因果理论#
本章介绍因果性公设，并推导因果 OPT 的数学结构。我们将证明当前因果性定义与爱因斯坦定义等价，并论证一旦剥离其虚假的决定论内涵，这是唯一可能的概念。此外，本文使用的因果性概念与自大卫·休谟以来的历史哲学概念以及人文科学中常识推理、推断和建模所使用的概念一致。1
简而言之，本文的因果性概念可表述为"无来自未来的信号"要求。这也是 OPT 满足"无相互作用则无信号"原则的唯一必要条件。在 OPT 的数学术语中，因果性公设等价于确定性效应的唯一性，进而等价于状态归一化的能力。因果性概念如此自然地嵌入我们对现实的理解，以至于即使在基础研究中——包括近期的公理化体系中——它也常常无意识地隐含其中。2
5.1 因果性：从灰姑娘到基本原理#
因果关系一直是大量文献的研究对象，涵盖从纯哲学到经济学、法学、自然科学，当然还有物理学等广泛学科的数百本书籍和技术文章。同时，由于它涉及如此多样的学科领域，因果关系长期以来也是一个令人困扰的概念。或许不同知识分支中因果关系概念之间最自然的联系，存在于物理学与哲学的边界地带——从亚里士多德的早期著作，到勒内·笛卡尔开创现代观点的基石，再到大卫·休谟和伊曼努尔·康德的思想，直至当代关于物理因果关系的作品。3
因果关系一直停留在哲学领域，仅在物理学中作为背景存在，从未获得“定律”的地位或“原理”的级别。大多数情况下，因果关系以基于经验证据的特定假设形式潜入物理理论，例如当我们舍弃电动力学中的超前势，或推导克拉默斯-克勒尼希关系时。在其他情况下，因果关系体现在理论的“诠释”中，例如爱因斯坦的狭义相对论。在OPT框架中，因果关系往往隐藏在理论框架内部，如哈迪最近的公理化中。4
造成困扰的主要根源之一，在于因果关系与决定论概念之间的传统联系。5 后者与物理因果律纠缠之深，以至于这两个概念常常被合并为因果决定论。这种联系的例证可见于量子理论奠基人马克斯·普朗克的论述："如果一个事件可以被确定地预测，那么它就是因果决定的。"6 这种对因果关系与决定论的混淆，正是将量子关联错误解读为"幽灵般的超距作用"的主要源头——即通常把EPR关联解释为某种因果关系的常见情况。
这里所考虑的因果性属性，在经典力学背景下因"观测"与"制备"的等同而被 trivial化：只有一个经典测量，其结果是测量揭示出的纯经典态，且测量不会扰动该状态。量子理论中的互补性打破了观测与制备（测量与状态）之间的经典等同关系，因为可以在不同的不相容测量之间进行选择。于是，量子理论中的因果性便是制备概率独立于观测选择的假设。这一立场浓缩了因果性在物理学中出现的所有直观形式，并与爱因斯坦的因果概念有着密切关系。在本节的推导中，它以这种形式成为量子理论的第一个公理。7 这样，因果性和决定论这两个概念在量子理论中（更一般地，在操作概率理论中）就完全解耦了，而经典理论只是决定论与因果性在概念上重叠的退化情形，对应于状态与测量结果相等这一特殊特征。在概率语境中，决定论等同于理论中所有物理事件概率都等于零或一这一同义反复的性质，这显然是一个没有因果内涵的定义。
事件之间的连通性是操作框架中正确定义因果性的关键特征，即存在多种"原因"和"效应"的情况，否则，正如罗素批评中所指出的，因果性概念将变得模糊不清。8 这种连通性产生了与珀尔方法学因果方法相同的网络结构，9 并使因果性概念具有了偏序结构。这种序使我们能够在操作电路上建立叶状结构，最终得出与爱因斯坦概念等价的结论。10
5.2 无来自未来的信号#
因果公理最终将引导我们将检验之间的输入-输出连接解释为因果联系，并将其顺序组合理解为在同一系统上进行的级联检验系列。现在我们来审视该公理的表述。
因果公理 制备的概率独立于观测选择。
让我们分析一下因果公理的具体含义。考虑由制备检验 $\mathcal{X} = \{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \subset \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 后接观测检验 $\mathcal{V} = \{a_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}} \subset$ Eff(A) 在系统 A 上构成的联合检验：
$$ \textcircled{\mathcal X} \xrightarrow{\mathrm{~ A ~}} \textcircled{\mathcal Y} $$制备 $\rho_{i}$ 和观测 $a_{j}$ 的联合概率由下式给出：
$$ p ( i , j | \mathcal{X} , \mathcal{Y} ) : = ( a_{j} | \rho_{i} ) \ \equiv \ \textcircled{\rho_{i}} \quad \quad \mathrm{~ A ~} \quad \textcircled{a_{j}} $$单独制备的边际概率不依赖于结果 j。然而，它通常依赖于所执行的是哪个观测检验，即
$$ \sum_{a_{j} \in \mathcal{V}} ( a_{j} | \rho_{i} ) = : p ( i | \mathcal{X} , \mathcal{V} ) . $$因此，制备 $\rho_{i}$ 的边际概率通常依赖于观测检验的选择。因果公理所表述的是，$p ( i | \mathcal{X} , \mathcal{Y} )$ 实际上独立于该选择，即对于任意两个不同的观测检验 $\mathcal{V} ~ = ~ \{a_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$ 和 $\mathcal{Z} = \{b_{k} \}_{k \in Z}$，有
$$ p ( i | \mathcal{X} , \mathcal{Y} ) = p ( i | \mathcal{X} , \mathcal{Z} ) = p ( i | \mathcal{X} ) . $$因果性公设不仅是对仅由两个检验（制备和观测）构成的电路概率分布的限制。它实际上规范了由多个系统和检验组成的任何封闭电路的联合概率分布，因为任何封闭电路都可以通过沿系统切片分割电路，始终视为一个制备检验与一个观测检验的组合，如在3.3节中所述。例如，如果我们沿切片 BGN 切割电路
$$ \begin{array}{r} {\left( \underbrace{\frac{\mathbf{A}} {\mathbf{E}}}_{\mathbf{\Theta}} \underbrace{\left[ \begin{array}{l} {\mathbf{A}} \\ {\mathbf{A}} \\ {\mathbf{F}} \\ {\mathbf{H}} \\ {\mathbf{0}} \end{array} \right]}_{\mathbf{\Theta}} \underbrace{\left[ \begin{array}{l} {\mathbf{B}} \\ {\mathbf{\Theta}} \\ {\mathbf{F}} \\ {\mathbf{P}} \end{array} \right]}_{\mathbf{\Theta}} \underbrace{\left[ \begin{array}{l} {\mathbf{\Theta}} \\ {\mathbf{D}} \\ {\mathbf{M}} \\ {\mathbf{P}} \end{array} \right]}_{\mathbf{\Theta}} \underbrace{\left[ \begin{array}{l} {\mathbf{C}} \\ {\mathbf{\Theta}} \\ {\mathbf{\Theta}} \\ {\mathbf{F}} \\ {\mathbf{\Theta}} \end{array} \right]}_{\mathbf{\Theta}} \underbrace{\mathbf{D}}_{\mathbf{\Theta}} \right)} \end{array} $$，电路中的任何检验要么属于制备 $\scriptscriptstyle \textit{\textbf{X}} =$ ${\mathcal{FD}} ( {\mathcal{A}} \otimes B ) | \Psi )$ ，要么属于观测 $\begin{array}{r} {\mathcal{V} = ( \mathcal{G} | \mathcal{E} \mathcal{C} )} \end$ 。如果我们考虑检验 ${\mathcal{F}} \equiv \{{\mathcal{F}}_{f} \}_{f \in \mathrm{F}} .$ 并取其结果 f 的边缘概率分布，根据因果性，我们有
$$ \forall f \in \operatorname{F} : \quad p ( f | \mathcal{X} \mathcal{Y} ) = p ( f | \mathcal{X} ) = p ( f | \Psi , \mathcal{A} , \mathcal{B} , \mathcal{D} , \mathcal{F} ) . $$因果性意味着电路中某个测试的概率分布不受未连接至其输入端的测试的影响。在下文中，若测试$\mathcal{A}$的某个输出系统连接至测试$\boldsymbol{B}$的某个输入系统，则称测试$\mathcal{A}$先于测试$\boldsymbol{B}$，该概念可传递性地推广，即若存在测试链$\mathcal{C}_{1} , \mathcal{C}_{2} , \ldots , \mathcal{C}_{n + 1}$，其中$\mathcal{C}_{1} = \mathcal{A}$且$\mathcal{C}_{n + 1} = \mathcal{B}$，且对于$i = 1 , \ldots , n - 1$，$\mathcal{C}_{i}$先于$\mathcal{C}_{i + 1}$，则称$\mathcal{A}$先于$B$。我们也将链$\mathcal{C}_{1} , \mathcal{C}_{2} , \ldots , \mathcal{C}_{n + 1}$称为因果链。等价地，称$B$跟随$\mathcal{A}$。以上概念可简单推广至事件。
因果OPT 若一个OPT对所有闭合回路都满足因果性公设，则称其为因果OPT。
因果公理等价于以下表述。
无来自未来的信号 如果一个OPT中，对于任意不跟随测试$B$的测试$\mathcal{A}$，测试$\mathcal{A}$的边缘概率分布与测试$B$的选择无关，则该OPT是因果性的。
上述表述蕴含因果公理，因为因果公理是它的特例。反之亦成立，因为我们已看到，任何闭合电路总可以分解为一个制备测试和一个观测测试，其中制备测试包含$\mathcal{A}$，观测测试包含$B$。
测试$\boldsymbol{B} : = \{B_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$的概率分布$p ( j | \mathcal{A} , \mathcal{B} )$对前驱测试$\mathcal{A} : = \{\mathcal{A}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$选择的参数依赖描述了二者间的因果关系。实际上，在这种情况下，我们可以通过改变测试$\mathcal{A}$将信息传递到测试$B$。输入测试$\mathcal{A}$可视为测试$B$结果的“原因”，而测试$B$则扮演“结果”的角色。因果性允许我们选择输入-输出方向与从过去到未来的方向相同（即时间箭头），而“来自未来”这一命名即对应此选择。在实践中，物理实验室里这意味着：对一个系统（如电子或光束）进行的测试的概率分布，不能依赖于后续对该系统（即前次测试输出端的电子或光束）进行的测试。另一方面，同一系统上后续测试的概率分布通常取决于前次测试的选择，这可视作对系统本身制备的贡献。
5.3 条件化#
在因果OPT中，对一个系统上测试的选择可以依据前驱测试的结果进行条件化，因为因果性保证了前驱测试的概率分布与后续测试的选择无关。这引出了条件化测试的概念。
条件化测试 若 $\{{\mathcal{A}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 是从A到B的测试，且对于每个 $i \in \textrm{X}$，$\{B_{j}^{( i )} \}_{j \in \Upsilon_{i}}$ 是从B到C的测试，则条件化测试是从A到$C$的测试，其结果为 $\begin{array}{r} {( i , j ) \ \in \ Z : = \bigcup_{i} \{\{i \} \times \Upsilon_{i} \}} \end$，事件为 $\{B_{j}^{( i )} \circ \mathcal{A}_{i} \}_{( i , j ) \in Z}$。图解上，事件 $B_{j}^{( i )} \circ \mathcal{A}_{i}$ 表示如下：
$$ \frac{\textbf{A} \sqrt{A_{i}}} {\left[ \boldsymbol{A}_{i} \right]^{\mathrm{~ \scriptsize ~ B ~}}} \overline{{B_{j}^{( i )}}} \Bigg \} \frac{\textbf{C}} {\boldsymbol{\cdot}} . $$条件测试的概念推广了顺序组合和测试随机化这两个概念。事实上，测试的复合只是条件测试的一个特例，其中 $\{\mathcal{B}_{j}^{( i )} \}_{j \in Y_{i}} \equiv \{\mathcal{B}_{j} \}_{j \in Y}$ 全部相等，与 $i$ 无关。另一方面，随机化测试只是由一个从平凡系统到平凡系统的测试（即一个概率）所条件化的测试。
在条件测试中，“观测并制备”测试扮演着特殊角色，¹¹ 其中“连接”系统是空系统 I。因此，它们由一个由观测测试条件化的制备测试组成，如下所示：
$$ \begin{array}{r} {\frac{\textbf{A}} {\textbf{D}} \textcircled{\omega} \textbf{C}} \end{array} , $$这也可以表示为 $\big \{| \omega^{( i )} ) ( l_{i} | \big \}_{i \in \mathrm{X}} .$
注 引入条件测试时对因果性的要求源于这样一个事实：在一个没有因果性的理论中，不可能包含所有可想象的条件测试，因为存在某些条件测试会导致违反概率的基本规则。例如，考虑一个非因果性理论，并为系统 $\mathrm{A}$ 选取两个确定性效应 $e^{( 0 )} \neq e^{( 1 )}$，即存在一个状态 $\tau_{0} ~ \in ~ \mathsf{St} ( \mathbf{A} )$，使得 $( e^{( 0 )} | \tau_{0} ) \neq ( e^{( 1 )} | \tau_{0} )$。状态 $\tau_{0}$ 可以由一个状态 $\tau_{1}$ 补充完整，构成一个完备的制备测试，即二元测试 $\{\tau_{i} \}_{i = 0 , 1}$。现在构建一个条件测试，其中制备 $\tau_{i}$ 条件化了选择哪个确定性效应 $e^{( i )}$。方程 (5.2) 可以重写为：
$$ \begin{array}{r} {\frac{\mathrm{~ I ~}} {\left[ \tau_{i} \right]} \Big [ \frac{\mathrm{~ B ~}} {\mathrm{~ B ~}} \Big [ e^{( i )} \Big ] \stackrel{\mathrm{~ I ~}} {\longrightarrow} \equiv ~ \big ( \stackrel{\tau_{i}} {\longrightarrow} \big ) \frac{\mathrm{~ A ~}} {\mathrm{~ B ~}} \Big [ \stackrel{e^{( i )}} {\longrightarrow} \big ) \equiv ~ ( e^{( i )} | \tau_{i} ) .} \end{array} $$那么测试 $\{( e^{( i )} | \tau_{i} ) \}_{i = 0 , 1} \subseteq{\mathsf{Transf}} ( \mathrm{I} \to \mathrm{I} )$ 就违反了概率规则。
习题 5.1 证明测试 $\{( e^{( i )} | \tau_{i} ) \}_{i = 0 , 1} \subseteq{\mathrm{T r a n s f ( I}} \to \mathrm{I} )$ 违反了概率规则。
5.4 唯一的废物箱#
因果性理论可以特征化如下：
引理 5.1 一个 OPT 是因果性的，当且仅当对于每个系统 A，存在唯一的确定性效应。
证明 我们将分别证明两个方向：即 (1) 如果状态制备的概率独立于观测测试，那么确定性效应是唯一的；(2) 反之亦然。(1) 制备 $\rho$ 的概率由与观测的联合概率的边际给出，即 $\begin{array}{r} {p ( \rho ) = \sum_{i \in \mathrm{X}} ( a_{i} | \rho )} \end$。将两个不同测试的确定性效应分别记为 $a = \textstyle \sum_{i \in X} a_{i}$ 和 $\begin{array}{r} {\boldsymbol{b} = \sum_{j \in \boldsymbol{\mathrm{Y}}} b_{j}} \end$，那么制备概率独立于观测测试这一陈述转化为对每个制备 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 都有 $( a | \rho ) = ( b | \rho )$，由于状态集对事件是分离的，这蕴含 ${a = b}$。(2) 确定性效应的唯一性意味着每个状态的制备概率独立于测试，因为对于任何测试 $\{a_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$，效应 $\textstyle a = \sum_{i \in{\mathrm{X}}} a_{i}$ 是确定性的，并且对于任何确定性效应 $a \in \mathsf E \mathsf{ff} ( \mathrm{A} )$，$( a | \rho )$ 就是制备 $\rho$ 的概率。
我们将系统 A 的唯一确定性效应记为 $e_{\mathrm{A}}$，在不致混淆时下标将被省略。
在下文中，我们将使用符号 $\leq$ 来表示效应之间的偏序关系，定义如下：
$$ a , b \in{\mathsf{Eff}} ( {\mathrm{A}} ) , \ a \leq b \quad \Leftrightarrow \quad ( a | \rho ) \leq ( b | \rho ) , \ \forall \rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathrm{A}} ) . $$可以立即证明，引理5.1的因果性条件引出了以下引理。
引理5.2 因果性与有关检验的以下陈述等价：#
- 观测检验的完备性：对于任意系统A和每一个观测检验$\{a_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$，有
- 检验的完备性：对于任意系统A、B和每一个从A到B的检验$\{{\mathcal{C}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$，有
- 变换的支配性：对于任意系统A、B，变换$ {\mathcal{C}}_{\mathrm{~ \tiny ~ \in ~}}$ ∈ Transf(A→ B) 满足条件
当且仅当$\mathcal{C}$是一个信道，即对应于单结果检验的确定性变换时，等号成立。
- 效应的支配性：对于任意系统A，所有效应都被一个唯一的确定性效应$e_{\mathrm{A}}$所支配
确定性效应唯一性的一个直接推论是，对于任意观测检验$\{a_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$（系统A），所有以下形式的变换都可被识别：
$$ \forall \mathcal{B} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{B \to C} ) , \quad \sum_{i \in \mathrm{X}} a_{j} \otimes \mathcal{B} = e_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{B} , $$特别是，复合系统的确定性效应具有因子分解形式：
$$ e_{\mathrm{AB}} = e_{\mathrm{A}} \otimes e_{\mathrm{B}} . $$因果性条件极大地简化了事件概率的评估。事实上，由于检验中一个事件的概率与其后的检验选择无关，我们可以将网络替换为另一个网络，其中感兴趣事件之后的所有检验都被替换为任意确定性检验。例如，为了评估以下线路中事件$\mathcal{A}_{j} , \Psi_{i}$的边缘概率$p ( i , j | \Psi , \mathcal{A} )$：
我们只需要简化线路：
$$ p ( {\mathcal{A}}_{j} , \Psi_{i} ) = ( {\Psi}_{i} [ \frac{{\underset{\mathrm{E}} {\mathrm{A}}}} {\underset{\mathrm{~ [ ~ \frac ~ {~ H ~} {~ [ ~ \epsilon ~ ]} ~}} {\mathrm{~ \frac{~ H ~} {~ [ ~ \epsilon ~ ]} ~}}} ] \frac{{\underset{\mathrm{B}} {\mathrm{~ B}}} {[ \begin{array}{l} {e} \end{array} ]}} {\mathrm{~ [ ~ \begin{array}{l} {e} \end{array} ] ~}} $$其中e表示相应输入系统的确定性效应。因此，确定性效应起到了废纸篓的作用，因为它抹去了所有不需要的信息（图5.1）。
5.4.1 状态的归一化#
在因果理论中，我们可以通过条件准备（也称为后选择）确定性获得任何状态，过程如下。执行一个包含状态$\rho \equiv \rho_{i_{0}}$的准备检验$\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$。如果检验给出结果$i_{0}$，我们就肯定地后验知道，归一化状态$\bar{\rho} = \rho / ( e | \rho )$已被制备。这在因果理论中是可能的，因为制备一个状态的概率与观测检验的选择无关。因此，我们假设状态$\bar{\rho} = \rho / ( e | \rho )$是理论中的一个确定性状态。
我们现在证明OPT因果性的等价关系。
引理5.3 一个OPT是因果的当且仅当每个状态都与一个确定性状态成比例。
$$ \begin{array}{r l r} {\mathrm{~ ~ \gamma ~}^{\mathrm{A}}} & {{} \equiv} & {\mathrm{~ ~ \Gamma ~} \frac{\mathrm{~ ~ A ~}} {\mathrm{~ ~ \Gamma ~}} [ \mathrm{~ ~ \sigma ~} ]} \end{array} $$因果理论中的确定性效应就像一个废纸篓，信息可以丢弃在其中。
证明 我们首先证明，如果一个理论中每个状态都与一个确定性状态成比例，则该理论是因果的。设 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 为任意状态，$e_{\mathrm{A}} \neq e_{\mathrm{A}}^{\prime}$ 为两个确定性效应。根据假设，存在 $k > 0$ 使得 $\rho = k \bar{\rho}$，其中 $\bar{\rho}$ 是确定性的。这意味着 $( e | \rho )_{\mathrm{A}} = k = ( e^{\prime} | \rho )_{\mathrm{A}}$，并且由于 $\rho$ 是任意的，我们有 $e = e^{\prime}$，再根据引理5.1，这表明该理论是因果的。反之则平凡成立，因为在因果理论中，对于任意状态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$，状态 $\rho / ( e | \rho )$ 是确定性的。
我们强调，在因果理论中，状态 $\rho / ( e | \rho )$ 可以通过后选择过程被确定性地制备。在非因果理论中，通常不可能确定性地实现给定状态。事实上，对引理5.3取反可以推断，如果理论非因果，则必然存在无法确定性地制备的概率性状态。因此，从某种意义上说，OPT中因果性的缺失对应于制备上的限制。
将概率性状态与其确定性版本联系起来的步骤
$$ \bar{\rho} : = \frac{\rho} {( e | \rho )_{\mathrm{A}}} $$称为归一化。因果性是一个如此自然的假设，以至于我们总是在不知不觉中使用它，当我们归一化量子态时就是这种情况。
5.4.2 非确定性因果理论的锥结构#
对于凸的OPT，对于每个系统A，态的集合$\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$、归一化态的集合$\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$以及效应的集合Eff(A)都是凸的。在5.4.4节中，我们将看到非确定性OPT必然是凸的，这是由于OPT的操作封闭性。在操作上，态的凸组合是通过制备的随机化来执行的，例如态$\rho_{p} : = p \rho_{1} + ( 1 - p ) \rho_{2}$可以通过执行一个结果概率为$p_{1} = p$和$p_{2} = 1 - p$的二元检验来制备，并为结果$i$制备态$\rho_{i}$，从而实现制备检验$\{p_{i} \rho_{i} \}_{i = 1 , 2}$，最后通过对检验进行粗粒化，得到$\rho_{p} = \rho_{1} + ( 1 - p ) \rho_{2}$。一个概念上相关的点是，根据二元检验的结果条件性地制备态的步骤是一个观测-制备检验，当理论是因果时，这被认定是可能的。
由引理5.3可知，因果OPT的确定性态集$\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$是尖点凸锥$\mathsf{St}_{+} ( \mathsf{A} )$与归一化（仿射）超平面$\{\rho \in \mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} ) | ( e | \rho ) = 1 \}$的交集。概率性态集$\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$则是包含在归一化超平面与锥顶点$\rho = 0$之间的截锥。这种几何结构如图5.2所示。确定性态构成该锥的一个基。12 由此可知，如果一个态是原子的（即它属于锥的极射线），那么它的确定性态在$\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$中是极端的。
另一方面，根据引理5.2的第4点，效应集Eff(A) 是尖点锥$\mathsf{Eff}_{+} ( \mathrm{A} )$与由唯一确定性效应$e_{\mathrm{A}}$支配的尖点锥$\{a \in \mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} ) | a \leq e_{\mathrm{A}} \}$的交集。
因果理论凸结构的图解。左侧是嵌入在线性空间$\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$中系统A的态锥$\mathsf{St}_{+} ( \mathsf{A} )$。这是一个以确定性态凸集$\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$为基的尖点凸锥，后者是锥与归一化条件$( e | \rho ) = 1$的（仿射）超平面的交集。概率性态集$\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$是包含在该平面和顶点$\rho = 0$之间的截锥。右侧是嵌入在线性空间$\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$中的效应集$\mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$。这是尖点锥$\mathsf{Eff}_{+} ( \mathrm{A} )$与由唯一确定性效应$e_{\mathrm{A}}$支配的尖点锥$\{a \in \mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} ) | a \leq e_{\mathrm{A}} \}$的交集形成的纺锤体。（我们回顾一下，图中特定的几何图像对应于在欧几里得空间中的一种特殊嵌入，例如归一化超平面与锥轴的正交性。）
练习5.2 证明引理5.2中条件的等价性。
练习5.3 对于因果理论，我们经常使用如下定义的重归一化精炼集：
$$ \mathsf{RefSet}_{1} \omega : = \{\sigma \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} ) : \exists \alpha \in ( 0 , 1 ] | \alpha \sigma \in \mathsf{RefSet} \omega \} . $$练习5.3 证明对于变化的状态 $\omega \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$，这些集合是确定性状态 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 的凸集的 $\mathrm{faces}^{13}$。
练习5.4 证明在量子理论中，密度算子 $\varrho$ 在系统A的希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上的偏迹 $\mathrm{Tr}_{\mathrm{A}} \varrho$ 对应于该理论的确定性效应 $e_{\mathrm{A}}$。
练习5.5 证明在量子理论中，仪器是检验，POVM是观测检验，而冯·诺依曼测量是一种观测并制备检验。
练习5.6 [最小信息完备观测检验的存在性] 在第2章中，我们将信息完备的观测检验定义为能分离状态的检验。如果检验的效应是线性无关的，则称该信息完备检验为最小的。证明对于系统A，使用其效应总是可以构造一个最小信息完备观测检验。[再次参见问题2.21的解答。]
5.4.3 边缘态#
确定性效应的唯一性自然引出了边缘态（也称为局域态）的相关概念。边缘态就是效应上的正泛函，它给出所有观测检验的正确边缘概率。这意味着对于分别在系统A和B上的观测检验 $\{a_{i} \}$ 和 $\{b_{j} \}$ 的联合概率，即
$$ p ( i , j | a , b , \sigma ) = ( a_{i} | _{\mathrm{A}} ( b_{j} | _{\mathrm{B}} | \sigma )_{\mathrm{AB}} , $$其一阶边缘概率分布为仅对系统A的局域检验
$$ p_{i}^{\mathrm{( A )}} : = \sum_{j} p ( i , j | a , b , \sigma ) = \sum_{j} ( a_{i} | _{\mathrm{A}} ( b_{j} | _{\mathrm{B}} | \sigma )_{\mathrm{AB}} . $$利用恒等式(5.4)，这可以写为：
$$ p_{i}^{\mathrm{( A )}} = ( a_{i} | _{\mathrm{A}} ( e | _{\mathrm{B}} | \sigma )_{\mathrm{AB}} = : ( a_{i} | _{\mathrm{A}} | \rho )_{\mathrm{A}} . $$方程(5.8)定义了联合态 $| \sigma )_{\mathrm{AB}}$ 在系统A上的边缘态 $| \rho )_{\mathrm{A}}$。因此，总结如下：
边缘态 $| \sigma )_{\mathrm{AB}}$ 在系统A上的边缘态是状态
$$ \begin{array}{r} {| \rho )_{\mathrm{A}} : = ( e | _{\mathrm{B}} | \sigma )_{\mathrm{AB}} .} \end{array} $$用图表示为
$$ \begin{array}{r} {\overbrace{\phantom{\int_{\theta}^{\theta} \frac{\partial \Theta} {\partial \theta} [ e ]}}^{\mathrm{~ A ~}} = : \overbrace{\phantom{\int_{\theta}^{\theta} \frac{\partial \Theta} {\partial \theta} [ e ]} \mathrm{~ B ~} [ e ]}^{\mathrm{~ A ~}} .} \end{array} $$5.4.4 对于因果OPT，闭性意味着凸性#
如果一个理论具有关于操作范数封闭的St(A)，它将包含所有可以被该理论的状态任意逼近的状态。由于概率只是平凡系统I的状态St(I)，如果一个OPT是操作封闭的，那么可能概率值的集合也是封闭的。现在，如果概率唯一可用的值是 $p = 0 , 1$——即 $\mathsf{St ( I )} = \{0 , 1\}$——那么这个概率理论将是确定性的。我们将该理论称为确定性OPT，将确定性理论视为概率理论的特例。现在，一个相关的事实是，如果OPT至少包含一个非确定性检验，那么该OPT的操作封闭性自动保证整个概率区间 [0, 1] 都是可用的。用方程表示
$$ 0 < p < 1 , p \in \mathsf{St} ( \mathrm{I} ) + \text{操作闭包} \Longrightarrow \mathsf{St} ( \mathrm{I} ) = [ 0 , 1 ] . $$确实，非确定性检验的可用性意味着至少存在一个满足 $0 < p < 1$ 的二元检验。我们可以将其用作一枚有偏硬币，多次投掷，并通过随机性提取来近似任意硬币偏差 $p \in [ 0 , 1 ]$ 。因此，可用概率集是 [0, 1] 中的一个稠密集，而集合 St(I) 的封闭性意味着 ${\sf S t} ( \mathrm{I} ) \equiv [ 0 , 1 ]$ ，即整个概率区间都可用（见练习3.3）。
现在，如果该理论是因果的，那么非确定性检验的可用性以及条件作用的可能性将提供任意事件的凸组合，如下文引理所述。
定理5.4（凸组合的近似） 在一个至少包含一个非确定性检验的因果OPT中，事件的任意凸组合都是允许的。
证明 设 $q \in [ 0 , 1 ]$ 为任意概率。则由练习3.3，$q \in \mathsf{St} ( \mathrm{I} )$ 。通过对系统 I 的制备 $\{q , 1 - q \}$ 进行条件作用，将两个检验 $\{{\mathcal{C}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 和 $\{\mathcal{D}_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$ 组合，得到检验 $\{q \mathcal{C}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \cup \{( 1 - q ) \mathcal{D}_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$ ，然后通过粗粒化，我们得到凸组合 $q \mathcal{C}_{i} + ( 1 - q ) \mathcal{D}_{j}$ 。
作为上述引理的简单推论，我们得到以下推论。
推论5.5 一个包含非确定性检验的操作封闭因果OPT是凸的。
封闭OPT 如果一个OPT满足无限制假设并且是操作封闭的，我们将称其为完备OPT。
练习5.7（因果OPT中状态的另一种定义）14 对于因果理论，系统A的一个状态 $\omega \in$ St(A) 是对于任意事件 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A {} B )}$ 的概率规则 $\omega ( \mathcal{A} )$ 。该规则由 $\omega ( \mathcal{A} ) = _{\mathrm{B}} ( e | \mathcal{A} | \omega )_{\mathrm{A}}$ 给出。条件状态 $\omega_{A}$ 提供了在系统A以状态 $\omega$ 制备且事件 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf ( A \Delta B )}$ 发生的条件下，对于任意事件 $B \in \mathsf{T r a n s f ( B \to C )}$ 的概率规则。证明
$$ \omega_{\mathcal{A}} ( \mathcal{B} ) : = \frac{\omega ( \mathcal{B} \mathcal{A} )} {\omega ( \mathcal{A} )} = \frac{( \mathcal{A} \omega ) ( \mathcal{B} )} {\omega ( \mathcal{A} )} . $$证明 $\boldsymbol{\mathcal{A}} \omega$ 是事件 $\mathcal{A}$ 发生后状态 $\omega$ 的变换概率规则。因此，变换下的状态演化可视为一种条件化。#
练习 5.8 证明因果理论中的条件态概念会导致变换之间的以下两种等价关系：
条件等价：当 $\omega_{\mathcal{A}_{1}} ~ = ~ \omega_{\mathcal{A}_{2}} ~ \forall \omega ~ \in ~ \mathsf{St} ( \mathsf{A} )$ 时，即 $\mathcal{A}_{1}$ 和 $\mathbf{\mathcal{A}}_{2}$ 对所有先验状态 $\omega$ 产生相同的条件态，则变换 $\lambda_{1} , \lambda_{2} \ \in \ \mathsf{T r a n s f ( A \to B )}$ 是条件等价的。
概率等价：当 $\omega ( \mathcal{A}_{1} ) = \omega ( \mathcal{A}_{2} ) \ \forall \omega \in \mathbf{S} \mathbf{t} ( \mathrm{A} )$ 时，即 $\mathcal{A}_{1}$ 和 $\mathcal{A}_{2}$ 对所有先验状态 $\omega$ 以相同的概率发生，则变换 $\mathbf{\mathcal{A}}_{1} , \mathbf{\mathcal{A}}_{2} \in$ Transf(A → B) 是概率等价的。
证明这两个等价类完全确定了变换，并且条件等价的变换必然是彼此的倍数。
练习 5.9 证明系统 A 的效应 $a \in {\mathsf{Eqff}} ( {\mathsf{A}} )$ 与所有系统 B 的变换集 Transf(A→ B) 中的概率等价类一一对应。
练习 5.10 证明 $\boldsymbol{A}_{1} + \boldsymbol{A}_{2}$ 的效应等于它们各自效应之和，而相应的条件态由下式给出：
$$ \omega_{{A_{1}} + {A_{2}}} = \frac{\omega ( {A_{1}} )} {\omega ( {A_{1}} + {A_{2}} )} \omega_{{A_{1}}} + \frac{\omega ( {A_{2}} )} {\omega ( {A_{1}} + {A_{2}} )} \omega_{{A_{2}}} , \quad \forall \omega \in{\operatorname{St}} ( {\mathrm{A}} ) . $$5.5 无超距信号#
“无来自未来的信号”，即因果性要求，意味着另一种无信号性，即无法在不进行相互作用的情况下通过仅执行局域测试来发送信号。这一点由以下定理精确表述。
定理 5.6（无相互作用则无信号） 在因果 OPT 中，不可能仅通过执行局域测试来发送信号。
证明 假设一般情况：两个“遥远”的参与者 Alice 和 Bob 共享系统 A 和 B 的二分态 $| \Psi )_{\mathrm{AB}}$。Alice 在系统 A 上执行她的局域测试 $\{{\mathcal{A}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$，同样 Bob 在系统 B 上执行他的局域测试 $\{B_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$。他们结果的联合概率为
$$ p_{i j} = ( e | _{\mathrm{AB}} ( \mathcal{A}_{i} \otimes B_{j} ) | \Psi )_{\mathrm{AB}} . $$Alice 处的边缘概率 $p_{i}^{\mathrm{A}}$ 和 Bob 处的边缘概率 $p_{j}^{\mathrm{B}}$ 由下式给出
$$ p_{i}^{\mathrm{A}} : = \sum_{j} p_{i j} , \quad p_{j}^{\mathrm{B}} : = \sum_{i} p_{i j} . $$Alice 的边缘概率不依赖于 Bob 对测试 $\{B_{j} \}$ 的选择，因为
$$ p_{i}^{( \mathrm{A} )} = \sum_{j} ( e | _{\mathrm{A}} ( e | _{\mathrm{B}} ( A_{i} \otimes B_{j} ) | \Psi )_{\mathrm{AB}} = ( e | _{\mathrm{A}} \left( \mathcal{A}_{i} \otimes \left[ \sum_{j} ( e | _{\mathrm{B}} \mathcal{B}_{j} \right] \right) | \Psi )_{\mathrm{AB}} $$这里我们使用了式(3.1)和归一化条件 $\begin{array}{r} {\sum_{j} ( e | _{\mathrm{B}} B_{j} = {\it \Psi} ( e | _{\mathrm{B}}} \end{array}$ 。同样的论证也适用于Bob的边缘分布。
5.6 因果性与时空#
如果我们把输入-输出方向等同于时间箭头，那么因果链也可以被视为一条时间线。相应地，同一条因果链上的两个事件具有确定的时间顺序。相反，对于两个因果独立的事件，即不属于同一条因果链的事件，它们中哪一个在过去、哪一个在未来的选择是任意的。来自未来的无信号条件意味着两个方向上都不能有信号传递。
同样的因果依赖/独立概念可用于系统而非事件，两个因果系统如果属于同一条因果链则存在因果联系，而如果它们属于同一个切片则相互独立。无信号条件与所谓的爱因斯坦局域性是一致的，后者指出：如果两个物理系统在一段时间间隔内不发生相互作用（即保持孤立），那么一个系统物理性质的演化不会受到对另一个系统执行的任何操作的影响。16 实际上，在闵可夫斯基观点中，两个无法相互作用的系统属于同一个切片，反之亦然。17
在因果网络中，我们可以为任意事件构建因果锥，作为从该事件出发的所有因果链的并集。反之，我们可以利用这种因果锥来定义因果顺序，即如果一个事件属于另一事件的因果锥，则该事件在因果上跟随另一事件。由于爱因斯坦因果性是用因果锥（闵可夫斯基因果锥）来定义的，我们看到我们的因果性概念与爱因斯坦因果性是等价的。18
5.7 无因果性的理论#
无因果的理论看起来相当奇怪，因为我们对因果性太熟悉了，以至于否定它会导致看起来奇怪或对我们来说不可能的行为。在否定引理5.3的陈述后，我们可以得出结论，例如：
在一个非因果的理论中，存在一些状态无法通过任何方法确定性地制备。
有人可能会错误地认为，如果一个状态是随机的，那么原则上可以通过后选择来确定性地获得它，即重复足够多次制备测试，直到获得该状态。然而，顾名思义，后选择预设了因果顺序的概念。另一方面，在否定引理5.1的陈述后，我们可以认识到在一个非因果的理论中，每个系统必然存在多个确定性效应，效应的凸集不再是纺锤形的。多个确定性效应的存在意味着存在一些制备，其实现的概率因观测测试而异，因为状态对效应是分离的。
现在很自然地要问：是否存在非因果的概率性理论？如果存在，非因果的输入-输出关系看起来是怎样的？一个简单的程序给出了肯定答案，该程序允许我们在一个因果理论的基础上构建一个非因果理论。
考虑马蹄形盒子
并将其视为电路的一部分，我们可以根据我们的连接规则将测试连接到该电路，即连接具有相同标签的导线而不形成闭合回路。现在可以将这个马蹄形盒子视为一个映射，它将Transf(B→ C)中的一个测试通过以下插入操作转换为Transf $( \mathrm{A} \to \mathrm{D} )$ 中的一个新测试：
现在我们将盒子插入视为新理论的输入-输出连接，盒子 $\Omega \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{B} \to \mathrm{C} )$ 成为新理论的状态 $\Omega \in \mathsf{St} ( \mathrm{B} \triangleright \mathrm{C} )$ ，其输出系统记为 $\mathrm{B} \triangleright \mathrm{C} ,$ ，而马蹄形盒子成为新理论的变换 $\mathcal{T} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{B} \mathsf{\circ C} \to \mathrm{A \circ D} )$ 。在新理论中，用图示表示我们有
$$ \scriptstyle \overbrace{\Omega} \ \mathbf{J}^{\mathrm{B} \scriptscriptstyle \ J \mathrm{\scriptscriptstyle =} \mathrm{C}} \boxed{T}^{\mathrm{A} \scriptscriptstyle \mathrm{p} \mathrm{D}} . $$显然，由于制备 (\Omega) 从马蹄形盒子 (\mathcal{F}) 获取输入，其概率分布将取决于该盒子的选择，因此新理论是非因果的。量子理论本身在我们将变换视为制备时就提供了这类理论的一个例子。实际上，由于 Choi–Jamiołkowski 同构，双部分系统 BC 的状态锥与从 C 到 B 的变换锥相重合：
$$ \mathsf{Transf}_{+} ( \mathbb{C} \to \mathrm{B} ) \equiv \mathsf{St}_{+} ( \mathrm{BC} ) \equiv \mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{C}} ) . $$然而，这两个集合的确定性条件差异很大，因为对于状态 (\rho \in \mathsf{St}{+} ( \mathsf{BC} ))，该条件由 Tr (\rho = 1) 给出，而对于变换 (\mathcal{T} \in \mathsf{Transf}{+} ( \mathrm{B} \to \mathrm{C} ))，该条件由 ( \mathrm{Tr}{\mathrm{C}} [ R{\mathcal{T}} ] = I_{\mathrm{B}} ) 给出，其中 (R_{\mathcal{T}} = \mathcal{T} \otimes \mathcal{T} | I \rangle \rangle \langle \langle I | \in \mathsf{Lin}{+} ( \mathrm{BC} )) 是描述变换 (\mathcal{T} \in \mathsf{Transf}{+} ( \mathrm{BC} )) 的 CP 映射 (\mathcal{T} \in \mathrm{Lin} ( \mathcal{H}{\mathrm{B}}, \mathcal{H}{\mathrm{C}} )) 的 Choi 算子，且 (| I \rangle \rangle = \sum_{n=1}^{\dim(\mathcal{H}{\mathrm{B}})} | n \rangle | n \rangle \in \mathcal{H}{\mathrm{B}}^{\otimes 2})。因此，该理论的凸结构与图 5.2 所描绘的截然不同：例如，状态集 (\mathsf{St} ( \mathrm{A} \vartriangleright \mathrm{B} )) 并非由维度为 (D_{\mathrm{A > B}} - 1) 的超平面截断的锥 (\mathsf{St}_{+} ( \mathbf{A} \vartriangle{\mathsf{P}} \mathbf{B} ))（另见练习 2.48），类似地，效应集 (\mathsf{Eff} ( \mathsf{A} \vartriangle{\mathsf{A}} \Vdash \mathbf{B} )) 也不是纺锤形的。
练习 5.11 证明 (\mathsf{St}{+} ( \mathrm{BC} )) 中量子态的确定性条件对应于 (\mathcal{H}{\mathrm{B}} \otimes \mathcal{H}{\mathrm{C}}) 上 Hermitian 算子空间中的一个维度为 (\dim( \mathcal{H}{\mathrm{B}} )^{2} \dim( \mathcal{H}{\mathrm{C}} )^{2} - 1) 的超平面，而 (\mathsf{Transf} ( \mathrm{B} \to \mathrm{C} )) 中变换的确定性条件则对应于同一空间中维度为 (\dim( \mathcal{H}{\mathrm{B}} )^{2} [ \dim( \mathcal{H}_{\mathrm{C}} )^{2} - 1 ]) 的超平面。
非因果理论的构建通过引入梳状盒子进行，如下所示：
随后引入齿数逐渐增加的梳子，并将它们与变换组合，如下所示：
在非因果理论中，这将被表示为：
$$ \frac{( \mathcal{A} \mathbb{)}^{\mathrm{A} \mathrm{> B}}} {( \mathcal{B} \mathbb{)}^{\mathrm{A} \mathrm{> B}}} \Bigg [ \mathcal{U} \Bigg | _{\mathrm{A} \mathrm{> B}} . $$更多情况下，我们将得到如下电路：
上述 OPT 是非因果的，但可由一个底层因果 OPT 实现，即通过一个因果 OPT 中的梳子电路实现，其中梳齿之间的孔洞对应缺失的检验。然而，也存在没有底层因果 OPT 的非因果 OPT。只需考虑梳子的情况：
其中，结果变换可以是 $\mathcal{A} \circ \mathcal{B}$ 或 $B \circ A$，具体取决于 C 处的输入。很容易理解到，这样的梳子无法由电路实现，因为没有任何电路能交换两个方框的复合顺序。19 这种因果关系无法预先设定的情境，就是一个真正非因果 OPT 的例子。20
图5.3 一个奇怪的 OPT……或者说它是一个 OPT 吗？
练习 5.12 在非因果理论中写出最后两个电路的表征。
练习 5.13 考虑图5.3中的冰淇淋锥形凸状态集。该理论是因果的吗？这样的理论是否可能？关于该理论还能得出什么结论？[提示：存在一个完整球冠，其中的状态不被任何其他状态支配，因此它由确定性状态构成。确定性状态的混合仍是确定性的。确定性状态的仿射张成也是确定性的……]
练习 $5.14^{21}$ 证明：在有限维凸因果 OPT 中，对于每一对状态 $\sigma , \rho \in{\sf S t}_{1} ( {\sf A} )$，有
$$ \sigma \in{\mathsf{Span}}_{+} {\mathsf{RefSet}} \rho \Longrightarrow k \sigma \in{\mathsf{RefSet}} \rho , $$对于某个非零概率 (k)。
5.8 本章小结#
我们在 (0 \mathsf{P} \mathsf{I} \mathsf{s}) 的一般非确定论语境下，给出了因果性的精确定义，该定义体现了制备概率与观测选择无关。我们推导了因果 OPT 的数学结构，并证明了因果性等价于确定效应的唯一性，而后者又等价于状态归一化的能力。相应地，该理论具有一个精确的锥结构，如图 5.2 所示。因果性公设极大地简化了理论中概率的计算，并允许引入条件测试的概念。由于因果性等价于无法从未来发送信号，它也意味着无法在不发生相互作用的情况下发送信号，即爱因斯坦的局域性概念。我们已经了解了当前的因果性概念是如何对应于爱因斯坦概念的，最后，我们提供了不满足因果性的 OPT 的具体例子。
注释#
无来自未来的信号 需要将无来自未来的信号视为一个独立公设，这一认识最早由 M. Ozawa 在 2007 年 3 月于仙台访问 G. M. D'Ariano 时提出，并首次以因果性公设的形式出现在 D'Ariano (2010) 中。
因果性与条件测试 应该强调的是，因果性保证了条件测试的可行性，而条件测试依赖于对过去测试中发生了哪个结果的了解。在条件测试与被条件测试之间缺乏因果联系的情况下，原则上可以找到一个参考系，其中两个测试的时间关系被互换，条件测试发生在被条件测试之后（见第 5.6 节）。原则上，还可以考虑另一种条件化方式，其中每个测试 (\left{\mathcal{D}{j}^{( i )} \right}) 的输出系统 (\mathrm{C}{i}) 依赖于结果 i。在这种情况下，条件测试的输出空间将是一个“直和”系统 ({}^{\mathrm{\Large ~ *}} \mathrm{C} : = \bigoplus_{i \in \mathrm{X}} \mathrm{C}_{i} .) ” 这也需要将结果空间 X 视为一个经典系统，该经典系统可以作为某个经典信息处理设备的输入或输出。
我们的状态定义是通常的定义吗？ 在任何科学构建中——无论是力学、化学还是其他学科——状态都是一个系统变量的集合，了解这些变量足以做出所有预测。例如，在经典动力学中，状态是所有粒子的位置和动量的集合。在平衡态热力学中，状态是物理变量的规定——例如 (U, V, N)，其中 U 是能量，V 是体积，N 是摩尔数——足以评估所有热力学量。在量子理论中，状态允许评估所有可能的期望值。类似地，在因果 OPT 中，状态允许预测任何测试的结果。在执行实验以预测同一制备条件下后续实验结果的逻辑中，实验中收集的信息必须涉及做出预测所需的一切，根据定义，这恰好是输入系统本身的状态。这些信息由制备测试的结果以及对测试本身的了解所提供。
关于系统的概念 玻尔会认为，在我们揭示粒子之前，不存在粒子：只有实验结果才是真实的。在量子力学中，粒子是一个系统。在二次量子化中，系统是一个场模式，而粒子则成为一个状态。因此，系统本质上是一个理论概念，不应被视为具体的物质对象，而只有执行的测试及其结果才具有客观性地位。最终，在因果 OPT 中，系统是决定事件之间联系的规则。
作为事件等价类的效应替代概念 效应作为所有可能状态都产生相同概率的变换的等价类的概念，与 Ludwig (1983) 的概念相同，他也引入了“效应”一词。
通过使用这一定义，可以重新推导本文中呈现的许多结果 (D'Ariano, 2010)。
非局域性定理5.6对于阐明所谓量子非局域性（即量子非局域实在论的简称）的本质至关重要。事实上，作为一种因果 OPT，量子理论不能违反爱因斯坦局域性。量子纠缠态产生的关联是“非局域的”，其含义是它们无法通过局域隐变量实现，但它们仍然无法用于超光速通信，因此没有违反爱因斯坦局域性。
部分选作习题解答#
习题5.1#
$$ \begin{array}{r l} & {( e^{( 0 )} | \tau_{0} ) + ( e^{( 1 )} | \tau_{1} ) = ( e^{( 0 )} | \tau_{0} ) + 1 - ( e^{( 1 )} | \tau_{0} )} \\ & {\qquad = 1 + [ ( e^{( 0 )} | \tau_{0} ) - ( e^{( 1 )} | \tau_{0} ) ]} \\ & {\qquad > 1 .} \end{array} $$假设 $( e^{( 0 )} | \tau ) - ( e^{( 1 )} | \tau ) > 0$ 并不失一般性。由于 $\tau_{0} + \tau_{1}$ 是一个确定性状态，且 $e^{( i )}$ 均为确定性效应，对 $i = 0 , 1$ 有 $( e^{( i )} | \tau_{0} ) + ( e^{( i )} | \tau_{1} ) = 1$。现在考虑条件测试 $\{( e^{( i )} | \tau_{i} ) \}_{i = 0 , 1} \subseteq{\mathsf{Transf}} ( \mathrm{I} \to \mathrm{I} )$，它的粗粒化为