第17章股指期权#

有若干家交易所交易股指期权。这些股指中有的反映市场的整体走向，而其他一些是基于某个行业的行情（例如，计算机技术、原油与天然气、交通或电信等行业）。芝加哥期权交易所（CBOE）交易的股指期权包括标普100指数上的美式与欧式期权（OEX与XEO），标普500指数上的欧式期权（SPX），道琼斯工业平均指数上的欧式期权（DJX）以及纳斯达克100指数上的欧式期权（NDX）。在第10章里我们曾提到过芝加哥期权交易所交易个体股票上的LEAPS与灵活期权，该交易所也提供关于股指上的这些期权交易。

每份股指期权合约的标的资产为指数值的100倍（注意，用于道琼斯指数上期权的股指为道琼斯指数报价的0.01倍）。股指期权是以现金形式结算。这意味着在期权被行使时，看涨期权持有者收入的现金金额为 $(S-K)\times100$ ，而期权承约者则需要支付这个数量的现金，这里的S为期权行使日休市时的指数值，K为执行价格。看跌期权持有者在行使时收入现金金额为 $(K-S)\times100$ ，而期权承约人则需要支付这个数量的现金。

证券组合保险#

证券组合管理人可以利用股指期权来控制价格下滑的风险。假定今天的股指值为 $S$ ，考虑某个风险分散程度很好的证券组合管理人，假设其组合的 $\beta$ 系数为 1.0。这意味着该组合的收益与股指的收益互相对应。假定投资组合的股息收益率与股指的股息收益率相同, 这样我们认为投资组合价值的百分比变化大约等于股指值百分比的变化。由于每份期权合约的标的资产为指数值的 100 倍, 如果对于证券组合中的每 $100S_{0}$ 美元资产买入 1 份执行价格为 $K$ 的看跌期权, 那么组合管理人就可以使证券组合价值在股指低于 $K$ 时得到保护。假定证券组合的价值为 500000 美元, 而股指的取值为 1000 。这时, 组合的价值等于 500 乘上指数值, 所以证券组合管理人买进 5 份 3 个月期限、执行价格为 900 的看跌期权就可以得到在 3 个月后证券组合价值不会低于 450000 美元的保险。

为了说明这一保险的运作过程，我们假定在3个月后股指下跌到了880。这时证券组合的价值大约为440000美元。期权的收益为 $5 \times (900 - 880) = 10000$ 美元，这就将证券组合的总价值提到了所保的450000美元。

如果证券组合的 $\beta$ 不等于 1.0, 那么对于证券组合中每 $100S_{0}$ 美元的价值, 我们必须买入 $\beta$ 数量的看跌期权, 这里 $S_{0}$ 为股指的当前值。假定我们刚才所讨论的价值为 500000 美元证券组合的 $\beta$ 为 2.0, 而不是 1.0, 我们仍假设股指取值为 1000, 这时需要买入的看跌期权数量为

17.1.2 当证券组合 $\beta$ 不等于 1.0 时#

$$ 2.0 \times \frac{500000}{1000 \times 100} = 10 $$

而不是前面计算的数量5。

为了确定合适的执行价格，我们可以采用资本资产定价模型（见第3章附录）。假定无风险利率为 $12\%$ ，证券组合与股指的股息收益率均为 $4\%$ ，我们买入保险的目的是为了使得在3个月后证券组合的价值不低于450000美元。由资本资产定价模型得出，证券组合超出无风险利率之上的额外收益等于 $\beta$ 乘以股指组合超出无风险利率之上的额外收益。这个模型使得我们能够由股指在3个月后的不同取值来计算组合价值的期望值。表17-1给出了股指取值为1040的情形。这时，证券组合价值在3个月后的期望值为530000美元。当股指为其他值时，我们也可以进行类似的计算来得出组合的期望值。表17-2给出了计算结果。买入期权的执行价格应等于证券组合被保护的目标价值所对应的股指取值。这样证券组合的保护价值为450000美元，买入的10份看跌期权的执行价格为960。

表 17-1 计算在 3 个月后股指为 1040 时证券组合的期望值 $\left( {\beta = {2.0}}\right)$

3个月后股指	1040
由股指变化所得收益	40/1000=4%(每3个月)
股指股息	0.25×4=1%(每3个月)
股指的整体收益	4+1=5%(每3个月)
无风险利率	0.25×12=3%(每3个月)
股指超出无风险利率的额外收益期望值	5-3=2%(每3个月)
证券组合超出无风险利率的额外收益期望值	2×2=4%(每3个月)
证券组合的收益期望值	3+4=7%(每3个月)
证券组合股息	0.25×4=1%(每3个月)
证券组合增值的期望	7-1=6%(每3个月)
证券组合价值的期望值	500000×1.06=530000美元

表 17-2 证券组合价值在 $\beta$ 等于 2.0 时与股指价值的关系

3个月后股指	3个月后证券组合价值(美元)	3个月后股指	3个月后证券组合价值(美元)
1080	570000	960	450000
1040	530000	920	410000
1000	490000	880	370000

为了说明保险的作用，假定股指在3个月后下跌到880，如表17-2所示，证券组合价值大约为370000美元，看跌期权的收益为 $(960-880)\times10\times100=80\ 000$ 美元，这一数量刚好是证券组合管理人将投资组合价值由370000美元提到450000美元所需要的资金数量。

以上例子说明了当 $\beta$ 增大时, 对冲的成本也会增大的两个理由: 所需的看跌期权数量增加, 同时期权的执行价格也会增大。

17.2 货币期权#

货币期权主要在场外市场上交易，该市场的优点是交易者可以进行大额交易，并且该市场可以对产品的执行价格、到期日以及其他特征进行特殊设计来满足公司资金部的需要。虽然美国纳斯达克 OMX 也进行货币期权交易，但对于这类期权，交易所交易市场的规模远小于场外市场。

一个欧式看涨期权的例子如下：期权持有人有权以汇率 1.3000 的价格买入 100 万欧元（即 1 欧元兑换 1.3 美元）。假设在期权到期时实际汇率为 1.3500，期权收益为 1000000 × (1.3500 - 1.3000) = 50000 美元。与此相似，一个欧式看跌期权的例子是给期权持有者以汇率 0.9000 的价格卖出 1000 万澳元（即 1 澳元兑换 0.9000 美元）的权利。假如在期权到期时实际汇率为 0.8700，期权收益为 10000000 × (0.9000 - 0.8700) = 300000 美元。

一家希望对冲外汇头寸风险的公司可以用外汇期权替代外汇远期合约。在未来某一确定时间会收到英镑的公司可以买入在同一时间到期的英镑看跌期权来对冲风险，这种对冲策略将保证英镑汇率不低于执行价格，而且同时允许公司从有利的汇率变动中获利。与此类似，在未来某确定时间将支付英镑的公司可以买入在同一时刻到期的英镑看涨期权来对冲风险。这时期权会保证购买英镑的费用不高于某一水平，而且同时允许公司从有利的汇率变动中获利。远期合约锁定了将来某笔外汇交易中的汇率，而期权则提供了一种保险。这种保险并不是没有代价的，签订远期合约时无须付费，但获得期权时则需要付出一定的费用。

范围远期合约#

范围远期合约（range-forward contract）是标准远期合约的变形，这一合约可用于对冲外汇风险。考虑某家美国公司，该公司得知在3个月后将接受100万英镑。假定3个月期的远期汇率为每英镑1.5200美元。这家公司可以签订在3个月后卖出100万英镑的远期合约空头来锁定汇率。这样做的结果是确定在3个月后公司付出100万英镑的同时将收入152万美元。

另一种做法是买入执行价格为 $K_{1}$ 的欧式看跌期权, 同时卖出执行价格为 $K_{2}$ 的欧式看涨期权, 其中 $K_{1} < 1.5200 < K_{2}$ 。这种策略称为范围远期 (range forward) 合约的空头, 其收益显示在图17-1a 中, 该交易策略的两个期权都是针对于 100 万英镑。在 3 个月后, 如果汇率低于 $K_{1}$ , 这时看跌期权将被行使, 因此公司能够以 $K_{1}$ 的价格卖出 100 万英镑。当汇率介于 $K_{1}$ 与 $K_{2}$ 之间时,两个期权均不会被行使, 公司以市场汇率价格卖出英镑。如果汇率高于 $K_{2}$ , 这时看涨期权将被行使, 造成公司以汇率 $K_{2}$ 卖出 100 万英镑。图17-2 显示了 100 万英镑外汇交易所实现的汇率。

图17-1 两种情况下的收益

图17-2 以下两种不同策略所对应的汇率（a）用范围远期空头来对冲将来收入的外汇现金流（b）采用范围远期多头对冲将来支出的外汇现金流

如果该公司知道 3 个月后将支出而不是收进 100 万英镑，这时公司可以卖出执行价格为 $K_{1}$ 的欧式看跌期权并同时买入一个执行价格为 $K_{2}$ 的欧式看涨期权。这种策略被称为范围远期合约的多头，其收益显示在图17-1b 中。如果在 3 个月后汇率低于 $K_{1}$ ，看跌期权将被行使，公司以汇率 $K_{1}$ 买入 100 万英镑。如果汇率介于 $K_{1}$ 与 $K_{2}$ 之间，两个期权均不会行使，公司能够以市场汇率买入 100 万英镑。如果汇率高于 $K_{2}$ ，看涨期权将被行使，公司能够以 $K_{2}$ 的汇率买入 100 万英镑。买入 100 万英镑所付汇率与前面收入 100 英镑的汇率相同（见图17-2）。

在实际中，构造范围远期时往往会使看跌期权价格等于看涨期权价格，从而范围远期合约的成本为0，这与设立普通远期合约的成本为0相似。假定美国与英国的利率均为5%，外汇即期汇率为1.5200（与远期汇率相同）。进一步假设汇率波动率为14%。我们可以利用DerivaGem来说明执行价格为1.5000（即卖出1英镑的价格为1.5000美元）的欧式看跌期权与执行价格为1.5413（以即1.5413美元买入1英镑）看涨期权的价格相同（均为0.03250）。因此，令 $K_{1}=1.5000$ ， $K_{2}=1.5413$ ，这样我们例子中的合约成本将为0。

当一个范围远期合约中看涨与看跌期权的执行价格越来越近时，范围远期合约会成为一个普通远期合约。一个范围远期合约的空头会变为远期合约的空头，而一个范围远期合约的多头会变成远期合约的多头。

17.3 支付已知股息率的股票期权#

在这一节里我们会建立一个简单规则，利用这一规则我们可以将无股息股票上欧式期权公式的结果推广到支付已知股息率的股票期权，然后我们将说明如何利用这些结果来推导关于股指与货币期权的定价公式。

股息会使得股票价格在除息日的价格下跌幅度等于股息量。股息收益率 q 会使得股票价格增长幅度比无股息的同样股票价格增长幅度减少 q 。如果支付股息收益率 q ，股票价格从 $S_{0}$ 增长到 T 时刻的价格 $S_{T}$ ，那么在没有股息的情况下，该股票将从今天的价格 $S_{0}$ 增长到 T 时刻的 $S_{T}e^{qT}$ 。换句话说，股票价格会从今天的 $S_{0}e^{-qT}$ 增长到 T 时刻的价格 $S_{T}$ 。

这一分析说明，在以下两种情形下股票价格在时间 T 会有相同的概率分布：

股票起始价格为 $S_{0}$ ，该股票支付股息收益率 q；
股票起始价格为 $S_{0}e^{-qT}$ ，该股票无任何股息。

这样我们可以得出一个简单规则：当我们对于期限为 T 而且支付股息收益率为 q 的股票上欧式期权进行定价时，我们可以将今天的股票价格由 $S_{0}$ 降至 $S_{0}e^{-qT}$ ，然后我们可以将期权按无股息的股票期权来处理。 $^{①}$

17.3.1 期权价格的下限#

作为以上规则的第1个应用, 我们考虑如何确定一个股息收益率为 $q$ 的股票上欧式看涨期权的下限。当不等式 (11-4) 中的 $S_{0}$ 用 $S_{0} \mathrm{e}^{-q T}$ 来代替时, 我们得出一个欧式看涨期权价格 $c$ 的下限

$$ c \geqslant \max (S_{0} \mathrm{e}^{- q T} - K \mathrm{e}^{- r T}, 0)\tag{17-1} $$

我们也可以通过考虑以下两个证券组合来直接证明这一点：

组合 A: 一个欧式看涨期权加上数量为 $K e^{-r T}$ 的现金;

组合 B: $e^{-qT}$ 只股票，其中股息被再投资于股票。

为了取得欧式看跌期权的下限，我们可以类似地将式（11-5）中的 $S_{0}$ 用 $S_{0} \mathrm{e}^{-q T}$ 代替而得出

$$ p \geqslant \max (K e^{- r T} - S_{0} e^{- q T}, 0)\tag{17-2} $$

这一结果也可以通过考虑以下两个证券组合来直接得出：

组合 C: 一个欧式看跌期权加上 $\mathrm{e}^{-qT}$ 只股票, 其中股息又被投资于股票中;

组合 D: 数量为 $Ke^{-rT}$ 的现金。

17.3.2 看跌-看涨期权平价关系式#

将式（11-6）中的 $S_{0}$ 由 $S_{0} \mathrm{e}^{-q T}$ 代替，我们可以得出一个股息收益率为 $q$ 的股票期权看跌-看涨期权平价关系式

$$ c + K \mathrm{e}^{- r T} = p + S_{0} \mathrm{e}^{- q T}\tag{17-3} $$

这一结果也可以通过考虑以下两个证券组合来直接证明：

组合 A: 一个欧式看涨期权加上数量为 $K e^{- r T}$ 的现金;

组合 C: 一个欧式看跌期权加上 $\mathrm{e}^{-qT}$ 只股票, 其中股息又被投资于该股票中。

以上两个投资组合在时间 $T$ 的价值均为 $\max(S_T, K)$ ，因此它们今天的价格必须相同，由此我们可得出由式（17-3）所表达的看跌-看涨期权平价关系式。对于美式期权，看跌-看涨关系式如下（见练习题17.12）

$$ S_{0} \mathrm{e}^{- q T} - K \leqslant C - P \leqslant S_{0} - K \mathrm{e}^{- r T} $$

17.3.3 定价公式#

将式（15-20）和式（15-21）中的 $S_{0}$ 由 $S_{0} \mathrm{e}^{-q T}$ 代替，我们可以得出股息收益率为 $q$ 的股票上欧式看涨期权价格 $c$ 与欧式看跌期权价格 $p$

$$ c = S_{0} \mathrm{e}^{- q T} N(d_{1}) - K \mathrm{e}^{- r T} N(d_{2})\tag{17-4} $$$$ p = K \mathrm{e}^{- r T} N(- d_{2}) - S_{0} \mathrm{e}^{- q T} N(- d_{1})\tag{17-5} $$

因为

$$ \ln \frac{S_{0} \mathrm{e}^{- q T}}{K} = \ln \frac{S_{0}}{K} - q T $$

所以 $d_{1}$ ， $d_{2}$ 分别由以下公式给出

$$ \begin{array}{r l} d_{1} & = \frac{\ln (S_{0} / K) + (r - q + \sigma^{2} / 2) T}{\sigma \sqrt{T}} \\ d_{2} & = \frac{\ln (S_{0} / K) + (r - q - \sigma^{2} / 2) T}{\sigma \sqrt{T}} = d_{1} - \sigma \sqrt{T} \end{array} $$

这些结果最早是由默顿给出的。 $^{①}$ 如在第15章讨论的那样，为了定价的目的，这里的股息应被定义成在除息日由于所宣布支付票息而引起股票价格下跌的数量。如果在期权有效期内股息收益率为已知，但并不是常数，式（17-4）和式（17-5）仍然成立。这时公式中的q等于期权期限内股息的平均年收益率。

17.3.4 微分方程和风险中性定价#

通过求解期权价格所满足的微分方程或者利用风险中性定价公式，我们更正式地证明式（17-4）和式（17-5）。

当我们在 15.6 节的分析里包括股息收益率 q 时，微分方程式（15-16）变为 $^{②}$

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + (r - q) S \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^{2} S^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial S^{2}} = r f\tag{17-6} $$

与式（15-16）相似，这个方程中也不含有任何关于风险偏好的变量。因此，我们可以采用在15.7节中所描述的风险中性定价方法。

在风险中性世界里，股票的整体收益率一定等于 $r$ 。因为股息收益率为 $q$ ，所以股票的预期增长率等于 $r - q$ 。因此，股票价格服从以下风险中性随机过程

$$ \mathrm{d}S = (r - q) S \mathrm{d}t + \sigma S \mathrm{d}z\tag{17-7} $$

为了给出关于股息收益率为 $q$ 的股票上期权的等价公式, 我们可以将股票的增长率期望设成 $r - q$ , 然后以贴现率 $r$ 对收益期望贴现。当股票的增长率期望为 $r - q$ 时, 股票在 $T$ 时刻价值的期望值为 $S_{0} \mathrm{e}^{(r - q) T}$ 。利用与第 15 章附录中类似的分析, 我们可以得出看涨期权收益在风险中性世界里的期望值为

$$ \mathrm{e}^{(r - q) T} S_{0} N(d_{1}) - K N(d_{2}) $$

其中 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 由上面表达式给出，以利率 r 进行贴现后我们可以得到式（17-4）。

17.4 欧式股指期权的定价#

在第5章里对股指期货定价时，我们曾假设可以将股指看作支付已知股息收益率的股票。在对股指期权定价时，我们也可以采用类似的假设。这意味着不等式式（17-1）与式（17-2）提供了关于欧式股指期权的下限；式（17-3）是关于欧式股指期权的看跌－看涨期权平价关系式；式（17-4）和式（17-5）可用来对欧式股指期权定价；二叉树可以用来对美式期权定价。在所有情形下， $S_{0}$ 等于当前股指价格， $\sigma$ 为股指的波动率， $q$ 为期权有效期内股息的平均年收益率。

例题例17-1

考虑一个标普 500 指数上的欧式看涨期权，期权期限为 2 个月，股指的当前值为 930，执行价格为 900，无风险利率为每年 8%，波动率为每年 20%。在第 1 个月与第 2 个月内预计股指将分别支付收益率为 0.2% 和 0.3% 的股息。这时 $S_0 = 930$ ， $K = 900$ ， $r = 0.08$ ， $\sigma = 0.2$ ， $T = 2/12$ 。在期权期限内的总股息率为 0.2% + 0.3% = 0.5%，所对应的年股息率为 6 × 0.5% = 3%，因此 $q = 0.03$ 和

$$ d_{1} = \frac{\ln (930 / 900) + (0.08 - 0.03 + 0.2^{2} / 2) \times 2 / 12}{0.2 \sqrt{2 / 12}} = 0.5444 $$$$ d_{2} = \frac{\ln (930 / 900) + (0.08 - 0.03 - 0.2^{2} / 2) \times 2 / 12}{0.2 \sqrt{2 / 12}} = 0.4628 $$$$ N(d_{1}) = 0.7069 N(d_{2}) = 0.6782 $$

因此由式（17-4）给出的看涨期权价格 $c$ 为

$$ c = 930 \times 0.7069 \mathrm{e}^{- 0.03 \times 2 / 12} - 900 \times 0.6782 \mathrm{e}^{- 0.08 \times 2 / 12} = 51.83 $$

1 份合约的价值为 5183 美元。

在计算 $q$ 时, 我们应该只考虑除息日在期权有效期内的股息。在美国, 股票除息日往往是在 2 月份、5 月份、8 月份和 11 月份的第 1 周, 因此在任意给定时刻, $q$ 往往会同期权的期限有关。对于其他国家的股票指数, 情况更是如此。例如, 日本所有公司往往都采用同一个除息日。

如果我们假设股指中所含股息的绝对数量（而不是连续收益率）是已知的，我们可以采用标准布莱克－斯科尔斯－默顿公式，这时只需在初始股票价格中除去股息的贴现值。在第15章里对提供已知股息的股票期权定价时，我们曾推荐了这一方法，但这一方法可能很难适用于一个包含许多股票的股指，这是因为在计算过程中我们将会需要股指所含股票的所有股息信息。

有时人们会认为从长远来讲，一个股票组合的收益肯定会好过一个具有同样初始价值的债券组合收益。如果真是这样的话，那么一个有权将股指卖出价等于债券组合价格的长期限看跌期权会非常便宜。但事实上，就像业界事例17-1指出的那样，这种看跌期权的价格却非常昂贵。

业界事例 17-1 我们是否可以保证从长远来讲股票收益一定优于债券的收益

人们常说，长线投资者应该购买股票而不是债券。考虑某个美国基金经理，他试图说服那些作为长线投资的人应当购买一个模拟标普500指数的股票基金。该投资经理可能向投资者保证其基金在今后10年内的收益至少要好过无风险债券的收益率。由历史数据来看，在美国几乎在每个10年时间段内股票收益都要好过债券收益。似乎看来基金经理的承诺不太值钱。

事实上，这种承诺会是惊人的昂贵。假定股指今天的值为1000，股息收益率为每年 $1\%$ ，股指波动率为 $15\%$ ，10年的无风险利率为每年 $5\%$ 。要想比债券投资绩效好的话，股指每年的收益要高于 5%。因为股息收益率为 1%，因此资本收益增长率至少为 4%，这意味着 10 年后的股指水平至少为 $1\ 000e^{0.04 \times 10} = 1\ 492$ 。

基金经理在这里对标普500上的1000美元投资进行保证，保证投资的收益高于债券收益，该基金经理的保证等于一个10年期限执行价格为1492的看跌期权。这一看跌期权可由式（17-5）来定价：在计算中输入的参数为 $S_{0}=1000$ ，K=1492，r=5%， $\sigma=15\%$ ，T=10，q=1%，看跌期权价格为169.7。这说明基金经理所做出的承诺等于股指基金价格的17%，这种承诺显然是不能随便免费给出的。

17.4.1 远期价格#

定义 $F_{0}$ 为股指在时间 $T$ 到期的远期价格。如式（5-3）所示， $F_{0} = S_{0} \mathrm{e}^{(r - q) T}$ 。这意味着式（17-4）和式（17-5）中的欧式看涨期权价格 $c$ 和欧式看跌期权价格 $p$ 为

$$ c = F_{0} \mathrm{e}^{- r T} N(d_{1}) - K \mathrm{e}^{- r T} N(d_{2})\tag{17-8} p = K \mathrm{e}^{- r T} N(- d_{2}) - F_{0} \mathrm{e}^{- r T} N(- d_{1})\tag{17-9} $$

其中

$$ d_{1} = \frac{\ln (F_{0} / K) + \sigma^{2} T / 2}{\sigma \sqrt{T}}, d_{2} = \frac{\ln (F_{0} / K) - \sigma^{2} T / 2}{\sigma \sqrt{T}} $$

看跌-看涨期权平价关系式式（17-3）变为

$$ c + K \mathrm{e}^{- r T} = p + F_{0} \mathrm{e}^{- r T} $$

或

$$ F_{0} = K + (c - p) \mathrm{e}^{r T}\tag{17-10} $$

对于某一特定期限，如果具有同样执行价格的看涨和看跌期权交易很活跃的话（在交易所市场上这一现象并非罕见），我们可以采用这个关系式来估计对应于这一期限的股指远期价格。一旦取得了对于一系列期限的远期价格后，我们可以估计远期价格的期限结构，对于其他的期权，我们可以采用式（17-8）和式（17-9）来进行定价。以上做法的优点是在定价过程中我们不需要明确估计股指的股息收益率。

17.4.2 隐含股息收益率#

如果需要估计股息收益率（例如，对美式期权进行定价时），我们可以利用具有等同执行价格与等同期限的看涨期权和看跌期权来进行计算，由式（17-3）得出

$$ q = - \frac{1}{T} \ln \frac{c - p + K e^{- r T}}{S_{0}} $$

对于一个特定的执行价格和期限，由以上表达式估计的 $q$ 不一定可靠，但如果将许多配对的看涨和看跌期权汇集到一起，我们将可以得出一个有关市场上对于其股息收益率结构所做假设的清晰图像。

17.5 欧式货币期权的定价#

为了对货币期权进行定价, 我们定义 $S_{0}$ 为即期汇率。精确地讲, $S_{0}$ 为一个单位的外币所对应的美元数量。在 5.10 节中我们曾讲过, 外币与支付股息收益率的股票相似, 外币持有者收入的股息收益率等于外币无风险利率 $r_{f}$ (以外币计)。将不等式式 (17-1) 和式 (17-2) 中的 $q$ 由 $r_{f}$ 替代, 我们得出欧式看涨期权 $c$ 和欧式看跌期权 $q$ 的下限

$$ \begin{array}{l} c \geqslant \max (S_{0} \mathrm{e}^{- r_{j} T} - K \mathrm{e}^{- r T}, 0) \\ p \geqslant \max (K \mathrm{e}^{- r T} - S_{0} \mathrm{e}^{- r_{j} T}, 0) \end{array} $$

将式（17-3）中的 $q$ 由 $r_f$ 替代，我们可以得出对于欧式货币期权的看跌-看涨期权平价关系式

$$ c + K \mathrm{e}^{- r T} = p + S_{0} \mathrm{e}^{- r_{f} T} $$

最后，将式（17-4）和式（17-5）中的 $q$ 由 $r_f$ 替代，我们可得出欧式货币期权的定价公式

$$ c = S_{0} \mathrm{e}^{- r_{f} T} N(d_{1}) - K \mathrm{e}^{- r T} N(d_{2})\tag{17-11} $$$$ p = K \mathrm{e}^{- r T} N(- d_{2}) - S_{0} \mathrm{e}^{- r_{f} T} N(- d_{1})\tag{17-12} $$

其中

$$ \begin{array}{l} d_{1} = \frac{\ln (S_{0} / K) + (r - r_{f} + \sigma^{2} / 2) T}{\sigma \sqrt{T}} \\ d_{2} = \frac{\ln (S_{0} / K) + (r - r_{f} - \sigma^{2} / 2) T}{\sigma \sqrt{T}} = d_{1} - \sigma \sqrt{T} \end{array} $$

国内和国外的无风险利率分别对应于期限为 $T$ 的利率。货币上的看跌与看涨期权具有对称性质：以货币 B 买入货币 A，执行价格为 $K$ 的看跌期权等价于对于以货币 A 买入货币 B 的执行价格为 $1 / K$ 的看涨期权（见练习题 17.8）。

例题例17-2

考虑一个4个月期限的英镑欧式看涨期权。假定当前英镑/美元汇率为1.6000，期权执行价格为1.6000，美国无风险利率为每年 $8\%$ ，英国无风险利率为每年 $11\%$ ，期权价格为4.3美分。这里 $S_{0} = 1.6$ ， $K = 1.6$ ， $r = 0.08$ ， $r_{f} = 0.11$ ， $T = 0.3333$ 与 $c = 0.043$ 。我们可以通过试错法来求取隐含波动率：波动率为 $20\%$ 时，期权价格为0.0639；波动率为 $10\%$ ，期权价格为0.0285；依此类推，最终我们得出隐含波动率为 $14.1\%$ 。

使用远期汇率#

由于银行与其他金融机构很频繁地交易远期汇率合约，因此常常会利用远期汇率为期权定价。

由式（5-9）得出，对应于期限 T 的远期汇率为

$$ F_{0} = S_{0} \mathrm{e}^{(r - r_{f}) T} $$

这一结果可将式（17-11）和式（17-12）简化为

$$ c = \mathrm{e}^{- r T} \left[ F_{0} N(d_{1}) - K N(d_{2}) \right]\tag{17-13} $$$$ p = \mathrm{e}^{- r T} \left[ K N(- d_{2}) - F_{0} N(- d_{1}) \right]\tag{17-14} $$

其中

$$ \begin{array}{r l} & d_{1} = \frac{\ln (F_{0} / K) + \sigma^{2} T / 2}{\sigma \sqrt{T}} \\ & d_{2} = \frac{\ln (F_{0} / K) - \sigma^{2} T / 2}{\sigma \sqrt{T}} = d_{1} - \sigma \sqrt{T} \end{array} $$

式（17-13）和式（17-14）与式（17-8）和式（17-9）相似。在第18章里我们将看到对任何资产的即期价格上的欧式期权，我们均可以通过由式（17-13）和式（17-14）所给出的对于资产远期或期货期权形式来定价。注意，期货或远期的期限与欧式期权的期限相同。

17.6 美式期权#

如第13章中所述，二叉树可以用来对美式股指和货币期权定价。与无股息股票的情形相同，我们将决定价格上涨幅度的参数 $u$ 取为 $\mathrm{e}^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ ，其中 $\sigma$ 为波动率， $\Delta t$ 为时间步长，决定价格下跌幅度的参数 $d = 1 / u = \mathrm{e}^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$ 。对于无股息股票，价格上涨所对应的概率为

$$ p = \frac{a - d}{u - d} $$

其中 $a = e^{r\Delta t}$ 。对于股指和货币期权，计算 p 的公式不变，但是要将 a 的定义做些变化。对于股指期权

$$ a = \mathrm{e}^{(r - q) \Delta t}\tag{17-15} $$

其中 q 为股息收益率。对于货币期权其中 $r_{f}$ 为外国的无风险利率。13.11节中的例13-1展示了如何利用2步二叉树来对一个股指期权定价。例13-2展示了如何构造一个3步二叉树来对一个货币期权定价。在第21章里我们将给出更多关于利用二叉树来对股指和货币期权定价的例子。

$$ a = \mathrm{e}^{(r - r_{f}) \Delta t}\tag{17-16} $$

在某些情形下，提前行使美式货币期权或股指期权会是最优的选择。因此，美式货币期权和股指期权比相应的欧式期权价值会更高。一般来讲，高利率货币上的看涨期权和低利率货币上的看跌期权更可能会被提前行使。这是因为高利率货币会更容易贬值，而低利率货币会更容易升值。还有，高股息收益率股指上的看涨期权与低股息收益率股指上的看跌期权更可能会被提前行使。

在交易所里交易的股指期权以现金结算。在行使股指看涨期权时，期权持有人的收入为100乘以股指超出执行价格的数量。与此类似，在股指看跌期权被行使时，期权持有人收入为100乘以执行价格超出股指的数量。股指期权可用来对证券组合进行保险。如果证券组合与股指有类似的收益，我们可以对于证券组合中每

$100S_{0}$ 美元的价值买入1份看跌期权。如果证券组合与股指的收益不同，对于证券组合每 $100S_{0}$ 美元的价值，我们需要买入 $\beta$ 份看跌期权，其中 $\beta$ 是资本资产定价模型中证券组合的 $\beta$ 值，这里所购买期权的执行价格应反映所要求的价格保险水平。

大多数货币期权在场外市场进行交易。企业资金部主管可以利用这些期权来对冲外汇风险。例如，一个美国公司的资金部主管得知在将来某时刻将收入一笔英镑，他可以买入在将来同一时刻到期的英镑看跌期权来对冲外币风险。类似地，一个美国企业资金部主管得知在将来某时刻将支付一笔英镑，他可以买入将来同一时刻到期的英镑看涨期权来对冲外币风险。货币期权可以被用来构造范围远期合约。当公司知道会有外汇风险敞口时，这种零费用合约被用来对损失提供保险，但同时要放弃一些增

值机会。

无股息股票的欧式期权布莱克－斯科尔斯－默顿公式可以被推广到当标的股票支付股息收益率的情形。这种推广可以被用来对股指与货币上的欧式期权进行定价，这是因为

股指类似于支付股息收益率的股票，其中收益率等于构成指数的股票股息收益率；
外币类似于支付已知股息的股票，在这里外币利率扮演着股息收益率的角色。

二叉树可用来对美式股指和货币期权定价。

Biger, N., and J. C. Hull. "The Valuation of Currency Options," Financial Management, 12 (Spring 1983): 24–28.

Bodie, Z. "On the Risk of Stocks in the Long Run," Financial Analysts Journal, 51, 3 (1995): 18–22.

Garman, M. B., and S. W. Kohlhagen. “Foreign Currency Option Values,” Journal of International Money and Finance, 2 (December 1983): 231–37.

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Grabbe, J. O. "The Pricing of Call and Put Options on Foreign Exchange," Journal of International Money and Finance, 2 (December 1983): 239–53.

Merton, R. C. "Theory of Rational Option Pricing," Bell Journal of Economics and Management Science, 4 (Spring 1973): 141–83.

练习题#

17.1 一个当前价值为 1000 万美元的证券组合的 $\beta$ 值为 1.0，某个指数的当前值为 800。解释如何利用执行价格为 700，标的资产为该指数的看跌期权来为证券组合提供保险。

17.2 “一旦我们知道了如何对支付股息收益率股票上的期权定价，那么我们也就知道了如何对股指和货币期权定价。”解释这句话的含义。

17.3 一个股指的当前值为 300，股指的股息收益率为每年 3%，无风险利率为每年 8%，在这一股指上执行价格为 290，期限为 6 个月的欧式看跌期权下限为多少？

17.4 一种外币的当前价格为 0.80 美元，波动率为 12%，国内和国外无风险利率分别为 6% 和 8%。利用两步二叉树来对以下期权定价：

(a) 期限为 4 个月，执行价格为 0.79 的欧式看涨期权，

(b) 4 个月期限并具有同样执行价格的美式看涨期权。

17.5 当一家企业知道在将来会收进一笔外汇时，解释该企业如何利用货币范围远期合约来对冲外汇风险。

17.6 计算一个期限为 3 个月的股指平值欧式看涨期权的价格，股指的当前值 250，无风险利率为每年 10%，股指的波动率为每年 18%，股指股息收益率为每年 3%。

17.7 计算一个8个月期限的欧式货币看跌期权价格，期权执行价格为0.50，当前汇率为0.52，汇率波动率为 $12\%$ ，国内无风险利率为每年 $4\%$ ，国外无风险利率为每年 $8\%$ 。

17.8 证明式（17-12）给出的关于以货币 B 卖出 1 个单位货币 A，执行价格为 K 的看跌期权的价格等于式（17-11）给出的关于以货币 A 卖出 K 个单位货币 B，执行价格为 1/K 的看涨期权的价格。

17.9 一种外币的当前价格为 1.5 美元，国内与国外的无风险利率分别为 5% 与 9%。计算在下面两种情况下一个 6 个月期执行价格为 1.40 美元的看涨期权下限，假定期权分别是（a）欧式，（b）美式。

17.10 某股指的当前值为 250，股指的股息收益率为每年 4%，无风险利率为每年 6%。这一股指上 3 个月期，执行价格为 245 的欧式看涨期权的目前价格为 10 美元。该股指上 3 个月期，执行价格为 245 的看跌期权价值是多少？

17.11 一个股指的当前值为 696，波动率为 30%，无风险利率为每年 7%，股指所提供的连续股息收益率为每年 4%。计算 3 个月期，执行价格为 700 的欧式看跌期权价格。

17.12 假定 $C$ 是执行价格为 $K$ ，期限为 $T$ ，连续股息率为 $q$ 的股票上美式看涨期权价格， $P$ 为具有同样执行价格与期限的美式看跌期权价格，证明

其中 $S_{0}$ 为股票价格，r 为无风险利率，r > 0。（提示：为了证明第 1 个不等式，考虑以下证券组合的价值

$$ S_{0} \mathrm{e}^{- q T} - K < C - P < S_{0} - K \mathrm{e}^{- r T} $$

组合 A: 一个欧式看涨期权加上数量为 K 的无风险投资;

组合 B: 一个美式看跌期权加上 $e^{-qT}$ 只股票，其中股息被再投资于股票之中。

为了证明第2个不等式，考虑以下证券组合的价值

组合 C：一个美式看涨期权加上数量为 $Ke^{-rT}$ 的无风险投资；

17.23 道琼斯工业平均指数在2007年1月12日为12556，而对于3月份到期、执行价格组合 D: 一个欧式看跌期权加上 1 只股票, 其中股息被再投资于股票之中。)

17.13 证明当远期价格等于执行价格时，一个欧式货币看涨期权价格等于相应的欧式货币看跌期权价格。

17.14 你认为股指的波动率会大于还是小于一般股票的波动率？解释原因。

17.15 当证券组合的 $\beta$ 值增加时，相应证券组合保险的价格会增加还是减少？解释原因。

17.16 假定某个证券组合的价值为 6000 万美元，标普 500 的当前值为 1200，如果证券组合的收益反映了股指收益，为了保证证券组合在 1 年后价值不低于 5400 万美元，证券组合管理者应购买什么样的期权？

17.17 考虑练习题 17.16 的情形。假定证券组合的 $\beta$ 为 2.0，无风险利率为每年 $5\%$ ，证券组合与股指的股息收益率为每年 $3\%$ 。为了保证证券组合在 1 年后价值不低于 5400 万美元，管理者应购买什么样的期权？

17.18 某个指数的当前水平为 1500。执行价格为 1400，期限为 6 个月的欧式看涨和看跌期权的价格分别为 154.00 和 34.25。6 个月期无风险利率为 5%，这时的隐含股息收益率为多少？

17.19 一个整体收益指数对某投资组合的整体收益（包括股息）进行跟踪。解释你将如何对该指数上的以下产品定价（a）远期合约，（b）欧式期权。

17.20 什么是欧式货币期权的看跌-看涨期权平价关系式？

17.21 利用书中所述的投资组合来证明式（17-1）、式（17-2）和式（17-3）。

17.22 一个关于日元/欧元的期权是否可由以下两个期权来构造？其中一个期权为美元/欧元期权，另一个期权为美元/日元期权。

为 126 的看涨期权（March 126 Call）价格为 2.25 美元。利用 DerivaGem 软件来计算期权的隐含波动率，在计算中假定无风险利率为5.3%，股息收益率为3%，期权到期日为2007年3月20日。估计3月份到期，执行价格为126的看跌期权价格。由这一期权价格得出的隐含的波动率为多少？（注意，期权的标的资产为道琼斯指数除以100）。

17.24 某股指的当前值为300，波动率为 $20\%$ ，无风险利率为 $8\%$ ，股息收益率为 $3\%$ 。利用三步二叉树对指数上6个月期，执行价格为300的看跌期权定价。假设期权为（a）欧式，（b）美式。

17.25 假定加元的即期汇率为 0.95 美元，加元/美元汇率的波动率为每年 8%，加拿大与美国的无风险利率分别为每年 4% 与 5%。计算 9 个月期以 0.95 美元买入 1 加元的欧式看涨期权的价格。利用看跌-看涨期权平价关系式来求出 9 个月期的以 0.95 美元的价格出售 1 加元的欧式看跌期权的价格。在 9 个月后以 1 加元买入 0.95 美元的看涨期权价格为多少？

17.26 某股指当前取值为 1000，无风险利率为 4%，3 个月期限、执行价格为 950 的欧式看涨和看跌期权的价格分别为 78 和 26，估计（a）股息收益率，（b）隐含波动率。

如果货币 A 以货币 B 表达时满足过程

$$ \mathrm{d}S = (r_{B} - r_{A}) S \mathrm{d}t + \sigma S \mathrm{d}z $$

其中 $r_{A}$ 和 $r_{B}$ 分别为国家 A 和国家 B 的无风险利率。如果以货币 A 表达货币 B，货币 B 将满足什么过程？

17.28 假定目前美元/欧元的兑换为 1.3000，汇率波动率为 15%。一家美国公司在 3 个月时将收入 100 万欧元。欧洲和美国的无风险利率分别为 5% 与 4%。这家公司准备采用范围远期合约，其中执行价格下限等于 1.2500。

(a) 为保证合约费用为 0，执行价格上限等于多少？

(b) 公司采用的看涨和看跌期权的头寸是什么？

17.29 在业界事例 17-1 中，保证在今后 10 年内基金的回报不会为负的价值是多少？

17.301年期限关于墨西哥比索（peso）的远期价格为每比索0.0750美元，美国的无风险利率为 $1.25\%$ ，墨西哥的无风险利率为 $4.5\%$ ，汇率的波动率为 $13\%$ 。1年期执行价格为0.0800的欧式和美式看跌期权的价格为多少？

到目前为止，在我们所考虑的期权中，期权持有者可以在将来某一固定时刻按某一价格买入或卖出某个标的资产，这些期权有时也被称为即期资产上的期权（options on spot）或即期期权（spot options），这是因为在行使期权时，以指定价格而进行的买入或卖出资产的交易马上会发生。在这一章里，我们考虑期货上的期权（options on futures），这类期权也被称为期货期权（futures options）。在这些合约中，行使期权会使得期权持有者持有期货的一种头寸。

商品期货交易委员会（Commodity Futures Trading Commission，CFTC）在1982年批准了实验性的期货期权交易。在1987年，该委员会批准了永久性的期货期权交易。从那时起，这类期权越来越得到投资者的青睐。

在这一章里，我们将讨论期货期权的运作方式以及这类期权与即期期权之间的差别。我们将探讨如何用二叉树和类似于布莱克－斯科尔斯－默顿股票期权公式来对期货期权定价。我们也将讨论期货期权与即期期权的相对定价问题，并考虑被称为期货式期权（futures-style option）的产品。

第17章 股指期权#