框架#

...一切科学都只是概率演算的无意识应用。

谴责这种演算就等于谴责整个科学。

亨利·庞加莱，《科学与假设》

在本章中，我们将介绍操作概率理论（Operational Probabilistic Theories, OPT）的框架。该框架的建立方式是：首先引入表达事件之间可能连接的操作语言（Operational Language），然后为这种语言的元素赋予概率结构。

操作语言允许描述物理过程及其在实验设定中的相互关联。例如，可以指定两个事件和在特定背景下是按顺序发生还是并行发生。然而，正是概率结构将操作语言从单纯的描述工具提升为预测框架，预测能力是一切科学理论及其可检验性的关键要求——这也是科学本身的本质。不同的OPT在赋予事件联合概率时会有不同的规则。

OPT是概率论（Probability Theory）的扩展，而概率论本身可以被视为逻辑学（Logic）的扩展。¹ 因此，OPT可以被视为逻辑学的扩展。在概率论的联合概率集合基础上，OPT增加了事件之间的连通性（Event Connectivity）。如果说概率方面只是量子理论（Quantum Theory）的一个侧面，那么事件连通性则是其独特特征，需要对其进行彻底的阐述。这正是本章的目的：为这种连通性提供框架和规则。在接下来的章节中，这些内容将使我们能够为OPT制定原理，特别是量子理论的原理。

3.1 操作语言#

任何操作理论的基本概念都是检验（Test）、事件（Event）和系统（System）。检验的概念除了包含一组事件外，还承载了通过系统实现的事件连通性。这些系统可以代表检验的输入和输出。检验的最终表示如下图所示：

$$ \begin{array}{r} {\frac{\textbf{A}} {\textbf{\{\mathcal{E}_{x} \}}_{x \in \mathrm{X}}} \textbf{B}} \end{array} $$

¹ Cox (1961)；Jaynes (2003)。

其中 $\{{\mathcal{E}}_{x} \}_{x \in \mathrm{X}}$ 表示检验的事件集合 ${\mathcal{E}}_{x}$，每个事件由属于X的概率空间（或结果空间，Outcome Space）的结果 $x$ 标记。左侧标记为A的导线代表输入系统，右侧标记为B的导线代表输出系统。同样的图示表示也适用于任何单个事件，即对于 $x \in \mathrm{X}$

$$ \begin{array}{r} \frac{\textbf{A} \displaystyle \boxed{\mathcal E_{x}} \frac{\textbf{B}} {\textbf{)}} .} \end{array} $$

在以下内容中，系统将用大写罗马字母 $\mathbf{A} , \mathbf{B} , \ldots , Z$ 表示，而事件则用大写草书字母 $\mathcal{A} , B , \ldots , \mathcal{Z}$ 表示。

一个检验（test）可以代表物理设备或测量装置的单次使用，也可以代表一个物理过程的单次发生。例如：

• 斯特恩–格拉赫装置（Stern–Gerlach apparatus）：输入和输出系统都是一个粒子自旋。事件对应于粒子通过上孔或下孔的两种可能变换。结果是“上”和“下”。

• 光子计数器（photocounter）：输入系统是电磁场的一个模式，而没有输出系统（在后续内容中，我们也会说输出是平凡系统（trivial system））。结果是可能的光子数量。

• 电子–质子散射（Electron–proton scattering）：输入和输出系统都是一对电子–质子；检验只包含一个与两粒子相互作用相对应的事件；结果空间是单元素集。

在单元素检验的特殊情况下，事件是确定性的，我们将直接用该事件本身来指代该检验，例如。当存在多个结果时，检验中的事件是概率性的。

在某些实验协议中，强调存在操作等价系统（operationally equivalent systems）是很有用的，这意味着两个系统，尽管在某种程度上不同（例如，它们在物理上不同或只是空间位置不同），但性能相同，并且可以完美且可逆地相互转换。例如，在量子隐形传态（quantum teleportation）实验中，爱丽丝和鲍勃的光子偏振（photon polarization）就是这种情况，或者一个光子的偏振和一个电子的自旋，它们都对应于同一个量子系统，即量子比特（qubit）。操作等价系统概念的正式定义将在后续给出。

不同的检验可以组合成一个电路（circuit），它是一个有向无环图，其中链接是系统（方向从左到右，即从输入到输出），节点是检验的方框。对于单次检验实例也可以构建同样的图，只不过网络节点是事件而非检验，对应于所有检验的一个联合结果。

电路图正是通过以下规则精确获得的。

检验的顺序组合（Sequential Composition of Tests）当检验 $\{{\mathcal{C}}_{x} \}_{x \in \mathrm{X}}$ 的输出系统和检验 $\{\mathcal{D}_{y} \}_{y \in \mathrm{Y}}$ 的输入系统相同时，这两个检验可以按顺序组合如下：

$$ \begin{array}{r l} \frac{\textup{\texttt{A}} \displaystyle \left[ \{{\mathcal C}_{x} \}_{x \in{\mathbb X}} \right] - \textup{\texttt{B}} \displaystyle \left[ \{{\mathcal D}_{y} \}_{y \in{\mathbb Y}} \right] - \textup{\texttt{C}}} {\displaystyle \quad = : \quad \frac{\textup{\texttt{A}} \displaystyle \left[ \{{\mathcal E}_{( x , y )} \}_{( x , y ) \in{\mathbb X} \times{\mathbb Y}} \right] - \textup{\texttt{C}}} {\displaystyle \left[ \{{\mathcal E}_{( x , y )} \}_{( y ) \in{\mathbb X} \times{\mathbb Y}} \right] - \textup{\texttt{C}}} ,} \end{array} $$

得到检验 $\{{\mathcal{E}}_{( x , y )} \}_{( x , y ) \in \mathrm{X} \times \mathrm{Y}}$，称为 $\{{\mathcal{C}}_{x} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 和 $\{\mathcal{D}_{y} \}_{y \in \mathrm{Y}}$ 的顺序组合。在公式中，我们也会写成 $\mathcal{E}_{( x , y )} : = \mathcal{D}_{y} \mathcal{C}_{x}$。

单位检验（Identity Test）对于每个系统 A，可以执行单位检验（简称单位元），该检验“让系统保持不变”。形式上，这是一个确定性检验 $\mathcal{T}_{\mathrm{A}}$，满足性质

$$ \begin{array}{r} {\frac{\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ A ~} ~}} {\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ Z ~ A ~} ~}} \frac{\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ A ~} ~}} {\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ C ~} ~}} \frac{\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ B ~} ~}} {\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ B ~} ~}}} {\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ \Lambda ~} ~}} = \frac{\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ A ~} ~}} {\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ C ~} ~}} \frac{\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ B ~} ~}} {\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ B ~} ~}} , \end{array} $$$$ \begin{array}{r l r} {\frac{\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ B ~} ~}} {\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ D ~} ~}} \frac{\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ A ~} ~}} {\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ Z ~} ~}_{\mathrm{{A}}}} \frac{\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ A ~} ~}} {\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ A ~} ~}}} & {=} & {\frac{\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ B ~} ~}} {\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ D ~} ~}} \frac{\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ A ~} ~}} {\mathrm{~ ~ {~ \cal ~ A ~} ~}} ,} \end{array} $$

其中上述等式必须对任意事件和 $\begin{array}{r} {\frac{\textbf{B}} {\textbf{\partial}} \sqrt{\mathcal{D} \left| \frac{\textbf{A}} {\textbf{\partial}} \right|}} \end$ 成立。在无歧义时，$\mathcal{T}_{\mathrm{A}}$ 的下标 A 将被省略。

操作等价系统 我们称两个系统 A 和 $\mathrm{A}^{\prime}$ 是操作等价的——记作 $\mathrm{A}^{\prime} \simeq \mathrm{A}$ 或简写为 $\mathbf{A}^{\prime} = \mathbf{A}$——如果存在两个确定性事件（deterministic events）$\mathrm{~ \frac{~ A ~} {~} ~} \boxed{{\mathcal U}} \mathrm{~ \frac{~ A ~ ^{\prime} ~} {~} ~}$ 和 $\overline{{| \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{\partial} \mathcal{V} | \mathbf{A}}}$ 使得

$$ \begin{array}{r l r} {\frac{\mathrm{~ ~ {~ A ~} ~}} {\bigcup} \sqrt{\mathcal{U}} \frac{\mathrm{~ ~ {~ A ~} ~}^{\prime}} {\bigcup} \sqrt{\mathcal{V}} \frac{\mathrm{~ ~ {~ A ~} ~}} {\bigcup}} & {=} & {\frac{\mathrm{~ ~ {~ A ~} ~}} {\bigcup} \sqrt{\mathcal{T}} \frac{\mathrm{~ ~ {~ A ~} ~}} {\bigcap} ,} \end{array} $$$$ \begin{array}{r l r} {\frac{\mathrm{~ \cal ~ A^{\prime} ~}} {\mathrm{~ \cal ~ V}} \overline{{{\bf \Psi}}} \overline{{{\bf \Psi}}} \overline{{{\bf \Psi}}} \overline{{{\bf \Psi}}} \overline{{{\bf \Psi}}} \overline{{{\bf \Psi}}}} & {{} =} & {\frac{\mathrm{~ \cal ~ A^{\prime} ~}} {\mathrm{~ \cal ~ T ~}} \overline{{{\bf \Psi}}} \overline{{{\bf \Psi}}} \overline{{{\bf \Psi}}} \overline{{{\bf \Psi}}} \overline{{{\bf \Psi}}} \overline{{{\bf \Psi}}}} \end{array} . $$

相应地，如果 $\{{\mathcal{C}} \}_{i \in{\mathrm{X}}}$ 是系统 A 的一个测试（test），那么在系统 $\mathrm{A}^{\prime}$ 上执行一个等价测试意味着执行定义为下式的测试 $\{{\mathcal{C}}_{x}^{\prime} \}_{x \in \mathrm{X}}$

$$ \begin{array}{r l r} {\frac{\mathrm{~ \cal ~ A ~}^{\prime}} {\longrightarrow} \boxed{\mathcal{C}_{x}^{\prime}} \frac{\mathrm{~ \cal ~ A ~}^{\prime}} {\longrightarrow}} & {=} & {\frac{\mathrm{~ \cal ~ A ~}^{\prime}} {\longrightarrow} \boxed{\mathcal{V}} \frac{\mathrm{~ \cal ~ A ~}} {\longrightarrow} \boxed{\mathcal{C}_{x}} \frac{\mathrm{~ \cal ~ A ~}} {\longrightarrow} \boxed{\mathcal{U}} \frac{\mathrm{~ \cal ~ A ~}^{\prime}} {\longrightarrow} .} \end{array} $$

复合系统 给定两个系统 A 和 B，可以将它们组合成一个单一的复合系统 AB。通常，系统 AB 与系统 BA 操作等价，下面我们将它们视为同一系统。这意味着系统组合是可交换的（commutative），²

$$ \mathrm{AB} = \mathrm{BA} . $$

如果某个系统在系统组合中相当于恒等（identity）作用，我们称之为平凡系统（trivial system），并用字母 I 表示，即

$$ \mathrm{AI} = \mathrm{IA} = \mathrm{A} . $$

平凡系统相当于没有系统，即 I 不携带任何信息。

最后，我们要求系统组合是结合的（associative），即

$$ \mathrm{A ( B C )} = \mathrm{( A B ) C} . $$

换句话说，如果我们在多个系统上迭代组合，最终得到的复合系统只取决于组成部分，而不取决于具体的组合顺序。因此，系统构成一个阿贝尔幺半群（Abelian monoid）。输入系统为 AB、输出系统为 CD 的测试代表一个相互作用过程（参见下面的测试的并行组合）。

测试的并行组合 任意两个测试 $\begin{array}{r} \frac{\textsf{A}} {\sqrt{\{\mathscr{C}_{x} \}_{x \in \mathrm{X}}}} \boxed{\textsf{B}} \frac{\textsf{C}} {\lceil \mathscr{D}_{y} \}_{y \in \mathrm{Y}} \boxed{\textsf{D}}} \end$ 可以如下并行组合：

$$ \begin{array}{r l} {\frac{\textup{\texttt{A}} \left[ \{{\mathcal{C}}_{x} \}_{x \in{\mathrm{X}}} \right] \textup{\texttt{B}}} {\textup{\texttt{C}} \left[ \{{\mathcal{D}}_{y} \}_{y \in{\mathrm{Y}}} \right] \textup{\texttt{D}}}} & {= : \quad \frac{\mathrm{AC}} {\textup{\texttt{A}} \left[ \{{\mathcal{F}}_{( x , y )} \}_{( x , y ) \in{\mathrm{X}} \times \mathrm{Y}} \right] \mathrm{\texttt{B D}}} .} \end{array} $$

测试 $\underline{{\mathrm{AC}}} \sqrt{\{\mathcal{F}_{( x , y )} \}_{( x , y ) \in \mathrm{X} \times \mathrm{Y}}} \bigg | \frac{\mathrm{BD}} {\mathrm{BD}}$ 是测试 $\frac{\textbf{A}} {\textbf{\{} \mathcal{C}_{x} \}_{x \in \mathbb{X}}} \textbf{B}$ 和 $\frac{\mathrm{~ c ~}} {\vert \sqrt{D_{y} \vert_{y \in \mathrm{Y}} \vert \frac{\mathrm{~ D ~}} {\vert \tau \vert}}}$ 的并行组合。测试的并行和顺序组合是可交换的，即满足

$$ \begin{array}{r l} & {\frac{\mathbf{A} \overset{\top} {\cdot}} {| \mathbf{\frac{\big [} {\mathcal{C}_{z} \big ]} {| \mathbf{\frac{\omega} {| \omega |}} + \underbrace{\overset{\top} {\cdot}} {| \mathbf{\frac{\big [} {\mathcal{A}_{x} \big ]} \mathcal{T} |}}}}} \frac{- \mathbf{\omega}} {| \mathbf{\frac{\omega} {| \omega |}} - \underbrace{\frac{\mathbf{A} \overset{\top} {\cdot}} {| \mathbf{\mathcal{C}_{z}} |}} \frac{- \mathbf{\omega} - \mathbf{\omega} - \mathbf{\omega}} {| \mathbf{\mathcal{A}}_{x} \big ] | _{\mathbf{\omega}}}} \\ & {\qquad | \mathbf{\omega} | \qquad | \mathbf{\omega} |} \\ & {\frac{\mathrm{| \omega |}} {| \mathbf{\omega} | + \underbrace{| \mathbf{\omega} |} + \underbrace{| \mathbf{\omega} |}_{| \mathbf{\omega} |}} \frac{| \mathbf{\omega} |} {| \mathbf{\omega} |}} \frac{\mathrm{D} \overset{\top} {\cdot}} {| \mathbf{\omega} | - \underbrace{\frac{\mathbf{\omega}} {| \mathbf{\mathcal{B}_{y}} |} \left[ \frac{\mathbf{\omega} - \mathbf{\omega} - \mathbf{\omega}} {| \mathbf{\mathcal{D}_{w}} |} \right]_{\mathbf{\omega}}}} .} \end{array} $$

当其中一种操作是恒等时，我们省略恒等框，只画一条直线：

$$ {\frac{\ \mathbf{A} \ \left[ {\mathcal{C}}_{x} \right]^{\ \mathbf{B}} \} {\mathbf{C}}} . $$

因此，作为顺序组合和并行组合可交换性的结果，我们有以下恒等式：

$$ \begin{array}{r l r} {\frac{\textsc{a} \sqrt{\mathcal{C}_{x}} \vert \frac{\textsc{b}} {\textsc{c}}} {\textsc{c} \textsc{m} \textsc{m}}} & {=} & {\frac{\textsc{a}} {\textsc{c} \textsc{m}} \frac{\textsc{a}} {\textsc{m} \textsc{m}} .} \end{array} $$

制备测试和观测测试输入系统平凡的测试称为制备测试（preparation test），输出系统平凡的测试称为观测测试（observation test）。它们的表示如下：

$$ \begin{array}{r l r} {\left( \{\rho_{x} \}_{x \in \mathrm{X}} \right]^{\mathrm{~ B ~}}} & {{} : =} & {\frac{\mathrm{~ I ~} \left[ \{\rho_{x} \}_{x \in \mathrm{X}} \right]^{\mathrm{~ B ~}}} {\left[ \{\rho_{x} \}_{x \in \mathrm{X}} \right]^{\mathrm{~ B ~}}} ,} \end{array} $$$$ \begin{array}{r l r} {\frac{\mathrm{~ \cal ~ A ~}} {\mathrm{~ \Gamma ~}} \boxed{\{a_{y} \}_{y \in \Upsilon}}} & {: =} & {\frac{\mathrm{~ \cal ~ A ~}} {\mathrm{~ \Gamma ~}} \boxed{\{a_{y} \}_{y \in \Upsilon}} \frac{\mathrm{~ \cal ~ I ~}} {\mathrm{~ \Gamma ~}} .} \end{array} $$

对应的定域事件称为制备事件（preparation events），而对应的观测事件称为观测事件（observation events）。在公式中，我们也将用$| \rho_{i} )_{\mathrm{A}}$表示制备事件，用$( a_{j} | _{\mathrm{A}}$表示观测事件。

闭合回路 利用上述规则，我们可以构建闭合回路，即没有输入和输出系统的回路。以下电路给出一个例子：

此处我们省略了每个检验的概率空间。

(3.2)

独立系统 对于根据上述规则构造的任意（通常为开放的）回路，如果系统中任意两个系统之间不存在有向路径（即从输入到输出沿箭头方向连接），则称该系统集为独立系统。例如，在式(3.2)中，集合{A, E}、{H, O}、{A, E, H, O}、{A, L}、{A, E, L, P}是独立的，而例如集合{A, M}、{A, B}、{A, E, N}则不是独立的。最大独立系统集称为截面（slice）。

3.2 操作概率理论#

操作概率理论的一般目的是预测和解释与特定连接回路相对应的事件联合概率。如果回路是闭合的，如式(3.2)所示，我们只剩下一个联合概率分布。因此，对于如下闭合事件回路：

(3.3)

我们将关联一个联合概率$p ( i , j , k , l , m , n , p , q )$，并将其视为参数依赖于回路，即对于不同的事件选择或不同的连接，我们将有不同的联合概率。

由于我们只关心联合概率及其对应的回路，我们将构建概率等价类，并定义：

从系统A到系统B的两个事件，如果它们与同一回路中的其他事件以相同的联合概率出现，则它们是等价的。

我们将从A到B的转换（transformation）——记为$\mathcal{A} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A {} B )}$——定义为在以上意义上等价的事件等价类。类似地，我们将检验（test）的等价类称为仪器（instrument），将制备事件等价类称为状态（state），将观测事件等价类称为效果（effect）。我们将系统A的状态集记为$\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$，其效果集记为$\mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$。显然，属于同一等价类中不同元素的输入系统在操作上是等价的，输出系统也是如此。

现在我们可以如下定义操作概率理论：

**操作概率理论（Operational Probabilistic Theory, OPT）**是一个系统与转换的集合，以及系统组合、转换并行与顺序组合的规则。操作概率理论为每个闭合回路分配一个联合概率。

因此，在操作概率理论中，从平凡系统I到自身的每个检验都是联合结果集X上的概率分布$\{p_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$，其中$p ( i ) ~ : = ~ p_{i} ~ \in ~ [ 0 , 1 ]$且$\begin{array}{r} {\sum_{i \in \mathbb{X}} p ( i ) = 1} \end$。从平凡系统到自身的复合事件是独立的，即它们的联合概率由平行和顺序组合中各自概率的乘积给出，即

$$ \underbrace{( \rho_{i_{1}} )^{\mathrm{~ A ~}} [ a_{i_{2}} )}_{( \sigma_{j_{1}} )^{\mathrm{~ B ~}} [ b_{j_{2}} )} = \underbrace{( \rho_{i_{1}} )^{\mathrm{~ A ~}} [ a_{i_{2}} ) ( \overline{{\sigma_{j_{1}}}} ]^{\mathrm{~ B ~}} [ b_{j_{2}} )}_{[ b_{j_{1}} ]^{\mathrm{~ B ~}} [ b_{j_{2}} )} = p ( i_{1} , i_{2} ) q ( j_{1} , j_{2} ) . $$

OPT 的一个特例是确定性 OPT，其中所有概率均为 0 或 1。

3.3 状态（State）与效果（Effect）#

利用转换的并行和顺序组合，我们可以将每个闭合回路视为一个状态与一个效果的组合。这总是可以通过沿一个切片（即一组最大的独立系统）切割回路来实现。例如，式 (3.3) 中的回路可以如下拆分：

因此，它等价于以下状态-效果回路：

$$ \left( ( \Psi_{i} , \mathcal{A}_{j} , \mathcal{B}_{k} , \mathcal{D}_{m} , \mathcal{F}_{p} ) \right) \mod \left( \mathcal{C}_{l} , \mathcal{E}_{n} , \mathrm{G}_{q} \right) $$

这也表明，状态或效果只能针对某个切片上的系统进行定义。

从以上观察可知，任何闭合回路都可以被视为一个制备事件（preparation event）和一个观测事件（observation event）的组合。一个状态是所有制备事件的等价类，这些制备事件与所有可能的效果一起出现时具有相同的概率，反之亦然。因此，状态 $\rho ~ \in ~ \mathsf{St} ( \mathbf{A} )$ 是效果 $\mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$ 上的一个泛函，该泛函用配对 $( a | \rho )$ 表示，其中 $a \in \mathsf E {\mathsf{f}} \mathsf{f} ( \mathbf A )$。通过类似的论证，我们也可以得出结论：效果 $a \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{A} )$ 是状态上的一个泛函。通过对泛函进行线性组合，我们看到 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} ) \ : = \ \mathsf{Span}_{\mathbb{R}} [ \mathsf{St} ( \mathrm{A} ) ]$ 和 $\mathsf{E f f_{\mathbb{R}}} ( \mathrm{A} ) \ : =$ $\mathsf{Span}_{\mathbb{R}} [ \mathsf{Eff} ( \mathrm{A} ) ]$ 是对偶空间，而状态是效果上的正线性泛函，效果是状态上的正线性泛函³。在整本书中，除非另有说明，我们假设向量空间 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 和 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 是有限维的，并记 $D_{\mathsf{A}} : = \mathsf{dim} {\mathsf{S}} {\mathsf{t}}_{\mathbb{R}} ( {\mathsf{A}} ) \equiv{\mathsf{E}} {\mathsf{f}}_{\mathbb{R}} ( {\mathsf{A}} )$，这也被称为系统 A 的大小。在下文中，我们也将用 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 和 $\mathsf{Eff}_{1} ( \mathrm{A} )$ 分别表示确定性状态和确定性效果的集合，并用 $\mathsf{St}_{+} ( \mathsf{A} )$ 和 $\mathsf{Eff}_{+} ( \mathrm{A} )$ 表示分别包含 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 和 Eff(A) 所有元素的圆锥组合（即系数非负的组合）的锥。

根据上述定义，当且仅当存在一个效果，使得在该效果上两个状态的联合概率不同时，这两个状态才是不同的。同样地，当且仅当存在一个状态，使得在该状态上两个效果的概率不同时，这两个效果才是不同的。因此我们得出结论：

状态对效果是分离的，效果对状态也是分离的。

练习 $3.1^{4}$ 设 $( a | \rho ) \neq ( a | \sigma )$。求 $0 \leq q \leq 1$ 和 $0 \leq q^{\prime} \leq 1$，使得

$$ q ( a | \rho ) + q^{\prime} [ 1 - ( a | \rho ) ] > \frac{1} {2} , $$$$ ( 1 - q ) ( a | \sigma ) + ( 1 - q^{\prime} ) [ 1 - ( a | \sigma ) ] > \frac{1} {2} . $$

在这种情况下，存在一种策略可以对两个状态进行区分：

引理 3.1（状态的可区分性） 在任何凸 OPT 中，如果两个状态 $\rho^{( 0 )} , \rho^{( 1 )} \in \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 是不同的（即 $\rho^{( 0 )} \neq \rho^{( 1 )} )$ ），那么就能以严格小于 ${\frac{1}{2}}$ 的错误概率将它们区分开来。

证明对于一对事件 $\rho^{( 0 )} , \rho^{( 1 )}$ 的区分策略，通常必须考虑到这些事件是在两个不同检验 $\{\rho_{0}^{( m )} , \rho_{1}^{( m )} \}$（其中 $m = 0 , 1$，且 $\rho_{0}^{( m )} = \rho^{( m )}$）中非确定性地发生的。这意味着即使互补事件 $\rho_{1}^{( m )}$ 发生，也能从中提取用于区分的信息。换句话说，事件-区分变成了检验-区分。该策略由观测检验（observation test）$\{a_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} ( \mathrm{X} = 0 , 1 )$ 以及一个后处理函数（post-processing function）$p ( m | i , j )$ 提供，该函数对应于在检验 $\{( a_{i} | \rho_{j}^{( m )} ) \}_{i , j \in \mathrm{X}}$ 的结果 $( i , j )$ 条件下推断出第 m 个制备检验的概率。那么，已知检验是第 m 个时，估计值为 l 的概率由下式给出

$$ p ( l | m ) = \sum_{i , j \in \mathrm{X}} p ( l | i , j ) ( a_{i} | \rho_{j}^{( m )} ) . $$

由于效果（effects）对于状态是分离的（separating），存在一个效果 a 使得 $( a | \rho_{0}^{( 0 )} ) \neq ( a | \rho_{0}^{( 1 )} )$。然后可以基于观测检验 $\{a_{0} , a_{1} \}$（其中 $a_{0} = a$）以及条件概率 $p ( 0 | 0 , 0 ) = q , p ( 0 | i , j ) = q^{\prime}$（对于 $( i , j ) \neq ( 0 , 0 )$）和 $p ( 1 | 0 , 0 ) = ( 1 - q ) , p ( 1 | i , j ) = ( 1 - q^{\prime} )$（对于 $( i , j ) \neq ( 0 , 0 )$）来选择一个区分策略。由式 (3.5) 计算得到的 $m = 0 , 1$ 的成功概率为

$$ p ( 0 | 0 ) = q ( a | \rho_{0}^{( 0 )} ) + q^{\prime} [ 1 - ( a | \rho_{0}^{( 0 )} ) ] , $$$$ p ( 1 | 1 ) = ( 1 - q ) ( a | \rho_{0}^{( 1 )} ) + ( 1 - q^{\prime} ) [ 1 - ( a | \rho_{0}^{( 1 )} ) ] . $$

现在可以利用练习 3.1 的结果来结束证明。

显然，对于效果也存在类似的引理，即

引理 3.2（效果的可区分性） 在任何凸 OPT 中，如果两个效果 $a^{( 0 )} , a^{( 1 )} \in \mathsf E \mathsf{f} \mathsf{f} ( \mathrm{A} )$ 是不同的（$\mathsf{i . e .} a^{( 0 )} \neq b^{( 1 )} )$ ），那么就能以严格小于 $\frac{1}{2}$ 的错误概率将它们区分开来。

对于每个系统 A，状态集 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 和效果集 Eff(A) 的凸性选择了一类相关的理论，这些理论被称为凸理论（convex theories）。经典理论和量子理论都是凸的。注意，如果一个理论是凸的，那么我们可以将所有变换集 Transf $( \mathrm{A} \to \mathrm{B} )$ 一致地扩展为它们的凸包（convex hull）Co(Transf(A→ B))。在下文中，当提到凸理论时，我们指的是所有变换集都是凸的理论。

3.4 变换#

从前面的内容可知，以下电路是系统 BFHO 的一个状态：

这意味着任何连接到某个状态输出系统的变换都会将该状态映射为另一个通常具有不同系统的状态。因此，虽然状态和效果互为线性泛函，但我们始终可以将变换视为状态之间的映射。特别地，变换 $\mathcal{T} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A {} B )}$ 总是与一个从 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 到 St(B) 的映射 $\hat{\tau}$ 相关联，该映射唯一地定义为

$$ {\hat{\mathcal{T}}} : | \rho ) \in{\mathsf{St}} ( {\mathrm{A}} ) \mapsto{\hat{\mathcal{T}}} | \rho ) = | {\mathcal{T}} \rho ) \in{\mathsf{St}} ( {\mathrm{B}} ) . $$

类似地，变换可以关联到从 Eff(A) 到 Eff(B) 的映射。映射 $\hat{\tau}$ 可以线性扩展为从 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 到 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathsf{B} )$ 的映射。注意 $\tau$ 的线性扩展（我们将用相同符号表示）是定义良好的。事实上，A 的状态的线性组合为零——即公式 $\textstyle \sum_{i} c_{i} | \rho_{i} ) = 0$ ——当且仅当对于每个 $a ~ \in ~ \mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$ 都有 $\begin{array}{r} {\mathrm{if} \sum_{i} c_{i} ( a | \rho_{i} ) = 0} \end$，且由于对于每个 $b \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$ 我们有 $( b | {\mathcal{T}} \in \mathsf{Eff} ( {\mathrm{A}} )$ ，则 $\begin{array}{r} {( b | \mathcal{T} ( \sum_{i} c_{i} | \rho_{i} ) ) = \sum_{i} c_{i} ( b | \mathcal{T} | \rho_{i} ) = ( b | \sum_{i} c_{i} \mathcal{T} | \rho_{i} ) = 0} \end$ ，最终 $\begin{array}{r} {\sum_{i} c_{i} \mathcal{T} | \rho_{i} ) = 0} \end$

我们想强调，如果两个变换 $\mathcal{T} , \mathcal{T}^{\prime} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} {} \mathrm{B} )$ 对应于从 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 到 St(B) 的相同映射 $\hat{\tau}$ ，这并不意味着这两个变换相同，因为作为等价类，它们必须在所有可能的线路中以相同的联合概率出现。在状态映射方面，变换作为等价类的相同定义对应于：$\tau , \tau^{\prime} \in$ Transf(A→ B) 作为从 AR 状态到 BR 状态的映射，对于理论中所有可能的系统 R 都相同，即 $\mathcal{T} = \mathcal{T}^{\prime} \in$ Transf(A→B) 当且仅当

$$ {\begin{array}{r l} {\forall \mathrm{R} , \forall \Psi \in \mathsf{St} ( \mathrm{AR} )} & {( \Psi | {\frac{\mathbf{A}} {\mathbf{R}}} | {\overline{{\mathcal{T}}}} )^{\frac{\mathbf{B}} {\mathbf{B}}}} \\ & {= ( \Psi | {\frac{\mathbf{A}} {\mathbf{R}}} | ^{\frac{\mathbf{B}} {\mathbf{B}}}} \end{array} = ( {\begin{array}{r} {\mathbf{\Delta} T^{\prime}^{\frac{\mathbf{B}} {\mathbf{B}}}} \\ {\mathbf{\Delta} \mathbf{\Delta} | _{\mathbf{R}}} \end{array} $$

实际上，正如我们将在第 6 章中看到的，在 OPT 中存在一些情况，其中存在变换 $\tau , \tau^{\prime} \in$ Transf(A→ B) 对应于应用至 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 时相同但应用至某些系统 R 的 St(AR) 时却不同的映射。

由于我们可以取线性变换的线性组合，Transf(A→ B) 可以嵌入到向量空间 TransfR $\left( \operatorname{A} \to \operatorname{B} \right)$ 中。确定性变换，其集合记为 Transf $_ 1 ( \mathrm{A} \to \mathrm{B} )$ ，也称为信道（channel）。Transf(A→ B) 元素的锥形生成（conic span）将记为 Transf₊ $( \mathrm{A} \to \mathrm{B} )$

最后，变换 $\mathcal{U} \in \mathsf{T r a n s f ( A \Delta B )}$ 是可逆的（reversible），如果存在另一个变换 $\mathcal{U}^{- 1} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{B} \to \mathrm{A} )$ 使得 ${{\mathcal{U}}^{- 1}} {{\mathcal{U}}} = {{\mathcal{T}}_{\mathrm{A}}}$ 且 $\mathcal{U} \mathcal{U}^{- 1} = \mathcal{T}_{\mathrm{B}}$ 。从 A 到 B 的可逆变换集记为 RevTransf(A→ B)。当 $\mathrm{A} \equiv \mathrm{B}$ 时，可逆变换集 RevTransf(A) 实际上是一个群，也将记为 $\mathbf{G}_{\mathrm{A}}$

3.5 粗粒化与精化#

在处理概率事件时，一个自然的概念是粗粒化（coarse-graining），对应于将多个事件合并为一个事件。根据概率论，粗粒度事件 ${\mathrm{~ S ~}} \subseteq{\mathrm{~ X ~}}$ （结果空间 $\mathrm{X}$ 的子集）的概率是 $\mathrm{S}$ 中元素概率之和，即 $\begin{array}{r} {p ( \mathrm{S} ) = \sum_{i \in \mathrm{S}} p ( i )} \end$ 。相应地，测试 $\{{\mathcal{T}}_{i} \}_{i \in{\mathrm{X}}}$ 的粗粒度事件 $\mathcal{T}_{\mathrm{{S}}}$ 将由下式给出：

$$ \mathcal{T}_{\mathrm{S}} = \sum_{i \in \mathrm{S}} \mathcal{T}_{i} . $$

我们强调，式(3.9)中的等号应理解为式(3.8)意义下的相等。除了粗粒化事件的概念，我们还有粗粒化检验的概念，它对应于由结果空间 $\mathrm{X}$ 的一个划分 $\textrm{X} =$ $\cup_{l \in Z} \mathrm{X}_{l}$ 所构成的粗粒化事件集合 $\{\mathcal{T}_{\mathrm{X}_{l}} \}_{l \in \mathrm{Z}}$，其中对于 $i \neq j$ 有 $\mathbf{X}_{i} \cap \mathbf{X}_{j} = \boldsymbol{\emptyset}$。

粗粒化的逆过程称为精化。如果 $\mathcal{T}_{\mathrm{{S}}}$ 是式(3.9)中的粗粒化，则我们称任何形如 $\textstyle \sum_{i \in \mathbf{S}^{\prime}} {\mathcal{T}}_{i}$（其中 $\mathbf{S}^{\prime} \subseteq \mathbf{S}$）的和式为 $\mathcal{T}_{\mathrm{{S}}}$ 的一个精化。类似概念也可用于检验。直观上，精化另一个检验的检验能提取更详细的信息，即具有更好的"分辨能力"。

精化概念通过事件等价类被翻译到变换（从而也到状态和效应）上。精化和粗粒化在变换集合 Transf(A→ B) 和锥 $\mathsf{Transf}_{+} ( \mathrm{A} \to \mathrm{B} )$ 上定义了一个偏序关系，记作 $\mathcal{D} \prec \mathcal{C}$ 如果 $\mathcal{D}$ 是 $\mathcal{C}$ 的一个精化。这个序对应于由锥 $\mathsf{Transf}_{+} ( \mathrm{A} {} \mathrm{B} )$ 诱导的序，即 $\mathcal{D} \prec \mathcal{C}$ 当且仅当 $\mathcal{C} - \mathcal{D} \in \mathsf{Transf}_{+} ( \mathsf{A} {} \mathsf{B} )$。一个变换称为原子的，如果它只有平凡的精化，即 $\mathcal{C}_{i}$ 精化 $\mathcal{C}$ 意味着 $\mathcal{C}_{i} = p \mathcal{C}$ 对某个概率 $p \geq 0$ 成立。由原子变换组成的检验是一个其"分辨能力"无法进一步改进的检验。

通常参考给定事件的所有可能精化集合是有用的。这个集合称为事件 $\mathcal{C} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A {} B )}$ 的精化集，记作 RefSet( )。公式上，RefSet $( \mathcal{C} ) : = \{\mathcal{D} \in \mathsf{Transf} ( \mathsf{A {} B} ) | \mathcal{D} \prec \mathcal{C} \}$。

在状态的特殊情况下，我们将使用"纯"作为"原子"的同义词。纯态描述了一个提供关于系统制备最大知识的事件，即一种无法进一步精化的知识。

通常，非纯的状态称为混合态。一个重要的概念是内部态。一个状态称为内部的，如果任何其他状态都能精化它：精确地说，$\omega \in \mathsf{St} ( \mathsf{A} )$ 是内部的，如果对于每个 $\rho ~ \in ~ \mathsf{St} ( \mathbf{A} )$，存在一个非零概率 $p > 0$ 使得 $p \rho$ 是 $\omega$ 的一个精化，即 $p \rho \in \mathsf{Re} \mathsf{fSet} ( \omega )$。形容词"内部"具有精确的几何内涵，因为该状态不可能属于 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 的边界。内部态描述了一种对系统制备没有确定知识的情况，即原则上我们不能事先排除任何可能的制备。

练习3.2 证明对于变换 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} \to $ C) 和 $B \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{B} \to \mathrm{D} )$ 的并行复合，有

$$ \mathsf{RefSet}_{\mathbb{R}} ( \varLambda ) \otimes \mathsf{RefSet}_{\mathbb{R}} ( \var B ) \subseteq \mathsf{RefSet}_{\mathbb{R}} ( \varLambda \boxtimes \mathscr{B} ) , $$

其中 RefSet $_{\mathbb{R}} : = \mathsf{Span}_{\mathbb{R}} \mathsf{Re} \mathsf{fSet}$ ，我们引入临时符号来表示事件的并行组合。

3.6 态之间的操作距离#

向量空间 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 可以配备一个自然范数，该范数与构成二元制备检验（binary preparation test）的状态对 $\rho_{0} , \rho_{1}$ 的最优区分方案相关。这类检验的一个特例是具有给定先验概率 $p$ 和 $1 - p$ 的一对确定态（deterministic states），这是量子估计理论中状态区分的典型情形。⁵

给定一个二元制备检验 $\{\rho_{0} , \rho_{1} \} \subseteq \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$，考虑由执行二元观测检验 $\{a_{0} , a_{1} \}$ 构成的状态 $\rho_{0}$ 和 $\rho_{1}$ 的区分策略。定义 $a : = a_{0} + a_{1}$，则区分 $\rho_{0}$ 和 $\rho_{1}$ 的成功概率为：

$$ \begin{array}{l} {{p_{\mathrm{succ}} = p ( 0 , 0 ) + p ( 1 , 1 ) = ( a_{0} | \rho_{0} ) + ( a_{1} | \rho_{1} )}} \\ {{\qquad = ( a | \rho_{0} ) + ( a_{1} | \rho_{1} - \rho_{0} )}} \\ {{\qquad = ( a | \rho_{1} ) + ( a_{0} | \rho_{0} - \rho_{1} )}} \\ {{\qquad = \displaystyle \frac 12 [ 1 + ( a_{1} - a_{0} | \rho_{1} - \rho_{0} ) ] .}} \end{array} $$

如果我们在可能的策略上进行优化（按观测检验 $\{a_{0} , a_{1} \}$ 分类），则得到：

$$ p_{\mathrm{succ}}^{( \mathrm{opt} )} = \frac{1} {2} [ 1 + \| \rho_{1} - \rho_{0} \| ] , $$

其中，元素 $\delta \in{\sf S t_{\mathbb{R}}} ( \mathbf{A} )$ 的操作范数（operational norm） $\|\delta\|$ 定义为：

$$ \begin{array}{r} {\| \delta \| : = \operatorname*{sup}_{\{a_{0} , a_{1} \}} ( a_{0} - a_{1} | \delta ) ,} \end{array} $$

式中 $\{a_{0} , a_{1} \}$ 取遍所有双结果观测检验。关于 $\| \cdot \|$ 这个泛函确实是一个范数的证明，请参见练习3.5。在 $\begin{array}{r} {\mathrm{~ A ~} = \mathrm{~ I ~} ,} \end$ 的特殊情况下，操作范数与绝对值一致：实际上 $\delta \in \mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{I} )$ 仅意味着 $\delta \in \mathbb{R}$，并且由于 $0 , 1 \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{I} ) \subseteq [ 0 , 1 ]$，显然有：

$$ \operatorname*{sup}_{p \in [ 0 , 1 ]} ( 2 p - 1 ) \delta = | \delta | , $$

这对应于当 $\delta < 0$ 时选择 $p = 0$，当 $\delta \geq 0$ 时选择 $p = 1$。

可以容易地证明：

$$ \| \delta \| \leq \operatorname*{sup}_{a_{0} \in \mathsf{EH} ( \mathrm{A} )} ( a_{0} | \delta ) - \operatorname*{inf}_{a_{1} \in \mathsf{EH} ( \mathrm{A} )} ( a_{1} | \delta ) . $$

此外，每当对于每一对确定效应（deterministic effects） $f , f^{\prime} \in \mathsf{Eff}_{1} ( \mathsf{A} )$ 都有 $\left( f | \delta \right) = \left( f^{\prime} | \delta \right)$ 时，反向不等式也成立（见练习3.6）。有两种相关情形满足后一条件：(1) δ 属于确定态的线性张成空间，当 $\rho_{0} , \rho_{1}$ 均与确定态成比例时，$\delta = \rho_{0} - \rho_{1}$ 即属此类；(2) 确定效应 $e_{\mathrm{A}}$ 唯一（这是一类非常重要的理论，称为因果理论（causal theories）；更多细节见第5章）。在这两种情况下，以下恒等式成立：

$$ \| \delta \| = \operatorname*{sup}_{a_{0} \in \mathsf{EH} ( \mathrm{A} )} ( a_{0} | \delta ) - \operatorname*{inf}_{a_{1} \in \mathsf{EH} ( \mathrm{A} )} ( a_{1} | \delta ) . $$

引入范数意味着存在柯西序列 $( \rho_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ ，以及它们的等价关系 $( \rho_{n} )_{n \in \mathbb{N}} \sim ( \sigma_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ 如果 $\begin{array}{r} {\operatorname*{lim}_{n \to \infty} ( \rho_{n} - \sigma_{n} ) = 0} \end$ 。在下文中，我们始终将状态集 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 视为在操作范数（operational norm）下封闭的，即一个巴拿赫空间（Banach space）。这是一个非常自然的假设：存在一个状态序列 $( \rho_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ 收敛于 $\rho \in{\sf S t}_{\mathbb{R}} ( {\sf A} )$ 意味着存在一种能够以任意精度制备 $\rho$ 的程序，因此 $\rho$ 可以被视为一种理想状态（ideal state）。

练习 3.3 证明在一个非确定性的操作概率论理论（non-deterministic operational probabilistic theory）中，可以生成任何有限的概率分布。

练习 3.4 证明在一个非确定性的操作概率论理论中，对于每个确定效应（deterministic effect）$\begin{array}{r l r} {f} & {{} \in} & {\mathsf{Eqf}_{1} ( \mathsf{A} )} \end$ ，都存在所有的观测测试（observation tests）$\{p_{1} f , p_{2} f , \hdots , p_{N} f \}$ ，其中 $\{p_{1} , p_{2} , \dotsc , p_{N} \}$ 是任意概率分布。

练习 3.5 证明在式 (3.12) 中定义的 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 上的泛函 $\| \cdot \|$ 实际上是一个范数，即它满足：

1 $\| \delta \| \geq 0 .$ ，且 $\| \delta \| = 0$ 当且仅当 $\delta = 0 ;$ 2 $\lVert{\boldsymbol{\delta}} + {\boldsymbol{\theta}} \rVert \leq \lVert{\boldsymbol{\delta}} \rVert + \lVert{\boldsymbol{\theta}} \rVert ;$ 3 $\| k \delta \| = | k | \| \delta \| {\mathrm{~ f o r ~}} k \in \mathbb{R} .$

练习 3.6 证明只要对于每一对确定效应 $f , f^{\prime} \in \mathsf E \mathsf{f} \mathsf{f} ( \mathrm{A} )$ 有 $\left( f | \delta \right) = \left( f^{\prime} | \delta \right)$，那么

$$ \| \delta \| = \operatorname*{sup}_{a_{0} \in \mathsf{EH} ( \mathrm{A} )} ( a_{0} | \delta ) - \operatorname*{inf}_{a_{1} \in \mathsf{EH} ( \mathrm{A} )} ( a_{1} | \delta ) . $$

练习 3.7 证明在量子理论中， $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathbf{A} )$ 上的操作范数与迹范数（trace-norm） $\lVert \delta \rVert_{1} : = \operatorname{Tr} | \delta |$ 一致，其中 |δ| 表示系统 A 的算子 $\delta \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 的绝对值。

除了范数的通常性质外，操作范数还满足以下单调性性质。

引理 3.3（操作范数的单调性） 如果 ${\mathcal{C}} \in{\mathsf{Transf}}_{1} ( {\mathsf{A {} B}} )$ 是一个确定变换（deterministic transformation），那么对于每一个 $\delta \in{\sf S t_{\mathbb{R}}} ( \mathrm{A} )$ 有

$$ \| {\mathcal{C}} \delta \| _{\mathrm{B}} \leq \| \delta \| _{\mathrm{A}} . $$

对于可逆变换，等式成立。

证明根据定义，$\begin{array}{r} {\| \mathcal{C} \delta \| _{\mathrm{B}} = \operatorname*{sup}_{b_{1} \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} )} ( b_{1} | _{\mathrm{B}} \mathcal{C} | \delta )_{\mathrm{A}} - \operatorname*{inf}_{b_{0} \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} )} ( b_{0} | _{\mathrm{B}} \mathcal{C} | \delta )_{\mathrm{A}}} \end$。由于 $( b_{1} | _{\mathrm{B}} \mathcal{C}$ 和 $( b_{0} | _{\mathrm{B}} \mathcal{C}$ 是系统 $\mathbf{A}$ 上的效应，故有 $\begin{array}{r} {\| {\mathcal{C}} \delta \| _{\mathrm{B}} \leq \operatorname*{sup}_{a_{1} \in{\sf E H} ( {\sf A} )} ( a_{1} | _{\mathrm{B}} | \delta )_{\mathrm{A}} -} \end$ $\begin{array}{r} {\operatorname*{inf}_{a_{0} \in \mathsf{EH} ( \mathrm{A} )} ( a_{0} | _{\mathrm{A}} | \delta )_{\mathrm{A}} = \| \delta \| _{\mathrm{A}}} \end$。显然，若 $\mathcal{C}$ 可逆，则存在反向界限 $\| \delta \| _{\mathrm{A}} = \| \mathcal{C}^{- 1} \mathcal{C} \delta \| _{\mathrm{A}} \leq \| \mathcal{C} \delta \| _{\mathrm{B}}$，从而证明了等式 $\| \delta \| _{\mathrm{A}} = \| {\mathcal{C}} \delta \| _{\mathrm{B}}$。

3.7 变换与效应的操作距离（Operational Distances for Transformations and Effects）#

与向量空间 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 类似，向量空间 $\mathsf{T r a n s f_{\mathbb{R}} ( A \to B )}$ 也可以配备一个自然范数，该范数与变换对 $\mathcal{A}_{0}$ 和 $\boldsymbol{A}_{1}$ 构成二元检验时的最优区分方案有关。一旦我们有了变换的区分方案，其特例就是效应 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} ) = \mathsf{Transf}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} \to \mathrm{I} )$ 的区分方案。同样，与状态的情况类似，二元检验的一个特例是一对具有给定先验概率 $p$ 和 $1 - p$ 的确定变换（即通道），这是量子估计理论文献中考虑的经典情况。^6

给定一个二元检验 $\{\mathcal{A}_{0} , \mathcal{A}_{1} \}$，区分 $\mathcal{A}_{0}$ 和 $\mathcal{A}_{1}$ 的最优策略是：将它们都应用于处于确定状态 $\rho ~ \in ~ \mathsf{St}_{1} ( \mathsf{AC} )$（包含一个附加系统 C）的系统，然后使用最优策略来区分对应的二元制备检验（binary preparation test）的输出状态 $\{\mathcal{A}_{0} \rho , \mathcal{A}_{1} \rho \}$，最后对所有可能的状态 $\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{AC} )$ 和所有可能的系统 C 进行优化。由于状态区分的最优策略已经在 $\mathsf{Eff}(BC)$ 中的效应上优化过了，这个方案相当于对所有包含变换 $\mathcal{A}_{i} , i = 0 , 1$ 的可能封闭回路（closed circuits）进行优化。该方案导致了最优成功概率

$$ p_{s u c c}^{( o p t )} = \frac{1} {2} ( 1 + \Vert \mathcal{A}_{1} - \mathcal{A}_{0} \Vert_{\mathrm{A , B}} ) , $$

其中，$\mathsf{T r a n s f_{\mathbb{R}} ( A \to B )}$ 上的操作范数（operational norm）定义为

$$ \| \Delta \| _{\mathrm{A , B}} : = \operatorname*{sup}_{\mathrm{C}} \operatorname*{sup}_{\rho \in \mathbb{S} \mathrm{t}_{1} ( \mathrm{AC} )} \| \Delta \rho \| _{\mathrm{BC}} , \qquad \Delta \in \mathsf{Transf}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} \to \mathrm{B} ) . $$

如下面的习题所示，在量子理论中，操作范数 (3.16) 在薛定谔绘景下退化为金刚范数（diamond norm）^7，或者等价地，在海森堡绘景下退化为完全有界范数（completely bounded norm, CB 范数）。^8

习题 3.8 证明在量子理论的情况下，变换的操作范数与算子映射的完全有界范数一致。

对于输入系统平凡（trivial）的情况 $\mathrm{~ A ~} = \mathrm{~ I ~}$，方程 (3.16) 回到了状态范数的定义；而对于输出系统平凡的情况 $\mathrm{~ B ~} = \mathrm{~ I ~}$，它提供了效应的操作范数，定义为

$$ \| \delta \| _{\mathsf{A} , \mathsf{I}} = \operatorname*{sup}_{\mathbf{C}} \operatorname*{sup}_{\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{AC} )} \| \delta \rho \| _{\mathsf{C}} \qquad \delta \in \mathsf{EH}_{\mathbb{R}} ( \mathbf{A} ) . $$

事实上，在这种情况下不需要引入辅助系统C，如下面练习所示。

练习3.9 证明 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 上的操作范数（operational norm）由以下表达式给出：

$$ \| \delta \| _{\mathrm{A , I}} = \operatorname*{sup}_{\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )} | ( \delta | \rho )_{\mathrm{A}} | . $$

如练习3.10所示，在量子理论中，效应范数（effect norm）对应于通常的算子范数（operator norm），对于对应 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 的 $\mathsf{Herm} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 而言，这只是算子特征值的最大绝对值。

练习3.10 证明在量子理论情形下，效应的操作范数与通常的算子范数一致。

最后，我们提及变换操作范数的一个一般单调性性质。

引理3.4（变换操作范数的单调性）若 ${\mathcal{C}} \in{\mathsf{Transf}}_{1} ( {\mathsf{A {} B}} )$ 和 $\mathcal{E} \in \mathsf{Transf}_{1} ( \mathrm{C} \to \mathrm{D} )$ 是两个确定性变换（deterministic transformation），则对每个 $\Delta \in$ Trans $\mathfrak{f}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{B} \to \mathrm{C} )$ 有

$$ \| {\mathcal{E}} \Delta{\mathcal{C}} \| _{\mathrm{A , D}} \leq \| \Delta \| _{\mathrm{B , C}} . $$

对于可逆变换，等式成立。

证明设 R 为一个辅助系统，且 $\rho ~ \in ~ \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{AR} )$ 为 AR 的一个归一化状态。由于 $| \sigma )_{\mathrm{BR}} ~ = ~ \mathcal{C} | \rho )_{\mathrm{AR}}$ 是 BR 的一个归一化状态，我们有 $\| \mathcal{E} \Delta \mathcal{C} \| _{\mathrm{A , D}} ~ =$ $\begin{array}{r} {\operatorname*{sup}_{\mathrm{R}} \operatorname*{sup}_{\rho \in \mathrm{St}_{1} ( \mathrm{AR} )} \| {\mathcal E} \Delta{\mathcal C} \rho \| _{\mathrm{DR}} \ \leq \ \operatorname*{sup}_{\mathrm{R}} \operatorname*{sup}_{\sigma \in \mathrm{St}_{1} ( \mathrm{BR} )} \| {\mathcal E} \Delta \sigma \| _{\mathrm{DR}}} \end$ 。现在，利用引理3.3我们得到 $\| \mathcal{E} \Delta \sigma \| _{\mathrm{DR}} \le \| \Delta \sigma \| _{\mathrm{CR}}$ 。因此，$\begin{array}{r} {\| \mathcal{E} \Delta \mathcal{C} \| _{\mathrm{A , D}} \ \leq \ \operatorname*{sup}_{\mathrm{R}} \operatorname*{sup}_{\sigma \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{BR} )} \| \Delta \sigma \| _{\mathrm{CR}} =} \end$ $\| \Delta \| _{\mathrm{B , C}}$ 。显然，如果和都是可逆的，我们还有反向不等式 $\| \Delta \| _{\mathrm{B , C}} =$ $\| {\mathcal{E}}^{- 1} ( {\mathcal{E}} \Delta{\mathcal{C}} ) {\mathcal{C}}^{- 1} \| _{\mathrm{B , C}} \leq \| {\mathcal{E}} \Delta{\mathcal{C}} \| _{\mathrm{A , D}}$ ，从而证明了等式成立。

3.8 本章小结#

在本章中，我们介绍了操作概率理论（Operational Probabilistic Theories, OPT）的一般框架。操作概率理论由两个主要要素刻画：操作语言（operational language）和概率结构（probabilistic structure）。前者借助通用信息处理回路为事件提供了连接规则。后者设定了评估事件联合概率的规则。这两个概念共同构成了量子理论原理阐述的背景。我们还看到了理论的主要对象——态（states）、效应（effects）和变换（transformations）——如何自然地配备用一种度量结构（metric structure），该结构直接源自其操作意义。

注释#

操作概率理论 OPT的当前表述最初见于Chiribella等人(2010b)的著作。回路框架与量子计算中使用的符号非常相似。其数学表述对应于对称幺半范畴论（symmetric monoidal category theory）(Joyal and Street, 1991)，回路框架是该理论的一种忠实阐释。关于范畴论的著作可参见参考文献Mac Lane (1978)。关于图形演算的深入讨论，Penrose (1971)是一篇有趣的讲座。我们也推荐Coecke (2006)和Selinger (2011)中的优美导论。

关于平凡系统具有平凡输入系统的事件不应被解释为“从无中创造信息”，而应被理解为对系统制备的一种认知，对应于遗忘先前的演化。类似地，具有平凡输出系统的事件不应被解释为“系统的毁灭”，而应被简单地视为在其输出端发生的事件不被考虑。简而言之，OPT是一种输入-输出描述。这是科学理论的核心：基于先验知识做出预测。

在量子理论中，平凡系统 I 由一维希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{I}} = \mathbb{C}$ 表示，对应于零量子比特。在经典理论中，对应于零比特的平凡系统与线性空间 $\mathbb{R}$ 相关联，其凸状态集为 $\mathsf{S}_{1}^{1} \sim \mathsf{S}^{0}$（见第2.9节），这是一个单点集。在一般的OPT中，平凡系统 I 有 $\mathbf{S} \mathbf{t}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{I} ) = \mathbb{R}$，对应于一个确定性态和一个概率态区间 $p \in ( 0 , 1 ]$。即使在对应于 ${\mathsf{St}} ( \mathrm{I} ) = \{1 \}$ 的确定性理论这种特殊情况下，仍有 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{I} ) = \mathbb{R}$。对于任何OPT，I 的态仅仅是概率。

概率与闭合电路根据概率论的定义，只有闭合电路——即输入和输出系统均为平凡系统（trivial system）的电路——才对应一个概率分布。考虑到经典理论和量子理论，人们通常会期待一个允许仅在制备（preparation）存在时定义概率的定义，即无需指定最终观测，正如最常见场景中那样。然而，在下一章中我们将看到，这种特性源于理论的一个关键性质：因果性（causality）。相反，在没有因果性的理论中，如果输出系统不是平凡的，就无法将概率与电路中的事件关联起来。

量子理论中的迹范数在量子理论中，操作范数（operational norm）是通常的迹范数（trace-norm）$\lVert \cdot \rVert_{1}$。事实上，量子理论对于每个系统A都有一个唯一的确定性效应（deterministic effect），由$\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$上的恒等算子$I_{\mathrm{A}}$表示，并且等式(3.14)成立。若将厄米算子$\delta$的正部和负部分别记作$\delta_{+}$和$\delta_{-}$，则有$\| \delta \| =$ $\mathrm{Tr} [ \delta_{+} ] - \mathrm{Tr} [ \delta_{-} ] = \lVert \delta \rVert_{1}$（参见练习3.7）。

区分与成功概率根据(3.11)，成功概率总是大于${\frac{1} {2}}$，除了$\| \rho_{1} - \rho_{0} \| = 0$的情形（即$\rho_{1} = \rho_{0}$）。成功概率严格大于$\frac{1} {2}$确实是任何合理的区分（discrimination）定义的一个关键特征。注意，通过交换推断策略（即重新标记结果$a_{0}^{\prime} : = a_{1}$和$a_{1}^{\prime} : = a_{0}$），总可以使成功概率不小于$\frac{1} {2}$。成功概率恰好等于$\frac{1} {2}$的情形对应于无法比随机猜测做得更好的情况，而这只有在$\rho_{0} = \rho_{1}$时才会发生。

关于操作范数本章中针对态（states）、效应（effects）和变换（transformations）引入的操作范数，仅限于被区分的对象构成一个测试（test）的情形。两个对象各自属于不同测试的一般情形（如引理3.1中）仍是一个开放问题（无论如何，引理3.1在第6章关于局部可分辨性（local discriminability）的讨论中是必需的）。如前所述，对于与确定性态或确定性变换成比例的状态或变换，总可以通过用先验概率（prior probabilities）重新缩放态或变换，来引入一个测试。

问题#

3.1 在最简单的确定性态情形下证明引理3.1。更确切地说，证明在任何凸理论（convex theory）中，对于任意两个不同的确定性态$\rho_{0} \neq \rho_{1} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$，存在一个二元测试（binary test）$\{a_{0} , a_{1} \}$，其错误概率严格小于$1 / 2$，即

$$ p ( 1 | 0 ) = p ( 0 | 1 ) < \frac{1} {2} . $$

以 $\begin{array}{r} {p ( i | j ) = p ( i , j ) / \sum_{l} p ( l , j )} \end$ 条件概率，以及 $p ( i , j ) = ( a_{i} | \rho_{j} )$

部分精选习题解答#

习题 3.2#

根据定义，对于 $\mathcal{X} \in \mathsf{RefSet} \mathcal{A}$ 和 $\mathcal{V} \in \mathsf{RefSet} \boldsymbol{B}$，存在 $\mathcal{X}^{\prime} \in$ RefSet 和 $\mathcal{V}^{\prime} \in$ RefSet，使得 $\mathcal{X} + \mathcal{X}^{\prime} = \mathcal{A}$ 和 $\mathcal{V} + \mathcal{V}^{\prime} = \mathcal{B}$。那么，如果我们定义 $\mathcal{W} : =$ $\mathcal{X} \boxtimes \mathcal{Y}^{\prime} + \mathcal{X}^{\prime} \boxtimes \mathcal{Y} + \mathcal{X}^{\prime} \boxtimes \mathcal{Y}^{\prime}$，显然有 $\mathcal{X} \boxtimes \mathcal{Y} + \mathcal{W} = \mathcal{A} \boxtimes \mathcal{B}$。这证明了所有变换 $\mathcal{X} \boxtimes \mathcal{V}$ 都属于 RefSet $( A \boxtimes B )$。因此，$\mathsf{Span}_{\mathbb{R}} ( \mathsf{RefSet} \mathcal{A} \boxtimes \mathsf{RefSet} \mathcal{B} ) \subseteq$ $\mathsf{Span}_{\mathbb{R}} \mathsf{RefSet} \left( \mathcal{A} \boxtimes \mathcal{B} \right)$。最后，由变换的并行组合的线性性，我们有 $\mathsf{Span}_{\mathbb{R}}$ (RefSet RefSet $B ) \equiv \mathsf{S p a n_{\mathbb{R}}}$ RefSet $( \mathcal{A} ) \otimes \mathsf{S p a n_{\mathbb{R}}}$ RefSet ( )。我们由此得到了式(3.10)。特别地，对于态 $\rho \otimes \sigma \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{AB}} )$

$$ \mathsf{RefSet}_{\mathbb{R}^{\rho}} \otimes \mathsf{RefSet}_{\mathbb{R}^{\sigma}} \subseteq \mathsf{RefSet}_{\mathbb{R}} ( \rho \boxtimes \sigma ) . $$

第 3.3 题#

首先，我们注意到，由于该理论不是确定性的，平凡系统至少存在一个变换 $p_{0} = p$，使得 $0 < p < 1$。其补变换则为 $p_{1} = 1 - p$。现在可以证明，任意一个满足 $0 < p_{0} < 1$ 的测试 $\{p_{0} , p_{1} \}$ 可以按下述方式用于产生一个分布 $\left\{\begin{array}{l l} {{\frac{1} {2}} , {\frac{1} {2}}} \end{array} \right\}$：考虑并行复合测试 $\{p_{s} \}_{s \in \{0 , 1 \}^{N}}$，其中 $s$ 是二进制字符串。得到全 $0$ 串 $s = 00 \dots 0$ 或全 $1$ 串 $s = 11 \dots 1$ 的概率为 $2 \varepsilon_{N} : = p_{0}^{N} + p_{1}^{N}$，且随着 $N$ 增大呈指数衰减。剩下的字符串则至少包含一对相邻的相反比特，即 $s_{j} = 0$ 且 $s_{j + 1} = 1$ 或其逆，其中 $s_{j}$ 表示第 $j$ 个比特。对于每一个这样的字符串，我们取最小的 $j$ 使得 $s_{j} \neq s_{j + 1}$，并根据 $s_{j} = 0$ 还是 $s_{j} = 1$ 将字符串分为两个集合 $S_{0}^{N} , S_{1}^{N}$。然后，我们可以考虑具有事件 $\{2 \varepsilon_{N} , p_{S_{0}^{N}} , p_{S_{1}^{N}} \}$ 的粗粒化。由于对于 $S_{0}^{N}$ 中的每一个字符串，只需交换 $s_{j}^{\prime} : = s_{j + 1}$ 和 $s_{j + 1}^{\prime} : = s_{j}$，即可得到 $S_{1}^{N}$ 中一个具有相同概率的字符串，因此我们得出结论 $\begin{array}{r} {p_{S_{0}} = p_{S_{1}} = \frac{1} {2} - \varepsilon_{N}} \end$。由于根据假设，集合 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 是闭集，并且我们刚刚展示了如何构造系统 I 的一系列事件 ${p}_{S_{0}^{N}}$，使得 $\lim_{N \to \infty} \| {\frac{1} {2}} - p_{S_{0}^{N}} \| = 0$，因此我们得出结论：事件 $\frac{1} {2}$ 是系统 I 的一个状态。最后，一旦我们有了制备测试 $\{p_{0} , p_{1} \}$，其中 $\begin{array}{r} {p_{0} = p_{1} = \frac{1} {2}} \end$，通过将其并行复合 $N$ 次，并进行适当的粗粒化 $\{q_{N} , 1 - q_{N} \}$，我们可以逼近任意一个制备测试 $\{q , ( 1 - q ) \}$，使得 $\begin{array}{r} {\| q - q_{N} \| < \frac{1} {2^{N}}} \end$。再次利用 $\mathsf{St(I)}$ 的闭包性，我们便得到所有满足 $q \in [ 0 , 1 ]$ 的制备测试 $\{q , 1 - q \}$。最后，系统 I 的任意制备测试 $\{p_{1} , p_{2} , \dotsc , p_{N} \}$ 都可以通过布尔分布（binary distributions）的并行复合和粗粒化得到。

第 3.4 题#

令 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$。为了实现观测测试 $\{p_{1} f , p_{2} f , \dotsc , p_{N} f \}$，只需取并行复合 $p_{i} \otimes \rho$，然后应用确定性观测测试 $1 \otimes f$，得到 $( 1 | p_{i} ) ( f | \rho ) = p_{i} ( f | \rho ) = ( p_{i} f | \rho )$。

第 3.5 题#

对于任意确定性效应 $f$，取 $\textstyle a_{0} = a_{1} = {\frac{1} {2}} f$ 提供了下界 $\| \delta \| \ge 0$。此外，如果 $\| \delta \| = 0$，那么对于任意二元观测测试 $\{a , b \}$，有 $( a | \delta ) \leq ( b | \delta )$。但交换 $a$ 和 $b$ 会得到相反的不等式，因此 $( a | \delta ) = ( b | \delta )$。这表明对于确定性效应 $f : = a + b$，有 $( a | \delta ) = \textstyle{\frac{1} {2}} ( f | \delta )$。现在，取观测测试 $\{p f , ( 1 - p ) f \}$，其中 $f = a + b$ 且 $0 \leq p \leq 1$，则对于每个 $0 \le p \le 1$ 有 $( 2 p - 1 ) ( f | \delta ) = 0$，最终得到 $( f | \delta ) = 0$，这意味着对于任意效应 $a$ 都有 $( a | \delta ) = 0$，即 $\delta = 0$。三角不等式可以轻松地由上确界的性质推导如下：

$$ \begin{array}{r l} & {\| \delta + \theta \| = \underset{\{a_{0} , a_{1} \}} {\operatorname*{sup}} ( a_{0} - a_{1} | \delta + \theta ) = \underset{\{a_{0} , a_{1} \}} {\operatorname*{sup}} [ ( a_{0} - a_{1} | \delta ) + ( a_{0} - a_{1} | \theta ) ]} \\ & {\qquad \leq \underset{\{a_{0} , a_{1} \}} {\operatorname*{sup}} ( a_{0} - a_{1} | \delta ) + \underset{\{a_{0} , a_{1} \}} {\operatorname*{sup}} ( a_{0} - a_{1} | \theta ) = \| \delta \| + \| \theta \| .} \end{array} $$

最后，对于 $k \in \mathbb{R}$，我们有

$$ \operatorname*{sup}_{\{a_{0} , a_{1} \}} ( a_{0} - a_{1} | k \delta ) = \left\{{k \operatorname*{sup}_{\{a_{0} , a_{1} \}} ( a_{0} - a_{1} | \delta )} \right. \quad \mathrm{对于~} k \geq 0 , $$

因此得出结论。

习题3.6#

设 $s := \mathsf{sup}_{a_{0} \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )} ( a_{0} | \delta )$ 以及 $i := \mathrm{inf}_{a_{1} \in \mathsf{EH} ( \mathrm{A} )} ( a_{1} | \delta )$。那么 $i = ( f | \delta ) - s$。实际上，如果 $i < ( f | \delta ) - s$，那么根据下确界的定义，存在 $\varepsilon > 0$ 和 $b_{1} \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{A} )$，使得 $i \leq ( b_{1} | \delta ) < i + \varepsilon < ( f | \delta ) - s$。现在，设 $b_{0} + b_{1} = f^{\prime} \in \mathsf{Eff}_{1} ( \mathsf{A} )$。根据假设，$( b_{0} + b_{1} | \delta ) - s = ( f^{\prime} | \delta ) - s = ( f | \delta ) - s > ( b_{1} | \delta )$，这意味着 $( b_{0} | \delta ) > s$，与假设矛盾。

习题3.7#

$\delta \in \mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathsf{A} )$ 中的元素由一个自伴迹类算子 $\delta \in \mathsf{Herm} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 表示。利用自伴算子 $\delta = \delta_{+} - \delta_{-}$ 的若尔当分解，其中 $\delta_{\pm}$ 表示 $\delta$ 的正（负）部分，我们有

$$ \begin{array}{r l} & {\| \delta \| = \underset{a \in \mathsf{E}^{\mathsf{ff}} ( \mathrm{A} )} {\operatorname*{sup}} ( a | \delta )_{\mathrm{A}} - \underset{a \in \mathsf{E}^{\mathsf{ff}} ( \mathrm{A} )} {\operatorname*{inf}} ( a | \delta )_{\mathrm{A}}} \\ & {\quad \quad = \underset{0 \leq E_{a} \leq I_{\mathrm{A}}} {\operatorname*{sup}} \operatorname{Tr} [ E_{a} \delta ] - \underset{0 \leq E_{a} \leq I_{\mathrm{A}}} {\operatorname*{inf}} \operatorname{Tr} [ E_{a} \delta ]} \\ & {\quad \quad = \operatorname{Tr} [ P_{+} \delta ] + \operatorname{Tr} [ P_{-} \delta ] = \operatorname{Tr} [ |\delta| ] =: \| \delta \| _{1} ,} \end{array} $$

其中 $E_{a} \in \mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 表示与效应 $a$ 对应的正算子，$P_{\pm}$ 是 $\delta$ 的正（负）特征值所对应的线性空间上的正交投影算子。这个结果也推广到无限维情形，其中 $\delta$ 是迹类算子，这是根据恒等式

$$ \| \delta \| _{1} = \operatorname*{sup}_{\| Y \| \leq 1} | \mathrm{Tr} [ Y \delta ] | , \quad Y \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} ) . $$

习题3.8#

定义式 (3.16) 经过必要的变通，对应于完全有界映射（completely bounded map）⁹ $\mathcal{A} \in \mathsf{Lin} ( \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} ) , \mathsf{Lin} ( \mathcal{K} ) )$ 的 CB 范数（CB norm）：

$$ \| \mathcal{A} \| _{C B} = \operatorname*{sup}_{\mathcal{E}} \operatorname*{sup}_{\| \rho \| _{1} \leq 1} \| \mathcal{A} \otimes \mathcal{Z}_{\mathcal{E}} ( \rho ) \| _{1} , \quad \rho \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} \otimes \mathcal{E} ) . $$

而在海森堡绘景中，则有菱形范数（diamond norm）¹⁰：

$$ \| \mathcal{A}^{\dag} \| _{\diamond} = \operatorname*{sup}_{\mathcal{E}} \operatorname*{sup}_{\| X \| \leq 1} \| \mathcal{A}^{\dag} \otimes \mathcal{Z}_{\mathcal{E}} ( X ) \| , \quad X \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{K} \otimes \mathcal{E} ) . $$

习题3.9#

在式 (3.16) 中取 $\mathsf{C} = \mathsf{I}$ 可得 $\| \delta \| _{\mathrm{A , I}} \geq \operatorname*{sup}_{\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )} \| ( \delta | \rho )_{\mathrm{A}} \| _{\mathrm{I}} = \operatorname*{sup}_{\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )} | ( \delta | \rho )_{\mathrm{A}} |$。这里我们利用了实数 $x \in \mathbb{R} \equiv \mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{I} )$ 的范数由其模给出：$\| x \| _{\mathrm{I}} = | x |$。为了证明式 (3.18) 中的等式，我们现在证明 $\| \delta \| _{\mathrm{A , I}} \leq \mathrm{sup}_{\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathsf{A} )} \left| ( \delta | \rho )_{\mathsf{A}} \right|$。根据状态的操作范数定义式 (3.14)，对于每一个 $\sigma \in \mathsf{St}_{1} ( \mathsf{AC} )$，我们有

$$ \begin{array}{r l} & {\| \delta \sigma \| _{\mathrm{C}} = \underset{c_{1} \in \mathsf{E} \mathsf{f} \mathsf{f} ( \mathrm{A} )} {\operatorname*{sup}} ( \delta | _{\mathrm{A}} ( c_{1} | _{\mathrm{C}} | \sigma )_{\mathrm{AC}} - \underset{c_{0} \in \mathsf{E} \mathsf{f} \mathsf{f} ( \mathrm{A} )} {\operatorname*{inf}} ( \delta | _{\mathrm{A}} ( c_{0} | _{\mathrm{C}} | \sigma )_{\mathrm{AC}}} \\ & {\qquad = \underset{\{c_{0} , c_{1} \}} {\operatorname*{sup}} ( \delta | _{\mathrm{A}} ( c_{1} - c_{0} | _{\mathrm{C}} | \sigma )_{\mathrm{AC}} ,} \end{array} $$

其中最后一个等式中的优化是对系统 C 的所有可能二元测试$\{c_{0} , c_{1} \}$进行的。现在，将观察测试$\{c_{0} , c_{1} \}$应用于二分态$| \sigma )_{\mathrm{AC}}$，我们得到系统 A 的一个制备测试$\{\rho_{0} , \rho_{1} \}$，定义为$| \rho_{i} )_{\mathrm{A}} = ( c_{i} | _{\mathrm{C}} | \sigma )_{\mathrm{AC}} , i = 0 , 1$。定义概率$p_{i} = ( e | \rho_{i} )_{\mathrm{A}}$和归一化态$\bar{\rho}_{i} = \rho_{i} / ( e | \rho_{i} )_{\mathrm{A}}$，则有

$$ \begin{array}{r l} {( \delta | _{\mathrm{A}} ( c_{1} - c_{0} | _{\mathrm{C}} | \sigma )_{\mathrm{AC}} = p_{1} ( \delta | \bar{\rho}_{1} )_{\mathrm{A}} - p_{0} ( \delta | \bar{\rho}_{0} )_{\mathrm{A}}} & {} \\ {\leq \operatorname*{sup} \{( \delta | \bar{\rho}_{1} )_{\mathrm{A}} , - ( \delta | \bar{\rho}_{0} )_{\mathrm{A}} \}} & {} \\ {\leq \underset{\rho \in \mathrm{St}_{1} ( \mathrm{A} )} {\operatorname*{sup}} | ( \delta | \rho )_{\mathrm{A}} | .} \end{array} $$

练习3.10#

在量子理论中，$\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( {\mathrm{A}} )$的元素是自伴算子。式(3.18)中的定义对应于自伴E的以下上确界

$$ \begin{array}{r l} {E \in \mathsf{Herm} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} ) , \quad \| E \| _{\mathrm{A}} : =} & {\underset{\rho \in \mathsf{St} ( \mathrm{A} )} {\operatorname*{sup}} | \mathrm{Tr} [ E \rho ] | = \underset{\rho \geq 0 , \| \rho \| _{1} \leq 1} {\operatorname*{sup}} | \mathrm{Tr} [ E \rho ] |} \\ & {\equiv \underset{\| \rho \| _{1} \leq 1} {\operatorname*{sup}} | \mathrm{Tr} [ E \rho ] | .} \end{array} $$

利用界限$\begin{array}{r} {| {\mathrm{Tr}} [ E \rho ] | \ \leq \ \| E \| \| \rho \| _{1}} \end$可知，上确界在$\rho$为E对应于最大模特征值的本征态时达到。注意，式(3.23)中的最后一个等式可推广到无穷维。

问题3.1#

由于态是可区分的，因此至少存在一个效应a使得$( a | \rho_{0} ) ~ > ~ ( a | \rho_{1} )$。此外，由于理论是凸的，我们可以不失一般性地选择$( a | \rho_{1} ) \geq$ $1 / 2$（如果a不满足此条件，我们可以用凸组合$a^{\prime} = 1 / 2 ( a + e )$替换它）。现在定义二元测试$\{a_{0} , a_{1} \}$如下：

$$ \left\{\begin{array}{l l} {a_{0}} & {= q a} \\ {a_{1}} & {= e - a_{0}} \end{array} \right. \qquad q = \frac{1} {( a | \rho_{0} ) + ( a | \rho_{1} )} < 1 , $$

对于该测试，有$p ( 1 | 0 ) = p ( 0 | 1 ) = ( a | \rho_{1} ) / [ ( a | \rho_{0} ) + ( a | \rho_{1} ) ] < 1 / 2 .$