第4章 · 策略性交易者模型 I：知情交易者 #
前一章分析的序贯交易模型刻画了所有交易者竞争性行为时证券价格的特征。然而，私人信息的存在意味着知情交易者可能有动机采取策略性行为以最大化其利润。在本章中，我们研究分析这些基于信息的交易策略的主要模型。由于策略模型允许交易者选择交易时机或交易规模，这些模型中的均衡可能与序贯交易模型中竞争性结果的均衡截然不同。
策略交易者模型与早期微观结构模型的一个不同之处在于它们与理性预期（Rational Expectations）文献的明确联系。在理性预期模型中（例如 Grossman 和 Stiglitz [1980]），交易者决策问题的一个重要方面是他从市场统计量中对他人的信息进行的推断。在这里分析的微观结构背景下，知情交易者对做市商定价策略的猜测，以及做市商对知情交易者信息的推断，在决定均衡的性质（甚至存在性）方面起着关键作用。对于不熟悉理性预期方法的读者，本章附录提供了基本框架的回顾及其性质的讨论。
在接下来两章中，我们将研究这种方法如何被发展以处理微观结构中的策略性问题。作为起点，我们考虑一个基本问题：单个知情交易者如何最好地利用其信息优势以最大化利润。Kyle [1985] 在一个重要的证券市场批量交易模型中分析了这种策略行为。然后我们考察更复杂的策略性问题，涉及多个知情交易者和交易机制的性质。在下一章中，我们将分析扩展到包含非知情交易者的策略行为，并研究非知情策略行为对证券价格的影响。
4.1 知情交易者的策略行为#
在迄今考虑的模型中，拥有优势信息的交易者只是在每个交易机会提交订单，直到价格最终调整到新的全信息价值。如果市场中有大量交易者以竞争性方式行动，这种策略可能与实际市场行为相符。然而，如果只有一个或少数知情交易者，这种描述就不太准确了。问题在于，单个知情交易者拥有有价值的商品，作为"信息垄断者"（information monopolist），他应该采取行动利用这一优势。具体而言，交易者将选择其订单规模和交易强度，以明确考虑其交易对价格变动的影响。这要求知情交易者将对做市商定价策略的预期，以及非知情交易者可能的策略性行动，纳入其最优订单策略中。
最早在市场微观结构背景下处理信息策略性方面的模型是 Kyle [1984, 1985]。Kyle 的早期论文 [1984] 旨在分析期货市场中知情投机者的行为，因此包含多个投机者和多个做市商。由于关注点略有不同，我们将在本章稍后更全面地研究这项工作。Kyle [1985] 的分析采用了一个更简单的框架，其中单个风险中性的知情交易者和若干非知情流动性交易者向风险中性的做市商提交订单。做市商汇总所有订单并以单一价格清算所有交易。因此，与序贯交易模型不同，Kyle 的批量交易模型不允许存在买卖价差，也不分析单笔交易的成交价格。然而，该模型确实允许明确刻画知情交易者如何选择交易以最大化私人信息的价值。这反过来提供了一种方式，来描述在知情交易者策略性使用信息的情况下，信息如何随时间被纳入证券价格。
在 Kyle 模型中，一个风险中性的知情交易者接收到关于资产最终清算价值 v 的私人信息。该清算价值被假定为正态分布，均值为 $p_{0}$，方差为 $\Sigma_{0}$ 。起初，Kyle 考虑一个单交易期，其中知情交易者提交其最优订单，同时非知情交易者也提交订单。然后 Kyle 将模型在时间上扩展，考虑序贯拍卖和连续拍卖框架。由于直觉相同，我们将专注于模型的简化版本。
4.1.1 单次拍卖设定#
在这个批量清算模型中，做市商不看到单个订单，而是根据总净订单流设定市场出清价格。由于订单流同时包含知情和非知情交易，它可以向做市商提供潜在信息的信号，其方式与序贯交易模型类似。然而，实际的学习过程有所不同，因为影响价格行为的是总交易量，而不是任何单个交易的规模。
与序贯交易模型一样，必须存在一些非知情交易者出于非投机原因进行交易。否则，唯一的均衡将是价格设定在新的全信息价值上的完全揭示均衡。在 Kyle 模型中，这一要求通过假设存在"噪声"交易者（noise traders）来满足。Kyle 假设这些噪声交易者不采取策略性行为，而是提交一个正态分布的随机变量 $\mu$ 作为交易量，其均值为 0，方差为 $\sigma_{\mu}^{2}$ 。该随机变量被假定独立于资产价值 $\nu$ 的分布。
知情交易者知道 $\mu$ 的分布，因此可以试图利用非知情交易量来隐藏自己的交易。然而，Kyle 框架的一个重要方面是，知情交易者不知道非知情交易者需求的实际实现值。因此，知情交易者在提交订单时不能以非知情交易量为条件。¹ 这代表了与理性预期模型典型方法的显著不同。如附录所示，在这些模型中，知情交易者通常以均衡价格为条件来决定其最优订单。由于在实际市场中观察不到这种情况，Kyle 的框架捕捉了证券交易中更自然的的不确定性。
该模型中的交易规程涉及两步过程。第一步，v（资产真实价值）和 $\mu$（非知情交易者的订单流）实现，知情交易者选择其交易量 x。第二步，做市商观察到总净订单流量 $x + \mu$ 并设定单一价格 p 以出清市场。在均衡中，知情交易者的利润简单地由 $\pi = (\nu - p)x$ 给出。
该模型中的均衡比序贯交易模型更复杂，因为它涉及分析知情交易者和做市商双方的策略。在均衡中，假设做市商设定价格使得，给定订单流 $(x + \mu)$，价格是有效的。这意味着价格被设定为给定总订单量下资产的条件期望值。这一条件与序贯交易模型中的条件类似，但在这里做市商只观察并以总净交易为条件。这改变了特定学习问题的性质——在上一章中，每笔交易都是可观察的。然而，由于做市商设定的是"无悔"（regret-free）价格并赚取零期望利润，学习问题使用相同的贝叶斯框架解决，贝叶斯学习模型的一般结果也适用。
令做市商的定价策略由函数 $p = P(x + \mu)$ 表示。那么均衡价格必须满足
$$ \mathbf{P} (\mathbf{x} + \mu) = \mathbf{E} [ \mathbf{v} | \mathbf{x} + \mu ].\tag{4.1} $$知情交易者的订单策略 $X(\bullet)$ 取决于此定价规则以及非知情交易者订单分布的参数。虽然知情交易者不知道非知情交易者订单流的实际值，但他知道其分布的参数，并且他对做市商如何在给定任何订单流实现值下设定价格有预期。给定此定价规则，知情交易者的订单策略必须满足
$$ E \left[ \pi (\mathbf{X} (\bullet), \mathbf{P}) \mid \tilde{\mathbf{v}} = \mathbf{v} \right] > \mathbf{E} \left[ \pi (X^{\prime} (\bullet), P) \mid \tilde{\nu} = \nu \right], \quad \text{for each} \mathbf{v},\tag{4.2} $$即知情交易者遵循策略 $X(\bullet)$ 的期望利润大于遵循任何其他订单策略 $X'(\bullet)$ 的期望利润。
知情交易者的这种策略性行为意味着他明确考虑其交易对做市商设定的均衡价格的影响。在这个意义上，知情交易者充当"信息垄断者"，试图从其独特的私人信息中提取最大租金。相反，如果知情交易者竞争性地行动，那么批量市场中缺乏对交易规模的限制，加上交易者的风险中性，将导致价格立即调整到新的全信息价值。然而，在策略性行为下，这种立即调整不一定发生，知情交易者获得正的交易利润。
Kyle 证明在该模型中存在一个均衡，其中知情交易者和做市商的策略由下式给出
$$ \mathbf{X} (\mathbf{v}) = \beta (\mathbf{v} - \mathbf{p} _{0})\tag{4.3} $$和
$$ \mathrm{P} (x + \mu) = p_{0} + \lambda (x + \mu)\tag{4.4} $$其中
$$ \beta = \left(\frac{\sigma_{\mu} ^{2}}{\Sigma_{0}}\right) ^{1 / 2} \text{and} \lambda = 1 / 2 \left(\frac{\sigma_{\mu} ^{2}}{\Sigma_{0}}\right) ^{- 1 / 2}\tag{4.5} $$在分析此解的推导之前，有必要指出该均衡的两个重要性质。第一，知情交易者的最优订单量取决于非知情交易者订单流的方差。由于知情交易者不知道非知情交易量的实际值，他利用方差来向做市商"隐藏"其交易。这反过来意味着知情交易者的期望利润也取决于非知情订单方差。从公式中可以明显看出，非知情方差越大，知情交易者越能"隐藏"其交易，因此其利润也越大。
最优交易量还取决于信号方差，这是因为订单规模与价格调整之间存在策略性联系。具体而言，在此均衡中，定价规则是总订单量的线性函数。由于订单流由知情和非知情交易共同组成，$\lambda$ 变量反映了做市商根据交易的信息含量调整价格的程度。由于订单流变量 x 和 $\mu$ 是独立的连续随机变量，这种价格调整基于它们密度的卷积。因此，价格调整取决于噪声交易量与知情交易者预期拥有的私人信息量的比率。而由于知情交易者以该定价规则为条件进行交易，其最优交易策略也取决于这些变量。
该均衡的推导可以直接应用正态分布随机变量的条件分布法则得到。具体而言，如果 $\vartheta = <\vartheta(1)$ , $\vartheta(2)>$ 服从 $N(\mu, \Sigma)$ 分布，且 $\Sigma$ 非奇异，则
$$ E \left(\vartheta^{(1)} \mid \vartheta^{(2)}\right) = \mu^{(1)} + \Sigma_{12} \Sigma_{22} ^{- 1} \left(\vartheta^{(2)} - \mu^{(2)}\right).\tag{4.6} $$在我们考虑的背景中，可以通过定义来应用此公式
$$ \vartheta \equiv \binom{\tilde{\nu}}{\tilde{\gamma}}, \quad \mu = \binom{\mathrm{E} (\mathbf{v})}{\mathrm{E} (\mathbf{x} + \mu)} = \binom{\mathrm{p} _{0}}{\alpha + \beta \mathrm{p} _{0}},\tag{4.7} $$其中 $\tilde{\gamma}$ 是总（净）订单流，且
$$ \Sigma = \left( \begin{array}{c c} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c} \Sigma_{0} & \beta \Sigma_{0} \\ \beta \Sigma_{0} & \sigma_{\mu} ^{2} + \beta^{2} \Sigma_{0} \end{array} \right)\tag{4.8} $$然后应用 (4.6) 得出
$$ \begin{array}{r l} & {E (\nu \mid \gamma) = \mu^{(1)} + \Sigma_{12} \Sigma_{22} ^{- 1} \left(\gamma - \mu^{(2)}\right)} \\ & {\qquad = p_{0} + \frac{\beta \Sigma_{0}}{\sigma_{\mu} ^{2} + \beta^{2} \Sigma_{0}} \left(\gamma - \alpha - \beta p_{0}\right)} \\ & {\qquad = p_{0} + \lambda \gamma .} \end{array}\tag{4.9} $$这里推导出的 $\lambda$ 值就是方程 (4.5) 中给出的均衡解（经过适当代换后）。其他均衡值也可以类似地确定。
虽然这种机械化的方法得到了均衡解，但它并不能提供多少直觉，来说明底层决策问题如何导致均衡结果。也许通过研究做市商在给定订单流实现值 $x + \mu$ 下设定市场出清价格时所面临的学习问题，可以更好地理解这一点。与序贯交易模型一样，做市商根据他观察到的交易对潜在信息进行推断。虽然两种方法中的交易机制导致不同的交易信息，但两种方法中的学习问题都涉及贝叶斯法则的应用。具体而言，在交易开始之前，做市商对资产价值有一个先验信念，由正态分布 $N(p_{0}, \Sigma_{0})$ 给出。做市商将观察到某个净订单流 $x + \mu$，它由非知情订单和知情订单组成。非知情订单服从 $N(0, \sigma_{\mu}^{2})$ 分布，但知情订单取决于知情交易者看到的信息。
假设做市商相信知情交易者将遵循线性订单策略 $x = \beta(v - p_{0})$ 。做市商不观察 x，而是观察到 $x + \mu$，我们称之为 $\theta$ 。那么 $\theta = x + \mu = \beta(v - p_{0}) + \mu$ 。整理各项得到
$$ \theta / \beta + \mathbf{p} _{0} = \mathbf{v} + \mu / \beta .\tag{4.10} $$将方程左边记为 Z；于是
$$ \mathbf{Z} \equiv \theta / \beta + p_{0} = \mathbf{v} + \mu / \beta .\tag{4.11} $$注意 Z 服从 $N(\nu, \sigma_{\mu}^{2}/\beta^{2})$ 分布，其分布取决于 $\nu$ 和已知变量（我们很快就会明白为什么做市商知道 $\beta$ ）。因此，Z 是观察到的订单流的变换，其均值与基础资产相同。
给定 Z，做市商修正其对资产价值 v 的信念并设定市场出清价格。这个新价格将成为他的后验信念，因此做市商使用贝叶斯法则更新他的先验信念。² 因此新的后验均值为
$$ p_{1} = \frac{p_{0} / \Sigma_{0} + Z (\beta^{2} / \sigma_{\mu} ^{2})}{1 / \Sigma_{0} + \beta^{2} / \sigma_{\mu} ^{2}}\tag{4.12} $$方差为
$$ \Sigma_{1} = \left(1 / \Sigma_{0} + \beta^{2} / \sigma_{\mu} ^{2}\right) ^{- 1}.\tag{4.13} $$重新整理各项并在价格方程中代入 $\beta$ 得到
$$ \begin{array}{r l} p_{1} & = \frac{p_{0} \sigma_{\mu} ^{2} + \sigma_{\mu} ^{2} Z}{\sigma_{\mu} ^{2} + \sigma_{\mu} ^{2}} = \frac{1}{2} (p_{0} + Z) \\ & = \frac{1}{2} (p_{0} + \theta / \beta + p_{0}). \end{array}\tag{4.14} $$回顾 $\theta = x + \mu$；因此这可以写为
$$ \begin{array}{l} p_{1} = p_{0} + \frac{x + \mu}{2 \beta} = p_{0} + \frac{1}{2} \left(\frac{\sigma_{\mu} ^{2}}{\Sigma_{0}}\right) ^{- 1 / 2} (x + \mu) \\ = p_{0} + \lambda (x + \mu), \quad \text{where} \lambda = \frac{1}{2} \left(\frac{\sigma_{\mu} ^{2}}{\Sigma_{0}}\right) ^{- 1 / 2}. \end{array}\tag{4.15} $$因此，做市商的价格确实与订单流呈线性关系。这种线性关系使得 $\beta$ 变量可以被做市商知道。具体而言，由于知情交易者推测价格将与交易量呈线性关系，他的目标函数是交易规模的二次函数。求解最大化问题得到的最优订单策略 $X$ 在资产价值上是线性的，即 $X(\nu) = a + \beta\nu$ 。因此，如果做市商遵循线性定价表，他可以解出 $\beta$ 的值必须是多少。
使这个均衡易于刻画的原因在于其线性结构。订单策略的线性性质很重要，因为它意味着知情交易者不会追求更复杂的混合策略，也不会以非线性的方式提交与底层信号价值相关的订单。因此，在知情交易者的这种策略性行为下，做市商知道总订单流与底层信号价值之间的关系也必须是线性的。由于在均衡中市场效率条件要求做市商将价格设定为条件期望值，这反过来意味着市场价格也将与交易量呈线性关系。
解释这种定价关系的一种方式是，大的交易量会导致"更差"的价格，但不会越来越差。因此，大量的交易结果不一定会导致做市商立即将价格调整到全信息价值——如果价格可以与交易量呈非线性关系，这种情况可能会发生。当然，价格和交易量线性关系的一个不幸含义是，如果负的交易不平衡足够大，做市商会希望设定一个负的价格。这表明，作为对实际价格行为的描述，线性定价规则充其量只是一个近似。
这种价格-交易量线性关系的第二个特征是，给定预期的非知情交易量，知情交易者总是选择其订单规模，使得其相对份额保持不变。因此，如果先验的非知情交易量翻倍，知情交易者也会将其订单规模翻倍。³ 这一点可以从知情交易者的订单策略看出
$$ x = \left(\frac{\sigma_{\mu} ^{2}}{\Sigma_{0}}\right) ^{1 / 2} (\nu - p),\tag{4.16} $$他的先验利润为
$$ \pi = \frac{1}{2} \left(\Sigma_{0} \sigma_{\mu} ^{2}\right) ^{1 / 2}.\tag{4.17} $$因此，将 $\sigma_{\mu}$ 翻倍只会使知情交易者提交的订单翻倍，这也会使知情交易者的期望利润翻倍。
在非知情交易者和知情交易者都交易两倍的情况下，一个有趣的问题是价格会发生什么变化？有趣的是，在这个模型中，价格没有先验变化。要理解这一点，注意到做市商的价格可以写为
$$ \mathrm{p} = \mathrm{p} _{0} + \frac{1}{2 \left(\frac{\sigma_{\mu} ^{2}}{\Sigma_{0}}\right) ^{1 / 2}} \left[ \left(\frac{\sigma_{\mu} ^{2}}{\Sigma_{0}}\right) ^{1 / 2} (\mathbf{v} - \mathrm{p} _{0}) + \mu \right].\tag{4.18} $$因为 $\sigma_{\mu}^{2}$ 的变化同时影响最优 x 和最优 $\lambda$，这些效应在定价方程中相互抵消。这意味着市场中的价格行为独立于市场交易量等因素。正如稍后将讨论的，这一结果关键取决于固定数量（在这里是一个）知情交易者的假设。
理性预期要求知情交易者推测的定价规则实际上就是做市商使用的定价规则。在上面提到的均衡中，这一要求得到满足，因为知情交易者推测是线性定价规则，而做市商实际上确实使用该线性定价规则。但这是唯一可能存在的均衡吗？特别地，如果知情交易者推测了一个不同的定价规则，这也能导致均衡吗？
一般来说，均衡的唯一性问题无法回答。在 Kyle 的框架中，没有其他线性均衡，但可能存在非线性均衡。在非线性均衡中，做市商不会在价格和交易量之间建立线性关系（进而延伸到基础资产价值），因此知情交易者的订单策略不必是线性的，甚至不必是纯策略。一个更实际的困难是，为模型提供大部分可处理性的线性结构将丧失，以至于即使仅仅是描述这些其他均衡也将是极其困难的。
由于 Kyle 模型的目标是描述知情交易者如何基于信息进行交易，这种多重均衡的可能性并不构成严重困难。然而，在理性预期模型应用于微观结构问题的其他场景中，这类问题更为重要。特别是，如果可能存在多个均衡结果，那么归因政策含义就非常成问题。一个相关的困难是，在这个模型以及许多其他基于理性预期的模型中，依赖于随机变量联合正态性的假设。虽然这一假设对于可处理性是必要的，但它直接影响关于最优交易规模、交易量效应等因素的预测。我们将在后续章节中更详细地回到这些问题。
在上述单次拍卖框架中，知情交易者的最优订单策略导致做市商的新信念反映了部分——但不是全部——知情交易者的信息。然而，这种信息揭示并不意味着新的市场价格 $p_{1}$ 必然更接近真实价值 v。最终的价格取决于实际的净订单流。一个意外大的非知情买入失衡可能压倒知情交易者的卖出订单，导致做市商设定高价格，即使全信息价值很低。信息影响价格行为的是通过方差。回顾后验分布的方差为
$$ \Sigma_{1} = \left(\frac{1}{\Sigma_{0}} + \frac{\beta^{2}}{\sigma_{\mu} ^{2}}\right) ^{- 1}.\tag{4.19} $$代入 $\beta$ 并重新整理，得到
$$ \Sigma_{1} = \frac{\Sigma_{0} \sigma_{\mu} ^{2}}{\sigma_{\mu} ^{2} + \sigma_{\mu} ^{2}} = \frac{1}{2} \Sigma_{0}\tag{4.20} $$因此，无论实际交易结果如何，新方差恰好是先验方差的一半。这就是 Kyle 所说交易者的最优订单策略将导致其一半的信息被市场价格揭示的含义。注意这个方差效应是确定性的，因此做市商关于 v 的新信念的离散程度是先验的一半，尽管它们的新实现均值不一定更准确。⁴
上图描绘了做市商在时间 0 的先验信念。这也是（交易发生前的）期望后验。在时间 1，实际后验取决于交易结果。
取决于净订单流（此处描述为高或低），做市商的信念转移到 $p_{iL}$ 或 $p_{1H}$ 。新方差为 $\Sigma_{1} = \Sigma_{0/2}$ 。
图4.1 做市商信念的演化
图 4.1 通过考虑做市商的信念（和价格）如何变化来说明这种方差效应。在时间 0，做市商的信念由 $N(p_0, \Sigma_0)$ 给出。在交易结果之后，做市商的信念发生变化，使得它们的新分布以 $p_1$ 为中心，并且恰好具有先验分布方差的一半：$N(p_1, \Sigma_0 / 2)$ 。注意，由于该模型中的价格是鞅（Martingale），在时间 1 的交易结果出现之前，期望后验均值为 $p_0$ 。当然，平均而言，后验均值向 $\nu$ 移动。为了理解这一点，从 (4.18) 可知 $p_1$ 在 $\nu$ 条件下的期望为 $E[p_1 \mid \nu] = (p_1 + \nu) / 2$ 。
很容易看出，经过足够多轮交易，方差将收敛到零。后验均值也将（几乎必然地）收敛到真实值 v。这是因为总订单流的样本均值 $Y_{t}$ 由下式给出
$$ \frac{1}{T} \sum_{t = 1} ^{T} Y_{t} = v + \frac{1}{\beta} \frac{1}{T} \sum_{t = 1} ^{T} \mu_{t}.\tag{4.21} $$根据强大数定律（Strong Law of Large Numbers），
$$ \frac{1}{T} \sum_{t = 1} ^{T} \mu_{t} \rightarrow 0, \quad \text{almost surely},\tag{4.22} $$因此
$$ \frac{1}{T} \sum_{t = 1} ^{T} Y_{t} \rightarrow 0, \quad \text{almost surely},\tag{4.23} $$因此，经过多轮交易，价格收敛到其全信息价值。
然而，如果有多轮交易，上述分析的均衡是否真正成立就不清楚了。难点在于，在一次性交易模型中，知情交易者只需考虑其交易对该期价格的影响，而在重复交易机会下，还必须考虑多期影响。这创造了一个更复杂的决策问题，因此需要一个更丰富的模型。将多期纳入模型可以以序贯拍卖或连续拍卖的方式实现。我们首先考虑 Kyle 中的序贯拍卖框架，然后考察 Back [1992] 发展的连续交易模型。
4.1.2 多交易期均衡#
Kyle 通过考察一个交易日内进行 N 轮交易的序贯拍卖来处理多期问题。这是一个离散时间设定，但随着期数变大，它趋近于连续拍卖。在多期设定中，知情交易者面临的问题是，他每期的交易决策通过它们对价格信息含量的影响而相互联系。如果交易者选择在早期交易大量，这在后期会因"更差"的价格而受到惩罚。因此，交易者的最优订单策略必须同时考虑未来和当前的交易机会与利润。由于这些机会部分取决于非知情交易者的行为，其行为需要更详细地指定。
Kyle 假设随着期数变大，非知情交易 $\tilde{u}(t)$ 遵循布朗运动（Brownian motion），因此 $\Delta\tilde{u}_{n}$ 服从均值为零、方差为 $\sigma_{\mu}^{2}\Delta t_{n}$ 的正态分布。这一假设的一个含义是，一次拍卖中非知情交易的数量独立于其他拍卖中的非知情交易数量。由于知情交易者的交易数量不会如此，正是信息与数量的这种联系最终将导致价格反映所有潜在信息。
在此设定中，知情交易者的利润现在取决于他在 N 次序贯拍卖中的交易行为和价格。知情交易者在拍卖 $n, \ldots, N$ 中的利润由下式给出
$$ \tilde{\pi} _{n} = \sum_{k = n} ^{N} (\tilde{\nu} - \tilde{p} _{k}) \Delta \tilde{x} _{k}.\tag{4.24} $$这个递归模型的均衡解涉及与单次拍卖模型相同的一般线性形式。在此均衡中，价格与订单流线性相关，知情订单策略与真实资产价值线性相关。随着交易发生，做市商使用贝叶斯法则更新他的信念，并将市场出清价格设定为他的后验信念均值。做市商和知情交易者的策略由下式给出
$$ \Delta X_{n} (\tilde{\nu}) = \beta_{n} (\tilde{\nu} - p_{n - 1}) \Delta t_{n}\tag{4.25} $$和
$$ p_{n} = \lambda_{n} (\Delta x_{n} + \Delta \mu_{n}),\tag{4.26} $$知情交易者的期望利润为
$$ E \left\{\pi_{n} \mid p_{1}, \dots , p_{n - 1}, v \right\} = \alpha_{n - 1} \left(v - p_{n - 1}\right) ^{2} + \delta_{n - 1}.\tag{4.27} $$方程 (4.24)-(4.27) 中的常数现在是差分方程系统的唯一解
$$ \lambda_{n} = \frac{\beta_{n} \Sigma_{n}}{\sigma_{\mu} ^{2}},\tag{4.28} $$$$ \beta_{n} \Delta t_{n} = \frac{1 - 2 \alpha_{n} \lambda_{n}}{2 \lambda_{n} (1 - \alpha_{n} \lambda_{n})},\tag{4.29} $$$$ \alpha_{n - 1} = \frac{1}{4 \lambda_{n} (1 - \alpha_{n} \lambda_{n})},\tag{4.30} $$$$ \delta_{n - 1} = \delta_{n} + \alpha_{n} \lambda_{n} ^{2} \sigma^{2} \mu \Delta t_{n}.\tag{4.31} $$因此，序贯拍卖均衡比之前发现的单次拍卖均衡更复杂。常数项捕捉了订单策略与价格变动之间的多期联系，因此它们形成了一个差分方程系统。虽然与之前相同性质的线性均衡仍然存在，但订单策略中的系数 $\beta_{n}$ 和价格策略中的系数 $\lambda_{n}$ 每期都在变化。⁵
特别值得注意的是知情交易者如何选择在时间上策略性地利用他的信息。该均衡的一个关键性质是信息随时间逐渐被纳入价格。而在单期框架中，知情交易者选择订单使得下一期的价格反映其一半的信息，现在这不再是最优的。实际上，方差的形成为
$$ \Sigma_{n} = (1 - \beta_{n} \lambda_{n} \Delta t_{n}) \Sigma_{n - 1}.\tag{4.32} $$当模型中的时间段缩短以趋近连续拍卖时（即 $\Delta t_{n} \rightarrow 0$ ），知情交易者的这种平滑行为导致价格具有恒定的波动性。⁶ 正如预期，价格路径也具有价格是鞅的性质，因此价格是"有效"的——非知情观察者对未来价格的期望就是今天的价格。Kyle 证明价格最终会反映知情交易者的新信息，在连续拍卖框架中价格纳入所有信息。
该均衡的一个结果是，知情交易者通过连续交易比通过某种混合策略试图操纵价格能获得更多利润。然而，与序贯交易模型不同，知情交易者并不每期交易相同的数量。由于他和做市商的策略中的系数每期都在变化，他的最优交易规模也在变化。事实上，正是这种改变交易规模的能力使得交易者能够向做市商"隐藏"自己。由于知情交易者最终会被做市商"发现"，利润是有界的，并且可以计算信息的回报。
在序贯拍卖模型中，知情交易者在一系列离散的集合市场中交易。随着这些市场之间的间隔趋近于零，交易行为趋近于连续市场。Back [1992] 对连续市场中的交易进行了更形式化的分析。他刻画了连续交易中产生的均衡，特别地，他在允许资产价值有更一般分布的模型中确定了均衡定价规则。由于 Back 的模型本质上是离散时间 Kyle 模型的极限，在这个连续设定中推导的性质可能为了解 Kyle 均衡的更一般性质提供洞见。
与其研究模型连续时间结构的复杂机制，不如考虑一般方法及其均衡结果。在该模型中，交易发生在区间 [0, 1] 内。在时间 1，假设公共信息到达，资产价值已知为 $\tilde{\nu}$ 。市场中的知情交易者在时间 0 就知道 $\tilde{\nu}$ 。非知情交易者不知道 $\tilde{\nu}$ 的实现值，竞争性的风险中性做市商也不知道。
交易过程的结构在此模型中极为重要。非知情交易 Z 被假定遵循布朗运动。有一个单一的知情交易者，其交易 X 被假定为适应于 v 和 Z 的半鞅（semi-Martingale）。这种半鞅性质允许交易过程出现跳跃，尽管 Back 表明在均衡中不会发生这种跳跃。风险中性的竞争性做市商竞争订单流 $Y_{t} \equiv X_{t} + Z_{t}$ 。
在这个模型中，知情交易者可以通过持续监控订单流来推断非知情交易，因此他可以在提交订单之前知道 Z 是多少。然而，这种以非知情交易为条件的能力最终对知情交易者并无优势。虽然在离散时间模型中，简单地抵消非知情交易（设 X = -Z）将是有用的，但在连续时间模型中，大订单会在订单过程中引入跳跃。由于非知情订单没有这种跳跃，这种订单行为对知情交易者来说不是最优的，因为它暴露了他的交易，从而暴露了他的信息。
该模型中的均衡涉及找到一个定价规则 P 和一个订单策略 X，使得在给定 P 下，X 在所有交易中为交易者提供最高效用，并且在给定 X 下，P（更准确地说，$P(Y_{b}, t)$ ）对做市商是合理的。找到 X 需要求解交易者优化问题的贝尔曼方程（Bellman equation）。⁷ Back 表明，如果 X 的贝尔曼方程存在解，那么最优性要求策略 X 具有两个性质。第一，X 具有连续的有限变差路径。第二，$P(Y, 1) = v$ ，几乎必然：所有信息在交易结束时几乎必然被纳入价格。
X 的这些性质使 Back 能够通过关注底层订单流来刻画最优定价规则。Back 表明，当 X 具有连续的有限变差路径时，为使定价规则 P 合理，订单流 $(Y_{t}, t)$ 必须是鞅。如果订单流 $(Y_{t}, t)$ 是鞅且 X 具有连续的有限变差路径，那么这意味着订单流 $(Y_{t}, t)$ 也必须是布朗运动。这是模型的关键，因为如果非知情订单 Z 遵循布朗运动且总订单 Y 遵循布朗运动，那么知情交易 X 必须具有与非知情交易 Z 相同的分布。
这种订单过程行为解释了为什么简单地将知情订单设为抵消非知情订单不能是最优的。由于非知情订单遵循布朗运动，订单过程中没有离散跳跃。知情订单流必须具有与非知情相同的分布，因此也不能有离散跳跃。Back 表明，在此条件下，单个知情交易者可能存在许多最优交易策略。
给定这种订单流行为，Back 求解了最优定价规则。这种方法的优势在于 Back 找到了这个一般问题的闭式解，而不仅仅是 Kyle 考虑的具体例子。Back 表明最优定价规则具有价格变化与订单规模成比例的性质。如果资产价值是正态分布的（如 Kyle 中），那么 Back 表明定价规则与 Kyle 中发现的相同线性规则一致。对于对数正态分布的资产价值，价格遵循几何布朗运动，定价规则具有不同的形式，但仍然是以订单量为变量的函数。
这种连续时间方法允许以多种有趣的方式研究均衡。例如，Back 模型可以考虑流动性交易者订单过程变化对均衡的影响。如果流动性交易在一天中变化（例如，中午交易较少），那么知情交易者的最优策略也会变化。Back 表明，当流动性交易较多时，知情交易更多，波动性更大，传递的信息也更多，而流动性交易较少时则相反。这些结果表明知情交易者最优订单策略的复杂性超出了离散时间 Kyle 模型的预测。⁸ 该模型也为我们在下一章中研究的非知情行为研究提供了有趣的补充。
因此，Kyle 模型及其扩展提供了刻画单个知情交易者如何最优地利用其信息优势的优雅方法，以及这反过来对价格过程的含义。虽然该模型没有像序贯交易模型那样捕捉价格（或报价）对单笔交易的演化，但它允许明确计算信息的回报。在后续工作中，这将使作者能够将信息市场的均衡纳入他们对证券市场均衡的分析中。
当然，Kyle [1985] 模型中没有包含策略性行为的许多方面。其中一个方面是订单策略，因为在该模型中，单个知情交易者不允许提交价格条件订单。给定交易的批量性质，更自然的刻画可能是通过限价订单进行交易，这允许交易者在其交易规模上有更大的灵活性。Kyle [1985] 模型可以重新构造为包含价格条件订单，在单次博弈中内幕交易者利润和信息揭示保持不变。然而，订单策略与交易机制之间关系的一般性问题仍然是一个未解问题。我们将在本章稍后更详细地考虑这个问题。
第二个重要的策略性问题是多个知情交易者对均衡的影响。由于知情交易者策略性地行动，在均衡中他获得正利润。然而，这些正利润可能诱导其他交易者也成为知情交易者，因此均衡中知情交易者的数量是内生的。在只有单一知情交易者的 Kyle [1985] 模型中，这种基于信息的交易的内生性问题没有被考虑。然而，如果可以存在多个知情交易者，那么前面推导的解是否仍然是均衡就不清楚了。一个相关的问题是通过非私人渠道获取信息的可能性。如果公开可用信息的数量可以变化，那么私人信息价值必将受到影响。这些问题表明需要研究在知情交易者不是垄断者的情况下，信息如何影响交易行为。
4.2 价格行为与多个知情交易者#
允许多个知情交易者给分析带来了一个重要复杂性。如果知情交易者不再是垄断者，其他知情交易者的行动将影响价格，从而影响私人信息的回报。在具有多个竞争性知情交易者的理性预期模型中，这种相互依赖通常导致价格反映如此多的信息以至于它们变得揭示信息。既然成为知情者没有回报，交易者就完全没有动力首先收集信息，信息被纳入价格的过程也变得可疑。
人们可能期望这个困难可以通过简单地允许理性预期模型中的知情交易者策略性地行动来克服。然而，这并不容易实现。原因在于，在标准的理性预期均衡中，实际的交易机制或市场设计从未被考虑。由于交易者是竞争的，订单如何影响"交易条件"是不相关的，因为它不影响他们的交易行为。然而，如果交易者策略性地行动，实际交易机制确实重要，因为它决定了交易如何影响价格，这反过来影响交易者的订单策略。
给定一个特定的交易机制，可能可以计算交易者订单对价格的影响，从而开始研究多个知情交易者对市场行为的影响。这是 Kyle [1984] 以及最近的 Foster 和 Viswanathan [1993]、Holden 和 Subrahmanyam [1992] 所采用的方法。虽然 Kyle 模型高度结构化，但它确实在价格不揭示信息的模型中明确包含了多个知情交易者，因此它为我们讨论提供了一个有用的起点。
Kyle 模型采用一个简单的三日期框架，涉及 N 个投机者（或知情交易者）和 M 个做市商。$M = \infty$ 的极限情况对应于竞争性情况，而较小的 M 值允许做市商行使一定的市场力量。该模型共享 Kyle [1985] 的批量交易方法，并且也要求投机者必须在知道其交易价格之前提交市价订单。这种时间惯例将使价格不揭示信息——在更常规的理性预期模型中价格会是揭示信息的。该模型与 Kyle [1985] 模型的一个重要区别是交易只发生在两个日期。在时间 2 结束时，所有合约被假定清算，因此价格随时间向信息调整的问题不能在此框架中解决。
在该模型中，有两种信息来源：私人信息和公共信息。公共信号被所有市场参与者观察到，而私人信号只有知情交易者知道。线性均衡框架也适用于该模型，因此知情交易者的策略本质上是相同的。在多个投机者下，该策略将取决于知情交易者的具体数量，这种依赖性反过来允许分析增加（或减少）知情交易者数量的影响。由于该模型涉及几个高度风格化的假设，也许考虑该方法的一般含义比分析其具体推导更有用。
如果知情交易者的进入是可能的，那么在均衡中任何交易者成为知情者的利润必须等于这样做的成本。因此，知情交易者的数量可以内生地确定，并可以确定这对价格的影响。可以将知情交易者内生性视为对知情利润有两种效应。第一，如果更多知情交易者进入，则有更多潜在交易者分享私人信息产生的盈余。因此，交易者数量对人均利润有直接效应，进入降低任何单个交易者的回报。第二，可能更重要的效应是交易者数量对交易行为的影响。由于每个知情交易者将在给定所有其他交易者预期行为下选择利润最大化的交易，总交易者数量将影响每个个体交易的规模。这提高了基于信息的交易总量也会随知情交易者数量变化而变化的可能性。
研究这些问题的一种方法是考察这种知情交易者内生性对价格信息含量的影响。假设我们考虑改变市场中非知情噪声交易的数量。在 n 外生固定的情况下，增加噪声量 $(\sigma_{\mu}^{2})$ 对价格没有影响，因为知情交易者（或交易者，如 Kyle [1985] 中）只是增加他们自己的交易以保持相对效应不变。这导致增加 n 个知情交易者的总利润，但对价格水平没有影响。然而，如果 n 是内生的，情况就不同了。增加噪声交易增加了知情交易者的潜在利润，这反过来诱导更多进入。虽然现有知情交易者改变其交易量以纳入这些额外知情交易者的影响，Kyle 证明总体结果是基于信息的交易量增加。这使得价格更具信息性，因为更多数量的知情交易者通过交易揭示了更多他们的信息。实际上，知情交易者之间为了可用利润而竞争，从而减少了可供分享的总租金。
一个相关但相反的进入效应发生在公开可用信息量增加时。在这种情况下，如果 n 固定，价格明确反映更多信息，因此更"有效"。这减少了私人知情交易者的利润，因为他们信息优势的一部分被公开信息披露所消散。如果 n 是内生的，价格信息含量的增加也导致一些知情交易者退出，结果是他们的私人信息中较少的部分被纳入价格。Kyle 提供了一个漂亮的结果：公共信号信息含量的增加足以抵消知情交易者活动减少的影响，导致价格总体上更具信息性。
需要强调这些结果的一个方面是，它们是在风险中性环境中推导出来的。在这个模型中，与 Kyle [1985] 一样，所有交易者和做市商都被假定为风险中性的。这一假设大大简化了交易者的行为，因为只需要考虑均值效应。然而，如果交易者或做市商关心方差，他们的行为可能会有显著不同。特别是，如果知情交易者是风险厌恶的，那么交易的总规模可能影响每个交易者的决策，导致在知情交易者数量变化时产生截然不同的效应。
这些风险厌恶效应是 Subrahmanyam [1991b] 研究的焦点。使用 Kyle [1984] 模型，Subrahmanyam 证明，如果交易者是风险厌恶的，增加知情交易者数量实际上可能降低市场流动性。这个结果——与风险中性交易者预测的结果相反——出现是因为风险厌恶以两种方式改变交易者行为。第一，风险厌恶导致交易者比风险中性时交易更不激进。第二，交易者的总数量现在影响交易者整体的总风险容忍度。
Subrahmanyam 表明，这两种效应导致价格对订单流的敏感度（$\lambda$ ）在知情交易者数量上呈单峰形。⁹ 随着知情交易者数量增加，$\lambda$ 最初增加，反映风险厌恶交易者比风险中性交易者交易更不激进。然而，随着更多交易者加入，第二种总风险容忍度效应占主导，$\lambda$ 下降。这些双重效应意味着，虽然交易者仍然相互"竞争"，但对于小数量的知情交易者，从反映潜在信息的角度看，价格实际上可能"恶化"。因此，知情交易者之间的竞争从信息揭示的角度看并不一定改善市场。我们将在下一章研究非知情行为变化如何影响市场行为时进一步讨论这些价格效应。
因此，在 Kyle [1984] 和 [1985] 两个模型中，风险中性的知情交易者都可以策略性地利用私人信息以最大化其利润。两个模型的重要之处都在于，知情交易者考虑了其交易对"交易条件"或更简单地说对市场价格的影响。当知情交易者是信息"垄断者"时（如 Kyle [1985]），交易者可以控制信息流，使得出现的价格路径具有恒定的波动性。当存在多个知情交易者时，这种控制就不那么大了，而且毫不奇怪，知情交易会导致价格更早地反映信息。
后一个性质提出了一个重要问题：这种价格调整究竟有多快。如果价格调整对知情者数量非常敏感，那么市场价格可能很快达到"全信息"有效水平。伴随的效应将是信息的回报变小，留给交易者花费资源收集新信息的激励很小。在这种情况下，Kyle [1985] 模型中关于交易量、深度和价格行为的有趣结果可能不再成立。
这个多知情交易者下的价格调整问题由 Holden 和 Subrahmanyam [1992] 以及 Foster 和 Viswanathan [1993] 研究。两篇论文都使用了 Kyle [1985] 模型的变体，其中知情交易者的数量允许变化。Foster 和 Viswanathan 的论文以一种潜在重要的方式扩展了 Kyle 模型，允许随机变量椭圆分布。在此框架下，他们解决了一些有趣的问题，包括多个知情交易者对价格行为的影响。Holden 和 Subrahmanyam 的论文保留了原始的 Kyle 结构，但在存在多个知情交易者时求解了差分方程系统。由于这与我们之前的讨论相关，我们将重点放在后一篇论文上。
Holden 和 Subrahmanyam（以下简称 HS）从 Kyle 序贯拍卖框架开始，但允许 M 个知情交易者。由于存在多个知情者（并且每个都知道有多少个），每个交易者关于其他知情交易者行为的猜测影响均衡结果。在此模型中，每个知情交易者知道相同的信息，并且在各个方面都是相同的，因此每个也猜测相同的事情。这大大简化了求解，因为它允许任何单个知情交易者的决策问题可以表述为一个简单的博弈。
HS 证明存在一个唯一的线性均衡，其中对于常数 $\alpha_{n}, \beta_{n}, \lambda_{n}$ 和 $\Sigma_{n}$ ，以下对所有的拍卖 $n = 1, \ldots, N$ 和所有的知情交易者 $m = 1, \ldots, M$ 成立：
$$ \begin{array}{c} {{\Delta x_{n} = m \beta (\nu - p_{n - 1}) \Delta t_{n},}} \\ {{\Delta p_{n} = \lambda (\Delta x_{n} + \Delta u_{n}),}} \\ {{\Sigma_{n} = \operatorname{var} (\nu \mid \Delta x_{1} + u_{1}, \dots \Delta x_{n} + u_{n}),}} \\ {{E (\pi_{n} \mid p_{1}, p_{2}, \dots , p_{n - 1}, \nu) = \alpha_{n - 1} (\nu - p_{n - 1}) ^{2} + \delta_{n - 1}}} \end{array}\tag{4.33} $$这个均衡与 Kyle 本质相同，但有一个根本性区别。在多个交易者下，常数 $(\alpha_{n}, \beta_{n}, \lambda_{n}, \text{and} \Sigma_{n})$ 的显式解需要求解一系列差分方程，但现在它们的均衡值明确取决于 M 个知情交易者的数量和预期交易行为。因此，每个交易者基于对其他人的预期确定其最优交易策略，这反过来影响均衡中的价格行为。这些常数的精确解是直接但繁琐的，与其专注于它们的推导，我们不如考虑它们的经济学含义。
这些常数中可能最有趣的是 $\lambda_{n}$ ，即市场深度参数（或订单流影响价格调整的程度），以及 $\Sigma_{n}$ ，即价格效率的度量（因为它反映了分布剩余方差）。回顾在 Kyle 模型中，单个知情交易者的行为使 $\lambda_{n}$ 基本保持恒定，而 $\Sigma$ 变量以确定性方式下降。HS 证明，当知情交易者作为不完全竞争者行动时，情况并非如此。在多个知情交易者下，$\lambda_{n}$ 在早期比信息垄断者情况下更大，并且在后期迅速下降。这反映了知情交易者在早期交易更加激进，导致更多信息更早被揭示。这反过来导致 $\Sigma_{n}$ 变量急剧下降到零，因为越来越多的信息被纳入价格。HS 证明，知情交易者的数量越大，$\lambda_{n}$ 和 $\Sigma_{n}$ 下降得越快。
通过考虑市场在交易区间数量增加时的极限行为，可以获得对价格调整过程的更多洞察。特别地，假设时间区间为 $\Delta dt = 1/N$ 且知情交易者数量固定。那么，在交易区间数量趋于无穷的极限下，HS 证明了两个有趣的结果。第一，令 $\tau$ 表示任意日历截止时间，他们证明对于任何 $\tau$ 之前的最后一次拍卖（ $n'$ ），
$$ \lim \Sigma_{n^{\prime}} = 0 \text{and} \lim \lambda_{n^{\prime}} = 0, \text{as} N \to \infty .\tag{4.34} $$这个结果可以解释为：当拍卖次数趋于无穷时，信息在任意小的时间段内被揭示。因此，无论你何时选择截止点 $\tau$ ，信息已经被揭示，市场深度（定义为 $1/\lambda$ ）已趋于无穷。这意味着，与 Kyle 框架不同，信息几乎立即被纳入市场价格。
通过考察交易区间数量趋于无穷时第一次拍卖的极限行为，可以确认这一直觉。具体来说，HS 证明
$$ \lim \beta_{1} = \infty , \lim E_{0} [ \Delta x_{1} \mid \nu ] = 0, \text{and} \lim \lambda_{1} = \infty , \text{as} N \to \infty .\tag{4.35} $$现在，第一期私人信息的存在导致市场深度非常小，反映了交易包含大量基于信息的交易的风险。在后期，当信息已被大部分纳入市场价格时，深度参数趋于无穷，因为知情交易的风险基本上消散了。这种市场深度行为同样反映在知情交易者的策略中，因为在第一次拍卖中，知情交易的期望量现在为零。这是因为 $\lambda$ 很低，知情者在第一期的任何交易对价格有如此大的影响，以至于它消灭了知情交易者信息的任何回报。
这些结果表明，当存在多个知情交易者时，市场价格反映信息的方式相当不同。这种多交易者影响可以直接通过考虑知情交易者数量趋于无穷时价格的极限行为来研究。给定固定数量的交易区间，HS 证明，对于第一次拍卖，
$$ \lim \Sigma_{1} = 0, \lim E_{0} [ \Delta x_{1} \mid v ] = \infty , \lim \lambda_{1} = 0,\tag{4.36} $$$$ \text{and} \lim p_{1} = \nu , \text{as} M \to \infty . $$因此，随着知情交易者数量趋于无穷，所有信息在第一个交易区间内被揭示，市场深度和知情交易的期望量趋于无穷，价格等于真实价值。
价格在第一期变得完全揭示是一个重要的结果。前面我们指出，在竞争性理性预期模型中，交易者的行为导致价格立即反映真实价值。Holden 和 Subrahmanyam 证明，同样的竞争性理性预期均衡也在多个知情交易者作为不完全竞争者的 Kyle 框架中出现。¹⁰ 产生这一结果的原因很简单：随着知情交易者数量增加，他们的最优策略变得越来越具竞争性。在单一知情交易者时保护信息回报的噪声交易，现在不足以阻止知情交易者的交易主导订单流。而且，与标准理性预期模型一样，价格立即反映潜在信息。
在价格反映全信息的情况下，我们面临标准困境：如果价格是有效的，交易者就无法从其信息中获得回报。然而，一个自然产生的问题是，在此设定中证明的结果是否仅仅是所分析的具体交易安排的人为产物。特别是，在更丰富的交易机制下，是否可能出现策略性交易的非揭示性均衡？事实上，所有微观结构研究中的一个重要问题是确定交易机制如何影响证券价格的行为。这一主题是第7章的焦点，我们将研究替代性市场结构和交易工具如何影响市场行为。在本章的剩余部分，我们考虑更理论性的问题：当知情交易者策略性行动时，交易机制如何影响均衡的性质。
4.3 策略行为与交易机制#
在标准理性预期模型中，实际的交易机制通常不被建模，很大程度上是因为研究的焦点是确定均衡的性质。相比之下，市场微观结构文献专注于建模交易过程的细节，旨在理解市场结构和组织如何影响产生的均衡。虽然这些方法可能看起来不同，但如果有一个不变的均衡实际上可以从任何（或至少广泛范围的）交易机制中产生，那么情况未必如此。因此，需要确定的是，理性预期模型中通常分析的均衡实际上是如何达到的。
解决这个问题的一种方式是问一个简单的问题：我能用 N 个知情交易者编写一个交易博弈（或机制），并在足够大的 N 下得到理性预期均衡吗？如果答案是否定的，那么整个理性预期均衡的合理性就受到质疑。如果答案是肯定的，那么交易机制的问题可能对市场设计的学生感兴趣，但对研究价格行为一般问题的研究者来说未必需要关注。
这基本上是 Blume 和 Easley [1990] 提出的问题。使用博弈论方法，他们证明，无论交易者数量如何，如果任何交易者拥有他独自掌握的信息，那么就不存在任何交易博弈或机制能为所有标准经济产生理性预期均衡。¹¹ 困难在于，如果一个交易者可以是"信息垄断者"，那么理性预期模型预测的价格是无法达到的。因此，理性预期文献中广泛分析的均衡一般不能期望会普遍存在。然而，在特定例子中，确实可能获得理性预期均衡。虽然这些例子的普遍性有限，但如果它们使用的交易机制本身具有研究价值，它们可能是重要的。
如前所述，当考虑策略性交易者行为时，这些交易机制问题变得特别重要。理性预期框架中的这些策略性问题是另一篇由 Kyle [1989] 完成的论文以及 Rochet 和 Vila [1993]、Jackson [1991] 工作的焦点。¹² 虽然 Kyle [1984, 1985] 模型允许策略行为，但所使用的特定交易机制不允许交易者以均衡价格为条件，因为交易者的订单必须在知道市场出清价格之前提交。Kyle [1989] 试图通过允许多个知情交易者提交完整的需求表来纳入更复杂的订单策略。这些需求表产生于交易者的最优策略，可以被视为价格条件订单的同构。Rochet 和 Vila 的模型与 Kyle [1989] 相似，但不同之处在于他们考虑一个独特的知情交易者和一个做市商连续统。
Kyle [1989] 模型回归到更标准的理性预期框架，考虑一个单期模型，其中交易者向中央市场提交需求。在这个模型中，市场出清由瓦尔拉斯拍卖师（Walrasian auctioneer）处理，他设定一个单一价格。设定买入和卖出报价的做市商或专家不是该模型的特征，因为拍卖师除了聚合提交的需求表以找到单一市场出清价格外，不起任何作用。
该模型包括三类参与者：噪声交易者、非知情交易者和知情投机者。噪声交易者扮演着与之前模型类似的角色，交易外生随机数量 z，其中 z 假定服从均值为 0、方差为 $\sigma^{2}z$ 的正态分布。非知情交易者和投机者有更复杂的需求，因为他们被允许提交需求函数（而非需求量）。由于这种策略在实际市场中是可用的，这个交易机制纳入了实际交易市场的一个现实且重要的性质。
N 个投机者中的每一个都被假定接收到一个关于资产基础价值 v 的信号 $i_{n}$ ，其中 $i_{n} = v + \varepsilon_{n}$ ，且 $\text{var}(v) = \tau_{v}^{-1}$ ，$\text{var}(\varepsilon_{n}) = \tau_{\varepsilon}^{-1}$ 。所有随机变量是独立且正态分布的。每个投机者选择一个策略或需求表，记为 $X_{n}(p, i_{n})$ ，其中 p 表示资产的市场价格。这些需求产生于求解给定每个投机者对基础资产信息的最大化问题。类似地，M 个非知情交易者中的每一个选择一个交易策略或需求表，记为 $Y_{m}(p)$ 。由于非知情者不接收私人信息，他们的行为只能依赖于价格。该模型中的均衡是交易策略中的纳什均衡（Nash equilibrium）。
与之前的微观结构模型不同（但与理性预期模型类似），投机者被假定为风险厌恶的，并最大化以下形式的负指数效用函数
$$ U_{n} (\pi_{I n}) = - \exp (- \rho I \pi_{I n}),\tag{4.37} $$其中 $\rho_{I}$ 表示风险厌恶系数。类似地，非知情者最大化以下形式的效用函数
$$ V_{m} (\pi_{U m}) = - \exp (- \rho U \pi_{U m})\tag{4.38} $$其中 $\rho_{U}$ 定义风险厌恶系数。
均衡要求市场出清，并且交易者不能遵循任何其他导致更高效用的策略。如果交易者竞争性行动，那么竞争性理性预期均衡被定义为价格函数 $P(z, i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{n})$ 和一组策略，使得对于每个 $(z, i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{n})$ ，
$$ \sum_{n = 1} ^{N} X_{n} (p, i_{n}) + \sum_{m = 1} ^{M} Y_{m} (p) + z = 0 \text{and}\tag{4.39} $$$$ E \{U_{n} [ (\nu - p) X_{n} (p, i_{n}) | p, i_{n} ] \} \geq E \{U_{n} [ (\nu - p) X_{n} ^{\prime} (p, i_{n}) | p, i_{n} ] \}\tag{4.40} $$$$ E \{V_{m} [ (v - p) Y_{m} (p) | p ] \} \geq E \{V_{m} [ (v - p) Y_{m} ^{\prime} (p) | p ] \},\tag{4.41} $$其中 $X'(\bullet)$ 和 $Y'(\bullet)$ 表示替代策略，p 是 $(z, i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{n})$ 处的价格函数值。
如果知情交易者通过考虑其交易对价格的影响而策略性行动，那么不完全竞争性理性预期均衡需要价格函数 $P(X, Y, z)$ 和一组策略，使得对于每个 $(z, i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{n})$ 市场出清且
$$ \begin{array}{r l} & E \{U_{n} [ (\nu - p (X, Y, z)) X_{n} (p, i_{n}) | p, i_{n} ] \} \\ & \qquad \geq E \{U_{n} [ (\nu - p (X, Y, z)) X_{n} ^{\prime} (p, i_{n}) | p, i_{n} ] \} \end{array}\tag{4.42a} $$和
$$ \begin{array}{r l} & E \{V_{m} [ (\nu - p (X, Y, z)) Y_{m} (p) | p ] \} \\ & \qquad \geq E \{V_{m} [ (\nu - p (X, Y, z)) Y_{m} ^{\prime} (p) | p ] \}. \end{array}\tag{4.42b} $$注意，这个均衡与竞争性结果的不同之处在于，知情交易者明确考虑其行动对市场价格的影响。虽然这可能看起来是一个微妙的变化，但它对交易者需要知道的信息量有许多重要含义。特别地，在竞争性理性预期均衡中，为了确定其最优策略，交易者被假定知道自己的偏好、市场结构以及将信息转化为价格的函数。在不完全竞争均衡中，交易者必须再次知道所有这些信息，但此外他们还必须知道将需求转化为价格的函数以及每个人的需求表。此外，交易者需要知道交易者 N 和 M 的确切数量；任何类型的数量变化都会影响均衡。如此广泛的信息要求很难与实际市场特征相一致。
与任何理性预期模型一样，交易者预期会占优的策略必须是实际占优的策略。Kyle 证明，在特定条件下，存在一个对称线性均衡，其中交易者的策略由下式给出
$$ X_{n} (p, i_{n}) = \mu_{I} + \beta i_{n} + \gamma_{I} p, \quad Y_{m} (p) = \mu_{U} + \gamma_{U} p,\tag{4.43} $$其中 $\mu_{I}$ 、$\mu_{U}$ 、$\gamma_{I}$ 、$\gamma_{U}$ 和 $\beta$ 是在均衡中确定的系数。要使这个均衡发生，必须有足够数量的投机者以确保一个合理的"竞争性"结果。否则，噪声交易者需求价格无弹性的假设意味着即使一个单一的知情交易者也能获得无限的期望利润（就像如果他是唯一非被动交易者，一个单一的非知情投机者也能做到）。然而，在"足够"的投机者下，知情者基本上彼此竞争，因此这种垄断结果不会发生。在这个意义上，这个结果类似于 Kyle [1984] 中证明的结果。
这个不完全竞争均衡的一个重要性质是，价格的信息含量低于竞争性理性预期均衡。由于交易者认识到其交易对市场价格的影响，他们选择交易策略以纳入这种效应。这也有一个重要含义：知情交易者不会"交易掉"他们的信息优势，因为价格现在不会向非知情者揭示潜在信息。因此，在这个具有策略性行为的例子中，理性预期均衡既存在，又具有知情交易者获得信息回报的合理性质。¹³
从微观结构的角度来看，这个结果是有用的，因为它出现在一个交易机制至少捕捉了实际市场某些特征的模型中。我们将在第7章回到这些市场结构和设计的问题，并在第6章再次讨论理性预期模型中的均衡问题。然而，我们尚未讨论的策略性行为的一个方面是非知情交易者的最优策略。我们现在转向这个问题。
附录：理性预期模型#
当拥有不同信息的人决定交易时会发生什么？这个问题是市场微观结构文献中许多问题的根本，也是理性预期文献中讨论的基本问题。从 Muth [1961] 的论文开始，研究者们研究了市场价格如何受交易者信息的影响，以及这反过来如何影响交易者可以从市场价格中推断出的信息。这些理性预期模型的一个基本洞见是，除了出清市场外，价格还聚合信息。这种双重角色决定了证券价格（和市场）的行为可能表现出远超简单资产行为模型所预测的复杂性。
本附录简要回顾了基本的理性预期框架。由于理性预期文献卷帙浩繁且涉及的问题复杂，我在此专注于确立这种方法的最重要性质。首先，通过考察一个具有不同信息交易者的交易过程的简单图形描述来说明基本问题。然后，我定义并分析一个简单的理性预期均衡，并讨论涉及此类均衡存在性的一些重要问题。附录最后概述了通常用于处理证券市场行为问题的基本理性预期示例。
4.A.1 基本问题#
假设我们考虑两个交易单一资产和货币的交易者。一个交易者接收到关于资产真实价值的信号 S；该信号可以是高或低，$S \in [H, L]$ 。另一个交易者没有接收到任何信号。为了表示每个交易者的交易意愿，考虑一个简单的埃奇沃思盒（Edgeworth box），其中知情交易者的原点在右上角，非知情交易者的原点在左下角，票赋在右下角。均衡可以在交易者的价格-消费曲线的交点处找到。（价格-消费曲线表示交易者在各种价格下会需求的商品束集合。）
图 4.A.1 展示了这样一个埃奇沃思盒。由于知情交易者看到资产价值的信号，他的价格-消费曲线取决于信号值。因此，如果信号高，他的 pc 曲线是 $pc_{H}$ ；如果信号低，则是 $pc_{L}$ 。非知情交易者没有看到这样的信号，所以他有一条单一的 pc 曲线。这由单一的垂直线 pcU 表示。¹⁴
图4.A.1 价格-消费曲线——天真的非知情交易者情形
瓦尔拉斯均衡价格由交易者 pc 曲线的交点决定。注意，如果信号低，这只是 $p_{L}$ ；如果信号高，这只是 $p_{H}$ 。从图中可以立即看出，非知情交易者是天真的：一旦他看到价格是，比如说，$p_{L}$ ，他应该知道信号一定是低的。然而，如果他知道信号是低的，他的需求就不会是 $pc_{U}$ 所描绘的那样。然而，在这个简单的瓦尔拉斯市场中，这种推断问题被忽略了，这表明当价格可以传递信息时，这不是适当的均衡描述。
将这种复杂性纳入交易问题需要在不同的框架中重新表述问题。再次，假设有两个交易者，i = 1, 2，l 种商品，他们的票赋记为 $w^{i} \in R^{l} +$ 。每个交易者接收到的信号定义为 $s^{i} \in S^{i}$ ，其中 $S = S^{1} \times S^{2}$ 是联合信号空间。每个交易者的效用表示为 $u^{i}(x^{i}, s)$ ，其中 $w^{i} \in R^{l} +$ 是交易者的投资组合。因此，交易者的效用既取决于他的分配，也取决于联合信号。¹⁵
该模型中的价格具有出清市场和传递信息的双重作用。假设均衡价格关系由 $P(s)$ 给出。也就是说，$P(s)$ 是联合信号 s 发生时的市场出清价格。给定价格 p，交易者可以推断 $s \in P^{-1}(p)$ 。因此在价格 p 处，每个交易者的决策问题可以写为
$$ \operatorname{Max} ^{i} E^{i} \left[ u^{i} \left(x_{i}, s\right) \mid s^{i}, s \in P^{- 1} (p) \right] \text{s . t .} p \left(x^{i} - w^{i}\right) = 0.\tag{4.44} $$求解此问题得到资产的需求函数，记为 $D^{i}(p, s^{i}, P(\bullet))$ 。
要找到理性预期均衡，我们必须计算总超额需求函数，然后找到对所有信号使超额需求为零的价格函数。该超额需求函数为
$$ Z (p, s, P (\bullet)) = \sum_{i = 1} ^{2} \left(D^{i} \left(p, s^{i}, P (\bullet)\right) - w^{i}\right).\tag{4.45} $$给定这一设定，我们现在定义理性预期均衡：
**理性预期均衡（REE）**是一个价格函数 $P(\bullet)$ ，使得对于每个 $s \in S$ 有 $Z(p(s), s, P(\bullet)) = 0$ 。
关于这个均衡有两点重要性质。第一，均衡价格通过将超额需求设为零来满足其传统的市场出清角色。第二，价格函数必须对每个信号都实现这样的市场出清。而且，交易者在形成其需求时使用的价格函数必须是市场中实际发生的价格函数。在这个意义上，预期是"正确的"，交易者的信念是理性的。
一个关键的问题是，我们如何找到这样的理性预期均衡？原则上，这是一个艰巨的任务，因为这样做的机制远远超出了传统采用的市场出清方法。而且，确实可能无法找到这样的均衡。这些困难可以通过回到我们的埃奇沃思盒例子来说明。
如果价格可以传递信息，那么理性预期均衡中的非知情交易者必须认识到这一性质。假设知情交易者的价格-消费曲线与之前一样，但现在假设非知情交易者也知道了 s。那么他的价格-消费曲线将取决于 s。如图 4.A.2 所示，如果交易者知道 s = L，市场价格将为 $p_{L}$ ，而如果他们看到 s = H，市场价格将为 $p_{H}$ 。当然，这是一个人为的全信息经济。然而，它告诉了我们如何构造一个 REE。
图4.A.2 价格-消费曲线——揭示性情形
图4.A.3 价格-消费曲线——非揭示性情形
考虑价格函数 $P(L) = p_{L}$ 和 $P(H) = p_{H}$ 。这是一个 REE。为了理解为什么，注意在价格，比如说，$p_{L}$ 处，非知情交易者会推断出 s = L，因此根据上述论证，$p_{L}$ 将出清市场。
然而，也可能出现这种结果不会发生的情况。假设全信息经济的价格-消费曲线如图 4.A.3 所示，其中人为的全信息 pc 曲线相交于同一条预算线。如果这些是全信息价格-消费曲线，那么不可能从价格推断出潜在状态。因此，揭示性理性预期均衡不存在。图 4.A.1 表明对于这个经济，不存在非揭示性 REE。因此，没有 REE 存在。这个困难说明了理性预期模型中的基本问题：对于某些经济，不存在 REE。
4.A.2 理性预期均衡的存在性#
鉴于这一困难，我们何时能期望理性预期均衡存在？这个问题一直是广泛研究的主题，其中许多研究聚焦于信号空间的维度。该文献中有四个结果为理性预期模型中均衡的存在性提供了边界。由于这些条件适用于大多数用于处理证券市场问题的模型，回顾这些结果是有用的。
第一，如果信号集 S 是有限的，那么对于一般经济集合，理性预期均衡存在且是揭示性的。¹⁶ 这个由 Radner [1979] 证明的结果要求任何信号必须取特定值（如高、低），因此不适用于从正态分布中抽取的信号。
第二，令 l 表示资产数量。Allen [1982] 证明，如果 l - 1 大于 S 的维度，那么对于一般经济集合，REE 存在且是揭示性的。这个结果基本上说明，如果相对价格的数量（即 l - 1）超过信号空间的维度，那么 REE 确实存在。这个结果的一个直观解释是，如果价格数量多于信号数量，那么你有足够的灵活性来同时出清市场和聚合信息。
第三，Jordan 和 Radner [1982] 证明，如果 $l - 1$ 等于维度 $S$ ，那么存在一个没有理性预期均衡的经济的开集。在这里，价格和信号之间的精确匹配意味着虽然可能可以找到均衡，但不能保证。这个结果很重要，因为它表明在许多标准 REE 应用中可能出现的主要困难。在具有两种资产（一种风险资产和一种无风险资产）和一维信号的模型中，相对价格的数量 $(l - 1)$ 等于信号维度。这个结果意味着均衡可能根本不存在，因此表明这类模型中发现的结果的脆弱性。这也解释了为什么通常用于证明理性预期均衡的例子不容易推广。
最后，Jordan [1982] 提供了一个有点反常的结果：如果 l - 1 < S，那么存在一个具有 REE 的一般经济集合，并且这些均衡可以被选择得尽可能接近揭示性。这个非直观的结果也许最好被视为对整个 REE 概念提出了质疑，因为在这种情况下产生的价格函数可能具有如此反常的性质，以至于很难相信它会在任何实际经济中存在，或者即使存在，市场参与者也不可能学会。
后一个问题凸显了理性预期方法中的两个额外问题。在这些模型中，个体必须知道提供均衡价格的定价规则。然而，这种知识实际上如何产生并没有被说明。一种可能性是个体随时间学习这一规则，因此 REE 可以被视为长期稳态结果。然而，关于学习的研究（参见 Blume, Bray, 和 Easley [1982] 的综述）表明，学会形成理性预期是有问题的。
标准理性预期模型中的第二个困难是瓦尔拉斯均衡的假设。假设价格由瓦尔拉斯拍卖师设定避免了指定任何实际交易机制的困难。然而，这种简单性隐藏了几个重要问题，其中包括竞争行为的假设。Blume 和 Easley [1990] 表明，除非满足限制性的信息条件，否则不存在任何交易机制能够为所有经典经济实现 REE。在市场微观结构文献中，市场出清机制已被证明对价格和交易者的行为都有重要影响，这是 REE 文献几乎完全忽略的一个复杂性。
这些关于 REE 存在性的结果说明了为什么这类模型既难以构建又难以解释。通常采用的避免这些问题的方法是使用一个满足上述条件并允许计算 REE 的交易环境的具体例子。虽然这种方法既有用又可处理，但它也非常特殊，因为环境的任何偏差很可能改变均衡——如果它存在的话。
4.A.3 标准理性预期示例#
为结束本附录，我们回顾最广泛使用的用于分析不同信息交易者之间交易的理性预期框架。这个由 Grossman 和 Stiglitz [1980] 发展的模型采用一个简单的两种资产经济，其中所有随机变量是独立且正态分布的。交易者持有一种无风险资产 M 和一种风险资产 X。风险资产的价格记为 p，无风险资产的价格归一化为 1。
资产的未来价值 $\nu$ 未知，服从均值为 $\varphi$ 、方差为 $1/\rho_{\nu}$ 的正态分布。经济中有两个交易者，其中一个交易者收到关于资产价值的信号（另一个没有）。信号 s 服从以 $\nu$ 为均值、$1/\rho_{s}$ 为方差的正态分布。每个交易者有初始票赋 $(M, X^{i})$ ，其中 $X^{i}$ 的水平是一个服从均值为 0、方差为 $1/\rho_{x}$ 的正态分布的随机变量。随机总票赋为 $X = X^{1} + X^{2}$ 。交易者最大化终期财富的效用，其中效用由负指数函数 $U(W) = -\exp(-W^{i})$ 定义。
在这个模型中，信号意味着知情交易者比非知情交易者知道得更多。然而，非知情交易者知道知情者的交易会影响价格。因此，如果他知道定价规则，非知情交易者可以从市场价格中提取关于知情者信号的信息。为了构造一个均衡，假设非知情者推测这个定价规则具有如下特定的线性形式
$$ \mathbf{p} = \alpha \varphi + \beta s - \gamma \mathbf{X}\tag{4.46} $$其中系数值在均衡中确定。因此，价格函数取决于资产的先验期望值、信号值和风险资产的随机总票赋。
给定其信号，知情交易者关于 $\nu$ 的后验分布为
$$ N \left(\frac{\rho_{v} \varphi + \rho_{s} s}{\rho_{v} + \rho_{s}}, \frac{1}{\rho_{v} + \rho_{s}}\right)\tag{4.47} $$要构造非知情交易者关于 v 的后验分布，我们需要描述他如何使用价格观测来更新其对 v 的先验。一种简单的方法是构造非知情交易者可观察的随机变量 $\theta$ ：
$$ \theta = (p - \alpha \varphi) / \beta = s - (\gamma / \beta) X\tag{4.48} $$使用等式的右边，我们看到 $\theta$ 服从 $N(\nu, 1/\rho_s + (\gamma/\beta)^2(2/\rho_x))$ 分布。定义方差为 $1/\rho_\theta$ ，非知情者的后验可以写为
$$ N \left(\frac{\rho_{v} \varphi + \rho_{\theta} \theta}{\rho_{v} + \rho_{\theta}}, \frac{1}{\rho_{v} + \rho_{\theta}}\right).\tag{4.49} $$值得注意的是，知情者的后验和非知情者的后验仍然是正态的。求解他们各自需求的最大化问题因此是可处理的，并得到知情交易者的需求函数为
$$ D^{\mathrm{I}} = \frac{\mathrm{E} [ \mathrm{V} | \mathrm{s} ] - \mathrm{p}}{\operatorname{var} [ \mathrm{V} | \mathrm{s} ]},\tag{4.50} $$非知情交易者的需求函数为
$$ D^{\mathrm{U}} = \frac{\operatorname{E} [ \mathrm{V} | \mathrm{p} , \mathrm{P} (\cdot) ] - \mathrm{p}}{\operatorname{var} [ \mathrm{V} | \mathrm{p} , \mathrm{P} (\cdot) ]},\tag{4.51} $$这些需求可以容易地使用之前求解的后验分布得到。因此，知情交易者的需求为
$$ D^{I} = \frac{\frac{\rho_{v} \varphi + \rho_{s} s}{\rho_{v} + \rho_{s}} - p}{\frac{1}{\rho_{v} + \rho_{s}}} = \rho_{v} \varphi + \rho_{s} s - p (\rho_{v} + \rho_{s}),\tag{4.52} $$非知情交易者的需求为
$$ D^{U} = \rho_{\nu} \varphi + \rho_{\theta} \theta - p (\rho_{\nu} + \rho_{\theta}).\tag{4.53} $$均衡价格可以通过令需求等于供给来找到，即 $D^{I} + D^{U} = X$ 。这给出
$$ p = \frac{2 \rho_{v} \varphi + s [ \rho_{\theta} + \rho_{s} ] - X [ 1 + (\gamma / \beta) \rho_{\theta} ]}{2 \rho_{v} + \rho_{s} + \rho_{\theta}}.\tag{4.54} $$注意，另一种写法是
$$ p = \alpha \varphi + \beta s - \gamma X,\tag{4.55} $$其中
$$ \alpha = \frac{2 \rho_{\nu}}{2 \rho_{\nu} + \rho_{s} + \rho_{\theta}}, $$$$ \beta = \frac{\rho_{\theta} + \rho_{s}}{2 \rho_{v} + \rho_{s} + \rho_{\theta}},\tag{4.56} $$$$ \gamma = \frac{1 + (\gamma / \beta) \rho_{\theta}}{2 \rho_{v} + \rho_{s} + \rho_{\theta}}, $$且 $\rho_{\theta} = \rho_s + (\gamma/\beta)^{2} 2 / \rho_x$ 。
因此，在这个均衡中，实际价格将是 $\varphi$ 、s 和 X 的线性函数，推测的价格将是实际价格。交易者的预期因此是正确的，价格出清市场。由于随机总供给引起的噪声，价格现在不会向非知情交易者揭示知情者的信号。
¹ 知情交易者知道 $\mu$ 的分布，但不知道实际实现值。这与我们稍后讨论的连续时间模型形成对比。
² 注意，这里做市商的知识（或信息集）包括 $\beta$ 和 $\sigma_{\mu}^{2}$ ，正如正文中讨论的，它们是均衡的一部分。
³ 只要假设如果需求翻倍，做市商的价格和交易量之间的关系保持不变。在更一般的模型中，这种关系可能不成立。
⁴ 实际上，对 $\nu$ 的条件期望为 $E(p_{1} \mid \nu) = (p_{0} + \nu)/2$ ，但后验均值将根据交易结果偏离此条件均值。
⁵ 在连续时间下，这些系数变为常数。
⁶ 价格变化的方差在各期之间是常数。
⁷ 贝尔曼方程是动态规划中的一个基本方程，它给出了值函数的递归形式。
⁸ 这些结果也取决于公共信息的性质。如果公共信息在日内变化，交易者必须更新其预期，行为也会变化。
⁹ 单峰（unimodal）是指函数先上升后下降的形状。
¹⁰ 当知情交易者数量很大时，每个交易者的市场力量都很小，因此竞争性结果近似成立。
¹¹ "标准经济"是指偏好、票赋和信息结构满足某些正则条件的经典经济。
¹² 也可参见 Bhattacharya 和 Spiegel [1991] 以及 Laffont [1985]。
¹³ 这通常被称为"理性预期均衡的存在性问题"。
¹⁴ 在埃奇沃思盒中，pcU 是垂直的，因为无差异曲线是位似的（homothetic），这意味着收入扩张路径是线性的。这里这是由负指数效用函数隐含的假设。
¹⁵ 注意，交易者的效用取决于联合信号，而不仅仅是自己的信号。这种可能性（称为"信念依赖效用"）在理性预期模型中很常见，因为它简化了分析。
¹⁶ "一般"（generic）意味着除了一个零测集外，所有经济都存在均衡。