第6章 天数计算和报价惯例#
在这里我们将考虑天数计算和报价惯例等预备知识，这些知识适用于债券和其他与利率有关的证券产品。
天数计算#
天数计算定义了在一段时间内利息累计的方式。一般来讲，我们知道在一段参考区间内的利息（例如，介于息票支付时间间隔内的利息），在这里，我们感兴趣的是对于某个其他时间期限内的利息累计方式。
一般惯例是将天数计算表达成 $X / Y$ 的形式。当我们计算两个日期之间的利息时， $X$ 定义了两个日期之间计算天数的方式， $Y$ 定义了参考期限内总天数的计算方式。在两个日期之间挣到的利息为
(两个日期之间的天数 / 参考期限的总天数) × 参考期限内所得利息在美国有 3 种流行的天数计量惯例:
实际天数/实际天数（一段时间内）；
30/360;
实际天数/360。
美国长期国债采用 “实际天数/实际天数（一段时间内）” 的天数计算惯例：
在两个日期之间的利息是基于实际过去天数与两个息票支付日期之间实际天数的比率。假定一个债券的本金为100美元，息票支付日期为3月1日和9月1日，息票率为每年 $8\%$ （这意味着在每年的3月1日和9月1日各付4美元的利息），我们想要计算3月1日与7月3日之间的利息。这里的参考时间段为3月1日至9月1日，总共有184天（实际天数），这段时间所得利息为4美元。在3月1日与7月3日之间总共有124天（实际天数）。因此3月1日与7月3日之间的所得利息为
$$ \frac{124}{184} \times 4 = 2.6957 $$美国企业债券和市政债券采用 “30/360” 的天数计算惯例。我们在计算中假定每个月有 30 天，每年有 360 天。采用 “30/360” 的惯例，在 3 月 1 日与 9 月 1 日之间总共有 180 天。在 3 月 1 日与 7 月 3 日之间总共有 $4 \times 30 + 2 = 122$ 天。因此对于和我们刚才考虑的政府债券具有一样期限和利率的企业债券，在 3 月 1 日与 7 月 3 日之间的所得利息为
$$ \frac{122}{180} \times 4 = 2.7111 $$如业界事例 6-1 所示，有时 “30/360” 天数计算惯例会产生令人吃惊的结果。
业界事例 6-1 天数计量有时可能会使人迷惑
在2015年2月28日与3月1日之间，你可以选择一个美国国债或一个美国企业债券，两债券的息票率均为 $10\%$ ，并且报价是一样的。两者之间你应选择哪一个呢？
乍听起来，两者应该没有太大的区别。但事实上你应选择企业债券。在“30/360”天数计算惯例下，2011年2月28日与2013年3月1日之间总共有3天。在政府债券的“实际天数/实际天数（一段时间内）”的天数计算惯例下，两个日期之间只有1天。拥有企业债券你所得利息将是拥有政府债券所得利息的大约3倍。
美国货币市场产品采用 “实际天数/360” 的天数计算惯例。这说明参考期限选定为 360 天，一年中的一段时间内所得利息等于实际过去的天数除以 360，然后再乘以报价利率。90 天期间所得的利息应正好等于年率的 1/4。注意，含有 365 天的整年里所得的利息为 365/360 乘以报价利率。
国家与国家之间和产品与产品之间的天数计量惯例都有所不同。例如，澳大利亚、加拿大以及新西兰的货币市场惯例为“实际天数/365”。除英镑外所有货币的 LIBOR 利率均为“实际天数/360”，英镑的 LIBOR 利率为“实际天数/365”。欧元债券和英镑债券通常采用“实际天数/实际天数”惯例。
美元短期债券的报价#
货币市场的产品报价有时采用贴现率（discount rate）方式，该贴现率是所得利息作为最终面值（而不是最初所付出价格）的百分比。美国的短期国债就是一个例子：如果一个91天期限短期国债的报价为8，这意味着，每360天所得利率为面值的 $8\%$ 。假定面值为100美元，在91天内的利息为2.0222美元（ $= 100 \times 0.08 \times 91 / 360$ ）。对应于91天的真正利率为2.0222/（100-2.0222） $= 2.064\%$ 。一般来讲，美国短期国债的现金价格与报价的关系式为
$$ P = \frac{360}{n} (100 - Y) $$其中 $P$ 为报价， $Y$ 为现金价格， $n$ 为短期债券期限内以日历天数所计算的剩余天数。例如，当90天短期国债的现金价格为99美元时，报价为4美元。
美国长期国债#
美国长期国债是以美元和美元的 1/32 为单位报出的。所报价格是相对于面值 100 美元的债券。因此，90 - 05 的价格意味着 100000 美元面值的债券的价格为 90156.25 美元。
交易人员将报价称为纯净价（clean price），它不同于现金价格。现金价也称为带息价格（dirty price）。一般来讲，我们有以下关系式
现金价格 = 报价(即纯净价) + 从上一个付息日以来的累计利息
为了说明这一公式，假设现在时间是2015年3月5日，所考虑的债券息票率为 $11\%$ ，到期日为2038年7月10日，报价为95-16，即95.50美元。因为政府债券的券息每半年支付一次（最后一个券息支付日期为债券的到期日）。最近的前一次付息日为2015年1月10日，下一个付息日为2015年7月10日。在2015年1月10日与2015年3月5日之间（实际天数）总共有54天，而在2015年1月10日与2015年7月10日之间（实际天数）总共有181天。一个面值为100美元的债券在1月10日和7月10日所支付的券息为5.50美元。2015年3月5日的累计利息是在7月10日所支付的息票被累积到2015年3月5日时的数量。因为美国国债累计利息是基于“实际天数/实际天数”，因此累计利息为
$$ \frac{54}{181} \times 5.50 = 1.64 (\text{美元}) $$100 美元面值债券的现金价格为
$$ 95.50 + 1.64 = 97.14 (\text{美元}) $$因此，对应 100000 美元面值债券的现金价格为 97140 美元。
6.2 美国国债期货#
表 6-1 是 2013 年 5 月 14 日利率期货的报价。市场上最流行的长期利率期货合约之一是 CME 集团交易的长期国债利率期货。在这种合约里，从交割月份的第 1 天算起，任何期限介于 15 年与 25 年之间的债券均可以用于交割。自 2010 年开始，CME 集团引入超级国债（untra T-bond）期货，任何期限超过 25 年的国债均可以用于交割。
表 6-1 2013 年 5 月 14 日的 CME 集团利率期货报价
| 开盘价 | 最高价 | 最低价 | 前一天闭盘价 | 最后交易日 | 变化量 | 数量 | |
| 超长期国债,100000 美元 | |||||||
| 2013/06 | 158-08 | 158-31 | 156-31 | 158-08 | 157-00 | -1-08 | 45040 |
| 2013/09 | 157-12 | 157-15 | 155-16 | 156-24 | 155-18 | -1-06 | 176 |
| 长期国债,100000 美元 | |||||||
| 2013/06 | 144-22 | 145-04 | 143-26 | 144-20 | 143-28 | -0-24 | 346878 |
| 2013/09 | 143-28 | 144-08 | 142-30 | 143-24 | 142-31 | -0-25 | 2455 |
| 10 年中期国债,100000 美元 | |||||||
| 2013/06 | 131-315 | 131-050 | 131-205 | 131-310 | 131-210 | -0-100 | 1151825 |
| 2013/09 | 131-040 | 131-080 | 130-240 | 131-025 | 130-240 | -0-105 | 20564 |
| 5 年中期国债,100000 美元 | |||||||
| 2013/06 | 123-310 | 124-015 | 123-267 | 123-307 | 123-267 | -0-040 | 478993 |
| 2013/09 | 123-177 | 123-192 | 123-122 | 123-165 | 123-122 | -0-042 | 4808 |
| 2年中期国债,200000 美元 | |||||||
| 2013/06 | 110-080 | 110-085 | 110-075 | 110-080 | 110-075 | -0-005 | 98142 |
| 2013/09 | 110-067 | 110-072 | 110-067 | 110-070 | 110-067 | -0-002 | 13103 |
| 30日联邦基金利率,50000000 美元 | |||||||
| 2013/06 | 99.875 | 99.880 | 99.875 | 99.875 | 99.875 | 0.000 | 956 |
| 2014/07 | 99.830 | 99.835 | 99.830 | 99.830 | 99.830 | 0.000 | 1030 |
| 欧洲美元,1000000 美元 | |||||||
| 2013/06 | 99.720 | 99.725 | 99.720 | 99.725 | 99.720 | -0.005 | 107167 |
| 2013/09 | 99.700 | 99.710 | 99.700 | 99.705 | 99.700 | -0.005 | 114055 |
| 2013/12 | 99.675 | 99.685 | 99.670 | 99.675 | 99.670 | -0.005 | 144213 |
| 2015/12 | 99.105 | 99.125 | 99.080 | 99.100 | 99.080 | -0.020 | 96933 |
| 2017/12 | 97.745 | 97.770 | 97.675 | 97.730 | 97.680 | -0.050 | 14040 |
| 2019/12 | 96.710 | 96.775 | 96.690 | 96.760 | 96.690 | -0.070 | 23 |
10 年、5 年和 2 年美国中期国债期货合约同样非常流行。在 10 年期中期国债期货合约中，任何尚有 $6 \frac{1}{2}$ 到 10 年期限的长期（或中期）国债均可以用作交割。对于 5 年期和 2 年期的合约，可交割的国债的剩余期限分别为 5 年和 2 年（原始期限必须少于 5.25 年）。
在下一节里我们将会看到，交易所开发了一种调整价格的方法。当一种长期国债或中期国债被用于交割时，这一方法可用来调整期货空头方可接受的价格。在下面我们将主要讨论长期国债期货，在美国以及世界上其他地方都有许多与美国长期国债期货相似的合约，因此这里的许多结论在处理这些合约时仍成立。
6.2.1 报价#
超级国债和长期国债期货合约均是以美元和美元的 1/32 为单位报出的，这与长期国债在即期市场上的报价方式类似。在表 6-1 中，2013 年 6 月份的长期债券期货结算价格为 144-20，即 $144 \frac{20}{32}$ ，或 144.625。10 年期中期债券期货的结算价格精确度为 1/32 的一半，因此 2013 年 9 月的期货价格为 131-025，即 $131 \frac{2.5}{32}$ ，或 131.078125。5 年期和 2 年期的期货报价更精确，精确度为 1/32 的 1/4，6 月份 5 年债券期货的结算价格为 123-307，即 $123 \frac{30.75}{32}$ ，或 123.9609375。类似地 9 月份合约期货的结算价格为 123-122，即 $123 \frac{12.25}{32}$ ，或 123.3828125。
6.2.2 转换因子#
前面说过，长期国债期货允许合约的空头方选择交割任何期限介于15年和25年之间的债券。当交割某一债券时，一个叫作转换因子（conversion factor）的参数定义了空头方所收取的价格。对应于交割债券的报价等于其转换因子与最新成交期货价格的乘积。将累计利息考虑在内（见6.1节），每交割100美元面值的债券所收入的现金价格为
$$ (\text{最新的期货成交价格} \times \text{转换因子}) + \text{累计利息} $$每一份合约对应于交割 100000 美元面值的债券。假定最新的成交价格为 90-00，交割债券的转换因子为 1.3800，并且在交割时面值为 100 美元的债券的累计利息为 3 美元。因此，期货空头方交割债券时, 对于每 100 美元面值的债券, 收到的现金数量为 (由期货多头方支付):
$$ (1.3800 \times 90.00) + 3 = 127.20 (\text{美元}) $$期货空头方应交割的债券面值为 100000 美元，因此收到现金为 127200 美元。
一个债券的转换因子是这样来确定的：在假定所有期限的利率均为每年 $6\%$ （按半年复利）的前提下，转换因子等于按交割月份第1天的债券报价所对应1美元面值的债券价格。为了计算的目的，债券的到期日以及距券息支付日的时间均下调到3个月的整倍数。通过这种方法，交易所会产生一个很全面的数表。如果在取整后，债券的期限为6个月的整数倍，我们假定第一次支付利息为6个月后。如果在取整后，债券的期限不是6个月的整数倍（即包含另外3个月），我们假定第一次支付利息为3个月后，支付利息数量中应减去应计利息。
作为以上规则的第一个例子，假定债券的券息率为每年 $10\%$ ，期限为20年零2个月。为了计算转换因子，假定债券期限为正好20年，在6个月后第一次付息，然后每6个月支付一次券息，直到20年后支付本金为止。假定面值为100美元。当贴现率为每年 $6\%$ （每半年复利一次），即每6个月为 $3\%$ 时，债券价值为
$$ \sum_{i=1} ^{40} \frac{5}{1.03^{i}} + \frac{100}{1.03^{40}} = 146.23 (\text{美元}) $$将以上价值除以 100 后得出转换因子为 1.4623。
作为以上规则的第二个例子，假定债券的券息率为 $8\%$ ，债券期限为18年零4个月。为了计算转换因子，假定债券的期限为18年零3个月。将债券支付的所有现金流以每年（半年复利一次）贴现到3个月后的时间上，债券价格为
$$ 4 + \sum_{i=1} ^{36} \frac{4}{1.03^{i}} + \frac{100}{1.03^{36}} = 125.83 (\text{美元}) $$3 个月的利率为 $\sqrt{1.03} - 1$ ，即 $1.4889\%$ 。因此将 3 个月时的债券价值贴现到今天的价值为 $125.83 / 1.014889 = 123.99$ 美元。减去累计利息 2.0，得出债券价值为 $121.99$ 美元。因此转换因子为 $1.2199$ 。
6.2.3 最便宜交割债券#
在交割月份的任何时候都有许多债券可以用于长期国债期货合约的交割，这些可交割债券具有不同的券息率与期限。空头方可以从这些债券中选出最便宜可交割债券（cheapest-to-de-liver bond）来用于交割。因为空头方收到的现金量为
$$ (\text{最新成交价格} \times \text{转换因子}) + \text{累计利息} $$买入债券的费用为
$$ \mathrm{债券报价} + \mathrm{累计利息} $$因此最便宜交割债券是使得
$$ \text{债券报价} - (\text{最新成交价格} \times \text{转换因子}) $$达到最小的债券。一旦期货的空头方决定交割债券，最便宜交割的债券可以通过考虑每个可交割债券来确定。
在期货空头方决定交割时可以从下表中选出最便宜交割债券。假定最近一次成交的期货价格为93-08，即93.25美元。
| 债券 | 债券报价(美元) | 转换因子 |
| 1 | 99.50 | 1.0382 |
| 2 | 143.50 | 1.5188 |
| 3 | 119.75 | 1.2615 |
交割每种债券的成本如下：
债券 1: 99.50 - (93.25 × 1.0382) = 2.69 (美元)
债券 2：143.50 - (93.25 × 1.5188) = 1.87（美元）
债券 3: 119.75 - (93.25 × 1.2615) = 2.12 (美元)
因此，最便宜交割债券为债券2。
决定最便宜可交割债券的因素有许多种。当债券收益率大于 $6\%$ 时，转换因子系统倾向于券息率较低且期限较长的债券。当债券收益率小于 $6\%$ 时，系统倾向于券息率较高同时期限较短的债券。还有，当收益率曲线为上坡型时，系统倾向于交割期限较长的债券；当收益率曲线为下坡型时，系统倾向于期限较短的债券。
除了拥有交割最便宜可交割债券的选择外，空头方还拥有一个被称万能牌规则的选择，在业界事例6-2中描述了这种选择。
业界事例 6-2 万能牌规则
CME 集团长期国债期货交易的交割价格是芝加哥当地时间下午 2 点时的期货价格。但是，长期国债的即期交易要 2 点以后继续交易，而持有期货空头的交易员可以在当天更晚时间向结算中心下达交割意向通知。在下达交割通知后，交割应付价格（invoice price）是以当天的成交价格为基础来进行结算的，该成交价格为下午 2 点时的期货价格。
这种做法给了期货的空头方一种叫作万能牌规则（wild card play）的选择权。如果在交割月第1天的下午2点后债券价格下跌，空头方可以在比如3点45分发出交割意向通知，然后买入债券并由下午2点钟的期货价格为标准计算交割价格。如果债券价格没有下跌，空头方可以保持头寸，并等到第2天再采用相同的策略。
就像空头方拥有其他选择权一样，万能牌选择权并不是免费的：它的价值反映在其期货价格中，有选择权的期货价格比不具备选择权的期货价格要低。
6.2.4 确定期货价格#
由于空头方拥有选择交割时间的权利和选择所交割债券的权利，精确地确定长期国债期货的理论价格是十分困难的。但是如果假定已知最便宜可交割债券以及交割日期，长期国债期货等价于一个为持有人提供中间收入的证券上期货合约。 $^{①}$ 式（5-2）给出了期货价格 $F_{0}$ 与即期价格 $S_{0}$ 之间的关系式
$$ F_{0} = (S_{0} - I) \mathrm{e}^{r T}\tag{6-1}
$$
其中 I 为期货合约期限内券息的贴现值，T 为期货到期时间，r 为适用于期限 T 的无风险利率。
假定对于某一国债期货已知最便宜可交割债券的券息率为 $12\%$ ，转换因子为1.6000。假定已知期货交割日期为270天后，每半年一次支付一次券息。由图6-1所示，上一次券息支付为60天前，下一次券息支付为122天后，再下一次券息支付为305天后。利率期限结构为水平，每年 $10\%$ （连续复利）。假定债券的当前报价为115美元。债券的现金价格等于报价加上从上一次付息到今天的累计利息，债券现金价格为
$$ 115 + \frac{60}{60 + 122} \times 6 = 116.978 $$在 122 天（0.3342 年）后，债券持有者将收到 6 美元的券息，其贴现值为
$$ 6 \mathrm{e}^{- 0.1 \times 0.3342} = 5.803 $$期货合约将持续270天（0.7397年）。如果期货合约是关于券息率为 $12\%$ 的债券，期货的现金价格为
$$ (116.978 - 5.803) \mathrm{e}^{0.1 \times 0.7397} = 119.711 $$在债券交割时会有 148 天的累计利息。假如期货合约是关于券息率为 12% 的债券，期货的报价为
$$ 119.711 - 6 \times \frac{148}{148 + 35} = 114.859 $$由转换因子的定义，1.6000倍的标准债券等价于一个 $12\%$ 的债券。因此，期货的报价应为
$$ \frac{114.859}{1.60} = 71.79 $$| 券息支付 | 当前时间 | 券息支付 | 期货到期日 | 券息支付 |
| 60天 | 122天 | 148天 | 35天 |
图6-1 例6-2中的时间表
6.3 欧洲美元期货#
在美国市场里最流行的利率期货是 CME 集团交易的 3 个月期限的欧洲美元期货。欧洲美元是存放于美国本土之外的美国银行或外国银行的美元。欧洲美元利率是银行之间存放欧洲美元的利率，这一利率与第 4 章引入的伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）基本上是一样的。
3 个月期限欧洲美元期货的标的变量是在将来某 3 个月里（某个按欧洲美元利率借款）100 万美元上所付的利息。这使得交易员可以对未来某段 3 个月期限的利率进行投机或者对冲未来利率的风险。这些合约的交割月份为 3 月、6 月、9 月以及 12 月，期货的期限可长达 10 年。这意味着在 2014 年某投资者可采用欧洲美元期货来锁定远至 2024 年之前某 3 个月的利率。除了 3 月、6 月、9 月以及 12 月的期货外，市场上也交易其他短期限的利率期货合约。
为了理解欧洲美元期货的运作方式，我们考虑表6-1中2013年6月份的合约。这一合约在2013年5月13日的成交价格为99.725。合约的最后一个交易日是交割月份第3个星期三的前两天，对于所考虑的合约这一天是2013年6月17日。合约在2013年6月17日之前按通常的方式每天以市值定价。在最后一个交易日的上午11点，有一个数量为 $100 - R$ 的最后成交价格，其中 $R$ 为这一天确定的3个月欧洲美元利率，该利率是按每季度复利（天数计算惯例为“实际天数/360”）。因此，如果在2013年6月17日，3个月期限的欧洲美元利率为 $0.75\%$ （按季度复利，实际天数/360），期货的最后成交价格为99.250。一旦最后交易结算完成后，所有合约被宣布平仓。
合约的设计使得期货报价1个基点（=0.01）的变化对应于25美元的收益或亏损。当欧洲美元报价增长1个基点时，持有1份合约多头的交易员的收益为25美元，而持有1份合约空头的交易员的损失为25美元。类似地，当报价下跌1个基点时，持有1份合约多头的交易员会亏损25美元，而持有一份合约空头的交易员会盈利25美元。例如，当结算价格从99.725变为99.685时，多头交易员在每份合约上的损失为 $25 \times 4 = 100$ 美元；空头方交易员每份合约上的收益为100美元。在期货报价中一个基点的变化相当于标的利率0.01%的变化，这会导致面值100万美元在3个月的利息变化为
$$ 1000000 \times 0.0001 \times 0.25 = 25 $$即 25 美元。因此，“每个基点 25 美元”的规则与以上提过的合约是为了锁定面值为 100 万美元的 3 个月利率的说法一致。
期货报价为 100 减去期货利率。因此，利率下降时对期货多头的投资者有利；在利率上升时对期货空头的投资者有利。假设某交易员在 2013 年 5 月 13 日进入了表 6-1 中 2013 年 6 月份期货多头，表 6-2 展示了可能出现的一组结果。
期货的价格定义为
表 6-2 2013 年 6 月欧洲美元合约的可能价格
| 日期 | 期货价格 | 变化量 | 每份合约盈利(美元) |
| 2013/05/13 | 99.725 | ||
| 2013/05/14 | 99.720 | -0.005 | -12.50 |
| 2013/05/15 | 99.670 | -0.050 | -125.00 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| 2013/06/17 | 99.615 | +0.010 | +25.00 |
| 总计 | -0.110 | -275.00 |
其中 $Q$ 为报价。因此表6-1中2013年6月份合约的结算价99.725所对应的合约价格为
$$ 10000 \times [ 100 - 0.25 \times (100 - 99.725) ] = 999312.5 (\text{美元}) $$在表 6-2 中，合约的最终价格为
$$ 10000 \times [ 100 - 0.25 \times (100 - 99.615) ] = 999037.5 (\text{美元}) $$最初与最终合约价格的差别为 275 美元，这与表 6-2 中采用的“每基点变化 25 美元”规则是一致的。
某投资者想锁定9月份第3个星期三前两天的3个月期限利率，面值为1亿美元。我们假定9月的欧洲美元期货报价为96.50，这表明投资人可以锁定的利率为每年 $100 - 96.5 = 3.5\%$ 。投资者买入了100份合约来对冲风险。假设在9月份第3个星期三前两天的3个月利率为 $2.6\%$ ，那么最终的成交价格为97.40。投资者在多头中的收益为
$$ 100 \times 25 \times (9740 - 9650) = 225000 $$即在欧洲美元期货上的收益为 225000 美元。在 3 个月内投资所挣取的利息为
$$ 100000000 \times 0.25 \times 0.026 = 650000 (\text{美元}) $$欧洲美元期货收益使得总收益变为 875000 美元。这对应于利率为 3.5% 时的利息数量 (100000000 × 0.25 × 0.035 = 875000)。这说明期货交易的效果是将利率锁定在 3.5%，即 (100 - 96.5)%。
这里看起来好像期货交易会使得在任何情况下都将利率正好锁定在 $3.5\%$ 上。事实上，对冲不是完美的，这是因为（a）期货合约是每日结算（而不是仅在最后），和（b）期货的最后结算是在合约到期日，而3个月投资的利率支付是在3个月之后。关于第二点，我们可以降低对冲的规模来反映在9月收到资金与在3个月后收到资金之间的区别。在这种情况下，我们假设在这3个月内的利率是 $3.5\%$ ，然后将 $1 / (1 + 0.035 \times 0.25) = 0.9913$ 乘以期货合约的数量。结果是需要购买99份合约（而不是100份）。
表6-1 显示了2013年5月的美国市场利率曲线结构为上坡型。从“前一天闭盘价”（Prior Settlement）列看出，在2013年6月17日、2013年9月16日、2013年12月16日、2015年12月14日、2017年12月18日以及2019年12月16日开始的3个月的期货利率分别为 $0.275\%$ 、 $0.295\%$ 、 $0.325\%$ 、 $0.900\%$ 、 $2.270\%$ 以及 $3.240\%$ 。
例 6-3 中说明了一个投资者如何通过运用欧洲美元期货合约来对冲未来某 3 个月时间段里的利率风险。注意对冲头寸的现金流时间并不是与被对冲的利率现金流时间完全一致，这是因为期货是每日结算的，而且最后的结算日是在 9 月份，但是投资的利息收入是在其后的 3 个月，即 12 月份。如例子所示，我们可以将对冲头寸稍微进行调整来反映结算日与投资利息收入时间的不同。
与 CME 集团欧洲美元期货类似的利率期货产品在其他国家也有交易。CME 集团也进行欧洲日元（Euroyen）交易。伦敦国际金融期货及期权交易所（此交易所为 Euronext 的一部分）进行 3 个月期的 Euribor 合约（即关于欧元区银行之间欧元存款的 3 个月期利率）以及 3 个月期欧洲瑞士法郎（Euroswiss）的期货交易。
6.3.1 远期与期货利率的比较#
欧洲美元期货与远期利率合约（FRA，见4.7节）很相似，它们都可以用于锁定在将来某个时间段里的利率。对于较短的期限（不长于大约1年），可以假设欧洲美元期货利率与相应的远期利率相同。对于较长期限的合约，了解它们之间的区别是很重要的。考虑介于时间 $T_{1}$ 与 $T_{2}$ 之间的期货合约利率和相应的远期合约利率。对欧洲美元期货合约要每天进行结算，最终的结算是在 $T_{1}$ ，并反映了 $T_{1}$ 与 $T_{2}$ 之间的利率。与此相反，远期利率合约不是每天结算，最终的结算反映了 $T_{1}$ 与 $T_{2}$ 之间的利率，并且最终付款时间是在 $T_{2}$ 。
因此欧洲美元期货与远期利率合约之间有两个不同之处，它们是：
欧洲美元期货与一个类似但并不是每天结算的合约之间的不同, 后者为一个假想的远期合约, 其收益等于远期利率与 $T_{1}$ 时刻实际利率的差;
在时间 $T_{1}$ 结算的远期合约与在时间 $T_{2}$ 结算的远期合约之间的不同。
以上两个因素造成了两种合约之间的差异，并给从业人员带来了一定的困惑。两个因素都使远期利率低于期货利率，但对于长期限合约，以上第2个因素所带来的效果要远小于第1个因素。第1个因素（每天结算支付）使远期利率低于期货利率的原因可由在5.8节里的讨论来解释。假定你持有1份合约，合约在时间 $T_{1}$ 的收益为 $R_{M}-R_{F}$ ，其中 $R_{F}$ 为事先约定的介于 $T_{1}$ 与 $T_{2}$ 之间的利率， $R_{M}$ 为这一时间段的实际利率。假设你可以选择每天进行结算。这时，在利率较高时每天结算会造成现金流的流入，而在利率较低时会造成现金流的流出。在利率较高时，你可能会选择每天结算，因为这样会使保证金账户里有更多的现金。由于这个原因，市场对于每天结算所对应的 $R_{F}$ 会设的较高（减少预期累计收益）。换言之，从每天结算变为只在时间 $T_{1}$ 进行结算会降低 $R_{F}$ 的大小。
为了理解为什么第2个因素会使得远期利率变低，假定收益 $R_{M}-R_{F}$ 发生在 $T_{2}$ 而不是在 $T_{1}$ （就像正常的远期利率合约那样）。如果 $R_{M}$ 很高，该收益为正。因为利率较高，在 $T_{2}$ 收入收益所付代价比在 $T_{1}$ 收入收益所付代价要高。如果 $R_{M}$ 较低，收益为负。因为利率较低，在 $T_{2}$ 支付收益比在 $T_{1}$ 支付收益所得好处也相对较低。总而言之，你更希望在 $T_{1}$ 收到收益。如果结算日在 $T_{2}$ 而不是在 $T_{1}$ ，你会从 $R_{F}$ 的降低中得到补偿。
6.3.2 曲率调整#
分析员对于以上两种利率的差别进行曲率调整（convexity adjustment）。一种流行的做法是 $^{②}$
$$ \mathrm{远期利率} = \mathrm{期货利率} - \frac{1}{2} \sigma^{2} T_{1} T_{2}\tag{6-3} $$同上， $T_{1}$ 为期货合约的期限， $T_{2}$ 为期货合约标的利率所对应的到期时间。变量 $\sigma$ 为 1 年的短期利率变化的标准差，这里利率均为连续复利。 $^{③}$
考虑 $\sigma = 0.012$ 的情形, 我们想计算 8 年期限、欧洲美元期货价格为 94 所对应的远期利率。这时 $T_{1} = 8$ , $T_{2} = 8.25$ , 曲率调整为
$$ \frac{1}{2} \times 0.012^{2} \times 8 \times 8.25 = 0.00475 $$即 0.475%（47.5 个基点）。在天数计量惯例为 “实际天数/360” 的基础上，按每季度复利的期货利率为每年 6%，这对应于每 90 天的利率为 1.5%。对应于 “实际天数/365” 的天数计量惯例并按连续复利是每年（365/90） $\ln 1.015 = 6.038\%$ 。因此由式（6-3）所估计的远期利率为按连续复利每年 6.038 - 0.475 = 5.563%。以下表格显示了随着到期时间变化的曲率调整幅度。
| 期货的期限(年) | 曲率调解量(基点数) | 期货的期限(年) | 曲率调解量(基点数) |
| 2 | 3.2 | 8 | 47.5 |
| 4 | 12.2 | 10 | 73.8 |
| 6 | 27.0 |
以上结果显示调节数量大约与期货合约到期时间的平方成正比。因此，对于4年期限合约调节量大约是对于2年期限合约调节量的4倍。
6.3.3 利用欧洲美元期货来延长 LIBOR 零息收益率曲线#
期限小于1年的LIBOR零息曲线可由1个月、3个月、6个月以及12个月的LIBOR利率来确定。在经过刚刚描述的曲率调整以后，欧洲美元期货可用于延长曲线的期限。假定第i个欧洲美元期货的到期日为 $T_{i}$ （ $i=1,2,\cdots$ ）。通常假定第i个期货上得出的远期利率正好适用于区间 $T_{i}$ 与 $T_{i+1}$ （在实际中基本上是这样的），这使得我们可以采用票息剥离法来计算零息利率。假定 $F_{i}$ 是由第i个期货所得出的远期利率， $R_{i}$ 是期限为 $T_{i}$ 的零息利率。由式（4-5），我们有
$$ F_{i} = \frac{R_{i + 1} T_{i + 1} - R_{i} T_{i}}{T_{i + 1} - T_{i}} $$因此
$$ R_{i + 1} = \frac{F_{i} (T_{i + 1} - T_{i}) + R_{i} T_{i}}{T_{i + 1}}\tag{6-4} $$其他像欧洲瑞士法郎、欧洲日元以及 Euribor 这样的欧洲利率的使用方式与此类似。
400 天期限的 LIBOR 零息利率为 4.80%（连续复利），由欧洲美元期货报价得出的（a）在 400 天开始的 90 天远期利率为 5.30%（连续复利），（b）从 491 天开始的 90 天远期利率是 5.50%（连续复利），（c）从 589 天开始的 90 天利率是 5.60%（连续复利）。我们可以利用式（6-4）得出第 491 天的零息利率为
$$ \frac{0.053 \times 91 + 0.048 \times 400}{491} = 0.04893 $$即 $4.893\%$ 。类似地，我们可以采用第2个远期利率来得出第589天的零息利率
$$ \frac{0.055 \times 98 + 0.04893 \times 491}{589} = 0.04994 $$即 $4.994\%$ 。下一个远期利率 $5.60\%$ 将会用来确定对应下一个欧洲美元期货到期日的零息利率（注意，尽管欧洲美元期货利率期限为90天，假定其覆盖区间为两个相邻的期货到期日，区间长度为91天或98天）。
6.4 基于久期的期货对冲策略#
我们在 4.8 节中曾讨论了久期。假定我们持有一个与利率有关的资产组合（例如，债券组合或货币市场证券）。我们现在考虑如何利用利率期货来对这个资产组合进行对冲。
定义
$V_{F}$ : 1份利率期货合约的价格;
$D_{F}$ ：期货合约标的资产在期货合约到期日的久期值；
P: 被对冲的债券组合在对冲到期日的远期价值（在实际中，通常假定该价值等于债券组合的当前价值）；
$D_{p}$ ：被对冲的证券组合在对冲到期日时的久期值。
如果我们假定对应于所有期限，收益率的变动均为 $\Delta y$ ，即利率曲线的变动为平行移动，那么以下方程近似成立
$$ \Delta P = - P D_{p} \Delta y $$以下方程也近似成立
$$ \Delta V_{F} = - V_{F} D_{F} \Delta y $$因此用于对冲收益率变动 $\Delta y$ 所需的合约数量为
$$ N^{*} = \frac{P D_{P}}{V_{F} D_{F}}\tag{6-5} $$这个公式是基于久期的对冲比率（duration based hedge ratio），有时也被称为价格敏感性对冲比率（price sensitivity hedge ratio）。 $^{①}$ 利用这一关系式可以使整体证券头寸的久期变为0。
当采用国债期货进行对冲时，对冲者必须在假设某一特定债券将被交割的前提下计算 $D_{F}$ 。这意味着对冲者在实施对冲时，必须首先估计哪个债券可能是最便宜可交割债券。如果利率环境发生了变化，以至于其他债券变为了最便宜可交割债券，对冲者必须将对冲头寸进行调整，因此对冲效果也许会比预期的要差。
当利用利率期货进行对冲时，对冲者应注意利率与期货价格向相反方向变动：当利率上升时，利率期货价格下降；当利率下降时，利率期货价格上升。因此，在利率下降时会承受损失的公司应进入期货的多头。类似地，在利率上升时会承受损失的公司应进入期货的空头。
对冲人应选择期货合约使标的资产的久期尽量接近于被对冲资产的久期。欧洲美元期货常常被用于短期利率头寸对冲，而超级国债、长期国债和中期国债期货常常被用于对长期利率头寸的对冲。
假定今天是8月2日。一位负责管理价值为1000万美元的政府债券组合的基金经理十分担心在今后3个月内利率会剧烈变化，并决定利用12月份的国债期货来对冲债券组合的价格变动。12月份国债期货的报价为93-02，或93.0625。由于美元合约要交割面值为10万美元的国债，因此合约的价值为93062.50美元。
假设证券组合在3个月后的久期为6.80年。国债中最便宜可交割债券预计为20年期、券息率为 $12\%$ 的债券。这一债券当前收益率为每年 $8.80\%$ ，在期货到期时，其久期为9.20年。
基金经理需要进入国债期货的空头来对冲其证券组合的价格变动：如果利率上升，期货空头会带来收益，同时债券组合会产生损失；如果利率下降，期货空头会带来损失，但债券组合会产生收益。基金经理需要卖出债券期货头寸的数量可由式（6-5）求得，数量为
$$ \frac{10000000}{93062.50} \times \frac{6.80}{9.20} = 79.42 $$将以上数字取整，基金经理需要卖出79份合约。
6.5 对于资产与负债组合的对冲#
金融机构常常通过确保其资产平均久期等于其债务平均久期来对冲所面临的利率风险（负债可以被认为等同于债券的空头）。这种策略被称为久期匹配（duration matching），或证券组合免疫（portfolio immunization）。在实施这种策略以后可以保证利率的微小平行移动不会对资产与负债组合的价值产生太大的影响，即资产的收益（损失）与负债的损失（收益）相互抵消。
久期匹配不能使证券组合免疫于收益率曲线的非平行移动，这是该对冲策略的不足之处。在实际中，短期利率的变化幅度较大，并且与长期利率没有完美的相关性，有时甚至短期利率与长期利率会朝两个相反的方向变动，久期匹配只是进行利率管理的第一步，因此金融机构开发出了许多管理利率风险的其他方法，见业界事例6-3。
业界事例 6-3 银行的资产 - 负债管理
现在银行的资产－负债管理（ALM）委员会谨慎地监测自身的利率风险头寸。保证资产与负债的久期相匹配的做法有时只是第一步，但这种措施并不能在利率曲线非平行移动时对银行提供保护。这时一种流行的做法被称为缺口管理（GAP Management），这一管理方法将零息收益率曲线切为几段（buckets），第1段可能是0~1个月，第2段为第1~3个月等。ALM管理委员会检验当利率曲线的某一段移动而同时所有其他段都不动的情形下，对于资产以及负债价值的影响。
如果有不匹配的情况，银行会采取一定的纠正措施。管理过程会涉及按照4.10节所描述的方式来调整存款利率和贷款利率。另外一些管理办法是利用利率互换、远期利率合约、债券期货、欧洲美元期货以及其他形式的利率衍生产品。
小结#
在美国有两种最流行的利率期货：国债期货和欧洲美元期货。在国债期货中，空头方有以下几种有趣的交割选择。
在交割月份的任意一天均可进行交割；
在交割时, 有多种不同债券可作为选择;
在交割月中的任意一天，基于下午2点成交价格的交割意向通知可以在当天更晚时候发出。
这些选择往往会降低期货价格。
欧洲美元期货是关于在交割月份的第3个星期三前两天开始的3个月利率的合约。在构造LIBOR零息曲线时，欧洲美元期货利率常常被用于估计LIBOR远期利率。当采用长期限合约时，因为期货合约按市值定价的要求，我们必须对期货利率进行曲率调整。
在对冲利率风险时，久期是一个重要的概念。久期可以使对冲者能够了解一个债券组合由于收益率曲线一个微小的平行移动所引起变化的敏感性。它也可以帮助对冲者估计利率期货价格对收益率曲线微小变化的敏感性。对冲者可以利用久期计算出为了确保债券组合不受收益率曲线微小平行移动影响所需要的期货合约的数量。
基于久期对冲的一个关键假设是所有利率变化幅度均相等，这意味着利率期限结构只能平行移动。在实际中，短期利率一般比长期利率变化更为剧烈，并且如果期货合约的标的债券的久期与被对冲的资产久期存在明显不匹配时，对冲的效果可能会很不好。
推荐阅读#
Burghardt, G., and W. Hoskins. “The Convexity Bias in Eurodollar Futures,” Risk, 8, 3 (1995): 63–70.
Grinblatt, M., and N. Jegadeesh. “The Relative Price of Eurodollar Futures and Forward Contracts,” Journal of Finance, 51, 4 (September 1996): 1499–1522.
练习题#
6.1 一个美国长期国债在每年1月7日和7月7日支付券息，券息率为 $7\%$ ，对于面值为100美元的美国国债，从2014年7月7日至2014年8月8日之间的应计利息为多少？如果这一债券为企业债券，你的答案会有什么不同？
6.2 假定现在是2015年1月9日。券息率 $12\%$ 并在2030年10月12日到期的美国长期国债的报价为102-07。这一债券的现金价格为多少？
6.3 如何计算 CME 集团的债券转换因子？如何使用这些转换因子？
6.4 当一个欧洲美元期货价格由96.76变化为96.82时，一个持有2份合约多头的投资者的盈亏为多少？
6.5 对于欧洲美元期货利率所做的曲率调整目的是什么？为什么这种调整是必要的？
6.6350 天的 LIBOR 利率是 3%（连续复利），而且由 350 天期限的欧洲美元期货合约所得出的远期利率是 3.2%（连续复利）。估计 440 天期限的零息利率。
6.7 今天是1月30日。你负责管理的债券组合价值为600万美元。债券组合在6个月后的久期为8.2年。9月份到期的国债期货的当前价格为108-15，并且最便宜可交割债券在9月份的久期为7.6年。你将如何对今后6个月内利率变化进行对冲？
6.8 一个90天期限的国库券的报价为10.00。某投资者将这一债券持有90天，该投资者的连续复利收益率（基于“实际天数/365”）为多少？
6.9 今天是2014年5月5日。一个在2024年7月27日到期、券息率为 $12\%$ 的政府国债报价为110-07。这一债券的现金价格为
多少？
6.10 假定国债期货的价格为 101-12，以下 4 个债券中哪一个为最便宜可交割债券？
| 债券 | 价格 | 转换因子 |
| 1 | 125-05 | 1.2131 |
| 2 | 142-15 | 1.3792 |
| 3 | 115-31 | 1.1149 |
| 4 | 144-02 | 1.4026 |
6.11 今天是2015年7月30日。在2015年9月到期的国库券期货所对应的最便宜可交割债券的券息率为 $13\%$ ，预计交割时间为2015年9月30日，债券券息的支付时间为每年的2月4日和8月4日。期限结构为水平，每半年复利一次的利率为每年 $12\%$ 。这一债券的转换因子为1.5，债券的当前报价为110美元。计算这一期货合约的报价。
6.12 一个投资者在国债期货市场上寻找套利机会。一个具有空头的投资者可以选择支付任意期限大于15年并且小于25年的债券，这一选择会带来什么复杂性呢？
6.13 假定9个月期LIBOR利率为每年 $8\%$ ，6个月期LIBOR利率为每年 $7.5\%$ （两个利率天数计算惯例均为“实际天数/365”并连续复利）。估计在6个月时到期的3个月期欧洲美元期货报价。
6.14 假设 300 天期限的 LIBOR 零息利率是 4%，而对 300、398 和 489 天到期合约的欧洲美元报价分别为 95.83、95.62 和 95.48。计算 398 天和 489 天的 LIBOR 零息利率。假设在计算中不区别远期利率与期货利率。
6.15 假设一个久期为 12 年的债券组合用标的资产具有4年久期的期货合约来对冲。由于12年利率没有4年利率波动性大，这会给对冲造成什么影响？
6.16 假设现在为2月20日，某资金部主管意识到公司将必须在7月17日发行500万美元、期限为180天的商业票据。如果商业票据在今天发行，公司将收入482万美元（也就是说，公司可得资金482万美元，在180天后以500万美元将票据赎回）。9月份欧洲美元的报价为92.00。资金部主管如何来对冲其风险敞口呢？
6.17 在8月1日，某证券组合经理的债券组合价值为1000万美元。在10月份债券组合的久期将为7.1年。12月份国债期货在目前的价格为91-12，并且最便宜可交割债券在期货到期时的久期为8.8年。组合经理如何能使债券价值在两个月里对利率变化得到免疫？
6.18 一个证券组合的经理采取什么样的交易
作业题#
6.23 今天是2014年4月7日，每年券息为 $6\%$ （半年付息一次）的美国国债报价为120-00，该国债的到期日为2023年7月27日，该债券的现金价格为多少？如果该债券为企业债券，你的答案会有什么变化？
6.24 某国债期货的报价为103-12，3个可交割债券的价格分别为115-06、135-12及155-28，债券相对应的转换因子分别为1.0679、1.2264及1.4169，哪一个是最便宜可交割债券？
6.2512月份的欧洲美元期货合约报价为98.40，一个公司预计在12月份要借入800万美元，为期3个月，利率为LIBOR加 $0.5\%$ 。
(a) 用欧洲美元期货合约，该公司可以锁定什么样的利率？
(b) 公司应该进入什么样的头寸？
(c) 如果到时的实际 3 个月利率为 1.3%，那么期货合约的最终结算可将练习题6.17中的债券组合的久期转换为3.0年？
6.19 在2015年10月30日与2015年11月1日之间，你可以选择拥有券息率为 $12\%$ 的美国国债或者券息率为 $12\%$ 的美国企业债券。仔细考虑这一章所讨论的天数计算惯例，在其他条件相等的情况下，你会更愿意持有哪一个债券？忽略违约风险。
6.20 假定一个在 60 天到期的欧洲美元期货的报价为 88。介于 60 天与 150 天之间的 LI-BOR 远期利率为多少？在这一问题中忽略期货合约与远期合约的不同。
6.21 一个在6年后到期的3个月欧洲美元期货合约的报价为95.20。短期利率在1年内变化的标准差为 $1.1\%$ 。计算介于6年与6.25年之间的LIBOR远期利率。
6.22 解释为什么远期利率小于相应由欧洲美元期货合约中得出的期货利率。
价格是多少？
6.26 在 5.1~5.35 年间的欧洲美元期货的报价为 97.10。短期利率在 1 年内变化的标准差为 1.4%，估计 FRA 的远期利率。
6.27 假设现在是2014年3月10日，2014年12月国债期货的最便宜可交割债券为 $8\%$ 券息，预计在2014年12月31日交割；券息支付在每年的3月1日和9月1日。对应所有期限按连续复利的利率均为每年 $5\%$ ，债券的转换因子为1.2191，现在的报价为137美元，计算合约期货价格的报价。
6.28 假设一家银行可以在 LIBOR 市场以相同的利率借入或借出美元。90 天的利率为每年 10%，180 天的利率为每年 10.2%，两个利率均为连续复利，天数计算惯例为“实际天数/实际天数”，91 天到期的欧洲美元期货的报价为 89.5。对银行而言，这时会有什么样的套利机会？
6.29 某加拿大公司想采用美国欧洲美元期货和外汇远期合约来生成加元的 LIBOR 期货合约。用一个例子解释公司如何可以达到目的。在本题中假定期货合约与远期合约等同。
6.30 在2014年6月25日，2014年6月的债券期货合约是118-23。
(a) 计算在 2030 年 1 月 1 日到期，券息为 10% 的债券的转换因子。
(b) 计算在2035年10月1日到期，券息为 $7\%$ 的债券的转换因子。
(c) 假定 (a) 和 (b) 中的债券报价分别为 169.00 和 136.00，哪一个债券支付更便宜？
(d) 假定最便宜可交割债券在 2014 年 6 月 25 日确实被支付，卖出债券的现
金价格为多少？
6.31 在今后 3 个月，某证券经理打算采用国债期货合约来对冲其债券组合。组合价值为 1 亿美元，在 3 个月后久期为 4.0 年。期货价格为 122，每一份期货合约是关于 100000 美元的债券。在期货合约到期时，预计最便宜可交割债券的久期为 9 年。对冲所要求的期货头寸为多少？
(a) 在 1 个月后最便宜可交割债券换成一个具有 7 年久期的债券，对冲要进行什么样的调整？
(b) 假定在今后 3 个月内，所有利率均增长，但长期利率增长幅度小于中期与短期利率增长幅度。这对于对冲效果的影响是什么？
互换合约的诞生可以追溯到 1981 年 IBM 和世界银行签署的一笔货币互换，世界银行的借款是美元，而 IBM 的借款是德国马克和瑞士法郎。世界银行（直接以马克和瑞士法郎借款是受到限制的）同意支付 IBM 借款的利息，而 IBM 同意支付世界银行借款的利息。
自 1981 年第一笔交易之后，互换市场发展迅猛，现在互换合约在场外衍生产品市场中起了至关重要的作用。据国际清算银行的统计显示，利率互换交易占所有场外衍生产品市场的 58.5%，货币互换占场外衍生产品市场的 4%。在本章里我们将主要讨论标准利率互换和货币互换。在本章最后我们将对其他类型的互换进行简单描述，并在今后的章节里（第 25 章和第 33 章）进行详细讨论。
互换是指两个公司之间达成的在将来交换现金流的合约。在合约中，双方约定现金流的交换时间与现金流数量的计算方法。通常对于现金流的计算会涉及利率、汇率及其他市场变量在将来的值。
远期合约可以看作一种简单互换的例子。假定现在是2016年3月1日，某公司签订了一个1年期的远期合约，在合约中这家公司同意在1年后以每盎司1500美元的价格购买100盎司的黄金。在1年后，公司收到黄金后可以马上在即期市场将黄金变卖。这个在2016年3月1日生效的远期合约可以被认为是一个互换合约。在合约中，公司同意在2017年3月1日以现金150000美元换取数量为100S美元的现金流，其中S为1年后1盎司黄金的市场价格。远期合约等价于在今后某一时间现金流的互换，而互换合约通常阐明在今后的多个时间点上交换现金流。
市场上最为流行（简单形式）的利率互换是以 LIBOR 与固定利息进行交换。对互换定价时，我们需要定义“无风险”贴现利率，并对现金流进行贴现。如 4.1 节所示，传统上 LIBOR 利率一直被作为对于“无风险”利率的近似，因此简单利率互换的定价过程被大大简化，原因是贴现利率与互换的参考利率是一样的。自 2008 年信用危机以来，其他形式的无风险利率已经被市场参与者采用，尤其是对于有抵押的交易。在本章，我们将继续假设 LIBOR 利率为无风险利率，在第9章里我们将重新考虑这一假设，并讨论无风险利率的不同选择对于利率互换的影响。