第10章 · 固定节点近似#

10.1 符号问题#

在前几章中，我们讨论了两种可用于采样关联多体问题精确基态波函数的方法。这两种方法都基于投影技术，即从初始试探态中过滤出基态；例如，在 Green's 函数蒙特卡洛技术中，我们有：

其中 $\Lambda$ 是一个对角算子，$\Lambda_{x , x} = \lambda$ 是一个足够大的常数，$E_{0}$ 是基态能量。这里唯一的假设是初始态 $| \Psi_{0} \rangle$ 必须与基态 $| \Upsilon_{0} \rangle$ 有有限重叠。在幂方法的随机实现中，式(8.5)中定义的所谓 Green's 函数 $\mathcal{G}_{x^{\prime} , x}$ 对于基集 $\{| x \rangle \}$ 的所有元素必须是非负的。在某些情况下，通过引入重要性抽样可以将负项变为正项；这种方法导致了式(8.31)中给出的修正 Green's 函数。然而，在一般情况下，重要性抽样无法移除所有负元素，我们不得不面对所谓的符号问题。相应地，Green's 函数的符号会诱导基态波函数的符号结构：

其中 $\Upsilon_{0} ( x ) = \langle x \vert \Upsilon_{0} \rangle$ 可正可负，其符号通常是先验未知的。当然，当 $\mathcal{G}_{x , x^{\prime}} \geq 0$，对应于所有非对角元素 $\mathcal{H}_{\boldsymbol{x} , \boldsymbol{x}^{\prime}}$ 都非正的哈密顿量时，基态波函数满足 $\Upsilon_{0} ( x ) \geq 0$；振幅的严格正性可以通过 Perron-Frobenius 定理（Meyer, 2000）证明。

在此，我们想讨论与 Green's 函数中存在负元素相关的主要问题，以及一种可能的解决方法，即 fixed-node 近似。在下文中，我们将局限于实波函数（对应于具有实矩阵元的哈密顿量），这种情况已经极其复杂。首先，我们强调符号问题是依赖于基组的：虽然 Green's 函数在给定基 $\{| x \rangle \}$ 中可能有负元素，但在另一个基 $\{| y \rangle \}$ 中可能全部为正。注意到对角元素不相关，因为通过适当调整 $\Lambda_{x , x} = \lambda$ 总能使其为正。因此，符号问题的直接解决方案是选择一个巧妙的基集，使得所有矩阵元 $\mathcal{G}_{x , x^{\prime}} \geq 0$。不幸的是，这种可能性仅在非常有限的情况下才能实现。事实上，出于计算效率的考虑，最常用的基集是局域基，即定义在单个格点上，至多涉及少数几个邻近格点。在一般情况下，局域基会导致严重的符号问题。相反，在使哈密顿量对角化的基集中，符号问题不会出现；可惜的是，这样的基无法在合理的计算时间内确定。

原则上，通过将符号与行走者的权重相关联，投影方案的随机实现可以推广到 Green's 函数有负元素的情况。特别地，我们可以考虑 Green's 函数的如下分解（这里为简化符号，我们不给各个量加波浪号，假设已经考虑了重要性抽样）：

其中，与式(8.7)类似，我们定义了转移概率 $p_{x^{\prime} , x}$、权重 $b_{x}$，以及符号 $s_{x^{\prime} , x}$：

接着，可以实施一个马尔可夫过程，该过程推广了格林函数蒙特卡洛中使用的过程，见式(8.10)和(8.11)：

1. $$ \text{生成} x_{n + 1} = x^{\prime} \text{的概率为} p_{x^{\prime} , x_{n}} ,\tag{10.7} $$
2. $$ \text{用} w_{n + 1} = w_{n} b_{x} \text{更新权重} ,\tag{10.8} $$
3. $$ \text{将符号附加到权重上} w_{n + 1} = w_{n + 1} s_{x_{n + 1} , x_{n}} .\tag{10.9} $$

这种方法可以推广到 $N_{\mathrm{w}}$ 个行走者，如第8.5节所述；分支过程可以根据权重绝对值 $| w_{\alpha , n} |$ 执行，其中 $\alpha = 1 , \ldots , N_{\mathrm{w}}$ 。这样，行走者将根据分布概率 $\mathcal{P}_{n}^{F} ( x , w )$ 分布，与第8章讨论的关键区别在于，现在对于 $w < 0$ 也有 $\mathcal{P}_{n}^{F} ( x , w ) \neq 0$ 。然后，与式(8.16)类似，费米子波函数由下式给出：

费米子性质体现在非平凡符号的存在，即分布函数的小不对称性：

相反，如果忽略符号，即省略式(10.9)的第三步，马尔可夫过程会收敛到“玻色子”基态，该基态由哈密顿量 $\mathcal{H}_{x , x^{\prime}}^{B} = - | \mathcal{H}_{x , x^{\prime}} |$（当 $x \neq x^{\prime}$）和 $\mathcal{H}_{x , x}^{B} = \mathcal{H}_{x , x}$ 的最低能量态给出。在这种情况下，行走者只有在 $w > 0$ 时才有非零概率，基态波函数由下式给出：

关键点是，在蒙特卡洛模拟中很难检测到费米子特性。实际上，考虑一个通用观测量 $\mathcal{O}$，并取混合平均值 [见式(8.53)]，其中 $\begin{array} {r} {| \Psi_{G} \rangle = \sum_{x} | x \rangle} \end{array}$：

其中 $\begin{array} {r} {\mathcal{O} ( x ) = \sum_{x^{\prime}} \mathcal{O}_{x^{\prime} , x}} \end{array}$。然后，利用第3.2节描述的重加权技术，并将权重 w 的符号记为 $s ( w )$，我们得到：

因此，之前的费米子量可以通过对“玻色子”概率 $| w | \mathcal{P}_{n}^{F} ( x , w )$ 进行采样得到：

其中 $\langle \langle \dots \rangle \rangle_{B}$ 表示在概率分布 $| w | \mathcal{P}_{n}^{F} ( x , w )$ 上的统计平均。一般情况下，几乎一半的行走者群体具有正符号，而另一半群体具有负符号；这一事实导致式(10.15)中的分子和分母几乎完全相消。实际上，从式(10.1)出发，我们得到：

其中 $E_{0}^{F}$ 和 $E_{0}^{B}$ 分别是"费米子型"（即由 $\mathcal{H}$ 描述）和"玻色子型"（即由 $-|\mathcal{H}|$ 描述）系统的基态能量。由于"玻色子型"基态能量通常远低于"费米子型"基态能量，平均符号随粒子数 $N_{p}$ 呈指数衰减（$E_{0}^{F}$ 和 $E_{0}^{B}$ 均与 $N_{p}$ 成正比）：

同样地，$\langle \langle s \ \mathcal{O} \rangle \rangle_{B} \approx 0$ 也成立。特别地，在基于蒙特卡罗采样的数值评估中，误差棒将远大于可观测量本身的值，使得其估计变得不可行（Ceperley and Alder, 1980; Loh et al., 1990）。

从历史上看，符号问题首次出现在连续型费米子模型中，因此通常也被称为"费米子符号问题"，这与费米子波函数在交换两个粒子时具有反对称性这一事实相关。因此，费米子波函数不能被解释为概率密度。

在连续空间中，一个重要概念是节面，即 $\Upsilon_{0} ( x ) = 0$ 的点集位置，它将符号相反的区域分隔开来。在具有 $N_{p}$ 个粒子的 $d$ 维系统中，整个相空间的维度为 $d N_{p}$。显然，节面的维度为 $d N_{p} - 1$；而费米子波函数因泡利原理（即当两个粒子坐标重合时）为零的点集则生成一组维度为 $d N_{p} - d$ 的曲面（称为"泡利面"）。因此，反对称性导致的节点位置并不构成完整的节面（除 $d = 1$ 的情况外），而是构建了其"骨架"。为举例说明这一概念，我们在图10.1中展示了边长为 $L = 10$、采用周期边界条件的二维盒子中 $N_{p} = 49$ 个自由无自旋费米子的情况：我们固定了除一个粒子外所有粒子的坐标，并计算了当最后一个粒子在盒内移动时多体波函数（通过填充最低能量单粒子态即平面波构建的斯莱特行列式）的符号（Ceperley, 1991）。值得注意的是，在一维空间中，除可能由简并或奇异相互作用导致的偶然节点外，仅泡利面就完全决定了节面。

图10.1 展示了一个边长为 $L = 10$、采用周期边界条件的二维盒子中49个自由无自旋费米子系统的节面和泡利面。盒子中48个粒子的坐标被（随机）固定，以黑点表示。最后一个粒子在盒内移动，计算多体波函数的符号。泡利面（更准确地说是其在48个粒子固定于盒内的子空间中的投影）与黑点重合。灰色（白色）区域中多体波函数为正（负）；因此节面位于这两个区域的边界处。注意黑点属于完整节面的组成部分，但并非其全部。

核心困难在于：节面在相互作用存在时会发生改变，并可能变得非常复杂，而泡利面仅由对称性决定，因此不会改变。在连续体系中，投影技术的一个直接实现是所谓的扩散蒙特卡洛方法，该方法使用波函数的随机样本（例如行走子）来求解（虚时）薛定谔方程，这些行走子经历由哈密顿量的动能和势能项产生的扩散和分支过程（Kalos et al., 1974; Ceperley and Alder, 1980; Foulkes et al., 2001）。然而，若无进一步约束，行走子可能会漫游到整个相空间（对应于“玻色型”状态），而“费米子”特性则隐藏在正负区域行走子数量极其微小的不平衡中；这一事实导致在对大量电子进行模拟时遇到难以克服的困难。原则上，我们可以通过将模拟限制在波函数符号固定的区域内，然后利用对称化过程在其余空间中生成波函数来解决该问题；问题在于我们并不清楚这个区域边界的确切位置。

在格点体系中，符号问题同样存在，但它并非严格与费米子的存在相关，因为即使在玻色子系统中，由于在一般格点上具有正跳跃的“阻挫”动能，基态波函数也可能具有非平凡的符号。连续体系与格点体系的主要区别在于：在连续体系中，自由电子动能项的虚时传播可以与纯粹的扩散过程关联（Kalos et al., 1974; Ceperley and Alder, 1980; Foulkes et al., 2001），而在格点体系中，这一情况并不总是成立。另一个重要区别是，在格点体系中节面无法定义，因为允许的位形离散地张成一个希尔伯特空间。

固定节点法是为了处理稳定的蒙特卡洛模拟而发展的，它既适用于连续模型（Anderson, 1975, 1976; Moskowitz et al., 1982; Reynolds et al., 1982），也适用于格点模型（ten Haaf et al., 1995）。这种方法可以通过固定相位近似推广到复数值情形（Ortiz et al., 1993）。固定节点近似是避免符号问题的一种简单方法。在连续体系中，它通过禁止改变引导函数符号的电子移动来实现。实际上，我们考虑一个由动能决定的扩散过程，并附加一个阻止节点穿越的边界条件：在给定的扩散步骤 $ {| x} {| x^{\prime}}$ 中穿越节点的行走子（即满足 $\Psi_{\mathrm{G}} ( x ) \Psi_{\mathrm{G}} ( x^{\prime} ) ~ < ~ 0$ 的那些，其中 $\Psi_{\mathrm{G}} ( x )$ 表示在重要性抽样过程中用于固定节面的引导函数）将被杀死。在此过程中，只有靠近节面的行走子会受到影响。波函数的反对称性被边界条件所取代，该近似等价于在一个节面口袋内求解薛定谔方程。于是，完整的解由节面的形状（以及势能）唯一确定。固定节点法给出了精确基态能量的一个变分上界，因为它对应于在由引导函数确定的边界条件下可能的最佳波函数。在格点体系中，任何位形都可以（通过哈密顿量）直接连接到其他具有相反符号的位形，因此，固定节点近似不限于“靠近”节点的行走子。

10.2 连续体系中的一个简单例子#

为了初步了解符号问题是如何在投影技术中产生的，我们考虑一个非常简单的例子：一个粒子在边界带有硬壁的一维盒子中运动。哈密顿量由下式给出：

其中 $0 \leq x \leq L$，势能 $V(x)$ 在关于盒子中心 $x_c = L/2$ 的反射对称性 $\mathcal{R}$ 下是偶函数。所有波函数必须在 $x=0$ 和 $x=L$ 处为零，并且可以根据其宇称分类。实际基态无节点，可称为“玻色型”：对所有构型都为正。相反，第一激发态在 $x_c$ 处有一个节点，可称为“费米型”：此处波函数既有正区域也有负区域。在这个意义上，多体态中两个粒子交换所关联的对称性质被转化为反射对称性 $\mathcal{R}$ 下的变换。基态在反射下为偶，而第一激发态为奇，这意味着必然存在正负符号的区域。

让我们定义两个算符 $P_{+}$ 和 $P_{-}$，它们投影到偶（对称）和奇（反对称）波函数的子空间上：

接下来，我们将定义一个算法，使得能够采样具有关于中心奇数反射对称性的第一激发态 $\Upsilon_{1} ( x )$，即 $\Upsilon_{1} ( L - x ) = - \Upsilon_{1} ( x )$。在连续体系中，考虑到谱的无界性，必须使用投影子的指数形式：

在这种情况下，对于虚时演化 $\tau$ 的格林函数（不含重要性抽样）由下式给出（Anderson, 1976; Ceperley and Alder, 1980; Reynolds et al., 1982）：

该函数可以通过对小演化时间 $\Delta \tau$ 使用 Trotter 近似来计算（Trotter, 1959; Suzuki, 1976a,b）：

其中第一项与扩散过程相关，第二项负责分支方案（Foulkes et al., 2001）。实现上述迭代的算法由式（10.7）和（10.8）给出，其中：

前者可以通过考虑行走子构型的简单 Langevin 过程来模拟（见第4章）：

其中 $\eta_{n}$ 是一个具有高斯分布（均值为零，方差为单位）的随机数。后者决定了行走子权重的演化。

现在考虑最简单的情形 $V(x)=0$。那么，精确的基态（“玻色型”）和第一激发态（“费米型”）波函数由下式给出：

对应的能量为 $E_{0} = \pi^{2} / ( 2 L^{2} )$ 和 $E_{1} = ( 2 \pi )^{2} / ( 2 L^{2} )$。在不施加任何其他约束的情况下执行式（10.24）和（10.25）的马尔可夫过程，行走子将扩散到整个区域 $0 \le x \le L$ 并平衡到“玻色型”基态。为了得到“费米型”波函数，我们必须考虑一个受限的波函数空间 $\Psi_{\mathrm{fn}} ( x )$，该波函数在给定区间 $0 \leq x \leq L_{\mathrm{fn}}$ 之外为零。然后，通过用投影子 $P_{-}$ 作用于这样的波函数，即可得到完整的反对称化态，如图10.2所示：

图10：2 一维无限深方势阱中一个粒子的波函数（$L = 10$，$V(x) = 0$）：精确的第一激发态（虚线）在 $x = 5$ 处有节点，而固定节点近似（实线）将其节点固定在 $x = 4$ 处，两者进行了比较。

在实际计算中，我们不允许walker越过由 $L_{\mathrm{fn}}$ 引入的势垒。我们可以很容易地看出，扩展波函数 $\Psi_{\mathrm{as}}(x)$ 与限制在节点口袋中的 $\Psi_{\mathrm{fn}}(x)$ 具有相同的变分能量。事实上，我们有：

需要强调的是，尽管波函数在错误的节点处具有不连续的一阶导数（见图10.2），上述等式仍然成立，这将导致：

其中 $\begin{array} {r} {\Psi_{\mathrm{fn}}^{\prime} ( L_{\mathrm{fn}} ) = \operatorname*{lim}_{x \to L_{\mathrm{fn}}^{-}} d \Psi_{\mathrm{fn}} ( x ) / d x} \end{array}$ 。事实上，来自delta函数的奇异贡献在积分中不起任何作用，因为波函数在节点点 $x = L_{\mathrm{fn}}$ 处为零，在 $x = L - L_{\mathrm{fn}}$ 处亦然。

鉴于方程(10.30)的等式，显然可以通过仅在节点口袋中优化波函数来获得最低可能的能量，这成为一个适合扩散蒙特卡罗方法的“玻色子”（即无节点）问题。请注意，在这个简单的情况下，我们还可以给出最佳波函数的解析形式，如下所示：

对应的能量为 $E_{\mathrm{fn}} = \pi^{2} / ( 2 L_{\mathrm{fn}} ) \geq E_{1}$

一般而言，我们想强调固定节点近似最重要的性质：

_• 该方法是变分的，因为投影波函数 $\Psi_{\mathrm{as}} ( x )$ 的能量与在单个节点区域内通过“玻色子”基态计算得到的能量完全相同。

_• 固定节点能量对波函数节点面的精度非常敏感。在前面的例子中，系统误差与 $\epsilon = L / 2 - L_{\mathrm{fn}}$ 成线性关系。因此，获得节点面的良好描述（例如，通过合适的变分波函数优化）非常重要。

_• 尽管投影波函数 $\Psi_{\mathrm{as}} ( x )$ 对应的能量与节点袋 $\Psi_{\mathrm{fn}} ( x )$ 中定义的能量一致，但这并不适用于方差。例如，可以简单证明，固定节点基态 (10.32) 的方差在节点袋内为零，但当物理波函数在整个空间 $0 \le x \le L$ 中考虑时，由方程 (10.31) 中的 delta 函数对方差贡献了无穷大。在这种情况下，涉及 delta 函数平方的无穷项仅在节点的位置精确时才会相互抵消。

在前面的例子中，符号问题的主要根源在于薛定谔方程（在虚时中）被解释为一个扩散方程，其长时间下的稳态是“玻色子”的，即它在所有地方都是正的。这是任何具有正定动能项和对角势能的哈密顿量的绝对基态。相反，当粒子的统计性质没有先验指定时（遵循第一量子化形式的精神），“费米子”态可以被视为同一哈密顿量的激发态。这类计算的困难在于我们必须从小的信号和大的噪声中提取可观测量中的“费米子”特征，参见方程 (10.18)。前面关于盒子中单粒子的例子阐明了这一问题。

10.3 晶格上的一个简单例子#

在晶格上，我们通常使用第二量子化形式，其中粒子的统计性质完全被指定。因此，在这种情况下，扩散过程通常不会像连续情形那样收敛到“玻色子”基态。然而，每当动能项包含某些负号时，就会出现符号问题。最简单的例子是前面例子的晶格版本。考虑一个无自旋的单粒子位于一维晶格上，有 L 个格点和开放边界条件，由以下哈密顿量描述：

其中 $c_{i}^{\dagger} \ ( c_{i} )$ 在格点 $i$ 上产生（消灭）粒子；$t_{1}$ 和 $t_{2}$ 分别是最近邻和次近邻跃迁的跃迁振幅。通过取 $t_{1} ~ = ~ 1$ 可以设定能量尺度。下面，我们将在局域基矢下工作，其中希尔伯特空间的状态由粒子的位置指定，即 $\left| i \right. = c_{i}^{\dagger} | 0 \rangle$。

对于 $t_{2} ~ \geq ~ 0$，哈密顿量的矩阵元非负，因此可以使用格林函数蒙特卡洛进行采样而不出现符号问题。在这种情况下，可以取一个完全正的引导函数。相反，对于 $t_{2} ~ < ~ 0$，哈密顿量既有正矩阵元也有负矩阵元，因此存在符号问题。特别地，即使基态对所有组态都是正的（即对于较小的 $| t_{2} |$），这种情况也会发生。因此，在格点上，即使基态是正定的，也可能存在符号问题。此外，我们强调格点上的符号问题与接近节面的组态无关，而是本质上涉及希尔伯特空间中的所有组态。例如，对于方程(10.33)的哈密顿量，当 $t_{2} ~ < ~ 0$ 时，所有组态都具有“令人沮丧的”矩阵元，即 $\mathcal{H}_{x , x^{\prime}} > 0$。最后，符号问题与粒子的统计无关（在这个例子中，只有一个粒子）。因此，玻色子模型也可能有符号问题，例如，当存在符号错误的跃迁项时。

在格点上，固定节近似可以重新表述为一个有效哈密顿量，该哈密顿量所有非对角元都非正，从而可以实现稳定的投影技术（通过使用格林函数或爬行蒙特卡洛方法）。此外，计算过程是可控制的，因为固定节能量存在一个变分下界。

10.4 格点上的固定节近似#

本节介绍由ten Haaf等人（1995）提出、并由Sorella（2002）发展的格点上的固定节近似。该技术通过以稳定且可控的方式改进给定引导（变分）波函数 $\Psi_{G} ( x )$ 的振幅（即，以合理的计算开销降低能量），从而对其进行优化。在讨论固定节近似之前，有必要先引入一种方案，使我们能够将引导函数 $\Psi_{G} ( x )$ 作为某个有效哈密顿量的基态来获得。对于一个给定的态，存在无穷多个“母”哈密顿量；在此，我们希望聚焦于那些尽可能接近原始模型，且最重要的是，可以在稳定的蒙特卡洛方法中被处理的哈密顿量，即它们的非对角元是非正的。因此，我们考虑以下一族有效（即“变分”）哈密顿量：

其中 $\gamma \geq 0$ 是一个实参数，$e_{L} ( x )$ 是引导函数的局域能量：

并且有效哈密顿量的非对角元根据其符号（包括引导函数的符号）相对于原始哈密顿量进行了修改：

最后，$\mathcal{V}_{\mathrm{sf}} ( x )$ 是一个局域势，包含了所有引起符号问题的非对角矩阵元，即 $s_{x , x^{\prime}} > 0$ 的那些矩阵元：

在这种构造下，导向函数是 $\mathcal{H}^{\mathrm{var} , \gamma}$ 的一个本征值为零的本征态，这可以通过直接检验来验证；最重要的是，对于 $\gamma \geq 0$，它是唯一的基态。事实上，幺正变换 $| x \rangle \to \mathrm{Sign} \Psi_{G} ( x ) | x \rangle$ 将所有非对角矩阵元变为非正值。因此，通过应用 Perron-Frobenius 定理（Meyer, 2000）（或等价地，重复第3.8节的步骤），我们可以证明 $\Psi_{G} ( x )$ 是有效哈密顿量 (10.34) 的非简并基态。换句话说，一旦包含了以 $\Psi_{G} ( x )$ 的重要性抽样，有效哈密顿量就没有符号问题，因为当 $x^{\prime} \neq x$ 时 ${\mathcal G}_{x^{\prime} , x}^{\mathrm{var} , \gamma} = - \Psi_{G} ( x^{\prime} ) {\mathcal H}_{x^{\prime} , x}^{\mathrm{var} , \gamma} / \Psi_{G} ( x )$ 是非负的。因此，可以使用标准的格林函数蒙特卡罗技术来抽样对应于 $\Psi_{G}^{2} ( x )$ 的构型。然后，可以通过对局域能量 $e_{L} ( x )$ 取平均来估计变分能量 $E_{G}$。注意，由于符号反转势 (10.37) 的存在，有效哈密顿量的对角项可能任意大；因此，需要采用第8.4节的连续时间方法才能得到稳定的模拟。

现在，我们具备了改进基态变分描述的条件，并可以定义一个基于略有不同的有效哈密顿量的固定节点方案。事实上，存在许多局域能量低于其平均值的构型，这些构型在真实基态中很可能是能量有利的。根据这一直观论据，我们可以预期通过添加一个对角势项来获得一些能量，该势项有利于局域能量低于其平均值的构型，从而增加相应的振幅。更精确地说，从变分哈密顿量 $\mathcal{H}^{\mathrm{var} , \gamma}$ 出发，可以通过添加一个与局域能量线性相关的项来定义格点上的固定节点近似，其目的是改进变分拟设的振幅：

同样，对于 $\gamma \geq 0$，该哈密顿量具有非正的非对角元（一旦包含了重要性抽样），并且可以通过投影技术对其基态进行抽样。$\mathcal{H}^{\mathrm{fn} , \gamma}$ 的基态与 $\Psi_{G} ( x )$ 具有相同的符号，由此证明了“固定节点”近似的名称合理性，并且其能量低于变分能量。事实上，我们可以轻松验证：

这立即表明固定节点哈密顿量在导向函数上的期望值等于变分能量 $E_{G}$：

因此，固定节点哈密顿量的基态能量 $E^{\mathrm{fn} , \gamma}$ 肯定低于（或至多等于）变分能量 $E_{G}$。为了证明 $E^{\mathrm{fn} , \gamma}$ 给出了 $\mathcal{H}$ 的真实基态能量 $E_{0}$ 的一个上界，我们将固定节点哈密顿量重写为紧凑形式：

其中 ${\mathcal{O}}^{\mathrm{fn}}$ 以导向函数定义：

该算子是半正定的。实际上，对于任意（实）态 $|\Phi\rangle$，我们有：

其中，第一项（第二项）分别来自算子 ${\mathcal{O}}^{\mathrm{fn}}$ 的对角（非对角）矩阵元。利用 $s_{x , x^{\prime}}$ 是对称的这一事实，我们在第一项中交换哑变量 x 和 $x^{\prime}$，得到：

因此，将固定节点哈密顿量的基态记为 $| \Upsilon^{\mathrm{fn} , \gamma} \rangle$，我们有：

其中我们使用了 $\mathcal{H}^{\mathrm{fn} , \gamma} | \Upsilon^{\mathrm{fn} , \gamma} \rangle = E^{\mathrm{fn} , \gamma} | \Upsilon^{\mathrm{fn} , \gamma} \rangle$ 以及算子 ${\mathcal{O}}^{\mathrm{fn}}$ 是半正定的事实。这一结果完成了 $E^{\mathrm{fn} , \gamma}$ 改进变分估计的证明：固定节点能量低于（或至多等于）变分估计 $E_{G}$，且高于（或至多等于）精确值：

我们想强调，最小能量（可在无符号问题下计算）是在 $\gamma = 0$ 时得到的。实际上，通过利用 Hellmann-Feynman 定理和方程 (10.41)，我们有：

这意味着 $E^{\mathrm{fn} , \gamma}$ 是关于 $\gamma$ 的单调递增函数。

此外，值得提及的是，在投影技术中，我们得到的是 $E^{\mathrm{fn} , \gamma}$，而不是原始哈密顿量在固定节点态上的期望值，后者由下式给出：

这个量可以通过方程 (10.47) 来估计：

注意，通过在 $\gamma \geq 0$ 的不同值下执行多次计算，我们可以原则上将 $E^{\mathrm{fn} , \gamma}$ 外推到 $\gamma = - 1$，从而得到精确的基态能量。然而，在一般情况下，这种外推并不容易进行。

一个重要说明是，在格点情况下，$E^{\mathrm{fn} , \gamma}$ 不一定给出与引导函数节点相容的最低能量。事实上，对于固定节点哈密顿量的基态 $| \Upsilon^{\mathrm{fn} , \gamma} \rangle$，误差由下式给出：

这只有在求和式(10.44)中的每一项单独为零时才成立。因此，拥有正确符号的引导函数并不足以得到精确基态。相反，对于所有满足 $s_{x , x^{\prime}} > 0$ 的符号翻转对，必须满足

事实上，如果这个关系成立，则 $| \Upsilon^{\mathrm{fn} , \gamma} \rangle$ 同时是 ${\mathcal{O}}^{\mathrm{fn}}$（本征值为零）和 $\mathcal{H}^{\mathrm{fn} , \gamma}$ 的本征态，因此它也必然是原始哈密顿量的精确本征态，因为 $\mathcal{H} = \mathcal{H}^{\mathrm{fn} , \gamma} - ( 1 + \gamma ) \mathcal{O}^{\mathrm{fn}}$ 。这是与连续体系中的固定节点法的一个重要区别，在连续体系中，只有引导函数的符号是重要的（如果节点位置正确，就能得到精确结果）。相比之下，在格点上，由符号翻转连接的组态中波函数的符号和相对振幅都必须正确。例如，在图10.3中，我们报告了模型(10.33)在30个格点、$t_{2} = - 0.2$ 和 −0.4两种情况下的结果。在前一种情况下，真实基态处处为正，但采用正定的引导函数（例如 $\Psi_{G} ( x ) = 1 / \sqrt{L}$）时，固定节点法并不精确；事实上，我们得到 $E^{\mathrm{f n , 0}} / t_{1} = - 1.59196$ ，而真实基态能量为 $E_{0} / t_{1} = - 1.59775$ 。当真实基态也不是正定时，情况更糟，例如对于 $t_{2} = - 0.4$；这里，仍使用同样的引导函数，我们得到 $E^{\mathrm{f n , 0}} / t_{1} = - 1.20192$ ，而真实基态能量为 $E_{0} / t_{1} = - 1.41588$

图10.3 对于 $t_{2} ~ = ~ - 0.2$（上方面板）和 $t_{2} ~ = ~ - 0.4$（下方面板）的情况，方程(10.33)中哈密顿量基态的精确波函数（空心圆）与固定节点波函数（实心圆）的比较；格点数为 $L = 30$。引导函数取为常数，即 $\Psi_{G} ( x ) = 1 / \sqrt{L}$

10.5 实际实现#

固定节点近似可以应用于格林函数蒙特卡洛和爬虫蒙特卡洛技术中。其实际实现遵循第8章和第9章中描述的方法，唯一的区别在于，所有新组态的选择都是基于由方程(10.34)和(10.38)定义的固定节点哈密顿量，而不是原始哈密顿量。