第15章 股票价格的对数正态分布性质#

布莱克、斯科尔斯和默顿用来描述股票价格行为的模型正是我们在第 14 章中建立的模型。该模型假设无股息股票在一短时间内的百分比变化具有正态分布。定义

$\mu$ ：股票每年的期望收益率；

$\sigma$ ：股票价格每年的波动率。

在 $\Delta t$ 时间内股票收益的均值和标准差分别近似地等于 $\mu \Delta t$ 和 $\sigma \sqrt{\Delta t}$ 。因此

其中 $\Delta S$ 为股票价格在 $\Delta t$ 时间内的变化， $\phi(m, v)$ 代表期望为 m，方差为 v 的正态分布。（这正是式（14-9）。）

在14.7节中我们曾证明

因此

和

其中 $S_{T}$ 是在未来时间 $T$ 时的价格, $S_{0}$ 是在时间零时的价格。在这里没有做任何近似。式 (15-3) 说明 $\ln S_{T}$ 服从正态分布, 所以 $S_{T}$ 服从对数正态分布。 $\ln S_{T}$ 的均值是 $\ln S_{0} + (\mu - \sigma^{2}/2) T$ , 标准差是 $\sigma \sqrt{T}$ 。

15.2 收益率的分布#

由股票价格服从对数正态分布的性质出发，我们可以得出0与 $T$ 之间连续复利收益率的概率分布。将0与 $T$ 之间以连续复利的收益率计为 $x$ ，那么

由式（15-2）得出

因此，连续复利收益率服从正态分布，其期望值与标准差分别为 $\mu - \sigma^{2}/2$ 和 $\sigma/\sqrt{T}$ 。当 T 增大时，x 标准差减小。为了理解这一点，我们可以考虑 T = 1 和 T = 20 两种情形，我们相信对于在 20 年内的年平均收益估计比 1 年的年平均收益估计更为准确。

15.3 收益率期望#

投资者从一个股票中所寻求的收益率期望 $\mu$ 与股票的风险有关：风险越大，收益率期望也会越高。它还依赖于经济中的利率：当利率越高时，投资人对股票所要求的收益率期望也会越高。庆幸的是，我们不需要关心决定 $\mu$ 的任何细节。事实上，当利用标的股票价格来表示期权价格时，期权价格与 $\mu$ 毫不相干。尽管如此，股票收益率期望的一个性质常常引起混淆，因此我们特别解释这个性质。

式（15-1）表示 $\mu \Delta t$ 是股票在较短时间段 $\Delta t$ 内价格变化百分比的期望值。由此我们可能会很自然地假设 $\mu$ 是股票以连续复利的收益率期望，但事实并非如此。在一段长度为 $T$ 的时间内真正实现的以连续复利的收益 $x$ 是由式（15-6）给出的：

而且由式（15-7），我们知道期望值 $E(x) = \mu -\sigma^2 /2$

以连续复利计算的收益率期望不等于 $\mu$ 的原因并不是那么一目了然，却十分重要。假定我们考虑很多长度为 $\Delta t$ 的很短时间区间。定义 $S_{i}$ 为股票在第 $i$ 个时间区间末的股票价格， $\Delta S_{i}$ 为 $S_{i+1} - S_{i}$ 。在我们对股票价格所做的假设下，在每个小区间上股票价格的平均回报率大约为 $\mu$ 。换句话说， $\mu \Delta t$ 很接近于 $\Delta S_{i} / S_{i}$ 的算术平均值。然而，当表示成以区间 $\Delta t$ 复利时，在数据所覆盖的总区间上收益的期望接近于 $\mu - \sigma^{2} / 2$ ，而不是 $\mu$ 。 $^{\ominus}$ 业界事例 15-1 描述的有关互惠基金的数值例子说明了为什么是这样。

为了以数学的方式解释原因，我们首先由式（15-4）开始

取对数，我们得出

我们可能会认为 $E[\ln (S_T)] = E[\ln (S_T)]$ ，并由此得出 $E[\ln (S_T)] - \ln (S_0) = \mu T$ ，即 $E[\ln (S_T / S_0)] = \mu T$ ，这也就得出了 $E(x) = \mu$ 。但是，因为 $\ln$ 是非线性函数。事实上 $\ln [E(S_T)] > E[\ln (S_T)]$ ，因此 $E[\ln (S_T / S_0)] < \mu T$ ，从而 $E(x) < \mu$ 。（如上所述， $E(x) = \mu - \sigma^2 / 2$ 。）

15.4 波动率#

股票的波动率 $\sigma$ 用于度量股票所提供收益的不确定性。股票的波动率通常介于 15% 与 60% 之间。

由式（15-7）可知股票价格的波动率可以被定义成按连续复利时股票在1年内所提供收益率的标准差。

当 $\Delta t$ 很小时，式（15-1）表明 $\sigma^2\Delta t$ 近似地等于在 $\Delta t$ 时间内股票价格变化百分比的方差。这说明 $\sigma \sqrt{\Delta t}$ 近似地等于在 $\Delta t$ 时间内股票价格变化百分比的标准差。例如，一家股票的价格为50美元，波动率 $\sigma = 0.3$ ，即每年 $30\%$ 。对应于每周价格百分比变化的标准差近似地等于

在 1 周内股票价格有 1 个标准差的变化为 $50 \times 0.0416$ ，即 2.08 美元。

由标准差来描述股票价格变化不定性的增长速度大约为时间展望期长度的平方根（至少在近似意义下）。例如，一个股票价格在4周内的标准差大约为股票价格在1周内标准差的两倍。

15.4.1 由历史数据估计波动率#

为了以实证的方式估计股票价格的波动率，对股票价格的观察通常是在固定的区间内（如每天、每周或每个月）。定义

$n+1$ ：观测次数；

$S_{i}$ ：第 i 个时间区间结束时的股票价格， $i=0,1,\cdots,n;$

$\tau$ ：时间区间的长度，以年为单位。

令

$u_{i}$ 标准差的估计值 $s$ 为

或

其中 $\bar{u}$ 为 $u_{i}$ 的均值。 $^{\ominus}$

由式（15-2）我们知道 $u_{i}$ 的标准差为 $\sigma \sqrt{\tau}$ 。因此，变量 $s$ 是 $\sigma \sqrt{\tau}$ 的估计值。所以 $\sigma$ 本身可以被估计为 $\hat{\sigma}$ ，其中

可以证明以上估计式的标准误差大约为 $\hat{\sigma}/\sqrt{2n}$ 。

在计算中选择一个合适的 $n$ 值并不很容易。一般来讲，数据越多，估计的精确度也会越高，但 $\sigma$ 确实随时间变化，因此太老的历史数据对于预测将来波动率可能不太相干。一个折中的办法是采用最近 $90 \sim 180$ 天内每天的收盘价数据。另外一种约定俗成的方法是将 $n$ 设定为波动率所用于的天数。因此，如果波动率是用于计算两年期的期权，在计算中我们可以采用最近两年的日收益数据。估计波动率比较复杂的方法涉及 GARCH 模型，在第 23 章中我们将对此进行讨论。

15.5 布莱克－斯科尔斯－默顿微分方程的概念#

布莱克－斯科尔斯－默顿微分方程是每一个依赖于无股息股票的衍生产品价格必须满足的方程式。我们将在下一节推导这个方程，在这里我们考虑布莱克－斯科尔斯－默顿方法的特征。

这种方法与第 13 章中利用二叉树来描述股票价格变动时的无套利方法类似。在定价的过程中需要构造一个由期权与标的股票所组成的无风险交易组合，在无套利的条件下，这一交易组合的收益率必须为无风险利率 r，由此我们可以得出期权价格必须满足的微分方程。

我们之所以可以建立无风险交易组合是由于股票价格与期权价格均受同一种不定性的影响：股票价格的变动。在任意一段短时期内，衍生产品的价格与股票价格有完美的相关性；在建立了一个适当的股票与期权的组合后，由股票所带来的盈亏总是可以抵消由期权所带来的盈亏。这样一来，交易组合在一个短时间内的价值变化也就成为已知而没有不确定性。

例如，假定在某一特定时刻，股票价格的一个微小变动 $\Delta S$ 与由此所引起的欧式看涨期权价格变动 $\Delta c$ 之间有以下关系

这意味着代表 $\Delta c$ 与 $\Delta S$ 之间关系的切线斜率为0.4，如图15-2 所示。无风险交易组合构造如下：

1. 40 只股票的多头；

2. 100 份看涨期权的空头。

假定股票价格上涨了10美分，期权价格将增长4美分。交易组合中股票的增长为 $40 \times 0.1 = 4$ 美元，这恰好等于期权空头的 $100 \times 0.04 = 4$ 美元的损失。

布莱克－斯科尔斯－默顿分析与第13章里利用二叉树法的分析之间有一个很重要的区别：这里所建立的头寸只是在一个非常短的时间内是无风险的（从理

图15-2 期权价格与股票价格的关系，股票的当前价格为 $S_{0}$

论上讲，这种无风险只是在瞬时间成立）。为了保持无风险状态，交易组合必须被频繁地调整或再平衡（rebalance）。例如， $\Delta c$ 与 $\Delta S$ 之间的关系也许会从今天的 $\Delta c = 0.4\Delta S$ 变为明天的 $\Delta c = 0.5\Delta S$ 。如果这种情况发生，为了保持交易组合为无风险形态，对卖出的每100份看涨期权，我们必须再买入10只股票。尽管如此，在短时间内无风险交易组合的收益率必须等于无风险利率。这是布莱克-斯科尔斯-默顿分析的关键，由此即可得出他们的定价公式。

假设#

在推导布莱克－斯科尔斯－默顿微分方程时，我们采用以下假设：

1. 股票价格服从在第 14 章中所建立的过程, 其中 $\mu$ 和 $\sigma$ 为常数;

2. 可以卖空证券, 并且可以完全使用所得收入;

3. 无交易费用和税收，所有证券均可无限分割；

4. 在期权期限内，股票不支付股息；

5. 不存在无风险套利机会；

6. 证券交易为连续进行；

7. 短期无风险利率 r 为常数，并对所有期限都是相同的。

我们将在后面的章节中讨论如何放松其中一些假设。例如， $\sigma$ 和 $r$ 可以是已知的时间函数。只要股票价格在期权到期时的分布是对数正态，我们甚至可以让 $r$ 也是随机的。

15.6 布莱克－斯科尔斯－默顿微分方程的推导#

在本节里的记号与书中其他地方不一样，我们考虑衍生产品在一时间 $t$ （而不是时间0）时的价格。如果 $T$ 是到期日，那么期权的期限是 $T - t$ 。

我们假设股票价格服从在14.3节所建立的过程，即

假定 $f$ 为关于 $S$ 的看涨期权，或其他依赖于 $S$ 的衍生产品价格。变量 $f$ 必须是 $S$ 和 $t$ 的函数。因此，由式（14-14）得出

式（15-8）和式（15-9）的离散形式为

和

其中 $\Delta S$ 与 $\Delta f$ 为 $S$ 与 $f$ 在一个短时间区间 $\Delta t$ 内的变化量。回忆在14.6节里有关伊藤引理的讨论中， $f$ 和 $S$ 的维纳过程是一样的。换句话说，式（15-10）和式（15-11）中的 $\Delta z (= \varepsilon \sqrt{\Delta t})$ 项是一样的。因此，我们可以适当地选择股票与衍生产品期权组合来消除维纳过程。选取证券组合为：

-1：衍生产品

+ $\frac{\partial f}{\partial S}$ : 股票

以上组合含有一个衍生产品的空头与 $\partial f / \partial S$ 数量的股票。定义 $\Pi$ 为组合的价值，由定义

证券组合的价格在 $\Delta t$ 时间区间内的变化由以下方程给出

将式（15-10）和式（15-11）代入式（15-13），得出

因为以上方程的右端不含 $\Delta z$ 项，证券组合在 $\Delta t$ 时间内一定是无风险的。前一节列举的假设意味着该证券组合必须挣取与其他短期无风险证券相同的瞬时收益率。如果该组合挣取的比这个收益率高，套利者可以通过借入资金来买入组合而取得无风险盈利；如果比这个收益率低，套利者可以卖空组合并同时买入无风险投资证券来取得无风险盈利。因此

其中 $r$ 为无风险利率。将式（15-12）和式（15-14）代入式（15-15）会得出

因此

式（15-16）就是布莱克－斯科尔斯－默顿微分方程。对应于不同的以 S 为标的变量的衍生产品，这一方程有不同的解。对于某一特定衍生产品，以上方程的解与方程的边界条件（boundary conditions）有关：边界条件定义了衍生产品在 S 和 t 的边界上的取值。欧式看涨期权的关键边界条件为

欧式看跌期权的关键边界条件为

15.7 风险中性定价#

在第 13 章中我们曾利用二叉树模型引入了风险中性定价的方法。毫无疑问，这是在衍生产品定价分析中一个最重要的工具。这个结果是由布莱克－斯科尔斯－默顿微分方程的一个关键的性质而来：布莱克－斯科尔斯－默顿微分方程不涉及任何受投资者风险偏好影响的变量，在方程中出现的变量包括股票的当前价格、时间、股票价格波动率和无风险利率，而它们均与风险选择无关。

如果布莱克－斯科尔斯－默顿微分方程涉及回报期望 $\mu$ ，那么它将不会与风险选择无关，这是因为 $\mu$ 的值确实与风险选择有关，投资者对风险的厌恶程度越高，对任何股票，相应的 $\mu$ 值也会越高。可喜的是在推导微分方程时， $\mu$ 正好消失了。

由于布莱克－斯科尔斯－默顿微分方程与风险选择无关，我们可以利用下面的巧妙方法：如果风险选择在方程中不出现，那么它不会影响方程的解。因此，在计算 $f$ 时，我们可以使用任何一组风险选择，尤其可以假设所有的投资者都是风险中性的。

在每一个投资者都是风险中性的世界里，所有投资的回报率期望均为无风险利率 $r$ ，原因是对风险中性的投资者而言，不需要额外的回报而使他们承受风险。另外，在一个风险中性世界里，任何现金流的现值都可以通过对其期望值以无风险利率贴现来得到。因此，在假设世界是风险中性时能够大大地简化对衍生产品的分析。

考虑一个在某个时刻提供收益的衍生产品，我们可以利用风险中性定价原理对其定价，过程如下：

1. 假定标的资产的收益率期望为无风险利率（即假定 $\mu = r$ ）；

2. 计算衍生产品收益的期望；

3. 用无风险利率对收益期望进行贴现。

风险中性定价（或假设所有投资者都是风险中性）仅仅是获得期权定价公式的一个人为的工具，认识到这一点是非常重要的。我们所得到的解不仅当投资者是风险中性时成立，而且在所有世界里也都是成立的。当我们从风险中性世界换到风险厌恶世界时，两种情况将会发生：股票价格变动的增长率期望以及对衍生产品收益所必需使用的贴现率都将会变化，而这两种变化刚好相互抵消。

应用于股票远期合约#

在 5.7 节中，我们对不支付股息的股票上的远期合约做了定价，并且在例 15-5 中验证了定价公式满足布莱克－斯科尔斯－默顿微分方程。在这一节中，我们利用风险中性定价方法来推导这个定价公式。我们假设利率是常数，等于 r。这比第 5 章中的假设更强。

考虑一个期限为 $T$ 的远期合约多头，交割价格为 $K$ 。如图1-2 所示，在合约到期时，远期合约的价值为

其中 $S_{T}$ 是股票在时间 $T$ 的价格。由风险中性定价方法我们知道，远期合约在时间 0 的价值是其风险中性世界里在时间 $T$ 的期望值以无风险利率加以贴现后的现值。将远期合约在时间 0 的价值记为 $f$ ，这意味着

其中 $\hat{E}$ 为风险中性世界里的期望值。由于 $K$ 是常数，这个方程可以被写成

在风险中性世界里股票的回报率 $\mu$ 变成了 r。因此，由式（15-4）我们有

将式（15-19）带入式（15-18）得到

这一结果同式（5-5）是一致的。

15.8 布莱克－斯科尔斯－默顿定价公式#

微分方程式（15-16）最著名的解是关于看涨期权与看跌期权的定价公式，这些公式为

和

其中

函数 $N(x)$ 为标准正态分布的累积概率分布函数。换言之，这一函数等于服从标准正态分布 $\phi(0,1)$ 的随机变量小于 $x$ 的概率（见图15-3）。我们对方程中的其他记号应当很熟悉： $c$ 与 $p$ 分别为欧式看涨与看跌期权的价格， $S_0$ 为股票在时间0的价格， $K$ 为执行价格， $r$ 为连续复

利的无风险利率， $\sigma$ 为股票价格的波动率，T 为期权的期限。

一种推导布莱克－斯科尔斯－默顿公式的方法是解微分方程式（15-16）满足在15.6节提到过的边界条件。 $^{①}$ （为了证明式（15-20）中的看涨期权价格满足微分方程，见练习题15.17。）另一种方法是利用风险中性定价。考虑欧式看涨期权，在风险中性世界里当期权到期时的期望值是

图15-3 阴影区域代表 $N(x)$

与前面相同，其中 $\hat{E}$ 为在风险中性世界里的期望值。从风险中性定价方法我们知道，欧式看涨期权的价格 $c$ 等于这个期望值以无风险利率贴现后的现值，也就是说

在本章的附录中我们证明了由这个式子可以得出式（15-20）中的结果。

由于提前行使不支付股息股票上美式看涨期权永远不会是最优的（见11.5节），所以式（15-20）也是不付股息股票上美式看涨期权的价值。不幸的是，还没有不付股息股票上美式看跌期权价值的精确解析公式。在第21章中我们将讨论计算美式看跌期权的数值方法。

在实际中应用布莱克－斯科尔斯－默顿公式时采用的利率 r 等于期限为 T 的无风险利率。在后面的章节中我们将证明，当 r 是时间的已知函数时，在理论上公式仍然是成立的，而且只要股票价格在时间 T 服从对数正态分布，并且波动率参数取得适当，那么当 r 是随机时，这个公式也是成立的。我们在前面提到过，一般来讲，时间是按期权有效期内的交易天数除以 1 年内的交易天数来度量的。

15.8.1 如何理解 $N(d_{1})$ 和 $N(d_{2})$#

式（15-20）中的 $N(d_{2})$ 有一个简单解释，它是在风险中性世界里期权被行使的概率，而

$N(d_{1})$ 却没有一个简单解释，表达式 $S_{0}N(d_{1})e^{rT}$ 是一个在 $S_{T}>K$ 时等于 $S_{T}$ ，在其他情形（即 $S_{T}\leqslant K$ 时）等于零的变量在风险中性世界里的期望值。只有当股票价格大于执行价格 K 时，执行价格才会被支付，相应的概率为 $N(d_{2})$ ，在风险中性世界里，期权在时间 T 期望值等于

将以上表达式由时间 T 到时间 0 进行贴现，得出欧式看涨期权的布莱克－斯科尔斯－默顿公式

对于布莱克－斯科尔斯－默顿公式，我们还有另外一种解释。我们注意到布莱克－斯科尔斯－默顿公式也可以写成

以上公式的各项有以下解释

$e^{-rT}$ ：贴现因子；

$N(d_{2})$ ：期权被行使的概率；

$e^{rT}N(d_{1})/N(d_{2})$ ：如果期权被行使，在风险中性世界里股票预期增长比率1；

$S_{0}e^{rT}N(d_{1})/N(d_{2})$ ：如果期权被行使，在风险中性世界里股票预期值；

K: 期权被行使时，相应的执行价格。

15.8.2 布莱克－斯科尔斯－默顿公式的性质#

通过考虑给一些参数取极端值，我们现在证明布莱克－斯科尔斯－默顿公式具有正确的性质。

当股票价格 $S_{0}$ 很大时, 看涨期权几乎肯定会被执行, 这时期权与执行价格为 $K$ 的远期合约非常相似。根据式 (5-5) 得出看涨期权价格应该为

事实上，以上公式正好是式（15-20）所给出的期权价格：因为当 $S_{0}$ 很大时， $d_{1}$ 及 $d_{2}$ 均很大，因此 $N(d_{1})$ 与 $N(d_{2})$ 均接近于1.0。当股票价格很大时，欧式看跌期权的价格接近于零，这与式（15-21）是一致的，因为在这种情形下 $N(-d_{1})$ 与 $N(-d_{2})$ 均接近于零。

接着我们考虑当波动率接近于零的情形。因为股票价格几乎是无风险的，其价格在时间 T 将会增长到 $S_{0}e^{rT}$ ，看涨期权的收益为

以利率 r 贴现，看涨期权在今天的价值是

为了证明这与式（15-20）一致，首先考虑当 $S_{0} > K\mathrm{e}^{-rT}$ 的情况，这意味着 $\ln (S_0 / K) + rT > 0$ 。当 $\sigma$ 趋于零时， $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 均趋向于 $+\infty$ ，因此 $N(d_{1})$ 与 $N(d_{2})$ 均趋向于1.0，式（15-20）变成了

当 $S_{0} < \mathrm{Ke}^{-rT}$ 时，将有 $\ln (S_0 / K) + rT < 0$ 。当 $\sigma$ 趋于零时， $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 均趋向于 $-\infty$ ，所以 $N(d_{1})$ 与 $N(d_{2})$ 均趋向于零，方程所给的看涨期权价格为零。类似地，我们可以证明当 $\sigma$ 趋于零时，看跌期权的价格总是 $\max (Ke^{-rT} - S_0, 0)$ 。

15.9 累积正态分布函数#

在计算式（15-20）与式（15-21）时，我们需要计算标准正态分布的累积函数 $N(x)$ 。这

一函数也可以通过 Excel 中的函数 NORMSDIST 来计算。

15.10 权证与雇员股票期权#

行使一个公司的普通看涨期权对于在市场上交易的公司股票数量没有任何影响。如果期权承约者不拥有公司的股票，那么他在期权被行使时必须在市场上按通常的方式买入股票，然后按执行价格卖给期权的持有者。如在第10章解释的那样，权证和雇员股票期权与一般看涨期权不同的是，在权证与雇员股票期权被行使时，公司必须首先发行更多的股票，然后再以执行价格卖给期权持有者。由于执行价格低于股票的市场价格，这些期权的行使会对市场上现有股票持有者的利益产生稀释效应。

这种潜在的稀释效应是否会影响我们对既存权证与雇员股票期权的定价方式呢？答案是否定的。假定市场是有效的，那么股票价格已经反映了已有的权证与雇员股票期权的稀释效应。业界事例 15-3 解释了这一点。 $^{①}$

15.11 隐含波动率#

在布莱克－斯科尔斯－默顿定价公式中，不能直接观察到的参数只有股票价格的波动率。在15.4节中我们已经讨论了如何由股票的历史价格来估计波动率。在实际中，交易员通常使用所谓的隐含波动率（implied volatility）。这一波动率是指由期权的市场价格所隐含的波动率。

为了说明隐含波动率是如何计算的, 假设一个不付股息股票的欧式看涨期权价格为 1.875 , 而 $S_{0} = 21$ , $K = 20$ , $r = 0.1$ 和 $T = 0.25$ 。隐含波动率是使得式 (15-20) 所给期权价格 $c = 1.875$ 时对应的 $\sigma$ 值。不幸的是, 我们不能靠直接反解式 (15-20) 将 $\sigma$ 表示成期权价格与其他变量 $S_{0}$ 、 $K$ 、 $r$ 、 $T$ 和 $c$ 的函数, 但是我们可以用迭代的方式求解所隐含的值 $\sigma$ 。例如, 开始时我们令 $\sigma = 0.20$ , 对应这一波动率, 期权价格 $c$ 为 1.76 美元, 这一价格太低。由于期权价格为 $\sigma$ 的递增函数, 我们需要一个较大的 $\sigma$ 值。我们再令 $\sigma = 0.30$ , 对应的期权价格 $c$ 为 2.10 美元, 此值高于市价, 这意味着 $\sigma$ 一定介于 0.2 与 0.3 之间。接下来, 我们令 $\sigma = 0.25$ , 此值所对应的期权价格仍太高, 所以 $\sigma$ 应该在 0.20 与 0.25 之间。这样继续下去每次迭代都使 $\sigma$ 所在的区间减半, 因此我们可以计算出满足任意精确度的 $\sigma$ 近似值。 $^{②}$ 在本例中, 隐含波动率 $\sigma = 0.235$ , 即每年 $23.5\%$ 。与二叉树结合, 利用类似的方法可以来计算美式期权的隐含波动率。

隐含波动率可以用来衡量市场上对于某一股票波动率的观点。历史波动率（见15.4节）是回望型（backward looking），而隐含波动率则为前瞻型（forward looking）。通常，交易员对于期权所报出的是隐含波动率，而不是期权的价格。这样做会带来许多方便，因为波动率的变化比期权价格变化更加稳定。在第20章中我们将说明交易员如何由市场上交易较为活跃的期权来估算其他期权的隐含波动率。

VIX 指数#

芝加哥交易所（CBOE）发表隐含波动率的指数。最流行的指数是 SPX VIX，这是由标普 500 上包括很广的 30 天期限看涨和看跌期权计算的， $^{③}$ 这一指数也被称作“恐惧指数”（fear factor），VIX 取值为 15 意味着标普 500 上 30 天期限的期权隐含波动率为 15%。在 26.15 节中有关于该指数计算方式的内容。在 VIX 上的期货交易是从 2004 年开始的，而在 VIX 上的期权交易是从 2006 年开始的，1 份合约等于 1000 乘以指数值。

15.12 股息#

到目前为止，我们一直假设期权的标的股票不付任何股息。在本节中，我们对布莱克－斯科尔斯－默顿模型加以修改，以便考虑股息。我们假设在期权的有效期内，股息的数量与付出时间均可以被准确地预测到。对于短期限的期权来说，这个假设并不是不合理（对于长期限的期权，我们通常假设已知的是股息率，而不是股息的现金数量，这时可以按我们在第17章中所述的方法对期权定价）。股息付出日期应当被假设成除息日，在这个日期上，股票价格下跌的幅度为股息的数量。 $^{①}$

15.12.1 欧式期权#

为了分析欧式期权，我们假设股票价格由以下两部分组成：对应于在期权有效期内所付股息的无风险部分与有风险的部分。在任意给定时刻，无风险部分等于在期权有效期内的所有股息以无风险利率从除息日贴现到今天的现值。当期权到期时，这些股息已经被付出，从而无风险部分不再存在。因此， $S_{0}$ 表示为有风险的部分的价格、 $\sigma$ 为有风险部分所服从过程的波动率时，布莱克－斯科尔斯－默顿公式仍然正确。 $^{\ominus}$

在运作上，这意味着只要在股票价格中除去所有在期权有效期限内股息的贴现值，我们仍然可以采用布莱克－斯科尔斯－默顿模型来对期权定价。在计算股息贴现值时，我们采用的贴现日期为除息日，贴现利率等于无风险利率。像已经讲过的那样，只有除息日在期权有效期内的股息才被用于计算。

练习题#

15.1 布莱克－斯科尔斯－默顿股票期权定价模型中对于1年后股票价格概率分布的假设是什么？对于1年内连续复利收益率分布的假设是什么？

15.2 股票价格的波动率为每年 $30\%$ ，在一个交易日内价格百分比变化的标准差为多少？

15.3 解释风险中性定价原理。

15.4 计算一个3个月期的无股息股票欧式看跌期权的价格，这里期权执行价格为50美元，股票当前价格为50美元，无风险利率为每年 $10\%$ ，波动率为每年 $30\%$ 。

15.5 如果预计股票在两个月后将支付股息 1.5

美元，练习题15.4中的结果会如何变化？ 15.6 什么是隐含波动率？如何计算？

15.7 股票的当前价格为 40 美元，假定其收益率期望为 15%，波动率为 25%。在两年内的股票收益率（连续复利）的概率分布是什么？

15.8 某股票价格服从几何布朗运动，其中收益率期望为 16%，波动率为 35%，股票的当前价格为 38 美元。

(a) 一个该股票上具有执行价格为 40 美元，期限为 6 个月的欧式看涨期权被行使的概率为多少？

(b) 一个该股票上具有同样执行价格及期限的欧式看跌期权被行使的概率为多少？

15.9 采用本章中的记号，证明 $S_{T}$ 的 $95\%$ 置信区间介于 $S_0\mathrm{e}^{(\mu -\sigma^2 /2)T - 1.96\sigma \sqrt{T}}$ 与 $S_0\mathrm{e}^{(\mu -\sigma^2 /2)T + 1.96\sigma \sqrt{T}}$ 之间。

15.10 一个组合经理声称自己在过去10年中平均每年的收益率为 $20\%$ ，这种说法在什么方面会引起误解？

15.11 假定一个无股息股票的收益率期望为 $\mu$ ，波动率为 $\sigma$ 。一个具有创新意识的金融机构刚刚宣布它将交易在时刻 $T$ 收益为 $\ln S_T$ 的衍生产品，其中 $S_T$ 为股票在 $T$ 时刻的价格。

(a) 采用风险中性定价理论来将衍生产品价格表达为股票价格 S 与时间 t 的函数。

(b) 验证你得出的价格满足微分方程式 (15-16)。

15.12 考虑一个在时间 $T$ 提供收益为 $S_T^n$ 的衍生产品，其中 $S_T$ 为股票在 $T$ 时刻的价格。当股票价格服从几何布朗运动时，可以证明该衍生产品在时间 $t(t \leqslant T)$ 的价格具有以下形式

其中 S 为股票在时间 t 的价格，h 为 t 和 T 的函数。

(a) 将以上形式的解代入布莱克－斯科尔斯－默顿微分方程，推导 $h(t, T)$ 满足的常微分方程。

(b) $h(t, T)$ 所满足的边界条件是什么? (c) 证明

其中 r 为无风险利率， $\sigma$ 为股票价格的波动率。

15.13 计算以下无股息股票上欧式看涨期权的价格，其中股票价格为52美元，执行价格为50美元，无风险利率为每年 $12\%$ ，波动率为每年 $30\%$ ，期限为3个月。

15.14 计算以下无股息股票上欧式看跌期权的价格，其中股票价格为69美元，执行价格为70美元，无风险利率为每年 $5\%$ ，波动率为每年35%，期限为6个月。

15.15 考虑关于一个股票上的美式看涨期权，股票价格为70美元，期限为8个月，无风险利率为每年 $10\%$ ，执行价格为65美元，波动率为 $32\%$ 。在3个月及6个月时预计各有1美元的股息，证明在两个除息日行使期权永远不会是最佳选择。采用DerivaGem来计算期权的价格。

15.16 一个无股息股票上看涨期权的市场价格为2.5美元，股票价格为15美元，执行价格为13美元，期限为3个月，无风险利率为每年 $5\%$ ，隐含波动率为多少？

15.17 采用本章中的记号

(a) $N^{\prime}(x)$ 等于什么？

(b) 证明 $SN'(d_1) = K\mathrm{e}^{-r(T - t)}N'(d_2)$ ，其中 $S$ 为股票在时间 $t$ 的价格，以及

(c) 计算 $\partial d_{1}/\partial S$ 和 $\partial d_{2}/\partial S$ 。

(d) 证明当 $c = S_0N(d_1) - K\mathrm{e}^{-r(T - t)}N$ $(d_{2})$ 时，以下方程成立

其中 c 为无股息股票上欧式看涨期权的价格。

(e) 证明 $\partial c / \partial S = N(d_1)$ 。

(f) 证明 $c$ 满足布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程。

(g) 证明 $c$ 满足欧式看涨期权的边界条件，即 $t \to T$ 时， $c = \max(S - K, 0)$ 。

15.18 证明由布莱克-斯科尔斯-默顿给出的期权公式满足看跌-看涨期权平价关系式。

15.19 股票的当前价格为 50 美元，无风险利率为 5%，利用 DerivaGem 将以下欧式期权价格表转换为隐含波动率表，在计算中假定股票无股息。这些期权价格与布莱克－斯科尔斯－默顿的假设一致吗？

15.20 仔细解释为什么即使一个股票预期只发放一次股息时，布莱克方法只是对支付股息股票上美式期权的一个近似。由布莱克近似法得出的估计值会高估还是会低估期权价格？解释你的答案。

15.21 考虑关于某股票上的美式看涨期权，股票价格为50美元，期权期限为15个月，无风险利率为每年 $8\%$ ，执行价格为55美元，波动率为 $25\%$ 。股票在4个月与10个月时预计各有1.5美元的股息，证明在两个除息日行使期权不会是最佳选择，并计算期权价格。

15.22 采用本章中的记号，证明在风险中性世界里，一个欧式看涨期权将被执行的概率为

作业题#

15.26 某股票的波动率为每年 $18\%$ ，计算在以下时段价格变动的标准差（a）1天，(b)1周，(c)1个月。

15.27 某股票的当前价格为 50 美元。假定股票的预期收益率为 18%，波动率为 30%，在两年后股票价格的概率分布是什么？计算分布的期望值与标准方差，并确定 95% 的置信区间。

15.28 假定在连续15个周末所观察的股票价格（以美元计）为：

30.2, 32.0, 31.1, 30.1, 30.2, 30.3, 30.6, 33.0, 32.9, 33.0, 33.5, 33.5, 33.7, 33.5, 33.2

估计股票价格的波动率，你所估计结果的标准差为多少？

15.29 某金融机构计划提供在时刻 T 收益为 $S_{T}^{2}$ 的衍生产品。假定股票不提供任何股息。

(a) 利用风险中性定价原理推导此衍生产品价格在 $t$ 时刻的价格与时刻 $t$

$N(d_{2})$ 。在 T 时刻，股票价格大于 K 时收益为 100 美元的衍生产品价格为多少？

15.23 利用式（15-17）中的结果来确定美式看跌期权的价值，期权标的股票不支付任何股息，当股票价格达到价格 $H$ 时，期权回报为 $K$ ，其中 $H < K$ 。假定股票当前价格 $S$ 高于 $H$ ， $H$ 取什么样值时，期权价值为最大？推出具有执行价格 $K$ 的美式看跌期权的价值。

15.24 某公司已经发行了管理人股票期权，当对期权进行定价时，是否应考虑稀释效应？解释你的答案。

15.25 某公司的股票价格为50美元，市场上共有1000万股。公司计划向其雇员发行300万5年期的平价看涨期权，在期权行使时，公司需要发行更多的股票，股票价格的波动率为 $25\%$ ，5年的无风险利率为每年 $5\%$ ，公司不发放股息。估算公司发行管理人期权的费用。

股票价格 S 的关系（提示： $S_{T}^{2}$ 的期望可由 15.1 节中 $S_{T}$ 的期望值与方差给出）。

(b) 验证你的结果满足微分方程式 (15-16)。

15.30 考虑一个无股息股票上的期权，股票价格为30美元，执行价格为29美元，无风险利率为每年 $5\%$ ，波动率为每年 $25\%$ ，期权期限为4个月。

(a) 如果期权是欧式看涨期权，其价格为多少？

(b) 如果期权是美式看涨期权，其价格为多少？

(c) 如果期权是欧式看跌期权，其价格为多少？

(d) 验证看跌 - 看涨期权平价关系式。

15.31 假定作业题 15.30 中的股票在 1.5 个月时将会有个除息日，所付股息预期为 50 美分。

(a) 如果期权是欧式看涨期权，其价格为多少？

(b) 如果期权是欧式看跌期权，其价格为多少？

(c) 如果期权为美式看涨期权，会不会在某种情形下提前行使期权成为最优？

15.32 考虑一个美式看涨期权，股票的当前价格为18美元，期权执行价格为20美元，期限为6个月，波动率为 $30\%$ ，无风险利率为每年 $10\%$ 。在今后2个月及5个月股票预计会发放两次相同数量的股息，股息为40美分。采用布莱克近似法与DerivaGem软件来对这一期权定价。使美式期权价格与相应的欧式期权价格相同的股息数量的最大值是多少？

附录 15A 布莱克－斯科尔斯－默顿公式的证明#

在证明布莱克－斯科尔斯－默顿公式之前，我们先证明一个重要关系式，在今后的章节中我们也将会用到这一结论。

重要关系式

如果 $V$ 服从对数正态分布， $\ln V$ 的标准差为 $w$ ，那么

其中

这里 E 代表期望值。

关系式的证明

定义 $g(V)$ 为 $V$ 的概率密度函数，因此

$\ln V$ 服从正态分布，标准差为w，由正态分布的性质得出， $\ln V$ 的均值为m，其中 $^{①}$

定义一个新的变量

$Q$ 服从正态分布，均值为0，标准差为1.0。将 $Q$ 的密度函数记为 $h(Q)$ ，因此

利用式（15A-4）将式（15A-2）关于 $V$ 的积分转换为关于 $Q$ 的积分，我们得出

或者

我们现在有

这意味着，式（15A-5）变为

定义 $N(x)$ 为均值为0，标准差为1的标准正态分布变量小于 $x$ 的概率，式（15A-6）的第1项积分变为

或

将式（15A-3）中的 m 代入以上表达式，得出

类似地式（15A-6）中的第2项积分等于 $N(d_{2})$ 。因此，式（15A-6）变为

代入（15A-3）定义的 m 项，我们可以得出结论。

布莱克－斯科尔斯－默顿的结果#

我们现在考虑一个在时刻 T 到期的欧式看涨期权，标的股票不支付股息，期权的执行价格为 K，无风险利率为 r，股票的当前价格为 $S_{0}$ ，股票价格的波动率为 $\sigma$ 。由式（15-22）得出，看涨期权价格 c 满足

其中 $S_{T}$ 为股票在 $T$ 时刻的价格, $\hat{E}$ 代表风险中性世界里的期望值。在布莱克-斯科尔斯-默顿对随机过程的假设下, $S_{T}$ 服从对数正态分布。由式（15-3）和式（15-4）又得出, $\hat{E} (S_T) = S_0\mathrm{e}^{rT}$ , $\ln S_{T}$ 的标准差为 $\sigma \sqrt{T}$ 。

由以上证明的关键结论，我们可以将式（15A-7）变为

或

其中

这正是布莱克－斯科尔斯－默顿的结果。

雇员股票期权（employee stock option）是公司授予其雇员在本公司股票上的看涨期权。这些期权给予了雇员一份公司的财富。如果公司效益很好而使其股票价格超过执行价格，雇员可以通过行使期权，然后将所得股票按市场价格卖出而获益。

很多公司（尤其是高科技公司）认为吸引和挽留最优秀人才的唯一办法是给予他们很诱人的股票期权方案。一些公司只对其高级管理人员授予期权，而另一些公司则授予各层次的工作人员。微软是最早使用雇员期权的公司之一，而且对其所有雇员都授予了期权；当公司的股票价格上升时，据估计至少有1万人变成了百万富翁。在最近几年里，雇员期权变得并不像以前那么流行了，在本章里我们将给出原因（在2003年，微软宣布将停止使用期权，而直接将微软股票奖励给其雇员），即使如此，世界各地仍有一些其他公司继续热衷于使用雇员股票期权。

股票期权很受新公司的欢迎，这些公司往往没有足够的资源去付给关键雇员像他们能够在一些老牌企业里所挣的报酬。而解决这些问题的办法是利用股票期权来补充雇员的工资。如果公司业绩很好，那么在公司首次公开募股（IPO）时，这些期权很可能会变得非常有价值。一些新成立的公司甚至给仅仅在暑假期间为其工作几个月的学生授予期权。在某些情况下，这使得一些学生凭空得来一大笔钱。

本章解释股票期权方案是如何运作的，以及为何它们的流行程度受会计处理方式的影响。我们将讨论雇员股票期权是否会使股东的利益与操作公司的高级管理人员一致。本章还将描述这些期权是如何定价的，并且回顾一些有关的丑闻。