第33章 标准交易的变形#

许多利率互换是第7章里所讨论标准利率互换的简单变形。有时利率互换的名义本金会随时间以某种事先约定的固定形式变化。当名义本金随时间变化增加时，利率互换被称为递升互换（step-up swap）。当名义本金随时间变化递减时，利率互换被称为摊还互换（amortizing swap）。如果某家建筑公司对一项目以浮动利率借入资金的形式来进行融资，而且借入资金的数量逐渐增加，这时如果公司希望将浮动利率转换为固定利率，递升互换将会非常有用。当某家公司的债务为固定利率，而债务数量逐步递减时，摊还互换可以用来将债务转换为浮动利率。

33.2 复合互换#

标准利率互换的另一种变形是复合互换（compounding swap）。在业界事例 33-2 中我们给出了一个虚构的例子。在这个例子中，浮动利率方与固定利率方都只有一个付款日期，即利率互换的截止日。浮动利率为 LIBOR + 20 个基点。不同于定时将付款交割，浮动利息一直按 LI-BOR + 10 个基点的利率复合到互换的截止日期。固定利率为 6%，不同于定时将付款进行交割，此利息是按 6.3% 的利率复合到互换的截止日期。

对于像业界事例 33-2 里这样的复合互换，我们可以利用 “假设远期利率将会实现” 的处理方式对其定价。处理固定利率一方的方式很简单，这是因为支付的时间是在到期日并且所付数量也已知。处理浮动利息方时，“假设远期利率将会实现” 方法也是可行的，因为我们可以设计一系列远期利率合约（FRA），其中浮动利率现金流与假设每个浮动利率都等于相应远期利率时的价值相交换。 $^{①}$

33.3 货币互换#

在第 7 章里我们介绍过货币互换。货币互换可以将一种货币下的利率敞口转化为对另一种货币下的利率敞口。通常有两项本金，每种货币中都有一项。如第 7.9 节所述，在互换有效期的开始与结束时本金均予以交换。

假设货币互换所涉及的货币为美元（USD）与英镑（GBP）。在一个定息对定息的货币互换中，每个货币都指定一个固定利率。一方的支付是以美元的固定利率按美元本金来确定利息，另一方的支付是以英镑的固定利率按英镑本金来确定利息。在7.10节中我们曾讨论过如何对这类互换定价。

另一种流行的货币互换是 7.11 节里的浮息对浮息。这时，一方的支付是将美元 LIBOR（可能加上一个利差）用在美元本金上来确定。与此类似，另一方的支付是将英镑 LIBOR（可能加上一个利差）用在英镑本金上来确定。第三类互换是交叉货币利率互换（cross currency interest swap），即在一种货币下的浮动利率与另一种货币下的固定利率相交换。

对浮息对浮息与交叉货币利率互换，我们均可以利用“假设远期利率将会实现”的处理方式来进行定价，在每种货币下都假设将来的 LIBOR 利率等于今天的远期利率。这样可以确定在各种货币下的现金流：美元现金流由美元 LIBOR 零息利率贴现，而英镑现金流则由英镑 LIBOR 零息利率贴现，然后用目前的汇率将两个现值转换到同一种货币下。

为了反映市场现状，有时会对以上程序加以调整。从理论上讲，一个新的浮息对浮息互换应当涉及将一种货币下的 LIBOR 转换成另一种货币下的 LIBOR（不加利差）。但在实际中，宏观经济影响会导致利差的出现。为此，金融机构经常调整贴现率。例如，假设在当前的市场条件下，新交易的所有期限浮息对浮息互换中美元 LIBOR 可以与日元（JPY）LIBOR 减去 20 基点相交换。在对这个互换定价时，一个美国的金融机构将会对美元现金流以美元 LIBOR 贴现，而对日元现金流将以日元 LIBOR 减去 20 基点贴现。 $^{①}$ 在所有同时涉及日元和美元现金流的互换中，金融机构都将会采取这种做法。

33.4 更复杂的互换#

我们下面将考虑“假设远期利率将会实现”的处理方式不再适用的互换例子。在每种情形下，我们都需要对远期利率进行调整，然后再假定这个利率将会被实现。本节的结果是建立在第30章里结论的基础上。

33.4.1 LIBOR 后置互换#

标准利率互换的特点是将前一个付息日期所观察的浮动利率在下一个付息日期付出。市场上有时也交易一种叫作 LIBOR 后置互换（LIBOR-in-array swap）的产品，其特点是在一个支付日所付的浮动利率由在这个支付日所观察到的利率来确定的。

假设一个互换的重置日期是 $t_i, i = 0,1,\dots,n$ ，以及 $\tau_i = t_{i+1} - t_i$ 。定义 $R_i$ 为区间 $t_i$ 与 $t_{i+1}$ 之间的 LIBOR 利率， $F_i$ 为 $R_i$ 的远期利率， $\sigma_i$ 为这个远期利率的波动率（ $\sigma_i$ 的值通常是由上限单元价格隐含而得）。在一个 LIBOR 后置互换中，浮动利率方在时间 $t_i$ 的支付是基于 $R_i$ ，而不是通常的 $R_{i-1}$ 。如在 30.1 节中所述，当对支付额定价时，有必要对远期利率做一个曲率调整。定价时应当基于假设所付的浮动利率为

而不是 $F_{i}$ 。

33.4.2 CMS与CMT互换#

固定期限互换（constant maturity swap，CMS）是一种浮动利率等于某一个固定期限互换利率的利率互换。例如，某 CMS 互换的浮动利率方可能是每 6 个月支付一次，并等于 5 年的互换利率。通常会有一个滞后时间而使得在一个特定支付日期的支付等于在前一个支付日期所观察的互换利率。假设利率在时间 $t_{0}, t_{1}, t_{2}, \cdots$ 被设定，而分别在时间 $t_{1}, t_{2}, t_{3}, \cdots$ 支付， $L$ 为名义本金。在时间 $t_{i+1}$ 的浮动利率支付为

\tau_{i} L S_{i}

其中， $\tau_{i}=t_{i+1}-t_{i}$ ， $S_{i}$ 为在时间 $t_{i}$ 的互换利率。

假设 $y_{i}$ 是互换利率 $S_{i}$ 的远期值。在对时间 $t_{i+1}$ 的支付定价时，我们发现可以对远期互换利率做一个曲率调整，即把实际互换利率假设成

而不是 $y_{i}$ 。在这个方程中， $\sigma_{y,i}$ 是远期互换利率的波动率， $F_{i}$ 是目前在时间 $t_{i}$ 和 $t_{i+1}$ 之间的远期利率， $\sigma_{F,i}$ 是这个远期利率的波动率， $\rho_{i}$ 是远期互换利率与远期利率之间的相关系数。 $G_{i}(x)$ 是债券作为其收益率 $x$ 的函数在时间 $t_{i}$ 的价格。债券的券息为 $y_{i}$ ，并具有与计算 CMS 利率所用互换同样的有效期与支付频率。 $G'_{i}(x)$ 和 $G''_{i}(x)$ 是 $G_{i}$ 关于 $x$ 的一阶和二阶导数。波动率 $\sigma_{y,i}$ 可以由互换期权隐含而得出，波动率 $\sigma_{F,i}$ 可以由上限单元价格隐含而得出，而相关系数 $\rho_{i}$ 可以由历史数据估计。

式（33-2）涉及曲率和时间调整，其中的调节量为 $$

• \frac{1}{2} y_{i} ^{2} \sigma_{y, i} ^{2} t_{i} \frac{G_{i} ^{\prime \prime} (y_{i})}{G_{i} ^{\prime} (y_{i})} $$

与我们在30.1节里的例30-2中计算的调整项类似，它是建立在互换利息 $S_{i}$ 只发生在单个时间 $t_{i}$ ，而不是发生在一个年金付款时间系列的假设之上。另外一项

$$

• \frac{y_{i} \tau_{i} F_{i} \rho_{i} \sigma_{y , i} \sigma_{F , i} t_{i}}{1 + F_{i} \tau_{i}} $$ 与我们在 30.2 节里所计算的调整项类似, 它考虑了由 $S_{i}$ 所计算的支付是发生在 $t_{i+1}$ 而不是在 $t_{i}$ 的事实。

33.4.3 跨货币互换#

跨货币互换（differential swap）有时也简称为 Diff 互换（diff swap），是一种利率互换。互换的浮动利率是在一种货币下观察到，但却用在另一种货币的本金上。假设我们在货币 Y 下观察到介于 $t_i$ 和 $t_{i+1}$ 之间的 LIBOR 利率，并在时间 $t_{i+1}$ 时用在货币 X 下的本金上。定义 $V_i$ 为货币 Y 下介于 $t_i$ 和 $t_{i+1}$ 之间的远期利率， $W_i$ 为一个期限为 $t_{i+1}$ 的合约中的远期汇率（表示为一个单位的货币 X 所值的货币 Y 数量）。如果货币 Y 下的 LIBOR 利率用在货币 Y 下的本金上，在计算时间 $t_{i+1}$ 的现金流时，我们可以假设在时间 $t_i$ 的 LIBOR 利率等于 $V_i$ 。从第 30.3 节中的分析我们知道，当将其用于货币 X 下的本金时，我们需要做一个 Quanto 调整：我们可以在 LIBOR 利率等于

的假设下对现金流定价，其中 $\sigma_{W,i}$ 是 $W_{i}$ 的波动率， $\sigma_{V,i}$ 是 $V_{i}$ 的波动率， $\rho_{i}$ 是 $V_{i}$ 与 $W_{i}$ 之间的相关系数。

33.5 股权互换#

股权互换（equity swap）中的一方同意付出一定名义本金数量上的股指收益，另一方同意付出一定名义本金数量上的固定或浮动利率收益。通过采用股权互换，基金经理可以在不买入或卖出股票的情况下，增大或缩小对于某股指的风险敞口。股权互换是一种将一系列股指远期合约进行打包以便满足市场需求的交易形式。

这里的股指通常为总收益指数。总收益指数是指所有股息都被再投资到股指所包括的股票里。业界事例33-3是一个股权互换的和约。在股权互换中，6个月的S&P500股指收益率与LIBOR进行交换。互换双方的本金均为1亿美元，每6个月支付一次。

对于像业界事例 33-3 这样的股权对浮息互换，在刚开始时合约的价值为零（假设按 LIBOR 贴现）。这是因为金融机构可以不付任何费用而复制出一方的现金流：在每个支付日期以 LIBOR 利率借取本金，而将其投资于股指，并将所得股息再投资于股指中，直到下个支付日。类似地，我们可以证明在每个支付日后，互换的价值也是零。

在两个支付日之间，我们必须对下一个支付日的股权现金流和 LIBOR 现金流进行定价。LIBOR 现金流在上一个重置日就已经被确定，因此可以很容易得到其价值。股权现金流的价值是 $LE / E_0$ ，其中 $L$ 是本金， $E$ 是股指目前的取值，而 $E_0$ 是其在上一个支付日的取值。 $^{\ominus}$

33.6 具有内含期权的互换#

一些互换带有内含期权。在本节中，我们考虑一些常见的例子。

33.6.1 计息互换#

计息互换（accrual swap）是一种一方的利息只有在浮动参考利率介于某个区间时才会累计的互换。有时区间会在整个互换期间保持不变，有时会被定期重新设定。

作为计息互换的一个例子，考虑一个在每季度将固定利率 $Q$ 与 3 个月 LIBOR 相交换的交易。我们假定只有当 3 个月 LIBOR 的年率低于 $8\%$ 时，固定利率才会累计。假设本金是 $L$ 。在一个普通互换中，在每个支付日固定利率支付方将会付出 $QLn_{1}/n_{2}$ ，其中 $n_{1}$ 是前一个季度里的天数， $n_{2}$ 是一年里的天数（这里我们假定计天方式是“实际天数/实际天数”）。在一个计息互换中，这一项变成了 $QLn_{3}/n_{2}$ ，其中 $n_{3}$ 是在上一个季度里 3 个月 LIBOR 低于 $8\%$ 的天数。固定利率支付方在每当 3 个月 LIBOR 高于 $8\%$ 的日子里可以节省 $QL/n_{2}$ 。 $^{-}$ 固定利率支付方的头寸可以当成等价于一个普通互换与一系列在互换有效期内每天都有的两值期权（binary option）之和。当 3 个月 LIBOR 高于 $8\%$ 时，两值期权的收益为 $QL/n_{2}$ 。

为了推广, 我们假设 LIBOR 的截止利率是为 $R_{K}$ (在刚才考虑的情形下是 $8\%$ ), 而且每 $\tau$ 年交换一次支付。考虑在互换有效期内的第 $i$ 天, 并且假设到第 $i$ 天的时间是 $t_{i}$ 。如果在第 $i$ 天时 $\tau$ 年 LIBOR 利率是 $R_{i}$ , 当 $R_{i} < R_{K}$ 时利息才会累计。定义 $F_{i}$ 为 $R_{i}$ 的远期值, $\sigma_{i}$ 为 $F_{i}$ 的波动率 (后者可以通过上限单元的即时波动率来估计)。利用通常的对数正态分布假设, 在一个对于时间 $t_{i} + \tau$ 到期的零息债券是远期风险中性的世界里, LIBOR 大于 $R_{K}$ 的概率为 $N(d_{2})$ , 其中

d_{2} = \frac{\ln (F_{i} / R_{K}) - \sigma_{i} ^{2} t_{i} / 2}{\sigma_{i} \sqrt{t_{i}}} 两值期权收益被实现的时间是在第 $i$ 天之后的支付日。假设这个时间是 $s_i$ 。在一个对于时间 $s_i$ 到期的零息债券是远期风险中性的世界里，LIBOR 大于 $R_K$ 的概率为 $N(d_2^*)$ ，其中计算 $d_2^*$ 与 $d_2$ 的公式是一样的，只需对 $F_i$ 做一个很小的时间调整来反映时间 $t_i + \tau$ 与 $s_i$ 之间的差别。

对应于第 $i$ 天的两值期权价值为

\frac{Q L}{n_{2}} P (0, s_{i}) N(d_{2} ^{*}) 将互换有效期内每一天上的这个表达式加在一起，我们即可得到两值期权的总价值。由于时间调整（使得 $d_{2}$ 被 $d_{2}^{*}$ 代替）非常小，所以在实际中常常被忽略。

33.6.2 可取消互换#

可取消互换（cancelable swap）是一个简单的利率互换交易，但其中一方有权决定在某一日期或多个日期上终止交易。终止一个利率互换交易与进入一个反方向利率互换等价。考虑微软与高盛之间的一个互换交易：如果微软有权取消互换，微软的头寸等价于一个普通利率互换与一个进入相反方向互换期权的长头寸组合；如果高盛有权取消互换，微软的头寸等价于一个普通利率互换与一个进入相反方互换期权的短头寸组合。

如果可取消日期只有一个，这时可取消互换等价于一个普通利率互换与一个欧式期权的组合。例如在一个10年的利率互换中，微软付出LIBOR，同时收入 $6\%$ 固定利率。假定微软有权在第6年年末取消利率互换，那么对于微软而言，这一可取消互换等价于一个收入 $6\%$ 固定利率、付出LIBOR的普通利率互换，加上一个6年期限、进入4年期付出 $6\%$ 固定利率而收入LIBOR的互换期权（此期权被称为 $6 \times 4$ 欧式互换期权）。我们可以采用第29章里的标准互换期权模型来进行定价。

如果可取消互换可在一系列日期上被取消时，此互换等价于一个普通利率互换与一个百慕大式互换期权的组合。例如，微软与某对手进行了一个5年互换交易，微软每半年收入6%固定利率，同时付出LIBOR。假定微软的交易对手在2～5年的每一个付款日均有权终止互换，对微软而言，此交易等价于一个普通利率互换与一个百慕大式互换期权的短头寸的组合：百慕大期权的持有者有权进入5年期限、收入6%固定利率，同时付出LIBOR的利率互换。期权行使日期为2～5年的每一个付款日。在第31章和第32章中，我们曾讨论过如何对百慕大式互换期权定价的方法。

33.6.3 可取消复合互换#

有时复合互换可以在特定的时期上被终止，浮动利息方支付将浮动利息复合到终止时间的数量，而固定利息方支付将固定利息复合到终止时间的数量。

一些技巧可以被用来对可取消复合互换（cancelable compounding swap）定价。首先假设浮动利率为 LIBOR，并按 LIBOR 贴现和复利。我们假定在互换有效期末，固定利率方和浮动利率方都收取互换的本金数量。这与在考虑普通互换时从表 7-1 到表 7-2 是类似的。这样做并不改变互换的价值，但可以使得浮动利率方的价值在支付日上总是等于本金面值。在决定是否取消互换时，我们只需要注意固定利率方。我们构造一个像在第 31 章中所描述的利率树形，然后由通常在树上以向后倒推的方式计算固定利率方的价值。在每个可以取消互换的节点上，我们检验取消互换还是保留互换为最优。取消互换的效果是将固定利率方设成面值。如果我们支付固定利率而收取浮动利率，我们的目标是将固定利率方的值最小化；如果我们是收取固定利率而支付浮动利率，那么我们的目标是将固定利率方的值最大化。

当浮动利率方为 LIBOR 加上一个利差而且按 LIBOR 复利时，与其将利差所对应的现金流加在浮动利率方，我们不如将其从固定利率方减去，然后可以像没有利差时那样对期权定价。

当复利是按 LIBOR 加上一个利差时，我们可以利用下面的近似处理方法。 $^{①}$

1. 假设远期利率将被实现, 在每个取消日上计算互换中浮动利率方的价值。

2. 假设浮动利率是 LIBOR 并按 LIBOR 复利，在每个取消日上计算互换中浮动利率方的价值。

3. 在一个取消日上将第一步的结果高于第二步结果的部分定义为 “利差值”。

4. 将期权按上面所述方法处理。在决定是否取消互换时, 从计算的固定利率方价值中减去利差值。

如果假设 OIS 与 LIBOR 之间利差等于远期利差, 这时类似的方法可以用来对 OIS 贴现的情形定价。

33.7 其他互换#

本章讨论的互换仅是所交易的不同类型互换中的少数几种。在实际中，我们可以不夸张地讲，不同交易产品的范围仅仅受金融工程师的想象力以及公司资金部主管对创新风险管理工具的胃口的约束。

在 20 世纪 90 年代中期，一种在美国较为流行的互换为指数递减比率互换（index amortizing rate swap）（有时也被称为指数本金互换（indexed principal swap））。在此互换中，本金减少的数量与利率水平有关。利率越低，本金的减少程度也会越大。至少在近似意义上讲，最初的指数递减比率互换的设计是使得固定息方等价于住房贷款支持债券的投资收益。对投资者而言，指数递减比率互换可将投资者对住房贷款支持债券的投资收益转化为浮动利息收益。

现在商品互换（commodity swap）交易变得越来越流行。一家每年消耗100000桶原油的公司可以进入一个商品互换。在此互换中，这家公司在今后10年内每年付800万美元，同时收入100000S，其中S为每桶原油的市场价格。一家原油生产商可能会进入相反的交易，这样原油生产商可以锁定每桶原油80美元的价格。在第34章里我们将讨论能源衍生产品。

在本书的其他章节里我们还讨论了一些其他类型的互换，例如，第24章讨论了资产互换，第25章概括了总收益互换和各种类型的信用违约互换，第26章分析了波动率以及方差互换。

怪异交易#

某些互换的收益非常怪异。宝洁与信孚银行在 1993 年所做的交易就是这类交易的例子（见业界事例 34-4）。这一交易是后来一起诉讼案的焦点， $^{①}$ 在许多公开文献里都可以了解该案的其他细节。

小结#

互换已经成为品种繁多的金融产品。许多产品的价格可以由这样来计算：（a）假设 LI-BOR（或其他浮动参考利率）将会等于它的远期值，（b）将所得现金流加以贴现。这包括标准利率互换、大多数的货币互换、本金按预先约定方式变化的互换、双方具有不同支付日期的互换以及复合互换，等等。

在对互换产品定价时，对某些互换我们需要调整远期利率。这些调整叫做曲率、时间或 Quanto 调整。需要做这些调整的互换产品包括 LIBOR后置互换、CMS/CMT 互换以及跨货币互换等。

股权互换涉及将一个股指的收益交换成固定或者浮动利率，它们的设计原理是使其支付日的价值为零，但在支付日之间的价值可能会不为零。

一些互换具有隐含期权。一个计息互换等价于一个普通互换加上一个还有很多两值期权的组合（在互换有效期内每天都有一个）。一个可取消互换是一个普通互换加上一个百慕大式互换期权。

推荐阅读#

Chance, D., and Rich, D., “The Pricing of Equity Swap and Swaptions,” Journal of Derivatives 5, 4 (Summer 1998): 19–31.

Smith D. J., “Aggressive Corporate Finance: A Close Look at the Procter and Gamble–Bankers Trust Leveraged Swap,” Journal of Derivatives, 4, 4 (Summer 1997): 67–79.

练习题#

33.1 计算业界事例 33-1 中互换的所有固定现金流及其支付时间。假设计量天数惯例是用于目标支付日期而不是实际支付日期。

33.2 假设在某种互换中约定固定利率与 2 倍的 LIBOR 利率相交换。对这个互换还能利用 “假设远期利率将会实现” 的规则来定价吗？

33.3 如下2年期的定息对浮息复合互换的价值是多少？互换本金是1亿美元，支付每半年进行一次。互换是收取固定利率而支付浮动利率。固定利率是 $8\%$ 并按 $8.3\%$ 的利率复利（都是每半年复利一次）。浮动利率是LIBOR加上10个基点并按LIBOR加上20个基点的利率复利。LIBOR零息曲线呈水平状，利率为 $8\%$ ，按半年复利（并用来贴现）。

33.4 在一个5年期的互换中，假定以通常方式付出的利率为LIBOR，收入的利率为以LIBOR复利的LIBOR利率。双方的本金均为1亿美元。付出LIBOR的频率为6个月，收入 LIBOR 的复合频率也为 6 个月。假定利率曲线为水平 5%，计算互换价值。

33.5 仔细解释为什么一个银行可能会对货币互换的现金流使用与 LIBOR 稍微不同的利率进行贴现。

33.6 在第 33.4 节的例 33-3 中，如果所有上限波动率是 18% 而不是 20%，5 年期互换上所有期权的波动率均为 13% 而不是 15%，计算总的曲率/时间调整。为了计算互换价值，3 年后的 5 年期互换利率应当假设成多少？互换的价值是多少？

33.7 解释为什么普通互换和第 33.2 节里的复合互换可以利用 “远期利率将会实现” 的规则来定价，但对第 33.4 节里的 LI-BOR 后置互换却不行。

33.8 在书中讨论的计息互换中，只有当浮动利率低于某个水平时固定利率才会累计。讨论如何将分析推广到另一种情形，只有当浮动利率高于某一水平而低于另一水平时才会累计。

作业题#

33.9 LIBOR 零息利率在美国是为 5%，而在澳大利亚是为 10%（均为按年复利）。在一个 4 年期跨货币互换中，收取澳大利亚 LIBOR 并支付 9%，而两个利率均用于 1 亿美元的本金上。付款每年交换一次。澳大利亚所有一年远期利率的波动率均估计为 25%，所有期限的远期美元/澳元汇率（每美元的澳元数）的波动率均为 15%，两者之间的相关系数是 0.3，互换的价值是多少？

33.10 估计 P&G 在第 33.7 节里的 5/30 互换里所付的利率，假设：（a）CP 利率是 6.5%，国债收益率曲线是水平为 6%，（b）CP 利率是 7.5%，国债收益率曲线是水平为 7%，按半年复利。

33.11 假设你与一个不会做曲率调整的对手做一笔 LIBOR 后置互换交易。如想利用这个优势，你会支付固定利率，还是收取固定利率？你会如何构造互换的有效期与付款频率？

考虑以下情形，收益率曲线为水平，利率为 $10\%$ ，按年复利。所有上限波动率均为 18%。对有效期分别为（a）5 年，（b）10 年，（c）20 年，付款每年交换一次的 LIBOR 后置互换，内行交易员和外行交易员所给价值的区别是多少？假设面值本金是 100 万美元。

33.12 假设 LIBOR 零息利率曲线是水平为 5%，按年复利并用来贴现。在一个 5 年期互换中，公司 X 付固定利率 6% 而收取 LIBOR。3 年后的 2 年期互换利率波动率是 20%。

(a) 互换的价值是多少?

(b) 如果公司 X 有权在 3 年后取消互换，利用 DerivaGem 计算互换的价值。

(c) 如果对方有权在 3 年后取消互换，利用 DerivaGem 计算互换的价值。

(d) 如果双方均有权在 3 年后取消互换，互换的价值是多少？如果对方有权在 3 年后取消互换，利用 DerivaGem 计算互换的价值。

33.13 如果以OIS贴现，你如何去计算在业界事例33-3中股权互换的初始值？

我们有时将衍生产品价值所依赖的变量简称为标的。在本书中到目前为止主要考虑了当标的变量为股票价格、股票指数、汇率、债券价格、利率或信用事件所产生的损失。在本章中，我们考虑一些其他标的变量。

在本章的第一部分里我们考虑当标的变量是商品的情形。第2章里讨论了商品上的期货合约，第18章里讨论了如何对商品期货合约上的欧式和美式期权定价。当期货合约的到期日与期权到期日相同时，欧式期货合约的收益与欧式即期期权合约的收益相同，因此，可以按对欧式期货期权定价的布莱克模型来对欧式即期期权定价。但是，当期权为美式或其他按很复杂的方式依赖于商品即期价格时，我们将会需要使用更复杂的模型来定价。商品价格常常显示均值回归的特征（与利率相似），并且常常具有跳跃性。对一些为了刻画利率而建立的模型进行改进后可以用在商品价格上。

本章的第二部分考虑气候与保险衍生产品。这些衍生产品的一个重要特征是它们依赖某些没有系统风险的变量。例如，对于某地温度的期望值，或由于飓风所造成的损失，我们可以合理地假设它们在现实世界与风险中性世界里是相同的。这说明对这些类型的衍生产品定价来讲，历史数据将会有更大用处。