第27章 布莱克－斯科尔斯－默顿的替代模型#
布莱克－斯科尔斯－默顿模型假定了资产价格变化是连续的，并且资产价格在将来的分布为对数正态。对于资产价格的变化，我们可以做许多其他假设。一种可能是仍然假设资产变化为连续，但过程并非是几何布朗运动。另外一种可能是在资产连续变化之上附加跳跃性。还有一种假设是所有资产的价格变化均为跳跃形式。在这一节中我们将讨论这三种假设下的特例。我们将考虑常方差弹性模型（constant elasticity of variance model, CEV）、默顿的跳跃－扩散混合模型（mixed jump-diffusion model）以及方差 - gamma 模型（variance-gamma model）。在软件 DerivaGem3.00 中包括所有 3 种模型的实现。以上这些模型被统称为 Levy 过程（Levy process）。 $^{⊖}$
常方差弹性模型#
一种关于布莱克－斯科尔斯－默顿模型的替代形式为常方差弹性模型。该模型是关于股票价格 S 的一种特殊的扩散模型，它的风险中性过程为
$$ \mathrm{d}S = (r - q) S \mathrm{d}t + \sigma S^{\alpha} \mathrm{d}z $$其中 r 为无风险利率，q 为股息收益率，dz 为维纳过程， $\sigma$ 为波动率， $\alpha$ 为正常数。 $^{②}$
当 $\alpha = 1$ 时, CEV 模型就是我们已经讨论过的几何布朗运动; 当 $\alpha < 1$ 时, 波动率随股票价格的下降而增大, 由此产生的资产价格概率分布与观察到的具有左端肥尾 (heavy left tail) 和右端瘦尾 (less heavy right tail) 的股票价格分布较为相似 (见图20-4); 当 $\alpha > 1$ 时, 波动率随股票价格的增大而增大, 由此产生的资产价格概率分布具有右端肥尾和左端瘦尾的特性, 这对应于有时在期货期权中会观察到的隐含波动率为执行价格递增函数的波动率微笑。这种波动率微笑有时会发生在期货期权中。
在 CEV 模型下，欧式看涨和看跌期权的定价公式为：当 $0 < \alpha < 1$ 时，
$$ \begin{array}{l} c = S_{0} \mathrm{e}^{- q T} [ 1 - \chi^{2} (a, b + 2, c) ] - K \mathrm{e}^{- r T} \chi^{2} (c, b, a) \\ p = K \mathrm{e}^{- r T} [ 1 - \chi^{2} (c, b, a) ] - S_{0} \mathrm{e}^{- q T} \chi^{2} (a, b + 2, c) \end{array} $$当 $\alpha > 1$ 时，
$$ \begin{array}{l} c = S_{0} \mathrm{e}^{- q T} [ 1 - \chi^{2} (c, - b, a) ] - K \mathrm{e}^{- r T} \chi^{2} (a, 2 - b, c) \\ p = K \mathrm{e}^{- r T} [ 1 - \chi^{2} (a, 2 - b, c) ] - S_{0} \mathrm{e}^{- q T} \chi^{2} (c, - b, a) \end{array} $$其中
$$ \begin{array}{l} a = \frac{\left[ K \mathrm{e}^{- (r - q) T} \right] ^{2 (1 - \alpha)}}{(1 - \alpha) ^{2} v}, \quad b = \frac{1}{1 - \alpha}, \quad c = \frac{S_{0} ^{2 (1 - \alpha)}}{(1 - \alpha) ^{2} v} \\ v = \frac{\sigma^{2}}{2 (r - q) (\alpha - 1)} [ \mathrm{e}^{2 (r - q) (\alpha - 1) T} - 1 ] \end{array} $$$\chi^2 (z, k, v)$ 代表非中心参数为 $k$ 、自由度为 $v$ 的非中心 $\chi^2$ 分布的累计概率。在网页 <www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes> 里的 Technical Note 12 中有关于计算 $\chi^2 (z, k, v)$ 的数值方法介绍。
CEV 模型尤其适用于计算特殊股票期权。我们可以通过匹配简单模型价格的形式来选取参
数，其实际操作可以通过对模型价格和实际价格差的二次方来求极小化。
默顿跳跃 - 扩散混合模型#
默顿提出了一种把跳跃和连续变化联合起来考虑的模型。 $^{①}$ 定义：
$\lambda$ ：股票价格每年的平均跳跃次数。
k：平均跳跃幅度占股票价格的百分比。
跳跃幅度百分比是由模型中一个概率分布抽样得出的。
在时间 $\Delta t$ 内，一次跳跃发生的概率为 $\lambda\Delta t$ 。因此由跳跃而触发的平均增长率为 $\lambda k$ 。在风险中性世界里，标的资产服从的过程为
$$ \frac{\mathrm{d}S}{S} = (r - q - \lambda k) \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}z + \mathrm{d}p $$其中 $\mathrm{dz}$ 为维纳过程， $\mathrm{dp}$ 为泊松过程（Poisson process）， $\sigma$ 为几何布朗运动中的波动率。假定 $\mathrm{dz}$ 和 $\mathrm{dp}$ 为相互独立。
默顿模型的一个重要特例是当1加上跳跃幅度百分比的对数服从正态分布的情形。假定正态分布的标准差为 $s$ ，默顿证明了欧式期权价格可以被写为
$$ \sum_{n = 0} ^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{- \lambda^{\prime} T} (\lambda^{\prime} T) ^{n}}{n !} f_{n} $$其中 $\lambda' = \lambda(1 + k)$ ，变量 $f_{n}$ 为股息率为 q，方差率为
$$ \sigma^{2} + \frac{n s^{2}}{T} $$无风险利率为
$$ r - \lambda k + \frac{n \gamma}{T} $$的布莱克-斯科尔斯-默顿期权价格，其中 $\gamma = \ln (1 + k)$ 。
同布莱克－斯科尔斯－默顿模型相比，这一模型给出的分布左右端都较为肥大，因此我们可以利用这一模型来对货币期权进行定价。类似于CEV模型，模型参数的选择是通过对模型价格与市场价格之差的平方求极小值来确定。
通过蒙特卡罗模拟，我们可以实现像默顿模型这样涉及跳跃的模型。当跳跃是由泊松过程所生成时，在时间 $t$ 正好有 $m$ 个跳跃的概率是
$$ \frac{\mathrm{e}^{- \lambda t} (\lambda t) ^{m}}{m !} $$其中 $\lambda$ 是 1 年中的平均跳跃次数，或者说 $\lambda t$ 是在时间 t 内的平均跳跃次数。
假设每年平均发生0.5次跳跃。在两年中有 $m$ 个跳跃的概率等于
$$ \frac{\mathrm{e}^{- 0.5 \times 2} (0.5 \times 2) ^{m}}{m !} $$表27-1给出了在两年内跳跃次数为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7和8的概率和累计概率。(像该表中这样的数字可以通过Excel中的POISSON函数来得到)。
表 27-12 年内跳跃次数的概率
| 跳跃次数 m | 跳跃概率 | 累计概率 | 跳跃次数 m | 跳跃概率 | 累计概率 |
| 0 | 0.3679 | 0.3679 | 5 | 0.0031 | 0.9994 |
| 1 | 0.3679 | 0.7358 | 6 | 0.0005 | 0.9999 |
| 2 | 0.1839 | 0.9197 | 7 | 0.0001 | 1.0000 |
| 3 | 0.0613 | 0.9810 | 8 | 0.0000 | 1.0000 |
| 4 | 0.0153 | 0.9963 |
为了模拟两年内的跳跃过程，在每次模拟实验中都需要确定跳跃的次数和跳跃的幅度。
为了确定跳跃的次数，每次模拟实验中我们首先取一个0和1之间的随机数，然后利用表27-1。如果随机数是在0和0.3679之间，没有跳跃发生；如果随机数是在0.3679和0.7358之间，有1次跳跃发生；如果随机数是在0.7358和0.9197之间，有2次跳跃发生；等等。为了确定跳跃的幅度，在每次模拟跳跃时，我们都需要从描述跳跃幅度的分布中提取一个样本。一旦确定了跳跃次数和跳跃幅度，我们就可以得到本次实验里变量的模拟值。
在默顿的混合跳跃-扩散模型中，跳跃是叠加在对股票价格通常所假设的对数正态扩散过程上。这时过程有两个部分（通常的扩散部分与跳跃部分），对每部分都要单独取样。对扩散部分可以按照21.6节和21.7节里所描述的方式取样，而跳跃部分可以按刚才描述的方式取样。对衍生产品定价时，我们必须使资产的总回报率（来自两部分）等于无风险利率。这说明在默顿模型里，扩散部分的漂移项等于 $r-q-\lambda k$ 。
27.1.3 方差 - Gamma 模型#
方差 - Gamma 模型是非常流行的纯跳跃模型特例。 $^{①}$ 对于这一模型，我们首先定义 g 为服从均值率为 1.0，方差率为 v 的 Gamma 过程的变量在时间 T 内的变化。Gamma 过程是一种纯跳跃过程，其中小的跳跃经常发生，但大的跳跃只是偶尔发生。g 的概率分布密度函数为
$$ \frac{g^{T / v - 1} \mathrm{e}^{- g / v}}{v^{T / v} \Gamma (T / v)} $$其中 $\Gamma(\cdot)$ 代表 Gamma 函数。这一概率密度可以通过 Excel 的 GAMMADIST ( $\cdot, \cdot, \cdot, \cdot$ ) 函数来计算，函数的第 1 个变量为 $g$ ，第 2 个变量为 $T / v$ ，第 3 个变量为 $v$ ，第 4 个变量为 TRUE 或者 FALSE，其中在变量等于 TRUE 时给出累积概率函数，FALSE 时给出概率密度函数。
像通常那样, 定义 $S_{T}$ 为资产在 $T$ 时刻的价格, $S_{0}$ 为资产的当前价格, $r$ 为无风险利率, $q$ 为股息收益率。在风险中性世界里, 假定方差 - Gamma 模型时, $\ln S_{T}$ 在条件 $g$ 下服从正态分布, 条件期望值为
$$ \ln S_{0} + (r - q) T + \omega + \theta g $$条件标准差为
$$ \sigma \sqrt{g} $$其中
$$ \omega = \frac{T}{v} \ln (1 - \theta v - \sigma^{2} v / 2) $$在方差 - Gamma 模型中共有 3 个参数, 即 $v$ 、 $\sigma$ 和 $\theta$ , ${}^{\ominus}$ 参数 $v$ 为 Gamma 过程的方差率, $\sigma$ 为波动率, $\theta$ 定义了偏态 (skewness)。当 $\theta = 0$ 时, $\ln S_{T}$ 为对称; 当 $\theta < 0$ 时, $\ln S_{T}$ 为负偏态 (类似股价情形); 当 $\theta > 0$ 时, $\ln S_{T}$ 为正偏态。
假定标的资产服从方差 - Gamma 模型, 我们想利用 Excel 来抽取从时间 0 到 $T$ 资产变化的 10000 个随机样本。作为初始设定, 我们分别设定计算表的元素 E1、E2、E3、E4、E5、E6 和 E7 为 $T 、 v 、 \theta 、 \sigma 、 r 、 q$ 和 $S_{0}$ , 元素 E8 为 $\omega$ , 定义为
$$ = E 1 * \text{LN} (1 - E 3 * E 2 - E 4 * E 4 * E 2 / 2) / E 2 $$之后的计算过程为
利用 GAMMAINV 函数来对 g 进行抽样。我们设定计算元 A1, A2, …, A10000 为
$$ = \text{GAMMAINV(RAND(),E1/E2,E2)} $$对于每一个 $g$ , 我们在期望值为 $\theta g$ 、标准差为 $\sigma \sqrt{g}$ 的正态分布中提取一个样本, 这可以将 B1 设定为
对计算元 B2，B3，…，B10000 进行类似运算。
- 股票价格 $S_{T}$ 由以下表达式给定
定义计算元C1为
$$ = E 7 * \text{EXP} ((E 5 - E 6) * E 1 + B 1 + E 8) $$对计算元 C2, C3, …, C10000 进行类似运算, 计算元 C1, C2, …, C10000 的结果即为 $S_{T}$ 的样本值。图27-1显示了在方差-Gamma假设下，当 $S_{0}=100$ ，T=0.5，v=0.5， $\theta=0.1$ ， $\sigma=0.2$ 和r=q=0时， $S_{T}$ 的概率分布。作为对照，我们同时也展示了波动率 $\sigma=0.2$ （即20%）几何布朗运动的概率分布图。虽然图27-1显示得不是非常清楚，方差-Gamma模型的尾部比几何布朗运动所给的对数正态分布要肥大。
图27-1 方差 - Gamma 过程和几何布朗运动所产生概率分布
一种对方差 - Gamma 分布进行描述的方式是将 $g$ 视为在时间 $T$ 内信息到达的速度。如果 $g$ 很大，信息到达量也很多，以上计算过程第二步的正态分布均值和方差也较大；如果 $g$ 很小，信息到达量也很少，以上计算过程第二步的正态分布均值和方差也较小。参数 $T$ 为通常的时间测度， $g$ 有时被视为度量经济时间（economic time）或者经时间调整后信息量（time adjusted for flow of information）的参数。
Madan 等人（1998）提供了欧式期权的半解析（semi-analytic）公式。方差 - Gamma 分布往往会产生 U 字形波动率微笑，这一波动率微笑不一定为对称。对于短期产品，波动率微笑十分明显；对于长期产品，波动率微笑逐渐消失。可以将方差 - Gamma 模型价格与股权或简单货币期权产品价格相匹配。
27.2 随机波动率模型#
在布莱克－斯科尔斯－默顿模型里假设了波动率为常数。在实际中，如在第23章讨论的那样，波动率是随时间变化的。方差-Gamma模型的参数 $g$ 反映了这种性质：低参数 $g$ 代表信息到达的速度较慢，波动率也较低；高参数 $g$ 代表信息到达的速度较快，波动率也较高。
与方差 - Gamma 模型不同的另一种选择是明确假定波动率变量所遵循的过程。我们首先假设在描述标的变量几何布朗运动中的波动率为时间的函数，在风险中性世界里，标的资产价格服从
$$ \mathrm{d}S = (r - q) S \mathrm{d}t + \sigma (t) S \mathrm{d}z\tag{27-1} $$这时布莱克－斯科尔斯－默顿公式的方差率应该被改为期权期限内方差率的平均值（见练习题27.6）。方差率等于波动率的平方。假定在1年内，在前6个月的股票价格波动率为 $20\%$ ，在后6个月波动率为 $30\%$ ，平均方差率为
$$ 0.5 \times 0.20^{2} + 0.5 \times 0.30^{2} = 0.065 $$在布莱克－斯科尔斯－默顿公式中，我们采用的方差率应等于0.065，相应的波动率为 $\sqrt{0.065} = 0.255$ ，即 $25.5\%$ 。
式（27-1）假定了资产的瞬时波动率是完全可以预测的，而实际中的波动率变化过程是随机的，这一现象导致了由于涉及两个随机变量而更为复杂的模型，即股票价格和其波动率均为随机的模型。
研究人员使用的其中一种模型是
$$ \frac{\mathrm{d}S}{S} = (r - q) \mathrm{d}t + \sqrt{V} \mathrm{d}z_{s}\tag{27-2} $$$$ \mathrm{d}V = a (V_{L} - V) \mathrm{d}t + \xi V^{\alpha} \mathrm{d}z_{V}\tag{27-3} $$其中 $a, V_{L}, \xi$ 和 $\alpha$ 均为常数， $\mathrm{dz}_{S}$ 和 $\mathrm{dz}_{V}$ 为维纳过程， $V$ 为资产的方差率。方差率的漂移项将其以速度 $a$ 拉回到水平 $V_{L}$ 上。
赫尔和怀特证明了当波动率为随机但与资产价格不相关时，欧式期权的价格等于布莱克－斯科尔斯－默顿价格以平均方差率在期权期限内的分布上的积分。 $^{①}$ 欧式看涨期权的价格为
$$ \int_{0} ^{\infty} c (\overline{{{V}}}) g (\overline{{{V}}}) \mathrm{d}\overline{{{V}}} $$其中 $\overline{V}$ 为方差率的平均值， $c$ 为以将布莱克-斯科尔斯-默顿价格作为 $\overline{V}$ 的函数， $g$ 为 $\overline{V}$ 在风险中性世界里的概率密度函数。用这一结果可以证明在平值期权或接近平值期权的情形下，布莱克-斯科尔斯-默顿价格高估了期权价格；在深度虚值或深度实值期权情形下，布莱克-斯科尔斯-默顿价格低估了期权价格。这一结果与我们在现实中所观察到的货币期权隐含波动率的形状是一致的（见20.2节）。
当标的资产价格与波动率相关时，情况会就更加复杂。我们可以通过蒙特卡罗模拟计算期权价格。对 $\alpha=0.5$ 的特殊情形，赫尔和怀特给出了级数形式的近似，而 Heston 给出了解析结果。 $^{①}$ 当标的资产价格与波动率具有负的相关性时，我们计算出的隐含波动率与从股票市场上所观察的结果相似（见 20.3 节）。 $^{②}$
在第23章里我们曾经讨论过指数加权移动平均（EWMA）和GARCH（1，1）模型，这些模型可以用来代替随机波动率模型。Duan证明了以GARCH（1，1）为基础，我们可以得出一个内在一致的期权定价模型（关于GARCH（1，1）与随机波动率的等价性，见练习题23.14）。 $^{③}$
在应用随机波动率模型时，我们首先应保证由随机波动率模型得出的简单期权价格与市场价格尽量一致，然后我们可以将随机波动率模型应用于特种期权。当期权期限小于1年时，从绝对意义上看，随机波动率对于期权价格的影响很小（尽管对于深度虚值期权，期权价格的百分比变化可能很大）；当期权期限增大时，其影响也逐渐增大。随机波动率对于期权Delta对冲参数的影响较大，市场上的交易员已经认识到了这一点，如第19章中所述，这些交易员通过计算Vega来跟踪自身对于波动率变化的风险敞口。
27.3 IVF 模型#
到目前为止，在所讨论的模型中，我们可以选取参数以便使得在任意一天内的模型价格均与简单期权价格比较接近。金融机构有时想更近一步，在选择模型时使模型价格与简单产品的市场价格达到完全一致。 $^{⑤}$ 在1994年，Derman和Kani，Dupire以及Rubinstein发展了这样的模型，这类模型在后来被称为隐含波动率函数（implied volatility functional，IVF）模型或隐含树形（implied tree）模型。 $^{⑥}$ 不管波动率曲面的形状如何，这种模型均可以与任意一天所观察到的欧式期权价格达到完全匹配。
在风险中性世界里，模型中的资产价格服从以下形式的随机过程
$$ \mathrm{d}S = \left[ r (t) - q (t) \right] S \mathrm{d}t + \sigma (S, t) S \mathrm{d}z $$其中 $r(t)$ 为在 $t$ 时刻到期的瞬时远期利率, $q(t)$ 为依赖于时间的股息收益率, 波动率 $\sigma(S, t)$ 为 $S$ 和 $t$ 的函数, 其选择是保证模型价格与所有在市场上观察到的欧式期权价格一致。Dupire, Andersen 和 Brotherton-Ratcliffe 均证明了 $\sigma(S, t)$ 可由以下解析公式来计算
$$ [ \sigma (K, T) ] ^{2} = 2 \frac{\partial c_{\mathrm{mkt}} / \partial T + q (T) c_{\mathrm{mkt}} + K [ r (T) - q (T) ] \partial c_{\mathrm{mkt}} / \partial K}{K^{2} (\partial^{2} c_{\mathrm{mkt}} / \partial K^{2})}\tag{27-4} $$其中 $c_{\mathrm{mkt}}(K, T)$ 是执行价格为 K、期限为 T 的欧式看涨期权市场价格。当市场上存在足够多的欧式看涨期权时，可以用这一方程来估计函数 $\sigma(S, t)$ 。
Andersen 和 Brotherton-Ratcliffe 采用将式（27-4）与隐式差分法相结合的方式实现了这个模型。Derman、Kani 以及 Rubinstein 通过构造标的资产树形结构给出了另一种方法，这里的树形结构与市场上简单期权的价格是一致的。
在实际应用中, 我们需要每天对 IVF 模型进行校正, 以确保模型价格与简单期权价格的一致性, 这种模型成了能与简单期权价格保持一致并能为特种期权定价的工具。在第 20 章的讨论中我们曾指出简单期权定义了资产价格在将来任一时间的风险中性概率分布。因此 IVF 模型给出的资产价格在将来任一时间上的风险中性概率分布都是正确的。这意味着, 如果期权的收益只在一给定时刻发生 (例如, 全部或空手 (all-or-nothing) 或资产或空手 (asset-or-nothing)), IVF 模型给出的价格一定为正确价格。但是, 模型给出的资产在两个时间或多个时间的联合分布却不一定正确。这意味着, 对于特种期权 (例如复合期权和障碍期权), 这种模型给出的价格就不一定是正确的。 $^{③}$
27.4 可转换债券#
我们现在将讨论如何修改第21章中提出的数值方法来处理一些特殊定价问题，我们首先考虑可转换债券（convertible bond）定价问题。
可转换债券是由公司发行的债券，债券持有者在将来某些时刻有权将债券转换成公司的股票，转换率（conversion ratio）是一个单位债券可以转换的股票数量（该比率可能是时间的函数）。这种债券几乎总是可被赎回（callable）的，即债券发行者有权按预先指定的价格在某些时间将债券赎回。在债券被赎回时，债券持有者总是有权将债券转换为股票。因此这种可被赎回的作用是债券发行方可以强迫债券持有方提前将债券转换的一种方式。有时债券发行方的可赎回权利只有当股票价格在一定水平之上时才会生效。
在对可转换债券定价时，信用风险起着非常重要的作用。忽略信用风险时将会高估券息和本金的价值，计算出的债券价格会不准确。Ingersoll 提出了用一种类似于在 24.6 节中所讨论的默顿（1974）模型来对可转换债券定价的方法。 $^{①}$ 在模型中，Ingersoll 假定债券发行方的总资产价值服从几何布朗运动，并将公司股权、可转换债券以及其他与资产价值相关的债权作为资产上的待定权益。在模型中假设只有当资产价值超出负债价值时，债权拥有者才能得到全部付款，因此以这种方式将信用风险考虑在内。
在实际中一个被广泛采用的简单模型是直接模拟债券发行方的股票价格。在这一模型中，假设股票价格服从几何布朗运动，并且在每个小的时间区间 $\Delta t$ 内，公司有 $\lambda\Delta t$ 的“概率”会违约。当公司违约时股价会变为0，但债券会有一定的回收率。参数 $\lambda$ 为在24.2节中所讨论过的风险中性违约密度。
股票价格服从的过程可以通过修改通常所用的二叉树来表达，在每个节点上我们有：
在每段时间 $\Delta t$ 后，价格按比率 u 上涨的概率为 $p_{u}$ ;
在每段时间 $\Delta t$ 后, 价格按比率 $d$ 下降的概率为 $p_{d}$ ;
在每段时间 $\Delta t$ 后, 公司违约 (即股票价格变为 0 ) 的 “概率” 为 $\lambda \Delta t$ 。更准确地讲, 这一违约概率为 $1 - \mathrm{e}^{-\lambda \Delta t}$ 。
以下参数保证了树形价格变化的前两阶矩与股票价格分布一致
$$ p_{u} = \frac{a - \mathrm{de} ^{- \lambda \Delta t}}{u - d}, \quad p_{d} = \frac{u \mathrm{e}^{- \lambda \Delta t} - a}{u - d}, \quad u = \mathrm{e}^{\sqrt{(\sigma^{2} - \lambda) \Delta t}}, \quad d = \frac{1}{u} $$其中 $a = \mathrm{e}^{(r - q)\Delta t}$ ，r 为无风险利率，q 为股票的收益率。
将树形的期限设定为可转换债券的期限，在树形的末端，债券价格依赖于在这个时间上债券持有人所持有的转换期权，然后我们在树形结构上进行倒推计算。在每个可以进行转换的节点上，我们都需要检验转换是否为最优决策。同时，在可允许将债券赎回的节点上我们还要检验债券发行方是否会将债券赎回，而且如果发行方将债券赎回，我们还要检验将债券转换是否是最优决策。这些决策等价于在节点上将债券价格取为
$$ \max \left[ \min (Q_{1}, Q_{2}), Q_{3} \right] $$其中 $Q_{1}$ 为由倒推所产生的价值（假定债券未被转换，也未被赎回）， $Q_{2}$ 为被赎回后的价值， $Q_{3}$ 为转换后的价值。
考虑一个由 XYZ 公司发行的面值为 100 美元的 9 个月期零息债券。假定在 9 个月的期限内，债券持有者可将债券转换为两只 XYZ 的股票，而且该债券可以在 9 个月内的任意时刻以 113 美元的价格被赎回。股票的最初价格为 50 美元，波动率为每年 30%，股票不支付股息，公司的违约密度 $\lambda$ 为每年 1%，对应于所有期限的无风险利率均为 5%。假定在违约发生时，债券价值为 40 美元（按通常定义，回收率为 40%）。图27-2显示了可以用来对可转换债券定价的股票价格树形结构，树形共有3步（ $\Delta t = 0.25$ ）。每个节点上方的数值为股票价格，下方数值为可转换债券的价值。树形结构的3个参数为
$$ u = \mathrm{e}^{\sqrt{(0.09 - 0.01) \times 0.25}} = 1.1519, d = 1 / u = 0.8681 $$$$ a = \mathrm{e}^{0.05 \times 0.25} = 1.0126, p_{u} = 0.5167, p_{d} = 0.4808 $$公司违约（即转换到最低节点）的概率为 $1 - e^{-0.01 \times 0.25} = 0.002497$ 。在3个违约节点上，股票价格为0，债券价值为40。
我们首先考虑树形的终端节点。在节点G和H上，债券将被转换，转换后的价值是股票价格的2倍；在节点I和J上，债券将不会被转换，其价值为100。
对树形结构进行倒推计算后，我们可以得出在树形中前面节点上债券的价值。例如，考虑节点E，如果债券被转换，其价值为 $2 \times 50 = 100$ 美元；如果债券不被转换，这时会有：（a）以0.5167的概率转移到节点H，这时债券的价值为115.19美元；（b）以0.4808的概率转移到节点I，这时债券的价值为100
图27-2 对可转换债券定价的树形。节点上方数值为股票价格；下方数值为可转换债券价值
美元；（c）以 0.002497 的概率公司违约，这时债券的价值为 40 美元。因此，债券不被转换时的价值为
$$ (0.5167 \times 115.19 + 0.4808 \times 100 + 0.002497 \times 40) \times e^{- 0.05 \times 0.25} = 106.36 (\text{美元}) $$这个值比转换后价值 100 美元要高，因此在节点 E 上，我们不会将证券进行转换。最后，因为赎回价格 113 美元高于 106.36 美元，因此在节点 E 上债券发行方不会将债券赎回。
作为另一个例子，我们考虑节点 B。在债券被转换后其价值为 $2 \times 57.597 = 115.19$ 美元；如果不转换，采用类似节点 E 上的计算可以得出债券价值为 118.31 美元，因此债券持有者不会将债券进行转换，但债券发行方会以 113 美元的价格将债券赎回，这时债券持有者将债券转换所取得的收益比债券被赎回后取得的收益要好，因此债券持有者会选择将债券进行转换。在 B 点的债券价值为 115.19 美元。采用类似的做法可以得出债券在节点 D 的价值。在没有转换时，债券价值为 132.79 美元。但是，由于债券将被赎回而会导致强行转换。在这一节点债券价值会减低到 132.69 美元。
可转换证券的价格等于在最初节点 A 上的价格，即 106.93 美元。
当债券支付券息时，我们在计算时必须将其考虑在内。在每个节点上，在债券不被转换的前提下计算债券价值时，债券在将来所支付的所有券息的贴现值都应当被考虑在内。风险中性违约密度 $\lambda$ 可以通过债券价格或信用违约互换的溢价来估计。在更一般的实现过程中， $\lambda$ 、 $\sigma$ 和 r 均可以为时间的函数。这时，我们可以通过三叉树（而不是二叉树）来进行计算（见21.4节）。
我们这里所讨论模型的缺点是违约概率与股票价格无关。一些研究人员建议利用一些隐式差分方法来实现这种模型，其中违约密度 $\lambda$ 可以是股票和时间的函数。 $^{①}$
27.5 路径依赖型衍生产品#
一个路径依赖型衍生产品（path-dependent derivative）（也被称为依赖历史衍生产品（history-dependent derivative））是指收益与标的资产的路径有关（而不仅仅只与标的资产的最终价格有关）的衍生产品。亚式期权和回望期权是依赖路径衍生产品的例子。如第26章所示，亚式期权的收益依赖于标的资产价格的平均值，回望期权的收益依赖于资产价格在期权期限内取得的最大值或最小值。当不存在解析解时，一种对依赖路径衍生产品定价的方法是在第21章中讨论过的蒙特卡罗模拟法。在蒙特卡罗模拟法中，我们首先模拟标的资产变量在风险中性世界里所遵循的路径，然后计算期权收益，并以无风险利率对收益进行贴现。由此我们可以得出一个样本。通过这种方式我们可以产生许许多多的样本，而样本的均值即为衍生产品价格的近似值。
如果想达到一定的精度，蒙特卡罗模拟法可能会需要很长的运算时间，这是蒙特卡罗模拟法的主要问题。再有，我们很难将蒙特卡罗法用于依赖路径美式期权（即衍生产品的收益依赖路径，同时期权的持有方有权提前行使期权）。在这一节里，我们将说明如何推广在第21章里所讨论的二叉树法来对依赖路径衍生产品定价。 $^{①}$ 这里的方法可以用来处理依赖路径美式期权定价。对于依赖路径欧式衍生产品，这一方法比蒙特卡罗法更加有效。
为了保证这一方法可以运作，以下两个条件必须成立：
衍生产品收益只与标的变量路径的一个函数 F 有关;
$F$ 在时刻 $\tau + \Delta t$ 的值可以由 $F$ 在时刻 $\tau$ 的值和标的变量在 $\tau + \Delta t$ 的值来计算。
27.5.1 回望期权例解#
为了说明算法, 我们首先考虑无股息股票上的美式浮动回望期权。如果在时刻 $\tau$ 行使期权, 期权收益等于在 0 与 $\tau$ 之间股票价格的最大值与股票当前价格的差。假定股票的初始价格为 50 美元, 波动率为每年 $40\%$ , 无风险利率为每年 $10\%$ , 期权的期限为 3 个月, 股票价格的变动由一个 3 步二叉树来表达。采用通常的符号, $S_{0} = 50$ , $\sigma = 0.4$ , $r = 0.10$ , $\Delta t = 0.08333$ , $u = 1.1224$ , $d = 0.8909$ , $a = 1.0084$ 和 $p = 0.5073$ 。
树形结构如图27-3 所示。节点上方的数值为股票价格，下一层的数值为股票价格在到达该节点可能路径上的最大值，最下层的数值为衍生产品的价值。对应每个可能的最大值都会有一个相应的衍生产品价值。
期权在树形最后节点上的值等于股票的最大值减去实际股票价格。为了说明倒推计算过程，假定我们正处在节点 A 上，相应的股票价格为 50 美元。在这一点上，股票价格所取的最大值或者为 56.12 美元，或者为 50 美元。我们首先考虑最大值为 50 美元的情形。如果股票价格往上移动时，股票的最大值变为 56.12 美元，相应的期权价值为 0；如果股票价格向下移动时，股票的最大值仍为 50 美元，相应的期权价值为 5.45 美元。在没有提前行使的条件下，在节点 A 上，对应最大值为 50 美元的情形，期权价值等于
$$ (0 \times 0.5073 + 5.45 \times 0.4927) \mathrm{e}^{- 0.1 \times 0.083333} = 2.66 (\text{美元}) $$显然，在节点 A 我们不应该提前行使期权，因为由行使期权所带来的收益为 0。通过类似的计算我们可以得出，在节点 A 对应于最大值为 56.12 美元的情形，在没有提前行使的前提下期权价值等于
$$ (0 \times 0.5073 + 11.57 \times 0.4927) \mathrm{e}^{- 0.1 \times 0.083333} = 5.65 (\text{美元}) $$这时，提前行使期权的收益为 6.12 美元，因此提前行使期权为最优。按照以上说明的方式，在树形结构上进行倒推计算，我们得出美式回望期权的价格为 5.47 美元。
图27-3 美式回望期权的定价树形结构
27.5.2 推广#
随着时间步数的增长, 如果节点上的路径函数 $F$ 取值的个数增长不太快, 从数值计算的角度来看, 以上描述的方法切实可行。以上考虑的回望期权例子满足这个条件, 因为在一个 $n$ 步二叉树上, 每一节点对应的不同最大值不会超过 $n$ 。
幸运的是，以上方法可以推广到路径函数 F 取很多值的情形。基本处理方式如下：在每个节点上，我们只对路径函数 F 所取的少数具有代表意义的值进行计算。当需要其他路径函数值时，我们可以采用插值法来从已知的数值上求取。
计算的第1步，是以向前推进的方式在树形结构的每一个节点上建立路径函数的最大值和最小值。假定路径函数在时刻 $\tau + \Delta t$ 的取值可以由路径函数在时刻 $\tau$ 的值和标的变量在 $\tau + \Delta t$ 的值来计算，路径函数在时刻 $\tau + \Delta t$ 的最大值和最小值可以直接由路径函数在时刻 $\tau$ 的最大值和最小值来计算。计算的第2步，是在每个节点上选取具有代表意义的路径函数值。做法有很多种，一种做法是选取最大值和最小值以及介于它们之间其他相同间隔的中间值。当我们在树形上进行倒推计算时，对于每个路径函数的代表值，我们都要计算相应衍生产品的价值。
我们将通过考虑26.13节例26-3中的平均价格看涨期权来说明计算过程，在这里期权的收益依赖于股票平均价格。股票的初始价格为50美元，执行价格为50美元，无风险利率为 $10\%$ ，股票价格波动率为 $40\%$ ，期限为1年。在计算中，我们采用20步的二叉树。二叉树的参数为 $\Delta t =$
0.05, $u = 1.0936$ , $d = 0.9144$ , $p = 0.5056$ 和 $\Delta t = 0.4944$ 。路径函数为股票价格的算术平均值。图27-4 显示了在树形上的一部分运算过程。节点 X 为 0.2 年时（树形的第四步）的中心节点，节点 Y 和 Z 为 0.25 年时与 X 节点相连接的两个节点，在 X 节点上的股票价格为 50 美元。由向前归纳可以得出在节点 X，股票价格平均值的最大值为 53.83 美元，最小值为 46.65 美元（在计算平均值时，我们包括最初以及最后的股票价格）。节点 X 分叉出节点 Y 和 Z。在节点 Y，股票价格为 54.68 美元，平均值的上下界分别为 57.39 美元和 47.99 美元；在节点 Z，股票价格为 45.72 美元，平均值的上下界分别为 52.48 美元和 43.88 美元。
图27-4 算术平均值期权定价的局部计算
假定我们选择的路径函数代表值为介于最小与最大值之间 4 个等间隔点（包括最小与最大值本身）。因此，在节点 X，我们考虑 46.65、49.04、51.44 和 53.83；在节点 Y，我们考虑 47.99、51.12、54.26 和 57.39；在节点 Z，我们考虑 43.88、46.75、49.61 和 52.48。假设通过向后归纳，我们已经计算出了对应于节点 Y 和 Z 上代表值的期权价值。图27-4 展示了计算结果（例如，在节点 Y，当平均值等于 51.12 时，相应的期权价值为 8.101）。
考虑在节点 X 上当平均值等于 51.44 时的计算过程。如果股票价格上升到节点 Y，新的平均值为
$$ \frac{5 \times 51.44 + 54.68}{6} = 51.98 $$在节点 Y 上，对应于这一新的平均值，衍生产品的价值等于平均值为 51.12 和 54.26 所对应衍生产品价值的插值，即
$$ \frac{(51.98 - 51.12) \times 8.635 + (54.26 - 51.98) \times 8.101}{54.26 - 51.12} = 8.247 $$类似地，如果股票价格下降到节点 Z，新的平均值为
$$ \frac{5 \times 51.44 + 45.72}{6} = 50.49 $$通过插值，我们得出相应的衍生产品价值为 4.182。
因此，对应于平均值51.44，衍生产品的价值为
$$ (0.5056 \times 8.247 + 0.4944 \times 4.182) \mathrm{e}^{- 0.1 \times 0.05} = 6.206 $$对节点 X 上其他代表值也可以通过类似的方法处理。一旦完成了对应于 0.2 年上节点的计算，我们可以接着考虑对应于 0.15 年的节点。
在 0 时刻由整个树形得出的期权价值为 7.17。当时间步数和节点上的代表值数量增加时，期权价格将会收敛于正确解。由 60 步树形和 100 个平均代表值得出的期权价格为 5.58。在例 26-3 中计算出的解析近似解为 5.62。
这里所讨论方法的主要优点在于它可被用于处理美式期权。对于美式期权，计算过程同以上描述相似，唯一区别是对于每个代表值，我们均要检验是否应提前行使期权（在实际中，提前行使期权的决策可能会与路径函数取值和标的资产价值都有关）。在以上期权为美式期权的情形下，由20步树形与4个平均代表值得出的期权价格为7.77，由60步树形与100个平均代表值得出的期权价格为6.17。
这里描述的方法可以用于许多不同的情形，在这一节的开始我们列出了该方法可行性的2个条件。在方法的实现过程中，采用二次插值的效率会高于线性插值。
27.6 障碍期权#
在第 26 章里, 我们给出过标准障碍期权的解析定价公式。在这一节里我们考虑当没有解析解时, 关于障碍期权定价的数值算法。
原则上讲，我们可以采用第21章里讨论的二叉树和三叉树来对障碍期权定价。考虑一个上涨-敲出期权（up-and-out option），我们可以采用与标准期权定价相同的算法，只是当节点高出障碍值时，我们需要将期权的价值设为0。
三叉树比二叉树的精确度要好，但对于障碍期权，三叉树的收敛也很慢。为了取得合理的精确度，我们需要采用很大的步数。产生这一现象的原因是由于树形结构采用的障碍与实际障碍有所不同。定义内部障碍（inner barrier）为刚好落在真正障碍内的树形结构上的节点（离树形结构的中心更近），外部障碍（outer barrier）为刚好落在真正障碍外的树形结构上的节点（离树形结构的中心更远）。图27-5显示了在障碍为水平的假设下三叉树的内部障碍和外部障碍。在通常的计算中，一般都隐含地将外部障碍假设为真正障碍，这是因为障碍条件首先被用于在外部障碍上的节点。假定时间步长为 $\Delta t$ ，垂直节点之间的间隔与 $\sqrt{\Delta t}$ 同阶。这意味着，由真正障碍与外部障碍之间的差别所带来的计算误差也应该与 $\sqrt{\Delta t}$ 同阶。
图27-5 对障碍期权定价的三叉树
一种解决这一问题的方法如下：
假定内部障碍为真正障碍，计算期权价值；
假定外部障碍为真正障碍，计算期权价值；
对以上两个价值进行插值。
另外一种解决问题的方法是确保节点落在障碍上。假定股票的初始价格为 $S_{0}$ ，障碍为 $H$ 。在三叉树的每个节点上，资产价格变化共有三种可能：价格上升比率为 $u$ ，价格不变，价格下降比率为 $d$ ，其中 $d = 1 / u$ 。我们总可以选择 $u$ 来保证节点落在障碍上， $u$ 所满足的条件为
H = S_{0} u^{N} 即
$$ \ln H = \ln S_{0} + N \ln u $$其中 N 为一个正（或负）的整数。
在21.4节中讨论三叉树时, 我们曾建议将 $u$ 的值取为 $\mathrm{e}^{\sigma \sqrt{3\Delta t}}$ , 因此 $\ln u = \sigma \sqrt{3\Delta t}$ 。对这里所考虑的情形, 一个选择 $\ln u$ 的原则是在保证 $\ln H = \ln S_0 + N \ln u$ 条件成立的同时, 确保 $\ln u$ 尽可能接近于 $\sigma \sqrt{3\Delta t}$ , 这意味着
$$ \ln u = \frac{\ln H - \ln S_{0}}{N} $$其中
$$ N = \mathrm{int} \Big [ \frac{\ln H - \ln S_{0}}{\sigma \sqrt{3 \Delta t}} + 0.5 \Big ] $$这里 $\operatorname{int}(x)$ 代表 $x$ 的整数部分。
由此我们可以得出图27-6 所示的树形结构。假定 $p_{u}$ 、 $p_{m}$ 和 $p_{d}$ 代表树的节点上价格上涨、不变、下跌的概率，以下选择可以保证树形结构与股票价格收益的前两阶矩相匹配
$$ p_{d} = - \frac{(r - q - \sigma^{2} / 2) \Delta t}{2 \ln u} + \frac{\sigma^{2} \Delta t}{2 (\ln u) ^{2}}, \quad p_{m} = 1 - \frac{\sigma^{2} \Delta t}{(\ln u) ^{2}}, \quad p_{u} = \frac{(r - q - \sigma^{2} / 2) \Delta t}{2 \ln u} + \frac{\sigma^{2} \Delta t}{2 (\ln u) ^{2}} $$
图27-6 节点落在障碍上的树形
自适用网格模型#
在初始股票的价格与障碍有一定距离时，以上所讨论方法的效果很好。当资产初始价格与障碍水平很接近时，我们可以采用21.4节中提到的自适用网格模型。 $^{①}$ 这一模型的核心思想是
在树形结构上，当资产价格是在计算所需要的关键区域时，树形结构会自行由粗网格变为细网格。
为了给障碍期权定价，当资产价格接近障碍时，我们需要更细致的网格。图27-7说明了该类树形的设计过程。树形的几何形状保证节点落在障碍上，概率的选择会保证标的资产所服从过程的两阶矩被得以匹配。图27-7中的粗线条代表粗网格树形，细线条代表细网格树形。在计算过程中，我们首先以通常的方式在粗网格树形上进行倒推计算，在附加网格上我们采用虚线所示的分叉进行计算，最后在树形上进行倒推计算。
图27-7 用于障碍期权定价的自适用网格模型
27.7 两个相关资产上的期权#
另外一个难以用数字计算来处理的问题是与两个相关变量有关的美式期权定价。为此研究人员提出了许多种解决方法，在这一节里我们将讨论其中的三种。
27.7.1 变量替换#
对两个不相关的变量, 我们可以比较容易地构造代表变量变动的三维树形结构。构造过程如下: 首先我们构造两个分别代表单个变量变动的二维树形, 然后我们将这两个树形结合成一个三维树形。在三维树形中分支所对应的概率等于二维树形概率的乘积。例如, 两个股票价格分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ , 每一个股票价格的变动可由 Cox-Ross-Rubinstein 二叉树来表示。假设 $S_{1}$ 上升比率为 $u_{1}$ 的概率是 $p_{1}, S_{1}$ 下降比率为 $d_{1}$ 的概率是 $1 - p_{1}; S_{2}$ 上升比率为 $u_{2}$ 的概率是 $p_{2}, S_{2}$ 下降比率为 $d_{2}$ 的概率是 $1 - p_{2}$ 。在三维树形上, 每一个节点会产生 4 个价格变化, 相应的概率为 $p_{1} p_{2}: S_{1}$ 上升, $S_{2}$ 上升;
$p_{1}(1-p_{2})$ : $S_{1}$ 上升, $S_{2}$ 下降;
$(1-p_{1})p_{2}$ : $S_{1}$ 下降， $S_{2}$ 上升；
$(1-p_{1})(1-p_{2})$ : $S_{1}$ 下降， $S_{2}$ 下降。
接下来我们考虑 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 相关的情形。假定在风险中性世界里 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 分别服从
$$ \mathrm{d}S_{1} = (r - q_{1}) S_{1} \mathrm{d}t + \sigma_{1} S_{1} \mathrm{d}z_{1} \mathrm{d}S_{2} = (r - q_{2}) S_{2} \mathrm{d}t + \sigma_{2} S_{2} \mathrm{d}z_{2} $$其中维纳过程 $\mathrm{dz}_1$ 和 $\mathrm{dz}_2$ 之间的瞬时相关系数为 $\rho$ 。这意味着
$$ \begin{array}{l} \mathrm{dln} S_{1} = (r - q_{1} - \sigma_{1} ^{2} / 2) \mathrm{d}t + \sigma_{1} \mathrm{d}z_{1} \\ \mathrm{dln} S_{2} = (r - q_{2} - \sigma_{2} ^{2} / 2) \mathrm{d}t + \sigma_{2} \mathrm{d}z_{2} \end{array} $$我们定义两个不无关的变量 $^{①}$
$$ \begin{array}{l} x_{1} = \sigma_{2} \ln S_{1} + \sigma_{1} \ln S_{2} \\ x_{2} = \sigma_{2} \ln S_{1} - \sigma_{1} \ln S_{2} \end{array} $$以上变量服从
$$ \begin{array}{l} \mathrm{d}x_{1} = [ \sigma_{2} (r - q_{1} - \sigma_{1} ^{2} / 2) + \sigma_{1} (r - q_{2} - \sigma_{2} ^{2} / 2) ] \mathrm{d}t + \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{2 (1 + \rho)} \mathrm{d}z_{A} \\ \mathrm{d}x_{2} = [ \sigma_{2} (r - q_{1} - \sigma_{1} ^{2} / 2) - \sigma_{1} (r - q_{2} - \sigma_{2} ^{2} / 2) ] \mathrm{d}t + \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{2 (1 - \rho)} \mathrm{d}z_{B} \end{array} $$其中 $dz_{A}$ 和 $dz_{B}$ 为互不相关的维纳过程。 变量 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 可以分别用两个单独的二叉树来描述。在 $\Delta t$ 时间， $x_{i}$ 增加 $h_{i}$ 的概率为 $p_{i}$ ，减小 $h_{i}$ 的概率为 $1 - p_{i}$ 。变量 $h_{i}$ 和 $p_{i}$ 的选择确保 $x_{i}$ 的前两阶矩被得以匹配。因为变量 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 互不相关，我们可以采用以上描述的方式来产生三维树形。在树形的每个节点上，我们可以采用以下反变换由 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 计算出 $S_{1}$ 和 $S_{2}$
$$ S_{1} = \exp \left[ \frac{x_{1} + x_{2}}{2 \sigma_{2}} \right], S_{2} = \exp \left[ \frac{x_{1} - x_{2}}{2 \sigma_{1}} \right] $$在三维树形上，对于衍生产品价格的倒推计算与二维树形时相似。
27.7.2 采用非长方形的树形结构#
Rubinstein 提出了一种建立两个相关股票价格三维树形的方法。 $^{②}$ 在任何时间点上，树形的节点位置不一定为长方形。由节点 $(S_{1}, S_{2})$ 出发，其中 $S_{1}$ 为第 1 个股票的价格， $S_{2}$ 为第 2 个股票的价格，股票价格有 0.25 的概率变为以下每个值。
$$ \left(S_{1} u_{1}, S_{2} A\right), \left(S_{1} u_{1}, S_{2} B\right), \left(S_{1} d_{1}, S_{2} C\right), \left(S_{1} d_{1}, S_{2} D\right) $$其中
$$ \begin{array}{l} u_{1} = \exp \left[ (r - q_{1} - \sigma_{1} ^{2} / 2) \Delta t + \sigma_{1} \sqrt{\Delta t} \right] \\ d_{1} = \exp \left[ (r - q_{1} - \sigma_{1} ^{2} / 2) \Delta t - \sigma_{1} \sqrt{\Delta t} \right] \end{array} $$以及
$$ \begin{array}{l} A = \exp [ (r - q_{2} - \sigma_{2} ^{2} / 2) \Delta t + \sigma_{2} \sqrt{\Delta t} (\rho + \sqrt{1 - \rho^{2}}) ] \\ B = \exp [ (r - q_{2} - \sigma_{2} ^{2} / 2) \Delta t + \sigma_{2} \sqrt{\Delta t} (\rho - \sqrt{1 - \rho^{2}}) ] \\ C = \exp [ (r - q_{2} - \sigma_{2} ^{2} / 2) \Delta t - \sigma_{2} \sqrt{\Delta t} (\rho - \sqrt{1 - \rho^{2}}) ] \\ D = \exp [ (r - q_{2} - \sigma_{2} ^{2} / 2) \Delta t - \sigma_{2} \sqrt{\Delta t} (\rho + \sqrt{1 - \rho^{2}}) ] \end{array} $$当相关系数为0时，以上构造树形的方法等价于利用21.4节里单独构造 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 树形的方法。
27.7.3 调整概率#
第3种构造关于 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的三维树形的方法如下：首先假定相关系数为0来构造树形结构，然后通过调整概率来反映相关系数。 $^{\ominus}$ 对于单独的 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，我们采用21.4节里的方法构造二叉树，这种方法使得价格上升和下降的概率均为0.5。在没有相关性的前提下，合成二叉树的概率如表27-2所示。对于概率进行调整后，合成二叉树的概率变为了表27-3中的形式。
表 27-2 相关系数为 0 时三维树形的概率
| $S_2$ 变动 | $S_1$ 变动 | |
| 下方 | 上方 | |
| 上方 | 0.25 | 0.25 |
| 下方 | 0.25 | 0.25 |
表 27-3 相关系数为 $\rho$ 时三维树形的概率
| $S_2$ 变动 | $S_1$ 变动 | |
| 下方 | 上方 | |
| 上方 | 0.25 (1 -ρ) | 0.25 (1 +ρ) |
| 下方 | 0.25 (1 +ρ) | 0.25 (1 -ρ) |
27.8 蒙特卡罗模拟与美式期权#
蒙特卡罗模拟法很适合用于对依赖路径期权或与多变量有关的期权定价。树形结构和有限差分法可用于美式期权的定价。如果期权既是美式期权，又依赖路径时会如何？如果一个美式期权与几个随机变量有关将如何处理？在27.5节中，我们讨论了如何改进二叉树算法来考虑与路径有关的若干情形。一些研究人员尝试不同的算法以便将蒙特卡罗法用于美式期权的定价。 $^{②}$ 在这里，我们将讨论两种不同的算法。
27.8.1 最小二乘法#
当对美式期权定价时，我们必须在可以提前行使期权的时间上对继续持有期权或行使期权做出选择。行使期权所得价值通常比较容易决定。包括 Longstaff 和 Schwartz 在内的一些研究人员提出了一种在蒙特卡罗模拟过程中确定继续持有期权所得价值的方法。 $^{③}$ 在必须做出是否提前行使期权决定的时间点上，Longstaff 和 Schwartz 提出了采用最小二乘法来确定继续持有期权的价值与某些有关变量之间的最佳匹配关系。解释这一方法的最好办法是通过例子。我们在这里采用的例子来自于 Longstaff 和 Schwartz 的文章。
考虑一个无股息股票上的3年期美式看跌期权，在第1年年末、第2年年末和第3年年末期权持有人可以行使期权。无风险利率为每年 $6\%$ （连续复利），当前的股票价格为1.00，期权执行价格为1.10。假定我们模拟了8条如表27-4所示的股票价格路径（这只是为了说明问题。在实际中，我们需要做很多次模拟）。如果期权只在第3年年末行使，行使期权所得的资金流等于期权的内涵价值，相应结果显示在表27-5的最后一列。
表 27-4 看跌期权例子的模拟路径
| 路径 | t=0 | t=1 | t=2 | t=3 |
| 1 | 1.00 | 1.09 | 1.08 | 1.34 |
| 2 | 1.00 | 1.16 | 1.26 | 1.54 |
| 3 | 1.00 | 1.22 | 1.07 | 1.03 |
| 4 | 1.00 | 0.93 | 0.97 | 0.92 |
| 5 | 1.00 | 1.11 | 1.56 | 1.52 |
| 6 | 1.00 | 0.76 | 0.77 | 0.90 |
| 7 | 1.00 | 0.92 | 0.84 | 1.01 |
| 8 | 1.00 | 0.88 | 1.22 | 1.34 |
表 27-5 期权只在第 3 年年末被行使时所对应的现金流
| 路径 | t=1 | t=2 | t=3 |
| 1 | 0.00 | 0.00 | 0.00 |
| 2 | 0.00 | 0.00 | 0.00 |
| 3 | 0.00 | 0.00 | 0.07 |
| 4 | 0.00 | 0.00 | 0.18 |
| 5 | 0.00 | 0.00 | 0.00 |
| 6 | 0.00 | 0.00 | 0.20 |
| 7 | 0.00 | 0.00 | 0.09 |
| 8 | 0.00 | 0.00 | 0.00 |
如果期权在第2年年末为实值期权，期权持有者必须决定是否应提前行使期权。由表27-4得出，路径1，3，4，6，7在第2年年末时期权处于实值状态。对于这些路径，我们假定以下近似关系 V = a + b S + c S^{2}
其中 S 为股票在第 2 年时的价格，V 为继续持有期权的价值被贴现到 2 年年末时的值。S 的 5 个观察值为 1.08，1.07，0.97，0.77 和 0.84。由表 27-5 得出相应 V 的价值分别为 0.00， $0.07e^{-0.06 \times 1}$ ， $0.18e^{-0.06 \times 1}$ ， $0.20e^{-0.06 \times 1}$ 和 $0.09e^{-0.06 \times 1}$ 。我们采用这些数据来求使
$$ \sum_{i = 1} ^{5} \left(V_{i} - a - b S_{i} - c S_{i} ^{2}\right) ^{2} $$达到最小的系数 $a$ 、 $b$ 和 $c$ ，其中 $S_{i}$ 和 $V_{i}$ 分别为 $S$ 和 $V$ 的第 $i$ 个观察值。这些系数分别为 $a = -1.070$ ， $b = 2.983$ ， $c = -1.813$ ，因此最佳匹配方程为
$$ V = - 1.070 + 2.983 S - 1.813 S^{2} $$因此，对于路径1、3、4、6、7，在第2年年末继续持有期权的价值为0.0369、0.0461、0.1176、0.1520和0.1565。由表27-4得出行使期权的价值分别为0.02、0.03、0.13、0.33和0.26，这意味着在路径4、6和7上，我们在第2年年末应行使期权。对于这8条路径，表27-6总结了期权或在第3年年末行使，或在第2年年末行使所产生的现金流。
表 27-6 期权只在第 2 年年末或第 3 年年末被行使所对应的现金流
| 路径 | t=1 | t=2 | t=3 | 路径 | t=1 | t=2 | t=3 |
| 1 | 0.00 | 0.00 | 0.00 | 5 | 0.00 | 0.00 | 0.00 |
| 2 | 0.00 | 0.00 | 0.00 | 6 | 0.00 | 0.33 | 0.00 |
| 3 | 0.00 | 0.00 | 0.07 | 7 | 0.00 | 0.26 | 0.00 |
| 4 | 0.00 | 0.13 | 0.00 | 8 | 0.00 | 0.00 | 0.00 |
因此，对于路径1、4、6、7、8，在第1年年末继续持有期权的价值分别为0.0139、0.1092、0.2886、0.1175和0.1533。由表27-4得出，行使期权所的价值分别为0.01、0.17、0.34、0.18和0.22。表27-7总结了期权可在第3年年中的每一年末均可以被行使时所产生的现金流。期权价格等于所有现金流以无风险利率进行贴现后的平均值，即
$$ \frac{1}{8} \left(0.07 \mathrm{e}^{- 0.06 \times 3} + 0.17 \mathrm{e}^{- 0.06 \times 1} + 0.34 \mathrm{e}^{- 0.06 \times 1} + 0.18 \mathrm{e}^{- 0.06 \times 1} + 0.22 \mathrm{e}^{- 0.06 \times 1}\right) = 0.1144 $$因为以上数值大于0.10，因此立即行使期权不是最优。
表 27-7 期权的现金流
| 路径 | t=1 | t=2 | t=3 | 路径 | t=1 | t=2 | t=3 |
| 1 | 0.00 | 0.00 | 0.00 | 5 | 0.00 | 0.00 | 0.00 |
| 2 | 0.00 | 0.00 | 0.00 | 6 | 0.34 | 0.00 | 0.00 |
| 3 | 0.00 | 0.00 | 0.07 | 7 | 0.18 | 0.00 | 0.00 |
| 4 | 0.17 | 0.00 | 0.00 | 8 | 0.22 | 0.00 | 0.00 |
这里介绍的方法可以在多方面加以推广。如果可以在任何时刻行使期权，我们可以通过增加可行使期权时刻次数（类似于二叉树）的方式来估计期权。我们也可以假设 V 和 S 之间的关系式更加复杂，例如，我们可以假设 V 是 S 的立方函数（而不是二次函数）。当提前行使权利与多个变量有关时，我们也可以采用以上的算法进行计算，并假设 V 和变量之间关系具有某种函数形式，其中的参数仍可由最小二乘法来确定。
27.8.2 将行使边界参数化的方法#
有一些研究人员（例如 Andersen）提出了另一种对提前行使边界进行参数化来对美式期权的模拟定价方法。边界确定的方式是由期权的到期日开始向后倒推，并在每一步以迭代的形式选取最佳参数。 $^{①}$ 为了说明这种方法，我们仍采用上面的看跌期权例子，并且仍然假定在表27-4中为模拟而生成的8个路径。这时，提前行使的边界是以S的关键值 $S^{*}(t)$ 来确定的。在时刻t，如果股票价格小于 $S^{*}(t)$ ，期权被提前行使；如果股票价格大于 $S^{*}(t)$ ，期权不会被提前行使。 $S^{*}(3)$ 的值为1.10，即当t=3时，如果股票价格小于1.10，期权被行使；如果股票价格大于1.10，期权不会被行使。我们接下来考虑如何计算 $S^{*}(2)$ 。
假定 $S^{*}(2)$ 的取值小于0.77，期权在任何一条路径上都不会在第2年时被行使。在第2年年末，期权在8条路径下的价值分别为0.00、0.00、 $0.07\mathrm{e}^{-0.06\times 1}$ 、 $0.18\mathrm{e}^{-0.06\times 1}$ 、0.00、 $0.20\mathrm{e}^{-0.06\times 1}$ 、 $0.09\mathrm{e}^{-0.06\times 1}$ 和0.00。平均值为0.0636。接下来，假定 $S^{*}(2)=0.77$ 。这时，在第2年年末，期权在8个路径下的价值分别为0.00、0.00、 $0.07\mathrm{e}^{-0.06\times 1}$ 、 $0.18\mathrm{e}^{-0.06\times 1}$ 、0.00、0.33、 $0.09\mathrm{e}^{-0.06\times 1}$ 和0.00。平均值为0.0813。类似地，当 $S^{*}(2)$ 分别等于0.84、0.97、1.07和1.08时，相应的期权价值分别为0.1032、0.0982、0.0938和0.0963。以上分析说明， $S^{*}(2)$ 的最佳（即使得期权价格的平均值为最大）选择是0.84（更准确地讲， $0.84\leqslant S^{*}(2)<0.97$ ）。当 $S^{*}(2)$ 等于这一最佳选择时，在第2年年末，期权在8个路径下的价值分别为0.00、0.00、0.0659、0.1695、0.00、0.33、0.26和0.00，其平均值为0.1032。
我们接着考虑如何计算 $S^{*}(1)$ 。假定 $S^{*}(1) < 0.76$ ，期权在任何一条路径上都不会在第1年时被行使，期权在第1年年末时的价值为 $0.1032\mathrm{e}^{-0.06\times 1} = 0.0972$ 。假定 $S^{*}(1) = 0.76$ 。这时，在第1年年末，期权在8条路径下的价值分别为0.00、0.00、 $0.0659\mathrm{e}^{-0.06\times 1}$ 、 $0.1695\mathrm{e}^{-0.06\times 1}$ 、0.00、0.34、 $0.26\mathrm{e}^{-0.06\times 1}$ 和0.00，其平均值为0.1008。类似地，当 $S^{*}(1)$ 分别等于0.88、0.92、0.93和1.09时，相应的期权价值分别为0.1283、0.1202、0.1215和0.1228。以上分析说明， $S^{*}(1)$ 的最佳选择是0.88（更准确地讲， $0.88 \leqslant S^{*}(1) < 0.92$ ）。在没有提前行使的情况下，0 时刻的期权价值为 $0.1283e^{-0.06 \times 1} = 0.1208$ ，这一价值大于在 0 时刻立即行使期权的价值 0.10。
在实际中，我们需要进行成千上万次的模拟来确定以上所描述的行使边界。一旦行使边界被确定以后，我们将舍弃为确定行使边界所模拟的路径，并利用所得到的行使边界重新进行新的模拟来对期权定价。我们例子中的美式期权比较简单，因为在任意时刻都可以通过一个股票价格来定义出提前行使边界。在更复杂的情形下，我们必须对如何将边界参数化做一些假设。
27.8.3 价格的上界#
以上讨论的两种方法往往会低估美式期权的价格，这是因为我们提供的提前行使期权边界并非为最优。由于这个原因，Andersen 和 Broadie 提出了一个计算期权上界的方法。 $^{①}$ 与计算期权价格的下界的算法并用，Andersen 和 Broadie 方法可以求出更加精确的期权价格估计值，其精确度要高于仅仅采用计算下界的方法所得出的估计值。
研究人员已经提出了一些能够与现实世界所观察到的波动率微笑相吻合的模型。由常方差弹性模型所得出的波动率微笑与我们在现实中观察到的股票期权波动率微笑较为相似；跳跃-扩散模型所得出的波动率微笑与我们观察到的货币期权波动率微笑较为相似；方差-Gamma模型和随机波动率模型更加灵活，这些模型既可以产生我们观察到的货币期权波动率微笑，也可以产生股票期权的波动率微笑。蕴含波动率函数（IVF）模型比此更加灵活，该模型的设计是用来与欧式期权市场价格的任意形式达到完全匹配。
对依赖路径的期权定价的自然方法是蒙特卡罗模拟法。蒙特卡罗法的缺点是计算速度缓慢，而且难以用于对美式衍生产品的定价。幸运的是，树形结构可以用来对许多类型的依赖路径期权产品定价，其做法是在树形的每一节点上计算一些具有代表意义的数值，并在树形结构中反推计算时，对于每一个路径值计算出相应的衍生产品价格。
我们可以将二叉树进行推广来用于对可转换债券定价。对应于公司违约的情形，我们要在树形结构上引入额外一个分叉。在倒退计算过程中需要考虑债券持有者是否将债券进行转换，以及发行方是否会将债券赎回。
树形结构可用于对多种形式的障碍期权定价。但当树形结构的步数增加时，数值解收敛于精确解的速度比较缓慢。一种改善收敛速度的方法是改变树形的几何结构以保证树形结构的节点落在障碍边界上。另外一种方法是由于所假定的障碍值与期权的障碍值不同，我们可以通过插值的方式来对期权定价。第三种方法是在接近障碍值时，对标的资产的变化值提供更为细致的网格。
对于与两个相关变量有关的期权进行定价时，第1种做法是将相关变量转换为相互无关的变量，然后对每一个经过转换的变量建立树形结构，再产生一个三维树形。在树形结构的每一个节点上，我们通过一个反变换可以求出标的资产的价格。第2种做法是将树上的节点位置做出安排以反映相关性条件。第3种做法是建立没有任何相关性的树形结构，然后再对概率进行调整来反映相关性条件。
蒙特卡罗法对于美式期权的应用并不是十
Figlewski, S., and B. Gao, “The Adaptive Mesh Model: A New Approach to Efficient Option Pricing,” Journal of Financial Economics, 53 (1999): 313–51.
分自然，但我们可以通过两种做法来使得能够将蒙特卡罗法用于对美式期权定价。第一种做法采用最小二乘法将继续持有期权的价值（即不行使期权）与某些有关变量联系起来；第二种做法将提前行使期权的边界进行参数化，参数化的过程是从树形结构的末端开始倒退进行计算。在每一步，行使期权的边界是以迭代的形式计算得出的。
推荐阅读#
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练习题#
27.1 验证 CEV 模型下的期权公式满足看跌 - 看涨期权平价关系式。
27.2 当 $r = 0.05, q = 0, \lambda = 0.3, k = 0.5, \sigma = 0.25, S_0 = 30, K = 30, s = 0.5$ 以及 $T = 1$ 时，默顿混合跳跃-扩散模型的欧式看涨期权价格是什么？利用DerivaGem来验证你的答案。
27.3 验证当跳跃的幅度服从对数正态分布时，由默顿的跳跃－扩散模型得出的期权价格满足看跌－看涨期权平价关系式。
27.4 假定从今天到第6个月的资产波动率为 $20\%$ ，从6个月到12个月的资产波动率为 $22\%$ ，从12个月到24个月的资产波动率为 $24\%$ 。当利用布莱克-斯科尔斯-默顿公式对一个2年期的期权进行定价时，我们应采用什么样的波动率？
27.5 考虑默顿的跳跃－扩散模型，其中每次跳跃都将使资产价格变为0。假定每一年的平均跳跃次数为 $\lambda$ 。证明欧式看涨期权的价格等价于在无跳跃时的看涨期权价格，只是无风险利率为 $r + \lambda$ （而不是 $r$ ）。存在跳跃的可能会使得期权的价格增加还是减小？（提示：在无跳跃、一个跳跃、多跳跃的情况分别对期权进行定价，在时间 $T$ 内，资产价格无跳跃的概率为 $\mathrm{e}^{-\lambda T}$ 。）
27.6 在0时刻，一个无股息股票的价格为 $S_{0}$ ，假设我们将0到T的时间区间分为两个部分，时间长度分别为 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 。在第1个时间区间内，无风险利率和波动率分别为 $r_{1}$ 和 $\sigma_{1}$ ；在第2个时间区间内，无风险利率和波动率分别为 $r_{2}$ 和 $\sigma_{2}$ 。假定世界为风险中性。
(a) 利用第 15 章里的结果来确定股票价格在时刻 T 的分布，并将最终结果以 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $\sigma_{1}$ 、 $\sigma_{2}$ 、 $t_{1}$ 、 $t_{2}$ 和 $S_{0}$ 来表达。
(b) 假定 $\bar{r}$ 为0时刻与 $T$ 时刻之间的平均利率， $\overline{V}$ 为0时刻与 $T$ 时刻之间的平均方差率。股票价格在时刻 $T$ 的分布是什么？将最终结果以 $\bar{r}$ 、 $\bar{V}$ 、T 和 $S_{0}$ 来表达。
(c) 当共有3个时间段、3个不同的利率和3个不同的波动率时，(a) 和 (b) 的结果会如何改变？
(d) 证明当无风险利率 $r$ 和波动率 $\sigma$ 分别为时间的已知函数时，在风险中性世界里，股票价格在 $T$ 时刻的概率分布满足
$$ \ln S_{T} \sim \phi \left[ \ln S_{0} + \left(\bar{r} - \frac{\bar{V}}{2}\right) T, V T \right] $$其中 $\bar{r}$ 为 r 的均值， $\bar{V}$ 为 $\sigma^{2}$ 的均值， $S_{0}$ 为股票的当前价格， $\phi(m,v)$ 为具有均值 m 和方差 v 的正态分布。
27.7 假定资产价格服从由式（27-2）和式（27-3）所定义的随机过程，说明模拟这一随机波动率模型中资产价格路径的方程。
27.8 “IVF 模型并不一定能正确地描述了波动率曲面变化。”解释这一论点。
27.9 “当利率为常数时，IVF模型正确地给出了收益只与某单一时刻的资产价格有关的衍生产品价格。”解释这一论点。
27.10 采用一个3步二叉树来对一个美式回望货币期权进行定价，当前汇率为1.6，国内无风险利率为每年 $5\%$ ，外币的无风险利率为每年 $8\%$ ，汇率波动率为 $15\%$ ，期限为18个月。在计算中，采用27.5节中给出的算法。
27.11 当参数 $v$ 趋于0时，方差-Gamma模型会如何变化？
27.12 采用一个3步二叉树来对一个美式看跌期权定价，期权标的变量为无股息股票价格的几何平均值，股票当前价格为40美元，执行价格为40美元，无风险利率为每年 $10\%$ ，股票价格波动率为每年 $35\%$ ，期限为3个月。几何平均值的计算由今天开始直到期权的到期日。
27.13 在 27.5 节中所描述的对于依赖路径期权定价的方法是否可用于对以下 2 年期的美式期权定价？期权的收益为 $\max(S_{\mathrm{ave}}-K,0)$ ，其中 $S_{ave}$ 为在期权被行使前3个月的资产平均价格。解释你的答案。
27.14 验证图27-4 中的数字 6.492 是正确的。
27.15 检查 27.8 节例子中所考虑的 8 条路径。最小二乘法和边界参数化所得出的提前行使策略有什么不同？对于给定的路径样本，哪个给出的期权价格会更高？
27.16 考虑一个无股息股票上的欧式看跌期权，股票当前价格为100美元，执行价格为110美元，无风险利率为每年 $5\%$ ，期限为1年。假定在期权期限内平均方差率等于0.06的概率为0.20、等于0.09的概率为0.50、等于0.12的概率为0.30。波动率与股票价格相互无关。
作业题#
27.19 一个股指上新的欧式浮动回望看涨期权的期限为9个月。股指的当前水平为400，无风险利率为每年 $6\%$ ，股息收益率为每年 $4\%$ ，股指波动率为 $20\%$ 。采用第27.5中的算法来对这一期权定价，将你的结果与DerivaGem软件的解析公式所给结果进行比较。
27.20 假定表 19-2 给出了对于 6 个月货币期权定价的波动率。假定本国与外国无风险利率均为每年 5%，当前汇率为 1.00。考虑由一个期限为 6 个月、执行价格为 1.05 的欧式看涨期权长头寸和一个期限为 6 个月、执行价格为 1.10 的欧式看涨期权短头寸所组成的牛市价差。
(a) 牛市价差的价值为多少?
(b) 对于两个期权，使用什么样的单一波动率可以保证牛市价差价格的正确性？（在计算中，将 DerivaGem 应用工具与 Excel 计算表的 Goal Seek 或 Solver 结合使用）
(c) 你的结果是否验证了在本章开始时提到过的特种期权定价所采用的波动率可能会与直觉不一致这一估计期权的价格。在计算中使用 Deriva-Gem 软件。
27.17 当我们有两个障碍时，如何设计树形以保证节点落在两个障碍边界上？
27.18 考虑一个18个月期限的某公司零息债券，面值为100美元。在18个月内，债券持有者随时可将债券转换为5股公司的股票。假定股票的当前价格为20美元，股票不支付股息，对于所有期限的无风险利率均为每年 $6\%$ （连续复利），股票价格的波动率为每年 $25\%$ 。假定违约密度为每年 $3\%$ ，债券回收率为 $35\%$ ，债券发行方可以以110美元的价格将债券赎回。利用一个3步树形计算债券的价格，转换期权的价值为多少（剔除发行方的看涨期权）？
观点？
(d) IVF 模型是否会给出牛市价差的正确价格？
27.21 假定执行价格为 1.13，重复 27.8 节里对于看跌期权的分析。在分析中，采用最小二乘法和将期权行使边界参数化方法。
27.22 在无股息股票上一个欧式期权的期限为6个月，执行价格为100美元。目前的股票价格是100美元，无风险利率为 $5\%$ 。利用DerivaGem来回答以下问题：（a）当波动率为 $30\%$ 时，期权的布莱(a) 当波动率为 $30\%$ 时，期权的布莱克-斯科尔斯-默顿价格是多少？
(b) 在 CEV 模型中 $\alpha = 0.5$ 。什么样的 CEV 波动率参数会给出与（a）中结果相同的价格？
(c) 在默顿混合跳跃 - 扩散模型中，跳跃的平均频率是每年一次，平均跳跃幅度是 $2\%$ ，1加上百分比跳跃幅度的对数的标准差为 $20\%$ 。当价格过程的扩散部分波动率是多少时，这个模型可以给出与（a）中相同的价格？
(d) 在方差 - Gamma 模型中， $\theta = 0$ 和 $\nu = 40\%$ 。当波动率为多少时模型给出的价格与（a）中相同？
(e) 对 (b)、(c) 和 (d) 中的模型，通过考虑介于 80~120 执行价格的欧式看涨期权，计算波动率微笑。描述由波动率微笑所蕴含概率分布的特征。
27.23 一个由 ABC 公司发行的 3 年期可转换债券的面值为 100 美元。债券在每年末支付券息 5 美元，在第 1 年和第 2 年年末可以转换为 ABC 公司的股票。在第 1 年年末，在券息发放后，这一债券可以转换成 3.6 只股票；在第 2 年年末，在券息发放后，这一债券可以转换成 3.5 只股票。股票的当前价格为 25 美元，股票波动率为 25%，股票不支付股息。无风险利率为每年 5%（连续复利）。由 ABC 发行的债券的收益率为 7%（连续复利），回收率为 30%，
(a) 利用 3 步树来计算债券的价值。
(b) 转换期权的价值为多少?
(c) 如果债券在前 2 年内任何时刻都可以按 115 美元的价格赎回，这一赎回期权将如何改变债券和转换期权的价值？
(d) 假设股票在第6个月、第18个月、第30个月将支付1美元的股息，这将如何改变你的分析过程？在分析中不需要给出详细的计算结果。
(提示：利用式（24-2）来估计平均违约密度。)
到现在为止，在对期权定价时，我们总是假设利率为常数。为了对从第29~33章中将要讨论的利率衍生产品定价做准备，我们在本章中将放松这个假设。
风险中性定价原理表明, 一个衍生产品的价值可以通过以下方式来确定: (a) 假设标的资产的预期收益率等于无风险利率, 并由此计算衍生产品收益的期望值; (b) 对得到的收益期望值以无风险利率进行贴现。当无风险利率是常数时, 风险中性定价提供了一个明确、毫不含糊的工具。但当利率是随机时, 这个方法的意思并不是很清楚。标的资产的预期收益率等于无风险利率是什么意思? 是指 (a) 每天的收益率期望值是无风险利率, 或 (b) 每年的收益率期望值是 1 年期的无风险利率, 或 (c) 在 5 年时间的开始时所期望的收益率是 5 年利率? 对收益的期望值用无风险利率进行贴现又指什么? 比如, 我们能对预计在 5 年后所实现的收益用今天的 5 年无风险利率进行贴现吗?
在这一章里，我们将解释当无风险利率为随机时风险中性定价的理论基础，并且说明在任何情形下都可以假定许多不同的风险中性世界。我们首先定义一个叫作风险市场价格（market price of risk）的参数，然后证明在一个很短的时间区间里衍生产品的收益率高于无风险利率的部分与标的随机变量的风险市场价格之间有一个线性关系。我们把风险市场价格是零的情形称为传统风险中性世界（traditional risk-neutral world）。我们将会发现在某些情况下，一些其他关于风险市场价格的假设也是很有用处的。
要想完全理解风险中性定价，鞅（martingale）与测度（measure）是很关键的概念。一个鞅是没有漂移项的随机过程，而一个测度是我们表示证券价格的一种单位。本章的关键结果是等价鞅测度（equivalent martingale measure）。它表明如果我们用可交易的证券价格作为衡量单位，那么将存在一个风险市场价格使得所有的证券价格都是鞅。
在本章中，我们将看到等价鞅测度的许多用处。我们将利用它来推广布莱克模型（见18.8节），并由此对利率是随机情况下的股票期权定价，也对资产替换期权定价。在第29章里，将利用这些结果去理解利率衍生产品定价的标准市场模型。我们在第30章里对一些非标准衍生产品进行定价，而这些结果将会帮助我们在第32章中建立LIBOR市场模型。