具有局域可区分性的理论#

本章介绍局域可区分性原理，该原理规定了可以通过对组分系统进行局域测量来区分复合系统的状态。纠缠现象对复合系统中信息的可获取性以及变换表征的复杂度有着重要影响：局域可区分性极大地简化了状态集和变换集的结构，使纠缠态的整体论与还原论的科学方法得以协调。为说明该原理的结构性意义，我们将简要回顾一些不满足该原理的OPT，并将这些理论的特征与量子理论和经典概率理论（两者均满足该原理）进行对比。

6.1 纠缠与整体论#

整体论是量子理论的一个广为人知的特征，与纠缠态的存在相关。在量子理论中，存在纯纠缠态，其边缘态是完全混合的。这种情况对应于对整体有最大知识而对部分有最小知识。纠缠整体论的主要表现是无法将纠缠态上的联合测量统计结果与局域实在论（local realism）相协调。局域实在论假设对系统的任何测量仅仅是对系统上预先存在的编码量的读取。换言之，我们无法像经典OPT那样，将复合系统各部分测量结果的统计解释为我们对局部预存值的无知。

纠缠是否使得关于复合系统的信息在局域上不可获取？这将对获取物理系统信息的可能性提出严峻的实践问题。例如，假设两个遥远的望远镜观测来自恒星发射的纠缠光子源。整体论意味着发射过程的某些特征永远无法被探测到，除非我们能让纠缠光子进行相互作用并实施联合测量。另一方面，如果还原论方法可行，那么两个望远镜所在位置的局域观测就足以表征发射源。得益于局域可区分性原理，对于纠缠量子源而言实际情况正是如此。

整体论的另一个后果是变换通常无法通过局域实验来表征，即仅将未知变换应用于其输入系统。相反，我们可能需要让该变换的输入系统与整个宇宙中任何可能的附加系统纠缠，从而运行该变换。在这种情况下检验任何物理定律的有效性实际上是不可能的，例如，我们不仅需要在单一模式上检验麦克斯韦方程组，还需要在涉及所有多模式的纠缠态上检验。然而，得益于量子理论的局域可区分性，还原论方法是安全的。

量子理论中整体论与还原论的调和依赖于局域可区分性原理。该原理保证了组分系统上的局域测量足以识别任何复合系统的状态。这意味着，尽管两个系统以纠缠态制备，但从它们各自提取的信息足以重建关于其联合制备的全部信息。

纠缠和整体论并非量子理论所特有，而是涉及一般的OPT。纠缠态通过否定方式定义为那些不可分离的状态。复合系统AB的可分离态形式为

其中 $\{p_{i} \}$ 是一个概率分布，$\{\alpha_{i} \}$ 和 $\{\beta_{i} \}$ 分别是系统A和B的状态。在操作上，可分态是那些可以由两个远距离方——Alice和Bob——仅使用局部制备装置并通过交换经典通信而制备的状态。在经典OPT中，复合系统的所有状态都是可分的。¹

一个OPT的纠缠态表现出与量子纠缠态相同的令人困惑的特征，通常无法通过局部操作和经典通信来制备。与量子情况一样，OPT的纠缠态具有整体性（holistic）特征：其边缘态是混合的，对应着对整体有最大知识，但对部分却没有相应的最大知识。有趣的是，其逆命题也成立：对整体有最大知识但对部分没有，意味着纠缠。事实上，具有混合边缘态的纯态必然是纠缠的，因为所有可分的纯态都具有形式 $\alpha \otimes \beta$，其中α和β是纯态，即它们具有纯的边缘态。因此，我们可以得出结论：纠缠态的存在等价于OPT的整体性。

6.1.1 变换的整体性#

纠缠具有一个令人不安的方面：为了识别作用于系统A的变换，通常需要测试该变换对任意B的任意AB纠缠态的作用。对于可分的联合态来说，这不是问题，因为通过以下状态恒等式中的凸组合，该映射被扩展到AB：

然而，对于一个包含纠缠态的理论，通常会出现这种情况：对系统 A 的所有状态以相同方式作用的两个变换，可能会在系统 AB 的某些纠缠态上产生不同的输出。这就要求我们指定在所有可能的复合系统 AB 上的变换，而实际上，这意味着，例如，在运行于整个宇宙的整体实验上检验一条物理定律。

6.1.2 量子理论的还原论#

我们已经看到，在一般的操作概率理论（OPT）中，纠缠会破坏还原论方法，以至于实际上不可能检验一条物理定律。但为什么这在量子理论中不会发生呢？答案是量子理论是“整体性的，但不过分”。它具有纠缠态，但同时，它拥有一个允许还原论方法的性质：局域可区分性（local discriminability）。该性质意味着，复合系统 AB 的任何两个不同态，对于某个局域测量，都具有不同的联合概率分布。换句话说，通过检验对 A 和 B 进行的局域测量的相关性，两个远距离的观察者可以区分任意两个联合态。

局域可区分性意味着任何复合系统的态空间的维数等于其组分系统维数的乘积。这一规则在从实或四元数希尔伯特空间上的量子理论中挑选出复希尔伯特空间上的量子理论方面，起着至关重要的作用。⁽²⁾ 乘积规则是复合系统张量积结构的基础，而张量积结构正是整体性与还原论达成调和的核心。⁽³⁾ 事实上，属于张量积空间的纠缠态所包含的全部信息，都存在于局域测量的相关性之中。并且，正是复合系统态空间的张量积结构，使我们能够仅在其输入系统上运行一个变换，就完全刻画该变换的特征，而无需考虑与任何其他附加系统形成输入纠缠态的情况。

6.2 原理#

局域可区分性公理 仅使用局域测量就可以区分复合系统的任意一对状态。

在数学上，该公理断言：对于任意两个联合态 $\rho , \sigma \ \in \ \mathsf{St} ( \mathrm{AB} )$，且 $\rho \neq \sigma$，存在效应 $a \in \mathsf E {\mathsf{f}} \mathsf{f} ( \mathbf A )$ 和 $b \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$，使得这两个态对应的联合概率不同，即在电路图中表示为：

练习 6.1 证明，这两种局域效应实际上可以通过一个局域检验（即仅由局域效应构成）来实现，并且误差概率可以做到 $p_{E} < 1 / 2 $，从而提供了一种局域态甄别的策略。因此，该公理的表述等价于式 (6.2)。⁴

练习 6.1 证明式 (6.2) 成立当且仅当存在关于状态 $\rho$ 和 $\sigma_{i}$ 的局域甄别策略，即一个误差概率为 $p_{E} < 1 / 2$ 的局域检验 [提示：考虑图6.2中效应 a 和 b 的完备二元检验 {a, a¯} 和 $\{b , \bar{b} \}$，取它们的并行组合作为局域检验，并构建一个粗粒化的二元局域甄别检验。关于误差概率，请使用练习 3.1]。

在第二章中，我们证明了量子理论满足局部可区分性。在此，我们将其提升为一般 $\mathrm{O P T s}$ 的一个原理，并在第17章展示如何将其作为公理来推导量子理论。

在量子理论的推导中，局部可区分性所起的作用可能因其他公理的参与而变得模糊。然而，有两个关键后果可以直接归因于局部可区分性：(1) 复合系统的状态空间是其组分系统状态空间的张量积；(2) 变换完全由其局域作用定义。这两个论断在量子理论中均成立。第一个是显然成立的。第二个仅指这样一个简单事实：将量子操作 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} \to \mathrm{A}^{\prime} )$ 扩展到包含辅助系统 B 的 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{AB} \to \mathrm{A^{\prime} B} )$ 是通过考虑映射 ${\mathcal{A}} \otimes{\mathcal{T}}_{\mathrm{B}} , ^{5}$ 实现的，即该映射与恒等映射 $\mathcal{I}_{\mathrm{B}}$ 的张量积。对于经典OPT以及更一般的、所有享有局部可区分性的OPT，这一点同样成立，我们将在后面看到。OPT性质(1)和(2)代表了整体论与还原论之间调和的核心。

6.3 调和一个整体论与还原论#

在本节中，我们证明局部可区分性公理在存在整体论的情况下为还原论方法提供了依据。在此过程中，我们还将阐述上一节提到的局部可区分性的两个主要后果：即状态空间的张量积结构，以及局域变换到复合输入系统的可扩展性。

现在，我们可以证明从局部可区分性原理得出的两个主要定理。

定理 6.1（复合系统的乘积规则） 一个理论满足局部可区分性当且仅当对于每个复合系统 AB，有

证明 根据式 (6.2)，一个理论满足局部可区分性（local discriminability）当且仅当局域效应 $a \otimes b \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{AB} )$（其中 $a \in \mathsf E \mathsf{ff} ( \mathrm{A} )$，$b \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$）能够分离联合状态 St(AB)。等价地，集合 $T : = \{a \otimes b | a \in \mathsf{EH} ( \mathrm{A} ) , b \in \mathsf{EH} ( \mathrm{B} ) \}$ 是 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{AB} )$ 的一个生成集。由于 $\mathsf{Span}_{\mathbb{R}} ( T )$ 的维数是 $D_{\mathrm{{A}}} D_{\mathrm{{B}}}$，并且状态空间与效应空间具有相同维数，因此有 $D_{\mathrm{AB}} = D_{\mathrm{A}} D_{\mathrm{B}}$。反之，如果式 (6.3) 成立，那么乘积效应构成了向量空间 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{AB} )$ 的一个生成集，因此它们具有分离性，从而局部可区分性成立。

定理 6.2 (变换的局域刻画) 如果局部可区分性成立，那么对于任意两个变换 $\mathcal{A} , \mathcal{A}^{\prime} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} \to \mathrm{A}^{\prime} )$，条件 $\mathcal{A} \rho = \mathcal{A}^{\prime} \rho$ 对所有 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 成立意味着 $\boldsymbol{\mathcal{A}} = \boldsymbol{\mathcal{A}}^{\prime}$。

证明 设 B 为一个系统，且 $\Psi \in \mathsf{St} ( \mathrm{AB} )$。那么，对于任意效应 $a \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{A} )$ 和 $b \in$ Eff(B)，我们有

现在，假设对所有 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 都有 $\mathcal{A} \rho = \mathcal{A}^{\prime} \rho$。这蕴含着

因此，对于所有 $a \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{A} ), \forall b \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} )$，有

根据局部可区分性原理，我们随后得出结论：对于每个状态 $\Psi \ \in \ \mathsf{St} ( \mathrm{AB} )$ 和每个系统 B，都有 $( \mathcal{A} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Psi = ( \mathcal{A}^{\prime} \otimes \mathcal{T}_{\mathrm{B}} ) \Psi$。根据定义，这意味着 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{A}^{\prime}$ 重合。

将分离集（separating set）的概念从线性泛函推广到线性映射后，我们可以将定理 6.2 重新陈述如下。

推论 6.3 局域输入状态对变换具有分离性。#

定理 6.2 极大地减少了刻画变换所需的资源，无论是在检验次数（只需对输入系统 A 进行检验）方面，还是在纠缠方面（区分变换不需要纠缠）。然而，纠缠有助于将所有输入状态简化为一个与参考系统 B（与系统 A 具有相同希尔伯特空间维数）的单一纠缠态，正如量子辅助系统辅助层析成像（quantum ancilla-assisted tomography）⁶ 所体现的那样。正如我们将在第 7 章中看到的，这是纯化公理（purification axiom）的一个结果。

为了证明还原论方法（reductionist approach）是由局部可区分性证明合理的，我们现在证明：在一个具有局部可区分性的因果操作理论中，对复合系统组成部分的最大知识意味着对组分系统状态的最大知识。首先我们需要以下练习中的结果。

练习 6.2 证明在具有局部可区分性的因果理论中，一个状态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{AB}} )$ 在 B 上的边缘（marginal）$\beta$ 是纯态当且仅当该状态是乘积态 $\rho = \alpha \otimes \beta$。

解答

由于因果性，不失一般性，我们可以取 $\rho$ 为确定性状态（deterministic）。此外，对于每个 $a \in \mathsf E \mathsf{ff} ( \mathrm{A} )$，有

其中边缘态 $| \beta )$ 是纯的，因此态 $| \beta_{a} )$ 也是纯的，且 $| \beta_{a} ) =$ $\kappa_{a} | \beta )$ ，其中 $0 < \kappa_{a} \leq 1$ 。我们有 $( a | \alpha ) = \kappa_{a}$ ，其中态 $| \alpha )$ 是 $\dot{}_{\rho}$ 对于系统A的边缘态，即

因此，对式(6.4)两边应用$b$，可得

由局部可区分性，这意味着

练习6.3 证明两个纯态的乘积是纯态。

解 考虑状态 $\rho = \alpha \otimes \beta_{\mathrm{{i}}}$ ，并取任意分解 $\rho = \textstyle \sum_{i \in \mathrm{X}} \rho_{i}$ 。由于 $( e | _{\mathrm{A}} | \rho ) ~ = ~ | \beta )$ 是纯态，则 $\begin{array}{r} {( e | _{\mathrm{A}} | \rho ) ~ = ~ \sum_{i \in \mathrm{X}} ( e | _{\mathrm{A}} | \rho_{i} ) ~ = ~ | \beta )} \end$ ，因此对于每个 $i \in \mathrm{~ X ~}$ 有 $( e | _{\mathrm{A}} | \rho_{i} ) = p_{i} | \beta )$ 。类似地，$( e | _{\mathrm{B}} | \rho_{i} ) = q_{i} | \alpha )$ 也是纯态，其中 $p_{i} = q_{i} = ( e | _{\mathrm{A}} ( e | _{\mathrm{B}} | \rho_{i} ) / ( e | _{\mathrm{A}} ( e | _{\mathrm{B}} | \rho )$ 。由于对于每个 $i \in \mathrm{X} ,$ $\rho_{i}$ 的两个边缘态都是纯态，根据练习6.2可知，每个 $\rho_{i}$ 都是其边缘态的乘积态，因此 $\rho_{i} = p_{i} \rho$ ，即 $\rho$ 的任意分解都是平凡的，故 $\rho$ 是纯态。

现在我们可以证明以下定理。

定理6.4（部分的最大知识蕴含整体的最大知识）在具有局部可区分性的因果理论中，具有纯边缘态的状态是纯态。

证明 根据练习6.2，一个状态具有纯边缘态当且仅当它是其边缘态的乘积态。而根据练习6.3，两个纯态的乘积本身是纯态。——

练习6.4 证明在具有局部可区分性的理论中，如果状态集 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \subseteq$ St(A) 和 $\{\sigma_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}} \subseteq \mathsf{St} ( \mathrm{B} )$ 分别张成线性空间 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathbf{A} )$ 和 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathsf{B} )$ ，那么 $\{\rho_{i} \otimes \sigma_{j} \}_{( i , j ) \in \mathrm{X} \times \mathrm{Y}}$ 张成 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathsf{AB} )$ 。

练习6.5 证明如果状态集 $\{\rho_{i} \otimes \sigma_{j} \}_{( i , j ) \in \mathrm{X} \times \mathrm{Y}} \subseteq \mathsf{St} ( \mathrm{AB} )$ 张成 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathsf{AB} )$ ，那么局域效应的概率足以刻画两体态。[提示：考虑由信息完备的局域检验构成的乘积检验。]

6.4 局部可区分性的推论#

我们现在证明作为局部可区分性推论的主要定理。这些定理在推导量子理论时将非常有用。

第一个定理是与OPT的以下性质的等价性：

OPT的局部层析成像性质 对于复合系统的任何状态，所有局域效应的联合概率完全确定了该状态。

不难发现，局部层析成像性质的陈述等价于要求局域效应对复合系统的状态是分离的。这立即引出以下引理。

引理6.5 局部可区分性公理等价于OPT的局部层析成像性质。

证明 局域效应对 St(AB) 是分离的，当且仅当它们张成 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{AB} )$ （见引理(2.4)），因此局部可区分性公理的陈述和局部层析成像性质的陈述都等价于要求局域效应 $a \otimes b \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{AB} )$ 对 St(AB) 是分离的。——

现在我们注意到，根据式(3.19)，我们有包含关系

实际上，在存在局部可区分性的情况下，存在一组乘积状态 $\{\rho_{i} \otimes \sigma_{j} \}$ 在 Span[RefSet $( \rho \otimes \sigma ) ]$ 中是完备的（见练习5.14）。换言之，

6.5 不同层次的整体论#

存在比局部可区分性更弱的原理，它们能够调和整体论与还原论。这类原理被称为 n-局部层析成像（n-local tomography）。⁷ 它们都归结为考虑一个有限数量系统的集合，需要在这些系统上进行联合测量以重建联合状态。这些原理的一个等价表述如下。

n-局部可区分性公理 如果两个 m 部分态不同，且 $m > n$，那么它们在至少一个涉及 k 部分效应的因子化效应上给出不同的概率，其中 $k \leq n$。

局部可区分性失效的最著名理论例子是实量子理论（real quantum theory，RQT），它反而满足双局部可区分性（bi-local discriminability）。

6.5.1 实量子理论#

实量子理论（RQT）的表述方式与量子理论相同，不同之处在于要求系统对应的希尔伯特空间建立在实数域而非复数域上。RQT 可被视为量子理论的一种限制，其中状态被约束满足恒等式 $\rho = \rho^{T}$，T 表示相对于给定标准正交基的转置。该理论中系统 A 的状态是希尔伯特空间 $\mathbb{R}^{d_{\mathrm{A}}}$ 上的对称密度算子，对应维度

可以通过考虑两个再比特（rebit），即系统 A 和 B 满足 $d_{\mathrm{A}} = d_{\mathrm{B}} = 2$，来简单地检验局部可区分性的违反。此时，复合系统 AB 具有 $d_{\mathrm{AB}} = 4$，并且根据式 (6.6)，有 $D_{\mathrm{{A}}} = D_{\mathrm{{B}}} = 3$，而 $D_{\mathrm{AB}} = 10 ~ >$ $D_{\mathrm{{A}}} D_{\mathrm{{B}}} = 9$。可以看出，额外的维度由算子 $\sigma_{y} \otimes \sigma_{y}$ 张成，该算子是实的，但不属于二维实矩阵张量积的张成空间（后者仅包含 $I , \sigma_{x}$ 和 $\sigma_{z} )$）。由此可知，对于满足 $\rho_{1} - \rho_{0} \propto \sigma_{y} \otimes \sigma_{y}$ 的两个状态 $\rho_{0} , \rho_{1} \in \mathsf{St} ( \mathrm{AB} )$，无法通过局部效应区分。例如，取 $\rho_{0} : = \frac{1} {4} I_{4}$ 和 $\begin{array}{r} {\rho_{1} : = \frac{1} {4} ( I_{4} + \sigma_{y} \otimes \sigma_{y} )} \end$。

在 RQT 中，违反局部可区分性的一个后果是，存在一些变换无法仅通过其局部作用来表征。例如，再比特完全正变换 $\begin{array}{r} {\mathcal{A} ( \rho ) : = \frac{1} {2} ( \sigma_{y} \rho \sigma_{y} + \rho^{T} )} \end$ 与变换 $\begin{array}{r} {B ( \rho ) : = \frac{1} {2} ( \sigma_{y} \rho \sigma_{y} + \rho )} \end$ 在局部上是不可区分的。然而，将 $\mathcal{A} \otimes \mathcal{T}$ 和 $B \otimes \mathcal{T}$ 应用于 AB 的双部分态 $R = {\frac{1} {2}} \vert I \rangle \rangle \langle \langle I \vert$ 会得到两个不同的状态

值得注意的是，RQT 满足以下局部可区分性的重要限制。

纯态上的局部可区分性公理 如果双部分系统 AB 的状态 R 是纯态，那么对于 AB 的每一个不同于 R 的状态 S（通常是混合态），都存在局部效应 $a \in \mathsf E {\mathsf{f}} \mathsf{f} ( \mathbf A )$ 和 $b \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$ 使得

我们推测，RQT 是唯一满足纯态上局部可区分性的理论。RQT 也满足因果性和唯一纯化。这些性质直接从QT继承而来。

6.6 总结#

本章我们分析了局部可区分性原理，即通过局部观测检验来区分复合系统状态的可能性。我们看到，对于一套操作概率理论（OPT）而言，这种性质允许仅通过其对局部状态的作用来完全刻画任何变换，因此基于上述两个原因，该原理协调了纠缠的整体论与还原论。我们探讨了该原理的后果，特别是复合系统状态空间的张量积结构。然后，我们考察了违反局部可区分性的 OPT 的例子，以更深入地理解这一原理。

注释#

局部实在论 量子纠缠整体论的一个特征是违反贝尔不等式，这对应于违背局部实在论，即无法将（例如）单态上的局部测量的相关性解释为读取预先确定的局部值。在 OPT 中证明类似的不可能性定理的尝试仍然很少。关于 OPT 中局部实在论的不可能性定理的讨论，参见 Brandenburger 和 Yanofsky (2008); Schumacher 和 Westmoreland (2012)。

局部变换的概念 有人推测，对于每个系统的固定状态集，存在唯一一个具有最大变换类别的理论。然而，在缺乏局部可区分性的情况下，可以构造不同的“最大”理论，这些理论在多体系统上的局部变换作用上有所不同（参见例如 Barnum 等, 2009; D’Ariano 等, 2014b）。

纠缠与局部可区分性 在 OPT 语境下，我们将不可分离的状态定义为纠缠态。然而，如果像在量子信息理论中那样将纠缠视为一种资源，则通过对优化后的局部操作与经典关联协议（LOCC）（Nielsen 和 Chuang, 1997）下 $\rho^{\otimes n}$ 与最大纠缠态 $\psi_{E}^{\otimes m}$ 之间转换的渐近率分析，可以提供对状态 $\rho$ 纠缠程度的恰当量化。在此方面，可能发生在没有局部可区分性的 OPT 中，存在某些非可分离状态，即使渐近情况下，也无法通过 LOCC 与可分离状态区分。这种现象比量子信息理论中束缚纠缠（bound entanglement）的现象更为根本，后者不违反任何贝尔不等式。对此事实的一种几何解释是，在存在局部可区分性的情况下，任何定义纠缠态与可分离状态凸集之间分离超平面的泛函都可以在局部效应上展开，这对应于使用局部检验进行的纠缠见证。相反，在缺乏局部可区分性的情况下，对于某些纠缠态，分离泛函可能位于局部效应张成空间之外。由于类贝尔不等式是局部纠缠见证的特例，这样的纠缠态将不允许任何此类违反。

习题#

6.1 证明，根据定义，对于一个具有 2-局部可区分性但没有局部可区分性的理论，必须满足以下不等式

其中 ${\tilde{D}}_{\mathrm{AB}} : = ( D_{\mathrm{AB}} - D_{\mathrm{A}} D_{\mathrm{B}} )$ 。如果某理论同时满足 2-局域可区分性且式 (6.7) 中的界达到饱和，我们称该理论为最大双局域理论。

6.2 给出与式 (6.7) 类似的 3-局域可区分性条件。

6.3 考虑一个理论，其中所有系统 A 均由量子比特组成，其状态和效应都是量子的，但两者均被限制在 $\mathbb{C}^{2 N} = \mathcal{H}_{0} \oplus \mathcal{H}_{1}$ 上的分块对角正算子的锥中，其中 $\mathcal{H}_{0} \left( \mathcal{H}_{1} \right)$ 是由具有偶数（奇数）个向上量子比特的向量张成的宇称空间。证明在该理论中，局域可区分性被违反。

6.4 通过维数计数，证明问题 6.3 所述理论满足双局域可区分性。

6.5 假设问题 6.3 中理论的变换均为保持分块对角结构的完全正映射（completely positive map），找出两个在单系统输入-输出上无法区分的变换。

6.6 利用练习 5.14 的结果，证明在具有局域可区分性的操作理论中，完全混合状态的并行复合仍是完全混合状态。

6.7 证明如果 $\sigma \in \mathsf{Span}_{+} \mathsf{RefSet} \rho$，那么存在某个合适的 $0 ~ < ~ k ~ < ~ 1$ 使得 $k \sigma \in \mathsf{RefSet} \rho$

6.8 利用练习 5.14 和问题 6.7，证明在具有局域可区分性的理论中，对于任何双分状态 $\rho ~ \in ~ \mathsf{St} ( \mathrm{AB} )$，存在 $0 ~ < ~ k ~ < ~ 1$ 使得 $k \rho \in \mathsf{RefSet} ( \rho_{\mathrm{A}} \otimes \rho_{\mathrm{B}} )$，其中 $\rho_{\mathrm{A}}$ 和 $\rho_{\mathrm{B}}$ 是 $\dot{} \rho$ 的边缘状态。

部分问题与练习解答#

练习 6.1#

条件 (6.2) 显然是局域区分 $\rho$ 与 $\sigma$ 的必要条件，否则两者在局域观测检验下将无法区分。另一方面，条件 (6.2) 对应于以下条件：

效应 (a|(b| 可以扩充为一个局域观测检验 $\{A_{0} , A_{1} \}$，其中 $A_{0} : = ( a | ( b |$ 和 $A_{1} : = ( e_{\mathrm{A}} | ( e_{\mathrm{B}} | - ( a | ( b |$，这里 $e_{\mathrm{A}} \geq a$ 和 $e_{\mathrm{B}} ~ \geq ~ b$ 是确定性局域效应。检验 $\{A_{0} , A_{1} \}$ 显然是局域的，因为它可以通过对局域检验 $\{( a | ( b | , ( a | ( e_{\mathrm{B}} - b | , ( e_{\mathrm{A}} - a | ( b | , ( e_{\mathrm{A}} - a | ( e_{\mathrm{B}} - b | )$ 进行粗粒化（coarse-graining）得到。现在我们可以利用练习 3.1 的结果完成证明。