希尔伯特空间中的量子理论#

毫不意外，我们的语言无法描述原子内部发生的过程，因为正如人们所指出的，语言是为了描述日常生活的经验而发明的……幸运的是，数学不受此限制，而且我们已经能够发明一种数学方案——量子理论——它似乎完全足以处理原子过程。

沃纳·海森堡，《量子理论的物理原理》（1930）

在本章中，我们从三个简单的希尔伯特空间公设出发，基于态、变换和效应这些直观概念，在因果语境下，针对有限个系统和有限维引入量子理论的数学结构。这些概念将在第3章中形式化为一般的非因果语境，该章专门讨论信息框架。我们假设读者具备矩阵分析和希尔伯特空间上算子的基础知识。关于向无穷维、连续结果空间和无穷多个系统的扩展的评论，可参见本章末尾的注释。

从三个简单的希尔伯特空间公设出发，本章提炼出六项原理。在本书第三部分公理化推导中，这些原理将成为量子理论的基础公设。此外，我们将借此机会阐述并探讨该理论的诸多相关特征——包括其凸性和因果结构、Choi-Jamiołkowski同构，以及相关概念（如POVM、映射的完全正性、量子操作与信道、纠缠态、态区分、态层析成像与变换）。纯化原理将引出量子开放系统理论的膨胀定理，以及其他推论（如忠实态与操纵态的存在、无信息无干扰定理、量子隐形传态等）。我们将回顾量子不可克隆与不可编程定理，并最终给出量子信道求逆理论的完整推导——这是量子信息中量子纠错一般理论的支柱。其他有趣的主题包括：经典信息论作为量子信息论的限制，以及对冯·诺依曼公设与可观测量概念的批判性反思。

几则历史记录可于章末注释中查见。许多结果在正文所设习题中推导得出，大部分解答附于章末，读者亦可在该处找到附加问题。

2.1 原始概念#

量子理论是一门关于抽象系统的理论。根据具体语境，该系统可以有不同的物理实现形式，涵盖粒子自旋、轨道自由度，或是电磁场模式。在所有这些场景中，量子理论提供了一种高阶语言，可用于描述物理过程，并对可能实验中的结果概率进行预测。

一门关于抽象系统的理论建立在若干原始概念之上，例如状态、变换与观测。在讨论这些概念如何具体体现于量子理论的数学框架之前，有必要先以通用且独立于理论的方式对其进行阐述。本段所介绍的直观概念，将成为本章后续介绍量子理论的起点，同时也将作为对操作概率论更广泛框架的初步引导，该框架将在第3章中进行正式化。

我们用大写罗马字母表示抽象系统，如 A, B, ..., Z。系统 A 的一个状态——记为 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$——描述了对 A 的一种制备。制备程序可以由实验者实施（例如在碰撞实验中，以一定距离和特定速度制备两辆小车），也可以由自发的物理过程产生（例如通过核聚变制备太阳中微子）。与经典力学中状态知识使我们能够预测系统演化类似，在这里，状态使我们能够预测系统所经历的所有变换和观测的概率。变换 会修改系统的状态，更一般地，它可以产生与输入系统不同的输出系统（例如，考虑化学反应，或原子对光子的吸收）。以 A 为输入、B 为输出的变换记为 $\mathcal{A} \in$ Transf(A→ B)。通常，变换可以概率性地发生。因此，我们应将变换视为一个完备检验 $\{{\mathcal{A}}_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$ 的元素，其中 $j$（属于集合 Y）是检验的结果，并且标记了给定过程中可能发生的所有替代变换。通常，这类检验描述了一个随机执行变换的测量装置，通过相应的结果指示发生了哪种变换。一个状态 $\rho ~ \in ~ \mathsf{St} ( \mathbf{A} )$ 本身可以被视为一种特殊类型的变换，其没有输入系统，输出系统为 A。通常，状态制备是概率性完成的，这意味着我们也应将 $\rho \in$ $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 视为对 A 执行的一个完备检验 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 的元素。这样的检验将被称为制备检验。此外，发生在处于状态 $\rho$ 的系统 A 上的变换 $\mathcal{A} \in \mathsf{T r a n s f ( A \to B )}$ 会导致系统 B 的状态 $\mathcal{A} \rho \in \mathsf{St} ( \mathrm{B} )$ 的制备。

除了制备检验之外，方便起见，我们还要单独区分另一类特殊的检验，这类检验没有输出系统，只提供一个结果。¹ 这类检验将被称为观测检验，观测检验中的每个替代变换将被称为效应。通常，一个观测检验记为 $\{a_{k} \}_{k \in Z}$ ，其中效应 $a_{k}$ 对应于结果 $k \in Z$ 。系统 A 上的效应集记为 Eff(A)。

现在假设一个系统，最初根据制备检验 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 进行制备，然后经历检验 $\{{\mathcal{A}}_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}} ,$ ，接着经历观测检验 $\{a_{k} \}_{k \in Z}$ 。那么，理论的目的就是预测观察到制备 $\rho_{i}$ 、随后发生变换 $\mathcal{A}_{j}$ 以及效应 $a_{k}$ 的概率。我们将此概率记为

或者，在没有变换 $\mathcal{A}_{j}$ 的情况下，$p ( \rho_{i} , a_{k} ) = ( a_{k} \mid \rho_{i} )$ 。注意，由于至少有一个结果序列必然发生，我们有以下归一化条件

由于理论的目的是预测结果的概率，在所有可能的实验中给出相同概率的两个变换将被视为等同。

每个概率论中的一个重要概念是粗粒化。给定一个检验 $\{{\mathcal{A}}_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$ ，我们可以考虑一个粗粒化事件，例如结果 j 属于结果集 Y 的子集 $\mathrm{\Delta V \subseteq Y}$ 的事件。该事件的概率由 V 中所有结果概率之和给出，例如，对于状态 $\rho_{i}$ 和效应 $a_{k}$ ，粗粒化事件 V 的概率为

由于所有变换都由其联合概率完全确定，我们使用上述方程定义粗粒化变换 $\begin{aligned} {A_{\mathrm{V}} : = \sum_{j \in \mathrm{V}} \mathcal{A}_{j}} \end{aligned}$，这里的求和指的是：对于每个状态和每个效应，粗粒化变换的概率等于相应变换的概率之和。

当我们随机选择两个不同的测试并忽略执行了哪个测试的信息时，会出现一种特殊的粗粒化。那么，根据之前粗粒化变换的定义和联合概率的线性性质，以下定义了两个变换的凸组合：

其中 $q \in [ 0 , 1 ]$。同样地，变换 $q {\mathcal{A}}$ 表示所有联合概率按因子 $q$ 缩放的变换。假设所有可能的随机化都能实现，则变换集 $\mathsf{Transf(A\to B)}$ 在凸组合下是封闭的，对于作为特例的状态集 $\mathsf{St(A)}$ 和效应集 $\mathsf{Eff(A)}$ 也是如此。我们得出结论：$\mathsf{Transf(A\to B)}$、$\mathsf{St(A)}$ 和 $\mathsf{Eff(A)}$ 都是凸集。

多个系统，比如 A 和 B，可以通过相互交互被联合制备，将它们视为一个单一的复合（也称为多部分）系统 AB 是很方便的。作用于单个系统的变换 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf(A \to B)}$ 更一般地应被视为在存在其他系统（这些系统将联合记为 R）时作用于系统 A。因此，任何变换 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf(A {\to} B)}$ 实际上是一个变换 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf(AR \to BR)}$，它作用于输入系统 AR 并产生输出系统 BR。然而，保留符号 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf(A {\to} B)}$ 很方便，以强调它仅非平凡地作用于系统 A；而为了强调扩展，我们也会写 $\mathcal{A}_{\mathbb{R}}^{e x t} \in \mathsf{Transf(AR \to BR)}$，或简写为 $\mathcal{A}^{e x t}$。同样地，状态 $\rho \in \mathsf{St}({\mathbb A})$ 和效应 $a \in \mathsf{Eff(A)}$ 应分别被视为变换 $\rho_{\mathrm{R}}^{\mathrm{ext}} \in \mathsf{Transf(R \to AR)}$ 和 $a_{\mathrm{R}}^{\mathrm{ext}} \in \mathsf{Transf(AR \to R)}$。

最后，我们介绍一个特殊要求，它表达了因果性的概念，将在第 5 章中深入讨论。该要求如下：对于每个制备测试 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$，我们要求由方程 (2.1) 得到的边缘概率 $p ( \rho_{i} )$ 仅依赖于特定的制备 $\rho_{i}$，而不依赖于之后执行的其他测试。我们称 $p ( \rho_{i} )$ 为制备 $\rho_{i}$ 的概率。

要求制备概率是良定义的等价于一个观察测试的归一化条件。实际上，制备概率的良定性意味着以下关系：

对于每个状态 $\rho$ 和每个观察测试 $\{a_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$ 成立。该关系等价于归一化条件：

其中 $e_{\mathrm{A}} \in \mathsf{Eff(A)}$ 是一个固定的效应，独立于测试 $\{a_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$。我们称 $e_{\mathrm{A}}$ 为系统 $\mathrm{A}$ 的确定性效应。$^{2}$ 使用确定性效应，我们可以计算一个制备的概率为：

如果概率等于 1，我们就称态 $\rho$ 是确定性的。系统 A 的确定性态集合将记为 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} ) \subseteq \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$（这一记号将扩展到从 A 到 B 的确定性变换，记为 Transf $\left( \mathrm{A} \to \mathrm{B} \right) ,$ ）。

2.2 量子理论的希尔伯特空间假设#

下文中 $\mathcal{H}$ 表示有限维希尔伯特空间。对于 $s > 0$，$\mathsf{B}_{s} ( \mathcal{H} ) : = \{| \lambda \rangle \in \mathcal{H} : \| \lambda \| \ \leq \ s \}$ 表示以 0 向量为中心、半径为 s 的球，而 $\mathsf{S}_{s} ( \mathcal{H} ) : = \{| \lambda \rangle \in{\mathcal{H}} : \| \lambda \| = s \}$ 表示相应的球面。我们用 Lin($\mathcal{H}$) 表示上的线性算子集合，并回忆一下，算子 $A \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} )$ 完全由其对于任意固定 $s > 0$ 在 $\mathsf{S}_{s} ( \mathscr{H} )$ 上的期望值 $\langle \lambda | A | \lambda \rangle$ 所指定。我们还用 $\mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H} ) \subseteq$ Lin($\mathcal{H}$) 表示正算子的凸锥，回忆起算子 $A \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} )$ 是正的——记为 $A \ \geq \ 0$——当 $\langle \lambda | A | \lambda \rangle \geq 0 \forall | \lambda \rangle \in{\mathcal{H}}$。正性的概念在 Lin($\mathcal{H}$) 上建立了偏序 $\geq$，对应于当 $A - B \geq 0$ 时记作 $A \geq B$。

练习 2.1 [极化恒等式] 利用任意两个向量 $| x \rangle , | y \rangle \in{\mathcal{H}}$ 的极化恒等式

证明：算子 $A \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} )$ 完全由其对于任意固定 $s > 0$ 在 $\mathsf{S}_{s} ( \mathscr{H} )$ 上的期望值 $\langle \lambda | A | \lambda \rangle$ 所指定，即对于每个 $\lambda \in \mathsf{S}_{s} ( \mathcal{H} )$，$\langle \lambda | A | \lambda \rangle = 0$ 当且仅当 $A = 0$。

练习 2.2 证明：对态集合 $\{\rho_{i} \}_{i = 1 , \ldots N} \in \mathsf{St} ( \mathsf{A} )$ 及其概率分布 $\mathbf{p} = \{p_{i} \}_{i = 1 , . . . , N}$ 迭代应用式 (2.3)，会得到凸组合的一般形式

并且如果 $\rho_{i} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} ) \forall i = 1 , \ldots , N$，那么也有 $\rho_{\pmb{\mathrm{p}}} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$。

练习 2.3 [偏序] 凸锥 C 是在加法与正实数乘法下封闭的集合。我们总可以将该锥视为嵌入在实向量空间 ${\sf C}_{\mathbb{R}} : = {\sf S p a n}_{\mathbb{R}} ( {\sf C} )$ 中，这对应于将线性正组合扩展到实组合。该锥在 $\mathsf{C}_{\mathbb{R}}$ 上引入了一个偏序 $\geq$，即对于 $a , b \in \mathsf{C}_{\mathbb{R}}$，当 $a - b \in \mathsf C$ 时 $a \geq b$。证明正算子集合 Lin $\mathsf{\Pi}_{+} ( \mathcal{H} )$ 是一个凸锥，从而它在 Lin($\mathcal{H}$) 中建立了一个偏序。

练习 2.4 [泡利矩阵] 证明泡利矩阵

（也记为 $\sigma_{0} = \sigma_{t} , \sigma_{1} = \sigma_{x} , \sigma_{2} = \sigma_{y}$，以及 $\sigma_{3} = \sigma_{z}$）在乘以 $\textstyle{\frac{1} {\sqrt{2}}}$ 后，在具有希尔伯特-施密特标量积 $( A , B ) : = \mathrm{Tr} [ A^{\dagger} B ]$ 的算子希尔伯特空间 $\mathsf{Lin} ( \mathbb{C}^{2} )$ 中构成一组标准正交基，其中 A, $, B \in \mathsf{Lin} ( \mathbb{C}^{2} )$。证明泡利矩阵（除 $\sigma_{t}$ 外）是无迹的、酉的、对合的且自伴的。证明 $X \in \mathsf{Lin} ( \mathbb{C}^{2} )$ 的展开可写为

2.2.1 基本假设#

假设1（系统及其复合）每个系统 A 都对应一个复希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$。系统 A 和 B 的复合系统 AB 对应张量积 $\mathcal{H}_{\mathrm{AB}} = \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{B}}$。

假设2（状态）系统 A 的每个状态 $\omega \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 都对应 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上的一个正算子 $\rho_{\omega}$，满足 Tr $\rho_{\omega} \leq 1$。反之，$\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上的每个此类算子都对应 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 中的一个状态。该对应关系保持凸组合。

假设2中表示状态 ω 的正算子 $\rho_{\omega}$ 称为密度算子或密度矩阵。在不引起混淆的前提下，我们方便地记 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$，同时表示系统 A 的状态及其对应的密度算子，并称 $\rho$ 为量子态。

假设3（无限制假说）所有满足理论中表示变换的数学要求的映射，都是理论的实际变换。

表示变换的数学要求在假设3中未明确给出。这将在后续章节中阐明，届时我们将从假设1-3推导出量子理论的完整数学框架。

练习2.5 [$\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 的凸性] 证明系统 A 的量子态集合是凸的。

练习2.6 证明对于任意 $| \lambda \rangle \in \mathsf{B}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$，秩一正算子 $| \lambda \rangle \langle \lambda |$ 表示 A 的一个状态。

2.3 密度矩阵与 POVM#

引理2.1（效应）每个效应 $a \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{A} )$ 都对应 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上的一个正算子 $E_{a}$，满足 $E_{a} \leq I_{\mathrm{A}}$，其中 $I_{\mathrm{A}}$ 表示 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上的单位算子，代表系统 A 的唯一确定性效应。反之，$\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上的每个算子 $E \leq{I_{\mathrm{A}}}$ 都描述一个效应。状态和效应的联合概率由玻恩规则给出：

其中迹运算是针对系统A的希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 进行的。

证明 根据公设3，系统A状态的每个概率泛函³都是A的一个效应。状态与 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上的正算子对应，而这些正算子张成整个 $\mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$。因此，由粗粒化的线性性，效应可以唯一地扩展为 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上算子的线性泛函。根据Riesz–Frechet表示定理，此类泛函的形式为 Tr(· E)，其中 $E \in{\mathsf{Lin}} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$，⁴并且算子与泛函之间一一对应。⁵ 泛函 $\operatorname{Tr} ( \cdot E )$ 为正且上界为1当且仅当 $0 \leq E \leq I_{\mathrm{A}}$。事实上，对于任意 $| \lambda \rangle \in \mathsf{B}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$，$| \lambda \rangle \langle \lambda |$ 是一个量子态，因此 $\langle \lambda | E | \lambda \rangle = \mathrm{Tr} [ | \lambda \rangle \langle \lambda | E ] \geq 0 \forall | \lambda \rangle \in \mathcal{H}_{\mathrm{A}}$，这意味着E的正性。另一方面，对于 $| \lambda \rangle \in \mathsf{B}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 有 $\langle \lambda | E | \lambda \rangle \leq 1$，这意味着对于 $| \lambda \rangle \in \mathsf{S}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 有 $\langle \lambda | E | \lambda \rangle \leq \langle \lambda | \lambda \rangle$，即 $\langle \lambda | I_{\mathrm{A}} - E | \lambda \rangle \geq 0 ~ \forall | \lambda \rangle \in{\mathcal{H}}_{\mathrm{A}}$，也就是 $E \leq I_{\mathrm{A}}$。算子 $E = I_{\mathrm{A}}$ 是唯一达到上界的，因为对于 $| \lambda \rangle \in \mathsf{S}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$，$\langle \lambda | E | \lambda \rangle = 1$ 意味着 $E = I_{\mathrm{A}}$。最后，每个满足 $0 \leq E \leq I_{\mathrm{A}}$ 的算子E都满足 $0 \leq \langle \lambda | E | \lambda \rangle \leq 1 \forall | \lambda \rangle \in \mathsf{B}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$，因此对于任意 $\rho \ge 0$ 且 $\mathrm{Tr} \rho \leq 1$，有 $0 \leq \mathrm{Tr} [ E \rho ] \leq 1$。于是根据公设3，E代表一个效应。—

因此，系统A的量子效应是形如 Tr[E·] 的概率泛函，其中 $E \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 且 $0 \leq E \leq I_{\mathrm{A}}$，确定性效应由迹给出。因此，根据式(2.5)，态制备概率为

对于状态，我们稍微滥用记号，将任何满足 $0 \leq E \leq I_{\mathrm{A}}$ 的算子 $E \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 称为系统A的量子效应，并记作 $E \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$。

如第2.1节所强调的，效应应被视为 Transf(AR→R) 中的一种变换。因此我们需要检验引理2.1的结果是否可以扩展到任意附加系统R。确实，量子效应 $a \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{A} )$ 可以扩展到从AR到R的变换，即

通过将 $E_{a}$ 扩展为 $E_{a} \otimes I_{\mathrm{R}}$ 并执行偏迹 $\mathrm{T r_{A}}$ 代替全迹Tr。我们有

特别地，系统A的确定性效应为

在第2.3.2节中我们将看到，式(2.10)对应于条件态的概念。

量子态系综 系统A的一个制备检验 $\mathcal{R}$ 准备了A的一个态系综。根据公设2，该检验由 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上的一组密度算子 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 描述，满足归一化条件

这是由式(2.9)得出的，因为它们的制备概率之和必须为1。确定性态为

称为先验态 (prior state)，表示平均制备的状态，即当未读取检验结果 $i \in \mathrm{X}$ 时的预期状态。

文献中通常将态系综表示为确定性态 $\hat{\rho}_{i}$ 及其对应制备概率 $p_{i} > 0$ 的集合 $\{\hat{\rho}_{i} , p_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$。在我们的情形中，只需令 $p_{i} = \operatorname{Tr} \rho_{i} $ 且 $\hat{\rho}_{i} = \rho_{i} / p_{i} , \forall i \in \mathrm{X}$。读者很快会体会到使用非确定性态而非始终采用归一化态所带来的简化。

习题2.7 [$\mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$ 的凸性] 证明给定系统 A 的量子效应集合是凸的。

习题2.8 [平凡量子系统] 证明满足 $\mathcal{H}_{\mathrm{I}} = \mathbb{C}$ 的系统 I 的态与效应均由概率值给出，且系统合成平凡地满足 $\mathrm{AI} = \mathrm{A}$。

习题2.9 [量子比特与布洛赫球] 量子比特 A 是满足 $\dim \mathcal{H}_{\mathrm{A}} = 2$ 的量子系统，它是维度最低的非平凡量子系统。证明其确定性态凸集 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的单位球 $B^{3}$。具体而言，量子比特的任意确定性态均可由 $\mathbb{C}^{2}$ 上的密度算子唯一表示如下：

式(2.12)中的态球称为布洛赫球 (Bloch ball)。极值态（通常称为纯态）对应球面上的点，即布洛赫球面 (Bloch sphere)。

习题2.10 给出量子比特全体概率态 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 的解析表达式。

习题2.11 证明量子比特 A 的效应凸集 $\mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$ 由纺锤形凸集给出

2.3.1 观测检验#

系统 A 上的观测检验 (observation test) $\mathcal{O}$ 是 A 的一组效应，其求和等于确定性效应。根据引理2.1，此类检验由满足恒等式的正算子集合 $\mathcal{O} = \{E_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 描述

这样的正算子集合称为 POVM（概率算子值测度或正算子值测度：见章末注释）。

量子箴言1 (可观测量) 观测检验的一个特例是所谓可观测量 (observable)，对应于由正交投影算子构成的单位分解

可观测量通过将每个结果 $i \in \mathrm{X}$ 与实数值 $x_{i}$ 关联而对应一个随机变量，该值以概率 $p_{i} = {\mathrm{Tr}} [ P_{i} \rho ]$ 出现。当系统处于态 $\rho$ 时，该随机变量的期望由下式给出

其中 $X$ 是一个厄米算符，其谱 $\mathsf{Sp} \left( X \right) = \{x_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 。注意，记号 $\langle X \rangle_{\rho}$ 与随机变量期望的惯用符号一致（因此在文献中同一个大写字母 $X$ 通常既表示厄米算符又表示随机变量），并额外指明该期望依赖于状态 $\rho$ 。

冯·诺依曼可观测量 可观测量 $X$ 的一个特例是冯·诺依曼可观测量，即具有非简并谱 $\mathsf{Sp} \left( X \right)$ 的可观测量。在这种情况下，玻恩规则简化为 $p ( x ) = \langle x | \rho | x \rangle$ ，其中 $x \in{\mathsf{Sp}} \left( X \right)$ 为测量值。

性质 可观测量的另一个特例是对应于系统 A 的一个性质，由一个正交投影算符 $P$ 描述，即一个具有二元本征值 0 和 1 的可观测量，分别对应于正交投影算符 $I_{\mathrm{A}} - P$ 和 $P$ 。当输出 1 确定出现时，我们说系统 A 具有性质 $P$ 。此时其状态 $\rho$ 满足 $\operatorname{Tr} [ \rho P ] = 1$ ，即 $\operatorname{Supp} \rho \subseteq \mathsf{Supp} P . ^{6}$

在文献中，由正交算符构成的单位分解 $\{P_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 也称为 PVM（“投影算符值测度”：另见本章末的注释）。除去具体数值，可观测量仅仅是 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上由正交投影算符构成的单位分解，这是观测检验的一个特例。“测量值”只是通过一个函数 $f : \mathrm{X} \to \mathbb{R}$（称为后处理）对结果进行的重新标记。如果该函数不是一一映射，则可观测量是简并的，即其本征空间的维数大于一。

显然，对于一般的非正交观测检验，也可以像可观测量那样关联一个随机变量。然而，如果 POVM $\{P_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 不是正交的，则随机变量函数的期望值将不等于算符 $f ( X )$ 的期望值。相反，我们有

而等式仅对可观测量成立。

2.3.2 条件态与边缘态#

效应 $( a | _{\mathrm{A}}$ 作用于 AB 上的态，会产生 B 上的一个态，即

态 $| \sigma_{a} )_{\mathrm{B}} \in \mathsf{St} ( \mathrm{B} )$ 被称为条件态。具体而言，式(2.16)中的 $| \sigma_{a} )$ 是根据所执行检验的观测事件 a 条件得出的态。我们可以用图式方程来表示将效应 $a \in \mathsf E \mathsf{ff} ( \mathrm{A} )$ 应用于 $\mathsf{St} ( \mathrm{AB} )$ 中的一个态：

其中从左到右的方向表示从输入到输出。无输入的左圆框表示态，而无输出的右圆框表示效应。

我们将在第 3 章中详细阐述这种图式表示，该章专门讨论信息学框架。目前，我们将使用一些简单的图式作为直观表示，以初步熟悉它们。

练习 2.12 证明式(2.16)中的 $\sigma_{a}$ 是 B 的一个量子态。

由确定效应条件得出的态称为联合态 $| \sigma )_{\mathrm{AB}}$ 中系统 B 的边缘态 $| \sigma )_{\mathrm{B}}$ 。根据式(2.11)，它由密度算符给出

边缘态 $\sigma^{\mathrm{B}} \in \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 允许我们仅针对系统 B 的观测来评估边缘概率，如下所示：

确实如此，当我们对系统 A 的观测检验 $\{a_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 进行边缘化时，我们有

相应地

其中我们使用了式 (2.4)。用图表示，式 (2.17) 变为

系统 B 的边缘态提供了 B 上所有局部观测的期望值，特别是其可观测量的期望值，例如，对于 B 的任意可观测量 X，我们有

2.4 因果性、凸性结构、可区分性#

2.4.1 因果性#

读者可能已经注意到对效应进行边缘化和对态进行边缘化之间的不对称性。考虑一个制备检验 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{{X}}} \subseteq \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 后接一个观测检验 $\{a_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}} \subseteq \mathsf{E} \mathsf{f} \mathsf{f} ( \mathrm{A} )$。玻恩规则 (2.8) 给出联合概率

对态求和得到的边缘概率为

其中 $\textstyle \rho_{\mathrm{X}} : = \sum_{i \in \mathrm{X}} \rho_{i}$ 是该制备检验的先验态。因此，效应的边缘概率取决于所执行的具体制备检验。相反，系综中第 i 个态的制备边缘概率并不依赖于所选择的观测检验 $\{a_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$，因为

因此，量子理论满足以下相关原理。

原理1（因果性） 制备概率与观测选择无关。

原理1成立并不令人意外，因为我们在2.1节定义制备概率 $p ( \rho )$ 为仅依赖于态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( \rho )$ 的函数时就已经假定了这一点。这实际上与我们关于"制备"的直觉一致。然而，在本书第二至第四部分，我们将考虑更一般的概率语境，并在第三章以独立于因果性假设的方式形式化操作概率论的一般框架。我们还将把整个第五章用于讨论一般操作语境下的因果性原理。在那里，我们将重新推导因果性等价于确定性效应的唯一性，并看到它是实现任何概率态确定性的必要条件。我们已经验证了这两个断言在量子理论中均成立：一方面，唯一的确定性效应 $e_{\mathrm{A}}$ 由 $\mathrm{T r_{A}}$ 给出；另一方面，对应于量子态 $\rho ~ \neq ~ 0$，存在唯一的确定性态 $\hat{\rho} = \rho / \mathrm{Tr} \rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$。制备 $\hat{\rho}$ 的过程包括重复 $\rho$ 的制备检验，并在对应结果出现时后验地选择该态。这种称为后选择的过程，通常在不满足因果性的操作概率论中不可用，因为制备概率可能不仅依赖于态 $\rho$，还依赖于观测选择。

2.4.2 凸性插曲#

量子理论的锥结构 在练习2.5和2.7中，我们看到 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 和 $\mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$ 这两个集合都是凸的。它们分别张成相应的凸锥 $\mathsf{St}_{+} ( \mathsf{A} )$ 和 $\mathsf{Eff}_{+} ( \mathrm{A} )$。^{7} 锥 $\mathsf{St}_{+} ( \mathsf{A} )$ 和 $\mathsf{Eff}_{+} ( \mathrm{A} )$ 张成两个实线性空间 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 和 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$。在态-效应配对 $( \cdot | \cdot ) : \mathsf{Eff}_{+} ( \mathrm{A} ) \times \mathsf{St}_{+} ( \mathrm{A} ) \to \mathbb{R}$ 下，两个锥 $\mathsf{St}_{+} ( \mathrm{A} )^{\vee} = \mathsf{Eff}_{+} ( \mathrm{A} )$ 和 $\mathsf{St}_{+} ( \mathrm{A} ) = \mathsf{Eff}_{+} ( \mathrm{A} )^{\vee}$ 互为对偶，因为 $\mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 上的每个正线性泛函都是与 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上正算子的迹（见引理2.1）。相应地，$\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 和 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 作为线性空间也互为对偶。在量子理论中，$\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathbf{A} )$ 和 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$ 都与 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上厄米算子的实线性空间 Herm $( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 一致，而锥 $\mathsf{St}_{+} ( \mathsf{A} )$ 和 $\mathsf{Eff}_{+} ( \mathrm{A} )$ 则与 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上正算子的锥 $\mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 一致。

图2.1 量子系统态和效应的凸结构。这是因果操作概率论的典型凸结构，如第五章所示（见图5.2）。

现在我们可以容易地恢复两个凸集 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 和 $\mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$ 的"形状"。正算子 $\rho \in \mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 的"归一化"条件 ${\mathrm{Tr}} [ \rho ] = q > 0$ 对应于一超平面 $\mathsf{H}_{q}$，该超平面在坐标 $q$ 处垂直于锥 $\mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 的轴。因此，确定态集 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 是正算子锥与 $q = 1$ 处超平面的交集 $\mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} ) \cap \mathsf{H}_{1}$，其自身为一个凸集。故 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 是介于 $q = 1$ 处的超平面 $\mathsf{H}_{1}$ 与零算子（即锥的顶点）之间的平截头锥体。

至于效应的凸集，它是正算子凸锥 $\mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 与支配锥 $\{X \in \mathsf{Herm} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} ) : X \leq I_{\mathrm{A}} \}$ 的交集，结果是一个纺锤形凸集。这两种锥结构如图2.1所示。我们将要在第五章看到，当前态和效应的这种凸结构是所有无限制因果操作概率理论所共有的。

极点和极射线 在下文中，我们将称凸集中任何不能写为集中不同点之凸组合的点为极点。对于凸锥 C，射线是形如 $\mathsf{R}_{\mathsf{p}} : = \{a p , \forall a > 0 \}$ 的集合，其中 $p \in{\mathsf{C}}$。我们也称这个集合为通过点 $p \in{\mathsf{C}}$ 的射线。如果射线上的任何点都不能写为两个不在同一条射线上的点的凸组合，则称该射线为极射线。射线和极射线的定义都对应于常见的几何直觉。在凸锥中，唯一的极点是其尖点，即零点。在事件凸锥中，加法对应于粗粒化。例如，给定某个检验中对应于结果 j = 1 和 j = 2 的两个事件 $x_{1}$ 和 $x_{2}$，我们可以通过取 $x = x_{1} + x_{2}$ 来形成对应于并集结果 $\mathbf{\Phi}^{\left. \bullet \right.} j = 1 \mathrm{~ o r ~} j = 2^{\mathfrak{s}}$ 的事件。

精炼集 粗粒化的逆概念是精炼。对于凸锥 C 中不属于同一条射线（即不成比例）且满足 $x = x_{1} + x_{2}$ 的 $x , x_{1} , x_{2} \in{\textsf{C}}$，我们称 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 都精炼了 $x$。另一方面，如果 $x \in \mathsf{C}$ 不可精炼，即不能写为不在同一条射线上的两个点之和，则称其为原子的。

对于一般的凸集 C，我们也有凸精炼的概念，它用凸组合代替加法来定义。具体地，对于 $x , x_{1} , x_{2} \in{\mathsf{C}}$，其中 $x_{1} \ \ne \ x_{2}$ 且对某个 $0 < a < 1$ 满足 $x = a x_{1} + ( 1 - a ) x_{2}$，我们称 $x_{1} \ ( x_{2} )$ 凸精炼了 $x$。显然，极点 $x \in \mathsf{C}$ 是不可凸精炼的（其凸精炼就是该点本身）。在下文中，当含义从上下文中明确时，我们也用"精炼"一词代替"凸精炼"。

总结如下：

并相应定义：

这两种精化概念均对应于所属集合内的偏序关系。用符号 ≤ 表示该序关系（具体使用哪种序关系将根据上下文明确），我们写作 $y \le x$ 表示 y（凸）精化了 x。具体而言，有

注意在锥的情形下，序关系 ≤ 与算子序关系一致。⁸ 读者可以容易验证这两个关系 $\stackrel{66} {\leq} \stackrel{}$ 均为各自凸集上的偏序。同样，截断凸锥的情形也适用凸锥定义。

下文中，我们将 $x \in{\mathsf{C}}_{+}$ 的精化集——记为 RefSet x——定义为精化 x 的点集；并将 $x \in \mathsf C$ 的凸精化集——记为 $\mathsf{RefSet}_{1} x$——定义为凸精化 x 的点集。当上下文明确时，我们对两种情况也简称为“精化集”。这些概念的图示见图 2.2。

练习 2.13 证明凸集 C 中一点 x 的凸精化集 $\mathsf{RefSet}_{1} \boldsymbol{x}$ 也是凸集。证明凸锥中一点 x 的精化集 RefSet x 是一个"纺锤体"。

当 $x \in \mathsf{C}$ 是凸集 C 的内点（即非边界点）时，有 $\mathsf{RefSet}_{1} x \equiv \mathsf C$，即精化集即为整个凸集。另一方面，当点 x 属于 C 的边界时，其精化集是凸集的一个面，其维数严格小于原凸集的维数。面本身也是凸集。凸集的一个面总是其任意内点的凸精化集。⁹ 对于凸锥，面也是边界点 x 的精化集 RefSet x 的锥包。

图 2.2 精化与凸精化概念图示。左图：凸集为十二面体，位于边界的点 x 的精化集是一个五边形面，其本身也是凸集。右图：锥是底面为多边形的棱锥。对于位于锥边界（即属于某个面）的点 x，其精化集是该面的一个凸子集。

练习 2.14 证明凸集的一个面总是其任意内点的凸精化集。

极值、原子、纯态……根据先前的定义，我们将态、效应或变换称为极值或原子。为与过往文献保持一致，极值态也称为纯态，并且可通过对偶性将此术语扩展至极值效应，后者也可称为纯效应。注意，对应于极值态 $\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$，态 $p \rho \in \mathsf{St} ( \mathsf{A} ) ( 0 < p < 1 )$ 是原子的，因为它属于锥 $\mathsf{St}_{+} ( \mathsf{A} )$ 的一条极值射线。然而，由于它仅与极值归一化态成比例，通过术语的扩展使用，它们也可称为纯态。¹⁰ 由于任何正算子总可以分解为秩一算子之和，容易看出纯态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 的形式为 $\rho = | \lambda \rangle \langle \lambda |$，其中 $| \lambda \rangle \in \mathsf{B}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ （对于确定性态，有 $| \lambda \rangle \in \mathsf{S}_{1}$，即 $\| \lambda \| = 1$）。实际上，算子集 ${\sf R}_{\lambda} : = \lbrace q \vert \lambda \rangle \langle \lambda \vert , q \in$ $[ 0 , + \infty ) \}$ 描述了正算子锥的一条极值射线。确定性效应提供了一个在 Eff(A) 中极值但不是原子的点的例子。图 2.1 中两个锥交集环上的效应也是极值的。

2.5 量子态#

现在我们回到在量子力学基础课程中学到的旧概念：

量子咒语 2（叠加原理）纯确定性量子态与 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 中单位向量模相位因子的等价类相对应，这些向量也称为态向量。以下叠加原理成立：态向量的单位归一化复线性组合本身也是态向量。

注记（纯态的其他分解） 密度矩阵分解为纯态的方式并不唯一：所有分解都通过等距变换相互关联。当连接到一个线性无关的分解时，例如谱分解 $\rho = \textstyle \sum_{i} | \lambda_{i} \rangle \langle \lambda_{i} |$，该等距变换是唯一的。然后容易验证任何其他分解必须具有如下形式

即它通过一个具有正交列的矩阵 V（即等距变换）与最小分解相关联。

练习 2.16 验证方程 (2.18)。

2.5.1 态分离效应，反之亦然#

给定两个态 $\rho_{0} \neq \rho_{1} \in \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$，是否总存在一个观测测试 $\{a_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \subset \mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$ 能够区分它们？如果这样的观测测试存在，它必须至少包含一个效应，比如 $^{a ,}$，该效应在 $\rho_{0} , \rho_{1}$ 上以不同的概率发生。$^{11}$ 那么，当 $( a | \rho_{1} ) \neq ( a | \rho_{0} )$ 时，即该效应在两个态上以不同的联合概率发生时，我们称效应 a 分离了态 $\rho_{0}$ 和 $\rho_{1}$（或者说，效应 $a$ 对态 $\rho_{0} , \rho_{1}$ 是分离的）。感谢极化恒等式，我们可以肯定地回答最初的问题，即给定任意两个不同的态 $\rho_{0} \neq \rho_{1} \in \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$，总存在一个效应 $a \in \mathsf E {\mathsf{f}} \mathsf{f} ( \mathbf A )$ 分离它们。事实上，如果不是这样，就会有

并且由于对于每个 $| \lambda \rangle \in \mathsf{B}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$，$| \lambda \rangle \langle \lambda |$ 都属于 Eff(A)，在方程 (2.19) 中取 $E_{a} ~ = ~ | \lambda \rangle \langle \lambda |$ 将意味着 $\rho_{0} = \rho_{1}$（参见练习 2.1）。

我们还有一个对称的情况，即交换态与效应的角色，也就是我们使用一个态 $\sigma$ 来区分两个效应 $a_{0}$ 和 $a_{1}$。在这种情况下，当 $( a_{0} | \sigma ) \neq ( a_{1} | \sigma )$ 时，即该态作为效应上的泛函对两个效应取不同值时，我们称态 $\sigma$ 分离了这两个效应 $a_{0}$ 和 $a_{1}$。同样在效应的情况下，对于每一对 $a_{0} \neq a_{1} \in \mathsf E \mathsf{f} \mathsf{f} ( \mathrm{A} )$，都存在一个分离的态 $\sigma \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$。

“分离”的概念实际上是一个一般的数学概念，适用于任何集合上的泛函。考虑一个集合 B，并记 $\mathsf{B}^{\vee}$ 为 B 上实泛函的空间。当且仅当 $( a | b_{1} ) \neq ( a | b_{2} )$ 时，我们说泛函 $a \in \mathsf{B}^{\vee}$ 对 $b_{1} \neq b_{2} \in \mathsf{B}$ 是分离的。那么，当以下条件成立时，我们说子集 $\mathsf{A} \subseteq \mathsf{B}^{\mathsf{V}}$ 对 B 是分离的

这等价于说子集 $\mathsf{A} \subseteq \mathsf{B}^{\mathsf{V}}$ 对 B 是分离的当且仅当

当 B 是向量空间时，条件 (2.21) 可改写为

接下来，对于线性空间 B 的给定子集 $\mathsf{A} \subseteq \mathsf{B}$，我们将定义 $\mathsf{A}^{\perp} \subseteq \mathsf{B}^{\vee}$ 为 $\mathsf{A}^{\perp} : = \{a \in \mathsf{B}^{\vee} | ( a | \alpha ) = 0 , \forall \alpha \in \mathsf{A} \}$。由方程 (2.22) 可得，$\mathsf{A} \subseteq \mathsf{B}^{\mathsf{V}}$ 对 B 是分离的当且仅当 ${\mathsf{A}}^{\perp} = \{0 \} \subseteq{\mathsf{B}}$。

我们使用以下两个简单引理。

引理 2.2 设 $\gamma \in \mathsf{B}$，且 X 是线性空间 B 的子空间。如果对所有 $y \in \mathsf{X}^{\perp}$ 都有 $( y | \gamma ) = 0$，则 $\gamma \in{\mathsf{X}}$。

引理 2.3 对于线性空间 B 的给定子集 $\mathsf{A} \subseteq \mathsf{B}$，$\mathsf{A}^{\perp}$ 是一个向量空间，且与 $\mathsf{Span} ( \mathsf{A} )^{\perp}$ 相同。此外，$( \mathsf{A}^{\perp} )^{\perp} \subseteq \mathsf{B}$ 是一个子空间，且与 $\text{Span(A)}$ 相同。

练习 2.17 证明引理 2.2 和 2.3。

利用引理 2.2 和 2.3，我们现在可以证明以下相关引理。

引理 2.4 对于向量空间 B 及其上线性泛函空间 $\mathsf{B}^{\vee}$，集合 $\mathsf{A} \subseteq \mathsf{B}^{\mathsf{V}}$ 对 B 是分离的当且仅当 A 张成 $\mathsf{B}^{\vee}$。

证明 考虑 $\beta \in ( \mathsf{A}^{\perp} )^{\perp}$，即

引理 2.2 意味着 $\beta \in \mathsf{Span} ( \mathsf{A} )$，因此我们有 $( \mathsf{A}^{\perp} )^{\perp} \subseteq \mathsf{Span} ( \mathsf{A} )$，并且引理 2.3 意味着

由于 $\mathsf{A} \subseteq \mathsf{B}^{\mathsf{V}}$ 对 B 是分离的当且仅当 ${\mathsf{A}}^{\perp} = \{0 \} \subseteq{\mathsf{B}}$，且 $\{0 \}^{\perp} = \mathtt{B}^{\vee}$，我们得出结论 $\mathtt{Span} ( \mathtt{A} ) = ( A^{\perp} )^{\perp} = \{0 \}^{\perp} = \mathtt{B}^{\vee}$。

由引理 2.4 还可推知，A 分离 B 当且仅当 $\text{Span A}$ 分离 B，这对线性张成 $\mathsf{Span}_{\mathbb{R}}$ 和锥张成 $\mathsf{Span}_{+}$ 都成立。同样，A 分离 B 当且仅当 A 分离 $\text{Span B}$，这对 $\mathsf{Span}_{\mathbb{R}}$ 和 $\mathsf{Span}_{+}$ 也都成立。最后，上述所有陈述对正线性泛函锥 $\mathsf{B}^{\vee}$ 也成立。

由于对于对偶锥 C 和 ${\mathsf{C}}^{\vee}$，一个锥中与另一个锥所有元素都正交的唯一元素是零向量（锥的顶点），因此锥 C 和 ${\mathsf{C}}^{\vee}$ 互相分离。因此，根据第 2.4 节，态锥与效应锥互为对偶，且 $\mathsf{Span}_{+} \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} ) = \mathsf{Span}_{+} \mathsf{St} ( \mathrm{A} ) = \mathsf{St}_{+} ( \mathrm{A} )$ 和 $\mathsf{Span}_{+} \mathsf{Eff} ( \mathrm{A} ) = \mathsf{Eff}_{+} ( \mathrm{A} )$，我们得出结论：态分离效应，且效应分离态。这意味着总存在一个观测检验来区分两个态，或者一个制备检验来区分两个效应。

练习 2.18 证明纯态分离效应，且原子效应分离态。

我们将那些分解为单系统效应的效应称为局域效应，例如

类似地，我们将那些分解为单系统态的态称为局域态，例如

量子理论的一个重要性质源于公设1中系统复合的张量积结构，具体由以下引理给出。

引理2.5 局域效应能分离联合多体态，局域态能分离联合多体效应。

证明 该证明是引理2.4的直接推论，因为局域效应是所有效应的生成集。更精确地说，有

即局域效应可分离 $\mathsf{Span}_{\mathbb{R}} \mathsf{St} ( \mathsf{AB} )$ ，因此特别地可分离子集 St(AB)。类似地，可证明局域态是所有联合态的生成集。

由上述引理，可得量子理论中如下重要原理。

原理2（局域可分辨性） 任何多体系统的联合态对都可以仅通过局域测量加以分辨。

该原理具有深刻的概念价值，是量子理论的关键性质，极大简化了态和变换集合的结构，并调和了纠缠态的整体论（见2.6节）与基于局域观测的还原论实验方法。该原理将在第6章详细讨论。

2.5.2 态和效应的层析#

在2.5.1节中，我们证明了一个集合 $\mathsf{A} \subseteq \mathsf{B}^{\mathsf{V}}$ 可分离 B 当且仅当 Span A 等于 $\mathsf{B}^{\vee}$ ，这对线性张成 $\mathsf{Span}_{\mathbb{R}}$ 和锥张成 $\mathsf{Span}_{+}$ 均成立。因此，若考虑一个由可分离态的效应集组成的检验 $\{l_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \subseteq \mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$ ，则任意效应 a 可展开如下：

系数 $c_{i} ( a )$ 总可选择为关于 $a$ 线性的，即 $c_{i} \in \mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathbf{A} )$ 。集合 $\{c_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 是 $\{l_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 的对偶集，当 $\{l_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 线性无关时是唯一的。将效应 a 与态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 配对，有

因此，如果我们知道概率 $( l_{i} | \rho )$，我们就知道任意效应 a 在态 $\rho$ 上的概率 $( a | \rho )$，也就是说我们知道了态 $\rho$。事实上，我们可以将态在对偶集 $\left\{c_{i} \right\}$ 上展开为 $\rho = \sum_{i \in \mathrm{X}} ( l_{i} | \rho ) c_{i}$。因此，通过执行观测检验 $\{l_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$，我们可以重建态 $\rho$。我们说我们在对 $\rho$ 进行态层析成像，并将该观测检验 $\{l_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 称为信息完备的。原则上，态层析成像也可以使用一组不构成完备检验的效应来执行，这相当于运行不同的检验。因此，我们也可以将一组一般的效应视为信息完备的。在这种情况下，我们还可以得出：

命题 2.6 一组效应对于态而言是分离的，当且仅当它对于态而言是信息完备的。

在实践中，我们需要多次重复实验，以通过结果频率来恢复概率 $( l_{i} | \rho )$，或者使用其他统计估计方法，例如最大似然估计。通过不同检验的随机化和适当的粗粒化过程，可以保证使用一组一般效应进行层析成像的可行性（此类过程的一个例子在问题 2.21 中说明）。由此产生的检验将是一个信息完备的观测检验。

可观测量组 一种常见的信息完备检验情况是，由一组张成所有厄米算子空间的观测量组成。这样的集合称为可观测量组。最简单例子是 $\dim \mathcal{H}_{\mathrm{A}} = 2$ 时的泡利矩阵组。事实上，如练习 2.4 所示，三个泡利矩阵加上单位矩阵 $I_{\mathrm{A}}$ 构成了 $\mathsf{Lin} ( \mathbb{C}^{2} )$ 的一组正交基。可观测量组的概念对应于在重复测量中随机测量的观测量，也可以从数学上用 POVM 表示。

练习 2.19 写出任意算子在泡利矩阵加单位矩阵集合上的一般展开，推导态的一般矩阵元 $\langle u \vert \rho \vert \nu \rangle$ 作为泡利矩阵期望的函数。

SIC POVM 练习 2.19 中的随机化泡利可观测量是六元素 POVM $\{| s \rangle_{\alpha} \langle s | _{\alpha} \}_{\alpha = x , y , z , s = \pm}$，其中 $\sigma_{\alpha} | s \rangle_{\alpha} = s | s \rangle_{\alpha}$。这样的 POVM 并非最小（最小 POVM 包含四个元素）。SIC POVM（SIC 代表对称信息完备）提供了一种最小且秩为一的信息完备 POVM。它由四个秩为一的投影算子组成，其布洛赫向量形如式 (2.12)，位于四面体的顶点上。¹²

多部分态的层析成像 对于实验确定复合系统 $\sigma ~ \in ~ \mathsf{St}_{1} ( \mathsf{AB} \ldots Z )$ 的联合态的可能性又如何？我们是否需要由 $\mathrm{AB} \ldots Z$ 的联合效应组成的信息完备观测检验？这里局部可区分性原则（原则 2）提供了帮助：由于局部效应对联合态是分离的，我们可以对每个单一系统 $\mathrm{A} , \mathrm{B} , . . . , Z$ 使用局部信息完备的观测检验。局部可区分性保证我们，检验 $\{a_{i} \otimes b_{j} \otimes . . . \otimes z_{k} \}_{i \in \mathrm{X}_{\mathrm{A}} , j \in \mathrm{X}_{\mathrm{B}} , . . . k \in \mathrm{X}_{\mathrm{Z}}}$ 对所有态 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{AB} \ldots Z )$ 是分离的。也就是说，我们可以按照以下方式对任何未知联合态（包括我们将在 2.6 节看到的纠缠态）进行层析成像：

例如，为了测试一个状态 $\sigma ~ \in ~ \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{AA} )$，我们只需要系统 $\operatorname{A}$ 的两个相同的信息完备观测检验的副本；我们不需要为 AA 构建一个新的信息完备观测检验，例如 $\{w_{i , j} \}_{i , j \in \mathrm{X}}$，如

这就是局部可区分性的力量！例如，对于 N 个量子比特，联合算子 J 的期望值可以用局部 Pauli 可观测量集表示为：

信息完备制备检验 与信息完备可观测量的概念对偶地，我们有信息完备制备检验的概念。与信息完备可观测量类似，信息完备制备检验 $\{\omega_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 只是一个分离的状态集，用其可以将任何状态表示为实线性组合，即 $\mathsf{Span}_{\mathbb{R}} \{\omega_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} = \mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$。因此，通过信息完备制备检验，我们可以实现对效应和观测检验的层析。显然，之前对观测检验的论点对偶地适用于这里的制备检验（恢复效应的方法、极小性、展开系数的唯一性等），并且作为原理2的结果，对于信息完备制备检验，我们也可以使用局域制备来实现任何联合效应的层析。

2.6 纠缠量子态与效应#

根据定义，对于任意两个密度算子 $\rho^{\mathrm{A}} \in \mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 和 $\rho^{\mathrm{B}} \in \mathsf{St} ( \mathrm{B} )$，算子 $\rho^{\mathrm{AB}} = \rho^{\mathrm{A}} \otimes \rho^{\mathrm{B}} \in \mathsf{St} ( \mathrm{AB} )$ 是复合系统 AB 的一个量子态。类似地，对于效应，如果 $E^{\mathrm{A}} \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$ 且 $E^{\mathrm{B}} \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} )$，则 $E^{\mathrm{AB}} = E^{\mathrm{A}} \otimes E^{\mathrm{B}} \ \in \ \mathsf{E} \mathsf{f} \mathsf{\Gamma} ( \mathrm{AB} )$ 是复合系统 AB 的一个效应。这种形式的状态和效应称为可分解的。根据玻恩规则，它们产生可分解的概率，即形式为 $\mathrm{Tr} ( \rho^{\mathrm{A}} E^{\mathrm{A}} ) \mathrm{Tr} ( \rho^{\mathrm{B}} E^{\mathrm{B}} )$。它们表示在两个系统上独立进行的制备和观测。我们可以通过在可分解状态之间随机选择来制备可分解状态的混合，得到形式为 $\begin{array}{r} {\rho^{\mathrm{AB}} = \sum_{i} \rho_{i}^{\mathrm{A}} \otimes \rho_{i}^{\mathrm{B}}} \end$ 且 Tr $\rho^{\mathrm{AB}} \leq 1$ 的状态。这种形式的状态称为可分离的。类似地，形式为 $\begin{array}{r} {E^{\mathrm{AB}} = \sum_{i} E_{i}^{\mathrm{A}} \otimes E_{i}^{\mathrm{B}} \leq I_{\mathrm{AB}}} \end$ 且 $E_{i}^{\mathrm{A}} \ \in \ \mathsf{Eff} ( \mathrm{A} )$ 和 $E_{i}^{\mathrm{B}} \ \in \ \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} )$ 的效应也称为可分离的。

现在自然要问是否存在不可分离的状态和效应。答案是肯定的。实际上，很容易看出，形如

的秩一正算子是不可分离的。不可分离的状态和效应称为纠缠的。

练习 2.20 证明任何形式为式(2.23)的正算子 R 是不可分离的。 练习 2.21 证明对于任何形式为 $| R \rangle \langle R |$ 的纠缠纯态，其中

对于系统 B 的边缘态由密度矩阵给出

纠缠态的概念可以轻松扩展到 $n > 2$ 的纯态多体态。一个著名的例子是 GHZ 态，其波矢为

它推广了两个系统的单重态，其波矢为

显然，也存在不可分离的混合态。一个相关的例子是习题2.28中的 Werner 态。

如何判断一个态是否纠缠？ 对于一个波矢为 $| \Psi \rangle \in{\mathcal{H}} \otimes{\mathcal{K}}$ 的纯二体态，判定的方法非常简单：该态不纠缠当且仅当它可以写成两个纯态的直积。如何在不依赖于所选基的情况下判断是否如此？只需将矢量 $| \Psi \rangle$ 写为形式

其中 $\{| h_{n} \rangle \}_{n = 1 , \dots \dim \mathcal{H}}$ 和 $\{| k_{m} \rangle \}_{m = 1 , \dots \dim \mathcal{K}}$ 是任意一组正交归一对基。那么，该态可分解当且仅当 rank $( \Psi ) = 1$ ，这里 rank(A) 表示 A 的秩，且 $\Psi$ 是系数 $\Psi_{n m}$ 构成的矩阵。

习题2.22 证明一个纯二体态是纠缠的当且仅当其系数矩阵的秩大于 1。

对于非纯二体态，目前没有已知的通用准则来判定一个密度算子是否是可分离态。当 $d = 2$ 时，仅对二体态存在一个准则。该准则如下。对于 $A \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} \to{\mathcal{K}} )$（符号 $\mathsf{Lin} ( \mathcal{H} \to \mathcal{K} )$ 表示从希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 到 $\mathcal{K}$ 的算子），相对于正交归一对基 $\{| h_{n} \rangle \}_{n = 1 , \dim{\mathcal{H}}}$ 和 $\{| k_{m} \rangle \}_{m = 1 , \dim{\mathcal K}}$，定义转置 $A^{\intercal} \in \mathsf{Lin} ( {\mathcal{K}} {\mathcal{H}} )$ 为

这相当于取伴随的复共轭，并将式(2.24)求和中的每个算子 $| k_{m} \rangle \langle h_{n} |$ 视为实数。显然，$( A^{\intercal} )^{\intercal} = A$ 。转置可以推广到部分转置，后者通过关系 $X = A \otimes B \mapsto X^{\theta} = A \otimes B^{\intercal}$ 定义在张量积空间上的算子，然后通过线性扩展。因此，用于判定纯态 $\rho \in{\mathsf{Lin}}_{+} ( \mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2} )$ 纠缠性的准则是所谓的 PPT 准则，即：态 $\rho$ 是可分离的当且仅当密度算子具有正的部分转置 (PPT) $\rho \mapsto \rho^{\theta} . ^{15}$ 对于 $d > 2$，PPT 准则只是可分离性的一个必要条件，即如果一个态可分离，则它具有 PPT，但反之通常不成立。Werner 态也为 $d > 2$ 提供了反例（见习题2.29）。

习题2.23 考虑交换算子 $E$，它交换张量积 ${\mathcal{H}} \otimes{\mathcal{H}}$ 中的两个空间，即 $E | \psi \rangle \otimes | \varphi \rangle = | \varphi \rangle \otimes | \psi \rangle$ 。证明它可以写成

证明 $E^{\theta} = \vert I \rangle \rangle \langle \langle I \vert$ ，其中 $ \begin{array}{r} {| I \rangle \rangle : = \sum_{n = 1}^{d} | n \rangle \otimes | n \rangle} \end$ ，且 $d = \dim \mathcal{H}$ 。

习题 2.24 利用上述习题，证明对于 $R = {\textstyle \frac{1} {d}} | I \rangle \rangle \langle \langle I |$ ，其中 $d = \dim \mathcal{H}$ ，$R^{\theta}$ 不是正的。

习题 2.25 证明 PPT 判据不依赖于所选的正交归一基。

习题 2.26 证明如果一个态是可分离的，则它具有 PPT。

习题 2.27 证明对于 $d = 2$ ，当 $ \begin{array}{r} {p \leq \frac{1} {2}} \end$ 时，以下 Werner 态是可分离的；当 $ \begin{array}{r} {p > \frac{1} {2}} \end$ 时，是纠缠的：

其中 $| \Psi^{-} \rangle \langle \Psi^{-} |$ 是单重态。注意 $\rho$ 是最大混合态 ${\frac{1} {4}} I_{2} \otimes I_{2}$ 与最大纠缠态 $| \Psi^{-} \rangle \langle \Psi^{-} |$ 的凸组合（关于纠缠的量化参见下文）。

习题 2.28 [Werner 态] $\mathcal{H} = \mathbb{C}^{d}$ 中的 Werner 态由下式给出：

其中 $P_{+}$ 和 $P_{-}$ 是 $\mathcal{H} \otimes \mathcal{H}$ 的对称和反对称子空间上的正交投影算符：

而 $E$ 是式 (2.25) 中的交换算符。证明态 (2.27) 可以等价地写为：

习题 $2.29^{16}$ 证明当 $p \ \geq \ {\frac{1} {2}}$ 时 Werner 态是可分离的，当 $ \begin{array}{r} {p < {\frac{1} {2}}} \end$ 时是纠缠的，因此对于 $d > 2$ 它们违反了 PPT 判据。

在可分离态和纠缠态之间，存在纠缠的完整梯度。受不同的操作协议驱动，有多种方式来量化一个态的纠缠程度。¹⁷ 对于纯两体态，一个常见的量是纠缠熵，¹⁸ 它由边际态的 von Neumann 熵给出，即：

其中 von Neumann 熵 $S$ 定义为：

上界仅在态 $\rho$ 是最大混合态时达到，即当 $\rho = {\textstyle{\frac{1} {d}}} I_{d}$ 时。在这种情况下，态 $\left| \Psi \right. \left. \Psi \right|$ 被称为最大纠缠态。

由于可分离性属性为态和效应所共有，纠缠的概念可以扩展到效应。实际上，任何纯纠缠态也是一个原子纠缠效应，并且最大纠缠效应对应于最大纠缠态。由最大纠缠投影算符构成的秩一 PVM 称为 Bell 测量。在本章的后续部分中，我们将看到这种测量的例子。

2.7 压缩#

使用第 2.4.2 节中给出的细群定义，对于态 $\omega \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ 这一特例，我们有：

对于 $\omega \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$，凸细化集 $\mathsf{RefSet}_{1} \omega$ 的使用更为常见，但对于 $\omega \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 同样有意义，此时它是具有概率 $q = \operatorname{Tr} \omega$ 的状态凸集 $\mathsf{St}_{q} ( \mathrm{A} )$ 的一个面。

我们已经看到，$\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 的任意凸集面本身也是一个凸集。自然要问，它是否也是某个其他系统的状态凸集。对于量子理论，答案是肯定的：状态凸集 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 的任意面都与另一个量子系统 B 的状态凸集 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{B} )$ 一致。更准确地说，对于一个量子态 $\rho$，与面 $\mathsf{RefSet}_{1} \rho$ 对应的量子系统是以 $\rho$ 的支集作为希尔伯特空间的系统。用方程表示即

同时也有

上述结果可由以下练习的结论得出。

练习 2.30 证明对于 $\mathcal{H}$ 上的任意两个正算子 $\rho , \sigma$，有

练习 2.31 [$\rho$ 的细化集] 证明式 (2.31)。

我们得出结论：位于 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 边界上的一个态 $\rho$ 可以编码到一个更小的系统 B 上，该系统的希尔伯特空间满足 $\mathrm{dim} \mathcal{H}_{\mathrm{B}} < \mathrm{dim} \mathcal{H}_{\mathrm{A}}$。简单来说，这意味着该态可以被压缩。这种压缩可以通过部分等距算符 V 以完全可逆的方式实现，将 Supp $\rho$ 嵌入到 $\mathcal{H}_{\mathrm{B}}$ 中，具体如下：

其中

压缩方案同样具有最大效率：编码系统 C 的规模尽可能小，即其状态数目恰好等于压缩 $\rho$ 所需的最小值。例如，对于 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 某个面（face）上的态，编码系统 C 的希尔伯特空间维数将严格小于 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 的维数。我们将这种无损且最大效率的压缩方案称为理想方案。理想压缩方案的存在是量子理论的一个相关特征，我们将在以下原理中用简单的话来表述。

原理 3（理想压缩） 对于每个态，都存在一个理想压缩方案。

练习 2.32 证明三态系统（qutrit）的态集 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 是一个八维凸集，其边界由一系列形如三维球的连续面构成。

对于一个内部态 $\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$，有 Supp $\rho \equiv \mathcal{H}_{\mathrm{A}}$，即其密度矩阵的支撑集是系统 A 的整个希尔伯特空间，因此该态无法被压缩。内部态也称为完全混合态，因为它可以通过包含 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 中任意态的凸组合得到。相反，凸集 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 边界上的态则称为非完全混合态，以强调它不能作为某些态的混合而得到。这样的态对应于断言系统 A 具有某个确定的性质。例如，当测量可观测量 $\{P , I - P \}$（其中 $P = \mathsf{Proj}$ Supp $\rho$）时，将总是得到相同的测量结果，对应投影算子 P（参见量子口诀 1）。显然，这样的态可以被另一个态完美区分，即任意满足 Supp $( \rho^{\perp} ) \subseteq{\mathsf{Ker}} \rho$ 的态 $\rho^{\perp}$ 。性质 P 本身将提供一个二值测试，在结果 1 对应态 $\rho$、结果 0 对应态 $\rho^{\perp}$ 的意义上完美区分这两个态。这引出了量子理论的以下原理。

原理 4（完美可区分性） 对于 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 中任意非完全混合的态，都可以与 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{A} )$ 中的另一个态完美区分。

简单来说，原理 4 指出，如果我们对系统 A 有某种确定的知识，那么系统 A 的这个态就可以与同一系统 A 的另一个态完美区分。这意味着存在一个概率为 0 和 1 的观测测试，能够确定该系统的某个非平凡性质。

原理 4 对于命题的可证伪性至关重要。考虑命题“系统处于态 $\rho$”：除非 $\rho$ 是完全混合态，原理 4 保证了该命题在逻辑上是可证伪的。事实上，在态 $\rho^{\perp}$ 上执行 POVM $\{P , I - P\}$ 的二值测试，将必然得到表明系统不处于态 $\rho$ 的结果。

2.8 量子变换#

在本节中，我们将导出量子理论中一般概率变换的数学表示，在文献中通常称为量子操作。在下一节中，我们将通过强大的 Choi–Jamiołkowski 同构导出变换的完整凸结构。

2.8.1 完全正映射#

在量子理论中，哪种态的映射在数学上是允许的？根据无限制假设（假设 3），如果某个映射在数学上是允许的变换，那么它将代表理论所允许的实际变换。在下文中，我们将用相同的符号来表示变换和映射。该变换将系统 A 的态发送到系统 B 的态，即

新的态 $| {\mathcal{A}} \rho )_{\mathrm{B}} \in{\sf S t} ( {\mathrm{B}} )$ 将引入新的概率

$\mathcal{A}^{\dagger}$ 表示在配对 $( \cdot | \cdot )$ 下 $\mathcal{A}$ 的伴随映射。$^{19}$ 由于态对效应具有分离性，上述等式唯一地定义了变换在效应上的作用：

我们用 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A {} B )}$ 表示 $\mathcal{A}$ 将 A 的态变换为 B 的态，或者反过来，将 B 的效应变换为 A 的效应。在量子理论中，相应的映射必须将态算符发送到态算符，将效应算符发送到效应算符。当作用于密度算符 $\rho$ 时，我们将同时使用记法 ${\mathcal{A}} ( \rho )$ 和 $\mathcal{A} \rho$；当作为伴随作用在效应算符 E 上时，我们将同时使用记法 $\mathcal{A}^{\dagger} ( E )$ 和 $\mathcal{A} \dot{} E$。现在，我们分别分析映射 $\mathcal{A}$ 的可容许性条件，以便其成为量子理论的一个变换。

(1) 线性性 由于变换 $\mathcal{A}$ 必须保持态（或效应）的凸组合，即

映射 $\mathcal{A}$ 必须是线性的。

(2) 完全正定性 由于在量子理论中，态是正算符，映射必须将正算符发送到正算符。我们说这个映射是正的（也可说保正的）。用方程表示：$\forall Q \geq 0 , {\mathcal{A}} ( Q ) \geq 0$。然而，我们必须考虑物理变换可能在其他物理系统存在的情况下作用，并且将系统 A 指定为 $\mathcal{A}$ 的定义域应被视为关于映射作用的一个局域性断言，这意味着 $\mathcal{A}$ 仅非平凡地作用于系统 A 的态，而保持其他系统的态不变。用 R 联合表示任何不同于 A 的附加系统，我们如下用图示表示变换的局域性：

断言 $\mathcal{A}$ 仅非平凡地作用于 A 的态，而保持 R 的态不变，这一断言仅在因子化态 $\rho \otimes \nu \in \mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{R}} )$ 及其通过映射线性性得到的线性组合上有意义。我们暂时用 $\mathcal{A}_{\mathrm{R}}^{e x t}$ 表示扩展到 R 的映射，以区别于仅作用于系统 A 的映射 $\mathcal{A}$。于是有

根据局域可区分性原理 2，在量子理论中，因子化态张成整个联合态集，因此我们可以通过线性性定义扩展映射 $\mathcal{A}_{\mathbb{R}}^{e x t} ~ \in$ Lin[Lin $( \mathcal{H}_{\mathrm{AR}} ) {} \lfloor \mathrm{in} ( \mathcal{H}_{\mathrm{BR}} ) \rfloor$，并一致地将扩展记为

例如，对于纠缠态 (2.23)，该映射的作用如下：

2.5.1 完全正性与量子运算#

为了成为可容许的变换，(\mathcal{A}{\mathrm{R}}^{e x t} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{AR} \to \mathrm{BR} ))，扩展映射 (\mathcal{A}{\mathrm{R}}^{e x t}) 必须保持正性，且这对任何可能的附加系统 R 都必须成立。我们将原始映射的这一性质称为完全正性 (CP)，即：对任意系统 R，映射 (\mathcal{A} \otimes \mathcal{T}{\mathrm{R}}) 作用于扩展希尔伯特空间 (\mathcal{H}{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{R}}) 上的算子时必须保持正性。完全正性的概念并非平凡，因为存在一些映射，它们能保持希尔伯特空间上算子的正性，但在扩展到 (\mathcal{H} \otimes \mathcal{H}^{\prime}) 上的算子时却无法保持正性。这种正性非 CP 映射的一个例子是转置映射，如练习 2.34 所示。

(3) 迹不增 映射满足数学可容许性的最后一个性质是，输入制备 (\rho) 与变换 _A 的联合概率 (p ( {\mathcal{A}} , \rho ) ~ = ~ ( e | {\mathcal{A}} \rho )) 必须小于单独输入状态制备的边缘概率 (p ( \rho ) = ( e | \rho ))，即

由于 (\mathbf{\xi}{\rho}) 的制备概率由 Tr ({\bf \Pi}{\rho , {\bf \Pi}}) 给出，式 (2.38) 可改写为

具有式 (2.39) 性质的映射称为迹不增 (通常不精确地简称为“迹减”)。

量子运算 线性、完全正且迹不增的线性映射 (\mathcal{A} \in \mathsf{Lin} ( \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}{\mathrm{A}} ) \to \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}{\mathrm{B}} ) )) 代表量子理论中的变换，称为量子运算。在 CP 迹保持映射（式 (2.39) 中取等号）的特殊情况下，得到确定性变换，也称为量子信道。

对偶映射 对偶变换作用于效应而非状态，其形式为

这是通过对偶性得到的，考虑 (\mathcal{A}) 作用于 A 的一组分离状态集（例如整个集合 (\mathsf{St} ( \mathrm{A} ))）上的结果，如式 (2.35) 所示。在算子形式下，这变为

等式 (2.40) 唯一地定义了对偶线性映射 (\mathcal{A}^{\dagger})（见练习 2.33）。容易证明对偶映射 (\mathcal{A}^{\dagger}) 本身是线性 CP 的，而迹不增条件 (2.39) 转化为 (\mathcal{A}^{\dagger}) 的子单位性条件

当且仅当映射是量子信道时，上式等号成立。此时映射 (\mathcal{A}^{\dagger}) 是单位性的。

练习 2.33 给出 (\mathcal{A}^{\dagger}) 用 (\mathcal{A}) 表示的显式表达式。

练习 2.34 [一个正性但非 CP 的映射] 证明式 (2.24) 定义的转置映射

是保正性的，但不是 CP 的。

练习 2.35 证明线性映射 (\mathcal{A}) 是 CP 的当且仅当 (\mathcal{A}^{\dagger}) 是 CP 的。推导式 (2.41)。

练习 2.36 证明以下形式的线性映射：

是完全正的。

量子“绘景” 在量子理论中，态和效应的演化分别被称为薛定谔绘景和海森堡绘景。历史上，这是演化可观测量期望值的两种不同方式，即：(1) 保持观测量恒定，演化态矢量（薛定谔绘景）；(2) 保持态恒定，演化观测量（海森堡绘景）。

因果性与变换 我们可以将变换 (\mathcal{A} \in) Transf(A→ B) 作用于态 (\omega \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{AR}} )) 的效果视为产生新态 (| \mathcal{A} \omega ){\mathrm{BR}}) 。因果性原理（原理 1）保证了变换作用于态 (| \omega ){\mathrm{AB}}) 的边缘概率与输出观测的选择无关，因此它等于概率

其中 (\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )) 是 (\omega \in \mathsf{St} ( \mathrm{AR} )) 的边缘态。因此，我们将变换 (\mathcal{A} \in \mathsf{T r a n s f ( A \to B )}) 关联到一个效应 (a_{\mathcal{A}} \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{A} ))，该效应提供了变换在任何态 (\rho) 上发生的联合概率 (p ( \mathcal{A} , \rho ) = ( a_{\mathcal{A}} | \rho )) 。这由正算子描述

借助因果性，我们还可以定义条件态

该态描述了在态为 (\rho) 且变换发生的条件下所得到的态。

总结如下：

定理 2.7（量子操作） 变换 (\mathcal{A} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A {} B )})

在量子理论中由一个 CP 迹-非增线性映射

表示，其作用于量子态 (\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )) 如下：

并作为对偶的子-单位映射 (\mathcal{A}^{\dagger}) 作用于量子效应 (E \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} ))

对应于变换的效应 (P_{A}) 是正算子

当我们在公式（2.43）中取等号时（即映射是迹保持的），该变换是确定性的（称为量子信道）；当映射是迹缩小时，该变换是概率性的（称为量子操作）。

练习2.37 计算以下每个变换对应的效应：(A \cdot A^{\dagger})、(\sum_{i \in \mathrm{X}} A_{i} \cdot A_{i}^{\dagger})，以及对于 (0 \leq E \leq I_{\mathrm{A}}) 的 (\mathrm{Tr} [ E \cdot ])

2.8.2 二分态的双狄拉克记号#

在后续内容中，我们将广泛使用一种包含左矢、右矢和算子的张量记号。例如，对于 (| \nu \rangle \in{\mathcal{H}})，我们将左矢 (\langle \nu |) 视为 Lin( , C) 中的算子 (\langle \nu | : | \psi \rangle \in{\mathcal{H}} \mapsto \langle \nu | \psi \rangle \in{\mathbb{C}})。类似地，对于 (X \in \mathsf{Lin} ( K ))，我们有张量 (| \nu \rangle \otimes X \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{K} \to \mathcal{H} \otimes \mathcal{K} ))、(\langle \nu | \otimes X \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} \otimes \mathcal{K} , \mathcal{K} )) 等。设 ({| h_{i} \rangle }{1}^{\dim \mathcal{H}}) 和 ({| k{i} \rangle }{1}^{\dim \mathcal{K}}) 分别是 (\mathcal{H}) 和 (\mathcal{K}) 的标准正交基，且 (\dim \mathcal{H} = \dim \mathcal{K} = d)，则张量 (\sum{1}^{d} \langle h_{i} | \otimes | k_{i} \rangle \equiv \sum_{1}^{d} | k_{i} \rangle \otimes \langle h_{i} | \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} \to \mathcal{K} )) 将表示两个空间之间的同构。

我们现在引入一种方便的矩阵记号，它利用了 Lin (( \mathcal{H} \to{\mathcal{K}} )) 和 (\mathcal{K} \otimes \mathcal{H}) 之间的希尔伯特空间同构。对于无限维希尔伯特空间，读者可以在本章末尾的注释中找到进一步研究的建议。

我们针对固定标准正交基 ({| h_{n} \rangle })，定义向量 (| \nu \rangle \in \mathcal{H}) 的复共轭 (| \nu \rangle^{*}) 如下：

(\langle \nu |) 与 (| \nu \rangle) 之间的映射是反线性的。考虑线性映射 Vec : (\mathcal{H}^{\vee} \to \mathcal{H})，其定义为

这是一个希尔伯特空间之间的同构。我们可以将 Vec 视为对 (\langle \nu |) 应用如下向量（视为线性映射）的扩展 (\langle \nu | \otimes I)：

得到

我们很快就会看到，向量 (| I \rangle \rangle_{\mathcal{H} \otimes \mathcal{H}}) 是表达同构 Vec 的便捷记号工具。映射 Vec 自然地扩展到任意一对希尔伯特空间 (\mathcal{H}) 和 (\mathcal{K}) 上的映射 Vec : (\operatorname{Lin} ( \mathcal{H} \to \mathcal{K} ) \to \mathcal{K} \otimes \mathcal{H})，如下所示：

通过线性性，该映射扩展到任意算子 (M \in \operatorname{Lin} ( {\mathcal{H}} \to{\mathcal{K}} )) 如下：

其中 ({k_{j} }) 是 (\mathcal{K}) 的一个标准正交基。我们引入方便的记号

其中“双ket”符号提醒我们，向量 $\vert M \rangle \rangle_{\mathcal{K} \otimes \mathcal{H}} \in \mathcal{K} \otimes \mathcal{H}$ 与算子 $M \in \operatorname{Lin} ( {\mathcal{H}} \to{\mathcal{K}} )$ 之间存在对应关系。注意该记号与式(2.45)是一致的。在不引起混淆的情况下，我们将在下文省略双ket向量的希尔伯特空间标签。由Vec映射在算子上诱导出的内积是希尔伯特-施密特算子的弗罗贝尼乌斯积

由此定义了范数 $\| {\cal P} \| _{2} : = \sqrt{\mathrm{Tr} {\cal P}^{2}}$ 。此外，我们还有关于偏迹的如下规则

其中算子 $M$ 的转置 $M^{\intercal}$ 已在式(2.24)中定义。初等张量积 $A \otimes B \left[ A \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} \to \mathcal{H}^{\prime} ) \right.$ 和 $B \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{K} \to \mathcal{K}^{\prime} ) ]$ 对 $| C \rangle \rangle \in{\mathcal{H}} \otimes{\mathcal{K}}$ 的作用由以下简单规则给出：

在应用式(2.51)时，需仔细记录算子定义域，并牢记在记号 $| M \rangle \rangle$ 中，当 $M \in \operatorname{Lin} ( {\mathcal{H}} \to{\mathcal{K}} )$ 时，默认有 $\vert M \rangle \rangle \in{\mathcal{K}} \otimes{\mathcal{H}}$ 。同构映射Vec及其逆映射可形式化地写为如下形式：

练习2.38 验证恒等式(2.49)、(2.50)、(2.51)和(2.52)。

练习2.39 [双部向量的施密特形式] 利用式(2.48)中的同构以及算子 $M \in \mathsf{Lin} ( {\mathcal{K}} \to{\mathcal{H}} )$ 的奇异值分解（见附录2.1）

证明对于 $\mathcal{H} \otimes \mathcal{K}$ 中的任意双部向量，以下展开式成立

其中 $\{| \nu_{l} \rangle \}$ 和 $\{| w_{l} \rangle \}$ 是标准正交向量集。展开式(2.53)称为向量 $| M \rangle \rangle$ 的施密特形式。证明式(2.53)中非零项的数量k等于rank(M)，该数量称为向量的施密特数。

练习2.40 证明由标准正交基 $\{| h_{i} \rangle \}_{i = 1}^{\dim \mathcal{H}}$ （用于两个副本）定义的向量 $\begin{array}{r} {| I \rangle \rangle_{\mathcal{H} \otimes \mathcal{H}} = \sum_{i = 1}^{\dim \mathcal{H}} | h_{i} \rangle \otimes | h_{i} \rangle} \end$ 在算子 $U \otimes U^{*}$ 作用下保持不变，其中 $U \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} )$ 是幺正的。因此，对于任意选定的标准正交基 $\{| \nu_{i} \rangle \}_{i = 1}^{\dim \mathcal{H}}$ ，我们可以写出

其中复共轭是相对于标准基 (2.44) 定义的。

练习 2.41 [最大纠缠态] 根据式 (2.28) 给出的纠缠量化，当局部态是最大混合态时，纯二分态是最大纠缠态。利用 Vec 同构，证明 $\mathbb{C}^{d} \otimes \mathbb{C}^{d}$ 上的态是最大纠缠态当且仅当它具有形式 ${\frac{1} {d}} \left| U \right. \right. \left. \left. U \right|$，其中 U 是酉算子。

关于维度 $d = 2$ 的酉算子的一些有用恒等式可以在本章末尾的问题 2.13–2.16 中找到。

练习 2.42 [Bell 测量] 考虑 $\mathbb{C}^{d}$ 上一组在 Hilbert–Schmidt 标量积中正交的酉算子 $\{U_{i} \}_{i = 0}^{d - 1}$。利用 Vec 同构，证明以下是一个 Bell 测量，即由最大纠缠效应构成的秩一 PVM：

练习 2.43 [移位-相乘基] 证明以下 $\mathbb{C}^{d}$ 上的酉算子是 $\mathsf{Lin} ( \mathbb{C}^{d} )$ 的一组正交基：

其中 $\oplus$ 表示模 d 加法，正交关系由下式给出：

注意，除了 $U_{( 0 , 0 )} = I_{d}$ 之外，所有酉算子都是无迹的。

在式 (2.24) 中，我们定义了算子 M 相对于两个被视为实基的正交基的转置，例如式 (2.48) 中的集合 $\{| h_{i} \rangle \}$ 和 $\{| k_{j} \rangle \}$。显然，存在无穷多基对应同一个转置映射。利用恒等式 (2.51)，可以看到每个 Hilbert 空间上的向量 $ {| I \rangle} {\mathcal{H}} \otimes{\mathcal{H}}$ 的选择唯一地定义了算子 $A \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} \to{\mathcal{K}} )$ 的转置如下：

2.8.3 Choi–Jamiołkowski 同构#

利用同构 Iso，我们可以在映射空间 $\mathsf{Lin} ( \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} ) \to \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} ) )$ 和算子空间 $\mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 之间建立以下线性双射映射：

从上述恒等式可以清楚地看出 Iso 映射的线性和可逆性。

练习 2.44 证明式 (2.55) 中的两个映射互为逆映射。

Iso 映射最重要的特性在于它提供了正算子锥 $\mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 与 CP 映射锥 ${\mathsf{CP}} ( {\mathsf{Lin}} ( {\mathcal{H}}_{\mathrm{A}} ) \to {\mathsf{Lin}} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} ) )$ 之间的一个锥同构。确切地说，这意味着 Iso 将 CP 映射与正算子一一对应，同时保持其锥结构，即将极射线映射到极射线，将锥组合映射到锥组合。这有助于分析 CP 映射的锥结构，因为它反映了我们已经熟悉的正算子锥结构。在文献中，Iso 同构被称为"Choi–Jamiołkowski 同构"，而算子 $R_{\mathcal{A}} ~ : = ~ \mathbf{Iso} \mathcal{A}$ 被称为"Choi–Jamiołkowski 算子"。²⁰

为了证明 Iso 是一个锥同构，只需证明它将正算子映射到 CP 映射，反之亦然。这一点是显而易见的，因为 Iso 是线性的，并且如果映射 $\mathcal{A}$ 是 CP 的，那么根据定义 $R_{\mathcal{A}}$ 是正的（因为 $| I \rangle \langle I | \ge 0$），而逆映射 $R_{\mathcal{A}} \mapsto \mathcal{A}$ 对于正的 $R_{\mathcal{A}}$ 总能给出一个 CP 映射，这一事实可以通过将 $R_{\mathcal{A}}$ 分解为极射线 $R_{\mathcal{A}} = \sum_{i} \left| A_{i} \right. \rangle \langle \left. A_{i} \right|$ 来轻松证明，利用恒等式 (2.55) 可得映射

我们在练习 2.36 中证明了它是 CP 的。最后注意到，由于 Iso 是线性的，它保持锥组合。

由 Choi–Jamiołkowski 锥同构可得：

推论 2.8 CP 映射的锥结构由以下陈述给出：#

1. $\mathcal{A} \in \mathsf{Lin} ( \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} ) \to \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} ) )$ 中的极射线映射形式为 $\mathcal{A} \rho = A \rho A^{\dagger}$，其中 $A \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \to \mathcal{H}_{\mathrm{B}} )$。

2. 任何 CP 映射都允许锥分解（称为 Kraus 形式）

在下文中，如果一个变换具有 Kraus 形式 $\nu ( \rho ) = V \rho V^{\dagger}$，其中 $V$ 是等距的，则称之为等距变换；如果 $V$ 是酉的，则称之为酉变换。Kraus 形式的一个特例是规范 Kraus 形式，其中向量 $\left| A_{i} \right. \rangle$ 是 $R_{{\cal A}}$ 的特征向量，因此是正交的，即 $\mathrm{Tr} ( A_{i}^{\dagger} A_{j} ) = \delta_{i j} \lVert A_{i} \rVert_{2}^{2}$。这仅是极小 Kraus 形式的一个特例，在极小 Kraus 形式中，式 (2.57) 中求和项的数目等于 rank $( R_{\mathcal{A}} )$，也称为映射的秩。不同的 Kraus 形式由以下简单引理分类。

引理 $2.9^{21}$ 如果量子操作 $\begin{array}{r} {\mathcal{A}^{\prime} = \sum_{i \in \mathrm{X}} A_{i}^{\prime} \cdot A_{i}^{\prime \dagger}} \end$ 与量子操作 $\begin{array}{r} {\mathcal{A} = \sum_{j \in \Upsilon} A_{j} \cdot A_{j}^{\dagger}} \end$ 各自的 Kraus 算子满足如下关系：

其中 $U$ 是一个列正交的（矩形）矩阵，即 $( U^{\dagger} U )_{n m} = \delta_{n m}$ 。此外，当 Kraus 算子 $\left\{A_{i} \right\}$ 线性无关（即 Kraus 形式为极小形式）时，该条件为充要条件。

练习2.45 证明引理2.9。#

练习2.46 取 $\mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 的一组基 $F_{k}$ 。证明：$\begin{array}{r} {\mathcal{C} : = \sum_{k l} c_{k l} \boldsymbol{F}_{k} \cdot \boldsymbol{F}_{l}^{\dagger}} \end$ 是 CP 映射当且仅当矩阵 {c_kl} 是正矩阵。#

推论2.8 使我们能够对所有量子变换进行分类。分类由下文给出。

量子箴言 3（Kraus 形式下的量子操作） Transf(A → B) 中的一个量子变换由如下形式的线性映射表示：

其中

此外，算子

表示该变换对应的效应，因此 $P_{\mathrm{\mathcal{A}}} = I_{\mathrm{A}}$ 对应一个量子通道。除相位因子外，原子变换与收缩算子 $A \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \to \mathcal{H}_{\mathrm{B}} ) \mathrm{~ ( i . e . ~ \ \lVert / \boldsymbol{A} \rVert ~ \leq ~ 1 ) ~}$ 一一对应，其作用如下：

对于纯态 $\left| \psi \right. \left. \psi \right|$ ，除任意相位外，有

因此收缩算子描述了量子理论中的原子变换。

量子箴言 4（量子条件态） 给定初始态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 和量子操作 $\mathcal{A} \in \mathsf{CP} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} , \mathcal{H}_{\mathrm{B}} )$ 发生时的条件态 $\rho_{\mathcal{A}} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{B} )$ ，是如下确定的测量后态：

其发生的总体联合概率为

对于纯态 $| \psi \rangle \langle \psi |$ 和原子量子操作 $\mathcal{A} = \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A}^{\dagger}$ ，除任意相位因子外，有

因此，将希尔伯特空间向量乘以一个收缩算子 A（即满足 $\| A \| \leq 1$）描述了一个状态调节过程，我们可以将任何量子演化视为状态调节。

如练习2.47所示，状态和效应本身可以被视为特殊类型的变换，其中

练习2.47 [作为变换的状态和效应] 验证一个状态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 可以被视为一个变换 $\rho \in{\mathsf{Transf}} ( {\mathrm{I}} \to{\mathrm{A}} )$，其输入是平凡系统I。类似地，一个效应 $a \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{A} )$ 可以被视为一个变换 $a \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} \to \mathrm{I} )$，其输出是平凡系统。写出这两种情况的Choi–Jamiołkowski算子。

作为上述内容的推论，我们可以推导出量子理论的以下原理。

原理5（合成的原子性） 两个原子变换的合成是原子的。

证明 原子变换的形式为 $\mathcal{A} = A \cdot \ A^{\dagger}$，它们的合成，例如 $B \mathcal{A} = B A \cdot A^{\dagger} B^{\dagger} = ( B A ) \cdot ( B A )^{\dagger}$，仍然具有相同的形式。-

注意，原理5适用于所有变换，包括状态和效应（参见练习2.47）。

推论2.10（等距变换） 一个原子的量子信道 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf}_{1} ( \mathrm{A} \mathrm{B} )$ 必须是等距的。

证明 一个原子的量子信道的形式为 $\mathcal{A} ( \rho ) = A \rho A^{\dagger}$，其中 $A \in \mathsf{Lin} ( \mathrm{A} \to \mathrm{B} )$。由于该操作是确定性的，因此有 $A {}^{\dag} A = I_{\mathrm{A}}$，其中A是输入系统。-

推论2.11（酉变换） 一个量子操作 $\mathcal{A} \in \mathsf{T r a n s f ( A )}$ 能被另一个变换求逆当且仅当它是酉的。

证明 充分性是平凡的，因为酉变换是可逆的。现在假设该变换是可逆的，其逆为 $\boldsymbol{A}^{- 1}$。为了可逆，变换 $\mathcal{A}$ 及其逆 $\boldsymbol{A}^{- 1}$ 必须是确定性的，因为 $\mathcal{A}^{- 1} \mathcal{A} = \mathcal{T}_{\mathrm{A}}$ 是保迹的，因此 $\mathcal{A}$ 和 $\boldsymbol{A}^{- 1}$ 都不能是迹缩减的。此外，$\mathcal{A}$ 是原子的。事实上，假设 $\textstyle A = \sum_{n} A_{n}$，则 $\textstyle \sum_{n} {\mathcal{A}}^{- 1} {\mathcal{A}}_{n} = {\mathcal{T}}_{\mathrm{A}}$。由于 $\mathcal{T}_{\mathrm{A}}$ 是原子的，必须有 $\mathcal{A}^{- 1} \mathcal{A}_{n} = p_{n} \mathcal{T}_{\mathrm{A}}$，并在两边左乘 $\mathcal{A}$，得到 $\mathcal{A}_{n} = p_{n} \mathcal{A}$，即 $\mathcal{A}$ 的任何细化都是平凡的。由于 $\mathcal{A}$ 是确定性的和原子的，它是等距的，即它的Kraus算子是有限维希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上的一个等距。最后，有限维空间上的等距是酉的。-

如果一个变换能被另一个变换从左和从右同时求逆，那么它是可逆的。因此，可以得到：

推论2.12（可逆变换） 唯一可逆的变换是酉变换。

练习2.48 证明状态的凸集 $\mathsf{St} ( \mathrm{BA} )$ 和变换的凸集 $\mathsf{Transf} ( \mathrm{A} \to \mathrm{B} )$ 不是同构的，尽管根据Choi–Jamiołkowski同构，各自的锥是同构的。

练习2.49 证明 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A {} B )}$ 的细化集合中的一个量子操作，其Kraus算子是 $\mathcal{A}$ 的Kraus算子的线性组合。

解

用 $\mathsf{Span}_{+} \mathsf{S}$ 表示集合S的锥包，用 $\mathsf{Span}_{+} x$ 表示 $x \in{\mathsf{C}}_{+}$ 的细化集RefSet x的锥包，其中 ${\sf C}_{+}$ 是凸锥。根据Choi–Jamiołkowski同构，$\mathcal{A} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A {\to} B )}$ 的细化集的锥包 $\mathsf{Span}_{+} \mathcal{A}$ 与相应Choi算子 $R_{\mathcal{A}} \in \mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 的细化集的锥包 $\mathsf{Span}_{+} R_{\mathcal{A}}$ 是同构的，类似于量子态，我们有

其中

由于 Iso 是锥同构，因此 的精化集的锥包由下式给出

2.8.4 变换的层析成像#

我们能将层析成像方法扩展到变换吗？当然可以！我们只需要两个信息完备的测试：一个制备测试 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 和一个观测测试 $\{l_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$。然后，通过实验获取联合概率 $\{( l_{j} | \mathcal{A} | \rho_{i} ) \}_{i \in \mathrm{X} , j \in \mathrm{Y}}$，我们可以通过双重展开确定变换对任意态和效应的作用

其中 $\{\nu_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 和 $\{c_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$ 分别是 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 和 $\{l_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$ 的对偶集。然后，局部可区分性原理保证我们也能得到该变换对任意多体系统的局部作用。我们稍后将看到（第 2.10.2 节），纠缠提供了一种替代且高效的方法来实现变换的层析成像，即将其应用于单个纠缠态。

2.8.5 量子工具#

变换通常以概率方式发生。一组完备的概率变换 $\{\mathcal{T}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \subseteq \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} \to \mathrm{B} )$（即集合中的某一个变换必定会发生）被称为一个测试。我们已经看到两种不同类型的测试：没有输入的制备测试（输入是平凡系统），以及没有输出的观测测试（输出是平凡系统）。具有非平凡输入和输出系统的量子测试是一组完备的量子操作，通常被称为量子工具。有

对于测试，我们也有粗粒化的概念，即

量子工具也与一个观测测试（即一个 POVM）相关联，它给出每个结果的概率分布如下：

对输入态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 进行测量后的输出态，对于结果属于集合 Z 的情况，由 $\mathcal{T}_{Z} ( \rho )$ 给出。

测试的一个简单例子是测量-制备测试，对应于先执行一个观测测试，然后根据结果制备一个态。在量子情况下，该测试由一个 POVM $\{R_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 和一组量子态 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 指定。有

如果每个结果的变换都是原子的，我们称量子仪器 $\{\mathcal{T}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \subseteq \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} )$ 为原子的。如果在级联应用于同一系统时总是得到相同的结果，我们称该仪器为可重复的。

练习 2.50 测量-制备仪器何时是原子的？#

练习 2.51 [可重复仪器] 证明以下条件是量子仪器 $\{\mathcal T_{j} \}$ 可重复的充要条件

其中 $\begin{array}{r} {\mathcal{T}_{j} = \sum_{n} A_{n}^{( i )} \cdot A_{n}^{( i ) \dagger}} \end$

一个原子且可重复测量的仪器例子是冯·诺依曼–路德斯仪器，定义如下：

其中 $\{Z_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 是恒等算符的正交投影分解——通常称为投影取值测度（PVM）。

练习 2.52 冯·诺依曼–路德斯仪器的POVM是什么？#

练习 2.53 考虑仪器 $\mathcal{T}_{i} ( \rho ) = V_{i} Z_{i} \rho Z_{i} V_{i}^{\dagger}$ ，其中 $V_{i}$ 是支撑集等于 $Z_{i}$ 支撑集的部分等距算子，而 $\{Z_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 是一个PVM。该仪器是可重复的吗？

路德斯仪器的一个特例是冯·诺依曼仪器，其中所有投影算子 $Z_{i} \forall i \in$ X 都是秩为1的。这就是著名的冯·诺依曼坍缩假设：

量子咒语5（冯·诺依曼假设） 对系统 A 内的可观测量 X 进行测量后，系统会处于 X 的与本征值 x 相对应的本征态 $| x \rangle \langle x |$ 中。

关于冯·诺依曼假设的进一步讨论可参见第2.12节。

练习 2.54 [冯·诺依曼–路德斯仪器] 证明一个冯·诺依曼–路德斯仪器 $\{{\mathcal{T}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 能够完美区分量子态 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 当且仅当 Supp $\rho_{n} \subseteq$ Supp $Z_{n}$（参见练习 2.55）。

要能够区分一组可区分的量子态 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ ，POVM 不必是正交的：只需满足对于所有 $i \in \mathbf{X}$ 有 Supp $P_{i} \supseteq \mathsf{Supp} \rho_{i}$ ，且 $\rho_{i}$ 具有正交支撑集即可。只有当这组态满足完备性条件 $\oplus_{i \in \mathrm{X}} \mathsf{Supp} \rho_{i} = \mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 时，POVM 才必须是正交的（参见练习 2.55）。另一方面，显然存在一些具有区分性但不可重复的仪器，例如 $\mathcal{T}_{n} ( \rho ) = V_{n} Z_{n} \rho Z_{n} V_{n}^{\dagger}$ ，其中 $V_{n}$ 是将 Supp $Z_{n}$ 嵌入到 Supp $Z_{m}$（$m \neq n$）的等距算子。反之，要具有可重复性，POVM 的正交性仅对有限维中的原子仪器是必需的，如练习 2.56 所示，而一般来说，非原子的可重复仪器可以具有非正交的 POVM。在无限维中，甚至存在具有非正交 POVM 的原子可重复仪器，如本章末尾的问题 2.29 所示。总而言之，可重复性和可区分性是仪器的独立属性，因此存在不可区分的可重复仪器和不可重复的区分性仪器。此外，有些非正交测量具有区分性，而每个可重复仪器必须能区分某些态集。

练习 2.55 [可区分的态与正交 POVM] 证明一组态 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 是可区分的当且仅当它们具有正交支撑集，并且一个区分这些态的 POVM $\{P_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 必须满足对于所有 $i \in \mathrm{X}$ 有 Supp $P_{i} \supseteq \mathsf{Supp} \rho_{i}$ 。同时证明，如果这组态满足完备性条件 $\oplus_{i \in \mathrm{X}} \mathsf{Supp} \rho_{i} = \mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ ，则该 POVM 必然是一个 PVM。

练习 2.56 证明如果一个原子仪器是可重复的，那么它必然具有正交的 POVM（该结论仅对 $\mathrm{dim} \mathcal{H}_{\mathrm{A}} < \infty$ 成立）。

对于非原子仪器（或无限维情况），练习 2.56 的结果不一定成立。一个具有通常非正交 POVM 的非原子可重复仪器的例子是测量-制备仪器：

其中 $Q_{i}$ 是区分态 $\nu_{i}$ 的 POVM。

注意对于原子仪器 $\{{\mathcal{T}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 且 $\mathcal{T}_{i} = A_{i} \cdot A_{i}^{\dagger}$，可重复性条件意味着 $A_{i} A_{j} ~ = ~ 0$。但这并不意味着 $A_{i} A_{j}^{\dagger} ~ = ~ 0$，而后者才是 POVM $\{P_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 正交性所对应的条件，因为 $P_{i} = A_{i}^{\dagger} A_{i}$。

此外，我们指出，由于被区分态的支撑集正交，区分仪器必须满足基数 $| \mathrm{X} | \ \leq$ dim $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$。可重复仪器也必须满足相同的上界，因为可重复性等价于仪器输出态的可区分性。正如我们所看到的，冯·诺伊曼–吕德斯仪器既是可区分的也是可重复的，并且在所有可区分测量中，它产生的扰动最小，因为它将态保持在正交投影子的支撑集中不变。冯·诺伊曼测量是冯·诺伊曼–吕德斯类中区分最多数量态的那一种，其数量等于 dim $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$。这些态必须是纯态且正交的——也就是说，对应于正交向量。

2.8.6 概率精确态区分#

从以上内容我们推断，不可能完美区分两个非正交态。纯态情形的一个直接证明由以下练习给出。

练习2.57 [两个非正交态完美区分的不可能性] 证明不可能完美区分两个非正交纯态。²²

尽管非正交态不能被完美区分，但当这些态对应于线性无关向量时，可以在非单位概率下实现无误差区分。更准确地说，对于线性无关向量，可以构造一种测量，在对相应纯态进行区分时不会产生错误，但有时会给出不确定结果。如练习2.58所示。

练习2.58 [非正交纯态的概率精确区分] 考虑N个线性无关的非正交归一化向量 $\{| \psi_{i} \rangle \}_{i \in \mathrm{X}} \in \mathcal{H}$。证明存在如下形式的 POVM

对于适当的 $\alpha \ > \ 0$ 和 $\{| \varphi_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \ \in \ {\mathcal{H}}$（它们是单位向量 $\{| \psi_{i} \rangle \}_{i \in \mathrm{X}}$ 的对偶集合，即满足当 $i \neq j$ 时 $\langle \psi_{i} \vert \varphi_{j} \rangle = 0$），该 POVM 可以无误地区分态 $\{| \psi_{i} \rangle \langle \psi_{i} | \}_{i \in \mathrm{X}}$。找出 α 的允许值，并给出其最优值，以最小化不确定事件“?”在等概率情况下的概率。

练习 2.59 如练习 2.58 所述，考虑在 $\mathbb{C}^{2}$ 中区分两个纯态，对应于非正交向量 $| \psi_{1} \rangle \equiv | 0 \rangle$ 和 $\begin{array}{r} {| \psi_{2} \rangle \equiv \frac{1} {\sqrt{2}} ( | 0 \rangle + | 1 \rangle )} \end$ 。证明 $\alpha_{\mathrm{opt}} = \sqrt{2} / ( 1 + \sqrt{2} )$。

练习 2.60 解释为什么我们无法区分对应于线性相关向量集合的纯态？

练习 2.61 证明如果我们有足够多的副本，可以使对应于线性相关向量的一组纯态变得完全可区分。

2.9 经典理论作为量子理论的限制#

在本节中，我们将证明经典理论是量子理论的一种限制，其中经典系统的态集合是相应量子系统 A 的最大正交纯态集合的凸包，并且我们假设无限制假设。

我们将使用向量表示法 $\mathbf{x} = ( x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{n} ) \in \mathbb{R}^{n}$，其中 $\textbf{x} \ge \textbf{0}$ 表示 $x_{i} \geq 0 , \forall i = 1 , . . . , n$，$\mathbf{x} \leq 1$ 表示 $x_{i} \leq 1 , \forall i = 1 , \ldots , n$，且 $\left. \mathbf{x} \right. _{1} : = \textstyle \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |$。我们用 $\mathsf{S}_{+}^{n}$ 表示满足 $\mathbf{x} \geq 0$ 的 n 维向量的凸锥，用 $\mathsf{S}^{n}$ 表示满足 $\mathbf{x} \ge 0$ 且 $\| \mathbf{x} \| _{1} \leq 1$ 的 n 维亚随机向量的凸集，用 $\mathsf{S}_{1}^{n}$ 表示满足 $\mathbf{x} \ge 0$ 且 $\| \mathbf{x} \| _{1} = 1$ 的 n 维随机向量的凸集。

练习 2.62 证明 ${\mathsf{S}}_{1}^{n} \simeq{\mathsf{S}}^{n - 1}$ 是同构凸集，并且 $\mathsf{S}^{n}$ 是一个 n 维单纯形，即 $\mathbb{R}^{n - 1}$ 中 $n + 1$ 个仿射独立点的凸包。

从练习 2.62 中我们看到 ${\mathsf S}_{1}^{1} \simeq{\mathsf S}^{0}$ 是一个点，$\mathsf{S}_{1}^{2} \simeq \mathsf{S}^{1}$ 是一条线段，$\mathsf{S}_{1}^{3} \simeq \mathsf{S}^{2}$ 是一个三角形，$\mathsf{S}_{1}^{4} \simeq \mathsf{S}^{3}$ 是一个四面体，依此类推。

在有限维经典理论中，每一个系统 A 都与一个 $n_{\mathrm{A}}$ 维线性空间 $\mathbb{R}^{n_{\mathrm{A}}}$ 相关联，其态集合由 $\mathtt{S}^{n_{\mathrm{A}}}$ 给出，即 $n_{\mathrm{A}}$ 维亚随机向量的集合。复合系统 AB 的维度为 $n_{\mathrm{AB}} = n_{\mathrm{A}} \times n_{\mathrm{B}}$。效应和变换在无限制假设下确定。

由于系统的态凸集是单纯形，我们称经典理论为单纯形理论。对于 $n = 2$，经典系统称为比特，$n = 3$ 称为三进制元，对于一般的 n 称为 n 进制元。容易看出，在无限制假设（公设 3）下，对于 n 进制元有：

1. 归一化态的凸集是 ${\mathsf S}_{1}^{n} \simeq{\mathsf S}^{n - 1}$；
2. 效应的凸集是受单位支配的正向量集合 $\mathsf{E}^{n}$，即 $0 \leq \mathbf{x} \leq 1$；
3. 从 n 维系统到 m 维系统的变换凸集是马尔可夫变换集合 ${\mathsf{T}} ( n , m )$，由 $m \times n$ 矩阵 M 表示，该矩阵是亚随机的，即每一列向量 $\mathbf{M} ( i ) \in \mathsf{S}^{n}$ 都是一个亚随机向量，对于 $\forall i = 1 , \ldots , n$。变换表示为 $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{y} = \mathbf{M} \mathbf{x}$，其中 ${\mathbf{x}} \in \mathsf{S}_{n} , {\mathbf{y}} \in \mathsf{S}_{m}$。

练习 2.63 找出 n 维经典系统的原子效应。

练习 2.64 找出 ${\mathsf{T}} ( n , m )$ 中的原子变换。

根据我们上述论述，可以将经典理论视为量子理论的一个限制，具体做法是将经典系统 A 等同于量子系统，并将状态限制为固定最大正交纯态集合的凸组合，即形如

图2.3 经典理论的状态凸集.

其中 $\{| l \rangle \}_{d = 1}^{d}$ 是 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 中的一个固定正交基，并假设无限制假设成立。

练习 2.65 证明 T(n, m) 的 Kraus 算子被限制为与二元组 $|k\rangle\langle l|$ 成比例，其中 $1 \leq k \leq m$，$1 \leq l \leq n$。

练习 2.66 刻画经典理论的可逆变换。

练习 2.67 找出经典理论的确定性变换。

练习 2.68 证明经典理论中的恒等变换不是原子的。

练习 2.69 证明原则 1–5 同样适用于经典理论。

练习 2.70 证明经典理论中不存在纠缠态，因此纯化原则不成立。

练习 2.71 证明为了得到经典理论，我们可以在原则 1–5 中添加的原则是：对于任何系统，所有纯态均可完美联合区分。

2.10 纯化#

在本节中，我们将推导量子理论的纯化原则，在公理化推导中，这将成为独特的量子公理。正如我们将在第 7 章中看到的，理论中一些最具“量子特征”的性质（例如纠缠、隐形传态、导引态的存在、可逆性、过程层析成像、无干扰则无信息）都是纯化原则的直接结果。本节探讨的纯化原则的一些推论将在第 7 章和第三部分中不使用 Hilbert 空间重新推导，而仅作为原则的推论。

2.10.1 状态的纯化#

我们在练习 2.21 中看到，一般而言，纯联合态 $\Psi \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{AB} )$ 的边缘态 $\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ 不一定为纯态。反之呢？即：给定一个状态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$，是否总是存在某个系统 B 的一个纯态 $\Psi \in{\sf S t} ( \mathrm{AB} )$，以 $\rho$ 为其边缘态？这种情况由以下图解方程表示：

我们记 $| \rho )_{\mathrm{A}} = ( e | _{\mathrm{B}} | \Psi )_{\mathrm{AB}}$，并称状态 $| \Psi )_{\mathrm{AB}}$ 为状态 $\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ 的一个纯化。这一纯化概念可以很容易地推广到概率性状态，因为这仅相当于将 (2.10.1) 中的两个状态同时乘以一个概率 $0 < p \le 1$，并且 $| \Psi )_{\mathrm{AB}}$ 是确定性的当且仅当 $| \rho )_{\mathrm{A}}$ 是确定性的。系统 B 被称为纯化系统或参考系统。量子理论的一个独特特征是任何状态总能找到纯化。这可以通过考虑一个对应于向量 $| \Psi \rangle \rangle \in \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{B}}$ 的纯二分态来轻易证明，其中 $\Psi \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} \to \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$，并回顾

利用 $\Psi$ 的极分解（见附录 2.1），我们看到所有能纯化 $\rho$ 的可能状态都形如 $| \Psi \rangle \rangle \langle \langle \Psi |$，其中

即 V 是一个部分等距算子，其支撑等于 Supp $\rho$。由于 $| \rho^{\frac{1}{2}} V^{\dagger} \rangle \rangle \ := \ : ( I \otimes V^{*} ) | \rho^{\frac{1}{2}} \rangle \rangle$，可以看出等距算子 V 将 Supp $\rho$ 简单地嵌入到参考希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{B}}$ 中，即它相当于将 $\mathcal{H}_{\mathrm{B}}$ 中的一组标准正交向量与 Supp $\rho$ 中的标准正交基相关联。事实上，对于谱分解 $\rho = \textstyle \sum_{i} | \lambda_{i} \rangle \langle \lambda_{i} |$，纯化可以写作 $| \Psi \rangle \rangle \langle \langle \Psi |$，其中

且 $\{| u_{i} \rangle \}$ 是 $\mathcal{H}_{\mathrm{B}}$ 中的标准正交集，由下式给出

这里，所有向量都依据为定义 $| I \rangle \rangle_{\mathrm{B}}^{23}$ 所选的标准基写出，并且我们选取了式 (2.62) 中的具体纯化方式。也可以等价地将同一个纯化写成如下形式：

其中 {|j⟩} 是定义 |I⟩⟩$_{\mathrm{B}}$ 的标准基，并且

注意到式 (2.64) 中求和的基数通常大于式 (2.63) 中的。这两种不同的纯化写法反映了式 (2.18) 中等距等价的分解 $\begin{array}{r} {\rho = \sum_{i} \vert \lambda_{i} \rangle \langle \lambda_{i} \vert = \sum_{j} \vert \psi_{j} \rangle \langle \psi_{j} \vert} \end$。

练习 2.72 证明式 (2.64) 和 (2.65)。

由以上讨论可知，对于量子理论，以下原理成立。

原理 6（纯化原理） 每个态都存在纯化。对于固定的纯化系统，同一态的任何两个纯化都可通过纯化系统上的一个可逆变换相联系。

在该原理中，我们利用了以下事实：对于固定的纯化系统 B，两个不同的纯化可通过酉算子 $U \in \mathsf{Lin} ( \mathbf{B} )$ 联系起来，如下所示：

值得注意的是，纯化原理（原理 6）在经典理论中并不成立，而其他所有原理 1-5 都成立（见练习 2.69）。

练习 2.73 证明混合态的纯化必然是一个纠缠态，因此原理 6 不适用于经典理论。

纯化的一个相关性质由以下引理给出。

引理 2.13 一个态的纯化也能导引该态的任何细化。具体地，若 $| \Psi \rangle_{\mathrm{AB}}$ 纯化了 $\rho_{\mathrm{A}}$，则它能导引每个态 $\sigma \in \mathsf{RefS} \ \rho$，即存在一个效应 $b_{\sigma} \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$，通过如下方式提供 σ 的制备：

反之，每个效应 $a \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$ 通过式(2.67)的方案操纵（steer）一个态 $\sigma_{a} \in$ RefSet $\rho$（可能包含零态）。

证明 我们回忆，RefSet $\rho$ 是支撑包含在 Supp $\rho$ 内（见式(2.32)）的密度算符集合乘以适当的正常数。因此只需对 Supp $\rho$ 上的纯态证明该结论即可，因为任何混合态都是纯态之和，对应的效应也是各纯态对应效应之和。对于任意纯态 $\begin{array}{r} {| \varphi \rangle = \sum_{i} \nu_{i} | \lambda_{i} \rangle \in \mathsf{Supp} \rho} \end$，考虑秩一效应 $| \nu_{\varphi} \rangle \langle \nu_{\varphi} | \in \mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} )$，其中 $\begin{array}{r} {| \nu_{\varphi} \rangle = \sum_{i} \nu_{i}^{*} | u_{i} \rangle} \end$，而 $\left| u_{i} \right.$ 由式(2.63)给出。事实上，我们可以立即验证

最后，每个效应 $b \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$ 通过式(2.67)操纵一个精炼 $\rho$ 的态 $\sigma_{b} \in \mathsf{St} ( \mathbf{A} )$，因为 $b$ 精炼了对 $\rho$ 的确定性效应。最后容易验证，对应混合 $\sigma$ 分解为纯态的各效应之和受恒等算符支配。

对于一般混合态 $\rho$，我们可以限制在其支撑上（另见问题2.24），并考虑算符 $\rho$ 可逆。操纵 $\sigma \le \rho$ 的效应 $E_{\sigma}$ 的一个显式构造由以下效应给出

可立即验证 ${\cal E}_{\sigma} \leq{\cal I}_{\mathrm{B}}$，且

注 内部态的纯化是一个操纵态（steering state），即它允许我们通过施加适当效应 $b_{\sigma} \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$ 来制备任意态 $\sigma \in{\sf S t} ( {\bf A} )$。

引理2.13与局域可辨别性原理（原理2）结合，带来如下推论。

定理2.14（输入 $\rho$ 时相等 vs 纯化上相等） 设 $\Psi \in \mathsf{St}_{1} ( \mathsf{AC} )$ 是 $\mathbf{\sigma} ) \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ 的一个纯化，且 $\mathcal{A} , \mathcal{A}^{\prime} \in \mathsf{Transf} ( \mathsf{A {} B} )$ 是两个变换。则有

其中 $A = _{\rho}$ 表示两个变换 $\mathcal{A} , \mathcal{A}^{\prime}$ 在输入 $\rho$ 时相等，即它们在 ${\bf{\dot{\rho}}}_{\rho}$ 的精炼集上的限制相等。

证明 由于 $\Psi$ 是 $\rho$ 的纯化，根据引理2.13，$\sigma$ 属于 $\rho$ 的精炼集当且仅当存在效应 $b \in \mathsf{Eff} ( \mathbf{B} )$ 使得

因此，$\mathcal{A} = _{\rho} \mathcal{A}^{\prime}$ 当且仅当

这等价于要求态 ${\mathcal{A}} | \Psi )_{\mathrm{AC}}$ 和 ${\mathcal{A}}^{\prime} | \Psi )_{\mathrm{AC}}$ 无法被局域测试区分，即当且仅当

根据局域可区分性原理，式(2.70)等价于 ${\mathcal{A}} | \Psi )_{\mathrm{AC}} = {\mathcal{A}}^{\prime} | \Psi )_{\mathrm{AC}}$ 。

注意在上述定理中，$\rho$ 的纯化选择是任意的，即等式(2.69)对于 $\rho$ 的任何其他纯化 $| \Phi )_{\mathrm{AC}}$ 同样成立。

2.10.2 忠实态与辅助态层析成像#

根据定理2.14，两个变换在输入 $\rho$ 时相等当且仅当它们对 $\rho$ 的纯化作用相同。如果 $\rho$ 是完全混合态，即其精炼集张成整个 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} )$，则 Supp $\rho = \mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 是系统A的完整希尔伯特空间，这意味着这两个变换对所有可能的输入态作用相同，并且根据局域可区分性原理，这意味着这两个变换是相同的。这也意味着对内部态 $\rho$ 的纯化 $| \Psi_{\rho} \rangle \rangle$ 作用相同的两个变换是同一变换。换句话说，变换 $\mathcal{A}$ 在内部态 $\rho$ 的纯化 $| \Psi_{\rho} \rangle \rangle$ 上的作用完全刻画了变换 ${\mathcal{A}}$。因此我们将 $| \Psi_{\rho} \rangle \rangle$ 称为忠实态，即输出态 $( \mathcal{A} \otimes \mathcal{T} ) | \Psi_{\rho} \rangle \rangle$ 与变换 ${\mathcal{A}}$ 一一对应。因此，我们无需运行信息完备制备测试来对变换 ${\mathcal{A}}$ 进行层析成像，只需使用单一输入态 $| \Psi_{\rho} \rangle \rangle \langle \langle \Psi_{\rho} |$ 并采用以下设置：

在输出端进行两次局域信息完备的观测检验。上述方法称为辅助系统辅助层析成像。下面提供一个应用例子。

练习 2.74 设 $d = \mathrm{dim} {\mathcal{H}}_{\mathrm{A}} < \infty$，态 $\frac{1} {d} | I I |$ 是忠实的。说明如何通过执行辅助系统辅助层析成像恢复算子 $A \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} )$ 的所有矩阵元素（除了相位因子）。[提示：利用恒等式 $| A \rangle \rangle = ( A \otimes I ) | I \rangle \rangle$，并根据期望值 $\langle \langle \Phi | i_{0} , j_{0} \rangle \rangle \langle \langle i , j | \Phi \rangle \rangle$ 来评估 ${\bf \dot{\boldsymbol{A}}}_{i j}$ 的矩阵元素，其中 $\begin{array}{r} {| \Phi \rangle \rangle = \frac{1} {\sqrt{d}} ( A \otimes I ) | I \rangle \rangle \rangle . ]} \end$]

练习 2.75 Choi–Jamiołkowski 同构对应于忠实态 $\begin{array}{r} {\Omega = \frac{1} {d} \vert I \rangle \rangle \langle \langle I \vert \in \mathbb{S} \mathrm{t}_{1} ( \mathrm{AA} )} \end$ 的特殊情况。是否存在其他忠实态 $\mathsf{St}_{1} ( \mathrm{AA} )$ 能诱导出 $\mathsf{St}_{+} ( \mathrm{BA} )$ 和 $\mathsf{Transf}_{+} ( \mathrm{A} {} \mathrm{B} )$ 之间的锥同构？

在问题 2.27 中，针对一般输入态 $\Psi$ 推导了与练习 2.74 类似的结果，表明该方法也适用于无限维情况。

我们回忆一下，内部态的纯化也是一个导引态，即它允许我们通过应用一个合适的效应 $b_{\sigma} \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{B} )$ 来制备任何态 $\sigma \in{\sf S t} ( {\sf A} )$。

2.10.3 无信息则无扰动#

如果系统 A 上的一个检验 $\{{\mathcal{A}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 在输入 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 时是非扰动的，则称该检验在输入 $\rho$ 时非扰动，意思是粗粒化后的检验等价于恒等映射，即

这意味着该检验不会扰动任何态 $\sigma \in \mathsf{RefS}$ et $\rho$。如果 $\rho$ 是完全混合态，则该检验就是简单的非扰动，这意味着 $\widehat{A}$ 在任何态上都是恒等映射。

一个由事件 $\mathcal{A}_{i} \in \mathsf{T r a n s f ( A {} B )}$ 组成的检验 $\{{\mathcal{A}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 当每个结果的出概率与系统态无关时，即每个事件的效应与确定性效应成正比时，不提供关于系统的任何信息：

显然，检验的无信息特性可以平凡地限制在输入 $\rho$ 时，如下所示：

由此直接可得，检验在输入 $\mathbf{\xi}_{\rho}$ 时提供无信息检验的充要条件是

其中 $\mathcal{D} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A {} B )}$ 是确定性的。

于是我们有如下相关定理。

定理 2.15 (无信息则无扰动) 如果一个检验 $\{\mathcal A_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \subseteq \mathsf{T r a n s f ( A )}$ 在输入 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 时是非扰动的，则它在输入 ${\bf \dot{\rho}}_{\beta}$ 时不提供信息。

证明 设 $\Psi ~ \in ~ \mathsf{St} ( \mathrm{AB} )$ 是 $\rho ~ \in ~ \mathsf{St} ( \mathbf{A} )$ 的一个纯化。由定理 2.14，非扰动条件 $\widehat{\mathcal{A}} = _{\rho} \ \mathcal{T}_{\mathrm{A}}$ 成立当且仅当

由于 $\Psi$ 是纯态，分解中的每一项必须正比于 $| \Psi )_{\mathrm{AB}}$，即 $\mathcal{A}_{i} | \Psi )_{\mathrm{AB}} = _{\rho} p_{i} | \Psi )_{\mathrm{AB}} = _{\rho} ( p_{i} \mathcal{T}_{\mathrm{A}} ) | \Psi )_{\mathrm{AB}}$，再次由定理 2.14，这等价于 $\mathcal{A}_{i} = _{\rho} \ p_{i} \mathcal{T}_{\mathrm{A}}$，因此该检验在输入 $\rho$ 时是一个无信息检验。

2.10.4 变换的纯化#

现在我们将看到纯化概念如何扩展到变换。我们说变换 $\mathcal{A} \in \mathsf{Transf( A \to B )}$ 由原子变换 $\mathcal{P} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} {} \mathrm{BE} )$（纯化系统 E 通常称为环境）纯化，如果

用映射的Kraus形式明确表示为

其中 $\{| i \rangle \} \subseteq{\mathcal{H}}_{\mathrm{E}}$ 是一个标准正交集。容易看出，纯化变换 $\mathcal{P} ( \rho ) = A \rho A^{\dagger}$ 在环境 E 上的等距变换（对应于将最小维度的 $\mathcal{H}_{\mathrm{E}} \left( \mathrm{e . g .} \right.$ 用于标准Kraus）嵌入到更大的希尔伯特空间，和/或改变标准正交集 $\{| i \rangle \} \in{\mathcal{H}}_{\mathrm{E}}$）意义下是唯一的。

练习 2.76 [Stinespring] 证明式 (2.71) 中变换纯化的海森堡图像版本由 $\mathcal{A}^{\dagger} ( X ) = A^{\dagger} ( X \otimes I_{\mathrm{E}} ) A$ 给出。

类似于量子态的情况，量子变换的纯化也纯化了其整个精炼集。这意味着对于每个变换 $\textit{B} \in$ RefSet _A，环境上存在一个效应 $a_{B}$，使得以下图表对 $\mathcal{P}$ 的纯化成立：

同样，只需对原子变换 $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{B}^{\dagger}$ 在 $\begin{array}{r} {\mathcal{A} = \sum_{i} \boldsymbol{A}_{i} \cdot \boldsymbol{A}_{i}^{\dagger}} \end$ 的精炼集中证明该陈述即可。如练习 2.49 所示，属于 精炼集的量子操作的Kraus算符是 的Kraus算符的线性组合。因此精炼集中 的任意原子变换 可以通过使用秩为一的效应 $| \nu_{B} \rangle \langle \nu_{B} | \in \mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{E}} )$，其中 $\begin{array}{r} {| \nu_{B} \rangle = \sum_{i} \nu_{i}^{*} | i \rangle} \end$，如下得到：

由推论 2.10 可得，确定性变换（即量子信道）的纯化是等距的，即

利用附录 2.2 中量子扩展的金色规则

以$| 0 \rangle_{\mathrm{F}} ~ \in ~ \mathcal{H}_{\mathrm{F}}$为任意选定的单位向量，$U \ \in \ \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{F}} )$为合适的酉算子，可以证明任意确定性量子变换都能通过与环境的酉相互作用实现如下：

在图表上，式(2.74)可表示为：

练习2.77 推导式(2.74)。

练习2.78 [量子仪器的扩展] 考虑一个量子仪器$\{{\mathcal{T}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$，其中$\mathcal{T}_{i} \in \mathsf{Transf} ( \mathsf{A {} B} ) \quad \forall i \in \mathrm{X}$。证明它可以作为间接测量实现如下：

即，系统A与环境F（处于状态$\sigma \in \mathsf{PurSt}_{1} ( \mathsf{F} )$）经由酉算子$U \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{F}} )$相互作用，随后在（通常不同的）环境E上进行PVM测量$\{Z_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{E}} )$。分别找出输入和输出希尔伯特空间$\mathcal{H}_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{F}}$与$\mathcal{H}_{\mathrm{B}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{E}}$之间的关系，确定U和$\{Z_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$的显式形式，并证明辅助系统F可以取任意所需的纯态σ。

练习2.79 [量子仪器的Stinespring形式] 证明海森堡绘景下的量子仪器$\{{\mathcal{T}}_{i} \}_{i \in{\mathrm{X}}}$（其中$\mathcal{T}_{i} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} {} \mathrm{B} ) \quad \forall i \in \mathrm{X}$）可以写为：

其中$V \in \mathrm{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} {} \mathcal{H}_{\mathrm{B}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{E}} )$在$\mathcal{H}_{A}$上为等距，因此量子通道在海森堡绘景下的形式为：

练习2.80 设 为量子通道，其Choi算子为$R_{\mathcal{A}} \in \mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{BA}} )$。证明其最小扩展等距由下式给出：

练习2.81 考虑对应于间接冯·诺依曼测量方案的量子仪器，其中辅助系统处于混合态。用辅助系统的制备、相互作用的酉算子以及冯·诺依曼测量的正交基，推导其Kraus算子。

2.10.5 效应的纯化与膨胀#

纯化原理已引入于态，随后扩展至变换。然而，可以立即看出它不能扩展到效应。有人可能会反驳说，效应只是输出系统平凡的一种特殊变换。但变换的纯化是一种需要丢弃非平凡环境系统的变换，如式(2.71)所示，因此效应的纯化会是变换，而非效应。我们在此寻求的是效应被另一效应纯化，即一种“对偶纯化”，其中不是求迹掉输出环境，而是希望将效应实现为二分效应，将输入环境制备成适当状态。这将是方案(2.67)的逆转。

因此，纯化一个效应$( a | _{\mathrm{A}}$意味着拥有一个原子效应$( A | _{\mathrm{AB}}$以及B的适当状态$\sigma_{a}$，使得下图成立：

这样的纯化方案通常是不可能的，这可通过一个反例简单证明：确定性效应。确定性效应确实不是原子的，因为它是一个观察测试的粗粒化。

引理 2.16 不可能纯化确定性效应，即无法找到一个原子效应 $E$ 和一个态 $\sigma \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$，使得

证明 在量子理论中，一个原子效应是一个秩一算子的期望值。因此，纯化效应 $( E | _{\mathrm{AB}}$ 对应于一个秩一算子 $| E \rangle \rangle \langle \langle E | \leq I_{\mathrm{AB}}$，其作用如下：

由于支配关系 $| E \rangle \rangle \langle \langle E | \leq I_{\mathrm{AB}}$，我们有 $\| E \| _{2} \leq 1$，因为 $\langle \langle E | ( I_{\mathrm{AB}} - | E \rangle \rangle \langle \langle E | ) | E \rangle \rangle =$ $\| E \| _{2}^{2} ( 1 - \| E \| _{2}^{2} ) \geq 0$。但式 (2.78) 意味着 $E \sigma^{T} E^{\dagger} = I_{\mathrm{A}}$，这要求 $E$ 和 $\sigma$ 都是满秩的。那么 $\sigma^{T} = ( E^{\dagger} E )^{- 1}$。然而由于 $E^{\dagger} E$ 是满秩的且 $\mathrm{Tr} [ E^{\dagger} E ] \leq 1$，$E^{\dagger} E$ 的所有特征值都严格小于 1，因此 Tr $\sigma ~ = ~ \mathrm{Tr} ( E^{\dagger} E )^{- 1} ~ > ~ 1$，矛盾。□

更一般地说，我们无法保证存在一个原子效应 $( A | _{\mathrm{AB}}$，使得式 (2.78) 中的纯化以 $( a | _{\mathrm{A}}$ 代替 $( e | _{\mathrm{A}}$ 且对于某个态 $| \sigma_{a} )_{\mathrm{B}}$ 成立。这并不排除某些特殊情况下纯化可行的可能性。事实上，单位分解的一个秩一分解

可以纯化任何如下形式的 POVM

对应局部态 $\sigma \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{B} )$ 如下：

练习 2.83 验证了 $E_{i}$ 确实是一个 POVM。

练习 2.82 证明以下恒等式等价，其中 $\{A_{i} \}_{i \in \mathbf{X}}$ 和 $\{B_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 都是 $\mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} \to \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 中的算子集合，且 $\forall X \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 和 $\forall Y \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} )$：

练习 2.83 利用练习 2.81 的结果，验证式 (2.79) 中的 $\{E_{i} \}_{i \in X}$ 是一个 POVM，并且式 (2.80) 给出了式 (2.79) 中的 POVM。

POVM 扩展与膨胀 在实践中，比起纯化效应，人们更感兴趣的是通过添加辅助系统，或者更一般地，从高维系统投影（前者通常称为 POVM 扩展，后者称为 POVM 膨胀）来从 PVM 实现 POVM。在以下练习中，我们考虑其中的一些情况，最一般的是 Naimark 膨胀。

练习 2.84 [Naimark 膨胀] 将 POVM 视为一种仪器，其最终系统是平凡系统。利用练习 2.77 中的仪器膨胀，证明每个 POVM $\{P_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 都可以膨胀成更大希尔伯特空间上的一个 PVM。更精确地说，对于 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上的一个 POVM $\{P_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$，存在一个希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{B}} \supseteq \mathcal{H}_{\mathrm{A}}$、一个 $\mathcal{H}_{\mathrm{B}}$ 上的 PVM $\{Z_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$，以及一个等距算子 $V \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \to \mathcal{H}_{\mathrm{B}} )$，使得

这个 PVM $\{Z_{i} \}$ 被称为 POVM $\{P_{i} \}$ 的 Naimark 膨胀。

练习 2.85 在有些文献中，Naimark 膨胀写作

其中 $W \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} )$ 是 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上的正交投影算子。将 $W$ 与式 (2.84) 中的等距算子 $V$ 联系起来。

练习 2.86 通过代入 $Z_{i}$ 和 $V$ 的显式形式来证明恒等式 (2.84)。

练习 2.87 证明存在无穷多个不等价的 Naimark 膨胀，其扩展希尔伯特空间的维数可以任意大。由 POVM 元素的本征向量构成的 PVM 情况称为标准 Naimark 膨胀。证明它满足 ${\mathrm{rank}} ( Z_{i} ) = {\mathrm{rank}} ( P_{i} ) \forall i \in \mathrm{X}$。具有相同秩的每个膨胀称为最小膨胀。

练习 2.88 注意到希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{B}} \supseteq \mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 的维数通常不是 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 维数的整数倍。当这种情况发生时，则存在一个辅助系统 E 使得 $\mathcal{H}_{\mathrm{B}} = \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{E}}$。在这种情况下，证明 POVM 可以通过间接测量实现如下：

即，该 POVM 等价于系统+辅助系统上的联合 PVM $U^{\dagger} Z_{i} U$，其中辅助系统制备在固定的纯态 $|0\rangle$ 上。

练习 2.89 [最小 Naimark 膨胀] 确定 Naimark 膨胀的最小维数 dim $\mathcal{H}_{\mathrm{B}}$。

练习 2.90 [阿贝尔 POVM] 证明由可交换正算子构成的 POVM 等价于一个有误差的可观测量，即存在一个非零概率将结果混淆为另一个。找到一个 Naimark 膨胀。

2.11 量子不可克隆定理#

证明两个非正交态无法区分的另一条途径是著名的不可克隆定理。

定理 2.17 (量子不可克隆定理) 不存在确定性的变换，能从两个非正交纯态构成的集合中产生一个态的两个相同副本。

证明 用 $| \varphi_{i} \rangle \}_{i = 1 , 2}$ 表示我们想要克隆的两个单位向量，满足 $0 < | \langle \varphi_{1} | \varphi_{2} \rangle | < 1$。实现克隆的确定性变换 $\mathcal{C} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} \to \mathrm{AA} )$ 将如下运作：

如果这样的变换存在，那么它可以纯化为一个原子变换：$\mathcal{C} ( \boldsymbol{\rho} ) = \operatorname{Tr}_{\mathrm{E}} ( A \rho A^{\dagger} )$，其中带有合适的环境 E。在纯化形式下，该变换的作用为

然而，由于确定性，算符 A 应该是等距的，因此对上一方程中两个向量取标量积，我们得到

这意味着要么 $| \langle \varphi_{1} | \varphi_{2} \rangle | ~ = ~ 0 ~ \mathrm{or} ~ | \langle \varphi_{1} | \varphi_{2} \rangle | ~ = ~ | \langle u_{1} | u_{2} \rangle | ^{- 1} ~ \geq ~ 1$ ，与假设矛盾。

显然，无法从一组两个非正交态中制备一个态的两个副本，这更有力地证明了从任何非正交集合中任意态制备任意数目 $N \geq 2$ 的副本的普遍不可能性。

不可克隆定理可用于证明无法确定单个量子系统的状态。

推论 2.18 ²⁴ 不存在任何测量方案能够确定单个量子系统的状态。

证明 该陈述可通过反证法证明，假设原则上可以制备任何想要的已知量子态。论证如下：如果能够确定单个量子系统的量子态，那么就可以通过态制备实现完美克隆。反之，如果完美克隆是可能的，那么通过量子层析成像，单个量子系统的量子态就能以任意精度确定。

认识到克隆和区分是等价任务后，现在很明显，两个非正交态的精确克隆确实是可能的，但只能是概率性的，即存在非零的失败概率。实际上，我们可以使用练习 2.57 和 2.58 中给出的 POVM 形式来构建一个测量-制备仪器，对于结果 i 制备第 i 个态的多个副本，而对于不确定的结果则失败。

2.12 冯·诺依曼假设：我们真的需要它吗？#

量子咒语 5 中的冯·诺依曼假设旨在解决一个明显矛盾：一方面我们观察到量子测量中的确定结果，另一方面我们从根本上用幺正相互作用描述所有量子过程。这个矛盾在薛定谔的著名的“薛定谔的猫悖论”²⁵ 中被充分阐述。该悖论基于这样一个事实：在幺正相互作用之后，系统和测量装置处于纠缠态。这是因为装置在测量处于态 |i⟩ 的系统时，必须通过演化到态 |i⟩ 来报告任何可能的结果 i，因此如果系统例如处于叠加态 $\frac{1}{\sqrt{2}} (|1\rangle + |2\rangle)$，由于线性性，系统和装置将纠缠在态 $\frac{1}{\sqrt{2}} (|1\rangle \otimes |1\rangle + |2\rangle \otimes |2\rangle)$ 中。但实际结果是一个确定的值 i，这似乎与两个系统纠缠的说法相矛盾。薛定谔以戏剧化的方式描述该问题，将宏观装置比作一只具有“死”和“活”两种“状态”的猫，对应于作为被测系统的放射性原子的“衰变”或“未衰变”状态。

冯·诺依曼假设通过假定纠缠态“坍缩”到纠缠态中叠加的两个可能性之一，为薛定谔猫悖论提供了一种解决方案。然而，这又引发了另一个问题：我们何时应该在幺正演化之外调用坍缩，这打开了量子理论解释的潘多拉魔盒，而对这些解释的考虑不在本书的意图之内。

在量子咒语 5 中，我们真的需要冯·诺依曼假设吗？毕竟，似乎该假设只解决了一个解释性问题，因为正如我们将在后面看到的，幺正演化和玻恩规则足以正确做出所有期望的预测，包括确定测量后被测系统的状态。

我们将量子测量描述为被测量的量子系统A与测量装置之间的相互作用，测量装置被分为指针P（对应我们读取结果的系统）和环境E（代表装置的其他所有组成部分）。由于信道的纯化定理，我们总是可以假设相互作用是幺正的。现在我们将证明，我们可以在不调用冯·诺依曼假设的情况下，确定测量系统A对应于结果i的状态$\rho_{i} \in \mathsf{St} ( \mathbf{A} )$。

根据定义，状态$\rho_{i} \in \mathsf{St} ( \mathbf{A} )$是一个能正确给出结果i与同一系统A上任何后续测量结果联合概率的状态。我们以最一般的方式描述后续测量，将量子效应$E_{j}$与一般结果$j$关联起来。于是，联合概率由玻恩规则给出

我们假设结果的读取是指针P的一个可观测量。那么，根据玻恩规则，结果i发生的概率由$| i \rangle \langle i |$在指针状态上的期望值给出。而对于环境E，我们不进行任何测量。因此，如果我们将被测系统A制备在状态$\rho$，并将仪器系统PE制备在联合纯态$| 0 \rangle \langle 0 |$（我们可以通过扩展E始终纯化状态），则联合概率将由下式给出：

对比方程(2.87)与方程(2.86)，并利用效应对于状态是可分离的这一事实，以及这两个方程必须对A的任何效应都成立，我们得到

利用我们的张量记号，可以将$\rho_{i}$写成如下形式：

其中$\{|k\rangle\}$是$\mathcal{H}_{\mathrm{E}}$的任意正交基。于是我们有

其中$A_{k}^{( i )} \in \mathsf{Lin} ( \mathrm{A} )$由下式给出

因此，对结果 i 测量后的概率态 $\rho_{i}$ 可以用量子仪器 $\begin{array}{r} {\mathcal{T}_{i} : = \sum_{k} A_{k}^{( i )} \cdot A_{k}^{( i ) \dagger}} \end$ 简洁描述，其中 $A_{k}^{( i )}$ 由式 (2.88) 给出，我们指出该式仅通过玻恩规则推导得出。

上述不依赖冯·诺依曼假设的测量理论描述，无法提供测量后指针 P 的局域态信息。为了像对系统 A 那样，同样从玻恩规则恢复 P 的态，需要将指针 P 本身视为被测量系统，并对其进行测量。但这会引入另一个带有另一指针 $\mathrm{P^{\prime}}_{\mathrm{3}}$ 的装置，从而打开一条无限的装置链，一个测量另一个。这种无限的测量装置链被称为“维格纳的朋友链”，源于维格纳针对薛定谔猫悖论提出的一个思想实验。该思想实验假设维格纳的一位朋友在维格纳离开实验室后进行薛定谔猫实验。只有等维格纳回来时，朋友才会告知他实验结果，否则朋友本应与猫和被测量系统纠缠。这里维格纳扮演指针 $\mathrm{P^{\prime}}_{\mathrm{:}}$ 的角色，而他的朋友是 P。

我们得出结论：幺正演化和玻恩规则足以对量子系统上的任何测量做出所有预测，包括测量后系统状态的评估。唯一无法推导的是指针的状态。后者最终代表我们对测量结果的认知，约翰·冯·诺依曼认为坍缩最终发生在我们意识中。²⁶ 冯·诺依曼深知维格纳的朋友问题，并且他将在量子（被测量系统）与经典（测量结果）之间沿链移动分界的可能性视为“科学观点的基本要求”，²⁷ 他对测量过程的讨论正是为了表明量子理论满足这一要求。

2.13 量子隐形传态#

从技术上讲，隐形传态意味着在一个远程系统 C 上准备与局域系统 A 相同的状态。我们如何能够隐形传态一个因不可克隆定理而无法知道的状态（参见推论2.18）？此外，即使我们知道量子态，如果待传输的信息量几乎是无限的（最简单的情况下需要传输 $\mathbb{C}^{2}$ 中的一个向量），我们又该如何精确传输它？这个谜题的答案²⁸是，如果在系统 C 和另一个与 A、C 相同且位于系统 A “附近”的系统 B 之间存在纠缠态，则可以实现隐形传态：B 需靠近 A 的要求是由对 AB 进行联合测量的需要决定的。

该协议包括对系统 A（待传态的系统）和 B（两个纠缠系统之一）联合进行贝尔测量，然后根据贝尔测量的结果对 C 进行幺正变换。因此，为了实现这一任务，我们需要两种资源：（1）与远程系统 C 之间已建立纠缠；（2）将经典信息传输到远程位置。由于隐形传态等同于一个恒等变换（除了希尔伯特空间的交换），根据“无扰动则无信息”（定理2.15），贝尔测量必须不提供任何关于待传态的信息：正如我们将在练习2.91中看到的，事实确实如此。

练习2.91 [隐形传态] 考虑以下旨在将状态从系统 A 传输到系统 C 的测量方案

在上图中，A、B、C 均为 d 维系统 $( d \ < \ \infty )$。$\Omega = \frac 1 d | F \rangle \rangle \langle \langle F | \ \in \ \mathsf{St}_{1} ( \mathsf{AB} )$ 是最大纠缠态（即 F 是幺正的），$\{B_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \subseteq \bar{\mathsf{E}} \mathsf{f} \mathsf{f} ( \mathrm{AB} ) , \mathrm{X} = \{0 , 1 , \dots , d^{2} - 1 \}$ 是贝尔测量，其中 $B_{i} = \mathrm{Tr} [ B_{i} . ] \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{AB} )$，而量子效应 $B_{i} : = \textstyle{\frac{1} {d}} | U_{i} \rangle \rangle \langle \langle U_{i} | \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{AB}} )$，且 $\{U_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 是一组正交幺正算子（见习题2.42）。$\mathcal{V}_{i} = V_{i} \cdot V_{i}^{\dagger} , i \in \mathrm{X} .$ 是作用于 C 上的幺正信道，这些信道根据贝尔测量的结果 i 条件性地执行。证明 $\mathcal{T}_{\mathrm{AC}} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} {} \mathrm{C} )$ 是量子隐形传态信道：

解

不失一般性，我们可以考虑隐形传态一个纯态 $| \psi \rangle \in{\mathcal{H}}_{\mathrm{A}}$ 的情况。在变换 $\mathcal{V}_{i} \in \text{Transf(C)}$ 的输入处，对于结果为 i 时系统 C 上的条件态由下式给出：

其中：

这里我们使用了恒等式 (2.51) 以及隐形传态张量：

它将态 $| \psi \rangle$ 从系统 A“隐形传态”到系统 C。从式 (2.90) 很容易看出，如果 F 是幺正的——即态 $\Omega$ 是最大纠缠——并且 $V_{i} = U_{i} F^{*} \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{C}} )$，那么态可以被隐形传态。结果为 i 的概率为：

与输入态 $\psi$ 无关，即测量未提供关于 $\psi$ 的信息。

在习题2.93中表明，对于混合态 $\Omega$，式 (2.89) 中的方案给出一个非原子仪器，而要使 $\tau$ 为原子，态 $\Omega$ 必须是纯的。同时还证明，当态 $\Omega$ 不是最大纠缠时，不可能确定性地实现完美隐形传态。这意味着在无穷维中不可能实现完美隐形传态，因为最大纠缠态 $\Omega$ 将不可归一化。

作为信道存储的隐形传态 隐形传态协议可用于将未知信道存储到量子态中。然而，信道的恢复只能以概率方式实现。该协议实际上是 Choi–Jamiołkowski 同构的物理实现。具体如下。

考虑贝尔测量 $P_{i} ~ = ~ {\textstyle{\frac{1} {d}}} | U_{i} \rangle \rangle \langle \langle U_{i} |$，其中 $i = 0 , \ldots , d^{2} - 1$，$\{U_{i} \}$ 是正交幺正算子，不失一般性取 $U_{0} = I_{d}$。信道 $\begin{array}{r} {\mathcal{C} = \sum_{i} \boldsymbol{C_{i}} \cdot \boldsymbol{C}_{i}^{\dagger}} \end$ 通过将其本地应用于处于态 $\Omega = {\textstyle \frac{1} {d}} | I \rangle \rangle \langle \langle I |$ 的两个相同 d 维系统来存储：

接着，利用习题2.93中的式(2.91)，我们看到该信道可通过 (V_{0} = I) 实现。然而遗憾的是，恢复该信道的概率仅为 (\frac{1}{d^{2}})（另见习题2.94）。

习题2.92 证明量子隐形传态是一种不提供关于被传态信息的仪器，因此它满足无信息则无干扰原理。

习题2.93 证明对于混合态 (\begin{array}{r} {\Omega = \sum_{j} | F_{j} \rangle \rangle \langle \langle F_{j} |} \end)，式(2.89)中的隐形传态方案给出的仪器为

证明为了实现精确隐形传态，态 (\Omega) 必须是纯态。证明对于非最大纠缠态 (\Omega)，不可能确定性地实现完美隐形传态。

习题2.94 是否可能通过使用不同于 (\Omega) 的双粒子态，来提高通过单次使用从态中恢复未知信道的概率？

上述协议提出了一个问题：是否有可能将已知信道存储到量子存储器中。这意味着制备一个依赖于待存储信道的适当辅助系统（存储器）的态：通过使存储器与系统进行适当相互作用，即可完美地从系统中恢复该信道。即使限于酉信道，以下定理也排除了这种可能性。

定理2.19（无编程定理）²⁹ 不存在能够通过改变辅助系统 B 的态来编程系统 A 上任意酉变换的信道，如式(2.92)所示。

证明 设 (W_{1}) 和 (W_{2}) 为 (\mathcal{H}{\mathrm{A}}) 上的任意一对酉变换，并设 (| \upsilon{1} \rangle) 和 (| \upsilon_{2} \rangle) 为 (\mathcal{H}{\mathrm{B}}) 中相应的编程态。然后，通过信道的等距纯化，我们将实现 (W{1}) 和 (W_{2}) 在任意态 (\psi \in \mathcal{H}_{\mathrm{A}}) 上编程的变换写为：

其中 (V) 为等距变换。变换的线性要求使得态 (| \omega_{i} ( \psi ) \rangle) 必须与 (\psi) 无关。因此，取这两个恒等式左右两边的标量积，可得

现在假设 (\langle \omega_{1} | \omega_{2} \rangle \neq 0)。则有

并且由于最后一个恒等式的右侧与 $\psi$ 无关，我们有 $W_{1}^{\dagger} W_{2} \propto I$。这意味着这两个算符除了一个相位因子外，是同一个酉算符。

因此，我们需要有 $\langle \omega_{1} | \omega_{2} \rangle = 0$ 。那么，为了编程一组基数为 $N$ 的酉算符集合，我们需要一组相互正交且同样具有基数 $N$ 的程序态。我们得出结论：我们无法在一个具有可分离希尔伯特空间的辅助系统上，对所有可能的酉变换构成的连续统进行编程。

2.14 变换的可逆性#

在推论2.12中，我们看到唯一可逆（同时也是可逆的）变换是酉变换。然而，人们可能会问，当一个变换被限制在系统A的全希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 的一个希尔伯特子空间上时，它何时是可逆的。我们可以方便地将这样的子空间视为量子态 $\rho ~ \in ~ \mathsf{St} ( \mathbf{A} )$ 的支撑集 Supp $\rho$，这相当于将状态限制在量子系统状态凸集的一个面上。正如我们将看到的，有了这样的限制，通常就可以在物理上逆转一个非酉量子信道，这对应于在数学上用另一个信道，或者更一般地用另一个量子操作来逆转该信道，该操作在 $\mathcal C ( \rho )$ 上确定性地工作。碰巧的是，这个物理问题与量子信息中的纠错问题完全相同，其中希尔伯特空间 Supp $\rho$ 成为编码空间，即我们可以编码量子信息的希尔伯特空间（例如，存储二分纠缠态的一边），从而我们能够纠正由于与环境缺乏隔离而产生的错误——这是构建量子计算机的主要实际问题。因此，接下来我们常会使用“纠正错误”来代替“逆转变换”，并互换地使用可纠正和可逆这两个形容词。

考虑一个态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 和一个信道 $\mathcal{C} \in \sf T r a n s f_{1} ( A {} B )$。该信道称为：

1. 在输入 $\rho$ 下可纠正，如果存在一个信道 $\mathcal{R} \in \mathsf{Transf}_{1} ( \mathrm{B} \to \mathrm{A} )$ 使得

2. 在输入 $\rho$ 下的删除信道，如果存在一个固定态 $\sigma ~ \in ~ \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{B} )$ 使得 ${\mathcal{C}} = _{\rho} | \sigma )_{\mathrm{B}} ( e | _{\mathrm{A}} ;$

3. 对 $\rho$ 保持纯化，如果存在一个恢复信道 $\mathcal{R} \in \mathsf{Transf}_{1} ( \mathrm{B} \to \mathrm{A} )$ 使得 $\mathcal{RC} | \Psi_{\rho} )_{\mathrm{AR}} = | \Psi_{\rho} )_{\mathrm{AR}}$ ，其中 $\Psi_{\rho}$ 是 $\rho$ 的任意纯化；

4. 对 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$ 消除关联，如果存在一个态 $\sigma \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{B}} )$ 使得 $\mathcal{C} | \Psi_{\rho} )_{\mathrm{AR}} =$ $| \sigma )_{\mathrm{B}} | \rho^{\#} )_{\mathrm{R}}$ ，其中 $\Psi_{\rho}$ 是 $\rho$ 的任意纯化，而 $\rho^{\#}$ 是互补态 $| \rho^{\#} )_{\mathrm{{R}}} : =$ $( e | _{\mathrm{A}} | \Psi_{\rho} )_{\mathrm{AR}}$。

注意，定义 3 和定义 4 可以针对 $\rho$ 的单个纯化重新表述，因为如果它们对一个纯化成立，则自动对任意一个纯化成立。

在量子理论中，上述四个定义之间的相互作用构成了纠错的基本底层结构。我们回顾，定义 1 意味着 $\mathcal{C}$ 可以在所有支撑包含在 Supp $\rho$ 中的态上被逆，根据定理 2.14，这等价于说 _RC 在系统上局部作用时使 $\rho$ 的任何纯化保持不变。由此得到以下推论。

推论 2.20 一个信道在输入 $\rho$ 下可纠正，当且仅当它对 $\rho$ 保持纯化。

推论 2.21 一个信道对 $\rho$ 消除关联，当且仅当它是在输入 $\rho$ 下的删除信道。

上述推论 2.20 和 2.21 是定义以及定理 2.14 的直接结果。

在下文中，对于信道 ${\mathcal{C}}$ 的等距纯化，我们称互补信道 ${\mathcal{C}}^{\#}$ 为通过对系统（而非环境）求迹得到的信道，即

其中 $\mathcal{V} = V \cdot V^{\dagger} , V \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} {} \mathcal{H}_{\mathrm{B}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{E}} )$ 是等距算子。用方程表示：

互补信道是最小环境E到新环境$\mathrm{E}^{\prime}$（满足$\mathcal{H}_{\mathrm{E}}^{\prime} \supseteq \mathcal{H}_{\mathrm{E}}$）的唯一模等距映射。

关于纠错，另一个源自纯化的简单事实如下。

引理2.22 如果量子信道$\mathcal{C} \in \mathsf{Transf}_{1} ( \mathrm{A} \to \mathrm{B} )$在输入$\rho ~ \in ~ \mathsf{St} ( \mathbf{A} )$下可纠，纠错信道为${\mathcal{R}} $，且$\textit{\textbf{D}} \in$ RefSet $_{\mathrm{C}}$是$\mathcal{C}$的精炼集中的量子操作，则$\mathcal{D}$在输入$\rho$下可纠，纠错信道为${\mathcal{R}} $，即存在某个概率$p > 0$使得$\mathcal{R} \mathcal{D} \mathop{= _{\rho}} p \mathcal{I}_{\mathrm{A}}$。此外，$\mathcal{R}$精炼集中的任意量子操作$\mathcal{F}$也能纠错。

证明 由定义，由于$\mathcal{D}$在$\mathcal{C}$的精炼集中，存在量子仪器$\{{\mathcal{C}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$使得$\mathcal{D} \equiv \mathcal{C}_{i_{0}}$且$\textstyle{\mathcal{C}} = \sum_{i \in \mathrm{X}} {\mathcal{C}}_{i}$。因$\mathcal{C}$可纠，纠错信道为${\mathcal{R}} $，有$\begin{array}{r} {\mathcal{I}_{\mathrm{A}} = _{\rho} \mathcal{RC} = \sum_{i \in \mathrm{X}} \mathcal{RC}_{i}} \end$。这意味着测试$\{{\mathcal{R}} {\mathcal{C}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$在输入$\rho$下是非干扰的。由"无信息即无干扰"性质（定理2.15），对每个$i \in \mathrm{X}$有$\mathcal{RC}_{i} = _{\rho} p_{i} \mathcal{I}_{\mathrm{A}}$。类似推理可用于$\mathcal{R}$而非$\mathcal{C}$的精炼。

2.14.1 可纠信道的互补性与删除信道#

现在我们讨论信道可纠的一些必要和充分条件。最简单的情况是系统到自身的信道：此时推论2.10断言量子信道可纠当且仅当其为单位信道。现在我们将为一般情况（Transf$_{1}$( \mathrm{A} \to \mathrm{B} )$中的信道）提供纠错的必要和充分条件。这将在第8章再次讨论。

首先需要一个简单引理。

引理2.23 同一混合态$\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$的两个纯化$\Psi_{\rho} \in \mathsf{St} ( \mathrm{AB} )$和$\Psi_{\rho}^{\prime} \in{\sf S t} ( \mathrm{AB}^{\prime} )$总是可以通过量子信道$\mathcal{C} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{B} \to \mathrm{B}^{\prime} )$连接如下：

$ \begin{array}{r} {\overbrace{{\Psi_{\rho}^{\prime}} \underbrace{\vphantom{\left| \sum_{\rho} \mathrm{~ ~ \vec{~ B} ~}^{\prime} \right|} \mathrm{~ ~ {~ B} ~}^{\prime}}_{\mathrm{~ \tiny ~ \left| ~ \underline{~ {~ B} ~}^{\prime} ~ \right|}}}^{\mathrm{~ \cal{\ A} ~}} = \overbrace{{\Psi_{\rho} \underbrace{\mathrm{~ ~ \vec{~ B} ~}}_{\mathrm{~ \tiny ~ \left| ~ \underline{~ {~ B} ~} ~ \right|}} \mathrm{~ ~ \vec{~ C} ~} \mathrm{~ \tiny ~ \left| ~ \frac{\partial ~ B^{\prime}} {\partial} \mathrm{~ \tiny ~ \cdot ~} ~ \right|}}^{\mathrm{~ \cal{\ A} ~}}}^{\mathrm{~ \cal{\ A} ~}} .} \end{array} $

证明 我们可以通过选取两个纯态$\alpha \in$\mathsf{St}{1} ( \mathrm{B} )$和$\alpha^{\prime} \in \mathsf{St}{1} ( \mathrm{B}^{\prime} )$与纯化并行组合，使得两个纯化系统相等，得到

且由于它们是同一态的纯化，根据纯化原理，它们通过一个可逆变换相连，即

其中$U \in \mathsf{Lin} ( \mathbf{B} \mathbf{B}^{\prime} )$是幺正的。示意图如下：

其中$\mathcal{U} = U_{\mathrm{B B^{\prime}}} \cdot U_{\mathrm{B B^{\prime}}}^{\dagger}$。通过对两侧求迹掉B，并利用式(2.75)，我们得到$| \Psi_{\rho}^{\prime} ) = ( \mathcal{T}_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{C} ) | \Psi_{\rho} )$，其中$\mathcal{C}$是由下式定义的量子信道：

练习2.95 写出式(2.95)的显式算符形式，包括对环境B的求迹。

现在我们可以证明量子纠错的一个相关定理。

定理2.24（参考与环境的因式分解） 一个量子信道$ {\mathcal{C}}_{\mathrm{~ \tiny ~ \in ~}}$ Transf $_ 1 ( \mathrm{A} \mathrm{B} )$ 在输入ρ时是可纠正的，当且仅当存在${\mathcal{C}}$的纯化$\gamma \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} \to \mathrm{BE} )$和ρ的纯化$| \Psi_{\rho} \rangle \rangle_{\mathrm{AR}}$，使得应用$\mathcal{C}$后环境E和参考R保持不相关。示意图如下：

其中σ是E的某个态，$\rho^{\#}$是ρ在系统R上的互补态。

证明 假设$\mathcal{C}$在输入$\mathbf{\rho}_{\rho}$时是可纠正的，存在某个恢复信道$\mathcal{R}$。那么，根据推论2.20，我们有

并且，插入${\mathcal{C}}$的任意两个纯化方案，得到

这意味着$\mathcal{RV} | \Psi_{\rho} \rangle \rangle_{\mathrm{AR}}$以$| \Psi_{\rho} \rangle \rangle_{\mathrm{AR}}$为边缘态。因此，由于$| \Psi_{\rho} \rangle \rangle$是纯态，将其作为边缘态获得的唯一方式就是与E的一个态进行张量积，即我们得到

其中 $\sigma$ 是 E 上的某个态。将确定性效果作用于 A，并利用 $\mathcal{R}$ 是一个信道的事实，我们便得到式 (2.97)。

反之，假设式 (2.97) 对某个纯化 $\mathcal{V} = V \cdot V^{\dagger}$ 和某个纯化 $| \Psi \rangle \rangle_{\mathrm{AR}}$ 成立。然后取 $\sigma_{i}$ 的一个纯化，记为 $\Psi_{\sigma} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathrm{EF} )$。由于 $V | \Psi_{\rho} \rangle \rangle_{\mathrm{AR}}$ 和 $| \Psi_{\rho} \rangle \rangle_{\mathrm{AR}} | \Psi_{\sigma} \rangle \rangle_{\mathrm{EF}}$ 都是 $\rho_{\mathrm{R}}^{\#} \otimes \sigma_{\mathrm{E}}$ 的纯化，根据引理 2.23，它们必然由连接两个环境的信道联系，即

对某个信道 $\mathcal{D} \in \mathsf{Transf}_{1} ( \mathrm{B} \to \mathrm{FA} )$ 成立。在丢弃环境 EF 后，最后一个图等价于在对 $\rho$ 的任何纯化（即输入 $\mathbf{\xi}_{\rho}$ 时）上该信道的可校正条件。

在 8.6 节中我们将看到，由于"纯态的纯化是与另一个纯态的张量积"这一陈述对任何满足因果性和局域可区分性的操作概率理论成立，上述定理在比量子理论更广的范围内成立，并且仅仅是这两个公理以及纯化公理的直接推论。

推论 2.25（信道可逆性的必要条件） 信道 $\mathcal{C} \in \mathsf{Transf}_{1} ( \mathsf{A {} B} )$ 在输入 $\dot{} \rho$ 时可校正的一个必要条件是

证明 信道的可逆性等价于在信道纯化的输出端参考系和环境不相关，即它们的联合态 $\rho_{\mathrm{ER}}$ 是因子化的，因此有 $\operatorname{rank} \rho_{\mathrm{ER}} = \mathrm{rank} \rho_{\mathrm{E}} \operatorname{rank} \rho_{\mathrm{R}}$ 。另一方面，在信道输出端系统 BRE 的联合态保持纯态，因此系统 B 为 RE 提供了纯化参考系。这意味着应有

但 rank $\rho_{\mathrm{R}} = \operatorname{rank} \rho_{\mathrm{\ t \ t}}$ ，且根据式 (2.72)，rank $\rho_{\mathrm{E}}$ 是对偶信道输出的秩，即 rank ${\mathcal{C}}^{\#} ( \rho )$。

推论 2.26（纯化保持信道与关联擦除信道的对偶性） 对于 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$，信道 $\mathcal{C} \in \mathsf{Transf}_{1} ( \mathrm{A} \to \mathrm{B} )$ 是纯化保持的，当且仅当其互补信道 $\mathcal{C}^{\#} \in \mathsf{Transf}_{1} ( \mathrm{A} {} \mathrm{E} )$ 是 $\rho$ 的关联擦除信道。

证明 根据推论 2.20，$\mathcal{C}$ 对 $\rho$ 是纯化保持的，当且仅当它在输入 $\rho$ 时是可纠正的，并且根据定理 2.24，当且仅当式 (2.97) 成立。但式 (2.97) 根据定理 2.14 意味着 ${\mathcal{C}}^{\#}$ 是关联擦除信道。□

推论 2.27（可纠错信道与删除信道的对偶性） 对于 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$，量子信道 $\mathcal{C} \in$ Transf $( \mathrm{A} \to \mathrm{B} )$ 在输入 $\rho$ 时是可纠正的，当且仅当其互补信道 $\mathcal{C}^{\#} \in \mathsf{Trans} \mathsf{f}_{1} ( \mathsf{A {\to} E} )$ 在输入 ${\bf \dot{\rho}}$ 时是删除信道。

证明 直接由定理 2.24 及推论 2.26 和 2.21 得出。□

定理 2.28 以下条件是信道 $\mathcal{C}$ 在输入 $\rho$ 时可纠正的等价条件：

1. $\mathcal{C}$ 能够被同一个信道 $\mathcal{R}$ 在任意输入态 $\sigma$（满足 Supp $\sigma \subseteq \mathsf{Supp} \rho$）上纠正，且当 $\mathcal{R}$ 局部作用于 $\sigma$ 的任意纯化时亦然。

2. 同一个信道 $\mathcal{R}$ 以概率方式反转所有 Kraus 算符为 $\mathcal{C}$ 的 Kraus 算符线性组合的量子操作。反之，所有 Kraus 算符为 $\mathcal{C}$ 的 Kraus 算符线性组合的量子操作，也以概率方式反转同一个信道 $\mathcal{R}$。

3. $\mathcal{C}$ 的互补信道作用于满足 Supp $\sigma \subseteq \mathsf{Supp} \rho$ 的态 $\sigma$ 时，确定性地制备一个固定态。

4. [Knill–Laflamme] 以下条件成立：

   $$ P E_{i}^{\dagger} E_{j} P = \alpha_{i j} P , $$

   其中 $\{E_{i} \}$ 是 $\mathcal{C}$ 的 Kraus 算符，$P = \mathsf{Proj} \mathsf{Supp} \rho$，且 $\alpha$ 是确定性量子态。

证明

1. 这正是信道在输入 $\rho$ 时可纠正的定义。

2. 对 $\mathcal{C}$ 的任意 Kraus 分解 $\{{\mathcal{C}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 和 $\mathcal{R}$ 的任意 Kraus 分解 $\{\mathcal{R}_{j} \}_{j \in \mathrm{Y}}$，测试集 $\{\mathcal{R}_{j} \mathcal{C}_{i} \}_{i \in \mathrm{X} , j \in \mathrm{Y}}$ 在输入 $\rho$ 时是无扰动的，而定理 2.15（无信息即无扰动）保证存在 $\mathcal{R}_{j} \mathcal{C}_{i} = _{\rho} p_{i j} \mathcal{T}_{A}$，其中 $p_{i j}$ 是概率。即信道 $\mathcal{C}$ 的精炼集中的任意量子操作，被 $\mathcal{R}$ 的精炼集中的任意量子操作在输入 $\rho$ 时以概率方式纠正。根据练习 2.49，给定量子操作精炼集中的任意量子操作，其 Kraus 算符是该操作 Kraus 算符的线性组合。

3. 这正是推论 2.27。

4. 假设恒等式 (2.99) 成立。对应于信道 ${\mathcal{C}}$ 的 Kraus 分解 $\{E_{j} \}$，互补信道由

   $$ {\mathcal{C}^{\#} ( \sigma ) : = \mathrm{Tr}_{\mathrm{B}} [ V \sigma V^{\dagger} ]} , $$

   给出，其中 $V \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \to \mathcal{H}_{\mathrm{B}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{E}} )$ 是等距算子 $V = \sum_{j} E_{j} \otimes | j \rangle$。对于 Supp $\rho$ 上的态 $\sigma$，有

   $$ \mathcal{C}^{\sharp} ( \sigma ) = \sum_{i j} \mathrm{Tr} [ E_{i} \sigma E_{j}^{\dag} ] | i \rangle \langle j | = \sum_{i j} \mathrm{Tr} [ \sigma P E_{j}^{\dag} E_{i} P ] | i \rangle \langle j | = \mathrm{Tr} [ \sigma ] \sum_{i j} \alpha_{i j} | i \rangle \langle j | . $$

其中 $P$ 是到 $\mathsf{Supp} \rho$ 上的投影，并且我们使用了 Knill–Laflamme 条件 (2.99)。因此，映射 ${\mathcal{C}}^{\#}$ 是一个删除信道，当作用于 $\mathsf{Supp} \rho$ 上的任意状态时，它制备状态 $\alpha = \sum_{i j} \alpha_{i j} | i \rangle \langle j |$，即

$$ {\mathcal{C}^{#} ( \sigma ) = \mathrm{Tr} [ \sigma ] \alpha , \quad \forall \sigma : \mathsf{Supp} \sigma \subseteq \mathsf{Supp} \rho .}

$$

反之，如果信道 $\mathcal{C}$ 的辅助映射满足式 (2.100)，那么将 ${\mathcal{C}}^{\#}$ 作用于 $| \psi \rangle \langle \varphi |$（其中 $| \psi \rangle , | \varphi \rangle \in{\mathsf{Supp}} \rho$）可得

这正是 Knill–Laflamme 条件。

注意，误差校正或信道求逆总可以在不进行测量的情况下通过辅助系统上的幺正作用实现，如式 (2.74) 所示。

练习 2.96 使用 Knill–Laflamme 条件证明：在 $\mathcal{H}$ 上可逆的唯一信道是幺正信道，并且此时状态 $\alpha$ 是纯态。

练习 2.97 通过直接计算证明：Knill–Laflamme 条件 (2.99) 意味着参考系和环境保持不相关。

练习 2.98 考虑幺正矩阵 $U = \{u_{i j} \}$，其对角化 Knill–Laflamme 条件中的矩阵 $\alpha$，即 $U^{\dagger} \alpha U = \mathsf{Diag} [ d_{j} ]$，并取新的 Kraus 算符 $F_{n} = \sum_{j} u_{j n} E_{j}$。证明定义在 $\mathsf{Lin} ( \mathsf{Supp} \rho \to \mathcal{H} )$ 中的算符 $V_{j}$：

是 $\mathsf{Supp} \rho$ 上的部分等距，且其值域正交，即

因此，如果一个信道存在 Kraus 形式，其 Kraus 算符（除了作为概率平方根的乘法因子外）在 $\mathsf{Supp} \rho$ 上作用为值域正交的等距，则该信道在输入 $\rho$ 时是可校正的。

练习 2.99 证明：对于 Hilbert 空间上的任意 $\rho$，总存在一个秩为 k 的信道，它在输入 $\rho$ 时可校正，且满足条件 $\text{rank} \rho \cdot \text{rank} \mathcal{C} \le \dim(\mathcal{H})$。

在练习 2.99 中，如果 $\alpha$ 是满秩的，则误差校正码称为非简并的；否则称为简并的。

2.14.2 通过与环境经典通信的校正#

在本节中，我们简要讨论一种更一般的校正方式：环境并非完全不可访问，而是允许对其施加某些操作。特别地，我们考虑这样一种场景中的误差校正：允许测量环境，然后根据结果对系统进行变换。为简单起见，我们将重点讨论从环境到输出系统的单轮前向经典通信的情况。

环境可校正信道 如果对于任意纯化 $\gamma \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} \to \mathrm{BE} )$，存在 E 上的观测检验 $\{a_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 以及恢复信道族 $\{\mathcal{R}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}} \subset \mathsf{Transf} ( \mathrm{B} \to \mathrm{A} )$，使得

则称信道 $\mathcal{C} \in \mathsf{Transf}_{1} ( \mathsf{A} \to \mathsf{B} )$ 在输入 $\rho$ 时是环境可校正的。

如果 $\rho$ 是完全混合态，我们则简单称 $\mathcal{C}$ 是环境可校正的。

下面的定理表明，环境可校正信道无非是可校正信道的随机化。

定理 2.29 (环境可校正信道的刻画) 信道 $\mathcal{C} \in \mathsf{Transf}_{1} ( \mathrm{A} \to \mathrm{B} )$ 在输入 $\dot{\boldsymbol{\rho}} \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ 时是环境可校正的，当且仅当 $\mathcal{C}$ 是一个测试 $\{{\mathcal{C}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 的粗粒化，其中每个变换 $\mathcal{C}_{i}$ 在输入 ${\bf{\dot{\rho}}}_{\rho}$ 时都是可校正的。特别地，如果 $\rho$ 是完全混合态，则 $\mathcal{C}$ 是可逆信道的随机化。

证明 假设 $\mathcal{C}$ 在输入 $\rho$ 时是环境可校正的。那么，对于 $\rho$ 的任意纯化 $| \Psi_{\rho} )_{\mathrm{AR}}$，我们有

由于 $\Psi_{\rho}$ 是纯态，和式中的每一项必定与该纯态成比例。定义测试 $\{{\mathcal{C}}_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 为 $\begin{array}{r} {\mathcal{C}_{i} : = ( a_{i} | _{\mathrm{E}} \mathcal{V}} \end$，并利用定理 2.14，可得 $\mathcal{R}_{i} \mathcal{C}_{i} = _{\rho} \ p_{i} \mathcal{T}_{\mathrm{A}}$。因此，$\mathcal{C}$ 是一个测试的粗粒化，其中每个变换在输入 $\rho$ 时都是可校正的。此外，如果 $\rho$ 是完全混合态，利用每个 $\mathcal{R}_{i}$ 都是信道的事实，可得

即每个 $\mathcal{C}_{i}$ 必须与某个信道成比例，设 ${\mathcal C}_{i} ~ = ~ p_{i} {\mathcal D}_{i}$，其中信道 $\mathcal{D}_{i}$ 在输入 $\rho$ 时可校正。反之，假设存在一个测试 $\{{\mathcal{C}}_{i} \}$ 使得 $\textstyle{\mathcal{C}} = \sum_{i \in \mathrm{X}} {\mathcal{C}}_{i}$，且每个变换 $\mathcal{C}_{i}$ 在输入 $\rho$ 时可校正。对该测试进行膨胀，则得到一个信道 $\mathcal{V} \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{A} {} \mathrm{BE} )$ 和 E 上的观测测试 $\{a_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$，使得

对于每一个结果 $i \in \mathrm{X}$ 。由于每个 $\mathcal{C}_{i}$ 在输入 $\rho$ 时是可纠正的，知道结果 $i \in \mathrm{X}$ 后，我们可以对 $\mathcal{C}_{i}$ 执行恢复信道，从而纠正信道 $\mathcal{C}$ 。在 $\rho$ 是完全混合态的特殊情况下，所有信道 $\mathcal{C}_{i}$ 必须是可逆的，因此正比于一个酉信道（见推论2.12）。-

值得注意的是，本小节的所有结果只是前述纠错结果的推论，而如前所述，这些纠错结果仅源于因果性、局域可分辨性和纯化。因此，本小节的结果更普遍地适用于任何满足这些原则的操作概率理论（见第8.6节）。

2.15 小结#

在本章中，我们从因果背景下的三个简单希尔伯特空间公设出发，介绍了有限个有限维系统的量子理论数学结构。我们以定理的形式推导出了六条原则，这些原则将在本书第四部分作为推导该理论的公理。双向推导将建立量子理论与六条原则之间的完全等价性，这一推导基于第3章给出的信息框架。在本章中，我们推导并阐述了理论的一般数学结构，以及其最相关的结论和定理，包括来自开放量子系统理论和量子信息理论的一些结论。

注释#

概率态与确定态 在量子力学课程中，通常将态视为“归一化的”，即密度算符具有单位迹，或单位向量表示纯态。这里我们更方便地将态视为次归一化的，因为这样密度算符 $\rho$ 还包含了态制备概率的信息，即 $p ( \rho ) = {\mathrm{Tr}} [ \rho ]$。

无限维、无限多系统 本书仅考虑有限维希尔伯特空间。在量子力学中，描述空间中粒子的系统具有无限维希尔伯特空间。在这种情况下，我们要求希尔伯特空间是可分的，即承认一个可数的正交基。这是一个非常重要的要求，因为它保证了在可数正交基上展开的存在性。根据定义，所有无限维可分希尔伯特空间都等距同构于 $\ell^{2} ( \mathbb{Z} )$。有时有人认为不可分希尔伯特空间也很重要，例如在量子场论中，当需要考虑希尔伯特空间的无限张量积时。然而，这种情况更适宜在冯·诺依曼代数的框架内处理。

有限维与无限维希尔伯特空间的主要区别之一是，无限维希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 可以同构于其真子空间 $\kappa \subsetneq \mathcal{H}$。这也导致了一个事实，即在 $\mathcal{H}$ 上等距的算子不一定酉，这与有限维情况形成鲜明对比。非酉等距算子的典型例子是移位算子 $\begin{array}{r} {S = \sum_{i = 1}^{\infty} | n + 1 \rangle \langle n |} \end$ ，其中 $\{| n \rangle \}_{n = 1 , \dots , \infty}$ 是 $\mathcal{H}$ 的正交基。算子 $S$ 是等距的，因为 $S^{\dagger} S = I$，但不是酉的，因为 $S S^{\dagger} = I - | 1 \rangle \langle 1 |$。

算子巴拿赫空间#

对于 dim $\mathcal{H} = \infty$ 的情形，状态空间 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathbf{A} )$ 和效应空间 $\mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( {\mathrm{A}} )$ 还需要满足额外的收敛性要求：前者必须为迹类算子，后者必须为有界算子。虽然在有限维情况下这两个空间都只是算子的线性空间 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} ) \simeq \mathsf{Eff}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} ) \simeq \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$，但当 dim $\mathcal{H}_{\mathrm{A}} = \infty$ 时，这两个空间变成了非同构的巴拿赫空间，因为 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} ) \simeq \mathsf{T}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 是迹类算子，而 $\mathsf{St}_{\mathbb{R}} ( \mathrm{A} ) \simeq \mathsf{Bnd} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 是有界算子。在无穷维设定下，效应空间仍然是状态空间的对偶，即 $\mathsf{Bnd} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} ) = \mathsf{T}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )^{\vee}$，但反过来却不再成立：我们有 $\mathsf{T}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} ) \supseteq \mathsf{Bnd} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )^{\vee}$。我们称 $\mathsf{T}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 是 $\mathsf{Bnd} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 的前对偶。还需要注意 $\mathsf{Bnd} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 是一个巴拿赫代数，而 $\mathsf{T}_{1} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 缺乏这种结构。前对偶现象源于这样一个事实：在无穷维巴拿赫空间 $\boldsymbol{B}$ 上，通常存在线性泛函 $f : B \to \mathbb{C}$ 不能写成与另一个巴拿赫空间中向量的标量积形式。通常用 $\mathsf{X}^{\ast}$ 表示 $\mathsf{X}$ 的对偶，用 ${\sf X}_{*}$ 表示 $\mathsf{X}$ 的前对偶。一般来说，如果 ${\sf X} = {\sf Y}_{*}$，那么 $\mathsf{Y} = \mathsf{X}^{*}$，并且有 $\textsf{X} = \textsf{Y}_{*} \subseteq \textsf{Y}^{*} = \textsf{X}^{**}$。一个典型的例子是有界序列的巴拿赫空间 $\ell_{\infty}$ 和由可和序列的巴拿赫空间 $\ell_{1}$ 构成的泛函。我们有 $\ell_{\infty} = \ell_{1}^{*}$，但 $\ell_{1} = \ell_{\infty *} \subseteq \ell_{\infty}^{*}$。然而，应该注意到，在没有选择公理的情况下，存在某些模型使得 $\ell_{1} = \ell_{\infty}^{*}$。

POVM 和 PVM 在连续概率空间中的原始概念#

正算子值测度（POVM）这个名称历史上源于考虑结果取值于一般概率空间 $\Omega$ 的观测检验。在这种情况下，事件与概率空间 $\Omega$ 相关联的 $\sigma$-代数 $\sigma ( \Omega )$ 中的元素相联系。于是，POVM 被定义为满足以下要求的映射 $P : \Delta \in \sigma ( \Omega ) \mapsto P_{\Delta} \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$：

1. 对所有 $\Delta \in \sigma ( \Omega )$，$P_{\Delta} \ge 0$；
2. $P_{\emptyset} = 0$ 且 $P_{\Omega} = I$；
3. 对于 $\sigma ( \Omega )$ 中互不相交的序列 $\{B_{n}\}$，有 $P_{\cup_{n} B_{n}} = \sum_{n} P_{B_{n}}$，并且该级数在强算子拓扑下收敛。

玻恩规则变为 $p_{\Delta} = \mathrm{Tr} [ \rho P_{\Delta} ]$。POVM 的一个特例是 PVM（投影算子值测度），其中 $P_{\Delta}$ 是正交投影算子，满足 $P_{\Delta}^{2} = P_{\Delta}$。这也通常被称为谱测度，对应于可观测量 X 的谱分解，X 是 $\mathcal{H}$ 上的自伴算子，即 $X = \int_{\mathrm{Sp} ( X )} x P ( \mathrm{d} x )$ 且 $P_{\Delta} = \int_{\Delta} P ( \mathrm{d} x )$。POVM 和 PVM 的概念是为了处理连续概率空间的一般情况而引入的，而可观测量这一概念历史上与经典力学变量（如位置或动量）的测量相关联。自伴算子与经典变量之间的联系由所谓的量子化规则提供。后来，POVM 的概念在量子估计理论中变得流行起来，用于测量那些没有相应可观测量（如相移）的参数。

与 POVM 和 PVM 的情况类似，对于量子检验或量子仪器，我们也可以考虑连续结果空间 $\Omega$，量子仪器将事件与 $\Omega$ 的 $\sigma$ -代数 $\sigma ( \Omega )$ 的元素相关联。于是，量子仪器被定义为一个映射 $\tau$，它将 $\Delta \in \sigma ( \Omega )$ 映射为作用在 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上迹类算子的完全正映射，并满足以下要求：

1. 对所有 $\Delta \in \sigma ( \Omega )$，$\mathcal{T}_{\Delta}$ 是完全正且迹不增的；

2. $\mathcal{T}_{\varnothing} = 0$ 且 $\mathcal{T}_{\Omega}$ 是保迹的（即一个量子信道）；

3. $\begin{array}{r} {\mathcal{T}_{\cup_{n} B_{n}} = \sum_{n} \mathcal{T}_{B_{n}} , \{B_{n} \}} \end$ 是 $\sigma ( \Omega )$ 中的不交序列，且该级数超弱收敛。

这种通用量子仪器通过间接的 von Neumann–Lüders 测量的实现已在 Ozawa (1984) 中得到证明。该定理在无穷维情形下尤其有趣。实际上，对于有限维，可以证明任何具有连续结果空间的量子仪器都可以实现为离散结果原子仪器的连续凸组合 (Chiribella et al., 2007)。对于紧致结果空间，证明相对容易，而对于非紧致结果空间则变得相当技术性 (Chiribella et al., 2010b)。POVM 的凸结构可在 Parthasarathy (1999) 和 D’Ariano et al. (2005) 中找到。

最后，关于与纯化相关的历史术语的评论。在文献中，extension 和 dilation 这两个词被用于我们现在称为纯化的概念，针对仪器和 POVM。然而，只要它指的是非原子的量子操作/效应，我们就需要保留 extension/dilation 的术语。此外，dilation 一词更恰当地用于希尔伯特空间的扩展，这些扩展不是张量积，而是直和扩充。

信息完备 POVM 与量子层析成像 信息完备 POVM 的概念在首次出现在专业书籍 (Busch et al., 1991) 之后，随着量子层析成像的诞生而流行起来，而量子层析成像则因量子光学实验室中使用零差探测的实践可行性而得到推动。零差方法最初只是作为 X 射线层析成像中通常的反投影的应用 (Vogel and Risken, 1989; Smithey et al., 1993)，而后第一种解析方法出现在 D’Ariano et al. (1994) 中。由于无穷维的存在，这里的解析变得更为复杂。关于这一主题有大量文献，这里我们仅提及 Paris and Rehacek (2004) 的著作。辅助量子比特辅助的层析成像方法首次出现在 D’Ariano and Lo Presti (2001)；Leung (2001) 中，后来引出了忠实态 (faithful state) 的概念 (D’Ariano and Lo Presti, 2003)，该概念在量子理论信息公理化的初步研究中已被考虑 (D’Ariano, 2006a,b, 2007a,b, 2010)。对于对量子估计理论和仪器设计优化感兴趣的读者，一个例子是优化仪器层析成像的全面方法 (Bisio et al., 2009a,b)，该方法基于量子梳 (Chiribella et al., 2008a)，本书未对此进行讨论（欲深入了解，读者可参阅 Bisio et al., 2012）。

量子层析成像可以被视为一种通用测量类型 (D’Ariano, 1997, 2005)，因此可用于估计任何复算子的系综平均值。这种测量的最优数据处理方法可在 D’Ariano and Perinotti (2007) 中找到。³¹

无穷维中的双括号记号#

第2.8.2节引入的向量同构Vec首次出现在D’Ariano et al. (2000)中。在无穷维情形下，它仅仅是Hilbert–Schmidt算子空间${\mathsf{HS}} ( {\mathcal{K}} \to{\mathcal{H}} )$与Hilbert空间${\mathcal{H}} \otimes{\mathcal{K}}$之间的同构。在无穷维中，向量$| I \rangle_{\otimes}$仍然是一种表示Vec同构的符号工具（该向量是${\mathsf{HS}} ( {\mathcal{K}} \to{\mathcal{H}} )$上的线性泛函：另见Holevo (2011)）。对于无限多系统，在冯·诺依曼代数和C^∗-代数的广义语境下，对应关系(2.52)是C^∗-代数表示之GNS构造的一个特例（Haag and Haag, 1996）。

关于不可克隆定理#

不可克隆定理被普遍认为是量子信息这一新领域的起点。事实上，无法克隆非正交态是量子密码学的核心思想，此外，不可克隆定理阻止了对量子态使用冗余纠错技术。因此，该定理在概念上涉及量子信息的两大主要任务：量子密码学和量子纠错。该定理随后被应用于众多不同的结论中。定理2.17中不可克隆定理的版本是Yuen (1986)证明的一个变体。最初的证明由Dieks (1982)及Wootters and Zurek (1982)给出，其中表明克隆违反了量子力学的线性性质。³²克隆问题由Herbert (1982)提出，其中基于对两个纠缠系统的局域测量，并利用受激发射作为接收端的克隆设备，提出了一种超光速（实际上是瞬时的！）通信协议（关于使用类似装置进行超光速通信的多次尝试的历史回顾，读者可参阅Kaiser (2011)）。然而，不可克隆定理并未证明在没有相互作用且仅使用局域操作的情况下无法进行通信，因为非理想克隆造成的误差原则上可以通过纠错技术来纠正。除了Eberhard (1978)中提出的一些反对通过对纠缠态进行局域操作实现通信可能性的论据外，第一个彻底的不可行性证明出现在Ghirardi et al. (1980)中；而关于Herbert原始方案中提到的非理想量子克隆，我们回顾Bruss et al. (2000)的工作。如第5章所示，利用共享纠缠态在没有相互作用的情况下进行通信的不可能性，正是因果关系原理的直接推论。

关于无法确定单个量子系统状态#

推论2.18中提出的不可克隆定理与无法确定单个量子系统状态之间的等价性，已在D’Ariano and Yuen (1996)中确立，此前多位作者尝试了基于各种具体测量方案，包括基于极其微弱的量子非 demolition 测量（Alter and Yamamoto, 1995）、“保护”态上的弱测量（Aharonov and Vaidman, 1993; Aharonov et al., 1993）、“逻辑可逆”测量（Ueda and Kitagawa, 1992）和“物理可逆”测量（Imamoglu, 1993; Royer, 1994, 1995）。在这些方案中，结论都是实际上无法测量单个系统的波函数，要么是因为测量相互作用的微弱性阻止了获取波函数的信息（Alter and Yamamoto, 1995）（这与无干扰则无信息定理2.15相关），要么是因为保护态的方法（Aharonov and Vaidman, 1993; Aharonov et al., 1993）实际上需要对态有一定的先验知识（如Royer, 1994, 1995及Alter and Yamamoto, 1995所指出），要么是因为量子测量只有在成功概率极低的情况下才能在物理上可逆（Royer, 1994, 1995）。

无限维中的 Choi–Jamiołkowski 同构#

Choi–Jamiołkowski 锥同构基于将量子操作的 CP 映射应用于秩一算子 $|I\rangle\!\langle I|$，该算子除了一个因子 $\frac{1}{d}$ 外，是一个最大纠缠态。原始论文（Choi, 1972, 1975；Jamiołkowski, 1972）是在有限维中完成的，Choi 和 Jamiołkowski 定义的两种同构相差一个部分转置，这使得 CP 映射的 Jamiołkowski 算子非正。方程 (2.55) 中无限维的 Choi–Jamiołkowski 算子可以严格解释为某个适当稠密子空间上的正半定形式（Holevo, 2011）。Belavkin 和 Staszewski 提出了无限维中 Choi–Jamiołkowski 同构的另一种方法（Belavkin and Staszewski, 1986）。

关于冯·诺伊曼假设#

在量子测量中假设冯·诺伊曼投影仍然是一种流行的说法，这似乎要求投影作为可观测量测量的必要成分。这是误导性的，因为正如在第 2.12 节中所看到的，投影假设仅适用于仪器指针的状态（冯·诺伊曼最终将其等同于观察者的意识）。Ozawa (1997) 主张这一点，同时指出可以使用玻恩规则来确定测量系统在测量输出时的状态，这对应于条件态的习惯概念。

其他历史注释与文献#

包含方程 (2.99) 的量子纠错理论的原始参考文献是 Knill and Laflamme (1997)。定理 2.24 的充要条件已在 Schumacher (1996)、Schumacher and Nielsen (1996) 以及 Barnum et al. (1998) 的量子情形中给出。利用环境信息纠正信道的可能性首次由 Gregoratti and Werner (2003) 提出。正如 Buscemi et al. (2005) 所示，这种纠错仅对量子比特和量子三元组总是可能的，而对于维度 $d > 3$，即使完全访问环境，也存在无法恢复的情况。本章中所有不使用希尔伯特空间而仅使用操作框架的一般定理均源自 Chiribella et al. (2010a, 2011)。

关于某些练习与问题的历史注释与文献#

关于问题 2.32，Gorini、Kossakowski 和 Sudarshan (1976) 已证明方程 (2.114) 定义了有限维希尔伯特空间情形下量子动力学半群的最一般生成元。Lindblad (1976) 独立地证明，如果允许可数指标集且 $\sum_{k} V_{k}^{\dagger} V_{k} \in{\mathsf{Bnd}} ( {\mathcal{H}} )$，则方程 (2.114) 是任何可分希尔伯特空间上最一般的有界算子。对于无界生成元 ${\mathcal{L}}$ 的情形，不存在这样的刻画。然而，存在一类形式表达式 (2.114) 可以严格定义量子动力学半群（Davies, 1977）。此外，所有已知的半群生成元例子都具有标准形式 (2.114)，其中涉及（可能是无界的）算子 $V_{k}$，甚至更奇异的对象（如场算子），并且求和可能被积分替换（另见 Alicki and Lendi, 1987）。

附录 2.1 极分解#

让我们从算子的极分解开始。

定理 2.30 设 $T$ 是从希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 到希尔伯特空间 $\mathcal{H}^{\prime}$ 的算子。那么，$T$ 可以写成极分解形式 $T = V | T |$，其中 $V$ 是一个等距算子，且满足 $\mathsf{Supp} ( V ) = \mathsf{Rng} ( | T | )$。这样的分解是唯一的。

证明 我们从唯一性的证明开始，这也为算子 $|T|$ 和 $V$ 提供了显式构造。假设 $T$ 可以写成 $T = V | T |$，其中 $| T |$ 是正半定的，$V$ 是部分等距算子且满足 $\mathsf{Supp} ( V ) = \mathsf{Rng} ( | T | )$。那么我们必须有 $T^{\dagger} T = | T | V^{\dagger} V | T | = | T | ^{2}$，这里利用了 $V^{\dagger} V$ 是 $\mathsf{Rng} ( | T | )$ 上的投影算子这一事实。

方程 $T^{\dagger} T = | T | ^{2}$ 迫使 $| T |$ 成为 $T^{\dagger} T$ 的平方根。具体来说，我们可以将 $T^{\dagger} T$ 对角化为

注意，特征向量 $\{| t_{i} \rangle \ | \ i = 1 , . . . , r \}$ 是 $\operatorname{Rng} ( | T | )$ 的一组基，因为 $| T | =$ $\sqrt{T^{\dagger} T} = \sum_{i = 1}^{r} \sqrt{t_{i}} \left| t_{i} \right. \left. t_{i} \right|$ 。现在，条件 $T = V | T |$ 意味着 $T \left| t_{i} \right. = V \left| T \right| \left| t_{i} \right. =$ ${\sqrt{t_{i}}} V \left| t_{i} \right. = : {\sqrt{t_{i}}} \left| \nu_{i} \right.$ ，或者等价地

上述条件唯一地确定了 $V$ 在 $\operatorname{Rng} ( | T | )$ 上的作用。结合 $\operatorname{Supp} ( V ) = \operatorname{Rng} ( | T | )$ 的条件，迫使算子 $V$ 具有形式 $V := $ $\textstyle \sum_{i = 1}^{r} | \nu_{i} \rangle \langle t_{i} |$ 。由于向量 $\{| \nu_{i} \rangle \mid i = 1 , . . . , r \}$ 是正交归一的，因此 $V^{\dagger} V =$ $\textstyle \sum_{i = 1}^{r} | t_{i} \rangle \langle t_{i} |$ ，这意味着 $V^{\dagger} V$ 是 $\operatorname{Rng} ( | T | )$ 上的投影算子。

极分解引出了算子 $T$ 的奇异值分解：利用式(2.101)和(2.102)可得

量 $\sqrt{t_{i}}$ 通常被称为算子 $T$ 的奇异值，并习惯上按递减顺序排列，记为 $\sigma_{i} ( T )$ 。对于无限维希尔伯特空间上的闭算子，其极分解的推广可见Kato (1980)。当算子 $T^{\dagger} T$ 具有离散谱时，极分解可导出 $T$ 的奇异值分解。

附录2.2 量子扩展的金规则#

在数学中，嵌入是指某种数学结构的一个实例包含在同一结构的另一个实例中，例如一个群是子群，或一个希尔伯特空间是希尔伯特子空间。当称某个对象 $X$ 嵌入到另一个对象 $Y$ 中时，嵌入由某个单射且保持结构的映射 $f : X \to Y$ 给出。"保持结构"的精确含义取决于 $X$ 和 $Y$ 所属的数学结构类型。在范畴论的术语中，保持结构的映射称为态射。映射是嵌入这一事实通常通过使用"钩箭头"来表示，例如：$f : X \hookrightarrow Y$（这通常用于单射）。

对于希尔伯特空间，态射是等距映射，即保持标量积的单射线性映射。因此，希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 在希尔伯特空间 $\mathcal{E}$ 中的等距嵌入 $V : {\mathcal{H}} \hookrightarrow{\mathcal{E}}$（使得 $\mathcal{H} \subseteq \mathcal{E}$）由线性算子 $V \in \operatorname{Lin} ( \mathcal{H} \to \mathcal{E} )$ 表示，且满足

即 $V$ 是从 $\mathcal{H}$ 到 $\mathcal{E}$ 的一个等距映射。利用奇异值分解可以看出，总可以将等距映射 $V \in \operatorname{Lin} ( \mathcal{H} \to \mathcal{E} )$ 写成如下形式：

其中 $\{| n \rangle \}$ 是 $\mathcal{H}$ 的任意正交归一基（例如标准基），而 $\{| \upsilon_{n} \rangle \}$ 是 $\mathcal{E}$ 中的一个正交归一集。如果我们现在固定 $\mathcal{E}$ 中的集合 $\{| \upsilon_{n} \rangle \}$，则可以将所有可能的等距嵌入 $V : {\mathcal{H}} \hookrightarrow{\mathcal{E}}$ 重写如下：

其中 $U \in \mathsf{Lin} ( {\mathcal{E}} )$ 是一幺正算符。注意到，幺正算符 $U$ 与模去Rng $( V )^{\perp}$ 上的局域幺正变换的等距嵌入V之间存在一一对应关系。等距嵌入的一个特例是将希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 嵌入到张量积 ${\mathcal{H}} \otimes A$ 中，或更一般地嵌入到 $\kappa \otimes B_{:}$ 中，其中 dim $( {\mathcal{H}} \otimes{\mathcal{A}} ) = \dim ( {\mathcal{K}} \otimes{\mathcal{B}} )$。在这种情况下，我们可以方便地选择正交归一集

其中 $|0 \rangle \in{\mathcal{A}}$ 表示任意给定的参考纯态。通过这种方式，张量积中的任何等距嵌入都具有形式 $V = U ( I_{\mathcal{H}} \otimes | 0 \rangle )$，因为

上述结果是推导量子理论中所有扩张（和膨胀）定理的关键，我们将其称为量子扩张的金规则：

金规则：任何将希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 嵌入到张量积 $\otimes$ 中的等距嵌入，且 dim $( {\mathcal{H}} \otimes{\mathcal{A}} ) = \dim ( {\mathcal{K}} \otimes{\mathcal{B}} )$，可写为如下形式：

其中 $| 0 \rangle \in{\mathcal{A}}$ 为任意纯态，$U \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} \otimes \mathcal{A} )$ 为幺正算符。

习题#

2.1 证明一个自伴迹类算符X是纯量子态当且仅当以下条件成立³³：

2.2 验证极化恒等式的算符形式：

并利用2.8.2节中的张量表示，证明习题2.1中的恒等式只是方程(2.104)的一个特例。

2.3 用 $E \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} \otimes \mathcal{K} )$ 表示交换 与 的幺正算符。证明以下恒等式对于任意算符 $A \in \mathsf{Lin} ( {\mathcal{K}} \to{\mathcal{H}} )$ 和 $B \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} \to \mathcal{K} )$ 成立：

2.4 证明对于任意 $A \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{1} \to \mathcal{H}_{2} )$ 和 $B \in \mathsf{Lin} ( K_{1} \to K_{2} )$，有以下恒等式成立：

其中 $E_{\mathcal{H} , \mathcal{K}}$ 是交换 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{K}$ 的算符。

2.5 欧几里得空间是一个具有正定内积的实向量空间。自对偶理论是指其中锥 $\mathsf{St}_{+} ( \mathsf{A} )$ 和 $\mathsf{Eff}_{+} ( \mathrm{A} )$ 可以嵌入到欧几里得空间中且嵌入的锥重合的理论。证明量子理论是自对偶的。

2.6 证明确定性量子比特态的重叠公式：

证明对于纯态，这等价于希尔伯特空间中对应向量的标量积的模平方 $| \langle{\psi} | {\psi}^{\prime} \rangle | ^{2}$。如何将其推广到概率态？

2.7 用量子比特确定性态对应的布洛赫向量n的长度写出的纯度 $\operatorname{Tr} [ \rho^{2} ]$ 的简单表达式（参见习题2.1）。

2.8 [群的投影幺正表示] 群G的幺正表示 $\{U_{g} \}_{g \in{\bf G}}$ 是一个群同态，即它满足 $U_{g} U_{f} = U_{g f}$。如果我们现在考虑在幺正算符的复合中引入一个相位因子，从而稍微修改其定义如下：

我们得到了所谓的群G的投影幺正表示。确定相位因子 $\omega ( g , h )$ 必须满足的约束条件，以反映群复合的结合律（假设 $U_{e} = I$）。

2.9 [平移-乘法群] 证明习题2.43中的算符构成群 $\mathbf{Z}_{d} \times \mathbf{Z}_{d}$ 的一个投影幺正表示，其复合律为

其中 $( p , q ) \oplus ( r , s ) = ( p \oplus r , q \oplus s )$，且 $\varphi ( j , l )$ 决定上闭链。

2.10 [泡利矩阵群与克莱因四元群] 证明习题2.4中的泡利矩阵构成一个群，该群可视为绕三个正交轴旋转π角的阿贝尔群的一个投影表示。证明该群是问题2.9中 $d = 2$ 情形的特例。

2.11 [泡利矩阵与闵可夫斯基度规] 由一般四矢量 ${\boldsymbol n} = ( n_{0} , {\bf n} )$（其中 ${\bf{n}} = ( {n_{x}} , {n_{y}} , {n_{z}} )$）可构造厄米矩阵

证明 $\operatorname*{det} ( \mathbf{N} ) = g_{i j} n^{i} n^{j}$，其中 $g_{i j} = \mathsf{Diag} [ 1 , - 1 , - 1 , - 1 ]$。

2.12 [泡利矩阵与洛伦兹变换] 证明对于 $\mathbf{A} \ \in \ \mathrm{SL} ( 2 , \mathbb{C} )$，矩阵

是洛伦兹群定义表示中的一个矩阵，即满足 $\Lambda^{T} G \Lambda ~ = ~ G$ 的4×4矩阵群，其中 $G =$ Diag $( 1 , - 1 , - 1 , - 1 )$。

2.13 [作为李代数生成元的泡利矩阵] 证明泡利矩阵张成一个李代数，即在对易子[ · , · ]下封闭的代数（这种复合也称为李积）。取泡利矩阵作为该代数的基，写出其对易关系，这些关系为代数的所有元素提供了李积。

2.14 [SU(2)的伴随表示] 利用恒等式

其中 $( \operatorname{Ad} A ) B : = [ A , B ]$，验证旋转公式

其中 $\mathbf{R}_{\mathbf{n}} ( \theta )$ 表示将三维矢量绕轴 n 逆时针旋转角度 θ 的正交矩阵。这也称为SU(2)的伴随表示，由群作用于其李代数（作为表示空间）生成。证明它也可以等价地写为

其中 $\mathbf{n} ( X ) : = \mathrm{Tr} [ X \pmb{\sigma} ]$。

2.15 [SU(2)作为SO(3)的双重覆盖] 证明群同构 ${\mathrm{SO}} ( 3 ) ~ =$ $\mathrm{SU} ( 2 ) / Z_{2}$。

2.16 证明包含单位矩阵的泡利矩阵张成整个矩阵群GL(2, C)的李代数，而SU(2)是其一个实的紧子群。

2.17 考虑以下可观测量：

证明其中任意三个的任意联合本征向量是所有四个可观测量的本征向量。找出这四个可观测量的所有联合本征向量。然后写出将通常的因式化标准基（由局域 $\sigma_{z}$ 的本征向量构成）映射到上述算符联合本征向量基的幺正算符。

2.18 验证以下是一个秩为一的POVM

其中

并为其构造一个最小Naimark扩张。

2.19 [效应的Bhatia扩张]³⁴ Naimark膨胀的一个例子由效应 $0 \leq P \leq I$ 的投影扩张Z给出：

验证 $Z$ 是一个正交投影算符。考虑用一量子比特辅助进行Hilbert空间膨胀，写出P到Z的Naimark扩张。

2.20 [量子轮盘赌] 以下是一个（通常非对易的）POVM例子：

其中

POVM (2.20) 描述了一个测量装置，在每次测量步骤中从M个不同的可观测量中随机选择一个，$\zeta_{i}$ 为第i个可观测量的概率。找出一个Naimark膨胀。

2.21 [最小信息完备观测检验的存在性] 证明总是可以从系统A的一组效应中构造一个最小信息完备观测检验。³⁵

2.22 考虑一个凸锥 ${\sf C}_{+}$ 及其实张成空间 $\complement_{\mathbb{R}}$ . 显然，每个元素 $x \in \mathsf{C}_{\mathbb{R}}$ 可以分解为 $x = x_{-} - x_{-}$ ，其中 $x_{\pm} \in \mathsf{C}_{\mathbb{R}}$ ，但这种分解通常不唯一。如果该锥是自对偶的（即 ${\sf C}_{+} = {\sf C}_{+}^{\vee}$ 在嵌入 ${\tt C}_{\mathbb{R}}$ 欧几里得空间时重合），则这种分解是唯一的Jordan分解³⁶

其中 $\langle \cdot , \cdot \rangle$ 是 ${\tt C}_{\mathbb{R}}$ 上与锥-对偶配对重合的标量积。该分解允许将x的唯一绝对值定义为 $| x | = x_{+} + x_{-}$ 。证明在量子理论中Jordan分解成立且唯一，并且绝对值是Hermite算符的算符绝对值。

2.23 [CP的充要条件] 证明一个线性映射 $\mathcal{E} : \mathsf{Lin} ( \mathcal{K} ) \longrightarrow \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} )$ 是CP的当且仅当对于所有向量序列 $\{| h_{i} \rangle \} \in{\mathcal{H}}$ 和 $\{| k_{i} \rangle \} \in \mathcal{K}$ ，其中 $i = 1 , . . . , n$ 对每个n都有

2.24 对于不可逆态 $\rho$ 的一般纯化，显式写出方程(2.68)中的效应 $E_{\sigma}$ .

2.25 证明如果一个态 $\begin{array}{r} {R = \sum_{i} \left| A_{i} \right. \right. \left. \left. A_{i} \right|} \end$ 是忠实的，则CP映射 $\begin{array}{r} {\mathcal{R} = \sum_{i} A_{i} \cdot A_{i}^{\dagger}} \end$ 是可逆的。

2.26 证明对于 $\rho \in \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ ，有 RefSet ${\mathfrak{1}} ( \rho ) = {\mathsf{Span}}_{+}$ RefSet $\rho \cap \mathsf{St}_{1} ( \mathbf{A} )$ ，其中 $\mathsf{Span}_{+} \mathsf{X}$ 表示X的锥张成空间。

2.27 对一般的输入态 $\Psi$ 推导与习题2.74类似的结果，并证明在无限维中也成立。

2.28 设 $X \ \in \ \mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H} )$ 是一个正算符，$\mathcal{E}$ 是一个完全正保恒等映射，即 $\mathcal{E} \in \mathsf{Lin}_{+} ( \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} ) \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} ) )$ ，且 $\mathcal{E} ( I ) = I .$ 证明条件 ${\mathcal{E}} ( X ) = X$ 和 $\mathcal{E} ( X^{\frac{1} {2}} ) = X^{\frac{1} {2}}$ 成立当且仅当X与 $\mathcal{E}$ 的所有Kraus算符对易。³⁷

2.29 [非PVM可重复测量] 证明二元仪器 $\{\mathcal{A}_{i} \}_{i = 0 , 1}$ 且

2.29 [非PVM可重复测量] 证明二元仪器 $\{\mathcal{A}_{i} \}_{i = 0 , 1}$ 且

其中

其中 $\{| n \rangle \}_{n = 0}^{\infty}$ 是 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 的标准正交基，该测量是可重复的，但其POVM非正交。

2.30 证明同一个态在不同环境下的两个纯化，由两个相应希尔伯特空间之间的一个部分等距酉映射相联系。写出连接两个环境的量子信道，如式(2.96)所示。

2.31 [封闭系统遵循薛定谔方程演化] 证明一个孤立的量子系统A必须经历一个酉时间齐次演化，形式为 $U ( t ) = \exp ( - i H t )$，其中 $H \in \mathsf{Herm} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$，t表示时间。相应地，时间相关密度矩阵 $\rho_{t} \in \mathsf{St} ( \mathbf{A} )$ 的演化必须具有以下形式

并且对于制备在纯态的系统，有 $\rho_{t} = | \psi_{t} \rangle \langle \psi_{t} |$，其中 $| \psi_{t} \rangle \in{\mathcal{H}}_{\mathrm{A}}$ 满足微分方程

因此，对于一般哈密顿量H，薛定谔方程就是孤立系统最一般的演化形式。

2.32 [开放系统遵循林德布拉德方程演化] 证明一个经历时间齐次确定性变换的有限维量子系统，按照林德布拉德形式的主方程（也称为林德布拉德方程）演化³⁸

其中 $V_{k} \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} ) \ \forall k$，且 $H \in \mathsf{Herm} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$

选习题与练习解答#

练习2.1#

由式(2.6)，我们可以将 $A \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H} )$ 的任意矩阵元 $\langle y | A | x \rangle$ 基于其对⻆元素表示。然后利用如下事实：对于任意 $| \mu \rangle = c | \lambda \rangle \in{\mathcal{H}}$，有 $\langle \mu | A | \mu \rangle = | c | ^{2} \langle \lambda | A | \lambda \rangle$。

练习2.5#

若集合S在凸组合下封闭，即对于集合中任意两点 $x_{1} , x_{2} \ \in \ S$，整个线段 $\{p x_{1} + ( 1 - p ) x_{2} | p \in [ 0 , 1 ] \}$ 都属于该集合，则S是凸集。集合 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 是凸的，因为凸组合既保持算子的正定性也保持迹支配性。

练习2.7#

凸组合既保持算子的正定性也保持单位算子支配性。另一种证明方法是把效应视为状态上的概率泛函，并证明它们在凸组合下封闭。

练习2.9#

密度算符可以在Pauli矩阵的标准正交基上唯一展开，而这些矩阵是自伴的。由于 $\mathrm{Tr} \rho = 1$，且 $I_{2}$ 是唯一迹非零的基元，其系数必须是 ${\frac{1} {2}}$，如式(2.12)所示。此外，由于 $\rho$ 是自伴的，$\textbf{n} \in \mathbb{R}^{3}$。$\rho$ 的正定性意味着 $1 + \langle \nu | \mathbf{n} \cdot \pmb{\sigma} | \nu \rangle \geq 0 , \forall | \nu \rangle \in \mathbb{C}^{2}$，特别地，对于 $\mathbf{n} \cdot \pmb{\sigma}$ 对应特征值 $\pm \| \mathbf{n} \|$ 的特征向量 |±（读者需验证），因此 $\| \mathbf{n} \| \leq 1$。纯态对应Bloch球的表面，即 $\| \mathbf{n} \| = 1$ 的Bloch矢量，而混合态则满足 $\| \mathbf{n} \| < 1$。完全混合态 $\begin{array}{r} {\rho = \frac{1} {2} I_{2}} \end$ 对应Bloch球的中心。

练习2.10#

一般概率性量子比特态集合 $\mathsf{St} ( \mathrm{A} )$ 由 $\mathbb{R}^{4}$ 中的如下截断锥体给出，锥底为Bloch球：

练习2.11#

这正好是条件 $0 \le E \le I_{2}$，等价于E的两个特征值均介于0和1之间。

练习2.12#

按定义，算符 $\sigma_{a} = \mathrm{Tr}_{\mathrm{A}} [ \sigma ( E_{a} \otimes I_{\mathrm{B}} ) ]$ 属于 $\mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} )$。它是正定的，因为

其中我们使用了 $\begin{array}{r} {E_{a} = \sum_{i} | e_{i} \rangle \langle e_{i} | \geq 0} \end$ 的分解。同样地，我们证明

练习2.17#

引理2.2的陈述可重述如下：设X是线性空间B的子空间，且 $\gamma \in \mathsf{B} \setminus \mathsf{X}$。则存在 $y \in \mathsf{X}^{\perp}$ 使得 $( y | \gamma ) \neq 0$。这可以简单地证明如下。

设 $\{\xi_{i} \}_{i = 1}^{n}$ 是X中的一组完全线性无关集。由于X是线性封闭的，$\{\xi_{i} \}_{i = 1}^{n} \cup \{\gamma \}$ 也是线性无关的。我们将这组线性无关集扩展为B中的完全集：$\{\xi_{i} \}_{i = 1}^{n} \cup \{\gamma \} \cup \{\zeta_{j} \}_{j = 1}^{\dim \mathsf{B} - n - 1}$。然后可以通过设定来定义 $y \in \mathsf{B}^{\vee}$：

接着通过线性性将泛函 y 延拓到 B 上。于是有 $y ~ \in ~ \mathsf{X}^{\perp}$，且 $( y | \gamma ) \neq 0$。

现在我们证明引理 2.3。可以很容易地证明，无论集合 A 如何，集合 $\mathsf{A}^{\perp}$ 总是一个向量空间。事实上，设 $a , a^{\prime} \in \mathsf{A}^{\perp}$，且 $\lambda , \mu \in \mathbb{R}$。那么有

即 $\lambda a + \mu a^{\prime} \in \mathsf{A}^{\perp}$。类似地，可以证明 $\mathsf{Span} ( \mathsf{A} )^{\perp} = \mathsf{A}^{\perp}$。实际上，对于 $\alpha , \alpha^{\prime} \in \mathsf{A}$ 和 $\lambda , \mu \in \mathbb{R}$，有

前一个论证表明 $( \mathsf{A}^{\perp} )^{\perp} \subseteq \mathsf{B}$ 是一个子空间。此外，由于对每个 $\alpha \in \mathsf{A}$ 和对每个 $a \in \mathsf{A}^{\perp}$ 都有 $( a | \alpha ) = 0$，因此有 $\mathsf{A} \subseteq ( \mathsf{A}^{\perp} )^{\perp}$。从而

另一方面，根据引理 2.17，对于任意 $\beta \in ( \mathsf{A}^{\perp} )^{\perp}$，有 $\beta \in \mathsf{Span} ( \mathsf{A} )$

练习 2.18#

态对效应是分离的，并且态的集合属于纯态锥形张成。由此可知，纯态对效应是分离的。类似地，原子效应分离态。另一种解法如下。$A_{1} = A_{2} \in \mathsf{Lin}_{+} ( \mathsf{A} )$ 当且仅当 $\langle \lambda | A_{1} | \lambda \rangle = \langle \lambda | A_{2} | \lambda \rangle$ $\forall | \lambda \rangle \in{\mathcal{H}}_{\mathrm{A}}$。因此，$A_{1} \neq A_{2}$ 当且仅当存在一个向量 $| \mu \rangle \in{\mathcal{H}}$ 使得 $\langle \mu | A_{1} | \mu \rangle \neq \langle \mu | A_{2} | \mu \rangle$。这意味着纯态分离效应。类似地，可以证明原子效应分离态。

练习 2.19#

使用展开式

我们可以通过取两边的期望值来得到任意算子的期望，即

特别地，密度算子 $\rho$ 的矩阵元 $\langle u \vert \rho \vert \nu \rangle$ 是 $X = \vert \nu \rangle \langle u \vert$ 的期望，因此

练习 2.20#

正算子的张量积的秩是各自秩的乘积。一个秩为1的正算子，如果它是正算子的张量积，那么它必然是一些秩为1的正算子的乘积，因此它必然具有形式 $| \lambda \rangle \langle \lambda |$，其中 $| \lambda \rangle$ 是向量的张量积。一个秩为1的因式化算子的非平凡凸组合严格具有大于1的秩。式(2.23)中的算子 R 秩为1，但并非形式 $| \lambda \rangle \langle \lambda |$ 且 |λ$\rangle$ 为张量积。于是我们得出结论：R 不可分。

练习 2.30#

式(2.33)的证明。设 $\rho - \sigma \geq 0$。那么对 $\psi \in \mathsf{Ker} \rho$ 取两边的期望，有 $- \langle \psi | \sigma | \psi \rangle \geq 0$。由于 $\sigma \geq 0$，则必有 $\psi \in{\mathsf{Ker}} \sigma$，从而 Ker $\rho \subseteq{\mathsf{Ker}} \sigma$。最后，由于 Supp $X = ( \mathsf{Ker} X )^{\perp}$，我们得到 Supp $\sigma \subseteq \mathsf{Supp} \rho$。反之，如果 Supp $\sigma \subseteq$ Supp $\rho$，则可以写出

其中 $\rho^{-1}$ 在 Supp $\rho$ 上对 $\rho$ 取逆，$P_{\mathsf{Supp} \rho}$ 是 Supp $\rho$ 上的投影，而 $\lambda > 0$ 是 $\rho^{- \frac{1}{2}} \sigma \rho^{- \frac{1}{2}}$ 的最大特征值。因此我们有

习题 2.31#

该证明是定义 (2.29) $\mathsf{RefSet}_{1} \rho$ 以及习题 2.30 的直接应用。

习题 2.33#

我们可以将对偶映射 $\mathcal{A}^{\dagger}$ 的作用显式地用映射的作用表示，方法是将恒等式 (2.40) 线性扩展到 $\mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 和 $\mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} )$，并展开，例如在 $\mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$ 的标准正交基 $\{| i \rangle \langle j | \}$（$\{| i \rangle \}$ 是 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 的标准正交基）上如下进行

然后我们得到

显然，$\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{A}^{\dagger}$ 都在算子空间上是线性的。准确地说，有

$\mathcal{A}^{\dagger}$ 是 $\mathcal{A}$ 的对偶映射，且 $\mathsf{Lin} [ \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} ) \to \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} ) ]^{\vee} = \mathsf{Lin} [ \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{B}} ) \to \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} ) ]$（假设希尔伯特空间是有限维的）。

习题 2.34#

该映射显然是正的，因为根据式 (2.116) 可以验证 $\tau = \tau^{\dagger}$，并且根据习题 2.33 的解，有

其中 $| \upsilon^{*} \rangle$ 表示向量 |υ⟩，其所有关于固定基的系数已被取复共轭。然而，该映射不是 CP 的，这是习题 2.23 和 2.24 的一个直接推论。该映射在局部作用于联合态时不保持正性的另一个例子由单态情形给出。将映射局部作用于处于两个量子比特“单态”的一对系统

关于标准正交基 {|0⟩, |1⟩} 进行转置，并使用恒等式 Eq. (2.37)，得到

在状态 $\begin{array}{r} {| \Phi \rangle = \frac{1} {\sqrt{2}} ( | 0 \rangle \otimes | 0 \rangle + | 1 \rangle \otimes | 1 \rangle )} \end$ 上的期望是负的

因此映射 $\tau \otimes \tau$ 不是正的，且 $\tau$ 不是 $\mathrm{CP}. ^{39}$

习题 2.35#

对于任何扩张，以及在扩张希尔伯特空间上的正算子 R，有

习题 2.44#

很容易看出恒等式 (2.55) 中的第二个给出了映射 ${\mathcal{A}}$。有

[ \mathrm{Tr}{2} [ {\cal A} \otimes{\cal{T}}{\mathrm{A}} ( | \rho \rangle \rangle \langle \langle I | ) ] = {\cal{A}} [ \mathrm{Tr}_{2} ( | \rho \rangle \rangle \langle \langle I | ) ] = {\cal{A}} ( \rho ) , ]

这里我们使用了恒等式 (2.50) 以及平凡对易关系

[ ( I_{\mathrm{B}} \otimes X ) ( {\cal A} \otimes{\cal T}{\mathrm{A}} ) = ( {\cal A} \otimes{\cal T}{\mathrm{A}} ) ( I_{\mathrm{B}} \otimes X ) , ]

[ \mathrm{Tr}{2} [ {\cal A} \otimes \mathcal{T}{\mathrm{A}} X_{\mathrm{AB}} ] = {\cal A} \mathrm{Tr}{2} X{\mathrm{AB}} . ]

练习 2.45#

显然，如果 $( U^{\dagger} U )_{j k} = \delta_{j k}$，那么

[ \sum_{i} A_{i}^{\prime} \rho A_{i}^{\prime \dagger} = \sum_{i j k} U_{i j}^{*} U_{i k} A_{k} \rho A_{j}^{\dagger} = \sum_{j k} ( U^{\dagger} U ){j k} A{k} \rho A_{j}^{\dagger} = \sum_{j} A_{j} \rho A_{j}^{\dagger} . ]

反过来，要求对所有输入态保持映射的相同值域，迫使两组算子线性相关；而展开的唯一性则来自 $\left\{A_{i} \right\}$ 的线性无关性。

练习 2.47#

只需对原子情况证明这两个论断即可。考虑一个态 $\rho =$ $| \lambda \rangle \langle \lambda | \in \mathsf{St} ( \mathsf{A} )$，其中 $| \lambda \rangle \in \mathcal{H}_{\mathsf{A}}$ 且 $\| \lambda \| \leq 1$，将其视为从平凡系统 I（希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{I}} = \mathbb{C}$）到系统 A（希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$）的变换 $\rho \in \mathsf{Transf} ( \mathrm{I} \to \mathrm{A} )$。该态将一个非零概率 $0 < p \le 1$（视为 I 的一个态）变换为态 $A p A^{\dagger} = p | \lambda \rangle \langle \lambda |$，而克劳斯算子（不考虑相位）为 $A = | \lambda \rangle \in \mathsf{Lin} ( \mathbb{C} \to \mathcal{H}_{\mathrm{A}} )$。此时有 $| I \in \mathbb{C} \otimes \mathbb{C} \equiv \mathbb{C}$，对应 $\left| I \right. \right. \left. \left. I \right| = 1 \in \mathbb{C}$，因此 Choi–Jamiołkowski 算子即为态本身 $R_{\lambda} = | \lambda \rangle \langle \lambda |$。

关于原子效应 $a = \mathrm{Tr} [ \cdot | \lambda \rangle \langle \lambda | ] \in \mathsf{Eff} ( \mathrm{A} ) \equiv \mathsf{Transf} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \to \mathbb{C} )$，其克劳斯算子由 $A = \langle \lambda | \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \to \mathbb{C} )$ 给出，导致映射 $\mathbf{S} \mathbf{t} ( \mathrm{A} ) \ni \rho \mapsto A \rho A^{\dagger} = \langle \lambda \vert \rho \vert \lambda \rangle$。此时有 $| I \rangle \rangle \in \mathcal{H}_{\mathrm{A}}^{\otimes 2}$，Choi–Jamiołkowski 算子为

[ ( \langle \lambda | \otimes I ) | I \rangle \rangle \langle \langle I ( | \lambda \rangle \otimes I ) = | \lambda \rangle^{**} \langle \lambda | . ]

练习 2.48#

态的凸集是由锥 $\mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{BA}} )$ 被垂直于锥轴的 $d_{\mathrm{A}}^{2} d_{\mathrm{B}}^{2} \mathrm{~ - ~} 1$ 维超平面截断而成。另一方面，变换的凸集是锥 $\mathsf{Lin}_{+} ( \mathcal{H}_{\mathrm{BA}} )$ 与凸集

[ \mathrm{Tr}{\mathrm{B}} [ R ] \leq I{\mathrm{A}} , ]

的交集，其中该凸集的维数为 $d_{\mathrm{A}}^{2}$。因此，两个凸集是同一凸锥的不同凸截断。

练习 2.51#

量子仪器的完备性可方便地写为：

[ \sum_{i} {\mathcal{T}}_{i}^{\dagger} ( I ) = I . ]

根据定义，如果级联两次测量的联合概率由 $p ( i_{2} , i_{1} ) = \delta_{i_{1} i_{2}} p ( i_{1} )$ 给出，则称该仪器是可重复的。由极化恒等式，这等价于

[ \begin{array}{r} {\mathcal{T}{i{1}}^{\dagger} \mathcal{T}{i{2}}^{\dagger} ( I ) = \delta_{i_{1} i_{2}} \mathcal{T}{i{1}}^{\dagger} ( I ) .} \end{array} ]

对于克劳斯分解 $\begin{array}{r} {\mathcal{T}_{i} = \sum_{n} A_{n}^{( i )} \cdot A_{n}^{( i ) \dagger}} \end$，有

[ \sum_{n m} A_{m}^{( i_{2} ) \dagger} A_{n}^{( i_{1} ) \dagger} A_{n}^{( i_{1} )} A_{m}^{( i_{2} )} = \delta_{i_{1} i_{2}} \sum_{n} A_{n}^{( i_{1} ) \dagger} A_{n}^{( i_{1} )} . ]

由于式 (2.119) 中双重求和的所有项均为正，我们必须有

且由于对任意算子 $A$ 有 $A^{\dagger} A = 0 \Longrightarrow A = 0$，故

另一方面，若式 (2.120) 与归一化条件 (2.117) 同时满足，则有

且条件 (2.120) 蕴含了可重复性条件 (2.118)，因此它是可重复性的充要条件。

练习 2.55#

状态集 $\{\rho_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 可完美区分当且仅当存在一个 POVM $\{P_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 使得 $\mathrm{Tr} ( P_{j} \rho_{i} ) = \delta_{i j}$。对每对结果 $i , j$，恒等式 $\mathrm{Tr} ( P_{j} \rho_{i} ) = 0$ 意味着 Supp $\rho_{i} \cap$ Supp $P_{j} = \{0 \}$，而 $\operatorname{Tr} ( P_{i} \rho_{i} ) = 1$ 意味着 $P_{i} = Z_{\mathsf{Supp} \rho_{i}} + W$，其中 $Z_{\mathsf{Supp} \rho_{i}}$ 表示 $\rho_{i}$ 支撑集上的正交投影算子，$W \geq 0$ 且其支撑集与 Supp $\rho_{i}$ 正交。由此可得 Supp $\rho_{i} \subseteq \mathsf{Supp} P_{i}$。此外还应有

Supp $\rho_{i} \cap \mathsf{Supp} \rho_{j} = \{0 \}$，否则我们无法有 $Z_{\mathsf{Supp} \rho_{i}} + Z_{\mathsf{Supp} \rho_{j}} \le I_{\mathsf{A}}$，从而无法有 $P_{i} + P_{j} \leq I_{\mathrm{A}}$，且无法满足 POVM 的归一化条件。最后，当 $\oplus_{i \in \mathrm{X}} \mathsf{Supp} \rho_{i} = \mathcal{H}$ 时，有 $\mathrm{Tr} [ W \rho_{j} ] = 0 ~ \mathrm{for} ~ j \neq i ,$ 因此 $P_{i}$ 为正交投影算子。

练习 2.56#

以得到结果 i 后接着得到结果 j 的联合概率 $p_{i j}$ 来表示，可重复性定义如下：

将原子仪器写为 $\mathcal{A}_{i} ( \rho ) = A_{i} \rho A_{i}^{\dagger}$ 的形式，我们有

首先我们注意到式 (2.121) 意味着

事实上，假设存在一个向量 $| \psi \rangle \in{\mathcal{H}}_{\mathrm{A}}$ 使得

那么，由于 $\| A_{i} \| \leq 1$，利用式 (2.121)，即对所有 $| \psi \rangle \in{\mathcal{H}}_{\mathrm{A}}$ 有 $\| A_{i}^{2} | \psi \rangle \| = \| A_{i} | \psi \rangle \|$，我们得到

这成立当且仅当 $| \nu \rangle ~ = ~ 0$。因此，我们有 Rng $A_{i} ~ \subseteq ~ \mathsf{Supp} A_{i}$。此外，式 (2.121) 意味着 $\| A_{i}^{2} \psi \| = \| A_{i} \psi \|$，即对于 $\varphi = A_{i} \psi \in{\mathsf{Rng}} A_{i}$ 有 $\| A_{i} \varphi \| = \| \varphi \|$，这意味着 $A_{i}$ 在其值域上是等距的。在有限维希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{A}}$ 上，对任意算子 A，有 dim Rng $A = \dim \mathsf{Supp} A = \operatorname{rank} A ,$ 因此式 (2.121) 意味着

且 $A_{i}$ 在其支撑集上是等距的，即它是一个部分等距算子，或者等价地说

其中 $Z_{i}$ 是 $\mathsf{Supp} A_{i}$ 上的正交投影算子。另一方面，式 (2.121) 意味着

即对于 $i \neq j$，有 $\mathsf{Supp} A_{i} \subseteq ( \mathsf{Rng} A_{j} )^{\perp}$，并且利用式 (2.122)，我们得到

因此，有

即 $\{A_{i}^{\dagger} A_{i} \}_{i \in \mathrm{X}}$ 是一个 PVM。

我们注意到，上述可重复性条件仅在无穷维中对于原子仪器成立。一个具有非正交 POVM 的可重复非原子仪器的例子是以下形式的测量-制备仪器

在无穷维中，一个可重复且具有非正交 POVM 的原子仪器由以下式子给出$\boldsymbol{\mathrm{by}}^{40}$

对应的非正交 POVM 为

利用恒等式易于验证完备性

练习 2.57#

将两个向量记为 $| \psi_{1} \rangle$ 和 $| \psi_{2} \rangle$，且 $\langle \psi_{1} | \psi_{2} \rangle \neq 0$。要区分这两个纯态，需要一个 POVM $\{P_{i} \}_{i = 1 , 2}$，其两个结果与两个状态一一对应。在完美区分中，结果 $k = 1 , 2$ 应分别对应于状态 $| \psi_{1} \rangle , | \psi_{2} \rangle$。这对应于设定概率

然而，由于 $P_{1} + P_{2} = I$，有 $\langle \psi_{1} | P_{1} + P_{2} | \psi_{1} \rangle = 1$，结合式 (2.124) 意味着 $\langle \psi_{1} | P_{2} | \psi_{1} \rangle = 0$，即 $P_{2}^{\frac{1} {2}} | \psi_{1} \rangle = 0$。将

其中 $| \varphi \rangle$ 与 $| \psi_{1} \rangle$ 正交且 $| \beta | < 1$，我们得到

这与式 (2.124) 矛盾。

练习 2.58#

给定状态 $| \psi_{k} \rangle$ 时的错误概率为

这得益于对偶条件，因此总错误概率为零，即区分是完美的。α 的允许值需满足 $P_{?}$ 的正定性条件，即

该条件在以下情况下成立

不确定结果的最大概率为

并被最小化为

相同的α值也最小化平均不确定结果概率，其表达式为

其中$q_{n}$表示态$\left| {\psi_{n}} \right.$的先验概率。

习题2.59#

矩阵 $\begin{array}{r l} {\sum_{i = 1 , 2} | \varphi_{i} \rangle \langle \varphi_{i} | = \left[ \frac{3} {2} \} & {{} \frac{1} {2} \right]} \\ {\sum_{i = 1 , 2} | \varphi_{i} \rangle \langle \varphi_{i} | = \left[ \frac{1} {2} \} & {{} \frac{1} {2} \right]} \end$ 的特征值为 $\begin{array}{r} {\lambda = \frac{\sqrt{2} \pm 1} {\sqrt{2}}} \end$ ，因此 $\alpha_{\mathrm{opt}} = \sqrt{2} /$ $( 1 + {\sqrt{2}} )$

习题2.64#

每个子马尔可夫矩阵M可以看作$m \times n$矩阵的锥组合，这些矩阵中只有一个非零元素等于1。因此，原子变换可以标记为$\mathbf{M}^{( i j )}$，其作用为$\mathbf{M}^{( i j )} \mathbf{e}^{( k )} = \delta_{j k} \mathbf{e}^{\prime ( \bar{i} )}$，其中列向量$\mathbf{e}^{( i )} \in \mathsf{S}_{n}$的元素为$e_{j}^{( i )} = \delta_{i j}$，$\mathbf{e}^{\prime ( i )} \in \mathsf{S}_{m}$类似。

习题2.65#

原子变换$\mathbf{M}^{( i j )}$必须湮灭每个具有$x_{j} = 0$的态$\mathbf{x} \in \mathsf{S}_{n}$，并制备纯态$\mathbf{e}^{\prime ( i )}$。因此，在Kraus表示中，它必须有一个与$| i \rangle \langle j |$成比例的单个Kraus算符。

习题2.72#

从规范基{|j}到标准正交基$\{| \nu_{i} \rangle \rangle$的变换对应如下写出向量|I:

利用$\rho$的特征向量$\{| \lambda_{i} \rangle / \| \lambda_{i} \| \}$，得到

习题 $2.74^{41}$#

从恒等式(2.52)中，我们看到量子操作矩阵A印记在态上，并可以如下恢复：

其中$\| A \| _{2} = \operatorname{Tr} [ A^{\dagger} A ]^{\frac{1} {2}}$是A的Hilbert–Schmidt范数。于是，有

其中$p_{A}$表示量子操作在态$\frac{1} {\sqrt{d}} \vert I \rangle \rangle$上发生的概率。输出态矩阵$\Phi$可以用可测量的系综平均值表示如下：

其中$i_{0} , j_{0}$是合适的固定整数，$e^{i \theta}$是对应于$\theta = \arg ( \langle \langle i_{0} , j_{0} | \Phi \rangle \rangle )$）的一个无关（不可测量）的整体相位因子。利用方程(2.126)，我们可以用输出系综平均值写出矩阵$A_{i j}$如下：

其中算符$E_{i j} ( \psi )$由下式给出

而比例常数由下式给出

由于$A_{i j}$仅用输出系综平均值表示，因此除了整体任意相位θ外，它可以通过量子层析成像来估计。

练习2.77#

推导过程只需将量子扩展的黄金规则代入式(2.73)：

练习2.78#

根据各种要素的定义，可以得出希尔伯特空间受以下恒等式约束

将仪器写成Kraus形式

很容易验证该仪器可以重写为如下形式：

而仪器的完备性意味着$T^{\dagger} T = I_{\mathrm{A}}$。然后，我们只需使用附录2.1中的量子扩展黄金规则：

其中$| 0 \rangle_{\mathrm{F}} \in \mathcal{H}_{\mathrm{F}}$为任意纯态，而$U \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \otimes \mathcal{H}_{\mathrm{F}} )$取决于$T$和$| 0 \rangle_{\mathrm{F}}$。

练习2.80#

其中$\vert n \rangle : = \vert A_{n}^{\ast} \rangle \rangle / \Vert A_{n}^{\ast} \Vert$是正交归一的。

练习2.81#

对于制备成混合态的自旋，设 $\begin{array}{r} {\sigma = \sum_{n} \left. s_{n} \right. \langle s_{n} \vert ( \sum_{n} \| s_{n} \| ^{2} = 1 )} \end$，我们有

其中

这是一个一般的量子操作。

练习2.82#

使用|I的规范基，取恒等式(2.81)两边的矩阵元

得到

对恒等式(2.82)的第一个式子两边取矩阵元$\langle k | \ldots | m \rangle$并令$X = \vert l \rangle \langle n \vert$，即可得到相同的恒等式。(2.82)的第二个恒等式可通过取第一个恒等式的厄米共轭得到。式(2.83)中的恒等式也可类似地轻松推导出来。

习题2.83#

算子$E_{i}$由构造可知是正定的。利用恒等式(2.83)可以验证它们也构成一个单位分解。最后一个验证是第2.8.2节中形式体系的简单应用。

习题2.84#

POVM可视为仪器(instrument)的一个特例，其中最终系统是平凡系统，即希尔伯特空间$\mathcal{H}_{\mathrm{B}} = \mathbb{C}$。该操作具体由下式给出：

注意到在海森堡绘景中，输入为平凡空间$\mathcal{H}_{\mathrm{B}} = \mathbb{C}$，该映射的海森堡绘景版本为：

其中我们省略了平凡希尔伯特空间$\mathcal{H}_{\mathrm{B}} = \mathbb{C}$上的c-数算子。利用$P_{i}$的任意秩一细化，例如：

可得：

可以看出，这里的向量$| f_{n}^{( i )} \rangle$扮演了量子操作的Kraus算子的角色。膨胀等距算子$V \in \mathsf{Lin} ( \mathcal{H}_{\mathrm{A}} \to \mathcal{H}_{\mathrm{B}} )$则由下式给出：

其中$\{| n , i \rangle \}$是$\mathcal{H}_{\mathrm{C}}$的正交归一基，其他定义如式(2.130)所示。于是可得：

利用仪器的海森堡绘景并省略平凡系统上的单位算子，有：

即得证。

习题2.89#

由式(2.134)和(2.136)可知，$\operatorname{rank} P_{i} ~ \le ~ \mathrm{rank} Z_{i}$，当$\operatorname{rank} Z_{i} = \operatorname{rank} P_{i}$时膨胀是最小的，例如取$\{| f_{n}^{( i )} \rangle \}$为$P_{i}$的本征向量时。膨胀后的希尔伯特空间$\mathcal{E} \supseteq \mathcal{H}$的维数将受限于（见习题2.84）：

习题2.90#

如果一个POVM $\{P_{k} \}$是对易的，那么我们可以联合对角化所有元素$P_{k} \ ( \mathrm{for} \ k =$ $1 , \ldots , M )$如下：

其中$\{| m \rangle \}$表示公共正交归一本征向量，而本征值$p ( k | m ) \geq$ $0$，并满足完备性条件$\begin{array}{r} {\sum_{k = 1}^{M} p ( k | m ) = 1} \end$，之所以这样写，是因为它们可以解释为给定“真”值为m时测得k的条件概率。从这个对角化可以看出，对易POVM仅仅是对可观测量概念的平凡推广，其中增加了测量结果的额外随机化。

在扩展空间$\mathcal{H} \otimes \mathbb{C}^{M}$上，可以借助正交投影得到对易POVM的Naimark膨胀：

其中辅助系统制备在任何固定态$| \omega \rangle \in \mathbb{C}^{M}$上，$\{| k \rangle \}$是$\mathbb{C}^{M}$的任意正交归基，$\{U_{m} \}$是任意一族实现等距算子的酉算子：

Naimark 扩张可通过以下步骤轻易验证：

练习 2.93#

式(2.91)中的仪器可通过与练习2.91相同的推导轻松得出，特别是利用信道的单个Kraus算符的式(2.90)。对于混合态 $\Omega$ 来说，该仪器不是原子的。由式(2.89)可知，为使 $\tau$ 是原子的，状态 $\Omega$ 必须是纯态，因为否则若 $\Omega = \sum_{j} \Omega_{j}$，则必须所有 $\Omega_{j}$ 互成比例，而在当前情况下这成立当且仅当算符 $F_{j}$ 互成比例——这与 $\Omega$ 的混合态假设相矛盾。利用推论2.29还可以证明，对于非最大纠缠态 $\Omega$，不可能确定性地实现完美隐形传态。

练习 2.96#

在所考虑的情况下，有 $P = I$，因此Knill–Laflamme条件重写为

对于 $i = j$，有

其中 $\phi_{i}$ 是任意相位，$V$ 是等距算符，因此在有限维Hilbert空间上考虑算符时是酉算符。对于 $i \neq j$，有 $\alpha_{i j} = \alpha_{i}^{*} \alpha_{j}$，因此状态 $\alpha$ 是纯态。

练习 2.97#

考虑信道在其上可逆的状态 $\rho \in{\mathsf{St}} ( {\mathsf{A}} )$，记R为纯化系统，E为信道纯化的环境。考虑等距算符 $\begin{array}{r} {V = \sum_{i} E_{i} \otimes | i \rangle_{\mathrm{E}}} \end$，对应Kraus算符 $\{E_{i} \}$。根据黄金法则(2.103)，V描述了与环境E的一个固定态的酉相互作用，即 $V | \psi \rangle_{\mathrm{A}} = U ( | \psi \rangle_{\mathrm{A}} \otimes | 0 \rangle_{\mathrm{E}} )$。该等距算符作用于 $\rho$ 的纯化 $| F_{\rho} \rangle \rangle_{\mathrm{AR}}$ 上给出

输出状态 $| \Psi \rangle \langle \Psi | _{\mathrm{ARE}}$ 的边缘态 $\rho_{\mathrm{RE}}$ 由下式给出

利用Knill–Laflamme条件(2.99)，有

它是可分解的。因此，相互作用后的环境态 $\alpha^{*}$ 是Knill–Laflamme状态的复共轭态。

练习 2.98#

针对对角化形式的环境态的Knill–Laflamme条件(2.99)变为

这意味着以下算符

在Supp P上是等距的，且具有正交的值域。注意，特殊的Kraus分解 $\{F_{m} \}$ 不一定是正则的，但可以通过对角化环境态 $\alpha$ 的等距变换与之相连