E} ( \mathcal{D}^{\prime} \mathcal{E}^{\prime} ) \mathcal{D} \tau \\ &= \mathcal{E} ( \mathcal{D}^{\prime} \mathcal{E}^{\prime} ) \sigma \quad \sigma := \mathcal{D} \tau \\ &= \mathcal{E} \sigma \\ &= \mathcal{E} \mathcal{D} \tau \\ &= \tau, \end{aligned} $$

其中第三和第五个等号用到了 $\sigma : = \mathcal{D} \tau$ 属于 $F_{\rho}$ [参见公式(8.8)] 这一事实，因此 $\sigma = \mathcal{D}^{\prime} \mathcal{E}^{\prime} \sigma = \mathcal{D} \mathcal{E} \sigma$ 。由于该变换在每一个输入态上都等于恒等变换，根据局域可分辨性，它在 C 上也等于恒等变换。同样的论证表明 $\boldsymbol{u} \boldsymbol{\nu}$ 在 $\mathrm{C}^{\prime}$ 上是恒等变换。由于存在从该变换到 ${\mathcal{C}}^{\prime}$ 的可逆变换，这两个系统在操作上是等价的。

综上所述，系统A的状态空间的每一个面都与一个（且本质上唯一的）系统C的完整状态空间等同。与理想编码的情形类似，理想压缩的概念显然适用于一个面而非单个态。在下文中，我们将经常使用关于面的理想压缩方案这一概念，指的是对于F中任意态的理想压缩方案 $( \mathrm{C} , \mathcal{E} , \mathcal{D} )$ ，根据命题8.6和引理8.10，该方案本质上是唯一的。

练习8.6 设 $( \mathbf{C} , \mathcal{E} , \mathcal{D} )$ 是面 $F \subseteq \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ 的理想压缩方案。证明若 $\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{C} )$ 是最大混合态，则其在解码映射下的像的精炼集就是F，即 $F = \mathsf{Re} \mathsf{fSet}_{1} ( \mathscr{D} \rho )$ 。

练习8.7 考虑一个具有局域可分辨性和理想压缩的因果理论。证明对于态 $\psi \otimes \sigma \in \mathsf{St} ( \mathsf{AB} )$ ，其中 $\psi \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{A} )$ 且 $\sigma \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{B}} )$ 是完全混合态，理想压缩方案为 $( \mathrm{B} , e_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} , \psi^{\prime} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} )$ ，其中 $\psi^{\prime} : = \psi / ( e | \psi )$ 。

8.4 最小纯化#

我们知道关于一个信源的每一个事实都可以转化为关于其纯化的特征。理想压缩的翻译是什么？有趣的是，理想压缩等价于存在一个最小纯化，即纯化系统中净化系统的边际态是完全混合态的纯化。

让我们看看这意味着什么。纯化告诉我们，我们总可以将一个混合态视为某个纯态的边际态，前提是我们扩大描述范围并包含一个净化系统。尽管如此，净化系统有多种可能的选择，而在所有这些选择中，最好能知道哪一个是最小的。理想压缩提供了答案：对于给定的纯化，我们可以通过应用编码操作 $\mathcal{E}$ 来压缩净化系统。结果，我们得到了一个新的纯化，其中净化系统尽可能小。用更正式的语言表述，我们有以下定理：

定理8.11（最小纯化）对于每个系统A和每个态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$，存在一个系统C和一个$\rho$的纯化 $\Psi \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{AC} )$，使得系统C上的边际态是完全混合态。系统C在操作等价意义下是唯一的。

证明选取$\rho$的一个纯化，比如对某个纯化系统B而言的$\Psi^{\prime} \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{AB} )$。选取$\rho_{\mathrm{B}}$的一个压缩协议$( \mathrm{C} , \mathcal{E} , \mathcal{D} )$，其中$\rho_{\mathrm{B}}$是$\Psi^{\prime}$在系统B上的边际态。将B压缩为系统$\mathrm{C}$，从而得到态$\Psi : = ( \mathbb{Z}_{\mathrm{A}} \otimes{\mathcal{E}} ) \Psi^{\prime}$。根据定理8.7，$\Psi$是纯的，并且根据构造，$\Psi$是$\rho$的一个纯化。$\Psi$在系统C上的边际态由$\rho_{\mathrm{C}} : = \mathcal{E} \rho_{\mathrm{B}}$给出，根据理想压缩的定义，该边际态是完全混合态。因此，我们构造了$\rho$的一个最小纯化。剩下要证明的是，由$\rho_{\mathrm{C}}$是完全混合态这一要求，系统C在操作等价意义下是唯一确定的。为此，设$\Psi \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{AC} )$是$\rho$的一个最小纯化，$\Psi^{\prime} \in \mathsf{St} ( \mathrm{AB} )$是$\rho$的另一个纯化。由于$\Psi$和$\Psi^{\prime}$是同一个态的两个纯化，纯化的唯一性要求必须存在一个通道$\mathcal{E} \in \mathsf{T r a n s f ( B C )}$，使得$\Psi = ( \mathcal{T}_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{E} ) \Psi^{\prime}$。现在，根据定理8.7，我们知道$\mathcal{E}$是将态$\rho_{\mathrm{B}}$编码为态$\rho_{\mathrm{C}}$的理想编码。由于$\rho_{\mathrm{C}}$是最大混合态，$\mathcal{E}$是一次理想压缩。但根据定理8.10，在理想压缩协议中，系统C在操作等价意义下是唯一确定的。

我们刚刚看到，理想压缩原理意味着每个态都有一个最小纯化。如果你想知道其逆命题是否成立，请尝试以下练习。

练习8.8 考虑一个满足因果性、局域可区分性以及更强版本的纯化原理（该原理声称每个混合态都有一个最小纯化，当然，再加上纯化在可逆变换下是唯一的事实）的理论。证明这样的理论满足理想压缩。

8.5 通过噪声信道发送信息#

我们以对噪声信道和纠错的初步讨论来结束本章。以下给出的结果并非推导希尔伯特空间形式体系的必要条件，但它们极好地说明了本章中所发展的概念。

假设你想通过一个噪声信道$\mathcal{N} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} {} \mathrm{A}^{\prime} )$发送由系统S承载的信息。理想情况下，你的目标是找到一个编码操作$\mathcal{E}$和一个解码操作$\mathcal{D}$，使得最终信息保持不变，即

$$ \mathcal{DNE} = \mathcal{I}_{\mathrm{S}} . $$

如果对于某个解码操作$\mathcal{D}$，上述条件满足，我们就说$\mathcal{E}$是$\mathcal{N}$的一个好编码。找到好的编码是一项艰巨的任务，因此了解这些操作可能的形式是很有用的。第一个线索是，不失一般性，可以选取理想编码作为好编码：

命题8.12 每个关于$\mathcal{N}$的好编码都是理想编码的凸组合，其中每个理想编码都是$\mathcal{N}$的好编码。

证明设$\mathcal{E}$是${\mathcal{N}}$的一个好编码，$\Psi \in \mathsf{St} ( \mathrm{SB} )$是系统S的一个完全混合态的纯化，且$\Psi_{\mathcal{E}}$是态$\Psi \varepsilon : = ( \mathcal{E} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Psi$。如果$\Psi_{\mathcal{E}}$是纯态，那么$\mathcal{E}$是一个理想编码（根据定理8.7）。如果$\Psi_{\mathcal{E}}$是混合态，我们将其分解为纯态的混合，比如$\begin{array}{r} {\Psi \mathcal{E} = \sum_{x} p_{x} \Psi_{x}} \end$。然后，根据定理7.7的态变换同构，存在一个检验$\{\mathcal{E}_{x} \}$，使得$( \mathcal{E}_{x} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Psi = p_{x} \Psi_{x}$。因此，我们有

$$ \begin{array}{l} {\displaystyle \sum_{x} ( {\mathcal{DNE}}_{x} \otimes{\mathcal{T}}_{\mathrm{B}} ) \Psi = ( {\mathcal{DNE}} \otimes{\mathcal{T}}_{\mathrm{B}} ) \Psi} \\ {\displaystyle = \Psi ,} \end{array} $$

最后一步用到了式(8.13)。由于 $\Psi$ 是纯态，必有 $( {\mathcal{DNE}}_{x} \otimes {\mathcal{T}}_{\mathrm{B}} ) \Psi = p_{x} \Psi$ 。回想忠实性条件，则得到 $\mathcal{DNE}_{x} = p_{x} \mathcal{Z}_{\mathrm{S}}$ 。这意味着：$i )$ $\mathcal{E}_{x}$ 正比于一个确定性变换 $\widetilde{\mathcal{E}}_{x}$，以及 $i i )$ $\widetilde{\mathcal{E}}_{x}$ 是一种好的编码。此外，由于态 $( \widetilde{\mathcal{E}}_{x} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{S}} ) \Psi$ 是纯态，根据定理 8.7，变换 $\widetilde{\mathcal{E}}_{x}$ 是一种理想编码。

借助上述结果，我们可以将注意力限制在理想编码上。理想编码将系统 S 的状态可逆地编码到系统 A 状态空间的一个适当面上——例如，由某个态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 确定的面 $F_{\rho}$。现在容易看出，为了获得好的编码，我们必须能够撤销噪声对面 $F_{\rho}$ 中所有状态的作用：实际上，定义恢复操作 $\mathcal{R} : = \mathcal{E} \mathcal{D}$，我们有

$$ \mathcal{RNE} \sigma = \mathcal{E} ( \mathcal{DNE} ) \sigma = \mathcal{E} \sigma \qquad \forall \sigma \in \mathbf{S} \mathfrak{t} ( \mathrm{S} ) , $$

这里用到了式(8.13)。由于 $\mathcal{E} \sigma$ 是 $F_{\rho}$ 中的一般态，这意味着关系式

$$ \mathcal{RN} = _{\rho} \mathcal{T}_{\mathrm{A}} , $$

也就是说，在输入 $\rho$ 时，恢复操作能够移除噪声。因此，从现在起，我们将噪声 $\mathcal{N}$ 视为一种错误，并且如果说错误 $\mathcal{N}$ 在输入 $\rho$ 时是可纠正的，当且仅当对于某个恢复操作 $\mathcal{R}$，式(8.14)成立。

8.6 纠错条件#

给定错误 ${\mathcal{N}}$，要使该错误在输入 $\rho$ 时可纠正，需要满足哪些条件？现在我们来利用处理数据与处理纠缠之间的等价性。根据定理 8.3，可纠正性条件变为

$$ \begin{array}{r} {\left( \Psi \begin{array}{l} {\boxed{\begin{array}{l} {\mathrm{~ A ~} \sqrt{\mathcal{N}}} \end{array}^{\mathrm{~ A ~}^{\prime}} \boxed{\mathcal{R}} \biggr )^{\mathrm{~ A ~}}} \\ {\boxed{\mathrm{~ B ~}}^{\mathrm{~ B ~}}} \end{array} = \begin{array}{l} {\mathopen{} \mathclose \bgroup \left( \Psi \begin{array}{l} {\mathrm{~ A ~}} \\ {\mathrm{~ B ~}} \end{array} \right.} \end{array} , \right.} \end{array} $$

其中 $\Psi \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{AB} )$ 是 $\rho$ 的一个固定纯化。这对我们了解错误有何启示？如果我们把 $\mathcal{N}$ 看作是输入系统与环境之间可逆相互作用的结果，答案就很清楚了，即

$$ \begin{array}{r} {\frac{\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}} {\mathrm{~ {\cal ~ N} ~}} \frac{\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}^{\prime}} {\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}^{\prime}} = \frac{( \eta ] \mathrm{~ {\cal ~ E} ~}} {\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}} \boxed{\mathcal{U}} \frac{\mathrm{~ {\cal ~ E} ~}^{\prime}} {\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}^{\prime}} \boxed{e}} , \end{array} $$

其中 E 和 $\mathrm{E^{\prime}}$ 是某些系统，$\eta \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{E} )$ 是某个纯态，$\mathcal{U}$ 是某个可逆变换。用可逆变换 $u$ 来表达，我们立即得到以下纠错判据。

命题 8.13 错误 $\mathcal{N}$ 在输入 $\rho$ 时可纠正，当且仅当可逆变换不产生环境与纯化系统之间的关联，即当且仅当

$$ \begin{array}{r l} {\underset{\boldsymbol{\Psi}} {\underbrace{( \eta ) \mathrm{~ ~ {~ \cal ~ E ~} ~}}} \underset{\mathrm{~ \tiny ~ {~ B ~} ~}} {\underbrace{( \mathcal{U} ) \mathrm{~ ~ {~ \cal ~ E ~} ~}^{\prime}}} \underset{\mathrm{~ \tiny ~ {~ A ~} ~}} {\underbrace{( \eta^{\prime} ] \mathrm{~ ~ {~ \cal ~ E ~} ~}^{\prime}}}} & {,} \\ {\underset{\mathrm{~ \tiny ~ {~ B ~} ~}} {\underbrace{( \psi \mathrm{~ ~ {~ \cal ~ A ~} ~} ) \mathrm{~ ~ {~ \cal ~ U ~} ~}}} \underset{\mathrm{~ \tiny ~ {~ A ~} ~}} {\underbrace{( \mathrm{~ ~ {~ \cal ~ B ~} ~} ) \mathrm{~ ~ {~ \cal ~ B ~} ~}}}} & {,} \end{array} $$

其中 $\eta^{\prime}$ 和 $\beta$ 是 E的两个（通常为混合的）态，$\mathbf{B}^{\prime}$

证明假设 $\mathcal{N}$ 是可修正的。那么，将式 (8.16) 代入式 (8.15) 的可修正性条件可得

$$ \begin{array}{r l} & {\overbrace{\boldsymbol{\Psi}}^{( \eta )} \frac{\mathrm{~ {\cal ~ E} ~}} {\mathrm{~ {\cal ~ B} ~}}} \\ & {\overbrace{\boldsymbol{\Psi}}^{\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}} \overbrace{\mathrm{~ {\cal ~ B} ~}}^{\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}^{\mathrm{\tiny ~ {\tiny ~ {~ \cal ~ A} ~}}}} \overbrace{\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}^{\mathrm{\tiny ~ {\cal ~ A} ~}}}^{\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}^{\mathrm{\tiny ~ {~ \tiny ~ A ~}}}} = \overbrace{\boldsymbol{\Psi} \left| \mathrm{~ {\cal ~ B} ~} \right|}^{\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}} .} \end{array} $$

由于 $\Psi$ 是一个纯态，这意味着

$$ \begin{array}{r l} & \underbrace{( \overline{{\eta}} )^{\mathrm{~ \tiny ~ E ~}}}_{\begin{array}{l} {{\mathrm{~ \tiny ~ W ~}}} \\ {{\mathrm{~ \tiny ~ W ~}}} \\ {{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}} \end{array} \underbrace \left[ \begin{array}{l} {U} \\ {\overline{{U}}} \\ {\overline{{\mathrm{~ \tiny ~ A ~ ^{\prime} ~}}} \end{array} \right]_{\begin{array}{l} {{\mathrm{~ \tiny ~ A ~}} \\ {{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}} \end{array}}}_{\begin{array}{l} {{\mathrm{~ \tiny ~ A ~}}} \\ {{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}} \end{array} = \begin{array}{l} {\begin{array}{l} {\left( \eta^{\prime} \right)^{\mathrm{~ \tiny ~ E ~ ^{\prime} ~}}} \\ {{\mathrm{~ \tiny ~ \left( ~ \overline{{~ \Psi}} ~ \right)^{\mathrm{~ \tiny ~ A ~}} ~}}} \\ {{\mathrm{~ \tiny ~ \left( ~ \Psi ~ \overline{{~ \frac{~ \partial ~ \Psi ~} {~ \partial ~ B ~}}} \right)^{\mathrm{~ \tiny ~ A ~}}}}} \end{array} \end{array} \end{array} $$

对于某个态 $\eta^{\prime} \in \mathsf{St} ( \mathrm{E}^{\prime} )$。丢弃系统 $\mathrm{A}^{\prime}$ 并利用关系 $e_{\mathrm{A}} \mathcal{R} = e_{\mathrm{A}}$，我们得到所需条件：

$$ \begin{array}{r l} & \underbrace{\overbrace{\boldsymbol{\nabla}} )^{\mathrm{~ \tiny ~ \underline{~ {~ E ~}} ~}}}_{\mathrm{\boldsymbol{\nabla}}} \underbrace{[ \boldsymbol{\mathcal{U}} ]_{\mathrm{\bf ~ A}^{\prime}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \frac{~ E ~ ^{\prime}} {~}}}}_{\mathrm{\bf{B}}} \underbrace{[ \boldsymbol{\mathcal{U}} ]_{\mathrm{\bf ~ A}^{\prime}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \frac{~ A ~} {~}}} [ \boldsymbol{\mathcal{R}} ]^{\mathrm{~ \tiny ~ \frac{~ A ~} {~}}} [ \boldsymbol{\epsilon} ]}_{\mathrm{\boldsymbol{\nabla}}} = \underbrace{}_{\mathrm{\boldsymbol{\nabla}} \boldsymbol{\Psi} \underbrace{[ \boldsymbol{\Psi} ]_{\mathrm{\bf ~ B}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \frac{~ A ~} {~}}} [ \boldsymbol{\epsilon} ]}_{\mathrm{\bf{B}}} = \underbrace{}_{\mathrm{\boldsymbol{\nabla}} \mathrm{\boldsymbol{\beta}} \mathrm{\boldsymbol{\Pi}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \frac{~ B ~} {~}}}}_{\mathrm{\boldsymbol{\nabla}} \mathrm{\boldsymbol{\beta}}} ,} \end{array} $$

其中 $\beta$ 是 $\Psi$ 在系统 B 上的边缘态。

反过来，假设式 (8.17) 成立。那么，态 $\beta$ 一定是 $\Psi$ 在系统 B 上的边缘态（这可以通过在等式两边丢弃系统 $\mathrm{E^{\prime}}$ 轻松验证）。因此，式 (8.17) 可以重新表述为

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{r} {\begin{array}{r l} {\underbrace{\overbrace{\boldsymbol{\eta}}^{\mathrm{~ E ~}}}_{\mathrm{~ ( ~ \Psi ~ ) ~ \underline{{~ A ~} ~} ~}}^{\mathrm{~ E ~}} \overbrace{\boldsymbol{\mathcal{U}} ]_{\mathrm{~ \tiny ~ A ~}^{\prime} - [ \begin{array}{l} {e} \\ {e} \end{array} ]}}^{\mathrm{~ E ~ ^{\prime} ~}} =} & {\overbrace{\boldsymbol{\Psi} ]_{\mathrm{~ \tiny ~ B ~}}^{\mathrm{~ E ~ ^{\prime} ~}}}^{\mathrm{~ ( ~ \overline{{~ \mathbf{\varphi}}} ~ ) ~ \underline{{~ E ~ ^{\prime} ~}} ~}} \end{array} \end{array} ,} \end{array} $$

其中 $\Gamma \in \mathsf{PurSt} ( \mathrm{E}^{\prime} \mathrm{F} )$ 是 $\eta^{\prime}$ 的一个任意纯化。根据纯化的唯一性（命题 7.1），我们必然有

$$ \begin{array}{r l} {( \underline{{\eta}} )_{\mathrm{~ \tiny ~ \triangleq ~}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \underline{~ {~ E ~} ~} ~}} [ \mathcal{U} ]_{\mathrm{~ \tiny ~ \triangleq ~}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \underline{~ {~ E ~} ~} ~}^{\prime}} [ \mathcal{U} ]_{\mathrm{~ \tiny ~ \triangleq ~}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \underline{~ {~ F ~} ~} ~}} =} & {\overbrace{( \underline{{\Gamma}} )_{\mathrm{~ \tiny ~ \triangleq ~}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \underline{~ {~ F ~} ~} ~}}}^{( \underline{{\eta}} )_{\mathrm{~ \tiny ~ \triangleq ~}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \underline{~ {~ E ~} ~} ~}^{\prime}}}} \\ {( \Psi ]_{\mathrm{~ \tiny ~ \underline{~ {~ B ~} ~} ~}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \underline{~ {~ A ~} ~} ~}} [ \mathcal{D} ]_{\mathrm{~ \tiny ~ \triangleq ~}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \underline{~ {~ A ~} ~} ~}^{\prime}} [ \begin{array}{l} {\mathrm{~ \underline{~ {~ A ~} ~} ~}} \\ {\mathrm{~ \underline{~ {~ A ~} ~} ~}} \\ {\mathrm{~ \tiny ~ \cdot ~}} \end{array} ]_{\mathrm{~ \tiny ~ \triangleq ~}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \underline{~ {~ A ~} ~} ~}} =} & {\overbrace{\Psi ( \underline{{\Psi}} )_{\mathrm{~ \tiny ~ \triangleq ~}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \underline{~ {~ A ~} ~} ~}}}^{\mathrm{~ \tiny ~ \underline{~ {~ A ~} ~} ~}}} \end{array} $$

对于某个确定性变换 $\mathcal{C} \in \mathsf{Transf}_{1} ( \mathrm{A}^{\prime} \to \mathsf{FA} )$。定义恢复操作 $\mathcal{R} : = ( e_{\mathrm{F}} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{A}} ) \mathcal{C}$，我们接着得到

$$ \begin{array}{r l} {\underbrace{\overset{\mathrm{~ \large ~ ( \overline{{{\Psi}}} )} \vdash} [ \begin{array}{l} {{\Delta \xrightarrow{\mathrm{A}} \boxed{{\mathcal{N}}} \bot^{\mathrm{A}^{\prime}} \boxed{\mathcal{R}}}^{\mathrm{\tiny ~ A}}} \\ {{\textbf{B}}} \end{array} ]}_{\mathrm{\bf{{B}}}} =} & \underbrace \overset{\mathrm{\scriptsize ( \overline{{{\eta}}} \big ) - \mathrm{~ \large ~ \frac{A} {\mathrm{~ \large ~ ( \overline{{{\Psi}}} )}} ~}}} \mathrm{~ ( \Psi \mit \large \Psi} \underbrace{\mathrm{~ \large \sf ~ A}}_{\mathrm{\tiny{{B}}}}^{\mathrm{\tiny ~ A}^{\prime}} \boxed{\mathcal{A}} \boxed \begin{array}{l} {\mathrm{~ \large ~ [ \begin{array}{l} {{e}} \\ {{\mathrm{~ \large ~ A}^{\prime}} \boxed{\mathcal{E}}} \end{array} ]}}_{\mathrm{\tiny{{A}}}}^ \mathrm{\tiny ~ [ \begin{array}{l} {{e}} \\ {{e}} \end{array} ]}_{\mathrm{\tiny{{A}}}}^ \mathrm{\tiny ~ [ \begin{array}{l} {{e}} \\ {{e}} \end{array} ]}_{\mathrm{\tiny{{A}}}}^ \mathrm{\tiny ~ [ \begin{array}{l} {{e}} \\ {{e}} \end{array} ]}_{\mathrm{\tiny{{A}}}}^ \mathrm{\tiny ~ [ \begin{array}{l} {{e}} \end{array} ]}_ \mathrm{\tiny{{A}}}^ \mathrm{\tiny ~ [ \begin{array}{l} {e} \\ {e} \end{array} ]}_{\mathrm{\tiny{{B}}}}^ \mathrm{\tiny ~ [ \begin{array}{l} {e} \\ {e} \end{array} ]}_ \mathrm{\tiny{{B}}}^ \mathrm \end{array} \end{array} $$$$ \begin{array}{r l} {\equiv{}} & {{} {\overbrace{{\left( \Psi \left[ {\begin{array}{l} {{\mathrm{~ {\cal ~ F} ~}}} \\ {{\mathrm{~ {\cal ~ F} ~}}} \\ {{\mathrm{~ {\cal ~ F} ~}}} \end{array} \right]_{\mathrm{~ {\cal ~ F} ~}} \right.}}^{\left( {\mathrm{~ {\cal ~ F} ~}}^{\prime} {\mathrm{~ {\cal ~ \left[ ~ \right}} \varrho)} \right.}}} \end{array} $$$$ \begin{array}{r l} {=} & {} \underset{\left\{\Psi \right. \left[ \mathrm{~ \bf ~ B ~} \right] .} \end{array} $$

因此，式 (8.15) 的可纠正性条件得以满足。

环境和纯化系统保持不相关的条件可以用一个等价的有趣方式表示，即通过互补信道 $\mathcal{N}_{c}$ 来表述，定义为

$$ \begin{array}{r} {\frac{\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}} {\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}} \boxed{\mathcal{N}_{c}} \frac{\mathrm{~ {\cal ~ E} ~}^{\prime}} {\mathrm{~ {\cal ~ E} ~}^{\prime}} = \frac{( \eta ] - \mathrm{~ {\cal ~ E} ~}} {\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}} \boxed{\mathcal{U}} \frac{\mathrm{~ {\cal ~ E} ~}^{\prime}} {\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}^{\prime}} \ .} \end{array} $$

利用这一定义，环境和纯化系统之间的因式分解可以重新表述为

$$ \begin{array}{r l} {\left. \Psi \left| \begin{array}{l} {\mathrm{\bf{A}}} \\ {\Psi} \end{array} \right| \underline{{\mathcal{N}_{c}}} \right. \stackrel{\mathrm{\bf{E}^{\prime}}} {=}} & {{} \underbrace{\left( \eta^{\prime} \right)^{\mathrm{\bf{E}^{\prime}}}}_{\begin{array}{l} {\mathrm{\bf{\beta}}} \\ {\mathrm{\bf{\beta}}} \end{array} .} \end{array} $$

这等价于等式 $( {\mathcal{N}}_{c} \otimes{\mathcal{T}}_{\mathrm{B}} ) \Psi = ( {\mathcal{N}}_{0} \otimes{\mathcal{T}}_{\mathrm{B}} ) \Psi$，其中 $\mathcal{N}_{0}$ 是由下式定义的擦除信道：

$$ \begin{array}{r} {\frac{\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}} {\mathrm{~ {\cal ~ N}_{0} ~}} \frac{\mathrm{~ {\cal ~ E} ~}^{\prime}} {\mathrm{~ {\cal ~ E} ~}^{\prime}} : = \frac{\mathrm{~ {\cal ~ A} ~}} {\mathrm{~ {\cal ~ C} ~}} \widehat{\nabla} ~ \widehat{\left( \eta^{\prime} \right)}^{\mathrm{~ {\cal ~ E} ~}^{\prime}} .} \end{array} $$

借助数据处理与纠缠处理之间的等价性[8.3]，式(8.19)可重述如下：

命题8.14 当且仅当互补信道 $\mathcal{N}_{c}$ 在输入 $\rho$ 时充当擦除信道，则该错误在输入 $\rho$ 时可纠正。

这一可纠正条件基于信息守恒的思想有直观解释——在此即输入系统A携带的信息：如果没有信息进入环境，那么所有信息必定在输出系统 $\mathrm{A}^{\prime}$ 中，因此该错误必定可纠正。

习题8.9 假设 $\mathcal{N}$ 是不同错误的混合，即 $\begin{array}{r} {\mathcal{N} = \sum p_{x} \mathcal{N}_{x}} \end$，其中 $\{p_{x} \}_{x \in \mathsf{X}}$ 是一个概率分布，且每个 $\mathcal{N}_{x}$ 是一个确定性变换。证明：若错误 $\mathcal{N}$ 在输入 $\rho$ 时可纠正，则每个错误 $\mathcal{N}_{x}$ 在输入 $\rho$ 时均可纠正。特别地，证明相同的恢复操作 $\mathcal{R}$ 适用于所有可能的错误 $\mathcal{N}_{x}$，即对 $\forall x \in \mathsf{X}$ 有 $\mathcal{RN}_{x} = _{\rho} \mathcal{T}_{\mathrm{A}}$。

8.7 本章小结#

本章为物理系统中的信息编码奠定了基础。我们从关键结果——即数据处理与纠缠处理之间的等价性——出发，并将该结果应用于理想编码（特别是理想压缩）的研究。我们特别观察到，理想压缩保证了每个状态都有一个最小纯化，其中纯化系统具有尽可能小的尺寸。最后，我们将本章讨论的思想应用于纠错研究，表明一个物理过程可纠正当且仅当它不向环境泄漏信息。

部分精选问题与习题解答#

习题8.1#

设 $( a | \rho ) = 1$，取 $\sigma \in \mathsf{RefSet}_{1} ( \rho )$。则存在 $0 < p < 1$ 和 $\tau \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$，使得 $\rho = p \sigma + ( 1 - p ) \tau$。此时有

$$ \begin{array}{r} {p ( a | \sigma ) + ( 1 - p ) ( a | \tau ) = 1 ,} \end{array} $$

这表明 $( a | \sigma ) = ( a | \tau ) = 1$。那么，$( a | \rho ) = 1$ 意味着对每个 $\sigma \in \mathsf{RefSet}_{1} ( \rho )$ 都有 $( a | \sigma ) = 1 = ( e | \sigma )$，最终对每个 $\sigma \in$ RefSet $( \rho )$ 有 $( a | \sigma ) = ( e | \sigma )$。因此，$a = _{\rho} e$。对于 $( a | \rho ) = 0$ 的情况，可用同样的论证。

习题8.5#

考虑 $\begin{array}{r} {\mathcal{D} \beta = \sum_{i} p_{i} \eta_{i}} \end$ 的任意凸分解。由式8.7，有 $\begin{array}{r} {\mathcal{E} \mathcal{D} \beta = \beta = \sum_{i} p_{i} \mathcal{E} \eta_{i}} \end$，由于 $\beta$ 是纯态，必须有 $\mathcal{E} \eta_{i} = \beta \ \forall i$。最后，再次由式8.7，必须有 $\eta_{i} = \mathcal{D} \mathcal{E} \eta_{i} = \mathcal{D} \beta$，这证明了 $\mathcal{D} \beta$ 的纯性。

习题8.6#

设 $\sigma \in F$。那么，由于 $\rho \in{\sf S t}_{1} ( {\sf C} )$ 是完全混合态，有 $\mathcal{E} \sigma \in \mathsf{Re} \mathsf{fSe} \mathsf{t}_{1} ( \rho )$。具体地，存在一个状态集合 $\{\nu_{i} \}_{i = 1}^{k} \subseteq \mathsf{RefSet}_{1} ( \rho )$，使得

$$ \mathcal{E} \sigma = \sum_{i = 1}^{k} c_{i} \nu_{i} , $$

其中对所有 $i$ 有 $c_{i} \geq 0$。根据 $\mathsf{RefSet}_{1} ( \rho )$ 的定义，对于每个 $\nu_{i}$，存在 $0 \leq p_{i} \leq 1$ 和 $\gamma_{i} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{C} )$，使得 $\rho = p_{i} \nu_{i} + ( 1 - p_{i} ) \gamma_{i}$。对两边作用解码映射，我们有 $\mathcal{D} \rho = p_{i} \mathcal{D} \nu_{i} + ( 1 - p_{i} ) \mathcal{D} \gamma_{i}$，即 $\{\mathcal{D} \nu_{i} \}_{i = 1}^{k} \subseteq \mathsf{RefSet}_{1} ( \mathcal{D} \rho )$。现在，对式(8.21)两边作用解码映射 $\mathcal{D}$，并注意到 $\mathcal{DE} = _{F} \mathcal{Z}_{\mathrm{A}}$，我们有

$$ \sigma = \sum_{i = 1}^{k} c_{i} \mathcal{D} \nu_{i} , $$

从而最终得出 $\sigma \in \mathsf{RefSet}_{1} ( \mathcal{D} \rho )$。由于根据理想压缩的定义有 $\mathsf{RefSet}_{1} ( \mathscr{D} \rho ) \subseteq F$，并且由上述论证可得 $F \subseteq \mathsf{RefSet}_{1} ( \mathscr{D} \rho )$，因此 $F = \mathsf{Re} \mathsf{fSe} \mathsf{t}_{1} ( \mathscr{D} \rho )$。

练习 8.7#

根据练习 5.14，有

$$ \mathrm{Span} [ \mathsf{Re} \mathsf{fSet} \rho \otimes \sigma ] = \mathrm{Span} [ \mathsf{Re} \mathsf{fSet} \rho \otimes \mathsf{Re} \mathsf{fSet} \sigma ] . $$

在 $\rho ~ = ~ \psi ~ \in ~ \mathsf{PurSt} ( \mathrm{A} )$ 且 $\sigma$ 是完全混合态的特殊情况下，有 $\mathsf{RefSet} ( \rho ) = \{\psi\}$，则

$$ \begin{array}{r} {\mathsf{Span} [ \mathsf{RefSet} \psi \otimes \sigma ] = \mathsf{Span} [ \{k \psi \} \otimes \mathsf{St} ( \mathrm{B} ) ]} \\ {= \{\psi \otimes \tau \vert \tau \in \mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{B} ) \} .} \end{array} $$

这意味着 $\mathsf{RefSet} [ \psi \otimes \sigma ] = \{\psi \} \otimes{\bf S} \mathrm{t} ( {\bf B} ) \simeq{\bf S} \mathrm{t} ( {\bf B} )$。现在我们来验证 $\varepsilon : =$ $e_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}$ 和 $\mathcal{D} : = \psi \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}}$ 满足式(8.7)。事实上，对于任意 $\tau \in \mathsf{RefSet} [ \psi \otimes \sigma ]$，有 $\tau = \psi \otimes \nu$，其中 $\nu \in{\mathsf{St}} ( {\mathbf{B}} )$。因此

$$ \begin{array}{r l} & {\mathcal{DE} \tau = \psi \otimes [ ( e | \psi ) \nu ]} \\ & {\quad \quad = \psi \otimes \nu} \\ & {\quad \quad = \tau .} \end{array} $$

另一方面，$\mathcal{E} ( \psi \otimes \sigma ) = \sigma$ 是完全混合态，于是条件 $\mathcal{ED} = _{\sigma} \mathcal{Z}_{\mathrm{B}}$ 等价于 $\mathcal{E} \mathcal{D} = \mathcal{T}_{\mathrm{B}}$。现在考虑一般状态 $\nu \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{B}} )$。我们有

$$ \begin{array}{c} {{\mathcal{E} \mathcal{D} \nu = ( e_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) ( \psi \otimes \nu )}} \\ {{= \nu ,}} \end{array} $$

即 $\varepsilon D = \mathcal{I}_{\mathrm{B}}$。