第31章背景#

在时刻 $t$ 的短期无风险利率 $r$ 是关于在 $t$ 开始的一个无穷小时间段上的利率，有时也被称为瞬时短期利率（instantaneous short rate）。债券价格、期权价格以及其他衍生产品价格都只依赖于 $r$ 在风险中性世界里的过程，而与 $r$ 在现实世界的形式无关。如在第28章所述，在传统风险中性世界里，在一个很短的时间区间 $t$ 到 $t + \Delta t$ 内，投资者所得的平均回报率为 $r(t) \Delta t$ 。除非特别指出的情形外，在本章中我们给出的所有关于 $r$ 的过程均是定义在这个风险中性世界里。

由式（28-19），在时刻 T 提供收益为 $f_{T}$ 的利率衍生产品在时刻 t 的价值为

$$ \hat{E} \left[ \mathrm{e}^{- \bar{r} (T - t)} f_{T} \right]\tag{31-1} $$

其中 $\bar{r}$ 为 $r$ 在时刻 $t$ 与 $T$ 之间的平均值, $\hat{E}$ 表示在传统风险中性世界里的期望值。

与通常一样, 我们定义 $P(t, T)$ 为在时刻 $T$ 支付 1 美元的无风险零息债券在时刻 $t$ 时的价格。由式 (31-1) 得出

$$ P (t, T) = \hat{E} [ e^{- \bar{r} (T - t)} ]\tag{31-2} $$

如果 $R(t, T)$ 为在时刻 $t$ 、期限为 $T - t$ 、按连续复利的利率，那么

$$ P (t, T) = \mathrm{e}^{- R (t, T) (T - t)} $$

于是

$$ R (t, T) = - \frac{1}{T - t} \ln P (t, T)\tag{31-3} $$

由式（31-2）得出

$$ R (t, T) = - \frac{1}{T - t} \ln \hat{E} [ e^{- \bar{r} (T - t)} ]\tag{31-4} $$

通过这个方程, 任何时刻的利率期限结构都能够由 $r$ 在该时刻的值以及其风险中性过程来求得。这说明一旦我们定义了 $r$ 的过程, 那么我们就完全定义了零息曲线的初始形状以及其随时间变动的规律。

假设 $r$ 服从如下随机过程

$$ \mathrm{d}r = m (r, t) \mathrm{d}t + s (r, t) \mathrm{d}z $$

由伊藤引理，任何依赖 $r$ 的利率衍生产品价格 $f$ 服从如下过程

$$ \mathrm{d}f = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + m \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{2} s^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}\right) \mathrm{d}t + s \frac{\partial f}{\partial r} \mathrm{d}z $$

由于我们考虑的是传统风险中性世界，所以如果衍生产品不提供任何收入，其价格所服从的过程必须具有以下形式

$$ \mathrm{d}f = r f \cdot \mathrm{d}t + \dots $$

因此

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + m \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{2} s^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}} = r f\tag{31-5} $$

这是利率衍生产品价格所服从的方程。这个方程等价于布莱克－斯科尔科－默顿偏微分方程，而零息债券价格是它的一个特殊解。

31.2 均衡模型#

均衡模型一般先对一些经济变量做假设，并推导出一个关于短期利率 $r$ 的过程，然后再得出 $r$ 对债券价格与期权价格的影响。

在单因子均衡模型中， $r$ 的过程仅仅涉及一种不确定性。短期利率风险中性过程通常由以下形式的伊藤过程来描述

$$ \mathrm{d}r = m (r) \mathrm{d}t + s (r) \mathrm{d}z $$

其中瞬时漂移项 $m$ 与瞬时标准差 $s$ 均被假设成 $r$ 的函数（但与时间无关）。在这里只有一个因子的假设并不像看起来那么局限。单因子的假设意味着在一个很短时间区间内，所有利率都向同一方向变动，但它们所变化的大小并不一定相同。因此，零息曲线的形状可以随时间的变化

而变化。

在本节中，我们考虑以下三种单因子均衡模型

$$ \begin{array}{r l r l}{m (r)} & {= \mu r; \quad s (r) = \sigma r} & & {\mathrm{(Rendleman和Bartter模型)}} \\ {m (r)} & {= a (b - r); \quad s (r) = \sigma} & & {\mathrm{(Vasicek模型)}} \\ {m (r)} & {= a (b - r); \quad s (r) = \sigma \sqrt{r}} & & {\mathrm{(Cox,Ingersoll和Ross模型)}} \end{array} $$

31.2.1 Rendleman 和 Bartter 模型#

在 Rendleman 和 Bartter 模型中，r 的风险中性过程为 $^{①}$

$$ \mathrm{d}r = \mu r \mathrm{d}t + \sigma r \mathrm{d}z $$

其中 $\mu$ 和 $\sigma$ 均为常数。这意味着 r 服从几何布朗运动，r 的过程与第 15 章里关于描述股票价格所假设的过程是同一类型，并且可以通过类似于在第 13 章里描述股票价格变动的二叉树来表示。 $^{②}$

乍一看来，我们可能会很自然地假设利率与股票价格的变化规律一样，但这一假设并不理想。利率与股票价格的一个重要区别在于利率有被“拉回”到某个长期平均水平的趋势，这

当 r 很高时，均值回归将会使其产生负的漂移；当 r 很低时，均值回归将会使其产生正的漂移。我们将均值回归现象展示在图31-1 中。Rendleman 和 Bartter 模型没有考虑均值回归的性质。

经济学中有很多令人信服的依据支持均值回归：当利率很高时，经济发展会缓慢下来，贷款发行人因为资金需求的降低而下调利率；但当利率很低时，资金需求会增大，因此贷款发行人会上调利率。

图31-1 均值回归

31.2.2 Vasicek 模型#

在 Vasicek 模型中，r 的风险中性过程为

$$ \mathrm{d}r = a (b - r) \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z $$

其中 a 、b 和 $\sigma$ 均为非负常数。 $^{③}$ 这一模型考虑了均值回归性：短期利率以速度 a 被拉回到水平 b 。模型是在这一回归力之上附加了一个服从正态分布的随机变量 $\sigma dz$ 。

对于在时刻 $T$ 支付1美元的零息债券，Vasicek证明了由式（31-2）可以得出这个债券在时刻 $t$ 的价格为

$$ P (t, T) = A (t, T) \mathrm{e}^{- B (t, T) r (t)}\tag{31-6} $$

在这个方程中， $r(t)$ 为 r 在时刻 t 的值，其中

$$ B (t, T) = \frac{1 - \mathrm{e}^{- a (T - t)}}{a}\tag{31-7} $$

和

$$ A (t, T) = \exp \left[ \frac{(B (t , T) - T + t) (a^{2} b - \sigma^{2} / 2)}{a^{2}} - \frac{\sigma^{2} B (t , T) ^{2}}{4 a} \right]\tag{31-8} $$

当 $a = 0$ 时， $B(t, T) = T - t$ ， $A(t, T) = \exp[\sigma^2(T - t)^3 / 6]$ 。

这个公式可以用以下方法得出。在微分方程式（31-5）中，设 $m = a(b - r)$ 和 $s = \sigma$ ，因此

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + a (b - r) \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{2} \sigma^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}} = r f $$

假设方程解的形式是 $f = A(t,T)\mathrm{e}^{-B(t,T)r}$ ，带入微分方程后可以得到

$$ B_{t} - a B + 1 = 0 $$

和

$$ A_{t} - a b A B + \frac{1}{2} \sigma^{2} A B^{2} = 0 $$

其中下标表示导数。在式（31-7）和式（31-8）中的 $A(t, T)$ 和 $B(t, T)$ 是这两个方程的解。因为 $A(T, T) = 1$ , $B(T, T) = 1$ ，所以满足边界条件 $P(T, T) = 1$ 。

31.2.3 Cox, Ingersoll 和 Ross 模型#

Cox, Ingersoll 和 Ross (CIR) 提出了另一种模型。 $^{①}$ 在他们的模型中，r 的过程为

$$ \mathrm{d}r = a (b - r) \mathrm{d}t + \sigma \sqrt{r} \mathrm{d}z $$

与 Vasicek 模型一样，以上模型也具有均值回归性，但短期利率在一个很小时间区间内变化的标准差与 $\sqrt{r}$ 成正比。这说明了当短期利率上涨时，其标准差也会增大。

在 CIR 模型中，债券价格具有与在 Vasicek 模型中一样的形式

$$ P (t, T) = A (t, T) \mathrm{e}^{- B (t, T) r (t)} $$

但函数 $B(t,T)$ 和 $A(t,T)$ 具有以下不同的形式

$$ B (t, T) = \frac{2 (\mathrm{e}^{\gamma (T - t)} - 1)}{(\gamma + a) (\mathrm{e}^{\gamma (T - t)} - 1) + 2 \gamma} $$

和

$$ A (t, T) = \left[ \frac{2 \gamma \mathrm{e}^{(a + \gamma) (T - t) / 2}}{(\gamma + a) (\mathrm{e}^{\gamma (T - t)} - 1) + 2 \gamma} \right] ^{2 a b / \sigma^{2}} $$

其中 $\gamma = \sqrt{a^{2} + 2\sigma^{2}}$ 。

这个公式可以用以下方法得出。在微分方程（31-5）中，设 $m = a(b - r)$ 和 $s = \sigma \sqrt{r}$ ，

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + a (b - r) \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{2} \sigma^{2} r \frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}} = r f $$

与在 Vasciek 模型里一样，通过将 $f = A(t, T) \mathrm{e}^{-B(t, T)r}$ 带入微分方程，我们可以证明债券价格的公式。在这里 $A(t, T)$ 和 $B(t, T)$ 是以下方程的解

$$ B_{t} - a B - \frac{1}{2} \sigma^{2} B^{2} + 1 = 0 $$

和

$$ A_{t} - a b A B = 0 $$

公式所给的价格满足边界条件 $P(T,T)=1$ 。

31.2.4 Vasicek 模型与 CIR 模型的性质#

Vasicek 模型与 CIR 模型里的函数 $A(t, T)$ 和 $B(t, T)$ 是不一样的，但在这两种模型里

$$ P (t, T) = A (t, T) \mathrm{e}^{- B (t, T) r (t)} $$

因此

$$ \frac{\partial P (t , T)}{\partial r (t)} = - B (t, T) P (t, T)\tag{31-9} $$

利用式（31-3）得出在时间 $t$ ，期限为 $T - t$ 的零息利率为

$$ R (t, T) = - \frac{1}{T - t} \ln A (t, T) + \frac{1}{T - t} B (t, T) r (t) $$

以上方程说明了一旦 $a, b$ 和 $\sigma$ 被选定后，整个期限结构可以由一个 $r(t)$ 的函数来确定。利率 $R(t, T)$ 与 $r(t)$ 之间有线性关系。 $^{\ominus}$ 这说明了 $r(t)$ 的值确定了在时间 $t$ 期限结构的大小，但期限结构在时间 $t$ 的形状却与 $r(t)$ 无关，而与时间 $t$ 有关。如图31-2所示，其形状可以是上升、下降或具有轻微的“驼峰”的形状。

图31-2 Vasicek 模型下可能出现的期限结构

在第 4 章里我们看到, 如果债券或其他依赖利率的产品价格为 $Q$ , 其久期 $D$ 是由

$$ \frac{\Delta Q}{Q} = - D \Delta y $$

来定义的，其中 $\Delta Q$ 代表当收益率曲线平行移动很小的 $\Delta y$ 值时，Q 的变化数量。可以与 Vasicek 模型和 CIR 模型结合使用的另一种久期定义为

$$ \hat{D} = - \frac{1}{Q} \frac{\partial Q}{\partial r} $$

当 $Q$ 为零息债券价格 $p(t,T)$ 时，式（31-9）说明 $\hat{D} = B(t,T)$ 。

例题例31-1

考虑持续4年的零息债券。这时 D = 4 ，因此在期限结构上10个基点（0.1%）的平行移动会使债券价格大约下降0.4%。如果使用 a = 0.1 的 Vasicek 模型，则有

$$ \hat{D} = B (0, 4) = \frac{1 - \mathrm{e}^{- 0.1 \times 4}}{0.1} = 3.30 $$

这说明短期利率增长 10 个基点时会使债券价格大约下降 0.33%。由于均值回归的作用，短期利率变化 10 个基点时对债券价格的影响比零息利率曲线平行移动 10 个基点的影响要小。

当 $Q$ 是 $n$ 个零息债券的组合时，对 $1 \leqslant i \leqslant n, P(t, T_i)$ 是第 $i$ 个债券的价格， $c_i$ 是其面值，那么

$$ \hat{D} = - \frac{1}{Q} \frac{\partial Q}{\partial r} = - \frac{1}{Q} \sum_{i = 1} ^{n} c_{i} \frac{\partial P (t , T_{i})}{\partial r} = \sum_{i = 1} ^{n} \frac{c_{i} P (t , T_{i})}{Q} \hat{D} _{i} $$

其中 $\hat{D}_i$ 是 $P(t, T_i)$ 的 $\hat{D}$ 。这说明在计算带息债券的 $\hat{D}$ 时，我们将其视为组成这个债券的零息债券 $\hat{D}$ 的加权平均，这与通常久期 $D$ 的计算类似（见表4-6）。与久期类似，我们可以定义Vasicek模型与CIR模型下的曲率测度（见练习题31.22）。

由于 $P(t, T)$ 是可交易证券的价格，其在传统风险中性世界里的增长率期望值为 $r(t)$ 。因为债券价格 $P(t, T)$ 是 $r(t)$ 的函数，在 $P(t, T)$ 过程中 $\mathrm{dz}$ 的系数可以通过伊藤引理来得到：在 Vasicek 模型里 $\sigma \partial P(t, T) / \partial r(t)$ ，在 CIR 模型里为 $\sigma \sqrt{r} \partial P(t, T) / \partial r(t)$ 。由式（31-9）可知 $P(t, T)$ 在风险中性世界里的过程为

$$ \begin{array}{r l} \mathrm{Vasicek:} & \mathrm{d}P (t, T) = r (t) P (t, T) \mathrm{d}t - \sigma B (t, T) P (t, T) \mathrm{d}z (t) \\ \mathrm{CIR:} & \mathrm{d}P (t, T) = r (t) P (t, T) \mathrm{d}t - \sigma \sqrt{r (t)} B (t, T) P (t, T) \mathrm{d}z (t) \end{array} $$

为了比较在给定 r 时由 Vasicek 模型与 CIR 模型所给出的利率期限结构，我们使用相同的常数 a 和 b，但是在 Vasicek 模型里的 $\sigma$ 应当大致等于 CIR 里的 $\sigma$ 乘以 $\sqrt{r}$ ，将 Vasicek 的 $\sigma$ 记为 $\sigma_{vas}$ ，CIR 里的 $\sigma$ 记为 $\sigma_{cir}$ 。例如假设 r 为 4%， $\sigma_{vas} = 0.01$ ， $\sigma_{cir}$ 的值应当取成 $0.01 / \sqrt{0.04} = 0.05$ 。Vasicek 模型给出的零息债券收益率比 CIR 模型要低。用来试验对这些模型做实验的软件可以从 <www.rotman.utoronto.ca/~hull/VasicekCIR> 里下载。在 Vasicek 模型里 r 可能会出现负值，但在 CIR 模型里这是不可能的。 $^{\ominus}$

31.2.5 均衡模型的应用#

在下一节里我们将会看到，对于衍生产品定价来讲，将所使用的模型与当前的利率期限结构相吻合是很重要的。但是，当为了做情形分析而在很长时间区间上进行蒙特卡罗模拟时，本节中讨论的均衡模型可能会是很有用处的工具。如果一个养老基金或保险公司只关心一个投资组合在20年以后的价值，那么利率期限结构是否可以和当前的利率期限结构吻合与组合在20年后的风险敞口不会有太大的关系。

一旦选取了我们所讨论的模型，一种处理方法是通过短期利率在过去的变化来确定参数（1个月期限和3个月期限的利率可以当作短期利率的近似）。搜集的数据可以是每天、每周或每月内短期利率的变化，确定参数的方法包括将 $r$ 对 $\Delta r$ 做线性回归（见例31-2）或利用极大似然估计（见练习题31.13）。另一种处理方法是收集债券价格，然后利用像Excel中Solver这样的工具来确定使得债券市场价格与相应模型价格之差的平方达到最小的 $a, b$ 以及 $\sigma$ 的参数值。这两种处理方式之间有很重要的区别。第1种方式（与历史数据吻合）提供的是在现实世界里的参数估计，而第2种方式（与债券价格吻合）提供的是在风险中性世界里的参数估计。在进行情形分析时，我们感兴趣的是描述短期利率在现实世界里变化的模型。但是，在蒙特卡罗模拟时间里的每一时刻上，我们往往希望能够知道完整的利率期限结构。因此，我们需要在风险中性世界里的参数值。

当我们从现实世界转换到风险中性世界时，短期利率的波动率不会改变，但漂移项则会变化。为了确定漂移项的变化，我们需要估计利率风险的市场价格。Ahmad 和 Wilmott 的方法是比较零息收益率曲线的斜率与短期利率在现实世界里的漂移项。 $^{①}$ 他们对美国利率的利率风险市场价格长期平均值的估计大约为 -1.2。在不同时间上，他们估计的利率风险市场价格变化很大。在市场疲软的情况下，“恐惧因素”会很高（比如在 2007～2009 年的信贷危机），这时的利率风险市场价格是比 -1.2 大得多的负数。

例题例31-2

假设 Vasicek 模型的离散形式

$$ \Delta r = a (b - r) \Delta t + \sigma \varepsilon \sqrt{\Delta t} $$

被用来吻合短期利率在10年中的每周数据，目的是为了进行蒙特卡罗模拟。模型的参数可以通过将 $\Delta r$ 对 $r$ 做回归来估计。当将 $\Delta r$ 对 $r$ 做回归时，斜率是-0.004，截距为0.00016，估计的标准差为0.001。这时， $\Delta t = \frac{1}{52}$ ，于是 $\frac{a}{52} = 0.004, \frac{ab}{52} = 0.00016, \frac{\sigma}{\sqrt{52}} = 0.001$ 。这说明 $a = 0.21, b = 0.04$ 和 $\sigma = 0.0072$ （这些参数说明短期利率以 $21\%$ 的速度回归到 $4.0\%$ ）。在任何时间，短期利率的波动率为 $0.72\%$ 除以短期利率）。然后可以在现实世界里模拟短期利率。

为了确定 r 的风险中性过程，注意 r 的比例整长率是 $a(b - r)/r$ ，波动率为 $\sigma/r$ 。由第 28 章的结果我们知道在从现实世界变成险中性世界时，比例漂移项减少 $\lambda\sigma/r$ ，其中 $\lambda$ 是利率风险的市场价值。因此在风险中性世界里，r 的过程是

$$ \mathrm{d}r = \left[ a (b - r) - \lambda \sigma \right] \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z $$

或

$$ \mathrm{d}r = \left[ a (b^{*} - r) \right] \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z $$

其中

$$ b^{*} = b - \lambda \sigma / a $$

利用 Ahmad 和 Wilmott 的结果，我们可以令 $\lambda = -1.2$ ，因此 $b^{*} = 0.04 + 1.2 \times 0.0072 / 0.21 = 0.082$ 。在蒙特卡罗模拟的任何时刻，都可以利用式（31-6）～式（31-8）（ $b = b^{*}$ ）来确定完整的利率期限结构。

例题例31-3

利用CIR模型

$$ \mathrm{d}r = a (b - r) \mathrm{d}t + \sigma \sqrt{r} \mathrm{d}z $$

的解析结果可以对任何期限的债券定价。假定使得一组债券的市场价格与模型给出价格的差取得最小的优化参数为 $a = 0.15, b = 0.06$ 和 $\sigma = 0.05$ 。这些参数值给出了短期利率与市场价格最佳吻合的风险中性过程。在这里，短期利率的比例漂移项为 $a(b - r) / r$ ，短期利率的波动率为 $\sigma / \sqrt{r}$ 。由第28章可知，当我们从风险中性世界转换到现实世界时，比例漂移项会增加 $\lambda \sigma / \sqrt{r}$ ，其中 $\lambda$ 为利率风险市场价格。因此，在现实世界里 $r$ 的过程为

$$ \mathrm{d}r = \left[ a (b - r) + \lambda \sigma \sqrt{r} \right] \mathrm{d}t + \sigma \sqrt{r} \mathrm{d}z $$

这个过程可以用来对现实世界的短期利率过程进行模拟。 $^{①}$ 在任何时刻，利用风险中性过程与解析结果可以得出长期利率。与前面相同，我们可以令 $\lambda = -1.2$ 。

31.3 无套利模型#

对于上面所讨论的均衡模型的一个缺点是这些模型无法自动地与今天的利率期限结构达到吻合。通过细心地选取参数，我们可以利用模型来对实际生活中所遇到的许多期限结构进行近似，但这种逼近一般是不完美的。大多数交易员对此不太满意：他们认为如果模型连标的债券都不能准确地定价的话，那么很难相信模型会给出一个合理的债券期权价格。他们的观点并非没有道理，因为 $1\%$ 的债券价格误差可能会导致 $25\%$ 的期权价格误差。

无套利模型（no-arbitrage model）的设计是做到与今天的利率期限结构完全吻合的模型。因此，均衡模型与无套利性模型的本质区别如下：在均衡模型下，今天的利率期限结构是模型所输出的结果，而无套利模型将今天的利率期限结构作为输入来使用。

在均衡模型中, 短期利率的漂移项 (即 $\mathrm{dt}$ 系数) 一般不是时间的函数, 但是在无套利模型中, 漂移项与时间 $t$ 有关, 这是因为在无套利模型下, 初始零息利率曲线的形状决定了将来短期利率变化所取的平均路径。如果零息利率曲线在时间 $t_1$ 和 $t_2$ 之间呈现急剧上升的形状, 那么 $r$ 在这两个时间之间的漂移项将会为正; 反过来, 如果零息利率曲线在这两个时间之间呈现急剧下降的形状, 那么 $r$ 在这两个时间之间的漂移项将会为负。

我们将会发现，在短期利率的漂移项中引入一个时间 $t$ 的函数时，可以将一些均衡模型转换为无套利模型。我们接下来将讨论Ho-Lee、Hull-White（单因子和双因子）、Black-Derman-Toy以及Black-Karasinski模型。

31.3.1 Ho-Lee 模型#

Ho 和 Lee 在 1986 年的一篇文章里第一次提出了关于期限结构的无套利模型， $^{②}$ 他们通过假定债券价格的变化规律为具有两个参数的二叉树形式来描述模型，这里的两个参数为短期利率的标准差和短期利率的风险市场价格。可以证明，Ho-Lee 模型在连续时间的极限为

$$ \mathrm{d}r = \theta (t) \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z\tag{31-10} $$

其中短期利率的瞬时标准差 $\sigma$ 为常数， $\theta(t)$ 为时间 t 的函数，其选取的标准是确保模型与初始期限结构相吻合。变量 $\theta(t)$ 定义了 r 随时间 t 移动的平均方向，它与 r 的大小无关。当该模型被用于利率衍生产品定价时，Ho-Lee 模型里刻画风险市场价格的参数是没有关系的。

在网页 <www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNot> 里的 Technical Note 31 中证明了

$$ \theta (t) = F_{t} (0, t) + \sigma^{2} t\tag{31-11} $$

其中 $F(0, t)$ 为时间 0 所观察的在时刻 $t$ 的瞬时远期利率，而下标 $t$ 表示对于 $t$ 的偏导数。 $\theta(t)$ 近似等于 $F_{t}(0, t)$ ，这说明短期利率在将来移动的平均方向近似地等于瞬时远期利率曲线的斜率。Ho-Lee 模型如图31-3 所示，在短期利率平均变动上附加的是按正态分布的随机项。

图31-3 Ho-Lee 模型

在 Technical Note 31 里还证明了

$$ P (t, T) = A (t, T) \mathrm{e}^{- r (t) (T - t)}\tag{31-12} $$

其中

$$ \ln A (t, T) = \ln \frac{P (0 , T)}{P (0 , t)} + (T - t) F (0, t) - \frac{1}{2} \sigma^{2} t (T - t) ^{2} $$

由 4.6 节我们知道, 从今天的利率期限结构可得到对所有时刻 $t$ 的零息债券价格 $P(0, T)$ 。因此式 (31-12) 给出了以时刻 $t$ 短期利率与债券在今天的价格表示的零息债券在将来时间 $t$ 的价格。

31.3.2 Hull-White (单因子) 模型#

赫尔和怀特在 1990 年发表的一篇文章中讨论了如何将 Vasicek 模型推广到与初始期限结构相吻合的情形， $^{①}$ 他们所考虑的 Vasicek 模型扩展形式的其中一种是

$$ \mathrm{d}r = \left[ \theta (t) - a r \right] \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z\tag{31-13} $$

或

$$ \mathrm{d}r = a \Big [ \frac{\theta (t)}{a} - r \Big ] \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z $$

其中 $a$ 和 $\sigma$ 为常数。这个模型通常被称为Hull-White模型。它既可以被刻画为具有均值回归速度 $a$ 的Ho-Lee模型，也可以被刻画成具有依赖时间回归水平的Vasicek模型。在时间 $t$ ，短期利率以 $a$ 的速度回归到 $\theta (t) / a$ 。Ho-Lee模型是Hull-White模型对应于 $a = 0$ 时的特例。

Hull-White 模型具有 Ho-Lee 模型同样的解析性质。在 Technical Note 31 里证明了

$$ \theta (t) = F_{t} (0, t) + a F (0, t) + \frac{\sigma^{2}}{2 a} (1 - \mathrm{e}^{- 2 a t})\tag{31-14} $$

这个等式的最后一项一般很小, 如果我们将其忽略, 则 $r$ 的漂移项在时间 $t$ 等于 $F_{t}(0,t)+a[F(0,t)-r]$ 。这说明了在平均意义下, $r$ 沿初始瞬时远期利率曲线的斜率方向变动。当利率离这一曲线太远时, 均值回归会使利率以 $a$ 的速度返回到该曲线。模型如图31-4 所示。

图31-4 Hull-White 模型

Technical Note 31 里证明了在 Hull-White 模型下，在时间 $t$ 的债券价格为

$$ P (t, T) = A (t, T) \mathrm{e}^{- B (t, T) r (t)}\tag{31-15} $$

其中

$$ B (t, T) = \frac{1 - \mathrm{e}^{- a (T - t)}}{a}\tag{31-16} $$

和

$$ \ln A (t, T) = \ln \frac{P (0 , T)}{P (0 , t)} + B (t, T) F (0, t) - \frac{1}{4 a^{3}} \sigma^{2} \left(\mathrm{e}^{- a T} - \mathrm{e}^{- a t}\right) ^{2} \left(\mathrm{e}^{2 a t} - 1\right)\tag{31-17} $$

在下一节里我们将证明欧式债券期权的价格可以利用Hull-White模型与Ho-Lee模型的解析形式来计算。在本章的后面部分里我们将给出利用三叉树来表示这些模型的方法，这对美式期权或其他不能用解析公式定价的衍生产品是很有用处的。

31.3.3 Black-Derman-Toy 模型#

在 1990 年，Black、Derman 和 Toy 提出了针对对数正态短期利率过程的二叉树模型。 $^{①}$ 在网页 <www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes> 里的 Technical Note 23 中解释了他们建立二叉树的程序。可以证明对应于这种模型的随机过程是

$$ \mathrm{dln} r = [ \theta (t) - a (t) \ln r ] \mathrm{d}t + \sigma (t) \mathrm{d}z $$

且有

$$ a (t) = - \frac{\sigma^{\prime} t)}{\sigma (t)} $$

其中 $\sigma'(t)$ 是 $\sigma(t)$ 对于 $t$ 的导数。相对于 Ho-Lee 模型和 Hull-White 模型而言，Black-Derman-

Toy 模型的优点是利率不会取负值。维纳过程 dz 会使 $\ln r$ 取负值，但 r 本身永远是正的。模型的缺点是缺少解析性质。这个模型的一个更严重的缺点是构造树形时在波动率参数 $\sigma(t)$ 与回归速度参数 $a(t)$ 之间强加上了一种关系。只有当短期利率波动率是时间的递减函数时，回归速度才会是正的。

在实践中，这个模型最有用的是当 $\sigma(t)$ 为常数时的特殊情形。这时参数 a 为零，所以在模型里没有均值回归性质。这时的模型为

$$ \mathrm{dln} r = \theta (t) \mathrm{d}t + \mathrm{d}z $$

这可以刻画成对数正态版的 Ho-Lee 模型。

31.3.4 Black-Karasinski 模型#

在 1991 年，Black 和 Karasinski 建立了 Black-Derman-Toy 模型的一种推广形式，其中回归率与波动率由相互独立的方式确定。模型的最一般形式是 $^{①}$

$$ \mathrm{d}\ln r = [ \theta (t) - a (t) \ln r ] \mathrm{d}t + \sigma (t) \mathrm{d}z $$

这个模型与 Black-Derman-Toy 模型的形式是一样的，但不同之处是在 $a(t)$ 与 $\sigma(t)$ 之间没有关系。在实践中常常将 $a(t)$ 与 $\sigma(t)$ 假设成常数，因此模型变为

$$ \mathrm{dln} r = \left[ \theta (t) - a \mathrm{ln} r \right] \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z\tag{31-18} $$

与我们前面考虑的模型一样，函数 $\theta(t)$ 的选取是为了使模型与初始利率期限结构完全吻合。模型没有解析性质，但在本章的后面部分里我们将会看到，利用三叉树可以在确定 $\theta(t)$ 的同时也描述 $r$ 的过程。

31.3.5 Hull-White 两因子模型#

赫尔和怀特发展了一种两因子模型 $^{①}$

$$ \mathrm{d}f (r) = [ \theta (t) + u - a f (r) ] \mathrm{d}t + \sigma_{1} \mathrm{d}z_{1}\tag{31-19} $$

其中 $f(r)$ 是 $r$ 的函数， $u$ 的初始值为0，并且服从以下过程

$$ d u = - b u \mathrm{d}t + \sigma_{2} \mathrm{d}z_{2} $$

和刚才考虑的单因子模型一样，参数 $\theta(t)$ 的选择是为了使模型与初始期限结构一致。随机过程 u 是 $f(r)$ 回归水平的一部分，其自身以 b 的速度回归到水平 0 上。参数 a, b, $\sigma_{1}$ 和 $\sigma_{2}$ 均为常数， $dz_{1}$ 和 $dz_{2}$ 为两个具有瞬时相关系数 $\rho$ 的维纳过程。

与单因子模型相比，这个模型能够提供更为丰富的期限结构形状和更为丰富的波动率形状。在网页 <www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes> 里的 Technical Note 14 中可以找到更多关于这个模型的结果。

31.4 债券期权#

在我们已经引进的模型中，有的模型可以解析地计算零息债券的欧式期权价格。对于Vasicek模型、Ho-Lee模型以及Hull-White模型，在时间 $s$ 到期的零息债券上，期限为 $T$ 的欧式

看涨期权在时间 0 的价值为

$$ L P (0, s) N(h) - K P (0, T) N(h - \sigma_{P})\tag{31-20} $$

其中 L 为债券本金，K 为执行价格，并且

$$ h = \frac{1}{\sigma_{P}} \ln \frac{L P (0 , s)}{P (0 , T) K} + \frac{\sigma_{P}}{2} $$

相应的欧式看跌期权价格为

$$ K P (0, T) N(- h + \sigma_{P}) - L P (0, s) N(- h) $$

在 Technical Notes 31 中证明了对于 Vasicek 和 Hull-White 模型

$$ \sigma_{P} = \frac{\sigma}{a} [ 1 - \mathrm{e}^{- a (s - T)} ] \sqrt{\frac{1 - \mathrm{e}^{- 2 a T}}{2 a}} $$

对于Ho-Lee模型

$$ \sigma_{P} = \sigma (s - T) \sqrt{T} $$

式（31-20）与29.1节中讨论的对债券定价的布莱克模型是基本一致的，远期债券价格的波动率为 $\sigma_{p} / \sqrt{T}$ 。如29.2节所示，我们可以将利率上限或下限表示为零息债券期权的组合，因此我们可以利用以上给出的方程以解析的形式来表达上限/下限的价格。

对于在 31.2 节中所讲过的 Cox, Ingersoll 和 Ross 模型, 同样也存在计算零息债券期权的解析公式, 但这些公式涉及非中心 Chi - 平方分布的积分。

带券息的债券期权#

在单因子模型下，当 $r$ 下降时，所有零息债券的价格都会上涨；而当 $r$ 上升时，所有零息债券的价格都会下降。因此，在单因子模型下，我们可以将关于带息债券的欧式期权表示成一些关于零息债券欧式期权的组合。具体程序如下：

计算 r 的关键值 $r^{*}$ ，该值保证在期权到期时，相应的带息债券的价格等于债券期权执行价格；
计算零息债券期权在 $T$ 时刻的价格, 这些零息债券构成了带息债券, 其中每个期权的执行价格都等于在时间 $T$ , 当 $r = r^{*}$ 时的零息债券价格;
令带息债券的期权价格等于在第2步所计算出的所有零息债券欧式期权的价格总和。这样, 我们可以在 Vasicek 模型, Cox、Ingersoll 和 Ross 模型, Ho-Lee 模型以及 Hull-White 模型下计算关于带券息的债券期权价格。如业界事例 29-2 所述, 一个欧式互换期权可以被看成是带券息债券上的欧式期权, 因此, 欧式互换期权也可以由以上描述的过程来定价。在网页 <www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes> 里的 Technical Note 15 中对计算过程有更为详细的介绍。

31.5 波动率结构#

我们所讨论的模型可以产生不同的波动率结构。在图31-5 中，我们展示了 Ho-Lee 模型、Hull-White 单因子模型以及 Hull-White 两因子模型下 3 个月期的远期利率波动率与期限之间的函数关系。在图中假定利率期限结构是水平的。

在 Ho-Lee 模型中, 3 个月期远期利率波动率对于所有期限都是相同的。在单因子 Hull-White 模型中, 由于均值回归的影响, 3 个月期远期利率波动率随时间期限的增大而下降。在 Hull-White 两因子模型中, 在合理地选择参数的情况下, 3 个月期远期利率波动率具有 “驼峰” 形状。这一现象与实证分析中由利率上限所隐含的波动率形状是一致的 (见 29.2 节)。

a) Ho-Lee模型

b) Hull-White单因子模型

c) Hull-White两因子模型(在一定的合理参数下)图31-5 在以下模型中，3个月期的远期利率波动率与期限之间的函数关系

31.6 利率树形#

利率树形是短期利率随机过程在离散时间下的表现形式，这与股票价格树形是对于股票价格所服从过程在离散时间下的表现形式基本是一样的。假如树形的时间步长为 $\Delta t$ ，那么树形上的利率是 $\Delta t$ 时间段按连续复利的利率。在构造树形时，通常的假设是 $\Delta t$ 时间段上的利率 $R$ 所服从的随机过程与相应瞬时利率 $r$ 在连续时间下的随机过程是一样的。利率树形与股票树形的主要区别在于贴现的方式：在股票价格树上，一般的假设是贴现率在每个节点上都是一样的（或为时间的函数），但在利率树形上，贴现率在不同节点上的值是不相同的。

我们常常会发现对利率而言，使用三叉树比二叉树更为方便。三叉树的主要优点是它为用户多提供了一项自由度，这样，利率过程的特点比如均值回归可以更方便地被表达出来。如21.8节所述，三叉树方法等价于显式有限差分法。

31.6.1 三叉树应用例解#

我们考虑由图31-6 所表示的一个简单例子来说明如何使用三叉树对利率衍生产品定价, 这里的三叉树是一个 2 步树形, 步长为 1 年, 即 $\Delta t = 1$ 。假设在每个节点上, 向上、保持不变、向下的概率分别为 0.25、0.5、0.25。所假设的 $\Delta t$ 时间段利率显示在节点上方。 $^{\ominus}$

图31-6 利率三叉树的使用。节点上方数值为利率，下方数值为衍生产品的价格

我们将利用以上树形来计算一个在第2年年末提供收益为

$$ \max \left[ 100 (R - 0.11), 0 \right] $$

的衍生产品价值, 其中 $R$ 为 $\Delta t$ 时间段利率。计算出的衍生产品价值显示在节点下方。在最后一步的节点上, 衍生产品的价格等于其收益。例如, 在节点 E 上, 衍生产品价值为 $100 \times (0.14 - 0.11) = 3$ , 在前面的节点上, 衍生产品价值是通过第 13 章和第 21 章里所描述的反向递推方式计算得出的。在节点 B 上, 1 年期利率为 $12\%$ , 它将用于贴现计算。由节点 E、F 和 G 上的值, 我们可以求得衍生产品在节点 B 的值为

$$ [ 0.25 \times 3 + 0.5 \times 1 + 0.25 \times 0 ] e^{- 0.12 \times 1} = 1.11 $$

在节点 C 上，1 年期利率为 10%，由此可以得出衍生产品在节点 C 上的值为

$$ [ 0.25 \times 1 + 0.5 \times 0 + 0.25 \times 0 ] e^{- 0.1 \times 1} = 0.23 $$

在初始节点 A 上，利率也是 10%，因此衍生产品价值为

$$ [ 0.25 \times 1.11 + 0.5 \times 0.23 + 0.25 \times 0 ] e^{- 0.1 \times 1} = 0.35 $$

31.6.2 非标准树枝#

我们发现有时对图31-6 中的标准树枝形状加以修改后会使得树形更易于使用。图31-7 展示了 3 种不同形式。通常的树枝形状显示在图31-7a 中，其形状为 “上升一格/平行/下降一格”；图31-7b 所示的树枝形状为 “上升两格/上升一格/平行”，这种形状在考虑均值回归而且利率很低时会用到；图31-7c 所示的第 3 种树枝形状为 “平行/下降一格/下降两格”。这种形状在考虑均值回归而且利率很高时会用到。在下一节里，我们将讨论如何使用这些不同的树枝形状来建立树形。

c)图31-7 三叉树中的不同树枝形状

31.7 建立树形的过程#

赫尔和怀特提出了如何对一类广泛的单因子模型构造三叉树的两步程序。 $^{①}$ 在本节里，我们将解释如何对式（31-13）所定义的Hull-White模型来应用这个两步程序，并同时说明如何将其推广到其他模型上。

31.7.1 第一步#

刻画瞬时短期利率 $r$ 的Hull-White模型为

$$ \mathrm{d}r = \left[ \theta (t) - a r \right] \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z $$

假定树形的时间步长为常数，并等于 $\Delta t$ 。

我们假定 $\Delta t$ 时间段利率 $R$ 服从与 $r$ 相同的过程

$$ \mathrm{d}R = \left[ \theta (t) - a R \right] \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z $$

显然当 $\Delta t$ 趋于零时, 这是一个合理假设。构造关于这个模型三叉树的第 1 步是建立一个关于变量 $R^{*}$ 的三叉树, 这里 $R^{*}$ 的初始值为零, 并且服从过程

$$ \mathrm{d}R^{*} = - a R^{*} \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z $$

这个过程关于 $R^{*} = 0$ 为对称，变量 $R^{*}(t + \Delta t) - R^{*}(t)$ 服从正态分布。如果忽略 $\Delta t$ 的高阶项，那么 $R^{*}(t + \Delta t) - R^{*}(t)$ 的期望值为 $-aR^{*}(t)\Delta t$ ，方差为 $\sigma^2\Delta t$ 。

定义 $\Delta R$ 为树形上利率之间的距离，并令

$$ \Delta R = \sigma \sqrt{3 \Delta t} $$

可以证明，从减小误差的角度来看，这是一个很好的选择。

程序第1步的目的是对 $R^{*}$ 构造一个类似于图31-8的树形。为了这个目的，在每个节点上我们都需要确定应该使用哪一种图31-7中所示的树枝，这也就确定了整个树形的几何形状。一旦确定树枝形状后，我们还要计算树枝所对应的概率。

节点	A	B	C	D	E	F	G	H	I
$R^*(\%)$	0.000	1.732	0.000	-1.732	3.464	1.732	0.000	-1.732	-3.464
$p_u$	0.1667	0.1217	0.1667	0.2217	0.8867	0.1217	0.1667	0.2217	0.0867
$p_m$	0.6666	0.6566	0.6666	0.6566	0.0266	0.6566	0.6666	0.6566	0.0266
$p_d$	0.1667	0.2217	0.1667	0.1217	0.0867	0.2217	0.1667	0.1217	0.8867

图31-8 Hull-White 模型中关于 $R^{*}$ 的树形（第 1 步）

将 $t = i\Delta t$ 和 $R^{*} = j\Delta R$ 时所对应的节点记为 $(i,j)$ (变量 $i$ 为正整数, $j$ 为正或负整数)。在一个节点上所使用的树枝形状必须使所有三个树枝的概率均为正值。在大多数情况下,图31-7a 所示的树枝形状是合适的。当 $a > 0$ 时, 对于充分大的 $j$ 而言, 有必要从图31-7a 所示树枝换成图31-7c 所示树枝; 类似地, 当 $j$ 为充分大的负数时, 有必要由图31-7a 所示树枝换成图31-7b 所示树枝。定义 $j_{\max}$ 为我们由图31-7a 所示树枝换成图31-7c 所示树枝时相应的 $j$ 值; $j_{\min}$ 为我们将图31-7a 所示的树枝换成图31-7b 所示的树枝时相应的 $j$ 值。赫尔和怀特证明了当我们令 $j_{\max}$ 为大于或等于 $\frac{0.184}{a\Delta t}$ 的最小整数和 $j_{\mathrm{min}} = -j_{\mathrm{max}}$ 时，所有的概率均为正值。 $^{\ominus}$ 定义 $p_u, p_m$ 和 $p_d$ 为从节点所延伸出的上、中和下树枝所对应的概率。概率的选择保证了在下一时间段 $\Delta t$ 中， $R^*$ 变化的期望值和方差与其树形相吻合，这些概率的和等于1。对于3个概率，我们可以建立3个方程。

前面已经提到过，在时间 $\Delta t$ 内， $R^{*}$ 变化的均值为 $-aR^{*}\Delta t$ ，方差为 $\sigma^{2}\Delta t$ ，在节点 $(i,j)$ 上， $R^{*}=j\Delta R$ 。如果树枝的形状如图31-7a 所示，节点上的概率 $p_{u}$ 、 $p_{m}$ 和 $p_{d}$ 满足以下关系式

$$ \begin{array}{r l} p_{u} \Delta R - p_{d} \Delta R & = - a j \Delta R \Delta t \\ p_{u} \Delta R^{2} + p_{d} \Delta R^{2} & = \sigma^{2} \Delta t + a^{2} j^{2} \Delta R^{2} \Delta t^{2} \\ p_{u} + p_{m} + p_{d} & = 1 \end{array} $$

令 $\Delta R = \sigma \sqrt{3\Delta t}$ ，则以上方程的解为

$$ p_{u} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} (a^{2} j^{2} \Delta t^{2} - a j \Delta t) $$$$ p_{m} = \frac{2}{3} - a^{2} j^{2} \Delta t^{2} $$$$ p_{d} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} (a^{2} j^{2} \Delta t^{2} + a j \Delta t) $$

类似地，如果所伸出的树枝如图31-7b 所示，则相应的概率为

$$ p_{u} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} (a^{2} j^{2} \Delta t^{2} + a j \Delta t) $$$$ p_{m} = - \frac{1}{3} - a^{2} j^{2} \Delta t^{2} - 2 a j \Delta t $$$$ p_{d} = \frac{7}{6} + \frac{1}{2} (a^{2} j^{2} \Delta t^{2} + 3 a j \Delta t) $$

最后，如果所伸出的树枝如图31-7c 所示，则相应的概率为

$$ p_{u} = \frac{7}{6} + \frac{1}{2} (a^{2} j^{2} \Delta t^{2} - 3 a j \Delta t) $$$$ p_{m} = - \frac{1}{3} - a^{2} j^{2} \Delta t^{2} + 2 a j \Delta t $$$$ p_{d} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} (a^{2} j^{2} \Delta t^{2} - a j \Delta t) $$

为了说明构造树形的第一步，假设 $\sigma = 0.01, a = 0.1, \Delta t = 1$ 。这时， $\Delta R = 0.01\sqrt{3} = 0.0173$ ， $j_{\max}$ 为比 $0.184 / 0.1$ 大的最小整数，以及 $j_{\min} = -j_{\max}$ 。这意味着， $j_{\max} = 2$ 和 $j_{\min} = -2$ 。所得树形如图31-8所示。每个树枝所对应的概率显示在树下方的表中，它们是通过上面关于 $p_u, p_m$ 和 $p_d$ 的方程计算得出的。

注意，图31-8 中每个节点上概率仅仅依赖于 j 。例如，节点 B 的概率与节点 F 的概率一样，树的形状为对称，节点 D 的概率是节点 B 上的概率的镜像反射。

31.7.2 第2步#

构造树形的第2步是将 $R^{*}$ 的树形转换为R的树形，这可以通过变动 $R^{*}$ 树形的节点而使初

始利率结构与树形完全吻合。定义

$$ \alpha (t) = R (t) - R^{*} (t) $$

当时间步长 $\Delta t$ 为无穷小时， $\alpha(t)$ 可以通过式（31-14）解析计算得出。 $^{①}$ 但是，我们希望对固定的 $\Delta t$ ，所构造的树形能够与期限结构完全吻合，因此，我们以递推的形式确定 $\alpha$ 。

定义 $\alpha_{i}$ 为 $\alpha (i\Delta t)$ , $\alpha_{i}$ 等于 $R$ 在 $R-$ 树形上时间 $i\Delta t$ 的值减去 $R^{*}-$ 树形上在时间 $i\Delta t$ 的相应值。定义 $Q_{i,j}$ 为如下证券的贴现值：当节点 $(i,j)$ 被达到时，支付1美元，否则支付为0。 $\alpha_{i}$ 和 $Q_{i,j}$ 可以通过向前递推的形式来计算，递推过程保证了树形与初始期限结构保持吻合。

31.7.3 第2步数值例解#

假设图31-8 例子中的连续复利零息利率如表 31-1 所示。 $Q_{0,0}$ 的值为 $1.0$ 。 $\alpha_0$ 的选取使得在时间 $\Delta t$ 到期的零息债券价格与树形吻合，也就是说， $\alpha_0$ 被设定为初始 $\Delta t$ 时间段的利率。在本例中， $\Delta t = 1$ ， $\alpha_0 = 0.03824$ ，这就定义了图31-9 中 $R-$ 树形在初始节点的位置。接下一步是计算 $Q_{1,1}$ ， $Q_{1,0}$ 和 $Q_{1,-1}$ 的值。到达节点（1,1）的概率为 $0.1667$ ，而第一步的贴现率为 $3.82\%$ ，因此 $Q_{1,1}$ 等于 $0.1667e^{-0.0382} = 0.1604$ 。类似地， $Q_{1,0} = 0.6417$ 和 $Q_{1,-1} = 0.1604$ 。

表 31-1图31-8 和图31-9 中例子的零息利率

期限(年)	利率(%)	期限(年)	利率(%)
0.5	3.430	2.0	4.512
1.0	3.824	2.5	4.812
1.5	4.183	3.0	5.086

节点:	A	B	C	D	E	F	G	H	I
R(%)	3.824	6.937	5.205	3.473	9.716	7.984	6.252	4.520	2.788
$p_u$	0.1667	0.1217	0.1667	0.2217	0.8867	0.1217	0.1667	0.2217	0.0867
$p_m$	0.6666	0.6566	0.6666	0.6566	0.0266	0.6566	0.6666	0.6566	0.0266
$p_d$	0.1667	0.2217	0.1667	0.1217	0.0867	0.2217	0.1667	0.1217	0.8867

图31-9 Hull-White 模型中关于 R 的树形（第 2 步） $$ \alpha (t) = F (0, t) + \frac{\sigma^{2}}{2 \alpha^{2}} (1 - \mathrm{e}^{- a t}) ^{2} $$

一旦确定了 $Q_{1,1}$ 、 $Q_{1,0}$ 和 $Q_{1,-1}$ ，我们就可以确定 $\alpha_{1}$ ，它的选取使树形上在 $2\Delta t$ 到期的零息债券价格取值正确。由于 $\Delta R = 0.01732$ 和 $\Delta t = 1$ ，这个债券在节点 B 的价格为 $\mathrm{e}^{-(\alpha_{1} + 0.01732)}$ 。类似地，债券在节点 C 的价格为 $\mathrm{e}^{-\alpha_{1}}$ ，在节点 D 的价格为 $\mathrm{e}^{-(\alpha_{1} - 0.01732)}$ 。因此，债券在初始节点的价格为

$$ Q_{1, 1} \mathrm{e}^{- (\alpha_{1} + 0.01732)} + Q_{1, 0} \mathrm{e}^{- \alpha_{1}} + Q_{1, - 1} \mathrm{e}^{- (\alpha_{1} - 0.01732)}\tag{31-21} $$

从初始期限结构出发, 我们知道债券的正确价格为 $\mathrm{e}^{-0.04512 \times 2} = 0.9137$ 。在式 (31-21) 中代入相应的 $Q$ 项, 我们得出

$$ 0.1604 \mathrm{e}^{- (\alpha_{1} + 0.01732)} + 0.6417 \mathrm{e}^{- \alpha_{1}} + 0.1604 \mathrm{e}^{- (\alpha_{1} - 0.01732)} = 0.9137 $$

或

$$ \mathrm{e}^{- \alpha_{1}} (0.1604 \mathrm{e}^{- 0.01732} + 0.6417 + 0.1604 \mathrm{e}^{0.01732}) = 0.9137 $$

或

$$ \alpha_{1} = \ln \left[ \frac{0.1604 e^{- 0.01732} + 0.6417 + 0.1604 e^{0.01732}}{0.9137} \right] = 0.05205 $$

这说明在时间 $\Delta t$ 上，R 的树形中间节点所对应的利率为 5.205%（见图31-9）。

在下一步我们将要计算 $Q_{2,2}$ 、 $Q_{2,1}$ 、 $Q_{2,0}$ 、 $Q_{2,-1}$ 和 $Q_{2,-2}$ 。我们可以利用前面已经得到的 $Q$ 值来简化计算。以 $Q_{2,1}$ 为例， $Q_{2,1}$ 的取值相当于一个证券的价值，若节点 F 能到达，此债券支付 1 美元，否则支付 0 美元。节点 F 只可能由节点 B 和 C 来达到，而在这两个节点上的利率分别为 6.937% 和 5.205%。与树枝 B-F 和 C-F 相关的概率为 0.6566 和 0.1667。因此，一个在节点 F 支付 1 美元的证券在节点 B 的价格为 $0.6566 \mathrm{e}^{-0.06937}$ ，在节点 C 的价格为 $0.1667 \mathrm{e}^{-0.05205}$ 。因此 $Q_{2,1}$ 等于 $0.6566 \mathrm{e}^{-0.06937}$ 乘以在节点 B 收取 1 美元的贴现值，再加上 $0.1667 \mathrm{e}^{-0.05205}$ 乘上在节点 C 收取 1 美元的贴现值，也就是说

$$ Q_{2, 1} = 0.6566 \mathrm{e}^{- 0.06937} \times 0.1604 + 0.1667 \mathrm{e}^{- 0.05205} \times 0.6417 = 0.1998 $$

类似地， $Q_{2,2}=0.0182$ ， $Q_{2,0}=0.4736$ ， $Q_{2,-1}=0.2033$ 和 $Q_{2,-2}=0.0189$ 。

构造图31-9 中 R - 树形的下一步是计算 $\alpha_{2}$ 。在此之后，可以计算 $Q_{3,j}$ ，然后再计算 $\alpha_{3}$ ，等等。

31.7.4 计算 $\alpha$ 和 $Q$ 的公式#

为了更正式地表达这种方法，假定我们已经求得了所有当 $i \leqslant m (m \geqslant 0)$ 时的 $Q_{i,j}$ 。接下来一步是确定 $\alpha_{m}$ 来保证 $R -$ 树形可以正确地给出期限为 $(m + 1)\Delta t$ 的零息债券价格。在节点 $(m, j)$ 上的利率为 $\alpha_{m} + j\Delta R$ ，因此在 $(m + 1)\Delta t$ 到期的零息债券价格为

$$ P_{m + 1} = \sum_{j = - n_{m}} ^{n_{m}} Q_{m, j} \exp [ - (\alpha_{m} + j \Delta R) \Delta t ]\tag{31-22} $$

其中 $n_{m}$ 是在时间 $m \Delta t$ 时在中间节点每边的节点个数，以上方程的解为

$$ \alpha_{m} = \frac{\ln \sum_{j = - n_{m}} ^{n_{m}} Q_{m , j} \mathrm{e}^{- j \Delta R \Delta t} - \ln P_{m + 1}}{\Delta t} $$

一旦确定了 $\alpha_{m}$ ，对于 $i = m + 1$ ， $Q_{i,j}$ 可由以下方程计算得出

$$ Q_{m + 1, j} = \sum_{k} Q_{m, k} q (k, j) \exp [ - (\alpha_{m} + k \Delta R) \Delta t ] $$

其中 $q(k, j)$ 为由节点 $(m, k)$ 移动到节点 $(m + 1, j)$ 的概率，求和指标是所有使这个概率不为零的 $k$ 值。

31.7.5 推广到其他模型#

我们可以将刚刚描述的程序推广到具有以下形式的其他过程上

$$ \mathrm{d}f (r) = [ \theta (t) - a f (r) ] \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z\tag{31-23} $$

其中 f 是 r 的单调函数。这种模型具有可以和任何期限结构相吻合的性质。 $^{①}$

同前面一样，我们假设 $\Delta t$ 段利率 $R$ 服从与 $r$ 同样的过程

$$ \mathrm{d}f (R) = [ \theta (t) - a f (R) ] \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z $$

令 $x = f(R)$ ，于是

$$ d x = [ \theta (t) - a x ] \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z $$

第一阶段是对 $x^{*}$ 建立树形, 其中 $x^{*}$ 服从与 $x$ 同样的过程, 但相应的 $\theta(t)$ 为 0 , 而且初始值为 0 。这与建立图31-8 中树形的程序完全一样。

如图31-9 所示, 我们接下来对时间 $i \Delta t$ 的节点移动 $\alpha_{i}$ , 并使得树形与初始期限结构相吻合。这里确定 $\alpha_{i}$ 和 $Q_{i,j}$ 的递推方程与 $f(R) = R$ 的情形略有不同。 $Q$ 在第一个节点 $Q_{0,0}$ 被假设为 1。假定对所有的 $i \leqslant m (m \geqslant 0)$ , $Q_{i,j}$ 都已经被确定, 下一步是确定 $\alpha_{m}$ 使树形可以正确地为 $(m + 1) \Delta t$ 到期的零息债券定价。定义 $g$ 为函数 $f$ 的反函数, 在时间 $m \Delta t$ , 第 $j$ 个节点上 $\Delta t$ 时间段的利率为

$$ g (\alpha_{m} + j \Delta x) $$

在时间 $(m+1)\Delta t$ 到期的零息债券价格为

$$ P_{m + 1} = \sum_{j = - n_{m}} ^{n_{m}} Q_{m, j} \exp [ - g (\alpha_{m} + j \Delta x) \Delta t ]\tag{31-24} $$

这个方程的数值解可以通过 Newton-Raphson 迭代法给出。当 $m = 0$ 时， $\alpha_0$ 等于 $f(R(0))$ 。

一旦求出了 $\alpha_{m}$ ，对于 $i = m + 1$ ， $Q_{i,j}$ 可由以下方程来计算

$$ Q_{m + 1, j} = \sum_{k} Q_{m, k} q (k, j) \exp [ - g (\alpha_{m} + k \Delta x) \Delta t ] $$

其中 $q(k, j)$ 为由节点 $(m, k)$ 移动到节点 $(m + 1, j)$ 的概率，求和指标是对所有使概率 $q(k, j)$ 不为零的 $k$ 值。图31-10展示了将上述程序应用于由式（31-18）定义的Black-Karasinski模型

$$ \mathrm{d}\ln (r) = [ \theta (t) - a \ln (r) ] \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z $$

所得出的结果，其中 $a = 0.22, \sigma = 0.25, \Delta t = 0.5$ ，零息利率如表31-1所示。

当选取 $f(r) = r$ 时, 我们可以得到由式 (31-13) 定义的 Hull-White 模型; 当 $f(r) = \ln (r)$ 时, 我们可以得到由式 (31-18) 定义的 Black-Karasinski 模型。模型 $f(r) = r$ 的主要优点是它的解析性质, 主要缺点是存在出现负利率的可能。在大多数情形下, 模型出现负利率的概率很小, 但有些分析员不愿意使用任何会出现负利率的模型。模型 $f(r) = \ln (r)$ 没有解析性质, 但其优点是利率永远为正。

$$ \mathrm{d}r = \left[ \theta (t) - a r\right) \mathrm{d}t + \sigma \sqrt{r} \mathrm{d}z $$

图31-10 对数正态模型树形

31.7.6 如何处理低利率环境#

在利率较低的环境里选择令人满意的模型是一个棘手的问题。在这种情况下我们无法忽视Hull-White模型里产生负利率的概率。Black-Karasinski模型也不是很好，原因是对高利率和低利率使用同样的波动率是不合适的。一种避免负利率的方法是当 $r$ 很低时，将 $f(r)$ 选择为与 $\ln (r)$ 成比例，而在其他情况下将 $f(r)$ 选择为与 $r$ 成比例。 $^{\ominus}$ 另一种做法是将短期利率取做由Vasicek类型模型所定义利率的绝对值。Alexander Sokol提出了一种更好的办法：假设 $r$ 的回归速度和波动率都是 $r$ 的函数，而这些函数可以通过实证数据来估计。然后将 $r$ 转换成使 $\mathrm{dz}$ 系数为常数的新变量 $x$ 。对这种模型，可以利用比图31-7中更广泛的三叉树形来实现。

31.7.7 解析结果和树形并用#

当构造 $f(r) = r$ 的Hull-White模型树形时，利用31.3节中的解析结果可以求得每个节点上的期限结构和欧式期权价格，注意树形所给出的是 $\Delta t$ 时间段的利率R，并不是瞬时利率r。了解这一点对我们很重要。

由式（31-15）、式（31-16）和式（31-17），我们可以证明（见练习题31.21）

$$ P (t, T) = \hat{A} (t, T) \mathrm{e}^{- \hat{B} (t, T) R}\tag{31-25} $$

其中

$$ \begin{array}{r l} \ln \hat{A} (t, T) & = \ln \frac{P (0 , T)}{P (0 , t)} - \frac{B (t , T)}{B (t , t + \Delta t)} \ln \frac{P (0 , t + \Delta t)}{P (0 , t)} \\ & - \frac{\sigma^{2}}{4 a} (1 - e^{- 2 a t}) B (t, T) [ B (t, T) - B (t, t + \Delta t) ] \end{array}\tag{31-26} $$

和

$$ \hat{B} (t, T) = \frac{B (t , T)}{B (t , t + \Delta t)} \Delta t\tag{31-27} $$

(对 Ho-Lee 模型，在以上方程中我们令 $\hat{B}(t,T)=T-t$ )。

因此，在计算债券价格时，我们应该使用式（31-25）而不是式（31-15）。

例题例31-4

假设零息利率如表 31-2 所示。对应于表中所示期限之间的利率是由线性插值来计算的。

表 31-2 零息曲线,所有利率均按连续复利(实际天数/365)

到期日	天数	利率(%)	到期日	天数	利率(%)
3天	3	5.01772	4年	1461	6.73464
1个月	31	4.98284	5年	1826	6.94816
2个月	62	4.97234	6年	2194	7.08807
3个月	94	4.96157	7年	2558	7.27527
6个月	185	4.99058	8年	2922	7.30852
1年	367	5.09389	9年	3287	7.39790
2年	731	5.79733	10年	3653	7.49015
3年	1096	6.30595

我们考虑一个在9年（=9×365天）后支付100的零息债券上、期限为3年（=3×365天）的欧式看跌期权。假定利率服从Hull-White模型（f(r)=r），执行价格为63，a=0.1和σ=0.01。我们构造一个3年的树形，在最后的节点上我们利用刚才描述的解析公式来计算债券价格。如表31-3所示，由树形上所得结果与期权的解析价格是一致的。

表 31-39 年期零息债券上期限为 3 年的看跌期权价值,执行价格为 63 ,模型参数 $a = {0.1}$ 和 $\sigma = 0.01$ ；零息曲线由表31-2给出

步数	树形	分析	步数	树形	分析
10	1.8468	1.8093	100	1.8128	1.8093
30	1.8172	1.8093	200	1.8090	1.8093
50	1.8057	1.8093	500	1.8091	1.8093

该例为模型的实现提供了一个很好的检验，这是因为在期权到期后，零息曲线的斜率马上呈现剧烈变化。在构造和使用树形时，一个小的误差很可能会对价格产生很大影响（Deriva-Gem软件里应用工具（Application Builder）的例G正是这个例子）。

31.7.8 美式债券期权树形#

对于欧式和美式债券期权、上限/下限，以及欧式互换期权，DerivaGem 软件实现了正态和对数正态模型。图31-11 显示了由软件生成的树形，这里的树形是关于 10 年期债券上、期限为 1.5 年的美式债券期权定价而设定的，步数为 4 步，模型为对数正态（Black-Karasinski）模型，参数是 $a = 5\%$ ， $\sigma = 20\%$ ，标的债券的期限为 10 年，面值为 100 美元，券息为每年 $5\%$ ，每半年支付一次，收益率曲线为水平，每年为 $5\%$ ，债券期权执行价格为 105 美元。在 29.1 节我们讲过，执行价格可以是现金价格，也可以是报价。本例中的执行价格为报价，在树形上所示的债券价格为现金价格。每个节点对应的累计利息显示在树的下方，现金执行价格等于执行价格报价加上累计利息。债券报价为其现金价格减去累计利息，期权收益为债券的现金价格减去现金执行价格，这与债券报价和执行价格（报价）的差是一样的。

图31-11 对美式债券期权定价的树形，该图由 DerivaGem 软件生成

树形上所给出的期权价格为0.672，一个100步树形给出的期权价格为0.703。注意当假设对数正态模型时，我们无法利用解析公式来计算10年期债券的价格。这些价格是在一个比所显示的树形要大得多的另一个树形上通过倒推计算得出的。

31.8 校正#

到目前为止我们都是假定参数 $a$ 和 $\sigma$ 是已知的。现在我们讨论如何确定这些参数，确定参数的过程通常被称为对模型的校正。

波动率参数是由在市场上交易活跃的期权市场数据来确定的（比如像表29-1和表29-2中经纪人报出的有关上限和互换期权波动率的数据）。这些市场上交易活跃的产品被称为校正产品（calibrating instrument）。校正过程的第一步是选取一个衡量拟合质量（goodness-of-fit）的测度。假定有 $n$ 个校正产品，一种流行的测度是

$$ \sum_{i = 1} ^{n} \left(U_{i} - V_{i}\right) ^{2} $$

其中 $U_{i}$ 为第 $i$ 个校正产品的市场价格, $V_{i}$ 为由模型给出的这个产品价格, 模型校正的目标是选取参数来使得以上测度达到最小。

波动率参数的数量不应当多于校正产品的数量。如果 a 和 $\sigma$ 为常数，那么我们只有两个波动率参数。我们可以将模型推广到 a 或 $\sigma$ 或两个参数均为时间函数的情形，此时可以利用阶梯函数。假设 a 为常数，而 $\sigma$ 为时间的函数。我们可以选取时间 $t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}$ ，并假设对 $t \leqslant t_{1}$ ， $\sigma(t) = \sigma_{0}$ ；对 $t_{i} \leqslant t \leqslant t_{i+1}$ ， $\sigma(t) = \sigma_{i} (1 \leqslant i \leqslant n-1)$ ，以及对 $t > t_{n}$ ， $\sigma(t) = \sigma_{n}$ 。这样，我们共有 $n + 2$ 个波动率参数： $a, \sigma_{0}, \sigma_{1}, \cdots, \sigma_{n}$ 。

对拟合测度求最小化可以通过 Levenberg-Marquardt 程序来完成。 $^{①}$ 当 a 或 $\sigma$ 或两个参数均为时间的函数时，在拟合测度上常常需要加上一个惩罚函数（penalty function）以使得这些函数具备良好的性质。在刚才的例子中， $\sigma$ 为阶梯函数，我们可以将目标函数取成

$$ \sum_{i = 1} ^{n} \left(U_{i} - V_{i}\right) ^{2} + \sum_{i = 1} ^{n} w_{i, 1} \left(\sigma_{i} - \sigma_{i - 1}\right) ^{2} + \sum_{i = 1} ^{n - 1} w_{2, i} \left(\sigma_{i - 1} + \sigma_{i + 1} - 2 \sigma_{i}\right) ^{2} $$

第2项对在两步之间 $\sigma$ 值较大的变化提供了惩罚，第3项对 $\sigma$ 的高曲率提供了惩罚。通过试验可以选取适当的 $w_{1,i}$ 和 $w_{2,i}$ 值，以便使得 $\sigma$ 具有一定的光滑程度。

用于校正模型的产品应当与被定价的产品相似。例如，假设要对一个百慕大式互换期权定价：这个期权将延续10年，并在第5年与第9年之间的任何支付日上都可以被行使，从而进入一个10年后（从现在起）到期的互换。这时，最相关的校正产品为 $5 \times 5, 6 \times 4, 7 \times 3, 8 \times 2$ 和 $9 \times 1$ 欧式互换期权（ $n \times m$ 欧式期权是指在n年期权到期后进入m年互换的期权）。

将 $a$ 或 $\sigma$ 或两个参数都设成时间函数的优点是能够使模型更精确地与在市场上交易活跃的产品价格吻合, 其缺点是波动率结构会因此变得不稳定。模型给出的将来波动率期限结构可能与今天市场上存在的波动率有很大差异。 $^{②}$

一种与此有所不同的校正方式是利用所有可用的校正产品来计算出“整体最优吻合”（global-best-fit）参数 $a$ 和 $\sigma$ 。将参数 $a$ 固定为最优吻合值时，我们可以采用与布莱克-斯科尔斯-默顿同样的方法来使用模型，这时在期权价格和参数 $\sigma$ 之间存在一一对应关系。我们可以利用模型将表29-1和表29-2转换为隐含波动率 $\sigma$ 的表格，这些表格可以帮助我们选取最适合产品定价的参数 $\sigma$ 。

31.9 利用单因子模型进行对冲#

在 29.5 节里我们曾大致描述了如何对利率衍生产品进行对冲。这些结论可以用在本章所讨论的期限结构模型上。在计算 Delta、Gamma 和 Vega 时，我们需要对零息曲线或波动率做微小变化，然后重新计算组合的价值。

应当注意的是，在对利率衍生产品定价时，我们常常假设只有一个因子，但在进行对冲时，只有一个因子的假设却不太合适。例如，我们计算的 Delta 应当是允许在零息曲线上有多种不同的变化，而不是仅仅局限于选定模型所提供的变化。在对冲时，在实际中的做法是既考虑所选取模型下可能的变化，同时也考虑在模型下不可能的变化。这一做法被叫模型外对冲（outside model hedging），这是交易员的标准做法。实际上，当谨慎地使用一个单因子模型时，它通常会给出合理的产品价格，但在设计一个好的对冲方案时，我们将有意或无意地假设有多个因子。

小结#

在金融领域使用的传统期限结构模型是所谓的均衡模型，这类模型对理解经济变量之间的关系很有用处，但其缺点是初始期限结构是模型的输出而非输入。当对衍生产品定价时，重要的一点是保证模型与市场所观察到的初始期限结构一致。无套利模型的设计正是为了满足这一性质，这类模型将初始期限结构取为已知，并定义了它的演变方式。

本章描述了几种单因子的无套利短期利率模型，这些模型非常有用，并且可以与任何初始零息利率一起使用。这里最简单的模型为 Ho-Lee 模型，它的优点是具有解析性质，主要缺点是该模型意味着在任何时刻所有利率的变化都是一样的。Hull-White 模型是 Ho-Lee 模型的一种变形，它考虑了利率均值回归的特性，该模型在保持了解析性质的同时，也提供了更丰富的波动率环境。对数正态单因子模型避免了负利率的产生，但这些模型不具有解析性质。

作业题#

31.23 构造参数 $\sigma = 0.02$ 的Ho-Lee模型三叉树。假设在初始时对应于期限为0.5，1.0和1.5年的零息利率分别为 $7.5\%$ 、 $8\%$ 和 $8.5\%$ 。采用步长为6个月的两步树形来计算本金为100美元、在树的最后节点仍有6个月期限的零息债券价格。利用树形来计算在这个债券上1年期、执行价格为95的欧式看跌期权价格。将你在树上所得价格与DerivaGem的解析价格进行比较。

31.24 一位交易员想要计算一个本金为100美元、5年期债券上期限为1年的美式看涨期权价格。债券支付的券息为6%，每半年支付一次，期权执行价格（报价）为100美元。6个月、1年、2年、3年、4年和5年的连续复利零息利率分别为4.5%、5%、5.5%、5.8%、6.1%和6.3%。对正态模型和对数正态模型所估计的最优拟合回归率均为5%。

该债券上 1 年期、执行价格为 100（报价）的欧式看涨期权交易很活跃，市场价格为 0.50 美元。交易员决定利用这个价格对模型进行校正。利用 Deriva-Gem 和 10 步三叉树来回答下列问题：

(a) 假设正态模型，计算欧式期权所隐含的 $\sigma$ 。

债券，你将如何计算 $\hat{C}$ ？

(d) 在 Vasicek 模型和 CIR 模型下，对 $\Delta P(t,T)$ 做由 $\Delta r$ 和 $(\Delta r)^{2}$ 组成的泰勒级数展开。

31.22#

假设短期利率 r 为 4%，它在现实世界里的过程为 $dr = 0.1[0.05 - r]dt + 0.01dz$ ，而在风险中性世界里的过程为 $dr = 0.1[0.11 - r]dt + 0.01dz$ 。

(a) 利率风险的市场价格是多少？

(b) 在风险中性世界里，5年期零息债券的增长率期望和波动率是多少？

(b) 当期权为美式期权时，利用参数 $\sigma$ 来计算其价格。

(d) 对于正态情形，显示树形并计算发生负利率的概率。

(e) 对于对数正态情形，显示树形并验证节点 $i = 9$ 和 $j = -1$ （31.7节里的记号）上期权价格的正确性。

31.25 利用 DerivaGem 计算 $1 \times 4$ , $2 \times 3$ , $3 \times 2$ 和 $4 \times 1$ 欧式互换期权的价格。互换为收取浮动利率，支付固定利率。假定 1 年、2 年、3 年、4 年和 5 年的利率分别为 3%、3.5%、3.8%、4.0% 和 4.1%。互换的支付频率半年，固定利率为每年 4%，按半年复利。利用对数正态模型， $a = 5\%$ 、 $\sigma = 15\%$ 和 50 步的三叉树，计算在每个期权中由布莱克模型所隐含的波动率。

31.26 验证 DerivaGem 软件对所考虑例子所给出的图31-11。利用该软件，对正态和对数正态模型计算执行价格为 95 美元、100 美元和 105 美元的美式债券期权价格。当使用正态模型时，假设 $a = 5\%$ 和 $\sigma = 1\%$ 。以第20章给出的关于肥尾分布的角度，讨论所得结果。

31.27 将 DerivaGem 软件里应用工具（Application Builder）的样本应用 G 加以修改来验证三叉树价格的收敛性。采用三叉树计算一个 5 年期、本金为 100 美元的债券上 2 年期看涨期权的价格。假设执行价格为 100 美元（报价），券息为 7%，每年支付 2 次。假设零息曲线如表 31-2 所示，对以下情形进行比较：

(a) 期权为欧式，正态模型， $\sigma = 0.01$ 和 a = 0.05 ;

(b) 期权为欧式，对数正态模型， $\sigma = 0.15$

和 a = 0.05 ;

(d) 期权为美式，对数正态模型， $\sigma = 0.15$ 和 $a = 0.05$ 。

31.28 假设在风险中性世界里短期利率 $r$ 的（CIR）过程为

$$ \mathrm{d}r = a (\theta - r) \mathrm{d}t + \sigma \sqrt{r} \mathrm{d}z $$

而且利率风险的市场价格为 $\lambda$ 。

(a) r 在现实世界里的过程是什么？

(b) 10 年期零息债券在风险中性世界里的回报期望与波动率是什么？

HJM，LMM模型以及多种零息曲线#

有时第29章所述的简单模型并不太适合于对一些利率产品定价，然而第31章中讨论的利率模型在这些产品中却得到了广泛的应用。这些利率模型很容易被实现，而且如果谨慎地使用这些模型，我们可以使得大部分非标准的利率衍生产品价格与市场上交易活跃的产品（例如，利率上限、欧式债券期权和欧式互换期权）的价格相一致，但是这些模型有两种局限性：

大多数模型只含单个因子（也就是说，只有一个不确定性的来源）。
用户没有选择波动率结构的自由。

分析人员在使用模型时可以将 $a$ 和 $\sigma$ 设定为时间的函数，这可以使得模型与目前市场上所观察到的波动率相吻合。但我们在31.8节中曾指出，这种做法所得到的波动率期限结构会不稳定，也就是说，未来的波动率结构有可能与目前观察到的形状大不相同。

本章将讨论几种建立期限结构模型的方法，这些方法可以使得用户灵活地定义波动率环境，并且在模型中使用多个因子。当使用OIS贴现时，常常需要建立两种（或更多种）利率曲线（例如LIBOR零息曲线与OIS零息曲线）。我们将在本章中讨论如何实现这种做法。

本章中还将讨论美国房产抵押证券市场，并且描述如何将本章中的一些结果用于对这个市场中某些产品的定价。

第31章 · 利率衍生产品: HJM与LMM模型

第31章背景#

31.2 均衡模型#

31.2.1 Rendleman 和 Bartter 模型#

31.2.2 Vasicek 模型#

31.2.3 Cox, Ingersoll 和 Ross 模型#

31.2.4 Vasicek 模型与 CIR 模型的性质#

31.2.5 均衡模型的应用#

31.3 无套利模型#

31.3.1 Ho-Lee 模型#

31.3.2 Hull-White (单因子) 模型#

31.3.3 Black-Derman-Toy 模型#

31.3.4 Black-Karasinski 模型#

31.3.5 Hull-White 两因子模型#

31.4 债券期权#

带券息的债券期权#

31.5 波动率结构#

31.6 利率树形#

31.6.1 三叉树应用例解#

31.6.2 非标准树枝#

31.7 建立树形的过程#

31.7.1 第一步#

31.7.2 第2步#

31.7.3 第2步数值例解#

31.7.4 计算 $\alpha$ 和 $Q$ 的公式#

31.7.5 推广到其他模型#

31.7.6 如何处理低利率环境#

31.7.7 解析结果和树形并用#

31.7.8 美式债券期权树形#

31.8 校正#

31.9 利用单因子模型进行对冲#

小结#

推荐阅读#

关于均衡模型#

关于无套利模型#

作业题#

31.22#

HJM，LMM模型以及多种零息曲线#

第31章 背景#

31.2 均衡模型#

31.2.1 Rendleman 和 Bartter 模型#

31.2.2 Vasicek 模型#

31.2.3 Cox, Ingersoll 和 Ross 模型#

31.2.4 Vasicek 模型与 CIR 模型的性质#

31.2.5 均衡模型的应用#

31.3 无套利模型#

31.3.1 Ho-Lee 模型#

31.3.2 Hull-White (单因子) 模型#

31.3.3 Black-Derman-Toy 模型#

31.3.4 Black-Karasinski 模型#

31.3.5 Hull-White 两因子模型#

31.4 债券期权#

带券息的债券期权#

31.5 波动率结构#

31.6 利率树形#

31.6.1 三叉树应用例解#

31.6.2 非标准树枝#

31.7 建立树形的过程#

31.7.1 第一步#

31.7.2 第2步#

31.7.3 第2步数值例解#

31.7.4 计算 $\alpha$ 和 $Q$ 的公式#

31.7.5 推广到其他模型#

31.7.6 如何处理低利率环境#

31.7.7 解析结果和树形并用#

31.7.8 美式债券期权树形#

31.8 校正#

31.9 利用单因子模型进行对冲#

小结#

推荐阅读#

关于均衡模型#

关于无套利模型#

作业题#

31.22#

HJM，LMM模型以及多种零息曲线#

第31章背景#